Probabilitati

CAPITOLUL 4

LEGI ALE NUMERELOR MARI I

TEOREMA LIMIT CENTRAL1. IntroducereAm vzut c nu putem ti nainte de efectuarea experimentului ce valoare va lua v.a. pe care o studiem. S-ar prea c, ntruct despre fiecare v.a. dispunem de informaii reduse, cu greu am putea determina comportarea mediei aritmetice a unui numr de v.a. n realitate, n condiii puin restrictive, media aritmetic a unui numr suficient de mare de v.a. i pierde caracterul ntmpltor.

Pentru practic este important s cunoatem condiiile n care aciunea combinat a mai muli factori ntmpltori conduce la un rezultat care s nu depind de ntmplare, deci care s ne permit s prevedem desfurarea fenomenului studiat. Astfel de condiii se dau n teoremele cunoscute sub denumirea comun de legea numerelor mari.

2. Teorema limit centralRepartitia normal ocup un loc special printre repartiiile studiate, ceea ce va permite utilizarea ei n anumite condiii n cazul celor mai diferite modele.

Teorem: Fie

un ir de variabile aleatoare independente i la fel repartizate cu M(Xn)=m, D(Xn)=(2, Yn=X1+X2+...+Xn. Dac Fn este funcia de repartiie a variabilei avem .

Teorema Liapunov: Fie (Xn)n un ir de v.a. independente: M(Xn)=mn,D(Xn)=, ,n(N*. Fie ,

, Fn funcia de repartiie a variabilei Zn.

Dac

atunci

Observaie: Fie (Xn)n v.a. independente identic repartizate Bernoulli ce iau valorile 1 sau 0 cu probabilitile p, respectiv q = 1-p (M(Xn) = p i D(Xn) = pq)

V.a. Yn = X1 + X2 + ... + Xn are M(Yn) = np, D(Y) = npq i

.

=>

unde ( este funcia de repartiie a variabilei N(0, 1).

Exemplu: Presupunem c ntr-un sistem de componente legate n paralel, trebuie s funcioneze cel puin n componente pentru ca sistemul s lucreze la performan maxim. Probabilitatea ca o component s se defecteze este p. Vrem s determinm numrul general m de componente ce trebuie s intre n alctuirea sistemului astfel c: sistemul s funcioneze la performan maxim, cu probabilitatea ( (( ( (0, 1)).

Asociem aceasta problem cu m ncercri independente cu probabilitatea de realizare p a unui eveniment. Atunci:

P(numrul de componente defecte ( m-n) =

.

Folosind aproximaia ce rezult din teorema limit central obinem:

i

, unde

deci .

3. Inegaliti pentru variabile aleatoareTeorem:

a) Fie g :R( R+ funcie msurabil satisfcnd g(x) ( b pentru x ( a unde a(R, b(R+.

Atunci pentru fiecare v.a. Y, .

b) Fie o v.a.Y i g o funcie nenegativ nedescresctoare g(a)>0 =>

c) Fie o v.a. X de ptrat integrabil i o constant a > 0 => (inegalitatea lui CEBEV)

Teorem: Dac X este o v.a. continu ce ia valori pozitive, atunci

, ( ( (0, 1)

unde M(X), M(X2) sunt valoarea medie, respectiv momentul de ordinul doi.

Exemplu. Departamentul de control al calitii a verificat 900 de piese la ntmplare. Probabilitatea ca o pies s se ncadreze n standardul existent este 0,9. Fie v.a. X = numrul de piese care se ncadreaz n standardul propus din ntregul lot. S se afle cel mai mic interval simetric fa de mX n care se afl numrul de piese cu o probabilitate mai mare la 0,99.

Soluie: p = 0,9; X Bi ( (n; p), n = 900. Din inegalitatea Cebev

=> (2 ( 8100 ( ( ( 90 deci intervalul este (720( 900).

4. Tipuri de convergene pentru iruri de v.a.

Convergena irurilor de v.a., spre deosebire de convergena irurilor de funcii din analiza matematic clasic, are la baz existena unei msuri de probabilitate pe E.

Vom presupune n cele ce urmeaz c toate v.a. sunt definite pe acelai spaiu de probabilitate (E, K, P).

1) Convergena n probabilitate

Definiie: irul de v.a. (Xn)n converge n probabilitate la v.a. X, dac

.

Teorem:

a) Limita unui ir de v.a. convergent n probabilitate este unic (aproape sigur)

b) Dac i i a,bR, atunci

c) Dac

, atunci

2) Convergena n repartiie

Definiie: Dac irul de funcii de repartiie {Fn} converge ctre o funcie de repartiie F, n fiecare punct de continuitate al acesteia, spunem c irul de v.a. {Xn} converge n repartiie ctre v.a. X a crei funcie de repartiie este F (folosim notaia

).

Teorem:

a) Dac

, atunci

b) Dac c este o constant real i dac

, atunci

.

3) Convergena aproape sigur

Definiia 3: irul de v.a. {Xn} converge aproape sigur ctre v.a. X (folosim notaia

) dac mulimea punctelor e, n care irul Xn converge punctual, formeaz un eveniment de probabilitate 1:

Acest mod de convergen este denumit i tare.

Teorem: Dac

, atunci

i implicit

.

Teorem: Dac Xn, X sunt v.a., atunci urmtoarele afirmaii sunt echivalente

a)

,

b) Din orice subir al irului (Xn)n se poate extrage alt subir

aa nct .4) Convergena n medieDefiniie: Fie (Xn)n un ir de v.a. i fie X o v.a. Dac exist

i M(Xr) i dac

spunem c irul (Xn)n converge n medie r la X.

Teorem: Convergena n medie ptratic implic convergena n probabilitate.

5. Legi ale numerelor mariTeorema lui Bernoulli - forma slab: Fie A un eveniment a crui probabilitate de realizare este p i fie fn(A) frecvena relativ de realizare a evenimentului A n n repetri independente ale experimentului n care se produce A. Atunci pentru fiecare ( > 0 are loc egalitatea

Observaie n cazul unei populaii de volum mare, dac se efectueaz o selecie de volum n i se obin ( rezultate favorabile, atunci cu o probabilitate apropiat de unitate, putem afirma c probabilitatea evenimentului cercetat este dat de frecvena relativ.

Prin urmare dac n studiul populaiilor pentru care nu putem determina apriori probabilitatea p, aceasta se poate exprima pe cale experimental prin frecvena relativ a evenimentului considerat, fapt ce constituie justificarea teoretic a folosirii frecvenei relative n loc de probabilitate.

Teorema Cebev: Fie {Xn} un ir de v.a. independente dou cte dou, avnd dispersiile mrginite de aceeai constant: D(Xn) ( C, n = 1, 2, ...

Atunci, pentru fiecare ( > 0,

sau cu alte cuvinte, irul de v.a. converge n probabilitate ctre 0.

Observaii:

a) Dac M(X1)=M(X2)=...=M(Xn)=m i sunt ndeplinite condiiile teoremei Cebev, atunci

ceea ce explic de ce putem face observaii asupra mediei unei populaii pe baza unei selecii de volum mic comparativ cu al ntregii populaii. Explicaia const n aceea c selecia implic un numr de msurtori, suficient prin ele nsele.

Deci Teorema lui Cebev st la baza teoriei seleciei.

b) Teorema lui Cebev ne spune c, dei v.a. independente pot lua valori departe de mediile lor, media aritmetic a unui numr suficient de mare de astfel de v.a. ia, cu o probabilitate foarte mare, valori n vecintatea constantei

Aceast observaie ne arat c ntre comportarea fiecrei v.a., i a mediei lor aritmetice exist o mare deosebire, n sensul c nu putem preciza ce valoare va lua fiecare v.a., ns putem preciza cu o probabilitate apropiat de 1 ce valoare va lua media aritmetic a acestor v.a.

Teorema lui Poisson: Fie A un eveniment a crui probabilitate de realizare variaz pe parcursul unui ir de experimente independente, astfel ca n experimentul de ordin k, P(A)=pk, k=1,2,... i fie fn(A) frecvena relativ de realizare a lui A n primele n repetri.

Atunci

Teorema Cantelli: Fie X1,X2,...,Xn,... v.a. independente, identic repartizate i . Atunci

Probleme rezolvate

1. ntr-o instituie public, considerm v.a. X=vrsta unui angajat al instituiei. Se tie c vrsta medie a angajailor este M(X)=35 cu abaterea medie patratica =3. S se gseasca o limit inferioar a probabilitii: P(3010)

Indicaie: Y=numrul de bile albe extrase => Y~Bi(6; 0,5)

Iar X=2Y+5(6-Y)=30-3Y numrul de puncte ctigat la sfritul extragerii.7. Fie X o variabil aleatoare pentru care M(X)=5, D(X)=4. Se cere s se calculeze

a) Valoarea minim pentru P(-14); d) Cea mai mic valoare pentru P(|X-5|)

e) Valoarea lui k, pentru care P(|X-5|