F. RAPOARTE SI PROPORTII.

a 3a – 2b 1) Daca ­­­­= 0,1(6) , calculati ­­­­­­­­­­­­

b b – 2a

REZOLVARE 16­ 1 15 (15 1 a 1

0,1(6) = ­­­­­­­­ = ­­­­­­ = ­­­­­ ⇒ ­­­­ = ­­­ ⇒ a = 1⋅k ; b = 6⋅k 90 90 6 b 6

3a – 2b 3⋅1k ­ 2⋅6k 3k – 12k ­ 9k 9 ­­­­­­­­­­ = ­­­­­­­­­­­­­­ = ­­­­­­­­­­­­ = ­­­­­­­ = ­ ­­­­ b – 2a 6k ­ 2⋅1k 6k – 2k 4k 4

3x + y y 2) Daca ­­­­­­­­­ = 0,75 , calculati ­­­­­

2y – x x

REZOLVARE 75 (25 3 3x + y 3

0,75 = ­­­­­ = ­­­­ ⇒ ­­­­­­­­­ = ­­­­ ⇒ 4⋅(3x + y) = 3⋅(2y – x) ⇒ 12x + 4y = 6y – 3x ⇒ 100 4 2y – x 4

y 15 ⇒ 12x +3x = 6y – 4y ⇒ 15x = 2y ⇒ ­­­­­ = ­­­­­­ (deoarece produsul mezilor=produsul extremilor)

x 2 x 2

Similar ­­­­­ = ­­­­­ y 15

x y z 2x + 3y + 4z x 3 + y 3 + z 3 3) Daca ­­­­ = ­­­­­ = ­­­­ = 4, calculati: a) ­­­­­­­­­­­­­­­­­­ ; b) ­­­­­­­­­­­­­­­­

a b c 2a + 3b + 4c a 3 + b 3 + c 3

REZOLVARE x y z x + y + z x + y + z x y z

a) Pornim de la proprietatea ­­­­ = ­­­­ = ­­­­ = ­­­­­­­­­­­­­ ⇒ ­­­­­­­­­­­­­­ = ­­­­ = ­­­­­ = ­­­­ a b c a + b + c a + b + c a b c

2x + 3y + 4z 2x 3y 4z x y z ­­­­­­­­­­­­­­­­ = ­­­­ = ­­­­­ = ­­­­ = ­­­­­ = ­­­­­­ = ­­­­­ = 4 2a + 3b + 4c 2a 3b 4c a b c

x 3 + y 3 + z 3 x 3 y 3 z 3 x y z b) ­­­­­­­­­­­­­­­ = ­­­­­ = ­­­­­ = ­­­­­ = (­­­­) 3 = (­­­­­) 3 = (­­­­­) 3 = 4 3 = 64

a 3 + b 3 + c 3 a 3 b 3 c 3 a b c

4) Impartiti numarul 160 in parti direct proportionale cu numerele 3; 5; 8 REZOLVARE

Notez partile numarului 160 cu a, b, c. Daca a, b, c dp 3, 5, 8 ⇒ a=3k ; b=5k ; c=8k

Cum suma partilor este 160 ⇒ 3k+5k+8k=160 ⇒ 16k=160⇒ k=10 ⇒ a=30 ; b=50 ; c=80

http:/

/epro

fu.ro

/mate

matica

5) Aflati unghiurile unui triunghi stiind ca sunt invers proportionale cu numerele 0,(1) ; 0,(3) ; 0,1(6) REZOLVARE

1 3 (3 1 16 – 1 15 (15 1 0,(1) = ­­­­­ ; 0,(3) = ­­­­­ = ­­­­ ; 0,1(6) = ­­­­­­­­ = ­­­­­­ = ­­­­­

9 9 3 90 90 6 1 1 1

Notez unghiurile cu a, b, c ; deoarece a, b, c ip ­­­­ , ­­­­ , ­­­­ ⇒ a=9k ; b=3k; c=6k 9 3 6

Suma unghiurilor unui triunghi este 180° ⇒ 9k+3k+6k=180 ⇒ 18k=180 ⇒ k=10 ⇒ a = 90° ; b = 30° ; c = 60°

6) Aflati 5 numere stiind ca primele 3 sunt direct proportionale cu 2, 3, 4,ultimele 3 sunt direct proportionale cu 2, 3, 4 iar suma lor este 230.

REZOLVARE

Notez numerele cu a, b, c, d, e

a b c Din a, b, c dp 2, 3, 4 ⇒ ­­­­­ = ­­­­­ = ­­­­­­ = k

2 3 4

c d e Din c, d, e dp 2, 3, 4 ⇒ ­­­­­ = ­­­­­ = ­­­­­ = r

2 3 4

Deoarece numarul c este comun celor doua siruri de rapoarte incerc printr­o operatie matematica sa operez asupra unuia din cele 2 siruri de rapoarte astfel incat rapoartele in care se afla numarul c sa fie egale (ca sa pot obtine in final un singur sir de rapoarte egale)

1 In aceasta situatie inmultesc al doilea sir de rapoarte cu ­­­­ ⇒

2 c d e 1 c d e a b c d e ­­­­­ = ­­­­ = ­­­­ /⋅ ­­­ ⇒ ­­­­­­ = ­­­­­­ = ­­­­­­ ⇒ ­­­­­­­ = ­­­­­­ = ­­­­­­ = ­­­­­­ = ­­­­­­ = k ⇒ 2 3 4 2 4 6 8 2 3 4 6 8

a=2k ; b=3k ; c=4k ; d=6k ; e=8k

Cum a + b + c + d + e = 230 ⇒ 2k+3k+4k+6k+8k = 230 ⇒ 23k = 230 ⇒ k = 10 ⇒

a = 20 ; b = 30 ; c = 40 ; d = 60 ; e = 80htt

p://ep

rofu.

ro/m

atemati

ca