s.i.3 reprezentareasimbolica+corespondentaoperatiilor

7/23/2019 S.I.3 ReprezentareaSimbolica+CorespondentaOperatiilor

1/8

Reprezentarea simbolic a mrimilor sinusoidale i corespondena operaiilor

1.3 Reprezentarea simbolic a mrimilor sinusoidale icorespondena operaiilor

Analiza direct a circuitelor liniare de c.a. n regim permanent sinusoidal sepoate efectuta prin folosirea valorilor instantanee i aplicarea teoremelor luiKirchhoff. Se obine un sistem de ecuaii integro-difereniale care constituiemodelul matematic al circuitului. Sistemul de ecuaii este necesar i suficient

pentru obinerea rspunsului pe fiecare ramur a circuitului ns rezolvarea saeste adesea laborioas i prea puin intuitiv.

Metodele de reprezentaresimbolic a mrimilor sinusoidale se introduc pentru afacilita analiza circuitelor de c.a. sinusoidal prin nlocuirea ecuaiilor integro-

difereniale cu ecuaii algebrice saugeometrice. Se folosesc dou moduri dereprezentare simbolic, prin:

a metode analiticede reprezentare, atunci c!nd simbolurile folosite pentrumrimile sinusoidale sunt numere complexei

b metode geometrice (fazoriale) de reprezentare, care utilizeaz dreptsimboluri ale mrimilor sinusoidale, vectori liberi n plan, numiifazori.

Un fazor este un vector abstract, fictiv, teoretic, simbol al unei mrimi scalaresinusoidal variabil n timp, spre deosbire de vectorii fizici

.,,,,," etcDEBHMF

ce acioneaz n spaiu pe o direcie i un sens precizate.


2/8


#ntroducerea metodelor de reprezentare simbolic se bazeaz pe urmtoareleobservaii:

$m

m"t

t

%&'(f

t

)ig.' sin"" += tMtm m

Observaia 1. Un semnal sinusoidalde form normal n sinus "fig.' este

complet determinat de dou mrimi scalare : amplitudineaMMm *= "sau

valoarea sa efectiv,M i un unghi reprezent!nd faza sa, += t "o mrimeliniar variabil n timp care, la r!ndul su, include informaia privind pulsaiaifaza iniial :

sin"" += tMtm m " Mm "sauM=Mm * , &+t "'dublet de identificare amrimii sinusoidale

In circuite cu semnale de aceeai frecven nu se mai evideniaz pulsaia+&*!, iar mrimea sinusoidal se identific doar prin valoarea efectiv, Mi

faza iniial, astfel nc!t dubletul de identificare a mrimii sinusoidale devine:

"M,

- se negli/eaz

,valoare comun pt.toate semnalele0 - dublet folosit n:

reprezentarea analitic n complex simplificat, RCS"cu numere comple"e constante n timp# M i respectiv n

reprezentarea geometric polar"cu!azori de timp polari# !ici n planul comple"

denumiri ale simbolului in 12S: i.c.s. / v.e.c. / f.p.c.


3/8

Reprezentarea simbolica mrimilor sinusoidale i corespondenaoperaiilor

Observaia . Un numr comple", m se poate e3prima sub una din formeleanalitice - algebric, e3ponenial sau trigonometric - i beneficiaz i de oreprezentare geometric n planul comple30

a $bam += , unde: { } { } 0',mmbmea === $,

b ,$eMm= unde: 0(",

** abarct%baM =+= "*

c ,sin"cos $Mm += unde:.

*sin,

*cos

$

eeee $$$$ =

+=

d 1eprezentarea geometric - printr-un afi3 "punct n planul comple3, de

a3e ortogonale: - a3a real, e de versor ' - a3a imaginar, m , de versor /.

m

'

/

b

$

a

Fig.24adar, un numr comple3, la fel ca i semnalele sinusoidale, este completdeterminat de dou mrimi scalare, conform urmtoarei corespondene :

,"

,"

Mm

saubam

, "5dublet de identificare a

numrului complex

Observaia 3. Un vector liber n plan#M se identific tot prin dou mrimiscalare, modulul M i ungiul de poziie "argumentul, n raport cu a3a

origine de faz a planului:

M "M, dublet de identificare al "6

vectorului n plan

!rocedele de reprezentare simbolic" n ambele cazuri, geometric i analiticrealizeaz o asociere biunivoc ntre mrimea sinusoidal i simbolul folosit,


4/8


"numr comple3 sau vector prin punerea n coresponden a dubleilor deidentificare .

Reprezentarea !n comple" simpli#icat (RCS) a mrimilor sinusoidale

Se aplic atunci c!nd toate semnalele prezinta aceeasi pulsatie, , a.i., inreprezentarea simbolica, se poate renuna la evidenierea acestei mrimi comunetuturor semnalelor.

Reprezentarea !n comple" simpli#icat (RCS) asociaz biunivoc un semnalsinusoidal, m"t cu un numar comple3 constant n timp "denumit : ima%inecomple"a simpli!icata# valoare efectiva complexa# sau !azor polar comple",

av!nd modulul egal cu valoarea efectiva,M si argumentul egal cu faza iniiala,

ale semnalului reprezentat, respectiv, " i.c.s. / v.e.c. / f.p.c.:

m"t sin" += tMm .7sin8cos

-/

+=

=

$M

MeM

"9

"recerea inversade la valoare efectiva comple3a, M la semnalul sinusoidalreprezentat, m(t)se efectueaza cu a/utorul relatiei :

.*" Memtm t$= . "

#azorul reprezentativ n planul complex $ M este fix %fazor polar&"fig.6.

'bservaie. ;ntre valoarea instantanee comple3a m , si valoarea efectiva

comple3a M , "9 asociate aceluiasi semnal sinusoidal m(t)$ "', e3ista relaia:

.* Mem t$= "


5/8


)ig.5. 12>: "i.c.n./v.i.c.)/f.c.c.(#resnel )ig.6. 12S: " i.c.s./v.e.c.)/ f.p.c.

Corespondena operaiilor !n comple" simpli#icat (RCS)

a) $dunarea%&umei m = m' ( m)a doua semnale sinusoidale i corespunde un !azor

polar comple" *!+p+c+, e%al cu suma !azorilor polari compleci *!+p+c+,

ima%ini ale semnalelor m'si m):

.*'*' MMMmmm +=+= "'=

#n planul comple3 f.p.c. sum se obine prin sumarea geometric a f.p.c. termeni,conform regulii paralelogramului n cazul a doi termeni sau dup regula

poligonuluin cazul mai multor termeni "fig.9.

$

$

$

$

$

$

$

*

*

5

'

'

*

'

''

*

*

'

'

5

** 5

aa

b

b

b

b

b b

b

a

a

a a''

//

a

)ig.9.

*'*'*' bbb0aaa0/ba$$$ +=+=+=+= 0 regula paralelogramului0

==+== iii bb0aa0/ba$$ 0 regula poligonului.b) ;nmultirea cu un scalar.

-rodusului)m=) M t +* sin" dintre o mrime sinusoidal mi un scalar

real)i corespunde un !+p+c+#) M# e%al cu produsul dintre scalarul real)i

!+p+c+M

# ima%ine a semnalului sinusoidal m.

.M/m/ "''


6/8


c &erivarea !n timp. 0peraia de derivare n timp a unui semnal sinusoidal#sin"" += tMtm m corespunde operaiei de nmulire cu numrul comple"

$ aplicat f.p.c. reprezent!nd mrimea sinusoidal iniial, M .

?erivata n raport cu timpul a semnalului sinusoidal m*t av!nd e3presia"'*, regula de obinere a f.c.p. al derivatei se e3prim prin corepondena "'5:

*(sin"*d"d ++= tM

ttm

"'*

.d

d *("*(

++ == $$$ eMeMeM$t

m"'5

F+p+c++ al derivatei n timp a unui semnal sinusoidal# m are modululamplificat cu i argumentul mrit cu '"este rotit cu ', !n avans fa

de f.p.c. al mrimii sinusoidale iniiale, M . 4 adar, n planul comple3,derivarea n raport cu timpuleste echivalenta cu amplificarea modulului cu i rotirea cu 'n avans, aplicate asupra f.p.c.al mrimii iniiale "fig. .

d nte*rarea !n timp. 0peraia de inte%rare n timp a unui semnalului

sinusoidal sin"" += tMtm m corespunde operaiei de mprire la numrulcomple3*aplicat f.p.c. reprezent!nd mrimea sinusoidal iniial.

#ntegrala n timp a semnalului sinusoidal m*t av!nd e3presia "'6 regulade obinere a f.c.p. al integralei se e3prim prin corepondena "'9:

*(sin"*d"

+= tM

ttm, "'6

==

$

Mee

Me

Mtm $$$ *(*("d

. "'9

F+p+c+ al integralei n timp a unui semnal sinusoidal# m are modululmprit la i argumentul mic orat cu '* "este rotit cu + ', !n urm fa

de f.c.p. al mrimii sinusoidale iniiale, M . 4 adar, n planul comple3,integrarea n timpeste echivalent cu

)ig.


7/8


mprirea modulului la i rotirea cu (n urm, aplicate asupra f.p.c. almrimii iniiale "fig. .

@@@ ;ntruc!t produsul a dou semnale sinusoidale nu este, de regul, o

funcie sinusoidal, el nu se poate reprezenta simbolic n comple3.

Operatori de rotaie%

Sunt numere comle3e de modul ' i argument, diferit de zero.

Arin nmulirea unui fazor cu un operator de rotaiese obine un fazor cumodulul neschimbat, dar rotit cu un unghi egal cu argumentul operatorului de

rotaie, . Bperatorii de rotaie cu *(+ i respectiv *( au aadar e3presiile:

$ & e$ *(" 0 -$ & $'

& e-$ *(" "'

"emplu: Suma a doi cureni de pulsaie = = =* * 9= 5'6! rad s .

( ) 45


8/8


-i*.

notm 1a = '=4 2i 1r = ''4 i rezultpentru valoarea efectiv a intensitii:

AIII ra 371412110022

,=+=+=,

iar pentru faza iniial :

D'=6

s.i.3 reprezentareasimbolica+corespondentaoperatiilor

Documents