1

1

UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA FACULTATEA DE MECANIC Laborator de Mecanisme Specializarea: TCM

Lucrarea: MECANISME CU CAME SINTEZ: TRASAREA SPIRALEI LUI ARHIMEDE

1. Scopul lucrrii

a) Cunoaterea unor profiluri uzuale utilizate la came: spirala lui Arhimede (cama cardioid) i arcele de cerc (cama armonic). b) Trasarea spiralei lui Arhimede, teoretic i experimental, pentru o supranlare pe diviziune impus. c) Determinarea analitic a centrului de curbur i a razei de curbur pentru un punct dat al spiralei lui Arhimede i verificarea lor experimental. d) Realizarea mecanismului nlocuitor al unui mecanism axial cu cam rotativ cu profil spirala lui Arhimede i tachet translant (cu vrf, rol, sau taler) prin substituirea cuplei cinematice de clasa a IV-a (nlocuirea se efectueaz n punctul de pe spiral impus anterior).

2. Consideraii teoretice Spirala lui Arhimede reprezint locul geometric al unui punct (A) care se deplaseaz cu o vitez

liniar constant, pe o dreapt care se rotete cu vitez unghiular constant (Fig. 1).

t

v=ct

ct

a

a

A

O

x

y

Fig. 1

Ecuaia spiralei lui Arhimede n coordonate polare este: at , unde este raza polar a unui punct curent de pe curb, t este unghiul razei punctului curent - n radiani - iar a este o constant care determin pasul spiralei lui Arhimede. Pasul spiralei reprezint distana dintre dou profiluri consecutive ale spiralei (dup o rotire a spiralei cu unghiul 2 ) i este egal cu a2 (Fig.1).

Pentru a trasa spirala lui Arhimede pe un unghi al camei, cu o supranlare total pe acest unghi egal cu s, se procedeaz astfel: se mparte unghiul ntr-un numr de pri egale, i supranlarea s se mparte n acelai numr de pri egale. De exemplu, n Fig. 2 unghiul ( 12 ) s-a mprit n 6 pri egale i supranlarea s (s=R2-R1) de asemenea s-a mprit n 6 pri egale. Se construiesc

2

2

prin diviziunile obinute arce de cerc cu centrul n vrful unghiului, respectiv raze; prin intersectarea acestora se obin patrulatere curbilinii. Se unesc diagonalele patrulaterelor curbilinii, ca n Fig. 2, obinndu-se o curb care aproximeaz spirala lui Arhimede. Cu ct numrul de pri n care se mparte unghiul (precum i supranlarea total) este mai mare, cu att spirala lui Arhimede este mai bine aproximat.

R1

R2

S

S/6

/6

1

2

Fig. 2

Raza de curbur ntr-un punct curent de pe spiral se determin cu formula:

2322

2221/)'(

'''

R

.

Coordonatele centrului de curbur verific ecuaiile parametrice ale desfuratei spiralei lui Arhimede pentru un unghi t impus:

'''

''

'''

''

))(tsintcos(tsiny

))(tcostsin(tcosx

22

22

22

22

2

2

De exemplu, n punctul A de pe spirala lui Arhimede, centrul de curbur este n punctul B(xB, yB), iar raza de curbur este AB (Fig. 3).

Fig. 3

A

B

x

y

3

3

Dispozitive utilizate Dispozitivul existent n Laboratorul de Mecanisme (Fig. 4), realizat de firma SKODA, permite prelucrarea/trasarea spiralei lui Arhimede cu o supranlare pe diviziune ntre 03 mm. Circumferina unei came se mparte n 100 diviziuni.

Fig. 4

Schema cinematic a dispozitivului se prezint n Fig. 5.

5

8

9

101112

13

17

1

2

34

6

7

14

15

16

18

1919

13

Fig. 5

Pentru prelucrarea profilului unei came de forma spiralei lui Arhimede, dispozitivul se monteaz pe masa unei mainii de frezat verticale. Micarea se transmite de la melcul 1 la roata melcat 2, la melcul 3, la roata melcat 4, pe care este fixat cama 5, ce urmeaz a fi frezat. Roata dinat 7 - solidar cu roata dinat 4 -, transmite micarea la roata dinat 8.

Roata dinat 8 este solidar cu roata dinat 9; sistemul mecanic 8-9 poate fi translatat pe vertical, prin rotirea unei prghii oscilante din poziia notat 1:1 n poziia 1:2, astfel nct s angreneze roata

4

4

dinat 8 cu cremaliera 10, respectiv roata dinat 9 cu cremaliera 11. Roata dinat 7 are o dantur mai lat, astfel nct ea s transmit micarea sistemului balador 8-9, indiferent de poziia prghiei oscilante (1:1 sau 1:2).

Cremalierele 10 i 11 sunt solidare, distana dintre ele fiind mai mare dect distana dintre roata dinat 8 i roata dinat 9, astfel nct, atunci cnd roata dinat 8 este n angrenare cu cremaliera 10, angrenajul 9-11 este decuplat, i invers.

Cele dou cremaliere sunt solidare cu sania transversal 12 a dispozitivului i pot asigura acesteia o micare de translaie n ghidajele 13, cu dou viteze diferite, n funcie de poziia prghiei oscilante (1:1 sau 1:2).

Pe sania 12 se afl montat prisma 14, care poate fi nclinat la un unghi impus, , prin rotirea unei rozete. Dup obinerea unghiului de nclinare dorit, prisma se fixeaz pe sanie prin intermediul uruburilor 15 i 16.

Pe suportul 17, solidar cu masa mainii de frezat, se afl o rol, care se pstreaz n contact cu prisma prin intermediul forei unui arc. Fora transmis rolei de ctre prism provoac o reaciune asupra prismei, pe direcia normalei la suprafaa nclinat a prismei. Componenta orizontal a reaciunii care acioneaz asupra prismei se transmite ghidajelor 13, i produce deplasarea longitudinal a saniei 18 n ghidajele 19.

Arborele roii 4 are lagrul fixat n sania longitudinal 18, deci peste micarea iniial de rotaie a camei 5 se suprapune micarea de translaie longitudinal a saniei 18, adic micarea de translaie a camei de prelucrat n lungul razei curente (raza curent = distana de la centrul camei la centrul frezei).

Spre deosebire de descrierea teoretic a trasrii spiralei lui Arhimede, prezentat anterior (o dreapt se rotete n jurul unui punct cu o vitez constant, n timp ce un punct se deplaseaz cu o vitez liniar constant pe aceast dreapt), n prelucrarea/desenarea propriu-zis a profilului camei, micarea de translaie nu este a punctului trasor pe dreapt, ci a dreptei ctre punctul trasor, care este fix (principiul inversrii micrii).

n continuare se determin cele dou viteze diferite de deplasare ale saniei 12, la cuplarea cremalierei 10 cu roata 8, respectiv a cremalierei 11 cu roata 9 (Fig. 6).

89

s100div=80 tg(1:1)

s100div=80 tg(1:2)

freza degetrb

14

16

15

17

101112

Larc8= 8R8

Larc9= 8R9

cama

7

Fig. 6

7

8

7

8

8

7

8

7

8

778 R

R

z

z

n

ni

La o rotaie complet a roii 7, roata 8 se va roti cu 8 radiani, unghi care se determin cu relaia:

7878

78

2

ii

5

5

Cuplarea prghiei oscilante pe poziia 1:1, pentru angrenarea roii 8 cu cremaliera 10. La o rotaie complet a camei ( 2 radiani, corespunztor la 100 diviziuni), deci la o rotaie a roii 8

cu 8 radiani, cremaliera 10 se va deplasa pe o distan egal ca mrime cu lungimea arcului cercului

de rostogolire descris de roata 8 la rotirea cu 8 radiani:

881 RLarc

Din sistemul

7

878

87

R

Ri

dRR

se determin 7R i 8R

Se cunosc: 40=7z dini, 168 z dini, 56d mm (distana dintre axele de rotaie ale roilor 7 i 8).

4040

162

878 ,i

540

28 ,

Din sistemul de dou ecuaii cu dou necunoscute

7

8

87

40

56

R

R,

RR

rezult: 407 R mm i 168 R mm.

80165881 RLarc

Din triunghiul dreptunghic prezentat n Fig. 6 se determin supranlarea camei pentru 100 diviziuni:

80100divstg

tgs div 80100

Relaia pentru calculul supranlrii pe o diviziune, pentru raportul 1:1, pentru 1,5mm

6

6

Ecuaia spiralei lui Arhimede at= asigur supranlarea pe diviziune impus.

Se calculeaz a=' i 0='' . Pentru unghiul t impus se calculeaz:

- raza polar , - raza de curbur R, - coordonatele carteziene ale centrului de curbur n punctul dat de pe spiral, cu formulele prezentate anterior. S-a realizat un program cu MAPLE V pentru trasarea spiralei lui Arhimede, a desfuratei acesteia, precum i pentru calculul centrului de curbur i a razei de curbur pentru un punct dat de pe spiral. S-a trasat i raza de curbur pe direcia normalei, pentru punctul impus de pe spiral (Fig. 7). Se prezint n continuare programul. > restart; a:=31.8309;unghiul:=108*Pi/180; ro(t):=a*t; > x(t):=ro(t)*cos(t)-((a*sin(t)+ro(t)*cos(t))*((a*t)**2+a**2)/(ro(t)**2+2*a**2)); > y(t):=ro(t)*sin(t)+((a*cos(t)-ro(t)*sin(t))*(ro(t)**2+a**2)/(ro(t)**2+2*a**2)); > z(t):=ro(t)*cos(t); > w(t):=ro(t)*sin(t); > rm(t):=sqrt((ro(t)**2+a**2)**3)/(ro(t)**2+2*a**2); > b:=subs(t=unghiul,x(t));c:=subs(t=unghiul,y(t)); > d:=subs(t=unghiul,z(t));e:=subs(t=unghiul,w(t)); > r:=subs(t=unghiul,rm(t)); > evalf(b);evalf(c);evalf(d);evalf(e);evalf(r); >plot([[x(t),y(t),t=0..2*Pi],[z(t),w(t),t=0..2*Pi],[d+t*(b-d),e+t*(c-e),t=0..1]], scaling=constrained,color=[black],thickness=2);

Fig. 7 Determinarea experimental Experimental se determin spirala lui Arhimede cu ajutorul dispozitivului existent n Laboratorul de Mecanisme.

Se consider suma unghiurilor n jurul unui punct (360 ) ca fiind format din 100 de diviziuni. Pentru 1,5mm