matematici superioare

93
Marius PĂUN MATEMATICI SUPERIOARE 2008 – 2009 REPROGRAFIA UNIVERSITĂŢII “TRANSILVANIA” DIN BRAŞOV

Upload: alexandra-danci

Post on 25-Oct-2015

122 views

Category:

Documents


3 download

DESCRIPTION

Matematici superioare

TRANSCRIPT

Page 1: Matematici superioare

Marius PĂUN

MATEMATICI SUPERIOARE

2008 – 2009

REPROGRAFIA UNIVERSITĂŢII “TRANSILVANIA” DIN BRAŞOV

user
Rectangle
Page 2: Matematici superioare
Page 3: Matematici superioare

Cuprins

1 Elemente de analiza reala 51.1 Functiile transcendentale elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Aplicatii ale derivatelor si diferentialelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1 Probleme de optimizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.2 Viteze corelate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3 Serii numerice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.1 Criterii generale de convergenta pentru serii

numerice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.2 Criterii de convergenta pentru serii cu termeni pozitivi . . . . . . 261.3.3 Aplicatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.4 Serii de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4.1 Siruri si serii de functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4.2 Serii de functii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.4.3 Serii de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.4.4 Operatii algebrice pentru serii de puteri . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.5 Reprezentarea functiilor prinserii de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.5.1 Formula Taylor, formula Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.5.2 Serii Taylor, serii Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.5.3 Aplicatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.5.4 Interpolarea functiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2 Elemente de Geometrie Analitica si Diferentiala 432.1 Suprafete riglate si suprafete de rotatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2 Cuadrice pe forma redusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.2.1 Sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.2.2 Suprafete algebrice de gradul al doilea . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2.3 Elipsoidul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.2.4 Hiperboloidul cu o panza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.2.5 Hiperboloidul cu doua panze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.2.6 Paraboloidul eliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2.7 Paraboloidul hiperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2.8 Regula lui Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.3 Curbe plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.3.1 Reprezentarea analitica a curbelor plane . . . . . . . . . . . . . . . 552.3.2 Element de arc de curba. Lungimea unui arc de curba . . . . . . . 572.3.3 Tangenta si normala la o curba plana . . . . . . . . . . . . . . . . 602.3.4 Segmente tangenta, normala, subtangenta, subnormala . . . . . . . 622.3.5 Contactul dintre doua curbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.3.6 Curbura curbelor plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.3.7 Reper Serret-Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.3.8 Concavitatea unei curbe plane, sens direct de parcurgere . . . . . . 67

3

Page 4: Matematici superioare

4 CUPRINS

2.3.9 Infasuratoarea unei familii de curbe plane . . . . . . . . . . . . . . 682.3.10 Evoluta si evolventa unei curbe plane . . . . . . . . . . . . . . . . 692.3.11 Curbe plane remarcabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3 Elemente de algebra liniara 793.1 Spatii vectoriale reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.1.1 Spatii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.1.2 Subspatii vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.1.3 Baza si dimensiune a unui spatiu vectorial . . . . . . . . . . . . . 833.1.4 Produs scalar, norma, metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.2 Aplicatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.2.1 Elemente de teoria aproximarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.2.2 Dreapta de regresie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.2.3 Rezolvarea sistemelor supradeterminate . . . . . . . . . . . . . . . 91

Page 5: Matematici superioare

Capitolul 1

Elemente de analiza reala

Obiective:Acest capitol se bazeaza pe cunostintele dobandite ın timpul ciclului preuni-versitar ale carui instrumente matematice sunt perfectionate si imbogatite. Studentul vatrebui sa poata utiliza in finalul studiului acestui capitol notiunile urmatoare:

1. functie logistica, pe baza careia sa poata elabora modele simple evolutioniste,

2. principii geometrice de optimizare

3. aproximare polinomiala a functiilor (calcul de erori)

4. interpolare a functiilor tabelare

1.1 Functiile transcendentale elementare

Functiile elementare pe care le utilizam ın aplicatii se pot clasifica ın patru categorii :

1. functii polinomiale

2. functii rationale, obtinute ca raport de functii polinomiale

3. functii algebrice, formate cu expresii polinomiale, rationale si expresii care continradicali de diverse ordine din astfel de functii

4. functii transcendentale, cele care nu pot fi catalogate ıntre cele din categoriile an-terioare.

Modelarea matematica a fenomenelor concrete implica, ın general, utilizarea functiilortranscendentale. Cele mai importante astfel de functii sunt: functiile trigonometrice(circulare, modeleaza oscilatiile) si inversele lor, functiile exponentiale si cele logaritmice(modeleaza problemele legate de evolutia unei specii, fara interdependenta cu altespecii, sau problemele legate de evolutii financiare), functiile hiperbolice (cu aplicatiiın mecanica firelor suspendate), functiile logistice (cele care descriu evolutia unei speciiın raport cu conditiile oferite de mediul ınconjurator, modelare ecologica). Majoritateaacestor functii au fost studiate ın scoala elementara. Pentru acestea vom face doar orecapitulare a definitiilor, proprietatilor si a aplicatiilor.

I. Functiile trigonometriceI.1 Functiile sinus si cosinus

Definitia 1.1.0.1 Fie xOy un sistem de coordonate cartezian ın plan, si cercul (C) :x2 + y2 = 1, centrat ın origine si de raza 1. Pe acest cerc consideram punctul fix A(1, 0)si sensul pozitiv de parcurgere al cercului ca fiind cel invers deplasarii acelor de ceasornic.Pozitia unui punct oarecare M pe acest cerc este precizata daca se cunoaste lungimea sa arcului AM . Definim masura ın radiani a unghiului la centru AOM ca fiind s radiani.Coordonatele punctului M(xs, ys), care depind de s , vor fi xs = cos s, ys = sin s

5

Page 6: Matematici superioare

6 CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE ANALIZA REALA

Observatia 1.1.0.1 a) In sectiunea de analiza, daca nu se specifica altfel, unghiurilese considera ca fiind masurate ın radiani. Tot cercul are 2π radiani. Pe un cerc deraza r, un arc de lungime s corespunde unui unghi t = s

r .b) Functiile sin si cos se numesc circulare pentru ca reprezinta coordonatele unui punctde pe un cerc unitar.

Reamintim cateva proprietati ale acestor functii:- sunt functii periodice, cu perioada 2π- sinusul este functie impara iar cosinusul functie para- domeniul principal de definitie pentru sin este

[−π2 ,

π2

]. Restrictia functiei pe acest

domeniu este strict crescatoare.- domeniul principal de definitie pentru functia cosinus este [0, π]. Restrictia functiei peacest domeniu este strict descescatoare.- daca avem pe cerc punctele Ps si Qt, corespunzatoare arcelor s si t, iar P si Q suntsimetrice fata de prima bisectoare atunci sin t = cos s si cos t = sin s- daca avem pe cerc punctele Ps si Qt, corespunzatoare arcelor s si t, iar P si Q suntsimetrice fata de axa Ox atunci sin t = − sin s si cos t = cos s- daca avem pe cerc punctele Ps si Qt, corespunzatoare arcelor s si t, iar P si Q suntsimetrice fata de axa Oy atunci sin t = sin s si cos t = − cos s

figura 2 de la sin cos

Valoarea raportului |MP ||OM | este sinusul unghiului POM , iar valoarea raportului |OP ||OM |

este cosinusul unghiului POM .Cu notatiile uzuale, daca a, b, c sunt laturile triunghiului ABC, p este semiperimetrulsau, R raza cercului circumscris, r raza cercului ınscris, ma mediana corepunzatoare luia si S este aria triunghiului, reamintim si principalele cazuri de rezolvare a triunghiurilor:

Date Necunoscute RezolvareA=90o,b,c a,B,C,S tgB = b

c , tgC = cb

a =√b2 + c2, S = bc

2A=90o,a,b c,B,C,S sinB = b

a , cosC = ba

c =√a2 − b2, S = ab sinC

2A=90o,B,a b,c,C,S C=90o −B, b = a sinB

c = a sinC, S = 14a

2 sin 2B

A=90o,B,b a,c,C,S C=90o-B, a = bsinB

c=b tg C, S = 12b

2ctgB

Page 7: Matematici superioare

1.1. FUNCTIILE TRANSCENDENTALE ELEMENTARE 7

Date Necunoscute RezolvareB,C,a A,b,c,S A=180o-(B+C), b = a sinB

sinA

c = a sinCsinA , S = ab sinC

2A,B,a C,b,c,S C=180o-(A+B), b = a sinB

sinA

c = a sinCsinA , S = a2 sinA sinB

2 sinAa,b,C c,B,C,S tgA−B

2 = a− ba+ b

ctgC2 , A+B = 180o − C

ca sinCsinA , S = ab sinC

2

a,b,c A,B,C,S cos A2 =

√p(p− a)

bc, cos B2 =

√p(p− b)ac

cos C2 =

√p(p− c)ab

,

S =√p(p− a)(p− b)(p− c)

Studiem separat cazul ın care se dau a, b, A si se cer c,B,C, S.Din teorema sinusurilor avem

sinB =b sinAa

.

Pentru ca problema sa fie posibila, trebuie sa avem sinB ≤ 1, adica, a ≥ b sinA.Daca avem egalitate, atunci, triunghiul este dreptunghic ın B si avem o singura solutieC = 90o −A, c2 = b2 − a2, S = ac

2 .In cazul inegalitatii stricte, avem de studiat trei cazuri:

1. pentru A < 90o avem doua posibilitati.- Daca a < b atunci avem doua solutii. Din sinB = b sinA

a obtinem doua valoripentru B si anume B1 si 180o −B1, ambele convenabile.C1 = 180o − (A+B1), C2 = B1 −A, c = b cosA±

√a2 − b2 sin2A

si , la fel, avem doua valori pentru S. S = bc sinA2

- Daca a ≥ b avem o singura solutie. B < 90o, C = 180o − (A + B), c = a sinCsinA ,

S = bc sinA2

2. A = 90o, atunci:-Daca a > b avem o singura solutie. B < 90o, C = 180o − (A + B), c = a sinC

sinA ,

S = bc sinA2

-Daca a ≤ b nu avem solutie.

3. pentru cazul A > 90o

-Daca a > b avem o singura solutie. B < 90o, C = 180o − (A + B), c = a sinCsinA ,

S = bc sinA2

-Daca a ≤ b nu avem solutie.

Pe langa aplicatiile legate de rezolvarea triunghiurilor, functiile trigonometrice circu-lare prezinta importanta si pentru faptul ca, prin intermediul lor, se poate face descriereamiscarilor armonice simple. Se numesc miscari armonice simple acele miscari care depindperiodic de un parametru temporal. In afara miscarilor oscilatorii simple (pendul, cablususpendat, pod suspendat), functiile trigonometrice sinus si cosinus pot descrie modele deoscilatie ın jurul unui punct de echilibru pentru un sistem biologic. Modificarea starilor,astfel ıncat conditiile de echilibru sa nu mai fie satisfacute, conduce la aparitia unor ”forte

Page 8: Matematici superioare

8 CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE ANALIZA REALA

corectoare” care vor ımpinge sistemul ınapoi spre starea de echilibru. Exemplul clasiceste cel al echilibrului unei populati biologice ın raport cu rezervele de hrana. Un modelmai complicat este cel de tip ”prada -pradator”. Intr-un sistem biologic ınchis, limitatsi independent, convietuiesc doua specii A si B. Specia B, numita specie pradator, sehraneste numai cu indivizii speciei A, prin actiuni de prada si numai la ıntalniri individ-individ, ıntalniri ce dau rata de contact. Specia A, numita prada, se hraneste cu resurselocale ale sistemului. Inchiderea si independenta sistemului presupun ca evolutia speci-ilor este naturala, fara accidente majore, (epidemii, conditii meteo dezastruoase, etc...).Modelul a fost conceput de d’Ancona (1921), exprimat matematic de Voltera (1931) sicercetat pe o reactie chimica ideala de Lota (1925). Comportarile celor doua populatiipot fi modelate cu functii de tipul

y = y0 +A sinωt+A cosωt

sau, echivalenty = y0 +R sin(ω(t− t0)).

Marimile A, B, R, t0 implicate ın cele doua relatii sunt legate prin:

R = A2 +B2, tgωt0 = −AB, A = R cosωt0, B = −R sinωt0

R se va numi amplitudinea miscari, T = 2πω se va numi perioada a miscarii, 1

T senumeste frecventa.

II. Functia exponentiala si functia logaritmica.

Problemele practice care au ca scop modelarea fenomenelor legate de evolutia nu-merica a unei ”populatii”, pe care o putem considera izolata sau ın competitie cualta populatie, problemele legate de cresterea dimensionala a unui ”individ” ıntr-o populatie,problemele legate de dobanzi sunt doar cateva exemple ın care sunt implicate functiide tip exponentiala sau cele logaritmice. Reamintim, pe scurt, principalele cunostinte,dobandite ın liceu, despre aceste functii.Pentru a > 0 si a 6= 1 fixat, definim functia exponentiala ın baza a ca pe o prelungireprin continuitate a functiei ar, r ∈ Q. Stim ca orice numar irational poate fi obtinut calimita unui sir de numere rationale. Atunci, ne putem defini, pe rand,

a0 = 1, an = a · a · ... · a︸ ︷︷ ︸n ori

, a−n =1an, a

mn = n

√m, (n ∈ N,n ≥ 2, m ∈ Z)

iar pentru x ∈ R \Q, considerand un sir oarecare de numere rationale (xn)n∈N , xn → x,

ax = limn→∞

axn .

Obtinem astfel o functie, pe care o notam expa sau ax, cu proprietatile:- ax : R→ R∗+ este bijectiva

- pentru a > 1 functia este strict crescatoare, limx→−∞

= 0, limx→∞

= ∞

- pentru a ∈ (0, 1) functia este strict descrescatoare si avem:lim

x→−∞= ∞, lim

x→∞= 0

- graficele a doua functii exponentiale au ın comun numai punctulA(0, 1)

- ax+y = axay, (ax)y = axy, (ab)x = axbx Sa consemnam o proprietate importanta alui ex

Page 9: Matematici superioare

1.1. FUNCTIILE TRANSCENDENTALE ELEMENTARE 9

Propozitia 1.1.0.1 Functia ex este singura functie cu proprietatea ca valoarea ei ıntr-un punct este egala cu aria subgraficului ei pana la acel punct.

Se demonstreaza ca, daca functia continua f : R∗+ → R are proprietatea

f(xy) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R∗+atunci f este o functie logaritmicaSa dam cateva aplicatii ale functiilor exponentiale silogaritmice.

A. Probleme de tip evolutionistO problema de tip evolutionist, se numeste determinista daca atat evolutia anterioara catsi evolutia ulterioara pot fi unic determinate de starea actuala a sistemului descrisde problema. Multimea tuturor starilor posibile ale sistemului se numeste spatiu alstarilor. Un astfel de sistem se spune ca este finit dimensional daca spatiul starilor esteunul finit dimensional. Daca schimbarile de stare ale procesului sunt descrise de functiidiferentiabile , atunci sistemul evolutionist spunem ca este diferentiabil. Studiul specifical acestor procese dinamice nu constituie obiectul acestui capitol. Acest studiu se va facedetaliat cand se vor studia ecuatiile diferentiale. Vom pune doar ın evidenta caracteri-zarea solutiilor prin intermediul functiilor exponentiale si logaritmice.

Un prim exemplu este dat de procesul de reproducere a bacteriilor ıntr-un mediude cultura suficient de bogat. Spatiul starilor este de dimensiune unu si procesul estediferentiabil. Procesul este similar cu cel al dezvoltarii unei specii ıntr-un areal bogat ınhrana, daca dezvoltarea nu este influentata de interactiunea cu o alta specie sau de ocalamitate. Spatiul starilor este de dimensiune unu pentru ca rata cresterii populatieieste dependenta doar de marimea populatiei la un moment dat. Daca y este variabilacare descrie numarul indivizilor din specie, atunci acest numar, la momentul de timp t,va fi y(t). Rata cresterii va fi data de raportul dintre variatia lui y si variatia lui t,

adica y(t+ ∆t)− y(t)∆t . Apare fireasca trecerea la limita lim

∆t→0

y(t+ ∆t)− y(t)∆t = dy

dt.

Obtinem astfel relatiile care caracterizeaza procesul

(1)dy

dt= ky si y(0) = y0

unde k este o constanta de proportionalitate. Pentru k pozitiv avem un proces evolutiviar pentru k negativ avem unul involutiv.Din modul de definire a functiei ex se observa ca, oricare ar fi constanta C ∈ R, functiay(t) = Cekt verifica ecuatia diferentiala de caracterizare a procesului. Ambele relatiidin (1) sunt verificate daca luam C = y0. Atunci procesul descris diferential prin (1) estemodelat de functia

(2) y = y0ekt.

Dam un exemplu numeric: O populatie de daunatori are, la momentul 0, 500 deindivizi, iar dupa 15 zile, populatia ajunge la 1000 de indivizi. Stiind ca cresterea esteproportionala cu numarul indivizilor, determinati populatia dupa 20 de zile si, apoi,numarul de zile necesar pentru a ajunge la 2000 de indivizi.

Fie y0 = 500, populatia la momentul 0. Alegem ziua ca unitate de masura pentru tsi atunci y(15) = 1000. Ecuatia de crestere o avem sub forma

y(t) = y0ekt.

Atunciy(15) = 1000 = 500e15k,

deci 15k = ln2, de undey(t) = 500(2)

t15 .

Dupa 20 de zile avemy(20) = 500(2)

2015 ≈ 1260.

Dublarea populatiei, de la 1000 la 2000 de indivizi se va face dupa t = 30 de zile.

Page 10: Matematici superioare

10 CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE ANALIZA REALA

Propozitia 1.1.0.2 Modelul de crestere exponentiala are proprietatea ca perioada dedublare a populatiei este fixa.

Demonstratie: Fie T timpul dupa care populatia se dubleaza. y(T ) = y0ekT = 2y0.

Atunci ekT = 2 si, ın general,

y(t+ T ) = y0eK(t+T ) = y0e

ktekT = 2y(t).

Cateodata, problemele de tip evolutionist depind de o marime ce evolueaza proportionalcu diferenta dintre ea si o constanta data, respectand, deci, legea

dy

dt= k(y − a).

Considerarea unei noi functii u(t) = y(t) − a conduce la reducerea problemei la ceaanterioara.

Exemplu. Un obiect, care are temperatura 20oC, este introdus ıntr-o camera frig-orifica la −20oC. Daca obiectul se raceste pana la 3oC ın 5 minute, ın cate minuteajunge la −5oC. In cazul aceleiasi constante de proportionalitate, care trebuie sa fietemperatura din camera frigorifica pentru ca obiectul sa ajunga la −5oC ın 5 minute?

Conform cu legea de racire a lui Newton, un obiect cald introdus ıntr-un mediude racire, va pierde temperatura proportional cu diferenta dintre temperatura mediuluiambiant si temperatura lui. Unitatea de masura pentru t vor fi minutele. Avem, ın cazulnostru, temperatura initiala y0 = 20oC, temperatura mediului a = −20oC, temperaturaobiectului dupa 5 minute y(5) = 3oC. Legea lui Newton ne da dy

dt= k(y− a). Efectuam

schimbarea de functie u(t) = y(t) − a si legea devine dudt

= ku cu solutia u(t) = u0ekt.

In conditiile problemei,

u0 = y0 − a = 40, u(5) = y(5)− a = 23 = 40e5k.

De aici 5k = ln(

2340

)si

u(t) = y(t)− a = 15 = 40eln( 23

40 ) t5 .

Obiectul se va raci pana la −5oC ın t ≈ 8, 86 minute.Raspunsul la cea de-a doua ıntrebare ıl obtinem folosind rezultatul 5k = ln

(2340

)si

rezolvand ecuatia y(5)− a = (y0 − a)e5k, adica

−5− a = (20− a)e5k, de unde a =20e5k + 5e5k − 1

≈ −38, 82oC

O alta functie importanta construita cu ajutorul functiei exponenti-ale este solutiagenerala a ”ecuatiei logistice”. Aceasta ecuatie este propusa de Verhulst pentru adescrie evolutia unei populatii ıntr-un model dependent atat de restrictii de spatiu cat side restrictii de hrana. Este cel mai simplu model care studiaza evolutia unei populatii ceare y0 indivizi la momentul 0, luand ın considerare conditiile de mediu, rata natalitatiisi cea a mortalitatii. Modelul diferential este dat prin ecuatia

dy

dt= λ

(1− y

k

)unde constanta k > 0 se numeste ”capacitate portanta” (de alimenta-tie a populatiei),λ = nk − m este rata intrinseca de crestere, iar m si n sunt constantele caracteris-tice (indici) ale natalitatii si mortalitatii. Solutia particulara definita de conditiainitiala y(0) = y0 va fi data de ”curba logistica”

y =k

1 + k − y0y0 e−λt

,

curba ce are comportari diferite pentru cazurile y0 < k, y0 = k si y0 > k.

Page 11: Matematici superioare

1.1. FUNCTIILE TRANSCENDENTALE ELEMENTARE 11

Observatia 1.1.0.2 1. Dezvoltarea unui arbore respecta o curba de tip logistic.

2. Curbele logistice descriu destul de bine viitorul evolutiei populati-ei (t > 0) (ın lipsaunor calamitati) dar trecutul (t < 0) este relativ incert.

3. In practica coeficientii k, λ, m, n nu sunt constanti iar variatia lor modifica as-pectul curbei logistice, modificand conditiile de echilibru.

Exemplu: Consideram o familie de arbori. Unitatea de masura pentru timp o consideramun an. Un arbore reprezentativ din familie are la momenul 0 ınaltimea 3m, dupa un anare 5m iar dupa ınca un an are 6m. Determinati ınaltimea limita aproximativa pentruarborii ajunsi la maturitate deplina precum si rata intrinseca de crestere. (presupunemca evolutia respecta un model evolutionist Verhulst).Solutie: Trebuie sa determinam parametrii modelului cunoscand trei valori ale lui ysi anume y(0) = 3, y(1) = 5, y(2) = 6. Curba logistica are ecuatia

y(t) =3k

3 + (k − 3)e−λt.

Diny(1) = 5 =

3k3 + (k − 3)e−λ

si

y(2) = 6 =3k

3 + (k − 3)e−2λ

rezulta(1) e−λ =

3k − 155(k − 5)

, si e−2λ =3k − 186(k − 3)

.

Eliminand λ si tinand cont ca avem k 6= 3 rezulta ecuatia din care determinam pe k

22k2 − 225k + 375 = 0.

Solutia convenabila este cea ın care k > y0 = 3 deci

k ≈ 8, 5m.

Din (1), folosind valoarea lui k determinata, rezulta rata intrinseca de crestere ca fiind

λ = −ln(

3k − 155(k − 3)

)≈ 1, 302.

B. Probleme de calculul dobanzilorO alta importanta aplicatie a functiei exponentiale este cea legata de calculul

dobanzilor.Avand depusa la banca o suma S ıntr-un depozit la termen, cu dobanda d % pe an, cucapitalizare, dupa un an vom avea urmatoarele situatii:

- pentru termen de depozit un an, la calculul dobanzii depozitul nostru va aveavaloarea S1 = S

(1 + d

100

);

- pentru un termen de depozit de sase luni, calculul pe un an al dobanzii se faceastfel: o data dupa sase luni cu procentul d1 = d

2 , se capitalizeaza dobanda, se

obtine S′ = S(1 + d1

100

). La aceasta suma, dupa alte sase luni, se aplica iar

procentul de dobanda d2 = d2 . Se obtine astfel pentru depozit valoarea S2 =

S′(1 + d2

100

). Un calcul simplu ne arata ca

S2 = S

(1 +

d

2 · 100

)2

Page 12: Matematici superioare

12 CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE ANALIZA REALA

- rationand similar rezulta ca pentru termenul de capitalizare de o luna dupa unan valoarea depozitului este

S3 = S

(1 +

d

12 · 100

)12

- daca tinem cont de faptul ca

ex = limn→∞

(1 +

x

n

)n

rezulta ca, pentru un calcul continuu al dobanzii, dupa un an, ar trebui sa avem

S4 = S · e d100 .

Un simplu calcul numeric ne va lamuri diferentele.Fie S = 1.000.000.000 si d = 14, atunci:

S1 = 1.114.000.000, S2 = 1.144.900.000,

S3 = 1.149.342.029, S4 = 1.150.273.799

Observam ca un depozit cu termen de o luna cu dobanda 14% pe an este echivalentcu un depozit cu termen de un an si dobanda d = 15%.

III. Functiile hiperbolice

Definitia 1.1.0.2 Pentru orice x ∈ R definim cosinusul hiperbolic si sinusul hiperbolicprin:

chx =ex + e−x

2, shx =

ex − e−x

2.

Din modul de definire, cele doua functii hiperbolice verifica urmatoarele formule:

ch2x− sh2x = 1;

ch0 = 1, sh0 = 0, ch(−x) = chx, sh(−x) = −shx;(chx)′ = shx, (shx)′ = chx;

ch(x+ y) = chx chy + shx shy; sh(x+ y) = shx chy + chx shy;

ch2x = ch2x+ sh2x = 1 + 2sh2x = 2ch2x− 1;

sh2x = 2shx chx.

Prin analogie cu functiile trigonometrice, putem defini alte patru functii hiperbolice

th x =sh x

ch x=ex − e−x

ex + e−x , cth x =ch x

sh x=ex + e−x

ex − e−x

sech x =2

ex + e−x =1ch x

, cosh x =2

ex − e−x =1sh x

ca si inversele lor

ash : R→ R, ash x = sh−1 x = ln(x+

√x2 + 1

)ach : [1,∞) → [0,∞), ach x = ch−1 x = ln

(x+

√x2 − 1

)ath : (−1, 1) → R, ath x = th−1x =

12ln

(1 + x

1− x

)

Page 13: Matematici superioare

1.2. APLICATII ALE DERIVATELOR SI DIFERENTIALELOR 13

1.2 Aplicatii ale derivatelor si diferentialelor

Multe dintre problemele practice din fizica, economie, biologie, sociologie, ısi pot gasisolutii cu ajutorul aparatului matematic pus la dispozitie de calculul diferential. In acestparagraf ne vom ocupa de cele mai simple tipuri de acest fel de probleme:

- determinarea maximului sau minimului unei entitati dependenta de o singura vari-abila, cel mai simplu tip de probleme de optimizare

- probleme de viteze relative ın care, pornind de la cunoasterea vitezelor de evolutieindependenta a doua entitati aflate ıntr-o anumita relatie, se determina vitezarelativa de evolutie a lor.

1.2.1 Probleme de optimizare

Determinarea punctelor de extrem pentru o functie de tip Rolle, continua pe un intervalınchis [a,b] si derivabila pe (a,b), este, din punct de vedere teoretic, complet rezolvata.Sa reamintim, pe scurt, notiunile, studiate la liceu, si care contribuie la determinareaacestor puncte.

Definitia 1.2.1.1 Fie f : [a, b] → R.

1. spunem ca x0 este un punct de maxim absolut pentru functia f daca f(x) ≤ f(x0)oricare ar fi x ∈ [a, b];

2. spunem ca x1 este un punct de minim absolut pentru functia f daca f(x) ≥ f(x1)oricare ar fi x ∈ [a, b];

3. x2 ∈ (a, b) este un punct de maxim relativ daca exista o vecinatate V al lui, astfelıncat, f(x) ≤ f(x2) oricare ar fi x ∈ V ;

4. x3 ∈ (a, b) este un punct de minim relativ daca exista o vecinatate V al lui, astfelıncat, f(x) ≥ f(x2) oricare ar fi x ∈ V .

Observatia 1.2.1.1 O situatie speciala este cea a punctelor a si b, capetele domeniuluide definitie a functiei f .Putem prelungi notiunea de extrem local si la ele astfel : - un punct xn este punct deminim (maxim) local pentru f daca exista o vecinatate V a lui xn astfel ıncat f(x) ≥(≤)f(xn) ∀x ∈ V

⋂[a, b].

O abordare superficiala ar conduce la concluzia ca, ın acest caz, punctele a si b suntmereu puncte de extrem local. In general asa se ıntampla, dar exista si functii care facexceptie. Iata un exemplu de astfel de functie

f : [0, 1] → R, f(x) ={x sin 1

x x 6= 00 x = 0

Pentru f punctul 0 nu este nici punct de maxim local si nici punct de minim local.

Astfel, o functie poate avea cel mult o valoare de maxim (minim) absolut, pe care opoate lua, eventual, ın mai multe puncte din domeniul de definitie. Functia poate aveaınsa mai multe valori de extrem local. Un punct ın care functia are un extrem local poatefi inclus ın una dintre cele trei categorii care urmeaza:

- a sau b, capetele domeniului de definitie

- puncte critice (functia este derivabila ın ele si derivata este nula

- puncte singulare (unde derivata nu exista)

Page 14: Matematici superioare

14 CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE ANALIZA REALA

Teorema 1.2.1.1 O functie continua, definita pe un interval ınchis si marginit, estemarginita si ısi atinge marginile.

Teorema 1.2.1.2 (Fermat)Daca f este o functie Rolle pe [a, b] si x0 ∈ (a, b) este unpunct de extrem local atunci f ′(x0) = 0.

Teorema 1.2.1.3 (Rolle) Daca f este o functie Rolle pe [a, b] si f(a) = f(b) atunciexista un punct c ∈ (a, b) astfel ıncat f ′(c) = 0.

Teorema 1.2.1.4 (Consecinte ale teoremei Rolle) Fie f o functie Rolle pe [a, b]. Atunci:

- ıntre doua radacini consecutive ale ecuatiei f(x) = 0 exista o radacina a ecuatieif ′(x) = 0;

- ıntre doua radacini ale ecuatiei f ′(x) = 0 s-ar putea sa existe o radacina aecuatiei f(x) = 0;

- ıntre doua radacini consecutive ale ecuatiei f(x) = 0 exista o radacina a ecuatieif ′(x) + λf(x) = 0 ∀λ ∈ R.

Teorema 1.2.1.5 (Lagrange) Daca f este o functie Rolle pe [a, b] atunci exista unpunct c ∈ (a, b) astfel ıncat

f(b)− f(a)b− a

= f ′(c).

Teorema 1.2.1.6 Fie f : [a, b] → R, continua pe [a, b] si derivabila pe (a, x0)⋃

(x0, b).

- Daca exista un interval (α, β) ⊂ [a, b] astfel ıncat x0 ∈ (α, β) , f ′(x) < 0 ∀x ∈(α, x0) si f ′(x) > 0 ∀x ∈ (x0, β), atunci x0 este un punct de minim local al lui f .

- Daca exista un interval (α, β) ⊂ [a, b] astfel ıncat x1 ∈ (α, β) , f ′(x) > 0 ∀x ∈(α, x1) si f ′(x) < 0 ∀x ∈ (x1, β), atunci x1 este un punct de maxim local al lui f .

Teorema 1.2.1.7 Daca f este o functie Rolle pe [a, b] si exista un punct x0 ın carederivata se anuleaza si ısi schimba semnul, atunci punctul x0 este un punct de extremlocal al lui f .

Teorema 1.2.1.8 Fie f o functie de doua ori derivabila pe (a, b).

- Daca f ′(x0) = 0 si f ′′(x0) > 0 atunci x0 este un punct de minim local.

- Daca f ′(x1) = 0 si f ′′(x1) < 0 atunci x1 este un punct de maxim local.

Multe din problemele de optimizare au un caracter geometric iar rezolvarea lor poatefi redusa la rezolvarea unei probleme de geometrie. De aceea este necesar sa enuntamsi cateva principii geometrice de extrem. Aceste principii sunt usor de demonstratsau cel putin de justificat prin metode geometrice, pentru ca este suficienta studiereavariatiunilor unor figuri geometrice cunoscute. Aceste principii se refera ın general ladoua variabile pozitive dependente ıntr-un anumit mod una de cealalta, dar, unele, potfi prelungite la cazul mai multor variabile.

1. Daca suma a doua marimi pozitive este constanta, atunci produsul lor este maximcand cele doua marimi sunt egale.Exemplu: Dreptunghiul, de perimetru constant 4l si de arie maxima, este patratulde latura l.

2. Daca produsul a doua marimi pozitive este constant, atunci suma lor este minima daca celedoua marimi sunt egale.Exemplu: Dreptunghiul de arie s2 si de perimetru minim este patratul de latura s.

Page 15: Matematici superioare

1.2. APLICATII ALE DERIVATELOR SI DIFERENTIALELOR 15

3. Daca suma patratelor a doua marimi pozitive este constanta, atunci produsul loreste maxim cand marimile sunt egale.Exemplu: Triunghiul dreptunghic de ipotenuza constanta a si de arie maxima este

triunghiul dreptunghic isoscel de cateta a√

22 .

4. Daca produsul a doua marimi pozitive este constant, atunci suma patrate-lor loreste minima daca cele doua marimi sunt egale.Exemplu: Triunghiul dreptunghic de arie data s2 si de ipotenu-za minima estetriunghiul ale carui catete au lungimea s.

5. Daca o combinatie liniara de doua marimi pozitive este constanta atunci pro-dusul celor doua marimi este maxim cand ele sunt proportionale cu inverselecoeficientilor lor de combinatie.Exemplu: Fie ABCD un dreptunghi fix. Construim ın exterior dreptunghiurileCDEF , DGHA. Daca suma ariilor acestor trei dreptunghiuri este constanta,determinati pozitia punctului P , cel de al patrulea varf al dreptunghiului FBHPastfel ıncat aria sa sa fie maxima.

Solutia acestei probleme este data de cazul ın care ariile dreptunghiurilor DGHAsi CFED sunt egale.

6. Daca o combinatie liniara de doua marimi pozitive este constanta, atunci sumapatratelor celor doua marimi este minima cand ele sunt proportionale cu in-versele coeficientilor lor de combinatie.

7. Daca produsul a doua marimi pozitive x si y este constant atunci expresia ax+bycu a, b > 0 este minima daca variabilele x si y sunt pro-portionale cu inverselecoeficientilor lor de combinatie, adica ax = by.

Exemplu: Fie ABCD un dreptunghi fix. Construim ın exterior dreptunghiurileCDEF , DGHA. Daca suma ariilor acestor trei dreptunghiuri este constanta,atunci distanta dintre punctele E si G este minima daca ariile dreptunghiurilorDGHA si CFED sunt egale.

Asa cum am mai mentionat, aceste principii pot fi prelungite si la cazul ın careavem de a face cu mai multe variabile, iar o eventuala prelungire se face con-siderand, pe moment, una sau mai multe dintre aceste variabile ca fiind constante,astfel ıncat problema sa se reduca la una cu doua variabile legate. Pentruaceasta configuratie se deduce un extrem relativ, dupa care se determina extremeleproblemei ın care sunt implicate toate variabilele considerate.

Exemplu:Sa se ınscrie ıntr-un semicerc un patrulater de arie maxima si caresa aiba una dintre laturi diametrul cercului.

Fie ABCD patrulaterul ınscris ın semicercul de diametru AB. Presupunem ca amdeterminat pozitia punctului C, adica segmentul BC este constant. In acesteconditii patrulaterulABCD are arie maxima daca triunghiulACD are arie maxima.Acest lucru se ıntampla daca punctul D este mijlocul arcului CA. Rationand sim-ilar rezulta ca arcele BC, CD si DA trebuie sa fie egale.

Putem astfel enunta ınca patru principii geometrice de extrem

8. Un produs de trei factori, a caror suma este constanta, este maxim daca cei treifactori sunt egali ıntre ei.

9. Suma a trei termeni, al caror produs este constant, este minima cand cei treitermeni sunt egali.

Page 16: Matematici superioare

16 CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE ANALIZA REALA

10. Daca doua marimi, x si y, au o suma constanta, atunci produsul xnyk estemaxim daca marimile sunt proportionale cu puterile lor i.e. xy = n

k.

11. Reciproc, daca produsul xnyk este constant, atunci suma marimilor x si y esteminima daca marimile sunt proportionale cu puterile lor i.e. xy = n

k.

Sa dam si doua exemple de aplicare a acestor principii:- Care sunt dimensiunile unui paralelipiped dreptunghic de arie totala 2a2 si de volummaxim ?Fie x, y, z cele trei laturi si V = xyz volumul paralelipipedului. Aria totala va fi2a2 = 2(xy + xz + yz). Daca x, y sunt laturile bazei atunci semiaria laterala va fiz(x + y). Consideram ca aria bazei, xy, este constanta. Atunci si aria laterala este

constanta. Inaltimea, z, o obtinem ca z = a2 − xyx+ y . Ea este deci invers proportionala cu

suma x+y, adica va fi maxima cand aceasta suma va fi minima. Acest lucru se obtinepentru x = y caci xy este constant. De aici, rezulta ca, baza paralelipipedului trebuiesa fie un patrat. Rationam la fel pentru orice fata, de unde rezulta ca volumul maximıl obtinem pentru un cub.

Care este volumul maxim al unei cutii de forma paralelipiped dreptunghic fara capacastfel ıncat aria sa sa fie o constanta a2.Observam ca, daca avem un paralelipiped dreptunghic de arie 2a2 pe care ıl sectionamın doua parti egale cu un plan paralel cu bazele, obtinem doua cutii identice cu ceaceruta de problema. Paraleli-pipedul dreptunghic de arie data si volum maxim este

cubul care, ın conditiile problemei noastre, va avea latura√

2a2

6 adica x = a√3. Cutia

va avea, deci, laturile bazei x = y = a√3

si ınaltimea egala cu jumatate din latura bazei,

adica, z = a2√

3.

Dupa prezentarea acestor metode geometrice pentru rezolvarea unor probleme deextrem, sa revenim la cazul functiilor reale definite pe un interval real. Consideramcazul ın care, pornind de la o problema practica, pentru care se cere determinarea uneisolutii optime, se construieste o functie de o variabila ale carei puncte de extrem sedetermina. Aceste probleme nu sunt mereu simple. Ele trebuiesc abordate dupa unalgoritm ai carui pasi sunt:

1. Se studiaza formularea problemei, pentru a putea decide precis, care sunt datele sicare sunt cerintele problemei.

2. Se stabilesc toti parametrii, variabili sau constanti de care depinde marimea caretrebuie optimizata.

3. Daca este posibil, poate fi folosita o reprezentare grafica a contextului problemei.De multe ori solutia poate fi una geometrica, simpla.

4. Daca solutia geometrica nu este la ındemana, se construieste functia f al careiextrem ıl cautam. In cazul ın care aceasta functie depinde de n parametri, secauta n-1 relatii independente, de legatura ıntre acestia, astfel ıncat functia fsa depinda, ın final, doar de o variabila.

5. Se stabileste domeniul de definitie al functiei f , domeniu restrictionat atat de con-textul matematic al ei cat si de contextul fizic al problemei.

6. Se stabileste domeniul de acceptabilitate a solutiei.

7. Se determina toate valorile de extrem ale functiei f pe domeniul de definitie consid-erat, luand ın considerare atat punctele critice cat si punctele singulare sau capeteleintervalului de definitie.

Page 17: Matematici superioare

1.2. APLICATII ALE DERIVATELOR SI DIFERENTIALELOR 17

8. Se formuleaza, cu justificari, raspunsul la problema, acordand o deosebita importanta dome-niului de acceptabilitate a solutiei.

Exemple:I. Punctele C si B sunt legate printr-o sosea rectilinie situata pe directia E−W .In punctul A situat la d km nord de punctul C, ın padure, se afla un foisor care trebuieracordat la reteaua electrica. Sursa de alimentare se afla ın punctul B. Costul mediu decablu electric tras pe soseaua BC este de q lei pe km iar costul mediu de cablu tras prinpadure este de p lei pe km. Sa se determine configuratia optima de traseu de alimentarecu energie electrica a foisorului.

Consideram punctul mobil M situat pe BC. Notam cu x distanta de la C la M .Atunci AM =

√d2 + x2, MB = l − x.

Functia cost va fi f : [0, l] → R∗+ data de

f(x) = p√x2 + d2 + q(l − x).

f(0) = dp+ ql iar f(l) = p√l2 + d2.

Functia f este derivabila pe tot domeniul de definitie, iar extremele sale locale le vomcauta printre punctele critice ale ei.f ′(x) = px√

x2 + d2− q si din f ′(x) = 0 rezulta ca

x0 = ± dq√p2 − q2

.

Obtinem o prima restrictie a conditiilor problemei si anume p > q si, ın consecinta,o prima solutie.Pentru cazul p ≤ q solutia optima este legatura directa AB.

Domeniul de definitie al lui f restrictioneaza solutia x0 doar la valoarea pozitiva.

Conditia x0 < l introduce o noua restrictie impusa datelor problemei si anume, dindq√p2 − q2

< l, dupa cateva calcule simple, rezulta

√d2 + l2

p<l

qadica

AB

p<DB

q.

In cazul ın care ABp ≥ CB

q solutia este data de min(f(0), f(l)).Ramane de studiat cazul ın care x0 este un punct critic convenabil. Calculam derivata

a doua a lui f si obtinem

f ′′(x) =pd√

(l2 + d2)3> 0 ∀x ∈ [0, l]

deci x0 este un punct de minim local si, ın acelasi timp, este si punct de minim global.x0 ne va da configuratia traseului si f(x0) ne va da costul minim.

II. Sa se determine dimensiunile optime ale unei cutii de forma paralelipiped drepunghicfara capac.

Problema astfel enuntata prezinta un grad mare de nedeterminare. Trebuie precizatcontextul ın care se doreste realizarea optimului. Astfel, putem avea:

1. - aria data si cerem volum maxim;

2. - volum dat si cerem arie minima;

Page 18: Matematici superioare

18 CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE ANALIZA REALA

3. - cutia sa fie construita dintr-o foaie dreptunghiulara de material, prin ındoiredupa paralele la laturi si astfel ıncat volumul sa fie maxim;

4. - cutia sa aiba baza dintr-un tip de material, peretii din alt tip de material sicerand minimizarea costului pentru un volum al cutiei dat;

5. - la volum dat, cutia trebuind sa rezolve optim probleme de stocaj.

Acestea sunt doar cateva tipuri de probleme de optimizare a dimensiunilor unei cutii. Ingeneral, se doreste ca, la niste conditii date, sa se optimizeze raportul dintre volumulcutiei si aria ei.

Cazul 1 admite solutie geometrica si a fost prezentat anterior. Daca aria este a2

atunci baza trebuie sa fie un patrat cu latura a√3

iar ınaltimea trebuie sa fie jumatate

din latura bazei h = a2√

3.

Cazul al doilea este echivalent cu primul.

Pentru cazul al treilea sa consideram ca avem o placa dreptunghiulara de dimensiunil si L. Decupand, la colturi, patrate de latura x si ındoind placa, obtinem o cutiefara capac. Trebuie sa-l determinam pe x astfel ıncat volumul cutiei sa fie maxim.

Functia care descrie volumul cutiei ın functie de l, L, x este f : [0, l2 ] → R∗+

f(x) = x(L− 2x)(l − 2x) = 4x3 − 2(L+ l)x2 + Llx

Din ratiuni fizice, (volumul este 0) eliminam din discutie capetele intervalului pe careeste definita f . Functia este continua si derivabila pe tot domeniul de definitie, f(0) =f( l2) = 0 deci, conform teoremei lui Rolle va admite cel putin un punct critic ın interiorulintervalului de definitie, iar pentru ca functia este si pozitiva ea va admite pe acest intervalun punct de maxim local care va fi chiar punct de maxim global, deci solutia cautata.Avem pe rand:f ′(x) = 12x2 − 4(L+ l)x+ Ll; din f ′(x) = 0 obtinem

x1 =(L+ l) +

√L2 − Ll + l2

6si x2 =

(L+ l)−√L2 − Ll + l2

6.

Pentru ca L ≥ l rezulta x1 ≥ l + l + l6 = l

2 , deci solutia aceasta nu convine. Tabelul devariatie a semnului derivatei lui f este:

x 0 x2l2

f’(x) + + 0 − −f(x) ↗ M ↘

Atunci, x2 ne da lungimea laturii paratelor decupate astfel ıncat volumul cutiei sa fiemaxim.

Cazul al patrulea nu poate fi abordat cu tehnici diferentiale pentru functii de o vari-abila, pentru ca nu sunt suficiente conditii de legatura ıntre variabile. Notam cu x, y, zlaturile cutiei si cu v = xyz volumul, dat, al cutiei. Fie a pretul pe metru patrat almaterialului din care este confectionata baza si b pretul metrului patrat pentru lateralelecutiei. Functia de cost al cutiei, al carei minim trebuie gasit, este

f(x, y, z) = axy + 2bz(x+ y).

Pentru a reduce problema la una de extrem al unei functii de o variabila, avem nevoie dedoua relatii independente ıntre x, y, si z. Avem ınsa numai una, cea data de volumul

Page 19: Matematici superioare

1.2. APLICATII ALE DERIVATELOR SI DIFERENTIALELOR 19

constant al cutiei.Problema admite ınsa o solutie geometrica. Pornim de la

(1) xyz = v

si(2) f(x, y, z) = axy + 2bxz + 2byz

Presupunem ca produsul xy este constant. Din (1) avem ca z este constant. Dar,f(x, y, z) = axy+2bz(x+y) si, de aici, rezulta ca va-riatia lui f depinde doar de variatiasumei x + y. Stim ca, daca produsul este constant, atunci suma este minima candx = y. Presupunem acum ca produsul yz este constant, rezulta si x constant si dinf(x, y, z) = x(ay+2bz)+2byz avem ca variatia lui f este data de variatia sumei ay+2bz.Aceasta suma este minima pentru ay = 2bz, adica pentru y = 2bz

a .

Rationand similar pentru produsul xz rezulta x = 2bza . Atunci x = y si de aici avem

ca functia de cost este minima daca x = y = 2bza .

Din relatia de volum obtinem:

x = 3

√2vba, y = 3

√2vba, z = 3

√va2

4b2

iar minimul functiei cost este:

f0 = (1 + 3√

2) 3√

32v2b2a.

III. Un bustean de greutate G trebuie deplasat prin tragere, pe o suprafta pla-na siorizontala. Coeficientul de frecare dintre bustean si sol este µ. Care este unghiul dintreorizontala si directia de aplicare a fortei necesara deplasarii astfel ıncat marimea acesteiforte sa fie minima.Cateva considerente fizice ne vor conduce la descrierea matematica a problemei.

In cazul miscarii uniforme, frecarea este egala cu forta ce deplaseaza corpul ınplan si ındreptata ın sens contrar deplasarii. Legea lui Coulomb ne spune ca ea esteproportionala cu forta de apasare, proportionalitate data de coeficientul de frecare.Forta de apasre este N = G− F sin θ, componenta orizontala a fortei de tractiune esteF cos θ si ea egaleaza forta de frecare R. Deci, ın valori absolute avem:

R = F cos θ = µ(g − F sin θ).

Considera atunci functia f : [0, π2 ] → R data de:

f =µG

cos θ + µ sin θ

al carei minim trebuie sa ıl aflam. Functia este continua, derivabila si pozitiva petot domeniul de definitie. Extremele sale le vom cauta printre punctele critice sau ıncapetele domeniului de definitie.Avem f(0) = µG. In acest caz, apasarea este maxima, deci forta de frecare este maxima.Pentru θ = π

2 avem forta de frecare minima dar forta de tractiune este maxima, f = G

(stim ca coeficientul de frecare este subunitar). Punctele critice le aflam anuland derivata

f ′(x) = −µG µ cos θ − sin θ(cos θ + µ sin θ)2

.

si este dat de ecuatiatgθ = µ adica θ0 = arctgµ

Avem urmatoarea variatie de semn:

Page 20: Matematici superioare

20 CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE ANALIZA REALA

x 0 θ0π2

f’(x) − − 0 + +f(x) ↘ m ↗

Functia noastra admite un extrem local ın θ0, care este si extrem global. Forta minima detractiune va fi

F0 =µG

cos arctgµ+ µ sin arctgµ.

Exprimand sinusul si cosinusul ın functie de tangenta obtinem

F0 =µG√1 + µ2

.

Sa observam ca solutia (valoarea ”unghiului de frecare”) nu depinde de G ci numaide µ.

Tinand cont ca ın cazul frecarii dintre lemn si pamant avemµ = 0, 4 rezulta ca θ0 ≈ 22o iar forta minima de tractiune va fi F0 ≈ 0, 3714G.Daca unghiul de tractiune este de 45o, atunci forta de tractiune este aproximativ egala cuforta de tractiune ın cazul θ = 0 si anume 0, 4G.

IVDintr-un bustean de diametru d, sa se confectioneze grinda de sectiune dreptunghi-ulara, de rezistenta maxima.

Notam cu b baza grinzii si cu h ınaltimea ei. Rezistenta grinzii este proportionala cuprodusul bh2. Avem, din teorema lui Pitagora, ca h2 + b2 = d2. Trebuie sa determinamminimul functiei f = bh2. d fiind constant, putem exprima pe h ın functie de b si fiunctiaf poate fi exprimata prin intermediul unei singure variabile.

f : (0, d) → R, f(b) = b(d2 − b2).

Functia asa definita este continua si derivabila pe tot domeniul de definitie. Punctele 0 sid au fost scoase din domeniul de definitie din ratiuni fizice evidente. Extremele functieif le vom cauta printre punctele critice.

f ′(b) = d2 − 3b2, si f ′(b) = 0 ⇒ b1,2 = ± d√3

iar solutia negativa nu convine.Derivata a doua este f ′′(b) = −6b < 0 deci punctul b = d√

3este un punct de maxim.

Pentru h avem valoarea h = d√

23 iar un calcul simplu ne conduce la urmatorul sir de

rapoarte egale:d√3

=h√2

=b

1.

Problema admite o solutie geometrica simpla, care pune la ındemana si o constructie aacestei solutii.

Iata aceasta solutie. Notam x = b2 si y = h2. Atunci x + y este constant si dorimdeterminarea maximului produsului x

12 y1. Principiul geometric de extrem, cu numarul

10, ne spune ca maximul este atins daca variabilele x si y sunt proportionale cu puterilela care se gasesc ın produs. Rezulta x

12

= y1 , adica x

1 = y2 . De aici h

2

2 = b21 , deci

d√3

= h√2

= b1 .

Solutia practica de constructie a grinzii cu rezistenta maxima este urmatoarea: con-sideram diametrul d care ne va da doua varfuri ale dreptunghiului de sectiune. Seımparte d ın trei parti egale. In cele doua puncte interioare de diviziune se ridica per-pendiculare pe diametru, opuse ca sens. Punctele de intersectie ale acestor drepte cucercul vor fi celelalte doua varfuri ale dreptunghiului.

Page 21: Matematici superioare

1.2. APLICATII ALE DERIVATELOR SI DIFERENTIALELOR 21

1.2.2 Viteze corelate

Problema de viteze corelate este urmatoarea: doua entitati, care au o evolutie ın timp,sunt legate ıntre ele printr-o ecuatie. Derivand aceasta relatie ın raport cu timpul, vomobtine o noua relatie, pe care o satisfac vitezele de evolutie ale entitatilor considerate.Cunoasterea la un moment dat a trei dintre marimi, valorile celor doua entitati si oviteza, permite determinarea celeilalte viteze ın acel moment. Problemele practice deacest tip prezinta, ın general, dificultati mai mari de exprimare matematica a legaturilorıntre entitati, decat de rezolvare efectiva a lor.Abordarea unor astfel de probleme trebuie sa respecte cateva reguli elementare.

1. Se studiaza formularea problemei, pentru a putea decide precis, care sunt datele sicare sunt cerintele problemei.

2. Se stabilesc toti parametri, variabili sau constanti de care depinde problema, ca silegaturile ıntre parametri variabili care pot fi puse ın evidenta.

3. Daca este posibil, poate fi folosita o reprezentare grafica a contextului problemei.

4. Prin derivarea ın raport cu timpul a ecuatiilor respectate de variabilele date, seobtin relatiile ıntre viteze, corelate.

5. Se rezolva problema pentru datele de intrare.

Exemple: Intr-un punct al unei culturi se produce un atac al unor dauna- tori. Ataculse propaga sub forma unui disc circular centrat ın puctul de atac. Care este viteza decrestere a ariei domeniului atacat, daca ın momentul ın care raza discului este r vitezade crestere a razei este v.

Aria S a domeniului atacat depinde, prin intermediul razei r, de timp. Avem

(1) S(t) = πr2(t).

Vitezele de crestere a celor doua marimi sunt corelate, iar corelatia o obtinem derivandın raport cu t relatia (1).

(2)dS(t)dt

= 2πr(t)dr(t)dt

La momentul t0 avem r(t0) = r, r′(t0) = v. Atunci viteza de crestere a ariei domeniuluiatacat, la momentul = t0 este

S′(t0) = 2πrv.

O barca este trasa spre un ponton cu o funie legata de varful barcii. Pontonul se afla la5 metri deasupra nivelului varfului barcii. Se trage de funie cu viteza de 6m/min. Careeste viteza barcii ın momentul ın care mai sunt 13 m de funie?

Notam cu s distanta dintre barca si baza pontonului, cu h ınaltimea pontonului, cul lungimea funiei la un moment dat, cu v viteza barcii la un moment dat si cu w vitezade tragere a funiei. s, l si v sunt marimi ce depind de timp, celelalte sunt constante.Avem s2(t) = l2(t)− h2. Derivand aceasta relatie obtinem

2s(t)ds(t)dt

= 2l(t)dl(t)dt

.

Dar, ds(t)dt

= v(t) si dl(t)dt

= w. In consecinta, la momentul t0, avem:

v(t0) =l(t0)ws(t0)

.

Page 22: Matematici superioare

22 CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE ANALIZA REALA

Pentru datele problemei obtinem v(t0) = 6, 5m/min.

Doua carucioare A si B sunt legate ıntre ele printr-un cablu trecut peste un scripete.Cablul are 15m, scripetele se afla la ınaltimea de 4m deasupra unui punct P. CaruciorulA se ındeparteaza de P cu viteza de 0,5 m/s. Care este viteza caruciorului B canddistanta dintre A si P este de 3m?

Consideram un sistem de axe ortogonal, cu axa orizontala determinata de pozitiacelor doua carucioare si cu originea ın P. Notam cu S pozitia scripetelui.

Avem ca variabile dependente de timp:SA = a(t), SB = b(t), PA = x(t), PB = −y(t), x′(t) viteza caruciorului A si y′(t) vitezacaruciorului B.Inaltimea PS = h si lungimea l a cablului sunt constante.

Teorema lui Pitagora aplicata ın triunghiurile SPA si SPB si faptul ca lungimeacablului este constanta ne dau legaturile ıntre variabilele problemei. Trebuie sa ajungemla o relatie care depinde numai de x si de y. Avem:x2 = a2 − h2, y2 = b2 − h2, a+ b = l. Eliminand a si b ıntre cele trei relatii obtinem

x2 =(l −√y2 + h2

)2

− h2.

Punand ın evidenta dependenta de timp ajungem la relatia

x2(t) = l2 − 2l√y2(t) + h2 + y2(t).

Derivam ın raport cu timpul si obtinem corelarea vitezelor:

2x(t)x′(t) =

(−2l√

y(t)2 + h2+ 2

)y(t)y′(t).

De aici , cunoscand x(t0), y(t0), x′(t0), l si h obtinem y′(t0).Pentru exemplul numeric avem: x(t0) = 3m, de unde rezultaa(t0) = 5m, b(t0) = 10m si y(t0) = −

√84.

Stiind ca x′(t0) = 0, 5m/s rezulta y′(t0) ≈ 0, 327m/s.

Liziera unei paduri urmeaza curba xy = a si avem doua drumuri de-a lungul axelorOx si Oy. Pe drumul Ox, spre origine se deplaseaza un vanator. La momentul t0 el seafla la distanta x0 de cabana situata ın punctul O, la momentul t1 se afla la distanta x1

de cabana. Viteza sa de deplasare este descrescatoare si proportionala cu distanta pana lacabana. Pe axa Oy, la distanta δ de cabana, se afla un urs. Presupunand ca vanatoruleste foarte atent, la ce moment de timp (raportat la t0) si cu ce viteza observa el vanatul?

Fie A pozitia vanatorului la momentul t, AB o raza vizuala a sa, tangenta la curbaxy = a, V pozitia, fixa, a ursului. Problema cere determinarea momentului de timp t2pentru care OB = δ si determinarea vitezei de deplasare a punctului B la momentul t2,stiind viteza de deplasare a punctului A, la acel moment.

Rezolvarea acestei probleme cere putin mai multa ındemanare din partea rezolvi-torului. Schitam ın continuare rezolvarea, lasand cititorului placerea de a rezolva com-plet si detaliat problema (trebuind sa fie facuta o discutie asupra conditiilor initiale).Fara a restrange generalitatea problemei putem presupune ca t0 = 0. Pentru a aflapozitia vanatorului la un moment oarecare t, trebuie determinata legea sa de miscare.Proportionalitatea dintre viteza la momentul t (derivata functiei de pozitie) cu distantapana la ori-gine (functia de pozitie) ne spune ca avem de a face cu o problema de tipevolutionist si anume cea mai simpla. Daca x(t) este lungimea OA, atunci avem:

x′(t) = kx(t) cu conditia initiala x(0) = d0.

Page 23: Matematici superioare

1.3. SERII NUMERICE 23

Am vazut ca solutia unei astfel de probleme este x(t) = d0ekt.

Din conditia x(t1) = d1 se determina si k. Acesta trebuie sa fie negativ (discutie),pentru ca viteza este descrescatoare.In continuare se stabileste relatia dintre pozitiile punctelor A si B.Pentru aceasta consideram un punct M(α, aα ) pe curba xy = a. Ecuatia tangentei,ıntr-un punct regulat (x∗, f(x∗)), la curba y = f(x) este

y − f(x∗) = f ′(x∗)(x− x∗).

In cazul nostru, pentru punctul M vom avea

y − a

α= − a

α2 (x− α).

Aceasta dreapta intersectata cu axele ne va da lungimile segmentelor OA = x(t) siOB = y(t). Eliminand parametrul α vom obtine

(1) x(t) · y(t) = 4a.

Din y(t2) = δ rezulta dupa un calcul simplu

t2 =1kln

4aδd0

.

Trebuie facuta discutie asupra semnificatiei semnului lui t2.Ramane de determinat viteza lui B la momentul t2. Din (1), prin derivare, obtinemcorelatia vitezelor sub forma

y′(t) = − 4ax2(t)

x′(t).

In conditiile problemei

y′(t2) = − 4kad0e

kt2

1.3 Serii numerice

Operatiile aritmetice introduse ın scoala elementara ne permit sa ıntelegem cum putemcalcula suma unei multimi finite de numere reale. Principiul inductiei matematice nepermite sa trecem la generalizari. Atunci, sa consideram un sir de numere reale (un)n∈N

si fie urmatoarea ınsiruire de semne fara (momentan) semnificatia de suma

u1 + u2 + ...+ un + ....

Convenim sa numim serie de numere reale ınsiruirea anterioara. Vom nota o serie cu∞∑

n=1un sau

∑n∈N

un sau ınca ( daca nu exista posibilitatea de confuzie)∑un. Numerele

u1, u2, .. le vom numi termenii seriei.Ne formam urmatoarele sume:

S1 = u1

S2 = u1 + u2

.....................Sn = u1 + u2 + ...+ un

..................

Am obtinut astfel un sir S1, S2, .., Sn,... numit sirul sumelor partiale ale seriei∞∑

n=1un.

Avem, deci, urmatoarea definire a acestui sir

S1 = u1, Sn+1 = Sn + un+1 ∀n ∈ N∗

Page 24: Matematici superioare

24 CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE ANALIZA REALA

Reciproc, putem ca unui sir (Sn)n∈N sa ıi atasam o serie∑un astfel ıncat sirul sumelor

ei partiale sa fie termenii sirului (Sn)n∈N daca luam

u1 = S1, un+1 = Sn+1 − Sn

Obtinem astfel posibilitatea caracterizarii proprietatilor seriei prin intermediul siruluisumelor partiale si reciproc.

Definitia 1.3.0.1 Vom spune ca seria∞∑

n=1un este convergenta daca sirul (Sn)n∈N al

sumelor ei partiale este convergent. Fie S limita acestui sir. Aceasta limita se va numi

suma seriei si vom nota S =∞∑

n=1un.

Definitia 1.3.0.2 Spunem ca seria∞∑

n=1un este divergenta daca sirul sumelor partiale

nu are limita sau are limita +∞ sau −∞Daca sirul sumelor partiale nu are limita nu putem da un sens acelei ”adunari”

infinite care defineste seria. Spunem ca seria este oscilanta.

Exemple 1.3.0.1 1. Fie r ∈ (0, 1). Consideram seria∞∑

n=1rn. Sirul sumelor partiale

va avea termenul general dat de

Sn = 1 + r + r2 + ...+ rn−1 =1− rn

1− r

iar limitaS = lim

n→∞Sn =

11− r

Seria considerata este astfel convergenta si are suma 11− r

2. Consideram seria∞∑

n=1n. Pentru ea lim

n→∞Sn = ∞. Seria este divergenta.

3. Fie∞∑

n=1(−1)n. Observam ca S1 = −1, S2 = 0,..., S2k+1 = −1 si S2k = 0. Sirul

(Sn)n∈N nu are limita deci seria este oscilanta.

1.3.1 Criterii generale de convergenta pentru seriinumerice

La fel ca ın cazul sirurilor, studiul seriilor poate fi redus la raspunsul la doua ıntrebari:este seria covergenta? si ın caz afirmativ, care este suma ei?

Folosind caracterizarea convergentei seriei prin intermediul convergentei sirului sumelorpartiale, avem pus la dispozitie aparatul prin care sa putem decide raspunsul la primaıntrebare. In cazul seriilor convergente, raspunsul la cea de-a doua ıntrebare nu ıl putemda exact decat ın cazul unor serii ”speciale”, pentru ca, ın general, sumele nu pot ficalculate ci doar aproximate (cu eroare precizata).

Pentru ınceput sa dam cateva proprietati ale sirului sumelor partiale pentru seria∞∑

n=1un.

Propozitia 1.3.1.1 Daca seria∞∑

n=1un este convergenta atunci (Sn)n∈N este marginit.

Demonstratia este imediata. Seria este convergenta deci sirul sumelor partiale este con-vergent si ın consecinta marginit.Afirmatia reciproca nu este adevarata ın general. In exemplele anterioare, primul aresirul sumelor partiale marginit si seria este convergenta ın schimb ın al treilea exempludesi sirul sumelor partiale este marginit seria este oscilanta.

Page 25: Matematici superioare

1.3. SERII NUMERICE 25

Propozitia 1.3.1.2 Fie seria∞∑

n=1un cu un > 0 ∀n ∈ N . Daca sirul sumelor partiale

este marginit atunci seria este convergenta.

Propozitia 1.3.1.3 (Criteriu necesar de convergenta) Daca∞∑

n=1un este convergenta atunci

sirul (un)n∈N este convergent catre 0.

Observatia 1.3.1.1 Criteriul are importanta practica enuntat ın forma echivalenta :Daca sirul (un)n∈N nu este convergent catre 0 atunci seria nu este convergenta.

Observatia 1.3.1.2 Afirmatia reciproca nu este ın general adevarata. Exista serii alcaror termen general tinde catre 0 dar seria este divergeta.

Exemple 1.3.1.1 1. Seria∞∑

n=1

(12

)n

are ındeplinita conditia

limn→∞

un = limn→∞

(12

)n

= 0

si este convergenta catre 2.

2. Seria∞∑

n=1

1n este un exemplu special. Si pentru ea avem conditia lim

n→∞un = lim

n→∞1n =

0 dar seria nu este convergenta. Vom demonstra divergenta seriei putin mai de-parte. Aceasta serie se numeste serie armonica sau serie Riemann. Multa vreme s-a crezut ca este convergenta si asta pentru ca prima mie de termeni adunata da aprox-imativ 7,48547.., prima suta de mii de termeni adunati dau 12,09..., primul mil-ion 14,3927267 iar prima suta de milioane de termeni adunati are ca rezultat18,99789641..... . Este o serie lent divergenta dar divergenta.

Pentru seriile convergente avem ındeplinita urmatoarea teorema

Teorema 1.3.1.1 Fie∑un si

∑vn convergente, cu sumele S si T . Atunci:

1. Seria∑

(un + vn) este convergenta si are suma S + T .

2. Pentru orice α ∈ R seria∑αun este convergenta si are suma αS.

3. Seria∑

(un − vn) este convergenta si are suma S − T .

Demonstratia este imediata folosind proprietatile limitei.

Dam ın contiuare un criteriu necesar si suficient de convergenta pentru serii cutermeni oarecare. Acest criteriu se numeste Criteriul general de convergenta al lui Cauchysi are o importanta teoretica fundamentala. Toate criteriile care vor urma se deduc dinacest criteriu. In aplicatii, pe cazuri concrete, el este ınsa dificil de folosit.

Teorema 1.3.1.2 Criteriul general al lui Cauchy.

Seria∞∑

n=1un este convergenta daca si numai daca pentru orice ε > 0, exista un rang Nε,

astfel ıncat pentru orice n > Nε si pentru orice p ≥ 1, sa avem

|un+1 + un+2 + ...+ un+p| < ε

Teorema 1.3.1.3 Criteriul lui AbelConsideram seria

∞∑n=1

un pentru care sirul sumelor partiale (Sn)n∈N este marginit si un

sir de numere reale (αn)n∈N pozitiv, descrescator si convergent catre 0. In aceste ipoteze

seria∞∑

n=1(αnun) este convergenta.

Page 26: Matematici superioare

26 CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE ANALIZA REALA

Definitia 1.3.1.1 Fie seria∞∑

n=1un ın care un > 0 ∀n ∈ N . Numim serie alternanta se-

ria∞∑

n=1(−1)nun.

Teorema 1.3.1.4 Criteriul lui LeibnizFie seria alternanta

∞∑n=1

(−1)nun. Daca sirul (un)n∈N este monoton descrescator care

zero atunci seria este convergenta.

Demonstratie: Aplicam criteriul lui Abel astfel: pe postul seriei cu sirul sumelor partiale

marginit consideram seria∞∑

n=1(−1)n iar ın locul sirului (αn)n∈N luam (un)n∈N .

Teorema 1.3.1.5 (Aproximare a sumei unei serii alternante)Eroarea de aproximare a sumei unei serii alternante convergente printr-o suma partiala estemai mica decat primul termen neglijat. Suma partiala cu care se face aproximarea estemai mica sau mai mare decat suma seriei dupa cum indicele sumei este par sau impar.

Definitia 1.3.1.2 Fie∞∑

n=1un o serie cu termeni oarecare. Seria se numeste absolut

convergenta daca seria∞∑

n=1|un| converge.

Teorema 1.3.1.6 O serie absolut convergenta este convergenta.

Demonstratia acestei teoreme o lasam ca exercitiu. Ea se face folosind criteriul generalde convergenta al lui Cauchy ımpreuna cu proprietatea modulului ca |a+ b| ≤ |a|+ |b|.

Observatia 1.3.1.3 Afirmatia reciproca nu este mereu adevarata.

Definitia 1.3.1.3 Se numeste serie armonica generalizata seria

∞∑n=1

(−1)n

nα α > 0.

Corolar 1.3.1.1 Seria armonica generalizata este convergenta.

Demonstratia rezulta imediat din criteriul Leibniz.

1.3.2 Criterii de convergenta pentru serii cu termeni pozitivi

Daca toti termenii unei serii sunt pozitivi, atunci seria se numeste cu termeni pozitivi. Unprim mod de a decide convergenta unei astfel de serii este cel de a compara comportareaei cu comportarea unei serii cunoscute. Daca seria cu care trebuie sa facem comparatia”nu rezulta din calcule” atunci alegerea ei impune presupuneri legate de convergentaseriei de studiat.Comparand termenii generali a doua serii obtinem:

Teorema 1.3.2.1 Primul criteriu de comparatie

Fie seriile cu termeni pozitivi∞∑

n=1un si

∞∑n=1

vn astfel ıncat

un ≤ vn ∀n ∈ N.

In aceste conditii avem ca∞∑

n=1un ≤

∞∑n=1

vn si

Page 27: Matematici superioare

1.3. SERII NUMERICE 27

1. daca seria∞∑

n=1un este divergenta atunci

∞∑n=1

vn este divergenta;

2. daca∞∑

n=1vn este convergenta atunci

∞∑n=1

un este convergenta.

Comparam cresterile a doua serii si obtinem

Teorema 1.3.2.2 Al doilea criteriu de comparatie

Fie seriile cu termeni pozitivi∞∑

n=1un si

∞∑n=1

vn astfel ıncat

un+1

un≤ vn+1

vn∀n ∈ N.

In aceste conditii avem ca∞∑

n=1un ≤

∞∑n=1

vn si

1. daca seria∞∑

n=1un este divergenta atunci

∞∑n=1

vn este divergenta;

2. daca∞∑

n=1vn este convergenta atunci

∞∑n=1

un este convergenta.

putem formula si un criteriu la limita

Teorema 1.3.2.3 Al treilea criteriu de comparatie (la limita)

Fie seriile cu termeni pozitivi∞∑

n=1un si

∞∑n=1

vn astfel ıncat

limn→∞

un

vn∈ (0,∞).

Atunci, cele doua serii au aceeasi natura adica, sunt simultan convergente sau simultandivergente.

Corolar 1.3.2.1 Fie seria cu termeni pozitivi∞∑

n=1un astfel ıncat sirul (un)n∈N este

descrescator si seria∞∑

n=1

2nu2n .

Atunci cele doua serii sunt convergente simultan.

Criteriile de comparatie se utilizeaza, de obicei, folosind doua ti-puri de serii martorsi anume o serie geometrica sau o serie armonica generalizata. Pentru aceste doua tipuride serii avem:

Propozitia 1.3.2.1 Fie seria geometrica cu termeni pozitivi∞∑

n=1qn. Seria este con-

vergenta daca si numai daca q ∈ (0, 1)

Propozitia 1.3.2.2 Consideram seria armonica generalizata (Riemann)∞∑

n=1

1nα . Se-

ria este convergenta pentru α ∈ (1,∞) si divergenta pentru α ≤ 1.

Teorema 1.3.2.4 Criteriul radacinii (criteriul lui Cauchy)

Fie seria cu termeni pozitivi∞∑

n=1un.

Page 28: Matematici superioare

28 CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE ANALIZA REALA

1. Daca exista un q ∈ (0, 1) si un rang N astfel ıncatn√un ≤ q ∀n > N

atunci seria este convergenta.

2. daca n√un ≥ 1 pentru o infinitate de termeni

atunci seria este divergenta.

Criteriul admite si o consecinta la limita data de

Propozitia 1.3.2.3 Fie∞∑

n=1un o serie cu termeni pozitivi.

Daca limn→∞

n√un = k atunci

1. pentru k < 1 seria este convergenta;

2. pentru k > 1 seria este divergenta;

3. pentru k = 1 criteriul nu da raspuns.

Teorema 1.3.2.5 Criteriul raportului (criteriul lui d’Alembert)

Fie∞∑

n=1un o serie cu termeni pozitivi.

1. daca exista un rang N si q ∈ (0, 1) astfel ıncatun+1

un≤ q ∀n > N

atunci seria este convergenta.

2. daca un+1un

≥ 1 pentru un numar infinit de indici n atunci seria este divergenta.

Criteriul admite si o consecinta la limita.

Propozitia 1.3.2.4 Fie∞∑

n=1un o serie cu termeni pozitivi.

Daca limn→∞

un+1un

= k atunci

1. k < 1 implica seria este convergenta;

2. k > 1 implica seria este divergenta;

3. pentru k = 1 criteriul nu da raspuns.

Observatia 1.3.2.1 Daca criteriul raportului nu da raspuns atunci nici criteriul radaciniinu da raspuns.Reciproca acestei afirmatii nu este mereu adevarata.

In cazul ın care criteriile raportului sau al radacinii nu dau raspuns folosim un criteriumai rafinat. Dam enuntul acestui criteriu doar ın consecinta sa la limita.

Teorema 1.3.2.6 Criteriul Raabe si Duhamel

Fie∞∑

n=1un o serie cu termeni pozitivi cu proprietatea ca

limn→∞

n

(un

un+1− 1)

= k

1. pentru k > 1 seria este convergenta;

2. pentru k < 1 seria este divergenta;

3. pentru k = 1 criteriul nu da raspuns.

Page 29: Matematici superioare

1.3. SERII NUMERICE 29

1.3.3 Aplicatii

1. Sa se stabileasca natura seriei∞∑

n=1

P (n)Q(n) unde P (n) si Q(n) sunt expresii carora

putem sa le asociem un grad (fix) adica sunt functii polinomiale sau expresii curadicali din functii polinomiale.

Rezolvare: Folosim ın acest caz criteriul de comparatie la limita. Daca gradulechivalent al lui P este p si gradul echivalent al lui Q este q atunci consideram

α = q − p. Comparam la limita seria data cu seria armonica generalizata∞∑

n=1

1nα .

Pentru α > 1 seria∞∑

n=1

P (n)Q(n) este convergenta iar pentru α ≤ 1 seria data este

divergenta. De exemplu:

a)∞∑

n=1

5n− 13n3 + 2n+ 1

este convergenta . grP=1, grQ=3 α = 2

limn→∞

5n− 13n3 + 2n+ 1

1n2

= 53 ∈ (0,∞) deci seriile

∞∑n=1

5n− 13n3 + 2n+ 1

si∞∑

n=1

1n2 au aceeasi

natura, deci seria considerata este convergenta.

b) Seria∞∑

n=1

3√

5n2 + 17n+ 3 este divergenta. Expresiei de la numarator putem sa ıi aso-

ciem gradul echivalent 23 . Atunci p = 2

3, q = 1 α = 1− 23 = 1

3. In consecinta seria

noastra are aceeasi natura cu seria∞∑

n=1

1n

13

adica este divergenta.

c) Studiati convergenta seriei∞∑

n=1

√n+ 1−

√n

n+ 2 .

Aplicam acelasi procedeu ca mai inainte dar avem grija ca gradul echivalent pentruP (n) =

√n+ 1−

√n nu este 1

2 ci este −12 pentru ca acea diferenta ne obliga ca la

stabilirea gradului echivalent sa ınmultim cu conjugatul expresiei. Atunci, de fapt,P (n) = 1√

n+ 1 +√n

. Acum putem aplica rezultatul de la ex. 1. p = −12 , q = 1

α = 32 deci seria noastra este convergenta.

2. Studiati convergenta seriei∞∑

n=1

(ln nn2 − ln (n+ 1)

n2 + 1

). Observam ca seria este o

serie cu termeni pozitivi si aplicam primul criteriu de comparatie.

un = ln nn2 − ln (n+ 1)

n2 + 1<

ln (n+ 1)n2 − ln (n+ 1)

n2 + 1= ln (n + 1) 1

n2(n2 + 1)Adica un <

1n3 , deci seria este convergenta.

3. Sa se studieze convergenta seriei∞∑

n=1

(an+ bcn+ d

)n

a, b, c, d > 0.

Aplicam consecinta la limita a criteriului radacinii si obtinem

limn→∞

n

√(an+ bcn+ d

)n

= ac .

Daca a < c seria este convergenta, daca a > c seria este divergenta iar pentru a = c

criteriul nu da raspuns. Observam ca, ın acest caz, limn→∞

un = eb−d

a 6= 0 deci seriaeste divergenta.

4. Studiati convergenta seriei∞∑

n=1

nn

(a+ 1)(2a+ 1)...(na+ 1)Aplicam consecinta la limita de la criteriul raportului.

Page 30: Matematici superioare

30 CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE ANALIZA REALA

limn→∞

(n+ 1)n+1

(a+ 1)(2a+ 1)...(na+ 1)[(n+ 1)a+ 1]nn

(a+ 1)(2a+ 1)...(na+ 1)=

= limn→∞

(n+ 1)n+1

nn[(n+ 1)a+ 1]=e

a.

Daca a < e atunci seria este convergenta, daca a > e seria este divergenta. Pen-tru a = e criteriul nu da raspuns. Pentru a = e aplicam Rabbe -Duhamel sirezulta ca seria este divergenta.

5. Determinati valorile lui a > 0 astfel ıncat seria∞∑

n=1

(an)n

n! sa fie convergenta.

Aplicam consecinta la limita a criteriului lui d’Alembert.

limn→∞

un+1

un= lim

n→∞

an+1(n+ 1)n+1

(n+ 1)!annn

n!= lim

n→∞a

(n+ 1n

)n

= ae.

Pentru a < 1e seria este convergenta . Pentru a > 1

e seria este divergenta. Cazula = 1

e pentru care criteriul nu da raspuns ıl studiem separat. Stim ca aveminegalitatea

e <

(n+ 1n

)n+1

de unde rezulta

un+1

un=

(n+ 1n

)n

e>

(n+ 1n

)n

(n+ 1n

)n+1 =n

n+ 1=

1n+ 1

1n

Aplicand al doilea criteriu de comparatie avem ca

∞∑n=1

1n≤

∞∑n=1

(an)n

n!

deci, seria este divergenta.

1.4 Serii de puteri

1.4.1 Siruri si serii de functii

Definitia 1.4.1.1 Fie F = {f : A ⊂ R → R} multimea functiilor reale definite pe A.Numim sir de functii o aplicatie ϕ : N → F . Vom nota termenii acestui sir cu (fn)n∈N .

Definitia 1.4.1.2 Un punct a ∈ A se numeste punct de convergenta, al sirului (fn)n∈N

daca sirul numeric (fn(a))n∈N este convergent.Multimea D a punctelor ın care sirul (fn)n∈N este convergent se numeste domeniu decovergenta a sirului.

Daca a ∈ D notam cu f(a) = limn→∞

fn(a). Corespondenta a 7→ f(a) stabileste o relatiede tip functie ıntre D si R. Aceasta functie o notam cu f si o numim functie limita asirului (fn)n∈N . Observam ca domeniul de definitie a lui f nu coincide cu domeniul dedefinitie a functiilor sirului (ın general).

Page 31: Matematici superioare

1.4. SERII DE PUTERI 31

Exemple 1.4.1.1 1. Consideram sirul de functii definit astfel:

(fn)n∈N : R→ R, fn(x) = xn ∀n ∈ N.

Domeniul de convergenta este intervalul (−1, 1].Functia limita este

f : (−1, 1] → R, f(x) ={

0 x ∈ (−1, 1)1 x = 1

2. Sirul de functii (fn)n∈N definit prin fn : R → R, fn(x) = xn

n! are domeniul deconvergenta pe R iar functia limita este functia identic nula.

3. Fie sirul de functii (fn)n∈N dat de

fn : R→ R , fn(x) = sin

(nx+ 1n− 1

).

Domeniul de convergenta este R iar functia limita este f(x) = sinx.

Definitia 1.4.1.3 Fie un sir de functii (fn)n∈N definit pe multimea A. Spunem ca sirulconverge simplu catre functia f : A → R daca pentru orice x ∈ A si pentru orice ε > 0exista un rang (care depinde de ε si x) N(ε,x) astfel ıncat

|fn(x)− f(x)| < ε ∀n > N(ε,x).

Definitia 1.4.1.4 Spunem ca sirul de functii (fn)n∈N definit pe A este uniform con-vergent catre functia f : A → R daca pentru orice ε > 0 exista un rang Nε astfelıncat pentru orice n > Nε sa avem

|fn(x)− f(x)| < ε ∀x ∈ A

Observatia 1.4.1.1 1. Un sir de functii uniform convergent este si simplu conver-gent dar reciproc nu este mereu adevarat.

2. Scoatem ın evidenta ca, ın definitia uniform convergentei, rangul Nε nu depindede x ci numai de ε. Deci, oricare ar fi x ∈ A, ıncepand de la un anumit rang(dependent doar de ε) avem

fn(x) ∈ (f(x)− ε, f(x) + ε)

adica, toate graficele functiilor fn se gasesc ıntr-o banda de latime 2ε ın jurulgraficului functiei f .

Exemplu: Sirul de functii (fn)n∈N , fn : [−1, 1] → R, fn(x) = x6

n2 este uniformconvergent pe acest interval. Pentru un ε fixat putem sa determinam pe Nε si anume

din x6

n2 < ε rezulta ca trebuie sa avem n > x6√ε

deci luam Nε =[

1√ε

].

Nu insistam asupra acestor notiuni. O mentiune speciala trebuie sa facem si anumeca proprietatea de convergenta uniforma asigura transferul continuitatii sau deriv-abilitatii functiilor din sir asupra functiei limita. Dam fara demonstratie aceste teoreme.

Teorema 1.4.1.1 Fie (fn)n∈N un sir de functii uniform convergent pe A catre functia f .Daca toate functiile fn sunt continue ın punctul x0 ∈ A atunci functia f este continua ınx0.

Page 32: Matematici superioare

32 CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE ANALIZA REALA

Corolar 1.4.1.1 Un sir (fn)n∈N de functii continue pe A, uniform convergent pe A, areca limita o functie continua pe A.

Teorema 1.4.1.2 Consideram un sir (fn)n∈N de functii definite si derivabile pe uninterval marginit I ımpreuna cu (gn)n∈N sirul derivatelor termenilor sirului dat. (gn =f ′n). Presupunem ca siru-rile (fn)n∈N si (gn)n∈N converg uniform catre f respectiv g.Atunci f este derivabila pe I si f ′ = g.

Observatia 1.4.1.2 Reciproca teoremei nu este mereu adevarata.

1.4.2 Serii de functii

Teorema 1.4.2.1 Fie sirul de functii (fn)n∈N definit pe multimea A. Numim serie de

functii seria∞∑

n=1fn.

La fel ca ın cazul seriilor numerice definim convergenta seriei de functii prin intermediulconvergentei sirului sumelor partiale. Cum acesta este un sir de functii vom avea domeniude convergenta pentru seria de functii, convergenta punctuala si convergenta uniforma.

Definitia 1.4.2.1 Numim restul de ordin k al seriei∞∑

n=1fn seria

Rk = fk+1 + fk+2 + ...+ fk+p + ...

Teorema 1.4.2.2 Conditia necesara si suficienta ca seria de functii∞∑

n=1fn sa fie uni-

form convergenta pe multimea A este ca, pentru orice k, restul ei sa fie o serie uniformconvergenta pe A.

Transferul continuitatii si derivabilitatii, ın cazul convergentei uniforme, se pastreaza ınaceleasi conditii ca la siruri de functii.

1.4.3 Serii de puteri

Definitia 1.4.3.1 Consideram sirul de functii definit pe R astfel fn(x) = an(x − c)n.

Seria∞∑

n=1an(x− c)n se numeste serie de puteri ın jurul punctului c ∈ R. a1, a2, ..., an, ...

se numesc coeficientii seriei de puteri.

Sa observam ca o astfel de serie are cel putin un punct ın care converge si anume x = c.Punctul c se va numi centrul de convergenta al seriei.

Teorema 1.4.3.1 Fie x0 ∈ R, x0 6= c. Daca seria∞∑

n=1an(x0 − c)n este convergenta,

atunci seria∞∑

n=1an(x−c)n este absolut convergenta oricare ar fi punctul x cu proprietatea

|x− c| < |x0 − c|.

Teorema ne spune ca daca o serie de puteri converge ın orice alt punct decat ın cen-trul sau de convergenta atunci ea converge pe un interval centrat ın c si converge absolutoriunde ın acest interval, eventual mai putin ın unul sau ambele capete, daca inter-

valul este finit. De exemplu seria∞∑

n=1

1n2n (x − 7)n este convergenta pe intervalul [5, 9)

care este centrat ın 7. Seria este absolut convergenta pentru x ∈ (5, 9) dar este numaisemiconvergenta ın 5 (semiconvergenta ınseamna convergenta dar nu absolut conver-genta). Intervalul maxim pe care seria de puteri este convergenta ıl vom numi intervalde convergenta. El poate sa aiba urmatoarele forme:

Page 33: Matematici superioare

1.4. SERII DE PUTERI 33

1. punctul izolat c

2. [c−R, c+R], [c−R, c+R), (c−R, c+R], (c−R, c+R)

3. ıntrega dreapta reala.

Definitia 1.4.3.2 Numarul real R care intervine la punctul 2 poar-ta numele de raza deconvergenta a seriei de puteri centrata ın c. Convenim ca ın cazul 1 sa consideram R = 0iar ın cazul 3 sa ıl luam pe R = ∞.

Raza de convergenta poate fi gasita aplicand criteriul raportului pentru seria∞∑

n=1an(x−

c)n (considerand x fixat).

Teorema 1.4.3.2 Fie seria∞∑

n=1an(x− c)n. Daca

R = limn→∞

∣∣∣∣ an

an+1

∣∣∣∣exista, finita sau infinita, atunci seria de puteri are raza de con-vergenta R.

Exemplu: Determinati centrul, raza si multimea de convergenta pentru seria∞∑

n=1

(2x+ 7)n

n33n .

Rezolvarea este urmatoarea: Rescriem seria dand factor comun fortat la numarator pe2n (2 este coeficientul lui x si trebuie sa ajun-gem, ın serie, la o expresie de forma (x−c)n

). Obtinem∞∑

n=1

an(x− c)n =∞∑

n=1

(23

)n 1n3 (x− (−7

2))n.

De aici rezulta c = −72 , R = 3

2. Seria este absolut convergenta pe intervalul (c−R, c+R) = (−5,−2). In capetele acestui interval facem studiu separat. Pentru x = −5 seria

devine∞∑

n=1

(−1)n

n3 si este absolut convergenta iar pentru x = −2 seria este∞∑

n=1

1n3 care

este si ea absolut convergenta. Deci seria noastra este absolut convergenta pe intervalul[−5,−2].

1.4.4 Operatii algebrice pentru serii de puteri

Considerand doua serii care au acelasi centru de convergenta putem defini adunarea,produsul si catul lor pe orice interval care este comun intervalelor lor de convergenta.Pentru a usura prezentarea notiunilor urmatoare vom considera cazul ın care seriile deputeri cu care lucram sunt centrate ın 0.

Definitia 1.4.4.1 Fie seriile de puteri∞∑

n=0anx

n si∞∑

n=0bnx

n.

1. Seria∞∑

n=0snx

n =∞∑

n=0anx

n +∞∑

n=0bnx

n se numeste suma seriilor date daca sn =

an + bn ∀n.

2. Seria∞∑

n=0pnx

n =( ∞∑

n=0anx

n

)( ∞∑n=0

bnxn

)se numeste produsul

Cauchy al celor doua serii daca pn =n∑

k=0

akbn−k ∀n.

Page 34: Matematici superioare

34 CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE ANALIZA REALA

3. Daca b0 6= 0 atunci, seria∞∑

n=0cnx

n =( ∞∑

n=0anx

n

)/

( ∞∑n=0

bnxn

)se numeste catul

celor doua serii daca sirul (cn)n∈N se defineste recursiv astfel:

c0 =a0

b0si cn =

1b0

(an −

n∑k=1

bkcn−k

)∀n ≥ 1.

Dam urmatoarea teorema fara demonstratie.

Teorema 1.4.4.1 Daca Ra si Rb sunt razele de convergenta ale seriilor∞∑

n=0anx

n si,

respectiv,∞∑

n=0bnx

n atunci, seriile∞∑

n=0snx

n si∞∑

n=0pnx

n au raza de convergenta R ≥

min{Ra,Rb}.

Pentru seria∞∑

n=0cnx

n avem R ≥ min{Ra,Rb, r0} unde r0 este distanta de la centrul

de convergenta pana la primul punct x0 ın care seria∞∑

n=0bnx

n are suma 0.

Daca o serie de puteri admite raza de convergenta strict pozitiva atunci, ea poatefi derivata si integrata termen cu termen. Seriile rezultate vor fi convergente catrederivata sau integrala functiei la care este convergeta seria initiala pe acelasi interval deconvergeta , mai putin, eventual, capetele intervalului. Acest lucru ne asigura ca, seriilede puteri au o comportare asemanatoare cu a functiilor polinomiale.

1.5 Reprezentarea functiilor prinserii de puteri

Motivul principal al sudiului seriilor de puteri este datorat faptului ca cele mai im-portante functii elementare au reprezentari sub forma de serii de puteri, pe anumeintervale. Am vazut ca aceste serii de puteri au o comportare de tip ”polinom cu o in-finitate de termeni” si, ca urmare, ”mostenesc” multe dintre proprietatile polinoamelor.Astfel, functiile transcendente de tipul exponentialelor, trigonometricelor si a inverselorlor, prin reprezentarile lor ca serii de puteri, pot fi folosite mult mai eficient ın modelareamatematica a problemelor concrete.

1.5.1 Formula Taylor, formula Maclaurin

Fie f : I → R o functie deivabila cel putin de n ori pe I si cu derivata de ordin ncontinua pe acel interval. Fie a ∈ IntI. Daca dorim sa aproximam comportareafunctiei f , ın jurul punctului a, cu o dreapta g(x) = A + B(x − a), atunci, asupra luig trebuie sa impunem doua conditii. Prima conditie este ca g sa treaca prin punctul(a, f(a)) iar a doua este ca g si f sa aiba aceeasi crestere ın jurul lui a, deci f ′(a) = g′(a).Aceasta ne conduce la determinarea dreptei sub forma g(x) = f(a)+ f ′(a)(x−a). Acesttip de aproximare pentru f poate fi facuta doar pentru x ın vecinatati mici ale lui a.

Presupunem ca dorim acum o aproximare mai buna pentru f , prin intermediul uneifuncti polinomiale de grad doi. Atunci, cum aproximarea o facem ın jurul punctului a,consideram functia aproximanta de forma g(x) = A+B(x− a) +C(x− a)2. Conditiilecare conduc la determinarea coeficientilor A, B, C sunt cunoscute sub denumirea de”conditii de contact de ordin doi” si sunt f(a) = g(a)

f ′(a) = g′(a)f ′′(a) = g′′(a)

,

Page 35: Matematici superioare

1.5. REPREZENTAREA FUNCTIILOR PRIN SERII DE PUTERI 35

adica graficele celor doua functii trebuie sa aiba ın a aceeasi va-loare, aceeasi tangenta siaceeasi curbura (sau aceeasi rata de variatie a pantei tangentelor la grafice ın jurul luia). Indeplinirea acestor conditii conduce la A = f(a), B = f ′(a), C = 1

2f′′(a). De

exemplu, putem sa aproximam, ın jurul originii, functia cosinus, pe un interval rezonabil,(−1, 1), cu functia g(x) = 1− x2

2 .Pornind de la aceste considerente dam urmatoarea definitie

Definitia 1.5.1.1 Numim polinom Taylor de grad n asociat functiei f ın jurul punctuluia polinomul

Pn,a(x) = f(a) + f ′(a) +f ′′(a)

2!(x− a)2 + ...+

f (n)(a)n!

(x− a)n.

Daca a = 0 polinomul se numeste polinom Maclaurin.

Exemple 1.5.1.1 1. Polinomul Maclaurin de grad n pentru functia f(x) = 11− x

este, pentru x 6= 1,Pn(x) = 1 + x+ x2 + ...+ xn

Intr-adevar avem

f ′(x) =1

(1− x)2, f ′′(x) =

2!(1− x)3

... f (n)(x) =n!

(1− x)n+1

Luam x = 0 si obtinem

Pn(x) =n∑

k=1

k!k!xk = 1 + x+ x2 + ...+ xn

2. Pentru n ≥ 4 functia polinomiala f(x) = x4 − 4x2 + x+ 1 admite

Pn(x) = Pn,0 = f(x) si

Pn,2(x) = 3 + 17(x− 2) + 20(x− 2)2 + 8(x− 2)3 + (x− 2)4

3. Functia impara sinus admite polinoame Maclaurin cu proprietatea P2n−1(x) =P2n(x).

Se demonstreaza acest lucru observand ca derivatele de ordin par ale functieisinus sunt de forma ±sinx si deci nule ın origine.

Poninoamele Pn,a sunt polinoamele de grad n care aproximeaza cel mai bine functiaf in jurul lui a. Fie

Rn,a(x) = f(x)− Pn,a(x)

eroarea de aproximare ın acest caz.

Definitia 1.5.1.2 Numim formula Taylor de ordin n pentru functia f ın jurul lui aurmatoarea exprimare a lui f

f(x) = Pn,a(x) +Rn,a(x) =n∑

k=0

f (k)(a)k!

(x− a)k +Rn,a(x).

Teorema 1.5.1.1 Formula Taylor cu rest LagrangeDaca f admite derivata de ordin n + 1 pe un interval care contine pe x si pe c si Pn,a

este polinomul Taylor pentru functia f ın jurul lui a atunci, exista un punct θ ∈ (a, x)astfel ıncat

Rn,a(x) =fn+1(θ)(n+ 1)!

(x− a)n

Page 36: Matematici superioare

36 CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE ANALIZA REALA

1.5.2 Serii Taylor, serii Maclaurin

Presupunem ca functia f este de clasa C∞ pe un interval deschis I care contine punctula. Putem scrie formula Taylor pentru orice n

f(x) = Pn,a(x) +Rn,a(x).

Daca limn→∞

Rn,a(x) = 0 pentru orice x ∈ I, suntem ındreptatiti sa tragem concluzia ca,pentru x ∈ I, avem

f(x) = limn→∞

Pn,a(x) =∞∑

k=0

f (k)(a)k!

(x− a)k

Unei functii f , de clasa C∞ pe domeniul ei de definitie D, putem sa ıi asociem o serie deputeri.

Definitia 1.5.2.1 Numim serie Taylor asociata functiei f ın jurul punctului c ∈ Dseria

∞∑n=0

f (n)(c)n!

(x− c)n

(Pentru c = 0 seria se numeste Maclaurin).

Observatia 1.5.2.1 Seria astfel definita are un punct ın care este convergenta si anumex = c. In rest, seria poate sa nu convearga. Daca, ınsa, exista un punct x ın care seriaeste convergenta la f atunci exista un interval deschis care contine pe x ın care seriaeste convergeta la f .

Definitia 1.5.2.2 Daca seria Taylor atasata lui f ın jurul lui c converge la f(x) pen-tru x ıntr-un interval care contine pe c, atunci, spunem ca f este analitica ın x =c. Daca este analitica ın orice punct al unui interval deschis I, spunem ca f esteanalitica pe I.

Functiile elementare sunt analitice pe intervalele pe care admit deri-vate de orice ordin,dar nu orice functie care admite derivate de orice ordin este analitica.Pe de alta parte, pentru orice serie de puteri care converge pe un interval deschis, sumaei, f(x), este analitica ın centrul intervalului si, seria data este seria Taylor a lui f ınjurul centrului c.

Teorema 1.5.2.1 Daca seria∞∑

n=0an(x − c)n converge la f(x) pentru orice x ∈ (c −

R, c+R), R > 0, atunci, f este analitica ın c, adica

ak =f (k)(c)k!

∀k ∈ N

Demonstratie: Folosim teorema 3.2.5.1 si derivand seria de puteri de k ori, termencu termen, obtinem

f (k)(x) =∞∑

k=n

Aknan(x− c)n−k = k!ak +

(k + 1)!1!

ak+1(x− c) + ....

Aceasta serie converge pentru orice x ∈ (c − R, c + R), R > 0 si daca luam x = cobtinem f (k)(c) = akk!. Deci teorema este demonstrata.

Corolar 1.5.2.1 Daca o functie data admite o reprezentare ın serie de puteri ın jurulunui punct, atunci, acea reprezentare este unica.

Page 37: Matematici superioare

1.5. REPREZENTAREA FUNCTIILOR PRIN SERII DE PUTERI 37

1.5.3 Aplicatii

In acest paragraf ne propunem sa determinam seriile Maclaurin si domeniile lor deconvergenta pentru functiile elementare si sa punem ın evidenta unele aplicatii ale seriilorde puteri.

Determniarea seriei Maclaurin pentru o functie data, pornind de la definitie, poate fio sarcina deosebit de dificila daca nu gasim exprimarea formala, generala, a derivatei deordin k pentru f . Teoremele prezentate anterior ne ajuta, ın multe cazuri, sa trecem pesteacest tip de inconveniente. O grija deosebita trebuie avuta la determinarea domeniuluide convergenta a acestor serii.

Pornind de la definitie, putem scrie seriile Maclaurin pentru functiile 11− x, e

x, sinx, (1+x)α. De la aceste serii, utilizand teoremele de la serii de puteri, prin derivare termen cutermen, prin integrare termen cu termen sau cu ajutorul operatiilor algebrice, obtinemurmatoarele rezultate, pe care le grupam astfel:

I. Consideram

(1)1

1− x=

∞∑n=0

xn = 1 + x+ x2 + x3 + ...+ xk + .. ∀x ∈ (−1, 1).

Schimbam x cu −x si avem

(2)1

1 + x=

∞∑n=0

(−1)nxn = 1− x+ x2 − x3 + ...+ (−1)kxk + .. ∀x ∈ (−1, 1).

Direct, pornind de la definitie, nu putem obtine seria Maclaurin pentru functia 11− x2

dar, daca adunam (1) cu (2) rezulta:

(3)1

1− x2 =∞∑

n=0

x2n = 1 + x2 + x4 + x6 + ...+ x2k + .. ∀x ∈ (−1, 1).

Schimband ın (3) pe x2 cu −x2 determinam:

(4)1

1 + x2 =∞∑

n=0

(−1)nx2n = 1− x2 + x4 − x6 + ...+ (−1)kx2k + .. ∀x ∈ (−1, 1).

Prin derivare termen cu termen, din (1), obtinem

(5)1

(1− x)2=

∞∑n=1

nxn−1 = 1 + 2x+ 3x2 + ...+ kxk−1 + ... convergenta ın (−1, 1)

Pornind de la (2), prin integrare termen cu termen gasim

(6) ln(1 + x) =∞∑

n=0

(−1)n

n+ 1xn+1 = x− x2

2+x3

3− x4

4+ ... − 1 < x ≤ 1

Integrand termen cu termen (4) determinam

(7) arctg x =∞∑

n=0

(−1)n

2n+ 1x2n+1 = x− x3

3+x5

5+ ... ∀x ∈ [−1, 1].

Pentru a determina seria Maclaurin a functiei 1a− bx

, fara a utiliza definitia, procedamastfel:

1a− bx

= 1a

11− bx

asi punem conditia bx

a ∈ (−1, 1). Avem:

(8)1

a− bx=

1a

1

1− bxa

=1a

∞∑n=0

(bx

a

)n

x ∈(−∣∣∣ab

∣∣∣ , ∣∣∣ab

∣∣∣)

Page 38: Matematici superioare

38 CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE ANALIZA REALA

Un ultim exemplu de serie de puteri pentru acest tip de functie este

(9)x

1− x= x · 1

1− x= x

∞∑n=0

xn =∞∑

n=0

xn+1

Putem astfel gasi seria Maclaurin pentru orice functie f(x) = P (x)Q(x) unde P, Q ∈ R[X].

II. Consideram functia ex si formula ei Maclaurin cu rest sub forma Lagrange. Avemlim

n→∞Rn = lim

n→∞θn+1

(n+ 1)! = 0 oricare ar fi θ ∈ R deci putem scrie

(10) ex =∞∑

n=0

xn

n!= 1 + x+

x2

2!+x3

3!+ ... x ∈ R

Atunci, daca schimbam pe x ın −x, obtinem

(11) e−x =∞∑

n=0

(−1)n

n!xn = 1− x+

x2

2!− x3

3!+ ... x ∈ R

Tinand cont de definitia functiilor hiperbolice,

sh x =ex − e−x

2, ch x =

ex + e−x

2

vom avea

(12) ch x =∞∑

n=0

x2n

(2n)!= 1 +

x2

2!+x4

4!+ ... x ∈ R

si

(13) sh x =∞∑

n=0

x2n+1

(2n+ 1)!= 1 +

x3

3!+x5

5!+ ... x ∈ R

III. Seriile Maclaurin pentru functiile trigonometrice sinus si co-sinus pe care leobtinem sunt

(14) sinx =∞∑

n=0

(−1)n

(2n+ 1)!x2n+1 ∀x ∈ R

si

(15) cosx =∞∑

n=0

(−1)n

(2n)!x2n ∀x ∈ R

Observatia 1.5.3.1 Sa remarcam asemanarea dintre seriile pentru sin x si sh x ca sicea dintre cos x si ch x. Daca am avea demonstrate proprietatile de la seriile cu termenireali si pentru serii cu termeni numere complexe si daca functiile despre care discutamar avea argument complex, atunci, am putea vedea ca

cos x = ch(ix) si sin x = −ish(ix).

De aici rezulta caeix = cosx+ isinx, e−ix = cosx− isinx

Obtinem astfel formulele lui Euler

cosx =eix + e−ix

2; sinx =

eix − e−ix

2i.

Page 39: Matematici superioare

1.5. REPREZENTAREA FUNCTIILOR PRIN SERII DE PUTERI 39

Aceste formule sunt adevarate dar demonstratia lor necesita cunostinte mai ample.Putem determina si primii termeni ai seriei Maclaurin pentru functia tangenta, folosindpentru aceasta formulele de la ımpartirea seriilor

(16) tg x = x+13x3 +

215x5 + ... x ∈

(−π

2,π

2

).

IV. Ultima grupa de serii Maclaurin pe care le punem ın evidenta este cea legata deseria binomiala.

(17) (1 + x)α = 1 + αx+α(α− 1)

2!x2 +

α(α− 1)(α− 2)3!

x3 + .... =

= 1 +∞∑

n=1

α(α− 1)...(α− n+ 1)n!

xn; x ∈ (−1, 1).

Luam pe α = −12 si obtinem seria pentru 1√

1 + x

(18)1√

1 + x= 1− 1

2x+

1 · 3222!

x2 − 1 · 3 · 5233!

x3 + ... =

= 1 +∞∑

n=1

(−1)n (2n)!22n(n!)2

xn

Inlocuind pe x cu −x2 obtinem seria

(19)1√

1− x2= 1 +

∞∑n=1

(2n)!22n(n!)2

x2n

Integrand aceasta serie obtinem

(20) arcsin x = x+∞∑

n=1

(−1)n (2n)!22n(n!)2(2n+ 1)

x2n+1.

Dam ın continuare alte cateva exemple de tipuri de probleme ın care seriile de puterisunt foarte utile.

Exemple 1.5.3.1 1. Aproximarea functiilor definite printr-o integrala.Determinati seria Taylor pentru Φ(x) =

∫ x

0e−t2dt si determinati Φ(1) cu trei zec-

imale exacte.

Stim ca aceasta functie, foarte utila ın statistica, exista dar nu poate fi expri-mata printr-o formula independenta de integrala. Dar, pentru orice x ∈ R, avem

Φ(x) =∫ x

0

e−t2dt =∫ x

0

(1− t2

1!+t4

2!− t6

3!+ ...

)dt =

=(t− t3

3+

t5

5 · 2!− t7

7 · 3!+ ...

)∣∣∣∣x0

=∞∑

n=0

(−1)n x2n+1

(2n+ 1)n!.

Determinarea lui Φ(1) cu trei zecimale exacte impune x = 1 si considerarea atatortermeni ın serie astfel ıncat eroarea de aproximare sa fie mai mica decat 0,0005.Pentru acest tip de serii stim ca eroarea de aproximare este mai mica decat modululprimului termen ignorat. Din 1

(2n+ 3)(n+ 1)! < 0, 0005 obtinem, prin ıncercari,

n = 5 deciΦ(1) ≈ 1− 1

3+

110− 1

42+

1216

− 11320

≈ 0, 749

Page 40: Matematici superioare

40 CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE ANALIZA REALA

2. Putem folosi seriile Taylor si la calculul unor limite, ın locul regulei lui l’Hopital.Sa calculam

limx→0

x− arcsinx

(ex − 1)(1− cosx)

Avem pe rand

x− arcsinx = x−(x+

x3

6+

3x5

40+ ...

)= −x

3

6− 3x5

40− ...

(ex − 1)(1− cosx) =(

1 + x+x2

2!+ ...− 1

)(1− 1 +

x2

2!− x4

4!+ ...

)=

=(x+

x2

2!+ ...

)(x2

2!− x4

4!+ ..

)=x3

2+x4

4+x5

24+ ...

Atunci,

limx→0

x− arcsinx

(ex − 1)(1− cosx)= lim

x→0

−x3

6 − 3x5

40 − ...

x3

2 + x4

4 + x5

24 + ...= −1

3

3. Seriile Taylor pot oferi un puternic instrument de lucru si pentru rezolvarea unorecuatii diferentiale. Vom detalia acest subiect ın capitolul de ecuatii diferentiale.

1.5.4 Interpolarea functiilor

Am vazut ca, una dintre aplicatiile seriilor Taylor, este aproximarea unei functii f cu ofunctie polinomiala p si ca, prin intermediul lui p, putem determina aproximativ valoareafunctiei f ın anumite puncte. Pentru aceasta cerem ca functia f sa ındeplineasca nistecriterii de derivabilitate. Sa consideram cazul ın care functia f , a carei expresie nu ocunoastem, este data tabelat, prin intermediul a n noduri

x x1 x2 ... xn

f(x) y1 y2 ... yn

Dorim sa gasim o metoda prin care sa putem asocia functiei f o valoare ıntr-un punctintermediar. Aceasta problema se numeste problema de interpolare.

Definitia 1.5.4.1 Numim functie de interpolare asociata functiei tabelate cu n nodurif , o functie continua F : [x1, xn] → R cu proprietatea ca F (xk) = f(xk) k = 1, 2, ..., n

Raspunsul la problema de interpolare este

f(α) = F (α) ∀α ∈ [x1, xn].

Din modul cum este definita functia de interpolare, se observa ca ea nu este unica.Cea mai simpla forma de interpolare este interpolarea liniara. Pentru modelele eco-nomice, acest tip de interpolare este cel mai folosit. Modelele ingineresti cer mai multde la functia de interpolare si anume cer derivabilitate de un anumit ordin. Cele maisimple functii de interpolare sunt date de functiile polinomiale. Unei functii tabelate cun noduri i se asociaza, ın mod unic, o functie polinomiala de interpolare de grad celmult n− 1.

Consideram pentru ınceput cazul interpolarii liniare. Pentru fiecare pereche de noduriconsecutive ale functiei tabelate scriem ecuatia dreptei determinata de ele

x− xk

xk+1 − xk=

y − yk

yk+1 − yk.

Page 41: Matematici superioare

1.5. REPREZENTAREA FUNCTIILOR PRIN SERII DE PUTERI 41

De aici exprimam pe y si obtinem restrictia functiei de interpolare la intervalul [xk, xk+1]ca fiind:

F|[xk,xk+1](x) = yk +yk+1 − yk

xk+1 − xk(x− xk).

In acest mod se determina functia poligonala de interpolare.Cazul interpolarii polinomiale poate fi abordat ın mai multe mo-duri. Fiecare din-

tre aceste moduri conduce la cate o forma particulara de exprimare a polinomului deinterpolare. Studiem ın continuare cazul polinoamelor Lagrange.

Fie functia tabelata

x x1 x2 ... xn

f(x) y1 y2 ... yn

Secventei x1, x2, ..., xn ıi atasam n polinoame fundamentale de grad n − 1, notate

lk(x), k = 1, 2, ..., n. Aceste polinoame au proprietatea lk(xi) = δki ={

1 k = i0 k 6= i

.

(δki poarta numele de simbol Kroneker).Cerinta ca lk(xi) = 0, coroborata cu restrictia de grad, impune pentru lk(x) forma

lk(x) = αk(x− x1)(x− x2)...(x− xk−1)(x− xk+1)...(x− xn)

Conditia lk(xk) = 1 conduce la determinarea constantelor αk de forma

αk =1

(xk − x1)(xk − x2)...(xk − xk−1)(xk − xk+1)...(xk − xn)

Atunci, vom avea:

lk(x) =(x− x1)(x− x2)...(x− xk−1)(x− xk+1)...(x− xn)

(xk − x1)(xk − x2)...(xk − xk−1)(xk − xk+1)...(xk − xn)

adica

lk(x) =n∏

i=1,i 6=k

x− xi

xk − xi.

Definitia 1.5.4.2 Numim polinom de interpolare Lagrange, polinomul

L(x) =n∑

k=1

yklk(x) =n∑

k=1

n∏i=1,i 6=k

x− xi

xk − xi

.

Propozitia 1.5.4.1 Polinomul L(x) este polinom de interpolare atasat functiei tabelatedate, adica are proprietatea

L(xj) = yj ∀j = 1, 2, ..., n.

Demonstratie: Avem L(xj) =n∑

k=1

yklk(xj) =n∑

k=1

ykδkj = yj .

Exemplu: Sa se scrie polinomul de interpolare Lagrange atasat tabelei

x -1 0 1 2f(x) 2 1 2 5

Calculam polinoamele fundamentale lk(x), k = 1, 2, 3, 4Avem x1 = −1, x2 = 0, x3 = 1, x4 = 2 si y1 = 2, y2 = 1, y3 = 2, y4 = 5

l1(x) =(x− x2)(x− x3)(x− x4)

(x1 − x2)(x1 − x3)(x1 − x4)=x(x− 1)(x− 2)(−1)(−2)(−3)

=x3 − 3x2 + 2x

−6

Page 42: Matematici superioare

42 CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE ANALIZA REALA

l2(x) =(x− x1)(x− x3)(x− x4)

(x2 − x1)(x2 − x3)(x2 − x4)=

(x+ 1)(x− 1)(x− 2)(1)(−1)(−2)

=

=x3 − 2x2 − x+ 2

2

l3(x) = (x− x1)(x− x2)(x− x4)(x3 − x1)(x3 − x2)(x3 − x4)

= (x+ 1)x(x− 2)(2)(1)(−1) = x3 − x2 − 2x

−2

l4(x) = (x− x1)(x− x2)(x− x3)(x4 − x1)(x4 − x2)(x4 − x3)

= (x+ 1x(x− 1)(3)(2)(1) = x3 − x

6L(x) = y1l1(x) + y2l2(x) + y3l3(x) + y4l4(x) = x2 + 1.

Observatia 1.5.4.1 Interpolarea polinomiala sub forma Lagrange, ca de altfel inter-polarea polinomiala ın general, prezinta atat avantaje cat si dezavantaje.

1. polinoamele lk(x) depind numai de alegera secventei x1, x2, ...xn, si nu depind devalorile y1, y2, ..., yn ceea ce reprezinta un avantaj;

2. adaugarea de noduri ın tabela de interpolat conduce la refacerea tuturor calculelor,ceea ce reprezinta un dezavantaj;

3. ın general , interpolarea polinomiala reflecta defectuos proprietatile diferentialeale functiei interpolate;

4. alegerea numarului de noduri ın tabela de interpolat este importanta ın acurateteacalculelor valorilor interpolate.

Page 43: Matematici superioare

Capitolul 2

Elemente de GeometrieAnalitica si Diferentiala

2.1 Suprafete riglate si suprafete de rotatie

Suprafetele riglate semnificative sunt : planul, cilindrul, conul, conoizii cu plan director,hiperboloidul cu o panza, paraboloidul hiperbolic. Sa studiem pentru ınceput suprafetelecilindrice.

Definitia 2.1.0.3 Consideram (d)(M0, ~v) o dreapta de vector director ~v si o curba fixa

(C) :{F1(x, y, z) = 0F2(x, y, z) = 0 .

Numim cilindru, suprafata generata de dreptele paralele cu (d) si care se sprijina pe(C).Familia de drepte se va numi familie generatoare iar curba (C) se va numi curba direc-toare.

poza cilindri

Teorema 2.1.0.1 Fie (d)((P1)⋂

(P2)) o dreapta data ca intersectie de doua plane si

(C) :{F1(x, y, z) = 0F2(x, y, z) = 0

o curba fixa. Cilindrul generat de drepte paralele cu (d) si care se sprijina pe (C) areecuatia de forma

F ((P1), (P2)) = 0.

Demonstratie: Multimea planelor paralele cu (P1) este data de (P1) = α iar a celorparalele cu (P2) este data de (P2) = β. Intersectia acestor doua familii de plane va fiformata din multimea tuturor dreptelor paralele cu (d). Fie (d)α,β aceste drepte. Alegem

43

Page 44: Matematici superioare

44CAPITOLUL 2. ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICA SI DIFERENTIALA

pe cele care se sprijina pe curba (C). Ele ındeplineasc urmatoarele conditii:(P1) = α(P2) = βF1(x, y, z) = 0F2(x, y, z) = 0

Acest sistem ar trebui sa aiba ca solutie, pentru α si β dati, coordonatele de intersectiedintre o dreapta a familiei si curba (C). Avem un sistem cu patru ecuatii si trei necunos-cute, x, y, z. Un astfel de sistem este ın general incompatibil. Daca ınsa ıntre α si βexista o anumita relatie sistemul este compatibil. Relatia dintre cei doi parametri careface sistemul compatibil se obtine eliminand pe x, y, z ıntre ecuatiile sistemului.Rezulta o relatie de forma F (α, β) = 0.Satisfacem astfel conditiile teoremei de generare de suprafete de catre familii de curbedependente de doi parametri ıntre care exista o relatie de legatura. Avem: (P1) = α

(P2) = βF (α, β) = 0

.

Eliminam cei doi parametri, α si β, ıntre cele trei relatii. Obtinem ecuatia cilindrului

F ((P1), (P2)) = 0.

Sa obseram ca prin cilindru ıntelegem o suprafata si nu un corp. Daca avem curbadirectoare ınchisa, atunci cilindrul se numeste cilindru ınchis. Daca curba directoareare ”un nume” atunci cilindrul poarta acel nume, de exmplu cilindru eliptic, circular,parabolic, hiperbolic,...

Conuri

Definitia 2.1.0.4 Consideram un punct fix V si o curba data (C) de ecuatii

(C) :{F1(x, y, z) = 0F2(x, y, z) = 0 .

Numim con suprafata generata de drepte care trec prin V si se sprijina pe curba (C).

Teorema 2.1.0.2 Daca varful V este definit ca intersectie de trei plane

V = (P1)⋂

(P2)⋂

(P3)

si curba (C) este data de ecuatiile

(C) :{F1(x, y, z) = 0F2(x, y, z) = 0

atunci ecuatia conului determinat de dreptele ce trec prin V si se sprijina pe (C) estede forma

F

(P1

P2,P3

P2

)= 0.

Demonstratie: Daca varful V este dat de intersectia planelor (P1), (P2), (P3) atuncidreptele (d1)((P1)

⋂(P2)) si (d2)((P2)

⋂(P3)) au inter-sectia formata din punctul V .

Page 45: Matematici superioare

2.1. SUPRAFETE RIGLATE SI SUPRAFETE DE ROTATIE 45

Multimea tuturor dreptelor care trec prin V va fi data de intersectia fasciculelor deplane

(d)α,β ={

(P1)− α(P2) = 0(P3)− β(P2) = 0 .

Determinam conditia de sprijin. Pentru aceasta formam sistemul(P1)− α(P2) = 0(P3)− β(P2) = 0F1(x, y, z) = 0F2(x, y, z) = 0

.

Reluand rationamentul din demonstratia teoremei anterioare avem ca sistemul este com-patibil numai daca parametrii α si β sunt legati printr-o relatie pe care o obtinem daca ınsistemul anterior eliminam necunoscutele x, y, z. Rezulta conditia de sprijin

F (α, β) = 0.

Am ajuns ın conditiile teoremei de generare a suprafetelor. Avem (P1) = α(P2)(P3) = β(P2)F (α, β) = 0

Determinarea ecuatiei conului se face eliminand parametrii α si β ıntre cele trei relatii.Rezulta ecuatia

F

((P1)(P2)

,(P3)(P2)

)= 0.

Aceeasi observatie ca la cilindri si anume conurile sunt suprafete si nu corpuri. Curbadirectoare ınchisa face ca sa avem de a face cu un con ınchis.

- Conoizi cu plan director

Definitia 2.1.0.5 Fie planul (P ), dreapta (d) si curba (C). Dreptele paralele cu planulsi care se sprijina pe (d) si pe (C) genereaza un conoid cu plan director.

Teorema 2.1.0.3 Consideram planul (P ), dreapta (d)((P1)⋂

(P2)) si curba

(C) :{F1(x, y, z) = 0F2(x, y, z) = 0 .

Atunci, conoidul cu plan director, generat de drepte paralele cu planul si care se spri-jina pe dreapta si curba, are ecuatia de forma

F

((P ),

(P1)(P2)

)= 0.

Demonstratia o lasam ca exercitiu.

Page 46: Matematici superioare

46CAPITOLUL 2. ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICA SI DIFERENTIALA

Suprafete de rotatie

Consideram curba

(C) :{F1(x, y, z) = 0F2(x, y, z) = 0

si axa de rotatie data de dreapta

(d)(~v = l~i+m~j + n~k,M0(x0, y0, z0)).

Teorema 2.1.0.4 Suprafata de rotatie generata de curba (C), care se roteste ın juruldreptei (d), este de forma

F(lx+my + nz,

√(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2

)= 0.

Demonstratie: Un punct al curbei (C) descrie un cerc situat ıntr-un plan perpendic-ular pe axa de rotatie. Acest cerc poate fi privit ca intersectia unei sfere cu centrul ın M0

si de raza variabila, cu un plan al unei familii de plane perpendiculare pe axa de rotatie.Familia de plane perpendiculare pe (d) este lx+my+nz = α. Sfera variabila are ecuatia(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = β2. Conditia de sprijin o vom obtine din

lx+my + nz = α(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = β2

F1(x, y, z) = 0F2(x, y, z) = 0

Fie aceasta conditie F (α, β) = 0. Suprafata de rotatie rezulta eliminand α si β dinsistemul lx+my + nz = α

(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = β2

F (α, β) = 0

Astfel teorema este demonstrata.

Exemple 2.1.0.1

- Sa se determine ecuatia cilindrului cu generatoarele paralele cu dreapta (d) :{x+ y − z − 1 = 0x− 3z − 2 = 0 si care are curba directoare (C) :

{x2 + y2 + z2 = 4z = 1

Sistemul care ne conduce la determinarea conditiei de sprijin estex+ y − z − 1 = αx− 3z − 2 = βz = 1x2 + y2 + z2 = 4

Conditia de sprijin este

(β − 5)2 + (α− β − 3)2 = 3

Ecuatia cilindrului se obtine eliminand α si β din sistemul x+ y − z − 1 = αx− 3z − 2 = β(β − 5)2 + (α− β − 3)2 = 3

Rezultax2 + y2 + 9z2 − 6xz + 4yz + 6x− 4y − 26z + 10 = 0.

Page 47: Matematici superioare

2.1. SUPRAFETE RIGLATE SI SUPRAFETE DE ROTATIE 47

- Sa se determine conul cu varful ın origine si a carui curba directoare este

(C) :{x2 + y2 = 4z = 2 .

Scriem originea O ca intersectie a planelor de coordonate

O :

x = 0y = 0z = 0

Atunci toate dreptele care trec prin origine se obtin ca

(d)α,β :{x = αyz = βy

Conditia de sprijin este gasita prin eliminarea lui x, y, z din sistemulx = αyz = βyx2 + y2 = 4z = 2

Din z = 1 ⇒ y = 1β⇒ x = α

β. Deci,

α2

β2 +1β2 = 4.

Eliminam α si β din sistemul x = αyz = βyα2

β2 + 1β2 = 4

Conul cautat va fix2 + y2 = 4z2.

- Sa se determine conoidul cu plan director generat de drepte paralele cu planulx+ z = 0 si care se sprijina pe axa Oz si pe curba

(C) :{x2 + y2 = 1z = 0 .

Fasciculul de plane care trece prin axa Oz este y = βx. Atunci sistemul care neda conditia de sprijin este x+ z = αy = βx

x2 + y2 = 1z = 0

Aceasta conditie este α2 + α2β2 = 1.Eliminam α si β din x+ z = α

y = βxα2 + α2β2 = 1

Page 48: Matematici superioare

48CAPITOLUL 2. ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICA SI DIFERENTIALA

si obtinem ecuatia conoidului cu plan director

(x+ z)2(x2 + y2) = x2.

Determinati ecuatia suprafetei generata de curba

(C) :{x2 − 2y2 + z2 = 5x+ z = −3

care se roteste ın jurul axei x = y = z.Cercul generator este dat de {

x2 + y2 + z2 = α2

x+ y + z = β

Conditia de sprijin o obtinem dinx2 + y2 + z2 = α2

x+ y + z = βx2 − 2y2 + z2 = 5x+ z = −3

Eliminand x, y, z rezultaα2 − 3(β − 3)2 = 5.

Ecuatiile parametrice ale suprafetei de rotatie sunt x2 + y2 + z2 = α2

x+ y + z = βα2 − 3(β − 3)2 = 5

adicax2 + y2 + z2 − 3(x+ y + z − 3)2 − 5 = 0

2.2 Cuadrice pe forma redusa

2.2.1 Sfera

Considera spatiul dat de mediul ambiant ınzestrat cu metrica euclidiana.

Definitia 2.2.1.1 Numim sfera de centru C si raza r multimea punctelor M0 cu pro-prietatea ca d(M,C) = r.

Ecuatia analitica pe care o satisfac aceste puncte este:

(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = r2.

Efectuand calculele ajungem la o expresie de forma

A(x2 + y2 + z2) +Bx+ Cy +Dz + E = 0

numita ecuatia generala a unei sfere. PuncteleM , de pe sfera, sunt caracterizate vectorialastfel

‖OM‖ = r

Page 49: Matematici superioare

2.2. CUADRICE PE FORMA REDUSA 49

Pozitia unui punct anume pe sfera poate fi precizata daca cunoas- tem meridianul siparalela pe care se afla el (similar cu pozitia unui punct pe Pamant). Meridianul vafi obtinut ca intersectia dintre sfera cu semiplanul determinat de axa Oz si puncul M .Pozitia acestui semiplan ın fasciculul de semiplane care sunt limitate de axa Oz estecaracterizata de unghiul pe care ıl face semiaxa pozitiva Ox cu semidreapta determi-nata de intersectia semiplanului din fascicul cu planul xOy, unghi masurat ın sens directtrigonometric de la axa Ox. Fie acest unghi θ. Sa observam ca θ ∈ [0, 2π). Cerculpa-ralel este determinat de intersectia dintre sfera cu un plan paralel cu xOy si care treceprin M . Pozitia acestui plan este caracterizata de unghiul pe care vectorul de pozitieOM ıl face cu versorul ~k, al axei Oz. Fie acest unghi ϕ si sa observam ca ϕ ∈ [0, π].

Acum putem scrie ecuatiile parametrice ale unei sfere cu centrul ın originea O areperului x = rcosθsinϕ

y = rsinθsinϕz = rcosϕ

iar daca sfera are centrul ın punctul C(a, b, c), printr-o translatie, scriem ecuatiile para-metrice ale unei sfere ın general: x = a+ rcosθsinϕ

y = b+ rsinθsinϕz = c+ rcosϕ

.

Consideram o sfera (S)(C(a, b, c), r) si un punct M0(x0, y0, z0). Numim puterea punc-tului M0 fata de sfera numarul real

ρ = (x0 − a)2 + (y0 − b)2 + (z − z0)2 − r2.

Locul geometric al punctelor din spatiu, care au aceeasi putere fata de doua sfere,poarta numele de plan radical si este un plan perpendicular pe dreapta celor doua cen-tre.Pentru trei sfere, cu centrele necoliniare, locul geometric al punctelor ce au puteri egalefata de ele este axa radicala. Aceasta dreapta este data de intersectia a doua dintreplanele radicale. Fie sferele

(S1)(C1(a1, b1, c1), r1), (S2)(C2(a2, b2, c2), r2) si (S3)(C3(a3, b3, c3), r3)

date prin ecuatiile lor carteziene implicite. Ecuatia planului radical al sferelor (S1) si(S2) este

(S1)− (S2) = 0

iar ecuatiile axei radicale sunt {(S1)− (S2) = 0(S3)− (S2) = 0 .

Pozitia relativa a planelor si sferelor.

Reamintim ca sfera o consideram o suprafata iar corpul marginit de aceasta suprafata ılnumim corp sferic.Un plan si o sfera au ın comun un cerc, un punct dublu sau multimea vida. Planul careintersecteaza sfera dupa un cerc o ımparte ın doua calote iar corpul sferic ıl ımparte ındoua segmente sferice. Cele doua calote (segmente) sunt egale daca planul trece princentrul sferei. Doua plane delimiteaza dintr-o sfera o zona sferica. Doua plane distincte,care trec prin centrul sferei, delimiteaza patru pene sferice. O raza vectoare a unei sfere,care se misca pe un cerc de pe sfera, descrie o suprafata conica. Aceasta ımparte corpulsferic ın doua sectoare sferice.

Page 50: Matematici superioare

50CAPITOLUL 2. ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICA SI DIFERENTIALA

2.2.2 Suprafete algebrice de gradul al doilea

Definitia 2.2.2.1 Fie suprafata a carei ecuatie carteziana implici-ta este (S) : F (x, y, z) =0 Daca F este o functie polinomiala, suprafata se va numi suprafata algebrica, iardaca polinomul este de gradul al doilea, ea se va numi cuadrica.

Cuadricele reprezinta o clasa importanta de suprafete, cu proprietati geometrice si fiziceremarcabile. Ecuatia generala carteziana implicita este:

a11x2 + a22y

2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a14x+ 2a24y + a34z + a44 = 0.

O astfel de ecuatie pentru care avem ındeplinita conditia

a211 + a2

22 + a233 6= 0,

printr-o translatie bine aleasa, se poate ınca simplifica. In urma studiilor, s-a ajuns laconcluzia ca orice ecuatie de gradul al doilea cu trei necunoscute se poate reduce la unadin cele 17 forme de ecuatii speciale, alcatuite din cel mult patru termeni, numite ecuatiiale cuadricelor sub forma redusa.Consideram ıntai

x2

a2 +y2

b2+z2

c2+ 1 = 0

x2

a2 + y2

b2+ 1 = 0 si x

2

a2 + 1 = 0.

Gruparea acestor prime ecuatii o facem deoarece ele nu au solutie reala si nu reprezinta fig-uri geometrice.Urmatoarele noua ecuatii sunt cele ale cuadricelor singulare, degenerate, plane sau suprafetecilindrice ori conice care se pot desfasura ın plan.

1. x2

a2 + y2

b2+ z2

c2= 0.

Cuadrica degenerata. Reprezinta un punct si anume originea.

2. x2

a2 + y2

b2= 0.

Cuadrica degenerata, este o dreapta si anume axa Oz.

3. x2

a2 = 0. Planul yOz.

4. x2

a2 = 1 plane paralele cu yOz

5. x2

a2 −y2

b2= 0 doua plane perpendiculare pe xOy.

6. x2

a2 −y2

b2= 1 cilindru hiperbolic generat de drepte paralele cu Oz

7. x2

a2 + y2

b2= 1 cilindru eliptic cu generatoarea paralela cu Oz

8. x2

a2 − 2py = 0 cilindru parabolic generat de drepte paralele cu Oz

9. x2

a2 + y2

b2− z2

c2= 0 con de gradul al doilea eliptic

Cele cinci tipuri de ecuatii care au ramas reprezinta cuadrice nesingulare. Denumireacuadricei depinde de intersectia ei cu un plan care trece printr-o axa de coordonateprincipala, aleasa, (sectiune axiala) si de intersectia ei cu un plan perpendicular peaceasta axa (sectiune transversala) . Daca prima intersectie este elipsa, hiperbola sau

Page 51: Matematici superioare

2.2. CUADRICE PE FORMA REDUSA 51

parabola suprafata se numeste elipsoid, hiperboloid sau paraboloid. Cea de a douaintersectie aduce precizari, daca este nevoie, adaugand la denumire adjectivele elipticsau hiperbolic. Nu exista cuadrica nesingulara care sa aiba sectiunea transversala para-bolica. Daca suprafata are puncte ın doua semispatii disjuncte si nu are puncte ın planulde separare al celor doua semispatii atunci spunem ca suprafata are doua panze. Celecinci cuadrice ramase vor fi astfel elipsoidul, hiperboloidul cu o panza, hiperboloidul cudoua panze, paraboloidul eliptic si paraboloidul hiperbolic.

2.2.3 Elipsoidul

Consideram un reper cartezian.

Definitia 2.2.3.1 Suprafata caracterizata de

x2

a2 +y2

b2+z2

c2= 1(2.2.1)

poarta numele de elipsoid.

Aceasta suprafata este una reala, simetrica fata de cele trei plane de coordonate.Sectiunile prin elipsoid facute dupa aceste plane ne dau elipse. Planele de coordonatesi axele de coordonate sunt plane si axe de simetrie. Orice diametru al elipsoidului esteımpartit de O ın doua segmente egale ceea ce ınseamna ca elipsoidul are un centrude simetrie (cuadrica cu centru). Intersectia cu semiaxele de coordonate pozitive are,respectiv, valorile a, b, c. Segmentele determinate pe aceste semiaxe se numesc semiaxeleelipsoidului. Intersectiile propriu-zise sunt varfurile elipsoidului. Daca a = b = celipsoidul este o sfera. Daca doua semiaxe sunt egale atunci elipsoidul se numeste elipsoidde rotatie sau elipsoid biaxial. Acesta poate fi obtinut prin rotirea unei elipse situata ınplanul a doua axe ın jurul celei de a treia axe. Orice elipsoid poate fi transformat prinr-o omotetie a axelor (contractie sau dilatare) ıntr-un elipsoid de rotatie. Compunerea adoua omotetii poate transforma elipsoidul ıntr-o sfera. Pastrand semnificatia notatiilor sivariatia unghiurilor din cazul sferei avem pentru elipsoid urmatoarele ecuatii parametrice x = acosθsinϕ

y = bsinθsinϕz = ccosϕ

(2.2.2)

2.2.4 Hiperboloidul cu o panza

Cum am precizat anterior, dintre cele trei axe ale reperului cartezian special pozitionat,ne alegem axa Oz ca axa de referinta.

Definitia 2.2.4.1 Suprafata care are ca ecuatie carteziana ın reperul considerat pe

x2

a2 +y2

b2− z2

c2= 1(2.2.3)

poarta numele de hiperboloid cu o panza.

Intersectia unui hiperboloid cu o panza cu planele de coordonate ne da, pentru xOyo elipsa de semiaxe a si b iar pentru xOz si yOz hiperbole de semiaxe a si c sau b sic. Daca a = b avem un hiperboloid de rotatie. Axa Oz este axa hiperboloidului cu opanza. Pentru acest tip de hiperboloid avem aceleasi simetrii ca la elipsoid si acelasicentru. Transformari afine pe directiile axelor Ox sau Oy conduc la obtinerea dintr-unhiperboloid uzual cu o panza, a unuia de rotatie si reciproc. Hiperboloidul cu o panza este

Page 52: Matematici superioare

52CAPITOLUL 2. ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICA SI DIFERENTIALA

o suprafata riglata dar nu este o torsa, adica nu este o suprafata desfasurabila.Scriem ecuatia hiperboloidului cu o panza sub forma(x

a− z

c

)(xa

+z

c

)=(1− y

b

)(1 +

y

b

)(2.2.4)

si consideram urmatoarele familii de drepte

(dα) :

xa −

zc = α

(1− y

b

)α(xa + z

c)

= 1 + yb

(d∞) :x

a+z

c= 1− y

b= 0;(2.2.5)

si

(dβ) :

xa −

zc = β

(1 + y

b

)β(xa −

zc)

= 1 + yb

(d∞) :x

a+z

c= 1 +

y

b= 0;(2.2.6)

unde α si β sunt parametri reali. Acest lucru ne arata ca urmatoarea teorema esteadevarata.

Teorema 2.2.4.1 Orice punct al unui hiperboloid cu o panza se gaseste pe o dreapta dinfamilia (dα) si pe una din familia (dβ) si reciproc.

Definitia 2.2.4.2 Daca prin orice punct al unei suprafete riglate trec doua drepte dis-tincte continute ın suprafata, suprafata se numes- te dublu riglata

Hiperboloidul cu o panza este o suprafata dublu riglata. Generatoarele distincte care trecprintr-un punct al hiperboloidului cu o panza determina planul tangent la suprafata ınacel punct. Daca ge-neratoarele suprafetei sunt translatate ın origine prin paralelism elevor genera un con, numit conul asimptotic al hiperboloidului cu o panza. Ecuatia luieste

x2

a2 +y2

b2− z2

c2= 0(2.2.7)

Aceste proprietati geometrice ale hiperboloidului cu o panza ca si ale conului asimptoticau aplicatii ın tehnica. Pot fi folositi doi hiperboloizi sau doua conuri pentru a transmitemiscarea de rotatie ıntre doua axe necoliniare (roti dintate hiperbolice sau roti dintateconice).

Hiperboloidul cu o panza este caracterizat de urmatoarele ecuatii parametrice x = a chu cosvy = b chu sinvz = c shu

u ∈ R, v ∈ [0, 2π)(2.2.8)

2.2.5 Hiperboloidul cu doua panze

Alegem axa Ox ca axa desemnata. Atunci

Definitia 2.2.5.1 Suprafata a carei ecuatie carteziana este

x2

a2 −y2

b2− z2

c2= 1(2.2.9)

se numeste hiperboloid cu doua panze.

Page 53: Matematici superioare

2.2. CUADRICE PE FORMA REDUSA 53

Axele si planele de coordonate sunt axe si plane de simetrie. Punctele de coor-donate V+(a, 0, 0) si V−(−a, 0, 0) se numesc varfurile hiperboloidului cu doua panze.Intersectia cu planele de coordonate este formata din hiperbole pentru planele xOzsi xOy si multimea vida pentru yOz. Planele paralele cu planele de coordonate inte-secteaza suprafata dupa cum urmeaza: planele paralele cu xOz si xOy dupa hiperboleiar planele x = α paralele cu yOz au intersectia cu hiperboloidul formata din multimeavida, puncte duble sau elipse dupa cum α ∈ [0, a) sau α = a sau α > a.Ecuatiile parametrice ale hiperboloidului cu doua panze sunt: x = a shu cosv

y = b shu sin vz = c chu

u ∈ R, v ∈ [0, 2π)(2.2.10)

2.2.6 Paraboloidul eliptic

Cele doua cuadrice care au mai ramas de descris prezinta o mare importanta practica.Alegem axa Oz ca axa preferentiala.

Definitia 2.2.6.1 Numim paraboloid eliptic suprafata caracterizata de ecuatia

x2

a2 +y2

b2= 2pz(2.2.11)

a si b reprezinta semiaxele elipsei de intersectie a paraboloidului cu planul z = 12p , a2

si b2 reprezinta semiparametrii parabolelor obtinute din intersectia suprafetei cu planelexOz si yOz. Orice sectiune plana paralela cu axa Oz este o parabola. Originea reperu-lui considerat se numeste varful paraboloidului eliptic iar axa Oz poarta numele de axaparaboloidului. Daca a = b obtinem un paraboloid de rotatie. Cea mai importanta pro-prietate geometri-ca a paraboloidului de rotatie consta ın faptul ca dreptele paralele cuaxa paraboloidului se reflecta toate ın focarul paraboloidului, care este dat de punctulde coordonate F (0, 0, p2).

2.2.7 Paraboloidul hiperbolic

Axa desemnata ın acest caz va fi axa Oz.

Definitia 2.2.7.1 Multimea punctelor din spatiu ale caror coordonate verifica ecuatia

x2

a2 −y2

b2= 2pz(2.2.12)

se numeste paraboloid hiperbolic

a si b sunt semiaxele hiperbolei de intersectie cu planul z = 12p iar a2 si b2 sunt semi-

parametrii parabolelor obtinute ca sectiuni ale suprafetei cu planele de coordonate xOzsi yOz.

Paraboloidul hiperbolic admite planele xOz si yOz ca plane de simetrie. Intersectiacu plane paralele cu axa Oz este formata din parabole iar cu planele paralele cu xOy(dar diferite de acesta) intesectia este data de hiperbole. Varfurile acestor hiperbolese afla pe axa Ox daca sectiunea se afla ıntr-un plan situat deasupra lui xOy si pe axaOy ın rest. Planul xOy taie paraboloidul hiperbolic dupa doua drepte concurente ınorigine. Aceste drepte se numesc linii de varf. Planele care contin o linie de varf si axaOz se numesc plane directoare. Ele intersecteaza planele de sectiune perpendi-culare peOz dupa asimptotele hipebolelor de sectiune. Axa Oz se numeste axa paraboloiduluiiar O se numeste varful lui. O este un punct sa. Paraboloidul hiperbolic este singuracuadrica nesingulara care nu poate fi transformata prin omotetii ın suprafata de rotatie

Page 54: Matematici superioare

54CAPITOLUL 2. ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICA SI DIFERENTIALA

si acest lucru se datoreaza faptului ca nici-un plan nu intersecteaza acest paraboloiddupa o elipsa . Paraboloidul hiperbolc poate fi generat ın doua moduri: ca o suprafata detranslatie si anume prin deplasarea prin translatie a unei parabole cu ramurile ın josastfel ıncat varfurile ei sa se gaseasca pe o parabola cu bratele ın sus sau ca pe osuprafata riglata.

Teorema 2.2.7.1 Paraboloidul hiperbolic este o suprafata dublu ri-glata.

Demonstratie: Scriem ecuatia paraboloidului hiperbolic sub forma(xa− y

b

)(xa

+y

b

)= 2pz(2.2.13)

de unde obtinem familiile urmatoarelor generatoare rectilinii

(dα) :

xa −

yb

= αpz

α(xa + y

b

)= 1

(d∞) :x

a+y

b= z = 0;(2.2.14)

si

(dβ) :

xa + y

b= βpz

β(xa −

yb

)= 1

(d∞) :x

a− y

b= z = 0;(2.2.15)

unde α si β sunt parametri reali.

Existenta punctului sa pe aceasta suprafata face ca ea sa aiba o proprietate fizica im-portanta si anume ca fortele aplicate pe ea se directioneaza spre punctul sa. Doua aplicatiiinteresante. Acoperi-surile de aceasta forma pot fi construite cu un singur stalp desustinere care trece prin punctul sa si materialele compozite plane, de tipul matrice tex-tila ortogonala ın mediu elastic, care se deformeaza natural la tractiuni unidirectionalespre un paraboloid hiperbolic.

2.2.8 Regula lui Kepler

Adeseori, ın practica inginereasca, este nevoie de calculul aproximativ al volumelor unorcorpuri. Nu facem referire la corpurile studiate ın liceu dar, daca putem gasi formuleaproximative gene-rale care sa poata fi aplicate si ın acele cazuri, este foarte bine. Nereferim la corpuri marginite de suprafete de rotatie, la zone de paraboloid eliptic saude hiperboloid cu o panza , la conoizi si prismoizi. Una dintre formulele aproximativede calcul al volumelor ıntrebuintata este cea data de regula lui Kepler (1571-1630).Ea a fost formulata pe vremea cand calculul integral nu exista si este utilizata si acumdatorita simplitatii si eficientei ei. A fost conceputa pentru calculul volumelor butoaielordar aplicativitatea ei se extinde pe un domeniu mult mai mare.

Regula lui Kepler V =h(B0 + 4B1 +B2)

6

poza regula K

unde B0 si B2 sunt ariile celor doua baze, B1 este aria sectiunii medii iar h esteınaltimea butoiului. Formula da valori exacte pentru piramida si trunchi de piramida,sfera, elipsoid, zona sferica sau de elipsoid, zone cu sectiuni perpendiculare pe axa pen-tru paraboloidul eliptic, hiperboloidul cu o panza, conoidul circular drept si prismoizi.Ea da formula aproximativa pentru butoaie si trunchiuri de copac nu prea lungi. Pentru

Page 55: Matematici superioare

2.3. CURBE PLANE 55

corpuri care au pe h relativ mare problema se rezolva divizand corpul sau aplicand oformula mai rafinata de tip Simpson

V =[B0 + 4(B1 +B3 + ..+Bn−1) + 2(B2 +B4 + ..+Bn−2) +Bn]

3n

Conoidul circular drept se defineste ca un conoid cu plan director la care curba (C) esteun cerc situat ın planul director iar dreapta (d) de sprijin este paralela cu planul. Con-sideram corpul marginit de plan, dreapta (d) si generatoare. Sa observam ca sectiunileparalele cu baza sunt elipse.

Prismoizii ıi definim ca poliedre care au ca baze doua poligoane oarecare iar fetelelaterale triunghiuri sau trapeze. Pismoizi sunt piramidele, trunchiurile de piramida,prismele, penele (baza superioara degenerata ıntr-o dreapta), pontoanele (trunchiuri depana), diverse forme de acoperis care pot fi catalogate prismoizi.

Dam exemple de aplicare a formulei lui Kepler.

Consideram hiperboloidul cu o panzax2

a2 + y2

b2− z2

c2= 1 pe care ıl delimitam cu planele

z = 0 si z = 2c.Calculul volumului corpului astfel obtinut este exact si ıl obtinem din B0 = πab, B2 =5πab, B1 = 2πab, h = 2c

poza hip,

Atunci V = 83πabc

Volumul conoidului circular de raza 2a si ınaltime h. Sectiunea medie este o elipsa desemiaxe 2a si a asa ca B0 = 4πa2, B2 = 0, B1 = 2πa2 si deci V = 2πa2h (jumatate dinvolumul cilindrului cu aceleasi dimensiuni).

2.3 Curbe plane

2.3.1 Reprezentarea analitica a curbelor plane

Notiunea intuitiva de curba ın plan nu poate fi cuprinsa ın limitele unei definitii riguroase.Studiul lor poate fi facut doar pentru anumite clase de curbe decompozabile ın arce ce potfi definite analitic prin intermediul unei sau unor ecuatii. Pentru aceasta, sa ıncercam,mai mult intuitiv, sa ne definim notiunea de arc simplu de curba. Coordonatele punctelorce alcatuiesc un arc simplu de curba plana pot fi corelate ıntr-un anume fel si avem treitipuri principale de corelari:

1. una dintre coordonate este data explicit ca o functie de cealalta coordonata;

2. prin intermediul unei relatii nerezolvata ın raport cu una dintre cele doua coordo-nate;

3. prin intermediul a doua ecuatii ın care cele doua coordonate ale punctului de pearcul de curba depind de un parametru.

Astfel vom avea pentru arcele simple de curba plana urmatoarele reprezentari:

1. -reprezentarea carteziana explicita: locul geometric al punctelor din plan care, ıntr-un reper cartezian, satisfac ecuatia:

y = f(x) , x ∈ [a, b].(2.3.1)

Page 56: Matematici superioare

56CAPITOLUL 2. ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICA SI DIFERENTIALA

Cerem ca f sa fie uniforma si de clasa C1[a, b]

Un punct M0(x0, y0) de pe curba se numeste punct singular daca sunt ındepliniteconditiile

f(x0) = f ′(x0) = 0,

altfel punctul se numeste punct regulatSimilar putem avea

x = g(y) , y ∈ [c, d](2.3.2)

cu g de clasa C1[c, d].

2. -reprezentarea carteziana implicita: locul geometric al punctelor din plan care,ıntr-un reper cartezian, satisfac ecuatia

F (x, y) = 0.(2.3.3)

3. -reprezetarea parametrica: locul geometric al punctelor din plan pentru care

{x = ϕ(t)y = ψ(t) , t ∈ [t1, t1](2.3.4)

unde functiile ϕ si ψ sunt cel putin de clasa C1[t1, t2].

Un punct M0 de pe curba, obtinut pentru o valoare t0 a parametrului, ın care avemındeplinita conditia

(ϕ′(t0))2 + (ψ′(t0))2 6= 0(2.3.5)

se numeste punct regulat. Daca, de exemplu ϕ′(t0) 6= 0, atunci exista o vecinatatea lui t0 astfel ıncat ϕ′(t) pastreaza semn constant, deci functia ϕ este monotona sipoate fi inversata. Obtinem t = θ(x) de unde, ın vecinatatea considerata, stabilim ocorespondenta functionala ıntre x si y

y = ψ(θ(x)) = f(x).

f va fi o functie de clasa C1 pe vecinatatea considerata. Similar se petrec lucrurile dacaψ(t0) 6= 0. Obtinem atunci o corespondenta de forma x = g(y).Daca conditia (6) nu este ındeplinita, curba ın vecinatatea punctului considerat nu poatefi definta printr-o ecuatie explicita iar acel punct se va numi punct singular.

Pe scurt, ın coordonate carteziene, un arc simplu de curba ın plan este locul geometrical punctelor care verifica una dintre relatiile (1), (2), (3), sau (5) ın care functiile ce intevinın definitie sunt de casa C1 cel putin. Un punct al arcului de curba ın care conditile (4)sau (6) sunt ındeplinite se numeste punct regulat (ordinar), ın jurul acelui punct curbapoate fi exprimata analitic printr-o relatie de forma (1) sau (2), altfel punctul se numestepunct singular. Un punct singular poate fi simplu, curba trece o singura data prin acelpunct sau multiplu.

In cazul unui arc simplu de curba care admite o reprezentare parametrica (5) putemca unui punct curent de pe curba sa-i atasam expresia vectorului de pozitie

~r = ~r(t) = x(t)~i+ y(t)~j.(2.3.6)

In cazul folosirii unui sistem de coordonatelor polare lucrurile se petrec identic sianume:

Page 57: Matematici superioare

2.3. CURBE PLANE 57

1. ρ = ρ(θ) ecuatia explicita a unui arc de curba;

2. F (ρ, θ) = 0 ecuatia implicita a unui arc simplu;

3.{ρ = ρ(t)θ = θ(t) ecuatii parametrice.

Pentru functiile din definitia arcului se cere existenta si continuitatea derivatelor. Conditiilede regularitate se formuleaza la fel ca ın cazul coordonatelor carteziene. Daca se trece lacoordonate carteziene, luand polul ca origine a axelor si axa polara ca axa Ox, obtinemo reprezentare parametrica a arcului de curba de forma{

x = ρ(θ) cos θy = ρ(θ) sin θ(2.3.7)

ın care parametrul este chiar unghiul polar. Calculand derivatele x′ si y′ obtinem{x′ = ρ′(θ) cos θ − ρ(θ) sin θy′ = ρ′(θ) sin θ + ρ(θ) cos θ(2.3.8)

de unde putem trage concluzia ca un punct singular este unul ın care unt ındepliniteconditiile

ρ(θ0) = ρ′(θ0) = 0(2.3.9)

care de fapt reprezinta conditiile uzuale de punct singular.

2.3.2 Element de arc de curba. Lungimea unui arc de curba

Consideram o curba (C) si_

AB un arc elementar de curba. Fie {M0, M1, ...,Mn} o

diviziune a arcului_

AB cu M0 = A, Mn = B. Aceasta diviziune determina o liniepoligonala M0M1...Mn a carei lungime o notam cu lδ. Considerand o diviziune maifina a arcului, observam ca lungimea noii linii poligonale este mai mare. (Inegalitatea

triunghiului ne asigura acest fapt.) Fie ∆ multimea tuturor diviziunilor arcului_

AB si{lδ}δ∈∆ multimea lungimilor liniilor poligonale atasate acetor diviziuni.

Definitia 2.3.2.1 Spunem ca arcul de curba_

AB are lungime (este rectifiabil) daca{lδ}δ∈∆ este marginita superior. Marginea superioara a acestei multimi se numeste

lungimea arcului_

AB.

Fie arcul_

AB de lungime l pe care consideram un sens de parcurgere (de exemplu de laA catre B si M un punct mobil pe curba. Pozitia punctului M va fi unic determinata

daca cunoastem lungimea s a arcului_

AM . Putem astfel considera o reprezentare a lui_

AB prin ecuatiile parametrice

(_

AB) :{x = x(s)y = y(s) s ∈ [0, l](2.3.1)

Parametrul s se numeste parametru natural al arcului iar reprezentarea (1) se numestereprezentare locala naturala a arcului de curba.

Presupunem ca arcul_

AB este regulat si ca admite o reprezentare parametrica

(_

AB) :{x = x(t)y = y(t) t ∈ [a, b].

Atunci, daca M(x(t), y(t)) este un punct mobil pe curba , lungimea s a arcului_

AM vafi o functie de parametrul t adica s = s(t).

Page 58: Matematici superioare

58CAPITOLUL 2. ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICA SI DIFERENTIALA

Definitia 2.3.2.2 Numim element de arc de curba diferentiala functiei s.

Teorema 2.3.2.1 In cazul reprezentarii parametrice a arcului_

AB elementul de arc vafi

ds =√x2(t) + y2(t) dt(2.3.2)

Demonstratie: Fie M(x(t), y(t) si M ′(x(t+ ∆t), y(t+ ∆t)) doua puncte vecine pe arcul_

AB si ~rM , ~rM ′ vectorii lor de pozitie. Atunci: MM′

= ~rM ′ − ~rM . Cand M ′ → M

lungimea arcului_

MM ’ va tinde catre ds si la limita va coincide cu norma vectoruluiMM

′.

poza element de arc

ds = limM ′→M

‖MM′‖ = lim

M ′→M‖~rM ′ − ~rM‖.(2.3.3)

Aceasta relatie o scriem sub forma echivalenta

ds

dt= lim

∆t→0

‖~r(t+ ∆t)− ~r(t)‖∆t

= ‖d~rdt‖ not= ‖~r‖.(2.3.4)

De aici rezutads = ‖~r‖dt

si cum˙~r(t) = x′(t)~i+ y′(t)~j not= x(t)~i+ y(t)~j

rezultads =

√x2(t) + y2t)dt.

Daca arcul_

AB admite o reprezentare carteziana explicita (_

AB): y = f(x) atunci el-ementul de arc va avea expresia

ds =√

1 + (f ′(x))2 dx(2.3.5)

iar ın cazul reprezentarii polare a arcului de curba (_

AB): ρ = ρ(θ) elementul de arc vafi dat de

ds =√ρ2 + (ρ′)2 dθ.(2.3.6)

Pentru a demonstra formula (5) este suficient sa consideram reprezentarea parametricatriviala {

x = xy = f(x)

de undex = 1, y = f ′(x).

Page 59: Matematici superioare

2.3. CURBE PLANE 59

La formula (6) se ajunge pornind de la reprezentarea polara a arcului de curba ρ = ρ(θ)si de la formulele de trecere la coordonate polare{

x = ρ cos θy = ρ sin θ θ ∈ [αβ].

Se obtine reprezentarea parametrica a arcului_

AB indusa de trecerea la coordonate polare{x = ρ(θ) cos θy = ρ(θ) sin θ θ ∈ [α, β]

de unde prin derivare obtinem{x(θ) = ρ′(θ) cos θ − ρ(θ) sin θy(θ) = ρ′(θ) sin θ + ρ(θ) cos θ

care ınlocuite ın (2) ne conduc la (6). Sa determinam acum formula pentru calculul

lungimii arcului_

AB. Pentru aceasta sa pornim de la considerentul ca arcul admite oreprezentare carteziana explicita y = f(x) pe [a, b].

Teorema 2.3.2.2 Daca f este de clasa C1[a, b] atunci arcul de curba_

AB are lungimesi

l _AB

=

b∫a

√1 + (f ′(x))2dx.(2.3.7)

Demonstratie: Consideram δn o diviziune a intervalului [a, b],

δn = {a = x0 < x1 < ... < xn = b}.

Aceasta va genera o diviziune a arcului de curba

A = M0(x0, f(x0)), M1(x1, f(x1)), ..., Mn(xn, f(xn)) = B

care la randul ei determina o linie poligonala M0M1...Mn.Fie lδn lungimea acestei linii poligonale.

lδn=

n−1∑i=0

√(xi+1 − xi)2 + (f(xi+1)− f(xi))

2.(2.3.8)

Functia f fiind de clasa C1[a, b] exista pentru fiecare interval (xi+1, xi) cate un punct ξiastfel ıncat

f(xi+1)− f(xi) = (xi+1 − xi)f ′(ξi).

Atunci (8) poate fi rescrisa sub forma

lδn=

n−1∑i=0

√1 + (f ′(ξi))2 (xi+1 − xi).

Aceasta reprezinta o suma Riemann pentru functia√

1 + (f ′(x))2 si daca trecem la limitadupa n cu norma diviziunii tinzand catre 0 si tinem cont ca f ′ este continua, rezulta ca

l _AB

=

b∫a

√1 + (f ′(x))2 dx.

Page 60: Matematici superioare

60CAPITOLUL 2. ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICA SI DIFERENTIALA

In cazul unei reprezentari parametrice a arcului_

AB

(_

AB) :{x = x(t)y = y(t) , t ∈ [t1, t2]

ın care functiile x(t) si y(t) sunt de clasa C1[t1, t2] formula pentru calculul lungimiiarcului va fi data de

l _AB

=

t2∫t1

√x2(t) + y2(t) dt.(2.3.9)

Observatia 2.3.2.1 Valoarea integralei (9) nu depinde de parametrizarea arcului.

Observatia 2.3.2.2 In cazul reprezentarii parametrice locale naturale{x = x(s)y = y(s) , s ∈ [l1, l2]

avem proprietatea

(x′(s))2 + (y′(s))2 = 1(2.3.10)

si deci

l _AB

=

l2∫l1

ds = l2 − l1.(2.3.11)

Pentru curbele date ın coordonate polare

(_

AB) : ρ = ρ(θ) , θ ∈ [α, β]

ın care functia ρ este de clasa C1[α, β] vom avea

l _AB

=

β∫α

√ρ2 + ρ′2 dθ.(2.3.12)

2.3.3 Tangenta si normala la o curba plana

Consideram un arc simplu de curba (γ) dat prin ecuatia sa carteziana explicita

y = f(x), x ∈ [a, b](2.3.1)

si punctele vecine M0(x0, f(x0)) si M(x, f(x)). Dreapta M0M are panta data de m =f(x)− f(x0x− x0

. Daca ıl facem pe x sa tinda catre x0 valoarea pantei va tinde catre

mx0 = limx→x0

f(x)− f(x0)x− x0

iar aceasta limita exista pentru ca avem de a face cu un arc regulat de curba si este egalacu derivata functiei f calculata ın punctul x0.

Page 61: Matematici superioare

2.3. CURBE PLANE 61

Dreapta care trece prin M0 si are panta m = f ′(x0) are ın acest punct un contact deordin 1 cu curba si se numeste tangenta la curba ın punctul x0. Ecuatia ei va fi datade:

y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0).(2.3.2)

Pornind de la aceasta ecuatie putem sa scriem ecuatia tangentei la curba si ın cazulcelorlalte reprezentari ale cubei. Astfel:

- daca curba este data prin: F (x, y) = 0 avem pentru tangenta ecuatia :

y − y0 = −F′x

F ′y(x− x0) , sau F ′y · (y − y0) + F ′x · (x− x0) = 0 ,(2.3.3)

unde derivatele partiale F ′x, F′y sunt calculate ın punctul (x0, y0).

- pentru reprezentara parametrica a curbei:{x = x(t)y = y(t) t ∈ [a, b] avem:

y − y0 =y

x(x− x0), sau

y − y0y

=x− x0

x,(2.3.4)

derivatele x si y fiind calculate pentru valoarea t0 a parametrului, corespunzatoare punc-tului M0.

In cazul reprezentarii polare a curbei ecuatia tangentei se obtine astfel:fie ρ = ρ(θ) ecuatia polara a arcului regulat de curba si punctul M0 corespunzatorvalorii θ0 a argumentului. Folosind formulele de transformare din coordonate polare ıncoordonate carteziene, {

x = ρ cos θy = ρ sin θ ,

si considerand argumentul θ ca parametru, putem scrie pentru arcul dat ecuatii para-metrice de forma {

x = ρ(θ) cos θy = ρ(θ) sin θ θ ∈ [α, β].(2.3.5)

Calculand diferentialele dx si dy ın θ0 obtinem{dx0 = (ρ′0 cos θ0 − ρ0 sin θ0)dθ0dy0 = (ρ′0 sin θ0 + ρ0 cos θ0)dθ0

iar ecuatia tangentei va fi

y − y0dy0

=x− x0

dx0.(2.3.6)

Numim normala ıntr-un punct x0 la curba (γ) dreapta perpendiculara pe tangenta lacurba ın acel punct. Tinand cont ca relatia dintre pantele a doua drepte perpendiculareın plan este mm′ = −1 rezulta usor ecuatia normalei ın cazul diverselor reprezentari alearcului de curba.

Pentru reprezentarea carteziana explicita ecuatia normalei este:

y − f(x0) = − 1f ′(x0)

(x− x0)(2.3.7)

sau, pentru cazul reprezentarii parametrice, de exemplu avem ecuatia normalei:

y(y − y0) + x(x− x0) = 0.(2.3.8)

Page 62: Matematici superioare

62CAPITOLUL 2. ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICA SI DIFERENTIALA

2.3.4 Segmente tangenta, normala, subtangenta, subnormala

Continuam sa ne situam pe un arc regulat de curba(γ) ı ntr-un punct M . Consideramreprezentarea grafica a arcului ıntr-un reper cartezian. Ducem tangenta si normala ınM . Fie T , N intersectia tangentei si normalei cu axa Ox (daca exista) si P proiectia luiM pe aceeasi axa.

Numim segment tangeta, (ST ), segmentul MT , segmentul MN se va numi segmentnormala, (SN ), TP este segmentul subtangenta, (SST ), iar PN se va numi segmentsubnormala, (SSN ).

Determinarea relatiilor care exprima marimea acestor segmente se reduce la rezolvareatriunghiurilor dreptunghice TMN, TMP, PMN ın care cunoastem tangenta unghiuluiPTM si lungimea segmentului MP . De exemplu pentru reprezentarea parametrica aarcului de curba avem:

SST = TP =∣∣∣∣ xy y

∣∣∣∣ ; ST = MT =∣∣∣∣yy∣∣∣∣√x2 + y2(2.3.9)

SSN = PN =∣∣∣∣ yx y

∣∣∣∣ ; SN = MN =∣∣∣yx

∣∣∣√x2 + y2

Daca consideram reprezentarea polara a arcului de curba, segmentele se definesc ast-fel: notam cu T intersectia tangentei ınM cu o axa ce trece prin pol si este perpendicularape raza vectoare OM si cu N intersectia axei cu normala. Atunci:

STp = MT ; SNp ; SSTp = OT ; SSNp = ON

iar expresiile lor le vom calcula pornind de la calculul tangentei unghiului V dintretangenta ın M si raza vectoare.

Propozitia 2.3.4.1 Daca V este unghiul dintre tangenta ın M si raza vectoare cor-spunzatoare lui M atunci

tg V =ρ

ρ′(2.3.10)

si:

STp =ρ

ρ′

√ρ2 + ρ′2 ; SNp =

√ρ2 + ρ′2(2.3.11)

SSTp =ρ2

ρ′; SSNp = ρ′(2.3.12)

In demonstratia acestei propozitii dam doar calculul pentru tg V restul fiind dat derezolvarea unor triunghiuri dreptunghice.

Fie α unghiul dintre axa polara si tangenta ın M la curba, θ argumentul lui M si{x = ρ(θ) cos θy = ρ(θ) sin θ θ ∈ [α, β] reprezentarea parametrica ın raport cu θ a arcului de

curba. Atunci:

tg α =dy

dx=ρ′ sin θ + ρ cos θρ′ cos θ − ρ sin θ

si

tg V = tg (α− θ) =

sin thetacos θ − ρ′ sin θ + ρ cos θ

ρ′ cos θ − ρ sin θ

1 + sin θcos θ ·

ρ′ sin θ + ρ cos θρ′ cos θ − ρ sin θ

ρ′

Page 63: Matematici superioare

2.3. CURBE PLANE 63

Aplicatii- Sa se determine curba al carei segment tangenta este constant.

Aceasta curba se numeste curba tractrice. Vom pune ın evidenta pentru ınceput ecuatiadiferentiala a tractricei. Segment tangenta constant ınseamna∣∣∣∣ yy′

∣∣∣∣√1 + y′2 = c,

ceea ce ne conduce la ecuatia:

y′ =|y|√c2 − y2

.

Pentru y > 0 avemy−1(c2 − y2)1/2dy = dx = 0

iar aceasta este o ecuatie cu variabile separabile. Integrala ın raport cu y este una binomasi se face cu schimbarea de variabila c2 − y2 = t2. Solutia generala a ecuatiei este

√c2 − y2 − c

2lnc+

√c2 − y2

c−√c2 − y2

= x+K.

Pentru x = 0 trebuie sa avem y = c de unde rezulta K = 0.-Determinati curbele care au segmentul subtangenta polara constant Problema se re-

duce la integrarea ecuatiei diferentiale

ρ2

ρ′= k.

ρ′ = dρdθ

si de aici, separand variabilele avem:

ρ2 =dθ

k.

Solutia generala va fi1ρ

= − θk.

Constanta K se deduce din conditia θ → 0 daca ρ→∞ si rezulta K = 0. Curba va fi ınacest caz

ρ =−kθ

adica spirala hiperbolica.

2.3.5 Contactul dintre doua curbe

Consideram doua curbe (γ1) si (γ2). Spunem ca ele au ın punctul M0 un contact de ordinn daca ın acel punct exista n+ 1 puncte comune confundate ale celor doua curbe.

Propozitia 2.3.5.1 Daca cele doua curbe sunt date prin ecuatiile lor carteziene ex-plicite:

(γ1) : y = f1(x) ; (γ1) : y = f2(x)

atunci conditiile ca ele sa aiba ın punctul M0(x0, y0) un contact de ordin n sunt date de:

f1(x0) = f2(x0); f ′1(x0) = f ′2(x0); ... f(n)1 (x0) = f

(n)2 (x0);

f(n+1)1 (x0) 6= f

(n+1)2 (x0)

Page 64: Matematici superioare

64CAPITOLUL 2. ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICA SI DIFERENTIALA

Demonstratia aceste afirmatii este imediata pornind de la conditiile ca ecuatia

f1(x)− f2(x) = 0

sa admita ın x0 o radacina multipla de ordin n.

Propozitia 2.3.5.2 Daca o curba este data prin intermediul ecuatiilor ei parametrice

(γ1) :{x = x(t)y = y(t) , t ∈ [a, b] , iar cea de a doua prin ecuatia sa carteziana implicia

(γ2) : F (x, y) = 0 atunci conditia de contact de ordin n ın punctul M0(t0) este

ϕ(t0) = ϕ′(t0) = ... = ϕ(n)(t0) = 0,

ϕ(n+1)(t0) 6= 0,

unde ϕ : [a, b] → R, ϕ(t) = F (x(t), y(t)).

Sa schitam demonstratia acestei propozitii pe cazul particular al contactului de ordinunu. Punctul de contact al lui (γ1) cu (γ2) (pe care ıl presupunem a nu fi unul singularpentru niciuna din cele doua curbe) se obtine pentru acea valoare a lui t care verificaidentitatea:

F (x(t), y(t)) = 0.(2.3.1)

Calculand diferentiala totala ın raport cu t obtinem:

F ′x dx+ F ′y dy + F ′t dt = 0.(2.3.2)

Tangentele la cele doua curbe au ecuatiile:

X − x(t)dx

=Y − y(t)

dy; F ′x(X − x(t)) + F ′y(Y − y(t)) = 0(2.3.3)

si trebuie sa coincida. Egalitatea pantelor lor ne conduce la relatia

dy

dx= −F

′x

F ′y

adica la

F ′xdx+ F ′ydy = 0.(2.3.4)

Inlocuind (4) ın (2) rezulta ca F ′t (x(t), y(t)) = 0 adica:

ϕ(t0) = ϕ′(t0) = 0.(2.3.5)

Definitia 2.3.5.1 Numim cerc osculator al unei curbe plane ıntr-un punct un cerc careare cu curba data un contact de ordin mai mare sau egal cu doi ın acel punct.

2.3.6 Curbura curbelor plane

Consideram un arc regulat de curba plana si un punct mobil M pe el. Cerem cafunctiile ce intervin ın definitia curbei sa fie de clasa C2[D] . Ducem tangenta la curba ınM. Deplasarea lui M din pozitia M1 ın pozitia M2 face ca tangenta sa ısi modifice pozitiadaca, beneınteles, arcul nostru de curba nu este o portiune dintr-o dreapta. Dorim sacaracterizam punctual tendinta de abatere a curbei noastre de la o dreapta.

Page 65: Matematici superioare

2.3. CURBE PLANE 65

Fie M1 si M2 doua puncte vecine pe curba. Tangentele ın aceste puncte fac ıntre eleunghiul ∆ε numit unghi de cotingenta. Vom numi curbura medie, notata cu Km, raportuldintre unghiul de cotingenta masurat ın radiani si lungimea ∆s a arcului M1M2.

Km =∆ε∆s

.

Pe diferite portiuni ale arcului de curba vom avea curburi medii diferite.Exista curbe a caror curbura medie este constanta de exemplu: dreptele care au

Km = 0 si cercurile care au Km = 1R .

Definim curbura unei curbe ıntr-un punct ca fiind limita curburii medii cand lungimeaarcului M1M2 tinde catre 0. Numim raza de curbura inversul curburii.

K =1R

= lim∆s→0

∆ε∆s

.

Consideram cazul ın care avem data curba sub forma parametrica.{x = x(t)y = y(t) t ∈ [a, b].(2.3.1)

Observam ca unghiul de cotingenta este de fapt egal cu variatia unghiului pe care ıl factangentele la curba cu axa Ox. Avem ın consecinta ∆ε = ∆α si

K = lim∆s→0

∆ε∆s

= lim∆s→0

∆α∆s

=dα

ds.(2.3.2)

Dar cum tgα = yx rezulta dα =

(arctg

yx

)′dt =

yx− xyx2

1 +(yx

)2 dt = yx− xyx2 + y2 dt. De aici

rezulta expresia pentru curbura:

K =1R

=yx− xy(x2 + y2

) 32.(2.3.3)

In cazul ın care curba este data prin ecuatia ei carteziana explicita, formula pentrucalculul curburii ıntr-un punct este:

K =y′′

(1 + y′ 2)32,(2.3.4)

iar pentru forma polara, ρ = ρ(θ), a ecuatiei curbei avem:

K =ρ2 + 2ρ′ 2 − ρρ′′

(ρ2 + ρ′ 2)32

.(2.3.5)

Semnul curburii si al razei de curbura este conventional. Raza fiind o lungime, ar trebuisa fie pozitiva, adica pentru ea ar trebui sa consideram formula:

R =∣∣∣∣ dsdα

∣∣∣∣ .Consideram ınsa raza de curbura ca pe un segment orientat situat pe normala la curba.Daca el se afla pe normala ın sensul pozitiv el este pozitv iar ın caz contrar este negativ.

Exemple:1. Sa se calculeze curbura pentru curba lantisor:

y = ae

xa + e−

xa

2= a ch

x

a.

Page 66: Matematici superioare

66CAPITOLUL 2. ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICA SI DIFERENTIALA

Un calcul direct ne conduce la concluzia

y′′ =1achx

a=

y

a2 ,√

(1 + y′ 2)3 =y3

a3 ,

deciK =

1R

=a

y2 .

2. Sa se calculeze raza de curbura a spiralei logaritmice:

ρ = emθ.

Calculand pe rand ρ′si ρ′′ obtinem:

ρ = memθ , ρ′′ = m2emθ , R =(e2mθ +m2e2mθ)

32

e2mθ + 2m2e2mθ −m2e2mθ

de unde rezulta ca:R = emθ

√1 +m2 .

Daca calculam si segmentul normala observam ca:

SN = R.

2.3.7 Reper Serret-Frenet

Fie o curba plana reprezentata parametric ın raport cu parametrul natural s a careiecuatie vectoriala este

~r = ~r(s) = x(s)~i+ y(s)~j, s ∈ [0, l], cu (x′)2(s) + (y′)2(s) = 1.(2.3.1)

Versorul tangentei la curba este ın acest caz

~τ(s) =~r(s)‖~r(s)‖

= ~r(s).(2.3.2)

Notam ~ν(s) versorul normalei la curba al carui sens ıl alegem astfel ıncat baza (τ, ν) sa fiepozitiv orientata. Acest lucru ınseamna ca daca consideram un reper cartezian {O,~i,~j}atunci matricea schimbarii de baza trebuie sa aiba determinant 1. Pentru ca ~τ = x′~i+y′~jrezulta ca putem sa luam ~ν == y′~i + x′~j pentru ca avem ındeplinite conditiile de bazaortonormata pozitiv orientata

< ~τ, ~ν >= 0, ‖~τ‖, ‖~ν‖ = 1,∣∣∣∣ x′ −y′y′ x′

∣∣∣∣ = 1.(2.3.3)

Definitia 2.3.7.1 Consideram un arc regulat de curba plana_

AB si M(s) un punctmobil pe ea. Reperul < = {M(s), ~τ(s), ~ν(s)} se numeste reperul mobil Serret-Frenet alcurbei.

Teorema 2.3.7.1 Pentru un arc regulat de curba plana sunt ındeplinite formulele Serret-Frenet {

~τ ′(s) = κ(s)~ν(s)~ν ′(s) = −κ(s)~τ(s)(2.3.4)

Page 67: Matematici superioare

2.3. CURBE PLANE 67

Demonstratie: Pornim de la relatiile date de (3). Din ‖~τ‖ = 1 rezulta< ~τ, ~τ >= 1, care prin derivare conduce la < ~τ, ~τ ′ >= 0, ceea ce ınseamna ca ~τ si ~τ ′

sunt coliniare. Putem scrie atunci

~τ ′(s) = κ(s)~ν(s).(2.3.5)

Procedand similar, din ‖~ν‖ = 1, va rezulta

~ν ′(s) = κ(s)~τ(s).(2.3.6)

Derivand conditia de ortogonalitate < ~τ, ~ν >= 0 rezulta

< ~τ ′, ~ν > + < ~τ, ~ν ′ >= 0

Folosind (5), (6) avem:

< κ(s)~ν(s), ~ν(s) > + < ~τ(s), κ(s)~τ(s) >= 0

si cum ~τ , ~ν sunt versori rezultaκ(s) + κ(s) = 0

teorema fiind astfel demonstrata.

Observatia 2.3.7.1 Pornind de la scrierea pe componente a formulelor Serret-Frenetajungem la expresia functiei κ sub forma

κ(s) = x′(s)y′′(s)− y′(s)x′′(s)(2.3.7)

ceea ce ınseamna ca aceasta functie este chiar curbura curbei plane.

2.3.8 Concavitatea unei curbe plane, sens direct de parcurgere

Consideram un punct pe un arc regulat de curba, tangenta si normala la curba ın acestpunct. Intr-o vecinatate a lui, curba poate avea doua situari fata de tangenta:

- restrictia curbei la acea vecinatate este situata de o parte si de alta a tangentei- restrictia curbei la acea vecinatate este situata de aceeasi parte a tangentei. In acest

caz, consideram vectorul director al normalei ca fiind situat de aceeasi parte a tangenteica si curba.

Definitia 2.3.8.1 Concavitatea (interiorul curbei) este ındreptata ın sensul vectoruluidirector al normalei. In sens opus este ındreptata convexitatea curbei.

Definitia 2.3.8.2 Numim sens pozitiv de parcurgere a curbei deplasarea care lasa inte-riorul curbei ın stanga.

Observatia 2.3.8.1 Triedrul Serret-Frenet are versorul ~τ ındreptat ın sensul pozitiv deparcurgere a curbei iar versorul ~ν dirijat catre interiorul curbei.

Definitia 2.3.8.3 Punctul de pe curba ın care aceasta ısi schimba concavitatea se numestepunct de inflexiune.

Teorema 2.3.8.1 1.Conditia ca un arc de curba dat prin ecuatia y = f(x) sa aiba unpunct de inflexiune este ca ın acel punct derivata a doua a lui f sa se anuleze si sa ısischimbe semnul.2. Daca ıntr-un punct se anuleaza toate derivatele functiei f pana la ordinul 2k, k ≥ 1iar derivata de ordin 2k+1 este diferita de 0 atunci acel punc este un punct de inflexiune.

Page 68: Matematici superioare

68CAPITOLUL 2. ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICA SI DIFERENTIALA

2.3.9 Infasuratoarea unei familii de curbe plane

Sa precizam ıntai notiunea de familie de curbe. Consideram curbe pentru care funtiasau functiile care descriu legaturile dintre coordonatele unui punct curent depind si deunul sau mai multi parametri. In general, aceste relatii pot fi reduse, ın cazul unui singurparametru, la o ecuatie de forma:

F (x, y, α) = 0.(2.3.1)

In membrul stang al ecuatiei avem de a face cu o functie de trei variabile x, y, α.Dintre acestea, α joaca un rol aparte. Prin fixarea parametrului se obtine o curba acarei forma si pozitie depuinde de valoarea aleasa pentru α. Variind valoarea lui α ıntr-oanumita multime graficul curbei se va deforma si se va deplasa, obtinand, ın general,curbe distincte ca forma si pozitie. Multimea curbelor obtinute prin variatia lui α ovom numi familie de curbe dependenta de un parametru. Ecuatia (1) se va numi ecuatiafamiliei.Ne punem problema existentei unei curbe (γ) care sa aiba proprietatea de contact deordin unu cu fiecare curba a familiei ın unul sau mai multe puncte. Variatia continua alui α implica faptul ca aceasta curba (γ) este formata din punctele de contact.

Definitia 2.3.9.1 (γ) se numeste ınfasuratoarea familiei F (x, y;α) = 0 daca suntındeplinite conditiile:

1. (γ) si F (x, y;α) = 0 au un contact de ordin unu pentru orice α din domeniu;

2. (γ) si F (x, y;α) = 0 nu au ın comun arce de curba.

Sa presupunem ca ınfasuratoarea exista si are un singur punct de contact cu fiecare curbaa familiei.

Teorema 2.3.9.1 Daca (γ) este ınfasuratoarea familiei F (x, y;α) = 0 atunci coordo-natele punctului de contact verifica sistemul{

F (x, y;α) = 0F ′α(x, y;α) = 0(2.3.2)

Demonstratie: Din presupunerea ca (γ) are un singur punct de contact de ordin 1cu familia de curbe data rezulta ca ecuatiile parametrice ale ei pot fi caracterizate deparametrul α si pot fi determinate ın mod unic din ecuatia familiei. Fie{

x = ϕ(α)y = ψ(α)(2.3.3)

reprezentarea parametrica a lui (γ). Presupunem existenta si continuitatea derivatelorpartiale ale lui F si derivatelor functiilor ϕ si ψ. Conditiile de contact de ordin unu cerca functiile (3), cunoscute, sa verifice identic sistemul:{

F (x, y;α) = 0F ′α(x, y;α) = 0 .(2.3.4)

Atunci, daca ınfasuratoarea exista, reprezentarea ei parametrica se obtine rezolvand ınraport cu xsi y sistemul (4).

In cazul ın care (4) nu admite solutii sub forma unor functii de α, ın general ınfasuratoareanu exista. Daca rezolvand sistemul (4) ecuatiile (3) reprezinta o curba fara puncte sin-gulare, atunci aceasta curba este ınfasuratoarea familiei. Daca curbele familiei nu aupuncte singulare atunci conditia anterioara este ındeplinita.

Page 69: Matematici superioare

2.3. CURBE PLANE 69

Existenta punctelor singulare ale curbelor familiei complica lucrurile. Prin variatialui α locul lor geometric este dat de (3) si acest loc geometric verifica si (4) chiar dacaın acest punct curba nu admite ınfasuratoare. Acest lucru ınseamna ca (3) poate fiınfasuratoare, poate fi locul geometric al punctelor singulare ale curbelor familiei sau oparte din ea poate fi ınfasuratoare iar o parte loc geometric. Uzual, sistemul (4) prineliminarea parametrului α conduce la o relatie de forma

G(x, y) = 0.(2.3.5)

Daca (5) nu reprezinta o curba atunci nu avem ınfasuratoare, dar daca (5) reprezintao curba (numita curba discriminanta) atunci ea contine atıt ınfasu-ratoarea cat si loculgeometric al punctelor singulare.

Sa revenim la familia de curbe considerata. Pentru un α dat alegem doua curbevecine

F (x, y;α) = 0 si F (x, y;α+ ∆α) = 0.(2.3.6)

Putem considea ca pentru ∆α suficient de mic curbele se intersecteaza. Facand acum pe∆α sa tinda catre zero punctele de intersectie se deplaseaza ıntr-un anume mod pe curbafixa. Daca unul dintre punctele de contact tinde catre o pozitie limita determinata atunciaceasta pozitie limita se numeste punct caracteristic pe curba considerata. Punctele deintersectie ale curbelor (6) trebuie sa verifice sistemul de ecuatii{

F (x, y;α) = 0F (x, y, α+ ∆α) = 0

cu forma echivalenta: {F (x, y;α) = 0F (x, y;α+ ∆α)− F (x, y;α)

∆α = 0.(2.3.7)

Facand ın a doua ecuatie ca ∆α sa tinda catre 0 ajungem la sistemul (4). Daca pre-supunem ca punctele caracteristice exista pe fiecare curba a familiei atunci se poate puneproblema locului geometric al lor. Punctele acestui loc geometric verfica atat (2) cat si(4) si (5) deci ın mod necesar el intra ın mod necesar ın alca tuirea curbei discriminante.

2.3.10 Evoluta si evolventa unei curbe plane

Definitia 2.3.10.1 Numim evoluta a unei urbe plane ınfasuratoarea normalelor ei.

Teorema 2.3.10.1 Consideram arcul regulat de curba_

AB dat prin ecuatiile parametrice{x = x(t)y = y(t) t ∈ [a, b].(2.3.1)

Atunci, evoluta curbei este data parametric prin ecuatiile:X = x(t)− y(t)(x2(t) + y2(t))

x(t)y(t)− x(t)y(t)

Y = y(t) + x(t)(x2(t) + y2(t))x(t)y(t)− x(t)y(t) .

(2.3.2)

Demostratie: Normala ın punctul variabil M(x(t), y(t)) are ecuatia

(X − x(t))x(t) + (Y − y(t))y(t) = 0.(2.3.3)

Derivand ın raprt cu t obtinem:

(X − x(t))x(t) + (Y − y(t))y(t) = x2(t) + y2(t).(2.3.4)

Aplicand aceeasi tehnica ca si la cercul osculator rezulta formulele (2).

Page 70: Matematici superioare

70CAPITOLUL 2. ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICA SI DIFERENTIALA

Exemple 2.3.10.1 Evoluta unei elipse este o astroida.

Evoluta este locul geometric al centrelor cercurilor osculatoare si de aici rezulta exercitiul.Propunem ca exercitiu scrierea formlelor pentru ecuatiile evolutei ın cazul ın care

arcul de curba este dat ın coordonate polare si ca aplicatie a acestor formule demonstrareafaptului ca evoluta unei spirale logaritmice este tot o spirala logaritmica.

Definitia 2.3.10.2 O evolventa a unei curbe plane este o curba perpendiculara pe fa-milia tangetelor la curba data, adica evolventele unei curbe plane sunt traiectorii ortog-onale tangentelor acestei curbe.

Evolventa se mai numeste si desfasuratoarea curbei. (din latinescul evolvere= adesfasura). Imaginand un arc de curba peste care se gaseste ıntins un fir inextensibilputem descrie o evoluta a arcului de curba astfel. Fixam firul pe curba ın punctul A.Un alt punct B fixat pe fir descrie un arc de evolventa daca desfasuram firul de pecurba pastrandu-l ıntins. Orice punct B descrie o evolventa deci curba admite o familiede evolvente. Pentru ca ın procesul de desfasurare firul ramne ıntins rezulta ca parteadesfasurata a firului este tangenta la arcul de curba dat. Daca T este punctul de tangentala un moment dat, putem considera ca, pentru un interval infinitezimal de timp, punctulB descrie un arc infinitezimal de cerc centrat ın T . Pentru acest arc de cerc tangenta ınT la curba este chiar normala. De aici rezulta:

Teorema 2.3.10.2 Orice curba este evoluta evolventelor ei.Orice curba este una dintre evolventele evolutei ei.

Exemple 2.3.10.2 Sa se determine evoluta curbei data parametric de ecuatiile{x = r(cos t+ t sin t)y = r(sin t− t cos t) t ∈ [0, 2π].(2.3.5)

Prin calcul direct obtinem{x = rt cos ty = rt sin t

{x = r cos t− rt sin ty = r sin t+ rt cos t ,

de unde ınlocuind ın relatia (2) obtinem:{x = r cos ty = r sin t t ∈ [0, 2π](2.3.6)

care este chiar ecuatia cercului centrat ın origine side raza r. Teorema anterioara neasigura ca curba (5) reprezinta o evolventa a cercului (6).

In general ıntreprinderea determinarii unei evolvente este complicata neavnd un pro-cedeu de determinare a ecuatiei evolventei.

2.3.11 Curbe plane remarcabile

Obiectivul acestui paragraf este de a prezenta principalele tipuri de curbe plane ”spe-ciale”, punand ın evidenta proprietati ale lor geometrice, analitice si diferentiale. Multedintre aceste curbe au aplicatii ın tehnica.

Pentru exemplificarea grafica si animatie vizitati site-ul www.chronomath.com sialegeti din meniu task-ul courbes remarquables.

Curbe cicliceCicloideConsideram o dreapta (d) fixa, un cerc mobil (C) de centru A si de raza R, un

punct P solidar legat de cerc si situat la distanta a de centrul cercului. Daca cercul se

Page 71: Matematici superioare

2.3. CURBE PLANE 71

rostogoleste fara alunecare pe dreapta (d) atunci punctul P va descrie o cicloida. Dacaa < R vom avea o cicloida restransa, pentru a = R una normala, altfel cicloida senumeste extinsa. De exemplu, Un punct de pe roata unei biciclete, care la un momentdat se afla ın contact cu soseaua, va descrie, cand bicicleta se misca, o cicloida normala,ventilul rotii va descrie o cicloida restransa. Un punct de pe bandajul exterior al rotiiunui tren va descrie o cicloida extinsa. Pentru acest ultim caz sa punem ın evidentafaptul ca daca punctul P are initial pozitia limita inferioara pentru ınceput el va avea omiscare retrograda fata de sensul de deplasare al rotii.

Pentru cicloide se pot pune ın evidenta ecuatiile parametrice. In acest scop alegemdreapta (d) ca axa Ox iar ca origine proiectia pe axa Ox a punctului P cand acest ocupao pozitie limita inferioara. Daca B este punctul de contact dintre cercul mobil si dreaptaconsideram drept parametru unghiul de rotatie anume unghiul dintre AB si AP masuratın radiani. Astfel ecuatii le parametrice ale cicloidei vor fi{

x = Rt− a sin ty = R− a cos t t ∈ R.(2.3.1)

Sa ne concentram atentia pe cazul cicloidei normale. Vom avea:{x = a(t− sin t)y = a(1− cos t) t ∈ R.(2.3.2)

Punctele singulare ale acestei curbe le aflam rezolvand sistemul{x(t) = a(1− cos t = 0y(t) = a sin t = 0 .

Ele sunt acele puncte pentru care t = 2kπ, k ∈ Z. Daca calculam pantele tangentelorın aceste puncte observam ca

m =dy

dx=y

x=

sin t1− cos t

= ctgt

2.

ms = limt↗2kπ

ctgt

2= −∞; md = lim

t↘2kπctg

t

2= ∞,

deci punctele singulare sunt puncte de ıntoarcere.Elementul de arc este

ds =√x2 + y2 dt =

√a2[(1− cos t)2 + sin2 t] dt = a sin

t

2dt.(2.3.3)

Lungimea buclei de cicloida este

l[0,2π] =

2π∫0

a sint

2dt = 8a(2.3.4)

iar aria marginta de obucla de cicloida si axa Ox este data de integrala curbilinie

A[0,2π] =∮xdy = 3πa2.(2.3.5)

Propunem cititorului un exercitiu interesant si anume studiul curbei obtinuta astfel:consideram un cerc fix de centru O si raza R, o dreapta (d) mobila, un punct P fixat pedreapta. Se cere curba descrisa de punctul P daca dreapta se deplaseaza fara alunecareramanand tangenta la cerc.

Page 72: Matematici superioare

72CAPITOLUL 2. ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICA SI DIFERENTIALA

Epicicloide

O epicicloida se poate obtine mecanic ın urmatorul context. Fie un cerc fix de raza Rsi de centru O, un cerc mobil de raza r si centru O′ si un punct P solidar legat de cerculmobil situat la distanta a de O′. Punctul P descrie o epicicloida daca cercul mobil semisca fara alunecare pe exteriorul cercului fix. Ca si la cicloida distingem trei cazuri:

- a < r epicicloida restransa- a = r epicicloida normala- a > r epicicloida extinsa.

poze cu epicicloideNotam p = R

r . Daca p ∈ Z epicicloida este o curba care se ınchide dupa o parcurgerea cercului fix avand p arce, pentru p rational neıntreg curba se ınchide dupa un numardeterminat de parcurgeri ale cercului fix iar daca p este irational curba ramane deschisa.

Pentru a determina ecuatiile parametrice ale epicicloidei procedam astfel: fie A punc-tul de tangenta la momentul initial al miscarii, B punctul de tangenta ıntre cercul fix sicel mobil la un moment oarecare , dreapta OA luata ca axa Ox, D proiectia lui O′ peOx, E proiectia lui P pe O′D si t unghiul de rotatie (BO′P ) masurat ın radiani.

Coordonatele punctului P sunt{xP = |OD|+ |EP | = |OO′| cos(DOO′) + |O′P | sin(EO′P )yP = |O′D| − |O′E| = |OO′| sin(DOO′)− |O′P | cos(EO′P )

.

Masura ın radiani a DOO′ este tp iar a unghiului DO′P este

(R+ rR

)− π

2 . Din acesteconsiderente rezulta ecuatiile parametrice ale epicicloidei: x = (R+ r) cos rRt− a cos

(R+ rR

)t

y = (R+ r) sin rRt− a sin

(R+ rR

)t

t ∈ R(2.3.6)

In cazul epicicloidei normale punctele obtinute pentru t = 2kπ k ∈ Z sunt punctesingulare (puncte de intoarcere), lungimea unui arc de epicicloida este

l[0,2π] =8rR

(R+ r)

iar aria buclei cuprinsa ıntre cercul fix si epicicloida este

A[0,2π] =3πr2

R(3R+ 2r)

. O epicicloida speciala se obtine pentru

R = r

Aceasta curba se numeste cardioida.Ecuatiile parametrice ale cardioidei sunt{

x = 2R cos t−R cos 2ty = 2R sin t−R sin 2t t ∈ [0, 2π].(2.3.7)

Eliminarea lui t ne conduce la ecuatia carteziana implicita

(x2 + y2 −R2)2 = 4R2[(x− r)2 + y2].(2.3.8)

Page 73: Matematici superioare

2.3. CURBE PLANE 73

Dupa o translatie a axelor care duce originea sistemului de coordonateın A putem scrieusor si ecuatia cardioidei ıcoordonate polare

ρ = 2R(1− cos θ).(2.3.9)

Astfel ( dupa cum vom vedea mai departe) cardioida este un melc al lui Pascal.

Hipocicloide

Fie un cerc fix de raza R si de centru O, un cerc mobil de raza r si centru O′ si unpunct P solidar legat de cercul mobil situat la distanta a de O′. Punctul P descrie ohipocicloida daca cercul mobil se misca fara alunecare pe interiorul cercului fix. Si pentruacest tip de curba avem cele trei cazuri date de raportul dintre a si r anume pentru a < rhipocicloida se numeste restransa, a = r ne da o hipocicloida normala, iar a > r neconduce la o hipocicloida extinsa. Daca raportul p = R

r este natural atunci curba seınchide dupa o parcurgere a cercului fix fiind alcatuita din p bucle, p rational conducela o curba care se ınchide dupa un numar de parcurgeri ale cercului fix iar p irational neconduce la o curba deschisa.

Pastrand notatiile de la epicicloide obtinem pentru hipocicloide ecuatiile parametrice x = (R− r) cos rRt+ a cos(R− rR

)t

y = (R− r) sin rRt− a sin

(R− rR

)t

t ∈ R.(2.3.10)

Pentru hipocicloida normala punctele obtinute pentru t = 2kπ sunt puncte singulare(puncte de ıntoarcere, lungimea unui arc de hipocicloida este

l[0,2π] = 8r

R(R− r)(2.3.11)

iar aria marginita de bucla de hipocicloida si cercul fix este

A[0,2π] =3πr2

R(3R− 2r).(2.3.12)

Un caz particular de hipocicloida este astroida. Aceasta curba se obtine pentru cazulR = 4r. Ecuatiile parametrice ale astroidei sunt:{

x = 4r cos3 t4y = 4r sin3 t

4t ∈ [0, 8π(2.3.13)

sau dacexprimam ecuatiile ın functie de raza cercului fix iar ca parametru consideramunghiul φ dintre axa Ox si dreapta OO′ (φ = t

4) atunci ecuatiile devin:{x = R cos3 φy = R sin3 φ

φ ∈ [0, 2π](2.3.14)

si ıntre aceste ecuatii se poate elimina parametrul obtinand ecuatia implicita

x23 + y

23 = R

23 .(2.3.15)

Curbele Cassini

Locul geometric al punctelor din plan pentru care produsul distatelor la doua punctefixe este constant poarta numele de curbe ale lui Cassini. Pentru a determina ecuatia

Page 74: Matematici superioare

74CAPITOLUL 2. ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICA SI DIFERENTIALA

acestor curbe consideram punctele fixe F1 si F2 situate pe axa Ox simetric fac. a deorigine la distanta e. Conditia din definitia curbelor este |PF1| · |PF2| = a2, adica, dupaexprimarea distantelor si ridicare la patrat

(x2 + y2)2 − 2e2(x2 − y2) = a4 − e4.(2.3.16)

In functie de raportul dintre a si e se obtin curbe Cassini de diverse forme si anume:1) a ≥ e

√2 curbele au aspect eliptic. De remarcat pentru cazul a = e

√2 ca ın

punctele de intersectie cu axa Oy curbura este nula.2) e < a < e

√2 curbele au aspect de fluture,

3) a = e curba este lemniscata lui Bernoulli,4) a < e curba se reduce la doua ovale simetrice centrate ın F1 si F2.Este interesant de remarcat ca ıntr-un oscilator Lorenz particula mobila atrasa de doi

poli atractori identici ficsati descrie curbe Cassini si schimba impredictibil curba pe carese deplaseaza. Pentru lemniscata lui Bernoulli avem ecuatia carteziana implicita

(x2 + y2)2 − 2a2(x2 − y2) = 0(2.3.17)

iar cea polara

ρ2 = 2a2 cos 2θ, θ ∈ [−π4,π

4]⋃

[3π4,5π4

].(2.3.18)

Originea sistemului de coordonate este un punct dublu (nod), prima si a doua bisectoarefiind tangentele la curba ın acest punct. Aria unei bucle de lemniscata este a2. Cititoruleste ındemnat sa verifice prin calcule directe aceste rezultate.

Curba tractrice, curba lantisor

O curba al carei segment tangenta este constant poarta numele de curba tractrice.Ecuatia unei astfel de curbe o obtinem rezolvand o problema de tip Cauchy. Pornim dela expresia segmentului tangenta constant egal cu a si explicitam pe y′. Tinem cont capentru x = 0 avem y = a de unde problema Cauchy care ne conduce la determinareaecuatiei tractricei este {

y′ = ∓ y√a2 − y2

y(0) = a.(2.3.19)

Ecuatia este cu variabile separabile si se integreaza imediat. Obtinem pentru tractricepe x exprimat ca o functie de y si anume

x = a ln

∣∣∣∣∣a±√a2 − y2

y

∣∣∣∣∣∓√a2 − y2.(2.3.20)

Punctul A(0,a) este un punct de ıntoarcere. Lungimea arcului_

AP este

l_AP

= a lna

y.

Pozitia de echilibru a unui fir greu perfect flexibil (lant cu o infinitate de zale faraferecare ıntre ele) inextensibil ale carui capete sunt fixate descrie curba plana numitacurba lantisor. Aceasta curba este evoluta tractricei.Ecuatia curbei lantisor este

y =a

2(e

xa + e−

xa

).(2.3.21)

De remarcat ca ın punctul de minim al curbei A(0, a) raza cercului osculator este a iarcoordonatele centrului acestui cerc sunt (0, 2a).

Page 75: Matematici superioare

2.3. CURBE PLANE 75

Foliul lui Descartes Ecuatia acestei curbe este

x3 + y3 − 3axy = 0.(2.3.22)

Asimptota acestei curbe este dreapta x+y+a = 0. Daca ducem o dreapta variabila prinorigine (d) : y = tx, t ∈ R ea bse va intersecta cu curba ın origine si pentru t 6= −1 ın x = 3at

1 + t3

y = 3at21 + t3

(2.3.23)

care reprezinta ecuatiile parametrice ale foliului lui Descartes.Curbe politropeCurbele a caror ecuatie este de foma

xm · yn = a, m, n, c > 0(2.3.24)

se numesc curbe politrope.

Teorema 2.3.11.1 Ecuatia unei curbe politrope poate fi redusa la forma

xp · yq = b, cu conditia p+ q = 1.(2.3.25)

Curbele politrope au importanta deosebitapentru ca, de exemplu, transformarileizoterme din procesele termodinamice sunt descrise de politrope.

Cisoida lui Diocles Consideram un sistem de axe ortogonale xOy un cerc tangentla Oy cu centrul pe Ox si de raza a

2 . Axa Ox taie a doua oara cercul ın A. Prin A

ducem o paralela (d) la Oy. O secanta ce trec prin origine taie cercul a doua oara ın Qsi dreapta (d) ın R. Locul gemetric al punctului P de pe (d) pentru care |OP | = |QR|poarta numele de cisoida lui Diocles. Ecuatia carteziana a cisoidei este

y2 =x3

a− x.(2.3.26)

Originea este un punct de ıntoarcere iar (d) este asimptota a curbei. Lasam cititoruluiplacerea de a determina ecuatiile parametrice si ecuatia polara a cisoidei. Sa remarcam oproprietate geometrica interesanta a acestei curbe si anume ca aria cprinsa ıntre cisoidasi asimptota este finita fiind egala cu de trei ori aria cercului din definitie.

poza cisoida

Strofoida Consideram ıntr-un sistem cartezian de axe punctul A(−a, 0) si un fasciculde drepte care trece prin A. Fie B punctul ın care dreptele din fascicul taie axa Oy siP , P ′ puncte pe dreptele din fascicul care verifica relatia

|PB| = |BO| = |BP ′|.

Punctele P si P ′ descriu o strofoida. Ecuatia carteziana implicita este

y2 = x2 a+ x

a− x.(2.3.27)

Originea este un nod, pantele tangentelor ın origine sunt ±1, dreapta x = a este asimp-tota. Punem ın evidenta si cateva proprietati geometrice interesante:

Page 76: Matematici superioare

76CAPITOLUL 2. ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICA SI DIFERENTIALA

- cercul circumscris triunghiului POP ′ este tangent ın O la axa Ox- aria marginita de bucle APO si axa Ox este egala cu diferenta dintre aria patratului

de latura a si aria cercului ınscrisın el,- aria cuprinsa ıntre asimptota, axa Ox si bucla strofoidei este egala cu suma ariilor

patratului de latra a si a cercului ınscris ın el.Concoide ale dreptelor si ale cercurilor, melci ai alui Pascal Consideram un

punct fix A si o curba data. Prin punctul fix ducem un fascicul de drepte care taie curbadata ın Q. Consideram pe dreptele mobile punctele P si P ′ astfel ıncat |PQ| = |P ′Q| = c.Punctele P si P ′ descriu concoide ale curbei date.Acest tip de curbe au cel mai adesea ecuatiile date sub forma polara

ρ = ρ(θ)± c.(2.3.28)

- Concoide ale dreptelor (Concoida lui Nicomede). Fie ıntr-un sistem de axe o par-alela la axa Oy dusa la distanta a. Punctul fix ıl luam ın origine. Forma concoidelordepinde de raportul dintre lungimile a si c.

poza concoide

Ecuatia lor carteziana este

(x− a)2(x2 + y2) = c2x2(2.3.29)

iar cea polara

ρ =a

cos θ± c.(2.3.30)

- Concoide ale cercurilorDaca ın locul dreptei consideram un cerc centrat pe Ox de exemplu, vom obtine concoideale cercurilor. Pentru cazul ın care consideram ada garea la raza vectoare a unei cantitaticonstante curba obtinuta se numeste melc al lui Pascal. Ea are ecuatia

ρ = c+ a cos θ.(2.3.31)

Pentru cazul special a = c si cu cercul centrat ın punctul A(−a, 0) tangent la Oy obtinemchiar o cardioida de ecuatie

ρ = 2a(1− cos θ).(2.3.32)

Spirale Numim spirala o curba carea are proprietatea ca ın ecuatia ei polara dependentalui ρ de θ este data de o functie injectiva.

1. - Spirala lui Arhimede: mecanic aceasta curba se obtine prin miscarea uniforma aunui punct pe o dreapta ce trece prin origine si roteste uniform ın jurul polului.

desen spirala A

ecuatia ei este

ρ = aθ θ ∈ R.(2.3.33)

Page 77: Matematici superioare

2.3. CURBE PLANE 77

2. - Spirala hiperbolica: Aceasta curba are ecuatia polara

ρ =a

θθ ∈ R∗.(2.3.34)

Variatia lui θ de la 0 la ∞ conduce la variatia lui ρ catre 0, punctele curbeiınconjoara polul, tind catre el dar nu ıl ating. Polul este un punct asimptotical curbei. Pentru studierea comportarii curbei cand theta tinde catre infinit con-sideram distanta de la un punct al curbei pana l aaxa polara. Aceasta este

y = ρ sin θ = asin θθ

.

ρ→∞ este echivalent cu θ → 0 iar

limθ→0

y = limθ→0

asin θθ

= a,

adica o dreapta paralela cu axa polara situata la distanta a de aceasta este asimp-tota pentru spirala logaritmica.

3. - Spirala logaritmica: Legea de definire pentru aceasta curba este urmatoarea:cresterea ın progresie aritmetica a lui θ corespunde unei cresteri ın progresie geo-metrica a lui ρ. Ecuatia unei astfel de curbe este

ρ = aecθ θ ∈ R.(2.3.35)

Sa observam ca polul este un punct asimptotic al curbei.

poza s log

Page 78: Matematici superioare

78CAPITOLUL 2. ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICA SI DIFERENTIALA

Page 79: Matematici superioare

Capitolul 3

Elemente de algebra liniara

3.1 Spatii vectoriale reale

Reamintim pe scurt cateva notiuni studiate ın liceu. Fie G o multime pe care amdefinit o operatie interna ∗ : G × G → G, (x, y) 7→ x ∗ y. Daca legea definita esteasociativa (G, ∗) se numeste semigrup, daca operatia admite si element neutru atunci(G, ∗) este monoid. Spunem ca (G,*) este grup daca operatia este asociativa , admiteelment neutru si orice element din G este simetrizabil. Daca, ın plus, operatia estecomutativa spunem ca grupul este comutativ.

Urmatoarele multimi, cu operatiile considerate, sunt grupuri:(R,+), (R∗, ·), (Z,+), (F = {f : A→ A | f bijectiva }, ◦).

H ⊂ G se numeste subgrup al grupului G daca operatia indusa de pe G determina peH o structura de grup.H ⊂ G este subgrup al grupului G daca:- H este parte stabila fata de operatia definita pe G- ∀x ∈ H simetricul sau x′ ∈ H

Daca (G, ◦) si (H, ∗) sunt doua grupuri, numim homomorfism de grupuri, o aplicatief : G→ H cu proprietatea f(x ◦ y) = f(x) ∗ f(y) ∀x, y ∈ G.Homomorfismul injectiv se numeste monomorfism, cel surjectiv epimorfism si cel bijectivizomorfism. Un homomorfism de la (G, ◦) la (G, ◦) se numeste endomorfism iar unendomorfism bijectiv este un automorfism.

O multime A pe care definim doua operatii interne, notate + si ., spunem ca are ostructura de inel daca (A,+) este grup comutativ, (A, .) este monoid si . este distribu-tiva fata de +. Un inel ın care orice element diferit de 0 este inversabil ın raport cu adoua operatie se numeste corp.

Fie K si V doua multimi. Notam V V multimea tuturor functiilor definite pe V cuvalori ın V .

Definitia 3.1.0.1 Numim actiune a multimii K pe multimea V o aplicatie care real-izeaza asocierea α ∈ K 7→ fα ∈ V V

Definitia 3.1.0.2 Fie o actiune a multimii K asupra multimii V . Se numeste lege deactiune la stanga atasata actiunii date o aplicatie ce realizeaza asocierea (α, x) ∈ K×V 7→fα(x) ∈ V .

Daca g : K × V → V , atunci, exista o unica actiune a multimii K asupra multimiiV astfel ıncat g sa fie legea ei de actiune la stanga. Vom numi, ın acest caz, pe g cafiind lege de actiune, K multime de operatori, fα(x) transformatul lui x prin legea deactiune. Vom folosi pentru legea de actiune notatie multiplicativa αx , de tip putere xα

79

Page 80: Matematici superioare

80 CAPITOLUL 3. ELEMENTE DE ALGEBRA LINIARA

sau o notatie conventionala α ⊥ x, pentru α ∈ K si x ∈ V . Legea de actiune la stangaasociata unei actiuni date se mai numeste si operatie externa la stanga.

Similar se defineste si legea de actiune la dreapta.

Exemple 3.1.0.1 1. Fie semigrupul (N∗,+) si monoidul (V, ·). Aplicatia p : N∗ →V V care realizeaza asocierea n ∈ N∗ p7→ (x 7→ xn) ∈ V V este o actiune a lui N∗

pe V .

Daca (V, ·) este grup, atunci, putem defini, similar, o actiune a grupului (Z,+)asupra lui V prin a ∈ Z 7→ (x 7→ xa)

2. Aplicatia identica a lui V V pe el ınsusi este o actiune a lui V V pe V . Legea deactiune atasata se numeste lege de actiune canonica si este (f, x) ∈ V V × V 7→f(x) ∈ V

3. Fie (R,+, ·) corpul numerelor reale si (Mn×m(R),+) grupul matricilor cu n liniisi m coloane, cu elemente reale. Aplicatia

α ∈ R 7→ (A ∈M 7→ αA)

este o actiune a lui R pe M a carei lege de actiune la stanga atasata este data deınmultirea unei matrici cu un scalar real.

3.1.1 Spatii vectoriale

Pe langa structurile de grup , inel si corp studiate ın liceu , disciplinele aplicate cerstudierea unei structuri speciale , cea de spatiu vectorial sau spatiu liniar. Consideram:

1. un corp (K,+, ·) pe care ıl numim corp de scalari si ale carui elemente le vom nota,pentru moment, cu litere grecesti. Elementele neutre ale lui K vor avea notatia 0si 1.

2. un grup comutativ (V,+) a carui lege de compozitie interna o vom nota tot aditivsi ale carui elemente, numite ın continuare vectori, vor fi desemnate prin caracterelatine. Elementul sau neutru ıl notam O.

3. o lege de actiune a lui K pe V notata prin juxtapunere, (α, x) 7→ αx si nu-mita ınmultire cu scalari. Datorita faptului ca pe K avem definite doua operatiiinterne, legea de actiune a lui K pe V va avea proprietati distincte fata de ele.

(a) este distributiva pe prima si a doua componenta adica(α+ β)x = αx+ βx si α(x+ y) = αx+ αy.

(b) este asociativa pe prima componenta adica α(β(x)) = (αβ)x.

(c) 1 este element neutru pe prima componenta adica 1x = x.

Definitia 3.1.1.1 Grupul comutativ (V,+), ınzestrat cu legea de actiune a lui K pe Vcare are proprietatile a, b, c, se va numi spatiu vectorial peste corpul K

Vom nota acest spatiu cu (V,+, ·K).In continuare, vom considera doar cazul ın care corpul K va fi corpul numerelor reale Rsi, ın acest caz, pe V ıl vom numi simplu, spatiu vectorial, fara a mai mentiona corpulscalarilor.

Propozitia 3.1.1.1 Daca V este un spatiu vectorial atunci avem urmatoarele pro-prietati:

1. 0a=O

2. α O=O

Page 81: Matematici superioare

3.1. SPATII VECTORIALE REALE 81

3. (-1)a=-a

4. αa = O ⇒ α = 0 sau a = O.

Exemple 3.1.1.1 1. Corpul numerelor reale poate fi privit ca spatiu vectorial pesteel ınsusi.

2. Rn = R × R × ... × R este un spatiu vectorial daca este ınzestrat cu operatiainterna de adunare pe componente

(a1, a2, ..., an) + (b1, b2, ..., bn) = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)

si cu actiunea canonica

α(a1, a2, ..., an) = (αa1, αa2, ..., αan).

Acest spatiu vectorial se va numi spatiu vectorial aritmetic.

3. Multimea Rk[X] a polinoamelor de grad cel mult k, cu coeficienti reali, ımpreuna cuadunarea de polinoame si cu ınmultirea unui polinom cu un numar real este unspatiu vectorial real.

3.1.2 Subspatii vectoriale

Consideram V un spatiu vectorial si V ′ ⊂ V .

Definitia 3.1.2.1 V’ se numeste subspatiu al lui V daca operatiile induse de pe V facdin V ′ un spatiu vectorial.

Teorema 3.1.2.1 V ′ ⊂ V este subspatiu vectorial daca si numai daca :

1. x+ y ∈ V ′ ∀x, y ∈ V ′;

2. αx ∈ V ′ ∀α ∈ R si ∀x ∈ V ′.

Demonstratie: Proprietatea (1.) ne asigura ca V ′ este parte stabila fata de adunare iardin (2.) , pentru α = −1, avem ca −x ∈ V ′ ∀x ∈ V ′ deci V ′ este subgrup al grupuluicomutativ V , ceea ce ınseamna ca este la randul sau grup. Proprietatile legate deactiunea lui R pe V ′ sunt cele din V , deci, V ′ este subspatiu vectorial.

Teorema 3.1.2.2 V ′ ⊂ V este subspatiu vectorial daca si numai dacaαx+ βy ∈ V ′ ∀x, y ∈ V ′ si ∀α, β ∈ R.

Demonstratie: Daca luam pe rand α = 1 si β = 1 avem ındeplinita prima conditie dinteorema anterioara , iar pentru α oarecare si β = 0 avem ındeplinita si conditia a douadeci teorema este demonstrata .

Consideram ın continuare subspatiile V ′ si V ′′ ale spatiului vectorial V . Definimmultimea

V ′ + V ” = {x ∈ V | ∃x′ ∈ V ′ si x” ∈ V ” a.i. x = x′ + x”}.Propozitia 3.1.2.1 Multimile {O}, V sunt subspatii ale lui V . (Ele se numesc subspatiiimproprii ale lui V ).Daca V ′ si V ” sunt subspatii ale lui V atunci submultimile V ′

⋂V ” si V ′ + V ” sunt

subspatii ale lui V .

Propunem demonstratia acestei propozitii ca exercitiu.

Daca un vector x ∈ V se poate scrie ca o suma de elemente din V ′ si V ”, spunemca el se descompune dupa ”directiile” V ′ si V ”. Aceasta descompunere nu este, ıngeneral, unica .Suma subspatiilor V ′ si V ” se numeste suma directa si se noteaza V ′ ⊕ V ”, daca de-scompunerea oricarui vector din aceasta submultime, dupa directile V ′ si V ”, esteunica .

Page 82: Matematici superioare

82 CAPITOLUL 3. ELEMENTE DE ALGEBRA LINIARA

Propozitia 3.1.2.2 Fie V ” si V ” doua subspatii nenule ale spatiului vectorial V .Suma celor doua subspatii este directa daca si numai dacaV ′⋂V ” = {O}

Demonstratie: ”⇒”Presupunem ca V ′

⋂V ” 6= {O} si fie z ∈ V ′

⋂V ”, z 6= O. Cu notatiile uzuale,

daca x = x′ + x”, atunci x = (x′ + z) + (x”− z). Descompunerea nu mai este unica siastfel ajungem la o contradictie.”⇐”Presupunem ca suma nu este directa , ceea ce ınseamna ca exista un vector x ın sumacelor doua subspatii a carui descompunere nu este unica. Atunci x = x′ + x” = y′ + y”cu x′ 6= y′ si x” 6= y”. Avem ca x′ − y′ ∈ V ′, y” − x” ∈ V ” si x′ − y′ = y” − x”, deciV ′⋂V ” 6= {O}, contradictie.

In cazul ın care avem ındeplinita relatia V ′⊕V ” = V spunem ca cele doua subspatiisunt suplimentare. Daca pentru subspatiul propriu V ′ exis-ta un unic subspatiu propriual lui V astfel ıncat sa avem V ′⊕V ” = V , atunci, V ” se numeste complementul algebrical lui V ′.

Convenim ca o multime finita de vectori sa o numim sistem de vectori.

Definitia 3.1.2.2 Fie S = {x1, x2, ..., xn} un sistem de vectori. Vectorul x ∈ V senumeste combinatie liniara de elementele sistemului S dacaexista scalarii α1, α2, ..., αn astfel ıncat sa avem

x = α1x1 + α2x2 + ...+ αnxn.

Definitia 3.1.2.3 Fie S = {x1, x2, ..., xn} un sistem de vectori. Numim ınchiderealiniara a lui S multimea

[S] = {x ∈ V | x este combinatie liniara de elementele lui S}.

Propozitia 3.1.2.3 Inchiderea liniara a sistemului S este subspatiu vectorial al lui V .

Demonstratie: Fie x, y ∈ [S]. Atunci x =n∑

k=1

αkxk, y =n∑

k=1

βkxk si de aici daca α, β ∈

R avem αx+ βy = αn∑

k=1

αkxk + βn∑

k=1

βkxk =n∑

k=1

λkxk ∈ [S].

Definitia 3.1.2.4 Fie S un sistem de vectori si V ′ un subspatiu vectorial al lui V . Sse numeste sistem de generatori pentru V ′ daca [S] = V ′.

Definitia 3.1.2.5 Consideram un sistem de vectori S. Multimea S se numeste liniarindependenta daca orice combinatie liniara a sa nula este identic nula, adica, pentruorice combinatie liniara cu proprietatea

n∑k=1

αkxk = 0 sa rezulte ca αk = 0 ∀k = 1, 2, ..., n.

S se numeste liniar dependenta daca nu este liniar independenta.

Observatia 3.1.2.1 Daca S este liniar dependent atunci exista un vectorxi ∈ S care poate fi exprimat ca o combinatie liniara a celorlalti vectori din S.Orice sistem de vectori care contine vectorul nul este liniar dependent.Daca sistemul S contine un subsistem liniar dependent atunci el este liniar dependent.

Page 83: Matematici superioare

3.1. SPATII VECTORIALE REALE 83

3.1.3 Baza si dimensiune a unui spatiu vectorial

Definitia 3.1.3.1 Numim baza a unui spatiu vectorial V un sistem de generatori liniarindependent.

Teorema 3.1.3.1 Fie V 6= {O} un spatiu vectorial si S un sistem de gene-ratori pentruV . Atunci S contine o submultime B care este baza a lui V .

Demonstratie: Daca S este liniar independent teorema este evidenta. Daca S nu esteliniar independent atunci el are cel putin doua elemente si, conform observatiei ante-rioare, exista un element xi ∈ S a.i. xi sa se poata scrie ca o combinatie liniara decelelalte elemente ale lui S. Multimea L = S \ {xi} este sistem de generatori pentruV . Daca L este liniar independent atunci B = L iar daca nu, se repeta rationamentulanterior.

Reamintim ca am considerat cazul ın care sistemul S este finit.

Propozitia 3.1.3.1 Fie B o baza a spatiului vectorial V . Daca B are n elementeatunci orice sistem de vectori care are n+1 elemente este liniar dependent iar oricesistem de vectori cu n-1 elemente nu poate sa fie sistem de generatori pentru V .

Corolar 3.1.3.1 Oricare doua baze ale spatiului vectorial V au acelasi numar de ele-mente.

Definitia 3.1.3.2 Numim dimensiune a spatului vectorial V , notata dimV , numarulde elemente dintr-o baza a sa.Spatiul nul este de dimensiune 0 si este singurul spatiu vectorial cu aceasta proprietate.

Propozitia 3.1.3.2 Daca B este o baza pentru spatiul vectorial V , B = {e1, e2, ..., en},atunci orice element x ∈ V se poate scrie ın mod unic x =

n∑k=1

αkek

Demonstratie: Presupunem ca elementul x ∈ V nu are scriere unica ın baza B, adica se

poate scrie ca x =n∑

k=1

αkek dar si x =n∑

k=1

βkek. Atuncin∑

k=1

(αk − βk)ek = 0 si cum B

este sistem liniar independent rezulta αk = βk ∀k = 1, 2, ...n.

Corolar 3.1.3.2 Fie V un spatiu vectorial si B = {e1, e2, ..., en} o baza a sa. AtunciV = [e1]⊕ [e2]⊕ ...⊕ [en].

Propunem demonstratia acestui corolar ca exercitiu.

Consideram un spatiu vectorial V si o baza a sa B = {e1, e2, ..., en}. Stim ca oricevector x ∈ V admite, ın acest caz, o reprezentare unica x = α1e1 + α2e2 + ... + αnen.Scalarii α1, α2, ..., αn se vor numi coordonatele vectorului x ın baza B. Se stabileste astfelo corespondenta intre V siRn care ataseaza unui vector x ∈ V n-uplul (α1, α2, ..., αn) dinRn. Sa observam ca aceasta corespondenta este bijectiva. Asocierea x 7→ (α1, α2, ..., αn)poarta numele de sistem de coordonate. Consideram acum o multime de p vectoriM = {x1, x2, ..., xp}. In baza B, fiecarui vector xi din familie putem sa-i atasam coordo-natele sale (αi1, αi2, ..., αin), identificandu-l pe xi cu coloana t(αi1, αi2, ..., αin). Atuncimultimea M o vom putea reprezenta printr-o matrice A, de dimensiune n × p, careare drept coloane componentele vectorilor din M . Matricea A se va numi matrice aso-ciata familiei de vectori M ın baza B.

Teorema 3.1.3.2 Consideram V un spatiu vectorial, B = {e1, e2, ..., en} o baza a sasi M = {x1, x2, ..., xp}, p ≤ n, un sistem de vectori. Sistemul de vectori M este liniarindependent daca rangul matricii asociate lui M este p.

Page 84: Matematici superioare

84 CAPITOLUL 3. ELEMENTE DE ALGEBRA LINIARA

Daca M este o alta baza al lui V , atunci matricea A, asociata lui M ın baza B, senumeste matrice de trecere de la baza B la baza M si avem ındeplinita relatia M = AB.Daca vectorul x ∈ V are reprezentarile X ın baza B si Y ın baza M , atunci X = AY .

Exemple 3.1.3.1 Consideram spatiul vectorial aritmetic V = R3 si trei vectori oarecarea = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3), c = (c1, c2, c3). Sa determinam ın ce conditie ceitrei vectori sunt liniari independenti.αa+ βb+ γc = 0 ınseamna, pe componente

(αa1 + βb1 + γc1, αa2 + βb2 + γc2, αa3 + βb3 + γc3) = (0, 0, 0).

Aceasta egalitate conduce la un sistem omogen care are solutie unica, solutia nula, daca sinumai daca deteminantul matricii sistemului este nenul, adica,∣∣∣∣∣∣

a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

∣∣∣∣∣∣ 6= 0.

In aceste conditii, sistemul format de vectorii a, b, c este si sistem de generatori, decieste o baza . De aici rezulta ca dimensiunea spatiului R3 este 3.Sa consideram si un caz particular. Fie baza B = {a , b, c} cu vectorii a = (1, 1, 0), b =(1, 0, 1), c = (0, 1, 1) si vectorul v = (3, 2, 4). Componentele lui v sunt 3, 2, 4 ın timp cecoordonatele lui v ın baza B sunt (1

2 ,52 ,

32) adica v = 1

2a+ 52b+ 3

2c.O baza ın care componentele unui vector si coordonatele sale ın acea baza coincidpoarta numele de baza canonica. Pentru R3 aceasta baza este

C = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.

Exemple 3.1.3.2 Consideram spatiul vectorial R2[X] al polinoamelor de grad maximdoi cu coeficienti reali. Fie baza B = {t, 1 + t2,−1}, p ∈ R2[X], p = 1 − t2 si bazacanonica C = {1, t, t2}. Pentru baza B, matricea schimbarii de baza fata de baza

canonica este

0 1 −11 0 00 1 0

. Coordonatele lui p ın baza B sunt (0,−1,−2).

3.1.4 Produs scalar, norma, metrica

Pana ın acest moment am studiat spatiile vectoriale ca pe o structura strict . Acum vomıncerca sa introducem pe aceste structuri algebrice si ”o geometrie”. Prin aceata sin-tagma, ”o geometrie”, ıntelegem o modalitate de a atasa unui vector o marime cusemnificatia de lungime a vectorului, o modalitate de a decide cand doi vectori suntperpendiculari, mai apoi de a masura unghiul dintre doi vectori ca si o modalitate de amasura distante ıntr-un spatiu vectorial. Aceste notiuni le vom putea privi corelate sauindependente, obtinand spatii cu proprietati ”geometrice” similare sau diferite de cel cucare ne-a obisnuit geometria studiata la liceu.

Fie V un spatiu vectorial real cu dimV = n. Pe acest spatiu vectorial considerambaza canonica . Reamintim ca acest spatiu este izomorf cu Rn si deci, macar pentrun ≤ 3, ”refugiul ıntr-un model geometric palpabil ” ne este la ındemana .

Definitia 3.1.4.1 Numim produs scalar o aplicatie

< ·, · >: V × V → R+

cu urmatoarele proprietati:

1. < x, y >=< y, x > ∀x, y ∈ V

2. < x+ y, z >=< x, z > + < y, z > ∀x, y, z ∈ V

Page 85: Matematici superioare

3.1. SPATII VECTORIALE REALE 85

3. α < x, y >=< αx, y > ∀x, y ∈ V si ∀α ∈ R

4. < x, x >≥ 0 si < x, x >= 0 daca si numai daca x = 0

Un spatiu vectorial pe care s-a introdus un produs scalar se numeste spatiu vectorialeuclidian.

Observatia 3.1.4.1 Un produs scalar verifica si urmatoarele proprietati:

1. < x, y + z >=< x, y > + < x, z >

2. < 0, 0 >=< 0, x >=< y, 0 >= 0

3. α < x, y >=< x,αy >

Teorema 3.1.4.1 Daca V este un spatiu vectorial euclidian atunci oricare ar fi vectoriix si y avem ındeplinita inegalitatea lui Cauchy-Schwarz

< x, y >2≤< x, x >< y, y > .

Egalitate avem daca si numai daca x si y sunt liniar dependenti.

Demonstratie: Pentru x = 0 sau y = 0 egalitatea este evidenta. Fie vectorii x, ynenuli si z = αx+ βy cu α, β nenuli. Avem atunci

0 ≤< z, z >= α2 < x, x > +2αβ < x, y > +β2 < y, y > .

Putem ımparti relatia anterioara cu β2 si sa facem notatia αβ

= λ. Ajungem la

λ2 < x, x > +2λ < x, y > + < y, y >≥ 0 ∀λ ∈ R.

Conditia ∆ ≤ 0 ne da chiar inegalitatea ceruta de enunt.Observam ca < z, z >= 0 daca si numai daca z = 0 adica daca si numai daca x si ysunt liniar dependenti.

Exemple 3.1.4.1 1. Daca V = Rn atunci functia

< ·, · >: V × V → R, < x, y >=n∑

k=1

xkyk

este un produs scalar. Acesta este produsul scalar uzual si vom vedea ca, prinintermediul lui, vom putea ınzestra pe V cu o geometrie .

2. Pe Rn putem sa definim si alte produse scalare, de exemplu cel dat de

< x, y >=n∑

k=1

1k!xkyk.

3. Consideram spatiul vectorial M al matricilor patratice de ordin n, cu elemente dinR. Aplicatia

< ·, · >: M ×M → R, < A,B >= Tr( tAB)

este un produs scalar.

4. Multimea F = {f : [a, b] → R | f continua }, ınzestrata cu adunarea functiilor sicu ınmultirea functiilor cu un numar real, este un spatiu vectorial. Acest spatiu nuare dimensiune finita . Pe acest spatiu avem definit produsul scalar uzual

< f, g >=

b∫a

f(x)g(x)dx

pe care ıl putem privi ca pe o ”generalizare” a produsului scalar uzual de pe Rn.

Page 86: Matematici superioare

86 CAPITOLUL 3. ELEMENTE DE ALGEBRA LINIARA

Sa definim acum conceptul de ”lungime a unui vector”, extinzand notiunea de modul.Reamintim ca, semnificatia geome-trica a acestei notiuni este de ”distanta de la un punctla origine”.

Definitia 3.1.4.2 Numim norma pe spatiul vectorial V o aplicatie

‖ · ‖ : V → R+

care are urmatoarele proprietati:

1. ‖x‖ ≥ 0 si ‖x‖ = 0 daca si numai daca x = 0

2. ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖‖y‖ ∀x, y ∈ V

3. ‖αx‖ = |α|‖x‖ ∀x ∈ V si ∀α ∈ R

In cazul in care dorim sa construim o geometrie euclidiana pe V = Rn trebuie caacolo, sa avem definit produsul scalar uzual si, cu ajutorul lui, sa ne definim urmatoareanorma

‖x‖2 =√< x, x > =

√√√√ n∑k=1

x2k.

Spunem ca aceasta norma provine dintr-un produs scalar. Pe Rn putem defini si normecare nu provin din produs scalar. De exemplu

1. ‖x‖1 =n∑

k=1

|xk|

2. ‖x‖p = p

√n∑

k=1

xpk

3. ‖x‖∞ = maxk=1,2,..,n

{|xk|}

Numim bila unitate multimea Bk = {x ∈ R2| ‖x‖k ≤ 1}. Ea este formata dintoate punctele care au distanta pana la origine mai mica sau egala cu 1. Imagineageometrica a unei astfel de bile depinde de norma definita pe spatiu. Astfel, considerandV = R2, pentru k = 2 imaginea geometrica este un disc centrat ın origine de raza 1,pentru k = ∞ ea este un patrat centrat ın origine, cu laturile paralele cu axele de latura 2iar pentru k = 1 avem un patrat centrat ın origine cu varfurile pe axe si de latura

√2.

poza bile unitate

Sa remarcam ca, ın cazul lui V = R, normele prezentate anterior coincid toate cumodulul.

Cu ajutorul notiunii de norma se defineste convergenta sirurilor ın spatiile vectorialesi deci, se pot construi toate notiunile studiate la analiza matematica (continuitate,derivabilitate, integrabilitate,...). Doua norme se numesc echivalente daca definescacelasi tip de convergenta adica, daca toate sirurile convergente ıntr-una sunt convergente

Page 87: Matematici superioare

3.2. APLICATII 87

ın cealalta si reciproc. Pentru cazul Rn se demonstreaza ca normele definite anteriorsunt echivalente.

Un spatiu vectorial pe care s-a introdus o norma poarta numele de spatiu vectorialnormat.

Sa consideram acum cazul ın care pe V = Rn avem definit produsul scalar uzual sinorma euclidiana. Inegalitatea Cauchy-Schwarz o putem scrie sub forma

| < x, y > | ≤ ‖x‖‖y‖

ceea ce ınseamna ca−1 ≤ < x, y >

‖x‖‖y‖≤ 1

oricare ar fi vectorii nenuli x, y. Atunci, putem defini unghiul dintre doi vectori astfel:

Definitia 3.1.4.3 Fie vectorii x, y ∈ V . Marimea unghiului dintre cei doi vectori estedata de determinarea principala a solutiei ecuatiei

cos(x, y) =< x, y >

‖x‖‖y‖.

Definitia 3.1.4.4 Spunem ca doi vectori nenuli sunt ortogonali daca produsul lorscalar este nul.

Vom introduce acum o functie prin intermediul careia sa putem masura distantadintre doi vectori.

Definitia 3.1.4.5 Numim distanta, sau metrica, pe spatiul vectorial V , o aplicatie d :V × V → R+ cu proprietatile:

1. d(x, y) ≥ 0 si d(x, y) = 0 daca si numai daca x = y

2. d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ V

3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀x, y, z ∈ V

Un spatiu vectorial pe care am definit o distanta se numeste spatiu metric. Deexemplu, daca pe V avem data o norma, putem sa ne definim metrica lui V astfel:

d(x, y) = ‖y − x‖.

3.2 Aplicatii

Teoria prezentata anterior , prin generalitatea ei , are avantajul unei aplicabilitati ındomenii foarte variate. In cele ce urmeaza, ne vom concentra atentia asupra unor aspectelegate de teoria aproximarii, insistand pe notiunea de dreapta de regresie, pe aproximareanelini-ara ın sensul celor mai mici patrate si pe rezolvarea sistemelor liniare supradeter-minate, de tipul celor ce intervin ın problemele practice de fotogrametrie. Apoi vomtrece ın revista aplicatii ale acestei teorii la rezolvarea prin metode iterative a ecuatiilorde tipul f(x) = 0.

3.2.1 Elemente de teoria aproximarii

Vom expune ın continuare cateva notiuni fundamentale de teoria aproximarii. Pen-tru a mari accesibilitatea la informatia din acest paragraf, unele teoreme, care nece-sita cunostinte mai bogate de matematica, le vom da fara demonstratie.

Fie V un spatiu vectorial real normat (nu neaparat de dimensiune finita ), M ⊂ V sip ∈ V \M .

Page 88: Matematici superioare

88 CAPITOLUL 3. ELEMENTE DE ALGEBRA LINIARA

Definitia 3.2.1.1 Se numeste cea mai buna aproximare a lui p cu elemente din Mmultimea

M∗ = {y ∈M | ‖y − p‖ ≤ ‖x− p‖ ∀x ∈M}.

Cu alte cuvinte, cea mai buna aproximare a lui p cu elemente din M este formata dinmultimea puntelor din M care realizeaza minimul distatei la p. Depinzand de caz,aceasta multime poate sa fie vida, sa contina un singur punct sau sa fie chiar infinita.Sa dam niste exemple. Consideram V = R3, mediul ambiant, un plan π, un punctp ∈ V \ π si y0 proiectia lui p pe π. Daca consideram multimea M ca fiind tot planul πatunci M∗ = {y0} si deci cea mai buna aproximare a lui p cu elemente din plan exista sieste unica.

poze aproximare

Daca M = π \ {y0} atunci M∗ = ∅.Fie C un cerc situat ın planul π centrat ın y0 si de raza r. Daca M = C atunci M∗ = M .

Teorema 3.2.1.1 Fie V un spatiu vectorial real normat, M ⊂ V si p ∈ V \M . Daca Meste subspatiu vectorial finit dimensional al lui V atunci M∗ este nevida . In plus,daca norma lui V provine dintr-un produs scalar atunci card M∗ = 1

Teorema da conditiile ın care cea mai buna aproximare exista si este unica. In acestcaz aproximarea se numeste aproximare ın sensul celor mai mici patrate.

Observatia 3.2.1.1 Cea mai buna aproximare depinde de norma aleasa pe spatiul V.

Observatia ne spune ca, ın acelasi context, la norme diferite vom avea cele mai buneaproximari diferite. Sa dam un exemplu.Avem o unitate economica a carei productie o desfacem la un magazin nesituat ın incintaıntreprinderii, magazin ce are un depozit. Dorim sa planificam o productie constanta,optima, ın functie de vanzari si de doua situatii distincte:

1. -mijlocul de transport de la fabrica la depozit este ınchiriat si nu costa depozitarea;

2. - nu costa mijlocul de transport dar costa depozitarea ın functie de cantitate sidurata.

Modelul pe care ıl propunem se bazeaza pe faptul ca, vanzarile, ın cazul unei reclameneagresive, respecta un grafic de tip sinus. Pentru primul caz, problema este de aaproxima functia sinus pe intervalul [0, π2 ] cu o constanta c, folosind norma data de

‖f‖ = maxx∈[0, π

2 ]|f(x)|

adica de a determinamin

cmax

x∈[0, π2 ]

(|f(x)− c|).

Page 89: Matematici superioare

3.2. APLICATII 89

desene norma 1

Minimul cerut se obtine pentru c = 12 si este dat de acea constanta care este egal

departata de valorile de extrem ale functiei sinus pe intervalul considerat.In cazul al doilea, norma pe care o utilizam este

‖f‖ =

√√√√√ π2∫

0

f2(x)dx

adica avem de determinat

minc

√√√√√ π2∫

0

(sinx− c)2dx.

Problema este echivalenta cu cea a determinarii lui

minc

π2∫

0

(sinx− c)2dx.

Calculand integralaπ2∫0

(sinx− c)2dx obtinem expresia

E(c) =π

2c2 − 2c+

π

4.

Valoarea lui c care realizeaza minimul acestei expresii este c = 2π Dreapta c = 2

π estecea care are proprietatea ca ariile cuprinse ıntre ea si graficul lui sinus pana la punctulde intersectie si dupa acest punct sunt egale.

desen norma 2

Teorema 3.2.1.2 Fie V un spatiu vectorial normat euclidian, M un subspatiu al saufinit dimensional, B = {e1, e2, ..., ek} o baza pentru M si p ∈ V \M . Atunci, cea mai

buna aproximare a lui p cu elemente din M va fi data de y0 =k∑

i=1

αiei unde αi sunt

soltiile sistemului liniar

k∑j=1

< ei, ej > αj =< p, ei > i = 1, 2, ..., k.

3.2.2 Dreapta de regresie

Presupunem ca avem data o functie discreta

f : {x1, x2, ..., xn} → {y1, y2, ..., yn}.

Page 90: Matematici superioare

90 CAPITOLUL 3. ELEMENTE DE ALGEBRA LINIARA

Graficul acestei functii este dat de un nor de puncte. Dorim sa determinam o dreapta F (x) =a+ bx cu proprietatea ca suma patratelor distantelor de la ea la punctele norului sa fieminima.

grafic fc tabelata

Sa aducem aceasta problema la contextul teoremelor anterioare.Consideram V = Rn, n fiind numarul de puncte ale norului. Stim ca(

F1 = {f : [x1, xn] → R | f(x) = a+ bx},+, ·R)

este un spatiu vectorial de dimensiune 2, avand baza canonica C formata din functiilef1, f2 cu f1(x) = 1 si f2(x) = x. Atunci, vom considera M ca subspatiul de dimensiune2 al lui V generat de ele-mentele e1 = (1, 1, ..1) si e2 = (x1, x2, ..., xn). Elementul caretrebuie aproximat, p, va fi p = (y1, y2, ..., yn). Determinarea lui a si b se va face rezolvandsistemul

(1){< e1, e1 > a+ < e1, e2 > b = < p, e1 >< e2, e1 > a+ < e2, e2 > b = < p, e2 >

Dam ın continuare si un exemplu numeric:

Sa se gaseasca ecuatia dreptei de regresie atasata tabelei

x 1 2 3y 2 1 4

Consideram e1 = (1, 1, 1), e2 = x = (1, 2, 3), p = y = (2, 1, 4). Dreapta de regresiecautata va fi de forma F (x) = a+ bx.Avem: < e1, e1 >= 3, < e1, e2 >= 6, < e2, e2 >= 14, < p, e1 > 7 si < p, e2 >= 16.Coeficientii acestei drepte se determina rezolvand sisteml{

3a+ 6b = 76a+ 14b = 16

Rezultaa =

13, si b = 1, deci F (x) =

13

+ x.

In acest caz putem sa dam si o solutie geometrica. In spatiul R3 consideram planuldeterminat de punctele O(0, 0, 0), I(1, 1, 1) siX(1, 2, 3), a carui ecuatie este x−2y+z = 0.Fie punctul Y (2, 1, 4) exterior planului. Proiectia lui Y pe planul (OIX) este punctulY0(4

3 ,73 ,

103 ), care este cea mai buna aproximare a punctului Y cu elemente din planul

OIX. Punctul Y0 are coeficientii descompunerii dupa directiileOI siOX egali, respectiv,cu a = 1

3 si b = 1.O alta aplicatie interesanta ar fi cea legata de liniarizarea unor modele. Sa luam un

exemplu simplu. Pe intervalul [01], avem un model, dat de functia f(x) =√x, pe care

dorim sa-l liniarizam ın sensul celor mai mici patrate. Atunci V va fi spatiul functiilorcontinue definite pe [0, 1]. Pe acest spatiu, produsul scalar uzual este dat de:

< f, g >=

1∫0

f(x)g(x)dx.

Multimea M = F1 = {f : [x1, xn] → R | f(x) = a + bx} are, ca subspatiu vectorial,baza canonica C = {f1, f2} cu f1(x) = 1 si f2(x) = x.

Page 91: Matematici superioare

3.2. APLICATII 91

Sistemul care ne determina aproximarea lui√x este{

< f1, f1 > a+ < f1, f2 > b = < p, f1 >< f2, f1 > a+ < f2, f2 > b = < p, f2 >

,

unde p(x) =√x. Avem:< f1, f1 >=

1∫0

1 · 1dx = 1, < f1, f2 >=1∫0

xdx = 12 < f2, f2 >=

1∫0

x2dx = 13 < p, f1 >= 2

3 < p, f2 >=1∫0

x√xdx = 2

5.

Sistemul va fi atunci {a+ 1

2b = 23

12a+ 1

3 = 25

Observam ca, matricea sistemului nu depinde de functia care trebuie aproximata, ci doarde intervalul pe care se face liniarizarea.

Putem aproxima functiile tabelate, ın sensul celor mai mici patrate, cu orice combinatiede functii liniar independente. De exemplu, daca dorim o aproximare ın sensul celor maimici patrate cu o functie de forma

F (x) = a+ blnx+ ccosx

pentru o tabela de tipulx x1 x2 ... xn

y y1 y2 ... yn

atunci, trebuie sa ne alegem pe M ca pe un subspatiu de dimensiune trei care are bazaB = {e1, e2, e3} data de

e1 = (1, 1, ..., 1),e2 = (lnx1, lnx2, ..., lnxn) si e3 = (cosx1, cosx2, ..., cosxn).

Evident pentru x1, ..., xn sunt impuse restrictiile de domeniu cerute de functiile cu carese face aproximarea.Sistemul care ne da coeficientii functiei F este < e1, e1 > a+ < e1, e2 > b+ < e1, e3 > c = < y, e1 >

< e2, e1 > a+ < e2, e2 > b+ < e2, e3 > c = < y, e2 >< e3, e1 > a+ < e3, e2 > b+ < e3, e3 > c = < y, e3 >

3.2.3 Rezolvarea sistemelor supradeterminate

Rezolvarea si discutia sistemelor liniare a constituit obiect de studiu ın anii de liceu asaca, notiuni de tipul compatibilitate a unui sistem sau incompatibilitate a lui, va suntfamiliare. In practica, (vezi fotogrametria), se ıntalnesc frecvent situatii ın care avem dea face cu sisteme care au numarul liniilor mai mare decat al coloanelor, adica al necunos-cutelor. Vom spune ca aceste sisteme sunt supradeterminate. Intrarile acestor sistemesunt date, de cele mai multe ori, de masuratori efectuate ın cadrul unor experimente.Aceste sisteme sunt ın general incompatibile. Si totusi, pentru ele, trebuie sa decidem ocea mai buna solutie.

Aceasta ”decizie” o vom interpreta astfel. Avem un sistem liniar Ax = b unde A esteo matrice m× n, m > n, x si b fiind vectori coloana cu n respectiv m componente.Trebuie sa determinam acel vector x0 care sa se transforme, prin intermediul matricii A,ıntr-un vector cat mai apropiat de b. Putem sa facem acest lucru ın anumite conditii,folosind o metoda de tipul aproximarii ın sensul celor mai mici patrate.

Definitia 3.2.3.1 Fie sistemul supradeterminat Ax = b. Numim vector reziduu alsistemului vectorul r = b−Ax.

Page 92: Matematici superioare

92 CAPITOLUL 3. ELEMENTE DE ALGEBRA LINIARA

Definitia 3.2.3.2 Numim solutie, ın sensul celor mai mici patrate, a sistemului con-siderat, acel vector x0 care minimizeaza norma euclidiana a vectorului reziduu r.

Observatia 3.2.3.1 Daca x0 este solutie pentru sistemul Ax = b, atunci el este sisolutie ın sensul celor mai mici patrate.

Definim norma vectorului coloana r astfel: ‖r‖ =√

trr.

Teorema 3.2.3.1 Consideram sistemul liniar Ax = b unde A este o matrice m×n, m >n, x si b fiind vectori coloana cu n respectiv m componente. Notam cu rx vectorul reziduucorespunzator unui vector x. Daca x este solutia sistemlui tA(b−Ax) = 0 atunci pentruorice vector y avem ‖rx‖ ≤ ‖ry‖.

Demonstratie: Pe ry ıl putem scrie

ry = b−Ay +Ax−Ax = rx +A(x− y).

Calculul lui ‖ry‖2 ne conduce la egalitatea

‖ry‖2 = ‖rx‖2 + ‖A(x− y)‖2.

Alegerea lui x ca solutie a sistemului tA(b−Ax) = 0 ne spune ca x este solutia sistemuluinormalizat

( tAA)x = tAb.

Teorema 3.2.3.2 Matricea tAA este nesingulara daca si numai daca coloanele ma-tricii A sunt liniar independente.

Sa dam un exemplu numeric: determinati solutia ın sensul celor mai mici patratepentru sistemul 2x+ y = 5

x− y = 1x+ y = 4

.

Se observa ca sistemul este incompatibil. Matricea sa este

A =

2 11 −11 1

si are coloanele liniar independente.Sistemul normalizat putem sa-l scriem astfel

(2 1 11 −1 1

) 2 11 −11 1

( xy

)=(

2 1 11 −1 1

) 514

.

Efectuand calculele obtinem:(6 22 3

)(xy

)=(

158

).

Acest sistem are solutia

x =

(291497

).

Ea este cea mai buna solutie, ın sensul celor mai mici patrate, pentru sistemul initial.

Page 93: Matematici superioare

Bibliografie

[AGP] Atanasiu, Gh., Munteanu, Gh., Postolache, M., Algebra liniara ,geometrie analitica si diferentiala, Ed. All, Bucuresti, 1994.

[AMP] Atanasiu, Gh., Munteanu, Gh., Paun, M., Curs de AL-GAED, vol II, Repro. Univ Transilvania Brasov, 1993.

[ATSE] Atanasiu,Gh., Stoica,E., Algebra liniara geometrie analitica, Ed.Fair Partners, Bucuresti 2003.

[MFKST] Murgulescu, E., s.a., Geometrie analitica si diferentiala, E.D.P.Bucuresti 1965.

[NDM] Niculescu, M., Dinculeanu, N., Marcus, S., Analiza matem-atica, E.D.P. bucuresti 1980.

[P] Paun, M.,, Matematici superioare, E. Fair Partners, Bucuresti 2004.

[SI] Siretchi, Gh.,, Calcul diferential si integral, Ed. St. Enc. Bucuresti1985.

[U] Udriste, C., Algebra liniara, geometrie analitica, Geometry BalkanPress, Bucuresti, 1996.

93