StatisticadescriptivIndicatori sintetici ai distribuiilorstatistice

M. Popa

Statistica descriptiv - obiective Cum se prezint valorile unei distribuii?

Ct de apropiate sunt unele de altele? Ct de diferite sunt unele de altele?

Exist valori care reprezint ntreaga distribuie?

Categorii de indicatori Indicatori ai tendineicentrale

valori tipice, reprezentative, care descriu distribuia n ntregul ei

Indicatori ai mprtierii descriu caracteristica de mprtiere a

valorilor distribuiei Indicatori ai formeidistribuiei

se refer la forma curbei de reprezentare grafic a distribuiei

Indicatori ai tendinei centrale modul mediana media

Modul (Mo) Definiie:

valoarea clasa de interval

expresia ce mai direct a valorii tipice (reprezentative)

se afl prin alctuirea tabelei de frecvene (simple sau grupate) i este valoarea (clasa) creia i corespunde frecvena absolut cea mai ridicat. distribuii unimodale (583254 Mo=5) distribuii bimodale (5832254 Mo=5; =2) distribuii multimodale (58832254 Mo=5; =2; =8)

cufrecvenaceamaimare

MEDIANA (Me) valoarea din mijlocul unei distribuii

are 50% dintre valori deasupra ei i 50% dintre valori dedesubtul ei

corespunde valorii de 50% pe coloana frc%. percentila?... decila?.... quartila?

distribuie cu numr impar de valori Me este chiar valoarea respectiv.

distribuie par Me se calculeaz ca medie a valorilor din

mijlocul distribuiei 5,8,3,2,5,4, 2,3,4,5,5,8 Me=4,5

G. Fechner

MEDIAARITMETIC(m) Notaii uzuale:

(miu) media populaiei m media eantionului

Calcul pentru frecvene simple (583254)

Calcul pentru frecvene grupate (55833332244)50,4

626

6452385

NX

m

90,31143

224122*42*24*31*82*5)*(

ffX

m

Modul, Mediana i Media vizeaz acelai lucru, tendina central

i totuiN=151 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

60 45 22 20 16 16 16 15 14 14 14 12 12 12 12

media=20 X/N=300/15

X=300

mediana=15 (N+1)/2=8

modul=12(valoarea cea mai frecvent)

Proprietilemedieiaritmetice Adugarea\scderea unei constante la fiecare valoare a distribuiei, mrete\scade media cu

acea valoare nmulirea\mprirea fiecrei valori a distribuiei cu o constant, multiplic\divide media cu acea constant Suma abaterii valorilor de la medie este ntotdeauna egal cu zero Suma ptratului abaterilor de la medie va fi ntotdeauna mai mic dect suma ptratelor abaterilor n raport cu oricare alt punct al distribuiei

Proprietile medieivariabila constant + * abateri

medie5 2 7 10 0,508 2 10 16 3,503 2 5 6 -1,502 2 4 4 -2,505 2 7 10 0,504 2 6 8 -0,50

m=4.5 m=6.5 m=9 suma=0media=?

Valorinedeterminateiclasedeschise

Valorile nedeterminate valori a cror mrime nu decurge din procesul de

msurare, n acelai mod n care rezult oricare valoare a seriei

Exemplu: testul de asociere verbal (10 sec) Clase (categorii) deschise

categorii care au una dintre limite liber Exemplu: Cte igri fumezi zilnic? (30 sau mai

mult). n astfel de cazuri se utilizeaz mediana

MODUL

- Uor de calculat (nesemnificativ n prezent);- Poate fi utilizat pentru orice tip de scal;- Este singurul indicator pentru scale nominale;-- Corespunde unui scor real al distribuiei;

MEDIANA

- Poate fi utilizat pe scale ordinale i de interval\raport;- Poate fi utilizat i pe distribuii de frecven cu clase deschise sau scoruri nedeterminate la marginile distribuiei;

MEDIA- Reflect valorile ntregii distribuii;- Are multe proprieti statistice dezirabile;- Adecvat pentru utilizare n statistici avansate;

Avantajeleindicatorilortendineicentrale

MODUL

- n general, nesigur, mai ales n cazul eantioanelor mici, cnd se poate modifica dramatic la o modificare minor a unei valori;- Poate fi greit interpretat. Se identific total cu un scor anume, fr a spune nimic despre celelalte valori; - Nu poate fi utilizat n statistici infereniale;

MEDIANA

- Poate s nu corespund unei valori reale (N par);- Nu reflect valorile distribuiei (un scor extrem se poate modifica, fr a afecta Me);- Este mai puin sigur n extrapolarea de la eantion la populaie; - Greu de utilizat n statistici avansate

MEDIA

- De obicei nu corespunde unei valori reale;- Nu este tocmai adecvat pentru scale ordinale;- Conduce la interpretri greite pe distribuii asimetrice- Poate fi puternic afectat de scorurile extreme;

Dezavantajeleindicatorilortendineicentrale

Valori extreme (excesive) ale distribuiei

valori excesive, neobinuit de mari sau de mici fa de celelalte valori ale unei distribuii

Identificare metoda grafic Box-and-Whisker-Plot (Box-

Plot) autor Tukey

114

101

H=114-101=13

Percentila 75 (114)

Percentila 25 (101)

Mediana(Q2)

142valoareextrem135valoareextrem

114+1.5x13=133.5

101-1.5x13=81.5

Limita de sus poate urca pn la 133,5Cea mai apropiat valoare este 125

Limita de jos este 81.5Trasm la 86

grupa10987654321

Rasp

core

cte

exam

en iu

nie

30

25

20

15

10

5

0

Gendermf

SUM

(it_0

1 to

it_

22)

125

100

75

50

25

Tratarea valorilor extreme Stabilirea naturii valorilor extreme:

erori de nregistrare (tastare); erori de msurare; rezultate influenate de anomalii ale condiiilor

experimentale. eantionul a fost extras dintr-o populaie asimetric valorile respective fac parte din alt populaie de

valori eantion prea mic

Tratarealorpeunadincileposibile: eliminare (dac sunt erori necorectabile); corectare (dac este posibil); utilizarea mediei 5%trim, transformare (extragerea radicalului din toate valorile distribuiei, logaritmarea distribuiei, etc.)

Indicatorisinteticiaimprtierii msoar gradul de diversificare a valorilor

m1=30 m2=40

nainte

dupa mprtierea scorului la un test de rezisten la stres, nainte i dup un program de psihoterapie

Tipuri de indicatori1. Amplitudinea absolut 2. Amplitudinea relativ3. Abaterea quartil (cvartil, intercvartil) 4. Abaterea semi-interquartil 5. Abaterea medie 6. Dispersia (variana)7. Abaterea standard8. Coeficientul de variaie

Amplitudinea absolut (R) diferena dintre valoarea maxim i

valoarea minim a unei distribuii indic n mod absolut plaja de valori ntre

care se ntinde distribuia. poate fi influenat de o singur valoare

aflat la extremitatea distribuiei R=Xmax-Xmin=7-1=61,2,3,4,5,6,7

Amplitudinearelativ(R%) raportul procentual dintre amplitudine i

medie util cnd cunoatem plaja teoretic de

variaie a valorilor

100*%m

RR %150100*46% R

1,2,3,4,5,6,7

Distribuia A are o amplitudine mai mare dar i o variabilitate mai mare dect distribuia B

Amplitudinile distribuiilor A i B sunt identice, dar distribuia A are mai mult variabilitate.

Imprecizia amplitudinii

Abatereaquartil(cvartil,intercvartil)(RQ)

diferena dintre quartila 3 i quartila 1 este distana dintre limita superioar i cea

inferioar a casetei Box-Plot (valoarea H)

13 QQRQ

Abaterea semi-interquartil(RSQ)

distana unui un scor tipic fa de amplitudinea ntregii distribuii

este abaterea quartil mprit la 2 ntr-o distribuie perfect simetric RSQ=Q2=Me RSQ nu este afectat de valorile aberante

indicator robust al mprtierii

213 QQRSQ

Abaterea medie (d)X Xi m5 (5 4.5) = .58 (8 4.5) = 3.53 (3 4.5) = -1.52 (2 4.5) = -2.55 (5 4.5) = .54 (4 4.5) = -.5

X = 27 (Xi-m) = 0N = 6m = 4.5

abaterea valorii

abaterea medie

ntotdeauna d=0dar...

5.1||

NmX

d i

Dispersia (variana,abatereamedieptratic)

Notaii uzuale: s2 (eantion) 2 (populaie)

Se calculeaz ca sum a abaterilor de la medie ridicate la ptrat

X (Xi m) (Xi m) 25 (5 4.5) = .5 .258 (8 4.5) = 3.5 12.253 (3 4.5) = -1.5 2.252 (2 4.5) = -2.5 6.255 (5 4.5) = .5 .254 (4 4.5) = -.5 .25

X = 27

(Xi-m) = 0 (X-m)2 = 21.5

N = 6m = 4.5

Dispersia(variana)s2 (eantion) 2 (populaie)

NmX

si 22 )(

58.36

5,212 s

Abaterea standards (eantion); (populaie), SD (APA); ab.std.

se calculeaz prin extragerea radicalului din expresia dispersiei N

mXs

i 2)(

89,16

5,21 s

Corecia indicatorilor mprtierii calculai pentru eantioane

NmX

si 22 )(

NmX

si 2)(

1)( 22

NmX

si

dispersia abaterea standard

1)( 2

NmX

si

Abatereastandardnuestedefinitpentru(n-1),cipentrun Dar...sumaabaterilordelamedieestentotdeauna0 ...dactimn-1abateri,ocunoatempeultima ... doar primele n-1abateripotvarialiber. ...(n-1)suntdefinitecagradedelibertate

Proprietile abaterii standard1. Dac se adaug/scade o constant la

fiecare valoare a unei distribuii, abaterea standard nu este afectat

Proprietile abaterii standard2. Dac se multiplic/divide fiecare valoare a unei

distribuii cu o constant, abaterea standard se multiplic/divide cu acea constant

Proprietile abaterii standard3. Abaterea standard

fa de medie este mai mic dect abaterea standard fa de orice alt valoare a unei distribuii

X (Xi m) (Xi 5)25 (5 4.5) = .5 (5-5)2=08 (8 4.5) = 3.5 (8-5)2=93 (3 4.5) = -1.5 (3-5)2=42 (2 4.5) = -2.5 (2-5)2=95 (5 4.5) = .5 (5-5)2=04 (4 4.5) = -.5 (4-5)2=1

X = 27 (Xi-m) = 0 (X-5)2 =23N = 6m = 4.5

Coeficientul de variaie (cv) abaterea medie i abaterea standard se exprim n

unitile de msur ale variabilei de referin ca urmare, nu pot fi comparate n mod direct, pentru

variabile diferite

100*m

scv

cv poate fi calculat numai pe scale de raport (origine n 0)

cv 30%, mprtierea este mare i media are o reprezentativitate redus

Alegerea indicatorului mprtierii Abaterea standard este cea mai utilizat pentru

scale de msurare interval/raport. Realizeaz cea mai bun combinaie ntre calitatea estimrii i posibilitatea de a fundamenta inferene statistice.

Amplitudinea este un indicator nesigur i care nici nu poate fi calculat n cazul scalelor nominale

Pe distribuii cu valori nedeterminate sau cu intervale deschise, se alege abaterea interquartil (semi-interquartil).

Indicatoriaiformeidistribuiei simetrie (skewness)

simetric asimetric negativ asimetric pozitivSkewness 0 negativ pozitiv

Efectul asimetriei asupra mediei 3, 4, 5, 5, 6, 7

Modul: 5 Mediana: 5 Media: 5

3, 4, 5, 5, 6, 7, 17 Modul: 5 Mediana: 5 Media: 6.7

MedieMediana

Mod

MedianMedie

Mod Mod MedieMedian

Distribuie:simetricasimetricnegativasimetricpozitiv

Indicatoriaiformeidistribuiei boltire (kurtosis)

leptocurtica

mezocurtica

platicurtica

Kurtosis pozitiv

Kurtosis 0

Kurtosis negativ

Pentrusntateadvs.,Cnd traversai, uitai-v spre

partea de unde pot veni maini!