capitolul 06 - spirala logaritmica

6. CURBE SPIRALE. SPIRALA LOGARITMICĂ.

SPIRALA LOGARITMICĂ , , ,

Spiralele logaritmice de tip sunt curbele unice care au, printre altele, proprietatea remarcabilă de a putea vizualiza, pe drepte concurente în punctul asimptotic (de acumulare), şiruri de dimensiuni (lungimi de segmente alăturate), aflate toate în raportul de aur . Din acest motiv, când se procedează la designul unor noi produse sau la analiza designului unor produse existente, aceste spirale (ca şi spiralele derivate din acestea, ce vor fi toate studiate amănunţit în acest capitol) constituie un „îndrumar vizual” al tuturor proporţiilor riguros armonice.

Poziţia unui punct din plan poate fi precizată în mai multe moduri.

Cea mai cunoscută modalitate este utilizarea sistemului cartezian de axe, folosit încă din şcoala generală. Acest sistem este format din două axe perpendiculare în originea lor, pentru care s-a ales aceeaşi unitate de lungime. Axele sunt numite, de obicei, axa x, respectiv axa y.

Pentru a preciza poziţia unui punct P din plan se proiectează punctul respectiv pe cele două axe. Dacă proiecţiei pe axa x îi corespunde numărul a, iar proiecţiei pe axa y îi corespunde

numărul b, atunci perechea reprezintă coordonatele lui P în raport cu sistemul cartezian de axe considerat.

Ecuaţia unei curbe în raport cu un astfel de sistem de axe (fig. 6-1) este o ecuaţie în variabilele x şi y verificată numai de coordonatele unui punct variabil

situat pe .O altă modalitate de precizare a poziţiei unui punct din plan este utilizarea

sistemului de coordonate polare.Un astfel de sistem este determinat de o semidreaptă orientată, cu originea în O.

Semidreapta se numeşte axa polară (a.p.), iar originea ei este polul sistemului, (fig. 6-2, a).

a. b.

Fig. 6-2. (a) Sistemul de coordonate polare. (b) Unghiul dintre curbă şi raza vectoare

38

Fig. 6-1. Sistem de coordonate cartezian

Inovare inginerească în design

Poziţia unui punct P este bine determinată de două numere reale: de lungimea r a segmentului OP, segment numit rază vectoare. Numărul r se

numeşte modul şi este nenegativ; de unghiul polar făcut de axa polară şi raza vectoare OP. Unghiul polar

se măsoară pornind de la axa polară (fig. 6-2, b). Dacă măsurătoarea este făcută în sens trigonometric (sens direct), atunci este pozitiv. Dacă măsurătoarea este făcută în sens invers (sens orar), atunci este negativ.

Trebuie reţinut faptul că este măsurat în radiani şi drept urmare este tot un număr real. Deci, similar coordonatelor carteziene, perechea este tot o pereche de numere reale.

Ecuaţia în coordonate polare a unei curbe este o egalitate în variabilele r şi verificată numai de coordonatele unui punct de pe .

În studiul unei curbe se foloseşte sistemul de coordonate care conduce la ecuaţia cea mai simplă pentru curba respectivă.

Unghiul dintre tangenta în la curbă şi raza vectoare OP verifică

egalitatea , unde este derivata lui r în raport cu .

Se numesc spirale curbele ale căror raze vectoare r sunt funcţii univoce de unghiul cu variind între şi iar poate fi diferit de .

Spirala logaritmică este definită de ecuaţia în care constantele , , (fig. 6-3). Denumirea de spirală logaritmică provine de la forma

care este echivalentă cu ecuaţia de definiţie a spiralei.

Fig. 6-3. Spirală logaritmică

Dacă se dau valori lui de la la se obţine tabloul:

1 0 +1

39

Curbe spirale. Spirala logaritmică. Spirala logaritmică , , ,

r 0 a

Polul O este un punct asimptotic pentru spirala logaritmică.Se caută acum unghiul făcut de o rază vectoare cu tangenta la curbă într-un

punct.

. (6-1)

Rezultă

sau

Ecuaţia spiralei logaritmice mai poate fi scrisă

Consecinţa relaţiei (6-1) este că spirala logaritmică poate fi definită şi ca fiind acea curbă spirală care taie toate razele vectoare sub un acelaşi unghi constant (fig. 6-4).

Dacă se obţine, succesiv,

; ; ; .

Deci cercurile pot fi considerate ca fiind cazuri particulare ale spiralei

logaritmice (spirale degenerate având ).

Se consideră acum numerele ca fiind lungimile razelor vectoare ale punctelor spiralei logaritmice situate pe aceeaşi dreaptă, obţinute pentru unghiurile ; . Se notează aceste puncte cu , , , … (fig. 6-5).

Înseamnă că dă pe , pe , pe , ….Rezultă

, ş.a.m.d.

40


Fig. 6-4. Proprietatea de bază a spiralelor logaritmice

Fig. 6-5. Segmente determinate de spirală pe o rază vectoare

Din

,

41


se ajunge la

Dacă se notează se observă că lungimile razelor vectoare ale punctelor succesive , , , … constituie termenii unui şir în progresie geometrică cu raţia q.

Din proporţia de mai sus rezultă că formează un şir în progresie geometrică şi diferenţele având aceeaşi raţie .

6.1. SPIRALE LOGARITMICE TIP

Se poate găsi acum acea spirală logaritmică particulară, la care lungimile razelor vectoare succesive respectiv distanţele succesive determinate de spirală pe o dreaptă oarecare ce trece prin origine , să constituie şirul .

Atunci, se defineşte spirala logaritmică (fig. 6-6), ca fiind spirala logaritmică:

, cu (6-2)

Are proprietăţile:

1) ;

2)

Dacă se notează:

; ; ; ; …

atunci, proprietatea de recurenţă a unui şir tip FIBONACCI este:

3) ; ; ; …

4) ; ; …

Ecuaţia (6-2) se poate simplifica:

42


(6-3)

Se reaminteşte că şirul este şirul strict crescător cu termenii în progresie geometrică în care primul termen , . Adică şirul

Acest şir are şi proprietatea de a fi un şir recurent tip FIBONACCI:

; ; ; …

Analog s-a definit şi şirul , sau ca fiind

Pentru şirul , luându-se constanta , se obţine

(6-4)

Din (6-4), se obţine m ca fiind:

(6-5)

Spirala logaritmică este extrem de utilă în design. Lucrând analitic cu ecuaţia (6-3) se pot genera şiruri la orice scară alegându-se corespunzător valoarea constantei a.

Se pot considera (înlocuind pe din relaţia (6-2) cu , , etc.) şi alte spirale logaritmice de tip .

În fig. 6-4 şi 6-5 este prezentată o spirală logaritmică cu ecuaţia:

Are proprietăţile:

, şi

43


Fig. 6-6. Spirala logaritmică

Notând cu , , , … punctele de intersecţie dintre spirală şi semidreapta cu originea în pol care face cu axa polară unghiul , , (pentru urmărirea cu

uşurinţă a desenului, s-a luat constanta şi , în fig. 6-5 şi următoarele) şi cu

, , , … lungimile razelor vectoare ale punctelor , , , …, se obţine

La fel, , , ş.a.m.d.

Lungimile razelor vectoare, , , , …, formează o progresie geometrică

44


infinită cu primul termen şi raţia .

Se pot urmări acum diferenţele de forma , cu .

,

,

,

La fel,

, şi în general,

,

Rezultă că diferenţele formează, de asemenea, o progresie geometrică

infinită cu raţia , dar primul termen este .

Dacă se ia , punctele , , , … se află pe axa polară. În acest caz, şirul lungimilor razelor vectoare, , , , …, devine:

, , , …, , …

Şirul diferenţelor lungimilor razelor vectoare, , , , …,

este de asemenea o progresie geometrică infinită, cu primul termen şi raţia .

45



În fig. 6-7 este prezentată o spirală logaritmică cu ecuaţia

care are proprietăţile

, şi .

Dacă, la fel ca în cazul spiralei logaritmice , se consideră pentru spirala

logaritmică , fig. 6-7, o semidreaptă cu originea în pol şi care face unghiul cu axa polară, , atunci notând cu , , , … punctele de intersecţie dintre spirală şi semidreapta considerată şi cu , , , … lungimile razelor vectoare ale punctelor

, , , …, printr-un calcul similar se obţine:

, , , …, , …

46



În fig. 6-8 este prezentată o spirală logaritmică cu ecuaţia

care are proprietăţile

, şi

În fig. 6-9 sunt prezentate o serie de dreptunghiuri (dreptunghiuri armonice) prin colţurile cărora trece o spirală logaritmică (această spirală nu este tangentă ci secantă la laturile dreptunghiului).

47


Fig. 6-9. Spira mirabillis = Spirala lui BERNOULLI = Spirala logaritmică

6.2. ŞIRURI, SERII ŞI SPIRALE TIP

Acum, câteva noi consideraţii [POP2002a, b] asupra şirurilor şi seriilor de tip :

1. Şirul cu termenul general , ,

:

este un şir cu termenii în progresie geometrică, cu raţia .

Prin calcul direct, se obţine

Se va folosi această formă a raţiei în liniarizarea termenilor şirului , .

Seria geometrică corespunzătoare şirului este

48


Având raţia subunitară, această serie este convergentă. Suma ei este:

Din ecuaţia , se obţine , relaţie folosită în cele ce urmează. Ea permite şi aproximarea:

Întrucât suma seriei geometrice considerată mai sus este , rezultă:

suma seriei este .

Fig. 6-10. Şiruri crescătoare, respectiv descrescătoare

Se mai observă că şirul , , poate fi dat şi prin relaţia de recurenţă:

49


Într-adevăr, prin calcul direct, se obţine:

,

.

Raţionând inductiv, se presupune că şi .

Atunci, conform relaţiei de recurenţă, rezultă:

,

ceea ce demonstrează afirmaţia.

Fig. 6-11. Regăsirea pe o spirală logaritmică a şirurilor alipite şi

2. Şirul cu termenul general , ,

:

este o progresie geometrică infinită, cu raţia .

50


Evident, .

Seria geometrică este divergentă.

3. Şirul cu termenul general , , ,

:

este, de asemenea, o progresie geometrică divergentă.

4. Se pot „alipi” şirurile din consideraţiile 1 şi 2, definindu-se şirul astfel:

, cu .

Efectuând calculele, se obţine:

; ; ; ;

; ; ; ; ;

Termenii şirului se despart în două subşiruri. Cei de rang par formează un subşir crescător ce tinde la , iar cei de rang impar formează un subşir descrescător ce tinde la zero. Se observă că pe măsura creşterii lui n cu câte o unitate, termenii celor două subşiruri se obţin succesiv în mod alternant. Pe axă această situaţie se reprezintă la scară astfel:

Observaţia 1:Dacă există interesul „atenuării” creşterii rapide, sau descreşterii rapide a termenilor şirurilor din exemplele considerate, se poate

lua în locul lui o fracţie de forma , , , ,

, astfel încât . Atunci raţia progresiilor

geometrice care apar este de asemenea supraunitară, dar mai mică decât .

51

5a 3a 1a 0a 2a 4a 6a

0 3

1

1 2 3…

2

1

1


Spre exemplu, dacă se ia , atunci, ţinând seama că ,

rezultă aproximarea , şi creşterea este atenuată.

Dacă se ia raţia , se obţine aproximarea .

Pentru , rezultă aproximarea . Creşterile pentru

exponenţii pozitivi şi descreşterile pentru exponenţii negativi sunt mai rapide decât în cazul raţiei .

Aceste observaţii pot fi utilizate în determinarea unor spirale logaritmice „intermediare” între spiralele , , , …, care sunt studiate în continuare.

Spirala logaritmică are, în coordonate polare, ecuaţia , ,

.

Spirala logaritmică este „intermediară” între spirala logaritmică şi

spirala logaritmică , mai aproape de , (ţinând seama că ).

Spirala logaritmică are raţia de creştere aproximativ egală cu 10,7. Ea

este „intermediară” între spiralele logaritmice şi , mai aproape de , (ţinând seama că ).

Dacă , se obţine o spirală invers orientată. Ea se îndepărtează de pol

când unghiul polar este negativ şi creşte în valoare absolută şi se apropie de pol când unghiul polar creşte, luând valori pozitive (fig. 6-12).

4-8Fig. 6-12. Spirală logaritmică tip invers orientată

52


Dacă în şirul de la consideraţia 3 se ia raţia , şirul devine:

: ; ; ; ; 1; ;

; ; ;

care este crescător, sau descrescător, după cum , sau .

S-a observat că există o strânsă legătură între şirul lui FIBONACCI şi numărul

de aur .

Un exemplu (cunoscut) este faptul că şirul lui FIBONACCI, , are termenii

aproximaţi de termenii şirului , . Această aproximare este cu atât mai

bună cu cât n este mai mare. Calculele concrete arată că dacă numărul de zecimale considerat în aproximarea numerelor şi este mare, atunci termenii de rang par din

aproximează prin adaos termenii din şirul lui FIBONACCI, iar termenii de

rang impar prin lipsă. Această situaţie, care este cea reală, se alterează dacă numărul de zecimale este mic. Se poate urmări această aproximare în tabelul 6-1, unde s-au luat aproximările şi .

Este demn de remarcat şi faptul că puterile tind, de asemenea, către numere întregi.

Tabelul 6-1. Trei şiruri remarcabile

n

1 1,61803398874 0,72360679774 1

2 2,61803398874 1,17082039325 1

3 4,23606797745 1,89442719098 2

4 6,854101196612 3,0652475842 3

5 11,0901699434 4,95967477511 5

6 17,9442719093 8,02492235922 8

Tabelul 6-1. Continuare

53


n

7 29,0344418524 12,9845971342 13

8 46,9787137612 21,0095194932 21

9 76,0131556129 33,994116627 34

10 122,991869373 55,0036362298 55

11 199,005024984 88,997752746 89

12 321,996894354 144,001388864 144

13 521,001919333 232,999141608 233

14 842,998813679 377,000530469 377

15 1364,000733 609,999672072 610

16 2206,99954666 987,000202532 987

Însă, cea mai puternică legătură între şirul lui FIBONACCI şi puterile întregi, pozitive sau negative, ale numărului este dată de teorema (cunoscută) care urmează [WEI1999]:

Teoremă: Puterile întregi ale lui , , , se exprimă liniar prin , coeficienţii binoamelor respective fiind, în valoare absolută, termeni succesivi ai şirului lui FIBONACCI.

Demonstraţie:Demonstraţia, prin inducţie, este dată după [POP2002a].Pentru a prinde în această teoremă toate puterile întregi ale lui , se impune să

fie definit în şirul lui FIBONACCI şi termenul . Acest termen nou nu schimbă relaţia de recurenţă.

Se consideră, deci, şirul lui FIBONACCI dat de recurenţa

, , , , .

Atunci

: 0 ; 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34 ; …

În demonstrarea teoremei, se urmăresc mai întâi puterile

54


; ; ; …; ; …

Egalitatea reprezintă chiar ecuaţiacare-l defineşte pe .

Raţionând inductiv, se presupune că: .Atunci:

Rezultă că relaţia este adevărată pentru orice .Se consideră, acum, puterile:

1 ; ; ; ; … ; ; …

Atunci se intuieşte că:

.

Acceptând această egalitate, se demonstrează că are aceeaşi formă.

55


Rezultă că formula acceptată prin ipoteză este adevărată pentru orice :

Observaţia 2:Comentarii asupra acestei teoreme şi generalizări se pot urmări în [POP2002a, b].

Observaţia 3:Formulele demonstrate pentru exprimarea liniară a puterilor

numărului de aur sunt valabile şi pentru conjugatul său

.

Observaţia 4:Calcularea puterilor numărului prin formula dată de liniarizare este mai exactă decât valoarea obţinută prin ridicări succesive la putere, dacă numărul de zecimale nu este menţinut constant. Astfel, prin formula dată de liniarizarea puterilor se obţine

, pe când, prin ridicări succesive la putere se găseşte .

Revenind la spirala logaritmică, se constată că într-un număr destul de mare de lucrări, ecuaţia spiralei logaritmice este utilizată sub forma:

,

fiind evident că sau .

O întreagă serie de autori [ERB1999a, b], [KNO2002a, b], [PET1998], [TUL1998], [XAH2002], [******I], [******II], [******III], [******IV] care utilizează această formă a ecuaţiei, definesc o familie de spirale (denumite echiangulare), funcţie de următoarele valori ale lui :

; ; ; ; ;

Această familie de spirale aproximează de fapt spirale logaritmice tip după

56


cum urmează:

spirale având aproximează spirale logaritmice (având ) cu eroarea procentuală %;






6.3. GENERALIZĂRI ÎN STUDIUL SPIRALELOR LOGARITMICE DE TIP

În capitolul 6 s-au studiat spiralele logaritmice , , , . De asemenea,

în subcapitolul 6.2, s-a discutat despre spiralele logaritmice , , .

Toate aceste spirale logaritmice fac parte din clasa generală , cu .Ecuaţia, în coordonate polare, a oricărei spirale logaritmice de acest fel este

, , .

Considerând o semidreaptă cu originea în pol care face cu axa polară unghiul pozitiv , considerând constanta şi , atunci pe această semidreaptă se

evidenţiază punctele ei de intersecţie cu spirala logaritmică , , .

Aceste puncte se obţin atunci când unghiul polar ia valori din mulţimea

.

La fel ca în studiul oricărei curbe dată în coordonate polare, se va ţine seama că unghiul polar măsurat de la axa polară în sens invers sensului trigonometric este negativ.

Dacă se notează cu , , , …, , … punctele de pe semidreaptă corespunzătoare unghiurilor , , , , …, , … şi cu ,

, , , … lungimile razelor vectoare ale acestor puncte, atunci:

,

57


,

,

, …

În general,

.

Rezultă că numerele , , , , …, , …, care sunt lungimile razelor vectoare pentru punctele , , , …, , … formează o progresie geometrică

infinită cu primul termen şi raţia .

La fel ca în cazurile particulare ale spiralelor , , , pentru diferenţele lungimilor razelor vectoare, , , , , …, se obţin valorile:

,

,

,

şi, în general,

.

Aceste diferenţe formează, de asemenea, o progresie geometrică infinită, cu primul termen şi raţia .

Dacă se notează prin , , , …, , … punctele de pe semidreapta considerată corespunzătoare unghiurilor polare , , , , … şi cu

, , , , … lungimile razelor vectoare ale acestor puncte, se obţine:

,

,

58


,

, … ş.a.m.d.

Rezultă că, lungimile razelor vectoare ale punctelor , , , …

formează o progresie geometrică infinită descrescătoare cu primul termen şi

raţia .

Pentru diferenţele lungimilor razelor vectoare, scăzând din lungimile mai mari pe cele mai mici, se obţin valorile:

,

,

,

În general,

, …

Aceste diferenţe formează, de asemenea, o progresie geometrică descrescătoare

cu primul termen şi raţia .

În fig. 6-13 se prezintă grafic aceste situaţii.Considerând , se obţin punctele de intersecţie ale spiralei cu axa polară. În

fig. 6-13 aceste puncte au fost notate prin …, , , , , , …. Dacă se notează lungimile razelor vectoare ale acestor puncte prin …, , , , , , …, atunci

, , , , …, , …

, , , , …, , …

59


Fig. 6-13. Spirală logaritmică tip

Se pot considera şi spiralele logaritmice , , , .

Ele au ecuaţiile , , .

Aceste spirale logaritmice au creşterile inverse faţă de spiralele logaritmice . Când unghiul polar este pozitiv şi crescător, lungimile razelor vectoare descresc, iar când unghiul polar este negativ şi descrescător, lungimile razelor vectoare ale punctelor de pe spirală descresc.

Mai mult, graficul spiralei logaritmice este simetricul faţă de axa polară a

graficului spiralei logaritmice . Această afirmaţie este justificată de faptul că lungimea razei vectoare a punctului arbitrar P corespunzător unghiului polar de pe spirala logaritmică este egală cu lungimea razei vectoare a punctului

corespunzător unghiului polar de pe spirala logaritmică . Într-adevăr,

Simetrica spiralei din fig. 6-13 este dată în fig. 6-14.

60


Fig. 6-14. Spirală logaritmică tip invers orientată

Considerând în valoare absolută unghiurile şi corespunzătoare punctelor P şi de pe cele două spirale se observă (fig. 6-15) că , fiind triunghiuri dreptunghice care au ipotenuzele egale (congruente) şi unghiurile ascuţite egale. Rezultă , ceea ce demonstrează că este simetricul lui P faţă de axa polară.

În lucrările [POP2002a, b] se propune o generalizare a spiralei logaritmice ,

considerând spiralele logaritmice , cu ecuaţiile

, , , , ,

care pentru sunt „intermediare” spiralelor logaritmice , , iar pentru

sunt „intermediare” spiralelor logaritmice .

Fig. 6-15. Spirală logaritmică tip şi simetrica sa

Se poate obţine o generalizare similară [BOB2002c], considerând spiralele logaritmice , , . O astfel de spirală logaritmică are, în coordonate polare, ecuaţia

, , , .

61


Pentru spirala degenerează în cercul cu centrul în pol şi raza egală cu 1.Dacă , atunci, considerând o semidreaptă arbitrară cu originea în polul O, se

demonstrează, la fel ca în cazul spiralelor logaritmice , , că lungimile razelor

vectoare ale punctelor de intersecţie ale semidreptei cu cresc de la un punct de intersecţie la succesorul său în progresie geometrică, raţia fiind .

Dacă exponentul este , , rezultă că lungimile razelor vectoare ale punctelor de intersecţie, atunci când creşte (în sens trigonometric), descresc în progresie geometrică, raţia fiind , .

Fiecărei spirale logaritmice , , îi corespunde spirala logaritmică

, care este simetrica spiralei logaritmice faţă de axa polară.

Există o corespondenţă bijectivă între spiralele logaritmice , , ,

, , şi spiralele logaritmice , , .

Într-adevăr, logaritmând egalitatea se obţine, întotdeauna, o soluţie

unică pentru numărul t:

În concluzie, fiecare spirală logaritmică de tipul este identică cu o spirală

logaritmică de tipul , şi reciproc.Revenind acum la familia de spirale logaritmice cu

, , , , ,

se constată că fiecare dintre ele este generată de o spirală logaritmică de tip , (valoarea lui t dată cu rotunjire la a treia zecimală) după cum urmează:

spirala logaritmică




62




6.4. CÂTEVA DATE ISTORICE

În jurul anului 1170 se naşte, la Pisa (în Italia), fiul notarului cunoscut sub porecla de Bonaccio (blândul). Tânărul vlăstar, numit Leonardo, va avea parte, la dorinţa tatălui său, de o temeinică pregătire matematică, situată deasupra cunoştinţelor unui funcţionar sau negustor. Cunoştinţele sale matematice vor fi completate în timpul unor călătorii efectuate în mari centre culturale ale timpului, din Egipt, Siria, Bizanţ, Sicilia. Datorită culturii sale matematice şi problemelor originale propuse şi rezolvate, tânărul devine cunoscut în lumea matematică sub numele de Leonardo din Pisa.

În anul 1202, a publicat, sub pseudonimul FIBONACCI (provenit de la „filius Bonacci”, adică fiul lui Bonacci), cartea intitulată „Liber abaci”, al cărei titlu are sensul de „Aritmetica”. Această carte remarcabilă, pe care a dezvoltat-o mult în anul 1228, a constituit un mijloc important de răspândire în Europa a noii aritmetici (cu scrierea zecimală). În ea, FIBONACCI sintetizează o mare cantitate de cunoştinţe din matematica arabă şi din zestrea antichităţii în domeniu, la care adaugă probleme şi metode proprii.

Spirala logaritmică a fost descoperită în anul 1638, de René DESCARTES (1596-1650), iar denumirea ei a fost propusă de unul dintre creatorii calculului infinitezimal, Pierre VARIGNON (1654-1722), în anul 1702. Spirala logaritmică a fost studiată şi de Evanghelista TORRICELLI (1608-1647), unul dintre elevii lui Galileo GALILEI (1564-1642). Cel care în 1692 a demonstrat principalele proprietăţi ale spiralei logaritmice, a fost marele matematician Jacob BERNOULLI (1654-1705).

Entuziasmat de proprietăţile cu totul speciale ale spiralei logaritmice, Jacob BERNOULLI a dispus ca după moarte, pe piatra sa de mormânt să fie sculptată o spirală logaritmică şi inscripţia „Eadem mutata resurgo”, ceea ce tradus din limba latină înseamnă „Mă transform rămânând aceeaşi”

Spirala logaritmică se întâlneşte frecvent în natură. De exemplu, la modul de aşezare a seminţelor florilor. Aşezarea seminţelor la floarea soarelui (Helianthus maximus) reprezintă un caz care se poate verifica şi cu ochiul liber, datorită faptului că totul se petrece la scară mare. Este uşor de constatat că seminţele florii-soarelui sunt dispuse în aşa fel încât formează două serii de spirale logaritmice: o serie de spirale curbate în sensul minutarelor unui ceasornic, iar cealaltă serie de spirale curbate în sens invers (fig. 6-16, 6-17)

63


Fig. 6-16. Serii de spirale logaritmice la floarea soarelui

Mai mult decât atât, la floarea soarelui, cele două sensuri de curbură ale unui exemplar nu prezintă un număr egal de spirale, dar nici două numere diferite întâmplătoare, ci două numere succesive din şirul lui FIBONACCI; la floarea normală, mijlocie (cu diametrul de cca. 12…15 cm), se pot număra de obicei 34 de spirale într-un sens şi 55 de spirale în celălalt sens; la exemplarele mici 13 şi 21 sau 21 şi 34 spirale, iar la exemplarele mari până la 89 şi 144 de spirale.

Spirala logaritmică se întâlneşte şi în profilul multor specii de cochilii, la dispunerea ramurilor, la coarnele unor animale, la figurile geometrice de pe penajul unor păsări. Binecunoscuta cochilie de Nautilus (fig. 6-18) prezintă , cu o uluitoare perfecţiune, spirala logaritmică şi succesiunea potenţial infinită a compartimentelor.

64

Fig. 6-17. Aşezarea spiralată a seminţelor la floarea soarelui (Helianthus maximus)


Fig. 6-18. Cochilie de Nautilus

Astronomii au avut surpriza să descopere spirale logaritmice pe plăcile lor fotografice: aceasta este forma nebuloaselor spirale (fig. 6-19).

65

Fig. 6-19. Galaxia Whirlpool M51 (descoperită de Charles MESSIER în 1773), din constelaţia Canes Venatici

capitolul 06 - spirala logaritmica

Documents