capitole speciale de geometrie mircea cr^a˘sm areanumcrasm/depozit/geo_master.pdf · 2 m. cr^a˘sm...

Capitole speciale de geometrie

Mircea Crasmareanu

9 Decembrie 2019

Cuprins

1 Coordonate polare ın plan 1

2 Geometria complexa a planului 7

3 Functii olomorfe ın plan. Ecuatii Cauchy-Riemann 11

4 Aplicatii ale algebrei complexe ın studiul conicelor 17

5 Trigonometria ca aplicatie a seriilor de puteri 25

6 Legi de grup pe conice Pell generalizate 29

7 Functii armonice ın plan 33

8 Triplete pitagoreice 37

9 Transformari omografice 41

10 Aria triunghiului 45

11 Mediane 47

12 Triunghiul isoscel 49

13 Triunghiul echilateral 51

14 Caracteristica Euler 53

Bibliografie 57

Index 58

iii

iv CUPRINS

Cursul 1

Coordonate polare ın plan

In planul (afin euclidian !) π fixam reperul ortonormat R = O; i, j. Deci O este un punct fixatal planului numit pol iar B = i, j este o baza ortonormata: i, j sunt versori ortogonali, i⊥j.Semidreapta (Ox determinata de directia si sensul lui i o numim semiaxa polara.

Fixam punctul M ∈ π. Vectorul rM =−−→OM ıl numim vectorul de pozitie al lui M ın raport cu

R. Acest vector se descompune ın mod unic ın baza B: rM = xM i+ yMj. Spunem atunci ca M arecoordonatele (carteziene) (xM , yM ) ın raport cu R si notam M(xM , yM ). Spre exemplu, avem O(0, 0).

Daca M 6= O atunci numim coordonatele polare ale lui M ın raport cu R perechea (r, θ) ∈(0,+∞)× (−π, π] data de:

r := ‖−−→OM‖ = ‖rM‖ > 0, θ := ]orientat(i,

−−→OM). (1.1)

Observatie. Pentru O putem considera r = 0 dar unghiul θ este nedefinit; deci coordonatelepolare pentru O sunt nedeterminate. In concluzie, coordonatele polare se folosesc pe π\O! 2

Din definitia functiilor trigonometrice cosinus si sinus avem imediat expresia coordonatelor cartezieneın functie de cele polare:

x = r cos θy = r sin θ.

(1.2)

formula data de Isaac Newton ın 1670. Deoarece am exclus cazul M = O i.e. avem (x, y) 6= (0, 0)putem inversa:

r =√x2 + y2 > 0

θ = arctg yx .(1.3)

Formula distantei euclidiene ıntre doua puncte A1(ρ1, θ1), A2(ρ2, θ2) date prin coordonatele lorpolare

de(A1, A2) =√ρ2

1 + ρ22 − 2ρ1ρ2 cos(θ2 − θ1) =

√(ρ2

2 − ρ21)2 + 4ρ1ρ2 sin2 θ2 − θ1

2(1.4)

se obtine imediat din expresia distantei euclidiene date de teorema lui Pitagora. Sa remarcam caprima egalitate din (1.4) este exact Teorema cosinusului! In particular, daca A1 si A2 sunt pe aceeasidreapta prin origine i.e. θ1 = θ2 atunci, asa cum era de asteptat, avem:

de(A1, A2) =√ρ2

1 + ρ22 − 2ρ1ρ2 cos 0 = |ρ2 − ρ1|. (1.4bis)

1

2 M. Crasmareanu

Exemple 1 1. Cercul de raza R centrat ın origine are ecuatia carteziana:

C : x2 + y2 = R2 (1.5)

respectiv ecuatia polara C : r = R.2. Spirala lui Arhimede C : r = aθ cu a constanta reala strict pozitiva. A fost utilizata de Arhimedeın secolul III ı.H. ın legatura cu problema trisectiunii unui unghi.3. Spirale sinusoidale C : r = a(cos(mθ))

1m . Avem, printre altele, hiperbola (m = −2), parabola

(m = −12), cardiotida (m = 1

2), lemniscata lui Bernoulli (m = 2).4. Fie C o conica nedegenerata definita ca locul geometric al punctelor din plan cu proprietatea caraportul distantelor la un punct fix F (numit focar) si la o dreapta fixa d (numita directoare) este oconstanta e numita excentricitate. Alegem reperul ortonormat din plan cu j versorul lui d, i versorulperpendicularei din F pe d iar O piciorul perpendicularei din F pe d. Atunci, un calcul imediat daC : r := e

1−e cos θ cu e < 1 pentru elipsa, e = 1 pentru parabola si e > 1 pentru hiperbola. Pentrua obtine si a doua ramura a hiperbolei se ınlocuieste 1 de la numitor cu (−1). Aceasta ecuatie ıncoordonate polare a conicelor nedegenerate este foarte utila ın mecanica cereasca. Se dovedeste astfelca planetele descriu o traiectorie eliptica cu Soarele ın unul din focare. Oare cine este al doilea focar?2

Ecuatiile (1.2) determina functia F : (0,+∞)× (−π, π]→ R2 \ (0, 0):

F (r, θ) := (r cos θ, r sin θ). (1.6)

Restrictia lui F la multimea deschisa (0,+∞) × (−π, π) este inversabila si din (1.3) avem inversaF−1 : R2 \ (0, 0) → (0,+∞)× (−π, π) data de:

F−1(x, y) :=(√

x2 + y2, arctgy

x

). (1.7)

Aceasta inversabilitate a lui F se poate studia si utilizand calculul diferential si Teorema de inversarelocala. Amintim mai ıntai:

Definitia 2 Fie U si W deschisi ın Rn si F : U → W o bijectie. Spunem ca F este difeomorfismdaca F si F−1 sunt netede i.e. diferentiabile de clasa C∞.

Teorema de inversare locala Fie V deschis ın Rn, F : V → Rn neteda si x0 ∈ V . Dacaaplicatia liniara tangenta=diferentiala DF (x0) : Rn → Rn este izomorfism liniar atunci exista Udeschis ın V cu x0 ∈ U asa ıncat F (U) este deschis ın Rn si F |U : U → F (U) este difeomorfism.

Practic, matricea transformarii liniare DF (x0) ın raport cu baza canonica a lui Rn este exactmatricea Jacobiana:

JacF (x0) :=

(∂F i

∂xj

)(x0) ∈Mn(R) (1.8)

si deci DF (x0) este izomorfism liniar daca si numai daca JacF (x0) ∈ GL(n,R)=n-grupul liniargeneral real=grupul n-matricilor inversabile.

Pentru F data de (1.6) avem evident ca functile sale componente (F 1, F 2) sunt netede si:

JacF (r, θ) =

(F 1r F 1

θ

F 2r F 2

θ

)=

(cos θ −r sin θsin θ r cos θ

). (1.9)

Determinantul acestei matrici este:

|JacF (r, θ)| = r > 0 (1.10)

Cursul 1 3

si reobtinem ca F este difeomorfism pe deschisul maximal (0,+∞)× (−π, π).

In coordonate polare metrica euclidiana a planului, ge = dx2 + dy2, devine:

ge = [d(r cos θ)]2 + [d(r sin θ)]2 = (dr cos θ− r sin θdθ)2 + (dr sin θ+ r cos θdθ)2 = dr2 + r2dθ2. (1.11)

O metrica de forma:g = dr2 + f2(r)dθ2 (1.12)

se numesc metrica warped plana; functia f : R∗+ → R∗+ trebuie sa fie de clasa C∞. Prin urmare,metrica euclidiana este un exemplu de metrica warped plana. Cu r = constant = 1 obtinem pecercul unitate S1 metrica unghiulara sau sferica: ds1 = dθ. Spre exemplu, distanta unghiulara dintre

punctele 1 = M1(1, 0) ∈ Ox si i = M2(0, 1) ∈ Oy este, asa cum era de asteptat, ds(1, i) =∫ π

2θ=0 dθ = π

2deoarece ın cordonate polare avem M1(1, 0),M2(1, π2 ) ∈ S1. Tot din distanta unghiulara reobtinemsi lungimea cercului de raza R: L(C(O,R)) =

∫ πθ=−π Rdθ = 2πR.

Mai general, fie Sn sfera unitate din Rn+1 si ds2n metrica sa Riemann indusa din metrica Euclidiana

gcan = ge a lui Rn+1. O metrica Riemann ın dimensiunea (n+ 1) de forma:

g = dr2 + f2(r)ds2n (1.13)

cu f : (0, T )→ (0,+∞) de clasa C∞ o numim metrica warped (generala); deci g este metrica Riemannpe varietatea diferentiala Mn+1 = (0, T )× Sn. Spre exemplu, chiar metrica sferei Sn+1 este:

ds2n+1 = dr2 + sin2 rds2

n (1.14)

cu T = π. Putem vizualiza pentru S2 acest fapt astfel: intersectam S2 cu planul vertical x = 0 si luamın considerare semicercul inferior al cercului de sectiune. Capatului din stanga al acestui semicerc,care este punctul (0,−1, 0 ıi asociem r = 0 iar capatului din dreapta al acestui semicerc, care estepunctul (0, 1, 0) ıi asociem r = π. Pe fiecare punct al acestui semicerc construim pe verticala cerculde raza sin r. La mijlocul acestui semicerc, care este punctul (0, 0,−1) avem r = π

2 si pe verticalaavem cercul de raza sin π

2 = 1 adica exact S1. Aceasta parcurgere a semicercului indicatsi plasare peverticala de cercuri produce exact sfera S2 cu metrica warped ds2 = dr2 + sin2 rds2

1 = dr2 + sin2 rdθ2!(A se vedea desenul de la finalul acestui Curs!)

Revenind la cazul plan de mai sus avem descompunerea data de coordonatele polare R2\(0, 0) =(0, T =∞)× S1 iar produsul este exact conul circular drept avand pe C(O, r) ca cerc de sectiune lanivelul r ∈ (0,+∞) si generatoarea=semidreapta reala strict pozitiva. Acest con are scos varful O!

Subiecte Gradul II, 2016, Iasi

1. Elaborati un proiect didactic pentru lectia de predare ”Ecuatii ale dreptei ın plan”, (clasa aX-a, geometrie), prezentand:-Ecuatia determinata de un punct si panta (punct si directie), ecuatia determinata de doua puncte,ecuatiile parametrice, ecuatia generala (cu justificarea lor).-Rezolvati si comentati din punct de vedere metodic exercitiul:

Sa se determine multimea punctelor M din plan cu proprietatea ca exista t ∈ R a. ı.−−→OM =

(4− t)i+ (3t− 2)j unde O, i, j este un reper cartezian.

2. Exemplificati fundamentarea cunostintelor de divizibilitate prin rezolvarea urmatorului exercitiu:Daca n ∈ N atunci 3n2 − 1 nu se divide nici cu 3, nici cu 5 si nici cu 7.

3. Se considera functia: f : (0,∞)→ R, f(x) = lnx+ 2(x−1)x+1 .

a) Sa se traseze graficul si sa se determine punctele de pe grafic ın care tagenta este paralela cu

4 M. Crasmareanu

dreapta 9y = 2x.b) Elaborati un barem de notare pentru punctul a).

Solutii

1. Multtimea ceruta este dreapta d : r(t) = (4 − t, 3t − 2) ce trece prin punctul M0(4,−2) si arevectorul director a = (−1, 3) 6= 0.

3. Derivata este: f ′(x) = 1x −

4(x+1)2

care o egala cu 29 . Obtinem ecuatia de gradul 3:

g(x) = 2x3 − 5x2 + 20x− 9 = 0

pentru care cautam solutii ın intervalul (0, 92) datorita inegalitatii:

1

x− 2

9=

9− 2x

9x=

4

(x+ 1)2> 0.

Prin ıncercari avem ca volorile ıntregi 1, 2, 3 si 4 nu sunt soltii, deci cautam solutii rationale mn cu n

divizor al lui 2. Obtinem ca x0 = 12 este soltie. Derivata functiei g este:

g′(x) = 2(3x2 − 5x+ 10)

cu discriminantul ∆ = 25−4 ·30 < 0. Deci g are semn constant egal cu cel al coeficientului dominanti.e. g′ > 0 deci g este functie strict crescatoare. Prin urmare, punctul cerut este unic M0(1

2 ,− ln 2+ 23).

SEMINARUL 1: Punct. Dreapta. Plan. Pozitii relative

Stefan Smarandache, Camelia Diaconu, Liliana Diaconu, Matematica pentru clasa a VI-a, Ed.Sigma, Bucuresti, 2008.

S1.1 (problema 27, p. 75) Fie M,N ∈ (AB) a. ı. 3[AM ] = 2[MB], 2[AN ] = 3[NB] si [MN ] =6 cm. Aflati lungimile: [AM ], [NB] si [AB].

Rezolvare [AM ] = [NB] = 12 cm, [AB] = 30 cm.

S1.2 (problema 26, p. 75). Fie A si B cu [AB] = 8 cm si M,N ∈ (AB) a. ı. [AM ][AB] = 1

8 si[NB][AB] = 3

8 . Se cer lungimile: [AM ], [MB], [AN ]; [NB], [MN ].

Rezolvare [AM ] = 1 cm, [MB] = 7 cm, [AN ] = 5 cm, [NB] = 3 cm, [MN ] = 4 cm.

S1.3 (problema 25, p. 75) Fie A, B, C puncte coliniare ın aceasta ordine a. ı. [AB] = 4 cm si[AC] = 12 cm. Fie M , N , P mijloacele segmentelor [AB], [BC] si [CA]. Aratati ca [MN ] si [BP ] auacealasi mijloc.

Rezolvare vezi problema urmatoare.

S1.4 (problema 24, p. 75) Fie A, B, C si D puncte coliniare ın aceasta ordine. Aratati ca: i) daca[AB] ≡ [CD] atunci [AD] si [BC] au acelasi mijloc; ii) daca [AD] si [BC] au acelasi mijloc atunci[AC] ≡ [BD] (la solutii apare [AB] ≡ [CD]).

Rezolvare i) Fie M mijlocul lui [BC] i.e. [BM ] ≡ [MC]. Din ipoteza [AB] ≡ [CD] rezulta[AM ] ≡ [MD] ceea ce voiam; ii) Fie N mijlocul comun lui [BC] si [AD]. Deci [BM ] ≡ [MC] si[AM ] ≡ [MD]. Rezulta [[AB] ≡ [CD]].

S1.5 (problema 23, p. 75) Fie A, B, C si D puncte coliniare ın aceasta ordine si M ∈ (BC) a. ı.[AB] = 3 cm, [AC] = 5 cm, [BD] = 5 cm si [AM ] = 4 cm. Aratati ca: i) [AB] ≡ [CD]; ii) [AD] si[BC] au acelasi mijloc, anume M .

Cursul 1 5

Rezolvare i) [AB] = [CD] = 3 cm; ii) [AM ] = [MD] = 4 cm, [BM ] ≡ [MC] = 1 cm.

S1.6 (problema 22, p. 75) Fie A, B, C, D, E, F , G puncte coliniare ın aceasta oridine a. ı. B,C, E, F sunt mijloacele lui [AC], [BD], [DF ] si respectiv [EG] iar [CD] > [DE]. Daca [AG] = 18 cmatunci aflati [CE] si [BF ].

Rezolvare [AB] ≡ [BC] ≡ [CD] si [DE] ≡ [EF ] ≡ [FG] implica [CE] = 12 [AG] = 6 cm si

[BF ] = 2[CE] = 12 cm.

S1.7 (problema 21, p. 75) Fie C ∈ (AB) cu [AC] < [CB], D ∈ AB a. ı. A este mijlocul lui [CD]si E ∈ AB a. ı. B este mijlocul lui [CE]. Aratati ca: i) [CD] < [AB]; ii [DE] = 2[AB].

Rezolvare i) [AC] < [CB] implica [AC] + [AC] < [AC] + [CB] deci [CD] < [AB]. ii) [DE] =[DC] + [CE] = 2[AC] + 2[CB] = 2([AC] + [CB]) = 2[AB].

S1.8 (problema 20, p. 75) Fie M mijlocul lui [AB] si C ∈ (AM) oarecare. Fie D ∈ (AB) a. ı.[CD] ≡ [CA]. Aratati ca [BD] = 2[CM ].

Rezolvare Cazul 1: D ∈ (AM): avem [BD] = [BM ] + [MD] = [BM ] + [MA] − [AD] =2[AM ]− 2[AC] = 2([AM ]− [AC]) = 2[CM ]. Cazul 2: D ∈ (MB) analog.

S1.9 (problema 19, p. 75) Fie M mijlocul lui [AB] si P ∈ AB a. ı. P /∈ (AB). Aratati ca[PM ] = 1

2([PA] + [PB]).

Rezolvare Cazul 1: P ∈ (AB: avem [PM ] = [PB]+[BM ] = [PB]+ 12 [AB] = 1

2([AB]+2[PB]) =12(([AB] + [BP ]) + [PB]) = 1

2([PA] + [PB]). Cazul 2: D ∈ (MB) analog.

S1.10 (problema 18, p. 75) Fie A, B, C coliniare ın aceasta ordine si M , N , P mijloacele lui[AB], [BC], [CA]. Aratati ca: i) [NP ] = 1

2 [AB]; ii) [MP ] = 12 [BC]; iii) [MN ] = 1

2 [AC].

Rezolvare i) [NP ] = [PC]− [NC] = 12([AC]− [BC]) = 1

2 [AB]. ii) si iii) analog.

- - - - - - - - - - - - - - - - - -Tema individuala !Stefan Smarandache, Camelia Diaconu, Liliana Diaconu, Matematica pentru clasa a VI-a, Ed.

Sigma, Bucuresti, 2008.

T1.1 (problema 10, p. 78) Fie punctele coliniare A−B − C si M , N , P mijloacele segementelor[AB], [BC] respectiv [CA]. Sa se arate ca:

[MN ]

[CA]+

[NP ]

[AB]+

[PM ]

[BC]=

3

2.

T1.2 (problema 11, p. 78) Fie punctele A, B, C a. ı. [AB] = 1, 4 dm, BC = 6 cm si [AC] =80 mm. i) Propozitia ”Punctele date sunt coliniare” este adevarata sau falsa? De ce? ii) Se ceredistanta dintre mijlocul lui [AB] si mijlocul lui [BC].

T1.3 (problema 12, p. 78) Fie M0,M1, ...,M2004 puncte situate, ın aceasta ordine, pe dreapta dsi M mijlocul segmentului [M0M2004]. Stiind ca [M0M1] = 1 cm, [M1M2] = 2 cm, ..., [M2003M2004] =2004 cm se cere lungimile [M0M ] si [M300M400].

T1.4 (problema 9, p. 77) Punctul M1 este mijlocul segmentului [AB], punctul M2 este mijlocullui [AM1], M3 este mijlocul lui [AM2], etc. Daca [AB] = 2101 · 5 cm atunci aflati [AM100].

T1.5 (problema 8, p. 77) Daca A, B, C sunt puncte coliniare atunci aflati valoarea produsului:

P = ([AB] + [BC]− [AC])([AB] + [AC]− [BC])([AC] + [BC]− [AB]).

6 M. Crasmareanu

T1.6 (problema 7, p. 77) Fie A, B, M , N puncte coliniare cu [MA][MB] = [NA]

[NB] . Punctele M si Ncoincid sau nu? De ce?

T1.7 (problema 6, p. 77) Fie punctele distincte pe segmentul (AB) a. ı. [AM ] · [AN ] = [BM ] ·[BN ]. Se cere numarul:

r =[AM ]

[NB]+

[AN ]

[MB].

T1.8 (problema 3, p. 77) Se cere numarul dreptelor determinate de varfurile unui cub.

T1.9 (problema 4, p. 76) Se cere maxim de drepte trecand prin cel putin doua dintre puncteleA1, A2, ..., A10 distincte doua cate doua.

T1.10 (problema 9, p. 76) Se dau punctele coliniare A − B − C − D a. ı. segmentele [AD] si

[BC] au acelasi mijloc. Se cere numarul r = [AB][CD] .

Fig. 1

Cursul 2

Geometria complexa a planului

In cursul precedent am vazut ca dat un reper ortonormat R ın planul (afin) π acesta asociaza bijectivoricarui punct M ∈ π perechea coordonatelor sale carteziene (xM , yM ). Acest fapt sugereaza utilizareanumerelor complexe ın geometria plana.

Reamintim ca pana la un izomorfism liniar exista 3 algebre reale 2-dimensionale: C = R[X]/(x2 +1), A = R[X]/(x2−1), D = R[X]/(x2). Teoria primei algebre este cea mai bogata, fapt ce corespundeproprietatii lui C de a fi corp comutativ relativ la ınmultirea interna. Orice numar complex z aredescompunerea unica, numita expresia algebrica:

z = x+ iy = <z + i=z (2.1)

unde x = <z este partea reala a lui z iar y = =z este partea imaginara a lui z. Lui z ∈ C ıi asociemconjugatul z ∈ C:

z := x− iy (2.2)

si modulul |z| ∈ R+ = [0,+∞):|z|2 := zz = x2 + y2. (2.3)

Singurul numar complex de modul nul este 0.In planul (afin) π fixam reperul ortonormat R = O; i, j. Prin urmare, folosind ideile/notatiile

din cursul precedent avem aplicatia:

IdenR : π → C, M → zM := xM + iyM (2.4)

care este evident o bijectie. Prin urmare, un reper ortonormat induce o ”identificare” Ident• aplanului cu multimea C. Numarul complex zM ıl numim afixul punctului M ∈ π iar modulul sau esteexact raza polara a lui M :

|zM | = rM (2.5)

si atunci distanta euclidiana dintre punctele M1(z1), M2(z2) este:

de(M1,M2) := |z2 − z1|. (2.6)

Avem urmatoarea compunere de bijectii:

C \ 0 → π \ O ≡R R2 \ (0, 0) → (0,+∞)× (−π, π), z →M(x, y)→ (r, θ) (2.7)

ceea ce spune ca orice numar complex nenul are, pe langa expresia algebrica, si o expresie trigono-metrica:

z = r(cos θ + i sin θ). (2.8)

7

8 M. Crasmareanu

Unghiul θ ∈ (−π, π) se numeste argumentul redus al lui z. Obtinem astfel o serie de aplicatii aletrigonometriei ın algebra complexa:

z1z2 = r1r2[cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)], zn = rn[cos(nθ) + i sin(nθ)], (2.9)

(cos t+ i sin t)n = cos(nt) + i sin(nt),z1

z2=r1

r2[cos(θ1 − θ2) + i sin(θ1 − θ2)]. (2.10)

z = r(cos t+i sin t)&n ∈ N∗ → n−roots : Zk = n√r

[cos

(t+ 2kπ

n

)+ i sin

(t+ 2kπ

n

)], k ∈ 0, ..., n−1.

(2.11)

Aplicatia 2.1 Raportul ın care un punct ımparte un segmentFie punctele distincte A si B ın π si scalarul λ ∈ R \ −1. Spunem ca punctul M coliniar cu A

si B ımparte segmentul [AB] ın raportul λ daca:

−−→AM = λ

−−→MB. (2.12)

Atentie:i) unii autori scriu relatia precedenta doar scalar dar ea trebuie scrisa vectorial,

ii) valoarea λ = −1 este exclusa pentru ca ar implica−−→AB = 0 fals deoarece punctele sunt distince.

Relatia (2.12) se exprima:

rM − rA = λ(rB − rM ) (2.13)

ceea ce da vectorul de pozitie a lui M :

rM =1

1 + λrA +

λ

1 + λrB (2.14)

Analog, ın numere complexe:

zM =1

1 + λzA +

λ

1 + λzB. (2.15)

In particular, M este mijlocul lui [AB] daca λ = 1:

zM =1

2(zA + zB). (2.16)

2

Aplicatia 2.2 Pentru n ≥ 3 radacinile de ordinul n ale unitatii:

zk = cos2kπ

n+ i sin

2kπ

n, 0 ≤ k ≤ n− 1 (2.16)

sunt afixele varfurilor unui poligon regulat Pn cu n varfuri ınscris ın cercul unitate S1. Lungimealaturii lui Pn este:

ln = 2 sinπ

n. (2.17)

Spre exemplu, pentru n = 4 obtinem l4 =√

2 ın acord cu faptul ca radacinile de ordinul 4 sunt±1,±i si

√2 este ipotenuza triunghiului dreptunghic isoscel de cateta 1.

Pentru orice n ≥ 3 unul din varfuri este chiar z0 = 1 iar daca n este par avem pe axa reala sivarful zn

2= −1. Deoarece ecuatia lui S1 este zz = 1 avem ca z = 1

z si deci axa reala este axa desimetrie pentru Pn: z ∈ Pn implica z ∈ Pn. 2

Cursul 2 9

Subiecte Gradul II, 2015, Iasi

1. Elaborati un proiect didactic pentru lectia de predare ”Paralelogramul” (clasa a VII-a), avandu-se ın vedere urmatoarele: definitie, enunt si demonstratie pentru cel putin doua caracterizari aleparalelogramului.Utilizati notiunile folosite pentru a demonstra teorema liniei mijlocii ıntr-un triunghi.

2. Exemplificati fundamentarea noilor cunstinte de la lectia ”Inductia matematica” prin rezolvareaurmatorului exercitiu:Demonstrati inegalitatea: 1

n+1 + ...+ 13n+1 > 1, ∀n ∈ N∗.

3. La clasa a XI-a pentru evaluarea finala, elevii primesc urmatoarea problema: Fie functiaf : R→ R, f(x) = x√

1+x2.

a) Sa se studieze monotonia lui f si sa se determine marginea inferioara si cea superioara pentruf(x);x ∈ R.b) Se considera sirul (an)n∈N definit astfel: a0 = a ∈ R, an+1 = anf(an), ∀n ∈ N. Sa se studiezeconvergenta.Elaborati un barem de notare rezolvand complet problema anterioara.

SEMINARUL 2: Unghiuri


S2.1 (problema 4, p. 87) Aflati masurile a doua unghiuri opuse la varf ce sunt: i) complementare;ii) suplementare.

Rezolvare i) 45; ii) 90.

S2.2 (problema 3, p. 87) Aratati ca bisectoarele a doua unghiuri opuse la varf sunt semidrepteopuse.

Rezolvare .

S2.3 (problema 2, p. 87) Fie ]AOB si ]COD opuse la varf si (OE, (OF bisectoarele lor. Dacam(]COD) = 80 aflati m(]EOF ).

Rezolvare 180.

S2.4 (problema 1, p. 87) Fie ]AOB si ]COD opuse la varf. Aflati masura celorlalte trei unghiuridaca: i) m(]AOB) = 45; ii) m(]AOB) = 90; iii) m(]AOB) = 114.

Rezolvare i) 35, 145, 145; ii) 90; iii) 114, 66, 66.

S2.5 (problema 16, p. 86) Unghiurile ]AOB si ]AOC sunt suplementare si neadiacente. Aflatiunghiul format de bisectoarele lor daca m(]AOB) = 150.

Rezolvare 60.

S2.6 (problema 15, p. 86) Unghiurile ]AOB si ]AOC sunt complementare si neadiacente. Aflatiunghiul format de bisectoarele lor daca m(]AOB) = 40.

Rezolvare 5.

S2.7 (problema 14, p. 86) Se cere masura unui unghi ϕ stiind ca msura complementului sau este514 din masura suplementului sau.

Rezolvare 40.

10 M. Crasmareanu

S2.8 (problema 13, p. 86) Aflati unghiul ϕ ce este: i) 13 din suplementul sau; ii) 80% din

suplementul sau; iii) 14 din complentul sau; iv) 50% din complementul sau.

Rezolvare i) 45; ii) 80; iii) 18; iv) 30.

S2.9 (problema 12, p. 86) Aflati masura a doua unghiuri α si β: i) suplementare stiind caβ − α = 24; ii) complementare stiind ca β − α = 8.

Rezolvare i) 72 si 102; ii) 41 si 49.

S2.10 (problema 9, p. 85) Unghiurile ]AOB si ]BOC sunt adiacente complementare cum(]BOC) =36. Aflati: i) m(]AOB); ii) masura unghiului format de bisectoarele lor.

Rezolvare i) 54; ii) 45.



T2.1 (problema 12, p. 91) Fie (OX1 bisectoarea unghiului ]AOB, (OX2 bisectoarea unghiului]AOX1, (OX3 bisectoarea unghiului ]AOX2, etc. Stiind ca m(]AOB) = 160 aflati: i) m(]AOX5);ii) ](X1OX3).

T2.2 (problema 11, p. 91) Fie (OX, (OY si (OZ bisectoarele unghiurilor ]AOB, ]BOC respeciv]COA. Aratati ca:

m(]XOY )

m(]COA)+m(]XOZ)

m(]BOC)+m((]Y OZ)

m(]AOB)=

3

2.

T2.3 (problema 10, p. 91) Aflati masura unghiului format de bisectoarele a doua dintre unghiurileformate de intersectia a doua drepte concurente.

T2.4 (problema 11, p. 91) Daca m(]AOB) = 60 si m(]BOC) = 80 aflati: i) m(]AOC); ii)masura unghiului format de bisectoarele celor doua unghiuri.

T2.5 (problema 10, p. 90) Bisectoarele a doua unghiuri adiacente formeaza un unghi de 70.Aflati masura celor doua unghiuri stiind ca unul este un sfert din celalalt.

T2.6 (problema 6, p. 89) Fie unghiurile ]AOB, ]BOC si ]COA ın jurul punctului O. Aflatimasura acestor unghiuri stiind ca: i) 1

2m(]AOB) = 13m(]BOC) = 1

5m(]COA); ii) 4m(]AOB) =3m(]BOC) = 6m(]COA).

T2.7 (problema 5, p. 89) a) Se dau 5 unghiuri ın jurul unui punct avand masurile 5 numerenaturale consecutive. Se cer aceste masuri. b) Se dau 3 unghiuri ın jurul unui punct avand masurilenumere naturale pare consecutive. Se cer aceste masuri.

T2.8 (problema 4, p. 88) Fie ]AOB si ]BOC adiacente complementare cu m(]AOB) = 50,(OD si (OE semidrepte opuse semidreptelor (OA respectiv (OB iar (OF si (OG bisectoarele unghi-urilor COD respectiv AOE. Se cere m(]FOG).

T2.9 (problema 3, p. 88) In jurul punctului O se dau unghiurile ]AOB, ]BOC, ]COD, ]DOEsi ]EOA de masuri: x, 5x − 10, 2x + 30, 6x respectiv 3x. i) Aflati masurile lor. ii) Aratatica punctele A, O, D sunt coliniare. iii) Aflati masura unghiului format de bisectoarele unghiurilor]AOE si ]DOE.

T2.10 (problema 6, p. 87) Fie punctele coliniare A−O −B si punctele C, D situate de o partesi de alta a dreptei AB. Daca bisectoarele (OE si (OF a unghiurilor ]BOC si respectiv ]AOD suntsemidrepte opuse atunci punctele C, O, D sunt coliniare.

Cursul 3

Functii olomorfe ın plan. EcuatiiCauchy-Riemann

Fixam deschisul Ω ⊆ C si functia F : Ω → C. Aceasta aplicatie poate fi privita ın doua moduri:F = F (x, y) si F = F (z, z). Studiul diferentiabilitatii pentru primul mod este cunoscut si se realizeazaprin intermediul derivatelor partiale Fx, Fy si am prezentat ın primul curs aceasta abordare prinintermediul matricii Jacobiene. Dorim o abordare analoaga pentru al doilea mod de considerare alfunctiilor complexe de variabila complexa. In acest scop introducem:

Definitia 3.1 i) F este C1 pe Ω daca ın prima interpretare F = F (x, y) avem ca exista derivatelepatiale ∂F

∂x := Fx, ∂F∂y := Fy si acestea sunt continue: Fx, Fy ∈ C0(Ω ⊆ R2).

ii) F se numeste analitica pe Ω daca pentru orice p ∈ Ω exista un disc D centrat ın p si inclus ın Ωa. ı. F |D se dezvolta ın serii de puteri:

F (z, z) =∑n≥0

an(z − p)n, z ∈ D. (3.1)

iii) Daca F este C1 pe Ω atunci diferentiala sa este 1-forma diferentiala:

dF = Fxdx+ Fydy = Fzdz + Fzdz, dz = dx+ idy, dz = dz − idy. (3.2)

Un calcul imediat da derivatele complexe:

∂

∂z:=

1

2

(∂

∂x− i ∂

∂y

),

∂

∂z:=

1

2

(∂

∂x+ i

∂

∂y

)(3.3)

cu inversele:∂

∂x=

∂

∂z+

∂

∂z,

∂

∂y= i

(∂

∂z− ∂

∂z

). (3.4)

iv) F se numeste olomorfa pe Ω daca este C1 si independenta de z: Fz = 0.v) Operatorul Cauchy-Riemann pe functii C1 este: ∂F := Fzdz. Operatorul Cauchy-Riemann pe1-forme diferentiale este:

∂ω = ∂(Adz +Bdz) := Azdz ∧ dz. (3.5)

Pentru F ∈ C2 putem introduce un operator ∂ a.ı:

∂∂F := Fzzdz ∧ dz. (3.6)

11

12 M. Crasmareanu

In coordonatele reale (x, y) obtinem operatorul Laplace pe functii:

4∂∂ = ∆ =∂2

∂x2+

∂2

∂y2. (3.7)

Rezultatul central al analizei complexe da urmatoarea echivalenta ıntre notiunile introduse anterior:

Teorema 3.2 Fie F : Ω→ C de clasa C1. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:1) F este analitica, 2) F este olomorfa,3) F apartine nucleului operatorului Cauchy-Riemann: ∂F = 0,4) diferentiala lui F este 1-forma: dF = Fzdz,5) F satisface ecuatia Cauchy-Riemann: Fx + iFy = 0.

Demonstratia acestui rezultat apartine Cursului de Analiza Complexa dar facem cateva observatiiasupra ecuatiei CR. Presupunem ca F are exprimarea complexa F = u+ iv = <F + i=F si atunci:

Fx + iFy = ux + ivx + i(uy + ivy) = (ux − vy) + i(uy + vx) (3.8)

si deci ecuatiile CR pentru u si v constituie sistemul:ux = vyuy = −vx

(3.9)

Putem exprima matriceal acest sistem CR:(vxvy

)=

(0 −11 0

)·(uxuy

)(3.10)

sau echivalent, prin intermediul gradientului celor doua functii:

∇v = J · ∇u (3.11)

unde J este matricea patratica din (3.10). Sa observam ca J este analogul matriceal al unitatiicomplexe i:

J2 = −I2 (3.12)

ceea ce se numeste structura aproape complexa. Acest fapt sugereaza urmatoarea notiune:

Definitia 3.3 Matricea A ∈M2(R) o numim Cauchy-Riemann daca are expresia:

A := A(a, b) =

(a −bb a

). (3.12)

Fie CR−M2(R) multimea acestor matrici.

Propozitia 3.4 i) CR − M2(R) cu operatiile matriceale uzuale formeaza o algebra reala 2-dimensionala izomorfa cu C via aplicatia: A(a, b)↔ z = a+ ib.ii) CR −M2(R) este centralizatorul matricii J ın M2(R) i.e. spatiul vectorial al tuturor matricilordin M2(R) ce comuta cu J .iii) Intersectia dintre CR −M2(R) si 2-grupul liniar special SL(2,R) este exact 2-grupul ortogonalspecial SO(2).

Demonstratie ii) Prin calcul direct:(a −bb a

)·(

0 −11 0

)=

(0 −11 0

)·(a −bb a

)=

(−b −aa −b

). (3.13)

Cursul 3 13

iii) Determinantul matricii A(a, b) este a2 + b2 si acesta este egal cu +1 daca si numai daca existat ∈ R asa ıncat:

a = cos t, b = sin t→ A = A(t) =

(cos t − sin tsin t cos t

)∈ SO(2). (3.14)

2

Fie z, w ∈ C cu expresia: z = x1 + ix2, w = y1 + iy2. Se verifica imediat identitatile:

h(z, w) := z · w =< z,w >e +iωe(z, w), ωe(z, w) :=< z, i · w >e, (3.15)

cu < ·, · >e produsul scalar euclidian din R2:

< z,w >e= x1y1 + x2y2. (3.16)

h defineste un produs scalar complex sau forma hermitiana pe C iar ωe este 2-forma (diferentiala)fundmentala asociata metricii hermitiene (chiar Kahler) ge =< ·, · >e:

ωe(z, w) = x2y1 − x1y2 = −ωe(w, z). (3.17)

Matriceal, identitatea (3.15) se scrie cu vectorii z, w ∈ R2 ca matrici coloana (cu 2 linii date decoordonate):

h(z, w) = zt · I2 · w + i(zt · J · w) (3.18)

unde t ınseamna transpusa. Avem si:

h(z, z) = |z|2 = ‖z‖2e = (x1)2 + (x2)2, ωe(z, z) = 0. (3.19)

Pentru n ∈ N∗ putem generaliza la Cn. Daca: z = (z1, ..., zn) si w = (w1, ..., wn) atunci definim:

h(z, w) = hijziwj , hij = hji ↔ h(w, z) = h(z, w). (3.20)

Subiecte Gradul II, 2014, Iasi, Varianta 1

1. Elaborati un proiect didactic pentru lectia de predare ”Conditii de paralelism si conditii deperpendicularitate a doua drepte ın plan” (clasa a X-a). Justificati formulele de caracterizare, iar caaplicatie rezolvati urmatorul:Exercitiu. Fie familia de drepte: dλ : 2x− y − 6 + λ(x− y − 4) = 0, λ ∈ R.(i) Sa se determine λ astfel ıncat dreapta dλ sa fie paralela cu dreapta d : 3x+ 2y − 6 = 0.(ii) Sa se determine λ astfel ıncat dreapta dλ sa fie perpendiculara pe dreapta d.

2. Exemplificati fundamentarea cunostintelor privind continuitatea si derivabilitatea functiilor,reprezentand grafic functia: f : R→ R,

f(x) =

x−√x2 − 1, x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,+∞)

x3, x ∈ [−1, 1].

3. Pentru evaluarea finala a cunostintelor de algebra, elevii primesc urmatoarele subiecte:(i) Enuntati si demonstrati teorema lui Bezout privind restul ımpartirii unui polinom la X − a.(ii) Sa se determine polinomul f de gradul 2 care ımpartit la X − 1 da restul 6, ımpartit la X darestul 3 si ımpartit la X + 1 da restul 2.Elaborati un barem de notare rezolvand complet subiectele.

14 M. Crasmareanu

Solutii

1. (i) Scriem dλ ın forma canonica: dλ : (λ+ 2)x+ (−λ− 1)y − 6− 4λ = 0. Avem dλ ‖ d daca sinumai daca avem proportionalitatea coeficientilor lui x si y:

λ+ 2

3=−λ− 1

2

cu solutia unica λ = −75 .

(ii) dλ⊥d daca si numai daca directiile celor doua drepte sunt ortogonale i.e. < (λ+2,−λ−1), (3, 2) >=0 ceea ce da solutia unica λ = −4.

3. (ii) Consideram f(x) = ax2 + bx + c si avem ipoteza: f(1) = 6, f(0) = 3, f(−1) = 2 de underezulta imediat: c = 3, b = 2 si a = 1.

SEMINARUL 3: Metoda triunghiurilor congruente

Figure 3.1: Triunghiuri congruente


S3.1 (problema 6, p. 97) Avem ∆ABC si ∆DBC isoscel cu baza comuna si [AB] ≡ [BD]. Aratatica ∆ABC ≡ ∆DBC si scrieti perechile de unghiuri congruente corespondente.

Rezolvare LLL.

Cursul 3 15

S3.2 (problema 5, p. 97) Fie (Oz bisectoarea lui ]xOy si M ∈ (Ox, N ∈ (Oy, P ∈ (Oza. ı. ]MPO ≡ ]NOP . Aratati ca ∆MOP ≡ ∆NOP si scrieti celelalte elemente congruentecorespondente.

Rezolvare ULU.

S3.3 (problema 4, p. 96) Pe laturile lui ]xOy se considera punctele: B,C ∈ (Ox, D,E ∈ (Oy a.ı. [OD] ≡ [OB] si [OE] ≡ [OC]. Aratati ca ∆ODC ≡ ∆OBE si scrieti celalalte elemente congruentecorespondente.

Rezolvare LUL.

S3.4 (problema 4, p. 95) Fie (Oz bisectoarea lui ]xOy si punctele A ∈ (Ox, B ∈ (Oy si C ∈ (Oza. ı. ∆AOC ≡ ∆BOC. Stabiliti natura lui ∆AOB si ∆ABC.

Rezolvare ∆AOB si ∆ABC sunt isoscele.

S3.5 (problema 3, p. 95) Fie ∆ABC ≡ ∆PQR. Daca: i) [PR] = 3 cm, [QR] = 5 cm si[PQ] = 4, 5 cm aflati lungimile laturilor ın ∆ABC; ii) m(]C) = 50, m(]B) = 70 si m(]A) = 60

aflati unghiurile din ∆ABC.

Rezolvare i) [AC] = [PR] = 3 cm; [BC] = [QR] = 5 cm; [AB] = [PQ] = 4, 5 cm; ii) m(]C) =m(]R) = 50, m(]B) = m(]Q) = 70, m(]A) = m(]P ) = 60.

S3.6 (problema 2, p. 95) Aratati ca: i) daca ∆ABC ≡ ∆DEF si ∆ABC ≡ ∆MNP atunci∆DEF ≡ ∆MNP ; ii) daca ∆ABC ≡ ∆DEF si ∆ABC ≡ ∆DFE atunci ∆ABC este isoscel; iii)daca ∆ABC ≡ ∆DEF si ∆ABC ≡ ∆FDE atunci ∆ABC eset echilateral.

Rezolvare .

S3.7 (problema 7, p. 93) Fie ∆ABC si D ∈ (AB) a. ı. [CD] ≡ [AD]. Aflati [CD] stiind caperimetrele pentru ∆BDC si ∆ABC sunt 13 cm respectiv 21 cm.

Rezolvare 8 cm.

S3.8 (problema 6, p. 93) Fie ∆ABC si D ∈ (AC). Aflati [BD] stiind ca perimetrul lui ∆ABD,∆BDC si ∆ABC este 13 cm, 17 cm respectiv 18 cm.

Rezolvare 6 cm.

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Tema individuala !


T3.1 (problema 12, p. 102) Pe laturile congruente [AC] si [AB] din ∆ABC isoscel se considerapunctele M si N iar pe bisectoarea din A punctul P a. ı. ]NPB = ]MPC. Aratati ca [BN ] ≡ [CM ].

T3.2 (problema 11, p. 102) Laturile [AB], [AC] si [BC] din ∆ABC sunt direct proportionale cu0, (12), 0, (15) respectiv 0, (6) iar laturile [DE], [EF ] si [DF ] din ∆DEF sunt invers proportionalecu 1

5 , 122 respectiv 1

4 . Daca cele doua triunghiuri au perimetre egale atunci sunt congruente.

T3.3 (problema 10, p. 102) In ∆ABC isoscel cu [AB] ≡ [AC] fie M ∈ (AB) si N ∈ (AC) a. ı.[AM ]− [MB] = [AN ]− [NC]. Daca P = MC ∩NB atunci P este situat pe bisectoarea din A.

T3.4 (problema 12, p. 101) In ∆ABC fie E mijlocul lui [BC] si F ∈ (AE). Aratati ca: i) daca[BF ] ≡ [CF ] atunci [AB] ≡ [AC]. ii) Reciproc, daca [AB] ≡ [AC] atunci [BF ] ≡ [CF ].

16 M. Crasmareanu

T3.5 (problema 11, p. 101) Fie [AA′] bisectoare ın ∆ABC isoscel cu [AB] ≡ [AC]. Fie punctuloarecare P ∈ (AA′. Dreptele BP si CP intersecteaza laturile [AC] respectiv [AB] ın M respectiv N .Aratati ca [BN ] ≡ [CM ].

T3.6 (problema 10, p. 100) In ∆ABC isoscel cu [AB] ≡ [AC] fie punctele D ∈ (AC), E ∈ (AB),F ∈ (DB si G ∈ (EC a. ı. [AD] ≡ [AE], [BD] ≡ [FB] si [CE] ≡ [CG]. Aratati ca [BG] ≡ [CF ].

T3.7 (problema 16, p. 99) Fie ∆ABC oarecare cu [AB] < [AC] si D ∈ [AC] a. ı. [AD] ≡ [AB].Fie M mijlocul lui [BD]. Dreptele AM si BC se intersecteaza ın N . Aratati ca: i) ∆ABM ≡ ∆ADM ;ii) ∆BND este isoscel.

T3.8 (problema 15, p. 99) Fie ∆ABC isoscel cu baza [BC], E mijlocul lui [AB] si punctulF ∈ (CE a. ı. [AF ] ≡ [AC]. Fie M si N mijloacele segmentelor [AC] si [AF ]. Aratati ca: i)[BM ] ≡ [CE]; ii) [BN ] ≡ [FE], iii) [BM ] + [BN ] = [CF ].

T3.9 (problema 14, p. 99) In ∆ABC oarecare punctele M si N sunt mijloacele laturilor [AB]respectiv [AC] iar D si E sunt puncte ce apartin semidreptelor opuse lui (MC respectiv (NB a. ı.[MD] ≡ [MC] si [NE] ≡ [NB]. Aratati ca [AD] ≡ [AE].

T3.10 (problema 13, p. 99) Fie punctul C mijlocul segmentului [AB] si punctele D si E situatede o aprte si de alta a dreptei AB a. ı. 2[BD] ≡ [AB], [AE] ≡ [AB] si ]DBA ≡ ]EAB. Aratati ca[AD] ≡ [CE].

Fig 3.2

Cursul 4

Aplicatii ale algebrei complexe ınstudiul conicelor

Fixam polinomul P ∈ R[X,Y ] de forma:

P (X,Y ) :=

m∑a=0

n∑b=0

cabXaY b. (4.1)

Definitia 4.1 Spunem ca P are gradul k ∈ N si notam P ∈ Rk[X,Y ] daca a + b > k implicacab = 0 si exista macar o pereche (a, b) cu a+ b = k si cab 6= 0.

Sa consideram varianta complexa a lui P data prin intermediul lui z := X + iY . Din:

X =1

2(z + z), Y =

1

2i(z − z) (4.2)

obtinem:P (X,Y ) = F (z, z) =

∑a,b≥0

dabzazb, dab ∈ C. (4.3)

Observam ca valorile lui F sunt reale, fiind valorile lui P , si atunci relatia F = F se exprima la nivelde coeficienti prin ”simetria conjugata”:

dab = dba. (4.4)

Suntem astfel condusi la urmatoarea notiune:

Definitia 4.3 i) Polinomul F ∈ Ck[z, w] se numeste Hermitian daca:

F (z, w) = F (w, z). (4.5)

ii) Matricea D ∈ Mn(C) o numim Hermitiana daca: Dt = D i.e. elementele sale verifica (4.4). FieH(n) multimea lor. Consideratiile precedente conduc la:

Propozitia 4.4 Fie polinomul F (z, w) =∑dabz

awb. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:1) F este Hermitian, 2) Pentru orice z ∈ C avem ca F (z, z) ∈ R, 3) dab = dba.

In continuare, reamintim pe scurt elementele principale din teoria conicelor. Fixam puncteledistincte P,Q ∈ π cu afixele p, q ∈ C. Fie si constanta c ∈ (0,+∞) = R∗+.

Definitia 4.5 i) Elipsa E determinata de focarele P,Q si constanta c este multimea punctelorM(z) ∈ π a caror suma a distantelor la P si Q este c:

E : |z − p|+ |z − q| = c. (4.6)

17

18 M. Crasmareanu

ii) i) Hiperbola H determinata de focarele P,Q si constanta c este multimea punctelor M(z) ∈ π acaror diferenta absoluta a distantelor la P si Q este c:

H : |z − p| − |z − q| = ±c. (4.7)

iii) Cercul de centru P si raza c este multimea punctelor aflate la distanta c de P :

C(P, c) : |z − p| = c. (4.8)

Pentru definitia parabolei avem nevoie de un rezultat tehnic:

Propozitia 4.6 Fie dreapta d : z(t) = z0 + tv ∈ C, v 6= 0, si punctul M(z). Atunci distanta de laM la d este:

dist(M,d) =

∣∣∣∣1v=[(z − z0)v]

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣(z − z0)v − (z − z0)v

2v

∣∣∣∣∣ . (4.9)

Definitia 4.7 Fie punctul P (p) si dreapta d ce nu contine pe P . Parabola Pa cu focarul P sidirectoarea d este multimea punctelor din plan egal departate de P si d:

Pa : (=[(z − z0)v])2 = |v|2|z − p|2. (4.10)

Putem obtine elipsa, hiperbola si parabola de o maniera unitara folosind excentricitatea e ∈ R∗+:

Teorema 4.8([3, p. 55]) Fie polinomul de gradul 2:

Fe(z, z) := |z − p|2 − e2

∣∣∣∣∣(z − z0)v − (z − z0)v

2v

∣∣∣∣∣2

. (4.11)

Avem ca F este Hermitian si multimea sa de nivel zero este elipsa daca e ∈ (0, 1), parabola dacae = 1 si hiperbola daca e > 1.

Invariantii ortogonali ai unei conice Γ se exprima folosind scrierea reala: Γ = (x, y) ∈ R2 |f (x, y) = 0 cu f ∈ R[x, y] avand gradul 2:

f(x, y) := r11x2 + 2r12xy + r22y

2 + 2r10x+ 2r20y + r00, r211 + r2

12 + r222 6= 0. (4.12)

Acesti invarianti sunt:

∆ =

∣∣∣∣∣∣r11 r12 r10

r12 r22 r20

r10 r20 r00

∣∣∣∣∣∣ , D = δ+r11r00−r210 +r22r00−r2

20, I = r11 +r22, δ = r11r22−r212. (4.13)

Asa cum am procedat la ınceputul cursului complexificam ecuatia (4.12) si obtinem:

Γ : F (z, z) := Az2 +Bzz + Az2 + Cz + Cz + r00 = 0 (4.14)

cu:

A =r11 − r22

4− r12

2i ∈ C, 2B = r11 + r22 = I ∈ R, C = r10 − r20i ∈ C. (4.15)

Semnificatia algebrica a rotatiei utilizate pentru a elimina termenul mixt xy consta ın a reduce/rotiA pe dreapta reala iar translatia ce elimina termenul y are aceeasi semnificatie relativ la C. Relatiainversa dintre f si F este:

r11 = B + 2<A, r22 = B − 2<A, r12 = −2=A, r10 = <C, r20 = −=C (4.16)

Cursul 4 19

Invariantii lui Γ se exprima ın functie de A,B,C prin:

I = 2B, δ = B2 − 4|A|2, D = δ + 2r00I − |C|2 (4.17)

∆ = r00(B2 − 4|A|2)−B|C|2 + 2<C(<A<C + =A=C) + 2=C(<C=A−<A=C). (4.18)

Invariantii δ si sunt respectiv determinantul si urma unei matrici (reale) simetrice si al unei matrici(complexe) Hermitiene:

δ = detΓ = detΓc, Γ =

(r11 r12

r12 r22

), Γc =

(B 2A2A B

), I = TrΓ = TrΓc. (4.19)

Matricea Hermitiana Γc este de un tip special, elementele diagonalei principale fiind egale; decimultimea acestor matrici este un subspatiu 3-dimensional ın spatiul vectorial real 4-dimensional H(2)al matricilor complexe de ordinul 2 Hermitiene. Acest ultim spatiu vectorial real este subspatiu ınM2(C) care are dimensiunea reala 8.

Examplul 4.9 Cercul centrat ın origine de raza 1 ıl numim cercul unitate:

S1 : x2 + y2 = 1, zz = 1 (4.20)

deci avem A = 0, B = 1, C = 0, r00 = −1. Avem: Γ = Γc = I2. 2

Exemplul 4.10 Spatiul vectorial real 4-dimensional al matricilor complexe de ordinul 2 Hermi-tiene H(2) are baza:

I2, σ1 =

(0 11 0

), σ2 =

(0 −ii 0

), σ3 =

(1 00 −1

)(4.21)

cu σ1,2,3 numite matricile Pauli. Pentru:i) σ1 avem expresia patratica asociata fσ1(x, y) := 2xy deoarece r11 = r22 = 0 iar r12 = 1,ii) σ3 avem expresia patratica asociata fσ2(x, y) := x2 − y2 deoarece r11 = −r22 = 1 iar r12 = 0.

Descompunerea lui Γc ın baza lui H(2) este:

Γc = BI2 + (2<A)σ1 + (2=A)σ2, Γc ∈ H(2) ∩ σ3 = 0. (4.22)

Matricile I2, σ1, σ3 constituie o baza ın spatiul 3-dimensional Sym(2) al matricilor simetrice deordin 2 iar descompunerea lui Γ ın aceasta baza este:

Γ = BI2 + (−2=A)σ1 + (2<A)σ3. (4.23)

Din (4.22) si (4.23) avem ca rotatia ın plan ce anuleaza termenul mixt xy ınseamna aducerea lui Γc

ın subspatiul vectorial spanI2, σ1 si a lui Γ ın subspatiul vectorial spanI2, σ3.

Sa observam ca spatiul vectorial 4-dimensional M2(R) are baza I2, σ1, σ3, σ3σ1 cu:

σ3σ1 =

(0 1−1 0

). (4.24)

Prin urmare, spatiul 2-dimensional CR−M2(R) are baza I2, σ3σ1: A(a, b) = aI2 − b(σ3σ1). 2

Pentru n ∈ N∗ oarecare dimensiunea acestor spatii vectoriale de matrici este:

dimSym(n) =n(n+ 1)

2≤ dimH(n) = n2. (4.25)

20 M. Crasmareanu

Egalitatea are loc doar pentru n = 1 cand Sym(1) = H(1) = R.

Remarca 4.11 Reamintim ca centrul conicei Γ este dat de anularea gradientului lui f : fx = 0 =fy. Cu relatiile (3.4) din Cursul precedent rezulta ca sistemul ce da centrul lui Γ este: Fz +Fz = 0 =i(Fz − Fz) ceea ce ınseamna: Fz = 0 = Fz:

Bz + 2Az + C = 02Az +Bz + C = 0

(4.26)

adica matriceal:

Γc ·(zz

)= −

(CC

). (4.27)

2

Remarca 4.12 Sa presupunem r12 = 0. Atunci Γ si Γc sunt matrici reale (!), patratice de ordinul2, cu aceeasi urma si determinant. Rezulta ca sunt asemenea i.e. exista o matrice S ∈ GL(2,R) asaıncat:

SΓcS−1 = Γ (4.28)

ceea ce spune ca Γ (avand diagonala secundara nula) este forma diagonala a lui Γc. Un calcul imediatda:

S =1√2

(1 1−1 1

)= S(−π

4) (4.29)

unde S(ϕ) este matricea A(ϕ) din relatia (3.14) i.e. matricea rotatiei trigonometrice de unghi ϕ.

In fapt, asemarea matricilor Γ, Γc are loc si ın cazul general r12 6= 0 dar cu S ∈ GL(2,C). Cubaza Pauli (4.21) relatia de asemanare (4.28) se scrie:

BI2 + (−2=A)σ1 + (2<A)σ3 = S[BI2 + (2<A)σ1 + (2=A)σ2]S−1, (4.30)

si vom cauta o matrice S universala i.e. c realizeaza asemanarea pentru orice pereche (Γ,Γc), decigrupand dupa (<A,=A) avem:

σ3S = Sσ1, −σ1S = Sσ2. (4.31)

Cautand S de forma:

S =

(a cb d

)avem ca prima ecuatie (4.31) da: c = a si d = −b i.e.:

S =

(a ab −b

). (4.32)

A doua ecuatie (4.31) da b = −ai deci:

S = Sa = a

(1 1−i i

)(4.33)

si pentru a fi ın acord cu (4.29) luam a = 1√2:

S − 1√2

=1√2

(1 1−i i

). (4.34)

Cursul 4 21

Aceasta matrice S satisface:

TrS 1√2

=1√2

(1 + i) = eiπ4 , detS 1√

2= i = ei

π2 , St · S = I2. (4.35)

Ultima relatie din (4.35) spune ca S 1√2

este matrice unitara, S ∈ U(2) cu:

U(n) = S ∈Mn(C); St · S = I2 (4.36)

care este un grup Lie real de dimensiune n2. Algebra sa Lie este spatiul vectorial real al matriciloranti-Hermitiene:

u(n) = X ∈Mn(C); Xt = −X. (4.37)

Spre exemplu: U(1) = z ∈M1(C); z · z = 1 = z ∈ C; |z| = 1 = S1,u(1) = z ∈ C; z = −z = z ∈ C;<z = 0 = iR. (4.38)

Topologic avem U(2) = S1 × S3 deci grup compact ce este conex dar nu este simplu conex! Castructura grupala avem U(n) = S1 × SU(n) iar SU(2) este grup compact, conex si simplu conex,difeomorfic cu grupul Lie S3. Algebra Lie este u(2) = i

2H(2)! Matricea S 1√2

apartine lui U(2)\SU(2)!

O observatie remarcabila este ca elementele bazei Pauli I2, σ1, σ2, σ3 apartin lui U(2)! Pentrugrupul Lie U(2) avem descompunerea cosinus-sinus i.e. orice matrice A ∈ U(2) este un produs:

A =

(u1 00 u2

)(cosϕ sinϕ− sinϕ cosϕ

)(u3 00 u4

)= U(ϕ, u1, u2, u3, u4) (4.39)

cu ϕ ∈ R si u1, u2, u3, u4 ∈ S1. Membrul drept din (4.39) este matricea:(u1u3 cosϕ u1u4 sinϕ−u2u3 sinϕ u2u4 cosϕ

)(4.40)

si comparand cu S din (4.34) obtinem:

ϕ =π

4, u1 = u3 = u4 = 1, u2 = i, (4.41)

si deci:

S 1√2

= U(π

4, 1, i, 1, 1

)=

(1 00 i

)1√2

(1 1−1 1

)I2. (4.42)

2

Incheiem cu varianta complexa a lui Γex:

Γex =

r11 r12 r10

r12 r22 r20

r10 r20 r00

, (Γex)c =

B 2A C√2

2A B C√2

C√2

C√2

r00

∈ H(3). (4.43)

Avem ca Γex si (Γex)c au aceeasi urma, aceeasi suma a minorilor diagonali de ordinul 2 si acelasideterminant ∆.

Remarca 4.13 In fapt revenim la matricea generala Sa din (4.33) si punem conditia de a fi dinSU(2):

1 = 2a2i, a2 =1

2i=−i2

=

(1− i

2

)2

, a = ±1− i2

. (4.44)

22 M. Crasmareanu

Avem deci doua matrici din SU(2):

S± = S± 1−i2

= ±(

1− i 1− i−1− i 1 + i

)= U

(π

4,∓i,±i, 1 + i√

2,1 + i√

2

). (4.45)

Izomorfismul dintre SU(2) si S3 este dat de:

SU(2) = A(α, β) ∈M2(C);A(α, β) =

(α −ββ α

), |α|2 + |β|2 = 1 (4.46)

iar pentru matricile S± avem:

S± = A

(±1− i

2,∓1 + i

2

). (4.47)

Matricile de asemanare Sex± dintre Γex si (Γex)c este de ordinul 3 si se obtin din S± bordand cu linia(0, 0, 1) si coloana (0, 0, 1)t. Obtinem matricile Sex± ∈ SU(3)!

Dimensiunea lui SU(n) = A ∈ U(n); detA = +1 este n2 − 1 si deci dimSU(3) = 9 − 1 = 8.SU(3) este fibratul principal peste S5 cu fibra S3!

Pentru sfera S3 avem fibtatul Hopf:

π : S3 → S2(1

2) ⊂ R× C, π(α, β) =

(1

2(|β|2 − |α|2), αβ

). (4.48)

Numerele complexe α, β din (4.47) au acelasi modul:

|α±| = |β±| =1√2, β± = −α± (4.49)

si deci:

π(α±, β±) =

(0,i

2

)(4.50)

ceea se spune ca α± si β± sunt pe aceeasi fibra π−1(0, i2) ∈ S2(12)! Sa observam ca punctul (0, i2) este

chiar Polul Nord al sferei S2(12). 2

SEMINARUL 4: Perpendicularitate. Distante


S4.1 (problema 1, p. 103) Fie unghiurile ]AOB si ]BOC adiacente. Stabiliti daca OA⊥OC ınsituatiile urmatoare: i) m(]AOB) = 23 si m(]BOC) = 67; ii) m(]AOB) = 1425′ si m(]BOC) =7635′; iii) m(]AOB) = 2230′ si m(]BOC) = 3m(]AOB).

Rezolvare Doar la a) si c).

S4.2 (problema 2, p. 103) Fie ]AOB, ]BOC, ]COD si ]DOA a. ı. OA⊥OD si OB⊥OC.Aratati ca ]AOB si ]COD sunt suplementare.

Rezolvare .

S4.3 (problema 3, p. 103) Fie ]AOB, ]BOC, ]COD, ]DOE si ]EOA a. ı. OB⊥OC, puncteleA, O, D sunt coliniare OE⊥AD. Daca m(]AOC) = 130 aflati m(]AOB) si m(]COD).

Rezolvare m(]AOB) = 40 si m(]COD) = 50.

Cursul 4 23

S4.4 (problema 4, p. 103) Fie (OC bisectoarea lui ]AOB, punctele B si D de aceeasi parte a luiOC a. ı. OC⊥OD si m(]BOD) = 50. Aflati m(]AOB).

Rezolvare m(]AOB) = 2m]BOC) = 2 · 40 = 80.

S4.5 (problema 5, p. 103) Fie ]AOB si ]AOC neadiacente complementare iar ]BOC si ]CODadiacente complementare. Stiind ca m(]COD) = 52 aflati m(]BOC) si m(]AOB).

Rezolvare m(]BOC) = 38, m(]AOB) = 26.

S4.6 (problema 6, p. 103) Fie ]AOB si ]AOC neadiacente suplementare si (OE bisectoarea lui]BOC. Stiind ca m(]AOB) = 36 aratati ca OE⊥OA.

Rezolvare m(]BOC) = 108 ⇒ m(]EOA) = m(]EOB) + m(]BOA) = 54 + 36 = 90 careınseamna OA⊥OE.

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Tema individuala !


T4.1 (problema 16, p. 104) Fie un segment [AB] = 10 cm si punctul M ∈ (AB) a. ı. [AM ][MB] = 2

3 .

Fie dreapta a perpendiculara ın M pe AB. Se cer d(A, a) si d(B, a)

T4.2 (problema 15, p. 104) Fie dreapta a si punctul A situat la distanta de 3 cm de a. Determinatipunctele de pe a situate la distanta de 5 cm fata de A.

T4.3 (problema 14, p. 104) Fie unghiul alungit ]AOB. In acelasi semiplan determinat de ABse construiesc unghiurile ]AOC ≡ ]COD a. ı. raportul masurilor unghiuriler COD si DOB este 5

8 .i) Calculati m(]COD) si m(]DOB). ii) Daca [OE este bisectoarea lui ]DOB aratati ca OE⊥OC.iii) Aflati masura unghiului format de bisectoarele unghiurilor ]DOB si ]AOC.

T4.4 (problema 13, p. 104) Fie unghiul ascutit ]AOB. Se duc: [OC⊥[OA de acceasi parte cu[OB fata de [OA si respectiv [OD⊥[OB de aceeasi parte cu [OA fata de [OB. Aratati ca: i) ]AOBsi ]COD au aceeasi bisectoare; ii) ]AOB si ]COD sunt suplementare.

T4.5 (problema 12, p. 104) Fie ]AOB de masura mai mica de 40 si [OE semidreapta opusa lui[OA. De aceeasi parte cu [OB fata de dreapta AE se duc: [OC⊥[OA si [OD⊥[OB a. ı. m(]DOE) =2m(]AOB). Aflati: i) m(]DOE); ii) m(]EOF ); iii) m(]AOF ) unde [OF este bisectoarea lui]BOE.

T4.6 (problema 11, p. 104) Fie ]AOB si ]BOC adiacente suplementare a. ı. m(]AOB) −m(]BOC) = 50. i) Aflati: m(]AOB) si m(]BOC); ii) Daca E ∈ Int(]AOB), m(]BOE) = 50

si [OD este bisectoarea lui ]BOE aratati ca OD⊥AC.

T4.7 (problema 10, p. 104) Fie punctele coliniare A − O − B si punctele C, D si E ın acelasisemiplan determinat de dreapta AB a. ı. m(]BOC) = 50, [OE⊥[OC si m(]COD) = 20 cu(OD ⊂ Int(]COE). Daca [OF este bisectoarea lui ]AOE atunci aratati ca OD⊥OF .

T4.8 (problema 9, p. 103) Fie ]AOB ascutit, punctele coliniare D − O − B, C si A de o partesi de alta a dreptei BD a. ı. [OC⊥[OA. Stiind ca m(]DOC) = 4m(]AOB) aflati: i) m(]AOB); ii)m(]BOC); iii) m(]COD); iv) m(]DOA).

T4.9 (problema 8, p. 103) Fie ]AOB de 40, [OC⊥[OA si [OD⊥[OB a. ı. interioarele unghiurilor]AOC si ]BOD sunt disjuncte. i) Aflati m(COD); ii) Aratati ca bisectoarele unghiurilor ]AOB si]COD sunt semidrepte opuse.

24 M. Crasmareanu

T4.10 (problema 7, p. 103) Fie unghiurile ]AOB si ]AOC neadiacente complementare cum(]AOB) = 30. Fie unghiul ]DOC adiacent cu ]COB cu m(]DOC) = 60 si [OE bisectoarealui ]DOC. Aratati ca: i) [OD⊥[OB; ii) [OE⊥[OA.

Cursul 5

Trigonometria ca aplicatie a seriilor deputeri

In definitia 3.1 am introdus, printre altele, notiunea de functie analitica de variabila complexa iar ınteorema 3.2 am enuntat echivalenta cu olomorfia. Analiticitatea se exprima prin faptul ca functiadata este suma a unei serii de puteri. In prezentul curs vom ilustra acest concept aplicandu-l ıntrigonometrie, ın particular la geometria cercului unitate S1.

Reamintim criteriul raportului pentru serii de numere complexe: Fie an ∈ C∗ pentru orice n ∈ N.Daca r = limn→∞

|an+1||an| exista si r ∈ (0, 1) atunci seria

∑∞n=0 an converge. Daca r > 1 atunci seria

diverge iar cazul r = 1 este nedeterminat.

Exemplul 5.1 Seria geometrica∑∞

n=0 zn va converge ın discul unitate D1 = z ∈ C; |z| < 1

deoarece |an+1||an| = |z|. Avem:

∞∑n=0

zn = limN→∞

N∑n=0

zn = limN→∞

1− zN+1

1− z=

1

1− z. (5.1)

Din aceaste egalitati vedem ca avem convergenta seriei geometrice doar pe D1! 2

Exemplul precedent arata ca putem defini functia 11−z pe D1 ca suma a seriei geometrice. In fapt,

formula integrala Cauchy arata un mod de derivare a dezvoltarii ın serii de puteri, pornind chiar dela seria geometrica, a oricarei functii analitice!

In fapt, exista doua serii de puteri ce domina teoria functiilor analitice: seria geometrica si seriaexponentiala. Pentru a introduce pe a doua avem nevoie de un rezultat tehnic:

Teorema 5.2 Fie seria∑∞

n=0 cnzn convergenta pe discul D(R) := z ∈ C; |z| < R si sa notam

cu f(z) suma acestei serii. Avem ca functia f este diferentiabila pe D(R) cu f ′(z) =∑∞

n=1 ncnzn−1.

Mai mult, si seria∑∞

n=0cnn+1z

n+1 converge si suma este o functie F diferentiabila cu F ′(z) = f(z) peD(R).

Seria exponentiala este:∑∞

n=0zn

n! si pentru z 6= 0 putem aplica criteriul raportului:

|an+1||an|

=|z|n+ 1

→ 0 < 1. (5.2)

Prin urmare, pentru orice bila B(R) = z ∈ C; |z| ≤ R avem convergenta (absoluta si uniforma) cuvaloarea 1 ın originea z = 0. Aplicand teorema 5.2 obtinem o functie, numita exponentiala si notataez. O prima proprietate fundamentala a acestei functii este data de:

25

26 M. Crasmareanu

Teorema 5.3 Pentru orice z, w ∈ C avem:

ez+w = ezew = ewez. (5.3)

Demonstratie Datorita convergentei absolute valoarea sumei nu depinde de modul de sumare!Avem:

ez+w =∑n≥0

(z + w)n

n!=∑n≥0

1

n!

n∑k=0

Cknzn−kwk =

∑n≥0

n∑k=0

zn−k

(n− k)!

wk

k!. (5.4)

In ultimul membru facem n = j + k:

ez+w =∑j≥0

∑k≥0

zj

j!

wk

k!= ezew

ceea ce voiam. 2

O a doua proprietate fundamentala data de teorema 5.2 se refera la seria ce da primitiva functieiexponentiale. Aceasta serie este: ∑

n≥0

1

n!

zn+1

n+ 1=∑m≥1

zm

m!= ez − 1. (5.5)

Am obtinut ca functia exponentiala este propria sa primitiva:

(ez)′ = ez. (5.6)

Din teorema 5.3 obtinem ca:eze−z = ez−z = e0 = 1 (5.7)

cee a ce spune ca ez 6= 0 si 1ez = e−z. Deoarece aplicatia de conjugare este continua avem:

ez = ez. (5.8)

Fie t ∈ R si numarul complex eit. Din (5.8) avem:

eit = e−it =1

eit(5.9)

ceea ce spune ca |eit| = 1 adica eit ∈ S1. Stim parametrizarea cercului unitate S1 cu functiiletrigonometrice:

S1 : z(t) = cos t+ i sin t (5.10)

si deci exista o functie ϕ = ϕ(t) asa ıncat: eit = cosϕ(t) + i sinϕ(t)!

In fapt cunoastem trigonometria functiilor cos si sin, valorile lor ın t = 0 si derivatele lor:

d

dt

(cos tsin t

)=

(− sin tcos t

)=

(0 −11 0

)·(

cos tsin t

)= I ·

(cos tsin t

). (5.11)

cu I matricea din cursul 3 ce generalizeaza pe i. Prin urmare, o dezvoltare Taylor ın apropierea luit = 0 da dezvoltarea ın serie de puteri a functiilor trigonometrice:

cos t =∑k≥0

(−1)kt2k

(2k)!, sin t =

∑k≥0

(−1)kt2k+1

(2k + 1)!. (5.12)

Cursul 5 27

Revenind la exponentiala avem:

eit =∑n≥0

(it)n

n!=∑k≥0

(it)2k

(2k)!+ i∑k≥0

i2kt2k+1

(2k + 1)!= cos t+ i sin t (5.13)

si aceasta identitate fundamentala are loc pentru orice t real, nu numai ın apropierea lui 0!

Consideratiile precedente ne permit extinderea functiilor trigonometrice la C!

eiz = cos z + i sin z, cos z =1

2(eiz + e−iz), sin z =

1

2i(eiz − e−iz) (5.14)

ca si demonstrarea formulei Moivre:

(cos t+ i sin t)n = cos(nt) + i sin(nt) (5.15)

pentru n ∈ N∗. In adevar, primul membru este (eit)n si avem (eit)n = ei(nt) ceea ce da membruldrept. De asemeni, relatiile (5.14) sugereaza si varianta hiperbolica:

chz =1

2(ez + e−z), shz =

1

2(ez − e−z), ch2z − sh2z = 1. (5.16)

Obtinem astfel parametrizari pentru S1, elipsa canonica si hiperbola canonica:

S1 : z(t) = eit, t ∈ [0, 2π) (5.17)

E(a, b) :x2

a2+y2

b2= 1, z(t) = (a cos t, b sin t), t ∈ [0, 2π) (5.18)

H(a, b) :x2

a2− y2

b2= 1, z(t) = (acht, bsht), t ∈ R. (5.19)

Din (5.17) si formula fundamentala (5.3) obtinem ca cercul unitate cu ınmultirea complexa (S1, ·)este grup comutativ. Cum avem periodicitatea functiilor trigonometrice cu perioada principala 2πrezulta:

ei(t+2kπ) = eit (5.20)

si cum (Z,+) este subgrup normal ın grupul comutativ (R,+) din prima teorema de izomorfism agrupurilor avem izomorfismul grupului factor:

R/Z = S1 (5.21)

exact prin intermediul functiei exponentiale t ∈ R→ eit ∈ S1!

Din prima formula (5.14) cu z = π obtinem:

eiπ = −1 (5.22)

sau ınca identitatea Euler:eiπ + 1 = 0 (5.23)

caz particular al sumei radacinilor de ordinul n ale unitatii:

n−1∑k=0

e2πi kn = 0 (5.24)

data de prima relatie Viete pentru: zn − 1 = 0.

28 M. Crasmareanu

SEMINARUL 5: Paralelism

S5.1 .

Rezolvare .

S5.2 .

Rezolvare .

S5.3 .

Rezolvare .

S5.4 .

Rezolvare .



T5.1 (problema 12, p. 121) In ∆ABC fie [AD] bisectoarea din A, BB′⊥AD cu B′ ∈ AC siCC ′⊥AD cu C ′ ∈ AB. Aratati ca: i) BB′ ‖ CC ′; ii) [BC ′] ≡ [B′C].

T5.2 (problema 12, p. 119) Fie ∆ABC isoscel cu baza BC iar [BB′] si [CC ′] bisectoaele din Brespectiv C. Prin A se duc paralele la BB′ si CC ′ care taie dreapta BC ın D respectiv E. Aratatica: i) ]AEB ≡ ]ADC; ii) daca I este centrul cercului ınscris ın ∆ABC atunci [AI este bisectoareaunghiului ]EAD.

T5.3 (problema 11, p. 119) Fie [AD] bisectoarea din A ın ∆ABC. Paralela prin D la AB taiepe AC ın E iar paralela prin E la AD taie BC ın F . Aratati ca: i) ]EAD ≡ ]EDA; ii) [EF estebisectoarea unghiului ]DEC.

T5.4 (problema 10, p. 119) Fie ∆ABC oarecare si [BM ] bisectoarea din B cu M ∈ (AC).Paralela prin M la BC intersecteaza AB ın N . Daca ]MBC ≡ ]MCB atunci aratati ca [MN estebisectoarea unghiului ]AMB.

T5.5 (problema 16, p. 117) In ∆ABC prin B ducem o paralela la AC iar prin A ducem p paralelala BC. Cele doua paralele se intersecteaza ın punctul D. Prelungim latura [BC] cu segmentul egal[BF ] si latura [AC] cu segmentul egal [AE]. Aratati ca: i) ∆DAB ≡ ∆CBA; ii) DE ‖ AB; iii)DF ‖ AB; iv) punctele D, E si F sunt coliniare.

T5.6 (problema 15, p. 117) Fie ∆ABC isoscel cu baza [BC]. Punctele D si E sunt situate ınsemiplanul determinat de dreapta BC care contine pe A a. ı. BD ‖ AC, [BD] ≡ [AC], CE ‖ AB si[CE] ≡ [AB]. Aratati ca: i) AD ‖ BC; ii) AE ‖ BC; iii) punctele A, D si E sunt coliniare.

T5.7 (problema 14, p. 117) In ∆ABC prin A ducem o paralela la BC si prin C ducem o paralelala AB. Cele doua paralele se intersecteaza ın punctul D. Aratati ca: i) [AD] ≡ [BC]; ii) [CD] ≡ [AB].

T5.8 (problema 13, p. 117) In ∆ABC punctele D si E sunt situate de o parte si d ealta a drepteiAB a. ı. avem ordinea D,A,E si AD ‖ BC, AE ‖ BC, [AD] ≡ [AE] ≡ [BC]. Aratati ca: i)[BD] ≡ [AC]; ii) [EC] ≡ [AB]; iii) punctele D, A si E sunt coliniare.

T5.9 (problema 11, p. 117) Fie ∆ABC cu m(]A) = 64 si D ∈ (BC) cu DE ‖ AB, E ∈ (AC).Stiind ca m(]ADE) = 32 aratati ca [AD este bisectoarea unghiului ]BAC.

T5.10 (problema 10, p. 117) Fie ∆ABC cu m(]C) = 40 si [CD] bisectoarea unghiului C.Ducem DE ‖ BC cu E ∈ (AC). Se cer masurile unghiurilor ın ∆DEC.

Cursul 6

Legi de grup pe conice Pellgeneralizate

Am finalizat cursul precedent cu structura de grup comutativ al cercului unitate S1. In acest cursvom generaliza aceasta structura pe o clasa remarcabila de conice.

Definitia 6.1 Conica Γ data ın (4.12):

Γ : f(x, y) := r11x2 + 2r12xy + r22y

2 + 2r10x+ 2r20y + r00, r211 + r2

12 + r222 6= 0 (6.1)

o numim Pell generalizata daca nu are parte de gradul 1 si r11 = −r00 6= 0. O conica Pell generalizatao numim Pell daca nu avem termenul mixt: r12 = 0.

Fixam Γ o conica Pell generalizata. Cum r11 = −r00 6= 0 prin ımpartirea cu acest numar nenulputem scrie, cu renotarea indicilor ramasi:

Γ : x2 + 2αxy + βy2 = 1. (6.2)

Aceasta conica este Pell pentru α = 0. Introducem pe punctele lui Γ ınmultirea:

(x, y)Γ (x′, y′) := (xx′ − βyy′, xy′ + yx′ + 2αyy′). (6.3)

Un calcul imediat da ca (Γ,Γ) este grup comutativ, cu elementul neutru e = (1, 0) = 1 iar inversuleste:

(x, y)−1 = (x+ 2αy,−y). (6.4)

Definitia 6.2 (Γ,Γ) ıl numim grup Pell generalizat si notam gPell(α, β). Daca Γ este conicaPell atunci ıl numim grup Pell si-l notam Pell(β).

Exemplul 6.3 Cercul unitate S1 este o conica Pell cu β = 1 si deci:

(x, y)S1 (x′, y′) = (xx′ − yy′, xy′ + yx′) (6.5)

care este exact ınmultirea din C restrictionata la S1! Sa observam ca z ∈ S1 are inversul z1 =(x,−y) = z. 2

Revenim la grupul Pell generalizat (6.3) si sa-l scriem cu ınmultirea complexa:

z z′ = zz′ + =z=z′(1− β, 2α). (6.6)

si obtinem ca S1 este singura conica Pell generalizata cu ınmultirea comuna cu cea a spatiului ambiantC.

29

30 M. Crasmareanu

De asemeni, cu formalimul relatiilor (4.14 − 15) conica Pell generalizata se scrie ın variabilacomplexa:

Γ : F (z, z) := Az2 +Bzz + Az2 = 1 (6.7)

cu:

A =1− β

4− α

2i ∈ C, 2B = 1 + β = I ∈ R (6.8)

de unde rezulta expresia complexa a ınmultirii Pell generalizate:

z Γ z′ := zz′ + 4=z=z′A. (6.9)

Pentru grupul Pell(β) obtinem ınmultirea complexa deformata cu un termen aditiv real:

z Γ z′ := zz′ + (1− β)=z=z′. (6.10)

Denumirea de Pell vine de la ecuatia diofantica Pell:

x2 − dy2 = 1, d ∈ N∗ (6.11)

studiata de matematicianul englez John Pell (1611-1685). Solutiile (±1, 0) se numesc triviale si suntuniversale i.e. nu depind de d. Cazul d = 1 nu mai are alte solutii ın afara celor triviale. Avem caaceasta ecuatie diofantica speciala reprezinta o hiperbola Hd, uneori chiar numita hiperbola Pell, sivrem punctele de coordonate ıntregi de pe Hd. Daca stim o solutie (x0, y0) atunci putem produce oinfinitate de solutii cu recurenta liniara:(

xn+1

yn+1

)=

(x0 dy0

y0 x0

)(xnyn

)(6.12)

dar aceasta recurenta liniara nu produce ın mod necesar toate solutiile!

SEMINARUL 6: Masura unghiurilor ıntr-un triunghi

S6.1 .

Rezolvare .

S6.2 .

Rezolvare .

S6.3 .

Rezolvare .

S6.4 .

Rezolvare .

S6.5 .

Rezolvare .

S6.6 .

Rezolvare .

S6.7 .

Cursul 6 31

Rezolvare .

S6.8 .

Rezolvare .

S6.9 .

Rezolvare .

S6.10 .

Rezolvare .



T6.1 (problema 7, p. 124) Fie ∆ABC dreptunghic ın A si cu bisectoarea [AD]. Dacam(]ADC) =105 atunci aflati masurile unghiurilor lui ∆ABC.

T6.2 (problema 6, p. 124) In ∆ABC cu m(]A) = 120 avem [AD] si [AE] bisectoarea interioararespectiv exterioara a lui ]A. Stiind ca m(]AEB) = 10 se cer m(]EAD), m(]B) si m(]C).

T6.3 (problema 5, p. 124) Fie ∆ABC cu m(]C) = 30, [AD] bisectoarea din A si m(]ADB) =70. Se cer unghiurile lui ∆ABC.

T6.4 (problema 4, p. 124) Se cer masurile unghiurilor exterioare pentru ∆ABC stiind ca masuraunghiului exterior din C este 105 si 3m(]A) = 4m(]B).

T6.5 (problema 3, p. 124) Se cer masurile unghiurilor ın ∆ABC stiind ca masura unghiuluiexterior din A este 140 si m(]B)−m(]C) = 20.

T6.6 (problema 2, p. 123) Se cer masurile unghiurilor ın ∆ABC stiind ca unghiurile exterioareau masuri de: i) 120 si 130; ii) 140 si 70; iii) 160 si 110; iv) 130 si 100.

T6.7 (problema 1, p. 123) Se cer masurile unghiurilor exterioare pentru ∆ABC stiind ca: i)m(]A) = 30 si m(]B) = 45; ii) m(]B) = 115 si m(]C) = 23; iii) m(]A) = 90 si m(]C) = 35;iv) m(]C) = 70 si m(]A) = 40.

T6.8 (problema 15, p. 123) In ∆ABC avem m(]A) = 75, m(]B) = 55 si [CE] bisectoarea dinC. Fie F ∈ (BC) a. ı. m(]CEF ) = 25. i) Aratati ca EF ‖ AC, ii) aflati masurile unghiurilor ın∆BEF .

T6.9 (problema 14, p. 123) ∆ABC are masurile unghiurilor ]A si ]B proportionale cu 4 si 7si m(]A) + m(]B) = 110. Fie I centrul cercului ınscris. Se cer masurile unghiurilor ın ∆ABC si∆AIB.

T6.10 (problema 13, p. 123) In ∆ABC ascutitunghic fie ortocentrul H. Daca m(]AHB) = 110

se cere m(]C).

32 M. Crasmareanu

Cursul 7

Functii armonice ın plan

In cursul 3 am introdus Laplacianul pe functii din C2(Ω):

4∂∂ = ∆ =∂2

∂x2+

∂2

∂y2. (7.1)

Aceasta aplicatie este un operator liniar ∆ : C2(Ω) → C0(ω) ceea ce conduce la urmatorul tipremarcabil de funtii:

Definitia 7.1 u ∈ C2(Ω) se numeste armonica daca apartine nucleului lui ∆: ∆u = 0.

Pentru a obtine clase speciale de functii armonice ın plan fie F : Ωd ⊆ C = R2 → C cu expresiaF = u+ iv. Reamintim ecuatiile CR:

ux = vy, uy = −vx, (7.2)

Obtinem imediat ca atat u = <F si v = =F sunt armonice daca F este olomorfa!

Exista si o reciproca a acestui rezultat, [3, p. 92]:

Teorema 7.2 Fie u ∈ C2(Ω) cu Ω deschis ın R2 continand orginea O. Daca u este armonicaatunci functia:

F (z) := 2u(z

2,z

2i

)+ c (7.3)

este olomorfa pentru o valoare a constantei c si u = <F . Avem: c = −F (0).

Exemplul 7.3 F (z) = z2 este evident olomorfa. Rezulta functiile armonice: u(x, y) = x2 − y2,v(x, y) = 2xy. Expresia complexa a acestor doua functii este: u(z, z) = 1

2(z2+z2), v(z, z) = 12i(z

2−z2).2

Armonicitatea este invariata de aplicatiile olomorfe:

Propozitia 7.4 Fie Ω1 si Ω2 deschisi ın C. Fie H : w ∈ Ω2 → z ∈ Ω1 olomorfa si U : Ω1 → Carmonica. Atunci u = U H : Ω2 → C este armonica.

Demonstratie Trebuie sa calculam Laplacianul 4uww. Cu regula lantului pentru derivarea com-punerilor avem:

uww = (UzHw)w = UzzHwHw = 0

deoarece Hw = 0 si Uzz = 0. 2

33

34 M. Crasmareanu

Ca aplicatie geometrica a funtiilor armonice de doua variabile prezentam reprezentarea Weierstrassa suprafetelor minimale. Fie suprafata regulata S ⊂ R3 cu parametrizarea neteda r : Ud ⊆ R2 → R3:

S : r(u, v) = (x1(u, v), x2(u, v), x3(u, v)), (u, v) ∈ U. (7.4)

Forma I-a fundamentala a lui S este pull-backul metricii euclidiene gcan a spatiului ambient R3 prinr:

g = r∗ = Edu2 + 2Fdudv +Gdv2, E = ‖ru‖2, F =< ru, rv >R3= gcan(ru, rv), G = ‖rv|2. (7.5)

Scufundarea lui S ın varietatea Riemann (R3, gcan =<,>) produce si forma a II-a fundamentala a luiS si apoi, curbura totala (Gauss) K = K(u, v) respectiv curbura medie H = H(u, v). Daca H = 0atunci S se numeste minimala; pentru detalii a se vedea [2].

Introducem un tip special de parametrizare pentru suprafetele regulate:

Definitia 7.5 Parametrizarea r a lui S o numim izoterma daca g este multiplu conform al metriciieuclidiene 2-dimensionale:

E = G > 0, F = 0. (7.6)

Orice suprafata regulata admite o parametrizare izoterma. Fie N versorul normalei lui S. Avemurmatorul calcul, [4, p. 116]:

Propozitia 7.6 Daca r este parametrizare izoterma atunci:

∆r := ruu + rvv = 2EHN. (7.7)

In consecinta, daca S este si minimala atunci functiile x1, x2, x3 sunt armonice.

Aceasta consecinta permite urmatoarea reperezentare Weierstrass a suprafetelor minimale: fieϕ1, ϕ2, ϕ3 : U → C olomorfe astfel ıncat:(

ϕ1z

)2+(ϕ2z

)2+(ϕ3z

)2= 0. (7.8)

Atunci urmatoarea aplicatie vectoriala reprezinta o suprafata minimala:

r =

(<∫ϕ1(z)dz,<

∫ϕ2(z)dz,<

∫ϕ3(z)dz

). (7.9)

Spre exemplu, fie functiile p = p(z) olomorfa si q = q(z) meromorfa: daca p are pe z0 ca zerou deordin 2m atunci q sa aiba pe z0 ca pol de ordin mai mic decat m. Atunci functiile:

ϕ1 = p(1 + q2), ϕ2 = −ip(1− q2), ϕ3 = −2ipq (7.10)

satisfac conditia (7.8). Rezulta suprafata minimala S cu parametrizarea:

r(z) =

(<∫ z

ap(w)(1 + q2(w))dw,<

∫ z

a−ip(w)(1− q2(w))dw,<

∫ z

a−2ip(w)q(w))dw

)(7.11)

cu a ∈ Ω o constanta.

Exemple 7.7 i) Fie p(z) = 1, q(z) = iz pe Ω = C. Obtinem:

r(z) =

(<(z − z3

3),<− i(z +

z3

3),<(z2)

)(7.12)

Cursul 7 35

sau, trecand ın variabile reale: z = u+ iv:

r(u, v) = (u− u3

3+ uv2, v − v3

3+ u2v, u2 − v2) (7.13)

care este suprafata Enneper.ii) Pentru acelasi p dar q(z) = 1

z pe Ω = C \ 0 obtinem elicoidul iar q(z) = iz pe acelasi Ω genereaza

catenoidul. 2

SEMINARUL 7: Inaltimi

S7.1 .

Rezolvare .

S7.2 .

Rezolvare .

S7.3 .

Rezolvare .

S7.4 .

Rezolvare .

S7.5 .

Rezolvare .

S7.6 .

Rezolvare .

S7.7 .

Rezolvare .

S7.8 .

Rezolvare .

S7.8 .

Rezolvare .

S7.10 .

Rezolvare .

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Tema individuala !

Dan Zaharia, Maria Zaharia, Matematica 6, Algebra, Geometrie, partea a II-a (semestrul 2), Mate2000-Consolidare, Ed. Paralela 45, Pitesti, 2014.

T7.1 (problema 8, p. 115) Fie ∆ABC ≡ ∆A′B′C ′, [AD] ınaltimea din A si [A′D′] ınaltimea dinA′. Aratati ca [AD] ≡ [A′D′].

T7.2 (problema 9, p. 115) Fie ∆ABC isoscel cu [AB] ≡ [AC] si ınaltimile [BB′], [CC ′]. Aratatica [BB′] ≡ [CC ′].

36 M. Crasmareanu

T7.3 (problema 10, p. 115=reciproca rezultatului precedent) Fie ∆ABC si ınaltimile [BB′],[CC ′]. Daca [BB′] = [CC ′] atunci ∆ABC este isoscel cu [AB] ≡ [AC].

T7.4 (problema 12, p. 115) Fie ∆ABC dreptunghic ın A. Pe ipotenuza BC se considera punctulD a. ı. [AC] ≡ [DC]. In D se considera perpendiculara pe BC si fie E punctul de intersectie cu ACsi F cu AB. Aratati ca: i) [AB] ≡ [DE]; ii) CF⊥BE.

T7.5 (problema 13, p. 115) Fie bisectoarea (OM a unghiului ascutit ]XOY . Se construiescMA⊥OX si MB⊥OY cu A ∈ [OX si B ∈ OY . Aratati ca [MA] ≡ [MB].

T7.6 (problema 14, p. 115) Se da ∆ABC echilateral de latura l si fie ∆A′B′C ′ echilateral culungimea unei laturi oarecare egala cu ınaltimea h din ∆ABC. Sa se arate ca l = 1, (3)h′ cu h′

ınaltimea din ∆A′B′C ′.

T7.7 (problema 15, p. 115) Fie punctul M pe cateta [AB] din ∆ABC dreptunghic ın A si fie Nintersectia perpendicularei MP pe BC, P ∈ (BC) cu dreapta AC. Aratati ca CM⊥BN . Sugestie:M este ortocentru ın ∆BCN , rezulta concluzia.

T7.8 (problema 16, p. 115) Fie ∆ABC isoscel cu [AB] ≡ [AC]. In punctele B si C se construiescperpendiculare pe AB respectiv AC care se intersecteaza ın O. Se prelungeste segmentul [BO] cu unsegment [OM ] a. ı. [BO] ≡ [OM ]. Se stie ca perpendiculara ın M pe OM ıntalneste prelungirealaturii [AC] ın N . Aratati ca: i) [MN ] ≡ [CN ]; ii) ON⊥MC.

T7.9 (problema 17, p. 115) Fie ∆ABC cu m(]ABC) = 45. Fie D ∈ (AC) a. ı. [AD] ≡ [DC].Daca E si F sunt picioarele ınaltimilor din A respectiv C cu E ∈ (BC) si F ∈ (AB) aratati ca unghiul]EDF este drept.

T7.10 (problema 18, p. 115) Fie ∆ABC fixat. Pe prelungirile laturii BC se considera puncteleD si E a. ı. ∆ABD si ∆ACE sunt isoscele cu B ∈ (DC) si C ∈ (BE). Inaltimile BM si CNale ∆ABD si respectiv ∆ACE cu BM⊥AD si CN⊥AE se intersecteaza ın O. Aratati ca [AO estebisectoarea unghiului ]BAC.

Cursul 8

Triplete pitagoreice

Definitia 8.1 Fie (x, y, z) ∈ (N∗)3. Acest triplet ıl numim pitagoreic daca reprezinta lungimilelaturilor unui triunghi dreptunghic: x2 + y2 = z2.

Prin ımpartirea cu z2 rezulta: (xz

)2+(yz

)2= 1 (8.1)

deci punctul M(ZM = xz + iyz ) este punct rational pe S1. Mai precis, M apartine primului sector din

S1.

Observatia 8.2 Un punct din planul complex avand afixul cu partea reala si partea imaginaranumere rationale se numeste punct rational. Multimea punctelor rationale situate pe S1 se noteazaC(Q) si este subgrup al lui (S1, ·) cu ınmultirea · complexa din formula (6.5). 2

Stim parametrizarile trigonometrica (5.10) si exponentiala (5.17) ale lui S1. Avem ınsa nevoie deo parametrizare rationala si o vom determina folosind proiectia stereografica din polul nord N .

Avem ca N are coordonatele carteziene (0, 1) si consideram UN = S1 \N care este un deschis peS1. Fie aplicatia ϕN : UN → R data de ϕN (P ) este intersectia dreptei NP cu axa Ox. PresupunemP (a, b) ∈ UN , atunci ecuatia lui NP este:

NP :x− 0

a− 0=y − 1

b− 1. (8.2)

Cum Ox : y = 0 rezulta:

ϕN (P (a, b)) = x =a

1− b. (8.3)

Aplicatia ϕN este bijectie si ın fapt, ne trebuie inversa ϕ−1. Fie M(t, 0) ∈ R = Ox. Dreapta NM areecuatia:

NM :x− 0

t− 0=y − 1

0− 1(8.4)

ceea ce da: x = t(1− y); ceea ce este exact relatia (8.3) cu a→ x si b→ y. Intersectam dreapta NMcu S1:

t2(1− y)2 = 1− y2 → t2(1− y) = 1 + y → t2

1=

1 + y

1− y→ t2

1 + t2=

1 + y

2→ 1 + y =

2t2

1 + t2.

Rezulta:

y =t2 − 1

t2 + 1, 1− y =

2

1 + t2→ x =

2t

1 + t2.

37

38 M. Crasmareanu

In concluzie, avem parametrizarea rationala a lui S1:

S1 : z(t) := ϕ−1N (t) =

(2t

1 + t2,t2 − 1

1 + t2

), t ∈ R. (8.5)

Consideram acum t ∈ Q deci t = mn si facem ”rocada” x↔ y deoarece ın relatia (8.1) rolurile lui

x si y sunt simetrice:

(x, y) ∈ S1 =

(m2 − n2

m2 + n2,

2mn

m2 + n2

)(8.6)

ceea ce da:

Teorema 8.3 Expresia tripletelor pitagoreice este:

(x, y, z) = (m2 − n2, 2mn,m2 + n2) (8.7)

cu m,n ∈ N∗, m > n. Daca cerem ca x si y sa fie prime ıntre ele, (x, y) = 1, atunci m si n auparitati diferite.

Exemplul canonic 8.4 Tripletul pitagoreic clasic (3, 4, 5) se obtine din (8.7) cu m = 2 si n = 1.Sa observam totodata ca punctele rationale M1(4

5 ,35) ∈ S1, M2(3

5 ,45) ∈ S1 sunt exact contraimaginile

prin proiectia stereografica a lui 2 ∈ Ox respectiv 3 ∈ Ox:

M1 = ϕ−1N (2), M2 = ϕ−1

N (3). (8.8)

2

In fapt, trecerea x→ y ınseamna sa rotim planul cu π2 si deci cu proiectia stereografica din punctul

(−1, 0) ∈ S1 obtinem:

S1 \ (−1, 0) : z(T ) =

(T 2 − 1

1 + T 2,

2T

1 + T 2

), T ∈ R (8.9)

si cu substitutia T = 1t obtinem:

S1 \ (−1, 0) : z(t) =

(1− t2

1 + t2,

2t

1 + t2

), t ∈ R. (8.10)

Preferam aceasta parametrizare rationala deoarece cu sunstitutia: t = tg θ2 obtinem formulele trigono-metrice uzuale:

(cos θ, sin θ) =

(1− tg2 θ

2

1 + tg2 θ2

,2tg θ2

1 + tg2 θ2

)(8.11)

sau ınca:

(cos θ, sin θ) = (cos2 θ

2− sin2 θ

2, 2 sin

θ

2cos

θ

2). (8.12)

De asemeni, putem exprima ın complex relatia (8.11) prin:

S1 \ (−1, 0) : z(t) =1− t2

1 + t2+ i

2t

1 + t2=

(1 + it)2

|1 + it|2=

1 + it

1− it. (8.13)

Compactificarea lui S1 \ (−1, 0) cu punctul (−1, 0) ∈ S1 se obtine facand limita t→∞!

Cursul 8 39

Sa mai observam ca tripletul pitagoreic (m2−n2, 2mn,m2 +n2) este exact (<z2,=z2, |z2|) pentrunumarul complez z = m+ in.

Observatia 8.5 Putem generaliza cazul cercului unitate discutat mai sus, ın sensul urmator.Fie Γ o conica ce admite puncte rationale si sa presupunem ca am determinat un astfel de punct.Atunci folosind proiectia stereografica din acel punct putem da o parametrizare rationala pentru Γ.Cazul punctelor integrale de pe Γ este mult mai complicat si determinarea lor este echivalenta cusolutionarea unei ecuatii Pell! 2

In final un tabel cu cateva triplete pitagoreice si aria triughiului dreptunghic asociat:

m n x y z S = xy/2

2 1 3 4 5 6

3 2 5 12 13 30

4 1 15 8 17 60

4 3 7 24 25 84

5 2 21 20 29 210

. (8.14)

SEMINARUL 8: Triunghiul dreptunghic

S8.1 .

Rezolvare .

S8.2 .

Rezolvare .

S8.3 .

Rezolvare .

S8.4 .

Rezolvare .

S8.5 .

Rezolvare .

S8.6 .

Rezolvare .

S8.7 .

Rezolvare .

S8.8 .

Rezolvare .

S8.9 .

Rezolvare .

S8.10 .

40 M. Crasmareanu

Rezolvare

- - - - - - - - - - - - - - - - - -Tema individuala !Dan Zaharia, Maria Zaharia, Matematica 6, Algebra, Geometrie, partea a II-a (semestrul 2), Mate

2000-Consolidare, Ed. Paralela 45, Pitesti, 2014.

T8.1 (problema 3, p. 117) Fie ∆ABC dreptunghic ın A. Pe dreapta AB se considera punctul Da. ı. A este mijlocul lui [BD]. Aratati ca [CD] ≡ [CB].

T8.2 (problema 4, p. 117) Se considera tripletele de puncte coliniare A−O − B si C −O −D .Stiind ca m(]ACO) = m(]DBO) = 90 si [AO] ≡ [DO] aratati ca ∆BOC este isoscel.

T8.3 (problema 9, p. 117) Fie ∆ABC si ∆A′B′C ′ isoscele cu baza [BC] respectiv [B′C ′]. Dacam(]ABC) = m(]A′B′C ′) si d(A,BC) = d(A′, B′C ′) aratati congruenta celor doua triunghiuri.

T8.4 (problema 10, p. 117) In ∆MNP se considera MQ⊥NP cu Q ∈ (NP ). Daca [NQ] ≡ [PQ]aratati ca [MN ] ≡ [MP ].

T8.5 (problema 11, p. 117) Fie punctele C si D situate de o parte si de alta a dreptei AB. Dacam(]ACB) = m(]ADB) = 90 si [AC] ≡ [BD] aratati ca: ]ABC ≡ ]BAD; ii) [BC] ≡ [AD].

T8.6 (problema 12, p. 117) Se dau punctele coliniare A − O − B si punctele C si D situate deacceasi parte a dreptei AB a. ı. CA⊥AB, DB⊥AB si [AC] ≡ [OB] respectiv [BD] ≡ [OA]. Aratatica: i) [OC] ≡ [OD]; ii) m(]ODB) = m(]AOC).

T8.7 (problema 13, p. 118) Fie ∆MNP isoscel cu [MN ] ≡ [MP ] si punctele R si Q ın exteriora. ı. m(]MRN) = m(]MQP ) = 90 si [MR] ≡ [MQ]. Aratati ca: i) [PQ] ≡ [RN ]; ii) ]MNR ≡]MPQ.

T8.8 (problema 14, p. 118) Triunghiurile dreptunghiceMNQ siMNP au ipotenuzaMN comuna.Segmentele QN si PM se intersecteaza ın O a. ı. [PO] ≡ [QO]. Aratati ca: i) [QM ] ≡ [PN ]; ii)[MP ] ≡ [NQ].

T8.9 (problema 15, p. 118) Fie ∆ABC isoscel cu [AB] ≡ [AC] si M intersectia perpendiculareiın B pe AB cu perpendiculara ın C pe AC. Aratati ca: i) [MB] ≡ [MC]; ii) (AM este bisectoareaunghiului ]BAC.

T8.10 (problema 16, p. 118) Fie ∆ABC isoscel cu [AB] ≡ [AC]. Perpendiculara din C pe AB siın B pe BC se intersecteaza ın M iar perpendiculara din B pe AC si ın C pe BC se intersecteaza ınN . Aratati ca: i) [BM ] ≡ [CN ]; ii) [AM ] ≡ [AN ].

Cursul 9

Transformari omografice

In cursul precedent am utilizat proiectia stereografica a cercului unitate S1 din punctul sau (−1, 0) ∈S1 pentru a parametriza rational pe S1. Am obtinut S1 \ (−1, 0) ∼ C ceea ce ne conduce la:

Definitia 9.1 Multimea CP (1) := C ∪ ∞ ∼ S1 o numim sfera Riemann sau spatiu proiectivcomplex 1-dimensional.

Expresia proiectiei stereografice amintite era (8.13): f(t) = it+1it−1 , t ∈ R. In prezentul curs gener-

alizam aceasta aplicatie la:

Definitia 9.2 Fie a, b, c, d ∈ C a. ı. matricea:

A =

(a bc d

)∈M2(C)

este inversabila: detA = ad − bc 6= 0, i.e. A ∈ GL(2,C)=2-grupul liniar general complex. AplicatiafA : CP (1)→ CP (1) data de:

fA(z) :az + b

cz + d, z ∈ C \ −d

c, fA

(−dc

)=∞, fA(∞) =

a

c, (9.1)

o numim omografie sau transformare omografica sau ınca transformare Mobius.

Observatii 9.3 i) In literatura de limba engleza astfel de transformari se mai numesc linearfractional transformations, [3, p. 60].ii) Sa observam matricile A si λA cu λ 6= 0 definesc aceeasi functie f ! Prin urmare, deoarece detA 6= 0putem considera λ = 1

detA si noua matrice 1detAA are determinantul 1. In concluzie, ne putem restrange

la matrici A ∈ GL(2,C) cu detA = 1 i.e. elemente A ∈ SL(2,C)=2-grupul liniar special complex.iii) SL(2,C) este o varietate diferentiala reala de dimensiune:

4(componentele matricii)× 2(complex = 2 real)− 1(conditia determinant) = 7.

Mai reamintim ca o varietate diferentiala cu structura de grup se numeste grup Lie. In concluzie,SL(2,C) este grup Lie real 7-dimensional. 2

Putem verifica imediat structura de grup pe operatia de compunere a functiilor:

fA′ fA(z) =a′fA(z) + b′

c′fA(z) + d′=

(a′a+ b′c)z + (a′b+ b′d)

(c′a+ d′c)z + (c′b+ d′d)= fA′·A(z), det(A′A) = detA′detA = 1 · 1 = 1.

Inversa lui fA este:

fA−1 ↔ A−1 =

(d −b−c a

)(9.2)

41

42 M. Crasmareanu

fapt ce se poate verifica si direct, rezolvand ın necunoscuta z ecuatia:

w = f(z) =az + b

cz + d, ad− bc = 1.

Exista 3 clase speciale de omografii:1) translatii, Tβ : z → z + β,∞→∞. Matriceal:

Tβ :=

(1 β0 1

). (9.3)

2) dilatatii + rotatii: Mα : z → αz, ∞ → ∞. Daca α = |α|eiθ atunci Mα schimba scala cu factorul|α| si roteste cu unghiul θ ın sens trigonometric. Matriceal:

Mα :=

(α 00 1

). (9.4)

3) inversiunea R : z → 1z , 0↔∞. Matriceal:

R =

(0 11 0

). (9.5)

Sa observam ca R este o involutie: R2 = I2, ceea ce se mai numeste structura aproape produs.

Urmatorul rezultat da structura grupului omografiilor:

Teorema 9.4 Orice omografie f se descompune ca produs de cele 3 omografii speciale.

Demonstratie Cazul I) c = 0. Din ad− bc 6= 0 rezulta a 6= 0 si d 6= 0. Deci: f(z) = adz + b

d ceeace spune ca sau f = M sau f = T sau f = TM .Cazul II) c 6= 0. Cu descompunerea:

az + b

cz + d=a

c+

bc− adc(cz + d)

(9.6)

rezulta:f = Ta

cM bc−ad

cRTdMc. (9.7)

Sa mai observam ca T0 = I2. 2

Exemplul 9.5 In cursul 4 am aflat matricea:

S =

(1 1−i i

)(9.8)

si deci putem asocia transpusei St transformarea omografica:

f : C \ −i → C, fSt(z) =z − iz + i

(9.9)

numita transformarea Cayley. Aceasta functie transforma conform semi-planul superior U = z ∈C;=z > 0 pe discul unitate D = z ∈ C; |z| < 1 si ın mod injectiv axa reala R pe cercul unitate S1!2

SEMINARUL 9: Bisectoare

Cursul 9 43

S9.1 .

Rezolvare .

S9.2 .

Rezolvare .

S9.3 .

Rezolvare .

S9.4 .

Rezolvare .

S9.5 .

Rezolvare .

S9.6 .

Rezolvare .

S9.7 .

Rezolvare

S9.8 .

Rezolvare .

S9.9 .

Rezolvare .

S9.10 .

Rezolvare .

- - - - - - - - - - - - - - - - - -Tema individuala !Dan Zaharia, Maria Zaharia, Matematica 6, Algebra, Geometrie, partea a II-a (semestrul 2), Mate

2000-Consolidare, Ed. Paralela 45, Pitesti, 2014.

T9.1 (problema 7b, p. 120) Fie I centrul cercului ınscris ın ∆ABC cu m(]IBC) = 15,m(]ICA) = 45 si m(]IAC) = 30. Se cer unghiurile triunghiului dat.

T9.2 (problema 9, p. 120) Fie ∆ABC ≡ ∆MNP si [AA′] respectiv [MM ′] bisectoarele din Arespectiv M . Aratati ca [AA′] ≡ [MM ′].

T9.3 (problema 10, p. 120) Fie I centrul cercului ınscris ın ∆ABC cu m(]BAC) = 54. Se cerem(]BIC)

T9.4 (problema 12, p. 120) In ∆ABC bisectoarea [AA′] este perpendiculara pe BC. Aratati ca∆ABC este isoscel.

T9.5 (problema 15, p. 121) Fie ∆ABC cu [AB] < [AC], [AD] bisectoarea din A si E ∈ (AC) a. ı[AE] ≡ [AB]. i) Aratati ca [A′E] ≡ [BA′]. ii) Daca [AB] = 4 cm, [BC] = 5 cm si [CA] = 6 cm aflatiperimetrul pentru ∆ABC si ∆A′EC.

T9.6 (problema 17, p. 121) Fie ∆ABC cu [AB] < [AC] si [AA′] bisectoarea din A. Fie D ∈ (ACa. ı. [AB] ≡ [AD]. Aratati ca AA′⊥BD.

44 M. Crasmareanu

T9.7 (problema 18, p. 121=reciproca problemei anterioare) Fie ∆ABC cu [AB] < [AC] si [AA′]bisectoarea din A. Perpendiculara din B pe AA′ intersecteaza pe AC ın D. Aratati ca [AB] ≡ [AD].

T9.8 (problema 19, p. 121) Fie I centrul cercului ınscris ın ∆ABC si D ∈ (BC) a. ı. ID⊥BC.Daca [DI] = 5 cm se cere d(I, AB) si d(I, AC).

T9.9 (problema 20, p. 121) Fie ∆ABC isoscel cu [AB] ≡ [AC] si E un punct pe bisectoarea(AA′. Aratati ca (EA′ este bisectoarea unghiului ]BEC.

T9.10 (problema 21, p. 121) Fie d1, d2 drepte perpendiculare ın O. Fie A,B ∈ d1 a. ı. [OA] ≡[OB] si M ∈ d2 oarecare. Aratati ca [MO este bisectoarea unghiului ]AMB.

Cursul 10

Aria triunghiului

SEMINARUL 10

S10.1 .

Rezolvare .

S10.2 .

Rezolvare .

S10.3 .

Rezolvare .

S10.4 .

Rezolvare .

S10.5 .

Rezolvare .

S10.6 .

Rezolvare .

S10.7 .

Rezolvare .

S10.8 .

Rezolvare .

S10.9 .

Rezolvare .

S10.10 .

Rezolvare .

S10.11 .

Rezolvare .

S10.12 .

45

46 M. Crasmareanu

Rezolvare .

S10.13 .

Rezolvare .

S10.14 .

Rezolvare .

S10.15 .

Rezolvare .- - - - - - - - - - - - - - - - - -Tema individuala !Stefan Smarandache, Camelia Diaconu, Liliana Diaconu, Matematica pentru clasa a VI-a, Ed.


T10.1 (problema 1, p. 125) Calculati aria ∆ABC stiind ca: i) BC = 6 cm si ınaltimea [AD] =4 cm; ii) m(]A) = 90, [AB] = 6 cm, [AC] = 8 cm.

T10.2 (problema 2) Pentru ∆ABC aflati:1) lungimea ınaltimii din B stiind [AB] = 8 cm si aria S = 10 cm2;2) latura [AB] stiind ca ınaltimea corespuzatoare are 4 cm si S = 12 cm2;3) latura [BC] si ınaltimea [AD] stiind ca [AD] este 50% din BC si S = 25 cm2;4) ınaltimea [BE], [AE] si [CE] stiind ca diferenta [AE]− [CE] = 2 cm, [AC] = 4 cm si S = 10 cm2’5) latura [AC] si ınaltimea [BE] stiind ca [AC] si [BE] sunt direct proportionale cu 2 si 3 iar S =48 cm2.

T10.3 (problema 3, p. 125) In ∆ABC fie ınatimile [AD] si CF . Stiind ca:i) [AB] = 4 cm, BC = 6 cm si [AD] = 8 cm aflati [CF ],2) [AD] = 6 cm, [CF ] = 9 cm si S = 18 cm aflati [AB] si [AC].

T10.4 (problema 4, p. 126) Fie ∆ABC dreptunghic ın A. Aflati:i) ınaltimea [AD] stiind [AB] = 6 cm, [AC] = 8 cm si [BC] = 10 cm,ii) ipotenuza [BC] stiind [AB] = 4 cm, [AC] = 3 cm si [AD] = 2, 4 cm,iii) ınaltimea [AD] stiind ca raportul catetelor este 3

4 , suma lor este 21 cm si [BC] = 15 cm.

T10.5 (problema 5, p. 126) Fie ∆ABC isoscel de baza [BC]. Aratati ca ınaltimile din B si Csunt congruente.

T10.6 (problema 6, p. 126) Fie ∆ABC ascutitunghic. Ducem prin A o paralela d la BC. FieD ∈ d \ A. Aratati ca ∆ABC si ∆DBC sunt echivalente.

T10.7 (problema 1a, p. 136) Fie M mijlocul laturii [AC] ın ∆ABC. Aflati raportul dintreS(ABM) si S(CBM).

T10.8 (problema 1b, p. 136) Fie G centru de greutate ın ∆ABC. Aflati numarul:

S(G) =S(AGB)

S(AGC)+S(AGC)

S(BGC)+S(BGC)

S(AGB).

T10.9 (problema 2, p. 136) Fie M mijlocul medianei AA′ ın ∆ABC. Aflati raportul dintreS(AMC) si S(ABC).

T10.10 (problema 4, p. 136) Se dau punctele A(2, 1), B(6, 1), C(2, 3) si D(5, 5). Se cere raportuldintre S(ABD) si S(ABC).

Cursul 11

Mediane

.

SEMINARUL 11

S11.1 .

Rezolvare .

S11.2 .

Rezolvare .

S11.3 .

Rezolvare .

S11.4 .

Rezolvare

S11.5 .

Rezolvare .

S11.6 .

Rezolvare .

S11.7 .

Rezolvare .

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Tema individuala !


T11.1 (problema 3, p. 126) Fie medianele [AM ], [BN ], [CP ] si G centrul de greutate ın ∆ABC.Stiind ca: i) [AG] = 4 cm aflati AM ; ii) [GN ] = 1, 5 cm aflati [BN ]; iii) [CP ] = 5, 4 cm aflati [CG]si [PG].

T11.2 (problema 4, p. 126) Se dau ∆ABC ≡ ∆A′B′C ′. Sa se arate ca medianele [AM ] si [A′M ′]sunt congruente.

47

48 M. Crasmareanu

T11.3 (problema 5, p. 126) Se da ∆ABC ascutitunghic cu mediana [AM ]. i) Aratati ca ∆ABMsi ∆ACM sunt echivalente. ii) Fie punctele N,P ∈ [BC] a. ı. [BN ] = 1

4 [BC] si [CP ] = 12 [CM ].

Stiind ca S(ABC) = 96 cm2 aflati: S(ABN), S(ANP si S(ANC.

T11.4 (problema 6, p. 127) Fie ∆ABC cu m(]C) > 90, mediana [CP ] si punctul P ∈ (CP )oarecare. Aratati ca S(ANC) = S(BNC).

T11.5 (problema 7, p. 127) In ∆ABC avem mediana [AM ], BD⊥AM cu D ∈ AM si CE⊥AMcu E ∈ AM . Aratati ca [BD] ≡ [CE].

T11.6 (problema 7a, p. 135) Fie D si M piciorul ınaltimii respectiv medianei din A ın ∆ABC

dreptunghic ın A cu m(]DAM) = 60. Se cere raportul [AD][BC] .

T11.7 (problema 9, p. 135) In ∆ABC cu mediana AM fie ınaltimile [BE] si [CF ]. Se cere

raportul [ME][MF ] .

T11.8 (problema 7, p. 136) Fie P un punct interior ın ∆ABC echilateral de latura l. Fie s sumadistantelor de la P la laturi si m lungimea unei mediane oarecare. Se cere raportul s

m .

T11.9 (problema 12, p. 142) In ∆ABC dreptunghic ın A avem mediana [AM ], [MN ] ınaltimeın ∆AMB si P = AM ∩ CN . Aratati ca BP trece prin mijlocul laturii [AC].

T11.10 (problema 24, p. 131) In ∆ABC isoscel de baza [BC] fie mediana [AM ] si punctulD ∈ (AM) a. ı. [DM ] = 1

3 [AM ]. Aratati ca: i) ∆ADB ≡ ∆ADC; ii) ∆BDC este isoscel; iii) dacaBD ∩AC = N si CD ∩AB = P atunci [BN ] si [CP ] sunt mediane.

Cursul 12

Triunghiul isoscel

.

SEMINARUL 12

S12.1 .

Rezolvare .

S12.2 .

Rezolvare .

S12.3 .

Rezolvare .

S12.4 .

Rezolvare .

S12.5 .

Rezolvare .

S12.6 .

Rezolvare .

S12.7 .

Rezolvare .

S12.8 .

Rezolvare .

S12.9 .

Rezolvare .

S12.10 .

Rezolvare .

S12.11 .

49

50 M. Crasmareanu

Rezolvare .



T12.1 (problema 2, p. 128) Fie ∆ABC isoscel. Aflati: i) perimetrul stiind ca doua din laturiau lungimile de 6 cm respectiv 10 cm; ii) lungimile laturilor stiind ca una din ele este de 8 cm siperimetrul de 26 cm; iii) lungimile laturilor stiind ca raportul a doua din ele este 3

4 iar perimetrul de55 cm.

T12.2 (problema 3, p. 128) Se da ∆ABC isoscel cu baza [BC]. Aflati masurile unghiurilor stiindca: i) m(]A) = 42; ii) m(]C) = 53; iii) masura unui din unghiuri este 65; iv) masura unui unghiexterior este 140; v) masura unui unghi exterior este 60.

T12.3 (problema 4, p. 128) Fie ∆ABC isoscel cu baza [BC] si M ∈ (BC). i) Daca m(]A) = 70,m(]BAM) = 35 si BM = 3 cm aflati m(]CMA) si [BC]; ii) daca m(]AMB) = 90, m(]CAM) =20 si [BC] = 7 cm aflati m(]A) si [BM ]; iii) daca [BC] = 8 cm, [MC] = 4 cm si m(A) = 84 aflatim(]AMC) si m(]BAM).

T12.4 (problema 5, p. 128) Fie ∆ABC isoscel cu baza [BC] si M ∈ (AB) a. ı. [AM ][AB] = 3

4 si

N ∈ (AC) a. ı. [NC][AC] = 1

4 . Aratati ca: i) ∆AMN este isoscel; ii) MN ‖ BC.

T12.5 (problema 6, p. 128) In ∆ABC cu baza [AB] ≡ [AC] semidreptele (CD, (CE si (CF cuD,E, F ∈ (AB ın aceasta ordine, ımpart ]C ın 4 unghiuri congruente. Daca CF⊥AB aflati masurileunghiurilor ın ∆ABC.

T12.6 (problema 7, p. 128) Fie ∆ABC isoscel cu baza [BC] si [CD] bisectoarea din C. Daca∆BCD este isoscel atunci: i) aratati ca ∆ACD este isoscel; ii) aflati masurile unghiurilor ın ∆ABC;iii) aflati perimetrul ∆ABC stiind ca [BD] = x si [CD] = y.

T12.7 (problema 8, p. 129) Fie ∆ABC isoscel cu baza [BC] obtunzunghic si punctul P ∈ (BC)a. ı. [BP ] ≡ [AB] si [PC] ≡ [PA]. Aflati masurile unghiurilor ın ∆ABC.

T12.8 (problema 9, p. 129) In ∆ABC isoscel cu baza [BC] fie M ∈ (AB) si N ∈ (AC) a. ı.]ANB = ]AMC si P = BN ∩ CM . Aratati ca: i) ∆AMN este isoscel; ii) ∆PBC este isoscel;iii) (AP este bisectoarea lui ]A.

T12.9 (problema 10, p. 129) In ∆ABC fie M ∈ (AB), N ∈ (AC) si P = BN ∩ CM a. ı.[PN ] ≡ [PM ] si [BP ] ≡ [CP ]. Aratati ca ∆ABC este isoscel.

T12.10 (problema 11, p. 129) Fie ∆ABC isoscel cu baza [BC]. Fie M ∈ (CB si N ∈ (BC a. ı.[BM ] ≡ [CN ]. Aratati ca: i) ∆ACM ≡ ∆ABN ; ii) ∆AMN este isoscel.

Cursul 13

Triunghiul echilateral

SEMINAR 13

S13.1 .

Rezolvare .

S13.2 .

Rezolvare .

S13.3 .

Rezolvare .

S13.4 .

Rezolvare .

S13.5 .

Rezolvare .

S13.6 .

Rezolvare .

S13.7 .

Rezolvare .

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Tema individuala !


T13.1 (problema 1, p. 131) Fie ∆ABC echilateral, [AD] mediana, [BE] ınaltime si [CF ] bi-sectoare. Artati ca: i) [AE] ≡ [CE]; ii) ]BAD ≡ ]CAD; iii) m(]AFC) = 90; iv) ∆AFE esteechilateral; v) ∆DEF este echilateral.

T13.2 (problema 2, p. 131) In ∆ABC echilateral fie M ∈ (AB) si N ∈ (BC) a. ı. [AM ][AB] = 2

5 si[BN ][BC] = 3

5 . Aratati ca: i) ∆BMN este echilateral; ii) MN ‖ AC.

51

52 M. Crasmareanu

T13.3 (problema 3, p. 131) In ∆ABC echilateral fie M ∈ (AB), N ∈ (BC) si P ∈ (CA) a. ı.[AM ][AB] = [BN ]

[BC] = [CP ][CA] = 1

3 . Aratati ca ∆MNP este echilateral.

T13.4 (problema 4, p. 131) Fie ∆ABC echilateral.Prin A ducem o paralela la BC iar prin C oparalela la AB ce se intersecteaza ın D. Aratati ca: i) ∆ACD este echilateral; ii) BD⊥AC.

T13.5 (problema 5, p. 131) Fie ∆ABC echilateral. Perpendiculara ın A pe AC intersecteazaBC ın D iar perpendiculara ın A pe AB intersecteaza BC ın E. i) Aratati ca ∆ADE este isoscel; ii)Aflati masurile unghiurilor ın ∆ADE.

T13.6 (probelma 6, p. 131) In ∆ABC echilaterla fie mediana [AM ] si bisectoarea [BE]. Artatica: i) ∆CME este echilateral; ii) ME ‖ AB; iii) ∆BEM este isoscel.

T13.7 (problema 7, p. 132) In ∆ABC echialteral avem bisectoarele [AD], BE, [CF ] si I centrulcercului ınscris. Aratati ca: i) [ID] ≡ [IE] ≡ [IF ]; ii) ∆DEF este echilateral; iii) (DI, (EI, (FI suntbisectoarele ın ∆DEF .

T13.8 (problema 8, p. 132) In ∆ABC avem bisectoarea [AD], mediana [BE] si F ∈ (BE a. ı.[EF ] ≡ [BE]. Aratati ca: i) ∆BCF este isoscel; ii) ∆ABF este isoscel; iii) ∆ACF este echilateral;iv) m(]DAF ) = 90.

T13.9 (problema 9, p. 132) In ∆ABC fie medianele [CM ], [BN ] si P ∈ (MN a. ı. [NP ] ≡ [MN ].Aratati ca: i) ∆AMN este echilateral; ii) ∆NPC este echilateral; iii) AP⊥PC.

T13.10 (problema 10, p. 132) In ∆ABC fie mediana [AD]. Perpendiculara ın A pe AB inter-secteaza bisectoarea [BE] ın F . Fie M = AD ∩BE. Aratati ca: i) ∆AMB este isoscel; ii) ∆AFCeste isoscel; iii) ∆AMF este echilateral.

Cursul 14

Caracteristica Euler

Stim ca ın plan exista o infinitate de poligoane regulate. Fie X un astfel de poligon regulat avand nlaturi si n varfuri. Notam cu V numarul de varfuri si cu M numarul de laturi=muchii. Rezulta caavem:

χ(X) := V −M = 0 (14.1)

si deci χ(·) este un invariant al poligoanelor regulate.

Sa consideram cazul spatial deci R3. Teetet din ”Academia” lui Platon (428-347 ı. H.) a stabilitın 387 ı. H. ca sunt numai 5 poliedre regulate! O demonstratie a acestui rezultat apare ın ultimacarte, a XIII-a, a ”Elemente”-lor lui Euclid (330-275 ı. H.).

Fie X un astfel de poliedru regulat si: V numarul de varfuri, M numarul de fete, F numarul defete. Ca ın cazul plan consideram:

χ(X) := V −M + F. (14.2)

Avem urmatorul tabel:

X interpretare filozofica V M F χ

tetraedrul focul 4 6 4 2

cubul (hexaedrul) pamantul 8 12 6 2

octaedrul aerul 6 12 8 2

icosaedrul apa 20 30 12 2

dodecaedrul eterul=chintesenta 12 30 20 2

. (14.3)

Sa mai notam ca ın dodecaedru se pot ınscrie celelalte 4 poliedre regulate si ca ”chintesenta” erasimbolul Universului.

Tabelul precedent ne da relatia Euler datata 1752; Euler a trait ın perioada 1707-1783:

χ(X) = 2 (14.4)

ceea ce spune ca χ(·) este un invariant al poliedrelor regulate!

Semnificatia acestui invariant va apare ın cadrul topologiei. Sa notam ca prima carte de topologiedin lume va apare cu titlu ”Worstudien zur Topologie” (Studii preliminare ın topologie), scrisa deJ. B. Listing si va apare ın 1847 ın colectia ”Gottingen Studien”. Modelul bibliotecii din Gottingensta la baza ınfiintari Seminarului Matematic din Iasi de catre Alexandru Myller ın toamna lui 1910.Profesorul Myller a fost student al lui David Hilbert: 1862 (Konigsberg)-1943 (Gottingen).

53

54 M. Crasmareanu

Cel care va releva si generaliza invariantul χ va fi genialul Henri Poincare (1854-1912) suburmatoarea versiune topologico-combinatorie:

χtop(X) :=dim X∑i=0

(−1)iαi (14.5)

unde αi este numarul de i-simplexe dintr-o triangulare (oarecare) a spatiului topologic X=varietatediferentiala reala de dimensiune dim X. De aceea, ın literatura matematica χ apare cu denumirea decaracteristica Euler-Poincare.

Exemplu 14.1 Sfera n-dimensionala Sn := x ∈ Rn+1; ‖x‖ = 1 are dim X = n. Avem un0-simplex ∆0 dat de polul Nord N si din proiectia stereografica din N mai avem doar (!) unn-simplex ∆n dat de Sn \ N ∼ Rn. Deci:

χ(Sn) = (−1)01 + (−1)n1 = 1 + (−1)n. (14.6)

In particular, la n = 1 avem χ(S1) = 0 si cercul S1 este homeomorf cu patratul centrat ın origine,reobtinem χ = 0 al poligoanelor regulate din plan. Pentru n = 2 avem χ(S2) = 2 si sfera S2 estehomeomorfa cu cubul (si tetraedrul); reobtinem χ = 2 al poliedrelor regulate. 2

Exista si o varianta topologico-algebrica a caracteristicii Euler introdusa de Betti, profesor laUniversitatea din Pisa si prieten cu Riemann ın ultimii ani de viata ai acestuia din urma:

χalg =

dim X∑i=0

(−1)iβi (14.7)

unde βi este numarul Betti de ordinul i adica dimHi(X), cu Hi(X)=grupul de i-omologie al lui X.

Exemplul 14.2 Reluand cazul lui Sn avem:

H0(Sn) = Hn(Sn) = Z, Hi(Sn) = 0, 1 ≤ i ≤ n (14.8)

ceea ce conduce la rezultatul: χalg(Sn) = 1 + (−1)n. 2

Rezultatul remarcabil al acestui teorii este egalitatea asteptata:

χtop = χalg. (14.9)

SEMINARUL 14: Cercul

S14.1 .

Rezolvare .

S14.2 .

Rezolvare .

S14.3 .

Rezolvare

S14.4 .

Rezolvare

Cursul 14 55

- - - - - - - - - - - - - - - - - -Tema individuala !Traian Cohal, Probleme de matematica pentru clasa a VII-a, Ed. Pim, Iasi, 2006.

T14.1 (problema 1, p. 187) Se da C(O, r = 7 cm) si punctele A, B, C, D si E a. ı. OA = 5 cm,OB = 4

√3 cm, OC = 7 cm, OD = 5

√2 cm si OE = 7, 5 cm. Se cere pozitia acestor puncte ın raport

cu C.

T14.2 (problema 2, p. 187) In C(O, r = 10 cm) se dau coardele [AB] si [CD] a. ı. d(O,AB) = 6 cmsi d(O,CD) = 8 cm. Aflati lungimea acestor coarde.

T14.3 (problema 3, p. 187) Fie A, B, C, D si E puncte distincte pe C(O, r). Sa se arate cdaca[AB] ≡ [AC] si [AD] ≡ [AE] atunci BC ‖ DE.

T14.4 (problema 4, p. 187) Prin extremitatile diametrului unui cerc dat se duc doua coardeparalele. Sa se arate ca aceste coarde sunt congruente.

T14.5 (problema 5, p. 188) In C(O, r) se da punctul M interior si coardele congruente [AB],[CD] ce contin pe M . Fie E mijlocul lui [AB] si F mijlocul lui [CD]. Sa se arate ca EF⊥OM .

T14.6 (problema 6, p. 188) Fie [AB] diametru ın C(O, r) si punctele C, D pe cerc situate deaceeasi parte a dreptei AB. Fie E proiectia lui A pe [CD] si F proiectia lui B pe CD. Sa se arate ca[CE] ≡ [DF ].

T14.7 (problema 7, p. 188) Fie G un punct interior lui C(O, r). Sa se arate ca exista un triunghiınscris ın C pentru care G este centru de greutate.

T14.8 (problema 8, p. 188) Fie ∆ABC si C(O, r) ce intersecteaza (AB) ın D si E, (BC) ın F siG, (BC) ın K si L. Sa se arate ca daca au loc doua dintre congruentele [AD] ≡ [BE], [BF ] ≡ [CG],[CK] ≡ [AL] atunci O coincide cu centrul cercului circumscris lui ∆ABC.

T14.9 (problema 9, p. 189) Fie ∆ABC ascutitunghic si neisoscel cu m(]C) = 45. Fie C(O,R)cercul circumscris, AE⊥BC, BF⊥CA cu E ∈ BC, F ∈ CA, M mijlocul lui [BC], N mijlocul lui[CA] si O′ = EN ∩ FM . Sa se arate ca: i) O = O′, ii) [EF ] = R.

T14.10 (problema 10, p. 189) Doua coarde ın C(O, r) congruente si perpendiculare se ımpartprin punctul lor de intersectie ın segmente de lungime 2 cm si 14 cm. Aflati r.

56 M. Crasmareanu

Bibliografie

[1] Constantinescu O.; Crasmareanu M.; Munteanu M.-I., Elemente de geometrie superioara, Ed.Matrix-Rom, Bucuresti, 2007.

[2] Crasmareanu, M., Geometria curbelor si suprafetelor,http://www.math.uaic.ro/∼mcrasm/depozit/Geo2 BOOK.pdf

[3] D’Angelo John P., An introduction to complex analysis and geometry, Pure and Applied Under-graduate Texts, 12, AMS, 2010.

[4] Dorff M. J.; Rolf J. S., Soap films, differential geometry, and minimal surfaces, Brilleslyper,Michael A. et al., Explorations in complex analysis. Washington, DC: The Mathematical Asso-ciation of America (MAA), Classroom Resource Materials, 85-159, 2012. Zbl 1311.53001

[5] Manuale de Matematica, Gimnaziu si Liceu, diverse editii.

57

Index

2-grupul liniar special complex, 41n-grupul liniar general real, 22-grupul liniar general complex, 41

afixul unui punct din plan, 7algebra numerelor complexe, 7

camp scalar pe o suprafata, 47caracteristica Euler pentru Sn, 54caracteristica Euler-Poincare, 54catenoidul, 35cercul, 18cercul unitate, 19conica Pell, 29conica Pell generalizata, 29conice nedegenerate, 2conjugatul unui numar complex, 7coordonate polare ın plan, 1criteriul raportului pentru serii complexe, 25curbura normala a unei suprafete, 45

derivate complexe, 12difeomorfism, 2distanta euclidiana ın coordonate polare ın plan,

1distanta unghiulara ın plan, 3

ecuatii Cauchy-Riemann, 12ecuatiile Darboux, 51elicoidul, 35elipsa, 18

forma a I-a fundamentala a unei suprafete regu-late, 34

formula schimbarii de variabila ın integrale, 4formula Weingarten, 49formulele fundamentale ale teoriei suprafetelor, 49functia exponentiala, 25functie analitica, 12functie armonica, 33functie neteda pe o suprafata, 47functie olomorfa, 12

gradul unui polinom de doua variabile, 17grup Lie, 41grup Pell, 29grup Pell generalizat, 29

hiperbola, 18

identitatea Euler, 27invariantii ortogonali ai unei conice, 18

lungimea cercului, 3

matrice Cauchy-Riemann, 12matrici Pauli, 19metrica warped plana, 3modulul unui numar complex, 7

normala tangentiala, 51

omografie, 41operatorul Cauchy-Riemann, 12operatorul Laplace, 12

parabola, 18parametrizare rationala pentru S1, 38parametrizarea elipsei canonice, 27parametrizarea exponentiala a lui S1, 27parametrizarea hiperbolei canonice, 27parametrizarea izoterma a unei suprafete regulate,

34polinom Hermitian, 17proiectia stereografica a lui S1, 37

radacinile unitatii, 8repreul Darboux, 51reprezentarea Weierstrass a suprafetelor minimale,

34

seria geometrica, 25sfera Riemann, 41spatiul proiectiv complex 1-dimensional, 41spirala lui Arhimede, 2spirale sinusoidale, 2

58

Index 59

structura aproape complexa, 12structura aproape produs, 42suprafata minimala, 34suprafata Enneper, 35

teorema de inversare locala, 2transformare Mobius, 41transformare omografica, 41triplet pitagoreic, 37

capitole speciale de geometrie mircea cr^a˘sm areanumcrasm/depozit/geo_master.pdf · 2 m. cr^a˘sm...

Documents