TESTE STATISTICE

PENTRU DATE ORDINALE

CONDIII FUNDAMENTALEpentru testele parametrice

VD msurat pe scal cantitativ (I/R)

Msurare fr erori (?!)

erorile de msurare afecteaz valoarea testului i, implicit, decizia statistic

exemplu: coeficientul r este afectat de fidelitatea msurrii

Distribuia datelor respect modelul teoretic de referin

normalitatea !! (simetrie, absena valorilor extreme)

volumul eantionului (N=30 nu mai mic de 20!)

omogenitatea (egalitatea) varianei distribuiilor grupurilor comparate

Miza respectrii condiiilor:

Meninerea nivelului acceptat pentru erorile statistice

exces de eroare de tip I

acceptare greit a H1

exces de eroare de tip II

neacceptare greit a H1

Soluii

Verificarea atent a condiiilor

statistici descriptive

Numerice

Grafice

teste statistice specializate (SPSS)

Teste de normalitate

Teste de omogenitate a varianei

Normalizarea datelor ( ?!)

Utilizarea testelor NON-PARAMETRICE

Cnd se utilizeaz teste neparametrice?

VD este msurat pe scal calitativ (nominal, ordinal)

VD este msurat pe scal cantitativ, dar...

nu respect condiiile pentru test parametric (normalitate, omogenitatea mprtierii)

transformare calitativ (grupare de frecvene, ordonare dup rang)

volum foarte mic al eantionului (30 20)

avantaje ale testelor neparametrice

nu presupun condiii la fel de restictive (normalitatea distribuiei, omogenitatea varianei, etc.) ceea ce reduce mult situaiile n care nu sunt aplicabile;

calcule sunt relativ simple i uor de efectuat manual

concepte i metode mai uor de neles;

se pot utiliza pe scale ale cror caliti de msurare sunt slabe (ordinale, nominale);

pot fi utilizate n cazul variabilelor afectate de valori extreme care nu pot fi eliminate.

dezavantaje ale testelor

neparametrice

se bazeaz pe msurri ordinale sau nominale

mai puin precise dect cele cantitative

au o putere mai redus dect testele parametrice;

tind sa fie utilizate i n situaii n care se pot utiliza teste parametrice

dei se bazeaz pe calcule elementare, adesea acestea pot fi destul de complexe i de laborioase

1) Testul Mann-Whitney (U) pentru diferena rangurilor a dou eantioane independente

2) Testul Kruskal-Wallis pentru diferena rangurilor a mai mult de dou eantioane independente

3) Testul Wilcoxon pentru diferena rangurilor a dou eantioane perechi

4) Testul Friedman pentru diferena rangurilor n cazul mai mult de 2 msurri (repeatedmeasures)

5) Coeficientul de corelaie pentru date ordinale (Spearman, Kendall)

Teste ordinale

Testul Mann-Whitney (U) pentru

dou eantioane independente

Exemplu: Un psiholog care lucreaz ntr-o mare banc dorete s vad dac exist o diferen ntre premiile bneti anuale primite de femeile i brbaii angajai ai bncii

2 eantioane

independenteMann-Whitney U

t

independent

Test parametric

parametric

?

2 3

1 9

2 17

2 26

2 32

1 34

1 35

2 36

1 43

2 43

2 44

2 47

2 51

1 56

2 59

1 61

1 62

1 64

1 67

1 67

1 70

1 75

1 80

1 87

1 88

1 110

1 200

MasculinPremiu

(mii lei)Feminin

Premiu

(mii lei)

1 9 2 3

1 34 2 17

1 35 2 26

1 43 2 32

1 56 2 36

1 61 2 43

1 62 2 44

1 64 2 47

1 67 2 51

1 67 2 59

1 70 nB=10

1 75

1 80

1 87

1 88

1 110

1 200

nA=17

Variabil independent ? Variabil dependent ?

Problema este una tipic pentru a fi rezolvat cu testul... ?

Dar...

Descriptives

58,0000 7,25659

43,0839

72,9161

54,3765

56,0000

1421,769

37,70636

3,00

200,00

197,00

35,00

2,033 ,448

7,073 ,872

Mean

Lower Bound

Upper Bound

95% Confidence

Interval for Mean

5% Trimmed Mean

Median

Variance

Std. Deviation

Minimum

Maximum

Range

Interquartile Range

Skewness

Kurtosis

premiu

Statis tic Std. Error

MasculinPremiu

(mil. lei)

Rang

PrimFeminin

Premiu

(mil. lei)

Rang

prim

1 9 26 2 3 27

1 34 22 2 17 25

1 35 21 2 26 24

1 43 18,5 2 32 23

1 56 14 2 36 20

1 61 12 2 43 18,5

1 62 11 2 44 17

1 64 10 2 47 16

1 67 8,5 2 51 15

1 67 8,5 2 59 13

1 70 7 nB=10 RB=198,5

1 75 6

1 80 5

1 87 4

1 88 3

1 110 2

1 200 1

nA=17 RA=179,5

Valori (a)

Medie

(b)

Rang mic

(b)

Rang

mare

(c)

Secvenial

10 1 1 1 1

15 3 2 4 2

15 3 2 4 2

15 3 2 4 216 5 5 5 3

20 6 6 6 4

modul de obinere a rangurilor ex-aequo

MasculinPremiu

(mil. lei)

Rang

PrimFeminin

Premiu

(mil. lei)

Rang

prim

1 9 26 2 3 27

1 34 22 2 17 25

1 35 21 2 26 24

1 43 18,5 2 32 23

1 56 14 2 36 20

1 61 12 2 43 18,5

1 62 11 2 44 17

1 64 10 2 47 16

1 67 8,5 2 51 15

1 67 8,5 2 59 13

1 70 7 nB=10 RB=198,5

1 75 6

1 80 5

1 87 4

1 88 3

1 110 2

1 200 1

nA=17 RA=179,5

A

AABAA R

nnnnU

2

1**

B

BBBAB R

nnnnU

2

1**

A

AABAA R

nnnnU

2

1**

B

BBBAB R

nnnnU

2

1**

Decizia statistic:

Se citete valoarea critic pentru U0.05;17:10

Se accept H0 dac valoarea U calculat este mai maredect valoarea critic tabelar.

Se respinge H0 dac valoarea U calculat este mai mic sau egal cu valoarea critic tabelar.

Valoarea testului

5,1435,1791531705,1792

18171017

AU

5,265,198551705,1982

11101017

BU

nA/nB 5 6 8 10 12 14 16 18 20

30.05 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0.01 - - - 0 1 1 2 2 3

40.05 1 2 4 5 7 9 11 12 14

0.01 - 0 1 2 3 4 5 6 8

50.05 2 3 6 8 11 13 15 18 20

0.01 0 1 2 4 6 7 9 11 13

60.05 3 5 8 11 14 17 21 24 27

0.01 1 2 4 6 9 11 13 16 18

80.05 6 8 13 17 22 26 31 36 41

0.01 2 4 7 11 15 18 22 26 30

100.05 8 11 17 23 29 36 42 48 55

0.01 4 6 11 16 21 26 31 37 42

120.05 11 14 22 29 37 45 53 61 69

0.01 6 9 15 21 27 34 41 47 54

140.05 13 17 26 36 45 55 64 74 83

0.01 7 11 18 26 34 42 50 58 67

160.05 15 21 31 42 53 64 75 86 98

0.01 9 13 22 31 41 50 60 70 79

180.05 18 24 36 48 61 74 86 99 112

0.01 11 16 26 37 47 58 70 81 92

200.05 20 27 41 55 69 83 98 112 127

0.01 13 18 30 42 54 67 79 92 105

Decizia statistic:

UB (26.5) mai mic dect U0.05;17:10=48

Se respinge ipoteza de nul

Concluzia cercetrii:

Premiile acordate brbailor sunt statistic semnificativ mai mari dect cele acordate

femeilor (n respectiva instituie)

Este acest rezultat o dovad de discriminare?

Pentru grupuri suficient de mari(n1 i n2 20sau chiar 10)

Se calculeaz o valoare z, cu formula...

12/1**

1**5.0

Nnn

NnRz

BA

AA

Semnificaia se citete n tabelul curbei normale, pentru:

un prag alfa ales

unilateral sau bilateral

Mrimea efectului:N

zr

alt variant de calcul:

U

z Ce calculeaz z:

Unde:2

* 21 nn

12

)1(** 2121 nnnn

Publicarea rezultatului

La publicarea rezultatului pentru testul Mann-Whitney U se vor indica:

volumul grupurilor comparate (nA i nB)

valoarea testului (U)

pragul de semnificaie (p)

mrimea efectului

Testul Kruskal-Wallis

pentru mai mult de dou eantioane independente

S presupunem c avem trei categorii de subieci (piloi, controlori de trafic i navigatori de bord) crora le-a fost aplicat un test de reprezentare spaial Variabila independent?

Variabila dependent?

3+ eantioane

independenteKruskall-Wallis ANOVA?

Test parametric

parametric

Grup

prof.

Reprez.

spaialrang

1 23 2

1 16 6

1 15 7

1 10 11

1 9 12

1 21 3

2 18 5

2 14 8

2 11 10

3 25 1

3 19 4

3 13 9

3 7 13

1*3*

1*

12

1

2

Nn

T

NNH

k

i i

i

unde:

H este valoarea testului K-W N este volumul total al eantionului n este volumul grupurilor (N=n1+n2+n3+...+nk)

K este numrul grupurilor independente

T este suma rangurilor care va fi calculat pentru fiecare grup

0,112142638,74*06593.014*34

27

3

23

6

41*

14*13

12 222

H

Decizia statistic:

Valorile H urmeaz distribuia chi-ptrat cu k-1 grade de libertate

distribuia chi-ptrat va fi prezentat complet la testele nominale

multinomiale

df\aria .100 .050 .025 .010 .005

1 2.70554 3.84146 5.02389 6.63490 7.87944

2 4.60517 5.99146 7.37776 9.21034 10.59663

3 6.25139 7.81473 9.34840 11.34487 12.83816

4 7.77944 9.48773 11.14329 13.27670 14.86026

5 9.23636 11.07050 12.83250 15.08627 16.74960

6 10.64464 12.59159 14.44938 16.81189 18.54758

7 12.01704 14.06714 16.01276 18.47531 20.27774

8 13.36157 15.50731 17.53455 20.09024 21.95495

9 14.68366 16.91898 19.02277 21.66599 23.58935

10 15.98718 18.30704 20.48318 23.20925 25.18818

11 17.27501 19.67514 21.92005 24.72497 26.75685

... ... ... ... ... ...

H critic pentru alfa=0.05 i 2 grade de libertate este 5.99

H calculat=0.11

Decizia statistic?

Decizia cercetrii?

Concluzia cercetrii?

Mrimea efectului: 1

2

N

H

Decizia statistic:

Testul Wilcoxon

pentru dou eantioane perechi Condiii:

Aceiai subieci evaluai de dou ori, pe o scal ordinal

Aceiai subieci evaluai de dou ori, pe o scal de interval

variabilele nu ntrunesc condiiile pentru utilizarea testului t al diferenelor pentru eantioane dependente.

dei se aplic pe scale de interval/raport, utilizeaz proceduri de tip neparametric, apelnd la diferenele dintre valorile perechi i la ordonarea lor. Este, din acest punct de vedere, un test de date

ordinale.

Test parametric

parametric

2 eantioane

dependenteWilcoxon

t

dependent?

exemplu

Un psiholog dorete s evalueze efectul stimulilor subliminali asupra conduitelor agresive

Frecvena conduitelor agresive este msurat nainte i dup vizionarea unui film n care au fost plasai stimuli subliminali agresivi

Rezultatele sunt sintetizate n tabelul urmtor...

Cod

Subiectnainte Dup dup-nainte

Modulul

diferenei

Rangul

diferenei

Semnul

Diferenei

1 9 8 -1 1 7.5 -

2 14 17 3 3 5.5 +

3 10 17 7 7 2.0 +

4 11 12 1 1 7.5 +

5 12 15 3 3 5.5 +

6 9 13 4 4 3.5 +

7 10 14 4 4 3.5 +

8 14 2 -12 12 1.0 -

Se calculeaz: T(-) suma rangurilor diferenelor negative: T(-)=8.5 T(+) suma rangurilor diferenelor pozitive: T(+)=28.5 Valoarea cea mai mic dintre ele este rezultatul testului Wilcoxon Nivelul de semnificaie se afl prin compararea cu valorile critice dintr-o tabel special

Dac T calculat este mai mare dect T critic, se admite H0 Dac T calculat este mai mic dect T critic, se respinge H0

NNivel de semnificaie pentru test unilateral

0.025 0.01 0.005

Nivel de semnificaie pentru test bilateral

0.05 0.02 0.01

6 0 - -

7 2 0 -

8 4 2 0

9 6 3 2

10 8 5 3

... ... ... ...

Decizia statistic:

Valoarea calculat (8.5) este mai mare dect valoarea critic (4) pentru N=8 i alfa=0.5 bilateral.

Decizia statistic?

Decizia cercetrii?

Concluzia cercetrii?

Probleme...

Enunarea concluziei i interpretarea rezultatului vor ine cont de modul de atribuire a rangurilor

Diferene egale cu zero ntre rangurile perechi (valori de rang egal). Soluii

a) se elimin cazurile care dau diferene egale cu zero i, implicit, reducerea volumului eantionului cu aceste cazuri, sau...

b) atribuirea arbitrar a semnului + la jumtate dintre ele i semnul la cealalt jumtate.

c) dac exist un numr impar de diferene egale cu zero se va elimina una dintre ele (reducnd N cu 1), dup care se aplic regula b

Pentru eantioane mai mari de 20

distribuia de nul a testului Wilcoxon poate fi aproximat prin distribuia normal

formula de calcul n acest caz este urmtoarea:

Mrimea efectului:

24/12*1*

4/1*

nnn

nnTZ

N

zr

Testul Friedman

pentru msurri repetate(mai mult de dou eantioane perechi)

Exemplu: un psiholog dorete s studieze relaia dintre stilurile de conducere (laissez-faire, democratic i autoritar) asupra nivelului de satisfacie profesional

Variabila independent?

Variabila dependent? Test parametric parametric

3+ eantioane

dependenteFriedman

ANOVA pt.

msurri repetate

Democratic Laissez-faire Autocratic

1 1 2 3

2 2 1 3

3 1 2 3

4 1 2 3

5 1 2 3

6 2 1 3

N=6 T1=8 T2=10 T3=18

c

i

ir cNTccN

F1

21**3*

1**

12

unde:

c - numrul msurrilor repetateN - volumul seturilor de evaluri

perechi

Ti - suma rangurilor

corespunztoare fiecrui moment de msurare

3.972-488*0,16664*6*318108*4*3*6

12 222 rF

Distribuia de nul a testului Friedman urmeaz forma distribuiei chi-ptrat pentru df=c-1.

Valoarea critic tabelar (chi-ptrat) pentru df=3-1=2, este 5.99 Fr calculat > Fr critic

Decizia statistic? Decizia cercetrii? Concluzia cercetrii?

Mrimea efectului

SPSS: coeficientul de concordan Kendalls W, care indic intensitatea relaiei

ia valori ntre

0 (asociere minim)

1(asociere maxim)

Testul Friedman poate fi aplicat i n cazul a doar dou msurri, situaie n care devine similar testului semnului (nominal)

La fel ca i celelalte teste pentru date ordinale, el este afectat de existena rangurilor atribuite ex-aequo, pentru valori

identice.

n astfel de cazuri este recomandabil aplicarea unei corecii n formula de calcul (aplicat de programele automate de calcul)

Coeficientul de corelaie pentru date ordinale (Spearman) - rS

Testele Wilcoxon i Friedman sunt utilizate pentru a pune n eviden diferenele dintre dou sau mai multe eantioane perechi.

Atunci cnd avem dou variabile ordinale i suntem interesai n evaluarea gradului de asociere ntre ele, se utilizeaz un test de corelaie a rangurilor (Spearman).

Modalitatea de calcul a coeficientului de corelaie Spearman se bazeaz pe poziia relativ a unei valori fa de celelalte.

rS variaz ntre -1/+1 i se interpreteaz n acelai mod ca i r (Pearson)

Test parametric

parametric

2 eantioane

dependente

Corelaia rangurilor

Spearman (Kendall)

r

Pearson

exemplu

ntr-un studiu cu privire la ameliorarea sistemului de evaluare a personalului, doi instructori urmeaz un program special de armonizare a evalurii.

La sfritul programului ei sunt pui s ierarhizeze personalul unui compartiment de munc (N=10) din punctul de vedere al performanei profesionale

Ipoteza cercetrii: (pentru test bilateral) Evalurile celor doi instructori vor fi concordante.

Ipoteza de nul: ntre evalurile celor doi instructori nu exist nici o legtur

Criterii de decizie

alfa=0.05

bilateral

rS critic se citete ntr-un tabel special pentru coeficientul Spearman (fr grade de libertate)

Ntest unilateral

alfa=0.05 alfa=0.025 alfa=0.01 Alfa=0.005

test bilateral

alfa=0.10 alfa=0.05 alfa=0.02 alfa=0.01

5 0,900 - - -

6 0,829 0,886 0,943 -

7 0,714 0,786 0,893 -

8 0,643 0,738 0,833 0,881

9 0,600 0,683 0,783 0,833

10 0,564 0,648 0,745 0,794

11 0,523 0,623 0,736 0,818

12 0,497 0,591 0,703 0,780

13 0,475 0,566 0,673 0,745

... ... ... ... ...

AngajaiRANG

Instructor I

RANG

Instructor II

Diferena (D)

(R1-R2)D2

A 3 2 1 1

B 1 3 -2 4

C 7 5 2 4

D 6 4 2 4

E 10 10 0 0

F 5 8 -3 9

G 9 7 2 4

H 8 9 -1 1

I 4 6 -2 4

J 2 1 1 1

D2=32

)1(*

*61

2

2

NN

DrS

81.019.01990

1921

)1100(*10

32*61

Sr

rS calculat (0.81) > rS critic (0.684) Decizia statistic ? Decizia cercetrii? Concluzia cercetrii ?

rS= 0 Cele dou variabile nu variaz concomitent, deloc

0 > rS > 1Cele dou variabile tind s creasc sau s scad concomitent,

ntr-o anumit msur

rS = 1.0 Corelaie pozitiv perfect

-1 > rS > 0n timp ce o variabil tinde s creasc, cealalt tinde s

descreasc

rS = -1.0 Corelaie negativ perfect

Interpretare...

Calcularea coeficientului de determinare (rS2) nu este recomandabil,

dei exist autori care o accept.

Cnd se utilizeaz coeficientul de corelaie Spearman:

ambele variabile sunt de tip ordinal

una dintre variabile este de tip ordinal i cealalt este de tip interval/raport. variabila interval/raport se transform mai nti n

valori de ordine de rang

ambele variabile sunt de tip interval/raport dar una sau ambele, prezint valori extreme. prin transformarea n ordine de rang a celor dou

distribuii, valorile extreme sunt anihilate, ele urmnd s participe la corelaie prin simpla poziie n distribuie i nu prin nivelul lor absolut.

Testul Kendall tau

Un test alternativ pentru asocierea variabilelor ordinale

La fel ca i rS, Kendal tau ia valori ntre -1 i +1 i se interpreteaz similar

Statisticienii se afl n disput cu privire la cei doi coeficieni

Programele statistice le calculeaz pe amndou

Foarte rar se ntmpl s conduc la decizii diferite unul de altul...

Sinteza testelor neparametrice ordinale

2 eantioane

independente

3+ eantioane

independente

Mann-Whitney U

Kruskall-Wallis

2 eantioane

dependente

Corelaia rangurilor

Spearman (Kendall)

2 eantioane

dependenteWilcoxon

3+ eantioane

dependenteFriedman

Diferena

Asocierea

t

independent

ANOVA

t

dependent

ANOVA

msurri repetate

r

Pearson

Echivalent

parametric

ntrebri pregtitoare pentru evaluarea parial nr. 3 (14-16 ian.)

Care este coeficientul de determinare dac r=0.80?

n cazul testului t pentru eantioane dependente, pe ce scar se exprim valorile variabilei independente?

Care este numele celui care a introdus testul de corelaie pentru date parametrice?

Care este valoarea lui r pentru o corelaie perfect?

Care dintre urmtorii coeficieni de corelaie este semnificativ: r=-0.70 (r critic=0.66) sau r=+0.70 (r critic=0.75)?

n ce caz poat eexista o corelaie ntre dou variabile, chiar dac valoarea lui r este mic (sau chiar zero)?

Ce este distribuia binomial?

Care este probabilitatea lui P pentru un eveniment dihotomic aleator (DA/NU)?

Care este echivalentul parametric al testului z pentru proporii?

n cazul testului chi-ptrat, ce este frecvena ateptat?

Pentru ce se utilizeaz testul chi-ptrat goodness-of-fit?

Care sunt caracteristicile distribuiei chi-ptrat?