1

Anexa1.Interfaţa grafică SISO Tool . Interfaţa grafică SISO Design Tool reprezintă o sculă deosebit de puternică , utilă pentru sinteza compensatoarelor destinate sistemelor de reglare automată cu o singură mărime de intrare si o singura mărime de ieşire. Sinteza poate fi realizată atât în timp cu ajutorul locului geometric al rădăcinilor cât si în frecvenţă pe baza caracteristicilor Bode. Interfaţa realizează un dialog permanent între utilizator si calculator pe baza selectării unui meniu extrem de bogat si variat. Orice modificare introdusă în structura unui bloc ce caracterizează instalaţia de reglare poate fi urmărita sub raportul modificărilor introduse in comportarea sistemului. Lansarea interfeţei se va face introducând de la tastatură: Sisotool

Bara menu

Bara instrumente de lucruPanou pentru fixarea

compensatoruluiStructura sistemului de

reglare automata

Locul geometric alrãdãcinilor

Caracteristica amplitudine-pulsaþie

Caracteristica fazã-pulsaþie

Caracterizarea operaþieicurente

fig… Fereastra principala a interfeţei grafice SISO Interfaţa este deosebit de prietenoasă si permite abordarea soluţionării unor aplicaţii fără o instrucţie cu totul specială. Ne vom rezuma în continuare să prezentăm numai lucrurile de maximă importanţă sau ferestre ce ar putea genera incertitudini în utilizare. Vom prezenta în continuare principalele opţiuni din câmpurile de accesare prezentate in figura… începând de sus in jos si de la stânga la dreapta. Bara meniurilor principale

a) File

Principalele opţiuni ale meniului File sunt prezentate in figura…

2

Principalele opţiuni ale meniului File sunt prezentate in figura… Import – reprezintă opţiunea cea mai importantă în submeniul considerat. Setarea acestei opţiuni permite înscrierea modelului matematic ale componentelor utilizate în cadrul sistemului de reglare automată. Selectând cu mausul aceasta opţiune (clic stânga) se deschide fereastra de dialog prezentata in figura…. Primul câmp System Name permite înscrierea unei denumiri pentru schema analizată (ansamblul sistemului). Implicit instalaţia este denumita untitled. Caseta Import from permite selecţionarea domeniului din

care realizăm importul: Workspace, Mat-file, Simulink.

fig…Fereastra de dialog pentru realizarea importului. Selectând unul din aceste domenii, fişierele disponibile apar in caseta SISO Models. In caseta de date System Data, în partea superioară a acestei casete sunt prezentate scheme ale sistemului de reglare disponibile prin setări corespunzătoare. Implicit se lansează o schemă de reglare automata cu compensator serie, traductor pe legătura de reacţie si dispozitiv de prefiltrare pe canalul de intrare. Daca nu convine o astfel de schemă, selectam Other şi alegem schema dorita dintr-o colecţie (limitată)de configuraţii ale sistemului de reglare automată. In continuare, sunt prevăzute patru casete in care încărcăm modelul matematic dorit G (s): modelul matematic al instalaţiei H (s): funcţia de transfer al traductorului de pe legătura de reacţie F (s): funcţia de transfer al filtrului din intrarea sistemului C (s): funcţia de transfer al compensatorului Pentru a transfera un model, selectăm obiectul în caseta Siso Models (click stânga) şi apoi efectuăm click stânga pe săgeata care indica unde trebuie asociat acest model. Utilizarea interfeţei impune caracterizarea obiectelor la nivel de funcţie de transfer.

fig… Subsistemul File

3

In forma implicită , toate funcţiile de transfer sunt setate la valoarea 1. Cu OK închidem fereastra de dialog si revenim la fereastra principala în care automat apar locul geometric al rădăcinilor si caracteristicile de frecvenţă (de tip Bode).

• Export – deschide o fereastra de dialog cu ajutorul căreia putem transfera funcţiile de transfer obţinute cu ajutorul interfeţei în Workspace sau pe disc.

• Save Session, Load Session - permit salvarea sau încărcarea sesiunii de lucru in cazul in care suntem obligaţi sa întrerupem lucru temporar. Exportul poate fi realizat catre Workspace sau ca fişier cu extensie MAT.

• Toolbox Preferencse. Selectând aceasta opţiune se deschide fereastra de dialog prezentata in figura…

Utilizând aceasta opţiune putem - modifica unităţile utilizate pentru prezentarea graficelor - modificarea fonturilor - modificarea modului de prezentare a funcţiei de transfer asociată caracterizării compensatorului.

• Print – instrucţiune de tipărire cu ajutorul impriman- tei a caracteristicilor ce ne in- te esează. • Print to figure - permite deschiderea unei bare de meniu suplimentare cu scule necesare introducerii unor modificări graficeîn cadrul figurii în care operăm. • Close – închide interfaţa.

b) Edit.- permite deschiderea unei ferestre submeniu prezentată în figura…

• Undo si Redo – permit efectuarea de paşi înapoi şi revenire în cadrul etapelor de lucru. • Root Locus – selectarea acestei opţiuni permite modificări ale structurii sistemului când operăm pe locul geometric al rădăcinilor. Astfel sunt posibile următoarele opţiuni:

∗ Add Pole/Zero - Reale Pole: introducerea unor poli suplimentari

fig….Fereastra de dialog Control Sustem Toolbox Preferences.

fig… Submeniul Edit

4

- Complex Pole: introducerea unor poli complex conjugaţi - Integrator: introducerea unor poli in origine - Reale Zero: introducerea unor zerouri reale - Complex Zero: introducerea unor zerouri complex conjugate - Diferentiator: introducerea unui zero in origine - Lead: structura compensatorului cu avans de faza - Lag: structura unui compensator cu avans de faza

∗ Delete Pole / Zero – eliminarea unor poli sau zerouri ∗ Design Contraints – permite introducerea unor performanţe locale de tipul suprareglaj, durata regimului tranzitoriu, coeficient de amortizare si pulsaţie naturala. In acest mod, in fereastra de vizualizare a locului rădăcinilor este marcata zona in care trebuiesc alocaţi polii dominanţi. Desigu Constraint/ New deschide fereastra de dialog prezentata in figura 1 şi în care trebuiesc înscrise performanţele impuse sistemului sub următoarele aspecte:

- durata regimului tranzitoriu - valoarea impusa suprareglajului - factorul de amortizare - curbele de pulsatie naturala impusa. ∗ Grid – opţiune care permite trasarea unui caroiaj specific locului geometric al rădăcinilor (drepte de ζ= const. si cercuri de =nω const.). ∗ Zoom – dă posibilitatea evidenţierii unei porţiuni din locul rădăcinilor care interesează în analiza efectuată. ∗ Propertes – deschide o fereastra de dialog

care permite fie marcarea corespunzătoare a axelor (Labels)fie limitele in care este prezentat graficul (Limit).

Selectând o astfel de opţiune se deschide caseta de dialog prezentata in figura…Cu ajutorul acestei casete putem - defini axele de coordonate - fixa limitele de variaţie atât pe axa reala cat si pe cea imaginara.

fig…Fereastra de introducere a restricţiilor

5

• Open Loop Bode – opţiune pentru cazul in care analiza si sinteza se face pe

caracteristicilor de frecvenţă amplitudine-pulsaţie. Sunt prezentate următoarele opţiuni: ∗Add Pole / Zero – deschid o fereastra de dialog care permit introducerea de poli (sau zerouri) reali sau complex conjugaţi. ∗Delete Pole / Zero – permite eliminarea de poli (sau zerouri) reali sau complex conjugaţi.

∗Show – deschide o fereastra de lucru in care putem selecta caracteristicile de frecvenţă ce interesează in proiectare:

- Magnitude – caracteristica de amplitudine - Phase – caracteristica de faza - Stability Margins – marginea de stabilitate.

∗Design Constraints

Deschizând fereastra de dialog prezentată în figura….., opţiunea permite trasarea pe caracteristica de amplitudine a unui contur format dintr-o linie frântă care trebuie sa mărginească superior (inferior) caracteristica dorita a sistemului corectat. ∗ Grid – trasarea unor caracteristici detip reţea. ∗ Zoom – in care putem selecta:

yInxInyx −−− ,, sau Out.

∗Properties – deschide fereastra de dialog Property Editor:Open Loop Bode prezentată în figura …

Cu ajutorul unor setări corespunzătoare putem impune: - definirea axelor de coordonate - fixarea limitei de variaţie a frecvenţei, amplitudinii si fazei.

fig….Fereastra de stabilire a restricţiilor

6

• Sisotool Preferences – permite deschiderea unei ferestre de dialog prezentate in figura…

Prin setări corespunzătoare alegem unităţile de măsura, fonturi şi dimensiunea de scriere, schimbarea formei de prezentare a compensatorului, culoarea liniilor ce intră în compunerea graficelor.

c) View.

Caseta cu opţiunile ce pot fi selectate este prezentată în figura alăturată. Primele patru selecţii posibile: Root – Locus , Open – Loop Bode, Open – Lop Nichols, Prefilter Bode reprezintă diagramele ce pot fi prezentate simultan în fereastra de lucru.

• System Data – deschide fereastra de prezentare System Data (vezi figura ..).

In fereastră putem urmări structura blocurilor componente atât prin distribuţia de poli si zerouri cât si sub forma funcţiei de transfer.

7

•Closed Loop Poles – deschide fereastra de lucru prezentate in figura….

În cadrul acestei ferestre sunt prezentaţi polii sistemului funcţionând in circuit închis precum si coeficientul de amortizare si pulsaţia naturala (in cazul polilor complex conjugaţi).

• Desing History – deschide fereastra prezentata in figura …

In aceasta fereastra sunt prezentate succesiv toate acţiunile desfăşurate în cadrul operaţiei de proiectare. Conţinutul ferestrei poate fi salvat ca fişier text.

d) Compensators –

Conţinutul submeniului Compensators este prezentat în figura….şi permite încărcarea structurii şi parametrilor sistemului compensator .

fig…Fereastra de prezentare a polilor sistemului în circuit închis

8

•Format – deschide fereastra de dialog prezentata in figura….

fig…Fereastra de dialog pentru alegerea formei de reprezentare a compensatorului.

Prin setări adecvate se impune forma de caracterizare a funcţiei de transfer a compensatorului si a modului de prezentare.

• Edit – cu opţiuni alături de prefiltru sau compensator. Prin opţiunea Edit C se deschide fereastra de dialog din figura …

fig…Fereastra de dialog pentru setarea parametrilor compensatorului.

Prin setări corespunzătoare fixăm factorul de amplificare precum si polii sau zerourile reale (complex conjugate) ale sistemului compensator.

9

e) Analysis. – caseta permite vizualizarea rezultatelor obţinute in urma introducerii compensatorului sau a dispozitivului de prefiltrare sau in urma modificării parametrilor acestor dispozitive.

Prin selectarea dorita putem evalua ∗ Response to Step Command – răspunsul indicial. ∗ Rejection of Step Disturbance – rejectarea unei perturbaţii de tip treaptă. ∗ Closed Loop Bode – caracteristica Bode in circuit închis ∗Compensator Bode – caracteristicile Bode ale compensatorului ∗ Open – Loop Nyguist – caracteristica Nyguist in circuit

deschis ∗ Other Loop Responses – deschide fereastra de dialog prezentata in figura …

fig…Fereastra de alegere a tipurilor de răspuns ce se doresc vizualizate.

f) Tools

∗ Continous / Discrete Conversions – permite discretizarea blocurilor componente corelat cu modificarea automată a locului geometric al rădăcinilor şi a caracteristicilor de frecvenţă.

Apelarea acestei selecţii, permite deschiderea unei ferestre de dialog ca cea prezentata in figura ….

10

fig… Fereastra de dialog pentru setarea parametrilor şi tipului de discretizare.

Avem posibilitatea de a alege perioada de eşantionare precum si modalitatea de discretizare pentru fiecare bloc component. Bara instrumentelor de lucru. Conţinutul barei instrumentelor de lucru este prezentata in figura …

Mod implocit

Introduce unnou pol

Introduce unnou zero

Introduce policomplexi

Introduce zerouricomplexeSterge polisau zerouri

Help incontexrul aplicatiei

Zoom out

Zoom pe Y

Zoom pe X

Zoom pe X-Y

fig…Bara instrumentelor de lucru.

Aceste instrumente facilitează o serie de operaţii care oricum ar putea fi selectate de pe bara meniuri Sculele prezentate permit:

- adăugarea sau eliminarea de poli sau zerouri reali sau complex – conjugaţi - introducerea sau eliminare zoom – ului - apelarea help – ului Matlab in contextul problemei analizate

11

Bara Compensator. In cadrul interfeţei SISO, imediat sub bara de instrumente se găseşte bara “Curent Compensator”.(vezi figura ..)

In această figură se regăseşte în permanenţă structura curentă a compensatorului.

Pentru o detaliere a celor prezentate vom prezenta o serie de exemple orientate pe probleme de sinteză a sistemelor de reglare automată utilizând dispozitive compensatoare. Sinteza compensatoarelor cu avans de faza cu ajutorul locului geometric al rădăcinilor. In capitolul destinat prezentării principalelor subrutine Matlab pentru analiza sistemelor de reglare automata cu ajutorul locului geometric al rădăcinilor precizam că sunt foarte rare cazurile în care acordarea unui singur parametru poate conduce la asigurarea performanţelor unui sistem de reglare automată. In general, apare necesitatea introducerii unor poli sau zerouri pentru a corecta distribuţia generală a polilor sistemului funcţionând in circuit închis. Blocurile (ca entităţi fizice) necesare ce trebuiesc introduse în schema generală a sistemului de reglare poarta numele de “corectoare” iar alegerea structurii si parametrilor acestor blocuri poartă numele de “corecţia sistemelor de reglare automată”. Scopul acestei lucrări este de a prezenta facilităţile oferite de pachetul de programe Matlab- Simulink şi în acest sens vom insista in prezentarea posibilităţilor ce le oferă acest program in sinteza compensatoarelor, fără a insista asupra problemelor teoretice care se considera cunoscute. Totuşi, pentru ca prezentarea sa fie coerentă , vom reaminti câteva aspecte teoretice legate de problema sintezei sistemelor de corecţie. Analiza va fi făcută cu ajutorul interfeţei grafice SISO TOOL , prezentată anterior si care a fost creată special pentru soluţionarea unor astfel de probleme. Unul dintre cele mai simple corectoare, este corectorul cu avans de fază a cărei funcţie de transfer este:

( )c

c

pszs

sHc++

=

in care )( cz− reprezintă zeroul reţelei corectoare iar )( cp− polul reţelei corectoare. Utilizarea unui astfel de corector in conexiune serie, modifică structura sistemului de reglare automată conform figurii…

c

c

pszs

k++

⋅ )(sH F

)(tyr )(ty)(tε

fig...Structura sistemului cucorector serie

12

Prin urmare, in cazul introducerii unui astfel de corector, funcţia de transfer in bucla deschisa se modifică in forma

( ) ( )sHpszs

KsH Fc

cb ⋅

++

⋅=

si prin urmare, în configuraţia poli – zerouri a sistemului în circuit deschis apar un zero si un pol suplimentar. In cazul corectoarelor cu avans de faza .cc zp > Problema care se pune este ca pe baza performanţelor locale impuse să se determine cc pz , , şi valoarea amplificării k , care asigură sistemului funcţionând in circuit închis satisfacerea performantelor impuse. Sinteza corectorului, utilizând ,metoda locului geometric al rădăcinilor se face urmărind următoarele etape:

i) Pe baza performantelor locale impuse sistemului ce determina locaţia polilor dominanţi care asigură performanţele impuse.

ii) Se trasează locul geometric al rădăcinilor pentru sistemul necompensat si se încearcă asigurarea locaţiei dorite pentru polii dominanţi printr-o convenabila alegere a factorului de amplificare.

iii) Daca nu este posibilă soluţionarea problemei prin simpla alegere a unui factor de amplificare convenabil, se introduce reţeaua corectoare cu zeroul )( cz− fixat în poziţia impusă de partea reală a polilor dominanţi.

iv) Pentru ca poziţia polilor dominanţi sa nu fie alterată, introducem polul reţelei corectoare astfel încât condiţia de argument în raport cu polii dominanţi sa fie în continuare respectată.

v) Pentru configuraţia poli – zerouri stabilită se determina amplificarea care fixează polii dominanţi pe poziţia impusă.

vi) Evaluăm realizarea performantelor staţionare pentru factorul de amplificare calculat.

vii) Se verifica prin simulare daca performanţele dinamice sunt satisfăcute si dacă acest deziderat nu este realizat se reia procedura de sinteză

Procedura prezentată, face parte din categoria procedurilor tradiţionale de sinteza, care la momentul elaborării nu se putea baza pe proceduri numerice care sa faciliteze calculul. In continuare vom prezenta o adaptare a acestei proceduri în contextul utilizării unei scule atât de puternice cum este interfaţa SISO Tool. Pentru o mai buna înţelegere vom prezenta procedura de sinteză pe câteva exemple aplicative. Exemplu .. Consideram cazul unei instalaţii de reglare automata, având funcţia de transfer a părţii fixate de forma:

( ) 2sKsH F =

Pentru sistemul de reglare funcţionând in circuit închis se impun următoarele performante: i) suprareglajul impus %30=impσ ii) durata regimului tranzitoriu tr = 4 sec.

Se cere determinarea parametrilor corectorului cu avans de fază care realizează asigurarea performanţelor locale impuse. Ecuaţia caracteristica a sistemului corector este de forma;

( ) ( ) 01 =+= sHsS F

13

si prin urmare ( ) 02 =+= KssS

Sistemul este instabil necondiţionat , locul geometric fiind caracterizat de două ramuri ce se suprapun axei imaginare. Prin urmare nici nu se pune problema stabilirii unei amplificări convenabile care să asigura performanţele locale impuse. Din performanţele sistemului de reglare obţinem relativ simplu locaţia polilor dominanţi. Astfel din valoarea impusă de suprareglaj impσσ < rezulta .358.0=≥ impζζ Din durata regimului tranzitoriu sec,4=≤ rimpr tt pentru o alegere 358.0=ς rezultă pulsaţia naturala

nω =2.1404.

1θ2θ 090

fig…Locul geometric al rădăcinilor pentru sistemul necorectat

Conform procedurii anterior prezentate introducem un zero pe coordonata

7661.0−=−= ncz ςω si un pol real cc zp > astfel încât în polul dominant

9986.17661.01 21 ⋅+−=−+⋅−= jjs nn ζωωζ să fie satisfăcută condiţia de argument:

0

210 902180 +−⋅−=− θθ

In cazul aplicării stricte a procedurii clasice este necesar să măsurăm direct pe locul geometric al rădăcinilor unghiul 1θ . Pe caz concret rezultă 0

1 116=θ şi prin calcul elementar obţinem

14

02 38=θ . Prin construcţie, pe baza datelor stabilite obţinem polul reţelei corectoare (pol real)

pe coordonate 06.3≅cp Utilizarea acestei metode sub forma prezentată este extrem de laborioasă chiar dacă pentru trasarea locului rădăcinilor utilizăm subrutina rlocus.m (inconvenientul este datorat faptului că matlabul nu permite evaluarea directa a unghiurilor). In aceste condiţii, pentru a exploata maxim resursele oferite de interfaţa Matlab – SISO Tool, propunem următoarea procedură modificată:

fig…Utilizarea SISO Design Tool pentru sinteza compensatorului.

i) Introducem in spaţiu de lucru structura sistemului în circuit deschis necorectat. num = [1]; den = [1 0 0]; sys = tf(mem,den); ii) Apelăm interfaţa grafică SISO Tool introducând de la tastatură SISOTOOL. iii) O dată apelată interfaţa , verificăm daca structura sistemului este convenabilă (schema

structurală din partea dreaptă sus a ferestrei) si importăm structura sistemului File / Import deschide fereastra de dialog Import System data, selectam sys din Workispace

15

si cu ajutorul mausului iniţializăm G(s) = sys (celelalte blocuri sunt setate implicit la F(s) = H(s) = C(s)=1).

iv) Metoda se bazează exclusiv pe locul geometric al rădăcinilor şi în acest sens setăm fereastra de lucru încât sa fie vizualizat numai locul rădăcinilor. Selectăm View şi bifăm numai caracteristica Root Locus.

v) Pentru ca in fereastra de lucru să evidenţiem o formă convenabilă pentru compensator, selectăm pe bara principală a interfeţei Compensator / Format si astfel se deschide fereastra Siso Tool Preferences in care selectăm zero / pole / gain.

vi) Pentru vizualizarea în limite convenabile, cu dublu click in fereastra de lucru deschidem Property Editor: Root Locus si impunem pentru axa Ox limitele [-5,2] iar pentru axa Oy limitele [-4,+4]. Confirmăm alegerea prin Add curent limits stack.

vii) Introducem zeroul reţelei corectoare selectând pe bara de lucru Add real zero. Poziţionăm cu ajutorul cursorului cerculeţul care indică zeroul pe poziţia dorită. Pentru o mai bună precizie de poziţionare efectuăm click pe bara Current Compensator care deschide o fereastră de dialog in care fixăm zeroul la valoarea – 0.769.

viii) Adăugăm polul reţelei corectoare pe o poziţie, la libera alegere dar mai mică decât valoarea zeroului (in stânga valorii zeroului). In acest sens selectam Add rele pole şi poziţionăm polul indicat cu ajutorul cursorului “x” pe poziţia (– 3). Pentru o mai bună precizie, facem click pe bareta Current Compensator cu care deschidem fereastra de dialog Edit Compensator C în care fixăm poziţia polului.

ix) Efectuam click dreapta in fereastra figurii si setăm grid pentru a evidenţia dreptele de =ς const. (vezi figura…).

x) Pentru poziţia polului corector aleasă arbitrar nu există intersecţie între locul rădăcinilor si dreapta ς = 0,3579. Fixăm cursorul pe polul reţelei corectoare si facem click stânga. Apucăm polul si îl deplasăm convenabil până când obţinem o intersecţie a locului rădăcinilor cu dreapta de 3579.0=ς (pentru o apreciere comodă, in timpul translării pe ultima casetă din fereastră pot fi urmărite valorile ς curente)

xi) Marcăm cu mausul poziţia intersecţiei dintre locul rădăcinilor cu dreapta de ς impus şi obţinem forma finală a compensatorului

( )46.3769.091.6

++

⋅=s

ssC

Procedura de sinteză este afectată de erori de aproximare cauzate fie de imprecizii de citire dar in special datorită faptului că în final nu sunt îndeplinite condiţiile impuse prezenţei polilor dominanţi. Se recomandă ca după ce stabilim structura corectorului să se efectueze o verificare finală prin simulare a satisfacerii performanţelor impuse prin tema de proiectare. In acest sens continuăm procedura expusă xii) Selectam Analysis / Response to Step Comand şi deschidem fereastra care conţine

răspunsul indicial. Facem click dreapta in fereastră , selectăm Characteristcs / Peak Respons si Setling Time. Obţinem răspunsul indicial prezentat în figura … şi valorile ce caracterizează suprareglajul şi durata regimului tranzitoriu.

16

fig…Răspunsul indicial al sistemului corectat Analizând rezultatele obţinute observăm că in urma corecţiei efectuate obţinem o valoare corespunzătoare pentru durata regimului tranzitoriu dar o abatere considerabilă în raport cu valoarea de suprareglaj (40% in loc de 30%). Eroarea se datorează faptului ca cel de al treilea pol se fixează in apropierea axei imaginare (vezi figura…) ceea ce contrazice ipoteza că polii complex conjugaţi sunt poli dominanţi. Procedura de sinteza poate fi continuată mutând zeroul reţelei corectoare spre stânga in speranţa că în acest mod cel deal treilea pol devine pol parazit. Exemplu 2. Vom relua metoda prezentata pe un nou exemplu fără a mai insista asupra modului de operare. Considerăm un sistem de reglare automata pentru care partea fixată este caracterizată prin funcţia de transfer.

( ) ( )2+=

ssKsH F

Prin temă se impune un suprareglaj %20≤σ , eroare staţionară nulă pentru intrare treaptă şi 05,0≤stε pentru intrare rampa unitate.

Introducem structura impusă pentru partea fixată definind : num = [1]; den = [1 2 0]; sys = tf(mm,den) şi deschidem interfaţa Sisotool , introducând de la tastatura Sisotool. Selectam File / Import si preluam din Workspace → G(s) = sys.

17

Selectam View si bifăm Root Locus. In fereastra de lucru apare locul geometric al rădăcinilor pentru sistemul necompensat (vezi figura ..)

fig… Locul rădăcinilor pentru sistemul necorectat. Performanţa de eroare staţionară nulă pentru intrare de tip treaptă este asigurată structural prin prezenţa unui pol în origine. Daca punem in evidenţă factorul de amplificare statică

( ) ( )15,02+

=ss

KsH F

condiţia de eroare staţionară limitată este asigurată prin

05,02

1≤

K şi deci 40≥K

Valoarea de suprareglaj %20≤σ impune .45.0lim => ζζ Observăm direct pe locul rădăcinilor că pentru amplificarea limită impusă 40≥K nu poate fi asigurată condiţia de suprareglaj. Pentru 40lim =K obţinem un suprareglaj de 60% (vezi figura …)

18

fig… Răspunsul indicial al sistemulu necorectat. Pentru a determina parametrii corectorului cu avans de fază, impunem durata regimului tranzitoriu .sec1≅rt Ţinând cont de relaţia de aproximare a duratei regimului tranzitoriu:

nrt ωζ ⋅

÷≅

43

rezulta .4=⋅ nωζ Fixăm zeroul reţelei corectoare la valoare 4=⋅= ncz ωζ si fixăm arbitrar polul reţelei corectoare 10=cp . Deplasăm cu ajutorul mausului punctul de lucru de pe locul rădăcinilor pe poziţia care asigura Klim = 40. Apoi deplasam polul reţelei corectoare care asigură valoarea impusa ,45,0=ζ (vezi figura …). Structura si parametru blocului corector cu avans de fază rezultă in forma

( )sssC

085.0125.011.40

++

⋅=

19

fig…Locul geometric al rădăcinilor pentru sistemul corectat.

Evident, performantele de regim staţionar sunt satisfăcute. Pentru evaluarea performanţelor dinamice simulăm comportarea sistemului corectat funcţionând in circuit închis. Selectam Analysis / Response to Step Comand şi obţinem răspunsul indicial din figura

20

fig…Răspunsul indicial al sistemului corectat. Evaluând răspunsul indicial observăm ca performanţa legată de asigurarea duratei regimului tranzitoriu este satisfăcută ( sec1833.0 <=rt ) dar există mari abateri ale suprareglajului în raport cu suprareglajul impus %20%4.30 =>= impσσ . Acest lucru se datorează influenţei polului real care este apropriat de cei doi poli complex – conjugaţi, aceştia din urmă neputând fi consideraţi “poli dominanţi”. Daca condiţia de suprareglaj nu este strictă putem admite soluţia prezentată. In caz contrar putem încerca reluarea procedurii cu zeroul reţelei corectoare in stânga valorii (-4) pentru a realiza condiţia de dominanţă a polilor complex – conjugaţi. Exemplu 3. Vom prezenta in continuare un exemplu cu care sistemul corector are structura particulara

( )szs

ksH ccc

+⋅=

Prin transformări elementare rezulta:

( )s

zkksH cc

cc⋅

+=

Daca notam kc = KR şi kc zc =Ki obţinem structura unui regulator de tip PI.

sK

KH IRc +=

Considerăm un sistem de reglare automată pentru care partea fixată este de forma

( ) ( )( ) sssK

ssKsH F ++

=++

=5.25.02 2

21

(structură specifica schimbătoarelor de căldură). Performanţele impuse sistemului de reglare funcţionând în circuit închis sunt: suprareglajul %10lim =≤ σσ iar durata regimului tranzitoriu .sec5=≤ timptr Se cere determinarea unui regulator PI care sa asigure sistemului de reglare performanţele dinamice impuse si o eroare staţionară nulă pentru intrare de tip treapta unitate. Asigurarea erorii staţionare pentru intrare treaptă unitate impune existenţa în funcţia de transfer in buclă a cel puţin unui pol în origine. In acest sens introducerea in cadrul compensatorului a unei componente integrale este obligatorie. Prin alegerea compensatorului in forma propusă asigurăm

( ) ( )( )5.021++

⋅+

⋅=sss

zsKsH c

b

si implicit eroare staţionară nulă pentru intrare treaptă unitate. Performanţele dinamice impuse stabilesc poziţia polilor dominanţi 5912.0lim%10lim =>= ζζσ impune si cu 5912.0=ζ , din durata regimului tranzitoriu rezultă 0862.1=nω Introducem datele iniţiale ale problemei in spaţiul de lucru num = 1; den = [1 2.5 1]; sys = tf(num,den) si deschidem interfaţa SISO Tool. Pentru structura de sistem de reglare impusă implicit, setăm partea fixată : File/ Import şi asigurăm G(s)=sys.

22

Cum sinteza sistemului de reglare se face exclusiv pe baza locului geometric al rădăcinilor selectăm View pe bareta principală si bifăm exclusiv Root Locus. Pentru a fixa structura compensatorului selectam Compensators/ Edit Compensator C şi în fereastra deschisş Current Compensator -Add reale pole → fixăm polul origine -Add reale zero – ( ) .6421.0−=−=− ncz ζω Rezultă locul geometric prezentat in figura: Cu click dreapta in spaţiul figurii/ Grid , trasăm reţeaua de =ζ const. Fixăm prompterul pe polul dominant, îl “apucăm” iar cu butonul mausului apăsat îl deplasăm pentru a asigura coeficientul de amortizare impus 6.0~−ζ . Obtinem locaţia prezentată in figura … pentru care 47.1=nω . Structura compensatorului rezultat în urma sintezei este

( )s

ssHc ⋅+⋅=

6.1157.1

fig…Răspunsul indicial al sistemului corectat.

Pentru a evalua rezultate obţinute in urma sintezei, selectăm Analysis/ Response to Step Comand si obţinem răspunsul indicial al sistemului funcţionând in circuit închis. Dacă durata regimului tranzitoriu este asigurată ( )sec524.4 =<= rimpr tt în schimb suprareglajul se abate fata de valoarea impusă ( )%5,14=σ in loc de %10=impσ ).

23

Sinteza compensatoarelor cu întârziere de fază cu ajutorul locului geometric al rădăcinilor. Structura compensatorului cu întârziere de fază este identică cu structura compensatorului cu avans de faza

( )pcszcssHc

++

=

numai ca in acest caz Zc > pc. Consideram cazul in care structura partii fixate este de forma:

( )( )

( )i

n

i

i

m

iF

psss

zsKsH

++⋅

+⋅=

=

=

1

1

π

π

Admitem ca partea fixată are un pol în origine, impus de obicei prin alegerea unui element de execuţie cu caracteristică integrală. In aceste condiţii sistemul corectat, in bucla deschisă este caracterizat de funcţia de transfer

( )( )

( ) c

c

i

n

i

i

m

ib ps

zs

pss

zsKsH

++

⋅+⋅

+⋅=

=

=

1

1

π

π

Existenţa polului in origine, asigură eroarea staţionară nulă pentru intrare de tip treaptă unitate. Eroarea staţionară pentru intrare de tip rampă unitară este mărginită si dependentă de factorul de amplificare statică. Pentru sistemul necorectat factorul de amplificare statică este:

i

n

i

i

m

i

p

zKK

1

11

=

==π

π

pentru care eroarea staţionară la intrare rampă unitară este

( )

( )i

m

i

i

n

ist

zK

p

K1

1

1

1

=

=

⋅==

π

πε

In cazul sistemului corectat, factorul de amplificare statică va fi

c

cz p

zKK ⋅= 1

Cum in cazul corectoarelor cu întârziere de fază cc pz > rezultă 1>pczc şi deci

eroarea statică a sistemului corectat 2

1K

este mai mică decât a sistemului necorectat. Acest

rezultat fundamentează procedura de corecţie cu întârziere de fază. Procedura de calcul a corectorului respectă, în general, următoarea reţetă de calcul.

i) Cu ajutorul locului geometric al rădăcinilor se determina locaţia polilor dominanţi care asigură satisfacerea performanţelor de regim dinamic. In acest sens se trasează locul rădăcinilor pentru sistemul necorectat si la intersecţia acestuia cu dreapta de

impζ se determină locaţia polilor dominanţi care asigura performanţa de

24

suprareglaj. Aşa numita “dreaptă de impς ” este o dreaptă ce trece prin origine, înclinată in raport cu axa reală sub un unghi impζϕ arccos= unde impζ se determină din condiţia de suprareglaj.

ii) Se determina factorul de amplificare statică care realizează locaţia polilor dominanţi.

iii) Din performanta de eroare staţionară, se determina factorul de amplificare limită

care asigura eroarea impusă stimp

Kε

12 = . Daca K1 > K2 performanţele staţionare

pot fi asigurate fără introducerea unui dispozitiv de corecţie

iv) Daca K1 < K2 se determină 1

2

KK

pz

c

c =

v) Reţeaua corectoare trebuie aleasa astfel încât corectorul să nu modifice poziţia polului dominant. Daca consideram ∗s polul dominant va trebui sa asigurăm

00arg1 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=++

∗

∗

c

c

c

c

pszs

sipszs

O astfel de condiţie este realizată daca zeroul si polul reţelei corectoare se aleg foarte apropriate şi în acelaşi timp apropriate de axa imaginară

Pentru realizarea unui astfel de deziderat, ducem din polul dominant s* o dreaptă înclinată cu un unghi 00 105 ÷=θ faţă de dreapta de impζ si la intersecţia cu axa imaginară obţinem zeroul reţelei corectoare.

Cunoscând valoarea cz si raportul ,

c

c

pz

obţinem cu uşurinţă polul reţelei de corecţie.

. . Exemplu. Considerăm cazul unui sistem de reglare automată pentru care funcţia de transfer a parţii fixate este :

( ) ( ) ( )261

+⋅+⋅=

ssssH F

Pentru sistemul funcţionând in circuit închis este impus un suprareglaj %20=≤ impσσ iar eroarea staţionară pentru intrare rampă unitară sa nu depăşească valoarea =timpsε

cz−0

*s

σ

ω⋅j

fig...Distributia pol-zero in varianta cu

dipol

θ

.

25

Pentru sinteza compensatorului vom utiliza locul geometric al rădăcinilor. In acest scop introducem structura sistemului necorectat si lansăm rltool prin urmatoarea secvenţă de instrucţiuni : >> num = 1; >> den = [1 8 12 0]; >> sys = tf(num, den); >> rltool In fereastra SISO Design selectăm File / Import si importăm sistemul “sys” pentru funcţia de transfer a părţii fixate G(s). Validăm setarea cu OK si în fereastra de lucru obţinem locul geometric al rădăcinilor pentru sistemul necorectat (vezi figura …).

fig… Locul geometric al rădăcinilor pentru sistem necorectat.

Pentru o evidenţia porţiunea interesantă a locului geometric al rădăcinilor , pe bareta de lucru selectăm Zoom, fixăm mausul în spaţiu de lucru si selectam un dreptunghi în care se află caracteristica dorită. In continuare vom determina amplificarea necesară alocării polilor pe poziţia impusă de performanţele dinamice ale sistemului considerat. Din performanta de suprareglaj

%20=≤ impσσ rezultă 063)arccos(,456.0 ===≤ impimpimp ςϕζζ Fixarea polului dominant se realizează prin procedura “agaţă si trage” cu mausul activat prin click stânga. Simultan cu deplasarea mausului se modifică automat valoarea

26

amplificării vizualizată in caseta Current Comrpensator. Pentru problema propusa la o amplificare 16.6 realizăm locaţia dorită pentru polii dominanţi cu .59.1454.0 == nsiωζ Pentru o amplificare 16.6 introdusă de compensator, factorul de amplificare statică este 16.6/12 iar eroarea staţionară astfel obţinută

72.06.16

12==stε

nu satisface performanţa de regim staţionar impusă prin temă. Pentru realizarea performanţei de regim staţionar utilizăm un corector cu întârziere de fază având structura

( )c

ccc ps

zsKsH

++

⋅=

Pentru eroarea stationara impusa ,1.0=stε ţinând cont de amplificarea statică a părţii fixate

rezultă 1202 =K . Amplificarea suplimentară introdusă de raportul c

c

pz

va trebui să asigure

120166 =⋅pczc şi deci raportul

c

cp

z = 7.2289.

In cadrul procedurii clasice, fixarea zeroului reţelei corectoare se face prin metode grafice. Am preferat calculul analitic din cauza inconvenientelor de evaluare a unghiului in reprezentarea făcută. Din figura … rezulta cu uşurinţa

( )φϕφω+

⋅=sin

sinncz

−nω pulsaţia naturala pentru polul dominant ζζϕ −= arccos factorul de amortizare ce caracterizează polul dominant

00 105 ÷=φ Pentru cazul considerat sec,59.1 radn =ω 063cos ≅= impar ζφ şi alegând 05=φ rezultă :

.15.0~9272.00872.059.1 −⋅=cz

Dacă impunem 15.0=cz , din raportul 2289.7=c

cp

z rezultă 02.0=cp .

În fereastra de lucru SISO Design , selectăm Compensator/ Edit C care deschide fereastra de setare a compensatorului. In aceasta fereastra impunem valorile polului si zeroului reţelei corectoare. Add Reale Zero → (-0.15) Add Reale Pole → (-0.02) Cu Ok validăm înscrierea. Fereastra de lucru prezintă locul geometric al rădăcinilor modificat in urma introducerii reţelei corectoare (vezi figura …) Prin aceeaşi procedură “agaţă si trage” deplasăm polul dominant pe poziţia dorită ( intersecţia cu dreapta de ζ impus) si în caseta Current Compensator citim forma finala a funcţiei de transfer a compensatorului

( )sssH c 501

4.61121++

⋅=

27

Fig. Raspunsul indicial al sistemului corectat.

Răspunsul indicial al sistemului funcţionând in circuit închis este prezentat in figura …

fig…Răspunsul indicial al sistemului corectat.

28

În continuare vom prezenta posibilităţile de utilizare a interfeţei SISO tool pentru calculul sistemelor de reglare automata pe baza caracteristicilor de frecvenţă. Cum scopul acestei lucrări este de a prezenta utilizarea interfeţei ne vom rezuma în a prezenta o serie de aplicaţii simple dar care necesită utilizarea completă a capacităţilor oferite de interfaţa Matllab pentru analiza şi sinteza în frecvenţă a sistemelor liniare. Sinteza sistemelor de corecţie in întârziere de faza prin metode de frecvenţă. O primă aplicaţie legată de utilizarea interfeţei SISO pentru calculul sistemelor de reglare automată prin metode de frecvenţă se referă la calculul corectoarelor cu întârziere de fază pe baza caracteristicilor Bode. Structura clasică a unui corector cu întârziere de fază este caracterizată prin funcţia de transfer:

( )c

ccc ps

zsKsH

++

=

unde c

cc z

pK = si cc pz > . în raport cu caracteristicile de frecvenţă ale acestui sistem (ne

referim în continuare la caracteristicile amplitudine – pulsaţie şi fază-pulsaţie) reamintim două proprietăţi ce se vor dovedi esenţiale in calculul corectorului

i) In frecvenţe joase atenuarea este nulă iar pentru frecvenţe înalte corectorul introduce o atenuare )log(20 cK⋅ .

ii) Faza introdusă de corector este nulă în domeniul frecventelor foarte joase sau foarte înalte. Corectorul introduce o întârziere de fază ce se face remarcată in zona pulsaţiilor situate între cp=ω si cz=ω . Întârzierea de fază maximă se realizează

la pulsaţia ccn zp ⋅=ω si are valoarea :

11sinmax +

−=

ααφ arc , unde

c

c

zp

=α .

Un astfel de corector, recomandat în cazul unor sisteme cu o dinamică mai puţin complexă poate conduce la diminuarea erorii staţionare pentru o margine de faza impusă (în general corelat cu menţinerea unui suprareglaj corespunzător). Din păcate, realizarea performantelor impuse utilizând un astfel de corector conduce la o creştere a duratei regimului tranzitoriu. In general, cerinţele impuse sistemului sunt legate de asigurarea performanţelor de regim staţionar pentru o margine de fază impusă. Algoritmul de evaluare a parametrilor dispozitivului de corecţie este următorul:

i) Se determină factorul de amplificare statică K care asigură satisfacerea performanţelor de regim staţionar.

ii) Se trasează caracteristicile de frecvenţă pentru sistemul necompensat dar caracterizat de amplificarea K anterior calculată şi se determină marginea de fază.

iii) Daca marginea de faza obţinută în urma introducerii amplificării K nu satisface performanţele impuse, se determină pe caracteristici pulsaţia ∗ω la care s-ar realiza marginea de fază propusă în ipoteza că aceasta ar fi pulsaţie de tăiere. Se fixează zeroul reţelei corectoare cu o decada in urma pulsaţiei determinate. O astfel de

29

alegere se impune pe considerentul unei întârzieri de fază de câteva grade in dreptul noii pulsaţii de tăiere.

iv) Cu ajutorul caracteristicilor de frecvenţă se determină atenuarea ce trebuie introdusă pentru ca ∗ω să devină pulsaţie de tăiere

v) Se impune condiţia ca atenuarea suplimentară să fie 20 log α şi se determină α . vi) Cunoscând cz si α se determină polul reţelei corectoare cp . vii) Se verifică dacă sistemul corector realizează marginea de faza impusă şi în caz

contrar, se rea procedura fixând zeroul corector la valori mai mici. viii) Se verifica prin simulare performanţele sistemului analizat.

Exemplu. Vom aplica algoritmul prezentat adaptat utilizării pachetului de programe Matllab – Simulink pentru sinteza dispozitivului corector cu întârziere de fază. Considerăm că partea fixata a sistemului de reglare automata este de forma:

( ) ( )( )621

++=

ssssH F

Se impune ca sistemul funcţionând in circuit închis să asigure o eroare staţionară

1.0=≤ stimpst εε pentru o intrare de tip rampă unitară asigurând totodată o margine de faza de cel puţin 450. Factorul de amplificare suplimentar, necesar asigurării erorii staţionare impuse se determina din condiţia

1,012

1≤K si deci 120≥K

Dacă asigurăm acest coeficient de amplificare, funcţia de transfer a sistemului devine

( ) ( )( )62120

++=

ssssH F

Pentru trasarea caracteristicilor amplitudine – pulsaţie si faza – pulsaţie, introducem de la tatatură: num = 1; den = [1 8 12 0]; sys = tf (num,den); bode (sys). Caracteristicile de frecventa sunt prezentate in figura … Apreciem cu uşurinţă că pentru valoarea factorului de amplificare necesar asigurării performantelor staţionare sistemul dinamic este instabil. Trasarea caracteristicilor frecvenţiale se realizează cu subrutina bode. m , care permite prin simpla selectare cu mausul determinarea pulsaţiei si fazei (sau modului) ce caracterizează punctul selectat (vezi figura …)

30

10-2

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

Phas

e (d

eg)

System: sys Frequency (rad/sec): 1.28 Phase (deg): -135

-150

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (d

B)

System: sys Frequency (rad/sec): 1.3 Magnitude (dB): 16

Bode Diagram

Frequency (rad/sec) fig…Caractaresticile de frevenţă ale sistemului necorectat . La intersecţia caracteristicii de fază cu orizontala dusă pentru valoarea 0135− se determina 23.1=mω . Conform algoritmului propus 13.0~128.0 −=pc . Pe caracteristica de modul stabilim pentru mω amplitudinea de 16 dB (stabilirea acestei valori se face prin tatonări succesive a punctelor din imediata vecinătate a lui mω ). Se alege

cz = 0.13. Conform relaţiei de calcul anterior prezentate, se determină dB16log20 =− α şi deci 1585.0=α

În sfârşit, zeroul reţelei corectoare va fi 02.01585.013.0 ≅⋅=cp

Deschidem interfaţa SISO introducând de la tastatura sisotool. In fereastra de lucru deschisă selectăm Compensators / Edit C şi deschidem astfel fereastra de dialog pentru fixarea parametrilor sistemului compensator. Selectăm: Compensator / Format Time constant Compensator / Edit C Add real zero (– 0.13) Add real pole ( – 0.0229) Rezultă o structură de compensator (care include si amplificarea adiţională)

( )sssH c ⋅+⋅+

⋅=441

9.71120

31

Marginea de fază realizată este numai de 36.70 care determină un suprareglaj de 37.2% (vezi figura…)

fig…Răspunsul indicial al sistemului corectat.

Pentru a realiza marginea de faza impusa prin temă , este necesar sa deplasăm spre stânga polul corectorului. Fixăm mausul pe polul reţelei corectoare si îl deplasăm (agaţă si trage) până la realizarea condiţiei de margine de faza impusă (vezi figura…)

32

fig…Caracteristicile de frecvenţă ale sistemului corectat. Pentru structura corectorului

( )sssHc 621

9.71120++

⋅=

marginea de faza respecta conditia impusa prin tema de proiectare. Pentru o astfel de situatie, suprareglajul %8.27=σ este considerabil mai mic (vezi figura …)

33

fig… Răspunsul indicial al sistemului corectat.

Corecţia S.R.A utilizând dispozitive de corecţie cu avans de fază. Dispozitivul de corecţie cu avans de fază (sau corector de tip diferenţial) este caracterizat prin funcţia de transfer

( )pcszcssHc +

+=α

în care factorul de amplificare dinamică .1>=c

c

zp

α Evident, pentru un astfel de corector

cc pz < . Caracteristic unui astfel de corector este faptul ca amplifică semnalul pentru pulsaţii înalte si introduce un avans de fază pronunţat într-o zonă a pulsaţiei cuprinsă între cz=ω şi

cp=ω . Avansul de fază are un maxim pentru pulsaţia ccm zp ⋅=ω la valoarea

11sin

+−

=ααϕ arcm .

Un astfel de compensator este indicat pentru cazul unor sisteme de complexitate redusă pentru care se impun performanţe limitate (în general performanţe de regim staţionar asociate unei valori impuse pentru marginea de fază). Reţeta de calcul a unui astfel de corector este următoarea :

i) Se determina factorul de amplificare necesar asigurării performanţelor de regim staţionar.

ii) Pentru amplificarea anterior calculata se determina pe baza caracteristicilor de frecvenţă marginea de fază.

iii) In ipoteza că marginea de fază nu este asigurată, se determină faza suplimentară în avans ce trebuie introdusă de dispozitivul corector mϕ .

iv) Pe baza valorii mϕ stabilite se calculează

m

m

c

c

zp

ϕϕ

αsin1sin1

−+

==

v) Pe caracteristica Bode a sistemului necorectat dar cu amplificarea stabila la i) se determină pulsaţia nω la care atenuarea este de –10log ( )α .

vi) Cunoscând msi ωα se determină polul se zeroul reţelei

corectoareα

αω ccnc

pzsip == .

vii) Pentru sistemul corector se determină marginea de fază si dacă condiţia de margine de fază nu este realizată se reia calculul cu o margine de faza mai mare decât cea impusă de tema de proiectare.

viii) Se verifică prin simulare performanţele sistemului considerat.

Exemplu. Considerăm un sistem de reglare automată pentru care funcţia de transfer a părţii fixate este de forma:

( ) ( )( )511

++=

ssssH F

34

Se cere determinarea sistemului compensator cu avans de fază care asigură o eroare staţionară 2.0≤stε pentru o intrare rampă unitară , asigurând totodată o margine de faza

impusă la valoarea 4π .

Factorul de amplificare statică pentru sistemul considerat este 51

1 =K . Eroarea

stationară este nula la intrare treapta unitara datorita polului din origine si este:

55

11

==stε pentru intrare de tip rampă unitară.

Dacă considerăm introducerea unei corecţii K2 de tip proporţional, amplificarea introdusă trebuie sa sigure

25552

2

=≥≤stimp

stimp KdeciK ε

ε

Functia de transfer asistemului necorectat dar cu amplificare anterior calculata va fi:

( ) ( )( )5125

++=

ssssH F

Introducem de la tastatura: num = 1; den = [1 6 5 0]; sys = tf (num,den); bode (sys).

10-2

10-1

100

101

102

-270

-225

-180

-135

-90

Phas

e (d

eg)

System: sys Phase Margin (deg): 3.94 Delay Margin (sec): 0.0338 At frequency (rad/sec): 2.04 Closed Loop Stable? Yes

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de (d

B) System: sys Frequency (rad/sec): 4.64 Magnitude (dB): -15.6

Bode Diagram

Frequency (rad/sec) Figura … Caracteristicile de frecvenţă ale sistemului necorectat.

35

In acest mod introducem partea fixata in spaţiu de lucru Matlab si lansăm subrutina de trasare a caracteristicilor amplitudine pulsaţie si faza – pulsaţie pentru sistemul considerat. Din caracteristicile de frecvenţă prezentate în figura .. rezultă că marginea de fază (3.94 la 04.2=ω ) nu satisface nici pe departe condiţiile impuse prin tema de proiectare.Faza în avans ce trebuie introdusă este de 041~94.345 −− , pe care o considerăm faza maximă introdusă de corectorul cu avans de fază (deci 041=mϕ ) .Pe baza acestei valori stabilim

.8150.4sin1sin1

=−+

=m

m

ϕϕ

α

Pe caracteristica de modul, prin tatonări succesive determinăm pulsaţia 64.4=ω la care amplitudinea are valoarea 6.15log10 −=− α Conform relaţiilor de calcul prezentate stabilim

146.21816.103150.464.4 ===⋅=α

ccc

pzsip

Introducem de la tastatură Sisotool si deschidem fereastra specifică interfeţei grafice. Selectăm View se deselectăm Root Locus pentru o mai bună vizualizare a caracteristicilor frecvenţiale. Introducem structura părţii fixate, cu corecţia de amplificare impusă de performanţele staţionare , File / Import si transferam G(s) = sys din spaţiu de lucru. Selectăm Compensartor / Edit C şi in fereastra de fixare a parametrilor compensatoerului introducem polul si zeroul calculaţi anterior. Add reale Zero : - 2.1146 Add Reale Pole ; - 10.1816 Rezulta caracteristicile de frecvenţă ale sistemului corectat.

36

fig…Caracteristicile de frecvenţă ale sistemului corectat. Structura compensatorului este

( )sssHc 098.01

47.0125++

⋅=

Marginea de faza este de 31.20 si nu satisface condiţia impusă prin temă.

37

De altfel remarcăm din răspunsul indicial al sistemului corectat un suprareglaj relativ mare (43.2%). Procedura de sinteza trebuie reluata propunând o margine de faza mai mare.