Rolul derivatelor de ordinul I și II în studiul funcțiilor

Grupa Leader One

Membrii: Băieș Oana Brie Marius - lider Bodea Dumitru Căzănescu Mihaela Felecan Raluca Ilieș Florin Moldovan Cătălin

Clasa a XI-a A

MOTTO : Mereu pe primul

loc!

Noțiuni teoretice 1. Definiții, teoretice

2. Tabel-ex

Problemă din subiect de bacalaureat – rezolvată Problemă compusă și rezolvată de grupă Aspecte din timpul desfășurării proiectului Bibliografie

Cuprins

Def. Fie , I interval . Punctul a se numeşte punct de minim relativ (local) al funcţiei f dacă există o vecinătate V a punctului a astfel încât

Noțiuni teoreticeRolul derivatei de ord. I în studiul

funcțiilor

,f x f a x I V

Punctul a se numeşte punct de maxim relativ (local) al funcţiei f dacă există o vecinătate V a punctului a astfel încât

,f x f a x I V

Punctul a, care este punct de minim relativ sau punct de maxim relativ, se numeşte punct de extrem relativ (local) .

RIRIf ,:

T.1. Fie un interval şi o funcţie derivabilă. Dacă funcţia f este monoton crescătoare ( respectiv monoton

descrecătoare), atunci (respectiv

Noţiuni teoretice Rolul derivatei de ord. I în studiul funcțiilor

0,f x x I 0,f x x I

T.2. 1. Dacă (respectiv ), atunci funcţia f este strict crescătoare (respectiv monoton crescătoare).

0,f x x I 0,f x x I

2. Dacă (respectiv ), atunci funcţia f este strict descrescătoare (respectiv monoton descrescătoare).

0,f x x I 0,f x x I

RI RIf :

Noţiuni teoreticeTabel – exemplu

M

f x

f x

0xx

0f x0

m

x 0x f x f x

0 0f x

Noţiuni teoretice Rolul derivatei de ord. II în studiul funcțiilor

Teoremă Fie un interval şi o funcţie de două ori derivabilă.

Atunci: este convexă pe dacă şi numai dacă ; este concavă pe dacă şi numai dacă .

Observaţie dacă derivata a doua are semne diferite de o parte şi de alta a unui

punct din şi dacă este continuă în , atunc se numeşte punct de inflexiune.

ff

II

0,f x x I

0,f x x I

f 0x I f 0x 0x

RI RIf :

Problemă din subiecte de bacalaureat rezolvată de grupa LEADER ONE

Se consideră , .a) Să se calculeze .b) Să se calculeze .c) Să se arate functia este concavă pe .

RRf : xexxf 1)(

)0()0( 'ff ( ) ( )lim

x

f x f xx

f R

'

' '' '

2

'2

'

1( )

(1) 1 ( )( )( )

( ) 1( )

1( ) 1

x

x x

x

x

x

x

f x xe

e ef x xe

ef xe

f xe

2

'''

ggfgf

gf

Rezolvarea)

b)

c)

121)0()0(

211)0(

110)0(

1)(

)0()0(

'

0

0

'

ffe

f

ef

exxf

ff

x

'

'

( ) ( )

1 11 1 1 11

lim

lim lim

x

x x

x x l H

f x f xx

x xe ex x

R

xxf

eeexf

exf

e

x

xx

x

0

''

2

''''

''

1)(

)()(1)1(1)(

11)(

f este concavă pe

Problemă compusă și rezolvată de grupa LEADER ONE

Se consideră funcția : ,

Să se calculeze Să se arate că

Să se arate că f convexă pe

:f R R 2

12

xxxf

0'0 ff

1, ;1f x x

;3

22

2

22

2

22

22

22

2

22

22

122

122

1422

12212

1'121'2

xxxf

xx

xxxxf

xxxxxf

xxxxxxf

Rezolvare

2200'0

212

010220'

010

01020

0'0

22

2

22

ff

f

f

ffa)

10' 1 xxf12 x

b)

X

f’(x) - 0 + 0 -

f(x) -1 1

1 1

min Max

c)

2

22

2 22 2 2 2

222

22 2 2

2

22 2 2

42

3 3 3 2

2 3 2 3 2 3

1

2

2 2

1

2 2 ' 1 2 2 1"

1

1 2 1 1

4 (1 )

4 1 2 2 4 1"

1

4 4 8 8 4 12 4 ( 3)(1 ) (1 ) (1 )

"( ) 0 0 0

3 0

1,

xf xx

x x x xf x

x

x x x

x x

x x x x xf x

x

x x x x x x x xx x x

f x x x

x

a

0, 3b c

3

32

3212

3202

12

123140

4

2

11

1

1

2

2

x

xx

x

abx

acb

- + - +

x f x

f x

3 0 3

)3(f 0f 3f

0 0 0

Poze cu grupa LEADER ONE în timpul proiectului

Aspecte din timpul desfășurării proiectului

Bibliografie

Grup de autori, coordonatori Marius si Georgeta Burtea: Culegere de exercitii si probleme Matematica M2, Editura Campion, 2009

Ion Necşuleu, Tatiana Saulea, Cristian Buican, Mihai Postolache (coordonator): Matematică (manual pentru clasa a XI-a), M2, Editura Fair Partners, 2006

Costel Chiteş, Ioan Marinescu, Boris Singer, Gh. Stoianovici, Romeo Ilie, Gabriela Streinu – Cercel : Matematică (manual pentru clasa a XI-a), M1, Editura Sigma, 2001

I. Petrică, E. Constantinescu, D. Petre : Probleme de analiză matematică, vol. I (clasa a XI-a), Editura Petrion, Bucureşti, 1993

Grup de autori : Bacalaureat 2009, Matematica MT2, Editura Campion, 2009

www.edu.ro www.didactic.ro www.mate.info.ro