rĂsucirea (torsiunea) -...

Download RĂSUCIREA (TORSIUNEA) - images2.wikia.nocookie.netimages2.wikia.nocookie.net/nccmn/ro/images/d/dd/5.RĂSUCIREA... · 5.5 Bare static nedeterminate la răsucire Problemele static

If you can't read please download the document

Upload: phungdung

Post on 05-Feb-2018

236 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

  • 5.RSUCIREA (TORSIUNEA)

    5.1 Generaliti

    Seciunea unei bare cu dou axe de simetrie este supus la rsucire pur dac torsorul forelor ce acioneaz pe seciunea barei, calculat n raport cu centrul de greutate al seciunii, se reduce la un cuplu, al carui moment Mt are direcia normal la seciune (fig. 5.1).

    Fig. 5.1

    Piesele solicitate frecvent la rsucire sunt arborii de transmisie i arcurile elicoidale. Studiul solicitrii de rsucire se va efectua pentru bare cu seciunea circular sau inelar la care ipoteza lui Bernoulli (a seciunilor plane) este confirmat.

    5.2 Tensiuni i deformaii

    Pentru calculul de rezisten la rsucire este necesar s se stabileasc felul tensiunii care apare, legea de distribuie pe seciune i mrimea acesteia ntr-un

  • ELEMENTE DE REZISTENA MATERIALELOR

    punct. n acest scop se consider o bar dreapt cu seciunea circular pe suprafaa creia s-a trasat o reea de dreptunghiuri curbilinii determinate de generatoare i plane paralele normale la axa barei (fig. 5.2, a).

    Fig. 5.2

    Atunci cnd bara este solicitat la rsucire prin momentul Mt (fig. 5.2, b) se constat c:

    - planele de secionare a barei paralele iniial rmn paralele, deci se verific ipoteza lui Bernoulli privind planeitatea seciunilor;

    - bara nu-i modific dimensiunile n sens longitudinal sau transversal, rezultnd c n seciunile transversale nu apar tensiuni normale ;

    - generatoarele devin elice de egal nclinare, ca urmare dreptunghiurile devin paralelograme datorit existenei tensiunilor tangeniale care produc rotirea unei seciuni fa de alt seciune; tensiunile tangeniale care apar sunt deci perpendiculare pe raz.

    Din condiia de echivalen mecanic (fig. 5.2, c) rezult :

    =A

    t rdAM . (5.1)

    Se izoleaz un element de bar de lungime dx i de raz r. Generatoarea BB1 se rotete cu unghiul , dup deformarea elementului (fig. 5.3) putndu-se scrie:

    rd dx = . (5.2)

    80

  • 5. RSUCIREA (TORSIUNEA)

    Fig. 5.3

    Potrivit legii lui Hooke:

    = G . (5.3)nlocuind pe din relatia (5.2) n (5.3) se obine:

    dxdGr = , (5.4)

    ceea ce arat c tensiunea tangenial variaz liniar cu raza, fiind maxim la exterior i nul n centrul seciunii. Dac se introduce expresia tensiunii din relaia (5.4) n (5.1) se obine:

    =A

    t dArdxdGM 2 . (5.5)

    Expresia A

    dAr 2 reprezint momentul de inerie polar al seciunii (Ip) astfel c:

    dxdGIM pt

    = . (5.6)

    Din relaiile (5.4) i (5.6) rezult

    rIM

    p

    t= . (5.7)

    Tensiunea tangenial maxim apare n punctele cele mai departate de centrul seciunii (fig. 5.4, a) i are expresia:

    ,maxp

    t

    p

    t

    WM

    rIM

    == (5.8)

    unde Wp este modulul de rezisten polar al seciunii.

    Pentru seciunea circular 16

    3dWp= , iar pentru seciunea inelar

    81

  • ELEMENTE DE REZISTENA MATERIALELOR

    =

    43

    116 D

    dDW p

    .

    n baza principiului dualitii tensiunilor tangeniale, se produc tensiuni tangeniale i n seciunea longitudinal (fig. 5.4, b).

    Fig. 5.4

    Din relaia (5.6) se obine unghiul d cu care se rotesc dou seciuni situate la distana dx una de cealalt,

    dxGIM

    dp

    t= . (5.9)

    Rotirea relativ dintre seciunile de la capetele barei este:

    =l p

    t dxGIM

    , (5.10)

    iar cnd Mt, G, Ip sunt constante n lungul barei, sau pe anumite poriuni,

    p

    t

    GIlM

    = i respectiv =ipi

    iit

    IGlM

    . (5.11)

    Unghiul de rsucire specific este:

    p

    t

    GIM

    = , (5.12)

    produsul GIp fiind numit modul de rigiditate la rsucire.

    Din relaia (5.8) rezult formulele pentru calculul de rezisten al barelor de seciune circular solicitate la rsucire:

    82

  • 5. RSUCIREA (TORSIUNEA)

    - pentru dimensionare a

    tnecp

    MW

    = ; (5.13)

    - pentru verificare aefp

    tef W

    M = ; (5.14)

    - calculul capacitii de ncrcare aefpcapt WM = . (5.15)

    a fiind rezisten admisibil a materialului la solicitarea de rsucire.

    5.3 Calculul arborilor de transmisie

    Arborii de transmisie sunt elemente de maini care transmit puteri (cupluri) prin intermediul unor roi. De obicei, se dau puterile transmise de roile montate pe arbore (exprimate n kW) i turaia arborelui (n rot/min). Lucrul mecanic elementar al cuplului aplicat arborelui este Md, iar puterea corespunzatoare este:

    , MdtdMP == (5.16)

    momentul care solicit arborele fiind:

    ,PM = (5.17)

    unde viteza unghiular (n rad/s) este 30n = , n fiind turaia (n rot/min).

    Momentul de rsucire Mt din seciune fiind egal cu momentul exterior M din (5.17) rezult:

    [ ]kNmnPM t

    30= (5.18)

    Arborii de transmisie se dimensioneaz, de obicei, din dou condiii:

    1. condiia de rezisten. Aplicnd relaia (5.13) se obine:

    anecp n

    PW

    61030 = . (5.19)

    Pentru seciunea este circular avem:

    83

  • ELEMENTE DE REZISTENA MATERIALELOR

    anPd

    63 103016

    = , rezultnd 3365an

    Pd

    =

    Dac seciunea este inelar: an

    PDdD

    643 1030116

    =

    , obinndu-se

    ( )3 41365 ankPd

    = , unde k = d/D.

    2. condiia de deformaie cere ca dimensionarea arborelui s se fac astfel ca unghiul de rsucire specific s nu depeasc o anumit valoare impus. Din aplicarea la limit a relaiei (5.12)

    ap

    t

    GIM

    = , se obine a

    tp G

    MI

    = . (5.20)

    Pentru seciunea circular rezult 44 32

    ,32 a

    t

    a

    t

    GM

    dGMd

    == ,

    iar pentru seciunea inelar

    ( )4 444

    132

    ,132 a

    t

    a

    t

    GkM

    DGM

    DdD

    ==

    .

    La arbori, de obicei a = 0,25 /m = 0,25/18010-3 rad/mm. n urma dimensionrii, n cele dou condiii, se adopt diametrul cu valoarea cea mai mare.

    Aplicaia 1

    S se dimensioneze arborele unui motor din figura 5.5 care primete puterea P1=32 kW la turaia n = 180 rot/min i transmite puterile P2 =12 kW i P3=20 kW la dou maini dac: a) a=30 MPa, b) a = 0,25 /m. Se dau G = =8,1104 MPa. S se calculeze totodat i rotirea relativ dintre roile 2 i 3.

    Rezolvare

    Se calculeaz momentele de rsucire cu relaia (5.18) i se obine:

    ( ) .06,11802030;636,0

    1801230

    3112 kNmMkNmM tt ====

    Dimensionarea arborelui n cele dou situaii:

    84

  • 5. RSUCIREA (TORSIUNEA)

    a) aplicnd relaia (5.13) rezult

    ,1038,3530

    1006,1 336 mmWnecp

    == de unde .5,5638,3516103 mmd ==

    b) aplicnd relaia (5.20) se obine

    ,10325,0101,8

    101801006,1 464

    36

    mmInecp

    =

    =

    de unde

    .4,7430032103 mmd ==

    Fig. 5.5

    Se adopt pentru arbore spre exemplu d = 75 mm.

    Rotirea relativ dintre roile 2 i 3 se determina cu relaia (5.11):

    ( ) .1042,8200006,13000636,075101,8

    1032 444

    6

    32 rad

    =+=

    5.4 Calculul arcurilor elicoidale

    Un arc elicoidal se confecioneaz, n general, din srma de oel, de un anumit diametru d, care se nfoar dup o anumit tehnologie, pe un cilindru sub forma unei elice (fig. 5.6, a). Distana R de la axa cilindrului la axa srmei, se numete raz de nfurare.

    Asupra arcului acioneaz fora F. Reducnd aceast for n centrul de greutate al unei seciuni a srmei se obine o for F i un moment M = FR

    85

  • ELEMENTE DE REZISTENA MATERIALELOR

    (fig.5.6,b). Descompunnd fora F i momentul M dup normala i tangenta la seciune se obine:

    - o for axial N = Fsin,

    - o for tietoare T = Fcos,

    - un moment de torsiune Mt = Mcos = FRcos,

    - un moment ncovoietor Mi = Msin = FRsin,

    unde reprezint unghiul de nclinare a spirei arcului.

    Fig. 5.6

    La arcurile elicoidale cu spire strnse unghiul este foarte mic ( < 5) i ca urmare se poate considera cos 1 i sin 0, astfel nct eforturile din spire sunt T = F i respectiv Mt = FR. Prin urmare arcurile sunt solicitate la forfecare i rsucire:

    ,

    16

    ,

    4

    32 dFR

    WM

    dF

    AF

    p

    ttf

    ====

    tensiunea rezultant n arc fiind:

    +=

    Rd

    dFR

    4116 3

    . (5.21)

    ntruct raportul d/(4R)

  • 5. RSUCIREA (TORSIUNEA)

    Ca urmare a deformrii arcului fora F capt o deplasare f numit sgeata arcului. Pentru stabilirea relaiei de calcul a sgeii arcului se consider un element de lungime ds dintr-o spir la care seciunea din A este presupus fix iar seciunea din B se roteste cu d, fora F deplasndu-se cu sgeata elementara df, ca n figura 5.7.

    Fig. 5.7

    Din figura 5.7 rezult :

    .cos,cos

    ,cos

    RdCDdfCERdBCdCDRBC ======

    Dar: RddsdIFRM

    GIdsM

    d ptp

    t ==== ,32

    ,,4

    , rezultnd

    .32 43

    dGdFRdf =

    Sgeata corespunzatoare unei spire este ==2

    04

    3

    164Gd

    FRdff ,

    iar cea corespunzatoare ntregului arc cu i spire

    4

    3

    164

    GdiFRiff == (5.23)

    sau364

    =

    dR

    GdFif . (5.24)

    87

  • ELEMENTE DE REZISTENA MATERIALELOR

    Dimensionarea arcului se face astfel nct sa fie indeplinit att condiia de rezisten ct i cea de deformaie. Utilizand relaia (5.22) se obine:

    ,163a

    FRd

    = (5.25)

    unde a= (400...600) MPa la oeluri pentru arcuri.

    Prin folosirea relaiei (5.24) rezult :

    .643

    =

    dR

    GfFida

    (5.26)

    ntruct arcurile se realizeaz cu rapoarte k = R/d precizate prin norme sau standarde, relaia anterioar poate fi scris sub forma:

    ,643

    aGfFikd = (5.27)

    unde fa este sgeata impus arcului. Din aplicarea relaiilor (5.25) i (5.27) se alege valoarea cea mai mare obinut pentru diametrul srmei. nlimea arcului n stare comprimat (fig. 5.6) trebuie astfel stabilit nct ntre dou spire vecine s existe o anumit distan, a carei valoare minim se ia de obicei egala cu d/4 i deci:

    ( ) .4

    1 diidh +=

    n stare nesolicitat, nalimea H a arcului este

    h = H + f.

    Aplicaia 2

    S se determine valoarea forei F care acioneaz arcul contactorului electric din figura 5.8 pentru a produce deplasarea s = 1,1 mm. S se calculeze totodata tensiunea maxim din arc. Se dau: R = 20 mm, d = 8 mm, i = 12 spire, G=42103 MPa.

    Fig. 5.8

    88

  • 5. RSUCIREA (TORSIUNEA)

    Rezolvare

    Din expresia sgeii rezult

    iRsGdF 3

    4

    64= sau NF 8,30

    122064810421,1

    3

    43

    =

    = ,

    iar tensiunea maxim n arc este

    .12,68

    208,30161633 MPad

    FR =

    ==

    5.5 Bare static nedeterminate la rsucire

    Problemele static nedeterminate la rsucire se rezolv pe baza condiiilor de echilibru static i a condiiilor de deformaie.

    Aplicatia 3

    Arborele bimetalic format din doi cilindri din materiale diferite presai unul n celalalt, ca n figura 5.9, este solicitat la rsucire de momentul M0. S se calculeze tensiunile maxime din arbore.

    Fig. 5.9

    Rezolvare. Din condiia de echilibru static

    021 MMM tt =+ ,

    iar din condiia de deformaie, innd seama ca cei doi cilindri lucreaz mpreun

    1 = 2, adic 22

    2

    11

    1

    P

    t

    P

    t

    IGlM

    IGlM

    = rezult :

    89

  • ELEMENTE DE REZISTENA MATERIALELOR

    .,2211

    2202

    2211

    1101

    pp

    pt

    pp

    pt IGIG

    IGMM

    IGIGIG

    MM+

    =+

    =

    .2

    ,2

    2

    22

    1

    11

    dIMD

    IM

    p

    t

    p

    t ==

    Momentele de inerie polare ale celor doi arbori sunt:

    .32

    ,132

    4

    2

    44

    1

    dIDdDI pp

    =

    =

    Pentru ca arborele s reziste trebuie ca:

    ., 2211 aa

    90