Vibraiile transversale ale barelor drepte

S considerm bara din figura 2.40, la care am notat cu x axa barei, cu y direcia de micare i cu z axa neutr a seciunii. Ecuaia fibrei medii, din cursul de rezistenamaterialelor, are forma : unde M(x) este momentul ncovoietor n seciunea x, iar EIz reprezint rigiditatea la ncovoiere a barei. Dac se deriveaz ecuaia fibrei medii de dou ori n raport cu x i utiliznd relaiile difereniale ntre eforturi se obine:

unde p(x) este sarcina distribuit pe unitatea de lungime a grinzii.Se noteaz cu y(x,t) deplasrile grinzii fa de poziia de echilibru static, efectuate n timpul vibraiilor transversale. Sarcina distribuit p(x) este format dinforele de inerie pe unitatea de lungime, egale cu i din forele perturbatoare po(x,t), distribuite pe unitatea de lungime a barei, astfel nct ncrcarea grinzii este dat de: Grinda fiind n echilibru dinamic, trebuie s satisfac ecuaia:

Forma ecuaiei de micare este stabilit cu neglijarea efectelor rotirii i lunecrii seciunii.Funcia y(x,t) trebuie s satisfac att condiiile iniiale:

ct i condiiile la limit determinate de modul de rezemare.Condiiile la limit cele mai uzuale sunt:

Pulsaii proprii, funcii propriin cazul vibraiilor libere, forele perturbatoare po(x,t) = 0 i ecuaia vibraiilor transversale devine:

Aceast ecuaie admite o soluie armonic de forma:y(x,t) = BY(x)sin(t + ) n care: Y(x) este o funcie numai de x.Dac se nlocuiete soluia n ecuaie obinem:

Se noteaza

Soluia general a acestei ecuaii difereniale este dat de o sum de funcii independente de forma:Y(x) = C1sin x + C2cos x + C3tg x + C4 ctg xSoluia poate fi exprimat i prin termeni formai din funcii exponeniale, ns funciile trigonometrice i hiperbolice sunt, de obicei mai uor de utilizat. Constantele C1, C2, C3, C4 se determin din condiiile la limit. Pentru facilitarea calculelor, este convenabil ca funcia Y(x) s fie scris sub forma:Y(x) = C1(sin x + sh x) + C2(sin x - sh x) + C3 (cos x + ch x) + + C4(cos x - ch x) n acest caz, dou din cele patru constante sunt nule pentru fiecare din condiiile la limit obinuite. Dac n este o pulsaie proprie, atunci forma deformat a grinzii,care vibreaz armonic cu pulsaia n, este dat de funcia proprie Yn(x),care determin modul propriu de vibraie de ordinul n i este: yn = Bn Yn(x)sin(n t + n) Constantele Bn i n se determin din condiiile iniiale. Micarea barei n caz general este dat de o funcie obinut prin suprapunerea modurilor proprii de vibraie: