puterea continuului

Concursul Gazeta Matematic i ViitoriOlimpici.ro


Multimi de puterea continuului ^n spatii euclidiene

Temistocle BI^RSAN 1

Abstract. The aim of this Note consists in estabilishing, in an elementary and constructive way,that certain usual sets in R or Rn (n 2) have the power of continuum; the bijections f : A ! Rthat are employed belong to the mathematical folklore.

Keywords: bijection, cardinal number, power of continuum.

MSC 2010: 97E60.

1. Introducere. Creatorul teoriei multimilor este Georg Cantor (1845-1918),care a fundamentat si dezvoltat aceasta teorie ^ntr-un numar de memorii publicate lasfa^rsitul sec. al XIX-lea. El utilizeaza conceptul de functie bijectiva (Corespondentabiunivoca sau unu-unu) pentru a opera o ierarhizare a multimilor innite. Introducenotiunile de numar cardinal si numar ordinal si construieste o aritmetica a acestora.Importanta lucrarilor lui G. Cantor a fost recunoscuta ^n secolul urmator, iar teoriamultimilor patrunde ^n toate ramurile matematicii si ^n ^nvatama^ntul general ^ncepa^ndcu treptele sale inferioare.

Se spune ca o multime A din Rn este numarabila daca exista o bijectie ^ntre A siN si ca este de puterea continuului daca exista o bijectie ^ntre A si R. I^n al doilea caz,se mai spune ca multimea A are cardinalul c si se noteaza card A = c:

I^n cele ce urmeaza, ne vom limita la ca^teva considerente asupra multimilor de pu-terea continuului, care au tangenta cu preocuparile elevilor si profesorilor. Mai precis,vom arata ca anumite multimi ,,uzuale" din R si Rn au puterea continuului indica^ndca^te o functie reala bijectiva denita pe ecare dintre ele (si evita^nd modalitatileneconstructiviste).

2. Cardinalul intervalelor lui R. Amintim ca intervalele proprii ale lui R sunt:1) marginite: (a; b); (a; b]; [a; b) si [a; b]; 2) nemarginite: (a;+1), (1; a), [a;+1) si(1; a], unde a; b 2 R, a < b. Vom arata ca au cardinalul c construind o bijectie^ntre un astfel de interval (indiferent de ce tip ar !) si R .

Sa observam mai ^nta^i ca functia liniara ' : R! R denita prin

(1) '(t) =1

b a (t a); 8t 2 R;

transforma intervalele (a; b); (a; b], [a; b) si [a; b] ^n (0; 1), (0; 1], [0; 1) si, respectiv,[0; 1], iar translatia : R! R :(2) (t) = t a; 8t 2 R;transforma semidreptele (a;+1), (1; a), [a;+1) si (1; a] ^n (0;+1), (1; 0),[0;+1) si, respectiv, (1; 0].

Propozitia 1. Urmatoarele armatii sunt adevarate:

1Prof. dr., Univ. Tehnica ,,Gh. Asachi", Iasi

92



1) intervalele (0; 1); (0; 1]; [0; 1) si [0; 1] au cardinalul c;2) pentru orice a; b2R, a



f 02 : (0; 1]! (0; 1) data de

(7) f 02(x) = fk(x); daca x 2

1

2k;

1

2k1

:

I^n aceeasi masura se poate proceda pentru a indica o bijectie f 03 : [0; 1) ! (0; 1)(se porneste cu un sir de numere pozitive strict crescator la 1).

2) Obisnuit, notam cu 'X restrictia functiei ' data de (1) la multimea X R.Din consideratiile precedente rezulta ca functiile F1 : (a; b) ! R, F2 : (a; b] ! R,F3 : [a; b) ! R si F4 : [a; b] ! R denite prin F1 = f1 '(a;b), F2 = f2 '(a;b],F3 = f3 '[a;b) si, respectiv, F4 = f4 '[a;b] sunt bijective (compuneri de bijectii).Deci card(a; b) = card (a; b] = card [a; b] = c. Propozitia este complet demonstrata.

Propozitia 2. Pentru orice a 2 R, semidreptele (a;+1), (1; a); [a;+1) si(1; a] au puterea continuului.

Demonstratie. Apela^nd la translatia (2), am putea reduce semidreptele dinenunt la cazul ^n care a = 0; nu vom obtine avantaje esentiale, motiv pentru carerenuntam.

Este evident ca functiile G1 : (a;+1) ! R si G2 : (1; a) ! R denite prinG1(x) = ln(x a); 8x > a si G2(x) = ln(a x), 8x < a, sunt bijectii.

I^n privinta semidreptelor ^nchise [a;+1) si (1; a], pentru constructia de bijectii^ntre acestea si R se poate urma ecare dintre cele doua cai indicate ^n solutiile de maisus. Astfel, daca avem ^n vedere semidreapta [a;+1), notam A = (a;+1)fa+1; a+2; : : :g si scriem [a;+1) = A[fa; a+1; a+2; : : :g si (a;+1) = A[fa+1; a+2; : : :g.Constructia unei bijectii g : [a;+1) ! (a;+1) este evidenta si obtinem ^n cele dinurma o bijectie G3 : [a;+1)! R prin compunerea G3 = G1 g:

Sau, proceda^nd pe a doua cale, scriem [a;+1) = [a; a + 1) [ [a + 1; a + 2) [ : : :si (a;+1) = (a; a + 1] [ (a + 1; a + 2] [ : : :, apoi realizam pentru ecare k 2 N ca^teo bijectie gk : [a + k; a + k + 1) ! (a + k; a + k + 1] prin gk(t) = (2a + 2k + 1) t,8t 2 [a + k; a + k + 1), obtinem o bijectie g0 : [a;+1) ! (a;+1). I^n nal, functiaG03 : [a;+1) ! R, data de G03 = G1 g0, este bijectie. Cu semidreapta (1; a] seprocedeaza similar. Demonstratia este ^ncheiata.

Corolar. Intervalele dreptei reale, ca si R ^nsasi, au cardinalul c.

3. Cardinalul unor intervale, discuri si coroane din R2. Sa trecem de laspatiul unidimensional R la Rn, n 2. Consideratiile urmatoare se vor referi numaila R2, trecerea la Rn, n 3, faca^ndu-se fara dicultate.

I^n planul R2, corespunzatorul unui interval (a; b) = fx; a < x < bg din R esteata^t intervalul bidimensional f(x; y); a < x < b; c < y < dg, ca^t si coroana circularaf(x; y); a < px2 + y2 < bg (care, ^n particular, poate un disc). Vom stabili maijos ca intervalele (bidimensionale), discurile si coroanele circulare - deschise, ^nchise,semi^nchise - ca si spatiul R2 au cardinalul c.

Asadar, ^n spiritul acestei note, vom arata cum se poate construi o bijectie ^ntreoricare dintre aceste multimi plane si R .

Date numerele a; b; c; d 2 R cu a < b si c < d, avem sase tipuri de intervalebidimensionale f(x; y); a < x < b; c < y < dg, f(x; y); a x b; c y dg,

94



f(x; y); a x < b; c y < dg, f(x; y); a < x b; c < y dg, f(x; y); a x < b; c

:

x0 =1

b a

(d c) ad bcpx2 + y2

x;

y0 =1

b a

(d c) ad bcpx2 + y2

y;

coroana de raze a; b trece ^n coroana de raze c; d patrunza^nd ^n acelasi timp tipul (deex., C(a; b] trece ^n C(c; d] etc.).

Demonstratie. Punctului P (x; y) facem sa-i corespunda punctul P 0(x0; y0) ^nca^t:1) P 0 2 OP , unde O noteaza originea (0; 0); 2) segmentul C(a; b] \ OP trece ^nsegmentul C(c; d]\OP printr-o transfomare liniara L : 0 = + ce verica conditiileL(a) = c si L(b) = d (evident, coordonata pe OP este distanta la originea O,adica =p

x2 + y2. Conditia 2) conduce imediat la urmatoarea expresie pentru L:

0 =d cb a

ad bcb a , iar conditia 1) revine la

y0

x0=

y

x. Rezolva^nd sistemul acestor

doua ecuatii ^n x0; y0 obtinem (8).

Lema 2. Prin transformarea

(9)

8

>

:

x0 =

a+ bp

x2 + y2 1

x;

y0 =

a+ bp

x2 + y2 1

y;

imaginea coroanei C[a; b) este coroana C(a; b].

Demonstratie. Urmam demonstratia Lemei 1, cu modicarea urmatoare: coecientii si din conditia 2) se vor determina din conditiile L(a) = b si L(b) = a. I^n nal seobtine transformarea (9).

Propozitia 4. 1) Exista o bijectie ^ntre orice tip de disc sau coroana circulara siR2.

2) Cardinalul oricarui disc sau coroane circulare este c.

Demonstratie. 1) Conform Lemei 1, putem construi o bijectie ^ntre doua coroanede acelasi tip, indiferent de razele lor. Lema 2 indica o bijectie ^ntre coroanele de tipdiferit C[a; b) si C(a; b] ava^nd aceleasi raze.

Cu procedeul din Propozitia 1, Solutia II, vom indica o bijectie ^ntre C(a; b] siC(a; b). I^ntr-adevar, e (ak)k2N sirul strict descrescator la a denit prin ak = a +b a2k

, k 2 N. Avem C(a; b] =1S

k=1

C(ak; ak1] si C(a; b) =1S

k=1

C[ak; ak1). Conform

Lemei 2, pentru orice k 2 N putem indica o bijectie Fk : C(ak; ak1]! C[ak; ak1)

96



si apoi denim bijectia F : C(a; b] ! C(a; b) prin F (x; y) = Fk(x; y) daca (x; y) 2C(ak; ak1]:

Cu acest ultim rezultat si tina^nd seama de relatiile C[a; b] = C(a; b] [ f(x; y)x2 +y2 = ag si C[a; b) = C(a; b) [ f(x; y);x2 + y2 = a2g stabilim o bijectie ^ntre coroaneleC[a; b] si C[a; b).

Stabilim cum se poate construi o bijectie ^ntre discul D(0; a) si discul punctatD(0; a) C(0; a). Procedam ca ^n Propozitia 1, Solutia I. Fie (ak)k2 sirul dat deak =a

k;a

k

, k 2, sir inclus ^n D(0; a). Notam A = D(0; a)fa2; a2; : : :g. AvemD(0; a) = A [ f0; a2; a3; : : :g si D(0; a) = A [ fa2; a3; : : :g si constructia bijectieidorite este evidenta.

Se constata usor ca o bijectie ^ntre D(0; 1) si R2 este realizata prin transformarea

(10)

8

puterea continuului

Documents