CAPITOLUL 10

SISTEME STATIC NEDETERMINATE

10.1. GENERALITǍŢI. GRAD DE NEDETERMINARE. SISTEM DE BAZǍ.

În sens mai larg decât în mecanică, prin sistem static

nedeterminat se înţelege acela la care nu se pot determina eforturile

în toate barele, cu ajutorul ecuaţiilor de echilibru ale mecanicii

teoretice.

Sistemele de bare întâlnite în construcţiile inginereşti pot fi,

după modul de solicitare şi aplicare a forţei exterioare, de douǎ feluri:

grinzi cu zăbrele (Fig. 10.1, a şi 10.1, b), formate din bare

drepte, articulate la capete şi încărcate numai în noduri;

cadre, formate din bare drepte sau curbe, legate între ele în

mod rigid sau articulat şi încărcate oricum, ceea ce face ca în bare

sǎ se producă eforturi .

Grinzile cu zăbrele sunt static determinate atunci când între

numărul de noduri n şi de bare b există relaţia:

Dacă b este mai mare decât valoarea dată de această relaţie,

grinda este static nedeterminată. Gradul de nedeterminare este:

(10. 1)

218

Prin urmare, grinda din Fig. 10. 1, a, având şi , este

static determinată, pe când cea din Fig. 10. 1, b, cu acelaşi număr de

noduri, dar cu două bare în plus, este dublu static nedeterminată.

Un cadru este static nedeterminat exterior atunci când

numărul de necunoscute din reazeme este superior numărului de

ecuaţii de echilibru din mecanică. În asemenea cazuri, gradul de

nedeterminare este diferenţa dintre numărul de necunoscute şi cel

de ecuaţii de echilibru. Cadrul plan din Fig. 10.1, c, solicitat prin forţe

aplicate în planul său, are 5 necunoscute în reazeme şi 3 ecuaţii,

deci este dublu static nedeterminat.

Cadrul din Fig. 10. 1, d este static determinat exterior, căci

numărul reacţiunilor este egal cu al ecuaţiilor de echilibru. În schimb,

el este static nedeterminat interior, căci arc un contur închis, la

care nu se pot determina eforturile N, T, M. Cadrul închis din Fig.

10.1, e, fără reazeme, este, de asemenea, static nedeterminat. La un

astfel de contur închis (în plan), se poate face o secţiune oarecare

(Fig. 10. 1, f), în care se introduc eforturile N, T, M, — notate aici cu

X1, X2, X3, — ,care nu pot fi determinate din ecuaţiile de echilibru

exterior. Rezultă că un contur plan închis este triplu static

nedeterminat. Deci cadrul din Fig. 10. 1 d este triplu static

nedeterminat.

Prin urmare, la un cadru plan, gradul de nedeterminare este

egal cu numărul necunoscutelor din reazeme plus de trei ori numărul

contururilor închise minus trei (numărul de ecuaţii de echilibru).

Cadrul din Fig. 10. 1, g este de 5 ori static nedeterminat.

Gradul de nedeterminare poate fi micşorat prin existenţa

articulaţiilor interioare. Astfel, la cadrul din Fig. 10. 1, h, există o

219

articulaţie care leagă două bare. Dacă se secţionează conturul închis

chiar în articulaţie, acolo momentul este nul şi rămân numai două

necunoscute static nedeterminate. Prin urmare, cadrul din Fig. 10. 1,

h, este de 5 ori static nedeterminat. Când în articulaţie se întâlnesc

trei bare (Fig. 10. 1, i), gradul de nedeterminare scade cu 2: cadrul

din Fig. 10. 1., i este de 4 ori static nedeterminat. În general, dacă

într-o articulaţie concură bare, aceasta micşorează cu gradul

de nedeterminare faţă de regula generalǎ.

Cadrul din Fig. 10. 1, j, cu 8 necunoscute în legǎturile

exterioare şi cu un contur închis, este

Fig. 10. 1

220

de 8 ori static nedeterminat. Se observă că bara din dreapta este

articulatǎ la cadru, fără ca articulaţia să afecteze bara verticală. Ca

urmare, bara din dreapta , fără forţe exterioare, este supusă numai la

o forţă axială, deci legătura ei exterioarǎ reprezintă o singură

necunoscută.

Fig. 10. 2

În spaţiu, numărul de necunoscute şi de ecuaţii creşte în mod

corespunzător: încastrarea are 6 necunoscute, un contur închis este

de 6 ori static nedeterminat, există 6 ecuaţii de echilibru. Ca urmare,

cadrul din Fig. 10, 1, n, cu două picioare încastrate, este de 12 ori

static nedeterminat.

Un caz simplu îl constituie barele drepte static nedeterminate,

solicitate prin forţe în plan. Bara din Fig. 10. 1, k, cu 4 necunoscute în

reazeme şi 3 ecuaţii, este simplu static nedeterminata; cea din Fig.

221

10.1, l este triplu static nedeterminat. Grinda continuă din Fig. 10, 1,

m, încărcată numai cu forţe verticale, dispune numai de două ecuaţii

de echilibru. Având 5 reazeme simple, ea este triplu static

nedeterminată.

În mod curent, la cadre, barele verticale se numesc stâlpi, iar

cele orizontale, rigle. Dimensiunile şi momentele de inerţie ale

acestora se notează de obicei ca în Fig. 10, 1, e.

Literatura tehnică cunoaşte diferite metode de rezolvare a

sistemelor static nedeterminate. Principial, toate metodele pornesc

de la faptul că ecuaţiile de echilibru ale staticii pot fi completate cu o

serie de ecuaţii, bazate pe considerente de deformaţii. Pentru cadre

relativ simple, de felul celor care se întâlnesc în aplicaţiile inginerului

mecanic, una dintre cele mai comode metode de rezolvare este

metoda eforturilor. În această metodǎ se transformă sistemul static

nedeterminai în unul static determinat, numit sistem de bază sau

sistem fundamental, suprimând atâtea legături exterioare sau

interioare (la contururi închise) cât este necesar.

În locul fiecărei legături suprimate se introduce un efort (static)

nedeterminat, notat, de obicei, cu X1, X2, X3,... Aşa de exemplu, în

locul unui reazem simplu se introduce o singură, forţă; tot la fel,

atunci când o articulaţie se înlocuieşte cu un reazem simplu; în locul

unei articulaţii suprimate se introduc două forţe; în locul unei

încastrări se introduc două forţe şi un cuplu; la înlocuirea unei

încastrări prin articulaţie se introduce un cuplu; la o secţiune

completǎ într-un contur interior se introduc două forţe şi un cuplu;

introducerea unei articulaţii interioare fără tăierea barei cere

introducerea unui cuplu necunoscut.

222

Este evident că transformarea sistemului real în sistem de

bază se poate face în diferite feluri. Dintre toate variantele, se va

alege aceea care este mai comodă pentru calcule, aşa cum va

rezulta din aplicaţiile ce urmează.

În Fig. 10.2 se arată unele variante ale sistemului de bază al

unui cadru de 6 ori static nedeterminat în Fig. 10.2, b, sistemul de

bază se obţine prin tăierea celor două bare orizontale şi introducerea

necunoscutelor X1, X2, X3,..., X6. În Fig. 10. 2, c, s-a suprimat un

reazem şi s-a secţionat o bară a conturului închis în Fig. 10. 2, d, un

reazem s-a transformat în articulaţie, altul în reazem simplu, iar o

bară a conturului închis a fost tăiată. O soluţie similară, este cea din

Fig. 10.2, e.

Considerând eforturile X1, X2, ... cunoscute, sistemul de bază

trebuie să fie, pe de o parte, static determinat, pe de altă parte,

indeformabil geometric adică să nu permită deplasări cinematice. Din

acest ultim punct de vedere, variantele din Fig. 10. 2, f şi g nu sunt

sisteme de bază corecte, căci permit deplasări mari în jurul

articulaţiilor A.

10.2. ECUAŢIILE FUNDAMENTALE ALE METODEI EFORTURILOR

Stabilirea ecuaţiilor fundamentale va fi precedată de exemplul

unui cadru simplu static nedeterminat arătat în Fig. 10.3, a.

Pentru realizarea sistemului de bază este necesar a se

suprima o singură legăturǎ. În cazul de faţă se va suprima legătura

pe orizontală din articulaţia 1, înlocuind-o prin necunoscutǎ static

nedeterminată X1 (Fig. 10.3, b).

223

Principial, în metoda

eforturilor se exprimă deplasările

în diferite puncte ale sistemului

de bază, datorate sarcinilor date

şi necunoscutelor static

nedetermi- nate, scriind că ele

sunt identice cu cele din sistemul

static nedeterminat dat.

În cazul de faţă se va

scrie că în reazemul 1

deplasarea pe orizontală a

sistemului de bază, fie ea ,

este nulă, ca şi în sistemul iniţial.

În acest scop, este convenabil a

folosi principiul suprapunerii

efectelor, în modul următor: Fig.10.3

1) Se consideră întâi că în sistemul de bază lucrează numai

sarcinile exterioare date, în cazul de faţă sarcina p, deci nu există

forţa X1 şi se calculează deplasarea ce le corespunde pe direcţia

forţei X1, adică deplasarea din Fig. 10.3, c.

2) Se consideră apoi că în sistemul de bază lucrează numai

forţa X1 si se calculează deplasarea corespunzătoare; este preferabil

ca în locul forţei X1, să se aplice forţa unitară , care produce

224

deplasarea arătată în Fig. 10. 3, d. Atunci unei forţe X1, îi va

corespunde o deplasare .

3) Aplicând principiul suprapunerii efectelor, se scrie că

deplasarea totalǎ este nulă:

de unde rezultă:

(10. 2)

Relaţia (10.2) are un caracter general, deplasările şi

putându-se calcula prin orice metodă.

Se va continua problema folosind, în acest scop, metoda

Mohr-Maxwell. Se construieşte, în Fig. 10. 3, e, diagrama de

momente M corespunzătoare sistemului de bază încărcat cu sarcina

dată, iar în Fig. 10. 3, f cea corespunzătoare sistemului cu sarcina

unitară.

Pentru calculul lui se ia aria diagramei M din Fig. 10. 3, e

şi se înmulţeşte, după regula lui Veresceaghin, cu ordonata

diagramei m din dreptul centrului de greutate al diagramei M:

Pentru calculul lui , diagrama m serveşte atât ca diagramă

de momente a sarcinilor cât şi ca diagramă a sarcinii unitare. Pentru

cele două triunghiuri identice, rezultă:

225

Se observă că la calculul lui ordonatele diagramei m sunt

negative, pe când abscisele, reprezentând lungimile barelor, sunt

pozitive. Aplicând relaţia (10. 2), rezultă:

Conform Fig. 10. 3, a, se obţine:

Scriind ecuaţiile de proiecţii pe verticală şi de momente, se

află:

Cu aceste valori se construieşte diagrama de momente

încovoietoare reală din Fig. 10. 3, g. Pentru aflarea momentului

maxim de pe bara orizontalǎ se anulează expresia forţei tăietoare:

unde x se măsoară de la reazemul 2 spre stânga. Momentul maxim

226

este:

În Fig. 10. 4, a s-a ales un alt sistem de bază al aceluiaşi

cadru înlocuind reazemul articulat 2 prin reazem simplu, respectiv

introducând efortul static nedeterminat X2.

Fig. 10. 4

Procedând pe aceeaşi cale pentru sarcinile exterioare din Fig.

10.4, b se află diagrama M din Fig. 10. 4, d, iar pentru sarcina unitară

din Fig. 10. 4,c se aflǎ diagrama din Fig. 10. 4, e.

Aplicând regula lui Veresceaghin, rezultă:

227

Se regăseşte valoarea reacţiunii V2 calculată anterior, deci

rezultatele sunt aceleaşi.

La sisteme multiplu static nedeterminate, se procedează la o

generalizare a metodei expuse. Ca urmare, se suprimă o serie de

legături, obţinând sistemul de bază, solicitat prin încărcarea dată,

plus eforturile X1, X2, X3, care înlocuiesc legăturile suprimate. Se

scrie că deplasările în dreptul acestor eforturi sunt nule, obţinând

ecuaţiile:

(10. 3)

Ecuaţiile (10. 3) poartă numele de ecuaţii de condiţie sau

ecuaţii canonice în metoda eforturilor. Se precizează semnificaţiile

coeficienţilor din aceste ecuaţii:

este deplasarea pe direcţia efortului produsă de o

sarcină unitară aplicată în acelaşi punct şi pe

aceeaşi direcţie cu ;

- deplasarea pe direcţia efortului , produsă de sarcina

unitară, aplicată în aceiaşi punct cu şi având

direcţia lui ;

228

- deplasarea pe direcţia efortului , produsă de sarcina

unitară având direcţia şi punctul de aplicaţie al lui ;

- deplasarea pe direcţia efortului produsă de sarcinile

exterioare aplicate sistemului, cînd nu există

eforturile .

Toate deplasările se înţeleg în sistemul de bază (static

determinat). Coeficienţii , din sistemul (10. 3) pot fi determinaţi prin

metoda Mohr-Maxwell sau pe altă cale. În baza teoremei

reciprocităţii deplasărilor se poate scrie .

După determinarea eforturilor , se pot calcula eforturile N, T,

M din bare cu ajutorul principiului suprapunerii efectelor sau al

sistemului de bază, în care acum toate forţele sunt cunoscute.

Se va preciza modul de calculare a coeficienţilor prin

metoda Mohr-Maxwell. Dacă se notează : M"—momentul încovoietor

într-o secţiune oarecare a sistemului de bază, produs de forţele

exterioare date ; m1, m2,..., mi - momentul încovoietor într-o secţiune

oarecare a sistemului de bază, produs de sarcina unitară, aplicată pe

direcţia şi în punctul de aplicaţie al necunoscutei static nedeterminate

X1, X2,...,Xi atunci coeficienţii din ecuaţiile (10.3) sunt:

229

(10. 4)

Aplicând metoda de integrare a lui Veresceaghin, se

calculează:

din diagramele M° şi m1 ;

din diagrama m1 cu ea însăşi;

din diagrama, m1 cu diagrama m2 luând suprafaţa

uneia şi ordonatele celeilalte (după voie).

Este de la sine înţeles că rezolvarea unui sistem static

nedeterminat are ca scop final determinarea eforturilor în bare,

urmată de dimensionarea sau verificarea acestora.

Din relaţiile anterioare, se vede ca pentru rezolvarea

sistemului static nedeterminat trebuie să fie cunoscute rigidităţile

barelor EI, respectiv EA sau GId. În asemenea cazuri, va avea loc o

verificare de rezistenţă a sistemului.

Nu întotdeauna problema se pune în acest fel. Uneori se dă

schema geometrică şi schema de încărcare a sistemului şi se cere

dimensionarea, deci rigidităţile barelor sunt necunoscute. Atunci

rezolvarea problemei se face prin aproximaţii succesive:

În prima etapă se aleg rigidităţi arbitrare ale barelor şi se face

rezolvarea sistemului static nedeterminat.

230

Cu eforturile aflate se face o primă dimensionare a barelor,

după care se trece la o nouă rezolvare a sistemului static

nedeterminat.

Calculul se repetă de mai multe ori, până când, de la o

aproximaţie la alta. nu se mai obţin diferenţe sensibile ale eforturilor,

deci ale rigidităţilor barelor.

10.3. SlMETRII ÎN SlSTEME STATIC NEDETERMINATE. CADRE PLANE

Rezolvarea unui sistem cu un

grad mare de nedeterminare este o

operaţie dificilă, datorită atât

calculării unui mare număr de

deplasări cât şi rezolvării unui

sistem liniar cu un mare număr de

ecuaţii. Pentru asemenea cazuri s-

au elaborat numeroase metode

speciale de rezolvare, studiate în

statica construcţiilor şi în alte lucrări

din specialitatea ingineriei. Folosirea

calculatoarelor electronice uşurează

mult aceste operaţiuni.

Inginerul mecanic întâlneşte,

în aplicaţiile sale, sisteme cu grad

relativ mic de nedeterminare.

Adeseori aceste sisteme prezintă

anumite simetrii, care permit, de la

231

început, determinarea unor necunoscute, fie cǎ sunt nule, fie cǎ sunt

egale pe perechi, ceea ce micşorează gradul de nedeterminare, deci

reduc calculele.

În Fig. 10.5 s-a reprezentat schema eforturilor N, T, M în

secţiunea, unei bare drepte. Dacă am considera secţiunea ca un

plan de simetrie, deci am suprapune cele două jumătăţi ale

desenului, se constată că eforturile N şi M sunt simetrice, iar

eforturile T sunt antisimetrice. Această proprietate se regăseşte la.

diagramele T, M ale unei bare.

Aşa, de exemplu, la bara simetrică din Fig. 10.6, a, diagrama

M este simetrică, iar T este an-

tisimetrică. Invers, la bara încărcată antisimetric din Fig. 10.6, d,

diagrama M este antisimetrică, iar T este simetrică. Se observǎ cǎ,

în planul de simetrie al figurii (Fig. 10.6, c şi e) efortul antisimetric

este nul.

Aceeaşi proprietate se întâlneşte la orice cadru simetric sau

antisimetric. Fie cadrul dublu încastrat din Fig. 10.7, care, după

regula generală, este triplu static nedeterminat. Dacă se ia sistemul

de bază ca în Fig. 10.7, b, apar trei necunoscute, X1, X2, X3. În cazul

încărcării simetrice din Fig. 10.7, a. secţionând cadrul prin planul de

simetrie, forţa tăietoare este nulă şi apar numai eforturile şi

(Fig. 10.7, c). Pentru cadrul antisimetric din Fig. 10.7, d,

componentele N, M în planul de simetrie sunt nule şi există numai

forţa tăietoare . În acest fel, gradul de nedeterminare s-a

micşorat de la trei la doi pentru cadrul simetric, respectiv la unu

pentru cel antisimetric. Uneori, considerente de simetrie permit

determinarea imediată a unor necunoscute static nedeterminate cară

232

nu sunt nule. Aşa, de exemplu, inelul din Fig. 10.8, datorită simetriei,

nu are forţă tăietoare în secţiunea AB. Considerente de simetrie dau

valoarea forţei axiale , aşa că inelul rămâne de fapt simplu

static nedeterninat.

Fig. 10. 7 Fig. 10. 8

APLICAŢIE

Sǎ se construiască diagrama de momente încovoietoare pentru cadrul din

figurǎ. Cadrul fiind antisimetric, se ia sistemul de bazǎ ca în figura b. cu singura

necunoscutǎ X, (în planul de simetrie, forţa axialǎ şi momentul încovoietor sunt

nule).

Se construiesc diagramele M° (datoritǎ sarcinilor exterioare) şi m (datoritǎ

forţei unitare, pe direcţia lui X1,). Din diagramele M0 şi m rezultǎ:

Din diagrama m, înmulţită cu ea însǎşi. se află:

233

Se aplicǎ relaţia (10. 2):

Cunoscând această valoare, se aflǎ momentele:

cu care se construieşte diagrama din figura, e, care este antisimetrică.

234