serii numerice
DESCRIPTION
Serii numericeTRANSCRIPT
SERII DE NUMERE REALE
Pentru fiecare din seriile următoare să se stabilească natura şi dacă este posibil să se calculeze suma:
1.
12 14
1
n n
R: conv., S = 1/2 2.0,
1
1
1
n nn
R: div., S = 3.
1 23
13ln
n n
n R: div., S = - 4.
1 !
1
n n
R:conv., S = e-1 5.
1 !n n
n R: S = e 6.
1 3
1
nn
R: S = ½
7.
1 2nn
n R: S = 1 8.
1 !
2
n
n
n
n R: S = 2e2 9.
1
2
!n n
n R: S = 2e 10.
1
2
!
3
n
n
n
n R: S = 12e3 11.
1
3
!n n
n R: S = 5e 12.
1 !
)5(ln
n
n
n
R: S = 4 13.
0 !
)2(3
n
nn
n
R: S = e3 + e
-2
14. . ,
0
Rqqn
n
(seria geometrică) R: conv.
qS,,q
1
111
15. R
nn
,1
1
(seria armonică generalizată sau seria Riemann) R: convergentă 1
16.
12
2
523
14
n nn
n R:div. 17.
111 83
83
nnn
nn R:div. 18.
2 ln
1
n n
R: div. 19.
1
1
nnen
R: conv. 20.
12 14
53
n n
n R: div. 21.
123
3 25
127
2132
n nn
nnn R:conv. 22.
13
11ln
n n
R:conv.
23.
1 )14(...1073
)23(...741
n n
n R: conv. 24. 2
1 23
13n
n n
n
R: conv 25. 1,11
aan
n
n
n R: conv. pt. a < e; div. pt. a e 26.
1
2
)3....(963
)13.....(852
n n
n R: div.
27. 0,
2
112
1
2
a
an
ann
n
R: conv., a 2; div., a > 2 28.0,
)!3(!3
)!12(
1
aann
n
n
n
n
R:conv, a 3/4; div, a > 3/4 29. 0,1
aan
n R: conv, a <1/e; div, a 1/e
30.
1
0;)12...(5)3)(1(
)2)...(4)(2(
n
banbbbb
naaaa R: div, b a+1; conv, b>a+1; 31.
1
2
;!
...1
n
n
Ran
aaa R: 1,12;1,
1
1
aeSa
a
eaeaS
a 32.
1
1)1(
n
n
n
R: S = ln2
33.
1
2;
)...1(
1
nn
Raaaan
R: div. pt. a < 1; div. pt. a 1 34. 0,1
ln
aan
n R: conv, a <1/e; div, a 1/e 35.
12
1
n n
R:conv 36.
1 )1(
sin
n nn
n R:conv 37.
12
)!(cos
n n
n R:conv
38.Ra
na
nn
,2
)(cos
1
R:conv. 39.Rx
nx
nn
,)3(
)(sin
1
R:conv. 40.
13
)cos(
n n
nx R: conv. 41.1,,
)2(cos
1
pRxn
x
np
n R:conv. 42.
1
2cos
n n
n R:conv
Să se studieze convergenţa şi absolut convergenţa seriilor:
43.
122
13)1(
n
n
n
n R: semiconvergentă 44.
1 2
1)1(
nn
n
n
R: absolut conv. 45.
1n nln
nsin R: semiconvergentă
Să se arate că următoarele serii sunt convergente şi să se calculeze sumele acestora:
46.
1 )2)(1(
1
n nnn
R: S=1/4 generalizare:*
1
,))...(1(
1Np
pnnnn
R:
!
1
ppS
47.
1 )!1(n n
n R: S = 1 48.
123 45
5
n nnn
n R:
40
19S
49.
02
123
7
2)3(
nn
nn R:
630
3187S
50.
1 4nn
n R:1/3 51.
1
2
5nn
n R:15/32 52.
12
2
n
n
n
R: 53.
1 !
2
n
n
n
R: e2-1 54.
1 2
!
nn
n R: 55.e
nnn
:!2
1
0
R
56.
1
3
2nn
n R:26 57.
1
2
3
425
nn
nn R:11 58.
21
1
sin
2
)1( n
nn
n
R:
3
2
Stabiliţi natura următoarelor serii de numere reale şi atunci când este posibil determinaţi suma acestora:
59.
1 3212
1
n nn
R: div., S =
60.
22 1
1
n n
R: convergentă, 43S
61.
1 34
14ln
n n
n R: div., S = -
62. n
n
1 6
5 R: convergentă, 11
5S
63.
1 )2)(1(
43
n nnn
n R: convergentă, 2
5S
64.
1
)1(n
nR: oscilantă
65.
1 )!1(n n
n R: convergentă, 1S 66.
1
1223n
nnn R: conv, 32 S
67.
1 )3)(2)(1(
52
n nnn
n R: convergentă, 12
11S
68.
1 31
1
n nn
R: divergentă 69.
1 )13)(23(
1
n nn
R: convergentă, 3
1S
70.
3
2
41ln
n n
R: convergentă, S = - ½ ln6
71.
1
)3(3n
nn R: oscilantă 72.0,,;
01
bRbab
a
nn
nR: convergentă dacă 1,1
b
a şi ab
S
1 , iar în rest este divergentă
73.
02
123
8
2)3(
nn
nn R: conv., S = - 43/176 74.
12 34
1
n nn
R: S = 5/12 75.
1 )43)(13)(23(
1
n nnn
R: S = 1/24 76.
123 23
24
n nnn
n R: S = 5/2
77.
12 )14)(32(
1
n nn
R: 1/12
78.
1 )3)(2)(1(
1
n nnnn
R:18
1
79.
1 )32)(12)(12(
1
n nnn
R:12
1
80.
14 14
4
n n
n R: 1
81.
02 65
1
n nn
R: 1/2 82.
123 34
15
n nnn
n R:9
17 83.
1 1)1(
1
n nnnn
R: 1
84.
12
13
5
3)1(4
nn
nnn R:200
2057
85. Rcba
n
cbnan
n
,,;!0
2 R: cbae 2 86.
1
2
)!2(
1
n n
nn R:2
1 87.
1 )!2()!1(!
2
n nnn
n R:2
1
88.
1 )4(
)1(
nn
n n R:
75
13
89.
1
21
5
32
nn
nn
R:6
89
90.
1 5
)1(
nn
nn R:48
7
91.
1
2
2
1
nn
nn R: 9
92.
1
2
5
432
nn
nn R:8
23 93.
1
1
5
)1(2
nn
nn R:
6
5 94. 1,1
aa
n
nn
R: 2
1a
a
95.
1
1
3
cos)1(
nn
n n
96. 1,
)1(
1
aa
nn
nn
R: 3
2
1
2
a
a 97. 1,
1
2
aa
n
nn
R: 3
1
1
a
aa 98.
1
122n
nnn 99.
12
1
n n
R:
6
2
100. 3
1
sin3
1 n
nn
101.
02
123
10
3)2(
nn
nn 102.
02
123
5
2)3(
nn
nn 103.
1
1
)4(
)1(3
nn
nn 104.
12
113
5
3)1(4
nn
nnn 105.
1 3
)12()1(
nn
n n
106. ......3
1
2
1.....
3
1
2
1
3
1
2
12124321
nn 107. .......
16
1
33
1
8
1
3
1
4
1
3
1333
Să se studieze natura următoarelor serii:
108.
1 23
14
n n
n R: divergentă
109. n
n n
n
1
1 R: divergentă
110.
1
1sin
n nn
R: divergentă 111.
1 53
35)1(
n
n
n
n R: divergentă
112.
111
32
32
nnn
nn R: div. 113.
1 12ln
1
n n
R: divergentă 114.
12 )2ln(
1
n n
R: divergentă 115.
1 3!nn
n
n
n R: convergentă
116.
13
2
15
56
n n
n R: divergentă
117.
13 34
12
n nn
n R: convergentă
118.
12
5 27
126
213
n nn
nnnR:div.
119.
14
1sin
n n
R: convergentă
120.
1
11ln
n n
R: divergentă
121.
1 5
1
nnn
R: convergentă
122.
1
12 24
1
nn n
R: div.
123.
13 752
1
n nn
R: convergentă
124.
14 3
3 2
12
1
n n
n R: divergentă
125.
124 7132
1
n nn
R:conv
126.
1
4
1
3 )3(n
nn R: divergentă
127.
1 4
!
nn
n R: divergentă
128. 0,
1
1
nn
aan
R: divergentă dacă 1,0a , convergentă dacă 1a 129.
1 )45(....1161
)34(.....951
n n
n R: convergentă
130.1,
)()2)(1(
!
1
anaaa
n
n
R: divergentă dacă 1,1a , convergentă dacă 1a 131.
1
3
)2....(6.4.2
)12.....(5.3.1
n n
n R: convergentă
132.
1 5
31
n
n
n
R: convergentă
133. n
n n
n
1 23
14 R: divergentă
134. n
n
nn
1
)12(R: conv.
135.
1 !n
n
n
n R: convergentă
136. 32
1
2
45
35
n
n n
n R: conv.
137.n
n n
n
1 23
13 R: divergentă
138. n
n
n
n
n
1 25
35)1(
R: div.
139.
1
2
)14(...1395
)34(...951
n n
n R: conv
140. 0,
2
!
1
aan
n
n
n
nn
141.
12
2
0,32
532
n
n
n
aann
nn 142.
1 !
32
n
nn
n
143.0,
)!12(2
)!3()!1(
1
aan
nn
n
n
n
144.
1
2
)!2(
)!(
n n
n 145.
1
22 3223n
n
nnnn
Studiaţi convergenţa şi absolut convergenţa seriilor:
146.
1 12
1)1(
n
n
n
147.
12
)1(
n
n
n
148.
122
13)1(
n
n
n
n 149.
1 2
1)1(
nn
n
n
150.
132
13)1(
n
n
n
n 151.
1 1
1)1(
n
n
n
152.
1
)1(
nn
n
n
153. n
n
n
n
n
1 12
32)1(
154.
1 !
)1(
n
n
n
155.
1 )3(
!
nn
n 156.
1 ln
1)1(
n
n
nn
157.
1
1 1sin)1(
n
n
n
Stabiliţi natura seriilor:
158.
22
sin
n n
n 159.
in
nn 1cos1
1 160.
1 3
)(cos
nn
n 161.
1 !
sin
n n
n 162.
1
1cos32n
n
n 163.
1 2
)!(cos
nn
n
164.
1 2
cos
nn
n 165.
13
3 sinn n
n 166.
12
2sin
n n
n 167.
1 ln
1
n n
168.
2 ln
1
n nn
169.
22
1
n n
170.
1
1
1
)1(
n
n
n
171.
1
1
)1()1(
nn
nn
n
n 172.
1 )21(!
)1(
nn
n
n
173.
12 47
1
n nn
174.
1 1n
n
n
n 175.
1 74
23
n n
n 176.
1
11cos1
n
nn
177.
14
)1(
n
n
n
178.
1 !
7
n
n
n
179.
132 11
1
n nn
180.
1
0,35
23
n
n aan
n 181.
15 7
3 2
183
12
n n
n 182. 0,
)!2(!
)!12(
1
aann
n
n
n 183.
121 542
52
nnn
nn 184.
1
0,32
53
n
n aan
n 185.
1 17
34
n
n
n
n
186.
1
0,1
n
n
n
aan
n 187.
1
2
3sin
nn
n 188.
1 11
72
n
n
n
nn 189.
1
1
)21(
3
nnn
nn 190.
1 3
1
nn n
191.
12
2
0,1
3
n
n
n
aan
n 192.
1
)1(
2
22
13
13
n
nn
n
nn 193.
1
1
nn n
194.
1
11ln
n nn
195. Rba
bn
ann
n
,,1
196.
1
5
!n n
n 197.
1
122n
nnn 198.
13 12
1
n nn
199.
12 23
87
n n
n 200.
2,0,
32
1
a
atg
nn
n 201.
1
1...
2
11
n n
n
202.
1
1
n nnarctg
203.
1 73
52
nn
n
n
n 204.
1 1212
1
n nn
205.
1
1cos1
n n
206.
1 5
61
n
n
n
207.
2 33 13
12
nb
a
nn
nn 208.
1
1sin
1
n nn
209.
1
0,!n
n
an
an
210.
1 )14(...1173
)13(...852
n n
n 211.
1 13
2
n
n
n
n 212. 0,
2
!
1
nnn
n
an
an 213.
1
2 0,n
n
ae
an
214.
1
1
)12(
3
nnn
nn 215.
1
0,1
n
n
n
aan
n 216. 0,
20
aa
tgan
n
n
217.
1
12 2
15
23
n
n
n
n 218.
13
2
1
1
n n
n 219. n
n nn
nn
12
2
952
576 220.
2ln)(ln
1
nnn
221.
1)1( )2(
12
nnnn
n
nn
n 222.
1
,;1
1
nb
a
Rban
n 223.
1
2
n
nen 224.
1
!
n
n
nn
n
225.
nn
n
n
1
)!2(
)!!12(
1
226.
1
1 0,ln
na
an227.
n
n
n
1
1
2
1)1(
228.
13 475
12arcsin
n nn
n 229.
1 5
1
nn n
230.
1 3
1)1(
nn
n
n
231.
12
21
1
23ln)1(
n
n
n
n 232.
1
2
)!2(
!
n n
n
233.
1
1
1)1(
2
n
nn
n
e 234.
14
4 1ln
n n
n 235.
12
1 )1(2)1(
n
nn
n
236.
1
0,!n
nn
an
na 237.
1
!3
nn
n
n
n 238.
1
12
13n
n
n
n 239.
1 )2)(1(
73
n nnn
n 240.
1
3
1
!)!2(
!)!12()1(
n
n
n
n
241.
1
2
)!1(
1
n n
nn 242.
1 !
23
n
nn
n
243.
1 2
1
nnn
244.
1
0,32
53
n
n aan
n 245.
1
2
!2n
n
n
n 246.
1 3
)12()1(
nn
n n 247.0,
)1)...(2)(1(
!
1
n n
n 248. 1,
1
1
aann
n
249.
1
1
11)1(
1)1(
n
n
nn
n 250.
1 )1()1(
1
n nnnn
251.
124 11
1
n nn
252.
1 )14(...1395
)35(...1272
n n
n 253. n
n
nnnn
1
22 5353 254.
12
2
0,3
3
2
n
n
n
aan
nn
255.
1
0,))(1(n
n
anann 256.
1
1
)2(...642
)12(...531)1(
n
n
n
n 257.
12
2
0,3
1
n
n
an
nna
258.
1
0;))...(2)(1(
))...(2)(1(
n
banbbbb
naaaa 259.
22 ln
1
n nn
260.
1
1
2
2
0,1
1
2
n
n
n
aan
nn 261. 10,1
lnln 2
aen
nna 262. 0,
43
43
111
aan
n
nnn
nn 263.
1
,;)1)...(12)(1(
)1)...(12)(1(
n
Rbanbbb
naaa