3.1 PROBLEME de NUMĂRARE INTRODUCERE Materialul de față face parte dintr-unul mai amplu, dedicat matematicii ”de performanță” la nivelul claselor a III-a – a IV-a. Am strâns aproximativ 550 de probleme (sursa primordială fiind G.M.B.) grupate tematic pe capitole și sub-capitole. Aș dori să-l finalizez cam până pe la finele lui 2014 și să-l pun pe Scribd ”la liber”. M-am săturat de puzderia de gunoaie ”de autor” din care copiii nu învață nimic, dar pe care părinții sunt obligați să le cumpere. ENUNȚURI

1. Dacă a şi b sunt cifre, precizaţi câte numere naturale sunt de forma aba . (S.G.M. 4/2011)

2. Pentru numerotarea paginilor unei cărţi s-au folosit 510 cifre. Câte pagini are cartea ? (Camelia Fota, G.M. 11-12/1987)

3. Pentru numerotarea paginilor unei cărţi s-au folosit 1191 de cifre. De câte ori s-a folosit cifra 6 ? (Concurs, Rm. Sărat, 25.04.2009)

4. Pentru numerotarea paginilor unui dicționar enciclopedic s-au folosit 6837 de cifre. Câte pagini are dicționarul ?

5. Pentru numerotarea unei cărţi s-au folosit 2013 cifre. Câte pagini are cartea ? (Mihai Vijdeluc, S.G.M. 11/2012)

6. Un elev a citit dintr-o carte un număr de pagini pentru a căror numerotare s-a folosit de 23 de ori cifra 3. Aflaţi cel mai mic şi cel mai mare număr de pagini pe care elevul le putea citi – în ipoteza că numărul total de pagini din carte nu depășește 1000. (G.M.B. 5/2009)

7. Câte numere pare sunt de la 12 la 124, inclusiv capetele ? (G.M.B. 10/2009) 8. Se scrie şirul numerelor naturale nenule pare, fără a le separa. Determinaţi a 2009-a cifră a

numărului obţinut. (Daniel Codeci, S.G.M. 10/2009) 9. Fie numărul 510152025 200020052010N = … , obţinut prin scrierea tuturor multiplilor de

5, până la 2010 inclusiv, fără spaţii între ei. a) Câte cifre are numărul N ? b) Care este cea de-a 1000-a cifră a lui N ?

(Concurs, Iaşi, 21.03.2009) 10. Fie numărul 12345678910111213n = … . Determinaţi cifra de pe locul 2010.

(Doina Lăcrămioara Nechifor, S.G.M. 3/2010) 11. Se scriu numerele de la 1 la 2013 unul după altul, fără a le separa, obținându-se numărul

1234567891011 20122013N = … . Câte cifre are numărul N ? Ce cifră se găsește pe poziția 5656 (poziția 1 fiind a cifrei celei mai semnificative) ?

(Concurs Jose Marti, 26.01.2013, enunț parțial) 12. În garderobă am bluze roşii, verzi şi albastre, pantaloni albi şi albaştri, adidaşi negri şi albi.

Ştiind că nu îmi place să port două articole vestimentare de aceeaşi culoare, aflaţi în câte moduri mă pot eu îmbrăca. (Victor Cojocariu, S.G.M. 12/2009)

13. Diana are la dispoziţie cinci cartonaşe, pe care sunt scrie cifrele 4, 5, 5, 6 şi 6. Câte numere de trei cifre poate ea forma, alăturând trei dintre cartonaşe ? Dar de patru cifre ?

(Denisa Ţugui, S.G.M. 12/2009) 14. O carte ciudată este o carte în care toate paginile se numerotează cu numere formate numai

din cifre impare. Determinaţi ce număr se află pe a 50-a pagină a unei cărţi ciudate. (Cristian Lazăr, G.M.B. 12/2009)

15. Câte numere abcd au proprietatea că 5 a b c d× × = + ? (Elena Iurea, G.M.B. 3/2010)

16. Câte numere naturale de forma abc cu a b c< ≤ există ? (Anca Silvia Negulescu, S.G.M. 5/2010)

17. Se consiedră șirul de numere naturale 1,2,2,3,3,3,4,4, 4, 4,… Determinați al 2006-lea termen al șirului.

18. Pe o parte a unei străzi sunt case cu numere pare, ultima având numărul 56. Vizavi sunt casele cu numere impare, ultima având numărul 53. Ştiind că în plus există case cu numerele 11bis, 37bis, 24bis şi 46bis, să se afle câte case sunt pe stradă.

(Concurs Arhimede 20.11.2010, enunţ modificat) 19. Câte numere de trei cifre încep şi se termină cu cifra 3 ? Dar de patru cifre ?

(S.G.M. 4/2011) 20. Fie șirul de numere naturale 1,8,15,22,29,… Câți termeni ai săi sunt numere de trei cifre ? 21. Câte numere de patru cifre diferite trebuie să scriem, pentru a fi siguri că am scris două

numere identice ? (G.M.B. 7-8-9/2011) 22. De câte ori apare cifra 7 la numerotarea paginilor unei cărţi cu 972 de pagini ?

(Concurs Micii Campioni, 7.06.2012) 23. Câte numere naturale de patru cifre au produsul cifrelor 0 ?

(Viitori Olimpici, 3/2012) 24. Aflaţi câte numere naturale de patru cifre conţin cel puţin o cifră de 1.

(Viitori Olimpici, 3/2013) 25. Câte numere naturale de trei cifre au ultima cifră pară ?

(Marian Ciuperceanu, G.M.B. 1/2013) 26. Câte numere de două cifre înmulţite cu 7 dau numere de trei cifre ?

(Marian Ciuperceanu, G.M.B. 3/2013) 27. De câte ori întâlnim cifra 3 în şirul numerelor de la 78 până la 643 ?

(Aida Frujină, S.G.M. 3/2013) 28. Numărul 2444 are exact trei cifre identice, iar a patra diferită de celelalte trei.

a) Scrieţi patru astfel de numere, mai mici decât 2444, în care cifrele să fie poziţionate de fiecare dată altfel (nu este neapărat ca cifrele identice să fie vecine).

b) Câte asemenea numere naturale mai mici decât 2444 există ? (Concurs Arhimede, 27.04.2013)

29. Câte numere de patru cifre se pot forma numai cu cifre pare ? (G.M.B. 5/2013) 30. Câte numere de trei cifre conţin exact două cifre egale cu 4 ? Aflaţi suma lor.

(G.M.B. 6-7-8/2013) 31. Câte numere naturale de trei cifre au cifra sutelor mai mare decât cifra zecilor ?

(G.M.B. 6-7-8/2013) SOLUȚII 1. O metodă adesea folosită la numărarea tuturor combinațiilor realizabile este principiul

înmulțirii : dacă avem n variabile independente 1 2, , ,

nv v v… de care depinde generarea

elementelor unei mulțimi, atunci numărul tuturor combinațiilor posibile este 1 2 n

N a a a= … ,

unde i

a este numărul valorilor distincte pe care le poate lua variabila , 1,i

v i n= . În cazul

exercițiului de față, cifra a poate lua 9 valori (se exclude 0, deoarece niciun număr cu mai mult de o cifră nu poate începe cu 0), iar b poate lua 10 valori. În total, se pot forma

9 10 90⋅ = de numere de forma aba . 2. Numerotarea oricărei cărți începe de la pagina 1. Vom avea pe rând :

- 9 pagini (1 – 9) pentru numerotarea cărora ajunge o singură cifră: - 90 de pagini (10 – 99), numerotate cu câte două cifre fiecare;

Pentru numerotarea primelor 99 de pagini, se folosesc deci 90 2 9 1 180 9 189× + × = + = de cifre. Până la 510 mai rămân 510 189 321− = de cifre, care acoperă 321: 3 107= pagini,

numerotate cu câte trei cifre fiecare. Ultima pagină a cărții este prin urmare cea numerotată cu 100 107 1 206+ − = .

3. Scădem cele 90 2 9 1 180 9 189× + × = + = de cifre folosite la numerotarea primelor 99 de

pagini ale cărții. Pentru numerotarea celorlalte pagini ale cărții ne rămân așadar 1191 189 1002− = cifre; cum fiecare dintre acestea necesită trei cifre, rezultă că sunt 1002 : 3 334= de pagini cu numere de la 100 în sus. Ultima pagină are deci numărul 100 334 1 433+ − = . Avem așadar de numărat câte cifre 6 apar în intervalul 1 – 433.

De la 1 la 100, cifra 6 apare de 10 ori la unități : 6,16, 26, ,96… și de tot atâtea ori la ordinul

zecilor : 60,61,62, ,69… (la 66, cifra 6 apare de două ori, dar am preferat să separăm aparițiile de la ordinul unităților de cele de la ordinul zecilor, pentru a evita încurcătura). Avem câte 20 de apariții ale cifrei 6 pe fiecare dintre intervalele 1 – 100, 101 – 200, 201 – 300 și 301 – 400. De la 401 la 433 sunt doar 3 apariții, la numerele 406, 416 și 426. Cu totul, cifra 6 apare de 20 4 3 83× + = de ori la numerotarea paginilor cărții. 4. Dicționarul are mai mult de 1000 de pagini, deoarece se folosesc mai mult de 2889 de cifre.

Cele 2889 de cifre provin de la : - 9 cifre de la paginile 1 – 9, pentru care este suficientă o singură cifră: - 180 90 2= × cifre de la paginile 10 – 99, care se numerotează cu câte două cifre; - 2700 900 3= × cifre de la paginile 100 – 999, care se numerotează cu câte trei

cifre. Restul de 6837 2889 3948− = de pagini provine de la numerotarea unor pagini cu numere de patru cifre. Acestea sunt în număr de 3948 : 4 987= și încep de la 1000, deci ultima pagină din dicționar este 1000 987 1 1986+ − = . 5. Vezi rezolvările exercițiilor precedente. 2013 189 1924− = . 1924 : 3 641 rest 1= . Faptul că

obținem rest ne arată că nu este posibil să folosim la numerotare exact 2013 cifre – în ipoteza că numerotarea se face continuu (fără a sări pagini), de la 1 la ultima pagină.

6. Problema, așa cum apare în G.M.B, este incomplet formulată. Pentru a evita căutarea

soluțiilor pe la pagini cum sunt 3333 sau chiar 33333, am adăugat ipoteza de a nu depăși numărul 1000. Un domeniu continuu cu multe cifre de 3 în numerotare este cel dintre 330 și 339, unde apar 10 2 1 21× + = de cifre 3. Până la 23, mai lipsesc două cifre, care apar fie de la 328 și 329, fie de la 340 și 341. În orice caz, numărul minim de pagini este 12 (între 328 și 339, sau între 330 și 341). Pentru numărul maxim, observăm că în intervalul 1 – 100 cifra 3 este folosită de 20 de ori : de 10 ori la unități (3, 13, 23, …, 93) și de alte 10 ori la ordinul zecilor (30, 31, 32, …, 39). Începând cu pagina 40 (pentru a omite intervalul 30 – 39, cu multe apariții ale cifrei 3 și a mări astfel numărul de pagini citite) și până la 100 sunt doar 6 cifre de 3. Între 101 și 129 avem alte 3 cifre (la 103, 113 și 123) cu care ajungem la un total de 6 3 9+ = . Între 130 și 139 sunt alte 10 1 11+ = apariții ale cifrei 3, care ne conduc la un total de 9 11 20+ = . Restul de 3 până la 23 sunt cele de la paginile 143, 153 și 163 – dar se mai pot citi și paginile de până la 172, unde nu e niciun ”pericol” să întâlnim vreun 3 la numerotare. Numărul maxim de pagini citite corespunde intervalului 40 – 172 (sau 140 – 272, 440 – 572 etc.) deci este de 172 40 1 133− + = de pagini.

7. Dacă ambele capete ale unui interval [ ],a b sunt incluse într-o numărătoare cu pasul 1k ≥ ,

atunci numărul de elemente este de ( ) : 1N b a k= − + (de reținut !). În cazul particular

1k = , găsim ( ) 1N b a= − + . Pentru exercițiul de față, se observă că atât 12, cât și 124

sunt pare, deci avem ( )124 12 : 2 1 112 : 2 1 57− + = + = de numere pare. Cum procedăm

dacă trebuie să determinăm câți multipli de 5 sunt între 13 și 137 ? Pentru a păstra aceeași formulă, se determină cel mai mic, apoi cel mai mare multiplu de 5 din interval – aceștia sunt

15, respectiv 135. Numărul multiplilor de 5 din interval este așadar ( )135 15 : 5 1 25− + = .

8. Numărul scris este 246810121416 98100102… … . Se contorizează separat aparițiile

numerelor pare de :

- o cifră, acestea sunt 4 și totalizează 4 1 4× = cifre;

- două cifre, care sunt ( )98 10 : 2 1 45− + = și însumează 45 2 90× = de cifre;

- trei cifre, care sunt ( )998 100 : 2 1 450− + = și ”aduc” 450 3 1350× = de cifre.

Prin adunarea tuturor acestor numere de cifre, ajungem la 4 90 1350 1444+ + = de cifre. Până la 2009 cifre, mai sunt 2009 1444 565− = , care sunt acoperite de numere pare de patru cifre. 565 : 4 141 rest 1= , deci 141 de numere pare sunt scrise complet, ultimul fiind

( )1000 2 141 1 1280+ × − = . Cifra căutată este prima din cel de-al 142-lea număr par, care este

1282, deci 1. 9. Procedăm ca la exercițiul precedent. În scrierea lui N se acumulează :

- un număr de o cifră (5), în total 1 1 1× = cifră;

- ( )95 10 :5 1 18− + = numere de două cifre, cu 18 2 36× = de cifre;

- ( )995 100 :5 1 180− + = de numere de trei cifre, cu 180 3 540× = de cifre;

- ( )2010 1000 : 5 1 203− + = numere de patru cifre, cu 203 4 812× = cifre.

În total, N are 1 36 540 812 1389+ + + = de cifre. Pentru a o găsi pe cea de pe poziția 1000, se dau la o parte primele 1 36 540 577+ + = de cifre și rămân 1000 577 423− = . Prin împărțirea lui 423 la 4, găsim câtul 105 și restul 3. Aceasta înseamnă că 105 multipli de 5 apar scriși complet, cei dintre 1000 și 1000 5 104 1520+ × = . Cifra căutată este a treia a următorului multiplu (1525), anume 2.

10. În scrierea lui n apar mai întâi cele 9 numere de o cifră, apoi cele ( )99 10 1 90− + = cu

două cifre, ( )999 100 1 900− + = cu trei cifre etc. Scrierea completă inclusiv a numerelor de

trei cifre ar acoperi 9 1 90 2 900 3 9 180 2700 2889× + × + × = + + = de cifre. Cum trebuie însă să ajungem doar la poziția 2010, scădem din 2010 primele 189 de cifre, corespunzând numerelor de una și două cifre și obținem 2010 189 1921− = de cifre. Se împarte 1921 la 3; câtul ne arată câte numere de trei cifre apar până la poziția 2010 – iar restul ne indică a câta cifră trebuie să luăm, din numărul care urmează în secvență. Cum 1921: 3 640 rest 1= , cele 640 de numere incluse complet sunt cele dintre 100 și 100 640 1 739+ − = . Numărul care urmează în secvență este 740, iar prima sa cifră este 7.

11. În alcătuirea numărului N intră: 9 numere cu câte o cifră, ( )99 10 1 90− + = cu câte două

cifre, 900 cu câte trei cifre și ( )2013 1000 1 1014− + = cu câte patru cifre. Numărul N are

prin urmare 9 1 90 2 900 3 1014 4 9 180 2700 4056 6945× + × + × + × = + + + = de cifre. Ca să ajungem la cifra de pe locul 5656, dăm mai întâi la o parte cele 9 cifre ale numerelor de o cifră, cele 180 ale celor de două cifre, cele 2700 ale celor de trei cifre – adică un total de 2700 180 9 2889+ + = de cifre. Rămân 5656 2889 2767− = de cifre, acoperite din grupa numerelor cu câte patru cifre. Se acoperă complet 2767 : 4 691= de numere de patru cifre

– cele cuprinse între 1000 și 1000 691 1 1690+ − = . Restul împărțirii 2767 : 4 , adică 3, indică ordinea celei de-a 5656-a cifre în cadrul numărului următor, care este 1691. Cifra a treia a acestuia este 9.

12. Aplicație simplă a principiului înmulțirii (vezi ex. 1) : fiind trei tipuri (culori) de bluze, două de

pantaloni și două de adidași, numărul combinațiilor posibile între acestea este de 3 2 2 12× × = .

13. Numerele de trei cifre care se pot genera sunt : 455, 456, 465, 466, 545, 546, 554, 556, 564,

565, 566, 645, 646, 654, 655, 656, 664 și 665. În total, avem 18 numere. De patru cifre, sunt : 4556, 4565, 4566, 4655, 4656, 4665, 5456, 5465, 5466, 5546, 5564, 5566, 5645, 5646, 5654, 5656, 5664, 5665, 6455, 6456, 6465, 6545, 6546, 6554, 6556, 6564, 6565, 6645, 6654, 6655. Acestea sunt 30 de numere.

14. Folosind doar cele 5 cifre impare 1, 3, 5, 7 și 9 putem forma : 5 numere de o cifră, 5 5 25× =

de numere de două cifre, 5 5 5 125× × = de numere de trei cifre etc. Pentru a ajunge la pagina 50, se dau la o parte primele 5 25 30+ = de pagini care se numerotează cu una și două cifre. Trebuie să găsim a 50 30 20− = -a pagină numerotată cu trei cifre impare. Pentru

fiecare valoare distinctă a cifrei a , există 5 numere de forma 1ab ; împărțind 20 : 5 4=

deducem că pagina căutată este ultima din grupa a patra (cu numere de forma 17b ), deci are numărul 179.

15. Valoarea maximă a sumei c d+ este 18, dar trebuie să se împartă exact la 5, pentru a putea

fi egală cu expresia din membrul stâng. Cum 0a ≠ , avem pentru c d+ valorile acceptabile 5,10,15 .

- dacă 5c d+ = , rezultă 5 5 1a b a b× × = ⇒ × = , cu singura posibilitate 1a b= = .

Pentru perechea ( ),c d valorile acceptabile fac parte din mulțimea

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,5 , 1,4 , 2,3 , 3,2 , 4,1 , 5,0 . Putem forma 6 numere.

- dacă 10c d+ = , rezultă 5 10 2a b a b× × = ⇒ × = . Putem avea fie 1, 2a b= = , fie

2, 1a b= = . Suma c d+ este 10 când perechea ( ),c d ia valori din mulțimea

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,9 , 2,8 , 3,7 , 4,6 , 5,5 , 6,4 , 7,3 , 8,2 , 9,1 . Putem forma deci

2 9 18× = numere. - dacă 15c d+ = , rezultă 5 15 3a b a b× × = ⇒ × = . Putem avea fie 1, 3a b= = , fie

3, 1a b= = . Suma c d+ este 15 când perechea ( ),c d ia valori din mulțimea

( ) ( ) ( ) ( ){ }6,9 , 7,8 , 8,7 , 9,6 . Putem forma deci 2 4 8× = numere.

În total, sunt 6 18 8 32+ + = de numere. 16. Fie 1 2

nS n= + + +… suma primelor n numere naturale. Începem prin a alege 1a = , ceea

ce impune ca 2b ≥ . Se dau pe rând valori lui b : pentru 2b = , c poate lua valori între 2 și 9, adică 8 valori; pentru 3b = , c poate lua valori între 3 și 9, adică 7 valori etc. Se ajunge la

9b = , pentru care merge doar 9c = , o singură valoare. Deci, pentru 1a = , se pot forma

88 7 1 S+ + + =… numere de forma abc cu 1 a b c= ≤ < . Pentru 2a = putem forma

7S

numere, pentru 3a = , 6

S ș.a.m.d. În total, avem 1 2 3 4 5 6 7 8

S S S S S S S S+ + + + + + + =

1 3 6 10 15 21 28 36 120+ + + + + + + = de numere cu proprietatea dorită.

17. Șirul conține (în ordine): o apariție a lui 1, două apariții ale lui 2, trei ale lui 3, patru ale lui 4.

Ultima apariție a numărului n este situată pe poziția 1 2n

S n= + + +… . Trebuie deci să

determinăm care este prima sumă Gauss cel puțin egală cu 2006. Folosim formula

cunoscută ( )1 : 2n

S n n= ⋅ + și procedăm prin încercări. Calculăm

6060 61: 2 30 61 1830S = ⋅ = ⋅ = ,

6565 66 : 2 65 33 2145S = ⋅ = ⋅ = . Cum

65S este prea

mare (se vede că ”ar mai fi loc” să intercalăm și alte sume Gauss până la 2006), ne întoarcem la

64 6565 2145 65 2080S S= − = − = și chiar la

63 6464 2080 64S S= − = − =

2016= . Al 2006-lea termen al șirului este așadar egal cu 63.

18. Cu numere pare, sunt ( )56 2 : 2 1 28− + = de case, iar cu numere pare,

( )53 1 : 2 1 27− + = de case. Adăugându-le și pe cele patru cu ”bis”, găsim un total de

28 27 4 59+ + = de case.

19. Avem de numărat numerele de forma 3 3a , respectiv 3 3ab . În primul caz sunt 10 numere, iar în cel de-al doilea, 10 10 100× = .

20. Fiecare termen al șirului se obține adunând 7 la termenul precedent, iar primul termen este 1.

Al doilea va fi deci 8 1 7= + , al treilea 15 1 2 7= + ⋅ , al patrulea 22 1 3 7= + ⋅ etc. Termenul

de pe locul 1n ≥ se calculează deci cu relația ( )1 7 1n

t n= + ⋅ − . Condiția ca un termen n

t

să aibă trei cifre este ( )100 999 100 1 7 1 999n

t n≤ ≤ ⇔ ≤ + ⋅ − ≤ . După ce se scade 1 din

toți membrii dublei inegalități, rezultă ( )99 7 1 998n≤ ⋅ − ≤ . Se împart limitele 99 și 998 la 7

și avem 99 : 7 14 rest 1= , respectiv 998 : 7 142 rest 4= . Deducem că 15 1 142n≤ − ≤ (în cazul limitei inferioare, dacă împărțirea nu se face exact, este necesară adăugarea unei unități); aceasta este echivalentă cu 16 143n≤ ≤ ; șirul are deci 143 16 1 128− + = de termeni de trei cifre.

21. Fie abcd un număr de patru cifre, cu toate cifrele distincte. Pentru a avem 9 posibilități de alegere (deoarece 0a ≠ ), pentru b avem tot 9 (excludem valoarea lui a , dar includem 0), pentru c rămân 8, iar pentru d numai 7. Sunt deci 9 9 8 7 4536× × × = de numere de patru cifre, cu toate cifrele distincte. Pentru a avea două numere identice, trebuie deci să scriem 4536 1 4537+ = astfel de numere.

22. În intervalul 1 – 100, cifra 7 apare de 10 ori la ordinul unităților : 7,17, 27, ,97… și de alte 10

ori la ordinul zecilor : 70,71,72, ,79… (vezi soluția exercițiului 3, unde justificăm separarea unităților de zeci). La fel se întâmplă și în celelalte intervale complete de lungime 100 : 101 – 200, 201 – 300, …, 801 – 900. În intervalul 700 – 799 numărăm în plus 100 de apariții la ordinul sutelor. Rămân de numărat aparițiile cifrei 7 din intervalul incomplet 901 – 972. Acestea sunt 7 la ordinul unităților (907, 917, 927, 937, 947, 957 și 967) și 3 la ordinul zecilor (970, 971 și 972). În total, avem 9 20 100 10 290× + + = de apariții ale cifrei 7 la numerotarea cărții (intervalul 1 – 972).

23. Un număr de patru cifre abcd are produsul cifrelor 0 dacă are cel puțin o cifră 0. Este mai simplu să ne gândim câte numere de patru cifre NU au cifre 0. Fiecare dintre cifrele , ,a b c și

d poate lua valorile 1,2,...,9 - în total 9 valori. Există așadar 9 9 9 9 81 81 6561× × × = × =

astfel de numere (vezi principiul înmulțirii, enunțat la rezolvarea problemei 1). Cum în total sunt 9000 de numere de patru cifre, există 9000 6561 2439− = care au produsul cifrelor egal cu 0.

24. Există în total 9000 de numere de patru cifre, cel mai mic fiind 1000, iar cel mai mare, 9999.

Este mai simplu să determinăm câte dintre ele NU conțin cifra 1. Fie abcd un număr de patru cifre. Dacă acesta nu conține cifra 1, a poate lua 8 valori distincte (excludem 1, dar și

0), iar ,b c și d fiecare câte 9 valori distincte. În total, numărul abcd se poate forma în

8 9 9 9 72 81 5832× × × = × = de moduri. Rezultă că sunt 9000 5832 3168− = de numere de patru cifre care conțin cifra 1.

25. Numerele de trei cifre cu ultima cifră pară sunt de forma abc , cu 0 9, 0 9a b< ≤ ≤ ≤ şi

{ }0, 2,4,6,8c ∈ . Principiul înmulțirii ne spune că se pot forma 9 10 5 90 5 450× × = × = de

numere pare de trei cifre. 26. Rezultatul maxim al înmulţirii unui număr de două cifre cu 7 este 99 7 693× = , care are trei

cifre. Deoarece avem 14 7 98,15 7 105× = × = , cel mai mic număr de două cifre care

înmulţit cu 7 dă un rezultat de trei cifre este 15. Există aşadar 99 15 1 84 1 85− + = + = de numere de două cifre cu această proprietate.

27. În fiecare interval complet de lungime 100 care începe cu un număr de forma 01a (adică 101, 201 etc.), cifra 3 apare de 20 de ori la ordinele unităților și zecilor (vezi exercițiile 3 și 22 pentru justificare). În intervalul 300 – 399 avem în plus 100 de apariții la ordinul sutelor. Separat, numărăm aparițiile din intervalele 78 – 100 (acestea sunt 2, la 83 și respectiv 93) și cele dintre 601 și 643 (acestea sunt câte una la unități la 603, 613, 623, 633 și 643 și zece la ordinul zecilor între 630 și 639). În total, avem 4 20 120 2 15 217× + + + = apariții, dacă includem și numărul 643.

28. a) De exemplu, 1171, 2229, 2022, 1777. b) Cele trei cifre identice pot ocupa pozițiile (începând cu cea mai semnificativă) :

( ) ( ) ( )1, 2,3 , 1, 2, 4 , 1,3,4 și ( )2,3,4 . Formele generale ale numerelor de patru cifre cu trei cifre

egale, iar a patra diferită sunt : , ,aaab aaba abaa și baaa , unde b a≠ . Se impune acum condiția ca numerele produse să fie mai mici ca 2444. Aceasta este verificată de :

- 111 , 1b b ≠ și 222 , 2b b ≠ . Sunt în total 9 9 18+ = numere;

- 11 1, 1b b ≠ și 22 2, 2b b ≠ . Și aici sunt tot 9 9 18+ = numere;

- 1 11, 1b b ≠ și { }2 22, 0,1,3, 4b b∈ . În total, sunt 9 4 13+ = numere;

- 1 , 1aaa a ≠ și { }2 , 0,1,3aaa a ∈ Aici avem 9 3 12+ = numere.

În total, 18 18 13 12 61+ + + = de numere cu trei cifre egale și a patra diferită de cele trei sunt mai mici decât 2444. 29. Aplicație simplă a principiului înmulțirii : prima cifră poate lua 4 valori, anume 2, 4, 6 și 8.

Următoarele trei cifre pot lua fiecare câte 5 valori (deoarece în cazul lor se poate folosi și cifra 0). În consecință, se pot forma 4 5 5 5 500× × × = de numere de patru cifre numai cu cifre pare.

30. Numerele căutate sunt de una din formele: 44, 4 4a a sau 44a , unde 4a ≠ (la prima formă

se exclude și valoarea 0a = ). Ele sunt deci în număr de 8 9 9 26+ + = . Se calculează sumele parțiale ale numerelor având fiecare dintre aceste forme.

1

144 244 344 544 644 744 844 944 44 8 100 200 300 500S = + + + + + + + = ⋅ + + + + +

600 700 800 900 352 4100 4452+ + + + = + =

2

404 414 424 434 454 464 474 484 494 404 9 10 20 30S = + + + + + + + + = ⋅ + + + +

50 60 70 80 90 3636 410 4046+ + + + + = + =

3

440 441 442 443 445 446 447 448 449 440 9 1 2 3S = + + + + + + + + = ⋅ + + + +

5 6 7 8 9 3960 41 4001+ + + + + = + = Suma tuturor celor 26 de numere este așadar :

1 2 34452 4046 4001 12499S S S S= + + = + + =

31. Observăm de la bun început că nu avem nicio restricție referitoare la cifra unităților; aceasta

poate lua deci orice valoare. Fie abc un număr de trei cifre cu cifra sutelor mai mare decât cea a zecilor. Nu putem avea 0a = . Pentru 1a ≥ , inegalitatea b a< se scrie 1b a≤ − .

Numărul minim de valori pentru perechea ( ),a b este 1, fiind atins dacă 1a = (ceea ce

impune 0b = ), iar cel maxim este 9 și se realizează pentru 9a = (pentru care sunt

acceptabile valorile { }0,1,2, ,8b ∈ … ). Avem deci 1 2 3 9 45+ + + + =… de valori

acceptabile pentru perechea ( ),a b , cărora le corespund 45 10 450⋅ = de numere de trei

cifre cu cifra sutelor mai mare decât cea a zecilor.