1

Societatea de tiine Matematice din Romnia Filiala Cara-Severin

REVISTA DE MATEMATIC

A ELEVILOR I PROFESORILOR

DIN JUDEUL

CARA-SEVERIN

Nr. 41, An XIII 2012

Acest numr al revistei are avizul Comisiei pentru publicaii a SSMR

Editura Neutrino Reia, 2012

2

2012, Editura Neutrino Titlul: Revista de matematic a elevilor i profesorilor din judeul Cara-Severin I.S.S.N. 1584-9481 Redactor ef Lucian Dragomir Secretar general de

redacie

Ovidiu Bdescu Redactori principali Antoanela Buzescu Adriana Dragomir Mariana Mitric Iulia Cecon Heidi Feil Mihai Monea Comitetul de

Redacie

Membri: Irina Avrmescu Delia Dragomir Pavel Rncu Costel Bolbotin Mariana Drghici Nicolae Stniloiu Vasile Chi Mihael Lazarov Marius andru Ioan Dncil Petrior Neagoe Lcrimiora Ziman Membri onorifici: Tudor Deaconu Adrian Lascu Dan Drago Popa Marius Golopena Lavinia Moatr Vasilica Gdea Mircea Iucu Ion Dumitru Pistril 2012, Editura Neutrino

Toate drepturile rezervate Mobil: 0741017700 www.neutrino.ro E-mail: contact@neutrino.ro

mailto:contact@neutrino.ro

3

CUPRINS

Proverbe chinezeti ................................................................... pag. 4

Chestiuni metodice, note matematice (i nu numai) Matematica...altfel (partea a X-a) Numrul 10 (Ioan Dncil)........................................... Asupra unei probleme de numrare (Nicolae Stniloiu) ..... Asupra unei probleme de concurs (Nicolae Stniloiu)....................................................... Cronic ieean (Mihai Lazarov) ...................................... A XVI-a Conferin Anual a SSMR (Mihai Monea).......................... Tabra Rul Alb 2012 (Antoanela Buzescu, Ovidiu Bdescu).................

pag. 5 pag. 7 pag. 9 pag.12 pag.14

pag.15

Probleme rezolvate din RMCS nr. 37....................................... pag.19

Probleme propuse ............... Probleme alese ...........................................................................

pag. 38 pag. 57

Rubrica rezolvitorilor ............................................................... Pota redaciei.............................................................................

pag. 58 pag. 58

Miniconcursul revistei .............................................................. pag. 59

4

Proverbe chinezeti

Rubinul nu poate fi lefuit fr frecare i nici omul nu poate fi perfecionat fr mai multe ncercri. nvtorii i deschid ua, ns tu nsui trebuie s treci prin ea. Cel care ntreab este prost pentru 5 minute, dar cel care nu ntreab rmne prost pentru totdeauna. Trebuie fcut repede ceea ce nu ne preseaz pentru a putea face ncet ceea ce ne preseaz. Viitorul unui an depinde de primvar; viitorul unei zile, de ora 5 dimineaa. iglele care feresc de ploaie au fost fcute pe vreme bun. Un cuvnt pornit din inim ine cald trei ierni. A deschide un magazin este uor, a-l pstra deschis este o art. Dac vrei s zbori ca un fluture, nu te zbate ca un coco! Gloria nu este a celor nenvini, ci a celor care se ridic dup fiecare lovitur. Iubete-m cnd o merit cel mai puin; atunci am nevoie cel mai mult. A-i stpni o clip de mnie nseamn a evita un secol de regrete. Ne trebuie doi ani s nvm s vorbim i ntreaga via s nvm s tcem.

5

Matematica...altfel (partea a XI-a) Ioan Dncil, Bucureti

Numrul 10

Binecuvnteaz-ne, numr divin, tu care i-ai zmislit pe zei i pe oameni! O sfnt, sfnt tetraktis, tu care cuprinzi rdcina uvoiului venic al creaiei! Aa recunoteau pitagoreicii importana numrului 10. Reprezentat ca un numr triunghiular, sum a primelor patru numere naturale, interpretat ca o cifr, pentru antici, decada sacr tetraktis nseamn totalitatea, desvrirea, finalitatea. Un canon pentru tot. Prima dat i-am bnuit importana atunci cnd mama fericit i-a spus entuziasmat unei vecine, i ea mam: Al meu tie s numere pn la zece! Tocmai mi rspunsesem la ntrebarea:

Cte degete am la ambele mini? Baz n sistemul de numeraie utilizat astzi de toi locuitorii

planetei, numr tetraedral (de forma ( 1)( 2)6

n n n+ + ), coeficient binomial,

numrul 10 are o proprietate tipic: 10 0N N = . ntre multiplii i submultiplii unitilor de msur, n aproape toate cazurile, unicul pasaj utilizeaz scara zecimal. Utilizarea prefixelor greceti deca, hecto, kilo pentru multipli i cele latine deci, centi, mili pentru submultipli vrea s sublinieze universalitatea sistemului metric, sistem ce se conjug n aerul lui 10. Ne amintesc de zece intervalul de 10 ani decada, proba masculin de atletism decatlon, cele zece porunci ale lui Moise, un decalog, ordinul decapodelor (crabii, creveii, homarii care au cte 5 perechi de picioare). Atunci cnd romanii au numit-o, decembrie era a zecea lun. Decagon este numit poligonul cu 10 laturi, decaedrul poliedrul cu zece fee. Cartea ta de identitate are valabilitate un deceniu, numrul popicelor la bowling este 10, utilizm 10 tipuri de reele de comunicaie (rutier, fluvial, feroviar, aerian, distribuitoare de ap, de gaz, de electricitate, telefonie, neuronal i internet). Mitica Atlantid avea zece

6

regiuni, zece regi. n cugetrile oamenilor, zece reprezint suficient de mult (mai jos urmeaz cele zece cugetri).

Exist o regul a lui 10 I n marketing (nvare, integrare, interactivitate, promptitudine, interconexiune, informaie, intermediere, individualizare, iteraie, invitaie). Lucrrii flamandului Simon Stevinus La Disme (zecimea) i datorm utilizarea generalizat a numerelor cu virgul n lumea european. Zece n nelepciunea popoarelor

1. Unul slab triete mai mult dect zece grai.

2. Zece justificri sunt mai puin convingtoare ca una singur.

3. O singur pasre n mn valoreaz mai mult dect zece psri

pe gard.

4. Zece detepi nu pot s dezlege ceea ce a legat un prost.

5. Ferice de cel cruia i spui o vorb i pricepe zece i vai de cel

cruia i spui zece i nu pricepe niciuna.

6. D una ca s i se dea zece.

7. O fapt bun valoreaz mai mult dect zece consolri.

8. Dac vara te plimbi o zi, iarna flmnzeti zece.

9. Un singur inamic face mai mult ru dect fac bine zece amici.

10. Un dascl adevrat valoreaz mai mult dect zece cri.

7

Asupra unei probleme de numrare Nicolae Stniloiu, Boca

REZUMAT. n aceast not prezentm dou soluii (instructive

credem) i o generalizare ale unei probleme de numrare. Problema a constituit subiect de concurs la o olimpiad din Polonia i n [1] este oferit o soluie. Problem. Fie *n i mulimea { }1,2,...,2A n= . S se gseasc numrul submulimilor mulimii A n care ecuaia 2 1x y n+ = + nu are soluie.

Vom da dou soluii acestei probleme, ambele diferite de cea prezentat n [1] (care are i mici erori de tehnoredactare) i apoi vom enuna cteva variante similare schimbnd condiia din enun. Soluia 1. S considerm submulimile { },2 1kA k n k= + , 1...k n= .

Vom numra, folosind principiul includerii i al excluderii, numrul de submulimi n care ecuaia respectiv are soluie. O astfel de submulime trebuie s conin cel puin o submulime kA , 1 k n . Dac notm cu kB , 1...k n= , mulimea tuturor submulimilor care conin

kA i dac ( )n X este numrul de elemente ale mulimii X, atunci

( )1 2 22 nkn B = , ( )1 2 2 42 nk kn B B = , ( )1 2 2 2... 2p n pk k kn B B B = , unde 1 p n . Conform cu principiul includerii i al excluderii avem:

( ) ( ) 11 2 2 2 2 4 3 2 61 2 ... 2 2 2 ... 1 nn n n nn n n n nn B B B C C C C = + + Numrul submulimilor mulimii A n care ecuaia 2 1x y n+ = + nu are

soluie va fi egal cu: ( )2 1 22 ...n nn B B B = ( ) ( )2 1 2 2 2 2 4 3 2 62 2 2 2 ... 1 4 1 3n nn n n n n nn n n nC C C C = + + + = =

Soluia 2. S considerm submulimile { },2 1kA k n k= + , 1...k n= . O submulime oarecare a mulimii A care are proprietatea din enun preia din submulimile kA cel mult un element.

8

Submulimile cu p elemente avnd proprietatea din enun se formeaz din p submulimi kA care pot fi alese n

pnC moduri, 1 p n .

Un set de p submulimi kA produce ns 2p submulimi cu proprietatea

cerut, deoarece un element din kA se poate alege n dou moduri. Prin urmare numrul total de submulimi care au aceast proprietate este:

( )0 0 1 1 2 22 2 2 ... 2 2 1 3nn n nn n n nN C C C C= + + + + = + = S ne punem acum urmtoarea ntrebare: Ce se ntmpl dac schimbm condiia dat cu aceea prin care

ecuaia x y n = nu are soluie ntr-o submulime a mulimii A?. Soluia a doua funcioneaz perfect ns pentru submulimile { },kA k n k= + ,

1...k n= , rezultatul fiind acelai. Aceast observaie ne duce cu gndul la urmtoarea Generalizare. Fie *n i mulimea { }1,2,...,A k n= . S se gseasc numrul submulimilor mulimii A n care diferena x y nu se divide cu n, oricare ar fi x i y din acea submulime. Soluie: Se consider submulimile ( ){ }, ,2 ,..., 1iA i n i n i k n i= + + + , 2k ,

,k i , 1...i n= . Este clar c 1

n

ii

A A

=

i c o submulime cu

proprietatea din enun nu poate conine dou elemente din aceeai submulime iA . Cum un set de p submulimi iA produce

pk submulimi cu proprietatea cerut (deoarece un element dintr-o submulime iA se poate alege n k moduri), deducem c numrul submulimilor cu p elemente avnd proprietatea din enun va fi p pnC k i deci numrul tuturor submulimilor cu proprietatea din enun va fi:

( )0 0 1 1 2 2 ... 1 nn nn n n nN C k C k C k C k k= + + + + = + . Bibliografie [1] A. Dragomir, L. Dragomir, O. Bdescu, I.D. Brchi Exerciii i probleme de matematic pentru clasa a IX a (i nu numai), Ed. Brchi, 2010

9

Asupra unor probleme de concurs Nicolae Stniloiu, Boca

REZUMAT. n cele ce urmeaz vom da soluii alternative la cteva probleme de concurs. Problema 2, clasa a VII-a, ONM 2011. n patrulaterul convex ABCD avem ( ) ( ) 090m BCD m ADC = . Bisectoarele unghiurilor BAD i ABC se intersecteaz n M. Demonstrai c dac M CD , atunci M este mijlocul lui [ ]CD . Soluie: Vom construi conform cu figura de mai jos urmtoarele: [ ] [ ]AE AD , [ ]E AB i [ ] [ ]BF BC , [ ]F AB . Din congruena triunghiurilor ADM i AEM rezult uor urmtoarele:

Fig. 1.

[ ] [ ]DM ME i ADM AEM (1)

i analog din congruena triunghiurilor BCM i BFM rezult urmtoarele: [ ] [ ]MC MF i MCB MFB . (2)

Din (1) i (2) rezult c MEF MFE i deci triunghiul MEF este isoscel i de aici folosind din nou (1) i (2) rezult c [ ] [ ]MD MC Problema 4, clasa a VII-a, ONM 2011. Se consider triunghiul ABC n care ( ) 060m ABC = . Punctele M i D sunt situate pe laturile ( )AC , respectiv ( )AB astfel nct ( ) ( )2m BCA m MBC = i BD MC= . Determinai ( )m BMD .

A B

C

D

M

F E

10

Soluie: Construim figura de mai jos, n care triunghiul DBM a fost rotit

cu 600n aceast rotaie, corespondentul punctului D este punctul

n sensul acelor de ceasornic, avnd ca centru de rotaie punctul B.

[ ]E BC , corespondentul lui M este punctul F. Deasemenea bisectoarea unghiului C intersecteaz dreapta BM n

punctul G. Evident triunghiul GBC este isoscel i, dac notm ( )m MBC x = , atunci: ( ) 2m MGC x = .

Se observ c triunghiurile BEG i CMG sunt congruente i va rezulta c [ ] [ ]GE GM , deci triunghiul GME este isoscel; cum ( ) 2m EGB x = deducem c ( )m GME x = , aadar triunghiul BME este isoscel.

Se arat acum uor c triunghiurile BFE i MFE sunt congruente i, cum triunghiul BFM este echilateral, va rezulta c FE este bisectoarea unghiului BFM , care are msura de 600

Se observ mai departe c triunghiurile DBM i EBF sunt congruente ceea ce duce la concluzia c

.

( ) ( ) 030m DMB m BFE = =

Figura 2.

F

B E C

M D

A

G

11

Problema 2. Balcaniada pentru juniori 2012 (OBMJ 2012) Cercurile 1k i 2k se intersecteaz n A i B. Dreapta t este tangenta cercurilor 1k i 2k n M i respectiv N. Dac t AM i

2MN AM= , determinai ( )m NMB . Soluie: Problema este una din categoria celor mai simple dar merit s vedem o alternativ de rezolvare bazat pe cunotine extrem de simple. Soluia se rezum la urmtoarele observaii: Dac notm cu r raza cercului 1k , atunci 2MN r= , 5AT TN r= = (rezult din triunghiul APT cu teorema lui Pitagora) i folosind asemnarea triunghiurilor EKM i ETN se deduce EM r= , ceea ce arat c triunghiul KEM este dreptunghic isoscel i, cum MB ET (ambele fiind perpendiculare pe AB), va rezulta c ( ) 045m NMB = .

Figura 3.

Bibliografie: [1] A 62-a Olimpiad Naional de Matematic Supliment al revistei Gazeta Matematic [2] Maria Mihe Asupra unei probleme de la ONM 2011 (articol publicat n RMT 3/2011

A

M E

N

T

K B

P

12

Cronica ieean (se ntoarce...)

Ai grij ce-i doreti, c s-ar putea s i se ntmple.... n urm cu un an, impresionat de frumuseea inegalabil a Iaului,

trecnd pe la Mitropolie - acas la Sf. Cuvioasa Parascheva - mi-a trecut o dorin prin gnd, aceea de a reveni pe aceste ulii, poate chiar nsoit i de apropiai. Aa c, ntre dou concursuri, cineva de-acolo, de sus mi-a ndeplinit dorina - am mai fost de dou ori...

Cel de-al patrulea drum la Iai (din toat existena mea), a debutat la Oravia, de unde am pescuit-o pe Iasmina, adus din Moldova-Nou captul cellalt al diagonalei (evident, imaginar) ce unete dou dintre colurile Romniei. Pn la Reia, printre vreo dou melodii ale unor formaii srbeti (muzica din timpul copilriei mele), am urmat norii de ploaie (sau ei pe noi...). La municipiu, am completat cele dou locuri disponibile ale mainii mele cu Daniel i Oana. ntr-una din benzinriile de la ieirea spre Caransebe am fcut "jonciunea" cu maina care aducea pe Raluca i Monica. Echipa s-a ntregit la Lugoj, unde ne atepta Roxana.

Cine zicea c CFR-ul nu e punctual ? La ora scris pe bilet, trenul era fix pe peron. Ne-am desprit ncercnd inevitabilele emoii printeti i nelipsitul S fii cumini...! De data aceasta, la ndemnul Roxanei (viitoarea ef de la Regionala de Ci Ferate, nu peste mult timp - am mai scris n cronica trecut), am cumprat bilete la cuet, aadar, timp de 17 ore am avut timp i de somn, dar i de ceva matematic... Admiratoarele Hannei Montana mi-au propus un pariu: pentru fiecare premiu luat la concurs, eu mi voi vopsi cte o unghie cu oj de la fiecare (10 degete mprit la 5 fete este egal cu... 2 degete vopsite - numai bine, mcar le voi vopsi simetric; n grup nu erau dou cu aceeai culoare la oj).

Printre funcii surjective, cteva integrale i vreo dou seturi de cruce, ascultnd glasul roilor de tren, am ajuns n frumoasa gar a Ieilor. Pe peron ne-a ateptat domnul profesor de matematic de la Cotnari (cum o fi petrecut Sptmna altfel" pe acolo ?). De aceast dat am fost cazai n buricul trgului - la Colegiul de Art Octav Bncila.

Nici acum nu tim dac noi am adus ploaia sau ea ne-a urmat... Cu ecusoanele n piept (la fel de mndri c pe ele scrie Cara-Severin), am pus o vorb la Sf. Parascheva pentru toi cei care au nevoie de ajutor i am pornit pe urmele lui Eminescu. Ca ofier (n rezerv) ce sunt (am fcut armata n urm cu vreo 15 ani), am nvat c, nainte de btlie

13

soldatul trebuie s mnnce pe sturate, aa c am dovedit o porie zdravn de tochitur moldovineasc cu murturi (oare i rzeii fceau la fel ?)...

Ploaia ne urmrea, precum turcii pe tefan... Btlia cu picturile de ploaie avea s se dea dup ce am vzut parcul Copou. Dei ne-am luat usctor de pr, nu am mai avut loc de umbrele sau apc n multitudinea de bagaje, aa c ne-am retras strategic (ntocmai ca tefan la Daniil Sihastrul) ntr-un magazin, de unde ne-am narmat cu umbrele. Usctoarele de pr s-au dovedit utile, totui...

Seara am servit masa la cantina internatului, dup care, noi, profesorii am fost la edina tehnic de la cartierul general stabilit la Colegiul Tehnic G. Asachi. Am avut prilejul de a sta de vorb cu venerabilul academician Radu Miron, un fost student al profesorului A. Haimovici, care ne-a povestit cu nostalgie i mult umor ntmplri cu i despre matematicieni.

A doua zi - concursul ! Emoii inevitabile, fiori, eu nu mai tiu nimic, etc.

Ne-am trezit devreme i viteji precum rzeii, nu am mai ateptat ghidul care urma s ne duc la locul celeilalte btlii, matematice de aceast dat. Ne-am urcat n tramvaiul 13 (ghinion) i am ocolit o bun parte din Iai, dei erau altele care ajungeau mai repede... Cu ajutorul unor doamne respectabile, am gsit Facultatea de TCM, locul n care se desfura cea de-a 16 ediie a concursului, la cea de-a 100-a aniversare a naterii lui A. Haimovici.

Timp de 4 ore, cei aproape 650 de participani au avut cu ce s se lupte... Subiectele au fost frumoase, jumtate din ele fiind de matematic aplicat. De remarcat este efortul organizatorilor care au suportat, alturi de acest concurs, nc dou olimpiade concomitent. Dup ce au servit masa, concurenii au fost invitai la un tur al oraului, mpreun cu ghizi de la o agenie de turism... Fie ploaie, fie vnt, n Iai ai ce vedea (cele aproape 500 de poze fcute cu camerele de fotografiat nu pot surprinde chiar tot)... A urmat misiunea noastr - de a corecta. De aceast dat, am corectat la clasa a 9-a Servicii, mpreun cu colegul meu din Braov. Subiectele au fost nu prea uoare, mai ales c muli dintre concureni au ncercat "tradiionala" inducie, chiar dac cei care au propus subiectele au oferit o soluie clasic...

Seara, am neles superstiia fetelor n legtur cu numrul 13 - ne-au desprit puine puncte de ultima meniune (1 punct Monica, 1,5 puncte Mdlina). Graba, oboseala, stresul Bacalaureatului care nu e

14

departe, tramvaiul 13... Noi s fim sntoi...! O nou experien a fost trecut n CV-ul personal... Cel mai ctigat a fost cronicarul, care nu a mai fost nevoit s i vopseasc unghiile.

Smbta am petrecut-o n splendidul parc botanic din dealul Copoului, la Bojdeuca lui Creang i la shopping. Cu bagajele obeze ne-am urcat n tren, bucurndu-ne c am fost primii, mcar n ordinea sosirii la concurs, ultimii care au plecat din Iai i c ne-am situat pe un loc de mijloc n concurs.

Am fost, precum Chiria din provincie la Iai: Monica Epure i

Mdlina Goian de la Liceul Teoretic "General Dragalina" din Oravia, Oana Rou de la Liceul Teoretic Tata Oancea" din Boca, Roxana Margan de la Liceul Pedagogic "C.D. Loga" din Caransebe, Iasmina Ilievici de la Grup colar Industrial din Moldova Nou i Daniel Guia de la Colegiul Naional Traian Lalescu din Reia.

n rolul cronicarului - subsemnatul.

Prof. Mihai Lazarov - Liceul Teoretic General Dragalina Oravia

A XVI-a Conferin Anual a SSMR Mihai Monea, Deva

Societatea de tiine matematice din Romnia, n colaborare cu filialele din regiunea Prahova, a organizat, la Universitatea de Petrol Gaze din Ploieti, a XVI a Conferin anual a SSMR, n perioada 19.10 21.10. 2012. Evenimentul din acest an a fost dedicat celei de-a 70-a aniversri a Domnului Profesor Univ. Dr. Ioan Tomescu, membru corespondent al Academiei Romne (printre altele i Preedinte al Comisiei Naionale de Matematic n perioada 1984 1993). Au fost susinute cteva conferine n plen, apoi lucrrile conferinei s-au desfurat pe urmtoarele seciuni:

(1) Cercetare matematic (2) Problem solving (3) Didactic matematic. Istoria matematicii. Credem c merit amintite cteva dintre titluri i autorii lor, unii

dintre ei personaliti absolut marcante ale colii matematice romneti: Conferine n plen:

15

Prof. Univ. Dr. Preda Mihilescu, Universitatea Gttingen, Germania Ecuaii diofantice clasice i aportul lor la istoria matematicii Prof. Univ. Dr. Viorel Barbu, Universitatea Al. I. Cuza, Iai Determinism, haos i auto organizarea strilor critice Prof. Univ. Dr. Ioan Tomescu, Universitatea Bucureti Cteva aplicaii ale grafurilor n chimie; indici topologici Lucrri prezentate pe seciuni: Prof. Univ. Dr. Ion D. Ion, Universitatea Bucureti O variant polinomial a cifrului RSA Cercettor t, Mihai Cipu Variaiuni pe o problem de olimpiad Prof. Univ. Dr. Radu Gologan Reprezentri grafice i combinatoric Prof. Dr. Dan Marinescu, Prof. Mihai Monea, Prof. Mihai Opincariu, Prof. Marian Stroie Caracterizri ale funciilor convexe Cercettor t. C.M. Cazacu Teoria de control n viaa real Prof. Univ. Dr. Cristinel Mortici O abordare natural a raportului lui Wallis Lector Univ. Dr. Mihai Chi Aplicaii ale metodei coordonatelor baricentrice Prof. Dr. Manuela Prajea, Prof. Marius Minea Stabilirea unor inegaliti integrale Prof. Roxana Soare, Prof. Constantin Soare Ecuaii diofantice Mai multe informaii putei gsi pe site-ul conferinei: http://www.ssmprahova.ro/confmath.html. Nu putem ncheia fr a remarca organizarea de excepie a manifestrii, eforturile deosebite ale gazdelor pentru reuita deplin a Conferinei (i absena profesorilor din Cara Severin).

Tabra Rul Alb 2012

Antoanela Buzescu, Ovidiu Bdescu

i anul acesta, ca n fiecare an, s-a desfurat n Cara-Severin Tabra de matematic i nu numai, ediia a IV-a. Fa de anii trecui, locaia s-a schimbat puin, Tabra de la Rul Alb fiind ideal pentru asemenea activiti. Nu credeam s tresc vremurile cnd aceste cabane prsite s renasc, i asta doar datorit doamnei Liliana Dacica.

http://www.ssmprahova.ro/confmath.html

16

Ideea de a fi o tabr nu numai de mate a fost ciocolata cu care olimpicii notri au fost convini i anul acesta s participe i s le fie drag s fac matematic i n vacan. i-au dezvoltat gndirea, i-au mbuntit logica matematic, au ascultat i poveti din frumoasa istorie a matematicii. Iar cei crora matematica le prea seac i imposibil, discuiile n miez de noapte sper s le fi schimbat puin stilul de gndire.

Noi, profesorii organizatori, Antoanela Buzescu i Ovidiu Bdescu, mulumim profesorilor-lectori a cror calitate profesional nu mai este necesar s o subliniem aici: Marius andru, Irina Avrmescu, Mirela Rdoi, Mariana Drghici, Ramona Clin, Ciprian Clin i nu n ultimul rnd celui mai bun rezolvitor de probleme din jude, Nicu Stniloiu, nimeni altul dect cel care are timp s fie i inspectorul de mate al judeului.

Mulumim elevilor prezeni acolo, aa cum am spus de fiecare dat, ei au fcut tabra, aa cum tot ei ar trebui s continue acest articol. i...le dm cuvntul, n ordinea primirii mailurilor de la ei:

mi amintesc i de nviorarea de diminea (care nu mi-a plcut

deloc, recunosc), meciul de fotbal cu domnu' Bdescu, drumeia n pdure, printre copaci i crri, frunzele i aerul proaspt. Era s uit: nopile lungi, cu poveti la care copiii nu adormeau.

Epura Georgian, clasa a VIII-a, Liceul Bnean Oelu Rou

Dincolo de problemele de mate, mi-au rmas vii n amintire momentele n care ne amuzam cu jocurile de autocunoatere, cu numerele de iluzionism sau Karaoke, atelierele de fotografie i regie de filmAr fi multe de spus, mi las prietenii din tabr s-mi continue povestea

Buzescu Mlina, Caransebe

Dorina de a ajunge n tabra de matematic m-a impulsionat, de altfel, s muncesc mai mult. Pentru mine, tabra de matematic a fost o nou i plcut experien, prima tabr din viaa mea..

Blnoiu Ana Maria

17

Drumeii prin pdure, seri trzii i nviorri matinale, amenzi i versuri de melodii, foc de tabr i cel mai importantextraordinare prietenii. Aa a caracteriza, n minimul de cuvinte, ultima mea ediie a Taberei de Matematic de la Rul Alb.

mi rmne s ofer un simplu mulumesc pentru aceast tabr i pentru tot ce s-a realizat prin ea.

Georgi Vernicu Colegiul Naional Traian Lalescu Reia

Mult culoare, chipuri vesele, distracie, cunoatere i, evident,

competiie...sunt momente pe care le-am mpletit cu drag, n cteva zile, la Rul Alb, toate mbrcnd vemintele unui nceput de vacan aa cum mi place mie, mbinnd utilul cu plcutul.

Arta de a cuta, a nscoci i a te juca cu cifrele a fost la rang nalt n aceste zile. Ne-am ntrecut cu toii, elevi i profesori, cu ajutorul raionamentului deductiv, reuind s furim un Univers exact, Universul nostru!

Teodora Aura Potocean Clasa a VI-a B, coala Gimnazial Nr.2 Reia

O provocare plcut a fost problema zilei, o problem de logic, a crei rezolvare ne-a dat de multe ori mari bti de cap dar i satisfacia gsirii rspunsului corect. Partea cea mai frumoas i mai interesant a fost partea i nu numai.

Atelierele de psihologie, comunicare, fotografie dar i de realizare a unui reportaj, ne-au nvat s ne descoperim ntr-un mod nou chiar i pentru noi. Am ajuns s ne cunoatem mai bine, s ne facem prieteni deosebii, s colaborm ntr-un mod plcut.

Oana Rdoi Clasa a VIII-a, coala Gimnazial Nr.2 Reia

M-am distrat, am luat parte la numeroase ateliere cum ar fi:

magie, fotografie, documentar, psihologie, jocuri de cunoatere i am nvat multe lucruri interesante, nu numai n domeniul matematicii.

Ultima sear a ajuns repede, seara n care am avut concursul de talente i ne-am strns n jurul focului de tabr vorbind pn trziu.

18

mi va lipsi atmosfera, glumele, nviorarea, pn i matematica. A fost frumos, o sptmn departe de calculator, internet, alturi de oameni extraordinari.

Mereu imi voi aminti cu mare drag de tabr de matematic, locul n care am legat prietenii i am ptruns n lumea matematicii.

Adina Lina Colegiul Naional Traian Lalescu Reia

n ediia anului acesta, am avut ocazia, bineneles, de a ne

aminti ce am nvat n anul colar ce tocmai se ncheiase i de a ne exersa n continuare cunotinele, ns i de a nva foarte multe lucruri noi i de a ne dezvolta ca i caractere.

Mie mi-au plcut att cursurile de fotografie i montaj video, ct i jocurile care ne-au ajutat s ne cunoatem unii pe ceilali nc din prima zi.

Azap Denisa Colegiul Naional Traian Lalescu Reia

n vacan... ase zile fr semnal, 3 ore pe zi matematic, adic matematic

timp de 18 ore, 1080 de minute de calcule, 64800 de secunde n care creierul a nregistrat o activitate maxim.

Dar de ce? De ce n vacan? De ce chiar matematic? De ce nu orice altceva?

Tocmai pentru c noi, cei care au participat n vara anului 2012 la Tabra de Matematic i nu numai de la Rul Alb sunt cei care doresc rspunsuri, care pun ntrebri i nu citesc soluiile de la sfritul paginii, ci le caut cu propria minte.

Dolot Nicole Colegiul Naional Traian Lalescu Reia

Am avut ocazia sa nv lucruri foarte interesante cu profesori

ndeletnicii. Cine s-ar fi gndit c Teorema lui Thales a fost inventat pentru a msura nlimea unei piramide?

Nu am s uit tabra de matematic i cu siguran ceea ce am nvat m va ajuta mult, iar amintirile vor rmne mereu.

Oana Fara Clasa a VIII-a, coala Gimnazial Nr.2 Reia

19

Probleme rezolvate din RMCS nr. 37

Clasa a V-a V.230 Determinai numerele prime i p q pentru care 2 2 16p q p = +

Prof. Lucian Dragomir, Oelu Rou Soluie: Metoda I: Dac p i q sunt impare, atunci 2 2p q este numr par, absurd (16 p+ este impar); aadar p i q au pariti diferite. Imediat se ajunge astfel la 2q = , apoi ( )1 20 5.p p p = = Metoda II: (care depete tehnica de lucru a unui elev de clasa a V-a). nmulind egalitatea cu 4 i avem:

( )22 2 24 4 1 4 65 2 1 4 65p p q p q + = = sau ( )( )2 1 2 2 1 2 1 65 5 13p q p q + = =

Avem astfel 2 1 2 1

2 1 2 65p q

p q =

+ = sau

2 1 2 52 1 2 13

p qp q =

+ = etc.

V.231 a) Artai c dintre oricare trei numere naturale putem alege dou astfel nct suma lor s fie un numr par. b) Dac avem la dispoziie apte numere naturale, artai c putem alege patru dintre ele astfel nct suma lor s fie divizibil cu 4.

Prof. Cristian Lazr, Iai Soluie: a) Conform principiului cutiei, fiind date trei numere, cel puin dou din ele au aceeai pariate, aadar suma acestora este un numr par. b) Alegnd la ntmplare trei numere dintre cele apte, exist dou cu suma 1S , numr par. Lum acum trei dintre cele cinci numere rmase i exist dou cu suma 2S , numr par; dintre aceste trei rmase n final, dou au suma 3S , numr par. Numerele 1 2 3, ,S S S sunt de forma 4k sau 4 2k + , aadar exist dou de aceeai form, deci suma lor este divizibil cu 4.

20

V.232 Determinai cifrele i a b pentru care 777abb baa aaa+ + = Olimpiad, Cara-Severin

Soluie: Se ajunge imediat la 2 7a b+ = i astfel ( ) ( ) ( ) ( ){ }, 1,5 , 2,3 , 4,1a b V.233 O sal de spectacole are 400 de locuri. Pentru un spectacol care ncepe la ora 20:00 se deschid uile slii la ora 19:00. n primul minut intr un spectator, n al doilea minut intr trei spectatori i, tot aa, n fiecare minut intr cu doi mai muli spectatori dect au intrat n minutul anterior. Aflai la ce or s-a umplut sala.

Prof. Iulia Cecon, Oelu Rou Soluie:

( ) 21 3 5 ... 2 1 400 20.n n n+ + + + = = = Ora cutat este aadar 19 : 20 (adic nainte cu 40 de minute de nceperea spectacolului!) V.234 Determinai numerele naturale a , ptrate perfecte mai mici dect 100, tiind c restul mpririi lui 2003 la numrul natural a este egal cu 403 6a .

Prof. Lucian Dragomir, Oelu Rou Soluie: Folosind teorema mpririi cu rest, obinem 50a > ; aadar { }64,81a . Imediat ajungem la 64a =

Clasa a VI-a

VI.230 La un moment dat, ntr-o parcare, numrul autoturismelor roii reprezint 25% din numrul total al autoturismelor parcate. Dup o or, se constat c numrul total de autoturisme a crescut cu o unitate, iar procentul celor roii a devenit 12% din numrul total. Artai c, n intervalul de o or scurs, au plecat din parcare cel puin 3 autoturisme roii.

Olimpiad, Braov

21

Soluie: Notm cu *r numrul iniial de autoturisme roii; numrul total de autoturisme aflate iniial n parcare este astfel 4r , iar dup o or acesta

este 4 1r + , din care ( ) ( )1 24 1 3 4 1100 25

r r+ += sunt de culoare roie.

Dac v este numrul autoturismelor roii venite n parcare, p numrul autoturismelor roii care au plecat, atunci, pentru ,y v p= avem:

( ) ( )3 4 1 13 25 3 13 2 3.25r

r y r y r y y+

+ = + = + = +

Deducem astfel: 3 13 , ;y k k+ = Cum ns 0 0p v y v p > = < ( )3 0 ! ;y + < deducem acum:

3 3,y p v p v = > > + deci 3.p VI.231 Se consider mulimile

{ }1,2,3,...,2011 ,A = { }, ,B n n x y x A y A= = i { }, ,C m m a b a A b B= = . a) Calculai card B . b) Calculai suma elementelor mulimii C

Prof. Mircea Fianu, Bucureti Soluie: a) Se deduce imediat c { }0, 1, 2,..., 2010 card 4021B B= = b) Observm c, dac x B , atunci i ;x B ajungem astfel c, pentru orice ax C i ax C suma cerut este egal cu 0. VI.232 Artai c dac , ,x y z i 3 8 6 0x y z = , atunci ( )2

.12

y x z+

Concurs, Giurgiu Soluie: ( ) ( )3 2 8 3/ 1x z y y = ( ) ( ) ( ) ( )3 2 4 2 3 4 / 2 2x z y z x z+ = + +

Din ( ) ( )1 i 2 concluzia e evident.

22

Clasa a VII-a VII.230 Artai c, dac ,a b i 9 divide numrul 2 24 ,c a ab b= + + atunci 3 divide numrul 2011 201 .d a b= +

* * * Soluie:

( )2 22 3c a b b= + i ( )9 / 3/ 2 ,c a b + de unde ( )29 / 2a b+ 29 / 3 3/ .b b Cum ( )3/ 2a b+ i 3/ 3/c a , aadar ( )3/ ,x a y b +

, .x y E suficient s lum 2011, 201.x y= = VII.231 Se consider un triunghi ABC dreptunghic n A, n care M este mijlocul lui [ ]BC i [ ], .BD AM D AC Artai c ( ) 30m ACB = dac i numai dac 2 .BD MD=

* * * Soluie: Dac ( ) 30m ACB = , deoarece MA MB MC= = i ( ) 60m ABC = , deducem c triunghiul ABM este echilateral. Cum BD AM BD (fiind nlime n triunghiul ABM ) este bisectoarea unghiului ;ABC triunghiul ABD este astfel dreptunghic, cu ( ) 30 2 .m ADB AD BD= =

Cum ADM este isoscel ( )! AD MD = , aadar 2BD AM= VII.232 Se consider un triunghi ABC n care ,AB AC iar D BC astfel nct AD este bisectoare exterioar a unghiului .BAC Perpendiculara din B i C pe AD intersecteaz dreapta AC n E, respectiv dreapta AB n F. Artai c punctele , i D E F sunt coliniare.

Concurs, Sibiu Soluie: n triunghiul AEB avem AD EB ; cum AD este bisectoare deducem c AD este mediatoarea lui ( )BE ; avem astfel .AE AB= Analog, avem c AD este mediatoarea lui ( ) .FC AF AC = Se ajunge acum la

( ). . .ABC AEF LU L EF BC = .

23

De asemenea, D se afl pe mediatoarea lui ( )BE , de unde DB DE= ; cum D se afl pe mediatoarea lui ( ) .FC DF DC = Cum , ,D B C sunt coliniare i, de exemplu, , ,DC DB BC DE EF DF D E F= + + = coliniare. VII.233 Calculai cte numere de zece cifre au proprietatea c suma ptratelor cifrelor sale este egal cu suma cifrelor.

Prof. Sorin Rdulescu, Bucureti Soluie: Dac a este cifr, atunci 2 ,a a cu egalitate pentru { }0,1 .a Cutm aadar numere de forma 1 2 10...a a a pentru care

2 2 21 2 10 1 2 10... ...a a a a a a+ + + + + + ; conform observaiei iniiale, avem

c { }1 2 10, ,..., 0,1a a a . Prima cifr nu poate fi 0, aadar (cu principiul produsului) exist

91 2 2 ... 2 2 512 = = numere cu proprietatea din enun(frumoas problem, potrivit pentru un concurs). VII.234 Artai c pentru orice [ ), , 0,a b c este adevrat inegalitatea:

( )2 2 2 2 1 2 .a b c abc ab bc ca+ + + + + + Dorij Grindberg

Soluie: Trebuie remarcat pentru nceput c, dintre cele trei numere, dou au aceeai poziie fa de 1(sunt fie ambele subunitare, fie ambele supraunitare!);

De exemplu, cele dou numere sunt b i c , aadar ( )( )1 1 0b c (cu egalitate pentru 1 sau 1b c= = ).

Deoarece inegalitatea propus se mai poate scrie:

( ) ( ) ( )( )2 21 1 2 1 1 0,a b a b c + + avnd n vedere remarca iniial (absolut subtil), aceasta este evident.

Desigur, egalitate se obine pentru 1a b c= = = .

24

Clasa a VIII-a

VIII.230 Se consider mulimea { }2 2 , ,A x x a b a b= = + . Artai c: (1) dac , ,x y A atunci x y A

(2) 1010 A (3) dac ,x A atunci 10x A

* * * Soluie: (1) Dac , ,x y A atunci exist , , ,a b c d astfel nct 2 2x a b= + i

2 2y c d= + .

Cum, ( ) ( )2 2...x y ac bd ad bc = = + + i ,ac bd ad bc+ rezult .x y A

(3) Dac x A (folosind cele demonstrate anterior) deducem 2x A ,

apoi ( )33 2 9 3x x x A x x A= = i 10 9x x x A= Pentru 10x = se obine i (2). Observaie: Pentru (2), fr a rezolva aadar (3), se poate i astfel:

( ) ( ) ( )2 210 8 2 2 4 410 10 6 8 6 10 8 10 A= + = + VIII.231 Determinai perechile ( ),x y de numere naturale pentru care ( ) ( )5 1 .x x y y =

Prof. Lucian Dragomir, Oelu Rou Soluie:

Se obine imediat 2 5 305

5 5xy xx x+

= = + + +

{ }5 5,6,10,15,30x + (x este natural!). Perechile cerute sunt: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,1 , 1,1 , 5,3 , 10,7 , 25,21 . Verificare!

25

VIII.232 Artai c nu exist numere naturale nenule i x y pentru care

numerele 2 +2 a x y= i 2 +2 b y x= sunt simultan ptrate perfecte. Prof. Maria Pop, Cluj Napoca

Soluie: Presupunem c a i b sunt ptrate perfecte. Cum 2 2+2 a x y x= > ,

rezult ( )22 +2 1x y x y x + > ; analog se deduce c ,x y> contradicie. VIII.233 Determinai tripletele ( ), ,a b c de numere reale strict pozitive pentru care 2 2 22 1, 2 1, 2 1.a b b c c a = = =

Prof. Lucian Dragomir, Oelu Rou Soluie: Primele dou egaliti conduc la

( )( ) ( ) ( )2 22 2 0 2 . 1a b b c a b a b b c + = + = . Analog se obine ( )( ) ( ) ( )2 2a c a c b a + = i ( )( ) ( ) ( )2 3b c b c c a + = . Dac i a b b c c a . nmulind membru cu membru egalitile ( ) ( ) ( )1 , 2 , 3 n aceast ipotez, obinem: ( )( )( ) 8 8a b b c c a abc+ + + = (Cesaro) 1abc . Pe de alt parte, 2 1 2 1 1;a b a= + > > analog 1 i 1 1,b c abc> > > contradicie. Aadar, ,a b= apoi b c= i c a= , de unde 2 2 1 0a a =

1 2a b c= = = + Exist deci un singur triplet care verific enunul: ( )1 2,1 2,1 2+ + + VIII.234 Se consider trei drepte , ,a b c incluse ntr-un plan i se noteaz { }.a b c O = Prin O se duce o dreapt m care formeaz, de aceeai parte a planului , cu dreptele ,a b respectiv c , unghiuri congruente.

Artai c .m * * *

26

Soluie: Considerm , ,A a B b C c i M m astfel nct .OA OB OC= = Din OAM OBM OCM rezult .AM BM CM= = Dac P i Q sunt mijloacele segmentelor ( ) ,BC respectiv ( )AB , din faptul c MBC OBC sunt isoscele, deducem ,MP BC OP BC

.OM BC Analog, obinem ,OM AB de unde .OM

Clasa a IX-a

IX. 200 Artai c, dac ( ), , 0,x y z i 1xyz = , atunci:

1 1 1 3.1 1 1

xy yz xzz x y

+ + ++ +

+ + +

Olimpiad, Iai, 2007 Soluie: Suma din stnga inegalitii propuse se poate scrie

11 1 1 1 ;1

zSz z y x

+= = + +

+

folosind inegalitatea mediilor obinem 3 13 3Sxyz

=

IX. 201 Un numr real x verific egalitatea 9 7 5 3 13.x x x x x + + = Demonstrai c: 55 13.x< <

Prof. Lucian Dragomir, Oelu Rou Soluie: Cum 0x , egalitatea din enun poate fi scris

5 4 22 4

1 11 13x x xx x

+ + =

sau, cu 2 21 2x ux

+ = > ;

( )5 2 1 13x u u = Deoarece ( )2 55

131 1 1 1 13.u u u u xx

= > > <

27

Pe de alt parte,

( )( )2

10 2 8 6 4 2 1 11 1 1 13 13 26xx x x x x x xx x+ + = + + + = = + >

10 525 5x x> > IX. 202 Se consider irul ( ) 1 ,n nx definit prin 4 ,

nnx a b n c= + +

1,n unde , ,a b c sunt numere ntregi date. a) Artai c, dac primii doi termeni ai irului sunt divizibili cu 3,

atunci orice termen al irului este divizibil cu 3. b) Demonstrai c, n cazul 0,b = irul nu conine trei termeni n

progresie aritmetic. Prof. Lucian Dragomir, Oelu Rou

Soluie: 1) 1 24 , 16 2x a b c x a b c= + + = + + . Cum 3 divide

2 1 12 3x x a b b = + ; deoarece 3 divide ( )1 3 3x a b a c= + + + divide a c+ i astfel ( ) ( )4 1nnx a a c b n= + + + este divizibil cu 3, pentru *n 2) Presupunem c exist ( ), ,m n px x x m n p< < n progresie aritmetic, rezult ( )2 4 4 4 2 4 4 4n m p n m pa c a c a c + = + + + = + sau 2 4 1 4n m p m = + , ceea ce e imposibil(din motive de paritate). IX. 203 Determinai funciile :f care au proprietatea c

( ) ( ) ( )3 3 , , .f x y f x f y x y+ = + Prof. Maria Pop, Cluj Napoca

Soluie: pentru 0x y= = ( )0 0f = ; pentru ( ) ( )30 , .y f x f x x= = Relaia funcional din enun devine: ( ) ( ) ( )3 3 ,f x y f x f y+ = +

,x y , de unde ( )! ( ) ( ) ( ) , , .f u v f u f v u v+ = + . Aceast ecuaie funcional(care face parte sau ar trebui s fac parte din cultura matematic a unui olimpic) conduce la ( ) ( ) , , .f nx nf x n x=

28

Avem acum ( ) ( )38 2f x f x= sau nc ( ) ( ) ( )38 2 2f x f x f x= = ( ) ( ) ( )8 2 0,f x f x f x x= = .(frumoas problem de tehnic).

IX. 204 Se tie c { }x este notaia pentru partea fracionar a numrului real .x Determinai numerele naturale n pentru care

( )1 1 11 ... 0,08 3 .2 3 n

+ + + + =

Concurs, Bacu Soluie: Un elev obinuit ar trebui s fac cteva ncercri pentru a calcula partea

fracionar a numrului 1 1 11 ...2 3n

xn

= + + + + .

Avem astfel { } { } { }1 2 30, 0,5, 0,83x x x= = = (simim c ne apropiem), apoi { } ( )4 0,08 3x = . Mai gsesc i alte valori pentru ?n . Bunul sim matematic ar trebui s mi spun c nu. Cum demonstrez c unica soluie a problemei este 4?n = (E bine i ce am fcut pn aici, avem cel puin 1 punct din cele 7). Ar trebui acum s tim, s observm, s intuim c pentru m n< ,

numrul 1 1 1...1 2m m n+ + +

+ + nu poate fi ntreg (Dac rsfoii revistele

noastre din urm, vei gsi i justificri). Hai s vedem totui...

Dac ar exista a pentru care 1 1 1...1 2

am m n

+ + + =+ +

,

atunci notm cu p cel mai mare numr prim aflat printre factorii

numitorilor. Prin nmulire cu ( )( )1 2 ...m m np

+ + ajungem la o

contradicie... Nu exist deci m n pentru care { } { }m nx x= i astfel numrul

4n = este unica soluie a problemei.

29

Clasa a X-a

X. 200 Rezolvai ecuaia: 2 2cos 4sin cos 2sin 2.x x x x+ =

Admitere Politehnic, 1988 Soluie: Membrul drept este egal cu ( )2 22 sin cosx x+ (ce idee !!!) i astfel ecuaia se poate scrie: 2 24sin 4sin cos cos 0x x x x + = . Dac cos 0 sin 0x x= = , absurd, aadar prin mprire cu

cos 0x obinem 2 14tg 4tg 1 0 tg 2

x x x + = = i astfel

1arctg2

x k k +

.

X. 201 Artai c, dac n triunghiul ABC are loc egalitatea

2 ,BC AC= atunci mediana ( )AM formeaz cu latura ( )BC un unghi congruent cu unghiul BAC .

Admitere facultate, 1987 Soluie: Notm , , 2AB c AC b BC a BC b= = = = . Deducem astfel:

( )2 2 2 2 2

cos2 2

b c a c bAbc bc

+ = = .

n AMC avem ( )2 2 2

cos2

AM MC bAMCAM MC+

=

.

Cu teorema medianei avem:

( )( )

2 2 2 2 22

2cos

2 2

b c a c bAM AMC AMC BACbc bc

+ = =

X. 202 Se consider un triunghi ABC n care tg 3A = i tg 2.B = Artai c ortocentrul triunghiului coincide cu mijlocul nlimii ( ).AD

Admitere Institutul Politehnic, 1987

30

Soluie: Cum A B C + + = , avem imediat

( ) tg tgtg tg 11 tg tg 4

A BC A B CA B

+= + = = =

.

Dac H este ortocentrul, atunci .4

HBD HD BD= =

Din tg ADBBD

= deducem 2 2 .AD BD HD= =

X. 203 Artai c, dac ( ), , 0,1 ,a b c atunci

1 1 1 1.2 log 2 log 2 loga b cb c a

+ + + + +

Olimpiad Cara-Severin, 2008 Soluie: Notm log ,log ,loga b cb x c y a z= = = i avem , , 0, 1x y z x y z> = .

Inegalitatea propus este echivalent cu 1 1 1 12 2 2x y z

+ + + + +

sau

3xy yz zx+ + . Aceast ultim inegalitate poate fi obinut, de exemplu, din inegalitatea mediilor pentru , ,xy yz zx . X. 204 Determinai numerele naturale distincte 1 2, ,..., nx x x i y

pentru care are loc egalitatea: 1 22 2 ... 2 2 1.nxx x y+ + + = Olimpiad Suceava

Soluie: Presupunem(fr a restrnge generalitatea problemei) c 1 2 ... nx x x< < < ;

evident *y (membrul stng este strict pozitiv). Cum membrul drept este numr impar rezult 1 0.x =

Egalitatea devine: 322 2 ... 2 2 2nx xx y+ + + = , rezult 32 1 11 12 2 ... 2 2 1nx xx y + + + = .

Procednd analog, obinem 2 21 0 1.x x = = n final: 1, 1,kx k k n= = i .y n=

31

Clasa a XI-a

XI. 200 Se consider irul ( ) 1 ,n nx definit prin 1, dac este ptrat perfect0, n rest n

nx

=

Se noteaz 1

.n

n kk

s x=

=

Artai c irurile 1 1

i n nn n

s sn n

sunt convergente.

Concurs, Arad

Soluie:Se observ c ( ){ }22 2, , 1,..., 1 1ns k n k k k= + + i astfel *,ns n n = . Cum

10 0nns

n n n

= lim 0 ,n

sn= deci

1

n

n

sn

este convergent.

Pe de alt parte, 1 1 lim 1n ns snn n n

=

XI. 201 Se consider irul ( ) 1 ,n nx dat prin 1 10, , 1.n n nx x x x n+> = +

a) Artai c lim nxx

=

b) Calculai lim n nxx

c) Determinai 2limn

x

xn

Olimpiad, Braov Soluie: a) 1 0n n nx x x+ = > irul este cresctor, deci exist

lim nL x

= . Prin trecere la limit n relaia de recuren obinem

0L = (contradicie) sau L = .

32

b) Din lema lui DAlembert deducem

1lim lim lim 1 1nnn nn n

xxxx x+

= = + =

c) Folosind lema lui Cesaro-Stolz avem:

112lim lim lim lim2 1 2 1 2

n n nn n n x x xx x xn nn

++

= = = =

+ +

1

1 1 1

1 1 1 1 1lim lim lim2 2 2 4

1

nn n

n n n n n

n

xx xx x x x x

x

+ + + +

= = =

+ ++

XI. 202 Determinai numerele naturale , ,x y z tiind c triunghiul

determinat de punctele ( ) ( ) ( ), , , , ,A x y B y z C z x are aria egal cu 3 ,2

iar

centrul de greutate al triunghiului ABC este ( )2,2 .G Olimpiad, Cara-Severin

Soluie:

Pentru 111

x yy zz x

= avem ( )23 1 6.2 2

A x y= = = Folosind

( )2,2G , deducem 6x y z+ + = , apoi 2 2 2 14,x y z+ + = 11xy yz zx+ + = ( ) ( ), , 1,2,3x y z = i permutrile acesteia. XI. 203 Se consider ( )*3A M astfel nct 3.tA A I = Calculai

( )2 3det .A I * * *

Soluie:

( ) ( ) ( ) ( )( )2 23det det det dett tA I A A A A A A = = . Deoarece ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3det det det 1 dettt t t tA A A A A A A A = = = =

( ) ( )2 3det det 0tA A A I= =

33

XI. 204 Se consider ( )2A M pentru care ( )det 1.A tr A= = Calculai cte elemente are mulimea { }.nH A n=

* * * Soluie: Folosind relaia Cayley-Hamilton avem c:

2 3 4 5 2 62 2 , , , .A A I A I A A A A A A= = = = = Aadar, card 6.H =

Clasa a XII-a

XII. 200 Demonstrai c ( ) ( )2 20 ln , 0,1 .3

x x x< <

Admitere Universitate Bucureti, 2000 Soluie: Considerm funcia derivabil ( ) ( ) ( )2: 0,1 , lnf f x x x =

( ) ( )( )' ln ln 1f x x x= + . Avem ( ) 2' 0f x x e= = . n plus,

( )0

0

lim 0xx

f x>

= (folosind lHopital pentru cazul

), iar ( )1

lim 0x

f x

= .

Studiind variaia funciei f , avem c 2x e= este punct de maxim i,

imediat, obinem ( ) ( ) ( )2 24 4 30 , 0,16 2f x f e xe< = < = .

XII.201 Determinai funciile continue :f care verific egalitatea

( ) ( ) ( )21 , .f arctgx x f x x= + Alexandru Gabriel Mranu, Iai

Soluie: Deoarece f ese continu, f admite primitive; notm cu F o

primitiv a sa i deducem c ( ) ( )F arctgx F x c= + . Se obine imediat c ( ) ( )0 , .c F arctgx F x x= =

34

Considernd ( ): , , arctg 2 2

g g x x =

se arat c irul

( ) 0n nx definit prin ( )*

0 1, n nx x g x+ = este convergent i are limita

egal cu 0. Ajungem astfel la ( ) ( )0nF x F x= ( ) ( )00F F x= ( ) ( )0 ,F x F x= i deci ( ) 0,f x x=

XII. 202 Se consider un grup G cu 10 elemente n care exist

{ }, \a b G e , distincte, astfel nct 2 2 .a b e= = Artai c G nu este abelian.

Olimpiad, Cara-Severin Soluie:

Presupunem, prin reducere la absurd, c G este abelian. Se arat astfel c { }, , ,H e a b ab= este subgrup al lui G . Conform teoremei lui Lagrange avem: ( ) ( )/ord H ord G , deci 4 /10 , fals. Aadar G nu este abelian. XII. 203 Artai c nu exist funcii strict cresctoare :f care

admit o primitiv F pentru care ( ) ( ) ( )21 , .F x F x F x x = Olimpiad, Cara-Severin

Soluie: Metoda 1: Presupunem, prin reducere la absurd, c exist o astfel de

funcie. Facem ( )1x x i obinem ( ) ( ) ( )( )21 1F x F x F x = , x . Pentru ( ) ( )0 0 1x F F= = i, conform teoremei lui Rolle,

exist ( )0,1c cu ( ) ( )' 0F c f c= = ; pentru ( ) ( )1 1 4x F F= = i deci exist ( )0,1d cu ( ) ( )' 0F d f d= = . Aadar exist c d cu ( ) ( )f c f d= , deci f nu e injectiv, aadar f nu e strict monoton.

Metoda 2: Presupunnd c exist astfel de funcii, derivnd egalitatea din enun, obinem ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 1 2 ,f x F x F x f x f x x x + = .

35

Pentru 0x = avem ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 1 0F f F f = , iar pentru 1x = avem ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 0 2 1F f F f f = , de unde se deduce c ( )1 0f = , apoi ( ) ( )1 0 0F f = . Dac f este strict descresctoare

( ) ( )0 0 1 0f F = . Pentru 0x = n inegalitatea din enun, obinem astfel ( )0 0F = . Folosind teorema lui Rolle, deducem c exist ( )0,1c cu ( ) ( )' 0F c f c= = . Cum ns ( )1 0f = , avem c f nu e injectiv. XII. 204 Se consider un grup ( ),G i ,a b G astfel nct suma dintre numrul elementelor lui G care comut cu a i numrul elementelor lui G care comut cu b este un numr prim. Determinai numrul elementelor care comut i cu a i cu b .

Marian Andronache, Bucureti Soluie: Pentru x G , notm ( ) { }C x y G xy yx= = . Cum ( ) ,e C x x G ( )C a i ( )C b sunt finite, nevide, iar

( ) ( ) 2C a C b p+ = , p prim. Deoarece ( )C a i ( )C b sunt subgrupuri ale lui ( ) ( )G C a C b are aceeai proprietate. Folosind teorema lui Lagrange

( ) ( )( ) ( )( )/ord C a C b ord C a i ( ) ( )( ) ( )( )/ord C a C b ord C b ( ) ( )( )ord C a C b ( )( ) ( )( )( )ord C a ord C b p+ = .

n plus, ( ) ( ) ( ) ( )C a C b C a C b p + < , deci ( ) ( ) 1C a C b = . Aadar, singurul element care comut i cu a i cu b este e .

Probleme alese

A 13. Dac f este o funcie real continu, definit pe circumferina C a unui cerc, artai c exist o pereche ( )1 2,P P de puncte diametral opuse pe C pentru care ( ) ( )1 2f P f P= .

Alexandru Froda

36

Soluie:

Ecuaiile parametrice ale lui C sunt : cos

; [0,2 ]sin

x r tt

y r t

= =

.

Considerm funcia contiun :[0,2 ]F definit prin ( ) ( cos , sin )F t f r t r t= . Problema revine la a arta c exist 0 [0, ]t

astfel nct 0 0( ) ( )F t F t = + . Cum (0) (2 )F F = , avem pentru ( ) ( ) ( );g x F x F x =

(0) ( ) [ (0) ( )][ ( ) (0)] 0g g F F F F = . Concluzia este imediat. A 14. Demonstrai c dac ( ), , 0,a b c , atunci

3 .2 2 2 4a b c

a b c b c a c a b+ +

+ + + + + +

Gheorghe Eckstein

Soluie:

Notm 2ax

a b c=

+ +,

2by

b c a=

+ +,

2cz

c a b=

+ + i

( 2 )a a b c = + + , ( 2 )b b c a = + + , ( 2 )c c a b = + + .

Folosind ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2x y z x y z + + + + + + obinem ( ) ( )2 2 2 2a b c + + + + . E suficient astfel s artm c ( ) ( )2 2 2 234a b c + + + + . Calculele destul de rapide conduc la inegalitatea

2 2 2a b c ab bc ca+ + + + , care este echivalent cu 2 2 2( ) ( ) ( ) 0a b b c c a + + , evident adevrat.

A 15. Artai c pentru orice , 3,n n > exist un poligon convex cu n laturi, nu toate egale, cu proprietatea c suma distanelor de la orice punct interior la laturi este constant.

Dan Schwarz

37

Soluie: Remarcm c triunghiul echilateral are proprietatea c suma distanelor de la un punct interior la laturi este constant; laturile sale sunt ns egale, aadar 3n > . Enunul invit la o abordare inductiv. Pentru 4n = , dreptunghiul este poligonul care verific enunul. Pentru 5n = , tiem un triunghi echilateral cu dou drepte paralele, care nu sunt paralele cu nicio latur. Obinem astfel pentagonal ABCDE ; suma distanelor unui punct interior acestuia la laturi este egal cu suma distanelor la laturile triunghiului echilateral (care este constant) plus suma distanelor la cele dou noi laturi aprute (acestea sunt paralele, deci distana dintre ele este constant). Aadar, adc afirmaia este adevarat pentru un poligon cu n laturi, atunci pentru un poligonul cu 2n + laturi neegale se folosete aceeai construcie: se duc dou paralele (neparalele cu nicio latur) care taie poligonul convex cu n laturi astfel nct niciun vrf nu este ndepartat i se raioneaz ca i n cazul trecerii de la 3n = la 5n = .

A 16. Artai c n orice poliedru convex exist cel puin dou fee care au acelai numr de laturi.

Kmal

Soluie: Alegem faa cu cele mai multe muchii; aceasta este un poligon cu, de exemplu, n laturi. Deoarece poliedrul este convex, fiecare muchie este situat pe dou fee. Cum numrul de muchii pentru poligoanele (feele) poliedrului este cuprins ntre 3 i n , conform principiului Dirichlet, avem c exist cel putin dou fee cu acelai numr de laturi.

38

Probleme propuse (Se primesc soluii pn n data de 17 decembrie 2012, nu mai trziu!.

Pe plic scriei clasa n care suntei, v rugm DIN NOU !)

Clasa a II-a II. 141. Dup ce a parcurs cu bicicleta, dintr-un drum, n prima zi 19 kilometri, iar n a doua zi cu 5 kilometri mai mult, Alex a observat c mai are de strbtut o distan mai mic cu 8 kilometri dect cea parcurs n a doua zi. Ce lungime are drumul?

Mariana Mitric, Reia II. 142. n 3 zile Daniela a citit un sfert din paginile unei cri. Aflai cte pagini are cartea dac n prima zi a citit 15 pagini, iar n urmtoarele zile un numr dublu de pagini fa de ziua precedent.

Neta Novac, Reia II. 143. Compunei i rezolvai o problem pornind de la urmtorul desen:

50

Lucian Dragomir, Oelu Rou

II. 144. Familiile Adam, Bona i Chi au numerele de telefon urmtoare: 514 624, 532 853, respectiv 541 211; dac numrul familiei Duma respect aceeai regul ca i celelelalte i este de forma 52a 9b6 , putei gsi numrul de telefon al familiei Duma? (Explicai ! Acest ultim ndemn nu ar trebui dat, ar trebui s tii c orice rezultat trebuie, ntr-un fel sau altul, justificat)

Lucian Dragomir, Oelu Rou II. 145. Mama, tata, Alina i Petrior sunt n sufragerie i dau drumul la televizor. Pe un canal sportiv, se transmite un meci de tenis la care particip patru sportivi. Cte persoane sunt acum n sufragerie?

* * *

39

II. 146. La un concurs al tietorilor de lemne organizat la Bile Herculane, una dintre probe a constat n tierea unui trunchi de brad lung de 10 metri n buci de cte 2 metri.

Ct timp i-a luat aceast prob ctigtorului, dac pentru fiecare tietur a avut nevoie doar de 2 minute?

* * * II. 147. Punei semnul + sau n fiecare dintre urmtoarele egaliti pentru a obine propoziii matematice adevrate: (1) 10 8 6 1 9 = ; (2) 100 83 15 18 30 = ; (3) 200 45 38 300 105 12 = .

* * * II. 148. Care cuvnt credei c ar trebui tiat din urmtoarea niruire (aa cum am mai spus, explicai de ce): pdure, coal, lumin, toamn, crater?

* * * II. 149.

Completai cerculeele cu numere de la 1 la 6 astfel nct s obinei aceeai sum pe fiecare dintre laturile triunghiului. Compunei i rezolvai o problem asemntoare legat de un ptrat.

* * * II. 150. Mo Opinc de la Deva are 12 litri de must i vrea s-i druiasc nepotului su Mihai jumtate. Bunicul are numai trei vase: cel de 12 litri n care ine mustul, unul de 8 litri i unul de 5 litri. Poate msura bunicul cantitatea pe care vrea s i-o druiasc nepotului?

* * *

40

Clasa a III-a

III. 141. Ril-Iepuril are vrsta egal cu sfertul treimii numrului 36 mrit cu produsul vecinilor numrului 3. Ce vrst are el?

Mariana Mitric, Reia III. 142. Pentru o or de lucru, un muncitor primete 6 euro.tiind c se lucreaz 8 o re p e zi, afl ce su m va p rimi o ech ip format din 5 persoane n 10 zile.

Mariana Mitric, Reia III. 143. Pentru rezolvarea unei probleme, Armin trebuie s nmuleasc un numr cu 6 i apoi s adune la rezultat 9. n loc s fac aceste operaii, el nmulete numrul dat cu 9 i scade din rezultat numrul 6. Cu toate acestea, rezultatul final obinut este cel ateptat (corect). Care a fost numrul dat?

* * * III. 144. Raul are de rezolvat ntr-o sptmn de coal cteva probleme de matematic. n fiecare zi, Raul rezolv cu o problem mai puin dect n ziua precedent. Cte probleme a rezolvat Raul n total, dac miercuri a rezolvat 11 probleme?

* * * III. 145. Cristi a citit ntr-o sptmn de coal o carte. n fiecare zi, Cristi a citit cu 10 pagini mai mult dect n ziua precedent. Dac vineri a citit exact o treime din ntreaga carte, aflai cte pagini are cartea.

* * * III. 146. Armin, Raul, Cristi i Dani au mpreun 25 de creioane. Adunnd numrul de creioane pe care le au oricare trei dintre prieteni se obine unul dintre numerele 16, 19 i 20. a) Artai c doi dintre prieteni au un acelai numr de creioane. b) Care este numrul maxim de creioane deinute de unul dintre cei patru prieteni?

* * *

41

III. 147. Compunei i rezolvai o problem pornind de la urmtorul exerciiu: 8a b = , 5b c = , 40 50c a+ = .

* * * III. 148. Completai cercurile goale cu numere potrivite (explicai):

* * *

III. 149. Completai csua liber din urmtorul tabel (aa cum am mai repetat, explicai!): 247 346 135 432 158 157 169 366 287 900 800 700 600 500

* * *

III. 150. ntr-o cutie sunt jetoane de 1 leu, 5 lei, 10 lei i 25 lei. Iau 13 jetoane, iar suma lor este 100 lei.

Stabilii dac afirmaiile de mai jos sunt adevrate sau false: a) Printre cele 13 jetoane sunt i jetoane de 10 lei. b) Printre cele 13 jetoane nu sunt jetoane de toate cele 4 valori.

Ioan Dncil, Bucureti

42

Clasa a IV-a IV. 141. Calculai cte autocare de cte 48 de locuri sunt necesare pentru a transporta un grup de 170 de copii pe litoral.

* * * IV. 142. Andrei va vizita un ora, iar Bogdan alt ora. Andrei are de ales ntre Oradea i Cluj Napoca. Dac alege Clujul, atunci Bogdan va merge la Sibiu. n final, niciunul dintre ei nu ajunge la Sibiu. Stabilii care dintre urmtoarele afirmaii este adevrat:

a) Bogdan merge la Cluj Napoca . b) Bogdan merge la Oradea. c) Andrei nu merge la Oradea. d) Bogdan merge la Sibiu. e) Andrei merge la Oradea.

* * * IV. 143. Un sfert din cantitatea de ulei dintr-un butoi se pune n ase bidoane a cte 10 litri fiecare, astfel nct acestea devin pline. a) Ce cantitate de ulei a fost la nceput n butoi ? b) Dac un litru de ulei cost 7 de lei, ct cost o treime din cantitatea de ulei din butoi?

Elisaveta Vldu, Reia IV. 144. Un numr a este de 3 ori mai mare dect un numr b . Dac din numrul mai mare se scade numrul 12 se obine un nou numr, pe care l notm cu c . Dac numerele b i c sunt egale, aflai numrul a .

Elisaveta Vldu, Reia IV. 145. Doi frai au mpreun 120 timbre. Ca s aib acelai numr de timbre, fratele mare i d celui mic un sfert din numrul su de timbre. Cte timbre a avut fiecare copil la nceput? IV. 146. Aflai cinci numere naturale consecutive tiind c suma a dou dintre ele este 2012.

Constantin Saraolu, Rm. Vlcea

43

IV. 147. Diana a primit de la tatl su o sum de bani; din aceasta, ea a dat cte 300 de lei fiecruia dintre cei 3 copii ai si, rmnnd astfel cu o treime din suma iniial. Ce sum de bani a primit Diana de la tatl su?

* * * IV. 148. Calculai de cte ori se folosete cifra 0 pentru a numerota o carte pn la pagina 203.

Concurs Ploieti IV. 149. Mama avea 32 de ani cnd s-a nscut fiica sa i 35 de ani cnd i s-a nscut biatul. tiind c acum toi trei au mpreun 59 de ani, aflai vrsta fiecruia.

Concurs Drgani IV. 150. Aflai patru numere naturale, tiind c suma lor este 2012 i, dac din fiecare scdem un acelai numr, obinem 3, 5, 7, respectiv 9.

* * * Clasa a V-a

V. 261. Dac , ,a b c sunt numere naturale astfel inct 2 59a b c+ + = i 3 4 7 169a b c+ + = , artai c exist un numr natural k astfel nct, dac

2 3 4d a b c= + + , atunci 57 .d k= Lucian Dragomir, Oelu Rou

V. 262. Se consider mulimea { }4 3/ , 0 167A n n n= + < . Artai c: a) Mulimea A conine cel puin trei numere prime, cel puin dou cuburi perfecte i nu conine niciun ptrat perfect; b) Nu se pot alege trei numere diferite din mulimea A astfel nct suma lor s fie egal cu 2012.

Variant a unei probleme de la OJM Cara Severin V. 263. Dac i dau lui Andrei dou ciocolate, el mi mprumut bicicleta sa pentru trei ore, iar dac i dau ase mere, mi-o mprumut pentru dou ore. Mine i voi da o ciocolat i dou mere; pentru ct timp mi va mprumuta bicicleta ?

* * *

44

V. 264. Determinai ultima cifr a numrului 2 3 991 3 3 3 ... 3n = + + + + + .

* * * V. 265. Dai cte un exemplu de dou mulimi A i B cu cte trei elemente pentru fiecare dintre situaiile urmtoare: a) A B are exact dou elemente. b) A B are exact patru elemente. c) \A B are exact dou elemente. d) Dac x A , atunci ( )2x B

* * * V. 266. Scriem, pe rnd, 2009 numere naturale distincte astfel nct suma oricror dou numere vecine s fie un numr par. Artai c oricum am alege apte dintre aceste numere, exist cel puin dou a cror diferen este divizibil cu 12.

* * * V. 267. ntr-o gospodrie sunt gini i iepuri, n total 95 de capete i 260 de picioare. Ci iepuri i cte gini sunt n gospodrie?

* * * V. 268. Trei stilouri i dou creioane cost 40 de lei. Aflai preul unui stilou i cel al unui creion, tiind c un stilou se poate cumpra cu preul a ase creioane.

* * * V. 269. mprind patru numere naturale de cte trei cifre prin acelai numr natural nenul, se obin resturile 1, 2, 3, respectiv 4 i cturile numere naturale consecutive. Aflai cele patru numere, tiind c suma lor este 626.

Olimpiad Bistria Nsud V. 270. Considerm numrul natural 1 3 5 7 ... 2009 2a = + . Determinai restul mpririi lui a la 8.

Daniela Chite, Bucureti

45

Clasa a VI-a

VI. 261. Un grup de prietene se numete frumos dac media notelor obinute de ele la un test de matematic este cel puin egal cu 9. La un prim test , Alina a luat nota 10, Diana nota 9 i astfel Alina, Diana i Ionela au ajuns s formeze un grup frumos. Aflai ce not a luat la test Ionela, tiind c Mirela a luat nota 8, Anamaria a luat nota 9 i Ionela, Mirela, Anamaria constituie un grup frumos.

Ionela Radu, elev, Oelu Rou VI. 262. Un numr natural n d restul 5 la mprirea cu 9 i restul 8 la mprirea cu 12. a) Artai c 2012 satisface condiiile din enun i aflai cel mai mic numr natural care ndeplinete aceste condiii; b) Ce resturi obinem cnd mprim numerele 3n i 4n la 36? c) Ce rest se obine prin mprirea lui n la 36?

Ina Dicu, Cornel Moroti Rm. Vlcea VI. 263. Aflai numrul de pagini ale unei cri, tiind c cifra 3 s-a folosit la numerotarea paginilor sale de 71 de ori.

Concurs Clrai VI. 264. Spunem c o mulime de numere naturale este puternic dac suma elementelor ei plus o unitate este egal cu o putere a lui 2, iar produsul elementelor este deasemenea putere a lui 2. De exemplu, mulimea { }1,2,4 este o mulime puternic. Demonstrai c pentru fiecare numr natural 3n exist o mulime puternic avnd n elemente.

Concurs Tg. Mure VI. 265. Dai un exemplu de dou numere naturale p i q care au cte 4 divizori (numere naturale) astfel nct numrul p q s aib 9 divizori naturali.

* * *

46

VI. 266. ntr-o bibliotec sunt cri de istorie, de matematic i de geografie. Coperile crilor sunt roii, verzi i albastre. Cele de istorie nu au coperi albastre, cele de matematic au coperile sau verzi sau albastre, iar cele de geografie nu le au nici roii, nici verzi. Ce culaore au coperile crilor de istorie ?

Concurs Suceava VI. 267. Artai c 19 divide numrul 5 44 5n n pentru orice numr natural n .

* * * VI. 268. Pentru aniversarea Dianei, mama ( i tata) a pregtit n curte o mas festiv. n ultimul moment i-au mai anunat participarea nc 4 prieteni, astfel c numrul scaunelor necesare a crescut cu 2 0% fa de numrul celor aranjate iniial. Ci prieteni vor fi la aniversare ?

Alina Adam, elev, Oelu Rou VI. 269. Alina i-a propus s citeasc o carte n 4 zile. n prima zi a citit un sfert din carte, n a doua zi a citit jumtate din paginile rmase, n a treia zi a citit 75 de pagini i a constatat astfel c n ultima zi mai are de citit exact a asea parte din numrul paginilor crii.

Cte pagini are cartea? Diana Bil, elev, Oelu Rou

VI. 270. n triunghiul dreptunghic DAC ( )( )90om ADC = , bisectoarea unghiului ACD intersecteaz latura ( )AD n .E a) Dac EM AC , unde ( )M AC , artai c triunghiul DEM este isoscel; b) Demonstrai c CE DM .

Concurs Reghin

47

Clasa a VII-a

VII. 261. n triunghiul ABC latura cea mai mare este BC i are lungimea a, iar ,AB c AC b= = . Bisectoarea unghiului B intersecteaz AC n D, iar bisectoarea unghiului C intersecteaz AB n E. Fie M piciorul perpendicularei din A pe BD, iar N piciorul perpendicularei din A pe CE.

Demonstrai c .2

b c aMN + =

Maria Mihe, Timioara VII. 262. Doi elevi extrag pe rnd bile dintr-o urn cu 2009 bile. tiind c ei au voie s extrag de fiecare dat cel puin o bil i cel mult 10 bile, ctignd cel care a extras ultima bil, s se arate c exist o strategie de joc care s stabileasc nvingtorul.

Manuela Prajea, Drobeta Tr. Severin VII. 263. Numerele , ,x y y z z x+ + + sunt direct proporionale cu 3, 4 i

5. Determinai numrul raional a pentru care 2 2 23 2x y az = . Concurs Cluj

VII. 264. Determinai numerele naturale nenule care au proprietatea c produsul lor este de 3 ori mai mare dect diferena lor.

Antoanela Buzescu, Caransebe VII. 265. Dai un exemplu de dou numere reale strict pozitive a i b cu proprietatea c media lor aritmetic este mai mare cu 1 dect media lor geometric.

* * * VII. 266. Triunghiul ABC este isoscel de baz [ ]BC cu ( ) 90om A > . Fie FD i GE mediatoarele laturilor [ ]AB , respectiv [ ]AC cu

( )D AB i ( )E AC , ,F G BC iar { }DF GE H = . Fie T mijlocul laturii [ ]BC . Artai c: a) HDE este isoscel; b) HT BC ; c) HT este mediatoarea segmentului [ ]DE .

tefan Smrndoiu Rm. Vlcea

48

VII. 267. Determinai numerele naturale nenule i distincte , ,a b c pentru

care numrul 1 1 1Sab bc ca

= + + este natural.

Mitic Dudu, Galai

VII. 268. Demonstrai c, dac n , atunci 49 16 7 552 7 22

n n

n+ +

+ este

numr natural. Concurs Giurgiu

VII. 269. Artai c nu exist numere ntregi x i y pentru care

2 23 2012x y = . * * *

VII. 270. Pe un cerc avem 21 de puncte albe i un punct rou. Considerm toate poligoanele determinate de aceste puncte. Care dintre poligoane sunt mai multe: cele care au toate vrfurile albe sau cele care au i un vrf rou ? Cu ct difer numrul celor dou categorii de poligoane?

Concurs Rm. Vlcea

Clasa a VIII-a VIII. 261. Un cub de lemn este vopsit complet n albastru,apoi este tiat n 216 cubulee identice. Calculai cte cubulee au cel puin o fa vosit n albastru.

* * * VIII. 262. Determinai numerele ntregi m pentru care mulimea

{ }( ) / ( 2) 2S m x m mx x= = + este nevid. * * *

VIII. 263. Pentru orice numr real x se noteaz 2 4( ) 10E x x x= i se consider numrul real 2 3.a = + a) Artai c ( )E a este un numr natural. b) Determinai valoarea maxim a expresiei ( ).E x

* * *

49

VIII. 264. Ptratul ABCD din figura de mai jos are aria egal cu 400. Punctele M i N sunt mijloacele laturilor ( )AB , respectiv ( )CD .

Calculai aria poriunii haurate.

* * * VIII. 265. Dai un exemplu de triplet ( , , )a b c de numere reale pentru care

2 2 2 2( )a b c a b c+ + = + + . * * *

VIII. 266. Demonstrai c, pentru orice 1,2

a b > , este adevrat

inegalitatea (2 1)(2 1)a b a b+ + .

Artai c exist o infinitate de perechi 1( , ), ,2

a b a b > pentru care

se obine egalitatea. * * *

VIII. 267. a) S se rezolve n ecuaia ( 5) 84x x + = . b) Avem un ptrat care este mprit n 5 patrulatere cu interioarele disjuncte: 4 dreptunghiuri avnd aceleai dimensiuni i un ptrat mic. Dac se tie c aria ptratului mic este egal cu 25, iar aria fiecrui dreptunghi este egal cu 84, aflai perimetrul ptratului iniial i realizai un desen care s arate modul de mprire a ptratului iniial.

Marcel Teleuc,Chiinu

50

VIII. 268. Determinai numerele ntregi , ,a b c pentru care 2 3.a b c+ =

* * * VIII. 269. Demonstrai c, dac ( ), , 0,a b c + i 1abc = , atunci

2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 3 .

2a b c b c a c a b+ +

+ + +

* * * VIII. 270. Determinai numerele ntregi n pentru care exist numere prime p i q astfel nct ( 1) ( 2) ( 3)p p q q n n+ + = + .

Lista scurt ONM 2012, Adriana i Lucian Dragomir, Oelu Rou

Clasa a IX-a IX. 221. Stabilii care dintre urmtoarele numere este mai mare:

7 2a = sau 13 8.b = * * *

IX. 222. O pies metalic n form de disc cu diametrul de 20 cm cntrete 3,6 kg. Din aceast pies se taie o pies mai mic,de aceeai grosime, n form de disc cu diametrul de 10 cm. Calculai ct cntrete piesa mai mic.

* * * IX. 223. Dai un exemplu de funcie :f care este strict cresctoare pe ( ),0 i strict cresctoare pe [ )0,+ , dar nu este strict cresctoare pe .

* * *

51

IX. 224. Se consider punctele ( 1,3), (2,0), (3,2).A B C Determinai funcia :f al crei grafic este reprezentat n figura de mai jos,

IX. 223. Determinai numerele reale a pentru care ecuaiile

2 4 0x x a + = i 2 7 2 0x x a + = au o soluie comun. * * *

IX. 226. Artai c, dac ,a b , atunci cel puin una dintre ecuaiile

2 4 2 1 0x ax b + = i 2 4 2 1 0x bx a + = are soluii reale. * * *

IX. 227. Rezolvai n mulimea numerelor naturale ecuaia 32.x y+ =

* * *

IX. 228. Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia: [ ]

1 1 .1 1x x =

Neculai Stanciu, Sibiu

IX. 229. Demonstrai c 1

( 1),

2 1 2

n

k

k k n nk

=

+<

+ . * * *

52

IX. 230. Se consider o funcie :f cu proprietatea c ( ( )) ( 2012), ,f x f y y f x x y+ = + + . a) Artai c funcia :g , ( ) ( ) 2012g x f x= este aditiv. b) Demonstrai c exist exact dou funcii cu proprietatea din

enun. Lista scurt ONM 2012, Lucian Dragomir, Oelu Rou

Clasa a X-a

X. 221. Exist numere reale x pentru care

( ) ( )2 3log 2 ,log 3x x+ + i ( )4log 4x + ? * * *

X. 222. Pentru orice numere strict pozitive ,x y

se noteaz ( , ) .m nE x y x y x y= Determinai perechile ( , )m n de numere naturale pentru care

(3,4) 6.E = * * *

X. 223. Rezolvai ecuaia 21 4 34 3 2.x x x ++ =

* * * X. 224. Artai c nu exist numere ntregi x pentru care ( )2 2 9 3 2 2 .x xx x + = +

* * * X. 225. Dai un exemplu de numere a i b iraionale pentru care .ba

* * * X. 226. Determinai mulimea

2

1

, 1/ log ( 1) 1, .aa

A a a x x+

= + >

* * *

53

X. 227. Demonstrai c pentru orice , 2n n , este adevrat inegalitatea

2 2 2! ! !1log log ( 1) log ( 2)! .3n n n

n n n

* * * X. 228. Artai c dac 2, 1 2 1z z z + = + , atunci 7.z

Virgil Nicula , Bucureti

X. 229. Fie *, cu .a b a b a b + = = Calculai .ba

Bogdan Enescu , Buzu X. 230. Pentru orice numr natural nenul n se noteaz { }1,2,3,...,nA n= i

nU numrul funciilor :f A care au proprietatea c

[ ] [ ] [ ]2 2 2( 1)log (1) log (2) ... log ( )

2k kf f f k ++ + + = , nk A .

a) Determinai cel mai mic numr natural n pentru care 2012nU > . b) Determinai numerele naturale m pentru care

12

44 logmmU m+= + .

( numrul [ ]a reprezint partea ntreag a numrului real a ).

Lista scurt ONM 2012, Lucian Dragomir, Oelu Rou

Clasa a XI-a

XI. 221. Rezolvai n 2 ( ) ecuaia 2012 1 2012 .

0 1X

=

* * *

XI. 222. Rezolvai n 5S ecuaia 2 1 2 3 4 5

5 3 1 2 4x

=

.

* * *

54

XI. 223. Dac ( )2A , atunci ( ) ( )2 2det detA I A I+ = dac i numai dac ( ) 0tr A = .

* * *

XI. 224. Determinai numerele naturale nenule n pentru care, dac ( )nA , atunci ( )det .t A iA +

Gheorghe Alexe, Brila XI. 225. Dai un exemplu de matrice ( )3A pentru care 2rangA = i 3( ) 3.rang A I+ =

* * * XI. 226. Determinai limita irului ( ) 0n nx pentru care 1 1x = i 12 ( 1) , .n nn x n x n

+ = +

* * * XI. 227. Artai c ecuaia 3 2 27 6X X I O + = are cel puin trei soluii n

2 ( ). * * *

XI. 228. Se consider \ cu 3 1 = i mulimea { }2 22 2 2( ) ( ) | .M H A H A A I O = + + = a) Artai c, dac ( )X M , atunci X este inversabil i 1 2.X X = b) Demonstrai c ( )M conine un singur element.

* * *

XI. 229. Se consider un ir ( ) 0n nx de numere reale pentru care 11, 2ox x= = i cu proprietatea c 1 12 3 , .n n nx x x n+ = Calculai

limita irului ( ) 0n nx . * * *

55

XI. 230. Calculai 1lim ln 1n

n en

+

.

Olimpiad Hunedoara

Clasa a XII-a XII. 221. Artai c nu exist funcii continue :f care s admit o primitiv F cu proprietatea c ( ) (1 ) , .F x F x x x =

* * * XII. 222. Pe o mulime nevid M se consider o lege de compoziie asociativ notat multiplicativ i pentru care 2 , , .xy yx x y M= S se arate c legea este comutativ.

Concurs Gh.Lazr, Sibiu XII. 223. S se arate c nu exist niciun morfism de grupuri

( ) ( ): , ,f + pentru care 0

lim ( ) 0.x

f x

=

Dumitru Buneag, Craiova XII. 224. Fie ( ),G un grup pentru care exist , 2n n astfel nct

,n nx y yx= ,x y G .S se demonstreze c grupul este abelian. Gheorghe Andrei, Constana

XII. 225. Dai un exemplu de funcie :f D derivabil, pentru care

'( ) ( ), .f x f x x D> * * *

XII. 226. Fie ( )1

: 0, , ( ) xf f x e = i ( ): 0,F o primitiv a sa.

S se calculeze: a) 0

0

lim ( )xx

F x>

; b) lim ( )x

F x

; c) 1lim .( )xx

F x

Olimpiad Arad

56

XII. 227. S se gseasc primitivele funciei : ,f ( )1

x

x

x ef xe

=

+.

Dan tefan Marinescu, Hunedoara XII. 228. Fie :f o funcie cu urmtoarele proprieti:

a) funcia f f admite primitive; b) ( ) ( ) , , .f x f y x y x y Demonstrai c funcia f admite primitive.

Cristinel Mortici, Trgovite XII. 229. Artai c funcia ( ): 1, , ( ) ln(1 )f f x x + = + are o singur tangent la grafic care trece prin origine.

Ovidiu Bdescu, Reia XII. 230. Stabilii n care dintre urmtoarele figuri este reprezentarea geometric a graficului funciei 3: , ( ) .f f x x x =

Figura 1.

Figura 2.

Figura 3.

57

Probleme alese A. 29 S se rezolve ecuaia

( ) 2 2 2( ) ( )( ) ( )( )( )( )( ) 0x a b c x a x b c a x b x c a b x c

x a b c x b c a x c a b+ + + + +

+ + + =

Gheorghe iteica, 1903 A. 30 S se demonstreze c expresia 2 2 23 32 40 9n n n+ , n care

, 2n n , este divizibil cu 512. Gheorghe iteica, 1904

A. 31 Se d o dreapt OL pe care avem punctul fix O i un punct A n plan. Se duce prin A o secant variabil, care ntlnete pe OL n B. Cercul tangent n B dreptei OL i avnd centrul pe OA taie secanta n un al doilea punct C. S se demonstreze c tangenta n C dus cercului precedent trece printr-un punct fix.

Gheorghe iteica, 1903 A. 32 Se ia un punct D pe nlimea /AA a unui triunghi .ABC Dreapta EF care unete mijlocul E al lui AC taie pe AB n M i pe CD n N. S se demonstreze c dac unghiul /MA N este drept, atunci punctul D este punctul comun nlimilor triunghiului .ABC

Gheorghe iteica, 1904

58

Rubrica rezolvitorilor nainte de a scrie aici ceva, trebuie s v rugm din nou ca, atunci cnd trimitei rezolvrile problemelor, s scriei pe plic, jos n stnga, clasa n care suntei !!! Aa cum anunam n RMCS nr. 39, la pagina 21, punctajelor obinute n urma evalurii soluiilor trimise pe adresa noastr li se adun cele publicate n Gazeta Matematic (sau pe www.viitoriolimpici.ro pentru participanii la concursul Gazetei), precum i punctajul ponderat obinut (dac e cazul) la ediia anterioar a Concursului RMCS. Reamintim c punctajele cumulate le putei gsi (atunci cnd comisia de evaluare finalizeaz aceast activitate) pe pagina www.neutrino.ro, la seciunea CS MATE, 2012 2013, Concursuri, tabere, Rezolvitori _ concurs RMCS 2013.

Pota redaciei Printre attea plicuri completate corect(n primul rnd cu indicarea clasei!), pline cu soluii corecte, unele chiar originale, am primit unul care ne-a ncntat, de la elevul Andrei Popa din Bile Herculane (care nu a uitat s i laude profesorul i dirigintele). Pe lng cteva probleme propuse, Andrei ne scrie: S tii c ediia a VII-a a acestui concurs a ieit carte. Eu i colegii mei din Bile Herculane suntem bucuroi c ncercai s ne luminai mintea. V cer iertare pentru scris, tiu c este urt. Drag Andrei, n primul rnd trebuie s i spunem c scrisul tu nu e nici pe departe aa cum spui; nu e ntr-adevr ca la carte, dar nelegem mult mai bine ce scrii tu dect ce scriu unii dintre elevii de clasa a XII-a; aadar, chiar dac e perfectibil, d-i nainte cu rezolvrile i propunerile ! n al doilea rnd, trebuie s mrturisim c rndurile, i deci gndurile tale, ne-au bucurat: dei sunt puine de acest gen care ajung la noi, sunt dintre cele care ne fac s continum, sunt dintre cele care ne susin, care ne ntresc convingerea c poate, ceea ce ncercm, an de an, merit continuat. Nu putem dect s i mulumim aadar!

http://www.viitoriolimpici.ro/http://www.neutrino.ro/

59

Miniconcursul revistei Problema 4. Dintr-o bucat dreptunghiular de carton cu dimensiunile de 7 cm 16 cm , realizeaz desfurarea unui tetraedru cu un volum ct mai mare posibil.

Dac ai obinut un tetraedru cu un volum mai mare de 373 cm , trimite un desen cu liniile dup care ai ndoit cartonul ca s realizezi tetraedrul. Elevul care trimite primul soluia corect la problema propus va primi din partea autorului cartea Matematic distractiv pentru clasele VII VIII,Editura Art, 2012, autor I. Dncil. (N.red. : Pe lng forma absolut superb de prezentare prezentare grafic de excepie, cartea reprezint o apariie inedit, atractiv, incitant, aa cum de fapt ne-a obinuit autorul; nu putem fi dect bucuroi i onorai c se numr printre colaboratorii notri). Rezolvarea trebuie trimis pe adresa : Ioan Dncil, str. Drumul Taberei nr. 67, bl. TD 44, ap. 42 Sector 6, Bucureti, cod potal 061 366 S vedem acum ce s-a mai ntmplat la miniconcursul revistei:

Problema 2. (RMCS 39)

Am cteva creioane colorate i am constatat c: toate creioanele, mai puin 3, sunt roii; toate creioanele, mai puin 4, sunt verzi; toate creioanele, mai puin 5, sunt albastre.

Cte creioane colorate am?

60

Solutia problemei 2 i comentariile autorului:

Insistena cu care s-a solicitat rspunsul corect i complet ar fi trebuit s pun pe gnduri. Problema pare doar comun i de fapt are o alt soluie dect cea trimis de toi rezolvitorii: 6 creioane colorate. n enun nu se precizeaz c sunt creioane colorate numai

Considerm c

n culorile rou, verde, albastru.

x este numrul de creioane de alte culori (dect rou, verde, albastru) i atunci , dac n

(n

este numrul de creioane colorate, atunci sunt:

(n

- 3) creioane roii;

(n- 4) creioane verzi i

- 5) creioane albastre

3 12n x n + =

asa c avem ecuaia , 2 12n x+ =de unde . Evident x

pentru

este par i :

0x = , avem 6n = pentru

; 2x > nu exist un numar natural n

pentru

(necesar mai mare sau egal cu 5);

2x = , obtinem 5n = , de unde rezult c am dou creioane roii, un creion verde, 0 creioane albastre i dou creioane de alt culoare (dect rou, verde sau albastru). Cu regret, la problema nr. 2 nu am primit nicio soluie corect i complet! Ioan Dncil

VI. 262. Un numr natural n d restul 5 la mprirea cu 9 i restul 8 la mprirea cu 12.a) Artai c 2012 satisface condiiile din enun i aflai cel mai mic numr natural care ndeplinete aceste condiii;b) Ce resturi obinem cnd mprim numerele 3n i 4n la 36?c) Ce rest se obine prin mprirea lui n la 36?Ina Dicu, Cornel Moroti Rm. VlceaVIII. 267. a) S se rezolve n ecuaia .b) Avem un ptrat care este mprit n 5 patrulatere cu interioarele disjuncte: 4 dreptunghiuri avnd aceleai dimensiuni i un ptrat mic. Dac se tie c aria ptratului mic este egal cu 25, iar aria fiecrui dreptunghi este egal cu 84, afla...Marcel Teleuc,Chiinu