Mircea RadeVibraii mecaniceEditura PrintechPrefaLucrarea se bazeaz pe cursurile de Vibraii mecanice predate la Universitatea Politehnica Bucureti, la facultatea I.M.S.T. (1972-2006), la cursul postuniversitar deVibraii organizat n cadrul Catedrei de Rezistena materialelor (1985-1990), la Facultatea de Inginerie n Limbi Strine, Filiera Englez (19932007) i la un curs de masterat de la Facultatea de Inginerie Mecanic i Mecatronic. Vibraiile mecanice au fost introduse n planul de nvmnt al facultilor cu profil mecanic ca un curs de sine stttPentru a susine cursul, am publicat, sub conducerea profesorului Gh. Buzdugan, monografia Vibraiile sistemelor mecanice la Editura Academiei n 1975, urmat de dou ediii ale manualului Vibraii mecanice la Editura didactic i pedagogic n 1979 i 1982. 4 am publicat Vibration Measurement la Martinus Nijhoff Publ., Dordrecht, reprezentnd versiunea revizuit n limba englez a monografiei ce a aprut n 1979 la Editura Acdemiei. Dup cum reiese din Cuprins, cursul este orientat spre aplicaii inginereti,fiind limitat la ceea ce se poate preda n 28 ore. Materialul prezentat conine exerciii rezolvate care susin seminarul, n cadrul cruia se utilizeaz programe cu elementefinite elaborate de autor i se prezint lucrri demonstrative de laborator, fiind utile i la rezolvarea temelor de cas. Cursul urmrete a) descrierea fenomenelor vibratorii ntlnite n practica inginereasc; b) modelarea sistemelor vibratoare i analiza acestora cu metoda elementelor finite; i c) narmarea studenilor cu baza fizic necesar n mdelarea analitic i numeric a structurilor n vibraie i a mainilor, pentru elaborareauiilor inginereti ale problemelor de vibraii. n volumul al doilea se vor prezenta vibraiile autontreinute, metode de calcul pentru probleme de valori proprii de ordinmare, estimarea pametrilor sistemelor vibratoare pe baza analizei funciilor rspunsului n frecven, analiza modal experimental i ncercrile la vibraii. Nu se trateazsistemelor rotor-lagre i vibraiile discurilor i paletelor, acestea fiind studiate n cadrul cursului de Dinamica mainilor. Decembrie 2008 Mircea RadeCuprinsPrefa Cuprins 1. Modelarea sistemelor vibratoare1.1 Vibraii i oscilaii 1.2 Sisteme discrete i sisteme continue 1.3 Sisteme cu un grad de libertate 1.4 Micri vibratorii 1.5 Amortizarea vibraiilori iii 11 2 3 4 62. Sisteme cu un grad de libertate2.1 Vibraii libere neamortizate2.1.1 Sistemul mas-arc 2.1.2 Rigiditatea elementelor elastice 2.1.3 Sisteme torsionale 2.1.4 Metoda energetic 2.1.5 Metoda lui Rayleigh999 11 13 15 162.2 Vibraii forate neamortizate2.2.1 Excitarea masei cu o for arbitrar2.2.4 Curbe de rspuns n frecven 2.2.5ana cu amplitudine constant a deplasrii.9 Antirezonana 2.2.10 Transmisibilitatea2020 21 23 24 25 27 27 28 29 30 312.2.2 Excitarea masei cu o for armonic 2.2.3Rezonana 2.2.6 Trecerea prin rezonan 2.2.7 Re2.2.8 Excitaia cu mase excentrice n rotaie 2.2.2.11 Turaia critic a rotorului Lavaliv 2.3 Vibraii libere amortizate2.3.1 Amortizarea vscoas 2.3.2 Decrementul logaritmic 2.3.3 Factorul de pierderiVIBRAII MECANICE 3334 37 402.4 Vibraii forate amortizate2.4.1 Vibraii staionare cu amortizare vscoas 2.4.2 Diagrama deplasare-for 2.4.3 Amortzarea structural 2.4.4 Metoda punctelor de semi-putere 2.4.5 Metoda masei adiionale 2.4.6 Rezolvarea prin algebra complex 2.4.7 Funciile rspunsului n frecven 2.4.8 Diarama polar a receptanei pentru amortizare vscoas 2.4.9 Transmisibilitatea n sisteme amortizate 2.4.10 Teoria captorilor seismici 2.4.11 Precesia rotorului Laval cu amortizare extern 2.4.12 Amortizarea ereditar4041 44 46 47 49 50 51 55 59 60 64 662.5 Sisteme cu rigiditate cubic2.5.1 Rigiditatea cubic 2.5.2 Rspunsul armonic 2.5.3 Curbele rspunsului n frecven 2.54 Fenomene de salt7172 72 74 792.6 Vibraii tranzitorii2.6.1 Rspunsul la fore impulsive aplicate masei 2.6.2 Rspunsul la excitaie prin oc aplicat suportului 2.6.3 Spectrul rspunsului la oc8080 88 92Probleme943. Sisteme cu dou grade de libertate3.1 Vibraii de translaie3.1.1 Ecuaiile de micare 3.1.2 Vibraii libere. Moduri proprii de vibraie 3.1.3 Ortogonalitatea modurilor proprii 3.1.4 Coordonate modale 3.1.5 Rspunsul la excitaie armonic99100100 101 105 106 108CUPRINS 3.2 Vibraii de torsiune3.2.1 Ecuaiile de micare 3.2.2 Sistemul disc-arbore-disc 3.2.3 Sisteme cu roi dinate3.2.4 Sisteme ramificatev 113113 114 120 1223.3 Vibraii de ncovoiere3.3.1 Flexibiliti (coeficieni de influen) 3.3.2 Ecuaiile de micare 3.3.3 Modurile prii de vibraie 3.3.4 Vibraiile libere 3.3.5 Rspunsul la excitaie armonic124124 126 127 129 1353.4 Vibraii cuplate de translaie i rotaie3.4.1 Ecuaiile de micare 3.4.2 Modurile proprii de vibraie139139 1413.5 Pendule cuplate elastic3.5.1 Ecuaiile de micare 3.5.2 Modurile proprii de vibraie 3.5.3 Vibraii libere145145 146 1473.6 Sisteme amortizate3.6.1 Amortizarea vscoas proporional 3.6.2 Vibraii libere amortizate 3.6.3 Rspunsul lexcitaie armonic 3.6.4 Amortizorul vscos neacordat 3.6.5 Absorbitorul de vibraii amortizat 3.6.6 Amortizarea vscoas neproporional150150 151 155 162 164 173Probleme1804. Sisteme cu mai multe grade de libertate4.1 Sisteme cu mase concentrate4.1.1 Bare cu mase concentrate 4.1.2 Structuri multietajate forfecate 4.1.3 Sisteme torsionale 4.1.4 Structuri cu subsisteme repetate 4.1.5 Sisteme discrete cumai multe mase185186186 195 197 204 206vi 4.2 Structuri plane din bare articulateVIBRAII MECANICE 212212 214 215 217 218 2204.2.1 Coordonate i funcii de form pentru elementul truss 4.2.2 Matricile elementului n coordonate locale 4.2.3 Transformarea din coordonate locale n coordonate globale 4.2.4 Matricile elementului n coordonate globale 4.2.5 Asamblarea matricilor de rigiditate i de mas 4.2.6 Ecuaiile de micare i problema de valori proprii4.3 Cadre plane4.3.1 Analiza static a unei grinzi de seciune constant 4.3.2 Discretizarea cu elemente finite 4.3.3 Funcii de form statice pentru elementul de grind 4.3.4 Matricea derigiditate a unui element de grind 4.3.5 Matricea de mas coerent a elementului degrind 4.3.6 Eforturi axiale 4.3.7 Matricile unui element de cadru n coordonate locale 4.3.8 Transformarea coordonatelor 4.3.9 Matricile elementului de cadru n coordonate globale 4.3.10 Asamblarea matricilor de rigiditate i de mas222222 223 225 227 229 230 230 231 232 233 236 236 237 239 2404.4 Grilaje4.4.1 Discretizarea cu elemente finite 4.4.2 Matricile elementului de grilaj n coordonate locale 4.4.3 Transformarea coordonatelor 4.4.4 Matricile elementului degrilaj n coordonate globale4.5 Funcii de rspuns n frecven4.5.1 Matricea FRF 4.5.2 Diagramele FRF243243 244Probleme2495. Sisteme continue5.1 Vibraiile laterale ale barelor zvelte5.1.1 Ecuaia diferenial a micrii 5.1.2 Modurile proprii de vibraie 5.1.3 Ortogonalitaea funciilor proprii 5.1.4 Grinzi continue 5.1.5 Condiii la limit naturale261261261 263 269 271 273CUPRINS5.1.6 Rspunsul la excitaie armonic 280vii5.2 Vibraiile longitudinale ale barelor 5.3 Vibraiile torsionale ale barelor 5.4 Grinzi Timoshenko285 288 2906. Unde elastice6.1 Propagarea undelor 6.2 Unde longitudinale n bare prismatice6.2.1 Ecuaia undelor. Soluia lui dAlembert 6.2.2 Unde armonice 6.2.3 Unde n bara delungime finit 6.2.4 Propagarea energiei prin unde 6.2.5 Atenuarea undelor291291 294 294 297 302 304 3066.3 Unde transversale n bare prismatice6.3.1 Viteza de faz i viteza de grup 6.3.2 Unde n bara rezemat pe mediu elastic310310 3146.4 Unde n medii elastice6.4.1 Ecuaiile undelor n trei dimensiuni 6.4.2 Unde longitudinale i unde transversale 6.4.3 Unde Rayleigh 6.4.4 Unde Love316316 318 321 3276.5 Unde ghidate n plci6.5.1 Unde Lamb n plci 6.5.2 Unde Love n plci333333 337Bibliografie Index339 3471.MODELAREA SISTEMELOR VIBRATOAREVibraiile sunt fenomene dinamice ntlnite n activitatea curent, de la btile inimii, agatul i mersul pe jos, legnatul copacilor n btaia vntului i trepidaiile cldirilor lremure, la vibraiile instrumentelor muzicale, ale perforatoarelor pneumatice i benzilor transportoare oscilante. De cele mai multe ori vibraii sunt denumite micrile nedorite care produc zgomote sau solicitri mecanice relativ mari. n acest caz intereseaz n special efectul vibraiilor asupra omului, mainilor i cldirilor. Modelarea fenoenelor vibratorii implic definirea structurii i parametrilor corpurilor n vibraie, afunciilor care descriu excitaia i a nivelelor rspunsului dinamic. Acest capitol introductiv cuprinde definiii i clasificri, necesare pentru o imagine general a principalelor noiuni utilizate n studiul vibraiilor.1.1 Vibraii i oscilaiiConform Dicionarului explicativ al limbii romne (DEX1998), vibraia este o micare pec a unui corp sau a particulelor unui mediu, efectuat n jurul unei poziii de echilibru. Oscilaia este variaia periodic n timp a valorilor unei mrimi care caracterizeazistem fizic, nsoit de o transformare a energiei dintr-o form n alta. Oscilaiile der mecanic, termic, electromagnetic etc. sunt fenomene dinamice caracterizate prin variaia n timp a unei mrimi de stare a sistemului, de obicei n vecintatea valorii corespunztoare unei stri de echilibru. Vibraiile sunt oscilaii ale sistemelor elastice, adic micri ale sistemelor mecanice datorite unei fore de readucere elastice. Astfel obar elastic sau o coard vibreaz, n timp ce un pendul oscileaz. Toate corpurile careu mas i elasticitate pot vibra. Un sistem vibrator are att energie cinetic, nmagazinat n masa n micare, ct i energie2VIBRAII MECANICEpotenial, nmagazinat n elementul elastic ca energie de deformaie. n timpul vibraiilre loc o transformare ciclic a energiei poteniale n energie cinetic i invers. ntr-unistem conservativ, n care nu exist disipare de energie, energia mecanic total este constant. n poziia de amplitudine maxim a deplasrii, viteza instantanee este zero, sistemul are numai energie potenial. n poziia de echilibru static, energia de deformaieeste nul iar sistemul are numai energie cinetic. Energia cinetic maxim este egal cu energia de deformaie maxim. Egalnd cele dou energii se poate calcula frecvena propriefundamental de vibraie. Acesta este principiul metodei lui Rayleigh. Sistemele vibratoare sunt supuse amortizrii datorit pierderii de enegie prin disipare sau radiaie. Amortizarea produce descreterea amplitudinii vibraiilor libere, defazajul ntre excitaie i rspuns, precum i limitarea amplitudinii rspunsului forat al sistemelor vibrtoare.1.2 Sisteme discrete i sisteme continueNumrul gradelor de libertate ale unui sistem vibrator este egal cu numrul coordonatelor independente necesare pentru a defini complet configuraia instantanee a sistemului. Rezult c pentru a defini micarea tuturor particulelor unui sistem, numrul gradelor de libertate ar trebui s fie infinit. Totui, n probleme practice, se utilizeaz sisteme similare din punct de vedere dinamic, cu numr redus de grade de libertate. Criteriile prin care se stabilete numrul gradelor de libertate ale unui sistem se bazeaz pe considerente practice. Astfel, unele dintre micrile posibile ale sistemului pot fi att de mici nct s nu prezinte interes. Grupuri de particule cu micri pactic similare pot fi considerate corpuri rigide, ceea ce permite reducerea numrului coordonatelor necesare pentru descrierea micrii. Domeniul frecvenelor forelor excitatoare poate fi att de ngust nct numai una sau cteva dintre frecvenele proprii potda natere la rezonane. Aceste consideraii conduc la conceptul de mase concentrate care sunt corpuri rigide conectate prin elemente elastice cu masa neglijabil. Micrile descrise de astfel de sisteme discrete sau cu parametri concentrai sunt adeseaaproximri suficient de bune ale vibraiilor reale pentru a satisface cerinele practice, oferind date utile proiectrii i valori privind limitele admisibile ale vibraiilor. Atunci cnd elementele deformabile au mase distribuite comparabile cu masele componentelor modelate prin corpuri rigide, aproximarea se poate1. MODELAREA SISTELOR VIBRATOARE3mbunti innd cont de masa elementelor elastice. Deobicei masa proprie este concentrat-un numr arbitrar de puncte, n funcie de gradul de aproximare dorit. Exist ns multe eemente de maini i structuri cu form att de simpl nct pot fi considerate sisteme cu ninfinit de grade de libertate. Astfel de sisteme continue sau cu parametri distribuii pot fi modelate ca bare, fire, plci, membrane, nveliuri sau combinaii ale acestora. n aplicaiile inginereti, structurile cu form complicat sunt nlocuite prin modelematematice discrete. O metod eficient de discretizare este metoda elementelor finite. Sistemul cu numr infinit de grade libertate este nlocuit cu un sistem discretcare are aceeai comportare dinamic. Structura real este divizat (ipotetic) n subdomenii bine definite (elemente finite) care sunt att de mici nct forma funciei cmpului dedeplasri poate fi aproximat destul de precis, urmnd s se determine doar mrimea acesteia. Elementele individuale sunt apoi asamblate astfel nct deplasrile lor sunt compatibile la nodurile elementelor i n cteva puncte la interfaa lor, tensiunile internesunt n echilibru cu forele aplicate reduse la noduri, i condiiile la limit sunt satisfcute. Erorile de modelare nclud alegerea unui tip neadecvat de element, funcii deform incorecte, reazeme nepotrivite i o reea de discretizare grosier.1.3 Sisteme cu un grad de libertateUn numr surprinztor de mare de probleme de vibraii care apar n practica inginereasc pot fi rezolvate cu o precizie acceptabil modelnd sistemul real ca un corp rigid rezemat elastic, a crui micare poate fi descris de o singur coordonat. Cel mai simplu sistem vibrator const din corpul a crui micare este studiat i mediul nconjurtor, fae se msoar micarea. Analiza acestui sistem simplificat parcurge patru etape. n primaetap se stabilete partea sistemului care reprezint corpul rigid i cea care reprezint elementele deformabile. n etapa a doua se calculeaz parametrii dinamici ai corpului rigid i ai elementelor elastice. n etapa a treia se scriu ecuaiile de micare alesistemului echivalent. Etapa a patra const din rezolvarea ecuaiilor de micare n condiiile date pentru vibraii libere sau forate. n ultimele dou etape se pot utiliza metode diferite, bazate pe expresiile energiilor cinetic i potenial ale sistemului. Primele dou etape implic discernmnt i experien, care se dobndesc n practic, n processistemelor echivalente, definirii micrii acestora i comparrii prediciilor cu rezultatele msurrilor pe sistemele reale. Verificarea i validarea modelelor pot impune reactualizarea parametrilor sistemului sau chiar a structurii modelului. Adecvareasoluiei depinde n mare msur de priceperea cu4VIBRAII MECANICEcare se aleg ipotezele simplificatoare de baz. Opiunea principal este ntre un modelliniar i un model neliniar. Alegerea tipului amortizrii poate fi o surs de erori, deoarece amortizarea nu poate fi calculat la fel ca masa i rigiditatea. Ultimele dou etape constau din aplicarea unor proceduri stabilite de matematicieni. Activitatea inginereasc propriu-zis se limiteaz la primele dou etape, n timp ce ultimele doutape pot fi considerate ca aplicri directe ale unor reete de calcul. n capitolul 2se studiaz sisteme cu un grad de libertate. Sistemele discrete sunt analizate n capitolele 3 i 4. Capitolul 5 este dedicat vibraiilor barelor iar capitolul 6 este ointroducere n studiul propagrii undelor n bare i medii elastice infinite.1.4 Micri vibratoriin funcie de cauza care produce sau susine micarea vibratorie, se pot distinge: a) vibraii libere, produse de un impact sau o deplasare iniial; b) vibraii forate, produsede fore exterioare sau excitaii cinematice; c) vibraii parametrice datorite variaiei, produse de o cauz extern, a unui parametru al sistemului; i d) vibraii autoexcitate produse de un mecanism inerent n sistem, prin conversia unei energii obinute dela o surs de energie constant n timp. Un sistem elastic scos din poziia de echilibru stabil, apoi lsat liber, efectueaz vibraii libere. n prezena unor fore de frecare,nergia mecanic este disipat, iar vibraia este amortizat dup un numr oarecare de ciclui. Frecvenele vibraiilor libere depind de masa, rigiditatea i amortizarea din sistem, fiind independente de condiiile iniiale ale micrii sau de fore exterioare sistemului. De aceea se numesc frecvene proprii sau frecvene naturale de vibraie. Inverseleacestora se numesc perioade proprii de vibraie. Pentru un anumit sistem, ele auvalori constante bine definite. Cnd toate particulele unui corp vibreaz ntr-o micarearmonic sincron, deformata dinamic este definit de o form proprie de vibraie. Vibrae forate (ntreinute) sunt produse de fore perturbatoare care exist independent de micre. n general, sarcinile exterioare sau deplasrile sunt aplicate dinamic, deci sunt variabile n timp. Astfel de excitaii implic un transfer de energie de la sursa perturbatoare periodic la sistem. Dac transferul are loc periodic, constant pe fiecare ciclu, vibraia forat este staionar, de amplitudine constant. Dac transferul se faneuniform, vibraia are caracter tranzitoriu, amplitudinea variind pn la stabilireaunui regimn staionar sau pn la amortizarea complet. Aplicarea brusc a unei perturbaiiproduce ocuri sau impacturi. ocul este o perturbaie prin care se transmite sistemului energie cinetic ntr-un interval de1. MODELAREA SISTELOR VIBRATOARE5timp scurt n comparaie cu perioada sa proprie de oscilaie. Rspunsul la un oc este deci, din momentul ncetrii aciunii, o vibraie liber. Excitaia tranzitorie este o perturbe care dureaz mai multe perioade de vibraie proprie ale sistemului. Vibraiile periodice i cele tranzitorii sunt fenomene deterministe, pentru care se pot stabili funcii de timp care s defineasc n orice moment valoarea instantanee a deplasrii. n multaplicaii practice se ntlnesc vibraii aleatoare, cu caracter nedeterminist, la carevalorile instantanee ale mrimilor care definesc micarea nu mai sunt predictibile.Se recurge la calculul probabilitilor i se lucreaz cu mrimi statistice sau valori medii, care n cazul proceselor staionare, ergodice i cu distribuie gaussian devin predictibile. n general, cnd asupra unui sistem liniar i cu parametri invariabili n timp se aplic o perturbaie oarecare, micarea rezultant este suma a dou componente distincte: vibraia forat, descris de o funcie asemntoare funciei excitaiei i vibraia propent doar de caracteristicile dinamice ale sistemului, a crei funcie de timp este deobicei o combinaie ntre o sinusoid i o exponenial. n cazul unei perturbaii armonicaleatoare staionare, vibraia proprie se amortizeaz imediat dup nceputul micrii, rmr vibraia forat, care n anumite condiii poate produce rezonan. Dac un sistem este ade o for exterioar periodic, a crei frecven este egal cu (sau apropiat de) una dienele proprii ale sistemului, vibraia produs are amplitudini relativ mari chiar pentru amplitudini relativ mici ale forei perturbatoare. Se spune c sistemul este ntro stare de rezonan. Un exemplu este leagnul mpins la anumite intervale. Alte exempleinclud vibraiile sistemelor cu roi dinate la frecvena de angrenare, vibraiile torsionale ale arborilor motoarelor cu ardere intern la frecvena aprinderilor din cilindri, vibraiile rulmenilor la frecvena trecerii bilelor peste un defect, etc. Rezonanaia natere la frecvenele la care suma celor dou energii reactive recuperabile potencinetic este nul, iar energia transmis sistemului este egal cu energia disipat prinfrecri. Fenomenul apare cnd spectrul de frecvene al excitaiei acoper un domeniu ce cuprinde frecvenele proprii ale sistemului. La rezonan o for de amplitudine constant prduce un rspuns maxim, sau, pentru a menine un rspuns de amplitudine constant, este necesar o for minim. Rezonana nseamn amplitudini mari ale micrii n anumite punctesistemului n vibraie, nsoite de solicitri i tensiuni mari sau micri relative consiile, care pot duce la ruperi prin oboseal, funcionare necorespunztoare, uzur, trepidaii, deci zgomot cu aciune nociv aspra omului.6VIBRAII MECANICEO rezonan este definit de o frecven, un nivel al rspunsului dinamic i o lime a currspuns n frecven. Evitarea regimurilor periculoase de vibraii din vecintatea rezonanr se poate face prin: a) modificarea frecvenelor excitatoare; b) modificarea masei sau rigiditii sistemului vibrator, pentru variaia frecvenelor proprii; c) cretereasau adugarea amortizrii, i d) ataarea unui absorbitor dinamic de vibraii. Dac micarere loc n prezena unei surse de energie, pot apare autovibraii (vibraii autoexcitate). Micarea este ntreinut de o for periodic, creat sau determinat de micarea nsite furnizat n mod uniform de sursa exterioar. Cnd micarea se oprete, fora periodicre. Exemple cunoscute sunt vibraiile corzii de vioar produse de arcu, scritul cretetabl sau al balamalei unei ui, iuitul mainilor unelte cnd sculele sunt ascuite neconztor, fluieratul tramvaiului la curbe, vibraiile liniilor electrice aeriene produsede vnt, etc. n timpul vibraiilor la rezonan i al celor autoexcitate, sistemul vibreala o frecven proprie. n primul caz vibraiile sunt forate, deci au loc la frecvena exctatoare (sau multipli ntregi ai acesteia, n cazul sistemelor neliniare). n al doilea caz, frecvena este independent de orice stimul exterior. Vibraiile parametrice sunt produse de variaia unui parametru dinamic al sistemului, rigiditatea sau ineria. Exemple sunt vibraiile transversale ale rotoarelor de seciune necircular, pendulelor de lungime variabil, sistemelor torsionale cu roi dinate, etc.1.5 Amortizarea vibraiilorAmortizarea reprezint disiparea energiei mecanice dintr-un sistem, deobicei printransformare n energie termic. Pierderea energiei prin radiaie, uneori definit ca amortizare geometric, nu este tratat n aceast lucrare. Mecanismele de amortizare frecvent utilizate sunt: a) frecarea uscat (coulombian), n care amplitudinea forei de amortizare este independent de vitez, b) amortizarea vscoas liniar, la care fora este prporional cu viteza, c) amortizarea vscoas proporional cu o putere a vitezei, i d) amizarea structural (histeretic, intern) n care fora este proporional cu deplasarea. Atizarea ereditar i cea dintre piesele cu jocuri sunt alte modele posibile. Amortizarea coulombian sau amortizarea prin frecare uscat este un mecanism de amortizareneliniar, produs de fore de frecare care se opun micrii. Fora de amortizare coulombian are amplitudine constant, fiind independent de vitez, odat ce s-a depit fora de fe static iniial. Energia disipat ntr-un ciclu de vibraie armonic este proporionalitudinea deplasrii i independent de pulsaie.1. MODELAREA SISTELOR VIBRATOARE7Amortizarea vscoas liniar este produs de frecarea relativ a moleculelor unui fluid vsos, care produce fore proporionale i de sens contrar vitezei unui obiect care se mic fluid. Energia disipat ntr-un ciclu de vibraie armonic este proporional cu frecvenau ptratul amplitudinii deplasrii. Este cel mai simplu model de amortizare, frecvent utilizat datorit simplitii matematice, n special pentru modelarea amortizrii externe, produse de micarea n mediul ambiant. Amortizoarele cu ulei din suspensia automobilelor i motocicletelor produc fore proporionale cu o putere a vitezei relative. Amortizarea proporional cu o putere a vitezei este un mecanism neliniar, n care energia disipat ntr-un ciclu de vibraie armonic depinde att de pulsaie ct i de amplitudvibraiei. S-a observat experimental c la multe materiale folosite curent n practic energia disipat ntr-un ciclu de vibraie armonic este proporional cu ptratul amplitudideplasrii dar este independent de pulsaie, deci modelul amortizrii vscoase liniare nu descrie corect comportarea acestor materiale. Aceeai constatare privete amortizarea produs de micarea relativ a elementelor asamblate prin nituire sau cu uruburi. Amortizarea structural sau histeretic este mecanismul de frecare de alunecare caredescrie aceast comportare. Fora de amortizare este proporional cu deplasarea relativdar n faz cu vitez relativ. Acest model de frecare a fost postulat i este strict valabil doar n cazul vibraiilor armonice. El nu reprezint un mecanism de disipare a energiei realizabil fizic, deoarece n cazul solicitrii n regim tranzitoriu conduce larezultate absurde. n acest caz, valoarea instantanee a forei de amortizare depindenu numai de variaia n timp a deplasrii pn n momentul aplicrii forei, dar i dup ant (sistem necauzal). Totui, n regim armonic i pe domenii limitate de frecvene, modelul amortizrii structurale d rezultate bune, confirmate experimental pe structuriaeronautice. Natura fizic a mecanismelor de amortizare este att de diferit, nct pentru descrierea lor s-au elaborat mai multe modele matematice, majoritatea fiind neliniare, deci implicnd dificulti de calcul. S-a recurs la conceptul de amortizare vscoas echivalent, prin care fora de amortizare neliniar se nlocuiete cu o for vscoaastfel nct energia disipat pe ciclu de amortizorul neliniar s fie egal cu cea disipat de un amortizor vscos echivalent, supus la o deplasare relativ de aceeai amplitudine. Generaliznd noiunea de amortizare echivalent, calculul analitic al vibraiilor mecanice este simplificat prin folosirea cu precdere a dou modele de amortizare vscoas i structural. Se egaleaz deci energia disipat ntr-un ciclu de vibraie prin toate mnismele de amortizare, inclusiv cea datorit radiaiei (prin unde, n medii continue infinite), cu energia disipat printr-un singur mecanism, vscos sau histeretic, ntr-un regim de vibraii cu aceeai amplitudine. Rezult astfel fie un coeficient de amortizare vscoas echivalent, fie un coeficient de amortizare structural echivalent, mrimiependente n general de8VIBRAII MECANICEpulsaie i amplitudinea deplasrii, cu care se lucreaz ca i cnd ar fi constante, urmnde determine experimental domeniile n care aceast ipotez este valabil.2.SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATESistemele vibratoare au mas i elasticitate. Cel mai simplu sistem vibrator const dintr-o mas ataat de un arc liniar. Cnd micarea poate fi descris de o singur coordonatstemul are un singur grad de libertate. Utiliznd acest model simplu, se pot introduce concepte de baz ca frecvena proprie, rezonana, btile i antirezonana. n timpulilor, energia mecanic se disipeaz prin amortizare. Aceasta limiteaz amplitudinea micrii la rezonan, descrete amplitudinea vibraiilor libere, i introduce defazaje ntre rss i excitaie. Msurarea amortizrii este important deoarece ea nu poate fi calculat caelelalte dou proprieti, masa i rigiditatea.2.1 Vibraii libere neamortizateVibraia liber a unui sistem mas-arc, care are loc n absena oricrei excitaii exterioaeste o micare armonic a crei frecven depinde exclusiv de masa i rigiditatea sistemuli, fiind independent de condiiile iniiale ale micrii. Fiind o proprietate intrinsec (atural) a sistemului, aceasta se numete frecven proprie sau frecven natural. Calculurecvenelor proprii se bazeaz pe valorile maselor i ale rigiditilor elementelor elastice.2.1.1 Sistemul mas-arcSistemul din fig. 2.1 const dintr-un arc liniar de rigiditate k i o greutate W avndmasa m = W g , unde g este acceleraia gravitaiei. Greutatea este constrns s se deplaseze pe direcie vertical, fr s se roteasc. Rigiditatea k este egal cu fora care proo variaie a lungimii arcului egal cu unitatea. n fig. 2.1, a se arat arcul netensionat. Cnd masa m este ataat arcului (fig. 2.1, b), captul acestuia se deplaseaz n jos e oprete n poziia de echilibru static, determinat de deformaia static st . n acest, greutatea10VIBRAII MECANICEW = mg care acioneaz n jos este echilibrat de fora din arc k st care acioneaz n s. 2.1, c), astfel nct sgeata static este mg st = . (2.1) k Dac masa este deplasat dpoziia de echilibru static i lsat liber, sistemul efectueaz vibraii libere. Pentru acrie ecuaia micrii, originea deplasrilor dinamice se alege n poziia de echilibru statc, astfel nct trebuie luate n considerare doar forele datorite deplasrii fa de aceasziie.Fig. 2.1Alegnd sensul pozitiv n jos, fora elastic ce acioneaz asupra masei n poziia x estefig. 2.1, ). Micarea masei este descris de legea a doua a lui Newton&& m x = k x ,care poate fi scris&& mx + k x = 0 , unde un punct deasupra literei denot derivarea n raport cu timpul.(2.2)Relaia (2.2) este o ecuaie diferenial de ordinul doi, omogen. Soluia general are forx = C1 sin n t + C 2 cos n t ,un e(2.3) (2.4)n =k m[ra /s]este pulsaia proprie neamortizat a sistemului.Frecvena proprie neamortizat estefn = 1 2 k . m[Hz](2.5)2. SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE11Constantele arbitrare C1 i C2 se determin pe baza condiiilor iniiale ale micrii. n cl general, sistemul poate porni din poziia x0 cu viteza v 0 , astfel nct soluia general devinex=nv0sin n t + x0 cos n t .(2.6)O alt form a soluiei generale estex = A sin (n t + ) , unde cele dou constante arbitrare sunt date de(2.7). (2.8) v0 Expresia (2.7) arat c vibraia liber a sistemului mas-arc este armonic i aloc la frecvena proprie f n . Mrimea A reprezint amplitudinea deplasrii fa de poziiaechilibru static iar este unghiul de az. Pulsaia n deinete frecvena vibraiei nani pe secund, 2 radiani coresunznd unui ciclu comlet de vibraie.A=x 2 + (v0 n ) 2 , 0 = arctgn x0Frecvena vibraiei este egal cu numrul de cicluri de micare n unitatea de timp. Inversl frecvenei proprii este perioada proprie de vibraieT = 1 f n = 2 n .[sec](2.9)Perioada vibraiei este egal cu timpul necesar micrii s se repete. Frecvena proprie nemortizat se poate exprima n funcie de sgeata static utiliznd relaia (2.1)fn = 1 2 g st,[Hz](2.10)un e g = 9,81 m s 2 este acceleraia gravitaiei.2.1.2 Rigiditatea elementelor elasticeDei sistemul cu un grad de libertate este deobicei modelat printr-o mas ataat de unarc cilindric elicoidal, n multe sisteme practice elementul elastic poate lua diferite forme sau poate consta din mai multe arcuri legate ntre ele. n fig. 2.2 rigiditile mai multor elemente elastice au fost calculate ca raport ntre fora aplicat i dplasarea punctului ei de aplicaie.12VIBRAII MECANICEFig. 2.2n fig. 2.3 se prezint dou tipuri generale de combinaii de arcuri.Fig. 2.3La legarea n serie (fig. 2.3, a), n ambele arcuri acioneaz aceeai for. Dou arcuri le, de rigiditi k1 i k 2 , acionate de greutatea W , se deformeaz static st =W W + =W k1 k 21 1 + k 1 k2 . 2. SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE13Rigi itatea echivalent, reprezentnd efectul combinat al arcurilor k 1 ik 2 , estekS = W 1 . 1 1 + k1 k 2 st=(2.11)Un sistem cu n arcuri legate n serie are o rigi itate echivalent k S dat de1 1 1 1 . = + + ... + kS k 1 k 2 kn(2.12)La legarea n paralel (fig. 2.3, b) deformaia ambelor arcuri este aceeai iar suma forelor din arcuri este egal cu greutatea aplicat W : W = k 1 st + k 2 st . Astfel, pentru arcuri legate n paralel, rigi itatea echivalent este kP = W st= k1 + k 2 .(2.13)n general, un sistem cu n arcuri n paralel are o rigi itate echivalent k P = k 1 +k 2 + ... + k n . (2.14)Regulile de compunere a rigiditilor arcurilor sunt aceleai cu cele utilizate la calculul capacitii totale a condensatoarelor legate n serie sau n paralel n circuitele electrice.2.1.3 Sisteme torsionaleSe consider sistemul torsional din fig. 2.4 care const dintr-un disc cu un momentde inerie masic J, kg m 2 , ataat de o bar sau un fir de rigiditate la rsucire K, Nm rad . Sistemul este constrns s efectueze vibraii unghiulare n jurul axei verticale. Dac poziia instantanee a discului este dat de unghiul , cuplul care acioneaz asuprdiscului este K astel nct legea a doua a lui Neton entru micarea unghiular este& J & = K ,care se mai scrie14VIBRAII MECANICE& J & + K = 0 ,(2.15)unde un punct deasupra literei denot derivare n raport cu timpul.Fig. 2.4Ecuaia (2.15) a fost stabilit de Ch. O. Coulomb n 1784. Soluia general are forma (t ) = C1 sin n t + C2 cos n t ,unden =K J[rad/s](2.16)este ulsaia proprie neamortizat a sistemului torsional. Frecvena proprie neamortizat este fn = 1 2 K . J [Hz] (2.17)Din Rezistena materialelor se tie c o bar de diametru d i lungime l , dintr-un material cu modulul de elasticitate transversal G, solicitat de un moment d4 M l M t sersucete cu un unghi = t , unde I p = este momentul de inerie GIp 32 polar al seciunii transversale a barei. Rigiditatea la rsucire (torsional) este deci GIp M K= t =. l Exist o analogie direct ntre sistemele n vibraii de translaie i cele n vibranale. Arcurile i masele din primul caz sunt nlocuite de arcuri torsionale i discuririgide care au moment de inerie masic polar.2. SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE152.1.4 Metoda energeticDac vibraia este armonic, atunci frecvena poate fi calculat printr-o metod energeticd nu exist disipare de energie, sistemul se numete conservativ. n orice moment, energia unui sistem conservativ este suma constant a energiilor potenial i cineticU + T = const .(2.18)Energia potenial maxim, care apare n poziia de elongaie maxim, unde masa stment, trebuie s egaleze energia cinetic maxim, care apare atunci cnd masa trecepoziia de echilibru static, cu vitez maxim. Fora din arc este k x , iar lucrulnic efectuat pe o deplasare infinitezimal dx este k x d x . Energia potenial dinc, acumulat cnd un capt al acestuia este deplasat pe o distan x , este U =pe locprinmecaar k x dx = 2 k x0x12. Presupunnd omicare armonic de forma x = A sin n t , energia otenial maxim este 1 U max = k A2 .1 Energia cinetic este n orice moment T = m v 2 . Viteza este 2 1 2 v = A n cos n t, astel c energia cinetic maxim este Tmax = m n A2 . 2Egalnd energiile maxime U max = Tmax , rezult unde se obine pulsaia proprie n =1 1 2 k A2 = m n A2 de 2 2 k m , indeendent de amplitudinea A .Exemplul 2.1S se determine pulsaia proprie a oscilaiilor fluidului ntr-un tub n form de U (fig. 25).Rezolvare . Fie l lungimea total a coloanei de fluid, A - aria seciunii transversale a tubului i - densitatea fluidului.Pesupunnd c particulele de fluid au aceeai vitez n orice moment, 1 & energia cineticare expresia T = A l x 2 . Dac fluidul oscileaz n tub, lucrul 2 mecanic efectuat este acelai ca i cnd o coloan de fluid de lungime x ar fi transferat din partea stng tea dreapt a tubului, lsnd restul fluidului nemicat.16VIBRAII MECANICEEnergia potenial instantanee este U = g A x 2 . nlocuind expesiile celo dou energii n condiia ca variaia n timp a energiei totale s fie nul d (T + U ) = 0 dt & i simpicnd cu x , se obine ecuaia diferenial a micrii fluidului 2g && + x x =0. lFig. 2.5Pulsaia proprien =2g leste independent de natura fluidului utilizat, de forma i aria seciunii transversale a tubului.2.1.5 Metoda lui RayleighMetoda lui Rayleigh este o aplicaie a metodei energetice la sisteme cu mas/elasticitate distribuit. Metoda este utilizat pentru a reduce un sistem cu parametri distribuii la un sistem echivalent mas-arc i pentru a determina pulsaia proprie fundamental a acestuia. Energiile cinetic i potenial se calculeaz presupunnd orice form defcare satisface condiiile la limit geometrice. Dac se alege deformata real sistemului, atunci formula lui Rayleigh va da pulsaia proprie adevrat a sistemului. Pentru orice alt curb, pulsaia dat de aceast metod va fi mai mare dect cea corect. Aceasta slic prin faptul c orice deviaie de la curba adevrat implic nite constrngeri suplime, deci o rigiditate mai mare i o2. SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE17pulsaie mai nalt. n continuare, metoda lui Rayleigh este aplicat vibraiilor de ncovoe ale barelor. Fie o bar cu modulul de rigiditate la ncovoiere E I (unde E este modulul de elasticitate longitudinal i I este momentul de inerie axial al seciunii transversale) i masa pe unitatea de lungime A (unde este densitatea mateialului i Aeste aria seciunii transversale). Se presupune c deplasarea lateral este armonic, cu frecvena 1 , sincon n toate punctele n lungul bareiy (x ,t ) = v (x ) cos 1 t .Enegia potenial instantanee esteU=M 2 dx 1 = 2EI 2 2 y EI 2 x x 2un e sa utilizat ecuaia diferenial liniarizat (4.65) a liniei elastice a bareiM = E I 2 y x2 .Valoarea sa maxim este 2v E I 2 x . x 2()U max1 = 22Energia cinetic instantanee esteT= 1 2 y 1 2 t y2m = 2 1 A x ,cu valoarea maxim 1 Tmax = 2 1 2 A v dx .2Egalnd enegia potenial maxim cu energia cinetic maxim, se obine formula lui Rayleigentru pulsaia proprie fundamental2 1 E I ( v x ) d x . = A v dx2 2 2 2(2.19)Exemplul 2.2S se determine pulsaia proprie fundamental a barei n consol din fig. 2.6.18VIBRAII MECANICERezolvare. Se alege forma deformat aproximativx v = v0 1 cos . 2l Aceast funcie satisface condiiile la limit x = 0 , v = 0 , dv dx = 0 , i x = l , d 2v d x 2 = 0 , ns nu satisface condiia x = l , tietoare nul), deci este o funcie admisbil aproximativ. d 3 v d x 3 = 0 (forFig. 2.64 E I 2 v0 . Energia cinetic 64 l 3 A 2 2 2 2 3 maxim este Tmax = A 2 v0 l = 1 v0 l 0,23 . 1 2 4 Egaln cele ou energii, se obine pulsaia proprie fundamrad/s) 3,6638 E I . 1= A l2Enegia potenial maxim este U max =Soluia adevrat (5.16) este 1 = fomula lui Rayleigh este cu 4 % mai mae.3,515 l2EIA, deci valoaea obinut cuDac funcia admisibil se alege deformata static a barei n consol acionat de o forcapt, la care se neglijeaz greutatea proprie x 2 x 3 3 , l gia cinetic energia potenial maxim este U max = 2 l3 2 1 33 Al 2 2 1 2 maxim este= 1 v0 = mre 1 v0 . 2 140 2 Egaln cele ou energii, pulsaia proprie fundaat de formula lui Rayleigh estev = v01 2()2. SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE193,5675 k = mred l2 EI , A1 =3E I l3 = (33 140) Alcae este numai cu 1,47 % mai mae dect valoaea adevrat (5.16). Relaia de mai sus arat c, pentru deformata aproximativ considerat, bara cu mas uniform distribuit are aceai pulsaie proprie ca o bar fr mas distribuit dar cu o mas concentrat (33 140 )l liber. Aceasta se numete masa redus a barei.Exemplul 2.3S se determine pulsaia proprie fundamental a barei libere la capete din fig. 2.7.Fig. 2.7Rezolvare. Se alege deformata aproximativ de formav = v 0 sinx a. lConstanta a trebuie determinat din condiia de conservare a cantitii de micare pentrubara liber la capete (viteza ) d (masa ) = ( v)( A dx) = A v dx = 0 ,0 0 0lllde unde ezult a = 2 v 0 . Utiliznd orma deormat x 2 v = v 0 sin , l se obine pulsaia proprie fundamental a barei1 =22,6 l2EI . A20VIBRAII MECANICEValoarea adevrat (5.21, a) este 1 = doa 0,9 %.22,4 l2EI deci discepana este A2.2 Vibaii forate neamortizateVibraiile forate sunt produse de fore exterioare variabile n timp sau deplasri impuse. Dac asupra masei acioneaz o for armonic de amplitudine constant i frecven variai cnd frecvena excitatoare se apropie de frecvena proprie a sistemului, deplasareamasei crete nelimitat. Aceast condiie se numete rezonan i este caracterizat de vibrternice. La sisteme neamortizate, frecvenele de rezonan sunt egale cu frecvenele proprii ale sistemului i, n majoritatea cazurilor, funcionarea la rezonan trebuie evitatLa sisteme amortizate, rspunsul la rezonan are amplitudine finit. Un leagn mpins lanumite intervale efectueaz oscilaii la rezonan. Funcionarea utilajelor de compactarea terenului i a betonului, a transportoarelor oscilante, a uneltelor i a ciururilor vibratoare este adesea bazat pe rezonan. Totui principala problem cu rezonana esteegat de efectele duntoare ale acesteia. Funcionarea la rezonan implic deplasri i tmari, care produc oboseal i ruperi, efecte nocive sau disconfort utilizatorilor, io descretere a preciziei produselor. Zgomotul produs de o main casnic sau de un subansamblu al unui automobil poate fi o piedic n vnzarea acestora. Dac fora armonic estaplicat arcului, deplasarea punctului de excitaie descrete la zero la frecvena proprie a sistemului. Aceast condiie se numete antirezonan. n general, aceasta este o prorietate local, dependent de punctul de aplicaie a excitaiei.2.2.1 Excitarea masei cu o for arbitrarFie fora F(t) cu o variaie arbitrar n timp (fig. 2.8). n intervalul de timp infinitezimal d , fora F ( ) poae fi considera constant. Suprafaa haurat reprezint un impinitezimal F ( ) d care produce o variaie de vitez F ( ) d . m Rspunsul masei m prodde impulsul diferenial, de-a lungul ntregii istorii de solicitare pentru t > , ese& dx=2. SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE21F ( ) d 1 sin n ( ) , (2.20) m n i poate fi dedus din (2.6) considernd c la tlasarea x0 = 0 i viteza & v0 = dx . dx=Se poate considera c ntreaga istorie de solicitare const dintr-o succesiune de astfel de impulsuri infinitezimale, fiecare producnd un rspuns diferenial de forma (2.20).Fig. 2.8Pentru un sistem liniar, rspunsul total se poate obine nsumnd toate rspunsurile difereniale produse n timpul istoriei de solicitare, deci integrnd expresia (2.20) dup cum urmeazx (t ) =1 mn F ( ) sin n ( ) d .0(2.21)Relaia (2.21) este cunoscut sub numele de integrala lui Duhamel pentru un sistem neamortizat.2.2.2 Excitarea masei cu oSistemul mas-arc din fig.mpliudine consan F0 irelor din fig. 2.9, b, sefor armonic2.9, a este excitat de o for armonic f (t ) = F0 cos de apulsaie perturbatoare , aplica masei. Pe baza diagramei foscrie legea a doua a lui Newton&& m x = k x + F0 cos ,care devine ecuaia diferenial a micrii22VIBRAII MECANICE&& m x + k x = F0 cos .(2.22)Soluia general a ecuaiei liniare neomogene (2.22) este suma soluiei (2.3) a ecuaiei cu membrul drept zero i a soluiei particulare. n regim staionar, soluia particular selege de aceeai form ca excitaiax P (t ) = X cos ,(2.23)unde X ese ampliudinea rspunsului forat.Fig. 2.9nlocuind soluia particular (2.23), ecuaia (2.22) devine m 2 X cos + k X cos =s , n care se poae simplifica cos , rezulnd( k m ) X = F20,X ssauX =F0 k m2=F0 k 1 m k2=1 ( n)2.(2.24)n expresia (2.24)F0 (2.25) k ese sgeata static a arcului produs de fora (constant) F0 iar n = k m espulsaia proprie neamortizat (2.4). X st =La pulsaii n , soluia general a ecuaiei (2.22) este2. SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE23x (t ) = C1 sin n + C2 cos n +1 ( n ) 2X scos .(2.26)Fiind suma a dou componente armonice de pulsaii diferite, soluia (2.26) nu reprezint o micare armonic. Dac deplasarea iniial este x0 i viteza iniial este v 0 , atunccuaia (2.26) se obine x (0 ) = C2 + deci rspunsul total estex (t ) = X st X st sinnt + x0 cosnt + cos t . 2 n 1 ( n ) 1 ( n )1 ( n ) 2X st= x0 ,& x (0) = C1n = v0 ,Pentru con iii iniiale nule, x0 = v 0 = 0 , rspunsul (2.27) devine x (t ) = 1 ( n )X s(cos cos n ) .(2.28)2.2.3 BtiDiferena cosinusurilor din relaia (2.28) se poate exprima sub form de produs x (t )= unde 1 ( n ) 2 2 X s sin m sin , (2.29)m =n + 2i =n 2.Aunci cnd devine foare mic, deoarece m ese relaiv mare, produsul din expresia(2.29) reprezin o oscilaie modulat n amplitudine. Micarea armonic cu pulsaia mai mam ese modula n amplitudine de micarea armonic cu pulsaie mai joas (fig. 2.10). Mrezultant, care este o oscilaie rapid cu amplitudinea variabil lent, este cunoscut sub numele de bti. Terminologia deriv din acustic. Cnd dou coarde de pian pentru aceeanot sunt puin dezacordate, se aude un sunet a crui intensitate crete i scade periodic(bti). Btile dispar cnd corzile sunt acordate la unison, i se aude o singur frecven24VIBRAII MECANICEFig. 2.10Btile se pot auzi ntr-un avion bimotor, cnd cele dou motoare au turaii puin diferitele apar n centrale electrice la pornirea unui generator. Puin nainte de conectareageneratorului la reea, frecvena curentului produs de generator este puin diferit defrecvena reelei. Zgomotul produs de generator i zgomotele produse de celelalte generatoare i transformatoare au nlimi diferite i se pot auzi btile.2.2.4 Curbe de rspuns n frecvenEste interesant de examinat n detaliu dependena de frecven a amplitudinii rspunsuluistaionar X= 1 ( n ) 2 1 X s . (2.30)Valoarea absolu a coeficientului lui X st n membrul drept al relaiei (2.30) se numete factor de amplificare dinamic. n fig. 2.11, a s-a reprezentat variaia amplitudinii X n funcie de pulsaia excitatoare . La pulsaii < n ordonaele sun poziive, fdeplasarea masei sunt n faz, n timp ce la pulsaii > n ordonaele sun negaive, fordeplasarea masei sunt defazate 180 0 (fig. 2.11, b). n timp ce pentru < n masa ese sub poziia de echilibru static cnd fora acioneaz n jos, pentru > n masa ese dea poziiei de echilibru cnd fora acioneaz n jos.2. SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE25Fig. 2.11Deobicei relaia de faz intereseaz mai puin, iar curba de rezonan este prezentat ca . 2.11, c cu modulul amplitudinii pe axa ordonatelor. Aceast diagram este denumit curba de rspuns n frecven.2.2.5 RezonanaLa n = 1 , cnd pulsaia perturbatoare coincide cu pulsaia proprie a sistemului, amplitudinea devine infinit (deoarece sistemul este neamortizat). Acest fenomen este numit rezonan, iar pulsaia proprie este uneori numit pulsaia de rezonan. Atunci clastic i fora de inerie se echilibreaz reciproc iar fora excitatoare produce cretereelimitat a amplitudinii micrii sistemului neamortizat. Sistemele amortizate au amplitudini finite la rezonan iar defazajul ntre for i deplasare este 90 0 (fig. 2.28).Se consider cazul n care, pornind din repaus, sistemul mas-arc este solicitat de ofor F0 cos n , unde n ese pulsaia proprie. Atunci cnd 26VIBRAII MECANICEdevine exact egal cu n , soluia (2.27) nu mai este valabil. nlocuindF ( ) = F0 cos n n ecuaia (2.21) se obineF x (t ) = 0 mnF x ( ) = 0 mn sin n t t cos sin ( )d ,n n00cos n d cos n F0 mn sin n . 220 cos n sin n d , x P (t ) =(2.31)Astfel, atunci cn este excitat la rezonan, amplitudinea sistemului neamortizat crete liniar n timp. Deoarece excitaia este o funcie cosinus iar rspunsul este o funcie sinus, ntre ele exist un defazaj de 90 0 .Fig. 2.12Soluia total pentru condiii iniiale nenule este n acest cazx (t ) =nv0sin n + x 0 cos n +F0 sin n . 2 m n(2.32)Variaia n timp a deplasrii la rezonan x (t ) este prezentat n fig. 2.12 pentru condiniiale nule. Se observ c x (t ) crete nelimitat, dar aceast cretere nu este instantane ci necesit un anumit timp, funcie de masa i rigiditatea sistemului.2. SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE272.2.6 Trecerea prin rezonanPentru majoritatea sistemelor vibratoare, valoarea staionar a amplitudinii deplasrii se atinge relativ repede, viteza cu care se realizeaz contnd mai puin. Totui, atunci cnd un sistem vibrator este accelerat prin rezonan, deci cnd frecvena excitatoareeste baleiat cu o anumit vitez = d dt , nu mai st timp suficint pntru atingravalorii staionare a deplasrii i amplitudinea la rezonan este finit chiar n cazul siselor neamortizate. Astfel, la trecerea prin rezonan, intereseaz rspunsul la o for curecven variabil. n acest caz, nfurtoarea rspunsului are un maxim ca un vrf de rezi urmat de bti. Dac frecvena excitatoare crete (fig. 2.13), atunci frecvena la care aare rspunsul maxim este mai mare dect cea obinut n condiii staionare, amplitudinea mm este mai mic i limea curbei de rezonan este mai mare. Dac frecvena excitatoare srecvena la care apare rspunsul maxim este mai mic dect cea obinut n condiii staionig. 1 2.13, fora are o variaie f (t ) = F0 sin t 2 + cu = const . 2 2Fig. 2.13Efectul vitezei e baleiaj epin e e amortizarea in sistem. Cu ct amortizarea este mai mic, cu att este necesar mai mult timp pentru atingerea nivelului staionaral rspunsului. Figura 2.13 este trasat pentru amortizare nul.2.2.7 Rezonana cu amplitudine constant a deplasriiRezonana este o stare n care fie o deplasare maxim este produs de o for cu amplitudinconstant, fie o for minim este necesar pentru a menine o anumit deplasare constant28VIBRAII MECANICECnd amplitudinea forei F este variabil i amplitudinea deplasrii X 0 este meninut connt, relaia (2.24) se poate scrieF = k X 0 1 ( n ) 2 .[](2.33)n fig. 2.14 s przint variaia valorii absolute a forei n funcie de pulsaia excitato, pentru X 0 = const. Pentru un sistem neamortizat, fora aplicat la rezonan este zero, deoarece fora elastic este echilibrat de fora de inerie.Fig. 2.14Rezonana este o stare n care o excitaie minim este necesar pentru a produce un rspunsdinamic maxim.2.2.8 Excitaia cu mase excentrice n rotaien multe cazuri practice, vibraiile apar sub aciunea forelor centrifuge produse de mase excentrice n rotaie. Spre deosebire de forele cu amplitudine constant, considerate anterior, forele produse de mase excentrice n rotaie au amplitudini proporionale cu ptratul pulsaiei. Aceste fore au forma m1e 2 cos t , fiind proicia vertical a forcentrifuge ce acioneaz asupra maselor m 1 2 n rotaie cu viteza unghiular i excentrtatea e (fig. 2.15, a). Amplitudinea vibraiilor forate produse de aceast for se poateobine nlocuind F0 cu m1e 2 n rlaia (2.24). RezultX= m 1 e 2 k m 2 = 1 ( n ) 2 m1 2 k =( n ) 2 . 1 ( n ) 2(2.34)2. SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE29n xprsia (2.34) m st masa total n vibraie care include i masa m1 .aFig. 2.15bn fig. 2.15, b se prezint variaia valorii absolute a amplitudinii X din relaia (2.34) n funcie de pulsaia , pntru = const . Diagrama pornte de la zero, tinde la infinit la rezonan i descrete la valoarea e la pulsaii nalte.2.2.9 AntirezonanaFie sistemul mas-arc nerezemat din fig. 2.16, acionat de o for armonic aplicat la bazEcuaiile de micare au forma&& m x 2 = k (x 2 x1 ) = F0 cos t .Amplitudina dplasrii punctului de aplicaie al forei este X1 = F0 k m 2 F0 1 ( = . k k m 2 ( n ) 2n cazul uni fore de amplitudine constant F0 = const . , valoarea absolut a amplitudii deplasrii are o valoare minim egal cu zero la pulsaia proprie. Aceast condiie estedefinit ca o antirezonan, deoarece sistemul se comport total diferit de rezonan, undeamplitudinea este infinit. n general, antirezonana are loc la o pulsaie la care o for de amplitudine maxim produce un rspuns de amplitudine minim. Spre deosebire de rezonan, care este o proprietate global a unui sistem n vibraie, independent de poziia ptului de aplicaie a excitaiei, antirezonana este o proprietate local, care depinde de poziia punctului de aplicaie a excitaiei.30VIBRAII MECANICEFig. 2.16n absena amortizrii, pulsaia de antirezonan a sistemului mas-arc excitat la baz esteai ca pulsaia de rezonan a sistemului rezemat la baz i excitat prin mas. Dac se ata doua mas la baz, n punctul de aplicaie al excitaiei, se obine un sistem mas-arc-macrui rspuns n punctul de aplicare a excitaiei are pe lng antirezonan i o rezonan2.2.10 TransmisibilitateaDac la baza sistemului mas-arc se aplic o deplasare impus (excitaie cinematic) x 1 =1 cos t , atunci micarea transmis masei x 2 = X 2 cos t st dfinit de raportul amplitudinilor X2 1 = . X 1 1 ( n ) 2 grafic n fig. 2.17 n funcie de pulsaia adimensio. Pntru valori n > 2 , transmisibilitata st subunitar (TR < 1) iar masa sistemului se spune c este izolat fa de micarea bazei. Izolarea vibraiilor este posibil ddeasupra rezonanei, la pulsaii > 2 n . Elmntul lastic dintr mas i baza n vibraoate fi proiectat astfel nct s asigure un anumit grad de izolare, impunnd o anumit valoare TR . Aceasta arat n ce msur micarea masei izolate este redus fa de cazul n ca ar fi montat direct pe baza vibrant. (2.35)Raportul TR = X 2 X 1 se numete transmisibilitate i este reprezentat2. SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE31Fig. 2.172.2.11 Turaia critic a rotorului LavalFie rotorul din fig. 2.18, compus dintr-un disc rigid, dispus la mijlocul unui arbore de mas neglijabil, rezemat la capete n lagre rigide, denumit rotorul Laval. Centrul de greutate G al discului se afl la o distan radial e de centrul su geometric C. Linia centrelor lagrelor intersecteaz planul discului n punctul O. Cnd arborele este rotit n jurul axei lagrelor, discul se rotete n planul su n jurul centrului geometic C. Asupra discului acioneaz o for centrifug m rG 2 , und st vitza unghiularrotaie, m este masa discului concentrat n G i rG = OG . Aceast for produce ndoireaelui, despre care se spune c este ntr-o stare de dezechilibru. Arborele reacioneaz cu o for de readucere elastic k rC aplicat n C, unde k este rigiditatea arborelui msurt n dreptul discului i rC = OC . Neglijnd efectul greutii proprii i al amortizrii,l este solicitat numai de aceste dou fore. Pentru a fi n echilibru, cele dou fore trebuie s fie coliniare, egale i de sens contrark rC = m 2 (rC + ) .Rzolvnd n funcie de rC , se obine rC = m 2 k m 2 = 1 ( n ) 2 ( n ) 2 ,und n = k m st pulsaia proprie a vibraiilor transversale ale rotorului la vitezunghiular nul.32VIBRAII MECANICEAceast expresie reprezint raza orbitei punctului C n precesie n jurul axei lagrelor cu viteza unghiular . Doarc simultan discul s rotte n jurul punctului C cu aceeai vitez unghiular, micarea arborelui se numete precesie sincron.Fig. 2.18Raza orbitei circulare a punctului G este rG = rC + e = 1 ( n ) 2 . (2.37)n fig. 2.19 s przint grafic variaia razelor rC (linie continu) i rG (linie ntreruptfuncie de viteza unghiular .Fig. 2.192. SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE33La o vitz unghiular 1 < n sistmul s rotte cu punctul G1 n rotete n interiorulului C 2 . La viteze unghiulare foarte mari, >> n , raza prcsi n jurul cntrului su de greutate. La = n , razl rC i rG cresc nelimitat. Turaia ncr = 30 n seete turaia critic a arborelui. Relaiile (2.36) i (2.37) arat c viteza unghiular criarborelui este egal cu pulsaia proprie a vibraiilor de ncovoiere ale rotorului. Variaia brusc a poziiei relative a punctelor O, C i G la turaia critic se datorete negliamortizrii. La sistemele amortizate, cnd turaia arborelui variaz, segmentul CG se rotete continuu fa de OC, astfel nct punctul cel mai ndeprtat (high spot) nu maipunctul greu (heavy spot). La turaia critic, unghiul ntre cele dou segmente este 9v. 2.4.11) . Dei exist o analogie evident ntre expresiile (2.36) i (2.37) pe de o pate, i rspunsul staionar al unui sistem liniar mas-arc (2.30) i (2.34) pe de alt partemicarea forat a arborelui n rotaie nu este o vibraie propriu-zis. n arbore nu apariuni ciclice, acesta se ncovoaie i ndoitura este constant la turaie constant. Defore ncovoiere este maxim atunci cnd viteza unghiular este egal cu pulsaia vibraiilor dovoiere ale arborelui pe care acesta le-ar efectua dac nu s-ar roti i ar executa doar vibraii laterale libere neamortizate. exteriorul punctului C1 , n timp ce la viteze unghiulare 2 > n punctul G 2 srC dvin gal cu excentricitatea e, iar punctele O i G coincid, discul avnd o2.3 Vibraii libere amortizaten timpul vibraiilor, energia mecanic se disipeaz prin frecri sau alte rezistene. n pena amortizrii, amplitudinea vibraiilor libere scade n timp iar pentru a menine constant amplitudinea vibraiilor trebuie aplicate fore exterioare. n general, disiparea de energie este denumit amortizare. Ea este produs de frecarea intern n materiale, defrecarea ntre componentele unei structuri, de interaciunile fluid-structur, de radiaie i de micarea n cmpuri electrice sau magnetice. Cel mai simplu mecanism de amortizare se datorete micrii ntr-un mediu vscos. Fora de amortizare vscoas este proporiviteza. Experiena a artat c n structuri aeronautice disiparea de energie este mai bine reprezentat de amortizarea structural. Amortizarea structural sau histeretic estedescris de o for de amortizare n faz cu viteza dar proporional cu deplasarea. Pentrdescrie mai bine comportarea unor sisteme vibratoare reale, s-34VIBRAII MECANICEau imaginat mecanisme mai complicate de amortizare, cum ar fi amortizarea ereditar.2.3.1 Amortizarea vscoasSistemul din fig. 2.20, a const dintr-un arc liniar de rigiditate k, o mas m i un amortizor vscos. Fora din amortizor este proporional cu viteza i de semn opus. Factorul de proporionalitate se numete coeficient de amortizare vscoas, c, avnd uniti N (m.Fig. 2.20n cazul vibraiilor libere, ecuaia diferenial a micrii se obine utiliznd diagrama fin fig. 2.20, b i legea a doua a lui Newton&& & m x = c x k x ,car mai poat fi scris&& & m x + cx + k x = 0 .(2.38)Presupunnd soluii de forma x = e s t , se obine ecuaia caracteristic c k s2 + s + = 0, (2.39) m m care are dou rdcini s 1, 2 = c 2m k c . m 2m 2(2.40)Soluia general pentru vibraiile libere amortizate este x ( t ) = C1 e s1 t + C2 e s2 t , (2.41)n care constantele de integrare se determin din condiiile iniiale ale micrii. Ca o me de referin, se alege amortizarea critic definit de valoarea coeficientului c pentru care radicalul din expresia (2.40) este zero2. SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE35cc = 2m sauk = n , m (2.42)cc = 2 k m = 2mn .Amortizara din sistm poat fi dfinit printr-o mrime adimensional, egal cu raportul ntre coeficientul de amortizare real i cel criticc , cc denumit raport de amortizare (sau fraciune din amortizarea critic) =(2.43)Cu aceast notaie, relaia (2.40) devine s 1, 2 = 2 1 n . (2.44) er cele trei cazuri distincte pentru natura rdcinilor (2.44), care pot fi reale diferite, complexe sau reale egale.Cazul I: Sistem amortizat subcritic, < 1Pentru < 1 , expresia (2.44) se poate scrie s 1, 2 = i 1 2 n . n.45) n soluia (2.41) rezult i x (t ) = e n t C1 e 1 2 n t(2.45)+ C2 e i 1 2 n t , sau, utilizn formula lui Euler ei = cos + i sin , dup transformri se obinex (t ) = A e n t sin 1 2 n t + . (2.46)Expresia (2.46) arat c micarea este oscilatorie cu amplitudine descresctoare. Descreterea amplitudinii n timp este proporional cu e n t , dup cum se arat cu linii ntn fig. 2.21. Pulsaia oscilaiei amortizate d = 1 2 n(2.47)este mai mic dect pulsaia proprie neamortizat n i se numete pulsaie proprie amortiu pseudopulsaie. Dac 1 , d tinde la ero i micarea nu mai este oscilatorie.36VIBRAII MECANICERelaia (2.44) se poate scries 1, 2 = i dunde(2.48) (2.49) = nete un factor de amortiare egal cu vitea de decretere a amplitudinii (panta tangentei la nfurtoarea exponenial la t = 0 ), deci o constant de atenuare.Fig. 2.21Se pot stabili urmtoarele relaii =2 d+2,n =2 = d + 2 .(2.50)Fig. 2.222. SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE37Caul II: Sitem amortiat upracritic, > 1Pentru > 1 , nlocuind rdcinile (2.44) n (2.41) rezultx (t ) = C1 e + 2 1 n t +C 2e 2 1 n t .Micarea nu mai este oscilatorie (Fig. 2.22) fiind denumit aperiodic.Fig. 2.23Cazul III: Sistem amortizat critic, = 1Amortiarea critic marcheaz tranziia de la micri oscilatorii la micri aperiodice. nt caz limit, soluia general estex ( t ) = ( C1 + C2 t ) e n t .Micarea este similar celei cu amortizare supracritic (fig. 2.23) dar revine la repaus n timpul cel mai scurt fr oscilaii. Aceast proprietate este utilizat la aparatelelectrice cu ac indicator, a cror parte mobil este amortizat critic pentru a revenict mai repede pe valoarea msurat.2.3.2 Decrementul logaritmicO modalitate de determinare a amortizrii ntr-un sistem n vibraie este msurarea vitezei de descretere a amplitudinii oscilaiilor. Aceasta se exprim convenabil prin decrementul logaritmic, definit ca logaritmul natural al raportului a dou amplitudinisuccesive. n cazul amortizrii vscoase, acest raport este constant, indiferent de amplitudinile utilizate n calcul. Se consider vibrograma unei vibraii amortizate (fig. 2.24), descris de expresia (2.46).38VIBRAII MECANICEFig. 2.24Sinusoida cu amplitudini descresctoare este tangent la nfurtoarea exponenial n punuate puin la dreapta punctelor cu valori extreme ale amplitudinii, unde funcia sinus este egal cu 1. ntruct aceast diferen este practic neglijabil, raportul a dou amdini succesive poate fi nlocuit cu raportul ordonatelor exponenialei calculate ladistan de o perioad de oscilaiex1 A e n t = = e n Td , n (t +Td ) x2 A eunde perioada vibraiei amortizate esteTd =2n 1 2=2d.Decrementul logaritmic este 2 x1 . (2.51) = n Td = x2 1 2 Pentru 2 , sistemul trebuie s treac prin rezonan, unde amplitudinea este limitat de atizare. n unele cazuri, exist o amortizare redus inerent iar amplitudinile mari n vecintatea rezonanei sunt eliminate prin limitatoare sau accelerarea prin rezonan. O problem similar de izolare a vibraiilor poate fi formulat pentru un sistem rezemat labaz i excitat prin mas (fig. 2.26). Dac fora excitatoare ce trebuie izolat este F0 eit (2.73), ir mplitudine complex a deplasrii este X (2.74), atunci fora transmis prin arc i amortizor, legate n paralel, este armonic i de amplitudineFT =(k X )2 + (c X )2(2.104)stfel c transmisibilitatea foreiTR = FT F0(2.105)este dat de expresia (2.102). De observat c fora transmis la baz prin arc i amortizoreste defazat fa de fora elastic i fora de amortizare.2.4.10 Teoria captorilor seismiciExist dou tipuri conceptual diferite de instrumente pentru msurarea vibraiilor: a) aparate cu punct fix sau cvasi-statice, care msoar micarea vibratorie fa de un punct de referin fix n spaiu, i b) captori seismici, n care micarea vibratorie este msuratasa unui sistem mas-arc-amortizor ataat structurii n vibraie.2. SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE61Captorul seismic (fig. 2.40) const din suportul S, ataat rigid de sistemul n vibraie, sistemul mas-arc-amortizor m-k-c, i traductorul T, care msoar micarea relativ ntresa seismic i suport. Se presupune c sistemul n vibraie, deci i baza captorului, efecteaz o micare armonicx 1 (t ) = X 1 cos t .(2.106)Neglijnd termenii trnzitorii, deplsre reltiv ntre masa m i suportul S poate fiscris sub formax r (t ) = X r cos ( t ) .(2.107)Deplaarea abolut a masei m, fa de un punct de referin fix, estex 2 = x1 + x riar acceleraia absolut este&&2 = &&1 + &&r . x x xEcuaia de micare a masei m este& m (&&1 + &&r ) + c xr + k xr = 0 x xsau& m &&r + c xr + k xr = m &&1 = m X 1 2cos t . x x(2.108)Fig. 2.40Ecuia (2.108) are o soluie staionar pentru careXr = X1[1 ( ) ]n(n ) 2+ (2 n )22 2,(2.109)62VIBRAII MECANICE = arctg1 ( n ) 22 n.(2.110)Fig. 2.41Fig. 2.422. SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE63n fig. 2.41 e arat variaia raportului amplitudinilor (2.109) n funcie de pulsaia adiensional n , pentru dou valori ale raportului de amortizare. Figura 2.42 prezint variaia defazajului n funcie de n . n funcie de domeniul de pulsaii utilizat, captor deplasarea, viteza sau acceleraia.Vibrometrul. n intervalul III, la pulsaii >> n , se observ cX r X 1 , eci eplasarea relativ X r ntre mas i suport, msurat de traductor,este practic egal cu deplasarea X 1 a structurii n vibraie. Figura 2.42 arat c, n acet domeniu de pulsaii, defazajul este = entru amortizare mic ( 0 ) , atfel c masi suportul vibreaz defazate cu 180 0 . Fa de un sistem de referin inerial (punct deferin fix) masa m rmne aproape nemicat (devine un punct fix n spaiu) iar micareaeste msurat n raport cu masa. Dac T este un traductor de deplasri, instrumentul esteun captor seismic de deplasri absolute (vibrometru). Dac T este un traductor de viteze, atunci instrumentul devine un captor de viteze. Captorii seismici de deplasri au frecvene proprii joase (1-5 Hz) care se obin cu valori mici ale rigiditii k,deci cu o suspensie moale a masei seismice, respectiv cu mase m mari.Accelerometrul. n intervalul I, la pulsaii n , discotete cu punctul G n interiorul cercului descris de C, iar lungimea segmentului OCdescrete. La turaii foarte mari, punctul G coincide cu punctul O, raza rC tinde spre e, iar arborele are o precesie n jurul centrului su de greutate.2.4.12 Amortizarea ereditarAmortizarea vscoas intervine n cel mai simplu model, care const dintrun amortizor legat n paralel cu un arc (fig. 2.26). numit modelul Kelvin-Voigt, cu amortizare cuplat direct.Fig. 2.46Alte modele simple includ mecanisme de amortizare vscoas cuplate elastic. n modelulMaxwell cu trei parametri, amortizorul este legat n serie cu un al doilea arc (fig. 2.46, a). Sistemul are dou grade de libertate. Ecuaiile de micare se scriu& & m && + k x + c (x x1 ) = f , x& & c (x x1 ) = k1 x1 .(2.115)Pentru o excitie f = F0 ei t , se presupun soluii de formax = X e i t , x1 = X 1 ei t ,(2.116)2. SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE67unde X i X 1 sunt amplitudini complexe. Ecuaiile (2.115) devin( k m(1 22 i c X + ( k1 + i c ) X 1 = 0 ,+ i c X i c X 1 = F0 ,)(2.117)i pot fi rescrise sub forma i 2 X + ( N + i 2 ) X 1 = 0 ,+ i 2 X i 2 X 1 = F0 k ,)(2.118)unde a notat n = k m , = n , = c 2 m n , N = k1 k .(2.119)Fig. 2.47Amplitudinea deplarii complexe a masei m este68VIBRAII MECANICEX F0 k=1 + i (2 N ) N + 1 221 + i 2 N().(2.120)Factorul de amplificare a deplarilorX F0 k=(1 )1 + (2 N ) 22 2+ (2 N ) 2 N + 1 2()2.(2.121)ete repreentat grafic n fig. 2.47 pentru un raport al rigiditilor N = 5 i diferitevalori ale raportului de amortizare. Diagrama unghiului de faz corespunztor esteprezentat n fig. 2.48.Fig. 2.48Expresia (2.121) poate fi ridicat la ptrat i scris sub forma2 X = 2 = C1 + C2 . F0 k C3 + 2 C4 2(2.122)sauC3 2 C1 + C4 2 C2 2 = 0 .()(2.123)Toate curele ascicolului repreentat de ecuaia (2.123) trec prin punctul de intersecie al celor dou curbe de ecuaiiC 3 2 C1 = 0 ,Acestea pot i exprimate su ormaC4 2 C2 = 0 .2. SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE69=sau X F0 k i X F0 kC1 C3 ,1 , 1 2 1 . N + 1 2=C2 C4 ,=(2.124)=(2.125)Expresia (2.124) repreint curba (2.123) de parametru = 0 . Expreia (2.125) repreint curba (2.123) de parametru = . Cele dou curbe se intersecteazXnpunctuldeabscis=(N + 2) 2iordonat(F0 k ) = 2N . Toate curbele de rspuns n frecven trec prin acest punct.Figura 2.47 arat c mici variaii ale amortizrii pot produce variaii nsemnate ale pulsai de rezonan. Aceast comportare este total diferit de cea a sistemelor cu amortizarevscoas cuplat direct (fig. 2.28), la care variaia pulsaiei de rezonan cu amortizareste neglijabil. Pulsaia de rezonan crete de la = 1 pentru = 0 , la = 1 + N pentrCnd amortiarea crete, vrful rspunsului nti descrete, apoi crete, ceea ce indic eunei amortizri optime opt = N 2 (N + 2) ,la care vrful de reonan are amplitudine minim, egal cu ordonata punctului de intersecie al tuturor curbelor trasate pentru diferite valori ale raportului de amortizare. Pentru N > 2 i valori ale raportului de amortizare 0,7 < < opt , n curbele derspuns n frecven nu apare un vrf de rezonan. Aceast comportare poate fi explicat arspunsul dinamic al modelului cu trei parametri din fig. 2.46, b. Comportarea acestuia este descris de dou ecuaii& & f1 = k x + c ( x x1 ) ,(2.126) (2.127)& & c ( x x1 ) = k1 x1 .Deorece nu interesez coordonata ascuns x1 , care definete gradul de libertate interior, se rezolv ecuaia (2.127) pentru x1 i se nlocuiete rezultatul n ecuaia (2.126).ult70VIBRAII MECANICEtf1 = k x + unde G (t ) x& ( ) d ,0(2.128)G ( ) = k 1 ek1 c(2.129)cu presupunerea subneleas c modelul este nesolicitat la t = 0 . n expresia (2.128) termenul care descrie amortizarea depinde de toat istoria variaiei n timp a vitezei;de aici denumirea de amortizare ereditar. Cnd fora f1 este dat ca o funcie de timp,uia ecuaiilor (2.126) i (2.127) este f (t ) 1 k 1 x (t ) = 1 + k + k1 c k + k1constanta e timp a mo elului este 1 1 1 =c + . k k1 Primul termen n membexpresiei (2.130) escrie rspunsul instantaneu, observat practic la multe sistemeamortizate. n continuare se consider rspunsul forat la excitaie armonic. nlocuind sile complexe (2.116) n ecuaiile (2.126) i (2.127), apoi eliminnd coordonata intern, se obine f1 = k x , unde rigiditatea complex k este k = k +i (2.131)2e0t 1f 1 ( ) d ,(2.130) c k1 . k1 + i c(2.132)Dac n expresia (2.132) se separ partea real i cea imaginar, se obine forma corespunze modelului cu amortizare vscoas cuplat direct k = ke + i ce , (2.133)unde rigiditte echivlent i coeficientul de amortizare vscoas echivalent sunt k2 22 k e = k + k1 2 (2.134) , ce = c 2 1 2 2 . k1 + 2 c 2 k1 + c2. SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE71Modelul cu mortizre ereditr este astfel redus la un model Kelvin-Voigt cu parametri dependeni de frecven. Rigiditatea echivalent k e crete cu pulsaia de la valoarek i tinde asimptotic spre k + k1 , n timp ce coeficientul de amortizare vscoas echivalent ce descrete de la valoarea c la zero. Energia disipat ntr-un ciclu de vibraieeste Wd = X 2 ce = X 2 c k12 k12 + 2 c 2(2.135)iind nul la = 0 i = , vnd o vlore mxim la 0 = k1 c pulsie la care ce = cFig. 2.49Aceast comportare se regsete i na este o dreapt care corespunde unuifa maxim. Cnd pulsaia tinde sprecorespunde unui arc de rigiditate k +curba de histerezis (fig. 2.49). La pulsaie nul acearc de rigiditate k. La = 0 elips re suprinfinit, rspunsul este o dreapt mai puin nclinatk1 .2.5 Sisteme cu rigiditate cubicSistemele vibratoare reale pot avea caracteristici neliniare. Fora elastic poate fi o funcie neliniar de deplasare, iar fora de amortizare poate fi o funcie neliniar de vitez sau deplasare. Dac un sistem neliniar este acionat de o for armonic, rspunsutaionar nu mai este armonic, ca la sisteme liniare, ci periodic, deci poate fi exprimat ca o sum de componente armonice. Sistemele cu neliniariti locale mici pot fistudiate folosind metoda liniarizrii echivalente, n care se presupune c rspunsul este dominat de72VIBRAII MECANICEcomponenta armonic fundamental. Se consider c rspunsul staionar const dintr-o singuronic la frecvena excitaiei, neglijnd componentele subarmonice sau supraarmonice. Rspunsul forat este studiat numai n vecintatea aa-numitei rezonane principale. Studiul sistemelor neliniare depete cadrul acestei lucrri. n continuare se descrie numai rspunsl armonic forat al unui sistem cu rigiditate cubic.2.5.1 Rigiditatea cubicLa sisteme fr prencrcri i fr jocuri, fora elastic poate fi reprezentat printr-ode deplasri fe = k x + x3 ,()(2.136)numit caracteristica elastic a arcului. Se spune (impropriu) c sistemul are o rigiditate cubic. n expresia (2.136), k este panta n origine iar este un coeficient de neliniaritate. Coeficientul este pozitiv la sisteme cu caracteristic tare (cu pantcresctoare) i negativ la cele cu caracteristic moale (cu pant descresctoare). Pentruo deplasare armonic x ( t ) = a cos t , fora elastic (2.136) devine f e = k a cos t+ a cos t . 3 1 nlocuind cos3 t = cos t + cos 3 t , i neglijnd termenul armonicsuperior n cos 3 t , se obine 3 f e k a cos t + a 2 cos t + .... = kech xgi itatea echivalent este 3 kech = k 1 + a 2 . (2.138) 4 Rspunsul dinamic alului neliniar se poate obine introducnd aceast rigiditate dependent de amplitudineadeplasrii n locul rigiditii constante n ecuaiile obinute pentru sistemul liniar.2.5.2 Rspunsul armonic(23)(2.137)n fig. 2.50 se prezint un sistem cu un grad de libertate, cu un arc neliniar i un element disipativ cu amortizare structural. Arcul are o caracteristic elastic tare,descris de o rigiditate cubic cu coeficient de neliniaritate pozitiv.2. SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE73Dac asupra masei acionez o for armonic de amplitudine constant F0 i pulsaie , ecare de tip Duffing a masei se poate scrie sub forma m && + x h& x + k x + x 3 = F0 e i t ,()(2.139)unde h = g k , ir g este un fctor de mortizre structurl echivalent.Fig. 2.50Rspunsul este aproximat cu prima armonic ~ x = a e i t = ( R + i I ) e i t = ei ( t + ) . (2.140)Utiliznd metod linirizrii armonice, se neglijeaz armonicele de ordin superior, deci se consider cx3 3 2 a x. 4(2.141)nlocuin (2.140) i (2.141) n (2.139) se obin componenta real i cea imaginar ale depli 3 k a R = 1 + a 2 2 a 2 = m 4 F0 aI = g un e sa notat k 2 a , F0k . m g k a2 , a F 0 22(2.142) (2.143)= , nn =(2.144)Amplitudinea deplarii742 2 a = aR + aIVIBRAII MECANICE(2.145) F02este dat implicit de expresia 2 = 1 + a2 3 4k 2 a2 g2 .(2.146)Unghiul de fz se calculeaz din relaiatg =g 2 1 a23 4= g F02 k 2 a2 g2.(2.147)Eliminnd i 2 ntre expreiile (2.142) i (2.143) se obine locul ~ geometric al vrfuvectorului a n planul complex, care este un cerc de ecuaie2 aR 1 F0 1 F0 = + aI + 2g k . 2g k 22(2.148)Aceasta este i entic cu ecuaia (2.82) obinut pentru sisteme liniare. Eliminnd amplitudinea a ntre relaiile (2.143) i (2.145) se obine dependena de frecven a componenteiginare a I a deplasrii 2 =1+ 3 4F0 ( I ) g gkF0 1 1 . g k ( I )(2.149)Similr, dependena de frecven a componentei reale a R a deplasrii se obine sub forma F 2 F 3 0 a R + 0 a R 2 2g k k F 2 = 1 + 3 0 . 2g k 2 22.5.3 Curbele rspunsului n frecven2(2.150)Pe baza relaiei (2.146), n fig. 2.51 s-au trasat curbele amplitudine-pulsaie pentruo valoare g = const . i cteva valori F0 ale amplitudinii forei armonice (care cresc n sensul sgeii).2. SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE75Curbele de rspuns sunt dispuse simetric fa de curba schelet de ecuaie3 (2.151) 4 care trece prin punctele e amplitu ine maxim. La sisteme liniare, aceasta este o linie vertical de abscis = n . L sisteme cu crcteristic tare ( > 0 ), curba schelet se apleac spre pulsaiile nalte. La sisteme cu caracteristic moale () , curba schelet se apleac spre pulsaiile joase.2 2 = n 1 + a 2 Locul geometric al punctelor cu tangent vertical de pe curbele amplitudine-pulsaieare ecuaia 2 = 1 + a2 3 49 2 4 a g2 16(2.152)i definete limita de stabilitate XLKY (Fig. 2.51).Fig. 2.51Fig. 2.52Punctele situate n interiorul regiunii delimitate de aceast curb definesc regimuriinstabile de vibraie. Pe curbele de rspuns aceste puncte corespund poriunilor trasate cu linie ntrerupt. Aceeai informaie este redat n fig. 2.52 unde s-au trasat curbelfordeplasare la diferite pulsaii (care cresc n sensul sgeii) i g = const . Acesteat curbe de pulsaie constant, numite i izocrone. Limita de stabilitate este definit de locul geometric al punctelor cu tangent orizontal. Punctul K definete amplitudinea maxim a forei pentru care vibraiile sunt stabile indiferent de amplitudinea deplasrii. Punctul L definete amplitudinea maxim a deplasrii pentru care vibraiile sunt stabile indiferent de nivelul forei. Curbele faz-pulsaie din fig. 2.53 se bazeaz pe expresia (2.147). Limita de stabilitate XLKY este definit de ecuaia76VIBRAII MECANICE2 =1+g 2 3 tg + , tg (2.153)care este locul geometric al punctelor cu tangent vertical n fig. 2.53.Fig. 2.53Curbele polare ale rspunsului n frecven sunt prezentate n fig. 2.54, n coordonate aIR . O stfel de reprezentre combin n aceeai diagram informaia asupra amplitudinii, fazei i pulsaiei vibraiei, iar regiunea din vecintatea rezonanei ocup o mare parte a crbelor.Fig. 2.54La sisteme neliniare se recomand trasarea diagramelor deplasrii i nu cele ale receptanei (deplasare/for) sau altor FRF. Fiecare punct reprezentat n2. SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE77planul complex este definit de doi parametri pulsaia excitatoare, , i amplitudineaforei F0 . Ca urmare, se pot trasa dou familii de curbe de rspuns, izocronele careunesc punctele cu aceeai pulsaie i diagramele Nyuist care unesc punctele cu nivelconstant al excitaiei. Deoarece att amplitudinea deplasrii ct i unghiul de faz suntuncii de amplitudinea forei, deviaia acestor curbe de la linia dreapt poate fi utilizat ca un indicator al comportrii neliniare. n general, faza este mult mai sensibilla neliniariti dect amplitudinea. n fig. 2.54, izocronele sunt trasate cu linii ntrerupte. Ecuaia lor se obine eliminnd F0 ntre expresiile (2.142) i (2.143). Rezult 3 2a (2.154) a R = 2 1 aR + a I I . 4 g Pentru = 0 , deci pentru sisteme liniuaia (2.154) descrie linii drepte care trec prin originea coordonatelor. Pentru 0, ecuaia (2.154) descrie curbe care trec prin origine, avnd deviaii de la forma rectilinie cu att mai pronunate cu ct F0 este mai mare, ajungnd s fie tangente la curbele Nyuist. Locul geometric al punctelor de tangen ale diagramelor Nyuist cu izocronele definete limita de stabilitate XLKY. Aceasta este o hiperbol de ecuaieaR aI =()2g 3(2.155)(definit numai pentru aR < 0 , a I < 0 ), simetric fa de bisectoarea a R = a I a axelor de coordonate. Limita de stabilitate XLKY intersecteaz bisectoarea a R = a I npunctul L, de pulsaie L = n 1 + 2 g , l o distn a L = 4g 3 de origine. La pulsaioase i amplitudini mici ale deplasrii nu apar fenomene de salt.Fig. 2.5578VIBRAII MECANICEPunctul K, unde curba limit de stabilitate este tangent la curba Nyuist de parametru F0 = k 32 g 3(93)ilaizocronadeparametru K = n 1 + 3 g , indic fora minim i pulsaia minim la care pot aparevibraii instabile. Acest punct corespunde unui unghi de faz K = 1200 . Punctele K iL sunt marcate i n fig. 2.51 2.53. Efectul rigidittii neliniare este o deplasare a frecvenelor n lungul diagramelor circulare Nyuist, n sens orar - pentru arcuri cu caracteristic moale, i n sens trigonometric pentru arcuri cu caracteristic tare, aa cuse arat n fig. 2.55. Rezonana principal ( = 1 ) nu mai apare n punctul de amplitudie maxim a deplasrii. Dac pe diagramele Nyuist se marcheaz puncte la intervale egalede pulsaie, atunci arcul de lungime maxim ntre dou puncte succesive nu mai apare larezonana principal, deci criteriul Kennedy-Pancu nu mai poate fi utilizat pentrulocalizarea rezonanei.Fig. 2.562. SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE79La sistemele cu un grad de libertate, cu rigiditate cubic i amortizare structural,diagramele Nyuist sunt cercuri ca la sistemele liniare. Neliniaritatea distorsioneaz izocronele care nu mai sunt linii drepte, ca la sistemele liniare, ci curben form de vrtej. Izocronele sunt curbate n sens trigonometric la sisteme cu caracterstic tare, i n sens orar, la sisteme cu caracteristic moale (fig. 2.56). Aceast proprietate poate fi utilizat la identificarea tipului neliniaritii.2.5.4 Fenomene de saltLa sisteme cu rigiditate neliniar, variaia pulsaiei sau amplitudinii forei excitatoare produce variaii brute de amplitudine i faz, numite fenomene de salt, care nu se nsc la sisteme liniare. Un prim tip de fenomene de salt apare atunci cnd amplitudinea forei armonice F0 este meninut constant iar pulsaia excitatoare variaz lent (fig.2.57, a). Pe msur ce pulsaia crete de la valoarea zero, amplitudinea deplasrii crete,vrful vectorului deplasare parcurge poriunea BF a diagramei Nyuist corespunztoarepn ajunge la limita de stabilitate n punctul C. Urmeaz un salt al amplitudinii i fazdin C n D, n lungul izocronei s = const . , dup care vrful vectorului revine pe diagrama Nyuist i parcurge arcul DO.aFig. 2.57bDac pulsaia are valori foarte mari i apoi scade, vrful vectorului deplasare parcurgearcele ODE i FB pe diagrama Nyuist, i sare din E n F n lungul izocronei i = constrcele BF i DO ale diagramei Nyuist definesc regimuri stabile de vibraii, arcele FC i ED definesc regimuri de vibraie condiionat stabile, n timp ce arcul CE definete regimuri instabile de vibraie. De aici rezult c, n prezena neliniaritilor puternice,uni nsemnate ale curbei de rspuns n frecven nu pot fi obinute experimental.80VIBRAII MECANICEUn alt fenomen de salt apare cnd pulsaia excitatoare este meninut constant i variazlitudinea forei armonice aplicate sistemului (fig. 2.57, b). Cnd amplitudinea foreiF0 crete progresiv, amplitudinea rspunsului crete. Vrful vectorului deplasare parcurge izocrona respectiv (arcul OVS ) pn la limita de stabilitate n punctul S. Urmeaz un salt din S n T, n lungul diagramei Nyuist F0 = const . , dup care vrful vectoruluiurmeaz izocrona (arcul TZ ). Cnd amplitudinea forei descrete, vrful vectorului deplasare parcurge poriunea ZTU a izocronei pn la limita de stabilitate n punctul U, de unde sare n punctul V, urmnd cercul F0 = const . dup care revine pe izocron de la V laO.aFig. 2.58bCele dou fenomene de salt sunt reprezentate n fig. 2.58, a pe o curb amplitudine-pulsaie i n fig. 2.58, b pe o curb for-deplasare.2.6 Vibraii tranzitoriin acest paragraf se studiaz rspunsul la excitaii nearmonice al sistemelor cu un gradde libertate neamortizate. Excitaiile pot fi fore aplicate masei sau deplasri, viteze sau acceleraii aplicate bazei (suportului) sistemului, fie brusc, rmnnd apoi constante, fie cu variaii brute ale amplitudinii pe o durat limitat. Ele se numesc ocuridac durata lor de variaie este mai mic dect perioada proprie de oscilaie a sistemului; n caz contrar se numesc excitaii tranzitorii.2.6.1 Rspunsul la fore impulsive aplicate maseiDac se neglijeaz amortizarea i pentru condiii iniiale nule, deplasarea produs prin exitarea masei unui sistem liniar mas-arc cu o for arbitrar F (t ) este dat de integrala lui Duhamel (2.21)2. SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE811 x (t ) = mn F ( ) sin 0n( ) d ,(2.156)n care m ese masa sisemului i n este pulsia proprie neamortizat (2.4).2.6.1.1 Rspunsul la o for aplicat bruscSe consider un sistem mas-arc solicitat de o for constant F (t ) = F0 aplicat brusc msei, sub forma unui impuls treapt dreptunghiular (fig. 2.59, a).Fig. 2.59nlocuind fora constant n relaia (2.156), se obine expresia deplasrii masei mx (t ) =F0 ( 1 cos nt ) , k(2.157)reprezentt grafic n fig. 2.59, b. Sistemul vibreaz liber n jurul poziiei de echilibru static xst = F0 k . Rspunsul maxim al sistemului neamortizat este dublu fa de celprodus de o for F0 aplicat static. Dac se ine seama de amortizarea inerent n sistemmplitudinea deplasrii masei m scade n timp i devine egal cu xst dup amortizarea complet a vibraiilor (fig. 2.59, c).2.6.1.2 Rspunsul la un impuls rampn majoritatea cazurilor practice, fora aplicat crete de la zero la valoarea nominal F0 ntr-un timp (diferit de zero) t1 , numit timp de cretere. Variaia n timp a forei82VIBRAII MECANICEF ( t ) = F0 F (t ) = 0,t , t1pentru pentru0 t t1 ,(2.158)t t1 ,definete un impuls de tip ramp limitat (fig. 2.60) sau un impuls de tip treapt cu timp de cretere t1 .Fig. 2.60Excitaia poate fi considerat ca suma a dou funcii de tip rampF1 ( t ) = F0 t t1(2.159) pentru 0 t t1 ,iF2 ( t ) = 0 F2 ( t ) = F0 t t1 , t1pentrut t1 .(2.160)Rspunsul la fora F1 ( t ) , notat x 1 ( t ) , se calculeaz nlocuind expresia (2.159)n integrala lui Duhamel (2.156)x1 ( t ) =F0 n k t1 sin 0n( ) d = F0 t k t1 sin nt . n t1 1Similar, rspunsul la fora F2 (t ) , notat x2 (t ) , se calculeaz nlocuind expresia (2.160) n integrala (2.156)F x2 (t ) = 0 mn t1t 11sin n ( ) d = F0 t t1 sin n ( t t1 ) . k t1 nt1 Rspunsul total, egal cu suma x ( t ) = x1 ( t ) + x2 ( t ) , este deci2. SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE83pentru t t1 ,x (t ) =F0 kt 1 t t sin nt , n1 1 (2.161)x (t ) =F0 k sin n t sin n (t t1 ) + 1 , pentru t > t1 . nt1 nt1 (2.162)Se observ c n cazul aplicrii lente (cvasistatice) a forei, cnd nt1 re vlori mri,iliile sunt mici i rspunsul este aproximativ egal cu valoarea static. Din punct devedere practic, intereseaz valoarea maxim a rspunsului tranzitoriu. Deoarece deobicei timpii de cretere sunt foarte mici, se poate admite c rspunsul maxim apare la t= tm care este mai mare ca t1 . Derivnd expresia (2.162) n raport cu timpul i anulndderivata, se obine timpul la care apare deplasarea maxim, exprimat sub form adimensional 1 cosnt1 tm 1 rctg = . t1 nt1 sinnt1 Pentru ntm > se calculeaz (2.163)sinnt m = cosnt m = 1 ( 1 cosnt1 ) , 2 sinnt1 . 2 ( 1 cosnt1 )(2.164)nlocuind (2.164) n (2.162) se obine deplasarea maxim raportat la deplasarea staticxmax =1+ 2 F0 k1 cosnt1 nt1,(2.165)cre se mi pote scrie sub form xmx T t = 1+ sin 1 . F0 k T t1 (2.165, a)n ig. 2.61, a se rezint variaia raportului xmax xst n funcie de raportul adimensional t1 nt1 = , (2.166) 2 T n care T este erioada rorie de vibraie a sistemului masarc. n fig. 2.61, b se arat variaia raportului tm T n funcie de t1 T .84VIBRAII MECANICEabFig. 2.61Cnd nt1 0 , rportul xmx xst tinde spre 2, vlore obinut pentru fora constant aplt brusc. Cnd nt1 , cest rport tinde spre 1, vlore corespunztoare aplicrii stata forei. Cnd cosnt1 = 1 , su nt1 = n (n = 0, 2, 4,..) , ramele roduc un raort xmax xst egal cu 1, deci rspuns fr vibraii.2.6.1.3 Rspunsul la un impuls triunghiular descresctorSe consider sistemul mas-arc solicitat de o for F (t ) avnd o variaie n timp ca n f.62, exprimat analitic sub forma t F ( t ) = F0 1 t , pentru pentru0 t t(2.167), t t , F (t ) = 0, un e t este urata impulsului.2. SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE85Fig. 2.62a) Faza I. Pentru t t , eci pe urata ct acioneaz fora, nlocuind expresia (2.167)(2.156), deci pentru condiii iniiale nule, dup efectuarea calculelor rezult x (t ) =F0 ( 1 cos n t ) + F0 t k k td sin n t t 1 . n (2.168)b) Faza II. Pentru t t , eci up ncetarea aciunii forei, condiiile iniiale ale mise determin nlocuind t = td n expresia (2.168) i n expresia derivatei acesteia n rapot cu timpul. Se obinex ( t d ) = xo = F0 k sin nt t cos nt , n(2.169)& x ( t) = vo =F0 k cos n t1 n sin n t+ . t t (2.170)Substituin expresiile (2.169) i (2.170) n ecuaia micrii libere neamortizate (2.6) iocuind t (t td ) , se obine x (t ) = k n t d F0[ sin ntd sin n ( t td )] F0 cos n t .k(2.171)Anulnd derivt n rport cu timpul funciei x(t ) , se obine timpul tm , msurat dinmomentul aplicrii forei, dup care apare rspunsul maxim. nlocuind aceast valoare n exsia deplasrii, se obine rspunsul maxim xmax = x(tm ) . (2.172)Pentru impulsuri de foarte scurt durat ( td T < 0,4 ) , rspunsul maxim apare n fazarspunsului liber (faza II). Altfel, el apare pe durata aplicrii impulsului (faza I).86VIBRAII MECANICEaFig. 2.63bn fig. 2.63, a se prezint variaia rspunsului maxim n funcie de raportul td T , unde T= 2 n este erioada rorie de vibraie a sistemului. n fig. 2.63, b se arat variaiaaportului tm T n funcie de td T . Aceste diagrame sunt deosebit de utile n proiectare, deoarece este suficient s se cunoasc perioada proprie de vibraie T i durata impulsului td pentru a se calcula timpul de rspuns maxim tm i valoarea rspunsului maxim.2.6.1.4 Rspunsul la un impuls dreptunghiularSe consider sistemul mas-arc solicitat de o for F (t ) avnd o variaie n timp ca n f.64, exprimat analitic sub forma F ( t ) = F0 , F ( t ) = 0, unde td este durataimpulsului. pentru pentru 0 t td , t td , (2.173)Fig. 2.642. SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE87Aplicareaentul t =rodus dex1 (t ) =forei F0 pe durata td este echivalent cu aplicarea brusc a forei F0 la mom0 , urmat de aplicarea brusc a forei F0 l momentul t = td . Deplsre pprima for este de forma (2.157)F0 ( 1 cos nt ) . kDeplsre produs de a doua for, pentru t > td , se obine nlocuind F0 cu F0 i t cud n (2.157) x2 (t ) = F0 k[ 1 cos n (t t d ) ] .F0 [ cos n (t td ) cos nt ] kDeplsre totl este x = x1 pentru 0 t td , iar pentru t td este x (t ) = x1 + x2 = saux (t ) = 2t F0 t sin nsin n t . 2 2 k (2.174)n fig. 2.65, a se prezint variaia rspunsului maxim n funcie de raportul td T , iar ng. 2.65, b se arat variaia raportului tm T n funcie de td T .aFig. 2.65bSe observ c dac durata aplicrii forei este mai mare dect semiperioada proprie de vibre, deplasarea atinge valoarea maxim xmax = 2 xst nc n timpul aplicrii impulsului dreptunghiular. Dac td < T 2 , atunci deplasarea maxim se88VIBRAII MECANICEobine dup ncetarea aciunii impulsului dreptunghiular i are valoarea t xmx = 2 xst sin d . 22.6.2 Rspunsul la excitaie prin oc aplicat suportului&& Sistemul din fig. 2.66 este excitat la baz cu acceleraia u .Fig. 2.66Ecuaia micrii masei m se scrie&& m x + k (x u ) = 0 ,(2.175)&& x m (u + &&r ) + k xr = 0 ,su&& && m xr + k xr = m u .(2.176)n ecuia deplasrii relative, membrul drept are rolul forei din ecuaia deplasrii absolte a masei sub aciunea unei fore exterioare aplicate masei.&& Rezult c n cazul excitaiei cinematice la baz cu acceleraia u , deplasarea relativmasei se poate calcula cu integrala lui Duhamel (2.21) n care && fora F ( ) se nlocuiete cu m u ( )xr ( ) = 1n& u&( ) sin n ( ) d . 0(2.177)Acceleraia relativ a masei este2 &&r = n xr = n x& u&( ) sin n ( ) d . 0(2.178)2. SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE892.6.2.1 Rspunsul la un impuls triunghiular simetric&& Se consider sistemul din fig. 2.66 excitat la baz cu acceleraia u (t ) avnd o variaie n timp ca n fig. 2.67, exprimat analitic sub forma && u (t ) = a2 t, td pentru pentru 0t td , 22 && u ( t ) = a ( t d t ), tdtd t td . 2(2.179)Fig. 2.67Impulsul triunghiulr simetric pote fi considert sum trei funcii de tip ramp(fig. 2.67). Suprapunnd rspunsurile calculate cu integrala lui Duhamel stabilit pentru condiii iniiale nule, cu nlocuirea argumentului ntrziat, se obin urmtoarele expri pentru acceleraia relativ a masei&&r (t ) 2 x = a td sin nt t , n t 2 sin n t 2 0t t, 2(2.180)&&r (t ) 2 x 1 = t t + a t n t sin n t , t t , 2 t t.(2.181)&&r (t ) x 2 t = 2 sin n t 2 sin nt sin n (t t) , nt a(2.182)n fig. 2.68 se prezint variaia n timp acceleraiei relative a masei pentru trei valoridiferite ale raportului t d T = nt d 2 .90VIBRAII MECANICEFig. 2.68Pentru un oc de durat finit, se definesc dou faze distincte: a) ocul iniial, care de de fapt rspunsul iniial pe durata aplicrii ocului, care este o vibraie forat iidual, care definete rspunsul rezidual dup ncetarea aciunii ocului, care este o viber. Se observ c pentru t d T = 2 nu apar vibraii reziduale. Pentru t d T = 1 , rspunsul primar maxim apare la t m t d = 0,605 .2. SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE91Fig. 2.69n general intereseaz valoarea rspunsului maxim, n acest caz acceleraia relativ maximasei, pentru diferite valori ale raportului t d T . n fig. 2.69 se arat variaia acceleraiei maxime n funcie de raportul adimensional t d T , separat pentru ocul primar i pentru ocul rezidual.2.6.2.2 Rspunsul la un impuls semisinusoidaln fig. 2.70 se prezint un impuls semisinusoidal exprimat analitic sub forma&& u ( t ) = a sin && u ( t ) = 0,ttd,entru entru0 t td , td t .(2.183)Fig. 2.70Imulsul oate i considerat rezultatul suraunerii a dou acceleraii sinusoidale,una aplicat la t = 0 , a doua aplicat la t = td .92VIBRAII MECANICESe obin urmtoarele expresii pentru variaia n timp a acceleraiei relative a masei&&r (t ) x = a1 T2 1 2 4t d t T sin sin nt , 0 t t, t2t (2.184)t T cos d &&r (t ) t d T x t = sin n t , 2 2 a T 1 2 4tt t .(2.185)Fig. 2.71n fig. 2.71 sa reprezentat variaia rspunsului primar maxim n funcie de raportul t dT .2.6.3 Spectrul rspunsului la ocDin punct de vedere practic, este preferabil descrierea unui oc sau a unei excitaiitranzitorii prin efectul pe care l are asupra unui sistem cu un grad de libertate, dect prin funcia de timp a excitaiei. Valoarea maxim a rspunsului la oc a fost repezentat grafic n funcie de raportul ntre durata ocului i perioada proprie de vibraiesistemului cu un grad de libertate neamortizat, t d T . Acest raport se mai poate scrie2. SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE93t d T = nt d 2 , deci este roorional cu produsul ntre durata ocului i pulsaia propa sistemului cu un grad de libertate. Curba rspunsului maxim n funcie de pulsaia proprie a sistemului masarc se nume