Seminarul al 2-lea Erori de calcul numeric

Exercitiu: Diferenta valorilor aproximative 6.135 si 6.131 cu patru cifre exacte este 0.004. Sa se determine erorea relativa a diferentei.

Aproximarea funciilor prin interpolare

SCILAB-ul poate lucra n urmatoarele moduri: - n modul linie de comanda; fiecare linie este prelucrat imediat i rezultatele sunt afiate; - Cu programe coninute n fiiere. Un fiier const dintr-o succesiune de instruciuni SCILAB, cu

posibilitatea apelrii altor fiiere precum i a apelrii recursive. Un program SCILAB poate fi scris sub forma fiierelor:

- Script: conine o secvent de comenzi SCILAB; se execut n fereastra de comand prin apelarea numelui fiierului: exec(nume_fisier) sau direct, n editorul Scilab-ului folosind din meniul Execute opiunea Load into Scilab.Funcie: prima linie conine cuvntul function, iar ultima linie conine cuvntul endfunction; poate lucra cu argumente. Se pot defini mai multe funcii n acelai fiier.

Sintaxa instruciunilor SCILAB

Instruciune Sintax

if if expresie_logic grup instruciuni end else if expresie_logic grup instruciuni A

else grup instruciuni B end elseif if expresie_logic_1 grup instruciuni A elseif

expresie_logic_2 grup instruciuni B end case select expr_0

case expr_1 Instr_1 case expr_n Instr_n else Instr end

for for index = expresie \\ expresie = iniial: pas: final grup_instruciuni end

while while expresie grup_instruciuni end

1. Polinomul de interpolare Lagrange

Exemplu: S se realizeze un program care determin 130 folosind polinomul de interpolareare Lagrange; s se evalueze i eroarea de interpolare. Rezolvare:

S consideram funcia xxf ====)( . Vom lua ca puncte de diviziune: 169,144,121 210 ============ xxx .

x 121 144 169 f(x) 11 12 13

Polinomul de interpolare este:

(((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( ))))1200

12114413

565

16912112

1104

16914411)(2

++++

====

xxxxxxxP

Pentru o valoare n intervalul [121,169], de exemplu x=130 gsim: 400379.11)130(2 ====P , iar

401754.11130 . Deoarece 25

8

3)('''

==== xxf =>

'''f este monoton descrescatoare pe [[[[ ]]]]169,121====I , deci maximul pentru '''f va fi atins n punctul

121====x . Deci 5118

3 ====M . Conform formulei (1)

(((( ))))(((( ))))(((( ))))00172.0

!3

12113014413016913011

8

3)130(130)130(001375.0 52 ====

sqrt(130)

ans = 11.401754

Exerciii: 1. S se determine valoarea polinomul de interpolare Lagrange pentru funcia

)cos()sin()( xxxf ++++==== , nodurile 2

1;

4

1;

6

1;0 3210 ================ xxxx i

5

1====x .

2. S se determine 115 considernd o reea de trei puncte care conine valoarea 115. 3. S se determine funcia de interpolare pentru )sin()( xxf ==== , nodurile

2

1;

4

1;

6

1;0 3210 ================ xxxx . S se reprezinte grafic i s se compare graficele cu cele obinute

prin formula lui Lagrange. 4. Estimai valorile temperaturii la momentele de timp 2.5 sec i 4.9 sec, cu datele din tabelul de mai jos.

Timp [s] Temperatura [0C]

0.0 0.0 1.0 20.0 2.0 60.0 3.0 68.0 4.0 77.0 5.0 110.0

2. Polinomul de interpolare Newton Exemplu: Se consider urmtoarele date experimentale:

xi 0 0.5 1 1.5

yi 1 1.1276 1.5431 2.3534 Se cere s se calculeze valoarea lui y pentru x=0.25 folosind polinomul de interpolare Newton cu diferene finite la dreapta i valoarea lui y pentru x=1.25 folosind polinomul de interpolare Newton cu diferene finite la stnga.

Rezolvare

xi f(xi)=yi yi

2yi

3yi

0 1 0.5 1.1276

2y0 = 0.2879

1 1.5431 1.5 2.3534

y0 = 0.1276 y1 = 0.4755 y2 = 0.8103

2y1 = 0.3948

2y1 = 0.1069

3y 32y 3

3y

Calculul lui y pentru x=0.25:

03449.1)125.0)(5.025.0)(025.0(5.0!3

1069.0

)5.025.0)(025.0(5.0!2

2879.0)025.0(

5.0!1

1276.01)25.0(

3

2

13

====

++++

++++

++++

++++====P

Calculul lui y pentru x=1.25:

89222.1)5.025.1)(125.1)(5.125.1(5.0!3

1069.0

)125.1)(5.125.1(5.0!2

3948.0)5.125.1(

5.0!1

8103.03534.2)25.1(

3

2

23

====

++++

++++

++++

++++====P

Exercitiu: S se calculeze valoarea polinomului de interpolare Newton cu diferene divizate pentru

5,0,5

====

==== ni

xi

i f(x)=sin(x) n 25

12====

x .

Rezolvare: (n Scilab cu diferene divizate) function pol=newtonDivizate(x,y,v)

n=length(x);

for i=1:n-1

for k=n:-1:i+1

y(k)=(y(k)-y(k-1))/(x(k)-x(k-i))

end

end

pol=y(n);

for i=n:-1:2

pol=pol*(v-x(i-1))+y(i-1);

end

endfunction

x=[0 %pi/5 %pi*2/5 %pi*3/5 %pi*4/5 %pi];

y=sin(x);

newtonDivizate(x,y,%pi*12/25)

sin(%pi*12/25)

ans = 0.9977572

ans = 0.9980267

Rezolvare: (cu diferene finite la dreapta)

function pol=newtonDifFinDr(a,h,n,y,v)

for i=1:n

x(i)=a+(i-1)*h;

end

for i=1:n-1

for k=n:-1:i+1

y(k)=y(k)-y(k-1)

end

end

pol=y(1);p=1;

for i=2:n

p=p*(v-x(i-1))/((i-1)*h)

pol=pol+y(i)*p;

end

endfunction

x=[0 %pi/5 %pi*2/5 %pi*3/5 %pi*4/5 %pi];

y=sin(x);

newtonDifFinDr(0,%pi/5,6,y,%pi*12/25)

sin(%pi*12/25)

ans = 0.9977572

ans = 0.9980267

Exercitii

1. S se calculeze valoarea aproximativ a funciei f(x)=sin(x)+cos(x) n punctul 1/6, folosind

polinomul Newton cu diferene divizate pe reeaua xj=j*0.25, j= 3,0 .

2. S se scrie polinomul lui Newton cu diferene finite la stnga pentru funcia f(x)=sin(x) pe

reeaua xj=j*0.25, j= 3,0 n punctul 0.65.

3. S se calculeze valoarea aproximativ a funciei f(x)=cos(x)+1 n punctul 1/5, folosind

polinomul lui Newton cu diferene divizate pe reeaua xI=i*0.25, i= 3,0 .

4. S se scrie polinomul lui Newton cu diferene finite la dreapta pentru funcia f(x)=sin2x pe

reeaua xi=i*0.5, i= 3,0 n punctul 1.25.

5. S se calculeze valoarea aproximativ a funciei f(x)=cos(x) n punctul 1/6, folosind

polinomul Newton cu diferene divizate pe reeaua xj=j*0.25, j= 3,0 .

6. S se scrie polinomul lui Newton cu diferene finite la stnga pentru funcia f(x)=sin(x/2) pe

reeaua xj=j/2, j= 3,0 n punctul 0.333.

3. Funcii de interpolare spline

Exemplu: S se determine funcia spline cubic de interpolare pentru x

xxf

101)(

++++==== pe intervalul [-

1, 1] considernd 3,0,3

2,1 ========++++==== ihihxi .

Solutie: Interpolare cu functia splin a Scilab-ului d=splin(x,y); interp(0.5,x,y,d)

ans = 0.0833333

Exerciiu: Se consider urmtoarele date experimentale:

xi 0 0.5 1 1.5

yi 1 1.1276 1.5431 2.3534 Se cere s se calculeze valoarea lui y pentru x=0.25 folosind funciile spline cubice. S se compare rezultatul cu cel obinut prin formula lui Newton. Concluzii:

- Daca reteaua de puncte a lui x este neechidistanta se aplica Lagrange sau Newton divizate

- Daca reteaua de puncte a lui x este echidistanta si valoarea in care se calculeaza polinomul este mai aproape de capatul din stanga a intervaluilui se aplica Newton cu dif finite la dreapta

- Daca reteaua de puncte a lui x este echidistanta si valoarea in care se calculeaza polinomul este mai aproape de capatul din dreapta a intervaluilui se aplica Newton cu dif finite la stanga

- Daca functia nu este polinomiala aproximarea cea mai buna este data de spline Tema: sa se realizeze un program care aproximeaza datele experimentale prin metoda Newton cu diferente finite la stanga