UNIVERSITATEA TEHNICĂ “GHEORGHE ASACHI” DIN IAŞI

Şcoala Doctorală a Facultăţii de MECANICĂ

CONTRIBUȚII PRIVIND ANALIZA SOLICIT ĂRII DE CONTACT ELASTIC-

PLASTIC CU FRECARE - TEZĂ DE DOCTORAT -

Conducător de doctorat: Prof. univ. dr. ing. Spiridon CREŢU

Doctorand:

Ing. George GAVRILĂ

IAŞI – 2014

3

Cuprins STRUCTURA ȘI CONȚINUTUL TEZEI ...............................................................................................................6

1. STADIUL CERCETĂRILOR PRIVIND FRECAREA ÎN CONTACTELE MECANICE ȘI FENOMENUL DE „STICK-

SLIP” ...............................................................................................................................................................8

1.1 Introducere ....................................................................................................................................8

1.2 Evoluția istorică a cercetărilor privind frecarea ............................................................................8

1.3 Cercetări în domeniul frecării cu alunecare parțială .....................................................................8

1.4 Exemplificarea fenomenului de stick-slip în natură și în ingineria mecanică ................................9

1.5 Direcții de cercetare ................................................................................................................... 14

2. ELEMENTE DE TEORIA CONTACTULUI ELASTIC-PLASTIC RUGOS ....................................................... 15

2.1 Contactul elastic Hertzian .......................................................................................................... 15

2.1.1 Geometria locală de contact .............................................................................................. 15

2.1.2 Ecuaţia geometrică a contactului normal .......................................................................... 17

2.1.3 Ipotezele contactului elastic Hertzian ................................................................................ 18

2.1.4 Distribuţia de presiuni ........................................................................................................ 19

2.2 Contactul elastic ne-Hertzian ..................................................................................................... 19

2.2.1 Contactul elastic concentrat solicitat normal ..................................................................... 19

2.3 Studiul contactului concentrat elastic ne-Hertzian .................................................................... 21

2.3.1 Formularea analitică ........................................................................................................... 21

2.3.2 Formularea discretă ........................................................................................................... 22

2.4 Elemente de rugozitate a suprafeţelor ...................................................................................... 23

2.4.1 Parametrii medii de caracterizare a rugozităţii .................................................................. 24

2.4.2 Funcţii statistice de distribuţie a înălţimilor ....................................................................... 28

2.4.3 Funcţii statistice spaţiale .................................................................................................... 28

2.4.4 Caracteristici spectrale ale suprafeţei rugoase .................................................................. 29

2.4.5 Caracterizarea rugozităţii compuse a două suprafeţe rugoase ......................................... 29

2.5 Contactul concentrat rugos ........................................................................................................ 29

2.5.1 Modelul Greenwood-Williamson ....................................................................................... 31

2.5.2 Modelul Nayak ................................................................................................................... 31

2.6 Elemente de plasticitate ............................................................................................................. 31

2.6.1 Criterii de curgere izotropă ................................................................................................ 32

2.6.2 Condiția de plasticitate von Mises ..................................................................................... 33

2.6.3 Condiția de plasticitate Tresca ........................................................................................... 34

2.7 Concluzii ..................................................................................................................................... 34

4

3. ELEMENTE DE TEORIA CONTACTULUI CU FRECARE ........................................................................... 36

3.1 Încărcarea tangenţială şi contactul cu alunecare ....................................................................... 36

3.1.1 Alunecarea corpurilor elastice neconforme ....................................................................... 36

3.1.2 Alunecarea cilindrului pe direcţie perpendiculară axei sale (2D) ....................................... 37

3.1.3 Alunecarea unei sfere pe plan ............................................................................................ 40

3.2 Inițializarea alunecării la corpurile elastice ................................................................................ 40

3.3 Contactul elastic dintre două sfere - fără alunecare ................................................................. 43

3.4 Contactul elastic dintre două sfere – alunecare parțială ........................................................... 44

3.5 Concluzii ..................................................................................................................................... 44

4. MODELAREA NUMERICĂ A UZURII PENTRU CONTACTUL SFERĂ-PLAN ÎN CONDIȚII DE ALUNECARE

PARȚIALĂ .................................................................................................................................................... 46

4.1 Introducere ................................................................................................................................. 46

4.2 Ipotezele modelului numeric ..................................................................................................... 46

4.3 Calculul distribuției de presiuni normale și tensiuni tangențiale ............................................... 47

4.4 Generarea suprafeței ................................................................................................................. 50

4.5 Evoluția uzurii ............................................................................................................................. 51

4.6 Rezultate numerice .................................................................................................................... 52

4.7 Concluzii ..................................................................................................................................... 60

5. MODELAREA NUMERICĂ A UZURII PENTRU CONTACTUL ROATĂ-ȘINĂ ÎN CONDIȚII DE ALUNECARE

PARȚIALĂ .................................................................................................................................................... 62

5.1 Introducere ................................................................................................................................. 62

5.2 Descrierea ipotezelor modelului numeric .................................................................................. 63

5.3 Calculul distribuțiilor de presiuni și tensiuni tangențiale ........................................................... 64

5.4 Calculul micro-alunecării și uzurii ............................................................................................... 67

5.5 Rezultate numerice .................................................................................................................... 67

5.6 Concluzii ..................................................................................................................................... 73

6. STUDIUL EXPERIMENTAL AL FEMONENULUI DE „STICK-SLIP” ........................................................... 74

6.1 Standardul VDA 230-206 ............................................................................................................ 74

6.1.1 Principiul de funcționare .................................................................................................... 74

6.1.2 Descrierea dispozitivului de testare ................................................................................... 75

6.1.3 Procedura de testare .......................................................................................................... 76

6.2 Testarea fenomenului de „stick-slip” cu ajutorul tribometrului Pin-Disc UMTR 2M-CTR ......... 77

6.2.1 Descrierea tribometrului .................................................................................................... 77

6.2.2 Descrierea adaptărilor necesare pentru evaluarea fenomenului de „stick-slip” ............... 77

5

6.3 Rezultate experimentale ............................................................................................................ 80

6.3.1 Influența vitezei asupra riscului de „stick-slip” .................................................................. 80

6.3.2 Influența regimului de frecare asupra riscului de „stick-slip” ............................................ 82

6.4 Concluzii ..................................................................................................................................... 94

CONCLUZII FINALE ȘI DIRECȚII NECESARE DE CERCETARE ......................................................................... 95

7. BIBLIOGRAFIE ................................................................................................................................... 101

6

STRUCTURA ȘI CONȚINUTUL TEZEI Mecanica solidelor și, în mod particular, disciplina mecanica contactului reprezintă un

instrument puternic pentru investigarea problemelor tribologice. Mecanica contactului

investighează starea tensiunilor și deformațiilor în zona de contact a corpurilor, în funcție de

forma lor, proprietățile de material și condițiile de încărcare.

Prima investigație importantă în domeniul mecanicii contactului a fost făcută de Hertz [1882],

care a analizat tensiunile în contactul a două solide elastice. Teoria lui Hertz inițial intenționa să

studieze influența deformației elastice asupra franjurilor de interferență optică ale lui Newton la

jocul dintre două lentile de sticlă. Această teorie a oferit baza soluționării mai multor probleme

de tribologie. A condus la multe metode pentru calculul ariei reale de contact a suprafețelor

rugoase, pentru investigarea contactelor cu alunecare și rostogolire, studiul uzurii camelor și

roților dințate, estimarea încărcărilor limit ă la rulmenți, etc.

Totuși este bine cunoscut că teoria lui Hertz este bazată pe anumite ipoteze ce idealizează

proprietățile și condițiile limită ale corpurilor în contact. Se pot enumera următoarele: corpurile

în contact sunt elastice, omogene și izotrope, deformațiile sunt mici, suprafețele în contact sunt

netede, forma suprafețelor nu se schimbă în timp, contactul este fără frecare. Chiar și în aceste

condiții, teoria lui Hertz constituie fundamentului studiului mecanicii contactului de astăzi și

implicit al fenomenului de frecare.

În această teză, pe langă elemente de teoria contactului hertzian, nehertzian și elemente de teoria

contactului cu frecare, sunt prezentate contribuții originale de modelare numerică a contactului

cu frecare în condiții de alunecare parțială precum și a uzurii generate de aceasta. De asemenea

este propus un concept de testare a fenomenului de stick-slip pe baza standardului VDA 230-206

cu ajutorul căruia sunt evidențiate condițiile care influentează și cresc riscul apariției stick-slip-

ului.

Teza este împărțită în 6 capitole, după cum urmează:

Capitolul 1 prezintă urmatoarele aspecte:

- introducere cu privire la definiția frecării și a celor două componente ce o generează:

adezivă și mecanică;

- stadiul cercetărilor privind frecarea și în special privind problemele de contact cu

alunecare parțială;

- exemplificarea fenomenului de stick-slip în ingineria mecanică dar și în natură;

- direcțiile de cercetare ale prezentei teze.

În cadrul capitolului 2 sunt prezentate elemente teoretice de contact elastic hertzian și

nehertzian. De asemenea sunt prezentate elemente de rugozitatea suprafețelor, de contact

concentrat rugos, precum și elemente de teoria plasticității necesare pentru studiul contactelor

mecanice.

7

Capitolul 3 descrie elemente teoretice de contact cu frecare:

- contactul cu aluncare și începutul alunecării;

- alunecarea totală și parțială a unei sfere pe un plan;

- alunecarea totală și parțială a unui cilindru pe un plan;

- teoria alunecării parțiale propusă de Cattaneo [1938].

Toate aceste elemente de teorie a contactului elastic-plastic rugos cu frecare stau la baza

modelelor numerice descrise în capitolele următoare.

În capitolul 4 este prezentat un model numeric de calcul al uzurii pentru contactul nehertzian cu

frecare. Geometria considerată este reprezentată de contactul sferă-plan în condiții de alunecare

parțială. În ce privește condițiile de încărcare, ansamblul este solicitat normal de o sarcină

constantă și tangențial de o forța oscilatorie. Este evidențiată uzura generată în zona de alunecare

atât pentru un singur ciclu de variație a forței tangențiale cât și după mai multe cicluri, precum și

influența acesteia asupra distribuției de presiuni, distribuției de tensiuni tangențiale și geometriei

contactului. Atât suprafețe netede cât și suprafețe rugoase sunt considerate în cadrul simulării.

Capitolul 5 prezintă un model numeric de calcul al uzurii la contactul roată-șină în condiții de

alunecare parțială. O ondulație inițială este considerată pe suprafața șinei, generând efecte

dinamice asupra încărcării normale. Aceste efecte dinamice sunt considerate în calculul vitezei

de alunecare în zona de slip, precum și în calculul uzurii la o singură trecere a roții. Valorile

uzurii obținute la o singură trecere se suprapun separației celor două solide în contact și ciclul se

repetă, ducând la evoluția și schibarea geometriei inițiale de contact.

În cadrul capitolului 6 este descris un concept de testare a fenomenului de stick-slip având la

bază standardul VDA 230-206 și folosind un tribometru profesional asupra căruia au fost

efectuate anumite adaptări necesare. Pe baza măsurătorilor și investigațiilor efectuate, este scoasă

în evidență influența mai multor factori asupra fenomenului de stick-slip: materialul și

rugozitatea suprafețelor în contact, viteza relativă și prezența lubrifiantului.

Teza conține și documente anexe cu scopul de a întări concluziile și observațiile menționate în

capitolul 6. Aceste anexe conțin măsurători adiționale cu diferite condiții limit ă (condiții de

încărcare, viteză, starea suprafeței, etc.) precum și măsurători ale rugozităților probelor testate.

În finalul lucrării sunt prezentate concluziile generale si direcțiile ce se desprind pentru

continuarea și aplicarea cercetărilor.

Rezultatele numerice prezentate în lucrare au fost realizate folosind coduri scrise în limbajele

C++, MATLAB și EXCEL.

8

1. STADIUL CERCET ĂRILOR PRIVIND FRECAREA ÎN CONTACTELE MECANICE ȘI FENOMENUL DE

„STICK-SLIP”

1.1 Introducere

Mecanica Contactului și Fizica Frecării sunt discipline fundamentale ale științei inginerești și

sunt de asemenea indispensabile în activitățile de cercetare și dezvoltare a produselor ingineriei

mecanice. Ele se întâlnesc în cazul a nenumărate aplicații, ca de exemplu în dezvoltarea și

realizarea următoarelor produse: ambreiaje, frâne, anvelope, lagăre cu alunecare, lagăre cu

rostogolire, roți dințate, motoare cu combustie internă, contacte electrice și multe altele.

Contactele determină solicitări mecanice (șuruburile), pot transfera forțe (transmisiile mecanice

și rulmenții), pot conduce electricitate sau căldură, sau pot preveni scurgerea unor materiale

(garniturile).

Forța de frecare reprezintă acea forța care se opune mișcării relative a suprafețelor a două corpuri

în contact, sau a straturilor fluide ale unor materiale.

1.2 Evoluția istorică a cercetărilor privind frecarea

Primul mare nume important în domeniul studiului frecării este Leonardo da Vinci. El a fost

primul inginer care a formulat persistent și cantitativ legile de frecare. El a ajuns la concluzia

care poate fi rezumată în limba de astăzi ca două legi fundamentale ale frecării:

- Forța de frecare este proporțională cu încărcarea normală.

- Forța de frecare este independentă de suprafața de contact.

Da Vinci a fost, de facto, primul care a introdus termenul de coeficient de frecare și primul care

experimental i-a determinat valoarea. După cum se întâmpla deseori în istoria științei, aceste

rezultate au fost uitate, și redescoperite 200 de ani mai târziu, de fizicianul francez Guillaume

Amontons [1699], (Popov [2009]). Proporționalitatea dintre forța de frecare și forța normală este

deci cunoscută ca „Legea lui Amontons”.

1.3 Cercetări în domeniul frecării cu alunecare parțială

După cum a fost amintit și în subcapitolele anterioare, o importantă componentă a interacțiunii și

a contactului dintre corpuri solide este frecarea. În problemele clasice de mecanica contactului

frecarea este introdusă de o relație predefinită (legea de frecare) dintre tensiunile tangențiale și

cele normale în zona de contact. Metoda variabilelor complexe realizată de Muskhelishvili

[1949], Galin [1953], Kalandiya [1975] este în principal utilizată pentru determinarea tensiunilor

în probleme de contact cu frecare 2D. Forma liniară a legii frecării este în mod normal folosită în

formulările problemei.

Dacă forța tangențială T aplicată unui corp satisface inegalitatea T < µP, unde P este forța

normală și µ reprezintă coeficientul de frecare, atunci apare fenomenul de alunecare parțială;

9

acest fenomen este caracterizat de existența zonelor de „stick” și „slip” în zona de contact.

Frecarea se numește frecare statică. În zonele de „slip” este folosită relația liniară dintre

tensiunile normale (p) și cele tangențiale (τ) τ ≈ µp. În zonele de „stick” deplasările corpurilor în

contact sunt egale în fiecare punct. Probleme de contact cu alunecare parțială au fost considerate

de Mindlin [1949], Galin [1945, 1953], Lur’e [1955], Spence [1973], Keer și Goodman [1976],

Mossakovsky și Petrov [1976], Mossakovsky, Kachalovskaya și Samarsky [1986], Goldstein și

Spector [1986], etc. Soluția problemelor include determinarea pozițiilor și dimensiunilor zonelor

de „stick” și „slip” pentru condiții de încărcare date. În particular, se arată că zona de „stick”

descrește și tinde spre zero dacă T → µP.

1.4 Exemplificarea fenomenului de stick-slip în natură și în ingineria

mecanică

După cum s-a explicat în partea introductivă a acestui capitol, pentru a îndeplini condițiile

frecării statice forța tangențială trebuie să fie mai mică decât produsul dintre coeficientul de

frecare și forța normală (T < µP). În tot acest timp zona de contact este împărțită într-o zona de

„stick” și o zonă de „slip”. Dimensiunea acestora depinde de raportul dintre forța tangențială și

forța normală. Odată ce forța tangențială depășeste ca mărime forța normală se generează

mișcare relativă între cele două corpuri și astfel frecarea devine dinamică. Fenomenul de stick-

slip, întâlnit într-o multitudine de aplicații inginerești dar și în alte domenii, prezintă ambele

tipuri de frecare, atât statică cât și dinamică. Există o variație a forței de frecare care produce

intermitența alunecării denumită „stick-slip” (Tudor [1977]).

Fig. 1.1 Descrierea schematică a fenomenului de stick-slip [http://en.wikipedia.org]

Pentru două suprafețe în contact, frecarea de tip stick-slip poate avea loc ori de câte ori

coeficientul de frecare cinetică este mai mic decât coeficientul de frecare statică ducând la o

anumită elasticitate în sistem. Atunci când forța motrice este aplicată la o suprafață, o forță

statică ridicată previne mișcarea până când forța motrice este suficientă pentru a depăși

elasticitatea sistemului. Ca rezultat, suprafața începe apoi să se deplaseze cu schimbarea frecării

din statică în dinamică, forța elastică accelerează suprafața în timp ce elasticitatea sistemului se

descarcă rapid.

Suprafața în mișcare încetinește, forța de frecare începe din nou să crească până când nu mai

există mișcare între cele două corpuri, și apoi ciclul se repetă. Prin urmare mișcarea relativă

dintre cele două corpuri este intermitentă.

10

În figura 1.1 este descris schematic fenomenul de stick-slip. V reprezintă sistemul de acționare,

R reprezintă elasticitatea din sistem, iar greutatea masei M este sarcina normală pe suprafață și

impinsă orizontal. Atunci când este pornit sistemul de acționare, arcul R este încărcat și apasă cu

o forță asupra masei M până când coeficientul de frecare static dintre masa M și suprafața pe

care este așezată nu mai este capabil să oprească deplasarea masei. Corpul M începe alunecarea

și coeficientul de frecare descrește de la valoarea statică la valoarea dinamică. În acest moment

arcul poate poate accelera masa M. În timpul mișcării masei M, forța arcului descrește până cand

devine insuficientă pentru a depăși frecarea dinamică. Din acest moment M frânează până la

oprire. Funcționând continuu sistemul de acționare reîncarcă arcul și fenomenul descris se

repetă.

Câteva exemplificări, în care frecarea de tip stick-slip este importantă: ghidajele la mașini unelte,

mașini de finisare, simulatoarele de aeronave și producția textilă.

Există foarte multe exemple de frecare de tip stick-slip și cu efecte pozitive dorite. De exemplu

sunetele făcute de instrumentele cu coarde (vioara, violoncelul) sau chiar sunetele făcute de

lăcuste sunt generate de stick-slip. Atunci când arcușul se deplasează pe coarde sau când lăcusta

își freacă piciorușele, vibrațiile ce rezultă din mișcarea de stick-slip generează sunetele

caracteristice.

În cazul viorii, acțiunea arcușului asupra coardei reprezintă un ciclul repetitiv de stick-slip. Acest

lucru implică unele proprietăți interesante de frecare, respectiv pentru forța care se opune

mișcării relative.

Și în acest caz, frecarea statică (stick) este mai mare decât frecarea dinamică (slip). Acest lucru

este valabil pentru cele mai multe suprafețe uscate. Este de asemenea adevărat și în cazul

arcușului și coardei viorii, unde instrumentistul pune colofoniu pe arcuș pentru a face și o mai

mare diferență dintre cele două condiții: coeficientul de frecare statică este foarte mare în timp ce

frecarea cu alunecare este foarte scăzută.

11

Fig. 1.2 Fenomenul de stick-slip exemplificat în cazul viorii [www.chemistryviews.org]

În figura 1.2 se poate observa forma coardei în timpul vibrației de stick-slip. Coarda are acea

formă de V, reprezentată în culorile roșu și albastru atât cu linie punctătă cât și cu linie

întreruptă. Punctul ce formează baza V-ului se numește „colțul lui Helmhotz”. Acest punct se

deplasează după arcele de cerc și direcția aratată în figura 1.2. De fiecare dată când „colțul lui

Helmhotz ajunge la nivelul arcușului, se face trecerea dintre stick și slip și invers. Atunci când

punctul trece spre degetele instrumentistului și înapoi spre partea opusă unde sunt încastrate

coardele, arcușul aderă la coardă (zona de stick), în partea opusă alunecând (zona de slip).

Un alt exemplu extrem de interesant este cel al langustei (Patek, [2001]). Aceste crustacee pot

speria prădătorii chiar dacă armura lor obișnuită este destul de moale. Multe antropode sunt în

măsură sa producă sunete, impulsuri de frecare, prin frecarea unui element rigid de anumite

muchii macroscopice. Langustele (Palinuridae) fac de asemenea astfel de sunete în virtutea unui

mecanism de tip stick-slip. Prin utilizarea acestei tehnici, homarii pot produce de asemenea

sunete stridente de avertizare împotriva animalelor de pradă pe perioada ciclului lor de năpârlilre

în special în perioada când exoscheletul lor este moale și sunt mai sensibile la prădare.

12

Fig. 1.3 Morfologia producătoare de sunet a langustelor, Patek [2007]

O pereche de plectre (maro deschis ), o extensie de pe fiecare antenă, freacă peste cele două

„pile” (maro închis) pentru a produce sunet. Săgeata verde indică direcția mișcării plectrului

atunci când produce sunetul. În figura 1.3 se poate observa și o reprezentare masă-arc a

mecanismului de stick-slip întâlnit la languste (Patek [2001]). Plectrul este modelat ca o masă

prinsă între două arcuri. Plectrul se deplasează peste „pilă”, element ce este fix, încastrat corpului

langustei. De fiecare dată când alunecă plectruul se produce un puls de sunet.

Patek [2007] a examinat în detaliu anatomia microscopică, cinematica, acustică și proprietățile

de frecare ale langustelor cu scopul de a caracteriza cantitativ mecanica frecării și acusticii ale

acestui sistem. Folosind sincron video de mare viteză și înregistrări sonore, a testat dacă

cinematica plectrului este corelată cu caracateristicile acustice de semnal și a constatat că viteza

plectrului este corelată pozitiv cu amplitudinea acustică. Pentru a caracteriza mecanica de frecare

a sistemului, a măsurat forțe de frecare în timpul producerii sunetului folosind plectre și „pile”

excizate. Similar cu materialele din cauciuc glisante pe suprafețe dure, coeficientul de frecare în

acest sistem a fost de 1.7. Modificarea coeficientului de frecare pe fiecare ciclu de stick-slip a

variat substanțial cu o schimbare medie de 1.1. Deși condus cu o viteză constantă, plectrul a

alunecat cu viteze care au fost corelate pozitiv cu forța normală dintre cele două suprafețe. Studii

de frecare pe sisteme biologice s-au concentrat în primul rând pe adeziune și mișcare, în timp ce

studiile de acustică de stick-slip au rămas în sfera de competență a acusticii muzicale și a

proiectării mecanice. Studiul lui Patek [2007] oferă o analiză integratoare a unui mecanism

bioacustic neobișnuit și contrastează parametrii săi fizici cu alte sisteme biologice și de inginerie.

Un alt exemplu de fenomen de stick slip este acela când se produc note muzicale cu ajutorul unei

harpe din pahare de sticlă prin frecarea cu degetul umed de-a lungul marginii unui pahar de

cristal. Harpa din pahare a fost creată în 1741 de irlandezul Richard Pockrich, care este cunoscut

ca primul virtuoz al acestui instrument.

13

Fig. 1.4 Harpă din pahare ce produce sunete prin fenomenul de stick-slip

Fiecare pahar este acordat pentru un anumit sunet, fie prin șlefuirea și dimensionarea paharului,

caz în care acordarea este permanentă, fie prin umplerea paharului cu apă până la obținerea

sunetului dorit.

În cazul cutremurelor, fenomonemul se explică tot prin stick-slip.

Fig. 1.5 Schematica fenomenului de stick-slip în cazul cutremurelor [quakeinfo.ucsd.edu]

Dacă există deja un defect între două plăci tectonice, care duce la mișcare și la generarea unui

cutremur, se pune întrebarea de ce nu durează continuu. Răspunsul este dat de faptul că frecarea

între blocuri le fixează împreună până când este depășit un anumit prag. Frecarea este generată și

de marginile inegale ale celor două blocuri, făcând o paralelă cu piesele mecanice, de rugozitatea

celor două blocuri. Proeminențe ale blocurilor din planul de contact cresc frecarea, acestea

acționând ca niște ancore pentru fiecare bloc în parte. Frecarea este o forță care contracarează

tensiunea. Un cutremur are loc atunci când tensiunea acumulată este mai mare decât frecarea

statică ce le menține în poziție. În timpul unui cutremur, sau în timpul unei alunecări cu pericol

seismic redus (mișcare fără cutremur), unele asperități sunt zdrobite. Acest material este zdrobit

grosier (falie „breccia”) sau fin (falie „gouge”). Falia „gouge” poate avea lățimi de mai mulți

metri.

14

Comportamentul de stick-slip este dat de acumularea repetată a tensiunilor între cutremure și

apoi scăderea instantanee a acestora în timpul unui cutremur. Ca o scurtă descriere a stick-slip-

ului în cazul cutremurelor se pot enumera următorii pași:

- inițial cele două blocuri sunt în contact (frecare statică);

- tensiunile și deformațiile se acumulează (blocurile sunt tot fixe, fără mișcare);

- tensiunea acumulată devine mai mare decât forța de frecare ce i se opune;

- are loc alunecarea (cutremurul) și tensiunea scade în timpul cutremurului, dar

deformațiile continuă să crească;

- apoi ciclul se repetă.

1.5 Direcții de cercetare

Studiul de sinteză bibliografică prezentat în acest capitol a permis stabilirea direcțiilor de

cercetare necesare pentru finalizarea acestei teze, după cum urmează:

- Dezvoltări teoretice pentru simularea analitică a contactelor mecanice în condiții de

alunecare parțială;

- Dezvoltări de soft pentru simularea numerică a alunecării parțiale din contactele

mecanice;

- Modelarea numerică a uzurii generate de alunecarea parțială la contactele mecanice

fără rostogolire;

- Modelarea numerică a uzurii generate de alunecarea parțială la contactul roată-șină cu

scopul de a scoate în evidență potențiale cauze ce generează uzura ondulatorie;

- Dezvoltatea și proiectarea de dispozitive precise de cuantificare a fenomenului de

stick-slip la perechi de materiale în contact;

- Scoaterea în evidență a factorilor ce influiețează creșterea riscului de apariție a

fenomenului de stick-slip;

- Propunerea de soluții teoretice și practice de ameliorare a efectelor negative ale

fenomenului de stick-slip;

- Proiectarea de soluții tehnice de exploatare pozitivă și benefică a fenomenului de

stick-slip, ca de exemplu mijloace de avertizare sonoră pe bază de stick-slip având un

consum energetic redus sau echipamente motrice folosind undele de vibrații generate

de stick-slip (folosind așa-numitul fenomen „stick-slip motion”).

15

2. ELEMENTE DE TEORIA CONTACTULUI ELASTIC-PLASTIC RUGOS

2.1 Contactul elastic Hertzian

În lipsa oricărei solicitări, două corpuri cu suprafețe neconforme se ating inițial într-un punct, sau

dupa o linie, figura 2.1. Dacă peste această stare inițială se suprapune o solicitare exterioară,

zona de atingere devine un domeniu D, de arie finită și redusă în comparație cu dimensiunile

corpurilor.

Fig. 2.1 a) Contact roata-șină, b) Contact sferă-plan, c) Contact bilă-cale de rulare, (Hamrock [1983])

Întrucât la solicitarea de contact a corpurilor având suprafeţe neconforme, aria domeniului de

contact este foarte mică, în comparaţie cu dimensiunile corpurilor, ideea de bază care se va urma

în soluţionarea problemelor ridicate este de a asimila fiecare dintre cele două corpuri cu câte un

semispaţiu elastic.

Apar două necunoscute:

- domeniul de contact, care este necunoscut atât ca formă cât şi ca dimensiuni;

- distribuţia, necunoscută pe acest domeniu a sarcinii exterioare.

Forma domeniului de contact este determinată evident de geometria locală în jurul punctului de

atingere a suprafeţelor corpurilor în contact.

2.1.1 Geometria locală de contact Se consideră două corpuri elastice I şi II care se ating într-un punct O, figura 2.2. În punctul O,

cele două suprafeţe au un plan tangent comun şi normale cu aceeaşi direcţie, sensurile putând

diferi. Fiecare suprafaţă este considerată netedă, la scala microgeometrică însemnând lipsa

rugozităţilor.

16

Fig. 2.2 Solide elastice în contact

Pentru fiecare corp se alege cate un sistem de coordonate OxIyIzI şi OxIIyIIzII, cu originea în O şi

având planele xIOyI, respectiv xIIOyII, comune cu planul tangent. Dezvoltând în serie Mac

Laurin, în jurul originii O, ecuaţiile celor două suprafeţe (I şi II) în sistemul de coordonate

ataşate corpurilor I şi II şi folosind faptul că cele două suprafeţe sunt tangente la planul comun,

în condiţiile neglijării termenilor superior lui doi, se obţine:

�������� � 12 ������ ��� � 12 ������ ��� � 12 �� ��� � 12 �� ��� (2.1)

����������� � 12 �������� ���� � 12 �������� ���� � 12 ��� ���� � 12 ��� ���� (2.2)

Unde cu R��, R��, R���, R��� au fost notate razele de curbură principale pentru cele două corpuri,

cuprinse în două plane, 1 şi 2, care se intersectează după normala comună în punctul de contact.

O normală în planul tangent înţeapă cele două suprafeţe în punctele M� şi M��, distanţa dintre cele

două puncte fiind:

����� � �� � ��� � 12 �� ��� � 12 �� ��� � 12 ��� ���� � 12 ��� ���� (2.3)

Pentru a obţine o formă mai simplă a relaţiei (2.3) se alege un sistem de coordonate astfel încât

distanţa z dintre punctele M� şi M�� aflate pe aceeaşi normlă la planul tangent, si pe suprafeţele

celor două corpuri, să se exprime ca o sumă de două pătrate:

I

17

� � ��2 � � ��2 � (2.4)

Planele principale 1 şi 2 sunt alese astfel încât razele de curbură reduse R� şi R� să rezulte

pozitive.

Fig. 2.3 Raze de curbură pentru diverse elemente. a) corpuri de rostogolire; b) căi de rulare pentru rulmenţi cu bilă; c) căi de rulare pentru rulmenţi cu role cilindrice (Hamrock [1983]).

2.1.2 Ecuaţia geometrică a contactului normal În lipsa solicitării, cele două corpuri I şi II se ating într-un punct O, Figura 2.2. Sub acţiunea unei

sarcini F dirijate după o normală comună în punctul de contact iniţial, între cele două corpuri se

va crea un domeniu comun D de mărime şi formă necunoscută.

Numai punctele aflate în vecinătatea domeniului de contact vor suferi deformaţii elastice,

conform principiului lui Saint-Venant. Ca rezultat al deformaţiilor elastice din zona contactului,

punctele aflate suficient de departe de zona contactului vor suporta numai câte o deplasare rigidă, δ� şi respectiv δ��. Deplasările elastice ale punctelor M� şi M�� sunt u�� şi u���, iar cotele după

deformaţie vor fi: ��∗��, �� � ����, �� − �� � �����, �, ��� (2.8)

���∗ ��, �� � �����, �� − ��� � ������, �, ��� (2.9)

Dacă după deformare punctele M� şi M�� coincid de domeniul comun D, rezultă:

18

��∗ � ���∗ � 0��������, �� � ������, �� � � − ���, ��,���, �� ∈ ! (2.10)

Ecuaţia algebrică 2.10 este denumită ecuaţia geometrică a contactului elastic sub solicitarea

normală.

�����, �� � ������, �� � � − ��2 � − ��2 � (2.11)

În care: � � �� � ���. Deoarece domeniul de contact D este mic în comparaţie cu dimensiunile corpurilor, cele două

corpuri pot fi apreciate prin două semispaţii supuse fiecare la o aceeaşi sarcină, o sarcină

normală repartizată într-un mod neprecizat pe un domeniu necunoscut D. În aceste condiţii

deplasările u�� şi u���, se pot exprima prin relaţia particularizată pentru cazul când z = 0.

Existența potențialului de simplu strat este asigurată de faptul că distribuția de presiuni "�#, $� pe domeniul D (figura 2.4) este de clasă %&. Respectarea principiului lui Saint-Venant impune ca

starea elastică creată de distribuția de presiuni să se anuleze la infinit. Pentru soluționarea stării

elastice se folosește inițial soluția Papkovici-Boussinesq a ecuației lui Lamé [Crețu, 2009].

����, �, 0� � 1 − '�() * "�#, $�+�� − #�� � �� − $�� ,#,$ �-1 − '�() .��, �, 0� (2.12)

Relaţia devine:

1( /1 − '��)� � 1 − '���)�� 0* "�#, $�+�� − #�� � �� − $�� ,#,$ �- � − ��2 � − ��2 � (2.13)

Aceasta reprezintă aşa numita ecuaţie integrală a contactului elastic, fiind numită de asemenea

relaţia sarcină deplasare a lui Boussinesq.

2.1.3 Ipotezele contactului elastic Hertzian În lucrarea sa din 1881, Hertz soluționează analitic problema contactului elastic pe baza

următoarelor ipoteze, valabile și în prezent:

- forma domeniului de contact este eliptică, conform ecuaţiei (2.4);

- se consideră fiecare corp ca fiind un semispaţiu elastic;

- suprafeţele sunt considerate ca fiind ideale, fără rugozitate, între corpuri transmiţându-se

numai o distribuţie normală de presiuni;

- deşi suprafaţa reală de contact poate să nu fie plană, corpurilor fiind semispaţii, se

consideră ca sarcina normală este transmisă după o direcţie paralelă cu axa Oz, iar

tensiunile tangenţiale de pe frontieră, acţionează în planul xOy.

19

2.1.4 Distribu ţia de presiuni Rezolvarea generală a unei probleme de teoria elasticităţii constă în determinarea stării elastice a

corpului analizat, ceea ce înseamnă precizarea stării de deformare şi a celei de tensiuni pentru

condiţii la limită impuse.

Pentru a determina distribuţia de presiuni trebuie soluţionată o problemă de tip Neuman, [Liviu

Solomon, 1969]. Se cere determinarea stării elastice într-un semispaţiu z>0 supus unei încărcări

normale, repartizată după o anumită lege p�ξ, η�, pe un domeniu mărginit situat pe frontiera z=0,

figura 2.4.

Fig. 2.4 Sarcină distribuită pe domeniul D cuprins pe frontiera z=0, Crețu [2009]

2.2 Contactul elastic ne-Hertzian

2.2.1 Contactul elastic concentrat solicitat normal Dacă geometria corpurilor aflate în contact respectă ipotezele lui Hertz, iar încărcarea exterioară

este pur normală, contactul concentrat este Herzian.

Suprafeţele reale de contact prezintă microgeometrii, contactul real nerespectând ipotezele lui

Herz, acesta numindu-se „contact elastic ne-Hertzian”.

În cazul contactului concentrat punctual, geometria de contact este ne-Hertziană dacă în jurul

punctului initial de contact, separarea dintre suprafeţe nu poate fi redusă la o formă patratică.

20

Fig. 2.5 Distribuția de presiuni și aria de contact pentru contactul cilindru/plan și cilindru/cilindru, Crețu [2009]

Pentru cazul contactului liniar, geometria de contact este ne-Hertziană dacă:

- generatoarea comună pe care se realizează atingerea este de lungime finită;

- raza unuia dintre cilindrii în contact nu rămâne constantă ci urmează o variaţie după o

lege oarecare.

Dacă unul dintre cilindri are lungime finită, figura 2.7a, atunci presiunile de contact cresc pe

măsura apropierii de capătul cilindrului scurt, procesul fiind cunoscut sub numele de efect de

capăt, sau efect de muchie, figura 2.7b. Efectul de capăt este cu atât mai accentuat cu cât raza de

racordare de la capătul cilindrului scurt este mai mică.

Organe de maşini dintre cele mai importante, la care manifestarea efectului de capăt când

realizeaza transmiterea sarcinilor prin intermediul unor solicitări de contact liniar ne-Hertzian,

sunt: rulmenţii – contactul dintre rolele cilindrice sau conice şi căile de rulare ale celor două

inele, angrenajele – contactul între flancurile dinţilor, transmisiile prin lanţuri – contactul dintre

dintele roţii şi rola lanţului, variatoare de turaţie – contactul între elementele active, mecanismele

de distribuţie la motoarele cu ardere internă – contactul dintre camă şi tachet, material rulant –

contactul dintre şină şi bandajul roţii.

21

2.3 Studiul contactului concentrat elastic ne-Hertzian

2.3.1 Formularea analitică În absenţa unei solicitări exterioare, două corpuri limitate de suprafeţe netede se ating într-un

punct iniţial de contact, punct în care există un plan tangent comun şi o normală comună.

Aplicarea unei solicitări exterioare dirijată după direcţia normalei comune şi în sensul apropierii

dintre corpuri, va determina deformarea suprafeţelor notată prin 45, figura 2.7a.

Forma ariei reale, mărimea acesteia cât şi distribuţia de presiuni pe aria reală sunt

necunoscute.

Pentru cazul contactului elastic între corpuri limitate de suprafeţe rugoase, aria reală de contact

apare ca o sumă de microarii �56: 7�56 � 45 (2.35)

Pe planul tangent, în jurul punctului iniţial de contact, se consideră o arie virtuală de contact, de

formă dreptunghiulară şi notată cu 48. Această arie virtuală de contact este aleasă suficient de

mare pentru a supraestima aria reală de contact, 48 ≥ 45. Relaţia dintre aria reală de contact şi aria virtuală este exemplificată în figura 2.7a pentru cazul

contactului realizat în interiorul unui rulment radial cu role cilindrice între rola cilindrică şi calea

de rulare.

Se introduce un sistem cartezian de coordonate (x,y,z), planul x-O-y fiind planul tangent comun,

iar originea sistemul de coordonate situată la colţul stâng al domeniului virtual dreptunghiular.

Deplasarea elastică a fiecărei suprafeţe, :���, �� şi respectiv :����, ��, este măsurată pe direcţia

corespunzătoare a normalei exterioare.

Pentru un punct (x,y) de pe planul tangent, suma deplasărilor individuale va fi notată prin :��, ��. Modelul elastic al deformării suprafeţei este definit de următorul grup de 3 ecuaţii:

a) Ecuaţia geometrică a contactului elastic: ;��, �� � ℎ��, �� � :��, �� − �& (2.36)

b) Ecuaţia integrală a deplasării normale a frontierei semispaţiului elastic:

:��, �� � 1( /1 − '��)� � 1 − '���)�� 0* "�#, $�+�� − #�� � �� − $�� ,#,$=> (2.37)

În care, E� şi E�� sunt modulii lui Young de elasticitate longitudinală; ϑ� şi ϑ�� sunt coeficienţii lui

Poisson de contracţie transversală; p(x,y) este presiunea de pe suprafaţa de contact în punctul

considerat.

22

c) Ecuaţia de echilibru:

A "��, ��=> ,�,� � B (2.38)

Unde F este forţa normală care se transmite între cele două corpuri.

Condiţiile fizice de neadeziune şi nepenetrare conduc la ecuaţiile: ;��, �� � 0, "��, �� > 0, ��, �� ∈ 45 (2.39)

;��, �� > 0, "��, �� � 0, ��, �� ∉ 45 (2.40)

Pentru cazul contactelor concentrate ne-Hertziene sistemul de ecuaţii (2.36) – (2.40) nu are

soluţie analitică, astfel încât, pentru o abordare numerică se impune prezentarea sub formă

discretă a problemei contactului concentrat ne-Hertzian.

2.3.2 Formularea discretă Pe domeniul virtual de contact, de formă dreptunghiulară, se construieşte o reţea

dreptunghiulară, uniformă cu liniile reţelei paralele cu axele x şi y ale sistemului de coordonate.

Nodurile reţelei se notează prin (i, j), unde indicii i şi j se referă la coloanele şi respectiv la liniile

reţelei figurile 2.8 şi 2.9.

Fig. 2.6

Fig. 2.7 Discretizarea domeniului contactului și exemplificarea folosind aria de contact a contactului roata șină fără deplasare laterala, Crețu [2009]

În aceste condiţii, formularea analitică reprezentată de ecuaţiile (2.36) – (2.40) este

înlocuită cu formularea discretă dată de ecuaţiile (2.47) – (2.51).

23

;6E � ℎ6E � :6E − �& (2.47)

:6E � 7 7 F6GH,EGIJKG�EL&

JMG�6L& "HI (2.48)

∆�∆� 7 7 "6E � BJKG�EL&

JMG�6L& (2.49)

;6E � 0, "6E > 0, �O, P� ∈ 45 (2.50)

;6E > 0, "6E � 0, �O, P� ∉ 45 (2.51)

Funcţia de influenţă Kij reprezintă valoarea deformaţiei suprafeţei urmare a acţiunii unei presiuni

unitare pe elementul de reţea (k,l). Valorile numerice ale coeficienţilor de influenţă Kij sunt

determinate prin integrarea ecuaţiei lui Boussinesq pentru acest caz de încărcare. Calculul numeric

Sistemul de ecuaţii (2.47) – (2.51) va cuprinde un număr de până la un milion de ecuaţii, mărime

ce impune ca în alegerea algoritmului de rezolvare două caracteristici să fie esenţiale:

- viteza cu care, pentru o precizie impusă, algoritmul converge impus asupra soluţiei;

- cantitatea de memorie necesară pentru rularea codului.

Viteza algoritmului de calcul este în general dependentă de numărul de operaţii cu virgulă

mobilă solicitat. Dacă matricea Q6E are mărimea R� ∗ R�, atunci produsul matrice vector va

include �R� ∗ R��� înmulţiri şi �R� ∗ R��� adunări. Rezultă că soluţionarea problemei prin

metoda Gauss sau prin metoda factorizării Choleski poate dura zeci de ore, chiar dacă se

utilizează un calculator cu frecvenţă de lucru ridicată. De asemenea, necesităţile de memorie

cresc tot cu pătratul numărului de puncte al reţelei.

2.4 Elemente de rugozitate a suprafeţelor

În raport cu suprafaţa nominală orice suprafaţă reală prezintă abateri dimensionale, de formă şi

de topografie. Topografia unei suprafeţe reale, figura 2.10, cuprinde:

- microtopografia care include nano şi microrugozităţile;

- macrotopografia care include ondulaţiile şi defectele accidentale.

Nano şi microrugozităţile sunt abateri repetitive, sau aleatoare, ale suprafeţei reale, având

lungime de undă mică şi caracterizate prin maxime locale (numite vârfuri sau piscuri), respectiv

minime locale (numite văi).

Valorile diametrului bazei rugozităţilor este de 10-100 ori mai mare decât înălţimile acestora.

Nano şi microrugozităţile sunt determinate de procesul de prelucrare putând fi alterate prin

procesul de rodaj.

24

Ondulaţiile numite şi macrorugozităţi, au lungimea de undă mai mare fiind determinate de

deformaţiile elastice din procesul de prelucrare, deformaţiile induse de tensiunile remanente,

vibraţii, şi sunt puţin influenţate de rodaj.

Fig. 2.8 Descompunerea profilului suprafeței reale

2.4.1 Parametrii medii de caracterizare a rugozităţii În mod obişnuit rugozitatea unei suprafeţe apreciază variaţia în înălţime a suprafeţei reale în

raport cu o suprafaţă nominală. Rugozitatea se poate măsura în lungul unui singur profil al

suprafeţei obţinând o caracterizare bidimensională, sau în lungul unui set de profile paralele,

obţinând o caracterizare tridimensională, figura 2.11.

Fig. 2.9 Caracterizare tridimensională a profilului suprafeței

Înălţimea rugozităţii z(x) într-un punct de pe abscisa x al profilului este o variabilă aleatoare,

fiind caracterizată de ansamblul statistic al volorilor acesteia în toate profilele posibile. În cele ce

urmează înălţimea rugozităţilor va fi considerată ca fiind o variabilă aleatoare staţionară ergodică

în sensul că valorile medii definite pentru un profil nu depind de profilul ales şi coincid cu

valorile medii definite pe ansamblu.

Dat fiind caracterul aleatoriu al distribuţiei înâlţimilor rugozităţii suprafeţelor reale se va proceda

la:

- Definirea parametrilor medii de caracterizare ai rugozităţilor;

- Analiza statistică a distribuţiei înălţimilor rugozităţii;

- Caracterizarea fractală a rugozităţii suprafeţelor.

Parametrii medii ai înalţimii rugozităţii Parametrii capabili să aprecieze înălţimea sunt consideraţi ca fiind cei mai importanţi parametri

de caracterizare ai rugozităţii. Se consideră un profil z(x), figura 2.12, obţinut prin intersectarea

suprafeţei rugoase cu un plan normal.

Fig. 2.10 Descriere bidimensional

Se defineşte linia medie ca linia central

medii şi respectiv sub linia medie, să

În ce priveşte liniile de referinţă

definită anterior în care porţiunile de deasupra

definită prin 10 puncte, 5 cele mai înalte

„least squares”.

Fig. 2.11 Comparaţie între 3 tipuri de linii de referinpuncte; c)linia media înclinat

Înălţimea medie aritmetică Este notată uneori CLA („center

media aritmetică a valorilor absolute ale abaterilor verticale ale profilului, în limita distan

măsurare L.

S � %T4În varianta numerică profilul este discretizat de lungimea de referin

eşantioane �6, �O � 1…R� cu pasul de e

25

Descriere bidimensională a rugozității suprafeței

inia medie ca linia centrală, astfel încât porţiunile de profil situate deasupra liniei

i respectiv sub linia medie, să aiba ariile sumate egale.

V � 1TA ����,�W&

ţă, în literatură sunt definite în special 3 tipuri: linia medie, cea

ţiunile de deasupra şi respectiv de sub linia medie au arii egale, linia

prin 10 puncte, 5 cele mai înalte şi 5 cele mai joase şi linia medie înclinat

ie între 3 tipuri de linii de referinţă: a) linia medie; b) linia definitpuncte; c)linia media înclinată („least squares”).

uneori CLA („center line average”) sau AA („arithmetic average”), fiind definit

a valorilor absolute ale abaterilor verticale ale profilului, în limita distan

%T4 � 44 � 1TA |���� − V|,�W&

profilul este discretizat de lungimea de referinţă L într-

cu pasul de eşantionare ∆� � WJG�:

iunile de profil situate deasupra liniei

(2.59)

special 3 tipuri: linia medie, cea

i respectiv de sub linia medie au arii egale, linia

i linia medie înclinată numită şi

: a) linia medie; b) linia definită prin zece

line average”) sau AA („arithmetic average”), fiind definită ca

a valorilor absolute ale abaterilor verticale ale profilului, în limita distanţei de

(2.60)

-un numar N de

Fig. 2.12 Profile geometrice având acela

Valoarea medie pătratică a înâlţimiiEste definită ca rădăcina pătrată

verticale ale profilului în raport cu linia de referin

Dacă linia de referinţă coincide cu linia medie:

Abaterea standard sau varianta, Z

Parametrii medii care caracterizează

- Distanţa dintre vârful cel mai înalt

- Distanţa dintre cel mai înalt vârf

- Distanţa dintre cea mai adânc

- Distanţa dintre media celor mai înalte cinci vârfuri

- Distanţa �, dintre mediile celor mai înalte 5 vârfuri

măsurate în limitele lungimii de referin

26

S � 147|�6 −V|6LJ6L�

geometrice având acelaşi valori ale mediei aritmetice Ra, Halling [1976], Tudor [1990].

a înâlţimii ătrată a mediei aritmetice aplicate sumei pătratelor ale abaterilor

cu linia de referinţă.

[ � \1R7�6�6LJ6L�

coincide cu linia medie: V � 0şi [ � _

Z

[ � \1R7��6 −V��J6L�

caracterizează valorile extreme ale înălţimii:

a dintre vârful cel mai înalt şi cea mai adâncă vale, `; a dintre cel mai înalt vârf şi linia medie, a;

a dintre cea mai adâncă vale şi linia medie, b;

edia celor mai înalte cinci vârfuri şi linia medie, ac, dintre mediile celor mai înalte 5 vârfuri şi a celor mai adânci 5 v

surate în limitele lungimii de referinţă:

(2.61)

, Halling [1976], Tudor

ătratelor ale abaterilor

(2.62)

(2.63)

(2.64)

ac;

i a celor mai adânci 5 văi,

27

� � 15e7"6 −7fEgEL�

g6L� h (2.65)

Semnificaţia parametrilor Ri, RjşiRk, este prezentată în figura 2.15.

Fig. 2.13 Reprezentarea grafică a parametrilor lm, lnşolp Deşi parametrii Rq, σşiRk sunt cei mai utilizaţi în specificaţiile tehnice ale organelor de maşini,

toţi parametrii menţionaţi oferă indicaţii privind numai abaterile relative pe înălţimea profilului,

fără a furniza nici un fel de indicaţii privind panta, forma sau frecvenţa. Este posibil, ca suprafeţe

care au profile cu totul diferite ca formă sau frecvenţă, să furnizeze aceleaşi valori pentru

parametrii medii Rqsauσ, figura 2.14.

Momentul centrat de ordinul trei, (skewness), uv

wF � 1_xR7��6 −V�xJ6L� (2.66)

Valoarea parametrului skewness depinde de felul în care este distribuit materialul solid în cadrul

profilului în raport cu linia medie: dacă acesta se află majoritar deasupra liniei medii atunci

valoarea parametrului skewness este negativă, iar dacă materialul solid se află majoritar sub linia

medie atunci valoarea parametrului skewness este pozitivă, figura 2.16. O distribuţie simetrică a

înălţimilor pentru care numărul vârfurilor este egal cu cel al văilor determină un Sk ≈ 0. Astfel

parametrul skewness poate fi utilizat pentru a diferenţia suprafeţe care au aceeaşi valoare pentru

înălţimea medie aritmetică Rq, deşi sunt caracterizate prin forme mult diferite ale profilelor.

Fig. 2.14 Reprezentarea relației dintre rugozitate și parametrul skewness

28

Rugozităţi, la care au fost îndepărtate vârfurile sau care prezintă zgârieturi adânci, conduc la

valori negative ale parametrului skewness. Profilele caracterizate prin vârfuri înalte, la care văile

sunt domoale, au valori pozitive ale parametrului skewness.

Momentul centrat de ordinul patru, (kurtosis), K

wF � 1_|R7��6 −V�|J6L� (2.67)

Parametrul kurtosis apreciază de asemenea forma profilului. Astfel dacă în limitele lungimii de

referinţă profilul prezintă relativ puţine vârfuri înalte şi văi adânci, figura 2.17, rezultă K<3

(„profil platkurtoic”), iar dacă din contră profilul prezintă multe vârfuri înalte şi văi adânci

rezultă K>3 („profil leptokurtoic”).

Fig. 2.15 Reprezentarea relației dintre rugozitate și parametrul kurtosis

2.4.2 Funcţii statistice de distribuţie a înălţimilor Înălţimea rugozităţilor z(x) este privită ca o variabilă aleatoare. Funcţia densitate de probabilitate

p(z) este definită ca limita raportului dintre probabilitatea ca înălţimea rugozităţilor să se afle în

intervalul �h, h � ∆z� şi mărimea intervalului ∆z, când acesta tinde la zero.

Cele mai cunoscute forme analitice utilizate pentru funcţiile densitate de distribuţie a înălţimii

rugozităţii sunt:

- Funcţia densitate de distribuţie exponenţial negativă;

- Funcţia densitate de distribuţie Gauss sau normală.

2.4.3 Funcţii statistice spaţiale Privite ca un proces aleatoriu rugozităţile sunt caracterizate în domeniul spaţial prin următoarele

funcţii statistice:

- Funcţia de autocovarianţă ��� şi funcţia de autocorelaţie %���; - Funcţia densitate spectrală de putere a mediei pătratice ����.

29

2.4.4 Caracteristici spectrale ale suprafeţei rugoase Caracteristicile spectrale ale suprafeţei rugoase pot fi descrise în mod similar cu cele prezentate

la descrierea caracteristicilor spectrale ale profilului, cu observaţia că în acest caz vor fi utilizate

două direcţii perpendiculare, pe care le vom nota generic cu x şi respectiv cu y.

Astfel se defineşte funcţia de autocovarianţă ��F, ��: �F, �� � 1�R − F��� − ��7 7��a[�a�H,[�I��GI

[L�JGHaL� (2.88)

Funcţia de autocorelaţie corespunzătoare profilului unei direcţii � se poate exprima în funcţie de

funcţia de autocorelaţie a suprafeţei:

����� � �F, ��F � ������� � ���O�� (2.89)

2.4.5 Caracterizarea rugozităţii compuse a două suprafeţe rugoase Atunci când se află în contact două suprafeţe rugoase cu distribuţii aleatoare a înălţimii

asperităţilor, se poate defini o rugozitate compusă care are valori locale ale asperităţilor, pantei şi

curburii obţinute prin însumarea valorilor corespunzătoare ale rugozităţilor celor două suprafeţe

de contact: ���� � ����� � ����� (2.95)

���� � ����� � ����� (2.96)

F��� � F���� � F���� (2.97)

Pentru cele două suprafeţe rugoase aflate în contact se defineşte o suprafaţă rugoasă echivalentă

având mărimile: _, ���, ����,�&, ��,�| (2.98)

2.5 Contactul concentrat rugos

Dacă în lipsa oricărei solicitări, o suprafaţa rugoasă este adusă în contact cu frontiera netedă a

unui semispaţiu, atunci atingerea celor două suprafeţe se va limita la nivelul punctelor

determinate de cele mai înalte vârfuri ale rugozităţilor. Aplicarea unei sarcini oarecare, dar care

cuprinde şi o componentă normală de compresiune, va determina deformarea atât a asperităţilor

cât şi a semispaţiului, cu pătrunderea asperităţilor în semispaţiu, figura 2.23.

Deformarea materialului are loc numai în vecinătatea punctelor de contact şi funcţie de nivelul

încărcării va fi o deformare elastică, plastică sau mixtă.

30

Fig. 2.23 Contact concentrat rugos, Cretu [2009]

Pe microariile comune de contact, numite şi microariile reale, se dezvoltă presiuni care sumate

sunt capabile să echilibreze componenta normală a solicitării. Aria reală a contactului este dată

de suma tuturor microarrilor realizate la nivelul rugozităţilor.

Similar, atunci când între două corpuri limitate de suprafeţe rugoase, se transmite o sarcină

normală, tangenţială sau combinată, această sarcină se repartizează sub forma unui număr finit

de forţe distribuite discret pe microariile realizate la nivelul contactelor dintre asperităţile celor

două suprafeţe. În cazul unor încărcări mici, aria reală de contact reprezintă numai câteva

procente din aria aparentă, geometrică a contactului.

Solicitarea unui semispaţiu elastic pe frontieră cu o forţă normală concentrată produce o

deformaţie elastică, figura 2.24., deformaţie care la nivelul frontierei este descrisă analitic de

relaţia:

����� � B�1 − '��()� (2.104)

Deformaţia elastică totală a frontierei, şi în consecinţă întreaga stare elastică, se poate astfel

evalua prin întregirea efectului determinat de distribuţia de forţe concentrate de la nivelul tuturor

microariilor reale de contact.

În acest fel problema stării elastice a contactului concentrat rugos se reduce la:

- Determinarea ariilor reale de la nivelul contactului între asperităţi;

- Determinarea distribuţiilor de presiuni pe aceste arii.

Fig. 2.24 Deformația elastică a semispațiului solicitat normal pe frontieră, Cretu [2009]

31

2.5.1 Modelul Greenwood-Williamson Cea mai simplă metodă pentru modelarea suprafeţelor rugoase a fost propusă în 1966 de către J.

A. Greenwood şi J. B. P. Williamson. Greenwood şi Williamson au asumat că toate asperităţile

rugozităţii au aceaşi rază de curbură şi că asperităţile sunt distribuite în mod stohastic după o

valoare medie, figura 2.25.

Dacă asperităţile în contact sunt suficient de depărtate una faţă de cealaltă, atunci deformarea

fiecărui corp elastic poate fi considerată independentă iar, poziţia asperităţilor, şi mai ales

configuraţia exactă a suprafeţei contează foarte puţin în problema de contact. Doar distribuţia

înălţimilor asperităţilor este importantă. Se va descrie probabilitatea densităţii unei asperităţi

având înălţimea maximă � ca fiind ����. Aceasta înseamnă că probabilitatea ca o asperitate să

aibă înălţimea maximă în intervalul ��, � � ,�� este egală cu ����,�. Dacă numărul total de

asperităţi este R&, atunci numărul de asperităţi în intervalul ��, � � ,�� este egal cu R&����,�.

Fig. 2.25. Model cu suprafaţă distribuită stohastic după Greenwood şi Williamson

2.5.2 Modelul Nayak Modelul Nayak utilizează dezvoltarea matematică realizată de către Longuet-Higgins în 1957

pentru modelarea valurilor oceanelor. În raport cu modelul Greenwood Williamson, modelul

Nayak are următoarele particularităţi:

- Vârfurile suprafeţei, respectiv summit-urile, sunt modelate ca paraboloizi eliptici

având curburile principale cu valori diferite în fiecare dintre cele două plane

principale;

- Curburile diferă de la un summit la altul, variind în funcţie de înălţimea summit-ului,

astfel încât summit-urile mai înalte au curburile mai mari şi deci sunt mai ascuţite.

2.6 Elemente de plasticitate

Deformațiile plastice care însoțesc funcționarea în domeniul elasto-plastic a organelor de mașini

sunt cu circa trei ordine de mărime mai mici decât dimensiunile corpurilor. Această constatare

permite să fie utilizate în continuare elementele teoretice specifice teoriei micilor deformații din

teoria generală a plasticității.

Deformațiile elastice corespund unor variații ale distanțelor interatomice, fără modificarea

poziției acestora, în timp ce deformațiile plastice implică mișcări de alunecare cu modificarea

acestor distanțe. Dacă o solicitare de contact se realizează cu o creștere graduală a sarcinii

exterioare, procesul de deformare parcurge 3 stadii, figura 2.18.

32

Stadiul I corespunde solicitării pur elastice.

Stadiul II corespunde unei solicitări elasto-plastice, când într-un domeniu limitat în interiorul

corpurilor se depășește limita de curgere, fără însă ca zona deformată plastic să atingă suprafața,

domeniul interior solicitat plastic fiind înconjurat de material solicitat pur elastic. Mărimea

deformațiilor plastice este de același ordin de mărime cu a deformațiilor elastice din zona care

înconjoară domeniul interior deformat platic.

Stadiul III, corespunde unei solicitări complet plastice, în cazul în care zona de curgere cuprinde

și o porțiune din suprafața de contact, ceea ce oferă posibilitatea curgerii materialului prin zona

care delimitează cele două corpuri, deformațiile plastice putând fi cu câteva ordine de mărime

mai mari decât deformațiile din zona rămasă sub o solicitare pur elastică.

Fig. 2.16 Stadiile de solicitare: elastic, elastic-plastic și plastic, Crețu [2009]

Organele de mașini care funcționează sub solicitări de contact au regimurile de funcționare

corespunzătoare stadiilor I și II, cu producerea unor efecte specifice:

- Ecruisarea materialului;

- O nouă stare de tensiuni remanente;

- Deformații ireversibile ale geometriei de contact.

Aceste efecte sunt capabile să modifice considerabil comportarea în continuare a stratului

superficial de material.

Încercări experimentale efectuate în diverse condiții de solicitare, monoaxială sau compusă, au

condus la observații importante din punct de vedere al formulării condițiilor de plasticitate:

- Deformația plastică este determinată de forfecări la nivelul structurii cristaline, în

zone în care există anumite defecte ale structurii, numite dislocații;

- Deformația plastică nu determină și modificarea volumului materialului;

- Solicitarea de compresiune hidrostatică, nu este capabilă să conducă la intrarea

materialului în stare de curgere.

2.6.1 Criterii de curgere izotropă Condiția de plasticitate în cazul materialelor ecruisabile încorporează suplimentar un parametru

de ecruisare „R” care are valoare nulă dacă materialul nu este încă deformat plastic. ��_6E, � � 0 (2.121)

33

Unde f este o funcție de tensorul tensiune, iar scalarul R definește mărimea suprafeței de curgere.

În cursul procesului de deformare plastică cu ecruisare izotropă, parametrul R, trebuie să

provoace numai o dilatare treptată a suprafeței de curgere, fară să influențeze forma suprafeței de

curgere.

Alegând pentru această variabilă valoarea limitei de curgere _� din cazul solicitării monoaxiale

de tracțiune, criteriul de curgere corespunzător modelului de ecruisare izotropă se scrie sub

forma generală: ��_6E , _�� � 0 (2.122)

Unde _� este dat de raportul dintre forța de tracțiune și secțiunea probei testate (_ � B/4).

Una din condițiile de izotropie inpune ca frontiera domeniului să fie invariantă la schimbarea

axelor, ceea ce înseamnă că funcția f să depindă numai de cele trei mărimi invariante ale

tensorului tensiune: ��_� , _�� , _���, _�� � 0 (2.123)

Folosind invarianții tensorului deviator se obține, pentru corpurile incompresibile o altă formă

generală a criteriilor izotrope de plasticitate:

w�� � 12���w��șOw��� � 13 �wx� → ��w�� , w���, _�� (2.124)

În locul invarianților w��, w��� ai tensorului deviator, se pot utiliza invarianții omogeni J2, J3:

���_� � +3w�� � ��23w6Ew6E� , �x�_� � �272 w���� � �92w6EwEHwH6� (2.125)

2.6.2 Condiția de plasticitate von Mises Criteriul de plasticitate von Mises consideră toate cele 3 observații experimentale menționate:

- Deformarea plastică a metalelor este determinată de forfecări la nivelul structurii

cristaline;

- Deformarea plastică nu determină și modificarea volumului materialului;

- Solicitarea de compresiune hidrostatică nu determină intrarea materialului în stare de

curgere.

În spațiul de trei dimensiuni al tensiunilor normale principale, condiția de plasticitate von Mises

este: 1√2+��_� − _��� � �_� − _x�� � �_x − _��� − _� � 0 (2.133)

34

Pentru un material elastic-perfect plastic, relația sarcină deformație corespunzătoare solicitării

multiaxială, cum este cea de contact, suprafața de plasticizare F(σij, R), corespunzătoare

criteriului von Mises, este prezentată în figura 2.19. Pe durata solicitării în domeniul elasto-

plastic, suprafața de plasticizare nu își modifică forma, mărimea sau poziția, materialul fiind fără

ecruisare.

Fig. 2.17 Curba tensiune-deformație pentru un material elastic perfect-plastic

2.6.3 Condiția de plasticitate Tresca Condiția de plasticitate Tresca se bazează pe prima din observațiile menționate și este

reprezentată în spațiul tensiunilor de ecuația:

B�_6E� � max /¡_6 − _E¡2 0 − 12_� � 0 (2.137)

Fig. 2.18 Suprafeţele de curgere Von Mises şi Tresca în spaţiul tensiunilor principale.

Cilindrul de curgere şi prisma de curgere au axele paralele cu axa hidrostatică care este

perpendiculară pe planul π (σ1 + σ2 + σ3 = 0)

2.7 Concluzii

În cadrul acestui capitol au fost prezentate elemente teoretice esențiale și fundamentale

continuării studiilor prezentei teze și elaborării modelelor numerice de calcul ale uzurii în

condiții de alunecare parțială evidențiate în următoarele capitole.

35

Au fost sublinitate următoarele elemente de teoria contactului:

1. Contacul elastic Hertzian și ipotezele corespunzătoare acestui tip de contact;

2. Contactul elastic ne-Hertzian, ecuațiile necesare pentru rezolvarea acestui tip de

contact precum și metodologia de soluționare numerică a acestora (utilizarea metodei

Gradientului Conjugat și a Transformatei Fourier);

3. Parametrii atât fizici cât și statistici pentru decrierea unei suprafețe rugoase;

4. Modelele Greenwood – Williamson și Nayak pentru contactele concentrate rugoase;

5. Elemente de plasticitate, punându-se accentul pe curgerea izotropă a materialelor.

36

3. ELEMENTE DE TEORIA CONTACTULUI CU FRECARE

3.1 Încărcarea tangenţială şi contactul cu alunecare

3.1.1 Alunecarea corpurilor elastice neconforme Alunecarea constă în viteza periferică relativă a suprafeţelor în punctul de contact, în timp ce

rostogolirea implică viteza unghiulară relativă a celor două corpuri în jurul axelor paralele la

planul lor tangent. În mod cert rostogolirea şi alunecarea pot apărea în mod simultan, dar în cele

ce urmează, vom exclude rostogolirea şi se va prezena contactul considerând doar cazul

alunecării rectilinii. Acesta se poate observa în figura 3.1., corpul 2, având un profil curbat, se

deplasează de la dreapta la stânga pe o suprafaţă plană. Considerăm punctul de contact un punct

fix (origine), corpul 1 se deplasează prin zona de contact de la stânga la dreapta cu o viteză

constantă V. Princ convenţie alegem axa x pe direcţia alunecării.

Fig. 3.1 Contactul cu alunecare Johnson [1985]

Forţa normală P, crează o arie de contact, care pentru cazul contactelor concentrate și în absenţa

forţelor de frecare ar avea dimensiunile date de teoria lui Hertz. Totuşi mişcarea cu alunecare,

sau orice tendinţă de alunecare a suprafeţelor reale, introduce o forţă tangenţială de frecare Q, ce

acţionează pe fiecare suprafaţă în direcţia opusă mişcării relative.

În continuare, interesul cade asupra influienţei forţei tangenţiale Q asupra tensiunilor din contact.

În acest capitol, se consideră corpurile ca având o mişcare de alunecare constantă, şi deci Q

reprezintă o forţă de „frecare cinetică” dintre suprafeţe. Aşadar trebuie investigată situaţia celor

două corpuri şi fără o viteză relativă între suprafeţe, dar supuse unor forţe tangenţiale ce tind a le

induce alunecarea. În acest caz forţa Q apare din „frecarea statică”; poate avea orice valoare ce

nu depăşeşte „forţa limită de frecare”, la care alunecarea este aproape de a se produce.

În ce priveşte mărimea şi forma suprafeţei de contact, trebuie definit dacă tensiunile tangenţiale

ce apar în urma frecării au o influienţă sau cele două elemente sunt determinate doar de

distribuţia normală a presiunii.

Pentru motive de calcul ale tensiunilor şi deplasărilor elastice datorare sarcinilor tangenţiale,

trebuie reţinută premiza de bază a teoriei lui Hertz, şi anume că cele două corpuri trebuie

considerate semi-spaţii elastice în apropierea zonei de contact.

37

Componenta normală a deplasării la suprafaţă u�¢¢¢, datorată forţei tangenţiale Q, este

proporţională cu constanta elastică (1-2ν)/G.

Tensiunile tangenţiale ce acţionează pe fiecare suprafaţă la nivelul contactului sunt egale ca

mărime şi opuse ca direcţie, şi anume: £���, �� � −£���, �� (3.1)

Astfel, deplasările normale datorate acestor tensiuni sunt proporţionale respectivelor valori (1-

2ν)/G ale fiecărui corp şi opuse ca semn: ¤�1 − 2¥� ���¢¢¢¢ � − ¤�1 − 2¥� ���¢¢¢¢ (3.2)

Din ecuaţia precedentă reiese că, dacă cele două solide au aceleaşi constante elastice, orice

solicitare tangenţială transmisă între ele dă naştere la deplasări normale şi opuse în fiecare punct

din suprafaţa de contact. Astfel, deformarea unei suprafeţe de contact este conformă cu

deformaţia celeilalte şi nu modifică distribuţia presiunii normale de contact. Forma şi

dimensiunea ariei de contact sunt independente de forţa tangenţială.

În cazul în care avem corpuri cu proprietăţi elastice diferite, acest lucru se modifică şi eforturile

tangenţiale au influienţă asupra presiunii de contact. Efectul este în întregime analog interacţiunii

dintre tensiunile normale şi tangenţiale în contactul normal dintre solide diferite. Totuşi, se pare

că influienţa tensiunilor tangenţiale asupra distribuţiei presiunii normale şi a ariei de contact este

în general mică, în mod particular când coeficientul de frecare limită este considerabil mai mic

decât unitatea. În continuare, în analiza problemelor ce implică eforturi tangenţiale, se va neglija

această interacţiune şi se va asuma că tensiunile şi deformaţia datorate presiunii normale şi

efortului tangenţial sunt independente una de acealaltă, şi pot fi suprapuse pentru a se obţine

tensiunea rezultantă.

3.1.2 Alunecarea cilindrului pe direcţie perpendiculară axei sale (2D) Dacă cilindrul şi planul pe care alunecă au aceleaşi proprietăţi elastice, se cunoaşte că lăţimea

zonei de contact este 2a şi distribuţia normală a presiunii este data de teoria lui Hertz:

"��� � 2�(�� ��� − ����� (3.4)

Unde P este forţa normală pe unitatea de lungime axială, ce apasă cilindrul în contact cu

suprafaţa plană. Apoi, considerând legea lui Amontons privind frecarea, tensiunea tangenţială

este:

£��� � ∓2§�(�� ��� − ����� (3.5)

unde semnul negativ este asociat cu viteza pozitivă V (figura 3.1).

38

Se poate observa cum prezența solicitării de frecare mută către suprafață punctul în care se atinge

maximul maximorum pentru tensiunea tangențială responsabilă de inițierea procesului de

curgere plastică. Pentru a găsi presiunea de contact p0 corespunzătoare inițierii curgerii (criteriul

de curgere Tresca), poziţia şi amplitudinea tensiunii tangențiale maxime se exprimă folosind

tensiunea de curgere k la forfecare. Astfel creştererea valorilor coeficientului de frecare µ

determină evoluția prezentată în figura 3.5.

Fig. 3.5 Efectul frecării asupra presiunii de contact pentru prima curgere şi apoi

adaptabilitate. Linia mare punctată – linie de contact, prima curgere (Tresca). Linia lanţ – linie

de contact, prima curgere (Von Mises). Linia plină – linie de contact, adaptabilitate (Tresca).

Linia mică punctată – punctul de contact, prima curgere (Von Mises) Johnson [1985]

În figura 3.6 este prezentată dependența limitei de adaptabilitate de valoarea coeficientului de

frecare; curba A corespunde limitei elastice, respectiv atingerii limitei de plasticizare la prima

încărcare.

În cazul solicitărilor repetate de contact cu frecare procesul de adaptabilitate se produce de

asemenea. Acest poate fi studiat utilizând starea de tensiuni determinată de solicitarea compusă

normală și tangențială în determinarea unei stări corespondente de tensiuni remanente, (Crețu

[2009]).

Valorile critice ale intensității solicitării, corespunzătoare limitei de adaptabilitate sunt prezentate

în figura 3.6 prin linia punct notată cu B.

Pentru materialele elastic-perfect plastice intervalul cuprins între liniile A și B reprezintă câștigul

posibil de sarcină determinat de procesul de adaptabilitate.Studii amănunțite sunt prezentate de

Johnson [1992].

39

Johnson determină limitele de adaptabilitate la solicitarea de contact cu frecare a materialelor cu

ecruisare cinematică, limite care în figura 3.6 sunt corespunzătoare liniei pline notate cu C.

Fig. 3.6 Dependența limitei de adaptabilitate de valoarea coeficientului de frecare, (Crețu

[2009])

Analizând diagramele din figura 3.6 se pot formula următoarele observații generale asupra

procesului de adaptabilitate la contactele liniare concentrate cu frecare (Crețu [2009]):

- Dacă punctul corespunzător solicitării critice se află în zona cuprinsă între axe și linia

A atunci în niciun punct din material nu se atinge limita de plasticizare, respectiv

solicitarea se află de la început în domeniul elastic;

- Dacă pentru un material având comportament elastic-perfect plastic, punctul de

solicitare critic se află în zona cuprinsă între punctele A și B atunci materialul va

curge inițial, dar după un număr de cicluri de solicitare va intra într-o stare elastică ca

urmare a procesului de adaptabilitate elastică; distanța în lungul ordonatei dintre

curbele A și B indică contribuția tensiunilor remanente în procesul de adaptabilitate;

- Dacă solicitarea critică conduce la un punct situat în zona dintre curbele B și C, se va

manifesta efectul de adaptabilitate numai dacă materialul este capabil să suporte un

proces de ecruisare cinematică, iar distanța măsurată în lungul ordonatei între cele

două curbe B și C reprezintă contribuția acestei forme de ecruisare la procesul de

adaptabilitate.

- Dacă solicitarea de contact este astfel încât punctul critic se află deasupra curbei C

atunci deformarea plastică se va produce la fiecare ciclu de solicitare, putându-se

distinge două moduri de evoluție:

40

i. Materialele cu ecruisare cinematică liniară vor avea un proces de deformare

plastică cu buclă închisă, numit adaptabilitate plastică sau adaptabilitate

ciclică;

ii. Materiale cu ecruisare neliniară vor realiza un proces continuu de deformare

plastică de tip colaps incremental, („ratchetting”).

3.1.3 Alunecarea unei sfere pe plan Vom considera în continuare o sferă, asupra căreia acţioneaza o forţă P, care alunecă pe o

suprafaţă plană într-o direcţie aleasă paralelă cu axa x. Neglijând orice interacţiune dintre

presiunea normală şi tensiunea tangenţială apărută din diferenţa constantelor elastice ale celor

două solide, mărimea ariei de contact circulare şi a distribuţiei presiunii sunt date de teoria lui

Hertz. Legea frecării lui Amontons specifică tensiunea tangențială prin relația:

£��� � 3§�2(�x ��� − ����/� (3.27)

Tensiunea tangențială acţionează paralel la axa x oriunde în aria de contact.

In interiorul solidului componentele tensorului tensiune produse la suprafaţă pot fi determinate

folosind:

i. formulele lui Cerruti din teoria semispațiului elastic încărcat pe frontieră cu o sarcină

tangențială distribuită, (Crețu 2009, p.109), sau

ii. relațiile derivate din teoria semispațiului elastic încărcat pe frontieră cu o sarcină

tangențială concentrată., (Crețu 2009, p.113),

Fig.3.7 Influienţa unei diferenţe a constantelor elastice asupra distribuţiei presiunii şi

efortului tangenţial în contactul cu alunecare, pentru β=0.2, µ=1 (γ=0.06) (Johnson [1985])

3.2 Ini țializarea alunecării la corpurile elastice

Considerăm două corpuri în contact și supuse la o forță normală. O forţă tangenţială, având o

amplitudine mai mică decât forţa care limitează alunecarea, va determina tensiuni tangențiale pe

suprafața de contact, deși evident alunecare nu există.

41

În continuare se vor examina tensiunile tangenţiale la suprafaţă care apar din combinarea forţelor

normale şi tangenţiale ce nu produc alunecarea corpurilor unul faţă de celălalt.

Acest problemă este prezentată în figura 3.8. Forţa normală P dă naştere la o arie de contact şi o

distribuţie a presiunii, despre care putem asuma că nu este influenţată de existenţa forţei

tangenţiale Q, şi deci este dată de teoria lui Hertz.

Efectul forţei tangenţiale Q este de a cauza corpurilor o deformaţie prin forfecare, după cum este

indicat prin linia de centru distorsionată în figura 3.8. Punctele de pe pe suprafaţa de contact vor

suporta deplasări tangenţiale ux şi uy faţa de punctele de la distanţă T1 şi T2 în regiunea

nedeformată a fiecărui corp. În mod clar, dacă nu există mişcare cu alunecare dintre cele două

corpuri, trebuie să existe măcar un punct la nivel de interfaţă unde suprafeţele se deformează fără

mişcare relativă; dar aceasta nu înseamnă că nu există alunecare în cadrul ariei de contact. De

fapt se va observa că efectul unei forţei tangenţiale, cu amplitudinea mai mică decât forţa limită

de frecare (Q<µP) este de a cauza o mişcare relativă mică, referindu-se la fenomenul de „slip”

sau „micro-slip”, ce apare la nivel de suprafaţă. Restul interfeţei se deformează fără mişcare

relativă şi în astfel de regiuni există aderenţă sau „stick”.

Pentru a putea analiza trebuie considerate condiţiile care guvernează fenomenele de „stick” și

„slip”. În figura 3.8 A1 şi A2 semnifică două puncte la nivel de suprafaţă care erau coincidente

înainte de aplicarea forţei tangenţiale. Sub acţiunea forţei, punctele T1 sau T2, la distanţă faţă de

interfaţă, se deplasează efectiv prin deplasări rigide δx1, δy1 şi δx2, δy2 în timp ce punctele A1 şi A2

suportă deplasările elastice ux1, uy1 şi ux2, uy2 relative la punctele T1 şi T2. Dacă deplasările

absolute ale lui A1 şi A2 (relative la O) sunt notate sx1, sy1 şi sx2, sy2, atunci componentele

alunecării dintre A1 şi A2 pot fi scrise: �M � �M� − �M� � ��M� − �M�� − ��M� − �M�� � ��M� − �M�� − ��M� − �M�� (3.28)

O relaţie similară guvernează şi deplasările tangenţiale pe direcţia y. Dacă punctele A1 şi A2 sunt

localizate într-o zonă de „stick”, alunecările (slip) sx şi sy vor fi 0, deci: �M� − �M� � �M� − �M� � �M, �K� − �K� � �K� − �K� � �K

42

Fig. 3.8. Inițierea alunecării (Johnson [1985])

Se poate observa că partea dreaptă a ecuaţiilor anterioare indică deplasările tangenţiale relative

dintre cele două corpuri ca un întreg sub acţiunea forţei tangenţiale. Astfel δx şi δy sunt constante,

independente de poziţia lui A1 şi A2 în cadrul regiunii de „stick”. Dacă cele două corpuri au

aceleaşi module de elasticitate, sunt supuse pe suprafaţa de contact la tensiuni tangențiale egale

în modul dar de semne contrare, avem: ux2=-ux1 şi uy2=-uy1.

Condiţia fără alunecare poate fi declarată astfel: toate punctele de pe suprafaţă din cadrul

regiunii de „stick” suportă acelaşi efort tangenţial.

Acest lucru este de asemenea adevărat când constantele elastice sunt diferite dar deplasările

relative globale δx şi δy sunt atunci divizate inegal între cele două corpuri, Johnson [1985].

În punctele din cadrul regiunii de „stick” tensiunea tangenţială nu poate excede valoarea sa

limită. Considerând legea frecării lui Amontons și un coeficient de frecare cu valoare constantă

µ, această restricţie poate fi declarată prin inegalitatea:

|q(x,y)| ≤ µ|p(x,y)| (3.29)

În regiunile unde suprafeţele alunecă, condiţiile amintite din această inegalitate sunt încălcate, iar

tensiunile tangenţiale sunt legate direct de distribuția de presiuni:

|q(x,y)| = µ|p(x,y)| (3.30)

Direcția tensiunilor de frecare q, trebuie să se opună sensului mișcării de alunecare. Astfel: £��, ��|£��, ��| � − ���, ��|���, ��| (3.31)

43

Ecuaţiile de mai sus, dau condiţiile limit ă care trebuie respectate de tensiunile şi deplasările de

pe suprafața comună de contact.

Dificultatea apare în ce priveşte soluţia acestor probleme, deoarece separarea zonei de contact în

„stick” şi „ slip” nu este cunoscută de la început şi trebuie găsită prin încercări.

În aceste circumstanţe un prim pas este de a considera că nu apare fenomenul de „slip” nicăieri

în zona de contact.

In pasul următor se admite că mișcarea de slip se produce numai în acele regiuni unde tensiunea

tangenţială, determinată în pasul anterior, depăşeşte valoarea limită.

3.3 Contactul elastic dintre două sfere - fără alunecare

Două corpuri sferice aflate în contact sub o forță normală P au o arie circulară de contact a carei

rază este:

� � �3� 4)∗ ��x (3.32)

unde: 1)∗ � 1 − '��)� − 1 − '��)� (3.33)

Presiunea de contact are formă elipsoidală și este dată de ecuația:

"��� � "&��� − ������ (3.34)

Dacă forța tangențială, Q, aplicată în mod subsecvent, cauzează deformații plastice fară

alunecare, atunci din ecuațiile, �M�¢¢¢¢¢ − �M�¢¢¢¢¢ � �M� − �M� � �M șO �K�¢¢¢¢¢ − �K�¢¢¢¢¢ � �K� − �K� � �K,

rezultă ca deplasarea tangențială a tuturor punctelor, din zona de contact, este aceeași.

Dacă forța Q acționează paralel cu axa X, atunci din condiții de simetrie deplasarea tangențială

trebuie să fie la rându-i paralelă cu axa X. Forțele tangențiale sunt radial simetrice în

magnitudine și peste tot paralele cu axa X.

£M��� � £&�1 − �����G�� (3.35)

în care £& � ©ª�«S¬. Deplasarea corespunzătoare, care în acest caz poate fi precis definită, este dată de ecuația:

�¢M � (�2 − '�4¤ £&� (3.36)

Din relația de mai sus se poate obține deplasarea relativă tangențială:

44

�M � �¢M� − �¢M� � ­M8� �2 − '�¤� � 2 − '�¤� � (3.37)

Această relație este indicată prin linie întreruptă în figura 3.10. Deplasarea tangențială este direct

proporțională cu forța tangențială.

Această deplasare reprezintă apropierea normală a două corpuri elastice care variază într-un mod

nonlinear cu încărcarea normală deoarece aria de contact crește odată ce încărcarea crește.

Forțele tangențiale necesare pentru a evita fenomenul de alunecare duc la o teoretic infinită

valoare la periferia cercului de contact (stick) și de aceea microslip-ul este inevitabil la marginea

contactului.

Fig. 3.10 Deplasarea tangențială δx a unui contact circular supus unei solicitări

combinate: forță normală P și forță tangențială Qx; (A) fără alunecare, (B) cu alunecare la

periferia contactului (Johnson [1985])

3.4 Contactul elastic dintre două sfere – alunecare parțială

Tehnica lui Cattaneo se aplică și în cazul sferelor în contact. Simetria amintită mai sus, sugerează

ca zona de „stick” în acest caz poate fi circulară și concentrică cu cercul de contact. În punctul de

alunecare unde doar două puncte în contact sunt blocate, distribuția forțelor tangențiale este:

£′��, �� � §"��, �� � "&��� − ����� (3.38)

În punctul de alunecare deplasarea totală δx este doar dublul alunecării relative sx pe marginea

contactului.

3.5 Concluzii

În cadrul acestui capitol au fost prezentate elemente teoretice esențiale și fundamentale

continuării studiilor prezentei teze și elaborării modelelor numerice de calcul ale uzurii în

condiții de alunecare parțială evidențiate în următoarele capitole.

45

Au fost sublinitate următoarele elemente de teoria contactului cu frecare punându-se în special

accent pe cazul alunecării parțiale:

1. Alunecarea pentru cazul corpurilor elastice neconforme;

2. Începutul alunecării la corpurile elastice;

3. Alunecarea cilindrului pe direcția perpendiculară axei sale pentru cazul 2D;

4. Alunecarea unei sfere atât pentru cazul alunecării totale cât și pentru cel al alunecării

parțiale;

5. Generalizarea modelului Cattaneo-Mindlin propusă de Ciavarella [1998] și Jager

[1999].

46

4. MODELAREA NUMERIC Ă A UZURII PENTRU CONTACTUL SFERĂ-PLAN ÎN CONDI ȚII DE

ALUNECARE PARȚIAL Ă

4.1 Introducere

În multe aplicații ale ingineriei mecanice forța normală la corpurile în contact rămâne

cvasiconstantă în funcție de timp, în timp ce forța tangențială variază ciclic. Fenomenul de

„ fretting” apare atunci când există o asemenea încărcare asupra corpurilor în contact și forța

tangențială oscilatorie este insuficientă pentru a genera alunecarea totală.

Alunecarea parțială la piesele mecanice apare în condiții de vibrații de mică amplitudine, și în

toate cazurile, regiuni de microalunecare se formează la limita contactului. Alunecarea parțială

este caracterizată de prezența celor două zone de stick, și respectiv de slip. Condiția necesară

deja menționată pentru a se realiza alunecare parțială este Q ≤ µP, unde în cazul de față Q și P

reprezintă forța tangențială, respectiv normală aplicată contactului, și µ reprezintă coeficientul de

frecare.

4.2 Ipotezele modelului numeric

Se consideră două corpuri elastice în contact asupra cărora acționează, în planul XZ, o forță

normală P și o forță tangențială Q(t).

Pentru a evita alunecarea totală și a rămâne în domeniul alunecării parțiale, se consideră

îndeplinită condiția Q(t) ≤ µP, unde µ reprezintă coeficientul de frecare și este admis constant pe

parcursul simulării.

Analiza numerică a evoluției presiunilor din contact la interfața dintre sferă și semispațiul elastic

în timpul fenomenului de fretting, se realizează considerând că particulele de uzură sunt

înlăturate de la nivelul contactului. Materialul uzat, eliminat, nu are un alt efect decât acela de a

modifica geometria de contact. Analiza ilustrează că presiunea diferă considerabil de cea definită

de Hertz după efectuarea mai multor cicluri de uzură.

În ce privește rugozitatea, pentru a simplifica modelul, aceasta este aplicată unui singur corp

solid dintre cele două în contact. La începutul simulării, rugozitatea este suprapusă peste funcția

de separație a celor două corpuri în contact.

47

Fig. 4.1 Geometria contactului

Având în vedere că modelul numeric consideră și suprafețe rugoase în contact cu un număr mare

de asperități, presiunea de contact depășește limita elastică a multor materiale. Pentru a evita

aceste vârfuri de presiune s-a asumat folosirea unui material elastic-perfect plastic. Presiunea

este limitată la o valoare predeterminată de 4500MPa. Această valoare este calculată ca fiind de

3 ori limita de curgere a unei largi categorii de oțeluri utilizate în confecționarea organelor de

mașini care funcționează sub solicitări de contact concentrat.

4.3 Calculul distribu ției de presiuni normale și tensiuni tangențiale

Având în vedere că se folosesc ipotezele semispațiului elastic curburile celor două corpuri pot fi

reprezentate printr-un indentor echivalent și un semispațiu elastic.

Ecuațiile analitice pentru rezolvarea problemei distribuției de presiuni normale sunt date de

Crețu [2009]. Atât ecuația geometrică, ecuația integrală a contactului cât și ecuația de echilibru

au fost deja enunțate în capitolul 2 al acestei teze.

De asemenea condițiile de nepenetrare și neadeziune se aplică (ecuațiile 2.50 și 2.51 din

capitolul 2).

Pentru rezolvarea numerică a ecuațiilor 2.36 - 2.38, a fost folosită forma discretă, 2.47 - 2.49.

Rezolvarea lor s-a efectuat folosind metoda Gradientului Conjugat și a Transformatei Fourier

descrisă de asemenea în capitolul 2.3.3.

Problema tensiunilor tangențiale a fost rezolvată folosind modelul Cattaneo-Mindlin, dezvoltată

pentru cazul a două corpuri elastice în contact și solicitate simultan de forța normală P și forța

tangențială ­M cu respectarea condiției ­M ≤ §�.

Condiția anterioară asigură echilibrul static și lipsa alunecării totale.

Alunecarea în mod invariabil pornește la marginea contactului, și după Cattaneo [1938],

tensiunile tangențiale sunt considerate ca fiind o suprapunere a unei componente cu alunecare

totală și o parte corectivă £∗���, diferită de zero doar în zona de stick.

48

Fig. 4.2 Schematic – aria de contact sferă-plan

Componenta tensiunilor tangențiale pentru cazul alunecării totale este dată de Johnson [1985]: £��, �� � §"��, �� (4.5)

Tensiunile tangențiale pentru alunecarea parțială sunt apoi calculate introducând termenul

corectiv q∗�x�: £��, �� � §"��, ��, � ∈ w�I6a (4.6)

£��, �� � §"��, �� � £∗��, ��, � ∈ w�`6±H (4.7)

Considerând £′���, ca fiind tensiunile tangențiale în zona de slip și £′′���, ca fiind tensiunile

tangențiale în zona de stick și folosind relațiile lui Hertz pentru distribuția de presiuni normală

obținem:

£′��, �� � §"��, �� � §"& /1 − ����0�/� , � ≤ � (4.8)

£′′��, �� � −§ �� "& /1 − ����0�/� , � ≤ � (4.9)

£′′��, �� � 0, � > � (4.10)

unde,

"& � 3�2(�� �"�²�O��²�ℎ²�³�O��ăV��OVă� (4.11)

49

Pentru un contact circular neted, zona de stick este localizată în centrul contactului hertzian.

Pentru un identor sferic pe un semispațiu elastic zona de stick de rază c poate fi obținută cu

relația (Johnson [1985]):

�� � �1 − ­§�� (4.12)

Sunt date de asemenea și expresiile alunecării. Datorită tensiunilor tangențiale apare și o micro-

alunecare pe direcția Y, care poate fi neglijată, (Johnson [1985]).

Pentru aprecierea alunecărilor au fost considerate relațiile:

�M ≈ 3§�16¤� �2 − '�¶/1 − 2( ����O� ·��¸0 /1 − 2 ����0 � 2�(� /1 − ����0��¹ (4.13)

�K ≈ 0 (4.14)

Validarea modelului numeric pentru calculul presiunilor normale și tensiunilor tangențiale a fost

făcută folosind un material propus de Kasarekar [2008] pentru ambele corpuri în contact și

rezultatele obținute sunt identice.

Materialul propus este un aliaj din aluminiu Al2024 având proprietățile elastice:

E=72.4 Gpa și ν=0.3.

Raza bilei este R=800mm și forțele aplicate sunt P=7000N și ­M=3063N.

Presiunea maximă hertziană este pH=150MPa și raza contactului �º=4.72mm.

Valori similare au fost obținute folosind programul numeric �cSM=149.62MPa și a=4.694mm.

În figurile următoare se prezintă distribuția de presiuni normală și cea a tensiunilor tangențiale,

precum și separația inițială, fără uzură, dintre cele două corpuri în contact.

Fig. 4.3 Distribuția de presiuni (3D)

50

Fig. 4.4 Distribuția tensiunilor tangențiale (3D)

Fig. 4.5 Distribuția de presiuni și tensiuni tangențiale (2D)

4.4 Generarea suprafeței

Calculele numerice au fost realizate folosind atât suprafețe netede cât și rugoase ale celor două

corpuri în contact. Într-o primă situație rugozitatea suprafeței a fost introdusă folosind o soluție

analitică, o combinație de funcții sinus și cosinus descrise de Crețu [2005, 2006, 2009].

Frecvența acestor funcții poate fi diferită în funcție de direcția X sau Y. A fost folosită

următoarea relație:

6E � 4 × cos ·(2 × 4 × �E × tan��K�¸ × �O� ·(2 � (2 × 4 × �6 × tan��M�¸ (4.15)

După cum a fost deja menționat, rugozitatea a fost suprapusă unui singur corp și celălalt a fost

considerat ca fiind neted. Parametrii considerați în ecuația 4.11 au următoarele valori:

aplitudinea cSM � 0.2μV, �M � 5.7° considerând axa x – O – x și �K � 1° considerând axa y – O – y.

De asemenea a fost introdusă în simularea numerică și o suprafață generată aleatoriu, de tip

Gaussian descrisă de Urzică [2010]. Metoda folosește un generator de numere pentru a crea o

matrice de intrare ca o primă reprezentare a rugozității Gaussiene cu media zero și deviația

standard unitară. Funcția de autocorelație a fost asumată a avea o formă exponențială. Matricea

ce conține înălțimile rugozității a fost obținută prin transformarea liniară a matricei de intrare. În

ce privește dimensiune rugozității folosite, această a fost impusă ca rugozitate medie

51

Ra=0.01µm. În figurile 4.6 și 4.7 se pot vedea comparativ distribuțiile de presiuni și de tensiuni

tangențiale pentru suprafețe netede și suprafețe rugoase.

Fig. 4.6 Distribuția de presiuni și tensiuni tangențiale – suprafață netedă

Fig. 4.7 Distribuția de presiuni și tensiuni tangențiale – suprafață rugoasă, distribuție simulată

prin funcții trigonometrice

Fig. 4.8 Distribuția de presiuni și tensiuni tangențiale – suprafață rugoasă, distribuție aleatorie

Gaussiană

4.5 Evoluția uzurii

După evaluarea distribuției de presiuni și tensiuni tangențiale uzura este calculată cu ajutorul

metodei propuse de Goryacheva [2001].

52

Pentru modelul numeric a fost elaborat un algoritm pentru studiul evoluției profilului suprafeței

și al presiunii. Figura 4.10 prezintă acest algoritm.

i. Inițial este calculată distribuția de presiuni considerând constantele elastice ale

materialului și geometria de proiect sau măsurată a profilului.

ii. Folosind datele din i. sunt determinate tensiunile tangențiale și alunecările în zona de slip.

iii. Valorile alunecărilor din ii. sunt folosite pentru a calcula uzura locală la un singur ciclu.

iv. Uzura locală este apoi suprapusă separației inițiale și presiunea de contact este

recalculată.

Acest ciclu se repetă până se ajunge la valoarea numărului de cicluri deja predefinită.

Fig. 4.9 Algoritmul de calcul al evoluției a uzurii

4.6 Rezultate numerice

Rezultatele care urmează au fost obținute pe baza următoarelor date de intrare: P � 50N (forța normală); ­ � 20R (forța tangențială); § � 0.5 (coeficient de frecare); ) � 208¤�� (modulul lui Young); ¥ � 0.3 (coeficietul lui Poisson).

53

Pentru a simplifica modelul, în cadrul acestei investigații, coeficientul de uzură QÅ � 7 ×10G�x��G� (Stowers [1973]) a fost menținut constant.

Analizele numerice s-au efectuat considerând trei tipuri de suprafețe:

i. Suprafețe netede;

ii. Suprafețe rugoase simulate prin funcții trigonometrice;

iii. Suprafețe rugoase simulate aleatoriu, de tip Gaussian.

Evoluțiile rezultate pentru distribuțiile de presiuni de contact și tensiuni tangențiale sunt arătate

în figurile 4.11-4.13.

Aceste rezultate indică faptul că presiunea de contact se schimbă în mod esențial datorită uzurii.

Există o creștere în zona de stick și o descreștere în zona de slip acolo unde alunecarea și uzura

apar. Cel mai mare vârf de presiune în cazul suprafețelor netede apare la limita zonei de stick

după terminarea numarului maxim de cicluri impus inițial, 30000. Un comportament similar s-a

putut observa și în cazul distribuției tensiunilor tangențiale.

Fig. 4.10 Evoluția distribuției de presiuni și tensiuni tangențiale datorită uzurii (suprafețe netede)

Fig. 4.11 Evoluția distribuției de presiuni și tensiuni tangențiale urmare uzurii (suprafețe rugoase

simulate cu funcții trigonometrice)

54

Fig. 4.12 Evoluția distribuției de presiuni și tensiuni tangențiale urmare uzurii (suprafețe rugoase

Gaussiene)

Simulările pentru cazul suprafețelor rugoase au fost făcute pâna la 7000 de cicluri.

După acest număr presiunea și alunecarea se mențin la valori aproape identice și conduc la o

comportare similară cu cel al suprafețelor netede.

În figurile 4.14 – 4.16 este prezentată evoluția separației celor doua suprafețe în contact.

După cum se poate observa, valori maxime ale uzurii au loc aproximativ la mijlocul zonei de slip

pentru ambele tipuri de suprafețe, atât rugoase cât și netede.

Fig. 4.13 Evoluția separației datorită uzurii la suprafețe netede

55

Fig. 4.14 Evoluția separației datorită uzurii la suprafețe rugoase Gaussiene distribuite aleatoriu

Fig. 4.15 Evoluția separației datorită uzurii la suprafețe rugoase simulate prin funcții

trigonometrice

Uzura la un singur ciclu este direct proporțională cu presiunea normală și cu alunecarea. Aceast

lucru conduce la faptul că valoarea maximă a uzurii se află la mijlocul zonei de slip. Această

zona este cea care suportă rata cea mai mare de uzura la începutul ciclului. Acest fapt este valid

pentru suprafețele netede. În cazul suprafețelor rugoase uzura are loc mai întâi pe asperități acolo

unde sunt localizate vârfurile maxime de presiune. După un anumit număr de cicluri (în cazul de

față 7000), asperitățile în zona de slip sunt uzate și materialul este înlăturat. Pentru alte noi

cicluri, adică peste 7000, comportamentul este similar între suprafețele netede și cele rugoase.

După un anumit număr de ciclu, rata uzurii începe să devină constantă aproape în orice punct din

zona de slip. Graficele evoluției ratei uzurii se pot observa în figurile 4.17 – 4.19, pentru toate

cele 3 situații simulate.

56

Fig. 4.16 Evoluția ratei uzurii la suprafețele netede

Fig. 4.17 Evoluția ratei uzurii la suprafețele rugoase Gaussiene distribuite aleatoriu

O alta observație importantă legată de diferența dintre o suprafața rugoasă și una neteda se referă

la evoluția ariei de contact. Aria de contact pentru ambele tipuri de suprafețe suferă o creștere

datorită uzurii. În cazul suprafețelor rugoase, această creștere este mult mai abruptă, dar după un

anumit număr de cicluri ajunge la o stabilitate similară suprafețelor netede. Acest lucru se poate

observa în figura. 4.20.

57

Fig. 4.18 Evoluția ratei uzurii la suprafețele rugoase simulate cu funcții trigonometrice

Fig. 4.19 Evoluția razei ariei de contact datorită uzurii

Aceeași simulare a fost efectuată pentru cazul suprafețelor netede, folosind un coeficient de

frecare variabil liniar având o valoare constantă de 0.5 în zona de stick și crescând liniar în zona

de slip până la o valoare de 0.8 la marginea ariei de contact. După cum se poate observa în

figurile 4.21-4.24 există niște mici diferențe, dar care după un anumit număr de cicluri devin

nesemnificative.

O contribuție mai mare a coeficientului de frecare variabil poate fi observată la începul simulării

când are loc o creștere a ratei de uzură. Această nouă condiție limită afectează mai întâi valorile

alunecării și apoi cele ale uzurii în zona de slip.

Mai multe observații au putu fi făcute:

i. Vârfurile de presiune sunt mai mai mari la limita dintre stick și slip;

ii. Presiunea crește mai mult în zona de stick și scade mai mult în zona de slip;

iii. S-a putut observa și o schimbare mai mare a separației dintre cele două corpuri în

contact;

iv. De asemenea, o diferență prea mare între cele două valori extreme ale coeficientului de

frecare duce la o linearizare a valorilor alunecării.

58

Fig. 4.20 Distribuția de presiuni – comparație considerând un coeficient de frecare µ variabil

Fig. 4.21 Distribuția de tensiuni tangențiale – comparație considerând un coeficient de frecare µ

variabil

Fig. 4.22 Evoluția ratei uzurii – comparație considerând un coeficient de frecare µ variabil

59

Fig. 4.23 Evoluția separației – comparație considerând un coeficient de frecare µ variabil

Goryacheva [2001] nu descrie nicio schimbare a dimensiunii zonei de stick odată cu creșterea

numărului de cicluri. Dar în realitate, după cum poate fi observat în figurile 4.25 – 4.26, datorită

deformărilor plastice zona de stick se mărește. Acest lucru se datorează vârfurilor de presiune de

la trecerea dintre zona de stick și cea de slip. Acest aspect este menționat și de Kasarekar

[2007].

Fig. 4.24 Evoluția distribuției de presiuni datorită uzurii pentru o suprafață netedă și una rugoasă

considerând un material elastic-perfect plastic

60

Fig. 4.25 Evoluția disitribuției de presiuni pentru o suprafață rugoasă – grafic comparativ pentru un material elastic/elastic-perfect plastic

4.7 Concluzii

1. În cadrul acestui capitol s-a prezentat un model numeric pentru calculul uzurii în condiții

de alunecare parțială pentru contactul sferă-plan introducând atât suprafețe nedete cât și

suprafețe rugoase.

2. S-a scos în evidență influența presiunii asupra uzurii și efectele acesteia asupra:

distribuției de presiuni, distribuției de tensiuni tangențiale, ratei de uzură, separației dintre

cele două solide și ariei de contact obținute după un număr N de cicluri oscilatorii ale

forței tangențiale.

3. S-au evidențiat mai multe aspecte referitoare la influența rugozității (simulate prin funcții

trigonometrice dar și distribuite aleatoriu Gaussian) asupra uzurii în condiții de alunecare

parțială, de remarcat fiind:

- uzura are loc pe vârful asperităților în cazul suprafețelor rugoase datorită presiunii

ridicate pe aceste vârfuri în comparație cu suprafețele netede unde uzura are loc la

mijlocul zonei de slip;

- aria de contact crește mult mai rapid în cazul suprafețelor rugoase dar după un anumit

număr de cicluri se stabilizează și comportamentul este similar cu cel al suprafețelor

netede;

4. S-a evidențiat influența comportamentului elastic-perfect plastic asupra dimensiunii zonei

de stick.

5. A fost propusă o soluție analitică pentru un coeficient de frecare variabil în zona de slip și

folosind modelul numeric s-au scos în evidență influențele acestuia asupra uzurii.

Pe baza cercetărilor și studiilor descrise în acest capitol au fost redactate și prezentate la

conferințe următoarele lucrări științifice:

61

- „Wear Investigation of Rough Bodies in Contact under Partial Slip Conditions”, Gavrilă

și Crețu [2012], lucrare publicată în „MECHANICAL TESTING AND DIAGNOSIS”

ISSN 2247 – 9635, 2012 (II), Volume 3, 44-54.

- „Wear Evolution in Circular Contacts in Partial Slip”, Gavrilă și Crețu [2012], lucrare

prezentată în cadrul conferinței internaționale ACME’12 și publicată în „BULETINUL

INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAȘI”, Tomul (LVIII), Fasc. 2.

- „ Influence of Roughness and Friction Coefficient on the Contact Wear in Partial Slip

Conditions”, Gavrilă și Crețu [2012], lucrare prezentată în cadrul conferinței

internaționale MECAHITECH’12, și publicată în „TRANSACTION ON CONTROL AND

MECHANICAL SYSTEMS”, Vol. 2, No. 3, pp. 115-121, mar., 2013.

62

5. MODELAREA NUMERIC Ă A UZURII PENTRU CONTACTUL ROAT Ă-ȘINĂ ÎN CONDIȚII DE

ALUNECARE PARȚIAL Ă

5.1 Introducere

În contactele cu rostogolire din aplicațiile ingineriei mecanice, interacțiunea dintre cele două

corpuri se realizează prin intermediul a două zone: stick și slip (Johnson [1985], Kimura [2002],

Alwahdi [2005], Vasic [2011], etc.). Chiar dacă forțele tangențiale nu sunt suficient de mari

pentru a îndeplini condițiile alunecării totale, micro-alunecările prezente la nivelul contactului au

un rol critic în ce privește uzura și oboseala de contact.

Există o legătură directă între forța de tracțiune și dimensiunile zonelor de stick și slip, după cum

se poate observa în figura 5.1.

Alunecarea longitudinală și forțele tangențiale cresc datorită existenței și creșterii zonei de slip

din zona contactului unde se realizează transmiterea forței de tracțiune. Mărimea zonei de slip

este proporțională cu forța de tracțiune și își realizează creșterea în detrimentul zonei de stick.

Când forța de tracțiune atinge valoarea ei maximă, zonă de stick dispare și ne aflăm în prezența

unei alunecări totale (Olofsson [2009]).

Fig. 5.1 Relația dintre forța de tracțiune și alunecare pentru contactul roată-șină și influențele

asupra zonelor de stick și slip (Olofsson [2009])

63

5.2 Descrierea ipotezelor modelului numeric

Distribuția de presiuni este calculată folosind o șină UIC 60 cu înclinarea 1/40 și un profil al roții

S1002.

Distanța dintre șine este 1435mm, la interiorul roților 1360mm iar raza roții 460mm (figura 5.2).

Fig. 5.2 Dimeniunile principale ale ansamblului roată-șină

Figura 5.3 prezintă schematic modelul folosit în analiza numerică dezvoltată: două corpuri solide

elastice în contact, reprezentate de un cilindru ce se rostogolește la o viteză constantă V peste o

șină deja ondulată.

Fig. 5.3 Reprezentare schematică a sistemului de coordonate roată-șină

Două sisteme de coordonate sunt considerate:

64

- Sistemul global de coordonate necesar pentru definirea lungimii de rostogolire, a

ondulației și de asemenea folosit pentru a descrie efectele dinamice ale încărcării

datorate ondulației;

- Sistemul local de coordonate necesar pentru a defini parametrii contactului

concentrat, distribuția presiunii, tensiunile tangențiale, viteza alunecării și uzura

locală în zona de slip.

Ondulația inițială este suprapusă peste separația contactului roată-șină.

5.3 Calculul distribu țiilor de presiuni și tensiuni tangențiale

Calculul distribuției de presiuni a fost efectuat tot prin metoda descrisă în capitolul 2, folosind

softul de calcul NON-HERTZ, dezvoltat de Crețu [2003, 2005].

- geometria contactului concentrat roată-șină, pe baza căreia s-a putut calcula analitic

funcția tridimensională a separației dintre cele două solide elastice;

- proprietățile de material;

- încărcarea normală;

- coeficientul de frecare pe direcția de rostogolire;

- rugozitatea suprafețelor.

Modelul a fost folosit pentru a studia distribuția de presiuni dintre roată și șină pentru diferite

deplasări laterale ale osiei față de calea de rulare.

Separația introdusă în programul de calcul este cea pentru ansamblul roată-șină menționat în

subcapitolul 5.2.

Atât profilul roții cât și cel al șinei sunt aproximate prin funcții polinomiale descrise de Popovici

[2010]. Aceste funcții sunt descrise în anexa 3 a prezentei teze.

În figura 5.4 se pot vedea profilele introduse polinomial atât cel al roții S1002 cât și cel al șinei

UIC60, fără deplasare laterală.

Fig. 5.4 Profilele contactului roată-șină

65

Fig. 5.5 Separația contactului roată-șină

Fig. 5.6 Punctele de contact și razele de curbură pentru mai multe deplasări laterale (Popovici

[2010]

Fig. 5.7 Distribu

În timpul funcționării osia se deplaseaz

contact. Preluând datele de intrare indicate în Popovici [2010] au fost calculate distribu

presiuni pentru mai multe deplasă

5.7.

După cum s-a specificat în introducere, pentru calculul alunec

teoria lui Carter [1926] pentru cazul 2D. Distr

secționarea distribuției de presiuni 3D corespunz

Uzura se dezvoltă în zona de slip, unde exist

calculate pentru acestă zonă folosind rela

66

Distribuțiile de presiuni în funcție de deplasarea laterală

rii osia se deplasează lateral față de șină ducând la modificări ale presiunii de

contact. Preluând datele de intrare indicate în Popovici [2010] au fost calculate distribu

presiuni pentru mai multe deplasări laterale. Unele rezultatele sunt exemplificate în figurile 5.6

a specificat în introducere, pentru calculul alunecării și al apoi al uzurii s

teoria lui Carter [1926] pentru cazul 2D. Distribuția de presiuni 2D a fost preluat

iei de presiuni 3D corespunzătoare cazului ∆y=0 (fără deplasare lateral

în zona de slip, unde există alunecare, iar tensiunile tangen

ă folosind relația 5.1: £Æ��, �� � μ"��, ��

ie de deplasarea laterală

ări ale presiunii de

contact. Preluând datele de intrare indicate în Popovici [2010] au fost calculate distribuțiile de

ri laterale. Unele rezultatele sunt exemplificate în figurile 5.6-

i al apoi al uzurii s-a folosit

ia de presiuni 2D a fost preluată prin

ă ă deplasare laterală).

alunecare, iar tensiunile tangențiale au fost

(5.1)

67

Fig. 5.8 Schema de calcul și distribuția tensiunilor tangențiale (2D)

5.4 Calculul micro-alunecării și uzurii

În cadrul acestui subcapitol problema de mecanica contactului a sistemului roată-șină este

simplicată la cazul 2D, o roată de rază Rw rostogolindu-se la o viteză constantă V peste o șină

ondulată sinusoidal. Metodologia folosită pentru calculul alunecării și uzurii în zona de slip, este

cea propusă de Wu [2005].

5.5 Rezultate numerice

Pentru evaluarea uzurii, calculele s-au făcut cu următoarele date de intrare:

- Componenta dinamică a forței normale Fd, 25 kN și 40kN;

- Componenta statică Fs, 100kN;

- Lungimea de undă o ondulației λ, 25mm, 40mm și 60mm;

- Amplitudinea ondulației A, 10µm;

- Coeficientul de uzură K, 2.5 × 10GÇ kg/Nm;- Forța tangențială datorată tracțiunii și considerată constantă Q, 15kN;- Coeficientul de frecare µ, 0.3;- Defazajul forței dinamice ÈÉ, -45°, -90°,-135° și -180°.

Semnul defazajului a fost considerat în asa fel încât, forța dinamică să atingă valoarea minimă pe

crestele ondulației și respectiv valoarea maximă pe văile acesteia.

Pentru cuplul de forțe dat, valoare alunecării longitudinale ξ a fost considerată constantă,

aproximativ 0.1%. Variațiile lui în funcție de defazajul forței dinamice se poate vedea în figura

5.11.

68

Variația uzurii ∆�, după o singură trecere a roții se poate observa în figurile 5.12-5.17.

Rezultatele sunt evidențiate compartiv pentru diferite valori ale forței dinamice combinate cu

diferite lungimi de undă ale ondulației inițiale.

Fig. 5.11 Variația alunecării longitudinale ξ pentru Fs = 100kN, Fd =40kN și diferite defazaje

69

Fig. 5.12 Uzura ∆Ê, pentru Fd = 25kN și Ë = 25mm

Fig. 5.13 Uzura ∆Ê, pentru Fd = 25kN și Ë = 40mm

70

Fig. 5.14 Uzura ∆Ê, pentru Fd = 25kN și Ë = 60mm

Fig. 5.15 Uzura ∆Ê, pentru Fd = 40kN și Ë = 25mm

71

Fig. 5.16 Uzura ∆Ê, pentru Fd = 40kN și Ë = 40mm

Fig. 5.17 Uzura ∆Ê, pentru Fd = 40kN și Ë = 60mm

72

Pentru o mai bună vizualizare în figurile 5.12 – 5.17 a fost reprezentată și ondulația inițială a

șinei.

Important este faptul că uzura apare pe toată suprafața șinei, și datorită efectelor dinamice are

valori mai mari în anumite poziții.

Comparând figurile se poate observa că uzura este mai mare pentru lungimi de undă ale

ondulației mai mici și crește odată cu creșterea amplitudinii componentei dinamice a forței

normale, dar totuși relația dintre forță și uzură este neliniară.

Se poate de asemenea observa că pentru defazajul de 180° ondulația nu ar trebui să se modifice

datorită faptului ca uzura prezintă valorile mai mari în afara văilor, pe când în cazul defazajului

de 135° uzura este maximă în aceste zone. Faptul că există zone în care uzura este mai mare în

afara văilor, acolo unde forța normală ar trebui să aibă valori mai mari datorită efectelor

dinamice, se datorează combinației mai multor factori explicați de Wu [2005]:

- uzura apare doar în zona de slip;

- uzura este un proces de acumulare continuu pe perioada rostogolirii;

- forța dinamică și geometria contactului variază cu poziția ondulației și astfel variază

și viteza de alunecare și frecarea.

În figura 5.18 se poate observa ca datorită defazajul forța normală nu are întotdeauna valoarea ei

maximă pe mijlocul văii ondulației.

Fig. 5.18 Variația sarcinii normale în funcție de componenta dinamică și defazaj

73

5.6 Concluzii

În acest capitol s-a prezentat un model numeric pentru calculul uzurii la contactul cu rostogolire

roată-șină în condiții de alunecare parțială, considerând suprafața șinei cu o ondulație inițială.

Pe baza modelului numeric s-au scos in evidență:

1. Distribuția (3D) de presiuni pentru contactul roată-șină pentru diverse deplasări laterale

ale osiei față de calea de rulare;

2. Distribuția (2D) de tensiuni tangențiale pe suprafață având la baza teoria lui Carter

[1926];

3. Dimensiunile zonelor de stick și slip în funcție de forța de tracțiune și alunecarea

longitudinală;

4. Viteza de alunecare și uzura generată în zona de slip atât în sistemul local de coordonate

al contactului concentrat cât și în cel global raportat la ondulația inițială;

5. Efectele dinamice determinate de prezența ondulației, asupra uzurii, la o singură trecere a

roții.

Pe baza cercetărilor și studiilor descrise în acest capitol au fost redactate și prezentate la

conferințe următoarele lucrări științifice:

- „A numerical method to predict wear evolution in wheel-rail contact under partial slip

conditions”, Gavrilă și Crețu [2013], lucrare prezentată în cadrul „WORLD

TRIBOLOGY CONGRESS”, 8-13 September 2013, Torino, Italy și publicată în

PROCEEDINGS OF WTC 2013.

- „Wear prediction in wheel-rail contact under partial slip conditions”, Gavrilă, Crețu și

Benchea [2014], lucrare prezentată în cadrul ACME’14 și publicată de Trans. Tech.

Publications Inc. (Switzerland) în „Applied Mechanics and Materials”.

74

6. STUDIUL EXPERIMENTAL AL FEMONENULUI DE „STICK-SLIP”

6.1 Standardul VDA 230-206

Standardul german VDA 230-206, ce are ca țintă investigarea comportamentului de stick-slip la

perechi de materiale în contact, reprezintă în momentul de față etalonul în domeniul testării

acestui fenomen. Respectând acest standard, compania Ziegler Instruments a dezvoltat un

intrument de masură avansat, ce este folosit și acceptat la scară largă în special în domeniul

autovehiculelor.

6.1.1 Principiul de funcționare Elementul cheie al principiului de funcționare este reprezentat de un arc lamelar ce are rolul de a

amplifica fenomenul de stick-slip si de al face mai ușor sesizabil. După cum se poate vedea în

figura 6.1 arcul este încastrat în corpul principal al mașinii iar la celălalt capăt este conectat la un

dispozitiv pe care se montează proba ce urmeaza a fi testată. Unul din materialele ce urmează a fi

testate este montat la capătul arcului iar celălalt material este montat pe un platou ce va efectua

mișcări de translație repetitive. Contactul dintre arc și platou se realizează prin aplicarea unei

forțe constante FN. Prin mișcarea platoului arcul este deformat elastic la încovoiere de către forța

de frecare statică (de adeziune) dintre cele două materiale. Atunci când forța elastică de revenire

a arcului devine egală sau superioară forței de adeziune se realizează mișcare relativă și frecarea

statică trece în frecare dinamică. Imediat ce forța elastică de revenire a arcului devine inferioară

forței de frecare dinamică, mișcarea relativă dispare și se realizează din nou condiția de frecare

statică. Așadar, în zona de contact, perechea de materiale este solicitată de o forță de frecare a

cărei amplitudine alternează periodic între forța de frecare statică de adeziune si cea de frecare

cinetică.

Diferența dintre cele două forțe este esențială pentru fenomenul de stick-slip. Atât deformarea

elastică a arcului cât si accelerația sunt introduse într-un algoritm special de evaluare.

Accelerația maximă, amplitudinea impulsului, rata impulsului (dată frecvența vârfurilor de

accelerație pentru o anumită deplasare prestabilită) și rata energetică (calculată folosind valoarea

forței de frecare și a forței de revenire a arcului) sunt determinate.

Algoritmul calculează un așa numit „risk priority number” ce clasifică riscul în trei categorii:

critic (roșu), necritic (verde) și un risc de mijloc (galben).

Pe baza acestui principiu, dispozitivul se poate folosi pentru o diversitate de materiale, ca de

exemplu piele, piele sintetică, elastomeri, metale, sticlă, textile, lemn, etc.

75

Fig. 6.1 Schema dispozitivului de testare [www.belotti-online.it]

6.1.2 Descrierea dispozitivului de testare Dispozitivul pentru determinarea efectului de stick-slip este format dintr-un platou ce poate

efectua mișcări de translație. Platoul se poate deplasa la o viteză și distanță impusă și cu o

anumită frecvență. Pe acest platou, este asigurată posibilitatea de a se fixa un material probă ce

urmează a fi testat.

Fig. 6.2 Mașina de testare marca „Ziegler Instruments” [www.mbdynamics.com]

Al doilea material probă, care în timpul testării urmează a fi în contact cu platoul, se fixează pe

dispozitivul conectat la un capăt al arcului lamelar. Arcul de tip lamelă are o suprafață de lucru,

reprezentând zona liberă ce nu este încastrată în dispozitiv și nici conectată la dispozitivul ce

reține proba de 31mm x 50 mm. Arcul este confectionat din oțel de grosime 1.6mm. Forța

normală, cu ajutorul careia materialele sunt puse în contact, este ajustabilă. Aceasta este

transmisă probelor în contact prin intermediul arcului.

76

Fig. 6.3 Dispozitivul de testare pe care se fixează proba, conectat la arc [VDA 230 – 206]

Forța de revenire este generată de deformația elastică a arcului în timpul funcționării. Accelerația

este măsurata la mijlocul arcului, la o distanță de 19mm față de probă. Suportul de testare

conectat la arc, se poate vedea în figura 5.4. Masa acestuia nu trebuie să depășească 50 de grame.

După cum a fost menționat și în subcapitolul anterior, evaluarea riscului de stick-slip se face cu

un ajutorul unui algoritm care generează așa numitul risk priority number abreviat prin

acronimele RPN. Standardul VDA 230-206 oferă urmatoarea relație de calcul.

�R � 2R�³²5S`SÌÍÌ5ÎÌ`6±S � R�³²5S`SaÏI�ÏIÏ6 � R�³²S±±ÌIÌ5S`6Ì4 (6.1)

6.1.3 Procedura de testare Inițial se montează și se fixează epruveta de test pe platou.

Epruveta ce trebuie fixată pe suportul arcului este montată provizoriu. Fixarea ei definitivă se

face cu o forță de pretensionare a arcului de 10N.

Înainte de a se începe testarea se verifică distanța dintre cele două materiale ce urmează a fi în

contact și se reglează eventuale probleme de poziție sau paralelism pentru a evita un contact

defectuos.

La fiecare început de test se setează si verifică punctul zero. Pot apărea deplasări nedorite cu

influență asupra senzorilor de măsură, datorită schimbărilor de umiditate și temperatură.

Reglarea punctului de zero trebuie să se facă cu motorul pornit dar fără a avea probele în contact.

77

Masurătorile se repetă de 3 ori și apoi se face media. Fiecare măsurătoare se realizează pe două

probe teoretic indentice pentru a confirma rezultatul testului. Dacă între cele două probe există o

diferență mai mare de 2 RPN, atunci testul trebuie refăcut.

6.2 Testarea fenomenului de „stick-slip” cu ajutorul tribometrului Pin-Disc

UMTR 2M-CTR

Pentru efectuarea testelor ce vor fi prezentate în capitolele următoare a fost folosit un tribometru

profesional. Acest tribometru a fost adaptat, astfel încât la nivel de concept să fie similar cu cel

descris de standardul VDA 230-206.

6.2.1 Descrierea tribometrului Tribometrul folosit, este de tipul Pin-Disc UMTR 2M-CTR produs de firma CETR – Schaefer.

Acest tribometru profesional oferă diverse posibilități de testare, după cum urmează: determinări

ale forțelor de frecare și a coeficienților de frecare statici și dinamici în mișcare de rotație și

translație pentru diverse combinații de materiale, studiul proceselor de alunecare sacadată (stick

– slip), studiul forțelor de adeziune, studiul proceselor de uzare, determinări de duritate și de

modul de elasticitate prin micro și nano identare, etc.

Pentru testele de față acest tribometru a fost folosit pentru a aplica și controla forța normală din

timpul testării, pentru a controla distanța și viteza de deplasare a platoului și pentru a înregistra

forțele de frecare precum și variația coeficientului de frecare din timpul testării.

Fig. 6.4 Microtribometrul pin-disc UMTR 2M – CTR

6.2.2 Descrierea adaptărilor necesare pentru evaluarea fenomenului de „stick-slip” Au fost necesare mai multe adaptări pentru a putea cuantifica fenomenul și riscul de „stick-slip”

într-o manieră similară cu cea descrisă de standardul VDA 230-206.

78

Fig. 6.5 Schema adaptării f ăcute tribometrului

După cum se poate observa în figura 6.5 elementul cheie al adaptării f ăcute tribometrului este

reprezentat de un arc de tip lamelă, ce are rolul de a amplifica fenomenul de stick-slip. Definirea

sectiunii optime a acestui arc a fost obținută în urma unor teste preliminarii. Dimensionarea lui

este în strânsă legatură cu senzorul de forță folosit, ce are o valoare maximă de măsurare de

500mN. Lamela este confectionată din oțel de arc și are o lățime de 10mm și o grosime de

0.8mm. La 10mm de dispozitivul de fixare al bilei de test a fost montat un accelerometru.

Fig. 6.6 Tribometrul modificat pentru evaluarea „stick-slip”-ului

S-a folosit accelerometrul MMA8451Q, de tip capacitiv, pe trei axe. Acesta este un

accelerometru digital, cu un consum de energie foarte redus având o rezoluție pe 14 biți. Acest

acceleromtru este dotat cu funcții integrate, cu opțiuni flexibile de programare.

Un avantaj foarte mare al acestui accelerometru este dimensiunea lui de doar 3mm x 3mm x

1mm.

79

Fig. 6.7 Accelerometrul MMA8451Q

Fig. 6.8 Placa de dezvoltare „Arduino Uno”

Achiziția datelor de la accelerometru s-a făcut cu ajutorul unei plăci de dezvoltare „Arduino

Uno” conectate la calculator.

„Arduino Uno” este o placă microcontroler bazată pe Atmega328. Această placă are 14 pini

digitali de intrare/ieșire (din care 6 pot fi utilizați ca ieșiri PWM), 6 intrări analogice, un

rezonator ceramic de 16Mhz, o conexiune USB, un „jack” de putere, în afara ICSP, și un buton

de resetare. Această placă de dezvoltare conține tot ceea ce este necesar pentru a susține un

microcontroler, conexiunea ei la calculator făcându-se simplu, prin USB.

80

6.3 Rezultate experimentale

În cadrul acestui subcapitol vor fi prezentate o serie de măsuratori și investigații efectuate pentru

a evalua și cuantifica riscul de apariție a fenomenului de „stick-slip” la diverse perechi de

materiale în contact.

În primul rând, scopul efectuării acestor experimente și măsuratori a fost de a obține un aparat de

măsura și de evaluare a fenomenului de stick-slip pe baza standardului VDA 230-206 folosind

tribometrul profesional și adaptările menționate în capitolul precedent.

Un al doilea scop al acestei părți experimentale, a fost acela de a scoate în evidență elementele ce

influentează din punct de vedere tehnic riscul de stick-slip, ca de exemplu viteza, rugozitatea,

starea suprafeței uscată sau cu lubrifiant, materialul, temperatura, umiditatea, etc.

Având în vedere că dimensiunile și geometria dispozitivului sunt diferite față de cele definite de

standardul VDA 230-206, nu s-a putut folosi scala pentru RPN-uri definită de acest standard.

Evaluarea riscului de „stick-slip” s-a făcut individual prin analizarea graficelor și valorilor

fiecărui parametru măsurat.

6.3.1 Influen ța vitezei asupra riscului de „stick-slip” Testele efectuate au arătat ca viteza de deplasare a platoului reprezintă un factor important atunci

când se evaluează riscul de stick-slip. La contactele uscate, fără lubrifiant, odată cu creșterea

vitezei platoului s-a observat o creștere în amplitudine și variație a tututor parametrilor măsurați.

Pentru acest test au fost folosite:

- O bilă din oțel de diametru Ø6.3 mm, cu rugozitatea Ra = 0.04 µm;

- O placă confeționată dintr-un aliaj de aluminiu AlCu4PbMgMn (EN AW-2007), cu

rugozitatea Ra = 0.2µm;

- Sarcina normală a fost de 400mN.

Comparația a fost făcută pentru două viteze de deplasare a platoului tribometrului, 1mm/s si

respectiv 10mm/s.

81

Fig. 6.9 Evoluția accelerației – contact uscat, V=1mm/s / V=10mm/s, bilă oțel Ra = 0.04µm,

placă aluminiu EN AW2007 Ra = 0.2µm

Fig. 6.10 Evoluția forței de frecare – contact uscat, V=1mm/s / V=10mm/s, bilă oțel Ra =

0.04µm, placă aluminiu EN AW2007 Ra = 0.2µm

82

Fig. 6.11 Evoluția coeficientului de frecare – contact uscat, V=1mm/s / V=10mm/s, bilă oțel Ra

= 0,04µm, placă aluminiu EN AW2007 Ra = 0,2µm

În cazul contactului lubrifiat, efectul este diferit, viteza având o influență benefică în sensul

reducerii riscului apariției stick-slip-ului. Acest lucru va fi prezentat într-un capitol următor când

se va prezenta contactul lubrifiat.

6.3.2 Influen ța regimului de frecare asupra riscului de „stick-slip” Regimul de frecare este dictat de relatia dintre grosimea filmului de lubrifiant si rugozitate.

Pentru contactele concentrate grosimea filmului de lubrifiant depinde esențial de valoarea

vâscozitătii dinamice a lubrifiantului si de viteza relativă dintre suprafețele în contact.

Pentru regimul de frecare mixt, dar în special pentru regimul de frecare limită, natura

materialelor este un parametru important în stabilrea coeficentului de frecare.

Teste efectuate cu modificarea grosimii filmului de lubrifiant

Testele în cazul contactului lubrifiat au fost efectuate folosind două uleiuri diferite: un ulei

hidraulic H46 și un ulei de transimisie aditivat T90 EP2.

Pentru acest test au fost folosite:

- O bilă din oțel de diametru Ø6.3mm, cu rugozitatea Ra = 0,04µm;

- O placă rectificată din oțel cu rugozitatea Ra = 0,04µm;

- Sarcina normală a fost variată între 200mN și 400mN;

- Viteza de deplasare a platoului a fost variată între 1mm/s și 10mm/s.

Testele au fost repetate folosind și o bilă cermică, cu materialul Si3N4 și rugozitatea Ra =

0.03µm.

83

În urma analizei parametrilor măsurați, s-au putut face următoarele observații:

- Riscul fenomenului de stick-slip este mai ridicat la contactele lubrifiate decât la

contactele uscate folosind metoda propusă de standardul VDA 230-206;

- Creșterea vitezei la contactele lubrifiate reduce sau chiar elimină variațiile parametrilor

măsurați (accelerație, forță de frecare, coeficient de frecare) nemaiputându-se sesiza vreo

diferență între contactul uscat și cel lubrifiat;

- Media aritmetică a parametrilor măsurați este similară cu cea a contactului uscat, doar

variațiile în cazul contactului lubrifiat fiind mai mari;

- La viteze mici de deplasare ale platoului, datorită vâscozității substanțial diferite dintre

cele două uleiuri riscul de stick-slip este mai mare la uleiul hidraulic H46 decât la uleiul

de transmisie T90EP2, creșterea vitezei eliminând această diferență.

Fig. 6.12 Evoluția accelerației - Contact uscat/Contact lubrifiat (ulei H46); V=1mm/s; Bilă

oțel, Ra = 0.04µm; Placă rectificată din oțel Ra = 0.04µm; FN = 200mN

84

Fig. 6.13 Evoluția forței de frecare - Contact uscat/Contact lubrifiat (ulei H46); V=1mm/s;

Bilă oțel, Ra = 0.04µm; Placă rectificată din oțel Ra = 0.04µm; FN = 200mN

Fig. 6.14 Evoluția coeficientului de frecare - Contact uscat/Contact lubrifiat (ulei H46);

V=1mm/s; Bilă oțel, Ra = 0.04µm; Placă rectificată din oțel Ra = 0.04µm; FN = 200mN

După cum se poate observa în figurile 6.12 – 6.14 riscul de stick-slip este mai ridicat la

contactele lubrifiate. Acest lucru este datorat faptului că lubrifiantul facilitează alunecare sferei

pe plan în etapa de revenire a arcului.

85

Inițial, în lipsa mișcării platoului, nu există diferență între contactul lubrifiat și cel uscat, datorită

faptului că în contactul lubrifiat nu se formează film de ulei.

Prin punerea în mișcare a platoului, forța de revenire a arcului crește pană ce depășește forța de

adeziune dintre bilă și suprafața în contact. Când forța de revenire a arcului pune în mișcare bila,

acest lucru se realizează cu o anumită viteza ce duce la formarea unui film de lubrifiant ce

facilitează alunecarea. Apoi acest ciclu se repetă.

Acest test a fost repetat și cu alte sarcini normale și viteze de lucru, rezultele fiind confirmate.

Grafice adiționale se pot vedea în anexele aceastei lucrări.

Fig. 6.15 Evoluția Accelerației - Contact lubrifiat (ulei T90EP2)/Contact lubrifiat (ulei H46);

V=1mm/s; Bilă oțel, Ra = 0.04µm; Placă rectificată din oțel Ra = 0.04µm; FN = 200mN

86

Fig. 6.16 Evoluția forței de frecare - Contact lubrifiat (ulei T90EP2)/Contact lubrifiat (ulei

H46); V=1mm/s; Bilă oțel, Ra = 0,04µm; Placă rectificată oțel Ra = 0.04µm; FN = 200mN

Fig. 6.17 Evoluția coeficientului de frecare - Contact lubrifiat (ulei T90EP2)/Contact lubrifiat

(ulei H46); V=1mm/s; Bilă oțel, Ra = 0.04µm; Placă rectificată din oțel Ra = 0.04µm; FN =

200mN

87

Fig. 6.18 Evoluția accelerației - Contact lubrifiat (ulei T90EP2)/Contact lubrifiat (ulei H46);

V=10mm/s; Bilă oțel, Ra = 0.04µm; Placă rectificată din oțel Ra = 0.04µm; FN = 200mN

Fig. 6.19 Evoluția forței de frecare - Contact lubrifiat (ulei T90EP2)/Contact lubrifiat ( ulei

H46); V=10mm/s; Bilă oțel, Ra = 0.04µm; Placă rectificată din oțel Ra = 0.04µm; FN = 200mN

88

Fig. 6.20 Evoluția coeficientului de frecare - Contact lubrifiat (ulei T90EP2)/Contact lubrifiat

(ulei H46); V=10mm/s; Bilă oțel, Ra = 0.04µm; Placă rectificată din oțel Ra = 0.04µm; FN =

200mN

În figurile 6.15 – 6.17 se poate observa că variațiile sunt mai mari pentru uleiul hidraulic H46.

Explicația ce se poate da acestui fenomen este aceea că uleiul hidraulic H46 are o vâscozitate

mică în comparație cu uleiul T90EP2, iar la viteze mici de deplasare ale platoului (și implicit ale

bilei atunci când forța de revenire a arcului o pune în mișcare) nu reușește să formeze un film de

lubrifiant asemănător uleiului de transmisie.

În figurile 6.18 – 6.20 diferența observată la viteze mici (1mm/s) nu mai este vizibilă în cazul

testului cu o viteză mai mare de deplasare a platoului (10mm/s). Acest lucru se explică prin

viteza de deplasare mai ridicată a platoului la care chiar și uleiul hidraulic H46 cu vâscozitate

mai redusă reușește să formeze un film de lubrifiat suficient încât să faciliteze revenirea arcului

într-un mod similar cu cel al uleiului T90EP2.

Pentru a întări această explicație a fost făcut un studiu al vâscozității celor două uleiuri și al

filmului de lubrifiat dintre cele două corpuri în contact pentru fiecare ulei folosit.

Vâscozitatea cinematică a celor două uleiuri este dată în fișa tehnică a acestora pentru pentru

40°C și 100°C. Cu aceste două informații disponibile s-a calculat pentru temperatura ambiantă

de 23°C mai întâi vâscozitatea cinematică și apoi vâscozitatea dinamică necesară calculului

filmului de lubrifiant.

Pentru viteze cuprinse între 4mm/s și 10mm/s, uleiul hidraulic H46 formează o grosime a

filmului similară cu cea formată de uleiul de transmisie T90EP2 pentru viteze cuprinse între

1mm/s și 3mm/s.

89

Pentru viteze inferioare valorii de 4 mm/s uleiul H46 formează un film de lubrifiant cu o grosime

mult inferioară celei asigurate de uleiul T90EP2, care determină regimuri diferite de ungere-

frecare ceea ce poate explica diferențele menționate în ce privește riscul de apariție a

fenomenului de stick-slip.

Important de remarcat este faptul că nu viteza de deplasare a platoului este cea care generează un

film de lubrifiant suficient cât să acopere vârfurile asperităților celor două corpuri în contact. În

figura 6.24 se poate observa că la o viteză de 10mm/s se formează un film de lubrifiant de

aproximativ 0.023 – 0.024µm, prea mic pentru a acoperi vârfurile asperităților. În realitate pentru

intervale mici de timp viteza de deplasare a bilei este mult mai mare, ceea ce duce la grosimi ale

filmului de lubrifiant mai mari de 0.1µm. Acest lucru a fost verificat, făcând integrarea

accelariției în funcție de timp pentru a evalua local variație vitezei de deplasare a bilei. Această

viteză este generată de forța de revenire a arcului. Integrarea accelerației a fost făcută numeric,

folosind metoda trapezului.

În figura 6.26 este prezentat eșantionul pentru care a fost făcută integrarea, adică între secunda

16.43 și 17.8, pentru care a fost obținută o variație a vitezei de ~80mm/s. Aceasta înseamnă că

pentru intervalul verificat bila a avut o variație a vitezei de alunecare de aproximativ 80 de ori

mai mare decât viteza de deplasare a platoului.

Fig. 6.21 Evoluția accelerației – contact lubrifiat ulei H46; bilă oțel Ra=0,04µm; placă oțel Ra =

0,04µm; V1=mm/s – eșantion pentru măsurarea variației vitezei de deplasare a bilei

Teste efectuate cu modificarea naturii materialelor și rugozității suprafețelor

S-au efectuat teste cu diverse încărcări normale și viteze de deplasare având ca materiale

urmatoarele combinații: oțel/oțel, material ceramic/oțel și oțel/aluminiu. Rugozitatea de la

nivelul suprafeței a fost unul din parametrii ce a fost considerat în timpul testării.

Pentru acest test s-au folosit:

- Bilă din oțel, Ø6.3mm cu rugozitatea Ra = 0.04µm;

- Bila ceramică Si3N4, Ø6.3mm cu rugozitatea Ra = 0.03µm;

- Placă din oțel, cu rugozitatea Ra = 1µm;

- Placă din aliaj aluminiu, EN AW 2007 cu rugozitatea Ra = 0.2µm;

- Placa rectificată din oțel cu rugozitatea Ra = 0.04µm.

90

Testele s-au făcut pentru mai multe viteze de deplasare ale platoului cuprinse între 1mm/s și

10mm/s, în combinație cu forțe cuprinse între 200mN și 400mN.

Fig. 6.22 Evoluția accelerației – Contact uscat placă oțel Ra =1µm/placă aluminiu Ra =

0.2µm; V=5mm/s; Bilă oțel, Ra = 0.04µm; FN = 200mN

Fig. 6.23 Evoluția forței de frecare – Contact uscat placă oțel Ra =1µm/placă aluminiu Ra =

0.2µm; V=5mm/s; Bilă oțel, Ra = 0.04µm; FN = 200mN

91

Fig. 6.24 Evoluția coeficientului de frecare – Contact uscat placă oțel Ra =1µm/placă

aluminiu Ra = 0.2µm; V=5mm/s; Bilă oțel, Ra = 0.04µm; FN = 200mN

Fig. 6.25 Evoluția accelerației – Contact uscat bilă oțel Ra =0.04µm/bilă ceramică Ra =

0.03µm; V=5mm/s; Placă oțel, Ra = 0.04µm; FN = 400mN

92

Fig. 6.26 Evoluția forței de frecare – Contact uscat bilă oțel Ra =0.04µm/bilă ceramică Ra =

0.03µm; V=5mm/s; Placă oțel, Ra = 0.04µm; FN = 400mN

Fig. 6.27 Evoluția coeficientului de frecare – Contact uscat bilă oțel Ra =0.04µm/bilă ceramică

Ra = 0.03µm; V=5mm/s; Placă oțel, Ra = 0.04µm; FN = 400mN

În figurile 6.27 – 6.29 se pot observa rezultatele obținute pentru contactul dintre o bilă de oțel cu

două plăci diferite atât ca material cât și ca rugozitate.

93

În ce privește placa de aluminiu aceasta prezintă o rugozitate medie de aproximativ 5 ori mai

mare, ceea ce duce la un risc al apariției fenomenului de stick-slip mai mare, amplitudinile și

variațiile atât ale accelerației cât și ale forței de frecare sunt mai mari. Deși există o diferență de

material, rezultatele obținute se datorează cu precădere în cazul de față rugozității. Aliajul de

aluminiu folosit prezintă din punct de vedere mecanic proprietăți similare cu ale unui oțel OL37

(limita de curgere și de rupere aproape identice). Totuși din punct de vedere ale proprietăților de

frecare (coeficientul de frecare) cele două materiale sunt diferite acest lucru putându-se observa

în figura 6.28.

În figurile 6.30 – 6.32, sunt prezentate rezultatele obținute când a fost folosită o placă rectificată

din oțel având o rugozitate medie Ra = 0.04µm în combinație cu bile din materiale diferite,

respectiv oțel și ceramică Si3N4. Exceptând diferența dintre bile, testele au fost făcute identic,

aceeași viteză, aceeași încărcare și același mediu nelubrifiat la nivelul contactului. Următoarele

diferențe pot fi subliniate la nivelul celor doua bile de test:

- Materialul: oțel/ceramic Si3N4;

- Rugozitatea: bilă oțel cu Ra = 0,04µm / bilă ceramică cu Ra = 0,03µm;

- Masa bilelor, bila ceramică fiind mai usoară.

În condițiile date a rezultat contactul făcut de bila de oțel ca fiind mai predispus la stick-slip,

amplitudinile parametrilor măsurați fiind mai mari. Pentru a putea distinge care din diferențele

de mai sus este responsabilă de acest rezultat ar trebui repetat testul introducându-se pe cât

posibil cât mai puține diferente în timpul unui test (de exemplu repetarea testului având bile din

materiale diferite dar cu aceeași rugozitate).

6.28 Evoluția forței de de frecare – Contact uscat / Contact lubrifiat (uleiH46); V=1mm/s;

Bilă ceramică Ra 0.03µm; Placă oțel, Ra = 0.04µm; FN = 200mN

94

În figura 6.33 se poate observa o creștere a vârfurilor măsurate pentru forța de frecare la primele

două curse efectuale ale bilei. Explicația pe care o putem da acestui fenomen este pusă tot pe

seama diferențelor de rugozitate. Mai exact suprafața prezintă ințial anumite asperități ce duc la

variații mai mari ale forței de frecare și la o influență mai ridicată asupra fenomenului de stick-

slip. După mai multe treceri, aceste asperități sunt netezite efectul rugozității fiind diminuat

pentu celelalte curse efectuate.

6.4 Concluzii

În cadrul acestui capitol s-a prezentat un concept de măsurare al fenomenului de stick-slip având

la baza standardul VDA 230-206 și folosind un tribometru profesional de măsură a parametrilor

de frecare.

1. Pe baza principiului din standardul VDA 230-206 a fost conceput și construit un

dispozitiv pentru cuantificarea fenomenului de stick-slip la perechi de materiale în

contact.

2. Influența regimului de frecare s-a realizat prin modificarea grosimii filmului de lubrifiant

cât și prin modificarea valorii rugozității suprafețelor. Rezultatele scot în evidență

influența vâscozității lubrifiantului în funcție de diverse viteze deplasare ale platoului

auspra fenomenului de stick-slip. De asemenea în condițiile de încărcare și viteză date în

prezentul capitol s-a arătat că riscul de creștere a fenomenului de stick-slip este mai mare

la materialele cu valori ale rugozității mai mari.

3. Influența naturii materialului a fost evidențiată folosind combinații ale următoarelor

materiale: oțel, ceramică Si3N4 și un aliaj din aluminiu.

4. De asemenea, s-a scos în evidență faptul că viteza de deplasare a platoului reprezintă un

factor esențial în studiul fenomenului de stick-slip atât la contactele uscat cât și la

contactele lubrifiate.

Măsurători adiționale au fost efectuate în scopul de a întări concluziile și observațiile făcute în

cadrul acestui capitol. Rezultatele acestora pot fi găsite în anexa 2 a prezentei teze.

Pe baza cercetărilor și studiilor descrise în acest capitol a fost redactată lucrarea „Experimental

Evaluation of the Stick-Slip Phenomenon”, Gavrilă G., Crețu S. și Benchea M. [2014] și a fost

înaintată spre prezentare în cadrul celei de a 8-a Conferințe Internaționale în Tribologie,

BalkanTrib’14.

95

CONCLUZII FINALE ȘI DIREC ȚII NECESARE DE CERCETARE

Prezenta teză de doctorat este rezultatul unei activități de documentare și cercetare

științifică ce a avut ca scop dezvoltarea unui instrument numeric de calcul al uzurii la contactele

cu frecare în condiții de alunecare parțială în domeniul elastic, efectele de plasticitate fiind

evidențiate doar succint pe parcursul lucrării.

De asemenea, un alt scop a fost acela de a dezvolta un instrument practic de cuantificare

a fenomenului de stick-slip și de a scoate în evidență factorii ce influențează riscul apariției

acestui fenomen.

Din elaborarea lucrării de doctorat s-au desprins mai multe concluzii structurate în

continuare pe fiecare capitol în parte.

Capitolul 1 cuprinde un studiu al stadiului de cercetare în domeniul contactului cu frecare

punând accent pe contactele cu alunecare parțială. Se exemplifică impactul, negativ sau pozitiv,

al fenomenului de stick-slip în procesele tehnologice dar și in natură.

În urma acestui studiu s-au evidențiat posibile direcții de cercetare necesare investigării

fenomenologice și de modelare a fenomenului complex de stick-slip dintre care s-au desprins și

direcțiile de urmat în cadrul prezentei teze:

- Dezvoltări teoretice pentru simularea analitică a contactelor mecanice în condiții de

alunecare parțială;

- Dezvoltări de soft pentru simularea numerică a alunecării parțiale din contactele

mecanice;

- Modelarea numerică a uzurii generate de alunecarea parțială la contactele mecanice fără

rostogolire;

- Modelarea numerică a uzurii generate de alunecarea parțială la contactul roată-șină cu

scopul de a scoate în evidență potențiale cauze ce generează uzura ondulatorie;

- Conceperea și proiectarea de dispozitive precise de cuantificare a fenomenului de stick-

slip la perechi de materiale în contact

- Scoaterea în evidență a factorilor ce influiețează creșterea riscului de apariție a

fenomenului de stick-slip

Capitolul 2 cuprinde un studiu de sinteză al elementelor teoretice al contactului

concentrat elastic-plastic, atât pentru contactul concentrat clasic de tip hertzian, cât și

modalitățile actuale de rezolvare numerică a problemelor de contact concentrat nehertzian.

De asemenea, prezintă modele de contact concentrat rugos și descrie pe scurt elemente de

teoria plasticității punând accent pe curgerea izotropă.

Toate aceste elemente teoretice reprezintă fundamentul modelelor numerice dezvoltate și

prezentate în actuala teză de doctorat.

96

Capitolul 3 face o sinteză teoretică a contactelor cu alunecare totală și parțială, necesare

și utilizate în capitolele 4 și 5 de modelare numerică a uzurii generate de aceste alunecări, astfel:

- Alunecarea pentru cazul corpurilor elastice neconforme;

- Începutul alunecării la corpurile elastice;

- Alunecarea cilindrului pe direcția perpendiculară axei sale pentru cazul 2D;

- Alunecarea unei sfere atât pentru cazul alunecării totale cât și pentru cel al alunecării

parțiale;

- Generalizarea modelului Cattaneo-Mindlin propusă de Ciavarella [1998], și Jager [1999].

În cadrul Capitolului 4 s-au realizat și evidențiat următoarele rezultate:

- S-a prezentat un model numeric pentru calculul uzurii în condiții de alunecare parțială

pentru contactul sferă-plan.

- S-a scos în evidență influența presiunii asupra uzurii și efectele acesteia asupra:

distribuției de presiuni, distribuției de tensiuni tangențiale, ratei de uzură, separației dintre

cele două solide și ariei de contact, obținute după un număr N de cicluri oscilatorii ale

forței tangențiale.

- S-au evidențiat mai multe aspecte referitoare la influența rugozității (simulate prin funcții

trigonometrice dar și distribuite aleatoriu Gaussian) asupra uzurii în condiții de alunecare

parțială.

- S-a evidențiat influența comportamentului elastic-perfect plastic asupra dimensiunii zonei

de stick.

- A fost propusă o soluție analitică pentru un coeficient de frecare variabil în zona de slip și

folosind modelul numeric s-au scos în evidență influențele acestuia asupra uzurii.

Capitolul 5 prezintă un model numeric pentru calculul uzurii la contactul cu rostogolire

roată-șină în condiții de alunecare parțială, considerând suprafața șinei cu o ondulație inițială.

Pe baza modelului numeric s-au scos in evidență:

- Distribuția (3D) de presiuni pentru contactul roată-șină pentru diverse deplasări laterale

ale osiei față de calea de rulare;

- Distribuția (2D) tensiuni tangențiale pe suprafața de contact având la baza teoria lui

Carter [1926];

- Dimensiunile zonelor de stick și slip în funcție de forța de tracțiune și alunecarea

longitudinală;

- Viteza de alunecare și uzura generată în zona de slip și posibile influențe asupra

ondulației inițiale;

- Efectele dinamice, determinate de prezența ondulației, asupra uzurii, la o singură trecere

a roții peste șina ondulată.

97

În cadrul Capitolului 6 s-a prezentat un concept de măsurare al fenomenului de stick-slip

având la baza standardul VDA 230-206 și folosind un tribometru profesional de măsură a

parametrilor de frecare.

- Pe baza principiului din standardul VDA 230-206 a fost conceput și construit un

dispozitiv pentru cuantificarea fenomenului de stick-slip la perechi de materiale în

contact.

- Influența regimului de frecare s-a realizat prin modificarea grosimii filmului de lubrifiant

cât și prin modificarea valorii rugozității suprafețelor. Rezultatele scot în evidență

influența vâscozității lubrifiantului în funcție de diverse viteze deplasare ale platoului

auspra fenomenului de stick-slip. De asemenea în condițiile de încărcare și viteză date în

prezentul capitol s-a arătat că riscul de creștere a fenomenului de stick-slip este mai mare

la materialele cu valori ale rugozității mai mari.

- Influența naturii materialului a fost evidențiată folosind combinații ale următoarelor

materiale: oțel, ceramică Si3N4 și un aliaj din aluminiu.

- De asemenea, s-a scos în evidență faptul că viteza de deplasare a platoului reprezintă un

factor esențial în studiul fenomenului de stick-slip atât la contactele uscat cât și la

contactele lubrifiate.

Cercetările efectuate pe durata stagiului de doctorat si prezentate în cadrul tezei de

doctorat au făcut obiectul a 7 lucrări stiințifice:

- „Wear Investigation of Rough Bodies in Contact under Partial Slip Conditions”, Gavrilă

G. și Crețu S. [2012], lucrare publicată în „MECHANICAL TESTING AND

DIAGNOSIS” ISSN 2247 – 9635, 2012 (II), Volume 3, 44-54.

- „Wear Evolution in Circular Contacts in Partial Slip”, Gavrilă G. și Crețu S. [2012],

lucrare prezentată în cadrul conferinței internaționale ACME’12 și publicată în

„BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IA ȘI”, Tomul (LVIII), Fasc. 2.

- „ Influence of Roughness and Friction Coefficient on the Contact Wear in Partial Slip

Conditions”, Gavrilă G. și Crețu S. [2012], lucrare prezentată în cadrul conferinței

internaționale MECAHITECH’12, și publicată în „TRANSACTION ON CONTROL AND

MECHANICAL SYSTEMS”, Vol. 2, No. 3, pp. 115-121, mar., 2013.

- „A numerical method to predict wear evolution in wheel-rail contact under partial slip

conditions”, Gavrilă G. și Crețu S. [2013], lucrare prezentată în cadrul „WORLD

TRIBOLOGY CONGRESS”, 8-13 September 2013, Torino, Italy și publicată în

PROCEEDINGS OF WTC 2013.

- „Wear prediction in wheel-rail contact under partial slip conditions”, Gavrilă G., Crețu

S. și Benchea M. [2014], lucrare prezentată în cadrul ACME’14 și publicată de Trans.

Tech. Publications Inc. (Switzerland) în „Applied Mechanics and Materials”.

- „Experimental Evaluation of the Stick-Slip Phenomenon”, Gavrilă G., Crețu S. și

Benchea M. [2014] ce a fost înaintată spre prezentare în cadrul celei de a 8-a Conferințe

Internaționale în Tribologie, BalkanTrib’14.

98

Contribuții originale teoretice

Cercetările efectuate în cadrul activității de doctorat și prezentate în cadrul tezei de

doctorat au permis elaborarea a 7 lucrări știin țifice publicate în reviste sau comunicate la

manifestări științifice naționale sau internaționale, printre care de menționat și o participare la

Congresul Mondial de Tribologie ce a avut loc la Torino în Italia în septembrie 2013.

În cadrul prezentei teze de doctorat s-au realizat o serie de sinteze bibliografice esențiale

soluționării direcțiilor de cercetare menționate deja în capitolul 1.

1. Studiul de sinteză bibliografică privind: teoria contactului concentrat Hertzian;

modelarea contactului concentrat elastic-plastic nehertzian, ecuațiile fundamentale ce stau la

baza rezolvării acestui tip de contact și metodologia de soluționare numerică a acestora.

2. Studiile de sinteză bibliografică privind metodele de rezolvare analitică și numerică a

problemei tangențiale pentru cazul contactelor cu alunecare parțială, cu și fără rostogolire:

delimitarea zonelor de stick și slip, calculul tensiunilor tangențiale, distanței de alunecare și

vitezei de alunecare pentru zona de slip.

3. Metode de calcul a uzurii generate de alunecarea în zona de slip pentru contactele

concentrate, cu și fără rostogolire.

4. Aplicarea modelului de calcul al uzurii generate de alunecarea în zona de slip la

contactul sferă – plan solicitat normal de o forță constantă și oscilatoriu de o forță tangențială.

5. Modelul de calcul al uzurii generate de alunecarea în zona de slip la contactul roată –

șină de cale ferată.

6. Efectele fenomenului de stick-slip, atât benefice cât și negative, precum și metodologii

de determinare și cuantificare a acestui fenomen.

7. Metodologia de măsurare standard, existentă în domeniul automotive și folosită pentru

cuantificarea fenomenului de stick-slip la contactul dintre perechi de materiale specifice acestui

domeniu, ce este descrisă în standardul german VDA 230-206.

Contribuții la modelarea numerică

S-au realizat două coduri de calculator în limbajul de programare C++ pentru rezolvarea

problemei tangențiale și calculul uzurii în condiții de alunecare parțială, astfel:

1. Program pentru calculul uzurii la contactul sferă-plan în condiții de alunecare

parțială, fără mișcare relativă între cele două solide, și s-a scos în evidență:

- influența uzurii din zona de slip asupra distribuției de presiuni și tensiuni

tangențiale și asupra zonelor de stick și slip;

- influența rugozității asupra ratei de uzură și asupra creșterii dimensiunii ariei

de contact;

- influența comportamentului elastic-perfect plastic asupra dimensiunii zonei de

stick;

99

2. Program pentru calculul uzurii la contactul cu rostogolire roată-șină în condiții de

alunecare parțială considerând șina cu ondulație inițială la nivelul suprafeței și s-a

evidențiat:

- valoarea uzurii în zona de slip, atât în sistemul de coordonate al contactului

concentrat cât și în sistemul de coordonate al lungimii de undă a ondulației;

- efectele dinamice ale încărcării normale asupra uzurii din zona de slip;

- influența uzurii asupra ondulației inițiale pentru anumite condiții dinamice ale

încărcării normale.

Contribuții originale experimentale

S-a conceput și realizat un dispozitiv având la baza un tribometru profesional pin-disc

UMTR 2M-CTR, asupra căruia s-au adus o serie de adaptări esențiale, în vederea determinării și

cuantificării riscului de stick slip la perechi de materiale în contact.

Testele efectuate au scos în evidență o serie factori cu rol determinant în apariția și

dezvoltarea riscului de stick-slip:

- influența vitezei de lucru;

- influența regimului de frecare, folosindu-se atât contacte lubrifiate cât și

uscate precum și suprafețe cu diferite valori ale rugozității;

- influența materialului, folosindu-se în cadrul testelor: oțel, material ceramic și

un aliaj din aluminiu.

S-au realizat de asemenea, măsuratori ale rugozității pentru toate materialele testate,

folosindu-se un rugozimetru Taylor Hobson.

Direcții necesare de continuare a cercetărilor

Ceretările efectuate a fost orientate pentru cazul bidimensional, aceasta fiind o primă

etapă în validarea modelului de calcul.

Următorul pas este realizarea acestei modelări în ceea ce privește problemele tangențiale

specifice tridimensional. In acest sens unii cercetatori precum Goryacheva [1998], Kalker

[1999], etc., prezintă posibile abordări analitice sau numerice.

Partea experimentală prezentată în lucrare prezintă o bună bază pentru următoarea etapă

de a continua experimentele cu alte condiții limit ă și de a evidenția noi factori ce influențează

fenomenul de stick-slip (încărcări mai mari, combinații de materiale noi, alte condiții de mediu

de testare, ca de exemplu temperatură, umiditate, etc.).

De asemenea, partea experimentală necesită continuarea pe partea de achiziție și analiză a

experiențelor iar următorul pas ar fi dezvoltarea unui algoritm pe baza standardului VDA 230-

206 de calcul și cuantificare a fenomenului de stick-slip (evaluarea așa-numitului RPN, „risk

priority number” din standardul mai sus menționat).

100

Viitoarele cercetări necesare trebuie sa fie orientate și către găsirea unor noi metode de

diminuare a fenomenului de stick-slip atunci când acestă are un impact negativ și de asemnea

găsirea de soluții pentru exploatarea lui benefică.

101

7. BIBLIOGRAFIE

1. Alekseev N.M. și Dobychin M.N., 1994, Wear models, in Belyi, V.A., Ludema, K.C, și

Myshkin, N.K. (Eds.) Tribology in the USA and the Former Soviet Union: Studies and

Application, Allerton Press, pp. 67-88.

2. Alwahdi F., Franklin F.J., Kapoor A., 2005, The effect of partial slip on the wear rate of

rails, Wear, 258, pp. 1031-1037.

3. Amontons G., 1699, De la resistance cause dans les machines, Histoire de L’Academie

Royale des Sciences, 206-227.

4. Archard J. F., Elastic deformation and laws of friction, Proceedings oft he Royal Society

of London, Series A, Mathematical and Physical Sciences, Volume 243, Issue 1233, pp.

190-205

5. Archard J.F., 1953, Contact and rubbing of flat surfaces, J. Appl. Phys., 24, 981-988.

6. Bowden F.P. și Tabor D., 1950, The Friction and Lubrication of Solids, Part 1,

Clarendon, Oxford.

7. Bowden F.P., și Tabor D., 1964, The Friction and Lubrication of Solids, Part 2,

Clarendon, Oxford.

8. Brandt A., Lubrecht A.A., 1990, Multilevel Matrix Multiplication and Fast Solution of

Integral Equations, J. Comp. Physics, 90, pp. 348-37.

9. Buffler H., 1959, Zur Theorie der Rollenden Reibung, Ing. Arch., 27, 137.

10. Bush A. W., Gibson R. D., și Thomas T. R., 1975, The elastic contact of a rough surface,

Wear, 35(1):87–111.

11. Carter F.W., 1926, On the action of a locomotive driving wheel, Proc. Roy. Soc, A, 112,

151.

12. Cattaneo C., 1938, Sul contatto di due corpi elastici: distribuzione locale degli sforzi.

Rend. Accad. Naz. Lincei, 27, pp. 342-348, 434-436, 474-478.

13. Chen F. și Trapp M., 2012, Automotive Buzz, Squeak and Rattle, Mechanisms, Analysis,

Evaluation and Prevention.

14. Ciavarella M., 1998a, The generalized Cattaneo partial slip plane contact problem. I-

Theory. Int. J. Solids Struct., 35 (18), pp. 2349-2362.

15. Ciavarella M., 1998b, The generalized Cattaneo partial slip plane contact problem. II-

Examples. Int. J. Solids Struct., 35 (18), pp. 2363-2378.

16. Coulomb Ch.A., 1785, Theorie des machines simples, Memoire de Mathematiques et de

Physique de VAcademie Royale.

17. Creţu S., 2005, Pressure Distribution in Concentrated Rough Contacts, Bull.IPI, LI

(LV),1-2, pp. 1-31.

18. Crețu S., 2009, Contactul concentrat elasto-plastic, Politehnium,, Iași.

102

19. Creţu S. și Antaluca E., 2003 The Study of Non-Hertzian Concentrated Contacts by a

GC-DFFT technique Analele Universitatii Dunarea de Jos – Galati, I, f. VIII,

(Tribology), pp.39- 47

20. Cretu S., 2007, The influence of roughness on pressure distribution and stress state of

concentrated contacts subjected to normal loads, Bul. Inst. Polit. Iasi, XLXIII (LVII), 1-

2, s. Constructii de masini, 1-12.

21. Crețu S., 2006, The Influence of the Correlation Length on Pressure Distribution and

Stress State in Concentrated Rough Contacts, Proc. ASME/ASLE IJTC 2006, track 25,

San Antonio, Tx, USA.

22. Crețu S., Popinceanu N., 1985, Influence of Residual Stresses on Rolling Contact

Fatigue, WEAR, 105, pp.153-157.

23. Deryagin B.V., 1934, Molecular theory of friction and sliding, (LR.) J. Physical

Chemistry, 5, 9, pp. 1165-1172.

24. Flom D.G., 1962, Dynamic mechanical losses in rolling contacts, in Rolling Contact

Phenomena, Bidwell, Elsevier, London, pp. 97-112.

25. Flom D.G., and Bueche A.M., 1959, Theory of rolling friction for spheres, J. Appl. Phys.,

30, 11, pp. 1725-1730.

26. Fromm H., 1927, Berechnung des Schlupfes beim Rollen deformierbaren Scheiben,

ZAMM1 7, pp. 27-58.

27. Galin L. A., 1945, Pressure of punch with friction and adhesion domains, J. Appl. Math.

Mech., 9, 5, 413-424.

28. Galin L.A., 1953, Contact Problem of the Theory of Elasticity, (LR.) Gostekhizdat,

Moscow. (English translation by Moss, H., North Carolina State College, Department of

Mathematics, 1961).

29. Galin L.A., and Goryacheva LG., 1983, Three-dimensional contact problem of the

motion of a stamp with friction, J. Appl Math. Mech., 46, 6, pp. 819-824.

30. Gallego L., Fulleringer B., Deyber S., Nelias D., 2010, Multiscale computation of fretting

wear at the blade/disk interface, Tribology International 43, pp. 708-718

31. Gavril ă G. și Crețu S., 2012, Wear evolution in contacts in partial slip, Buletinul Inst.

Pol. Iași, Tomul (LVIII), Fasc.2.

32. Gavril ă G. și Crețu S., 2012, Wear investigation of rough bodies in contact under partial

slip conditions, Mechanical Testing and Diagnosis, ISSN 2247 – 9635, Volume 3, pp. 44

– 54.

33. Gavril ă G. și Crețu S., Benchea, M., 2014, Wear prediction in wheel-rail contact under

partial slip conditions, Applied Mechanics and Materials, Trans. Tech. Publications Inc.,

Switzerland.

34. Gavril ă G. și Crețu S., 2013, A numerical method to predict wear evolution in wheel-rail

contact under partial slip conditions, Proceedings of World Tribology Congress, Torino,

Italy.

103

35. Gavril ă G., Crețu. S., Benchea M., 2014, Experimental evaluation of the stick-slip

phenomenon, înaintată la 8th International Tribology Conference, BalkanTrib’14.

36. Gavril ă G. și Crețu S., 2013, Influence of roughness and friction coefficient on the

contact wear in partial slip conditions, Trans. On Control and Mech. Systems, Vol. 2,

No. 3, pp. 115-121.

37. Gladwell G.M.L., 1980, Contact Problems in the Classical Theory of Elasticity, Sijthoff

and Noordhoff, Alphen aan den Rijn.

38. Glagolev N.I., 1945, Resistance of cylindrical bodies in rolling, J. Appl. Math. Mech., 9,

4, pp. 318-333.

39. Godet M., 1984, The third-body approach: a mechanical view of wear, Wear, 100, 437.

40. Goldstein R.V. și Spector A.A., 1986, Variational methods of analysis of space contact

and mixed problems with friction, in Mechanics of Deformable Bodies, (LR.) Nauka, pp.

52-73.

41. Goryacheva I. G., Rajeev P. T., Farris T. N., 2001, Wear in partial slip contact, J. Tribol.,

123, pp. 848-856.

42. Goryacheva I. G., 1998, Contact Mechanics in Tribology, Solid Mechanics and its

applications, volum 61, Kluwer Academic Publishers.

43. Grassie S.L. și Johnson, K.L., 1985, Periodic microslip between a rolling wheel and a

corrugated rail, Wear 101 pp. 291–309.

44. Greenwood J.A. și Williamson J.B.P., 1966, Contact of Nominally Flat Surfaces,

Proceedings of the Royal of Society, London, A295, pp. 300-319.

45. Halling J.,1976, Introduction to tribology, Wykeham Publications, London and Andover.

46. Hamilton G.N., și Goodman L.E., 1966, The stress field created by a circular sliding

contact, Trans. ASME, J. Appl Mech., ser. E, 33, 2, pp. 371-376.

47. Hamrock B.J. si Brewe D.E., 1983, Simplified solution for stresses and deformations,

Trans. Of ASME, J. Lubr. Technol., 105, nr. 2, pp. 171-177.

48. Hamrock B.J., Dowson D., 1976, Isothermal Elastohydrodynamic Lubrication of Point

Contacts. Part I – Theoretical Formulation, Journal of Lubrication Technology, pp. 223-

229.

49. Hamrock B.J., Dowson D., 1976, Isothermal Elastohydrodynamic Lubrication of Point

Contacts. Part II – Ellipticity Parameter Results, Journal of Lubrication Technology, pp.

375-383.

50. Hamrock B.J., Dowson D., 1976, Isothermal Elastohydrodynamic Lubrication of Point

Contacts. Part IV – Starvation Results, Journal of Lubrication Technology, pp. 15-23.

51. Hamrock B.J., Dowson D., 1977, Isothermal Elastohydrodynamic Lubrication of Point

Contacts. Part III – Fully Flooded Results, Journal of Lubrication Technology, pp. 264-

276.

52. Heathcote H.L., 1921, The ball bearing: in the making, under test on service, Proc. Inst.

Auto. Engs., 15, pp. 569.

104

53. Hills D. A., Nowell D., Sackfield A., 1994, Mechanics of Elastic Contacts, Butterworth-

Heinemann. Oxford.

54. Hooke R. 1685, Discourse of carriages before the Royal Society, on Feb. 25 1685. With a

description of Stevin’s Sailing Chariot, made for the Prince of Orange. In Philosophical

Experiments and Observations of the Late Emitent Dr. Robert Hooke, 150-167, 1726,

London: W. Derham and J. Innys

55. Hunter S.C., 1961, The rolling contact of a rigid cylinder with a viscoelastic half-space,

ASME, J. Appl Mech., Ser. E, 28, 611.

56. Hyun S., Pei L., Molinari J.-F., și M. O. Robbins, 2004, Finite-element analysis of

contact between elastic self-affine surfaces, Phys. Rev. E, v. 70, pp. 12.

57. Ishlinsky A.Yu., 1956, On partial slip in rolling contact, (LR.) Izv. AN SSSR, OTN, 6,

pp. 3-15.

58. Jäger J., 1998, A New Principle in Contact Mechanics, ASME J. Tribol., 120(4), pp. 677–

684.

59. Jin O., Mall S., 2004, Shear force effects on fretting fatigue behavior of Ti–6Al–4V

Metall. Mater. Trans. A 35A, pp. 131–138.

60. Johansson L., 1994, Numerical Simulation of contact pressure evolution in fretting,

Journal of Tribology, 116(2):247-54.

61. Johnson K.L., 1992, The application of shakedown principles in rolling and sliding

contact, Eur. J. Mech., Part A : Solids 11 (Special Issue), pp. 155-172.

62. Johnson K. L., 1985, Contact Mechanics, Cambridge: Cambridge University Press.

63. Johnson K. L., Jefferis, J. A., 1963, Plastic flow and residual stresses in rolling and

sliding contact. Proc. Institution of Mechanical Engineers Symposium and Rolling

Contact Fatigue, London, p.50.

64. Johnson K.L., 1962, Tangential traction and microslip in rolling contact, in Rolling

Contact Phenomena, Bidwell, Elsevier, London, pp. 6.

65. Kalandiya A.I., 1975, Mathematical Methods of Two-Dimensional Elasticity, Mir,

Moscow.

66. Kalker J.J., 1990, Three-Dimensional Elastic Bodies in Rolling Contact, Kluwer

Academic Publishers, Dordrecht.

67. Kalker J.J., 1991, Viscoelastic multilayered cylinders rolling with dry friction, ASME, J.

Appl. Mech., 58, pp. 666-679.

68. Kasarekar A. T., Bolander N. W., Saghedi F., Tseregounis S., 2007, Modeling of fretting

wear evolution in rough circular contacts in partial slip. Int. J. of Mechanical Sciences,

49, pp. 690-703.

69. Kasarekar A. T., Saghedi F., Tseregounis S., 2008, Fretting fatigue of rough surfaces,

Wear 264, pp. 719-730.

70. Keer L.M., și Goodman L.E., 1976, Tangential loading of two bodies in contact, ASME,

J. Appl Mech., 42, pp. 513-514.

71. Khrushchov M.M., și Babichev M.A., 1970, Abrasive Wear, (LR.) Nauka, Moscow.

105

72. Kimura Y., Sekizawa M., Nitanai A., 2002, Wear and fatigue in rolling contact, Wear,

253, pp. 9-16.

73. Konvisarov D.V., și Pokrovskaia A.A., 1955, Influence of the radii of curvature of

cylindrical bodies on their resistance to rolling under different loads, (LR.) Proc. Sib.

Phys.-Tech. InsL, 34, pp. 62-79.

74. Korovchinsky M.V., 1967, Stress distribution in contact of elastic bodies under the

normal and tangential load, (LR.) Mashinovedenie, 6, pp. 85-96.

75. Kragelsky LV., 1965, Friction and Wear, Butterworths, London.

76. Kravchuk A.S., 1980, To theory of contact problem with interfacial friction, J. Appl.

Math. Mech., pp. 44, 1, 122-129.

77. Kravchuk A.S., 1981, The solution of the 3-D contact problems with interfacial friction,

Soviet Journal of Friction and Wear, 2, 4, pp. 589-595.

78. Lemaitre J., Chaboche J.L., 1994, Mechanics of Solid Materials, Cambridge University

Press.

79. Leonhard Euler, 1750, Sur le Frottement des Corps Solides, Mémoires de l'académie des

sciences de Berlin, pp. 122-132.

80. Liu S., Wang Q., 2002, Studying Contact Stress Fields Caused by Surface Tractions with

a Discrete Convolution and Fast Fourier Transform Algorithm, ASME- J.Tribol, 124, pp

36-45.

81. Lubrecht Ioannides S., 1991, A Fast Solution of the Dry Contact Problem and the

Associated Subsurface Stress Field Using Multilevel Technique, ASME- J. Tribol.,113,

pp.128-133.

82. Lur'e A.I., 1955, Three-dimensional Problems of the Theory of Elasticity, (LR.) Nauka,

Moscow. (English translation by Radok, J.R.M., Interscience, 1964).

83. Mindlin R.D., 1949, Compliance of elastic bodies in contact, J. Appl. Mech., 16, 3, 259-

268.

84. Moore D.F., 1975, Principles and Applications of Tribology, Pergamon Press, London.

85. Morland L.W., 1962, A plane problem of rolling contact in linear viscoelasticity theory,

ASME, J. Appl. Mech., 29, ser. E, 2, pp. 345-352.

86. Mossakovsky V.I., Kachalovskaya N.E. și Samarsky V.I., 1986, Contact problem with

friction for the axisymmetric punch, in Mathematical Methods of Mechanics of Solid,

(LR.) Nauka, Moscow, pp. 96-104.

87. Mossakovsky V.I., și Mishchishin LI., 1967, Rolling contact of elastic bodies, J. Appl

Math. Mech., 31, 5, pp. 870-876.

88. Mossakovsky V.I., și Petrov V.V., 1976, Influence of friction on microslip, Dokl. Akad.

Nauk SSSR, 231, 3, pp. 603-606.

89. Muki R., 1960, Asymmetric problems of the theory of elasticity for a semi-infinite solid

and thick plate, in Sneddon, LN., and Hill, R. (Eds.) Progress in Solid Mechanics, North

Holland, pp. 401-439.

106

90. Muskhelishvili N.I., 1949, Some Basic Problems of the Mathematical Theory of

Elasticity, 3rd Edn., (LR.) Nauka, Moscow. (English translation by Radok, J.R.M.,

Noordhoff, 1953).

91. Nasser Sia Nemat, 2004, Plasticity - A Treatise of Finite Deformation of Heterogeneous

Inelastic Materials, Cambridge University Press, UK.

92. Nielsen J.B., 1999, Evolution of rail corrugation predicted with a non-linear wear model,

J. Sound Vibr. 227, pp. 915–933.

93. Nielsen J.C.O., 2003, Numerical prediction of rail roughness growth on tangent tracks,

in: Proceedings of the Seventh International Workshop on Railway Noise, Portland,

Maine, October, 2001, J. Sound Vibr. 267, pp. 537–548.

94. Nishioka K., Hirakawa K., 1969, Fundamental investigations into fretting fatigue. Part 3,

Bull. J.S.M.E. 12 (51), pp. 397–407

95. Nix K. J., Lindley T. C., 1988, The influence of relative slip range and contact materials

on the fretting fatigue properties of 3.5NiCrMoV rotor steel, Wear 125, pp. 147–162.

96. Olaru D.N., 2003, Fundamente de lubrificație, Editura Gheorghe Asachi, Iasi.

97. Olofsson U., and Levis R., 2009, Wheel-rail interface handbook, Woodhead Publishing.

98. Patek S. N, Baio J. E., 2007, The acoustic mechanics of stick slip friction in the

California spiny lobster (Panulirus interruptus). J Exp Biol. 210(Pt 20):3538-46.

99. Patek S. N., 2001, Spiny lobsters stick and slip to make sound, Nature 411, 153-154.

100. Persson B. N. J., Bucher F., și Chiaia B., 2002, Elastic contact between randomly rough

surfaces: Comparison of theory with numerical results. Phys Rev B, 65:184106.

101. Pinegin S.V., și Orlov A.V., 1961, Resistance to motion for certain types of free rolling,

(LR.) Izv. AN SSSR, Mekhanika i Mashinostroenie, 3, pp. 91-97.

102. Polonsky I.A., Keer L., 1999, A Numerical Method to Solve Rough Contact Problems

Based on Multi-Lvel Multi-Sumation and Conjugate Gradient Techniques, WEAR, 231,

pp. 206-219.

103. Popov L. V., Contact Mechanics and Friction. Physical Principles and Applications,

Springer Heidelberg Dordrecht London New York, 2010.

104. Popovici R., 2010, Friction in Wheel - Rail Contacts, Phd Thesis.

105. Poritsky H., 1950, Stresses and deflections of cylindrical bodies in contact with

application to contact of gears and of locomotive wheels, J. Appl. Mech., 17, 2, pp. 191-

201.

106. Ren N., Lee S.C., 1993, Contact Simulation of Three-Dimensional Rough Surfaces Using

Moving Grid Method, ASME-J.Tribol,115, pp.597-601.

107. Reynolds O., 1875, On rolling friction, Phil. Trans. Roy. Soc, 166, pp. 155-175.

108. Reynolds O., 1886, On the Theory of Lubrication and Its Application to Mr. Beauchamp

Tower's Experiments, Including an Experimental Determination of the Viscosity of Olive

Oil. Philosophical Transactions of the Royal Society of London.

109. Shuangbiao L., Wang Q., Liu G., 2000, A versatile method of discrete convolution and

FFT (DC-FFT) for contact analyses, Wear 243, pp.101-111.

107

110. Spence D.A., 1973, An eigenvalue problem for elastic contact with finite friction, Proc.

Cambridge Philosophical Society, 73, pp. 249-268.

111. Standardul VDA 230 – 206, părțile 1 – 3.

112. Stowers I. F., Rabinowicz E., 1973, The mechanism of fretting wear, Journal of

Lubrication Technology, 95:65-70

113. Stribeck R., 1902, Die wesentlichen Eigenschaften der Gleit- und Rollenlager

(Characteristics of Plain and Roller Bearings), Zeit. des VDI 46.

114. Tabor D., 1952, The mechanism of rolling friction, Phil Mag., Ser. 7, 43, 345.

115. Tomlinson J.A., 1929, A molecular theory of friction, Phil. Mag., Ser. 7, 46, pp. 905-939.

116. Truman C. E., Sackfield A., Hills D. A., 1995, Contact mechanics of wedge and cone

indenters. Int. J. Mech. Sci., 37 (3), pp. 261-175.

117. Tudor A., 1990, Contactul real al suprafețelor de frecare, Ed. Academiei, Bucuresti.

118. Tudor A., Pavelescu D., Mușat M., 1977, Tribologie, Editura Didactică și Pedagogică,

București.

119. Urzică A., Balan R., Cretu S., 2010, Simulation methods of Gaussian surfaces, Bul. Inst.

Pol. Iasi, Tomul LVI (LX), Fasc. 4.

120. Urzică A., 2011, Cercetări privind influența microtopografiei asupra stării de tensiuni

dezvoltate în contactele concentrate, Teză de doctorat.

121. Vasic G., Franklin F.J., Fletcher D.I., 2011, Influence of partial slip and direction of

traction on wear rate in wheel-rail contact, Wear, 270, pp. 163-171.

122. Wang R.H., Jain V. K., Mall S., 2007, A non-uniform friction distribution model for

partial slip fretting contact, Wear 262, pp. 607-616.

123. Westman R.A., 1965, Axisymmetric mixed boundary-value problems of the elastic

halfspace, ASME J. Appl. Mech., Ser. E, 32, pp. 411-417.

124. Wu T.X. și Thomson D.J., 2005, An investigation into rail corrugation due to micro-slip

under multiple wheel/rail interactions, Wear, 258, pp. 1115-1125.

125. http://en.wikipedia.org

126. http://quakeinfo.ucsd.edu

127. http://www.phys.unsw.edu.au/

128. www.belotti-online.it

129. www.chemistryviews.org

130. www.mbdynamics.com