SERII NUMERICE

1.      Definitii

Fie sirul de numere reale:

Cu ajutorul lor sa formam sirul

Daca sirul   este convergent si are limita s atunci putem scrie

Se obisnuieste a se scie aceasta egalitate astfel:

                                                   (1)

Membrul doi al relatiei  (1) se numeste serie si operatia de adunare reprezentata de o infinitate de ori capata astfel un sens .

Rezultatul acestei operatii este un numar s numit suma seriei.

O serie se noteaza astfel:

  sau numai    

Numerele   se numesc termenii seriei, iar   se numesc sirul sumelor

partiale ale seriei   .

 Definitie: Spunem ca seria   este convergenta, divergenta sau oscilanta, dupa cum sirul sumelor

partiale   este convergent (are o limita), divergent (are o limita infinita), oscilant (nu are limita sau are mai multe puncte limita).

2. Conditia necesara si suficienta de convergenta a unei serii

           

Criteriul general al lui Cauchy: Pentru ca seria

sa fie convergenta este necesar si suficient ca la orice numar   sa existe un numar   astfel incat pentru

orice   si orice   sa avem

.

            Demonstratie: Aplicand sirului sumelor partiale   criteriul general al lui Cauchy stabilit la siruri

  pentru     si   ,

gasim:

din care rezulta imediat enuntul de mai sus.

Pentru  , pentru  , daca seria este convergenta avem urmatoarea teorema:

            Teorema: O conditie necesara ca seria   sa fie convergenta este ca sirul format cu termenii seriei sa fie convergent catre 0.

            Exemple:

1)      Seria   este divergenta, desi sirul termenilor sai   este convergent catre 0.

2)      Seria   este convergenta si sirul termenilor              este convergent catre 0.

3)      Sirul    este divergent. Sirul   este sirul sumelor partiale ale

seriei  , deci seria numita si serie armonica este divergenta  

4)      Sirul   este convergent. Prin urmare seria

              numita   si     seria     armonica      alternanta,     este

            convergenta.

           

Din teorema precedenta rezulta urmatoarea

            Consecinta: Daca sirul format cu termenii unei serii nu este convergent catre 0, seria nu este convergenta.

           

Exemplu:

            Seria   este divergenta deoarece termenul   cand  .

            Definitie: Se numeste restul seriei   si se noteaza cu   suma seriei urmatoare (daca exista):

            Studiul seriilor conduce la doua probleme, si anume:

-         stabilirea convergentei

-         calculul sumei (ultima problema este subordonata primei; vom incepe cu stabilirea criteriilor suficiente de convergenta).

 

3) Serii cu termini pozitivi

            Definitie: O serie   se numeste serie cu termeni pozitivi daca, incepand de la un rang N ,

toti termenii  , sunt strict pozitivi.

            Prin urmare, o serie cu termeni pozitivi are toti termenii strict pozitivi cu exceptia unui numar finit. Prin inlaturarea unui numar finit de termeni dintr-o serie nu se schimba natura seriei, ci numai suma ei. De aceea vom considera in cele ce urmeaza, serii in care toti termenii sunt strict pozitivi, deoarece concluziile privind convergenta sau divergenta lor sunt valabile si pentru seriile in care un numar finit de termeni sunt negativi.

            Sumele partiale ale unei serii cu termeni pozitivi formeaza un sir monoton crescator. Folosind rezultatele de la sirurile monotone, avem:

a)      criteriul monotoniei: daca sirul sumelor partiale

ale unei serii cu termini pozitivi   este marginit , atunci seria este convergenta iar daca este nemarginit seria este divergenta.

            b) criteriul comparatiei: fie  si  doua serii cu termini pozitivi. Daca exista un numar N astfel incat

pentru orice   si   atunci:

            - daca seria   este convergenta si seria   este convergenta;

            - daca seria   este divergenta si seria   este divergenta.

            c) criteriul radacinii sau criteriul lui Cauchy: fie o serie cu termini pozitivi  ; daca exista un numar N astfel

incat pentru orice   sa avem:

                                       seria este convergenta

                                       seria este divergenta

Demonstratie: din enunt rezulta ca pentru orice  ,  , si cum   urmeaza ca termenul general al seriei este mai mic decat termenul general al unei serii convergente (seria geometrica cu ratia mai mica decat 1) si,

conform primei teoreme a comparatiei, seria   este convergenta. In cazul al doilea,   si  , deci

seria   este divergenta. Pentru a aplica criteriul lui Cauchy unei serii date, calculam   (daca exista) si

daca  , seria este convergenta, iar daca   seria este divergenta. Intr-adevar, daca  , putem gasi un

numar   astfel incat  ;   fiind punct limita, rezulta ca exista un numar   astfel incat pentru

orice   avem:

adica   cu   si seria este convergenta. In cazul al doilea ,  , deci pentru   si   exista

un numar   astfel incat pentru orice   avem    sau    cu   si

seria este divergenta. In cazul cand   criteriul lui Cauchy nu se aplica.

            Exemplu: fie seria cu termenul general  

            Aplicam criteriul lui Cauchy:

deci, pentru   seria este convergenta iar pentru   seria este divergenta. Pentru  ,   seria este divergenta deoarece sirul termenilor seriei nu este convergent catre zero.

            d) criteriul raportului sau criteriul lui d'Alembert: fie seria cu termenii pozitivi  ; daca exista un

numar N astfel incat pentru orice   avem:

                                       seria este convergenta

                                       seria este divergenta

            Demonstratie: presupunem neegalitatile adevarate pentru  ; rezulta in primul caz:

Deci   si, cum  , dupa prima teorema a comparatiei, urmeaza ca

seria   este convergenta.

In cazul al doilea avem sirul de neegalitati:

Prin urmare,  ; insa  , deci seria minoranta a lui   este o

serie divergenta, deci si seria   este divergenta.

In practica se calculeaza   (daca exista); daca  , seria este divergenta; daca  , seria este

convergenta; daca  , criteriul nu se aplica.

            e) criteriul lui Kummer: fie seria termenilor pozitivi   Daca exista un sir de numere

pozitive   si un numar Nastfel incat pentru orice   avem:

                                      seria   este convergenta

                                      iar seria   este divergenta, atunci si   este divergenta.

Demonstratie: deoarece   neegalitatea a  se mai poate scrie astfel:

a

 dar

deoarece   si aplicand criteriul intai al comparatiei rezulta ca seria   este convergenta.

            f) criteriul lui Raabe si Duhamel: fie seria cu termini pozitivi  ; daca exista un numar N astfel incat pentru

orice   sa avem:

                                       seria   este convergenta

                                       seria   este divergenta

Demonstratie: in practica se calculeaza   (daca exista). Daca   seria este

convergenta; iar daca   seria este divergenta.

Criteriul lui Raabe si Duhamel se aplica, in general, in cazul in care criteriul D'Alembert nu duce la nici un rezultat.

4) Numarul e

Numarul e este definit fie ca suma a seriei:

1+                                        (1)

fie ca limita sirului

                                                      (2)

Sa consideram mai intai numarul e definit ca suma seriei (1). Seria (1) este convergenta deoarece, dupa criteriul raportului,

Daca notam:

si

rezulta ca  . Sa gasim o limita superioaraa erorii pe care o facem asupra lui e oprindu-ne la  primii   termeni; observam ca:

deci

       sau       r       cu         

Pentru   avem  ; deci, rezulta ca:  .

Exemplu: calculul lui e cu 15 zecimale exacte. Pentru aceasta trebuie sa calculam suma a 17 termeni:

                             (calculand toate rapoartele obtinute)

                        e

            5. Calculul sumei seriilor convergente

            5.1. Serii absolut convergente

Teorema: daca intr-o serie absolut convergenta se schimba ordinea termenilor, se obtine tot o serie absolut convergenta si cu aceasi suma.

Demonstratie: fie seria absolut convergenta

Pentru   exista un numar   astfel incat pentru orice   avem:

deci   , oricare ar fi p, q naturali.

            Putem alege numarul N astfel incat sa avem si  .

            Sa presupunem acum ca am schimbat ordinea termenilor intr-un mod oarecare. Fie noua serie astfel obtinuta:                

Exista un numar  , astfel incat pentru   toti termenii cuprinsi in   sa fie cuprinsi si in   unde   fiind

sumele partiale ale seriei  . Evident, suma   contine si alti termini decat cei continuti de  , insa toti vor fi de

rang superior lui N, fie ei U ; avem:

si din egalitatea evidenta:

avem si

,

deci   si   au aceasi limita s.

Teorema este valabila si pentru seriile cu termini pozitivi care sunt absolute convergente.

            5.2. Aproximarea sumei unei serii cu termini pozitivi

Unei serii cu termeni pozitivi

convergenta nu ii putem gasi totdeauna suma, ci ne multumim de multe ori cu o valoare aproximativa  , ce se obtine

insumand un numar p de termeni ai seriei, deci  .

Pentru a gasi o margine superioara a erorii pe care o facem asupra sumei s inlocuind-o cu  , trebuie sa gasim o

margine superioara a restului  . Aceasta margine superioara se obtine inlocuind seria care reprezinta pe   cu o serie majoranta, a carei suma se poate calcula usor.

            Sa presupunem ca seria data   indeplineste conditia  , incepand de la un

rang  ; avem

,

deci   si am gasit astfel o majoranta a restului seriei. Daca   si cerem ca  , din

conditia   putem determina numarul p.