societatea de s¸tiint¸e matematice din romaniaˆ … · 1 arheologie s¸i mozaicuri 2 codul de...

SOCIETATEA DE STIINTE MATEMATICE DIN ROMANIASEMINARUL DE EDUCATIE MATEMATIC A

26 octombrie 2013, Busteni

Matematica cea vie sau fuga ei din caiet

Prezentare de:Alexandru NEGRESCU

Universitatea Politehnica din Bucuresti

Alexandru Negrescu (UPB) Matematica cea vie sau fuga ei din caiet 26 octombrie 2013 1 / 170

1 Arheologie si mozaicuri

2 Codul de bare

3 Matematica si jocul de rugby

4 Numarul de aur

5 Fractali

6 Olimpiade si povesti

7 Sfaturile unui vorbitor public


Arheologie si mozaicuri

Arheologie, arta si mozaicuri

Reconstructia mozaicurilor vechi este o problema clasica pentruarheologi si pentru restauratori. Utilizand teorii matematice se potreconstrui versiunile originale ale podelelor, pornind de la fragmenteleunui sit arheologic din Forul lui Traian, Roma.



Forul lui Traian



Pauza de fortificare intelectuala �Forul lui Traian a fost ultima lucrare de acest gen, realizata deApolodor din Damasc, pe o suprafata de teren de 275 000 m2, ıntreCapitoliu si Quirinal prin evacuarea a 850 000 m3 de pamant. S-alucrat ıntre anii 107 si 117 d. Hr. cu fonduri din prada dacica si cucaptivi de razboi. Forum Traiani s-a pastrat intact pana ın secolul alVI-lea. S-a folosit marmura policroma la coloane si placaje din bronzaurit la acoperis. La intrarea ın piata exista un arc de triumf cu treicoridoare; ın centrul pietei se ınalta statuia ecvestra ın bronz aurit a luiTraian (s-a pastrat pana ın secolul al IV-lea) si un portic pe margini,decorat cu busturi de daci captivi ıntre care si bustul lui Decebal.Urma basilica Ulpia (66 x 159 m). In basilica existau statui aleoamenilor ilustri si trofee de razboi dacice. Langa basilica se ınaltaColumna lui Traian, flancata de biblioteca latina si greaca care, ın afarade libri, continea manuscrise celebre, memorii ale ımparatilor sidocumente de stat. Forum Traiani se ıncheia cu un templum diviTraiani et divae Plotinae ridicat de Hadrian.



BIBLIOGRAFIE SI RECOMANDARI

1 A. Carlini, E. Conversano, L. Tedeschini-Lalli, Mathematics andarchaeology, 7th International Conference APLIMAT, 2008.

2 http://ro.wikipedia.org/wiki/Forul lui Traian.


Codul de bare

Codul de bare

Codul de bare este o reprezentare de date codificata (cifrata),destinata a fi citita pe cale optica. Codurile de bare sunt folosite ınmulte domenii, ındeosebi industriale. Un cod de date are aspectul unuisir de bare negre de diverse grosimi pe un fundal alb. In general,fiecare cifra sau litera se reprezinta printr-o anumita combinatie debare.


Codul de bare

Exista mai multe formate (sisteme) de coduri de bare. Codurile debare sunt citite si decodate cu ajutorul unor scanere speciale. Acesteamasoara reflexia luminii, interpreteaza codurile drept cifre si litere si letrimit unui calculator sau altui dispozitiv de gestionare a datelor.Prin conventie, caracterul din stanga este considerat caracterul destart si caracterul din dreapta caracterul de stop.Codurile de bare au fost introduse deoarece masinile (calculatoarele)ın general nu citesc cu usurinta reprezentarea grafica normala acifrelor si literelor; pentru aceasta s-a dezvoltat domeniul specializatnumit Recunoasterea optica a caracterelor (ın engleza, OpticalCharacter Recognition, OCR).


Codul de bare

Pauza de fortificare intelectuala �In 1932 un grup de studenti de la Universitatea Harvard a demarat unproiect ındraznet: produselor le erau anexate puncte de reper dincataloage de produse si erau centralizate ıntr-o baza de date. Codurilede bare, ın varianta lor de astazi, au aparut ın 1948. Bernard Silver aprimit o cerere de dezvoltare a unui sistem automat de identificare aproduselor si, ımpreuna cu Norman Joseph Woodland, a ınceput salucreze la proiect. In 20 octombrie 1949, Woodland si Silver aupublicat o lucrare intitulata Classifying Apparatus and Method.Inventatorii au descris inventia lor ca fiind arta de clasificare aproduselor pe baza modelelor. Modelul de cod de bare realizat deWoodland si Silver la 7 octombrie 1952 a ınceput sa fie folosit camodel general de identificare a produselor. Codurile de bare auınceput sa fie folosite ın comert dupa 1966. In iunie 1974 primulscanner UPC realizat de NCR Corporation a fost instalat lasupermarketul Marsh din Troy, Ohio. Pe 26 iunie 1974, primul produscu cod de bare a fost scanat si ınregistrat.


Codul de bare


Codul de bare

Exercitiu

Verificati urmatorul cod de bare (ISBN).


Codul de bare

9 7 8 9 7 3 4 7 1 3 6 5 3

Suma cifrelor de pe rang impar:

9 + 8 + 7 + 4 + 1 + 6 = 35.

Suma cifrelor de pe rang par:

7 + 9 + 3 + 7 + 3 + 5 = 34.

3 · 34 + 35 = 102 + 35 = 137

137 + 3 = 140

3 - cifra de verificare


Codul de bare


Codul de bare

Exercitiu

Completati urmatorul cod de bare:


Codul de bare

Exercitiu

Verificati daca urmatoarele coduri de bare au fost trecute ın modcorect ın baza de date:a) Agrafe: 327-019-26969-9-4;b) Multivitamine: 590-620-40094-0-2;c) Rezerve stilou: 401-270-03011-7-8;d) Ceai: 460-524-60052-2-1.

Exercitiu

Care sunt cifrele de verificare ale urmatoarelor coduri de bare?a) 978-606-93227-2-?;b) 360-923-09798-4-?;c) 978-973-50-2948-?;d) 401-270-03291-3-?.


Codul de bare


1 Robert Bradshaw, Ronald Staszkow, The Mathematical Collage,Ohlone College Fremont, California.

2 http://ro.wikipedia.org/wiki/Cod de bare.


Matematica si jocul de rugby


Alan Bishop propune ın studiul sau, Mathematical enculturation: Acultural perspective on mathematical education, publicat la KluwerAcademic ın anul 1991, sase activitati matematice:

numarare;

masurare;

amplasare;

proiectare;

joc;

explicare.



Predispozitia spre joc a copiilor reprezinta o oportunitate pe careprofesorii nu ar trebui sa o ignore. Preocuparea omului cu jocurile sepoate exploata ın sens pedagogic ın salile de clasa. In cazul nostru,prin matematica.

In articolul Teaching aspects of school geometry using the populargames rugby and snooker, Jim Leahy prezinta doua problemeinteresante de geometrie care apar ın doua tipuri de jocuri binecunoscute:

rugby;

snooker.



In jocul de rugby, se marcheaza prin eseu daca balonul atinge terenuladvers.O lovitura libera, numita transformare, ın val-oare de doua puncte, poate fi data din oricepunct de pe directia de unde balonul a atinsterenul, i. e. pe o linie perpendiculara pe liniade poarta de la punctul ın care mingea atingeterenul. Pentru a beneficia de cele doua punctemingea trebuie sa fie data ıntre barele portii sipeste bara transversala.

Presupunand ca distanta si ınaltimea nu sunt o problema, de cat dedeparte ar trebui sa ıncerce un jucator o lovitura libera printransformare pentru a ınscrie?



Solutie geometrica

Fie A si B stalpii portii iar K pozitia de la care se ıncearcatransformarea, unde m(�BCK) = 90o.

Evident, pozitia optima pentru K se realizeaza cand m(�AKB) estemaxima.



Daca punctul K este prea aproape de punctul C, este usor de vazutca m(�AKB) este foarte mica.



Pe de alta parte, daca punctul K este prea departat de punctul C,atunci m(�AKB) → 0.



Astfel, maximul masurii unghiului se atinge ıntr-o pozitie convenabila.Ideea este sa consideram un cerc ce trece prin punctele A,B (fixe) siK (mobil). Acesta (de regula) mai intersecteaza perpendiculara ınpunctul K ′.



In acest caz, �AKB ≡ �AK ′B, deoarece subıntind aceeasi coarda.Deducem ca punctul K ne genereaza un unghi ce porneste de la 0o

(ın C), ajunge la masura maxima si apoi tinde iar spre 0o.Afirmam ca pozitia maximıa se atinge ıntre K si K ′.Mai mult, sa demonstram ca

masura maxima se atinge (atunci cand cercul este tangent dreptei cetrece prin C si este perpendiculare pe AB) ın punctul de tangenta.



Fie K ′ ∈ (CK) si K ′′ ∈ [CK\[CK]. Ar trebui sa aratam cam(�AK ′B) < m(�AKB) si m(�AK ′′B) < m(�AKB).Notam BK ′ ∩ C = {D} si BK ′′ ∩ C = {D′}.



Atunci m(�ADB) = m(�AKB) si, cum m(�AK ′B) < m(�ADB)(teorema unghiului exterior), deducem ca m(�AKB) > m(�AK ′B).In mod asemanator, m(�AK ′′B) < m(�AKB).Asadar, m(�AKB) este maxima ın aceasta pozitie. Sa gasim pozitiapunctului K.

Notam AB = a,BC = b si CK = x.Puterea punctului C fata de cercul C ne da

CK2 = CA · CB,

de unde x2 = (a+ b) · b, adica

x =�b(a+ b).



Se stie ca distanta dintre bare, adica a, este egala cu 5, 6 m.



Daca b = 20 m, gasim

x =�20(5, 6 + 20) =

√512 = 22, 63 m.



Abordare cu ajutorul Analizei Matematice

Fie K un punct arbitrar pe perpendiculara ın C pe AB.Notam �AKB := θ si �BKC := φ, AB = a,BC = b, CK = x.Atunci

tg(θ + φ) =a+ b

x

si

tgφ =b

x.

a+ b

x= tg(θ + φ) =

tgθ + tgφ1− tgθ · tgφ

=

=tgθ + b

x

1− tgθ · bx

,



de unde obtinem catgθ��f(x)

=ax

x2 + b(a+ b).

Teorema lui Fermat ne da punctele critice, prin rezolvarea ecuatieif ′(x) = 0, adica

ab(a+ b)− ax2

[x2 + b(a+ b)]2= 0,

de unde x =�b(a+ b).

x 0�b(a+ b)

f ′(x) + + + 0 – – –

f(x) ↗ ↗ ↗ f��

b(a+ b)�

↘ ↘ ↘




1 A. J. Bishop, Mathematical enculturation: A cultural perspective onmathematical education, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht,1991.

2 Juergen Maasz, John O’Donoghue, Real-World Problems forSecondary School Mathematics Students, Sense Publishers,Rotterdam, 2008.

3 http://frr.ro/regulament/.


Numarul de aur

Numarul de aur

In cartea a doua a Elementelor lui Euclid gasim urmatoareapropozitie:

Propozitia 2.11

Sa se taie o anumita linie dreapta astfel ıncat dreptunghiul continut deıntreg (linia dreapta) si una dintre bucati (de pe linia dreapta) este egalcu patratul bucatii ramase.


Numarul de aur

De asemenea, ın Propozitia 30 din Cartea a VI-a este prezentatametoda ımpartirii unui segment ın medie si extrema ratie,

ın care ıntregul este atat de mare fata de partea mai mare pe cat estepartea mai mare fata de partea mai mica.

Asadar,AC

AB=

AB

BC, adica

p+ q

p=

p

q, de unde p2 − pq − q2 = 0 si

atunci�p

q

2

− p

q− 1 = 0. Obtinem ca

p

q=

√5 + 1

2= 1, 618033988... .


Numarul de aur

Acest numar este numit numarul de aur si, ın anul 1909,matematicianul american Mark Barr a sugerat sa fie notat cu Φ/ϕ,dupa prima litera a numelui sculptorului Fidias (Φειδιας).

Pauza de fortificare intelectuala �Fidias (cca. 500/490 ı. Hr. - cca. 432 ı. Hr.) a fost unsculptor grec din epoca lui Pericle, unul dintre cei maiimportanti reprezentanti ai perioadei clasice din culturagreaca. Plutarh relata ca Fidias fost ınsarcinat de Peri-cle sa conduca lucrarile de constructie a Acropolei Ate-niene. A ındrumat realizarea si decorarea Partenonului, folosindu-sede numarul de aur. Opera sa cea mai importanta a fost statuia lui Zeusdin Olimp, din aur si fildes, care avea o ınaltime de 12 m si eraconsiderata una dintre cele sapte minuni ale lumii antice. Alte lucraricelebre au fost Athena Promachos si Athena Parthenos.


Numarul de aur

Deoarece ϕ2 = ϕ+ 1, deducem ca ϕ =√1 + ϕ, de unde

ϕ =�1 +

√1 + ϕ si obtinem ca

ϕ =

1 +

�1 +

�1 +

√1 + ...

Tot din ϕ2 = ϕ+ 1, deducem ca ϕ = 1 +1

ϕ, de unde ϕ = 1 +

1

1 + 1ϕ

si

obtinem scrierea lui ϕ ca fractie continua:

ϕ =1

1 + 11+ 1

1+...


Numarul de aur

Exercitiu

Aratati ca �� b

a+ b− 1

ϕ

�� ≤��ab − 1

ϕ

�� ,∀0 ≤ a ≤ b.


Numarul de aur

Dreptunghiul de aur

Dreptunghiul de aur este dreptunghiul pentru care raportul dintrelungimea si latimea sa este egal cu numarul de aur.


Numarul de aur


Numarul de aur

Triunghiul de aur

Triunghiul de aur este considerat: triunghiul isoscel cu unghiurile dela baza de masuri egale cu 72o si unghiul de la varf cu masura egalacu 36o sau triunghiul isoscel cu unghiurile de la baza de masuri egalecu 36o si unghiul de la varf cu masura egala cu 108o.


Numarul de aur


Numarul de aur

Unghiul de aur

Un cerc poate fi ımpartit ın doua arce aflate ın raportul numarului deaur.


Numarul de aur

Elipsa de aur

Elipsa de aur este elipsa construita ın interiorul unui dreptunghi deaur.


Numarul de aur


Numarul de aur

Impartirea unui segment ın medie si extrema ratiedoar cu rigla negradata si compasul

Fie segmentul [AB]. Construim CB ⊥ AB, cu CB = 12AB. Cercul

C (C,CB) intersecteaza latura (AC) ın punctul R si cercul C (A,AR)intersecteaza latura (AB) ın punctul S. Atunci punctul S ımpartesegmentul [AB] ın medie si extrema ratie.


Numarul de aur

Aparitia raportului de aur

Fie triunghiul echilateral ABC si punctele M si N , mijloacele laturilor[AB], respectiv [AC]. Daca semidreapta (MN intersecteaza cerculcircumscris triunghiului ABC ın punctul P , atunci punctul N ımpartesegmentul [MP ] ın medie si extrema ratie.


Numarul de aur

In viziunea matematicianului german Johannes Kepler (1571-1630)geometria are doua mari comori: teorema lui Pitagora si ımpartirea ınmedie si extrema ratie.Acest raport a fost numit pentru prima data Proportia Di-vina la ınceputul secolului al XVI-lea cand Leonardo DaVinci (1452-1519) a desenat ilustratiile pentru o lucrarerealizata de Luca Pacioli (1445-1517): De Divina Pro-portione (1509).

De Divina Proportione este formata din trei carti:

Prima parte, Compendio Divina Proportione, studiaza sectiuneade aur dintr-un punct de vedere matematic si poligoanele. Estediscutata si utilizarea perspectivei de pictori precum Pierro dellaFrancesca, Melozzo da Forli si Marco Palmezzano.


Numarul de aur

Partea a doua discua ideile lui Marcus Vitruvius Pollioreferitoare la aplicatiile mnatematicii ın arhitectura.

Partea a treia, Libellus in tres partiales tractatus divisus, este otraducere italiana a cartii latinesti De quinque corporibusregularibus, a lui Pierro della Francesca.


Numarul de aur


Numarul de aur

Artistii Renasterii au folosit sectiunea de aur foarte mult ın picturile sisculpturile lor pentru a atinge echilibrul si frumusetea. Leonardo daVinci a folosit-o pentru a defini toate proportiile fundamentale ınpictura sa, Cina cea de Taina.


Numarul de aur

Acest numar a fost numit divin datorita proprietatilor sale unice de adeschide usa de ıntelegere mai profunda a frumusetii si spiritualitatiilumii reale.Estetica numarului de aur a fost primul subiectal cercetarii stiintifice psihologice ca noua dis-ciplina aparuta ın secolul al XIX-lea. GustavTheodor Fechner (1801-1887) a fost primapersoana care si-a fixat privirea analitica peacest subiect la ınceputul anilor 1860. Din acelmoment a fost ın centrul unor domenii de cerc-etare: structuralism, psihologie Gestalt, com-portamentalism, psihiatrie, etc. ϕ a continuatsa deschida noi usi ın ıntelegerea vietii, naturiisi a universului.


Numarul de aur

Pauza de fortificare intelectuala �Fie I intensitatea unui stimul dat unui subiect. Intr-un experiment princare se da un stimul, intensificandu-l gradat cu ΔI, valoarea minima alui ΔI la care subiectul poate simti diferenta dintre I si I +ΔI senumeste prag de discriminare. Fie E, intensitatea emotiei (nivelul desenzatie) corespunzatoare stimulului I.Legea lui Weber ne spune ca

ΔI

I= kΔE.

Fechner a privit-o ca pe o ecuatie diferentiala,dII

= kdE. Deducem,

astfel, Legea Weber-Fechner:

E = k−1 ln I + C.


Numarul de aur

ϕ a aparut ın descoperirea lui Roger Penrose, dalele Penrose (1970),despre acoperirea suprafetelor.


Numarul de aur

ϕ a aparut ın 1984 ın aliajul aluminiu-mangan (Al6Mn), cunoscut subnumele de cvasi-cristal, care a fost descoperit ın forma de materie.


Numarul de aur

Relatia dintre numarul de aur si gaurile negre este prezentata de J. A.Nieto (2011 ın articolul A Link Between Black Holes and the GoldenRatio (Preprint arXiv: 1106.1600, 2011, 1-10).


Numarul de aur

Studiul Robotului Antropomorf este un domeniu ın care dimensiunilerobotului umanoid pot fi stabilite pe baza numarului de aur, pentru aface robotul sa fie mai prezentabil si acceptat de public.


Numarul de aur

Arhitectura

Parthenon (Templul Atenei de pe Acropole), Atena


Numarul de aur

Catedrala Notre-Dame, Paris


Numarul de aur

Turnul National Canadian, Toronto


Numarul de aur

Turnul Eiffel, Paris


Numarul de aur

Pauza de fortificare intelectuala �Gustave Eiffel, faimos ın lumea ıntreaga, inginer si arhitect francez,expert ın constructii cu schelet metalic si elemente prefabricatemetalice, cum au fost Turnul Eiffel din Paris sau Statuia Libertatii dinNew York, a avut de asmenea o prezenta demna de notificat ınRomania: cladirea Grand Hotel Traian din Iasi (1882).


Numarul de aur

Galeria Nationala, Londra


Numarul de aur

Pictura

Sfantul Ieronim (1480), Leonardo da Vinci


Numarul de aur

Mona Lisa (1503-1506), Leonardo da Vinci


Numarul de aur

Profilul unui om batran (1505), Leonardo da Vinci


Numarul de aur

Crocifissione Gavari (1502-1503), Raffaello Sanzio


Numarul de aur

Autoportret (1640), Rembrandt


Numarul de aur

Bathers at Asnieres (1884), Georges-Pierre Seurat


Numarul de aur

Compozitie cu gri si maro luminos (1918), Piet Mondrian


Numarul de aur

The sacrament of the Last Supper (1955), Salvador Dali


Numarul de aur

Anatomie


Numarul de aur


Numarul de aur

Exercitiu

Determinati, prin masurare, urmatoarele:a = distanta de la varful capului la barbieb = distanta de la varful capului la ochic = distanta de la ochi la nasd = distanta de la ochi la buzee = latimea nasuluif = distanta exterioara dintre ochig = latimea capuluih = distanta de la baza parului la ochii = distanta de la nas la barbiej = distanta de la buze la barbiek = lungimea buzelorl = distanta de la nas la buze.Calculati valorile urmatoarelor rapoarte:

a

g,b

d,i

j,i

c,e

l,f

h,k

e.


Numarul de aur

Natura


Numarul de aur


Numarul de aur

Cotidian


Numarul de aur


Numarul de aur

Volkswagen Beetle


Numarul de aur

Toyota Supra


Numarul de aur

Sirul lui Fibonacci si numarul de aur

In cartea Liber Abaci (1202), ın capitolul al XII-lea, matematicianulitalian Fibonacci a prezentat urmatoarea problema:

Problema ınmultirii iepurilor

Daca pornim cu o pereche de iepuri ın prima zi a unui an, cate perechide iepurivom avea ın prima zi a anului urmator? Presupunem cafiecare pereche de iepuri produce o noua pereche de iepuri la fiecareluna si fiecare noua pereche de iepuri ıncepe sa produca la doua lunidupa nastere.


Numarul de aur

Pauza de fortificare intelectuala �Leonardo Pisano Bogollo (cca. 1170-1250), cunoscut si sub numelede Leonardo din Pisa, Leonardo Pisano, Leonardo Bonacci, LeonardoFibonacci, sau pur si simplu Fibonacci, a fost un matematician italianconsiderat drept unul dintre cei mai talentati matematicieni dinOccidentul Evului Mediu. Fibonacci este cunoscut lumii modernepentru:

raspandirea sistemului de numarare hindu-arab ın Europa, prinpublicarea la ınceputul secolului al XIII-lea a cartii sale, Cartea decalcul sau Liber Abaci.

un sir de numere, care i-a purtat ulterior numele (sirul luiFibonacci), pe care l-a folosit ın cartea sa, Liber Abaci. Sirul denumere era cunoscut matematicienilor indieni ınca din secolul alVI-lea, ınsa cartea Liber Abaci a lui Fibonacci a fost cea care l-aintrodus ın occident.


Numarul de aur


Numarul de aur

Sirul lui Fibonacci

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

Sirul lui Fibonacci este sirul (Fn)n≥1, cu proprietatea ca F1 = 1, F2 = 1si

Fn = Fn−1 + Fn−2,∀n ≥ 3.

Fn reprezinta al n-lea numar Fibonacci.Exemple: F4 = 3, F6 = 8, F10 = 55.Numerele au fost denumite dupa Fibonacci de matematicianul francezEdouard Lucas (1842-1891), care le-a studiat.


Numarul de aur

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

1

1= 1

3

2= 1, 5

8

5= 1, 6

21

13= 1, 61538...

55

34= 1, 61764...

2

1= 2

5

3= 1, 66...

13

8= 1, 625

34

21= 1, 61905...

89

55= 1, 61861...

↗ ϕ = 1, 6180339887... ↙


Numarul de aur


Numarul de aur

Formula lui Binet (1843)

Fn =1√5

�1 +

√5

2

�n

−�1−√

5

2

�n�


Numarul de aur

Exercitiu

a) Reprezentati punctele (1; 1), (1; 2), (2; 3), (3; 5), (5; 8), (8; 13), ... .b) Desenati dreapta y = ϕx.c) Descrieti pozitiile punctelor fata de dreapta y = ϕx.

Exercitiu

Aratati ca:F 21 + F 2

2 + F 23 + ...+ F 2

n = Fn · Fn+1


Numarul de aur

Exercitiu: Albinele lui Fibonacci

Albinele sunt creaturi minunate dar oare stiu ele matematica? BuzzyBee din stanga figurii trebuie sa se miste ın stupul ei. Cate drumuriexista pana la celula A? Dar pana la celula B? Sau C? Albinuta stiealfabetul. Ea parcurge drumurile ın ordine alfabetica. De exemplu,A−B −D este un drum bun, dar A− C −B nu este un drum bun.


Numarul de aur

Unde ıntalnim numerele Fibonacci?


Numarul de aur


Numarul de aur

Numerele Fibonacci ın cultura

Geniul matematic angajat de FBI, Charlie Eppes a mentionat cumnumerele Fibonacci exista ın cristale si ın spiralele galaxiilor ınepisodul Sabotage (2005) al serialului TV NUMB3RS.


Numarul de aur


Trupa rap Black Star a compus urmatoarele versuri:Now everybody hop on the one, the sounds of the twoIt’s the third eye vision, five side dimensionThe 8th Light, is gonna shine bright tonightIt’s the third eye vision, five side dimension.

In filmul Mr. Magorium Wonder Emporium (2007), Magorium ılangajeaza contabil pe Henry Weston (interpretat de JasonBateman), dupa un interviu ın care acesta demonstreaza ca arecunostinte despre numerele Fibonacci.

Sirul lui Fibonacci este descris pe scurt ın romanul A Maggot(1985) al lui John Fowles.


Numarul de aur


In editia din 8 februarie 2009 a FoxTrot de Bill Amend, personajeleJason si Marcus iau cate un nacho dintr-un vas, apoi ınca unnacho, apoi doi nachos, trei nachos, cinci nachos, etc(Fibonacho).


Numarul de aur


1 Md. Akhtaruzzaman, Amir A. Shafie, Geometrical Substantiationof Phi, the Golden Ratio and the Baroque of Nature, Architecture,Design and Engineering, International Journal of Arts 2011; 1(1):1-22.

2 Rene Goularte, Math and Art of the Face: From Da Vinci toPicasso, 2009.

3 Mario Livio, The Golden Ratio, Broadway Books, 2003.4 Michel Spira, On the Golden Ratio, 12th International Congress

on Mathematical Education, 2012, COEX, Seoul, Korea.


Fractali

Fractali

Vom prezenta o clasa larga de obiecte matematice remarcabile,studiate de matematicieni ıncepand cu a doua jumatate a secolului alXIX-lea si ajunse astazi la moda, mai ales dupa ce au fostreprezentate color prin programe de grafica 2D sau 3D.

Ele au fost denumite fractali de catre Benoıt Mandel-brot, ın cartea sa Les objets fractals, forme, hasard etdimension (1975); termenul provine din latinescul fractus– frant, fracturat – si sugereaza doua deosebiri princi-pale ale fractalilor fata de obiectele matematice clasice,si anume: nu sunt netede, ci au frontiera complet nereg-ulata; sunt formate dintr-o infinitate de parti, toate copiireduse la scara ale ıntregului.


Fractali

Fractalul vrea sa sugereze o multime care este mult mai neregulatadecat multimile considerate ın geometria clasica; cu cat aceasta estemarita, tot mai multe neregularitati devin vizibile.

In lucrarea sa, The Fractural Geometry of Nature (1982),Mandelbrot argumenteaza ca asemenea abstractiunigeometrice se potrivesc adesea cu lumea fizica maibine decat curbele si suprafetele netede. De exemplu,o linie de coasta neregulata (cum ar fi, de exemplu,coasta estica a Angliei) arata destul de neteda daca oprivim din avion, de la o ınaltime mare, dar, pe masurace ne apropiem, tot mai multe neregularitati devin viz-ibile. Aceste neregularitati creeaza probleme si ın calcu-larea lungimei liniei de coasta sau a frontierei a doua tarivecine.


Fractali


Fractali

Inceputul

In martie 1980, unitatea centrala ultra-moderna a Institutului deCercetare IBM Yorktown Heights din statul New York trimiteainstructiuni unui dispozitiv de imprimare Tektronix. Acesta marcapuncte ın locuri neasteptate, iar atunci cand si-a oprit tacanitul,rezultatul semana cu o mana de praf ımprastiata pe foaia de hartie.Lui Mandelbrot nu ıi venea sa creada. Realiza importantaevenimentului, dar ce era mai exact? Imaginea semana cu o fotografieın alb si negru abia iesita din baia de developare. Era prima privirearuncata asupra a ceea ce avea sa devina un simbol ın lumeafractalilor – multimea Mandelbrot. Se deschideau perspective noi. Erao eliberare din clima arida a succesiunii definitie, teorema,demonstratie, desi ıntoarcerea la rationamentul riguros se va ıntamplaaproape imediat. Partea negativa a acestei abordari experimentale eralipsa unui fundament teoretic precedent imaginilor prelucrate.


Fractali

Experimentalistii navigau fara harta. Mandelbrot a inventat cuvantulfractal, dar ce era un fractal de fapt? Exista o definitie precisa, cum areın mod normal orice concept matematic? Nu. La ınceput Mandelbrotnu a vrut o astfel de definitie. Nu a vrut sa distruga magia acesteiexperiente formuland o definitie eficienta care ar putea fi inadecvatasau ar putea limita. Notiunea de fractal, gandea el, ca si un vin bun,are nevoie de timp ınainte de a fi ımbuteliat.


Fractali

Asa cum se ıntampla de multe ori ın matematica, descoperirile suntrareori cu totul noi. Mergand ınapoi pe firul istoriei, Madelbrot adescoperit informatii despre matematicienii care au avut curiozitatidespre fractali cu sute de ani ınaintea lui. Formele descoperite deprimul val de teoreticieni ai fractalilor includeau curbe ıncretite si curbemonstru. Acestea nu fusesera luate ın seama pana atunci, fiindconsiderate exemple de curbe patologice. Din acest motiv au fostıncuiate ın dulapul matematicii fara a fi analizate.

Dintre matematicienii care au adus contributii remarcabile ın acestdomeniu amintim pe:

Georg Cantor, cel care a fundamentat teoria multimilor si care astudiat printre primii ceea ce astazi numim multimea ternara a luiCantor;


Fractali

Karl Weierstrass care a dat unul dintre primele exemple defunctie continua peste tot si nicaieri derivabila;

Felix Hausdorff care a introdus masura Hausdorff-Pompeiu sidimensiunea Hausdorff-Besicovici;

Giuseppe Peano care a dat ın 1890 primul exemplu de curb acare trece prin toate punctele unui plan;

Gaston Julia si Pierre Fatou cei care au rezolvat ın 1914problema lui Arthur Cayley (formulata ın 1879) de determinare abazinelor de atractie asociate functiilor rationale (ın multimeanumerelor complexe).


Fractali

Exemplul lui Weierstrass (ımbunatatit de Hardy)

Fie 0 < a < 1 si b un numar natural impar astfel ıncat ab > 1 +3π

2(ab ≥ 1). Atunci functia

W (x) =∞�n=0

an cos(bnπx)

este uniform continua pe R, dar nicaieri derivabila.

Exemplu (Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis)

Consideram functia ϕ(x) = |x|, x ∈ [−1; 1], si extindem definitia lui ϕ(x)la orice x ∈ R prin relatia ϕ(x+ 2) = ϕ(x). Atunci functia

f(x) =∞�n=0

�3

4

�nϕ(4nx)

este continua pe R, dar nicaieri derivabila.


Fractali

Graficul lui W (x) pentru a = 1/2, b = 3


Fractali

Covorul lui Sierpinski

Pornim cu un patrat P de latura 1 pe care ıl ımpartim ın noua patrate pde latura 1/3. Eliminam patratul p din interiorul patratului central si neraman 8 patrate p. Pentru fiecare dintre acestea repetam procedura deımpartire si eliminare. Obtinem 8 · 9− 8 = 82 patrate de latura 1/9.Repetam la nesfarsit procedura. Punctele care raman ne-eliminateformeaza patratul (covorul) lui Sierpinski, (Wacław Sierpinski,matematician polonez).


Fractali

Aria lui F este nula si lungimea lui F este infinita.


Fractali

Fulgul de nea al lui von Koch

Prezentam ın continuare o curba remarcabila introdusa dematematicianul suedez Helge von Koch ın 1904 ıntr-un articol intitulatSur une courbe continue sans tangente, obtenue par une constructiongeometrique elementaire.


Fractali

Initial avem un triunghi echilateral, lungimea laturii sale fiind egala cuunitatea. Fiecare latura a triunghiului este ımpartita ın trei parti egale sise deseneaza pe fiecare din laturi ınca un triunghi echilateral, pemijlocul fiecareia, dupa care se sterg bazele noilor triunghiuriconstruite. Astfel, obtinem o noua figura cu sase varfuri (cunoscutasub numele de Steaua lui David). Etapa urmatoare prevede acelasiproces, prezentat anterior, cu o repetare de 12 ori.


Fractali

Repetam aceasta procedura la nesfarsit. Von Koch a aratat ca acestsir de linii poligonale converge ıntr-un sens bine precizat la o curbacontinua care nu admite tangenta ın nici un punct, altfel spus functiilecare dau parametric coordonatele unui punct curent pe curba suntcontinue dar nu sunt derivabile pentru nicio valoare a parametrului.

In cazul fulgului de nea al lui Koch, un perimetru infinit ınchide o ariefinita.


Fractali

Omul de zapada al lui Mandelbrot


Fractali

Multimea lui Mandelbrot este un fractal care a devenit cunoscut ınafara matematicii atat pentru estetica sa, cat si pentru structuracomplicata, care are la baza o definitie simpla:

Multimea lui Mandelbrot, M , este definita de o familie de functiipolinomiale complexe fc : C → C, cu

fc(z) = z2 + c,

unde c este un parametru complex. Pentru fiecare c, se considera sirul

0, fc(0), fc(fc(0)), fc(fc(fc(0))), ...,

care: ori tinde catre infinit, ori ramane ın interiorul unui disc de razafinita. Multimea lui Mandelbrot este definita ca multimea punctelor castfel ıncat sirul anterior nu tinde catre infinit.


Fractali

Altfel spus:

M =

�c ∈ C : sup

n∈N|fn

c (0)| < ∞�.

Se arata ca un punct c apartine multimii lui Mandelbrot daca si numaidaca |fn

c (0)| ≤ 2, pentru orice n ≥ 0.Este conjecturat ca suprafata multimii lui Mandelbrot este egala cu√6π − 1− e � 1, 506.


Fractali

Unde ıi gasim?

Potentialul aplicatiilor fractalilor este larg. Fractali aproximativi pot fiobservati usor ın natura: norii, fulgii de zapada, cristalele, lanturilemontane, fulgerele, retelele de rauri, liniile de coasta.

Broccoli Romanesco


Fractali

In corpul uman, pot fi modelate cu ajutorul fractalilor: ramificatiilevenelor si arterelor, structura rinichiului si a scheletului, inima sisistemul nervos.

Plamani


Fractali

Fractalii au fost aplicati pentru studierea ınmultirii unor organismemarine cum sunt coralii si buretii de mare. Notiunea de dimensiunefractionara este folosita pentru a clasifica formele coralilor.


Fractali

In medicina exista aplicatii ın modelarea activitatii creierului.


Fractali

De asemenea, a fost investigata natura fractala a fluctuatiei actiunilorpe piata bursiera.


Fractali

Fizicienii sunt interesati de fractali pentru ca acestia modeleazafenomene haotice cum ar fi: miscarea planetelor, curgerea lichidelor,absorbtia medicamentelor, vibratia aripilor avioanelor.


Fractali

Curbele lui Peano mai sunt numite si curbe care umplu spatiul. Astfelde curbe sunt create folosind un proces interactiv care produce ocurba ın zigzag ce acopera ıntreg spatiul ın care se afla. Unmatematician american a folosit curbele Peano pentru a realiza unsistem eficient de distributie pentru o organizatie care livreazaalimente oamenilor saraci si un sistem de distributie a sangelui decatre Crucea Rosie catre spitale.

Curba care umple spatiul


Fractali

O alta persoana interesata de fractali a fost artistul olandez M. C.Escher.


Fractali

Prin trasformarea imaginilor ın fractali, Michael Barnsley si JohnElton erau capabili sa comprime imagini foarte mari ın coduri foartemici, obtinand un raport de comprimare de peste zece mii la unu.Comprimarea fractala a imaginii creeaza noi posibilitati captivante,cum ar fi transmiterea ın timp real a imaginilor video ın miscare prinliniile telefonice normale.


Fractali

Cercurile lui Apollonius


Fractali

Fluturii lui Klein


Fractali

Lacul din Wada


Fractali

Multimea Julia


Fractali


1 Benoıt B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, W. H.Freeman and Co., New York, 1982.

2 http://www.math.uaic.ro/ necula/.3 http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal.4

http://universulenergiei.europartes.eu/intrebari/fractali/

5 http://www.national-magazin.ro/trebuie-sa-stii/fractali-natura-arta-stiinta-641

6 http://www.artacunoasterii.ro/curiozitati/fractali

7 http://ro.math.wikia.com/wiki/Fractal


Olimpiade si povesti

Probleme

Tara triunghiurilor isoscele

In tara TI a triunghiurilor isoscele era ımparat, firesc, triunghiulechilateral. El decretase ca este singurul care binemerita numele dePrearostogolibil; supusii sai trebuiau sa fie numiti teposi daca au olatura mai scurta decat cele egale, respectiv turtiti daca au o latura mailunga decat cele egale. (Vorba congruent era socotita de ocara peacele meleaguri.) Niste unghiuri umblau venetice prin TI, cautandfiecare triunghi isoscel la al carui varf sa slujeasca.- Teposule, zise un unghi α. Eu si colegii mei de pribegie, balbaitul deβ si nemasuratul de γ, ne cautam stapani ın TI. Ne-ai fi de mare folossa ne spui daca nu cumva ai o bisectoare interioara a ta, exact atat delunga cat o latura a ta.



- Dupa vorbire se cunoaste ca veniti de pe coclauri unde lucrurile nusunt facute din linii drepte bine limitate. Intrebi de lucruri la care nugandeste nimeni, fiindca nu sunt de niciun folos. Dar, pana cercetezpentru raspuns, fii bun mai cracanatule si spune-mi daca asa seobisnuieste pe la voi: sa-ti ponegresti colegii cu vorbe necuviincioase?- Nu e necuviinta, prea-limitatule. Eu, α, ma exprim frumos ın grade;de aceea sunt purtator de cuvant. β nu cunoaste fractii ordinare (cidoar zecimale); se balbaie grozav cand ıncearca sa spuna cate gradeare. γ ınca nu stie daca e masurabil ın grade. Dar bag seama caıntarzii cu raspunsul; o fi capul tau mai mult ascutit decat ıncapator?- Am cercetat si raspund precis: am exact doua bisectoare interioare,exact asa de lungi ca laturile mele egale.



- Sa ma ierti ca ti-am zis tepos; ınteleg ca esti turtit. Esti bun de stapanpentru β. Daca bisectoarele tale egale ar fi fost cat latura ta scurta, terecunosteam eu de stapan. Daca o singura bisectoare a ta era catlatura ta scurta, γ te-ar fi slujit cu credinta.a) Exprimati cu fractii ordinare gradele lui α si β.b) Exprimati cu fractii zecimale numarul de grade, minute si secundeale lui β.

Dan Branzei, Etapa judeteana a Concursului ”Florica T. Campan”,2006

Raspunsuri: a) α = 36o, β = 540o

7 ; b) β = 77o08′51, (428571)”.



Problema

Un teren de vanatoare are forma unui triunghi echilateral ABC.Vanatorilor li se permite sa parcurga doar cararile ce constituie laturiale triunghiului. La ınceputul povestii, un vanator M (Mihai) pornestedin A, altul, N (Neculai), porneste din B. Acestia parcurg laturiletriunghiului, cu aceeasi viteza, ın sensul A−B−C −A− ... . Initial, uniepure U (Urechila) este ın C ′, la mijlocul laturii AB. Urechilasesizeaza ca vanatorii nu ındraznesc sa ımpuste spre el, de teama sanu se aliceasca unul pe celalalt (cum s-a mai ıntamplat candva).Iepurasul, are experienta de concurs si nu are deloc emotii. Isipropune deci Urechila urmatoarea strategie politica: sa fie mereu pelinia MN , echidistant de cei doi vanatori. Terenul de vanatoare, cuvegetatie pitica, permite si vanatorilor si iepurelui sa se vada unii pealtii. Puteti spune ce traseu turistic va avea iepurele? Puteti demonstraca iepurele va umbla doar jumatate din lungimea drumului parcurs defiecare din vanatori?

Dan Branzei



Solutie

Consideram intervalul de timp cand M este pe AB, deci N pe BC.Paralelele: prin M la BC si prin N la AB taie AC ın acelasi punct P .Segmentele MN,BP au acelasi mijloc U . Acesta parcurge liniamijlocie C ′A′. Daca distractia continua, problema se reia.



Problema

Amu, cica ın tara TI a triunghiurilor isoscele, exista un print P , zis siABC. Avea printul aista AB = AC, dar avea si un semn din nastere Dpe AC. Zicea P ca BCD este urmasul lui, care i se aseamana ın toateiar ca DAB, tot din TI, ıi este frate bun. Un elev ıl contrazise:- Cum poate fi DAB frate cu tine? Tu esti semet ca un varf de lance,iar asta e turtit ca un papuc.- Mai cugeta tancule! Daca stau ıntre doi asemenea frati, EAB siFAC, formam un grup atat de unit, ıncat este anevoie de separat careeste print si care sunt frati de print!A cugetat elevul si a raspuns:- Ai dreptate! Faceti o figura F asa frumoasa ca ımi vine sa o dau de-adura.- Bravo tancule!Spuneti daca gasiti ceva adevar ın povestea asta.

Dan Branzei



B C

A

E F

D

Solutie

Semnul D ∈ (AC) conduce la ΔABC ∼ ΔBCD daca si numai dacam(�A) = 36o, m(�B) = m(�C) = 72o. In triunghiul DAB avemm(�ADB) = 108o. Avem un pentagon AEBCF (regulat) care aretoate laturile egale si unghiurile de 108o.



Problema

Imaginati-va si descrieti o camera cu 10 colturi, o podea (orizontala), 4pereti (verticali) si 4 tavane.

Dan Branzei



D

C

BA

M N

Solutie

Deasupra unui cub de muchie 3a si cu baza superioara ABCD se iaun segment MN paralel cu AB, de exemplu de lungime a. Cele 10colturi vor fi cele 8 ale cubului si punctele M,N . Tavanele vor fitriunghiurile DAM,BNC si trapezele ABNM,CDMN .



Problema

In cetatea NN a numerelor naturale se organizeaza o mare petrecere ıncinstea numarului 0. La poarta castelului bate unul dintre locuitorii cetatii.- Sunt numarul 83. Imi permiteti sa intru la petrecere? ıntreaba acesta.- La petrecere sunt invitate doar numerele fantastice, ıi raspunse o voce departea cealalta.- Dar ce ınseamna numar fantastic? ıntreaba numarul 83.- Sa va explic, spune vocea stranie. Daca n este un numar natural mai maredecat 1 si notam An = {x ∈ N | (x, n) �= 1}, numarul n se numeste fantasticdaca pentru orice doua numere x, y apartinand multimii An, suma lor, x+ y,este tot un element al multimii An. Ati priceput?- Am ınteles, raspunde lamurit vizitatorul.a) Stabiliti voi daca numarul 83 este invitat la petrecere. Aceeasi cerinta sipentru numarul 2008.b) Gasiti toate numerele pare invitate la petrecere.

Alexandru Negrescu, Etapa judeteana a Concursului ”Florica T. Campan”,2008


Sfaturile unui vorbitor public

Sfaturile unui vorbitor public – Scott Berkun

Constientizeaza ca modul ın care reactionezi la o greseala determinaraspunsul publicului! Daca ımi vars apa pe pantaloni si reactionez deparca s-ar fi scufundat Titanicul, publicul va privi acest lucru tot ca pe otragedie. Dar, daca raman calm sau, si mai bine, daca glumesc petema aceasta, publicul va face la fel.

Daca nimic nu merge – ti-ai dat seama ca publicul te uraste, pe tine sipunctele tale de vedere – cauta persoana care te uraste cel mai putin!In orice sala exista macar o asemenea persoana. Dupa ce identificiaceasta persoana, foloseste-o ca punct de sprijin. Nu-i ignora peceilalti din sala, dar sa stii unde sa te uiti cand ai nevoie de sustinere.



Cand tii discursul, nu uita sa spui: Iata care sunt primele trei obiectii pecare le-am auzit discutand cu Tyler, Marla si Cornelius. Vei castiga ogramada de puncte prin faptul ca ıti incluzi publicul ın discurs.

Pentru a fi bine pregatit, trebuie sa faci patru lucruri:

Comunica un punct de vedere solid prin intermediul titlului;

Gandeste-te cu atentie la tipul specific de public pe care ıl veiavea!

Fii cat mai concis cu putinta.

Afla care ar putea fi obiectiile unui public expert si inteligent.



Daca vrei sa tii un discurs bun, trebuie sa lasi lista sa respire. Ia-tiputina distanta, pentru ca atunci cand te ıntorci la ea sa o poti privi cuun ochi critic.

Iar cand tin un discurs, stiu ca acest moment deosebit este singurulcand toata sala ma urmareste cu atentie deplina. In afara de cazul ıncare pe scena ar ateriza o nava extraterestra chiar ın timp ce vorbesc,linistea de dinaintea ınceperii este momentul cel mai puternic pe careıl am la dispozitie. Succesul discursului depinde de modul ın care mafolosesc de puterea acestui moment. Dar ıntrebarea si mai importantaeste: cum voi pastra atentia oamenilor dupa ce trece acest moment?



Un vorbitor trebuie sa impuna un ritm daca vrea sa pastreze atentiapublicului. Oamenilor le place ritmul. In momentul cand toti sunt atentila tine, ajuta-i sa-si faca o idee rapida despre cum vor decurgelucrurile! Vei castiga automat zece puncte bonus. Gandeste-te laprimul minut al discursului tau ca la reclama unui film: umple-l cudrama, cu emotie si subliniaza de ce ar trebui lumea sa te asculte ıncontinuare.

Toti profesorii de succes trebuie sa ia ın considerare urmatoarele patruıntrebari importante:

Cati ınteleg?

Cati si vor aminti mai tarziu?

Cati vor ıncerca sa aplice ce au ınvatat?

Cati vor reusi?



Trei lucruri pe care ar trebhui sa le faca oricine ıncearca sa predea:

Fa procesul activ si interesant.

Incepe cu o idee care ıl intereseaza pe elev.

Adapteaza-te ın functie de cum raspunde elevul la numerele 1 si2.

Predatul este un act de compasiune. Transforma confuzia ın claritate,raul ın bine.



Trebuie sa te ıntrebi ın diverse momente ale prezentarii:

Oare ei stiu deja aceasta informatie sau lectie?

Au nevoie sa le explic aceasta idee ın alt fel?

Sunt saturati de informatie si le trebuie o pauza sau o gluma?

Sunt prea ıncrezuti si au nevoie de o provocare?

Tacerea ıti aduce puncte suplimentare

Cei mai multi oameni spun aaa sau ımm cand vorbesc. Acestea senumesc sunete de umplutura si ne ajuta sa ne pastram locul ınconversatie. Cu alte cuvinte, le transmitem interlocutorilor ca n-amterminat de vorbit. Cand prezentam, nu mai este nevoie de ele,deoarece suntem singurii care avem microfonul, ınsa tot le spunem, ınprincipiu pentru ca ne este teama de tacere. Nimic nu-ti ucide putereaasupra publicului precum lipsa tacerii. Tacerea stabileste un standardde referinta pentru energia dintr-o ıncapere.



Lucruri de evitat:

Sa tratezi publicul cu spatele. Evita ıntotdeauna sa te ıntorci cuspatele la public. Daca trebuie sa te uiti la slideuri, fa-o dintr-ununghi din care publicul sa-ti poata vedea chipul ın continuare.

Niciun contact vizual. Unde este privirea ta? Vorbitorii ıncepatorise uita la pantofii lor, la aceeasi persoana timp de 60 de minutesau ın gol. Macar priveste catre ultimele randuri ca sa daiimpresia ca te uiti la cineva.

Lipsa de pasiune.




1 Ken Bain, What the Best College Teachers Do, Harvard UniversityPress, 2004.

2 Scott Berkun, Confesiunile unui vorbitor public, Editura Publica,Bucuresti, 2012.



VA MULTUMESC PENTRU ATENTIA ACORDATA!


societatea de s¸tiint¸e matematice din romaniaˆ … · 1 arheologie s¸i mozaicuri 2 codul de...

Documents