PROBLEME CU CAPCANE LATUR-LATUR-UNGHI de Silviu Boga, silviumath@yahoo.com

Vei constata c urmtoarele probleme, dei aparent simple, solicit n oarecare msur ingeniozitatea rezolvitorului i spun aceasta fiindc soluionarea lor prin utilizarea criteriilor de congruen sau asemnare a triunghiurilor oblig la efectuarea unor construcii ajuttoare. Este provocatoare i observaia c toate se ncadreaz n situaii de tip LLU, situaii uor de confundat cu cele din criteriile LUL.

1. Se consider triunghiul ABC cu M (AB) i N (AC) nct [AM] [AN] i [BN] [CM] . Artai c ABC este triunghi isoscel.

2. Fie triunghiul ABC cu punctele M (AB) i N (AC) nct [BM] [CN] i 0m( BCM) m( CBN) 45= . Artai c ABC este triunghi isoscel.

3. Fie triunghiul ABC cu [AB] [AC] i 0m( BAC) 90 . Considernd punctele M (AB) i N (AC) nct [BN] [CM] , artai c [AM] [AN] .

4. n triunghiul ABC, M (AB) , N (AC) i BN CM {O} = . Artai c, dac [OM] [ON] i [BM] [CN] , atunci ABC este triunghi isoscel.

5. n triunghiul ABC cu 0m( BAC) 90 , M (AB) , N (AC) i BN CM {O} = . Artai c dac [OB] [OC] i [BM] [CN] atunci ABC este triunghi isoscel.

6. Fie patrulaterul convex ABCD cu AC BD {O} = . Artai c, dac [AB] [DC] , [BO] [OD] i 0m( DOC) 90 , atunci ABCD este paralelogram.

7. n patrulaterul ABCD, 0m( BAD) m( BCD) 90= i [AB] [CD] . Artai c ABCD este paralelogram.

8. Fie patrulaterul convex ABCD cu AC BD {O} = . Artai c, dac [AD] [BC] , [AO] [OB] i 0m( AOD) 90 , atunci ABDC.

9. n patrulaterul convex ABCD, 2AC AB CD= i m( BCA) m( CDA)= >900. Artai c ABDC. 10. Fie triunghiul ABC cu m( BCA) m( BAC) . Dac M (AB) i N (AC) nct AM MN

AB BC= ,

artai c MNBC.

11. Fie triunghiul ABC cu m( ABC) m( BAC) i punctele M (AB) , N (AC) nct AM MNAC BC

= .

Artai c AM ANAC AB

= (MN este antiparalel la BC).

12. n triunghiul ABC se consider punctele D (BC) i M (AD) nct AM ABAD AC

= . Dac

m( ABM) m( ACD)= sau m( AMB) m( ADC)= , artai c AD este bisectoare pentru BAC . 13. n trapezul ABCD, cu ABDC i m( BCD) m( CDA) , se consider M (BD) nct

AM BMMC MD

= . Artai c punctele A, M i C sunt coliniare.

14. Fie ABCD un patrulater convex nct AD BD , DAB DBC i AD DC DB BC = . Artai c ABDC

Observaie: Dup cum am specificat n introducere, fiecare din problemele enunate conine i cte o capcan LLU, adic o pereche de triunghiuri care verific o congruen sau proporionalitate LLU. nelegem prin aceasta c triunghiurile respective au congruena de unghiuri nu ncadrat ci opus la o congruen sau proporionalitate de laturi. Este de remarcat ns c ipoteza LLU nu permite s decidem congruena sau asemnarea triunghiurilor ce o verific, fapt dovedit cu uurin de urmtorul contraexemplu:

Teorema 1: Fie triunghiurile ABC i ABC care verific [AB] [A 'B'] , [AC] [A 'C '] i m( ACB) m( A 'C 'B ').= n aceste condiii, are loc ABC A 'B'C ' dac i numai dac unghiurile

ABC i A 'B'C ' sunt sau congruente sau nesuplementare.

Teorema 2: Fie triunghiurile ABC i ABC nct AB ACA 'B' A 'C '

= i m( ACB) m( A 'C 'B ')= . n aceste condiii, ABC ~ A 'B'C ' dac i numai dac unghiurile ACB i A 'C 'B ' sunt sau congruente sau nesuplementare.

Demonstraie: n semiplan opus cu C fa de AB consider D nct AD BD ABA 'C ' B'C ' A 'B '

= = i astfel

ABD ~ A 'B'C ' . Fiind n condiiile teoremei anterioare, din congruena triunghiurilor ABC i ABD rezult asemnarea triunghiurilor ABC i ABC. Reciproca este evident.

Concluzie: Cititorul va constata c problemele propuse n prima seciune a articolului de fa admit, cu aplicarea teoremelor enunate, soluii deosebit de elegante prin simplitatea lor. Rmne totui valabil provocarea de rezolvare pe ci tradiionale, prin realizarea unor construcii ajuttoare cu scopul de a permite utilizarea cazurilor clasice de congruen sau asemnare a triunghiurilor. Cum muza micilor matematicieni este adeseori capricioas, mai ales atunci cnd rezolvarea unei probleme impune i o construcie auxiliar, vin n ajutorul celor prini ntr-o astfel de ncurctur cu urmtoarea sugestie: localizai capcana LLU i construii, n fiecare din cele dou triunghiuri buclucae, nlimea corespunztoare laturii lips din ipoteza LLU. Vei avea de fiecare dat revelaia observrii unor noi congruene sau proporionaliti care, aplicate succesiv, rezolv problema. Succes!

n triunghiul ABC (fig.1), D este un punct pe BC, nct BD DC. Se formeaz astfel triunghiurile ABD i ACD, care verific ipoteza LLU. Dac, din neatenie, confundm ipoteza LLU cu LUL, va rezulta ABD ACD , congruen din care se va deduce c punctul D este mijlocul segmentului BC !

Demonstraie: n semiplan opus cu C fa de AB (fig.2), consider D nct [AD] [A 'C '] i [BD] [B'C '] , astfel ABD A 'B'C ' . Dac ABC A 'B'C ' , evident ABC ABD . Dac 0m( ABC) m( A 'B'C ') 180+ , punctele A, C i D sau sunt sau coliniare, sau determin un triunghi isoscel cu [AC] [AD] . n ambele situaii datele din enun conduc imediat la ABC ABD . Dac are loc 0m( ABC) m( A 'B'C ') 180+ = i dac totodat m( ACB) m( A 'C 'B') , atunci triunghiurile ABC i ABD realizeaz chiar configuraia din contraexemplul precedent, ceea ce justific i reciproca.

REZOLVRI COMPARATIVE LA PROBLEMELE PROPUSE:

1. Se consider triunghiul ABC cu M (AB) i N (AC) nct [AM] [AN] i [BN] [CM] . Artai c ABC este triunghi isoscel.

2. Fie triunghiul ABC cu punctele M (AB) i N (AC) nct [BM] [CN] i 0m( BCM) m( CBN) 45= . Artai c ABC este triunghi isoscel.

3. Fie triunghiul ABC cu [AB] [AC] i 0m( BAC) 90 . Considernd punctele M (AB) i N (AC) nct [BN] [CM] , artai c [AM] [AN] .

Soluia 1: Avnd [AM] [AN] , [BN] [CM] , ( ) ( )= m CAM m BAN i 0( ) ( ) 180+ m ACM m ABN , rezult, conform teoremei 1, ABN ACM i astfel [ ] [ ]AB AC

A

B C

M N

A

B C

M N

F E

Soluia 2: ABN i ACM sunt n situaia LLU i atunci,

construind MF AC i NE AB , se obine congruena AMF ANE (caz IU) urmat de CMF BNE (caz IC), din care este imediat [ ] [ ]AB AC

Soluia 1: Avnd [BM] [CN] , [BC] [CB] i 0m( BCM) m( CBN) 45= , rezult 0( ) < 90m BMC ,

0( ) < 90m CNB , deci 0( ) ( ) 18+ 0 m BMC m CNB i astfel, conform teoremei 1, MBC NCB , deci MBC NCB . A

B C

M N

P Q

Soluia 2: MBC i NCB sunt n situaia LLU

i atunci, construind BQ MC i CP NB , se obine congruena

QBC PCB (caz IU) urmat de MQB NPC (caz IC), din care este imediat ( ) ( )= m MBC m NCB

Soluia 1: Avnd [AB] [AC] , [BN] [CM] i 0m( BAC) 90 , rezult 0( ) ( )m BNA m CMA+ < 180 i astfel, conform teoremei 1, ABN ACM , deci [AM] [AN] .

Soluia 2: Construind BP AC , CQ AB , atunci ABP ACQ i apoi BPN CQM , etc.

A

B C

M N

P Q

4. n triunghiul ABC, M (AB) , N (AC) i BN CM {O} = . Artai c, dac [OM] [ON] i [BM] [CN] , atunci ABC este triunghi isoscel.

5. n triunghiul ABC cu 0m( BAC) 90 , M (AB) , N (AC) i BN CM {O} = . Artai c dac [OB] [OC] i [BM] [CN] atunci ABC este triunghi isoscel.

6. Fie patrulaterul convex ABCD cu AC BD {O} = . Artai c, dac [AB] [DC] , [BO] [OD] i 0m( DOC) 90 , atunci ABCD este paralelogram.

7. n patrulaterul ABCD, 0m( BAD) m( BCD) 90= i [AB] [CD] . Artai c ABCD este paralelogram.

Soluia 1: Avnd [OM] [ON] , [BM] [CN] , MOB NOC i totodat

0( ) ( )m MBO m NCO+ < 180 , rezult, prin teorema 1, MOB NOC i astfel MBC NCB .

Soluia 2: Construind MP BN , NQ CM , atunci MPO NQO i apoi

MPB NQC , etc.

A

B C

M N

O

P Q

A

B C

O M N

P Q

Soluia 1: Avnd [OB] [OC] , [BM] [CN] , MOB NOC i totodat 0( ) ( )m BMO m CNO+ > 180 , datorit teoremei 1 MOB NOC , deci MBC NCB .

Soluia 2: Construind MP BN i NQ CM , se obine

BPO CQO i apoi MPB NQC , etc.

Soluia 1: Cum [AB] [DC] , [BO] [OD] , AOB DOC i 0m( DOC) 90 , rezult

0( ) ( )m BAO m DCO+ < 180 i astfel, conform teoremei 1, AOB COD , etc.

Soluia 2: Construind BM AC i DN AC , se obine

BOM DON i apoi ABM CDN , etc. A B

C D

O

M

N

Soluia 1: Avnd [AB] [CD] , [BD] [DB] , 0m( BAD) m( BCD) 90= , are loc i

0m( BDA) m( DBC) 0+ < 18 i conform teoremei 1, ABD CDB , etc.

Soluia 2: Construind BM AD i DN BC , se obine ABM DCN i apoi

DBM BDN , etc.

8. Fie patrulaterul convex ABCD cu AC BD {O} = . Artai c, dac [AD] [BC] , [AO] [OB] i 0m( AOD) 90 , atunci ABDC.

9. n patrulaterul convex ABCD, 2AC AB CD= i m( BCA) m( CDA)= >900. Artai c ABDC.

10. Fie triunghiul ABC cu m( BCA) m( BAC) . Dac M (AB) i N (AC) nct AM MNAB BC

= , s

se arte c MNBC.

11. Fie triunghiul ABC cu m( ABC) m( BAC) i punctele M (AB) , N (AC) nct AM MNAC BC

= .

Artai c AM ANAC AB

= (MN este antiparalel la BC).

A B

C D

O

N M

Soluia 1: Cum [AD] [BC] , [AO] [BO] , 0m( AOD) m( BOC) 90= , are loc

0m( ADO) m( BCO) 0+ 900, 0m( ABC) m( CAD) 0+

12. n triunghiul ABC se consider punctele D (BC) i M (AD) nct AM ABAD AC

= .

Dac ABM ACD sau AMB ADC , s se arate c AD este bisectoare pentru BAC .

13. n trapezul ABCD, ABDC, m( BCD) m( CDA) i M (BD) nct AM BMMC MD

= . Artai c

punctele A, M i C sunt coliniare.

14. Fie ABCD un patrulater convex nct AD BD , DAB DBC i AD DC DB BC = . Artai c ABDC

Soluia 2: Fie DM AB i CN BD . Se obine MAD NBC iar apoi MBD NDC , etc.

Soluia 1:

Deoarece AM ABAD AC

= , ABM ACD i 0m( AMB) m( ADC) 0+ 18 , conform teoremei 2, AMB ADC , etc. Analog dac AMB ADC .

Soluia 2: Fie AP BM i AQ BC . Se obine ABP ACQ iar apoi AMP ADQ , etc.

A B

C D

M

P

Q Soluia 1:

Confom datelor din enun AM BMMC MD

= , ABM CDM

i m( CDA) m( BCD) 0 > .

Atunci [ ]0m( BAM) m( MCD) m( BAD) m( BCD) 180 m( CDA) m( BCD) 0+ < + = < 180

i conform teoremei 2, MAB MCD , etc.

Soluia 2: Fie MP AB i MQ CD . Se obine MPB MQD iar apoi MPA MQC , etc.

A B

C D

M

N

Soluia 1:

Au loc AD DBBC CD

= , DAB DBC

i m( ABD) m( DAB) m( DBC) = Atunci m( ABD) m( BDC) 0+