probabilitati si statistica
DESCRIPTION
Teoria probabilitatilor si statisticaTRANSCRIPT
-
CONSTANTIN POPP
NICOLETA GILLICH VILHELM ION PRAISACH
ELEMENTE DE
TEORIA PROBABILITILOR i
STATISTIC MATEMATIC
EDITURA EFTIMIE MURGU
REIA, 1998
f(x)
0 x -
-
2 Cuprins
CUPRINS
PREFA ..................................................................................................................... 6
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITILOR
Capitolul 1 Noiuni introductive ............................................................................ 8
1.1. Cmp de evenimente....................................................................................... 8
1.2. Noiunea de probabilitate.............................................................................. 10
Capitolul 2 Cmp de probabilitate....................................................................... 13
2.1. Definiie i proprieti................................................................................... 13
2.2. Probabiliti condiionate. Evenimente independente. ................................. 13
2.3. Probabilitatea reuniunii evenimentelor compatibile..................................... 15
2.4. Probabilitatea interseciei evenimentelor dependente .................................. 15
2.5. Formula probabilitii totale i formula lui Bayes........................................ 16
2.6. Scheme probabilistice clasice....................................................................... 18
2.6.1. Schema bilei nerevenite......................................................................... 18
2.6.2. Schema bilei revenite............................................................................. 18
2.6.3. Schema lui Poisson................................................................................ 20
2.7. Probleme rezolvate ....................................................................................... 20
Capitolul 3 Variabile aleatoare ............................................................................ 27
3.1. Variabile aleatoare discrete. Definiie i exemple. ....................................... 27
3.2. Operaii cu variabile aleatoare discrete ........................................................ 28
3.3. Variabile aleatoare continue ......................................................................... 30
3.4. Funcia de repartiie ...................................................................................... 31
3.4.1.Funcia de repartiie pentru variabila aleatoare discret......................... 32
3.4.2.Funcia de repartiie pentru variabila continu ....................................... 34
3.5. Funcia de repartiie bidimensional ............................................................ 36
3.6. Grafice pentru variabile aleatoare ................................................................ 37
3.6.1.Pentru v.a. discret.................................................................................. 37
3.6.2.Pentru v.a. continu, ............................................................................... 38
3.7. Probleme rezolvate ....................................................................................... 39
Capitolul 4 Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare ......................... 43
4.1. Caracteristici de grupare............................................................................... 43
4.1.1.Valoarea medie ....................................................................................... 43
4.1.2. Valoarea median .................................................................................. 44
-
4.1.3.Cuantile. ................................................................................................. 45
4.1.4.Valoarea modal..................................................................................... 46
4.1.5.Momente i medii de ordin superior. ..................................................... 47
4.2.Caracteristici de mprtiere.......................................................................... 48
4.2.1.Variabila abatere. Abaterea absolut medie........................................... 49
4.2.2.Dispersia. Abaterea medie ptratic....................................................... 50
4.2.3.Momente centrate (medii centrate). Covariana..................................... 51
4.2.4.Normata unei variabile aleatoare............................................................ 52
4.3.Caracteristici care dau informaii privind forma distribuiei......................... 53
4.4.Corelaie i regresie....................................................................................... 54
4.4.1.Proprietile coeficientului de corelaie : ............................................... 55
4.4.2.Funcia de regresie ................................................................................. 56
4.5. Probleme rezolvate ....................................................................................... 58
Capitolul 5 Funcie caracteristic i funcie generatoare.................................. 63
5.1. Definiia funciei caracteristice. Proprieti. ................................................ 63
5.2. Funcie generatoare ...................................................................................... 64
5.3. Teorema de inversiune i teorema de unicitate ............................................ 65
5.4. Probleme rezolvate ....................................................................................... 66
Capitolul 6 Repartiii probabilistice clasice discrete ......................................... 70
6.1. Repartiia binomial sau repartiia lui Bernoulli. ......................................... 70
6.2. Repartiia multinomial................................................................................ 71
6.3. Repartiia binomial cu exponent negativ.................................................... 72
6.4. Repartiia hipergeometric ........................................................................... 73
6.5. Repartiia Poisson......................................................................................... 74
6.6. Repartiia geometric ................................................................................... 76
Capitolul 7 Repartiii probabilistice clasice continue ........................................ 77
7.1. Repartiia uniform ...................................................................................... 77
7.2. Repartiia normal ........................................................................................ 79
7.3. Repartiia normal normat .......................................................................... 82
7.4. Repartiia lognormal ................................................................................... 84
7.5. Repartiia gamma. ........................................................................................ 85
7.6. Repartiia beta .............................................................................................. 88
7.6.1.Cazuri particulare .................................................................................. 90
-
4 Cuprins
7.7. Repartiia exponenial negativ .................................................................. 91
7.8. Repartiia Weibull......................................................................................... 92
7.9. Repartiia Erlang........................................................................................... 94
7.10. Repartiia 2 (hi ptrat) ......................................................................... 94
7.10.1.Cazuri particulare de repartiii 2 ....................................................... 97
7.11. Repartiia t (Student)............................................................................... 97
7.12. Repartiia Snedecor................................................................................... 100
7.13. Repartiia Fischer...................................................................................... 101
7.14. Repartiia Cauchy ..................................................................................... 102
7.15. Probleme rezolvate .................................................................................. 102
Capitolul 8 Teoreme i legi n teoria probabilitilor....................................... 105
8.1. Inegalitatea lui Cebev .............................................................................. 105
8.2. Convergena irurilor de variabile aleatoare............................................... 106
8.2.1. Convergena n probabilitate ............................................................... 106
8.2.2. Convergena tare.................................................................................. 106
8.2.3. Convergena n medie de ordinul r ...................................................... 107
8.2.4. Convergena n repartiie ..................................................................... 107
8.3. Legea numerelor mari. Legi limit ............................................................. 108
8.3.1. Problema limit central ...................................................................... 113
8.3.2. Teorema limit central a lui Leapunov .............................................. 115
8.4. Probleme rezolvate .................................................................................... 116
Capitolul 9 Procese stochastic. Elemente de teoria fiabilitii. ....................... 120
9.1. Noiunea de proces stochastic..................................................................... 120
9.2. Elemente de teoria fiabilitii ..................................................................... 122
9.2.1. Timpul de funcionare pn la prima defeciune. ................................ 123
9.2.2. Funcia risc de defectare. ..................................................................... 124
9.2.3. Sigurana sistemelor cu elemente legate n serie ................................. 125
9.2.4. Sigurana sistemelor cu elemente legate n paralel.............................. 126
STATISTIC MATEMATIC
Capitolul 10 Teoria seleciei. Teoria estimaiei. Ajustarea legilor de distribuie.
...................................................................................................................................... 127
10.1. Teoria seleciei.......................................................................................... 127
10.1.1. Noiuni introductive........................................................................... 127
-
10.1.2. Funcia de repartiie de selecie......................................................... 129
10.2 Teoria estimaiei ........................................................................................ 130
10.2.1. Estimatori punctuali. ......................................................................... 130
10.2.2. Estimarea prin intervale de ncredere................................................ 137
10.3 Ajustarea legilor de distribuie. Metode empirice..................................... 142
10.3.1. Forma histogramei............................................................................. 143
10.3.2. Verificarea unor proprieti matematice. .......................................... 143
10.3.3. Ajustarea grafic. .............................................................................. 143
10.3.4. Aplicaii ............................................................................................. 145
ANEXE ..................................................................................................................... 147
Anexa 1. Distribuia normal. Valorile funciei (x)...................................... 147
Anexa 2. Funcia a lui Euler............................................................................ 148
Anexa 3. Distribuia student............................................................................... 149
Anexa 4. Lista programelor MathCad folosite pentru generarea valorilor .. 150
BIBLIOGRAFIE ...................................................................................................... 151
-
6 Eroare! Legtur incorect.
PREFA[~
Evoluia cercetrii tiinifice prezint tendine de integrare atestate de
apariia unor discipline a cror vocaie este identificarea notelor de unitate
i sintez. n acest context, teoria probabilitilor i statistica matematic
acioneaz ca un liant ntre disciplinele fizice, tehnice i socio-umane,
validnd descrierea general i abstract a fenomenelor, furniznd astfel
tiinelor instrumente de lucru i cadre conceptuale.
Fundamente ale calculului probabilitilor au fost statuate n secolul al
XVII- lea de savanii B. Pascal i P. Fermat care au formulat definiia
clasic a probabilitii, fiind i astzi singura folosit n practic pentru
determinarea numeric a probabilitii producerii unui eveniment.
n anul 1933, A.N. Kolmogorov a realizat o axiomatizare a noiunii de
probabilitate, calculul probabilitilor devenind un capitol al teoriei msurii
iar probabilitatea o msur normat.
Obiectivul fundamental al teoriei probabilitilor const n determinarea
legturii pe care aceast tiin abstract o are cu lumea real. Aceast
problem a fost n atenia primilor probabiliti, dintre care J.Bernoulli a
formulat legea numerelor mari i a definit sperana matematic
normal.
Apariia tratatului lui Laplace Teoria analitic a probabilitilor
(1813) certific faptul c la nceputul secolului al XIX-lea aceast teorie era
complet consolidat i avea n vedere multiple aplicaii n tiin i tehnic,
n economie i n alte domenii.
-
Eroare! Legtur incorect. 7
n anii care au urmat au fost studiate aproape toate distribuiile clasice
(Bernoulli, Poisson, Gauss, Laplace etc.), au fost rezolvate teoremele limit
centrale pentru diferite iruri de variabile, s-au definit tipurile de
convergen aleatoare iar Markov a descoperit lanurile" care i poart
numele. n deceniile premergtoare axiomatizrii teoriei probabilitilor,
K.Pearson i R.A.Fischer vor pune bazele statisticii matematice actuale.
Studiul teoriei probabilitilor n epoca clasic s-a limitat pentru
cmpurile finite de probabilitate, epoca actual extinznd aceast teorie i
la nivelul cmpurilor infinite.
Prezenta lucrare, alctuit din dou pri distincte probabiliti i
statistic matematic este structurat n zece capitole, fiecare capitol fiind
nsoit de exemple i probleme rezolvate care faciliteaz asimilarea
noiunilor tratate.
Coninutul lucrrii reflect elemente ale programelor analitice aferente
cursurilor de Probabiliti i statistic matematic i Matematici pentru
economiti predate de autori la facultile din cadrul Universitii Eftimie
Murgu din Reia, dar considerm c poate fi util i cadrelor didactice
sau cercettorilor cu preocupri n acest domeniu.
Autorii i exprim gratitudinea i aduc mulumiri domnilor refereni
tiinifici : prof.dr.ing. Corneliu Velicescu de la Facultatea de Electrotehnic
a Universitii Tehnice Timioara, prof.dr.ing. tefan Grlau i conf.dr.
Liviu Sptaru de la Universitatea Eftimie Murgu din Reia, care prin
observaiile pertinente au contribuit cu certitudine la creterea nivelului
calitativ al lucrrii noastre.
Autorii
-
8 Eroare! Legtur incorect.
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITILOR
Capitolul 1 Noiuni introductive
1.1. Cmp de evenimente
Se numete experien orice realizare a unui complex de condiii, , bine precizat. Prin efectuarea unei experiene se nelege alegerea unui element dintr-o mulime dat,
printr-un procedeu susceptibil de a fi repetat.
O anumit realizare efectuat sau viitoare, a unei experiene, se numete prob. Deci,
proba nu se confund cu experiena nsi ci cu unul din rezultatele sale previzibile.
Uneori, n loc de probe ale unei experiene, vom spune cazuri posibile ale experienei.
n legtur cu o experien aleatoare (ntmpltoare) ne putem pune o serie de
ntrebri ale cror rspunsuri nu le putem cunoate dect dup efectuarea experienei.
Toate situaiile legate de o experien aleatoare i despre care putem afirma cu certitudine
c s-au produs sau nu dup efectuarea experienei, le vom numi evenimente.
Evenimentul care poate fi realizat de o prob i numai de una se numete eveniment
elementar. Celelalte evenimente (care nu sunt elementare) le vom numi evenimente
compuse.
Experienele se mpart n dou categorii : cu un numr finit de rezultate posibile (sau
probe) i cu o infinitate de cazuri posibile. De exemplu, aruncarea zarului este o
experien cu un numr finit de cazuri posibile (6). Are ase evenimente elementare, dar
poate avea i altele (de pild sau faa 6 sau faa 3, sau una din feele 2, 3, 5, etc.). Numrul
total de evenimente este C C C60
61
66 62 64+ + + = =K .
O mulime de evenimente care pot aprea ntr-o anumit experien, se numete
sistem de evenimente i poate fi finit sau infinit, dup cum conine un numr finit sau
infinit de evenimente.
Evenimentul poate fi sigur (total) dac se realizeaz cu certitudine la fiecare efectuare
a experienei sau imposibil dac nu se realizeaz la nici o efectuare a experienei.
Evenimentele se noteaz de obicei cu litere mari ale alfabetului latin : A, B, C, .
Evenimentul sigur se noteaz cu E, iar evenimentul imposibil cu . Fiecrui eveniment A i corespunde evenimentul contrar (opus sau complementar)
notat A sau CA. Evident c E = i = E . Dac B A= atunci i A B= .
-
Eroare! Legtur incorect. 9
Implicaia unui eveniment de ctre alt eveniment. Zicem c evenimentul A implic
evenimentul B (AB) dac B se realizeaz de fiecare dat cnd se realizeaz A. n caz contrar se va scrie : AB.
Proprietile implicaiei 1. AA (reflexivitate) 2. AE, ()A (ultimul element) 3. Dac AB i BC, atunci AC (tranzitivitate) 4. A, ()A (primul element) 5. Dac AB i BA atunci A=B, adic sunt echivalente (antisimetrie) Reuniunea a dou evenimente. Dac A i B sunt evenimente legate de aceeai
experien, atunci AB este evenimentul care const n realizarea cel puin a unuia din cele dou evenimente (se citete : A sau B).
Proprietile reuniunii 1. AB=BA (comutativitate) 2. (AB) C=A(BC) (asociativitate) 3. AAB, BAB 4. AA=A (idempotena) 5. AE=E (proprietile ultimului element) 6. A=A (proprietile primului element) Intersecia a dou evenimente : AB este evenimentul care const n realizarea
ambelor evenimente (se citete A i B).
Evenimente compatibile. Dou evenimente A i B sunt compatibile dac se pot realiza
simultan, adic dac exist probe comune care realizeaz att pe A ct i pe B (AB). n caz contrar evenimentele sunt incompatibile (AB=, adic sunt disjuncte).
Proprietile interseciei 1. AB=BA (comutativitate) 2. (AB) C=A(BC) (asociativitate) 3. A(BC)=(AB) (AC) (distributivitate)
-
10 Eroare! Legtur incorect.
Definiia 1. Fie E o mulime nevid. (E) i K o familie nevid de pri ale lui E. Cuplul (E,K) se numete cmp de evenimente (finit sau infinit) dac K verific axiomele
unui trib (algebr) respectiv a unui trib borelian (- algebr) : a) EK, K b) ( ) A AK K c) A, B KAB K, AB K d) A, B K, ABB\A K unde B \ A = B A (diferena)
e) Dac K este infinit i Ai K, iN A , Ai i11
K KIU
Definiia 2. Sistemul de evenimente { }B i = 1,n Bi i, , K , se numete sistem complet de evenimente dac : B B B (i j), B Ei i j i
1
n
= =0, UI . Definiia 3. Un eveniment A K se numete eveniment compus dac exist dou
evenimente B, C K \{} diferite de A astfel nct A=BC. Un eveniment care nu este compus i nu este imposibil, se numete eveniment elementar sau atom.
1.2. Noiunea de probabilitate
Vom caracteriza printr-un numr raional 0p1, gradul de realizare (ansa realizrii) al fiecrui eveniment A dintr-un cmp de evenimente K. Un astfel de numr notat P(A) se
va numi probabilitatea evenimentului A.
1. Definiia statistic : P(A) = lim f A), unde f A) =nnn n nA
( ( se numete frecvena
relativ a evenimentului A ntr-o serie de n repetri a unei experiene ; nA este numrul
apariiei evenimentului A n cele n ncercri.
2. Definiia clasic : P(A)mn
= ; m este numrul de cazuri favorabile producerii evenimentului A iar n este numrul cazurilor posibile, n ipoteza c toate cazurile sunt
posibile.
-
Eroare! Legtur incorect. 11
Aceast definiie reduce noiunea de probabilitate la noiunea de egal probabilitate de
apariie a evenimentelor elementare, care fiind admis ca noiune primar nu poate fi
definit riguros matematic. Se presupune c mulimea evenimentelor ataate unei
experiene poate fi construit prin operaia de reuniune a unor evenimente egal posibile.
Definiia clasic este insuficient deoarece se aplic numai pentru cmpuri finite de
evenimente, unde chiar i pentru acestea nu ntotdeauna se poate vorbi de cazuri egal
posibile (de exemplu zarul nu este perfect simetric).
3. Definiia geometric extinde noiunea de probabilitate n cazul cmpurilor infinite.
Astfel, fie o mulime msurabil a unui spaiu euclidian n-dimensional, a crei msur Lebesgue n-dimensional este pozitiv i finit. Notm L clasa de pri msurabile ale lui i (A) msura Lebesgue a mulimii msurabile A L. Se arunc la ntmplare un punct n mulimea i se cere s se determine probabilitatea ca punctul respectiv s cad n mulimea A. Se intuiete c probabilitatea cutat este proporional cu msura
mulimii (A) - msura mulimii A i nu depinde de forma i aezarea lui A, adic prin definiie :
P(A) =(A)( )
Aceast probabilitate verific proprietile observate att la frecvena relativ ct i la
probabilitatea dat prin definiia clasic. De multe ori se consider n aplicaii cazul cnd
=[a,b] al dreptei reale, iar A este un subinterval nchis [a,b]. Atunci : P(A) =
b'-a'b - a
4. Definiia axiomatic. Kolmogorov n anul 1931 pune bazele axiomatice ale teoriei
probabilitilor, n strns legtur cu teoria msurii i teoria funciilor de variabile
reale.
Numim probabilitate pe un cmp de evenimente (E,K), o funcie P:K[0,1] cu
proprietile :
1. P(E)=1
2. A , n ; A A m n P A P(An n m n1
n = =
K N , )I U1
-
12 Eroare! Legtur incorect.
Din definiie rezult c o probabilitate nu este altceva dect o msur pozitiv
normat (ia valori numai n [0,1]) definit pe un trib (respectiv trib borelian). Dac E este
o mulime finit, rolul lui K este jucat de P(E) - mulimea prilor lui E, pentru c de
obicei n tratarea ansamblist atomii se reduc la elementele eE numite evenimente elementare.
Dac (E,K) este un cmp finit de evenimente, ale crui evenimente elementare sunt
{e1, e2, , en}=E, din definiia axiomatic rezult :
P(e i = 1,n P(e P(E) = 1i i1
n
) , ; ) =0 Dac P(e1)=P(e2)==P(en) spunem c evenimentele elementare ei sunt egal
probabile i n acest caz deducem : P(en
i = 1,ni ) ,= 1
Dac A K oarecare, A = e e ei i i1 2 mKUUU , avem :
P(A) = P e P(e , deci P(A) =mnir =1
m
ir rU = = )r
m
1,
adic raportul dintre numrul evenimentelor elementare favorabile evenimentului dat i
numrul total de evenimente elementare ale cmpului.
Astfel definiia clasic a probabilitii este coninut, ca un caz particular, n definiia
axiomatic.
-
Eroare! Legtur incorect. 13
Capitolul 2 Cmp de probabilitate
2.1. Definiie i proprieti
Fie (E, K) un cmp finit sau infinit de evenimente i P o probabilitate pe (E, K).
Un triplet {E, K, P} se numete cmp de probabilitate.
Dac (E, K) este infinit, atunci {E, K, P} se numete cmp borelian de probabilitate.
Proprieti: 1. P()=0 2. P(A) = 1- P(A , ( )A) K 3. P(B\A)=P(B)-P(A), ()A,BK, AB, iar n general :
P(B\A)=P(B)-P(AB) 4. P(A)P(B) dac AB ; A,B K 5. 0P(A) 1, ()A K 6. P(AB)=P(A)+P(B)- P(AB), ()A,BK (formula lui Poincar)
7. { }P A P(A ( ) An1
n n
U ), n N K1
Pentru studiul cmpurilor infinite este util ca evenimentele cmpului s fie
reprezentate prin mulimi de puncte din spaiul Rn.
2.2. Probabiliti condiionate. Evenimente independente.
Fie o urn care are n bile dintre care unele marcate cu litera A n numr de a, altele
notate cu B n numr de b i n sfrit unele notate cu A i B n numr de c. Notm cu A
(respectiv B) evenimentul de a extrage o bil marcat cu A (respectiv B). Se cere
probabilitatea evenimentului B, n ipoteza c evenimentul A s-a produs. Vom avea :
P B P B Ac
a c
cn
a cn
P A BP AA
( ) ( / )( )
( )= = + = + =
I
-
14 Eroare! Legtur incorect.
Prin faptul c evenimentul A s-a produs, se modific complexul de condiii n care
mai poate s apar evenimentul B i prin urmare producerea lui A influeneaz
producerea lui B a crui probabilitate de apariie la nceput a fost P Bb c
n( ) = + .
Acest exemplu sugereaz urmtoarea definiie :
Fie {E, K, P} un cmp borelian de probabilitate i A,BK cu P(A)0. Se numete
probabilitate a evenimentului B condiionat de evenimentul A (sau probabilitatea lui B n
raport cu A) expresia :
P B P B AP A B
P AA( ) ( / )
( )( )
= = I ( 1.2.1)
Remarc : Faptul c tripletul {E, K, P} este un cmp borelian de probabilitate arat
c PA:K[0,1] este o probabilitate. n adevr, deoarece AE=A rezult :
P EP A E
P AP AP AA
( )( )
( )( )( )
= = =I 1 Dac AiK,, AIAj= (ij) atunci : (AAi)(AAj)= i deci :
P AP A A
P A
P A A
P AP AA i
i i
A i1
1 1
1
=
=
= U
UI IU( )
( )
( )( )
S considerm n continuare experiena aruncrii unei monede de dou ori. Notm cu
A evenimentul apariiei stemei la prima aruncare i cu B la a doua aruncare. Avem
P(A)=1/2, P(B)=1/2.
Pentru evenimentul AB se prezint un singur caz favorabil din cele patru posibile :
(1,1), (1,2), (2,1), (2,2). Deci : P A B P A P B( ) ( ) ( )= = = 14
12
12I
Apariia feei cu stem, la a doua aruncare este independent de apariia unei fee sau
a celeilalte la prima aruncare. Rezult astfel urmtoarea definiie :
Dou evenimente A,BK se numesc independente dac :
P(AB)=P(A)P(B) (2.2) Din (2.1) rezult o definiie echivalent a evenimentelor independente :
-
Eroare! Legtur incorect. 15
PB(A)=P(A) dac P(B)0 sau PA(B)=P(B) dac P(A)0 (2.3)
De asemenea este evident c dac P(A) 0, P(B) 0 atunci :
P(B) PB(A)= P(A) PA(B) (2.4) Generaliznd, dou sisteme complete de evenimente {A1,A2,,An} i {B1,B2,,Bn}
ale cmpului {E, K, P} sunt independente dac :
P A B P A P B i m j ni j i j( ) ( ) ( ); , , ,I = = =1 1 (2.5)
2.3. Probabilitatea reuniunii evenimentelor compatibile
Se tie c dac A,BK sunt incompatibile (AB=) atunci : P(AB)=P(A)+P(B) (2.6)
Ne propunem s calculm P(AB) n cazul cnd AB : AB=[A\(AB)][AB][B\(AB)],
n care evenimentele din parantezele mari sunt incompatibile dou cte dou.
P(AB)=P[A\(AB)]+P[AB]+P[B\(AB)]=P(A)-P(AB)+P(AB)+P(B)-P(AB). Deci :
P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) (2.7) Prin recuren, formula se poate extinde la n evenimente (formula lui Poincar) :
P A P A P A A P A A Ain
ii ji j
n
i ji j ki j k
n
i j k
n
1 1 11U I I I K
= + +=< =< >n, aceeai condiie meninndu-se i pentru perechile a i x, respectiv b i n-x, atunci
se arat c cele dou probabiliti date n schemele I i II sunt aproximativ egale, adic :
C CC
C p qax
bn x
Nn n
x x n x
Exemplu : Se arunc o moned de 15 ori. Care este probabilitatea de a obine de zece
ori stema ?
Soluie : Avem n=15, x=10, p=1/2, q=1/2, deci :
P C15 1510
10 5
1012
12
0 0917( ) ,=
=
Generalizare : Schema multinomial
P x xn
x xp pn s
s
xsxs( , , )
!! !1 1
11K K L= ,
(2.17)
unde x1 bile sunt de culoarea 1,, xs bile de culoarea s, adic : dintr-o urn cu bile de s
culori, se extrag n bile, cu revenirea acestora n urn.
-
20 Eroare! Legtur incorect.
2.6.3. Schema lui Poisson
Se consider n urne, U1, U2, , Un. Urna Ui conine ai bile albe i bi bile negre
( i = 1,n ). Se extrage cte o bil din fiecare urn. Se cere probabilitatea ca din cele n bile
extrase, x s fie albe i (n-x) negre.
Dac notm cu pi probabilitatea ca din urna Ui s scoatem o bil alb i cu qi
probabilitatea ca din Ui s scoatem o bil neagr, avem :
pa
a bb
a bp ni
i
i ii
i
i ii= + = + = =, , , q i1 1
Raionnd ca n schema lui Bernoulli, probabilitatea cerut este coeficientul lui xkyn-k
din produsul :
(p1x+q1y) (p2x+q2y) (pnx+qny)
Exemplu : La o specializare (de exemplu tiina materialelor) sunt n anul I 22
studente i 20 studeni, n anul II 16 studente i 10 studeni, iar n anul III sunt 20 de
studente i 6 studeni. Care este probabilitatea ca primul student din fiecare an de studiu
sosit la cursuri ntr-o zi, s fie de sex feminin ?
Soluie : Aplicnd schema polinomial, avem :
p1=22/42, q1=20/42 ; p2=16/26, q2=10/26 ; p3=20/26, q3=6/26
Probabilitatea cerut este dat de coeficientul lui xy2 din produsul :
( )( )( )p x q y p x q y p x q y x y x y x y1 1 2 2 3 32242
2042
1626
1026
2026
626
+ + + = + +
+
obinem : p = + + 2242
1026
626
2042
1626
626
2042
2026
1026
0 255, .
2.7. Probleme rezolvate
1) S se calculeze probabilitatea ca la o aruncare cu zarul s apar faa numerotat cu
1 sau 2.
Soluie : Fie A evenimentul apariiei feei 1 sau 2. Notnd cu Ei evenimentul apariii
feei i (i=1,2,3,4,5,6), avem P(E )16i
= . 2) ntr-o magazie sunt 40 de piese dintre care 4 au defecte. Care este probabilitatea ca
o pies luat la ntmplare s fie cu defecte ?
Soluie : Notm cu A evenimentul ca piesa aleas s fie cu defecte. Evenimentul fiind
aleator, putem lua orice pies din cele 40, deci avem 40 de cazuri posibile. Numrul
-
Eroare! Legtur incorect. 21
cazurilor favorabile lui A este egal cu numrul pieselor defecte, adic 4. Din definiia
clasic rezult P(A)=4/40=0,1.
3) La fabricarea unui dispozitiv pot s apar defecte datorit materialului folosit,
datorit prelucrrii pieselor componente i datorit montajului. Dispozitivul se
consider bun dac nu are nici unul din aceste defecte. Din practic se cunoate c
datorit materialului folosit 5% din piese au defecte, datorit prelucrrii 8% au
defecte, iar datorit montajului 4% au defecte. Se cere probabilitatea minim ca un
dispozitiv s fie bun.
Soluie : Notm cu A evenimentul ca piesele componente s nu aib defecte din
cauza materialului folosit, cu B ca ele s nu aib defecte de fabricaie i cu D evenimentul
ca dispozitivul s nu aib defecte de montaj. Se cere P(ABD), cunoscnd ( )P A = 0 05, , ( )P B = 0 08, , ( )P D = 0 04, . Din inegalitatea lui Boole deducem :
( ) ( ) ( ) ( )[ ]P A B D P A P B P DII + + = =1 1 0 17 0 83, , sau : P(ABD)P(A)+P(B)+P(D)-(3-1)=0,95+0,92+0,96-2=0,83 4) Trei vntori trag simultan asupra unui iepure. Vntorul nr.1 ochete iepurele cu
probabilitatea 0,9, al doilea cu 0,8 i respectiv al treilea cu probabilitatea 0,7. Se
cere probabilitatea ca iepurele s scape dac toi trei vntorii trag simultan asupra
iepurelui.
Soluie : Notm cu Ai (i=1,2,3,) evenimentul ca vntorul i s ocheasc iepurele.
Trebuie s se realizeze evenimentul A A A1 2 3UU . Evenimentele Ai fiind independente, avem P(A1A2A3)=0,9+0,8+0,7-(0,9 0,8+0,90,7+0,80,7)+ 0,90,80,7=0,994 (formula lui Poincar).
Probabilitatea cerut va fi deci : p=1- P(A1A2A3)=0,006. (Sau : ( ) ( ) ( ) ( )p P A A A P A P A P A= = = =1 2 3 1 2 3 0 1 0 2 0 3 0 006II , , , , ) 5) O urn conine 4 bile albe (a1, a2, a3, a4) i dou bile negre (n1, n2). Se extrag
simultan dou bile. Se cere :
1. S se precizeze probele experienei
2. Se consider evenimentele :
A1 obinerea a dou bile negre
A2 obinerea a dou bile albe
A3 obinerea a cel puin unei bile negre
-
22 Eroare! Legtur incorect.
A4 obinerea unei singure bile albe
A5 obinerea unei singure bile negre
A6 obinerea a dou bile verzi
S se precizeze care dintre ele sunt aleatoare, elementare sau compuse ; perechi de
evenimente compatibile i incompatibile ; perechi de evenimente egale ; implicaiile
dintre evenimente.
Soluie :
1. Probele experienei sunt : (a1,a2), (a1,a3), (a1,a4), (a2,a3), (a2,a4), (a3,a4),
(a1,n1), (a1,n2), (a2,n1), (a2,n2), (a3,n1), (a3,n2), (a4,n1), (a4,n2) i (n1,n2). Deci numrul
probelor este C62 6 5
215= = .
2. Evenimentele A1, , A5 sunt aleatoare. Evenimentul A6 este imposibil,
el nu este nici elementar nici compus. A1 este elementar, el realizndu-se printr-o singur
prob (n1,n2). Avem A1={(n1,n2)}. Evenimentele A2, , A5 sunt compuse. Apoi, A4=A5 i
reciproc, deoarece A4 atrage dup sine realizarea lui A5 i reciproc. Aceasta se observ i
din egalitatea mulimilor de probe :
A4={(a1,n1), (a1,n2), (a2,n1), (a2,n2), (a3,n1), (a3,n2), (a4,n1), (a4,n2)}
A5={(n1,a1), (n1,a2), (n1,a3), (n1,a4), (n2,a1), (n2,a2), (n2,a3), (n2,a4)}
Avem :
A2={(a1,a2), (a1,a3), (a1,a4), (a2,a3), (a2,a4), (a3,a4)}
A3={(a1,n1), (a1,n2), (a2,n1), (a2,n2), (a3,n1), (a3,n2), (a4,n1), (a4,n2), (n1,n2)}
Sunt compatibile perechile : (A3,A5), (A1,A3), (A4,A5), (A3,A4)
Sunt incompatibile : (A2,A3), (A1,A2), (A1,A4), (A1,A5), (A2,A4), (A2,A5), (Ai,A6),
i=1,2,3,4,5.
Evenimente contrare sunt : A2 i A3.
Avem implicaiile : A1A3, A4A5, A5A4, A4A3, A5A3, A6Ai, i=1,2,3,4,5. 6) A i B fiind dou evenimente, s se arate c :
P(AB)-P(A)P(B) 1/4 Soluie : Presupunem c P(A)P(B). Deoarece P(AB)P(B), avem : P(AB)-P(A)P(B) P(B)[1-P(A)] P(A)[1-P(A)]1/4 (ultima inegalitate se poate obine, de exemplu, din inegalitatea mediilor).
Notnd P A B x P A B a A B b( ) , ( ) , ( ) ,= = = P I II observm c : a+b+x=P(AB)1 i aP(A), b P A P A = ( ) ( )1 , abP(A)[1-P(A)]1/4
-
Eroare! Legtur incorect. 23
Deci : P(AB)-P(A)P(B)=x-(a+x)(b+x)=x-[ab+x(a+b+x)]x-ab-x=-ab-1/4 7) ntr-un cmp de probabilitate {E,K,P} fie evenimentele A1, ,An astfel nct
P A nin
( ) 11
. S se arate c P Ain
10I
.
Soluie : A E A A P Ain
i
n
i
n
i
n
1 1 1 11I U I U=
=
P;
Dar P A P A P A n P A n nin
i i
n
i
nn
1 1 111 1 1U
= = = ( ) [ ( )] ( ) ( )
Rezult : 0APn
1i
I . 8) Un grup de 2n biei i 2n fete este mprit la ntmplare n dou grupuri egale. S
se gseasc probabilitatea p ca fiecare grup s aib acelai numr de biei i de fete,
apoi s se estimeze p folosind formula lui Stirling
= + mare n pentru ,en2!n n2
1n
.
Soluie : Notm cu F mulimea fetelor i cu B mulimea bieilor. Un eveniment
elementar este o submulime a lui FB care are 2n elemente. Numrul modurilor n care din 4n biei i fete se pot alege 2n este n2n4C . Din toate acestea, evenimente elementare
favorabile sunt acele submulimi ale lui FB pentru care numrul fetelor este egal cu numrul bieilor i este egal cu n.
Dar, din 2n fete se pot alege n n nn2C moduri i tot la fel pentru biei. Deci, n biei
i n fete se pot selecta n ( )C C Cnn nn nn2 2 2 2 = moduri, acesta fiind numrul evenimentelor favorabile. Probabilitatea cerut va fi :
( )p
CC
n!)n!)
n!)n!
n!)n!)(n!)
nn
nn= = =2
2
42
2
4
2 4
4
2 24
24
((
( ((
Aproximnd cu formula lui Stirling, avem :
pn e
n e n en
n n
n n n n
=+
+ +
2 2
2 4 2
22
12
4
8
412 4
12
4
4
( )
( )
9) Sunt date n exploatare 10 aparate de acelai tip, provenind de la 3 fabrici : 3 de la
F1, 5 de la F2 i 2 de la F3. Aparatele sunt supuse unei probe de verificare. Cele de
-
24 Eroare! Legtur incorect.
la F1 trec proba cu probabilitatea 0,95, cele de la F2 cu probabilitatea 0,75 i cele
de la F3 cu probabilitatea 0,80. Se alege la ntmplare un aparat. Care este
probabilitatea ca aparatul s treac proba de verificare ?
Soluie : Notm cu Ai evenimentul aparatul ales provine de la fabrica Fi, i=1,2,3.
Avem : P(A1)=3/10, P(A2)=1/2, P(A3)=1/5. Notnd cu A evenimentul aparatul ales trece
proba de verificare, vom avea : P(A/A1)=0,95, P(A/A2)=0,75, P(A/A3)=0,80.
Aplicnd formula probabilitii totale, obinem :
P A P A P A Ai i( ) ( ) ( / ) , , , , , , ,= = + + = 0 3 0 95 0 5 0 75 0 2 0 8 0 821
3
10) n condiiile problemei 9, se alege la ntmplare un aparat i se constat c el trece
proba de verificare. Care este probabilitatea ca el s provin de la fabrica F1 ?
Soluie : P A AP A P A A
P A P A Ai i( / )
( ) ( / )
( ) ( / ),1
1 1
1
3
310
95100
4150
57164
0 347=
=
= =
11) ntr-o cutie sunt aezate la ntmplare 40 de becuri de 100W, provenind de la trei
fabrici : 15 de la F1, 18 de la F2, 7 de la F3. Care este probabilitatea ca un
cumprtor, care este servit cu 10 becuri alese la ntmplare, s primeasc 5 de la
F1, 3 de la F2 i 2 de la F3 ?
Soluie : Suntem n cazul schemei bilei nerevenite (sau nentoarse) cu 3 culori :
PC C C
C10155
183
72
40103 2 0 0607(5, , ) ,= =
12) Se arunc un zar de 5 ori. Care este probabilitatea de a obine de 3 ori faa cu 6
puncte i cte o dat feele cu 2 i 3 puncte ?
Soluie : Se aplic schema lui Bernoulli cu 6 culori. Experiena se repet n aceleai
condiii i n=5, x1=0, x2=1, x3=1, x4=0, x5=0, x6=3 ; p1=p2==p6=1/6. Deci :
P50 0 0 3
0 11 0 0 35
0 1 1 0 0 316
16
16
16
16
16
0 0026( , , , , , )!
! ! ! ! ! !,=
=
13) O pies fabricat este considerat corespunznd standardului dac ndeplinete
condiiile A, B, C. Datele statistice arat c : 90% din piese ndeplinesc condiia
A, 87% ndeplinesc condiia B, 92% ndeplinesc condiia C. S se calculeze
probabilitatea ca o pies fabricat s corespund standardului.
Soluie : Este necesar s se realizeze evenimentul S=ABC. Necunoscnd n ce relaii sunt condiiile A, B, C, vom folosi inegalitatea lui Boole pentru n=3 :
-
Eroare! Legtur incorect. 25
P(ABC)P(A)+P(B)+P(C)-2, adic : P(S)0,90+0,87+0,92-2=0,69. Deci : 0,69P(S)1. 14) Trei fabrici F1,F2, F3 trimit acelai produs spre vnzare ntr-un magazin, n
cantiti proporionale cu numerele 4, 1 i 5. Se cunosc proporiile respective ale
produselor cu defecte primite de la fiecare fabric : 2%, 3% i respectiv 1,5%. O
cantitate de produse n valoare de 50.000 lei care a fost vndut este restituit
avnd defecte care o fac de nentrebuinat, iar suma este restituit cumprtorului.
Ce sume trebuie imputate fiecrei fabrici care a trimis marfa dac nu se tie de la
ce fabric provine produsul respectiv ?
Soluie : Sumele imputate fabricilor Fi (i=1,2,3) vor fi proporionale cu probabilitile
pi (i=1,2,3) ca marfa restituit s fie de la fabrica respectiv. Calculm deci aceste
probabiliti, notnd cu Ei evenimentul ca marfa s fie de la Fi i cu X evenimentul ca
marfa s fie defect.
Avem urmtoarele evenimente dependente :
X/Ek - marfa defect aparinnd fabricii Fk, cu probabilitatea P(X/Ek)
Ek/X - marfa care aparine fabricii Fk este defect, cu probabilitatea P(Ek/X)
Aplicnd formula lui Bayes, obinem :
p P E XP E P X E
P E P X Ei i
i i
k ki
= =
( / )( ) ( / )
( ) ( / );
1
3 i = 1,2,3
Avem : P(E1)=4/10=0,4 ; P(E2)=1/10=0,1 ; P(E3)=5/10=0,5, P(X/E1)=2/100=0,02 ;
P(X/E2)=3/100=0,03 ; P(X/E3)=1,5/100=0,015.
Fcnd nlocuirile n formul, obinem :
p1=P(E1/X)=80/185 ; p2=P(E2/X)=30/185 ; p3=P(E3/X)=75/185
Sumele si ce vor fi returnate de fabrici satisfac ecuaiile :
sp
sp
sp
s s sp p p
1
1
2
2
3
3
1 2 3
1 2 3= = = + ++ + adic : 1
50000
18575s
18530s
18580s 321 ===
De aici,
lei216221855000080s1 ==
s lei230 50000
1858108= =
-
26 Eroare! Legtur incorect.
s lei375 50000
18520270= = (rotunjite la numere ntregi).
15) La un concurs de matematic, trei candidai primesc cte un plic care conine n
(n>3) bilete cu probleme de algebr i geometrie. Cele 3 plicuri conin respectiv cte 1, 2, 3 subiecte de algebr. Fiind examinai, cei trei candidai extrag fiecare
cte un bilet din plic. Extragerea fcndu-se la ntmplare, s se afle probabilitatea
urmtoarelor evenimente :
a) Toi candidaii s fie examinai la geometrie
b) Nici un candidat s nu fie examinat la geometrie
c) Cel puin un candidat s fie examinat la algebr
Soluie : Aplicm schema lui Poisson, notnd cu p0,3 probabilitatea cerut la punctul
a) Aceasta este coeficientul lui x0y3 din polinomul :
( ) ( )1 1 2 2 3 3 1 16 11 18 6 22 183 3 2 2 2n x n n y n x n n y n x n n y n x n x y n n xy+ + + = + + + +[+ ( )( )( ) ]n n n y1 2 3 3
Deci, pn n n
n0 3 31 2 3
,
( )( )( )= .
Probabilitatea cerut la punctul b) va fi pn3 0 316
, = (coeficientul lui x3y0 din dezvoltarea de mai sus). Pentru punctul c) trecem la evenimentul contrar punctului a)
adic :
p pn n
n= = + +1 6 11 60 3
2
3,
-
Eroare! Legtur incorect. 27
Capitolul 3 Variabile aleatoare
3.1. Variabile aleatoare discrete. Definiie i exemple.
Notm cu pi=P(Ai)=P(x=xi) - probabilitatea evenimentului Ai adic a evenimentului
c variabila ntmpltoare (aleatoare) x ia valoarea xi. Fie Sc={A1,A2,,An} un sistem
complet de evenimente.
Definiie : Se numete variabil aleatoare o aplicaie x definit pe Sc cu valori reale
(adic x:ScR). Notm : x x A i ni i= =( ), ,1 . Dac Sc este cel mult numrabil, atunci variabila
aleatoare ataat este discret i anume :
- discret simpl, dac are un numr finit de valori
- discret numrabil, dac are o infinitate numrabil de valori.
Variabila aleatoare discret (v.a.d) se reprezint printr-un tablou de repartiie (sau
distribuie) de forma :
n,1ii
i
n21
n21px :sau x ppp
xxx : x=
LL ,
n care xi sunt valorile variabilei, iar pi sunt probabilitile cu care variabila x ia aceste
valori xi (adic probabilitile evenimentelor din sistemul Sc). De aici, rezult evident c :
p pi in
=0 11
, .
Aceste dou condiii caracterizeaz v.a.d., iar n poate fi un numr finit sau infinit.
Exemple :
1) Considerm experiena aruncrii unei monede. Drept sistem complet de evenimente se consider acela format din evenimentele elementare A (apariia
stemei) i A (faa opus). Se tie c P A P A( ) ( )= = 12
, deci putem defini v.a.d
prin : { }x : A,A R , x(A)=0, x A( ) = 1, iar tabloul de distribuie va fi : x :
0 112
12
2) S se scrie distribuia v.a.d ce reprezint suma punctelor obinute la aruncarea a dou zaruri.
-
28 Eroare! Legtur incorect.
Notm cu A2, A3, A12 evenimentele care arat c la aruncarea celor dou zaruri s-
au obinut puncte a cror sum este 2,3,,12. Acestea formeaz un sistem complet de
evenimente i deci putem defini v.a.d x astfel nct x(Ai)=i, i = 2 12, . Tabloul de repartiie va fi :
x : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12136
236
336
436
536
636
536
436
336
236
136
3) n exemplul precedent s considerm evenimentele : B1 - suma punctelor obinute s fie cel mult 5
B2 - suma punctelor obinute s fie 6, 7, 8, sau 9
B3 - suma punctelor obinute s fie cel puin 10
Definim v.a.d y:{B1,B2,B3} R prin y(B1)=1, y(B2)=2, y(B3)=3. Tabloul de distribuie va fi deci :
y : 1 2 3
1036
2036
636
3.2. Operaii cu variabile aleatoare discrete
Se consider v.a.d simple, date prin tablourile de distribuie :
x xpi
i i n:
,
=1 i y:
yp
i
i j m
=1, unde : pi=P(x=xi), qj=P(y=yj)
1) Se numete produsul variabilei x cu numrul a, variabila ax al crei tablou de
distribuie este :
ax i n
:,
axp
i
i
=1
2) Se numete puterea de ordinul k a variabilei x, variabila xk al crei tablou de
distribuie este :
xki n
: xp kik
i
+
=1,
, Z
Dac xi0 atunci k poate fi i ntreg negativ. De exemplu :
x
i n
=
1
1
: 1xp
i
i ,
-
Eroare! Legtur incorect. 29
3) Se numete suma variabilelor x i y, variabila x+y cu tabloul de distribuie
[ ]( ) , ( ) ( ),,
x yy
P x x y yji nj n
i i++
= = ==
= :
xp p
i
ijij1
1
I
Se poate arta c pijj
m
i
n
=== 1
11. Dac variabilele sunt independente (adic corespund
unor experiene independente), atunci :
pij=P(x=xi) P(y=yj)=piqj
4) Se numete produsul variabilelor x i y, variabila xy cu tabloul de distribuie :
[ ]xy : y P x x y yji nj n
i i xp pi
ijij
= = ==
=11,,
, ( ) ( )I
Cazuri particulare :
a) Dac constanta c se consider o variabil cu tabloul c1 , atunci suma (c+x) este
v.a.d cu tabloul :
( ),
c xc xi
i n+ +
= : pi 1
b) Dac x 0, vom defini raportul yx
prin yx-1
Observaie : n operaiile cu v.a.d convenim s scriem valorile variabilei n ordine cresctoare i o
singur dat. Dac una din valori apare de dou sau mai multe ori, se va scrie o singur dat, iar
probabilitile acesteia se adun ntre ele.
Exemplu : Dndu-se variabilele independente :
x : - 1 0 20,1 0,5 0,4 i y : 1 3 6
0,5 0,2 0,3
se cer operaiile : 5x, x y x + y, xy, xy
y - 2,92 -1, , ,
Soluie:
5
10 3 0 2 0 5
x : - 10 0 50,4 0,5 0,1 x : 0 1 4
0,5 0,1 0,4 ; y 16
132 -1; :
, , ,
( )x y+ : 0 1 2 3 5 6 80,05 0,25 0,02 0,3 0,11 0,15 0,12
-
30 Eroare! Legtur incorect.
xy : - 6 - 3 - 1 0 2 6 120,03 0,02 0,05 0,5 0,2 0,08 0,12
( , )y 2 9 :
- 1,9 0,1 3,10,5 0,2 0,3
3.3. Variabile aleatoare continue
n practic exist multe experiene aleatoare care au un cmp de evenimente
nenumrabil i implicit sistemul de evenimente aleatoare este nenumrabil. Acest fapt
impune considerarea unei variabile aleatoare ale crei valori acoper o mulime continu
de numere reale (un interval nchis [a,b]). Astfel de experiene sunt de exemplu :
msurarea masei, a forei, a lungimii, a timpului, etc. n asemenea cazuri este practic
imposibil de a asocia evenimentelor corespunztoare fiecrui rezultat cte o probabilitate
nenul, deoarece numrul cazurilor posibile este infinit. Dac unei asemenea experiene i
se ataeaz variabila aleatoare x, atunci x [a,b]. Deoarece P(x=x0)=0, vom recurge la a caracteriza nu probabilitatea ca variabila x s
ia valoarea fix x0, ci ca valorile lui x s parcurg un interval orict de mic, de lungime
dx.
Dac dP(x0)=P(x [x0,x0+dx]) este firesc s presupunem c aceast probabilitate este proporional cu lungimea dx a intervalului, iar dac factorul de proporionalitate l notm
cu f(x0), atunci dP(x0)=f(x0)dx.
Constatm astfel c se poate defini o funcie f:[a,b] R care atribuie fiecrei valori
x0[a,b], factorul de proporionalitate f(x0) corespunztor probabilitii ca variabila x s ia valori n [x0, x0+dx].
Funcia f definit astfel, se numete funcie densitate de probabilitate (sau de
repartiie) (analog cu densitatea unei baze liniare) i verific proprietile :
1) f(x)0, ()x [a,b]
2) f x dxa
b
( ) = 1 (realizarea evenimentului sigur) (Proprietile sunt valabile i n cazul a=-, b=+). Prin analogie cu cazul discret, atribuim v.a. continue, x, urmtorul tablou de
distribuie (repartiie) :
-
Eroare! Legtur incorect. 31
x :x a b
xf(x) [ , ]
Deci, orice tablou de aceast form, n care f(x) verific proprietile 1) i 2) de mai
sus, reprezint tabloul de distribuie al unei v.a. continue.
Exemplu :
a) Tabloul x :x
x3x2
[ , ]0 1 reprezint o v.a. continu, deoarece : f(x)=3x
20,
()x[0,1] i 3 120
1
x dx = . b) Tabloul x :
x e xlnx [ , ]1 reprezint de asemenea o v.a. continu, pentru c lnx0,
()x[1,e] i lnxdxe
= 11
.
3.4. Funcia de repartiie
Definiie : Fie x o variabil aleatoare (discret sau continu) avnd tabloul de
distribuie :
xp
i
i i n
=1, respectiv
xf x
x a b( )
[ , ]
Se numete funcie de repartiie corespunztoare v.a. x, funcia F:R[0,1] definit prin F(x0)=P(x
-
32 Eroare! Legtur incorect.
Pentru P3 observm c evenimentul x
-
Eroare! Legtur incorect. 33
x0 -1 F(x)=P(x
-
34 Eroare! Legtur incorect.
3.4.2.Funcia de repartiie pentru variabila continu
Fie x : xf(x) x a b[ , ] o v.a. continu. S scriem proprietatea P3 cnd =x0+x, =x0 :
F(x0+x)-F(x0)=P(x0xx,1
)egrareint de iabilavaru(bxa,du)u(f
ax,0
)x(Fx
a
,
i va avea graficul de forma prezentat n fig.3.3.
Fig.3.3
Observaii :
1
b a
F(x)
x
-
Eroare! Legtur incorect. 35
3.. Deoarece F(x0)=f(x0) 0, F(x) este nedescresctoare 3.. Deoarece F(x)=0 pt. xa i F(x)=1 pt. x>b, vom considera pentru F(x) exprimarea :
F x f x dxa
x
( ) ( ) ,= x [a,b] 3.. F(x) este o funcie continu
Exemple :
1) S se determine funcia de repartiie pentru v.a. continu x : x3x2 x [ , ]0 1 , s se
reprezinte grafic i s se calculeze P x12
34
1 , deoarece P(x) = P(E) = 1
3 2
0
x
Graficul este prezentat n fig.3.4.
Fig.3.4
6419dxx3
21F
43F
43x
21P
43
21
2 ==
=
-
36 Eroare! Legtur incorect.
2) S se determine constantele reale a, b, c astfel ca funcia F(x) de mai jos s fie o funcie de repartiie.
F x
a b xx
x
c x x
a b xx
x
( )
( ),
sin ,
( ),
=
+
< +
23
0
02
2 11
2
2
>2
Soluie :
F F x a b F x a bx
( ) lim ( ) ( ) = = = = + = 2 0 2 1 ; F( ) = limx Din sistemul : a-2b=0, a+b=3 rezult a=2 i b=1, iar din condiia ca F(x) s fie
continu l l F l Fs d s d( ) ( ) ( )0 0 0 2 2 2= =
=
=
i l
se obine c=1.
3.5. Funcia de repartiie bidimensional
O variabil aleatoare X:ER2R, X=(X1,X2), unde X1 i X2 sunt variabile aleatoare reale, se numete vector aleator bidimensional sau variabil aleatoare bidimensional.
Definiie : Funcia F(x1,x2)=P(X1
-
Eroare! Legtur incorect. 37
21
2
21 ),( xxFxxf
= ; dac f(x1,x2) exist i este continu, atunci :
=1 2
212121 ),(),(x x
duduuufxxF i 1),(1 2
2121 =
x x
duduuuf
Dac v.a. X1, X2 sunt independente i au densitile de repartiie f1(x1), f2(x2) atunci :
f(x1,x2)=f1(x1) f2(x2). Not : n mod absolut identic, cele de mai sus se pot generaliza pentru o variabil aleatoare n-
dimensional X=(X1,,Xn)Rn i astfel se definete funcia de repartiie multidimensional .
3.6. Grafice pentru variabile aleatoare
n studiul unei v.a. sunt utile reprezentrile grafice ale funciilor densitate de
probabilitate ataate v.a.
3.6.1.Pentru v.a. discret
Avem n,1ii
ipx :x
=
unde pI=f(xI) 0 i ==n1
n
1ii 1)x(fp .
n planul xOy se determin punctele Mi(xi,pi) prin unirea crora se pot trasa curbe
(grafice). Una din aceste curbe se obine unind punctele prin segmente de dreapt. Se
obine curba de distribuie a variabilei X. (fig,.3.5)
Fig. 3.5
f(x)
pi Mi
Mn
M2
M1
x1 x2 xi xn O x
-
38 Eroare! Legtur incorect.
n practic se folosete i un alt mod de a reprezenta grafic valorile variabilei
aleatoare X. Se consider valorile echidistante i se ia drept unitate de lungime xi-xi-1=1.
n acest caz, ordonata pi=f(xi) are ca msur acelai numr care exprim i aria
dreptunghiului de baz xi-xi-1=1 i nlime pi. De regul se consider dreptunghiuri astfel
nct xi s fie la mijlocul bazei (fig. 3.6). O astfel de reprezentare grafic este numit
histograma variabilei aleatoare. Unind mijloacele laturilor superioare ale
dreptunghiurilor din histogram, se obine curba de distribuie. Aria histogramei este
egal cu 1.
Fig. 3.6
3.6.2.Pentru v.a. continu,
]b,a[x)x(fx:X
, unde f(x)0 (funcia densitate) i =ba
1dx)x(f .
Graficul reprezentat n acelai plan xOy va fi o curb continu, ce se obine prin
metoda cunoscut din analiza matematic. Ea se va numi curba de distribuie a v.a.
continue (fig.3.7)
f(x)
Mi
Mn
M2
M1
x1 x2 xi xn O x
-
Eroare! Legtur incorect. 39
Fig. 3.7
3.7. Probleme rezolvate
1) S se determine constantele a i b astfel nct funcia :
F(x)=a+b arctg x, xR S fie o funcie de repartiie. Dac X este o variabil cu aceast repartiie s se
calculeze P(0
-
40 Eroare! Legtur incorect.
B consumul normal este depit i q=1-p=P(B)=0,2
Cele 5 zile lucrtoare consecutive reprezint 5 probe efectuate dup schema lui
Bernoulli, deci probabilitatea ca din 5 probe un numr de x s fie cu consum normal este
dat de relaia :
5,0x;)2,0()8,0(C)x(P x5xx55 == Deci :
p0=P5(0)=(0,2)5 0,0003
p1=P5(1)=50,8(0,2)4 0,0064 p2=P5(2)=10(0,8)2(0,2)3 0,0512 p3=P5(3)=10(0,8)3(0,2)2 0,2048 p4=P5(4)=5(0,8)4(0,2) 0,4096 p5=P5(5)=(0,8)5 0,3277
Tabloul de distribuie al variabilei aleatoare discrete X va fi :
3277,04096,2048,00512,00064,00003,0543210:X
b) Funcia de repartiie pentru aceast variabil discret va fi :
>=
=
3x,1
]3,0(x21)x(F],3,0(x,
21
0x,0
)x(F
Deci, Me este orice valoare din (0,3] i vom lua 5,12
30M e =+=
2) V.a.d.
3,05,02,0
421:X
are funcia de repartiie :
>
=4x,1
]4,2(x,7,021)x(F];2,1(x,2,0
1x,0
)x(F
Deoarece F(x)=1/2 este imposibil, variabila nu admite Me. Conform definiiei, se va
lua Me=2.
3) V.a. continu X :[ ]1,0x
2x3x
, are funcia de repartiie :
>=
=
1x,121)x(F],1,0(x,x
0x,0
)x(F 3
Rezult ecuaia x3=1/2 care are soluia unic : x=2-1/3.
4.1.3.Cuantile.
Valoarea median poate furniza n unele situaii, indicaii mai bune despre repartiia
unei variabile aleatoare dect valoarea medie. Este firesc deci, s extindem noiunea de
median n vederea obinerii unei posibiliti mai mari n studiul funciilor de repartiie.
Astfel, generaliznd noiunea de median prin considerarea soluiilor ecuaiilor
1n,1i,ni)x(F == , se obin aa numitele valori cuantile de ordinul n :
- O cuantil de ordinul 2 (mediana), cnd n=2.
-
46 Eroare! Legtur incorect.
- Dou cuantile de ordinul 3, cnd n=3.
- Trei cuantile de ordinul 4 (cuartile), cnd n=4.
- Nou cuantile de ordinul 10 (decile), cnd n=10.
- Nouzeci i nou cuantile de ordinul 100 (centile sau procentile), cnd n=100. Pentru v.a. continu, valorile xi, i=1,n-1 pentru care :
n1)x(dF)x(dF)x(dF
1n
2
1
1
x
x
x
x
====
K (4.7)
se numesc cuantile. n particular, pentru n=4, avem :
41)x(dF)x(dF)x(dF)x(dF
3
3
2
2
1
1
x
x
x
x
x
x
====
; x1, x2, x3 sunt cuartile.
Astfel :
F(x1)1/4 i F(x1+0)1/4 F(x2)1/4+F(x1)1/2 i F(x2+0)1/2 F(x3)1/4+F(x2)3/4 i F(x3+0)3/4
Observm c a doua cuantil x2 coincide cu mediana.
Raportat la valoarea medianei, cuartilele x1 i x3 se numesc cuantila inferioar
(mic) respectiv cuantila superioar (mare).
4.1.4.Valoarea modal (moda)
Fiind notat cu Mo este valoarea cea mai probabil a variabilei aleatoare (n cazul discret)
i respectiv abscisa punctului de maxim al funciei densitate de repartiie, f(x) (n cazul
continuu).
Dac f(x) are mai multe puncte de maxim atunci v.a. X se numete plurimodal.
Pentru repartiiile simetrice unimodale, valoarea medie M(X) coincide cu moda Mo. Deci
:
n cazul discret, Mo este valoarea pe care X o ia cu cea mai mare probabilitate, iar n
cazul continuu este numrul (abscisa) n care f(x) are valoarea maxim. n cazul v.a.d. Mo
poate s nu fie unic.
-
Eroare! Legtur incorect. 47
n fig. 4.1 se poate vedea moda n cazul v.a. discrete, iar n fig. 4.2 n cazul v.a.
continue.
Fig. 4.1 Fig. 4.2
Exemple :
1) Pentru v.a.d. cu tabloul de distribuie
2,07,01,0
831:X , avem M0=3 pentru c
p2=0,7 este valoarea cea mai mare.
2) Pentru v.a.d. dat de
3.01.01.03.02.0
54101 , avem dou valori modale: 0 i 5.
3) Pentru v.a. continu [ ]1,0x
2x3x
, avem M0=1, deoarece :
[ ][ ] 3x3)x(fmax 1x2
1,0x== = (abscisa punctului de maxim este 1).
4.1.5.Momente i medii de ordin superior.
Fie X o v.a. discret sau continu. Se numete moment de ordin r , numrul Mr (r N)
definit astfel :
==b
a
r
n
1i
ri
rr
continuu cazuln ,dx)x(fx
discret cazuln ,px)X(MM
(4.8)
Se presupune c exist valoarea medie a v.a. Xr. Evident M1(x)=M(X).
Se numete medie de ordinul r a v.a. X, numrul r dat de :
P(X=xi)
x MoO
f(x)
x MoO
-
48 Eroare! Legtur incorect.
[ ]
==
continuu cazuln ,dx)x(fx
discret cazuln ,px)X(M)X(
r
b
a
r
rn
1i
ri
r1
rr
(4.9)
Valoarea medie a variabilei rX se numete momentul absolut de ordinul r al
variabilei X :
( ) ( ) irn1
ir
r pxXMXM == (4.10) Exemple :
1) Pentru v.a.d. cu tabloul de distribuie
2,07,01,0
831:X , avem :
M1= -1 0,1 + 3 0,7 + 8 0,2 = 3,6 ; 1=3,6
M2= (-1)2 0,1 + (3)2 0,7 + (8)2 0,2 = 19,2 ; 2 = 4,3818
M3= (-1)3 0,1 + (3)3 0,7 + (8)3 0,2 = 121,2 ; 3 = 4,9488 etc.
2) Pentru v.a. continu [ ]1,0x
2x3x
, avem :
M1= M(X)=3/4, 1=3/4
,53dxx3xM 2
1
0
22 == 2=0,7746
,21dxx3xM 2
1
0
33 == 3=2-1/3
..
,3n
3dxx3xM 21
0
nn +== n = n 3n 3+
4.2.Caracteristici de mprtiere.
Deoarece caracteristicile de grupare nu pot oferi nici o indicaie asupra mprtierii
(concentrrii) valorilor variabilei fa de valoarea de grupare, sunt necesare caracteristici
numerice care s respecte gradul de mprtiere a valorilor variabilei ntre ele i a acestora
fa de valoarea medie.
-
Eroare! Legtur incorect. 49
4.2.1.Variabila abatere. Abaterea absolut medie.
Fie v.a.d. X cu media M(X)=m. Se numete variabil abatere a variabilei X fa de r
variabila (X-r).
De regul se consider abaterea fa de valoarea medie m, adic X-M(X)=X-m.
Teorem : Valoarea medie a variabilei abatere este nul.
Demonstraia este imediat : M(X-m)=M(X)-m=m-m=0 ( vezi propoziiile 3 i 4 ale
valorii medii).
Se numete abatere absolut medie , numrul M( X-m ) dat de expresia :
=
=b
a
n
1iii
cotinuu cazuln ,dx)x(fmx
discret cazuln ,pmx)mX(M
(4.11)
Se constat c M( X-m ) 0 dac X constant i acest numr se poate considera
ca i caracteristic de mprtiere a v.a. fa de medie (m).
Exemple :
1) Pentru v.a.d.
2,07,01,0
831:X , cu variabila abatere (X-3,6) dat de tabloul :
2,07,01,04,46,06,4:)6.3X( .
Se verific direct c M(X-3,6) = M(X)-3,6=0 (media a fost calculat n exemplul
precedent fiind egal cu 3,6).
2) Pentru v.a. dat mai sus, considerm :
1.02.07.0 6.44.46.0:6.3X Avem : M( X-3,6 )= 0,42+0,88+0,46=1,76
3) S se scrie variabila abatere i s se calculeze abaterea absolut medie a v.a.
continue [ ]1,0x
2x3x
.
A fost calculat anterior media M(X)=m=3/4. Variabila abatere este :
-
50 Eroare! Legtur incorect.
[ ]1,0x2x3
4/3x:)43X(
Observm c M(X-3/4)=0 iar abaterea absolut medie va fi :
dxx34/3x43XM
1
0
2 =
-
Eroare! Legtur incorect. 51
1. D(0) = 0 , D(c) = 0, c-constant
2. D(X) 0 , X
3. D(X Y) = D(X) +D(Y) dac X i Y sunt independente
4. D(cX) = c2D(X) (c-constant)
5. D(c+X) = D(X)
Demonstraiile fiind simple, rmn la discreia cititorului, pentru o mai bun fixare a
cunotinelor. Totodat, reinem :
a. Dac i sunt constante iar Y=X+ , atunci : D(Y)= 2D(X)
b. Dac i (i=1,n) sunt constante iar Xi (i=1,n), v.a.d. independente dou cte dou,
atunci : D( 1X1+ + nXn) =( 1)2 D(X1) + + ( n )2 D(Xn)
Sau : ( ) =
n
1i
2ii
n
1i XDXD
Prin definiie, rdcina ptrat a dispersiei se numete abatere medie ptratic ().
Deci, =)X(D i D(X) = 2. Abaterea are aceeai dimensiune (unitate de msur) ca i variabila aleatoare.
Exemple :
1) Pentru v.a. continu X : [ ]1,0x
2x3x
Avem M2=3/5 i m=3/4 iar m2=9/16. Rezult D(X)= M2-m2 = 3/80 = 0,0375 i
19365,00375,0 =
2) S se calculeze dispersia v.a.d. avnd tabloul de distribuie :
2,07,01,0
831:X
Cunoatem c m=3,6 i
2,07,01,04,46,06,4:)6.3X( , deci :
2,07,01,036,1936,016,21:)6.3X( 2
Rezult : D(X) = M[(X-3,6)2] = 21,16 0,1 + 0,36 0,7 + 19,36 0,2 = 6,24
(Sau calculm : M2(X)=M(X2)=19,2 i apoi D(X)= M2-m2=19,2-12,96=6,24)
4.2.3.Momente centrate (medii centrate). Covariana.
Se numete moment centrat sau medie centrat de ordinul r numrul r, egal cu
momentul de ordinul r al variabilei abatere :
-
52 Eroare! Legtur incorect.
( ) ( )[ ]rrr mXMmXM == (4.15) Deci :
=
=
continuu cazuln ,dx)x(f)mx(
discret cazul n,p)mx()X( b
a
r
n
1ii
ri
r
(4.16)
ntre momentele centrate i cele necentrate au loc relaiile :
mM,kr,MMC)1( 1k1kr
kr
r
0k
kr =>=
= (4.17)
care se obin din (x-m)r folosind binomul lui Newton i proprietile mediei. n
particular : 312133210 M2MM2M),X(D,0,1 +==== (4.18)
Definiie : Se numete covariana variabilelor X i Y, numrul :
( )( )[ ])Y(MY)X(MXM)Y,Xcov( = (4.19) ce reprezint momentul centrat mixt al celor dou variabile aleatoare.
Se pot demonstra uor relaiile utile : ( ) )Y(M)X(MXYM)Y,Xcov( = (4.20)
D(X Y) = D(X) + D(Y) 2cov(X;Y) ; X;Y (4.21)
cov (X;Y) = 0 dac X,Y sunt independente (4.22)
4.2.4.Normata unei variabile aleatoare.
Fie X o v.a. cu media M(X)=m i abaterea medie ptratic = D(X). Se numete
normata v.a. X, variabila = mXZ , avnd proprietile : M(Z) = 0, D(Z) = 1.
ntr-adevr : 0)mm(1)m)X(M(1)mX(M1)Z(M ====
1)X(D)X(D0)X(D1)mX(D1)Z(D 22 ====
Exemplu : S se determine normata v.a.d a crei tablou de distribuie este :
-
Eroare! Legtur incorect. 53
2,07,01,0
831:X
Avem calculate : M(X)=m=3,6 , 24,6mM)X(D 22 ===
Deci : 24,6
6,3xz = , avnd tabloul de distribuie :
2,07,01,024,64,4
24,66,0
24,66,4
:Z
Prin calcul deducem c M(z)=0 i D(z)=1.
4.3.Caracteristici care dau informaii privind forma distribuiei
Se consider dou caracteristici numerice care dau informaii asupra curbei pe care
sunt situate punctele (xi, pi) , i=1,n , n cazul discret, respectiv (x, f(x)), x [a, b] n cazul
continuu.
1) Simetria i asimetria . O curb plan de ecuaie y=f(x) este simetric fa de o
valoare m dac f(m-x) = f(m+x), adic punctele curbei, simetrice fa de
dreapta x=m, au ordonatele egale. n caz contrar, curba este asimetric.
Asimetria se msoar prin coeficienii de asimetrie i anume :
- coeficientul lui Pearson :
== 001 Mm)X(D
)X(M)X(M
(4.23)
- coeficientul lui Fischer :
( )[ ]( ) 3333
2)X(D
)X(MXM== (4.24)
2) Boltirea (turtirea) este caracterizat de coeficientul de boltire sau aplatizare
(coeficientul lui Fischer):
( )( )[ ]
( ) 4424
XDXMXM
== (4.25)
Numim excesul distribuiei :
-
54 Eroare! Legtur incorect.
3E = (4.26)
Dac E 3 ( 3) distribuia se numete de tip leptokurtic iar dac E 3 ( 3)
distribuia este de tip platykurtic.
De exemplu, pentru distribuia normal (aa cum se va vedea ulterior) avem =3 i
E=0 iar pentru distribuia binomial (Bernoulli) se obine = 3 + (1-6pq)/ npq i
observm c dac n (E 0), adic distribuia binomial tinde ctre o distribuie
normal cnd excesul ei tinde la zero, respectiv n. (La fel, 20 cnd n i pentru o distribuie normal 2=0).
4.4.Corelaie i regresie
Fie { ,K,P} un cmp borelian de probabilitate i X,Y dou v.a. definite pe acest
cmp. Notm M(X)=m1 i M(Y)=m2.
Se numete corelaie sau covarian a variabilelor X i Y, valoarea
)]mY)(mX[(M)Y,Xcov( 21 = (4.27) Se verific uor c : Cov(aX,bY)=a b cov(X,Y), a i b constante
Cov(X,Y)=cov(Y,X)
Se numete coeficient de corelaie raportul (notat cu sau r) :
)Y(D)X(D)Y,Xcov()Y,X( =
(4.28)
Evident : (X,Y)= (Y,X)
Dac v.a. sunt discrete i pij=P(X=xi, Y=yj), i,jN, atunci din (4.27) i din (4.28) rezult :
)Y(D)X(D
p)my)(mx()Y,X( 1i 1j
ij2j1i
=
=
=
(4.29)
Dac v.a. X i Y sunt continue i au densitatea de repartiie bidimensional f(x,y)
atunci deducem formula :
-
Eroare! Legtur incorect. 55
= dxdy)y,x(f)my)(mx(
)Y(D)X(D1)Y,X( 21
(4.30)
Coeficientul de corelaie dat de (4.28) se poate scrie i sub forma :
)Y(D)X(D)Y(M)X(M)XY(M)Y,X( = , (4.31)
avnd n vedere c cov(X,Y)=M(XY)-M(X)M(Y).
4.4.1.Proprietile coeficientului de corelaie :
a) Dac X, Y sunt v.a. independente atunci (X,Y)=0. Reciproca nu este adevrat.
(Se aplic : M(XY)=M(X)M(Y)).
V.a. X i Y sunt necorelate dac M2(X) i M2(Y) sunt finite i M(XY)=M(X)M(Y).
Dac n plus M(XY)=0, atunci v.a. X i Y se numesc ortogonale.
b) Pentru X i Y ale cror valori medii exist, avem :
2(X,Y)1 (4.32) Relaia se deduce aplicnd inegalitatea lui Schwarz :
( )( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] )Y(D)X(DmYMmXMmYmXM 222121 = (4.33) Apoi, din (4.27), (4.28) i (4.33) rezult (4.32).
De asemenea, observm c :
( )[ ]1
)X(DmXM
)X,X(2
1 == (4.34)
( )[ ]1
)X(DmXM
)X,X(2
1 == (4.35)
c) ntre v.a. X i Y exist o relaie liniar dac i numai dac 2(X,Y)=1.
Pentru demonstraie, s presupunem c ntre v.a. X i Y exist o relaie liniar de
forma Y=aX+b ; a0, b constante. Avem : m2=am1+b i n baza formulei (4.28) i a relaiei (4.27) obinem :
( )( )[ ] ( )[ ])X(Da
mXaM)baX(D)X(D
bambaXmXM)Y,X(
2111 =+
+= , adic :
>=
-
56 Eroare! Legtur incorect.
)X(DmX
u 1= i
)Y(DmY
v 2= ,
observm c :
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ])Y(D)X(D
)uv(M2)Y(D
mYM)X(D
mXMvuM
22
212 +=
1)Y,X()uv(M m== , adic : ( )[ ] ( ) 0122vuM 2 == m i u v=0 aproape peste tot n . nlocuind u i v
aici, deducem :
X)X(D)Y(D
)X(D)Y(Dm
)Y(MY 1 m= ,
care arat c ntre Y i X exist o relaie liniar.
4.4.2.Funcia de regresie
Considerm un vector aleator n-dimensional X=(X1,X2,,Xn) i funcia de repartiie
condiionat a v.a. Xn de variabilele X1,,Xn-1 : F(xn x1,,xn-1).
Se numete funcie de regresie a v.a. Xn fa de v.a. X1,,Xn-1, valoarea medie
M(Xn X1,,Xn-1), considerat ca funcie de X1,,Xn-1.
Reinem c dac X este v.a.d. care ia valorile xi (i I) cu probabilitile pi=P(X=xi),
A este un eveniment cu P(A) 0, iar seria
=Ii
ii )AxX(Px este absolut convergent,
atunci :
==
Iiii )AxX(Px)AX(M (4.36)
se numete valoare medie condiionat a variabilei X de evenimentul A.
Se demonstreaz c dac {An}n
N este un sistem complet de evenimente, iar X este o
v.a.d. a crei valoarea medie exist, atunci :
=
=1n
nn )AX(M)A(P)X(M (4.37)
-
Eroare! Legtur incorect. 57
n particular, dac valoarea medie condiionat ce definete funcia de regresie este
de forma :
M(Xn X1,,Xn-1)=a0+a1X1++an-1Xn-1, (4.38)
atunci regresia este liniar, iar coeficienii a1, , an-1 se numesc coeficieni de regresie
(modelul regresiei multiple).
S considerm un vector aleator bidimensional : X=(X1,X2). Au loc proprietile
(valabile i pentru vectori n-dimensionali) :
1) Dac X1 sau X2 sunt constante, atunci :
( ) ( ) 0X,XX,Xcov 2121 == (4.39) 2) Dac funcia de regresie a v.a. X2 fa X1 este liniar, adic M(X2/X1) = a0 + a1X1
(modelul regresiei simple), atunci :
)X(D)X,Xcov(
)X(D)XX(D
)X,X(a1
21
1
21
1
2211 ==
= (4.40)
)X(M)X(D
)XX(D)X(M)X(Ma)X(Ma 1
1
2121120 ==
(4.41)
De aici, rezult c dac :
M(X2 X1)=a0+a1X1 i M(X1 X2)=b0+b1X2,
atunci :
)]X(MX[)X,X()X(M)XX(M 111
221212
= (4.42)
)]X(MX[)X,X()X(M)XX(M 222
121121
= (4.43)
1 i 2 fiind )X(D 1 i respectiv )X(D 2 (abaterile medii ptratice).
Dreptele (4.42) i (4.43) se intersecteaz n punctul de coordonate (M(X1),M(X2)).
Independent de tipul regresiei, dreptele :
)]X(My[)X,X()X(My 11
2212
= (4.44)
)]X(My[)X,X()X(Mx 22
1211
= , (4.45)
-
58 Eroare! Legtur incorect.
se numesc drepte de regresie, iar coeficienii 1
2
i
2
1
se numesc coeficieni de
regresie liniar. Ecuaia (4.44) reprezint dreapta de regresie a lui X2 fa de X1, iar
ecuaia (4.45) reprezint dreapta de regresie a lui X1 fa de X2. n sens geometric, a1 este
panta dreptei de regresie (sau de estimare), n uniti ale abaterii standard. n calculul
corelaiei, coeficientul a1 arat cu ct se modific variabila X2 cnd X1 se modific cu o
unitate, adic rspunde tocmai la problema regresiei.
n cazul corelaiei directe, a1>0 iar n cazul corelaiei inverse a1
-
Eroare! Legtur incorect. 59
( ) 1)( ,1)X(MXP > . Soluie :
)]m(F1[mdx)x(fmdx)x(xfdx)x(xfdx)x(xfdx)x(xf)X(Mmmmm
m
00
=+===
De aici,
=
x,1
],0(x,2xsin
0x,0
)x(F 2
-
60 Eroare! Legtur incorect.
c) 4
32udusin21
6X0P
6
0
==
i 1edxe212dx)x(f 0
x
0
x ===
Funcia f(x) dat este densitatea de repartiie Laplace, deci X este o v.a. Laplace
(fig.4.4). Pe grafic se observ c pentru x=0 obinem valoarea cea mai probabil (funcia
modal sau dominanta) : M0(X)=1/2
x 2 x 0
F(x)
0 6
2
21
f(x)
21
f(x)
x
0
-
Eroare! Legtur incorect. 61
Fig. 4.4
Pentru calculul dispersiei aplicm formula : D(X)=M2(X)-M12(X)
0dxxe21dx)x(xf)X(M x1 ====
L
2dxexdxex21dx)x(fx)X(M
0
x2x222 =====
L
Deci : D(X)=2.
4) Fie {E,K,P} un cmp de probabilitate cu ( )A,AE = (modeleaz o experien Bernoulli) i P(A)=p (0,1). Se repet experiena de o infinitate de ori i i se
asociaz v.a. X ce reprezint numrul de eecuri obinute pn la producerea
evenimentului A. S se scrie distribuia v.a. A i s se afle M(X) i D(X).
Soluie : Avem o repartiie geometric. Valorile lui X sunt : 0,1, k, Cnd X ia
valoarea k nseamn c s-a produs de k ori contrariul lui A i n final evenimentul A,
adic :
p1q ; pq)AAA(P)kX(P k ==== IIKI Tabloul de repartiie al lui X va fi deci :
LLLL
kpqpqpk10:X
Avem 1q1
1pqppq0k
k
0k
k ===
=
= (s-a folosit suma progresiei geometrice conver-
gente, cu raia q
-
62 Eroare! Legtur incorect.
5) Dac X este v.a. din problema precedent, s se demonstreze :
P(X k+j/X k) = P(X j) , j,k N
Soluie : Notm cu A evenimentul X k+j i cu B evenimentul X k. Rezult :
)k(F1)jk(F1
)kX(P1)jkX(P1
)kX(P)jkX(P
)kX(P)]jkX()kX[(P
)B(P)BA(P)B/A(P
+=
-
Eroare! Legtur incorect. 63
Capitolul 5 Funcie caracteristic i funcie generatoare
5.1. Definiia funciei caracteristice. Proprieti.
Fie X i Y dou v.a. reale. Variabila Z=X+iY ( )1i = se numete v.a. complex. Prin analogie cu numerele complexe, variabilei Z i putem ataa biunivoc punctul aleator
(X,Y) imaginea lui.
Prin definiie M(Z)=M(X)+iM(Y).
Expresia :
Rt,tXsinitXcoseitX += (5.1) este o v.a. complex avnd modulul egal cu unitatea :
1tXsintXcose 22itX =+= , deci eitX este mrginit. Valoarea mediei a acestei v.a. exist i este unic determinat de funcia de repartiie F(X).
Prin definiie, valoarea medie a v.a. eitX se numete funcie caracteristic a v.a. X,
adic :
( )
==
continuu cazuln ,dx)x(fe
discret cazuln ,ep
eM)t(itx
Ik
itxk
itX
k
(5.2)
Reinem c fiecrei v.a. i corespunde o funcie de repartiie F i o funcie
caracteristic , care este continu n raport cu t R i ia valori complexe. Funcia (t)
este un instrument de studiu al v.a. mai uor de folosit dect funcia de repartiie.
Proprieti (fr demonstraie) :
1) (0)=1 ; (t) 1, ( ) t R
2) (t) este uniform continu pe R
3) )t()t( = (conjugata) 4) Dac Y=aX+b ; a,b R atunci : )at(e)t( X
itbY =
-
64 Eroare! Legtur incorect.
5) Dac X i Y sunt independente, atunci :
X+Y(t)= X(t) Y(t) Proprietatea de mai sus se poate generaliza pentru n variabile
6) Dac X admite M( X n) ; n>0, atunci :
= )x(dFexi)t( itxnn)n( i n)n(
nn i
)0()X(M)X(M ==
unde (n) nseamn derivata de ordinul n a lui .
7) Dac ( )n N, ( )M( X n), atunci (t) se poate dezvolta n serie de puteri
:
)X(M!k)it()t( k
0k
k=
=
8) Dac (t) este real, atunci : 1- (2t) 4[1- (t)], ( )t R (teorema lui
Raikov)
9) ( )t, h R are loc relaia :
(t)- (t+h) 2 2 (0)[ (0)-Re (h)]
unde Re (h) este partea real a lui (h).
Observaie :
Odat cu (t) se poate considera i ln (t)= (t) care se numete a doua funcie caracteristic.
5.2. Funcie generatoare
Fie v.a.d. X cu tabloul de repartiie n,1ii
ipx:X
=
Se numete funcie generatoare ataat v.a. X, valoarea medie a variabilei etX, adic :
( ) =
==n
1i
txi
tX iepeM)t(g (5.3)
Dac X este v.a. continu cu tabloul ]b,a[x)x(f
x:X
, atunci :
= ba
tx dx)x(fe)t(g (5.4)
Avem :
-
Eroare! Legtur incorect. 65
=
=b
a
txk
n
1i
txi
ki
)k(
continuu cazuln ,dx)x(fex
discret cazuln ,epx)t(g
i
,
(5.5)
Iar pentru t=0 : g(k)(0)=Mk(X)=M(Xk), deci funcia generatoare se poate utiliza n
calculul momentelor de diferite ordine, prin derivare n t=0.
Exemple : Fie X o v.a.d. urmnd o lege binomial de distribuie :
n,0kknkk
n qpCk:X
=
Avem : ( ) ( ) ( )ntn0k
knktkn
n
0k
knkkn
tktX qpeqpeCqpCeeM)t(g +==== =
=
Apoi :
g(t)=npet(pet+q)n-1 ; g(0)=np=M1(X)=M(X)
g(t)=np[et(pet+q)n-1+(n-1)pe2t(pet+q)n-2] i g(0)=np(np+q)=M2(X)=M(X2) etc.
5.3. Teorema de inversiune i teorema de unicitate
Fie v.a. X cu funcia de repartiie F(x) i funcia caracteristic (t).
Teorema 1 : Dac F(X) este continu n x1 i x2 atunci :
dt)t(it
eelim21)x(F)x(F
21 itxitx
21 =
(5.6)
Aceast formul se numete de inversiune deoarece permite determinarea funciei de
repartiie cnd se cunoate funcia caracteristic.
Exemplu : Se cere F(x) pentru v.a. X, tiind c .e)t( 2t 2= Avem :
dtettxsin1dte
ttxsin
21dte
ittxcos1
21
dteit
txsinitxcos121dte
ite1
21)0(F)x(F
2t
0
2t
2t
2t
2titx
222
22
++
+
+
+
=+
=+=
=
(Prima integral este nul pentru c funcia de integrat este impar pe un interval
simetric iar pentru a doua integral observm c funcia de integrat este par).
Apoi avem :
,dtetxcos1)x(F0
2t 2
= (5.7)
-
66 Eroare! Legtur incorect.
Pe care o integrm prin pri
== txcosg,ef 2
t 2
Rezult : x
txsing,te'f 2t 2
== .
Deci : dtetxsintx
1ex
txsin1)x('F 2t
00
2t 22 +=
Primul termen tinde la zero, astfel nct :
dtetxsintx
1)x('F 2t
0
2 =
(5.8)
Derivnd (5.7) i innd seama de (5.8) obinem :
)x('xFdtetxsint1)x(''F 2t
0
2
==
De unde : x'F''F = sau Cln
2x)x('Fln
2
+= (prin integrare)
De aici,
2t 2
eC)x('F= i 1
x2t
CdteC)x(F2
+=
0C0)x(Flim 1x == i === 21C,12C1)x(Flim
x
n fine, dte21)x(F
x2t 2
=
Teorema 2 (de unicitate) : Funcia caracteristic determin n mod unic funcia de
repartiie F.
Demonstrarea celor dou teoreme este cuprins n crile de specialitate din
bibliografia prezentei lucrri.
5.4. Probleme rezolvate
1) S se calculeze funcia caracteristic (t), a repartiiei Cauchy care are densitatea
de repartiie :
Rx,)x1(
1)x(f 2 +=
Soluie :
Avnd o repartiie continu, obinem :
-
Eroare! Legtur incorect. 67
+
= 2itx x1dxe1)t( ,
care se calculeaz printr-o metod din teoria funciilor complexe, utiliznd funcia
complex 2itz
z1e)z(H += pe care o vom integra, pentru t>0, pe conturul () din fig.5.1,
unde R>1 astfel ca punctul (0,1) asociat lui i s intre n domeniu.
Utiliznd reziduul lui H, avem :
=)(
dz)z(Hi2
1HRez
Fig.5.1
Deci :
+++= R
R )(2
itz2
itx
z1dze
x1dxe
i21HRez
Dar : 0R1RR
R1
e
z1dze 22
itz
2itz +
++ cnd R . Trecnd la limit pentru R obinem n prima integral :
,i2
e)iz)(iz(
e)iz(limx1
dxetitz
iz2itx
=+
=+ deci : RezH2 i e-t i
0t,ex1
dxe1)t( t2itx >=+=
Pentru t0i
(!
-
68 Eroare! Legtur incorect.
Soluie :
Avem = n1
kXn1Y i notm cu n,1k,k = , respectiv funciile caracteristice ale
variabilelor Xk respectiv Y. Atunci :
( )
=
=== =
n
1k
itXn1X
n1
ititY
kk
n
1k
eMeMeM)t()t(
Cum i variabilele kitXe sunt independente, avem:
tnntn
1k
n
k eent
nt)t(
===
=
=
Funcia caracteristic determin unic repartiia, aa c Y urmeaz aceeai repartiie
Cauchy.
3) S se afle densitatea de repartiie a variabilei X cu funcia caracteristic 23tae)t( = , a>0, folosind teorema de inversiune.
Soluie :
Notm cu F funcia de repartiie a lui X i x1
-
Eroare! Legtur incorect. 69
22taeu = , dx=cos tx dt " dteta2du 22ta2 = i x
txsinv =
Rezult :
dtetxsint1xa2)x('F
0
ta2
22 = Apoi :
dtetxsint1)x(F0
ta 22 = (derivata lui F iniial) Deci :
)x(Fxa2)x(F
2
= sau 2ax
FF =
, de unde prin integrare :
C2
xa21Fln
2
2 += sau 22
a4x
ke)x(F= unde k=eC (constant).
Determinm pe k trecnd la limit pentru x n expresia :
=x
a4x
dtek)x(F 22
fcnd schimbarea de variabil a2tu =
====
a2
1k,1ak21dueak21)x(Flim2u
x
Deci :
2
2
a4x
ea21)x('F)x(f
== (densitatea unei repartiii normale).
-
70 Eroare! Legtur incorect.
Capitolul 6 Repartiii probabilistice clasice discrete
6.1. Repartiia binomial sau repartiia lui Bernoulli.
Corespunde schemei urnei cu bile revenite (valorile sale reprezint numrul de bile
albe din cele n extrase). Tabloul acestei repartiii (simple) va fi deci :
0q,p;p1q;qpCk:X
n,0kknkk
n>=
=
(6.1)
Avnd repartiie binomial de ordinul n i parametru p, mulimea tuturor variabilelor
aleatoare binomiale o notm cu B(p,n).
Fie Xk, ( )n,1k = o v.a.d. care ia valorile 1 i 0 dup cum la extragerea k apare evenimentul A sau CAA = . Atunci Y=X1++Xn este o v.a.d. care ia valoarea k dac evenimentul A s-a produs de k ori, avnd o repartiie B(p,n)
Funcia de repartiie a lui B(p,n) este funcia de repartiie a v.a.d. Y, adic :
{ }( ) [ ]=
=
=
=
=
nx,1
]n,1n(x,qpC
]2,1(x,qpC
]1,0(x,q0x,0
)x(F1n
0k
knkkn
1
0k
knkkn
n
LLL
(6.2)
Caracteristici mai importante :
npqpkC)X(Mn
1k
knkkn ==
= (valoarea medie)
(6.3)
(Plecm de la binomul lui Newton : =+ n0
knkkkn
n qxpC)qpx( , pe care o derivm
n raport cu x i facem x=1).
D(X)=M2(X)-[M(X)]2=npq (dispersia), (6.4)
unde :
-
Eroare! Legtur incorect. 71
=
+==n
1k
2knkkn
22 p)1n(nnpqpCk)X(M (momentul de ordinul II),
(6.5)
Se obine derivnd de dou ori binomul (px+q)n i fcnd apoi x=1.
Funcia caracteristic este (t)=M(eitY), adic :
nitn
0k
knkitkn
n
0k
knkkn
ikt )qpe(q)pe(CqpCe)t( +=== =
=
(6.6)
Utiliznd funcia caracteristic se pot determina momentele v.a. binomiale i de
asemenea se poate demonstra c : dac v.a. X1 i X2 aparin mulimilor B(p,X1) i
B(p,X2) atunci (X1+X2) aparine mulimii B(p,n1+n2). Observaie : n aplicaii, n general numrul n ia valori mari (n ) i este dificil calculul
probabilitilor. Pn(k)=P(Ak)=Cnkpkqn-k, aa nct se utilizeaz formula lui Stirling :
n121u0;n2enen2en!n n
nnunn n
-
72 Eroare! Legtur incorect.
Aceast repartiie are multe aplicaii n teoria fiabilitii.
Funcia caracteristic a repartiiei polinomiale se obine imediat dac se scrie
vectorul aleator Y=X1+Xn sub forma : Y=# 1e1+# rer, unde e1, e2, ,er sunt vectorii
bazei (liniar independeni) ntr-un spaiu euclidian r-dimensional.
Avem : [ ]( ) ( ) ( )nitrit1
k,,k
kitr
kit1
r1
)ktkt(i
k,,kr1n
)tt(i
r1
r1
rr11
rr11
r1
rr11
epepepep!k!k
!n
e)k,,k(PeM)t(
++=
===
++
KKK
K
K
K
K
K
,
(6.10)
unde : t=t1e1++trer.
Valoarea medie i dispersia vor fi :
rj1;npti
1)(M j0tj
j =
=
=
(6.11)
[ ]jjjj
2j
22jj
2j
2
j
0t
2j
2
22
jj2j
qnp)p1(nppnnpnppn
npti
1)(M)(M)(D
==+=
=
==
=
(6.12)
6.3. Repartiia binomial cu exponent negativ.
Repartiia discret n care valorilor n, n+1, (n N) li se atribuie corespunztor
probabilitile :
p1q,nk;qpC)k(P nkn1n 1kn == (6.13) se numete repartiie binomial cu exponent negativ.
S considerm un cmp de probabilitate finit care const n evenimentele A i A , n
afara evenimentului sigur (E) i imposibil ( ). Fie p=P(A) i q=P( A )=1-p.
Numrul grupelor de forma AAAAAAA KK , n care ultimul element este A i care
conin pe A de n ori iar pe A de (k-n) ori este 1n 1kC . Probabilitatea obinerii unei astfel de
grupe este pnqk-n. Deci probabilitatea ca A s se produc n k experiene independente de n
ori este nkn1n 1kn qpC)k(P
= . Funcia caracteristic, va fi :
n
it
it
qe1pe)t(
= (6.14)
Cu ajutorul acestei se obin momentele i dispersia :
-
Eroare! Legtur incorect. 73
pn
ti1)X(M
0t1 =
=
=
(6.15)
20t
2
2
22 p)qn(n
ti1)X(M +=
=
=
(6.16)
..
2212 p
nqMM)X(D ==
(6.17)
6.4. Repartiia hipergeometric
Fie n, a, b N cu n a+b. Repartiia hipergeometric este o repartiie discret simpl,
ce corespunde unei bile nerevenite, avnd tabloul de repartiie :
n,0kn
ba
knb
ka
CCCk
:X
=+
(6.18)
n care : max(0, n-b) k min(n,a), dar pentru simplitatea scrierii se poate lua n0,k = .
Avnd n vedere relaia : =
+ =
n
0k
nba
knb
ka CCC , se verific uor c sunt ndeplinite
condiiile existenei tabloului de distribuie.
Exemplu : Se consider un lot de 400 piese, care conine 8% piese cu defeciuni i se
cerceteaz numrul de piese cu defeciuni dintr-un eantion de 10 piese. S se identifice
legea de repartiie a fenomenului aleator considerat.
Soluie : Un lot de c piese conine a piese defecte i b piese bune (a+b=c). n acest
caz: c=400 i a/c=0,08 , b/c=0,92. Un eantion de n piese conine k piese defecte i (n-k)
piese bune. Cu cele b piese bune se pot obine knbka CC
eantioane de cte n piese, din care
k sunt defecte. Rezult : kn
bkan
nba CC)b,a;k(PC
+ =
recunoscnd astfel o lege de repartiie hipergeometric.
Deci: 10400
k10368
k32
10 CCC
)368,32;k(P
= ; 0,10k =
Repartiia hipergeometric joac un rol esenial n controlul calitii produselor.
Cu aju