introducereˆın calculul probabilit˘at¸ilor (modele...

Introducere ın Calculul Probabilitatilor(modele elementare si o invitatie la teoria

masurii)

L.Stoica

Cuprins

1 Introducere 91.1 Modelul probabilist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Cateva exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.1 Zarul turtit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.2 Repartitii uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Modele cu sanse egale 212.1 Aruncarea cu banul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Metode de numarare a posibilitatilor . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.1 Permutari cu repetitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3 Extrageri repetate din urna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.1 Schema bilei ıntoarse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.2 Schema bilei neıntoarse . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4.1 Controlul calitatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4.2 Numararea tuturor posibilitatilor . . . . . . . . . . . . 322.4.3 Problema potrivirilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4.4 Problema cu zilele de nastere . . . . . . . . . . . . . . 382.4.5 Produsul mai multor numere apropiate de unitate . . . 39

2.5 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3 Cateva notiuni de baza 433.1 Probabilitati conditionate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1.1 Notiunea de probabilitate conditionata . . . . . . . . . 433.1.2 Formula lui Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2 Independenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2.1 Independenta a doua evenimente . . . . . . . . . . . . 51

3

4 CUPRINS

3.2.2 Independenta mai multor evenimente . . . . . . . . . . 543.2.3 Independenta a trei evenimente . . . . . . . . . . . . . 573.2.4 Regula jucatorului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4 Partitii finite sau numarabile 634.1 Partitii si σ−algebre generate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2 Partitii si σ−algebre independente . . . . . . . . . . . . . . . . 754.3 Asocierea si disocierea independentei . . . . . . . . . . . . . . 804.4 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5 Spatiul probabilizat numarabil 835.1 Multimi numarabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.1.1 Sumabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.1.2 Masuri pe o multime cel mult numarabila. . . . . . . . 86

5.2 Produsul de masuri discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.3 Variabile aleatoare cu valori numarabile . . . . . . . . . . . . . 91

5.3.1 σ−algebra generata de o variabila . . . . . . . . . . . . 915.3.2 Repartitia unei variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.3.3 Medie si dispersie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.4 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6 Cateva repartitii pe N 1096.1 Repartitia geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.2 Repartitia binomiala si schema lui Bernoulli . . . . . . . . . . 1116.3 Repartitia Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.3.1 Generalitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.3.2 Estimarea erorilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.4 Histograme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.5 Imprastierea aleatoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.6 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7 Teorema De Moivre-Laplace 1357.1 Aproximarea repartitiei binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7.1.1 Repartitia normala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1407.2 Teorema limita centrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517.3 Notiuni de estimarea statistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

7.3.1 Intervale de ıncredere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

CUPRINS 5

7.3.2 Evaluarea coeficientului de ıncredere . . . . . . . . . . 1657.4 Exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

8 Masuri pe spatii produs ın cazul discret 1698.1 Complemente de teoria masurii . . . . . . . . . . . . . . . . . 1698.2 Spatiul produs numarabil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1738.3 Constructia masurilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

9 Lanturi Markov 1839.1 Calcule de baza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1839.2 Constructia lantului Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1899.3 Alte forme ale proprietatii Markov . . . . . . . . . . . . . . . 193

9.3.1 Exprimarea cu media conditionata . . . . . . . . . . . 1939.3.2 Lanturi omogene ın timp . . . . . . . . . . . . . . . . . 1969.3.3 Proprietatea tare Markov . . . . . . . . . . . . . . . . 203

9.4 Reducerea la reprezentarea canonica . . . . . . . . . . . . . . 206

10 Comunicarea ıntre stari 21110.1 Stari recurente sau tranziente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21210.2 Clase recurente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

11 Comportament asimptotic 22311.1 Teoreme limita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22311.2 Masuri invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

6 CUPRINS

Prefata

Primele sapte capitole ale cartii de fata contin cursul introductiv de teoriaprobabilitatilor pe care l-am tinut studentilor din anul al III-lea. Ultimelepatru capitole contin cursul de lanturi Markov pe care l-am tinut studentilorde la master.

In privinta materiei din prima parte, am de facut mai ıntai mentiuneaca difera de ceea ce se face de obicei la facultatea de matematica, diferachiar si de ceea ce am predat cu un an ınainte, prin faptul ca prezentareaeste mult mai elementara. Am renuntat la a pune la baza cursului de teoriaprobabilitatilor cunstintele de teoria masurii pe care ar trebui sa le aibastudentii dintr-un curs separat. In urma contactului direct cu studentii,am ajuns la concluzia ca este necesara o discutie ın amanunt a notiunilorde baza din teoria masurii ın paralel cu introducerea conceptelor de teoriaprobabilitatilor.

Trebuie spus, pe de alta parte, ca teoria probabilitatilor reprezinta astaziun domeniu cu largi aplicatii ın societatea contemporana si este absolut nece-sara o mai mare popularizare a cunostintelor de baza ın acest domeniu.

Avand ın vedere acest lucru, am schimbat continutul, concentrandu-maasupra a doua obiective: 1) explicarea modelarii problemelor prin prezentareacu detalii a mai multor modele pentru exemple concrete, cat si a unorconstructii de modele mai generale; 2) prezentarea notiunii de independentabazata pe teoria masurii discreta.

Notiunea de independenta este far a ındoiala cel mai important conceptcare sta la baza modelarii proabiliste si ea poate fi explicata, fara a se pierdeesentialul, la nivelul unui spatiu probabilizat finit. De exemplu, notiunilede estimare statistica din capitolul 7 nu utilizeaza nimic mai mult din teo-ria masurii. Pentru cea mai mare parte a cursului, chiar am fi putut saramanem la nivelul spatiului probabilizat finit, totusi pentru a putea cuprindesi fenomenele legate de repartitia Poisson, am ales spatiul discret cel mult

7

8 CUPRINS

numarabil drept cadru de dezvoltare a teoriei masurii ce ne este necesara.Desigur ca adoptarea punctului de vedere elementar m-a condus la epuizareatimpului fara a ajunge sa vorbesc despre unele subiecte centrale ın teoriaprobabilitatilor, cum ar fi legea numerelor mari. De asemenea, teorema limitacentrala este prezentata doar ın cazul variabilelor bernoulliene. Prin urmare,continutul acestui curs constituie doar o prima introducere ın domeniu.

Partea a doua a cartii, cursul de lanturi Markov, este de asemenea destulde elementara ca abordare. Am evitat notiunile mai avansate de teoriamasurii, pentru a fi accesibila unui public cat mai larg. Dar fara ındoialaca un student cu o mai mare experienta ın acesta teorie si ın teoria prob-abilitatilor va ıntelege mai bine continutul cursului nostru. Din punct devedere tehnic, trebuie spus ca am pus accentul pe proprietatea Markov. Amfacut un efort de a o explica si apoi am utilizat-o sistematic. Am evitat tehni-cile de algebra sau analiza a matricilor, cat si tehnicile de teoria potentialuluisau cele de teoria martingalelor. Proprietatea tare Markov este cea care arezolvat toate punctele delicate. Cursul constituie, ın intentia autorului, ointroducere cat se poate de elementara ın teoria proceselor stochastice gene-rale.

Cu regretul ca nu am gata un text privitor la exemplele de lanturi Markov,ma grabesc sa adaug partea a doua la prima si sa public aceasta carte asa.In viitorul apropiat ımi propun sa scot o noua editie mai completa.

Bibliografia de la sfarsit contine cartile consultate de autor, carti ce suntrecomandate si cititorului pentru completarea informatiei. Nu toate lucrarilesunt citate explicit ın text.

Bucuresti, aprilie, 2004.

Capitolul 1

Introducere

Teoria probabilitatilor reprezinta un domeniu aparte al matematicii, ce arerelatiile sale specifice cu realitatea ınconjuratoare si care se raporteaza laea prin experienta, ca o adevarata stiinta a naturii. Din punct de vederefilozofic, conceptul de probabilitate, care este conceptul central al teoriei,este caracterizat ın doua ipostaze.

O prima ipostaza este aparitia sa ın exprimarea frecventei unui evenimentın timpul desfasurarii unui proces uniform. De exemplu, sa presupunem cafacem experienta aruncarii cu banul de un numar mare de ori. Urmarimfiecare aruncare, notand de fiecare data rezultatul: stema sau cifra. Chiarınainte de a ıncepe experienta putem gandi logic ca nu exisa nici un motiv safie preferata vreuna din fetele monedei. Deci ” a priori” spunem ca sansele dea cadea stema sau cifra sunt egale. Faptul neasteptat, care apare ın timpulexperientei, este ca dupa un numar nu pre mare de aruncari (de exemplu100 de aruncari) se si verifica aceasta. Notam cu Nn numarul de experientela care rezultatul a fost cifra dupa ce s-au facut n aruncari. Atunci graficulfunctiei f (n) = Nn

n, n ∈ N, arata cam asa cum se vede ın figura 1.1. Graficul

din figura a fost realizat pe baza datelor unui experiment ce a constat din200 de aruncari cu o moneda. Dupa cum se vede, prima portiune a graficuluieste lipita de axa orizontala. Aceasta reflecta faptul ca ın experiment s-aobtinut la ınceput de zece ori la rand fata cu stema. Putem spune ca asaceva este neobisnuit. A preciza, ınsa, notiunea de ,,obisnuit” sau ,,frecvent”ın legatura cu un fenomen aleator este tocmai obiectul teoriei probabilitatilor.Graficul evolueaza apoi apropiindu-se de valoarea constanta 0, 5. Acest fapteste foarte obisnuit la un numar mai mare de 100 de aruncari. Oricine poateverifica acest lucru experimentand aruncarea cu banul! Deci probabilitatea

9

10 CAPITOLUL 1. INTRODUCERE

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

1 16 31 46 61 76 91 106 121 136 151 166 181 196

Figura 1.1: Graficul frecventei cu care a iesit o fata a monedei.

egala pentru obtinerea unei fete sau a alteia este reflectata ın practica prinfrecventa egala de realizare a celor doua rezultate atunci cand experimentuleste repetat de un numar relativ mare de ori.

Cea de a doua ipostaza a conceptului de probabilitate este cea ın care ex-prima o cuantificare a unui fenomen subiectiv, ın care intervine necunoastereaunor aspecte ale unui experiment. De exemplu, un medic se poate exprimacu privire la sansele de reusita ale unui tratament sau ale unei operatii siatunci cand pacientul are o stare diferita de cazurile ce le cunoscuse anterior.Medicul face deci aprecieri subiective ale unor aspecte necunoscute si spunespre exemplu ”sansele de ınsanatosire sunt de 80%”.

Acelasi lucru se ıntampla cu un economist care trebuie sa faca prog-noze. Economia fiecarui an este ın mare masura unica, nu se poate vorbi derepetarea unor fenomene decat partial, si deci un important aspect al prog-nozei este caracterul sau subiectiv. Apare astfel o evaluare probabilista asanselor de desfasurare a unor scenarii, necunoscandu-se care vor fi conditiilereale.

Desi din punct de vedere filozofic bazele teoriei probabilitatilor au implicatiifoarte interesante, pentru studiul matematic, cat si pentru aplicatiile prac-tice obisnuite, aspectele filozofice sunt aproape irelevante. De aceea nu nevom ocupa deloc ın cele ce urmeaza de fundamentele teoriei probabilitatilor,ci vom trece direct la definirea obiectelor matematice si la explicarea pro-cesului de modelare prin exemple. Eficienta practica a modelarii o socotimsuficienta pentru a ınlocui orice discurs filozofic.

1.1. MODELUL PROBABILIST 11

Din punctul de vedere al matematicianului, teoria probabilitatilor aredoua parti: modelarea unor fenomene reale (ın legatura cu modelarea aparesi problema verificarii modelului prin metodele statisticii, care valideaza sauinvalideaza modelul) si studiul obiectelor matematice create prin modelare.Studiul acesta conduce la noi concepte si legaturi cu celelalte ramuri alematematicii, ceea ce permite ulterior crearea altor modele, de un nivel supe-rior.

Modelarea se face ın primul rand prin construirea unui spatiu probabili-zat , prin intermediul caruia se asociaza evenimentelor posibile numere dinintervalul [0, 1]. Unui eveniment mai probabil decat un altul trebuie sa-i core-spunda un numar mai mare decat celuilalt. Evenimentele cele mai probabilevor avea asociate numere apropiate de 1, de exemplu 0, 95 sau 0, 99 ın timpce evenimentele cele mai putin probabile vor avea asociate numere mici degenul 0, 02 sau 0, 001.

1.1 Modelul probabilist

In prima parte a acestui curs vom analiza mai ales teoria finita, ın care existadoar o familie finita de evenimente posibile legate de fenomenul studiat. Vomintroduce mai ıntai notiunea de spatiu probabilizat finit.

Definitia 1.1 Fie Ω o multime si F o familie de parti, deci F ⊂ P (Ω) .Spunem ca F este o algebra de parti, sau pe scurt o algebra, daca suntındeplinite conditiile urmatoare:

(i) multimea vida si spatiul total apartin lui F , adica ∅, Ω ∈ F ;

(ii) familia este ınchisa la complementara, ın sensul ca Ac ∈ F , dacaA ∈ F ;

(iii) familia este ınchisa la reuniune, adica A ∪ B ∈ F , daca A, B ∈ F .

Daca, ın plus, familia F este finita spunem ca ea este o algebra finita. Inacest caz, perechea (Ω,F) este numita spatiu masurabil finit.

Exemplul cel mai simplu de algebra este algebra triviala Ω, ∅ , carecontine numai spatiul total si multimea vida. Alt exemplu simplu este con-stituit de P (Ω) , multimea tuturor partilor spatiului Ω. In cazul ın care Ωeste o multime finita, cel mai adesea ea este considerata ca spatiu masurabilfiind ınzestrata cu algebra P (Ω) .


Daca avem data o algebra F ⊂ P (Ω) si Λ ⊂ Ω este o submultime arbi-trara, familia de parti ale lui Λ, care este descrisa prin A ∩ Λ/A ∈ F , estetot o algebra. Ea este numita urma lui F pe Λ.

Un exemplu important de algebra este cel al partilor masurabile Jor-dan dintr-un spatiu euclidian. O multime din spatiul euclidian se numestemasurabila Jordan, daca frontiera sa este neglijabila. Se verifica usor caaceste multimi alcatuiesc o algebra de parti.

Se observa ca o algebra F are proprietatea ca este ınchisa la intersectiesi diferenta: daca A, B ∈ F , atunci A ∩ B, A\B ∈ F . De asemenea, prininductie se constata ca reuniunea si intersectia unui numar finit arbitrar demultimi din F sunt tot ın F .

Definitia 1.2 Fie (Ω,F) un spatiu masurabil finit. Spunem ca o aplicatieP : F → [0, 1] , este o masura de probabilitate daca satisface relatiile

(i) P (Ω) = 1,(ii) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) , pentru orice doua multimi disjuncte,

A, B ∈ F .In acest caz, tripletul (Ω,F , P ) va fi numit spatiu probabilizat finit.

Din definitia data rezulta imediat urmatoarele proprietati:1. P (Ac) = 1 − P (A) , pentru orice A ∈ F . In particular, se deduce

de aici ca are loc relatia P (∅) = 0. Mai observam ca relatia P (A) = 1este echivalenta cu relatia P (Ac) = 0. In acest caz, se spune ca multimea Asuporta masura P si ca masura P nu ıncarca Ac.

2. P (A\B) = P (A) − P (B) si P (B) ≤ P (A) ori de cate ori A, B ∈ Fsatisfac relatia B ⊂ A.

3. P (A1 ∪ ... ∪ An) = P (A1) + ... + P (An) , pentru orice numar finit demultimi disjuncte A1, ..., An ∈ F , n ∈ N.

4. P (A1 ∪ ... ∪ An) ≤ P (A1) + ... + P (An) , ın general, cu multimilearbitrare A1, ..., An ∈ F , n ∈ N.

5. Daca multimea Ω este finita, rezulta ca o masura de probabilitate Ppe P (Ω) este complet determinata de valorile pe care le ia pe multimile cuun singur punct. Mai precis, sa presupunem ca Ω = x1, ..., xn si sa notamP (xi) = P (xi) , i = 1, ..., n. Tinand cont de punctul 3., aceste numeretrebuie sa satisfaca relatia P (x1)+ ...+P (xn) = 1, pentru ca

⋃ni=1 xi = Ω.

Pentru o multime arbitrara A ⊂ Ω are loc formula

P (A) =∑

i,xi∈A

P (xi) .

1.1. MODELUL PROBABILIST 13

Reciproc, fiind date numerele a1, ..., an ∈ [0, 1] , astfel ıncat a1+...+an = 1, sepoate defini o masura de probabilitate punand P (xi) = ai, pentru orice i =1, ..., n si definind apoi probabilitatea unei multimi arbitrare dupa formulaanterioara.

De multe ori un spatiu probabilizat finit este construit prin definireamultimii Ω si a unei partitii finite a acesteia, (Ak)1≤k≤n . Deci multimile Ak

sunt astfel definite ıncat au loc relatiile: a) Al ∩Ak = ∅, daca l = k si b) Ω =∪1≤k≤nAk. Algebra generata de aceasta partitie, pe care o notam F , constadin toate multimile de forma Ak1 ∪ ...∪Akm , cu indicii satisfacand relatia 1 ≤k1 < ... < km ≤ n, la care se mai adauga multimea vida. (Lasam cititoruluiverificarea faptului ca aceasta este o algebra de parti.) Probabilitatea P esteapoi definita prin fixarea valorilor pe elementele partitiei pk = P (Ak) , k =1, ..., n. Desigur, numerele pk, k = 1, ..., n trebuie sa fie pozitive si sa aibasuma p1 + ... + pn = 1. Pentru o multime arbitrara din F se defineste apoi

P (Ak1 ∪ ... ∪ Akm) = P (Ak1) + ... + P (Akm) ,

pentru k1 < ... < km. Cititorul poate usor verifica faptul ca ın acest fel estedefinita o masura de probabilitate pe F .

O metoda convenabila de constructie a unui spatiu probabilizat finit(Ω,F , P ) consta ın alegera multimii Ω ca o parte dintr-un spatiu euclid-ian, de exemplu din plan. Multimile din F sunt alese sugestiv dupa aspectulgrafic. De exemplu cercuri, patrate, dreptunghiuri, ovale, etc. In plan sepoate usor construi un spatiu probabilizat desenand o diagrama Venn sipunand ca probabilitate a unei multimi figurate A, valoarea P (A) = ariaA

ariaΩ.

Cel mai adesea ın astfel de cazuri, pentru a nu complica exprimarea analiticaa diverselor multimi, liniile desenate, care separa regiunile, sunt excluse dinΩ. De exemplu, a se vedea modelul zarului turtit din paragraful urmator saumodelul celor trei urne din paragraful despre formula lui Bayes.

In primele capitole ale acestei carti nu vom utiliza decat spatii probabi-lizate finite. Totusi, anumite notiuni generale le vom da ın contextul unuispatiu probabilizat general, pentru a evita repetarea definitiilor mai tarziu.De aceea introducem acum si definitia unui spatiu probabilizat general.

Definitia 1.3 O algebra F , de parti ale lui Ω, este numita σ− algebra dacaare proprietatea de a fi ınchisa la reuniuni numarabile: daca (An)n∈N esteun sir de elemente din F , atunci ∪n∈NAn ∈ F . Perechea (Ω,F) se numestespatiu masurabil.


Bineınteles ca orice algebra finita este o σ− algebra. Familia P (Ω) , atuturor partilor multimii Ω, este o σ−algebra. Daca avem data o σ−algebraF ⊂ P (Ω) si Λ ⊂ Ω este o submultime arbitrara, urma lui F pe Λ este o toto σ−algebra.

Dar cel mai important exemplu de σ−algebra este cea constituita dinmultimile masurabile Borel dintr-un spatiu euclidian E (de o anumita di-mensiune), care este notata cu B (E) . Aceasta σ−algebra este prin definitieσ−algebra generata de familia multimilor deschise din spatiul euclidian E.

Pe de alta parte, este de retinut ca multimile masurabile Jordan nuformeaza o σ−algebra. De exemplu multimea lui Cantor de pe dreapta nueste masurabila Jordan, dar complementara sa este obtinuta ca o reuniunenumarabila de intervale deschise. Deci complementara multimii lui Cantor seobtine ca o reuniune de multimi masurabile Jordan, dar ea nu este masurabilaJordan.

O σ−algebra este ınchisa la intersectii numarabile. Intr-adevar, daca(An)n∈N este un sir de elemente din σ−algebra data putem scrie

∩nAn = (∪nAcn)c ,

relatie ce are ın membrul drept numai operatii permise ın interiorul uneiσ−algebre.

Definitia 1.4 Fie (Ω,F) un spatiu masurabil. O aplicatie P : F → [0, 1] senumeste masura de probabilitate daca satisface conditiile:

(i) P (Ω) = 1,(ii) P

(⋃n∈N An

)=

∑n P (An) , pentru orice sir de multimi disjuncte,

An ∈ F , ∀n ∈ N.In acest caz tripletul (Ω,F , P ) se numeste spatiu probabilizat.

Relatia (ii) din aceasta definitie este numita relatia de σ− aditivitate.Cateva proprietati legate de σ−aditivitate vor fi demonstrate mai tarziu ınsectiunea despre partitii finite sau numarabile.

Studiile despre fundamentele logice ale notiunii de probabilitate au olunga istorie. Modelarea probabilista pe un spatiu probabilizat (Ω,F ,P)a fost pentru prima oara examinata printr-o metoda axiomatica de catreA. N. Kolmogorov ıntr-o lucrare ramasa de referinta (Grundbegriffe derWahrscheinlichkeitsrechnung, Berlin, 1933). De atunci acesta a devenit cadrulfamiliar pentru discutarea problemelor de teoria probabilitatilor. Azi acest

1.2. CATEVA EXEMPLE 15

obiect este definit si studiat ın cadrul teoriei masurii. In teoria proba-bilitatilor el este preluat si exista obiceiul sa se utilizeze, pe langa terminolo-gia de teoria masurii, o terminologie proprie, colorata de sensuri apropriatemodelelor probabiliste. Astfel o multime A ∈ F se numeste eveniment iarun punct ω ∈ Ω se numeste eveniment elementar. Daca P (Ac) = 0, se spuneca evenimentul A are loc aproape sigur. Prescurtat scriem a. s. pentru,,aproape sigur”.

1.2 Cateva exemple

Modelarea propriu-zisa este ceea ce se numeste o arta. Nu exista reguli sicu greu se pot da retete. Vom ilustra ideea de modelare prin exemple de-a lungul ıntregii carti. Incepem cu urmatoarea sectiune ın care prezentamcateva din modelele tipice.

1.2.1 Zarul turtit

Un zar obisnuit este un cub, pe ale carui fete sunt marcate cu puncte numerelede la unu la sase. Sa presupunem ca avem un zar cu latura de 1 cm. Eleste modificat micsorandu-i-se ınaltimea, astfel ca devine un paralelipipeddreptunghic cu baza un patrat cu latura de 1 cm iar ınaltimea de h ∈ (0, 1).

h0

Figura 1.2: Un zar turtit.

Sa presupunem ca baza zarului este marcata cu sase puncte, iar fatasuperioara cu unul. Cand ınaltimea h este foarte mica, fetele laterale devinınguste si zarul nu poate sta decat cu greu pe ele; si de aceea este naturalsa ne asteptam ca zarul, prin aruncare, sa cada mai ales cu fetele de sus si


1 2 3 4 5 6

Figura 1.3: Un model pentru zarul turtit.

jos: 1 si 6. Atunci sansele de a cadea una din aceste fete, se apropie pentrufiecare de 1

2. Cand h = 1 aceste fete au sanse egale cu celelalte, deci egale

cu 16

pentru fiecare. Exista o anumita valoare h0 pentru care fetele cu un

punct si sase puncte au sansele 14

fiecare. In acest caz, sansele fetelor cu 2,3,4si 5 puncte sunt egale cu 1

8fiecare. Experimentul de aruncare a zarului cu

ınaltimea h0 poate fi descris de multimea Ω, desenata ın figura 1.3.Ea consta din sase dreptunghiuri (multimi deschise, fara laturile ce le

marginesc). Primul dreptunghi si ultimul sunt duble fata de celelalte si core-spund la fetele cu 1 si 6 puncte. Aria fiecarui dreptunghi este proportionalacu sansele de a cadea numarul de puncte pe care-l reprezinta. Dreptunghiu-rile ce formeaza multimea Ω sunt numerotate conform punctelor pe care lereprezinta, ca ın figura: D1, D2, D3, D4, D5, D6. In acest caz F este algebrade parti generata de aceste multimi. Multimea Di corespunde evenimentu-lui ,,ın urma aruncarii zarului a iesit fata cu i puncte”. Probabilitatea estedefinita prin

P (A) =ariaA

ariaΩ,

pentru orice A ∈ F . De exemplu, evenimentul ,,la aruncarea zarului ieseun numar de puncte mai mare sau egal cu 4” este reprezentat de multimeaD4 ∪ D5 ∪ D6 si are probabilitatea

P (D4 ∪ D5 ∪ D6) =ariaD4 + ariaD5 + ariaD6

ariaΩ=

1

8+

1

8+

2

8=

1

2.

Pentru aceeasi problema se poate utiliza un model bazat pe multimeafinita Ω′ = 1, 2, 3, 4, 5, 6 , cu F = P (Ω′) si punand

P (1) = P (6) = 14,

P (2) = P (3) = P (4) = P (5) = 18.

1.2. CATEVA EXEMPLE 17

1.2.2 Repartitii uniforme

1. Sa presupunem ca cineva arunca la ıntamplare o piatra ıntr-o curte. Dacanu am asistat la aruncare si ne punem problema sa gasim piatra, putem maiıntai sa estimam probabilitatea ca piatra sa se afle ıntr-o anumita regiunedupa aria regiunii. Sa zicem ca dreptunghiul Ω reprezinta curtea. Pentruo regiune A ⊂ Ω, definim P (A) = ariaA

ariaΩ. In acest fel, am definit o masura

de probabilitate pe B (Ω), care modeleaza sansele de a gasi piatra ın diverseregiuni din interiorul curtii. Aceasta masura de probabilitate spunem ca esterepartizata uniform pe Ω, deoarece este proportionala cu aria. (Modelul sedeosebeste de cel de la zarul turtit prin aceea ca, de data aceasta, masuraeste definita pentru toate multimile boreliene. Clasa multimilor borelieneeste infinita.)

2. Sa presupunem ca dupa o ploaie vrem sa estimam numarul de picaturicare au cazut ın diverse regiuni din gradina. Sa presupunem ca s-a determinatnumarul n0 de picaturi ce au cazut ıntr-un metru patrat. Daca gradina esteun dreptunghi Ω, numarul de picaturi care au cazut ın toata curtea esteaproximativ n0 · ariaΩ. Pentru o regiune A ⊂ Ω, numarul de picaturi va fiaproximativ n0 · ariaA. Daca vrem sa stim ce proportie din toate picaturileau cazut ın regiunea A, aceasta este data de

P (A) =ariaA

ariaΩ.

Din nou este o masura de probabilitate pe B (Ω), uniform distribuita pe Ω.3. O roata de ruleta este ınvartita si apoi se asteapta oprirea ei. Care

va fi probabilitatea ca indicatorul de la marginea rotii sa se opresca ıntr-un anumit sector al cercului exterior? Raspunsul este dictat de o logicaelementara: aceasta probabilitate este proportionala cu lungimea curbiliniea sectorlui. Pentru a modela acest fenomen probabilist se noteaza cu Ω cerculexterior rotii de ruleta si pentru o multime A ∈ B (Ω) se pune

P (A) =L (A)

2πR,

unde L (A) este lungimea multimii A (sau masura Lebesgue), iar R esteraza cercului. Din nou P este o masura de probabilitate pe B (Ω), uniformrepartizata pe cercul Ω.

Se stie ca un cerc de raza R este pus ın corespondenta bijectiva cu inter-valul [0, 2πR) prin desfasurarea cercului. Lungimile masurate pe cerc, dupa


desfasurare, corespund lungimilor masurate pe segmentul [0, 2πR). Atunci,un model echivalent se obtine punand Ω

′= [0, 2πR), iar pentru o multime

A ∈ B (Ω

′)se pune

P′(A) =

L (A)

2πR,

unde de data aceasta L (A) este masura Lebesgue de pe segmentul [0, 2πR).Masura de probabilitate P ′ este uniform raspandita pe intervalul [0, 2πR).Deoarece punctul din capatul intervalului are masura nula, din punct devedere practic, acest model este echivalent cu cel obtinut pe intervalul [0, 2πR]cu aceeasi masura P ′.

4. La o fabrica de confectii se utilizeaza sireturi. Siretul este adus lafabrica ın ghemuri si resturile mai mici de 40 cm sunt inutilizabile. Prinurmare raman deseuri de siret de toate marimile mai mici de 40 de cm.Pentru a modela distribuirea resturilor de siret este natural sa consideramΩ = [0, 40], F = B (Ω) si pentru A ∈ B (Ω)

P (A) =L (A)

40.

Daca A = (a, b), numarul P ((a, b)) reprezinta proportia acelor resturi desiret care au lungimea mai mare decat a cm si mai mica decat b cm, printretoate resturile de siret. Suntem condusi astfel la probabilitatea distribuitauniform pe intervalul [0, 40] .

1.3 Exercitii

Exercitiul 1.1 Biletele de la o tombola sunt numerotate de la 1 la 10.000.Ce proportie dintre ele se termina cu cifra 1, dar cu 2, ..., dar cu 9? Ceproportie dintre ele ıncep cu cifra 1, dar cu 2, ..., dar cu 9?

Exercitiul 1.2 Se considera zilele de 13 din lunile anului 2004. Ce proportiedintre ele sunt luni, dar marti, ..., dar duminica? Aceeasi problema pentruzilele de 13 din anii 2004 si 2005.

Exercitiul 1.3 Fie Ω o multime si A, B ⊂ Ω. Scrieti A∪B ca o reuniune demultimi care sunt total incluse sau ın A sau ın B. Aceeasi problema pentrureuniunea a trei multimi A ∪ B ∪ C.

1.3. EXERCITII 19

Exercitiul 1.4 Fiind dat un spatiu probabilizat (Ω,F , P ) si A, B, C ∈ F sase arate ca are loc relatia

P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C)−−P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C)

Exercitiul 1.5 Intr-o palarie se afla trei cartoane: unul are ambele fete albe,altul are ambele fete negre si al treilea are o fata alba si una neagra. Se iaunul si se pune pe masa. Constatand ca fata de deasupra cartonului esteneagra se pune problema de a determina probabilitatea ce dosul sa fie alb.

Capitolul 2

Modele cu sanse egale

Cele mai vechi modele probabiliste considera o multime Ω = ω1, ..., ωn ,finita, ca multime a posibilitatilor si evalueaza cu sanse egale fiecare posi-bilitate, ceea ce conduce la P (ωi) = 1

n, pentru orice i. Exemplele la care

se potrivesc modele de acest fel sunt cele mai uzuale: aruncarea monedei,unde sansele de a cadea ın sus o fata sau alta sunt evident egale (modelulare doar doua posibilitati si deci n = 2), aruncarea cu zarul, unde fiecare dincele sase fete are tot sanse egale de a iesi (model cu n = 6), extragerea uneibile dintr-o urna (n este numarul de bile din urna) si multe altele legate dediverse jocuri ın care intervine norocul. Daca A ∈ P (Ω) este un evenimentarbitrar, probabilitatea sa este

P (A) =cardA

cardΩ.

Aceasta formula spune ca ,,probabilitatea evenimentului A este egala cunumarul cazurilor favorabile supra numarul cazurilor posibile”, care estedefinitia clasica a probabilitatii. Pentru a decide ca un fenomen probabilisteste de tipul sanselor egale pentru fiecare posibila evolutie este ınsa necesaraıntotdeauna o analiza.

2.1 Aruncarea cu banul

Este cunoscut modelul dat de d’Alembert pentru aruncarea cu doua monezi.El spunea ca rezultatele posibile pentru un astfel de experiment sunt trei:ambele monezi cad cu cifra ın sus, ambele monezi cad cu stema ın sus, si

21

22 CAPITOLUL 2. MODELE CU SANSE EGALE

cea de a treia posibilitate, o moneda cade cu cifra ın sus iar cealalta cade custema ın sus.

A facut apoi greseala sa presupuna ca fiecare din aceste trei posibilitatieste la fel de probabila. Daca ar fi facut experienta, si-ar fi dat seama foarterepede ca nu este adevarata egalitatea sanselor pentru modelul ales. Darnu numai experienta, ci si o analiza logica mai atenta releva modelul corect.Pentru aceasta se considera ca cele doua monezi sunt ınsemnate A si B iarposibilitatea a treia din enumerarea data mai sus este ınlocuita cu douaalte posibilitati: A cade cu cifra si B cade cu stema, respectiv A cade custema si B cade cu cifra. Se poate usor rationa ca daca A cade cu cifrasunt sanse egale ca B sa cada cu cifra sau cu stema si la fel, prin comparare,se ajunge imediat la concluzia ca fiecare din cele patru posibilitati descriseacum are sanse egale. Se vede atunci ca, pentru a reflecta experimentularuncarii cu doua monezi, modelul cu trei posibilitati propus de d’Alembertnu poate da sanse egale fiecareia. Pentru a corespunde realitatii, trebuiescacordate sanse egale numai primelor posibilitati si anume 1

4, ın timp ce a treia

posibilitate enumerata de d’Alembert ar trebui sa aiba sanse duble fata defiecare din primele, deci 1

2. Desigur ca marele enciclopedist si matematician

francez (Jean le Rond d’Alembert: 1717-1783), a ramas ın istorie pentrualte descoperiri importante, cazul descris mai sus nefiind decat un episodanecdotic.

In lumina discutiei anterioare, este clar ca, ın cazul ın care consideramo serie de n aruncari cu banul, modelul ce se impune este urmatorul: daca1 corespunde cifrei si 0 corespunde stemei, multimea tuturor posibilitatiloreste

Ω = 0, 1n = (x1, ..., xn) | xi ∈ 0, 1 , i = 1, ..., n ,

constituita din toate sistemele (x1, ..., xn) de n cifre de 0 si 1. Fiecareposibilitate are aceleasi sanse de a iesi. Numarul tuturor posibilitatiloreste 2n, adica cardΩ = 2n. Probabilitatea corespunzatoare se defineste prinP ((x1, ..., xn)) = 1

2n , pentru fiecare sistem (x1, ..., xn) ∈ Ω.

Exemplu. Doi jucatori joaca aruncarea cu banul dupa urmatoarea regula.La fiecare aruncare a monedei este pus ın joc un punct. Daca moneda cadecu stema ın sus, castiga jucatorul J1, iar cand cade fata cu cifra, castigajucatorul J2. Se arunca moneda de mai multe ori la rand pana cand unuldin jucatori totalizeaza 10 puncte. In aceasta situatie respectivul jucatoreste considerat ınvingator si castiga o suma. In cazul ın care jocul este

2.1. ARUNCAREA CU BANUL 23

ıntrerupt ınainte ca vreunul din jucatori sa iasa castigator, se convine casuma ın joc sa fie ımpartita ıntre cei doi, proportional cu sansele pe carele-ar fi avut daca jocul ar fi continuat. Ne propunem sa calculam cum va fiımpartita miza jocului daca jocul este ıntrerupt ın situatia ın care jucatorulJ1 are 7 puncte iar jucatorul J2 are 8 puncte? (Solutia acestei probleme o daBlaise Pascal(1623-1662) ıntr-o scrisoare datata 24 august 1654 catre Pierrede Fermat(1601-1665).)

Solutie. Jocul se termina ın cel mult 4 aruncari pentru ca dupa 4 aruncarineaparat se ıntampla unul din urmatoarele evenimente: sau J2 a castigatcel putin doua puncte, sau J1 a castigat cel putin trei. Cu conventia ca 0reprezinta stema si 1 cifra, putem reprezenta toate rezultatele posibile la oserie de 4 aruncari ın felul urmator:

(0, 0, 0, 0) (0, 0, 0, 1) (0, 0, 1, 1) (0, 1, 1, 1) (1, 1, 1, 1)(0, 0, 1, 0) (0, 1, 0, 1) (1, 0, 1, 1)(0, 1, 0, 0) (0, 1, 1, 0) (1, 1, 0, 1)(1, 0, 0, 0) (1, 0, 0, 1) (1, 1, 1, 0)

(1, 0, 1, 0)(1, 1, 0, 0)

Am listat aici 16 posibilitati si fiecare are sanse egale. Primele 5 posibilitatiıl dau castigator pe J1 iar celelalte 11 pe J2. Rezulta ca sansele de a castigaJ1 sunt 5

16si sansele de a castiga J2 sunt 11

16. Suma pusa ın joc se va ımparti

ıntre cei doi jucatori proportional cu aceste valori.Un ınvatat al timpului i-a reprosat lui Pascal ca de fapt jocul nu se

termina neaparat cu ınca 4 aruncari, ci el poate sa se ıncheie dupa 2 sau 3aruncari si atunci posibilitatile ce se iau ın considerare sunt de fapt urmatoarele:

(0, 0, 0) (0, 0, 1, 0) (0, 0, 1, 1) (0, 1, 1) (1, 1)(0, 1, 0, 0) (0, 1, 0, 1) (1, 0, 1)(1, 0, 0, 0) (1, 0, 0, 1)

Observatia este corecta, ınsa ın cazul acesta tebuie sa acordam alta ponderefiecarei posibilitati:

P ((1, 1)) =1

4, P ((0, 0, 0)) = P ((0, 1, 1)) = P ((1, 0, 1)) =

1

8,

P ((0, 0, 1, 0)) = P ((0, 1, 0, 0)) = P ((1, 0, 0, 0)) = P ((0, 0, 1, 1))


= P ((0, 1, 0, 1)) = P ((1, 0, 0, 1)) =1

16.

Justificarea acestei ponderari se face pornind de la evaluarea sanselor pentrurezultatele a doua aruncari:

P ((1, 1)) = P ((1, 0)) = P ((0, 1)) = P ((0, 0)) =1

4.

Rezultatul (1, 1) ar pune capat jocului dar celelalte posibilitati duc la conti-nuarea jocului. Sansele pe care le are rezultatul (1, 0) se ımpart ın mod egalpentru posibilitatile urmatoare: (1, 0, 1) , (1, 0, 0). Deci

P ((1, 0, 1)) = P ((1, 0, 0)) =1

8.

Rezultatul (1, 0, 0) conduce la continuarea jocului cu ınca o aruncare si obtinereaposibilitatilor (1, 0, 0, 1) si (1, 0, 0, 0), ce vor fi evaluate fiecare cu probabili-tatea 1

16. etc.

2.2 Metode de numarare a posibilitatilor

2.2.1 Permutari cu repetitii

Vom presupune ca multimea M consta din n bile colorate, din care n1 auculoarea c1, n2 au culoarea c2 si asa mai departe, nk bile au culoarea ck. Areloc relatia n = n1 + ... + nk. Ne intereseaza multimea succesiunilor de culorice pot fi obtinute aranjand ın sir, ın diverse feluri, cele n bile. Cand spunemsuccesiune de culori ıntelegem aspectul grafic pe care ıl da ınsiruirea celorn bile ıntr-o anumita ordine. Cu alte cuvinte, o succesiune de culori esteindividualizata prin secventele de bile de aceeasi culoare care se succed ınsirul celor n bile, distingand lungimea fiecarei secvente dar si ordinea ın carese succed secventele. De exemplu, mai jos consideram ca semnul × reprezintaculoarea rosie, 0 reprezinta culoarea alba, iar · reprezinta culoarea negru.

× × 0 · × 0 0× 0 0 · × × 0

Avem reprezentate doua succesiuni de cate 7 bile din care 3 sunt rosii, 3 suntalbe si una este neagra. Desi ordinea de ınsiruire a culorilor este aceeasi (rosu,

2.2. METODE DE NUMARARE A POSIBILITATILOR 25

alb, negru, rosu, alb), cele doua succesiuni de culori sunt diferite pentru casecventele bilelor de aceeasi culoare au lungimi diferite.

In continuare vom demonstra ca numarul succesiunilor de culori distincteın ıntelesul de mai sus este

n!

n1! · ... · nk!.

Pentru a descrie precis multimea tuturor acestor succesiuni de culori vomproceda ın felul urmator. Consideram o a doua multime cu n elemente ceo notam L, pe care o identificam cu multimea primelor n numere naturale1, ..., n , si care reprezinta pozitiile ocupate ın sir de cele n bile. Pentru adetermina o succesiune de culori data de cele n bile puse ın sir este suficientsa cunoastem multimile de pozitii din L care corepund fiecarei culori. Fie Ai

multimea pozitiilor ocupate de bilele de culoare ci, i = 1, ..., k. Este clar caaceste multimi verifica urmatoarele doua proprietati: 1) Ai are ni elementesi 2) (A1, ..., Ak) formeaza o partitie a multimii L. Problema revine atunci lanumararea familiilor de multimi A1, ..., Ak, care verifica cele doua conditii.

Vom considera de asemenea ca fiecare bila este individualizata (de exem-plu purtand un semn sau un numar distinct). Notam cu H multimea tuturorsistemelor de asezare a celor n bile ın cele n pozitii din L. Stim ca numarulacestor sisteme este n!. Sa introducem pe H relatia de echivalenta care faceechivalente doua sisteme de asezare a celor n bile atunci cand ele corespundaceleiasi succesiuni de culori. Vom arata acum ca fiecare clasa de echivalentaare acelasi numar de elemente si anume n1! · ... · nk!.

Sa zicem ca avem fixat un astfel de sistem de asezare a celor n bile ınpozitiile din L. Pentru fiecare i = 1, ..., k, notam cu Ai multimea de pozitii pecare le ocupa bilele de culoare ci. Este evident ca vor fi satisfacute conditiile1) si 2) de mai sus. Daca permutam ıntre ele bilele de culoare ci obtinemun alt sistem din H, dar multimea Ai ramane neschimbata, deci succesiuneade culori ramane neschimbata. Mai mult, daca consideram un alt sistem dearanjare a bilelor care este echivalent cu cel fixat, rezulta ca, pentru fiecarei = 1, ..., k, bilele sale de culoare ci vor ocupa tot pozitiile din multimeaAi. Deci, aceste bile vor forma o permutare a bilelor de culoare ci din primulsistem. Bilele de culoare ci pot fi permutate ın ni! moduri. Facand permutariıntre bilele de aceeasi culoare, pentru fiecare culoare, obtinem ın total n1! ·... · nk! sisteme care corespund aceleiasi succesiuni de culori, sau altfel spus,care sunt ın aceeasi clasa de echivalenta cu sistemul fixat.

Acum putem calcula numarul claselor de echivalenta ın care este ımpartitamultimea H. Daca notam cu x numarul claselor de echivalenta vom exprima


numarul elementelor din H sub forma xn1!...nk!. Cum pe de alta parte,stim ca H are n! elemente, rezulta x = n!

n1!...nk!. Deoarece evident, avem o

corespondenta bijectiva ıntre multimea succesiunilor de culori si multimeaclaselor de echivalenta, putem trage concluzia ca multimea succesiunilor deculori are n!

n1!·...·nk!elemente.

Pentru termenul de succesiune de culori am putea utiliza si denumirea de,,permutare de culori cu repetitie”, pentru ca o pozitie ocupata de o culoareeste constituita eventual din mai multe bile ce repeta aceeasi culoare. Deaici denumirea de numarul permutarilor cu repetitie pe care ıl are expresia

n!n1!·...·nk!

. Aceasta expresie este denumita si coeficient multinomial. Pentru k =

2 expresia devine cunoscutul coeficient binomial Cn1n = Cn2

n = n!n1!(n−n1)!

=n!

n2!(n−n2)!.

O problema de alocatie. Examinam acum multimea din sectiunea ante-rioara, dar vazuta ın alta ınfatisare. In combinatorica se ıntampla de multeori ca dificultatea unei probleme sa provina din dificultatea de a recunoasteobiectele ın forma ın care sunt mai simple, sau ın forma ın care pot fi legatede alte fapte cunoscute. Vom vedea acum un exemplu ın care acelasi obiectımbraca doua ınfatisari distincte.

Vom presupune ca M este o multime formata din n bile numerotate de la1 la n. Avem k cutii si numerele n1, ..., nk date. Se pune problema sa se de-termine ın cate feluri se pot aloca cele n bile ın cutii astfel ıncat ıntaia cutiesa contina n1 bile, a doua sa contina n2 bile, etc. Formulata altfel, prob-lema revine la a determina numarul partitiilor multimii 1, ..., n ın forma(Ai)i=1,...,k , cu cardAi = ni.

Vom arata ca exista o bijectie ıntre multimea alocatiilor de tipul descris simultimea succesiunilor de culori considerate anterior. Bijectia se realizeazaın felul urmator: ne imaginam ca fiecare cutie vopseste bilele repartizate ınea ıntr-o culoare distincta. Cutia i vopseste bilele din ea ın culoarea ci. Dacaavem bilele alocate, consideram ca ele au capatat o culoare, le scoatem dincutii si le ınsiram ın ordinea numerelor. Obtinem ın acest fel o succesiunede culori. Nu este greu de vazut ca aceasta corespondenta este o bijectiesi atunci se pote obtine numarul alocatiilor ce satisfac conditiile impuse:

n!n1!·...·nk!

.

Am vazut ca atat ın versiunea cu bilele colorate, cat si ın versiunea cualocarea de bile ın cutii, problema se formuleaza natural si cu o partitienumerotata, (Ai)i=1,...,k , a multimii 1, ..., n , astfel ca multimea Ai sa aiba

2.3. EXTRAGERI REPETATE DIN URNA 27

exact ni elemente. Aceasta ar fi o a treia categorie de obiecte ce sunt ınnumar de n!

n1!·...·nk!. Atragem atentia asupra faptului ca este vorba de partitii

numerotate, pentru ca ın general prin partitie se ıntelege o famile de partidisjuncte care acopera spatiul. De exemplu, pentru n = 4, n1 = 2, n2 = 2,urmatoarele ,,partitii numerotate” sunt distincte: A1 = 1, 3 , A2 = 2, 4si A′

1 = 2, 4 , A′2 = 1, 3 ; pe de alta parte, ın ıntelesul general, avem de a

face cu aceeasi partitie.

2.3 Extrageri repetate din urna

Din punct de vedere al teoriei probabilitatilor urna permite realizarea mo-delului tipic de experiment ın care avem un numar finit de evenimente el-ementare cu sanse egale. Prin urna ıntelegem o cutie ın care se afla nisteobiecte asemanatoare, cum ar fi bile, sau bilete, etc. Cand se fac extrageridin urna ıntotdeauna se presupune ca cel ce extrage nu poate alege si cafiecare obiect din urna are aceleasi sanse de a fi extras.

2.3.1 Schema bilei ıntoarse

Intr-o urna se afla n bile numerotate de la 1 la n. Se extrage din urna o bila,se noteaza numarul ei, dupa care se pune la loc bila ın urna. (O extragerede acest fel se numeste extragere cu ıntoarcere sau cu revenire.) Repetandexperienta de k ori se obtine o secventa (x1, ..., xk) formata din k numere.Dorim sa modelam probabilist experimentul global al extragerilor succesivede acest tip. Notam M = 1, ..., n multimea ce reprezinta bilele. Multimeaposibilitatilor este clar descrisa de produsul

Ω = Mk = (x1, ..., xk) | xi ∈ M, ∀i = 1, ..., k .

Sa consideram doua secvente

(x1, ..., xi−1, xi, xi+1, ..., xk) ,(x1, ..., xi−1, x

′i, xi+1, ..., xk)

care au aceleasi elemente, cu exceptia celor de pe pozitia i. Deci presupunemxi = x′

i. Cele doua secvente difera doar prin rezultatul de la extractia i.Dar la fiecare extractie sansele de a extrage una sau alta din bile sunt egale.Concluzia este ca cele doua secvente au sanse egale de a se produce. Din


aproape ın aproape se deduce ca toate secventele au aceeasi sansa de a seproduce. Numarul elementelor din Ω este nk si se impune P ((x1, ..., xk)) =1

nk , pentru orice secventa.

2.3.2 Schema bilei neıntoarse

Aceeasi urna ca mai ınainte este supusa unor k extrageri succesive, dar dedata asta dupa fiecare extragere bila extrasa ramane ın afara urnei. (O astfelde extragere se numeste fara ıntoarcere sau fara revenire.) Implicit trebuie saavem k ≤ n. Mai remarcam ca secventa rezultatelor are toate componentelediferite. Multimea care modeleaza fenomenul este

Ω = (x1, ..., xk) /xi ∈ M, xi = xj , ∀i = j .

Se observa ca aceasta multime consta din toate submultimile de cardinalk din M ordonate ın toate felurile posibile. Deci cardΩ = Ak

n. Vom arataca, si de aceasta data, trebuie sa acceptam ideea ca fiecare posibilitate dedesfasurare a k extrageri succesive are aceleasi sanse de aparitie.

Pentru aceasta vom face o inductie dupa k. Notam Ωk si respectiv Ωk+1

spatiile tuturor posibilitatilor pentru experimentele corespunzatoare seriilorde k, respectiv k + 1 extrageri. Presupunem ca am stabilit ca sansele tu-turor secventelor de k extrageri sunt egale si deci probabilitatea asociata uneiastfel de secvente este egala cu 1

Akn

= 1n(n−1)...(n−k+1)

. Fie (x1, ..., xk) ∈ Ωk.Aceasta secventa poate fi continuata cu o noua extragere din multimeaM \ x1, ..., xk . Este o multime cu n − k bile si fiecare din ele are aceleasisanse de a fi extrasa. Notam cu

A (x1, ..., xk) = (x1, ..., xk, x) /x ∈ M \ x1, ..., xk ,

multimea secventelor ce continua secventa data. Aceasta multime are n − ksecvente si trebuie sa admitem ca au sanse de a se produce egale ıntre ele. Pede alta parte, cand secventa (x1, ..., xk) parcurge Ωk, multimile A (x1, ..., xk)acopera Ωk+1, adica are loc egalitatea

Ωk+1 =⋃

(x1,...,xk)∈Ωk

A (x1, ..., xk) .

Aceste multimi sunt disjuncte si deci formeaza o partitie a lui Ωk+1. Estede asemenea natural sa masuram producerea evenimentului A (x1, ..., xk) ın

2.3. EXTRAGERI REPETATE DIN URNA 29

modelul cu secvente de lungime k + 1, prin probabilitatea pe care o areevenimentul elementar (x1, ..., xk) ın modelul secventelor de lungime k :

Pk+1 (A (x1, ..., xk)) = Pk ((x1, ..., xk)) =1

Akn

.

Aceasta implica sa punem aceeasi valoare pentru probabilitatea fiecaruia dinevenimentele A (x1, ..., xk) . Cum fiecare din aceste evenimente este compusdin acelasi numar de evenimente elementare ce au sanse egale ıntre ele, rezultaca toate evenimentele elementare din Ωk+1 au aceleasi sanse de a se produce:

Pk+1 ((x1, ..., xk+1)) =1

Ak+1n

=1

n (n − 1) ... (n − k).

Extrageri fara ordine.

Un caz particular de extrageri repetate fara ıntoarcere sunt extragerile ıncare ceea ce conteaza la sfarsit este numai multimea bilelor extrase. Deci numai retinem ordinea ın care s-au facut extragerile si privim drept rezultat alextragerii numai multimea bilelor extrase. Tinand cont de simetria experi-mentului a k extrageri succesive fara ıntoarcere este normal sa ne asteptamca fiecare multime de k elemente sa apara cu aceeasi probabilitate. Vomdemonstra acest lucru bazandu-ne pe modelul deja construit.

Propozitia 2.1 Fie M multimea cu n elemente care reprezinta bilele dinurna si k ≤ n. Notam cu Ω multimea ce modeleaza seriile de k extrageri faraıntoarcere, ca mai sus. Pentru fiecare submultime A ⊂ M avand cardinalulk are loc formula

P ((x1, ..., xk) ∈ Ω/ x1, ..., xk = A) =1

Ckn

.

Demonstratie. Multimea (x1, ..., xk) ∈ Ω/ x1, ..., xk = A consta dintoate permutarile posibile cu elementele din A. Cardinalul acestei multimieste k!, si cum probabilitatea unei secvente din Ω este 1

Akn, rezulta ca

P ((x1, ..., xk) ∈ Ω/ x1, ..., xk = A) =k!

Akn

=1

Ckn

.

Sa examinam acum experimentul extragerii din urna cu n bile a k bile deo-data. Pentru acest experiment multimea tuturor posibilitatilor este multimea


ce o notam cu Γ, si care se compune din partile lui M cu k elemente. Dinmotive de simetrie este natural sa consideram ca fiecare parte a lui M cuk elemente are aceleasi sanse de a fi extrasa. Rezulta ca naturala alegereaprobabilitatii P ′ pe Γ care da aceeasi valoare fiecarui eveniment elementar.Cardinalul lui Γ fiind Ck

n, deducem ca probabilitatea fiecarui eveniment ele-mentar din Γ este 1

Ckn.

Sa comparam acum modelul nou construit (Γ, P ′) cu cel anterior (Ω, P ) .Pentru un eveniment elementar A ∈ Γ consideram multimea tuturor secventelor(x1, ..., xk) ∈ Ω care sunt formate cu elementele multimii A (adica x1, ..., xk =A). Notam ΛA aceasta multime:

ΛA = (x1, ..., xk) ∈ Ω / x1, ..., xk = A .

Ea constituie un eveniment neelementar din Ω. Ansamblul acestor multimiΛA / A ∈ Γ formeaza o partitie a lui Ω care evident este ın bijectie cu Γ.Din propozitia anterioara rezulta ca P (ΛA) = P ′ (A) .

In concluzie, putem spune ca experimentul extragerii din urna a k biledeodata este echivalent cu experimentul a k extrageri succesive fara revenire,ın care se uita ordinea extragerilor si se ia ın considerare numai multimearezultata din extragere. Modelarea se poate face fie pe (Ω, P ) considerandevenimentele ΛA, fie pe (Γ, P ′) .

2.4 Exemple

2.4.1 Controlul calitatii

Exemplu. Intr-o lada se afla 550 de mere, din care un anumit procent suntputrede. Fara a sti acest procent, se ia un esantion de 25 de mere si se taiepentru a se constata starea lor si a evalua care ar fi procentul de mere putredeın toata lada. Este o problema tipica de controlul calitatii. Aici nu ne vompropune sa tratam propriu-zis aceasta problema ci sa rezolvam o problemamai simpla. Anume, ne propunem sa determinam care ar fi probabilitatea caesantionul sa contina 2 mere putrede daca am sti ca 2% din numarul totalde mere sunt putrede.

Solutie. Presupunerea facuta implica faptul ca 11 mere sunt putrede. Ince priveste extragerea celor 25 de mere, ea nu conteaza decat ca multime.Suntem ın cazul extragerilor fara ordine. Pentru solutionarea problemei par-ticulare ce o avem, vom ınlocui cifrele cu litere deoarece calculele numerice nu

2.4. EXEMPLE 31

simplifica cu nimic problema. Presupunem ca multimea tuturor merelor aravea n elemente, din care m sunt putrede. Fie M multimea tuturor merelorsi D multimea tuturor merelor putrede. (Bineınteles ca avem m ≤ n siD ⊂ M.) Se ia un esantion de k mere pentru a fi testate si printre elese gasesc l care sunt putrede. Vrem sa determinam care este probabilita-tea acestui eveniment. Inseamna ca spatiul posibilitatilor pe care modelamproblema este

Ω = A ∈ P (M) /cardA = k ,

iar evenimentul a carui probabilitate o cautam va avea expresia

Λl = A ∈ Ω / card (A ∩ D) = l .

Este clar ca multimea Ω are cardinalul Ckn. Pentru a determina cardinalul

multimii Λl vom rationa astfel: multimea A = A1 ∪ A2 se ımparte ın modnatural ın doua parti, A1 = A∩D de cardinal cardA1 = l si A2 = A∩Dc cucardA2 = k − l. Pentru A1 exista C l

m posibilitati de formare, iar pentru A2

exista Ck−ln−m posibilitati de alcatuire. Deci, multimea ce ne intereseaza, Λl,

are C lm · Ck−l

n−m elemente. Obtinem formula

P (Λl) =C l

m · Ck−ln−m

Cmn

.

Cu datele numerice din problema avem ca: probabilitatea ca din 25 de meretestate 2 sa fie putrede este

C211 · C23

539

C25550

0, 07.

Dar putem sa facem si o lista cu celelalte probabilitati de interes pentru cazulnumeric de la care am plecat. Notand cu pl probabilitatea evenimentului ca saexiste exact l mere putrede ın conditiile ın care celelalte date raman aceleasi

avem pl =Cl

11C25−l539

C25550

, l = 0, 1, ..., 11. Valorile numerice ce se obtin sunt listate

ın tabelul urmator:

p0 p1 p2 p3 p4

0, 5965 0, 3185 0, 0740 0, 0098 0, 0008

Adunand probabilitatile din tabel avem p0+p1+p2+p3+p4 = 0, 9996, ceea cearata ca restul probabilitatilor sunt neglijabile (bineınteles ca are loc relatia


∑11l=0 pl = 1). Cu tabelul ın fata putem sa facem urmatorul comentariu. Sub

ipoteza ca numai 2% dintre mere sunt putrede, probabilitatea covarsitoareo are evenimentul ,,numarul de mere putrede care ies la o extragere de 25este cel mult unu, adica l ≤ 1”, si anume p0 + p1 = 0, 9150. Evenimentul,,numarul de mere putrede ce ies la o extragere de 25 este 2” este relativ rar,pentru ca probabilitatea p2 = 0, 074 este relativ mica. Faptul de a gasi 2mere putrede printre 25 testate nu este normal. O persoana interesata deacest test ar trebui sa traga concluzia ca este foarte probabil ca ipoteza cumca ,,procentul merelor putrede din lada este de numai 2%” sa nu fie reala.

Observatia 2.1 Calculul general anterior a pus ın evidenta numerele pl =

P (Λl) =Cl

m·Ck−ln−m

Cmn

, l = 0, 1, ..., m ∧ k. Tinand cont ca familia de evenimente

Λl / l = 0, 1, ..., m ∧ k formeaza o partitie a lui Ω, rezulta urmatoarea relatie

m∧k∑l=0

pl = 1.

Aceasta relatie este echivalenta cu o binecunoscuta relatie din combinatorica,anume

Ckn =

m∧k∑l=0

C lm · Ck−l

n−m .

Verificarea relatiei combinatorice se poate face direct fara a trece prin mo-delul probabilist discutat mai sus. Ideea demonstratiei este ınsa aceeasi siporneste de la clasificarea submultimilor de k elemente din M dupa numarulde elemente din D pe care le contin.

2.4.2 Numararea tuturor posibilitatilor

Uneori complexitatea unei probleme de calculul probabilitatilor provine dindificultatea numararii cazurilor ce corespund unui anumit eveniment. Ilustramaceasta dificultate cu urmatorul exemplu.

Exemplu. Se arunca 6 zaruri. Care este probabilitatea ca sa se obtina treiperechi de numere distincte?

Solutie. Notam cu M = 1, 2, 3, 4, 5, 6multimea rezultatelor (sau fetelor)ce pot iesi dupa aruncarea unui zar. Spatiul tuturor posibilitatilor pentru

2.4. EXEMPLE 33

experimentul nostru este constituit din toate secventele ordonate de tipul

(x1, x2, x3, x4, x5, x6) ,

ın care xi indica rezultatul ce a iesit la aruncarea i. Este acelasi ca la ex-tragerile dintr-o urna cu 6 bile, cu ıntoarcere, ın serii de cate 6 :

Ω = (x1, x2, x3, x4, x5, x6) / xi ∈ M .

Toate rezultatele posibile au sanse egale de realizare, pentru aceleasi motiveca si ın cazul extragerii din urna. Cum cardinalul multimii Ω este 66, avemdeterminata probabilitatea care modeleaza problema.

Sa vedem cate puncte din Ω fac sa apara perechi cu rezultatele 1, 2, 3.Pentru aceasta numaratoare, este util sa schimbam punctul de vedere si savedem aceste cifre ca pe niste culori: c1, c2, c3. Punctele din Ω care suntformate cu perechi purtand cifrele 1, 2, 3 sunt vazute atunci ca secvente deculori ın care punem ın sir 6 bile, din care 2 au culoarea c1, 2 au culoareac2 si 2 au culoarea c3. Aplicand formula combinarilor cu repetitie obtinemnumarul ce-l cautam: 6!

2!2!2!= 90.

Mai departe, sa observam ca, pentru fiecare submultime G = x, y, z ⊂M de trei elemente, se obtine o submultime Λ (G) ⊂ Ω formata cu perechide elemente din G :

Λ (G) = (x1, x2, x3, x4, x5, x6) /

card i/xi = x = 2, card i/xi = y = 2, card i/xi = z = 2 .

Argumentul anterior ne spune ca Λ (G) are 90 de puncte. Pe de alta parte,pentru doua multimi de trei elemente distincte, G = G′, se obtin multimi dinΩ disjuncte, cu alte cuvinte avem Λ (G)∩Λ (G′) = ∅. Numarul submultimilorde trei elemente din M este C3

6 = 20. Atunci putem trage concluzia ca ın totalavem 20 × 90 = 1800 de posibilitati de a obtine cate trei perechi distincte.Probabilitatea ce o cautam este

1800

66=

25

648= 0, 038.

2.4.3 Problema potrivirilor

Exemplul 1. O persoana pretinde a avea simturi paranormale care ıi per-mit sa poata simti culorile fara sa vada obiectele colorate. Pentru a se dovedi


aceste calitati, se face urmatorul experiment. Se iau 4 cartoane colorate,fiecare de alta culoare, si se pun ıntr-o palarie. Persoana respectiva treceın camera alaturata si altcineva extrage pe rand cartoanele din palarie. Dincamera alaturata persoana cu pretinsele calitati paranormale trebuie sa spunaın ordine ce culori au fost extrase. Care este probabilitatea ca un singurraspuns sa fie exact, daca raspunsurile se dau prin hazard? Care este probabi-litatea ca numai doua raspunsuri sa fie exacte, daca ele se dau la ıntamplare?Care este probabilitatea ca toate raspunsurile sa fie exacte, cand ele se dauprin hazard?

Solutie. Experimentul extragerii celor 4 cartoane din palarie este completanalog extragerii fara ıntoarcere a 4 bile dintr-o urna ce are initial exact 4bile. Iar daca raspunsurile sunt date la ıntamplare, aceasta revine de faptla a repeta extragerea fara ıntoarcere cu cele 4 bile. Sa notam c1, c2, c3, c4,culorile extrase din palarie. Fiecare serie de alte 4 extrageri corespunde uneipermutari a acestor patru culori si toate au sanse egale. In total sunt 4! = 24de posibilitati si probabilitatea ca sa fie date toate raspunsurile corect esteprobabilitatea permutarii identice (c1, c2, c3, c4) , ce este egala cu 1

24.

Sa stabilim care este probabilitatea ca un singur raspuns sa fie exact.Pentru aceasta vom analiza mai ıntai cazul acelori permutari care lasa numaiculoarea c1 pe loc. Acestea sunt descrise de pozitiile celorlalte culori, carepot fi listate astfel

c2, c3, c4 c2, c4, c3 c3, c2, c4 c3, c4, c2 c4, c2, c3 c4, c3, c2

Se vede ca numai doua, si anume a patra si a cincea schimba toate elementeleprimei ordonari a culorilor (ce corespunde extragerii din palarie). Deci existaexact doua permutari ce schimba locul fiecareia din ultimele trei culori silasa pe loc prima culoare. La fel se poate repeta rationamentul tinand peloc fiecare din culorile c2, c3 sau c4. In felul acesta se obtine numarul total alpermutarilor ce pastreaza pe loc exact o culoare, care este egal cu 4× 2 = 8.Probabilitatea ca prin hazard sa se dea raspuns corect la o singura ıntrebareeste deci 8

24.

Sa vedem acum cate permutari se pot face cu cele patru culori astfel cadoua sa ramana pe loc iar celelalte doua sa schimbe locul. De exemplu, sazicem ca c1 si c2 raman pe loc. Atunci neaparat c3 si c4 schimba locul unacu alta, adica singura permutare posibila ın acest fel este (c1, c2, c4, c3) . Dacanumaram posibilitatile ın care putem fixa doua din culori, gasim ca acesteasunt ın numar de C2

4 = 6. Deci exista 6 permutari ce lasa exact doua culori pe

2.4. EXEMPLE 35

loc. Rezulta ca probabilitatea ca exact doua raspunsuri date la ıntamplaresa fie corecte este de 6

24.

Daca trei dintre culorile unei permutari a celor 4 culori sunt lasate pe loc,atunci neaparat si cea de a patra culoare trebuie sa ramana neschimbata,deci permutarea ın cauza este permutarea identica. Rezulta ca permutarilecare schimba locul tuturor culorilor ın acelasi timp sunt ın numar de 24−1−8− 6 = 9. Putem concluziona ca probabilitatea ca toate raspunsurile date laıntamplare sa fie eronate este de numai 9

24= 0, 375.

Exemplul 2. Doua randuri de carti de joc sunt amestecate fiecare separat,dupa care sunt puse pe masa ın perechi, o carte dintr-un pachet alaturi de ocarte din celalalt pachet. Se formeaza ın acest fel 52 de perechi. Care esteprobabilitatea ca cel putin una din perechi sa contina doua carti identice?

Solutie. Este o problema de acelasi tip cu cea anterioara. Spatiul tuturorposibilitatilor este modelat de multimea permutarilor ce se pot face cu 52 deobiecte. Problema revine la determinarea numarului de permutari care nulasa nici un element pe locul sau. Numarul 52 fiind mare ın raport cu genulde calcule implicate ın solutia anterioara, nu putem repeta rationamentul deacolo. Vom da o solutie bazata pe egalitatea lui Poincare demonstrata maijos.

Vom ınlocui cifra 52 cu litera n pentru a face problema mai generala.Din punctul de vedere al rationamentului nu se va produce nici o complicatie.Deci ın continuare vom presupune ca avem o multime formata din n elementesi cautam permutarile (ce se pot face cu aceste elemente) cu proprietatea canici un element nu este lasat invariant.

Fie M = x1, x2, ..., xn multimea noastra cu n elemente. Multimea tu-turor permutarilor este descrisa astfel:

Ω = (xi1 , xi2 , ..., xin) ∈ Mn/ xil = xik , ∀l = k .

Numarul elementelor din Ω este n!. Mai ıntai vom analiza multimile de per-mutari care lasa pe loc un element. Fie Aj multimea permutarilor ce lasa peloc elementul xj :

Aj =(xi1 , xi2 , ..., xin) ∈ Ω/ xij = xj

.

Multimea permutarilor care lasa cel putin un element pe loc este reuniunea⋃nj=1 Aj . Multimea permutarilor care nu lasa pe loc nici un element al lui


M, este cea care ne intereseaza si o notam cu B. Ea este complementarareuniunii anterioare:

B =

(n⋃

j=1

Aj

)c

.

Prin aplicarea formulei lui Poincare, de mai jos, avem

P (B) = 1 −n∑

i=1

P (Ai) +∑i=j

P (Ai ∩ Aj)−

−∑=i,j,k

P (Ai ∩ Aj ∩ Ak) + ... + (−1)n P

(n⋂

i=1

Ai

).

Dar pentru multimile Aj stim sa calculam probabilitatea: multimea Aj sepune ın corespondenta bijectiva cu multimea permutarilor ce se pot facecu obiectele multimii M\ xj , deci are (n − 1)! elemente. Probabilitatea

este atunci P (Aj) = (n−1)!n!

, pentru fiecare indice j. Pentru doi indici diferitii = j putem calcula la fel numarul elementelor din intersectia Ai ∩ Aj :aceasta multime se pune ın bijectie cu permutarile ce se pot face cu ele-mentele multimii M\ xi, xj , deci are (n − 2)! elemente. Probabilitatea

respectiva este P (Ai ∩ Aj) = (n−2)!n!

. La fel se gaseste si pentru trei indici

diferiti: P (Ai ∩ Aj ∩ Ak) = (n−3)!n!

, etc. La prima suma din formula de maisus participa n termeni, la cea de a doua participa C2

n termeni, la cea de atreia C3

n, etc. Tinand cont de toate acestea putem calcula fiecare termen dinformula de mai sus:

P (B) = 1−n× (n − 1)!

n!+

n!

2! (n − 2)!× (n − 2)!

n!− n!

3! (n − 3)!× (n − 3)!

n!+ ...

+ (−1)n × 1

n!= 1 − 1

1+

1

2!− 1

3!+ ... + (−1)n 1

n!.

Se observa ca dezvoltand functia exponentiala ın serie Taylor ın jurul lui 0si apoi calculand-o ın −1, obtinem seria infinita

exp (−1) = 1 − 1

1+

1

2!− 1

3!+ ... + (−1)n 1

n!...

Rezulta ca putem evalua diferenta e−1 − P (B) cu restul Taylor de ordin nal functiei exp x :

e−1 − P (B) =1

(n + 1)!e−ξ

2.4. EXEMPLE 37

cu un numar ξ ∈ (−1, 0) . Deci P (B) ≈ e−1, cu o eroare de ordinul lui 1(n+1)!

.

Pentru n = 6 avem 17!

= 15040

≤ 0, 0005. Din punct de vedere practic, pentrun ≥ 6 probabilitatea ca sa nu avem coincidente nu depinde de n.

Lema 2.1 (Formula lui Poincare) Fie (Ω,F , P ) un spatiu probabilizat siA1, ..., An evenimente arbitrare. Atunci are loc urmatoarea formula

P

(n⋃

i=1

Ai

)=

n∑i=1

P (Ai) −∑i=j

P (Ai ∩ Aj)+

+∑=i,j,k

P (Ai ∩ Aj ∩ Ak) + ... + (−1)n−1 P

(n⋂

i=1

Ai

).

Demonstratie. Pentru n = 2 formula devine

P (A1 ∪ A2) = P (A1) + P (A2) − P (A1 ∩ A2) .

Verificarea ei se face pornind cu urmatoarele descompuneri ın multimi dis-juncte

A1 = (A1\A2) ∪ (A1 ∩ A2) , A2 = (A2\A1) ∪ (A1 ∩ A2) ,

A1 ∪ A2 = A1 = (A1\A2) ∪ (A2\A1) ∪ (A1 ∩ A2) .

Utilizand aditivitatea masurii de probabilitate se ajunge la concluzia dorita.In continuare se procedeaza prin inductie. Presupunem ca formula esteadevarata pentru n si vom demonstra ca ea este valabila si pentru n + 1.Notam B =

⋃ni=1 Ai si scriem

P

(n+1⋃i=1

Ai

)= P (An+1) + P (B) − P (An+1 ∩ B) =

=n+1∑i=1

P (Ai) −≤n∑i=j

P (Ai ∩ Aj) +

≤n∑=i,j,k

P (Ai ∩ Aj ∩ Ak) + ...

+ (−1)n−1 P

(n⋂

i=1

Ai

)− P (An+1 ∩ B) . (∗)


Ultimul termen din aceasta expresie se exprima din nou prin utilizarea for-mulei Poincare cu n multimi:

P (An+1 ∩ B) = P

(n⋃

i=1

(An+1 ∩ Ai)

)=

=n∑

i=1

P (An+1 ∩ Ai) −≤n∑i=j

P (An+1 ∩ Ai ∩ Aj) + ... + (−1)n−1 P

(n+1⋂i=1

Ai

).

Tinand cont de relatiile

≤n∑i=j

P (Ai ∩ Aj) +n∑

i=1

P (An+1 ∩ Ai) =

≤n+1∑i=j

P (Ai ∩ Aj) ,

≤n∑=i,j,k

P (Ai ∩ Aj ∩ Ak) +

≤n∑i=j

P (An+1 ∩ Ai ∩ Aj) =

≤n+1∑=i,j,k

P (Ai ∩ Aj ∩ Ak) ,

si asa mai departe ..., rezulta ca partea dreapta a egalitatii (*) devine

=

n+1∑i=1

P (Ai)−≤n+1∑i=j

P (Ai ∩ Aj)+

≤n+1∑=i,j,k

P (Ai ∩ Aj ∩ Ak)+...+(−1)n P

(n+1⋂i=1

Ai

),

care este exact membrul drept al formulei ce dorim sa probam cu n + 1.

2.4.4 Problema cu zilele de nastere

Ne propunem sa calculam probabilitatea ca dintr-un grup de n persoane,aflate ımpreuna ıntamplator, toate sa aiba zile de nastere diferite. Vomarata ca pentru n = 23 aceasta probabilitate devine mai mica decat 0, 5.

Solutie. Pentru a modela probabilistic problema facem o comparatie azilei de nastere pe care o are o persoana cu extragerea din urna cu 365 debile. Pentru n persoane va corespunde o serie de n extrageri din urna curevenire. (Vezi exemplul 3. din paragraful despre repartitia unei variabilepentru o discutie mai riguroasa a modelarii, care ınsa conduce la aceeasiformula.) Definim spatiul M = 1, 2, ..., 365 constand din numerele de la 1la 365 si reprezentand zilele anului. Multimea ce descrie toate posibilitatileeste

Ω = ω = (x1, ..., xn) | xi ∈ E , i = 1, ..., n = En.

2.4. EXEMPLE 39

Avem card (Ω) = 365n si definim o probabilitate pe Ω care sa faca echipro-babile toate evenimentele elementare, deci punem

P (ω) =1

365n.

Multimea care ne intereseaza o notam cu Λ si consta din evenimentele ele-mentare pentru care toate componentele sunt distincte:

Λ = ω = (x1, ..., xn) ∈ Ω | xi = xj , ∀ i = j .

Bineınteles ca trebuie sa presupunem n ≤ 365 pentru ca Λ sa nu fie vida.Multimea Λ are un numar de An

365 elemente. Atunci putem exprima proba-bilitatea

P (Λ) =365 (365 − 1) ... (365 − n + 1)

365n.

Calculul exact al acestei probabilitati pentru toate valorile n = 1, ..., 365 sepoate face utilizand calculatorul. Mai jos vom face o estimare suficient defina a acestei probabilitati astfel ıncat sa putem stabili ca pentru n = 22probabilitatea ın cauza este mai mare decat 0, 5, iar pentru n = 23 aceaprobabilitate este mai mica decat 0, 5.

2.4.5 Produsul mai multor numere apropiate de uni-tate

In teoria probabilitatilor apare de multe ori problema evaluarii unor produsecu multi termeni din intervalul (0, 1) . De exemplu probabilitatea intersectieimai multor evenimente independente conduce la un astfel de produs. Uneoriaceste produse pot fi estimate cu precizie utilizand urmatoarea lema. Vomavea prilejul de a utiliza aceasta lema si cu alte ocazii.

Lema 2.2 Daca α1, ..., αn ∈ (−1, 1) , atunci au loc estimarile

exp

(n∑

k=1

αk

)exp

(−

n∑k=1

α2k

1 + αk

)≤

n∏k=1

(1 + αk) ≤ exp

(n∑

k=1

αk

), (∗)

exp

(n∑

k=1

αk

)−

n∏k=1

(1 + αk) ≤(

n∑k=1

α2k

1 + αk

)exp

(n∑

k=1

αk

). (∗∗)


Demonstratie. Incepem prin a scrie 1 + αk = exp (ln (1 + αk)) , dupacare aplicam a doua inegalitate de la punctul (i) al lemei de mai jos, obtinand1 + αk ≤ exp αk. De aici se deduce a doua inegalitate din (*).

A doua inegalitate de la punctul (ii) al lemei de mai jos ne da αk −ln (1 + αk) ≤ α2

k

1+αk, inegalitate care se mai scrie αk − α2

k

1+αk≤ ln (1 + αk) .

Prin sumare dupa k urmata de aplicarea functiei exponentiale, obtinem primainegalitate din (*).

Inegalitatea (**) se obtine din (*), prin utilizarea inegalitatii (iii) dinlema de jos.

Lema 2.3 Au loc urmatoarele inegalitati:(i) x

1+x≤ ln (1 + x) ≤ x, pentru x > −1,

(ii) 0 ≤ x − ln (1 + x) ≤ x2

1+x, pentru x > −1,

(iii) x ≤ ex − 1, pentru x ∈ R.

Demonstratie. (i) Pentru a verifica inegalitatea din dreapta notamf (x) = x− ln (1 + x). Avem f (0) = 0 si f

′(x) = 1− 1

1+x. Daca x ≥ 0 avem

f′(x) ≥ 0, deci functia este crescatoare si vom avea 0 = f (0) ≤ f (x) . Daca

x ≤ 0, avem f′(x) ≤ 0, ceea ce arata ca f este descrescatoare si prin urmare

f (x) ≤ f (0) = 0. Inegalitatea din stanga se demonstreaza asemanator prinstudiul functiei f (x) = ln (1 + x) − x

1+x.

Inegalitatea (ii) se deduce imediat din (i) . Inegalitatea (iii) se verificasimilar prin studiul functiei h (x) = ex − x − 1.

Mai departe ne vom ocupa cu estimarea functiei definita prin produsul

f (n) =

(1 − 1

365

)...

(1 − n − 1

365

),

care reprezinta probabilitatea cautata ın problema zilelor de nastere. Vomaplica acestui produs lema 2.2 de mai sus. A doua inegalitate din (∗) da ıncazul nostru

f (n) ≤ exp−n−1∑k=1

k

365= exp

− (n − 1)n

730.

Vom nota g (n) = exp− (n−1)n730

astfel ca inegalitatea anterioara se scrie f (n) ≤g (n) . Inegalitatea (**) conduce la

g (n) − f (n) ≤ g (n)

n−1∑k=1

k2

365

1

365 − k.

2.5. EXERCITII 41

Suma din membrul drept se majoreaza prin

n−1∑k=1

k2

365

1

365 − k≤ n (n − 1) (2n − 1)

6 × 365 × (365 − n)=: rn,

ceea ce permite sa deducem

g (n) − f (n) ≤ g (n) rn.

Calculam g (22) = 0, 531 si g (22) r22 = 0, 01404, ceea ce conduce la f (22) ≥0, 51. In continuare calculam g (23) = 0, 49999, ceea ce implica f (23) ≤0, 49999.

2.5 Exercitii

Exercitiul 2.1 Un pion este pus pe pozitia A ın sirul de litere de mai jos.

A B C D E

Se arunca cu banul de 4 ori la rand si dupa fiecare aruncare se actioneazaasupra pionului ın felul urmator: daca iese cifra, acesta se muta cu o pozitiela dreapta; daca iese stema, ramane pe loc. Sa se afle probabilitatea ca pionulsa: 1) ramana ın pozitia A, 2) depaseasca B, 3) ajunga ın pozitia E.

Exercitiul 2.2 Intr-o familie 4 fete se ocupa de spalatul vaselor pe rand.Intr-o anumita perioada de timp s-au spart 4 farfurii, dintre care 3 le-a spartmezina. Ea spune ca ıntamplarea a facut sa se nimereasca la ea aceste inci-dente. Presupunand ca incidentele se produc aleator, care este probabilitateaca sa se nimereasca 3 la una din cele 4 fete.

Exercitiul 2.3 Aruncam cu un zar pana cand iese de doua ori la randaceeasi fata. Notam cu pn probabilitatea ca acest lucru sa se petreaca exactdupa n aruncari. Sa se determine o formula pentru pn. Sa se determine sumap2 + ... + p10.

Exercitiul 2.4 Jucatorul A arunca cu patru zaruri si castiga un premiudaca obtine cel putin un as. Jucatorul B arunca de 24 de ori cu doua zarurisi castiga un premiu daca obtine la cel putin una din aruncari o dubla de asi.Care din jucatori are mai multe sanse de a castiga? (Problema cunoscutasub numele de problema lui Mere).


Exercitiul 2.5 Jucatorul A arunca de 6 ori cu un zar si castiga un premiudaca obtine cel putin un as. Jucatorul B arunca de 12 ori cu zarul si castigaun premiu daca obtine cel putin doi asi. Care din jucatori are probabilitateade a castiga mai mare? (Problema pusa lui Newton, care i-a dat pe loc osolutie.)

Exercitiul 2.6 Intr-o parcare sunt 12 locuri asezate unul langa altul ın linie.8 dintre aceste locuri sunt ocupate, iar 4 sunt libere. Cineva observa ca cele4 locuri libere sunt unul langa celalalt si ısi pune ıntrebarea daca aceasta esteo ıntamplare. Care este probabilitatea ca 4 din 12 pozitii aflate ın linie sa fieconsecutive?

Exercitiul 2.7 Un profesor primeste 12 bilete de amenda pentru parcarepe trotuar langa Universitate. Daca toate biletele sunt primite martea saujoia, se poate trage concluzia ca profesorul vine numai ın zilele respectivecu masina la universitate? Care este probabilitatea ca din 12 evenimente,petrecute ıntamplator ın oricare din 5 zile, sa se nimereasca toate ın numai2 zile?

Exercitiul 2.8 Din 12 bilete de amenda pentru parcare pe trotuar nici unulnu este dat vinerea. Se poate trage concluzia, din aceasta informatie, cavinerea nu sunt probleme cu parcarea?

Exercitiul 2.9 15 elevi nou sositi ıntr-o scoala sunt repartizati ın mod egalın 3 clase paralele. Printre noii veniti se afla si trei baieti mai ınalti. Eiprezinta interes pentru echipele de baschet ale celor trei clase. De aceea sepune urmatoarea problema. Presupunand ca repartizarea lor se face aleator,care este probabilitatea ca cei trei elevi ınalti sa nimereasca ın aceeasi clasa?Care este probabilitatea ca ei sa nimereasca ın clase diferite? Dar sa nimereasca2 ın aceeasi clasa si al treilea ın alta clasa?

Exercitiul 2.10 La o usa exista doua broaste. De obicei aveti 6 chei asemanatoareasupra dumneavoastra si printre ele sunt si cele de la usa cu pricina. Ati pier-dut una din cele sase chei, nu se stie care. Ce probabilitate exista ca sa putetitotusi deschide usa respectiva? Care este probabilitatea ca primele doua cheiıncercate sa deschida cele doua broaste?

Capitolul 3

Cateva notiuni de baza

In acest capitol vom prezenta cateva din notiunile de baza din teoria proba-bilitatilor care iau ın considerare numai un numar finit de evenimente. Elepot fi discutate cu toata semnificatia ın cadrul unui spatiu probabilizat finit.Cele mai multe din exemplele pe care le discutam vor fi tocmai de acesttip. Totusi vom utiliza drept cadru de baza un spatiu probabilizat gene-ral (Ω,F , P ) , pentru a nu fi obligati mai tarziu sa revenim asupra acestornotiuni.

3.1 Probabilitati conditionate

3.1.1 Notiunea de probabilitate conditionata

Fiind dat spatiul probabilizat (Ω,F , P ) si multimea A ∈ F astfel ca P (A) >0, vom nota

P (B/A) =P (B ∩ A)

P (A),

pentru orice multime B ∈ F si vom denumi aceasta expresie probabilitatealui B conditionata de A. Se verifica usor ca B → P (B/A) este o masura deprobabilitate pe (Ω,F) si ca P (Ac/A) = 0, P (A/A) = 1, deci P (·/A) estesuportata de A. Urmatoarele exemple dau o idee despre semnificatia acesteidefinitii.

Exemplu. Sa presupunem ca ıntr-o sala de curs se afla un numar 60 destudenti dintre care 35 de fete si 25 de baieti. Presupunem ca 10 dintre fete

43

44 CAPITOLUL 3. CATEVA NOTIUNI DE BAZA

si 10 dintre baieti au ınaltimea mai mare de 1,70. Se alege la ıntamplarenumele unui student. Sa se determine:

a) probabilitatea ca persoana al carei nume a fost ales la ıntamplare dincatalog sa fie mai ınalta de 1,70.

b) probabilitatea ca o studenta sa fie mai ınalta de 1,70.c) probabilitatea ca un student baiat sa fie mai ınalt de 1,70.Solutie. Vom nota cu Ω multimea tuturor studentilor, cu A multimea

fetelor, iar cu B multimea studentilor de ınaltime mai mare ca 1,70. Pro-babilitatea este data de P (ω) = 1

cardΩ, adica este probabilitatea ce acorda

aceasi valoare fiecarui individ.a) Avem P (B) = 10

60= 0, 166.

b) Avem de calculat probabilitatea conditionata P (B/A) = P (B∩A)P (A)

=1035

= 0, 285.

c) Calculam probabilitatea conditionata P (B/Ac) = P (B∩Ac)P (Ac)

= 1025

=0, 4.

Un model din actuariat.

Pentru a modela probabilistic statistica varstei de deces a unui grup de in-divizi (este vorba de o colectivitate mare, de ordinul unei tari de exemplu)se considera o masura de probabilitate P pe intervalul de timp [0, 100], cuunitatea de masura 1 an. Probabilitatea de deces ın intervalul (s, t) esteexprimata printr-o formula de tipul

P ((s, t)) =

t∫s

α (r) dr,

unde α (r) este o functie de densitate (sau de intensitate a deceselor). Altfelspus, numarul P ((s, t)) reprezinta raportul dintre numarul deceselor petre-cute ıntre varsta de s ani si varsta de t ani fata de numarul total de decese.Adica raportat la numarul total al indivizilor din populatia luata ın conside-rare, pentru ca se presupune ca nici unul nu traieste mai mult de o suta deani. Functia α are o expresie analitica ce se determina prin metode specialedupa analiza datelor statistice ınregistrate oficial.

Pentru a face calcule, ın continuare vom considera urmatoarea expresiesimplificata pentru densitate:

α (s) = 3 · 10−9s2 (100 − s)2 , s ∈ (0, 100) .

3.1. PROBABILITATI CONDITIONATE 45

0

0.01

0.02

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Figura 3.1: Graficul functiei α.

Se verifica faptul ca aceasta functie conduce la o probabilitate:

100∫0

α (s) ds = 1.

Graficul functiei α arata cum se vede ın figura 3.1. Este un grafic ın formade farfurie, care desigur nu are decat o asemanare aproximativa cu situatiilereale.

Vom nota cu A evenimentul deceselor ıntre 60 si 70 de ani. Probabilitateaacestui eveniment se poate calcula exact, daca utilizam formula anterioarapentru α,

P (A) = P ((60, 70)) =

70∫60

α (s) ds = 0, 154.

Aceasta valoare reprezinta raportul dintre numarul deceselor ce au loc ıntre60 si 70 de ani si numarul total al deceselor. Daca notam cu B evenimentuldeceselor peste 60 de ani putem calcula probabilitatea

P (B) =

100∫60

α (s) ds = 0, 316,

dupa care putem calcula si probabilitatea conditionata

P (A/B) =P (A)

P (B)=

0, 154

0, 316= 0, 486.

Acest numar reprezinta raportul dintre numarul deceselor ıntre 60 si 70 sinumarul deceselor peste 60 de ani. Dupa cum se vede, cele doua numere ausemnificatie si valori diferite: P (A) = P (A/B) .


3.1.2 Formula lui Bayes

Vom examina mai ıntai un exemplu.

Extragerea din trei urne. Presupunem ca trei urne continand bile seafla pe o masa: prima urna contine o bila alba si o bila neagra; a doua urnacontine doua bile albe si una neagra; a treia urna contine trei bile albe si unaneagra. Aspectul exterior al urnelor este identic si nu se vede continutul lor.(In figura alaturata am desenat totusi si bilele, ın mod schematic, pentru avizualiza experimentul.)

Figura 3.2: Cele trei urne cu bile.

Se alege la ıntamplare o urna si se extrage o bila din ea. Stiind ca bilaextrasa este alba, ne punem problema de a determina probabilitatea ca bilasa fi fost extrasa din urna a treia.

Solutie.Pentru a modela aceasta problema vom considera multimea Ω cafiind dreptunghiul mare desenat ın figura 3.3.

Pentru diverse submultimi D ⊂ Ω consideram masura de probabilitatedata de P (D) = ariaD

ariaΩ. Acest dreptunghi este ımpartit ın trei dreptunghiuri

de arii egale B1, B2, B3, care corespund evenimentelor ”urna aleasa a fosturna i”, i = 1, 2, 3. Avem P (Bi) = 1

3, i = 1, 2, 3. Fiecare din aceste multimi

va fi ımpartita ın doua submultimi: Bi = Ni∪Ai, unde Ni corespunde eveni-mentului ”din urna i s-a extras o bila neagra” si Ai corespunde evenimentului


A1 A2 A3

N2 N3

N1

B1 B2 B3

Figura 3.3: Un model corespunztor celor trei urne.

”din urna i s-a exras o bila alba”. Trebuie sa avem

P (A1) = P (N1) ,P (A2) = 2P (N2) ,P (A3) = 3P (N3) ,

pentru a reflecta raportul dintre bilele albe si cele negre din fiecare urna.Acest raport se traduce ın sansele corespunzatoare extragerii unei bile albesau negre. Atunci putem calcula precis

P (A1) =1

3

1

2=

1

6, P (A2) =

1

3

2

3=

2

9, P (A3) =

1

3

3

4=

1

4.

Rezulta ca, notand A evenimentul ”s-a extras o bila alba”, vom aveaA = A1∪A2∪A3 si P (A) = P (A1)+P (A2)+P (A3) = 1

6+ 2

9+ 1

4= 6+8+9

36= 23

36.

Atunci raspunsul la problema pusa este

P (A3 | A) =P (A3)

P (A)=

142336

=9

23.


Observatia 3.1 In modelul construit, nu am pus ın evidenta explicit σ−algebraF . Ar putea fi B (Ω), familia partilor boreliene din patratul Ω. Dar pen-tru nevoile stricte ale problemei noastre putem, la fel de bine, defini F =a (A1, N1, A2, N2, A3, N3), algebra de parti generata de partitia lui Ω formatadin multimile A1, N1, A2,N2,A3,N3. Strict vorbind, noi am neglijat a pre-ciza cui apartine fiecare frontiera de multime. O data ce avem imaginea,am putea sa schimbam putin definitia multimilor ın felul urmator: definimA1, N1, A2, N2, A3, N3 drept multimile deschise ın plan, reprezentate ın figura,fara frontiere. Apoi definim Ω drept reuniunea acestor multimi.

Formula lui Bayes. Problema anterioara a pus ın evidenta urmatoareasituatie: spatiul Ω este ımpartit ın trei multimi disjuncte Ω = B1 ∪ B2 ∪ B3

ale caror probabilitati sunt cunoscute. Pentru o multime A ⊂ Ω se stiuprobabilitatile P (A | Bi), i = 1, 2, 3. Se cere a se determina P (B3 | A). Intr-un cadru general, aceasta problema capata raspuns prin asa numita formulaa lui Bayes cuprinsa ın lema care urmeaza.

Lema 3.1 Fie (Ω,F , P ) un spatiu probabilizat si B1, ..., Bn ⊂ F o partitiea lui Ω, astfel ca P (Bi) > 0, pentru orice i = 1, ..., n. Daca A ∈ F este omultime astfel ıncat P (A) > 0, atunci are loc formula

P (Bi | A) =P (A | Bi) P (Bi)

n∑j=1

P (Bj)P (A | Bj).

Demonstratie. Este suficient sa constatam ca numaratorul si numi-torul din partea dreapta reprezinta urmatoarele probabilitati:

P (A ∩ Bi) = P (A | Bi)P (Bi) ,

P (A) =n∑

j=1

P (A ∩ Bj) =n∑

j=1

P (Bj) P (A | Bj) .

Un exemplu din medicina. Se stie ca 1% din persoanele dintr-un grupsufera de o anumita boala. Exista un test de analiza a sangelui care este sem-nificativ pentru boala respectiva dand urmatoarele rezultate: aplicat unorbolnavi, 95% dintre ei obtin rezultatul pozitiv, iar aplicat unor persoanesanatoase, numai 2% din ele obtin rezultatul pozitiv.


10 Presupunem ca toti indivizii din grupul dat ar fi supusi testului. Sepune problema de a se determina probabilitatea ca un individ gasit pozitivın urma testului sa fie ıntr-adevar bolnav.

20 Presupunem ca doctorul face ın prealabil o examinare a pacientilor sisepara un alt grup dintre care 30% sunt bolnavi. Se supun testului persoaneledin acest grup si se cere sa se determine probabilitatea ca o persoana ce iesepozitiv la test, sa fie ıntr-adevar bolnava.

Solutie. 10 Vom aplica formula lui Bayes. Consideram spatiul probabilizat(Ω,F , P ) ın care Ω reprezinta multimea tuturor indivizilor din grup. Notamcu B1 multimea indivizilor sanatosi si cu B2 multimea indivizilor bolnavi.Aceste doua multimi formeaza o partitie a lui Ω si cunoastem ca P (B1) =0, 99 si P (B2) = 0, 01. Notam apoi cu A multimea indivizilor ce obtin testulpozitiv. Avem P (A | B1) = 0, 02 si P (A | B2) = 0, 95. Formula lui Bayes neda

P (B2 | A) = P (A|B2)·P (B2)P (B1)P (A|B1)+P (B2)P (A|B2)

=

= 0,95·0,010,99·0,02+0,01·0,95

= 95198+95

= 0, 32.

Dupa cum se vede testul nu are relevanta ın contextul dat.

B1

B2

A

Figura 3.4: Cazul 10.

20 Pentru analiza grupului selectat de medic se construieste un modelsimilar celui anterior. De data aceasta vom avea P (B1) = 0, 70 si P (B2) =0, 30. Testul fiind acelasi avem ın continuare P (A | B1) = 0, 02 si P (A | B2) =


B1A

B2

Figura 3.5: Cazul 20.

0, 95. De data aceasta rezultatul este

P (B2 | A) =0, 95 · 0, 30

0, 70 · 0, 02 + 0, 30 · 0, 95=

285

14 + 285= 0, 953.

In aceste conditii testul este semnificativ si poate ajuta la diagnosticareabolnavilor.

Pentru a ıntelege de ce ın cazul 10 nu este relevant testul, am reprezen-tat multimea Ω prin dreptunghiul mare din figura 3.4. Multimea B2 estereprezentata de triunghiul din coltul de sus stanga. Ea este despartita demultimea B1, ce constitue restul dreptunghiului printr-o linie. Multimea Aeste reprezentata de dreptunghiul mic, cenusiu. Ariile acestor mltimi suntproportionale cu probabilitatile lor. Multimea B2 reprezinta 1

100din dreptun-

ghiul mare iar multimea A ∩ B1 reprezinta 2100

· 99100

≈ 2100

din dreptunghiulmare. Deci aria lui A ∩ B1 este de doua ori mai mare ca aria lui B2. Cumse vede din figura, cea mai mare parte a multimii A se afla inclusa ın B1.Aceasta reflecta faptul ca printre persoanele ce obtin un rezultat pozitiv latest, cei mai multi sunt sanatosi.

In cazul 20 multimea B2 fiind mult mai mare, rezulta ca si multimeaA ∩ B2, care reprezinta 95% din B2, va fi mare. Deci, de aceasta data ceamai mare parte din multimea A se afla inclusa ın B2. Am reprezentat ın figura3.5 multimea A tot printr-un dreptunghi cenusiu, iar B1, B2 prin trapeze.

3.2. INDEPENDENTA 51

3.2 Independenta

In acest paragraf (Ω,F , P ) va fi un spatiu probabilizat fix.

3.2.1 Independenta a doua evenimente

Definitia 3.1 Vom spune ca doua evenimente A, B ∈ F sunt independentedaca are loc relatia P (A ∩ B) = P (A) P (B).

Se observa ca daca A si B sunt independente atunci putem face calculul

P (A ∩ Bc) = P (A) − P (A ∩ B) = P (A) − P (A)P (B) = P (A)P (Bc) ,

care arata ca A si Bc sunt si ele independente. La fel se deduce ca fiecaredin perechille (Ac, B) si (Ac, Bc) sunt independente.

De asemenea, se verifica usor ca daca una din multimile A, B este neglija-bila atunci ele sunt independente. Tot imediat, se deduce ca daca evenimentulA este independent de el ınsusi, atunci sau P (A) = 1 sau P (A) = 0.

Daca P (A) > 0, atunci relatia de independenta se poate scrie sub formaP (B/A) = P (B). Aceasta este forma utila ın aplicatii. Ea exprima faptulca evenimentul B se petrece cu aceeasi probabilitate ın prezenta lui A ca siın general. Daca sunt satisfacute fiecare din relatiile P (A) > 0, P (Ac) > 0,P (B) > 0, P (Bc) > 0, atunci relatia de independenta se poate scrie ın modsimetric sub fiecare din formele:

P (B/A) = P (B) , P (A/B) = P (A) ,P (B/Ac) = P (B) , P (Ac/B) = P (Ac) ,P (A/Bc) = P (A) , P (Bc/A) = P (Bc) ,

P (Bc/Ac) = P (Bc) , P (Ac/Bc) = P (Ac) .

Exemplul 1. Fie Ω o multime care reprezinta o colectivitate umana maresi pe care introducem probabilitatea sanselor egale P (ω) = 1

cardΩ. Fie A

multimea indivizilor cu ochii albastri si B multimea indivizilor mai ınalti de1,70. O ipoteza pe care simtul comun ne-o sugereaza este ca nu exista nicio legatura ıntre culoarea ochilor si ınaltimea individului. Deci putem scrieca proportia indivizilor mai ınalti de 1,70 printre cei cu ochii albastri esteaceeasi ca ın ansamblul total:

card (B ∩ A)

cardA=

cardB

cardΩ,


adica P (B/A) = P (B) . Cu alte cuvinte, faptul ca nu exista legatura ıntreculoarea ochilor si ınaltime se exprima prin independenta evenimentelor A siB. Daca ipoteza facuta este corecta, relatia aceasta ar trebui sa fie verificatapentru orice colectivitate mare.

Exemplul 2. Intr-o urna se gasesc bilete pe care sunt scrise numere de la1 la 10. Fie n1 numarul de bilete pe care scrie 1, n2 numarul biletelor pe carescrie 2 si asa mai departe, avem numerele n3, ..., n10. Numarul total de bileteeste n = n1 + n2 + ... + n10. Se extrage un bilet din urna, la ıntamplare, sise noteaza numarul sau. Se introduce biletul la loc, se amesteca continutulurnei si se extrage din nou un bilet, al carui numar este notat. Sa determinamprobabilitatea ca numerele iesite ın urma experimentului sa fie (1, 2), priviteca o pereche ordonata. Sa se construiasca un model probabilist care sa descriefenomenul.

Solutie. Observam mai ıntai ca avem de a face cu un model de douaextrageri din urna cu revenire. Dorim ınsa aici sa discutam acest experimentdin punctul de vedere al independentei celor doua extrageri. De aceea nuapelam la modelul urnei ci vom construi altul pe baza analizei fenomenuluide independenta.

Este evident, din punct de vedere logic, ca nu exista nici o legatura ıntrerezultatul primei extrageri si rezultatul celei de a doua extrageri. Mai ıntaivom presupune ca a fost construit un spatiu probabilizat (Ω,F , P ) care mod-eleaza multimea tuturor rezultatelor posibile. Daca A reprezinta evenimentul,, la prima extragere a iesit numarul 1”, iar B evenimentul ,, la a doua ex-tragere a iesit 2”, este clar ca evenimentul B nu este influentat de rezultatulprimei extrageri. Asadar trebuie sa avem P (B/A) = P (B) , care semnificaindependenta, sau echivalent, P (A ∩ B) = P (A)P (B) . Pe de alta parte,trebuie sa avem P (A) = n1

nsi P (B) = n2

n. Evenimentul care ne intereseaza

este A ∩ B, iar probabilitatea sa este atunci

P (A ∩ B) = P (A) P (B) =n1

n· n2

n=

n1n2

n2.

Trecem acum la construirea modelului probabilist bazandu-ne pe aceastaconstatare. Pentru a construi un spatiu probabilizat corespunzator experi-mentului nostru pornim de la observatia ca ceea ce conteaza sunt cele douanumere notate. Deci multimea rezultatelor posibile pentru experiment estedescrisa de multimea perechilor (i, j) de numere ce sunt notate ın urma ex-tragerilor. Vom nota atunci E = 1, 2, ..., 10 si Ω = E×E = (i, j) | i, j ∈ E ,


care este multimea perechilor de numere ce pot fi obtinute ca rezultat al ex-perimentului. Multimea Ω are 10 × 10 = 100 elemente.

Pentru fiecare i ∈ E notam Ai = (i, j) | j ∈ E si Bi = (j, i) | j ∈ E.Multimea Ai descrie toate rezultatele experimentului ın care prima extragereare rezultatul i, iar Bi descrie toate rezultatele experimentului ın care a douaextragere are rezultatul i. Este clar ca frecventa de realizare a evenimentuluii este ni

n, adica frecventa cu care se extrage un bilet cu numarul i din urna;

deci P (Ai) trebuie sa fie ni

n. In mod similar, trebuie ca P (Bi) = ni

n.

Pe de alta parte, la fel ca ın prima parte a discutiei noastre, ajungemla concluzia ca pentru orice pereche i, j ∈ E evenimentele Ai si Bj suntindependente. Deoarece (i, j) = Ai ∩ Bj, rezulta ca trebuie sa avem

P ((i, j)) = P (Ai)P (Bj) =ninj

n2.

Definim atunci probabilitatea P pentru multimile formate dintr-un punctprin formula

P ((i, j)) =ninj

n2, i, j ∈ E.

Pentru o multime arbitrara C ⊂ Ω vom avea

P (C) =∑ω∈C

P (ω) =∑

(i,j)∈C

ninj

n2.

Se verifica acum ca multimile Ai si Bi au ın urma acestei definitii exactprobabilitatea dorita:

P (Ai) =∑j∈E

P ((i, j)) =∑j∈E

ninj

n2 = ni

n2

(∑j∈E

nj

)= ni

n.

P (Bi) =∑j∈E

P ((j, i)) = ... = ni

n.

Este clar ca acest mod de a defini probabilitatea P asigura si verificareaindependentei fiecarui eveniment Ai fata de un eveniment Bj.

Sa vedem acum la ce rezultate ajungem cu modelul bazat pe extrageriledin urna. Este vorba despre o urna ce contine n bilete din care se fac doua ex-trageri cu ıntoarcera biletului dupa fiecare extragere. Modelul ce se impuneconform paragrafului despre schema bilei ıntoarse este Ω′ = M × M pen-tru spatiul tuturor posibilitatilor, cu M = 1, ..., n reprezentand multimeabiletelor. Multimea Ω′ are n2 puncte si probabilitatea ce se impune pentru


acest model acorda sanse egale fiecarui punct, adica P ′ ((k, l)) = 1n2 pen-

tru orice punct (k, l) ∈ Ω′. Daca notam cu D1, D2, ..., D10 multimile biletelorcu numarul 1, respectiv 2, ..., 10, obtinem o partitie a multimii M. Stimca multimea Di contine ni elemente. Evenimentul ,,la prima extragere aiesit numarul i ” este modelat de multimea Ai = (k, l) /k ∈ Di, l ∈ M .Deoarece aceasta multime contine ni ×n elemente vom avea P ′ (Ai) = nin

n2 =ni

n. Evenimentul ,,la a doua extragere a iesit numarul i ” este modelat de

Bi = (k, l) /k ∈ M, l ∈ Di si avem P ′ (Bi) = ni

n. In acest model eveni-

mentul ,,la prima extragere a iesit numarul i, iar la a doua a iesit numarulj ” nu mai este un eveniment elementar ci este reprezentat de multimeaAi ∩ Bj = (k, l) /k ∈ Di, l ∈ Dj , care are ni × nj elemente si prin urmareP ′ (Ai ∩ Bj) =

ninj

n2 . Constatam ca ramane adevarata relatia de independentasi ın acest model:

P ′ (Ai ∩ Bj) = P ′ (Ai)P ′ (Bj) .

Mai mult, se poate arata ca cele doua modele sunt echivalente ıntr-unanume sens. Pentru a pune ın evidenta acest lucru vom nota Λi,j = Ai ∩ Bj

obtinand o partitie a lui Ω′,A = Λi,j/i, j = 1, ..., 10 si definim o aplicatiede la spatiul celui de al doilea model cu valori ın spatiul primului modelF : Ω′ → Ω, ın felul urmator: daca (k, l) ∈ Λi,j punem F (k, l) = (i, j) .(Aceasta aplicatie este constanta pe multimile de tipul Λi,j si de fapt, puneın bijectie partitia A cu multimea Ω.) Probabilitatile P, P ′ sunt legate unade alta prin F ın felul urmator:

P ((i, j)) = P ′ (Λi,j) = P ′ (F−1 (i, j)).

Din aceasta relatie se deduce una mai generala

P (A) = P ′ (F−1 (A)), ∀A ⊂ Ω,

care arata ca probailitatea P este complet determinata de probabilitatea P ′

prin transportarea multimilor cu functia F inversata. Aceasta da un senstermenului de modele echivalente pe care l-am folosit mai devreme.

3.2.2 Independenta mai multor evenimente

Definitia 3.2 Fiind data o familie (Ai)i∈I de evenimente din F , vom spuneca ele sunt independente daca este satisfacuta relatia

P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ ...Ain) = P (Ai1) P (Ai2) ...P (Ain) ,

pentru orice familie finita i1, i2, ..., in ⊂ I.


Se observa ca evenimentele oricarei subfamilii (Ai)i∈J , unde J ⊂ I,sunt independente. Notiunea de familie de evenimente independente esteo notiune ce se refera global la ansamblul familiei. Mai notam ca este abso-lut esential faptul ca definitia se formuleaza ın termeni de familii indexate.Pentru a pune ın evidenta aceasta nuanta vom descrie mai jos doua vari-ante de proprietati, apropriate formularii din definitie, ın care vom utilizafamilii neindexate. Sa presupunem ca avem o familie indexata de evenimente(Ai)i∈I . Vom mai considera multimea A = Ai/i ∈ I , care este familia (saumultimea) acelorasi evenimente dar neindexata. Putem enunta urmatoareleproprietati:

(i) pentru orice numar finit de evenimente B1, ..., Bn ∈ A, n ∈ N, are locrelatia

P(B1 ∩ ... ∩ Bn

)= P (B1) ...P (Bn) . (∗)

(ii) relatia (*) este verificata pentru orice numar finit de multimi distincteB1, ..., Bn ∈ A, n ∈ N.

Se constata ca proprietatea (i) implica independenta, iar independentaimplica proprietatea (ii). Proprietatea (i) aplicata fiecarui element din Arepetat de doua ori ne conduce la concluzia ca P (A) = P (A) P (A) . Deciın acest caz avem P (A) = 0 sau P (A) = 1, pentru orice eveniment dinA. O astfel de proprietate nu este neaparat ındeplinita ın cazul unei familiiarbitrare de evenimente independente. Daca o familie indexata este con-stituita numai din evenimente distincte, atunci independenta acestei familiieste echivalenta cu proprietatea (ii). Sa presupunem ca D ∈ F are proprie-tatea ca 0 < P (D) < 1. Notam A1 = D, A2 = D, A3 = Ω. Atunci familiaindexata(Ai)i=1,2,3 nu este independenta, dar familia A = D, Ω verificaproprietatea (ii).

In concluzie putem spune ca indexarea familiei ne permite sa enumeramexact relatiile de independenta ce trebuiesc verificate conform definitiei.

Propozitia 3.1 Fie (Ai)i∈I o familie de evenimente independente si i1, ..., in,j1, ..., jm doua submultimi finite si disjuncte ale lui I. Atunci are loc relatia

P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ ...Ain ∩ Ac

j1∩ ...Ac

jm−1∩ Ac

jm

)=

= P (Ai1)P (Ai2) ...P (Ain) · P (Ac

j1

)...P

(Ac

jm−1

) · P (Ajcm)

Demonstratie. Demonstratia se face prin inductie dupa m. Mai ıntaiverificam relatia cu n arbitrar si m = 1. Pentru aceasta pornim cu relatiilede independenta pe care le stim

P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ ...Ain) = P (Ai1)P (Ai2) ...P (Ain) ,


P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ ...Ain ∩ Aj) = P (Ai1) P (Ai2) ...P (Ain) · P (Aj) .

Daca notam B = Ai1∩Ai2 ∩ ...Ain , atunci relatia a doua devine P (B ∩ Aj) =P (B)P (Aj) . Aceasta relatie nu spune altceva decat ca B si Aj sunt inde-pendente. Rezulta ca si evenimentele B si Ac

j sunt tot independente. Deciputem scrie

P(B ∩ Ac

j

)= P (B) P

(Ac

j

).

Tinand cont de relatile scrise mai sus se obtine

P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ ...Ain ∩ Ac

j

)= P (Ai1) P (Ai2) ...P (Ain) P

(Ac

j

),

care este relatia dorita.

Pentru a trece mai departe, presupunem ca relatia este adevarata cu narbitrar si m ınlocuit cu m − 1. In particular putem scrie

P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ ... ∩ Ain ∩ Ac

j1∩ ... ∩ Ac

jm−1∩ Ajm

)= P (Ai1)P (Ai2) ...P (Ain) · P (

Acj1

)...P

(Ac

jm−1

) · P (Ajm)

= P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ ...Ain ∩ Ac

j1∩ ...Ac

jm−1

) · P (Ajm) .

Daca notam B = Ai1 ∩Ai2 ∩ ...Ain ∩Acj1∩ ...Ac

jm−1, relatia anterioara se scrie

P(B ∩ Ac

jm

)= P (B)P (Ajm) ,

relatie care exprima independenta evenimentelor B si Ajm. Atunci si perecheade evenimente B, Ac

jmsunt independente si putem scrie

P(B ∩ Ac

jm

)= P (B) P

(Ac

jm

).

Utilizand expresia P (B) = P (Ai1) ...P (Ain) · P (Ac

j1

)...P

(Ac

jm−1

)se obtine

relatia din enunt.

Corolarul 3.1 Fie (Ai)i∈I o familie de evenimente independente. Presupunemca multime indicilor se scrie sub forma I = I1 ∪ I2, unde I1 ∩ I2 = ∅. Atuncifamilia indexata (A′

i)i∈I definita prin A′i = Ai daca i ∈ I1 si A′

i = Aci daca

i ∈ I2, este formata din evenimente independente.


Independenta extragerilor cu ıntoarcere. Vom reveni la cazul uneiurne cu n bile numerotate din care se fac k extrageri cu revenire. Modelulconsta din multimea M = 1, ..., n , care reprezinta bilele, multimea tuturorrezultatelor posibile este descrisa de Ω = Mk, iar probabilitatea ce se intro-duce este cea a sanselor egale, ın care P ((x1, ..., xk)) = 1

nk . Evenimentul”la a l− a extragerea a iesit bila cu numarul i ” este descris de multimeaAl,i = (x1, ..., xk) ∈ Ω/xl = i . Vom nota Al = Al,i/i = 1, ..., n . Pentrufiecare l = 1, ..., k, familia Al constituie o partitie a lui Ω. Vom arata capartitiile A1, ...,Ak sunt independente. Pentru aceasta, calculam mai ıntaicardinalul unei multimii Al,i. Deoarece numai componenta l este fixata pen-tru punctele din multimea Al,i, ın timp ce celelalte k−1 componente parcurgliber pe M, rezulta ca multimea Al,i poate fi pusa ın bijectie cu multimeaMk−1. Tragem concluzia ca multimea Al,i contine exact nk puncte. Deci

P (Al,i) = nk−1

nk = 1n, pentru orice l si i. Sa consideram acum un numar

m ≤ k si m multimi din partitii diferite: Al1,i1 , ..., Alm,im . Intersectia lorpoate fi descrisa astfel

Al1,i1 ∩ ... ∩ Alm,im = (x1, ..., xk) ∈ Ω/xl1 = i1, ..., xlm = im .

Dupa cum se vede punctele din aceasta multime au m componente fixate, iarrestul de k − m sunt libere ın M. Rezulta ca aceasta multime poate fi pusaın bijectie cu Mk−m, deci cardinalul ei este nk−m. Prin urmare

P (Al1,i1 ∩ ... ∩ Alm,im) =nk−m

nk=

1

nm= P (Al1,i1) ...P (Alm,im) ,

ceea ce probeaza independenta partitiilor considerate.

3.2.3 Independenta a trei evenimente

Conform definitiei, independenta a trei evenimente A, B, C ∈ F este asigu-rata daca sunt ındeplinite conditiile urmatoare:

P (A ∩ B) = P (A) P (B) , (∗)P (A ∩ C) = P (A) P (C) , (∗∗)

P (B ∩ C) = P (B) P (C) , (∗ ∗ ∗)P (A ∩ B ∩ C) = P (A)P (B) P (C) . (#)

Se poate pune ıntrebarea daca nu cumva un numar mai mic dintre acesterelatii sunt suficiente pentru a implica valabilitatea tuturor. Urmatoareledoua contraexemple arata ca, ın general, nu este posibil asa ceva.


Exemplul 1. Presupunem ca Ω = 1, 2, 3, 4 si P (1) = P (2) = P (3) =P (4) = 1

4. Multimile urmatoare

A = 1, 2 , B = 1, 3 , C = 1, 4 ,

verifica relatiile (∗) , (∗∗) , (∗ ∗ ∗) , dar nu verifica relatia (#) .

Exemplul 2. Presupunem ca Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 si P este definita de

P (1) = P (2) = 14,

P (3) = P (4) = P (5) = 18,

P (6) = 112

, P (7) = 124

.

Notam A = 1, 2, 3, 4 , B = 3, 4, 6 , C = 2, 4, 5 . Aceste multimi verificarelatiile (∗) , (∗∗) si (#) , dar nu verifica relatia (∗ ∗ ∗) .

3.2.4 Regula jucatorului

Vom presupune ca sansele de reusita ıntr-un anumit joc de noroc sunt de unadin N , unde N este un numar natural. Asa numita ” regula a jucatorului”spune ca daca cineva participa la acest joc de un numar de ori mai mare sauegal dacat 2

3N , atunci probabilitatea de a castiga cel putin o data devine mai

mare sau egala ca 12. Ne punem problema de a examina care este eroarea

pentru ”regula jucatorului”.Soutie. Vom presupune ca (Ω,F ,P) este un spatiu probabilizat pe care

exista n evenimente independente A1, ..., An, cu aceeasi probabilitate P (A1) =... = P (An) = 1

N. Presupunem ca Ai modeleaza reusita la cel de-al i−lea

joc. Constructia concreta a unui astfel de spatiu probabilizat se poate realizafacand o analogie ıntre participarea la joc si extragerea unei bile dintr-o urnacu N bile. Presupunem ca din cele N bile una este rosie iar restul sunt negre.Sansele de a extrage bila rosie sunt de una la N. Deci putem echivala reusitala joc cu faptul ca ın urma unei extrageri din urna a iesit bila rosie. O seriede n extrageri cu revenire corespund la n participari la jocul dat.

Identificam multimea bilelor cu multimea primelor N numere naturale,pe care o notam M = 1, ..., N si presupunem ca bila rosie corespundenumarului 1. Multimea rezultatelor posibil a fi obtinute dupa n jocuri estedescrisa de

Ω = Mn = (x1, ..., xn) /xi ∈ M, ∀i = 1, ..., n .


Evenimentul ,,la jocul al l−lea jucatorul a castigat”, sau spus altfel ”lacea de a l−a extragere a iesit bila rosie”, este descris de multimea Al =(x1, ..., xn) ∈ Ω/xl = 1 . Tinand cont de cele demonstrate ın paragraful an-teprecedent privind independenta extragerilor cu ıntoarcere, rezulta ca eveni-mentele A1, ..., An sunt independente si fiecare are probabilitatea P (Al) = 1

N.

Reusita la cel putin un joc din n este reprezentata de evenimentul

A1 ∪ ... ∪ An.

Nereusita la nici un joc din cele n este reprezentata de evenimentul comple-mentar

Ac1 ∩ ... ∩ Ac

n,

si pentru acesta avem formula

P (Ac1 ∩ ... ∩ Ac

n) = P (Ac1) · ... · P (Ac

n) =

(1 − 1

N

)n

.

Functia care apare ın aceasta exprimare, f (x) =(1 − 1

N

)x, este de-

screscatoare pe [1,∞) si limx→∞

f (x) = 0. Ne intereseaza sa determinam cea

mai mica valoare a lui n ∈ N∗ pentru care aceasta probabilitate devine maimica dacat 1

2, adica acel numar care satisface conditiile(

1 − 1

N

)n

≤ 1

2<

(1 − 1

N

)n−1

Vom logaritma fiecare termen din aceste inegalitati obtinand

n ln

(1 − 1

N

)≤ − ln 2 < (n − 1) ln

(1 − 1

N

).

Aplicam acum lema 2.3 si minoram termenul stang si majoram termenuldrept, astfel ca obtinem

n− 1

N

1 − 1N

≤ − ln 2 < (n − 1)−1

N,

relatie care se mai scrie si sub forma

(N − 1) ln 2 ≤ n < N ln 2 + 1.


Tinand cont ca ln 2 ≈ 0, 6931, putem trage concluzia ca numarul cautateste aproximat cu o eroare de o unitate de n0 = [N ln 2] . Deoarece diferentaN ln 2 − 2

3N este mica raportata la N,

N ln 2 − 23N

N= ln 2 − 2

3≈ 0, 0264,

putem spune ca eroarea pe care o da regula jucatorului este mica raportatala N. In valoare absoluta ea poate fi mare, de ordinul 0, 0264N.

3.3 Exercitii

Exercitiul 3.1 Trei masini A,B,C produc respectiv 60%, 30% si 10% dinpiesele fabricate de o uzina. Masina A produce 2% din piese cu defect.Masina B produce 3% cu defect iar masina C 4%. Se alege la ıntamplareo piesa la iesirea din uzina. 1) Care este probabilitatea ca piesa sa fie defecta? 2) Constatand ca piesa are defect, care este probabilitatea ca ea sa provinade la masina C ?

Exercitiul 3.2 O ıntreprindere produce aparate electronice care sunt perfectfunctionabile cu probabilitatea 9

10. Fiecare aparat este supus testarii ınainte

de livrare. Se constata ca orice aparat bun trece testul. Dar din cele cudefecte, numai 10

11dintre ele sunt depistate ca atare; restul de 1

11scapa si sunt

acceptate. Sa se calculeze probabilitatea evenimentului: 1) ,,aparatul a trecuttestul si el functioneaza”, 2) ,,aparatul a trecut testul dar nu functioneaza”.3) Sa se calculeze probabilitatea ca aparatul sa functioneze stiind ca el a trecuttestul.

Exercitiul 3.3 O uzina fabrica piese, din care 1, 8% sunt cu defecte. Con-trolul de calitate are urmatoarele caracteristici: piesele fara defect sunt ac-ceptate ın proportie de 97%, iar cele defecte sunt refuzate ın proportie de0, 99%. 1) Care este probabilitatea ca o piesa sa fie defecta desi a fost ac-ceptata? 2) Care este probabilitatea ca sa fie o eroare ın control? 3) Careeste probabilitatea ca ın cinci controale consecutive sa se produca exact douaerori?

Exercitiul 3.4 6. Studentii se prepara pentru un examen al carui subiect vafi propus de unul din membrii unei comisii formate din 3 profesori: A,B,C.

3.3. EXERCITII 61

Analizand datele din anii trecuti studentii evalueaza cu 0, 35 probabilitatea casubiectul sa fie propus de A, cu 0, 4 probabilitatea ca subiectul sa fie propusde B si cu 0, 25 probabilitatea ca C sa propuna subiectul. Pe de alta parte,studentii se tem de un anumit subiect. Ei apreciaza ca A ar propune laexamen subiectul ın cauza cu probabilitatea 1

10, ca B ar propune subiectul

respectiv cu o probabilitate de 25, iar C l-ar propune cu probabilitatea 41

50. 1)

Care este probabilitatea ca subiectul temut sa fie dat la examen? 2) Stiindca s-a dat subiectul nedorit la examen, sa se afle probabilitatea ca cel ce aalcatuit subiectele sa fie C.

Exercitiul 3.5 Intr-un oras, 2% din populatie este atinsa de o boala conta-gioasa. Se stie ca ın cazul unei ıntalniri ıntre o persoana contagioasa si unasanatoasa exista un risc de contaminare de 0, 7. Care este riscul de contam-inare la care este supusa o persoana sanatoasa ce viziteaza alte 3 persoanearbitrare?

Exercitiul 3.6 O fabrica produce ın serie ceasuri cu un proces tehnologic ındoua faze. Prima faza de fabricatie produce defectul A la 2% dintre produse,iar faza a doua produce defectul B la 3% din produse.

(i) Se ia la ıntamplare un ceas. Presupunand ca defectele ın cele douaetape se produc independent, se cere probabilitatea ca: a) ceasul sa aiba am-bele defecte, b) ceasul sa nu aiba niciunul din defecte, c) ceasul sa aiba exactun defect.

(ii) Se iau pe rand 5 mostre de produs finit. Se presupune ca numarultotal de ceasuri este asa de mare ıncat la fiecare extragere de mostra proportiade ceasuri defecte este neschimbata. Determinati probabilitatea ca cel putin4 din cele 5 ceasuri sa fie fara defecte.

Exercitiul 3.7 Sultanul ıi spune lui Ali Baba: ın fata ta se afla doua vaseidentice. Unul contine n bile rosii, iar celalalt contine m bile negre. Ai voiesa amesteci bilele ın cele doua vase. Eu voi veni apoi, ma voi apropia de unvas si voi scoate o bila. Daca bila este rosie ıti daruiesc viata. Cum amestecaAli Baba bilele pentru asi mari sansele de a scapa cu viata? Demonstrati caexista o metoda optima.

Exercitiul 3.8 Avem trei persoane 1, 2, 3. Notam cu Bij evenimentul: per-soanele i si j au aceeasi zi de nastere. Sunt independente evenimentele B12

si B23 ? Dar evenimentele B12, B23, B13 ? Sunt ele independente cate doua?


Exercitiul 3.9 O vitrina este luminata pe timpul noptii cu doua becuri b1 sib2. Presupunem ca probabilitatea ca becul b1 sa functioneze toata noaptea estede 0, 95, iar probabilitatea ca becul b2 sa functioneze toata noaptea este 0, 98.Sa se determine probabilitatea ca cel putin unul din becuri sa functionezetoata noaptea ın fiecare din cazurile: (i) becurile sunt montate ın serie, (ii)becurile sunt montate ın paralel.

Capitolul 4

Partitii finite sau numarabile

In tot acest capitol vom presupune ca (Ω,F ,P ) este un spatiu probabili-zat fix, dar arbitrar. In prima sectiune vom studia σ−algebrele generate departitii numarabile. In particular, vom arata ca exista o bijectie ıntre alge-brele finite si partitiile finite ce le genereaza. In sectiunea a doua vom stu-dia independenta σ−algebrelor prin intermediul partitiilor care le genereaza.Dupa aceea rezultatele acestea sunt aplicate ın ultima sectiune la demon-strarea proprietatilor de asociere si dezasociere a independentei.

Mai ıntai vom discuta ın jurul proprietatii de σ− aditivitate, definita ıncapitolul introductiv, care va interveni incidental ın aceasta sectiune.

Lema 4.1 Fie (E, E) un spatiu masurabil si µ : E → [0, 1] o aplicatie careverifica proprietatile urmatoare:

(i) µ (Ω) = 1,(ii) µ (A ∪ B) = µ (A) + µ (B) , pentru orice doua multimi disjuncte,

A, B ∈ E .Atunci functia de multime µ este σ− aditiva daca si numai daca satisface

relatialim

n→∞µ (An) = 0,

pentru orice sir descrescator (An)n∈N de multimi din E astfel ca ∩nAn = ∅.Demonstratie. Observam ca µ are prin ipoteza proprietatile unei

masuri de probabilitate pe un spatiu masurabil finit. Presupunem ca µ esteσ− aditiva si ca (An)n∈N este un sir descrescator de multimi din E astfel ca∩nAn = ∅. Notam

Bn = An\An+1, n∈ N.

63

64 CAPITOLUL 4. PARTITII FINITE SAU NUMARABILE

Pentru m ≥ n se verifica relatia

Bn ⊂ Acn+1 ⊂ Ac

m,

(deoarece Am ⊂ An). Aceasta arata ca Bn ∩ Bm = ∅. Deci multimile sirului(Bn)n∈N sunt disjuncte ıntre ele. De asemenea se verifica direct ca are locrelatia ⋃

n∈N

Bn = A0.

Proprietatea de σ− aditivitate ne permite sa scriem

µ (A0) =∑n∈N

µ (Bn) .

Dar avem µ (Bn) = µ (An) − µ (An+1) si atunci deducem ca sumele partialeale seriei pot fi exprimate astfel

n∑k=0

µ (Bk) = µ (A0) − µ (An+1) .

Cum aceste sume au limita µ (A0) , rezulta ca µ (An+1) → 0.Sa aratam implicatia inversa. Presupunem ca µ satisface proprietatea

din enunt si vom arata ca este σ− aditiva. Vom alege notatia care pune ınevidenta faptul ca rationamentul de la prima implicatie este pur si simplurepetat ın ordine inversa. Fie deci (Bn)n∈N un sir de multimi disjuncte din E .Notam An =

⋃k≥n Bk si vom avea A0 =

⋃n∈N Bn. Se verifica din constructie

ca sirul (An)n∈N este descrescator si ca⋂

n∈N An = ∅. Proprietatea din enuntimplica

limn→∞

µ (An) = 0.

Pe de alta parte avem

µ (An) = µ

(A0\

⋃k≤n−1

Bk

)= µ (A0)−µ

( ⋃k≤n−1

Bk

)= µ (A0)−

∑k≤n−1

µ (Bk) .

Trecand la limita dupa n se obtine 0 = µ (A0) −∑∞

k=0 µ (Bk) , ceea ce esteacelasi lucru cu relatia dorita:

∑∞k=0 µ (Bk) = µ

(⋃n∈N Bn

).

Enuntam acum doua proprietati ale masurilor de probabilitate. Ne referimdeci la spatiul probabilizat (Ω,F ,P ) .

4.1. PARTITII SI σ−ALGEBRE GENERATE 65

Lema 4.2 (i) Pentru orice sir crescator de evenimente, (An)n∈N ⊂ F , areloc relatia

limn→∞

P (An) = P (∪nAn) .

(ii) Pentru un sir arbitrar de evenimente, (An)n∈N ⊂ F , are loc relatia

P (∪nAn) ≤∑n∈N

P (An) .

Demonstratie. (i) Pentru a demonstra prima relatie din enunt, sanotam A = ∪nAn si Cn = A\An. Sirul (Cn)n∈N este descrescator, cu intersectiavida, dupa cum se poate usor verifica. Conform lemei de mai ınainte, rezulta

limn→∞

P (Cn) = 0.

Cum P (A) = P (An) + P (Cn) , deducem relatia din enunt.(ii) Pentru cea de a doua relatie pornim de la inegalitatea valabila pentru

un numar finit de multimi (vezi punctul 4. din sectiunea introductiva despremodelul probabilist):

P (∪k≤nAk) ≤∑k≤n

P (Ak) ≤∑n∈N

P (An) .

Apoi aplicam punctul (i) sirului crescator ∪k≤nAk, n ∈ N, pentru a deduce

P (∪nAn) = limn→∞

P (∪k≤nAk) ≤∑n∈N

P (An) ,

adica relatia de demonstrat.

4.1 Partitii si σ−algebre generate

Obiectele principale din aceasta sectiune sunt de fapt algebra si σ−algebragenerata de o partitie finita sau numarabila de evenimente. Probabilitatea Pnu va interveni decat ın mod secundar. Cu alte cuvinte vom lucra mai alescu spatiul masurabil (Ω,F) .

Fiind data o familie arbitrara de evenimente, U ⊂ F vom nota cu ma (U)multimea tuturor algebrelor de parti incluse ın F si care contin pe U . Aceasta


multime nu este vida deoarece, ın mod evident, F ∈ ma (U) . Vom nota cua (U) intersectia tuturor algebrelor din ma (U) :

a (U) =⋂

G∈ma(U)

G.

Se verifica fara dificultate ca a (U) este o algebra, si ca U ⊂ a (U) ⊂ F . Deasemenea, este evident ca orice element G din ma (U) contine a (U) si deaceea se poate zice ca a (U) este cea mai mica algebra ce contine U . Vomspune ca a (U) este algebra generata de familia U .

Se poate de asemenea verifica usor ca ın cazul a doua familii de evenimenteastfel ıncat U ⊂ U ′, rezulta ma (U ′) ⊂ ma (U) si a (U) ⊂ a (U ′) .

In mod absolut similar notam cu msa (U) multimea tuturor σ−algebrelorde parti incluse ın F si care contin pe U . Vom nota cu σ (U) intersectia tuturorσ−algebrelor din msa (U) :

σ (U) =⋂

E∈msa(U)

E .

Aceasta este cea mai mica σ−algebra care contine pe U si se numeste σ−algebragenerata de U . Pentru doua familii de evenimente astfel ıncat U ⊂ U ′, vomavea msa (U ′) ⊂ msa (U) si ın consecinta σ (U) ⊂ σ (U ′) .

Multimile masurabile Borel. Clasa multimilor boreliene din spatiul eu-clidian Rn este notata B (Rn) si este definita prin B (Rn) = σ (D) , unde Dreprezinta familia multimilor deschise din Rn. Se observa ca notand D′ fa-milia multimilor ınchise din Rn, are loc egalitatea σ (D′) = B (Rn) . (Ramaneca un exercitiu pentru cititor verificarea acestei egalitati.)

In cazul dreptei reale, R, exista trei familii importante de intervale caregenereaza σ−algebra multimilor boreliene. Acestea sunt descrise prin

I = (a, b) /a < b ,

I ′ = [a, b] /a ≤ b ,

I ′′ = [a, b)/a < b .

Se poate verifica ca au loc relatiile σ (I) = σ (I ′) = σ (I ′′) = B (Rn) .(Ramane tot ca exercitiu pentru cititor verificarea acestor egalitati.)


Se poate spune ca printre multimile boreliene se afla toate multimile ceapar prin operatiile uzuale din analiza. Multimile care nu sunt boreliene suntde fapt patologice, iar constructia lor este de obicei dificila.

Pentru binecunoscuta notiune de partitie vom pune urmatoarea definitie,care stabileste cateva aspecte mai precise ca de obicei. Mai ıntai vom precizatermenul de multime cel mult numarabila: prin aceasta ıntelegem doua posi-bilitati, sau multimea este finita si prin urmare este izomorfa cu o multime deforma 1, ..., n cu un anumit numar n ∈ N, sau multimea este numarabilasi atunci poate fi pusa ın bijectie cu multimea numerelor naturale.

Definitia 4.1 O familie cel mult numarabila de evenimente nevide A =(Ai)i∈I ⊂ F este numita partitie masurabila cel mult numarabila a lui Ω,daca sunt satisfacute conditiile urmatoare:

(i) daca i = j, atunci Ai ∩ Aj = ∅,(ii)

⋃i∈I

Ai = Ω.

Facem conventia ca ın acest capitol sa utilizam cuvantul partitie pentrua prescurta termenul de partitie masurabila cel mult numarabila. O astfelde partitie mai este numita si desfacere. Un eveniment care apartine uneipartitii este numit atom al partitiei. Un exemplu tipic de partitie finita aaparut ın paragraful dedicat exemplului controlului calitatii (vezi observatia2.1).

Fie A = Ai | i ∈ I o partitie cel mult numarabila. Pentru o parte J ⊂ I,von utiliza notatia AJ =

⋃i∈J

Ai, cu conventia A∅ = ∅. Evident am definit un

eveniment, AJ ∈ F . Mai notam cu K (I) familia submultimilor finite din I.Urmatoarea lema descrie algebra si σ−algebra asociate partitiei.

Lema 4.3 (i) Algebra generata de A are urmatoarea descriere

a (A) = AJ/J ∈ K (I) , sau Jc ∈ K (I) .

Daca partitia A este finita atunci a (A) este tot finita. In particular a (A) =σ (A) .

(ii) σ−algebra generata de A are urmatoarea descriere

σ (A) = AJ | J ⊂ I .

(iii) Daca A′ este o a doua partitie si σ (A) = σ (A′) , atunci A si A′

coincid ca multimi de parti, modulo felul ın care sunt indexate.


(iv) O masura de probabilitate P pe σ (A) este complet determinata denumerele P (Ai) , i ∈ I prin formula

P (AJ) =∑i∈J

P (Ai) .

Demonstratie. (i) Vom nota cu G familia de evenimente reprezentatade membrul drept al egalitatii ce descrie a (A) . Daca J ∈ K (I) , rezulta camultimea AJ reprezinta o reuniune finita de atomi, deci este ın a (A) . Fieacum o multime de indici J astfel ıncat Jc ∈ K (I) . Are loc egalitatea

(AJ)c = AJc , (∗)care se poate usor verifica. Deoarece AJc apartine lui a (A) , ca o reuniunefinita de atomi, rezulta ca si AJ este ın a (A) . Deci am verificat incluziuneaG ⊂ a (A) . Egalitatea (*) de mai sus precum si egalitatea

AJ ∪ AJ ′ = AJ∪J ′,

care de asemenea se verifica usor, permit a se proba proprietatile de algebrapentru G. In concluzie, rezulta ca G = a (A) .

Daca multimea de indici I este finita, atunci multimea partilor P (I) estetot finita si prin urmare G, la randul ei, este tot finita.

(ii) Faptul ca σ (A) are descrierea afirmata ın enunt se verifica pe argu-mente similare celor de la punctul precedent.

(iii) Fie A′ = (A′i)i∈I′ o a doua partitie care genereaza aceeasi σ−algebra.

O multime din prima partitie, Ai, fiind ın algebra σ (A′) , se scrie, conformpunctului (i), ca o reuniune de atomi ai celei de a doua partitii,

Ai =⋃j∈J

A′j ,

unde J ⊂ I ′. Sa analizam o multime care participa la aceasta reuniune, fie eaA′

j cu j ∈ J. Tinand cont ca A′j este ın σ (A) , aceasta multime se va exprima

ca o reuniune de atomi din partitia A,

A′j =

⋃l∈L

Al,

unde L ⊂ I. La fel ca si A′j , fiecare din multimile care participa la aceasta

reuniune este inclusa ın Ai. Dar atomii distincti ai partitiei A trebuie sa fie


disjuncti. Rezulta ca multimea L se reduce la un singur punct L = i .In particular am dedus ca A′

j = Ai, ceea ce ınseamna ca Ai ∈ A′. Darmultimea Ai a fost o multime arbitrara din A, si atunci putem trage concluziaca A ⊂ A′. In mod simetric avem si incluziunea inversa, ceea ce probeazaegalitatea A = A′.

(iv) Pentru a stabili formula din enunt pornim mai ıntai cu multimea deindici finita J ⊂ I, care defineste multimea AJ =

⋃i∈J Ai ∈ σ (A) . In acest

caz formula rezulta imediat din proprietatea de finit aditivitate a masurii.Sa presupunem acum ca multimea de indici J este infinita. Trebuie sa

mentionam ca atunci suma care apare ın formula din enunt trebuie ınteleasaın sensul dat ın paragraful despre sumabilitate din capitolul urmator. CumJ este numarabila alegem o numerotare J = i0, i1, ...si exprimam AJ =⋃

n∈N Bn unde Bn = Ai0 ∪ ... ∪ Ain . Atunci masura P satisface relatia

P (AJ) = limn→∞

P (Bn) = limn→∞

n∑k=0

P (Aik) =∑i∈J

P (Ai) .

La primul semn de egalitate am utilizat primul punct din lema 4.2, iarla ultimul semn egal punctul doi din lema 5.1. Cu aceasta am ıncheiatdemonstratia.

Din descrierea facuta algebrei generate de o partitie reiese ca aceasta estesi ea cel mult numarabila. Din contra, σ−algebra generata de o partitienumarabila este de acelasi cardinal cu multimea partilor lui N, adica deputerea continuului.

Observatia 4.1 Din lema precedenta rezulta ca doua partitii A,A′, suntlegate prin relatia A′ ⊂ a (A) daca si numai daca A este mai fina decat A′,ın sensul ca orice element B ∈ A′ se reprezinta ca o reuniune de elementedin A :

B =⋃

A∈A,A⊂B

A.

Lema anterioara arata ca ın cazul ın care o σ−algebra este generata de opartitie, partitia respectiva este unic determinata. In cazul partitiilor finite,se poate completa relatia dintre partitia finita si algebra generata. Anume,vom arata ın continuare ca orice subalgebra finita a lui F este generata deo partitie finita, ceea ce pune ın corespondenta bijectiva cele doua clase deobiecte. Mai apoi vom arata chiar un fapt mai general: orice familie finita


de evenimente da nastere la o partitie care genereaza aceeasi algebra ca sifamilia data.

Lema 4.4 Fiind data o algebra finita inclusa ın F exista o partitie masurabilafinita care o genereaza.

Demonstratie. Fie G algebra finita data. Pentru fiecare punct x ∈ Ωvom nota cu Gx familia de elemente din G care contine punctul x, care esteo familie finita. Apoi vom pune

Ax =⋂

A∈Gx

A,

obtinand ın acest fel o multime nevida din G. Deoarece G este finita, multimeapartilor sale este tot finita, deci familiile Gx distincte sunt ın numar finit.Rezulta ca multimile Ax, x ∈ Ω, distincte sunt ın numar finit. (Reamintimca nu am presupus ca spatiul Ω ar fi finit.) Notam A = Ax/x ∈ Ω si vomarata ca aceasta este partitia care genereaza G.

Am notat deja ca multimile din A sunt nevide, ca A ⊂ G si ca A estefinita. Deoarece pentru orice punct x ∈ Ω avem x ∈ Ax, rezulta si caspatiul total Ω este acoperit de A. Sa verificam ca doua elemente distincteAx = Ay, x, y ∈ Ω, sunt disjuncte. Deoarece Ax = Ay neaparat trebuie saavem Gx = Gy. Deci fie exista o multime A ∈ Gx astfel ıncat A /∈ Gy, sauinvers, exista A /∈ Gx astfel ca A ∈ Gy. Sa vedem ce se ıntampla ın primasituatie, de exemplu. Deci avem x ∈ A ∈ G si y /∈ A. Dar atunci y ∈ Ac;deci Ac ∈ Gy. Este clar ca Ax ⊂ A si Ay ⊂ Ac. Prin urmare Ax ∩Ay = ∅. Amverificat deci ca A este o partitie.

Fie acum A un element arbitrar din G si x ∈ A. Rezulta ca A ∈ Gx si prinurmare Ax ⊂ A. Se deduce relatia

A =⋃x∈A

Ax,

ceea ce arata ca A apartine algebrei generate de A. Tragem concluzia caG ⊂ a (A) . Cum incluziunea inversa este evidenta rezulta ca a (A) = G.

Partitia A, construita ın aceasta demonstratie, va fi numita partitia aso-ciata algebrei G. Cu aceasta denumire putem enunta urmatorul corolar allemelor anterioare.


Corolarul 4.1 Exista o bijectie ıntre subalgebrele finite ale lui F si partitiilefinite, iar aplicatiile ,,algebra generata de o partitie” si ,,partitia asociata lao algebra” sunt inverse una alteia.

σ−algebrele care sunt generate de o partitie cel mult numarabila sunt deun tip special. (Am putea sa numim atomice aceste σ−algebre.) Descriereaın termeni de atomi pe care o da lema 4.1 (ii) arata ca ele sunt ın modesential mai simple decat σ−algebra multimilor boreliene pe o parte dinRn. In general nu ne putem astepta ca o σ−algebra arbitrara sa poata figenerata de o partitie. Se poate chiar sa avem o σ−algebra generata de oalgebra de parti numarabila, dar sa nu existe o partitie numarabila asociataacelei algebre. Aceasta o probeaza urmatorul exemplu.

Exemplu. Fie Ω = [0, 1). Notam cu G clasa multimilor de forma⋃n+1

l=0 [al, bl),unde al, bl sunt numere rationale, n ∈ N si

0 = a0 ≤ b0 < a1 < b1 < ... < an+1 ≤ bn+1 = 1.

In aceasta notatie primul si ultimul interval pot fi vide, cand a0 = b0 sauan+1 = bn+1. Se verifica direct ca aceasta clasa de multimi este o algebra departi numarabila. Pe de alta parte, pentru fiecare punct x ∈ Ω are loc relatia

x =⋂

x∈A∈GA.

Cu alte cuvinte, multimea candidatilor pentru notiunea de atom este nenumarabila.Pe de alta parte, se poate usor verifica ca σ−algebra generata de G este clasamultimilor boreliene.

Totusi notam ca, ın cazul ın care multimea Ω este cel mult numarabila,orice σ−algebra este generata de o partitie cel mult numarabila. Dar acestfenomen nu ne va interesa ın continuare.

In lema care urmeaza vom examina algebra generata de doua algebre finitediferite, iar demonstratia ei va explicita relatiile dintre partitiile asociate.

Lema 4.5 Fie G,G′ ⊂ F doua algebre finite. Atunci a (G ∪ G′) este tot oalgebra finita.

Demonstratie. Fie A =(Ai)i∈I ,A′ = (A′i)i∈J partitiile asociate celor

doua algebre; prin urmare G = a (A) ,G ′ = a (A′) . Vom nota Dij = Ai ∩ A′j


si, pentru eliminarea multimilor vide obtinute ın acest fel, vom consideramultimea de indici Λ = (i, j) ∈ I × J/Dij = ∅ . In acest fel am obtinuit ofamilie finita de evenimente nevide: D = (Dij)(i,j)∈Λ . Afirmam ca aceasta este

partitia asociata algebrei a (G ∪ G′) . Se vede imediat ca are loc incluziuneaD ⊂ a (G ∪ G′) .

Sa verificam ca pentru indici diferiti (i, j) = (l, k) , (i, j) , (l, k) ∈ Λ,multimile corespunzatoare sunt disjuncte: Dij ∩ Dlk = ∅. Avem de exa-minat doua cazuri, anume sau i = l sau j = k. Daca i = l, atunci Ai si Al

sunt disjuncte si cum Dij ⊂ Ai, Dlk ⊂ Al, rezulta ca Dij si Dlk sunt si ele

disjuncte. In mod similar se ajunge la aceeasi concluzie si pentru al doileacaz.

Sa aratam acum ca fiecare atom al fiecareia din partitiile A si A′ este ına (D) . Fie de exemplu Ai un atom al primei partitii. Se observa ca are locegalitatea

Ai =⋃j∈J

Dij .

In membrul drept apar fie multimi din D, fie multimi vide, deci Ai ∈ a (D) .Din aceasta egalitate rezulta pe de o parte ca D acopera Ω, deci este o partitie.Pe de alta parte, rezulta ca A,A′ ⊂ a (D) , deci G,G ′ ⊂ a (D) . Tinand contsi de cele aratate mai ınainte tragem concluzia ca a (G ∪ G′) = a (D) . Inparticular obtinem faptul ca a (G ∪ G′) este finita.

Constructia facuta ın demonstratia anterioara se poate generaliza la cazulunor σ−algebre generate de partitii numarabile. In plus, vom cosidera maimulte partitii deodata, pentru ca asa vom utiliza aceasta constructie maideparte, ca pe un instrument tehnic. Prezentam situatia ın detaliu.

Fie Al = (Al,i)i∈Il, l = 1, ..., n partitii cel mult numarabile. Pentru a

descrie partitia asociata σ−algebrei σ (A1 ∪ ... ∪An) , introducem notatia

Aλ = A1,i1 ∩ ... ∩ An,in,

corespunzatoare fiecarui multi-indice λ = (i1, ..., in) ∈ I1×I2×...×In. Evidentaceste multimi sunt ın F . Vom elimina multimile vide din aceasta colectie demultimi definind multimea de indici

Λ =λ ∈ I1 × ... × In / Aλ = ∅ .

Fiind o submultime a produsului I1 × ... × In este clar ca Λ este o multimecel mult numarabila. Notam A=

Aλ/λ ∈ Λ

si vom demonstra ın lema care

urmeaza ca aceasta este partitia cautata.


Lema 4.6 Familia A constituie partitia asociata σ−algebrei σ (A1 ∪ ... ∪An) .

Demonstratie. In primul rand este clar, din expresia de definitie,ca fiecare multime Aλ este ın σ (A1 ∪ ... ∪ An) . Deci are loc si incluziuneaσ (A) ⊂ σ (A1, ...,An) .

Vom arata acum ca daca λ = (i1, ..., in) , λ′ = (i′1, ..., i′n) ∈ Λ si λ = λ′

atunci Aλ ∩ Aλ′= ∅. Intr-adevar, daca λ = λ′, ınseamna ca exista un indice

l ≤ n astfel ıncat il = i′l. Cum Al este o partitie, atomii cu indici diferiti suntdisjuncti si atunci Aλ ∩ Aλ′ ⊂ Al,i ∩ Al,i′ = ∅.

Mai departe vom arata ca fiecare atom al fiecareia din partitiile initialeA1, ...,An apartine lui a (A) . Fie Al,i un astfel de atom (l ≤ n, i ∈ Il). NotamΓ = λ = (i1, ..., in) ∈ Λ | il = i si afirmam ca are loc egalitatea

Al,i =⋃λ∈Γ

Aλ, (∗)

care, o data verificata, ar implica Al,i ∈ a (A) . Verificam aceasta egalitate.Din expresia de definitie a lui Aλ rezulta Aλ ⊂ Al,i, pentru orice λ ∈ Γ.Aceasta implica incluziunea ⋃

λ∈Γ

Aλ ⊂ Al,i.

Pentru a verifica cealalta incluziune pornim cu x ∈ Al,i. Pentru fiecare k = l,k ≤ n are loc egalitatea

⋃p∈Ik

Ak,p = Ω,si deci va exista un indice pk ∈ Ik astfel

ıncat x ∈ Ak,pk. Definim acum λ = (p1, ..., pl−1, i, pl+1, ...pn) si este clar ca

vom avea x ∈ Aλ si λ ∈ Γ. Am demonstrat deci egalitatea (*). In particulardeducem ca familia A acopera spatiul Ω, pentru ca partitia Al ıl acopera.Deci A este o partitie. Deoarece fiecare din partitiile Al este inclusa ın σ (A) ,vom avea σ (A1, ...,An) ⊂ σ (A) . Cealalta incluziune o stiam si prin urmareσ (A1, ...,An) = σ (A) .

Observatia 4.2 Relatia (*) din demonstratia de mai sus pune ın evidentafaptul ca partitia A este mai fina decat fiecare din partitiile Ai, i = 1, ..., n. Sepoate demonstra chiar ca este cea mai putin fina dintre partitiile cu aceastaproprietate.

Vom aplica lema anterioara la constructia algebrei generate de o familiefinita de evenimente. Fie U = A1, ..., An ⊂ F o familie finita arbitrarade evenimente. Vom presupune ca nici unul din evenimentele din U nu estetrivial, adica difera atat de Ω cat si de ∅.


Propozitia 4.1 Algebra generata de aceasta familie, a (U) , este finita. NotamAl,1 = Al si Al,−1 = Ac

l . Partitia asociata algebrei a (U) are drept atomi eveni-mentele de tipul

Aλ = A1,λ1 ∩ ... ∩ An,λn,

unde λ = (λ1, ..., λn) ∈ −1, 1n este un sistem arbitrar de indici cu valori±1, astfel ca intersectia respectiva sa nu fie vida.

Demonstratie. Fiecare din evenimentele Al determina o algebra Gl =Al, A

cl , Ω, ∅ = Al,1, Al,−1, Ω, ∅ . Datorita faptului ca Al nu este trivial,

rezulta ca partitia asociata acestei algebre este Al = Al,1, Al,−1 . Este usorde verificat ca are loc egalitatea a (U) = a (

⋃nl=1 Al) . Atunci nu ramane

decat sa aplicam lema anterioara, observand ca partitia asociata algebreia (⋃n

l=1 Al) este A =(Aλ

)λ∈Λ

, unde am notat Λ =λ ∈ −1, 1n / Aλ = ∅ .

A

B

C

E1

E2

E3

E4

E5

E6

E7

E8

Figura 4.1: Diagrama Venn a multimilor A, B, C si a partitiei generate deele.

4.2. PARTITII SI σ−ALGEBRE INDEPENDENTE 75

Exemplu. Diagrama Venn din desenul alaturat reprezinta multimile A, B, Cın forma de elipsa. Presupunem ca aceste multimi sunt parti ale multimii maimari Ω care este reprezentata de planul ın care se afla desenul. Partitia aso-ciata algebrei generate de evenimentele A, B, C este compusa din multimileE1, ..., E8. Multimea E8 este complementara reuniunii A ∪ B ∪ C.

4.2 Partitii si σ−algebre independente

In aceasta sectiune vom reveni la spatiul probabilizat (Ω,F , P ) pentru adiscuta unele probleme legate de independenta.

Definitia 4.2 Fiind date F1, ...,Fn σ−algebre incluse ın F , vom spune caele sunt independente daca pentru orice alegere de elemente Ai ∈ Fi, i =1, ..., n, acestea sunt independente.

Dupa cum se vede din ınsasi definitia data, independenta este o notiune cepriveste ansamblul evenimentelor celor n σ−algebre, structurate ın grupurileformate de fiecare σ−algebra. Se observa ca fiind date σ−algebrele F1, ...,Fn

independente si sub-σ−algebrele Hi ⊂ Fi, i = 1, ..., n, rezulta ca si H1, ...,Hn

sunt independente.De asemenea, observam ca fiecare eveniment A ∈ F genereaza alge-

bra σ (A) = A, Ac, ∅, Ω . Daca evenimentele A1, ..., An sunt independente,atunci σ−algebrele generate de fiecare din aceste evenimente σ (A1) , ..., σ (An)sunt independente, dupa cum se poate verifica prin utilizarea propozitiei 3.1.Avand aceasta idee ın minte putem introduce definitia urmatoare: un eveni-ment A este independent de o σ−algebra F ′ ⊂ F daca A este independentde fiecare element din F ′. Aceasta revine la independenta σ−algebrelor σ (A)si F ′.

Lema 4.7 Independenta unor σ−algebre F1, ...,Fn este echivalenta cu faptulca, pentru orice alegere de elemente Ai ∈ Fi, i = 1, ..., n, este satisfacutarelatia

P

(n⋂

i=1

Ai

)= P (A1) · ... · P (An) . (#)

Demonstratie. Presupunem date evenimentele Ai ∈ Fi, i = 1, ..., n sivrem sa aratam ca ele sunt independente. Fie J = 1 ≤ i1 < ... < ik ≤ n ⊂


1, ..., n o submultime de indici. Trebuie sa demonstram relatia

P

(k⋂

l=1

Ail

)= P (Ai1) ...P (Aik) .

Dar aceasta relatie este exact relatia (#) scrisa pentru sistemul de evenimenteA′

1, ..., A′n, definite ın felul urmator: A′

i = Ai, cand i ∈ J si A′i = Ω, cand

i /∈ J. Anume, se tine cont ca

k⋂l=1

Ail =

n⋂i=1

A′i

si ca P (A′i) = 1, daca i /∈ J.

De asemenea, observam ca daca avem n σ−algebre independente, atunciorice numar mai mic dintre ele sunt tot independente.

Pentru partitii notiunea de independenta are urmatoarea forma.

Definitia 4.3 Daca A1, ...,An sunt partitii pe Ω, vom spune ca ele suntindependente daca pentru orice alegere de elemente Ai ∈ Ai, i = 1, ..., n, estesatisfacuta relatia (#) de mai sus.

In privinta partitiilor nu este evident ca relatiile (#) scrise cu n ele-mente implica aceleasi relatii scrise cu mai putine elemente. Este necesara odemonstratie pe care o facem separat ın lema de mai jos. Dupa aceea vomarata ca de fapt independenta partitiilor este echivalenta cu o independentaaparent mult mai puternica, aceea a algebrelor generate.

Lema 4.8 Fie A1, ...,An partitii independente. Atunci orice numar mai micdintre ele sunt independente.

Demonstratie. Se rationeaza prin inductie descrescand numarul n.Este suficient sa aratam ca oricare n − 1 dintre partitii sunt independente.Sa luam de exemplu cazul primelor n−1 partitii. Fie Ai ∈ Ai, i = 1, ..., n−1si sa zicem ca An = (Bj)j∈J . Avem scrierea ca reuniune disjuncta

A1 ∩ ... ∩ An−1 =⋃j∈J

(A1 ∩ ... ∩ An−1 ∩ Bj) ,


care conduce la

P (A1 ∩ ... ∩ An−1) =∑j∈J

P (A1 ∩ ... ∩ An−1 ∩ Bj) =

=∑j∈J

P (A1) · ... · P (An−1)P (Bj) =

= P (A1) · ... · P (An−1).

La ultima egalitate am utilizat faptul ca∑j∈J

P (Bj) = P (Ω) = 1. Am obtinut

astfel relatia ce arata ca partitiile A1, ...,An−1 sunt independente.

Este evident ca independenta unor sub-σ−algebre ale lui F implica independentapartitiilor generate. Teorema urmatoare arata implicatia inversa.

Propozitia 4.2 Fie A1, ...,An partitii independente. Atunci si σ−algebrelegenerate de aceste partitii sunt independente.

Demonstratie. Vom trata mai ıntai cazul a doua partitii (n = 2). FieA1 = (A1,i)i∈I1

, A2 = (A2,i)i∈I2cele doua partitii.

Fie A ∈ a (A1), care conform cu lema 4.3 se scrie sub forma A = ∪j∈JA1,j ,cu o multime de indici J ⊂ I. Daca consideram un element arbitrar A2,l, dincea de a doua partitie, putem scrie intersectia A∩A2,l ca o reuniune disjuncta

A ∩ A2,l =⋃j∈J

(A1,j ∩ A2,l) ,

ceea ce conduce la

P (A ∩ A2,l) =∑j∈J

P (A1,j ∩ A2,l) =∑j∈J

P (A1,j)P (A2,l) = P (A) P (A2,j) .

Daca acum consideram o multime B ∈ a (A2) care se scrie sub forma B =∪l∈LA2,l cu L ⊂ I2, atunci putem exprima A ∩ B ca o reuniune disjuncta

A ∩ B =⋃l∈L

(A ∩ A2,l) ,

si apoi utilizam relatia obtinuta mai sus pentru a deduce

P (A ∩ B) =∑l∈L

P (A ∩ A2,l) =∑l∈L

P (A)P (A2,l) = P (A) P (B) .


Mai departe, vom trece la cazul general a n partitii. Pentru aceasta, vomorganiza un rationament de inductie matematica astfel: stim ca propozitia afost demonstrata pentru cazul n = 2. Presupunem mai departe ca propozitiaa fost demonstrata pentru sisteme de n − 1 partitii. Utilizand acest lucruvom face demonstratia pentru sisteme de n partitii.

Din lema 4.8, stim ca A1 si A2 sunt independente si vom pastra notatiaanterioara pentru elementele ce compun aceste doua partitii. Atunci putemdescrie partitia asociata lui A1 ∪A2 sub forma

D =(Dij)(i,j)∈Λ ,

unde Di,j = A1,i ∩ A2,j , i ∈ I1, j ∈ I2 iar Λ = (i, j) ∈ I1 × I2 / Dij = ∅ .Independenta dintre A1 si A2 permite sa scriem

P (Dij) = P (A1,i) P (A2,j) .

Afirmam ca D,A3, ...,An sunt n − 1 partitii independente. Pentru a probaacest lucru sa luam Al ∈ Al, l = 3, ..., n si Dij ∈ D. Avem

P (Dij ∩ A3 ∩ ... ∩ An) = P (A1,i ∩ A2,j ∩ A3 ∩ ... ∩ An)

si aceasta ultima expresie poate fi rescrisa utilizand independenta initiala acelor n partitii:

= P (A1,i)P (A2,j)P (A3) · ... · P (An) = P (Dij)P (A3) · ... · P (An).

Aceasta verifica afirmatia facuta: D,A3, ...,An sunt independente. Deciσ−algebrele generate σ (D) , σ (A3) , ..., σ (An) sunt si ele independente, con-form cu ipoteza de inductie.

Fie Ci ∈ σ (Ai), i = 1, ..., n si sa punem D = C1 ∩ C2. Este clar carelatia σ (D) = σ (A1 ∪A2), implica σ (A1) , σ (A2) ⊂ σ (D). In particular,D ∈ σ (D) si, conform independentei stabilite mai sus, putem scrie

P (C1 ∩ C2 ∩ ... ∩ Cn) = P (D ∩ C3 ∩ ... ∩ Cn) = P (D)P (C3) · ... · P (Cn) .

Pe de alta parte P (D) = P (C1) P (C2) si atunci se obtine relatia

P (C1 ∩ C2 ∩ ... ∩ Cn) = P (C1) · ... · P (Cn) .

Aceasta relatie este suficienta pentru a verifica independenta algebrelor a (Ai),i = 1, ..., n, tinınd cont de lema 4.7.


Extrageri de bile colorate. Vom analiza o urna cu n bile colorate. Numarulde culori este k, iar numarul de bile colorate ın culoarea ci este ni. Prin urmareeste satisfacuta relatia

∑ki=1 ni = n. Vom presupune ca se fac m extrageri

repetate cu ıntoarcere, iar ca rezultat al fiecarei extrageri, este notata numaiculoarea bilei extrase. (Aceasta problema a mai aparut o data ın exemplul2. din paragraful dedicat independentei a doua evenimente, sub forma urneicu bilete numerotate, cand aveam k = 10 si m = 2.) Modelul ce corespundeacestui experiment este descris ın felul urmator. Notam M multimea ce co-respunde bilelor din urna. Este o multime finita cu n elemente. Multimeabilelor de culoarea ci va fi notata Mi; este o multime cu ni elemente. Rezultaca multimile M1, ..., Mk formeaza o partitie a lui M. Spatiul probabilizat estedat de multimea

Ω = Mm = (x1, ..., xm) / xl ∈ M, l = 1, ..., m ,

ın care punctul generic va fi notat ω = (x1, ..., xm) . Asa cum stim, pentruextrageri cu ıntoarcere, probabilitatea corespunzatoare este probabilitateasanselor egale. Deci pe multimea Ω se pune probabilitatea ce corespundesanselor egale: P (ω) = 1

nm , pentru orice ω ∈ Ω. Ceea ce ne intereseazaacum este sa punem ın evidenta partitiile ce corespund fiecarei extrageri.Anume, la o extragere se pot manifesta k evenimente distincte. Sa zicem caeste vorba despre extragerea l; atunci pentru l = 1, ..., k avem evenimentuldescris prin propozitia ,,la extragerea l a iesit culoarea i ”. Acest evenimenteste modelat de multimea Al,i = (x1, ..., xm) ∈ Ω/ xl ∈ Mi . Este clar cafamilia Al = (Al,i)i=1,...k este o partitie finita. Avem deci m partitii dis-tincte, fiecare cu cate k atomi. Vom verifica acum ca aceste partitii suntindependente. Pentru a numara punctele dintr-o multime Al,i fixata, vomobserva ca ea este ın bijectie cu multimea Mi × Mm−1. Rezulta ca avemP (Al,i) = ninm−1

nm = ni

n. Pe de alta parte, fiind date multimile A1,i1 , ..., Am,im ,

multimea ∩ml=1Al,il este ın bijectie cu produsul Mi1 × ...×Mim si prin urmare

va avea cardinalul ni1 ...nim . Acest calcul conduce la relatia de independentaa partitiilor:

P (∩ml=1Al,il) =

ni1 ...nim

nm= P (A1,i1) ...P (Am,im) .

Propozitia de mai sus este atunci aplicabila si rezulta independenta algebrelorgenerate de partitiile Al, l = 1, ..., m. Aceasta revine la independenta oricarorevenimente ce se refera la extrageri distincte. Cu alte cuvinte, putem spuneca cele m extrageri sunt independente ıntr-un sens mai larg.


4.3 Asocierea si disocierea independentei

In aceasta sectiune vom trata unele aspecte ale independentei care au consecinteimportante asupra calculelor de probabilitati pentru diverse modele concrete.

Fie (Al)l∈L o familie finita de partitii cel mult numarabile ale caror alge-bre generate le notam Fl = σ (Al) . Presupunem ca multimea indicilor estepartitionata ın forma L = ∪j∈JLj, astfel ca multimile Lj sunt toate nevide siLj∩Lj′ = ∅, daca j = j′. Vom arata ca independenta se asociaza si se dezaso-ciaza dupa aceasta partitie a multimii de indici. Pentru fiecare j ∈ J, notamF j = σ (Al, l ∈ Lj) σ−algebra generata de reuniunea partitiilor Al, l ∈ Lj.Este usor de verificat ca are loc si relatia F j = σ (Fl, l ∈ Lj) .

Teorema 4.1 (i) Daca σ−algebrele (Fl)l∈L sunt independente, atunci siσ−algebrele (F j)j∈J sunt independente.

(ii) Reciproc, presupunem ca σ−algebrele (F j)j∈J sunt independente sica, pentru fiecare indice j ∈ J, σ− algebrele din familia (Fl)l∈Lj

sunt, de

asemenea, independente. Atunci σ− algebrele din familia mare, (Fl)l∈L ,sunt independente ın ansamblu.

Demonstratie. (i) Vom lucra cu partitiile care genereaza σ−algebreleın cauza. Notam cu Aj partitia asociata reuniunii ∪l∈Lj

Al, pentru fiecareindice j ∈ J. Deci are loc egalitatea σ (Aj) = F j. Tinand cont de propozitia4.2, pentru a demonstra afirmatia din teorema este suficient sa demonstramca partitiile (Aj)j∈J sunt independente. Aceasta o vom face ın continuare.

Stabilim mai ıntai o notatie pentru elementele din care este compusafiecare partitie: Al = (Al,i)i∈Il

. In scopul descrierii partitiilor cu indice su-perior vom fixa un indice j ∈ J si, pentru fiecare multiindice λ = (il)l∈Lj

∈∏l∈Lj

Il, notam

Aλ =⋂l∈Lj

Al,il.

Punem apoi Λj =λ ∈ ∏

l∈LjIl / Aλ = ∅

si atunci putem obtine descrierea

partitiei cu indice superior ın forma Aj =(Aλ

)λ∈Λj

. Independenta partitiilor

(Ai)i∈I , permite sa scriem

P(Aλ

)=

∏l∈Lj

P (Al,il) , (∗)

4.3. ASOCIEREA SI DISOCIEREA INDEPENDENTEI 81

oricare ar fi λ = (il)l∈Lj∈ Λj .

Sa presupunem acum ca avem cate un reprezentant fixat din fiecarepartitie cu indice superior: Aλj ∈ Aj, unde λj = (il)l∈Lj

∈ Λj si j ∈ J.Atunci putem scrie ⋂

j∈J

Aλj =⋂j∈J

⋂l∈Lj

Al,il

si, utilizand ipoteza de independenta, vom avea

P

(⋂j∈J

Aλj

)=∏j∈J

∏l∈Lj

P (Al,il) .

Cel de al doilea produs poate fi transformat tinand cont de relatia (∗) de maisus si se deduce ca

P

(⋂j∈J

Aλj

)=∏j∈J

P(Aλj

).

Aceasta este tocmai relatia de independenta a partitiilor cu indice superior.(ii) Afirmatia reciproca va fi demonstrata prin utilizarea lemei 4.7. Pre-

supunem ca pentru fiecare indice l ∈ L avem cate o multime Al ∈ Fl. Vremsa aratam ca

P

(⋂l∈L

Al

)=∏l∈L

P (Al) , (∗∗)

care este relatia ce asigura independenta σ−algebrelor (Fl)l∈L . Pentru aceastaıncepem prin a observa ca intersectia multimilor ın cauza pot fi grupata ınfelul urmator ⋂

l∈L

Al =⋂j∈J

⋂l∈Lj

Al.

Dar pentru fiecare j ∈ J, multimea⋂

l∈LjAl este ın F j. Folosind independenta

σ−algebrelor (F j)j∈J vom avea

P

(⋂l∈L

Al

)=∏j∈J

P

⋂

l∈Lj

Al

.

In continuare, pentru fiecare j ∈ J, utilizam independenta σ−algebrelor


(Fi)i∈Ljsi deducem

P

⋂

l∈Lj

Al

=

∏l∈Lj

P (Al) ,

relatie care ımpreuna cu precedenta conduce la relatia (**).

4.4 Exercitii

Exercitiul 4.1 Notam cu Df mutimea tuturor partitiilor finite, masurabilesi introducem urmatoarea relatie de ordine pe aceasta multime: daca A,A′ ∈Df vom spune ca A este mai fina decat A′ si vom scrie A ≺ A′ daca fiecareelement A din A′ poate fi scris ca o reuniune de elemente din A, adica dacaare loc relatia

A =⋃

B∈A,B⊂A

B.

i) Sa se arate ca A este mai fina decat A′ daca si numai daca are locincluziunea A′ ⊂ a (A) .

ii) Daca A ≺ A′ si A′ ≺ A, atunci A = A′.iii) Daca A ≺ A′ si A′ ≺ A′′, atunci A ≺ A′′.iv) Pentru doua elemente A,A′ ∈ Df exista ıntotdeauna cel mai mare

minorant A ∧A′ ın raport cu relatia de ordine ≺ .v) Fiind date partitiile A1, ...,An ∈ Df , cel mai mare minorant al lor este

partitia A asociata la reuniunea A1∪ ...∪An, construita ınainte de lema 4.6.

Exercitiul 4.2 Presupunem ca spatiul probabilizat (Ω,F , P ) este finit.i) Sa se arate ca exista o multime finita Ω′ si o aplicatie f : Ω → Ω′

surjectiva astfel ıncat F = f−1 (P (Ω′)) .ii) Perchea (Ω′, f) este unic determinata de aceste proprietati, ın sensul

ca daca (Ω′′, g) este o alta multime finita si o aplicatie surjectiva g : Ω → Ω′′,astfel ıncat F = g−1 (P (Ω′′)) , atunci exista o bijectie h : Ω′ → Ω′′ astfelıncat g = h f.

iii) Daca notam cu P ′ masura de probabilitate transportata pe multimeaΩ′ de la punctul i) prin formula P ′ (A) = P (f−1 (A)) , A ∈ P (Ω′) , atuncispatiul probabilizat (Ω′,P (Ω′) , P ′) este echivalent cu (Ω,F , P ) , ca spatiu demodelare. Mai precis, aratati ca aplicatia F : P (Ω′) → F definita prinF (A) = f−1 (A) este o bijectie cu proprietatile urmatoare: a) daca A ⊂ B,atunci F (A) ⊂ F (B) ; b) P ′ (A) = P (F (A)) .

Capitolul 5

Spatiul probabilizat numarabil

5.1 Multimi numarabile

5.1.1 Sumabilitate

In continuare vom avea nevoie sa sumam familii numarabile de numere. FieI o multime cel mult numarabila si fie (ai)i∈I o familie de numere indexata

dupa I. Dorim sa dam sens sumei numerelor (ai)i∈I . In cazul ın care multimeaI este finita nu exista dubii asupra sensului, anume se aduna fiecare numaro singura data si rezultatul este suma ce o notam

∑i∈I ai. Pentru cazul

numarabil exista posibilitatea sa definim suma prin utilizarea notiunii deserie trecand prin numerotarea multimii I si apoi se poate demonstra casuma nu depinde de modul ın care s-a facut numerotarea. Dar pentru maimulta claritate, dam o definitie de la ınceput independenta de modul ın careeste pusa multimea I ın bijectie cu N. Pentru aceasta notam cu K (I) familiatuturor submultimilor finite din I. Vom presupune mai ıntai ca numerele ai

sunt toate pozitive si vom spune ca familia (ai)i∈I este sumabila daca esteındeplinita urmatoarea conditie:

supK∈K(I)

∑i∈K

ai < ∞.

Vom nota∑

i∈I ai := supK∈K(I)

∑i∈K ai si vom spune ca acest numar este

suma familiei de numere (ai)i∈I . Se vede imediat ca orice familie finita denumere este sumabila. De asemenea, se constata ca daca familia (ai)i∈I

este sumabila, atunci orice subfamilie (ai)i∈J ramane sumabila, unde J ⊂ I.Urmatoarea lema este usor de verificat.

83

84 CAPITOLUL 5. SPATIUL PROBABILIZAT NUMARABIL

Lema 5.1 (i) Daca familia de numere pozitive (ai)i∈I este sumabila, atuncipentru orice ε > 0, exista o submultime de indici K ∈ K (I) astfel ıncat areloc relatia

∑i∈I\K ai ≤ ε.

(ii) Presupunem ca multimea de indici este infinita si fie I = i0, i1, ...o numerotare a sa. Atunci familia (ai)i∈i este sumabila daca si numai daca

seria∑∞

k=0 aik este convergenta. In cazul convergentei are loc egalitatea∑i∈I ai =

∑∞k=0 aik .

In continuare vom avea nevoie sa lucram si cu sume de familii cel multnumarabile de numere care nu sunt neaparat pozitive. Iata cum se extindenotiunea de sumabilitate ın acest caz. Fie (ai)i∈I o familie de numere realeindexata dupa o multime cel mult numarabila I. Vom spune ca aceasta familiede numere este absolut sumabila daca familia valorilor absolute, (|ai|)i∈I , estesumabila.

Lema 5.2 Presupunem ca familia (ai)i∈I este absolut sumabila, iar multimeade indici I este numarabila. Atunci exista un unic numar a ∈ R astfel ıncat,pentru orice ε > 0, exista o multime K ∈ K (I) cu proprietatea ca∣∣∣∣∣∑

i∈M

ai − a

∣∣∣∣∣ ≤ ε, ∀M ∈ K (I) , M ⊃ K.

Daca I = i0, i1, ... este o numerotare a multimii de indici, atunci a =∑∞n=0 ain .

Demonstratie. Vom porni cu o numerotare a multimii de indici ca ınenunt. Seria

∑∞n=0 ain este absolut convergenta, datorita ipotezei ca familia

(ai)i∈I este absolut sumabila. Notam a =∑∞

n=0 ain si vom verifica proprie-tatea afirmata de lema ın felul urmator. Datorita faptului ca familia (|ai|)i∈I

este sumabila, prin aplicarea lemei 5.1(i), pentru ε > 0, exista K ∈ K (I)astfel ıncat

∑i∈L |ai| < ε

2, pentru orice L ∈ K (I) astfel ıncat L ∩ K = ∅.

Rezulta ca avem∣∣∣∣∣∑i∈M

ai −∑i∈K

ai

∣∣∣∣∣ ≤ ∑i∈M\K

|ai| <ε

2, ∀M ∈ K (I) , M ⊃ K.

Dar pentru n suficient de mare, multimea i0, ..., in va contine pe K si atunciputem scrie ∣∣∣∣∣

n∑k=0

aik −∑i∈K

ai

∣∣∣∣∣ <ε

2.

5.1. MULTIMI NUMARABILE 85

Trecand la limita cu n obtinem∣∣a −∑

i∈K ai

∣∣ ≤ ε2. In combinatie cu relatia de

mai ınainte se deduce∣∣a −∑

i∈M ai

∣∣ ≤ ∣∣a −∑i∈K ai

∣∣+∣∣∑i∈M ai −

∑i∈K ai

∣∣ ≤ε, care da proprietatea din enunt.

Unicitatea numarului a se demonstreaza la fel ca unicitatea unei limitede siruri.

Daca familia (ai)i∈I este absolut sumabila, vom nota cu∑

i∈I ai numarula dat de lema anterioara si vom spune ca el reprezinta suma familiei denumere.

Se verifica fara probleme ca daca (ai)i∈I este o familie sumabila de numerepozitive si (bi)i∈I este o alta familie de numere reale, indexata dupa aceeasimultime de indici si are loc inegalitatea |bi| ≤ ai, pentru orice indice i ∈ I,atunci familia (bi)i∈i este absolut sumabila. De asemenea se poate vedea capentru orice doua familii absolut sumabile (ai)i∈I , (bi)i∈I , astfel ca ai ≤ bi,pentru orice i ∈ I, are loc inegalitatea

∑i∈i ai ≤

∑i∈i bi.

Mai departe vom enunta doua leme cu privire la calcule cu sume defamilii absolut sumabile. Aceste calcule sunt binecunoscute ın cazul seriilorde numere. Pentru demonstratie se poate utiliza numerotarea astfel ca prinintermediul lemelor de mai sus sa se reduca totul la probleme de serii denumere.

Lema 5.3 Fie Il/l ∈ L o partitie cel mult numarabila a multimii de indiciI. (Asta ınseamna ca L este cel mult numarabila.) Daca familia de numere(ai)i∈I este absolut sumabila, atunci si familia

(∑i∈Il

ai

)l∈L

este absolut sum-abila si are loc urmatoarea formula de grupare a sumelor∑

i∈I

ai =∑l∈L

∑i∈Il

ai.

Reciproc, daca ai ≥ 0, pentru orice i ∈ I si fiecare din familiile de numere(ai)i∈Il

, l ∈ L, este sumabila iar familia(∑

i∈Ilai

)l∈L

este si ea sumabila,

atunci familia initiala (ai)i∈I este sumabila si este valabila formula de maisus.

O situatie similara apare ın cazul unei multimi de indici care este produsulaltor multimi. Sa presupunem acum ca avem n mutimi de indici I1, ..., In, celmult numarabile, si o familie de numere reale pozitive (ai1,...,in)i1∈I1,...,in∈In

,indexata dupa toate multimile de indici. Daca notam I = I1×...×In, aceastamultime produs este cel mult numarabila si putem considera ca familia de


numere este indexata dupa I, scriind (ai)i∈I , unde cu i desemnam un multi-indice i = (i1, ..., in) . Are loc urmatoarea caracterizare a sumabilitatii ınraport cu acesti multi-indici.

Lema 5.4 Familia de numere de mai sus este sumabila ca familie indexatadupa I daca si numai daca ea este iterativ sumabila ın sensul urmator: pentrufiecare sistem de indici fixati i1 ∈ I1, ..., in−1 ∈ In−1, familia (ai1,...,in)in∈In

estesumabila, de asemenea, pentru fiecare sistem de indici i1 ∈ I1, ..., in−2 ∈ In−2

familia(∑

in∈Inai1,...,in−2,in−1,in

)in−1∈In−1

este sumabila, si asa mai departe,

familia ∑

i2∈I2

...

∑

in−1∈In−1

(∑in∈In

ai1,i2,...,in−1,in

) ...

i1∈I1

este sumabila. In plus are loc relatia

∑i∈I

ai =∑i1∈I1

∑

i2∈I2

...

∑

in−1∈In−1

(∑in∈In

ai1,i2,...,in−1,in

) ...

.

Ca o consecinta a acestei leme se observa ca ordinea de sumare poate fifacuta ın orice fel. Verificarea lemei o lasam cititorului. (Cazul cand n = 2este de fapt un caz particular al lemei anterioare.)

5.1.2 Masuri pe o multime cel mult numarabila.

In continuare, vom nota cu E o multime cel mult numarabila. Din punctulde vedere al teoriei masurii, spatiul acesta este foarte simplu. Multimeapartilor P (E) reprezinta singura σ−algebra de interes pe E. Daca E esteinfinita, mai exista un obiect distinct, anume algebra generata de multimileformate dintr-un punct. Aceasta algebra consta din toate multimile finite sicele cu complementara finita. Dar ea nu are nici un rol anume. O proprietatesimpla, dar care joaca un rol special ın ceea ce ne intereseaza, este enuntataın urmatoarea lema.

Lema 5.5 Fie (An)n∈N un sir descrescator de submultimi nevide ale lui E.Daca una dintre multimile sirului este finita, atunci intersectia sirului demultimi este nevida.

5.1. MULTIMI NUMARABILE 87

Lema urmatoare arata ca o masura de probabilitate pe aceasta σ−algebraeste complet determinata de valorile pe care le da multimilor cu un singurelement.

Lema 5.6 Fie µ o masura de probabilitate pe P (E) si (Ai)i∈I o familie celmult numarabila de parti ale lui E astfel ca Ai ∩ Aj = ∅, daca i = j. Atunciare loc relatia

µ

(⋃i∈I

Ai

)=∑i∈I

µ (Ai) .

Daca pentru orice punct e ∈ E notam µe = µ (e) , atunci se poateexprima valoarea pe care o da masura unei multimi arbitrare A ⊂ E astfel:

µ (A) =∑e∈A

µe. (∗)

In particular, doua masuri care coincid pe puncte sunt identice.

Demonstratie. Prima relatie este trivial verificata ın cazul ın care Ieste finita. Daca I este numarabila se numeroteaza I = i0, i1, ... si se scrie

µ

(⋃i∈I

Ai

)= µ

( ∞⋃k=0

Aik

)= lim

n→∞µ

(n⋃

k=0

Aik

)= lim

n→∞

n∑k=0

µ (Aik) =∑i∈I

µ (Ai) ,

ceea ce demonstreaza relatia. Celelalte afirmatii ale lemei rezulta imediatdin relatia demonstrata.

Constructia de masuri pe o multime cel mult numarabila se bazeaza perelatia (*) din lema.

Lema 5.7 Fie (µe)e∈E o familie de numere reale care satisface conditiileurmatoare:

1) µe ∈ [0, 1] pentru orice e ∈ E,2)

∑e∈E µe = 1.

Atunci relatia (*) din lema de mai sus defineste o masura de probabilitatepe E.

Demonstratie. Este usor de vazut ca definitia data implica finit adi-tivitatea masurii. Pentru a verifica σ− aditivitatea, pornim cu un sir demultimi disjuncte (An)n∈N si notam A = ∪nAn. Avem

µ (A) =∑e∈A

µe =∑n∈N

∑e∈An

µe =∑n∈N

µ (An) ,


unde la al doilea semn egal am utilizat lema 5.4.

Masura definita ın lema anterioara mai poate fi scrisa si ca o serie demasuri Dirac. Pentru a explica acest lucru, mai ıntai sa punem notatia δe

pentru masura Dirac ın punctul e ∈ E, definita prin δe (i) = 0, daca i = esi δe (e) = 1. Aplicata unei multimi arbitrare A ⊂ E, avem δe (A) = 0,daca e /∈ A si δe (A) = 1, daca e ∈ A. Mai putem spune ca δe este masurade probabilitate suportata de punctul e. Atunci putem scrie µ =

∑e∈E µeδe,

egalitate care se verifica pentru fiecare multime A :

µ (A) =∑e∈A

µe =∑e∈A

µeδe (A) =∑e∈E

µeδe (A) .

Notiunea de integrala ın raport cu o masura de probabilitate µ pe P (E)se defineste ın felul urmator. Fiind data o functie f : E → R, se spuneca aceasta este integrabila daca familia (f (e)µe)e∈E este absolut sumabila.Numarul ∫

fdµ :=∑e∈E

f (e) µe

este numit integrala functiei f ın raport cu masura µ. Se mai utilizeaza sinotatia

∫E

f (e) µ (de) =∫

fdµ.

5.2 Produsul de masuri discrete

Pentru a construi modele probabiliste ce corespund mai multor experimenteale caror rezultate sunt independente, se apeleaza la produsele de spatii pro-babilizate. Vom considera mai ıntai cazul a doua multimi finite pentru aıntelege mai bine notatia ce intervine.

Sa presupunem ca avem date multimile finite E = e1, ..., em si F =f1, ..., fn , cu masurile de probabilitate µ = (µ1, ..., µm) , ν = (ν1, ..., νn) ,unde am notat µi = µ (ei) si νj = ν (fj) . Deci au loc relatiile µ1 + ... +µm = 1 si ν1+...+νn = 1. Pe spatiul produs E×F se poate defini o masura λpunand λij = λ ((ei, fj)) := µiνj . Intr-adevar, se verifica imediat conditia

m,n∑i=1,j=1

λij =

m∑i=1

n∑j=1

µiνj =

(m∑

i=1

µi

)(n∑

j=1

νj

)= 1.

Masura λ se numeste masura produs a celor doua masuri si se noteaza λ =µ⊗

ν.

5.2. PRODUSUL DE MASURI DISCRETE 89

Aceasta constructie se poate generaliza la produsul a n multimi cel multnumarabile. Fie E1, ..., En multimi cel mult numarabile pe care avem definite,respectiv, masurile de probabilitate µ1, ..., µn. Analog cazului anterior folosimnotatia µl,e = µl (e) , e ∈ El, l = 1, ..., n pentru masura punctelor dinspatiile respective. Pe spatiul produs E =

∏ni=1 Ei, care este de asemenea o

multime cel mult numarabila, definim masura µ, punand valoarea pe puncte

µ ((e1, ..., en)) := µ1,e1...µn,en, ∀ (e1, ..., en) ∈ E.

Se verifica relatia∑(e1,...,en)∈E µ ((e1, ..., en)) =

∑e1∈E1

...∑

en∈Enµ1,e1...µn,en

=(∑

e1∈E1µ1,e1

)...(∑

en∈Enµn,en

)= 1,

care arata ca valorile puse pe punctele spatiului produs definesc o masura deprobabilitate pe E. Aceasta masura este notata cu µ = µ1

⊗...⊗

µn.

Lema 5.8 Fie Bl ⊂ El, l = 1, ..., n multimi arbitrare. Atunci are loc formula

µ1

⊗...⊗

µn (B1 × ... × Bn) = µ1 (B1) ...µn (Bn) .

Demonstratie. Multimea produs B1 × ... × Bn se poate exprima careuniunea punctelor sale ın felul urmator

B1 × ... × Bn =⋃

(e1,...,en)∈B1×...×Bn

(e1, ..., en) .

Deoarece multimile ce participa la aceasta reuniune sunt disjuncte rezulta

µ (B1 × ... × Bn) =∑

(e1,...,en)∈B1×...×Bnµ ((e1, ..., en)) =

=∑

e1∈B1...∑

en∈Bnµ ((e1, ..., en)) =

∑e1∈B1

...∑

en∈Bnµ1,e1...µn,en =

=(∑

e1∈B1µ1,e1

)...(∑

en∈Bnµn,en

)= µ1 (B1) ...µn (Bn) ,

care este relatia de demonstrat.

Pentru fiecare l = 1, ..., n definim pe E cate o partitie numarabila Al =(Al,e)e∈El

punand

Al,e = (e1, ..., en) ∈ E/ el = e = E1×...×El−1×e×El+1×...×En, e ∈ El.

Urmatoarea lema descrie σ− algebrele generate de aceste partitii.


Lema 5.9 O multime A ⊂ E apartine lui σ (Al) daca si numai daca existao multime B ⊂ El astfel ca sa aiba loc reprezentarea

A = E1 × ... × El−1 × B × El+1 × ... × En.

Demonstratie. Multimea care apare ın reprezentarea din enunt seexprima si sub forma

E1 × ... × El−1 × B × El+1 × ... × En =⋃e∈B

Al,e.

Aceasta egalitate arata clar ca o multime care se reprezinta ca ın enunt esteın σ (Al) . Fie acum A ∈ σ (Al) . Tinand cont de lema 4.3(ii). si ca multimeade indici pentru partitia Al este El, se obtine o multime K ⊂ El cu care sereprezinta A sub forma

A =⋃e∈K

Al,e.

Dar atunci este satisfacuta relatia din enunt cu aceasta multime K pe locullui B.

Propozitia 5.1 σ− algebrele σ (A1) , ..., σ (An) sunt independente relativ lamasura produs µ = µ1

⊗...⊗

µn.

Demonstratie. Fie Al ∈ σ (Al) , l = 1, ..., n. Din lema anterioarastim ca pentru fiecare l exista multimea Bl ⊂ El astfel ıncat sa aiba locreprezentarea

Al = E1 × ... × El−1 × Bl × El+1 × ... × En.

Cu aceasta notatie putem scrie

A1 ∩ ... ∩ An = B1 × ... × Bn,

ceea ce duce la

µ (A1 ∩ ... ∩ An) = µ1 (B1) ...µn (Bn) .

Pe de alta parte, se poate calcula si masura µ (Al) = µl (Bl) , ceea ce permitesa deducem

µ (A1 ∩ ... ∩ An) = µ (A1) ...µ (An) ,

adica exact relatia care arata independenta σ− algebrelor.

5.3. VARIABILE ALEATOARE CU VALORI NUMARABILE 91

5.3 Variabile aleatoare cu valori numarabile

In aceasta sectiune vom presupune dat un spatiu probabilizat (Ω,F , P ) .

Definitia 5.1 Fie E o multime cel mult numarabila. O aplicatie X : Ω → E,va fi numita variabila aleatoare cu valori ın E daca fiecare din multimileX−1 (B) , B ⊂ E, apartine lui F .

Pentru termenul de variabila aleatoare exista si denumirea de aplicatiemasurabila, care este denumirea utilizata ın teoria masurii. Daca multimeaE este inclusa ın R, atunci spunem simplu variabila aleatoare si nu maimentionam multimea valorilor. Remarcam ca, pentru ca X sa fie o variabilaaleatoare, este suficient sa se verifice ca, pentru orice punct e ∈ E, estesatisfacuta conditia X−1 (e) ∈ F .

5.3.1 σ−algebra generata de o variabila

Unei variabile aleatoare ca ın definitie i se asociaza urmatoarea clasa demultimi

σ (X) =X−1 (B) / B ⊂ E

.

Listam mai jos cateva din faptele mai importante legate de aceasta clasa demultimi.

1. σ (X) este cea mai mica σ− algebra care face masurabila aplicatiaX. Ea coincide cu σ−algebra generata de partitia A = (X−1 (e))e∈E′ , undeE ′ = X (Ω) este multimea valorilor lui X.

σ (X) poarta denumirea de σ−algebra generata de X.2. Fie E1, ..., En, multimi cel mult numarabile si presupunem ca Xi :

Ω → Ei, i = 1, ..., n, sunt variabile aleatoare. Notam prin σ (X1, ..., Xn) ceamai mica σ− algebra ın raport cu care sunt masurabile toate aceste variabilesi cu Ai =

(X−1

i (e))

e∈E′i

partitiile corespunzatoare acestor variabile, unde

E ′i = Xi (Ω) , i = 1, ..., n. Atunci se poate usor demonstra egalitatea

σ (X1, ..., Xn) = σ

(n⋃

i=1

Ai

).

3. Cu notatia de la punctul anterior, definim Z : Ω → E1 × ... × En,aplicatia exprimata prin Z (ω) = (X1 (ω) , ..., Xn (ω)) . Atunci are loc egali-tatea σ (X1, ..., Xn) = σ (Z) .


Pentru verificarea acestei egalitati este suficient sa notam E ′ := Z (Ω) ⊂E ′

1 × ... × E ′n si sa constatam ca atomii partitiei asociate variabilei Z, A =

(Z−1 (e1, ..., en))(e1,...,en)∈E′ , satisfac relatia

Z−1 (e1, ..., en) = X−11 (e1) ∩ ... ∩ X−1

n (en) ,

adica fac parte dintre atomii partitiei care genereaza σ−algebra σ (A1, ...,An) .Mai mult, daca avem punctele e1 ∈ E ′

1, ..., en ∈ E ′n, relatia (e1, ..., en) ∈

E ′ este echivalenta cu faptul ca multimea X−1 (e1) ∩ .... ∩ X−1 (en) estenevida. Dar asta este exact conditia ca aceasta multime sa reprezinte unatom al partitiei ce genereaza σ (A1, ...,An) . Tragem concluzia ca partitiacare genereaza σ (A1, ...,An) coincide cu partitia asociata variabilei Z.

4. De asemenea, pastrand notatia anterioara, daca f : E1 × ...×En → Eeste o aplicatie cu valori ın multimea cel mult numarabila E, atunci Y =f (X1, ..., Xn) este masurabila fata de σ (X1, ..., Xn) .

Intr-adevar, pentru orice punct e ∈ E, are loc relatia

Y −1 (e) =⋃

(e1,...,en)∈f−1(e)

Z−1 (e1, ..., en) ,

relatie care pune ın evidenta faptul ca Y −1 (e) este masurabila fata de σ (Z) .

Definitia 5.2 Fie Xi : Ω → Ei, i = 1, ..., n, variabile aleatoare cu valori ınmultimi cel mult numarabile. Vom spune ca acestea sunt independente daca,pentru orice multimi Ai ⊂ Ei, i = 1, ..., n, multimile ıntoarse X−1

i (Ai) , i =1, ..., n sunt independente.

5. Independenta variabilelor Xi, i = 1, ..., n este echivalenta cu independentaσ−algebrelor σ (Xi) , i = 1, ..., n. Din propozitia 4.2 stim ca aceasta independentarevine la independenta partitiilor asociate definite prin Ai =

(X−1

i (e))

e∈E′i,

unde am notat E ′i = Xi (Ω) , i = 1, ..., n.

6. Pe aceeasi linie, facem observatia ca un numar finit de evenimente,A1, ..., An, sunt independente daca si numai daca variabilele aleatoare, cuvalori ın 0, 1 , constituite din functiile caracteristice 1A1, ..., 1An sunt inde-pendente.

7. Fie X1, ..., Xn o familie de variabile aleatoare independente cu valori ınspatiile cel mult numarabile Ei, i = 1, ..., n. Sa presupunem ca 1 ≤ n1 < ... <nk−1 < nk = n sunt numere naturale care ımpart variabilele ın k grupuri.Daca fj : Enj−1+1 × ... × Enj

→ Fj, j = 1, .., k sunt aplicatii ce iau valori


ın spatiile cel mult numarabile Fj , j = 1, ..., k, atunci variabilele aleatoareYj = fj

(Xnj−1+1, ..., Xnj

), j ∈ J, sunt independente.

Pentru a demonstra afirmatia facuta vom aplica mai ıntai punctul 4. demai sus, deducand ca variabila Yj este masurabila fata de σ

(Xnj−1+1, ..., Xnj

).

Apoi, din teorema 4.1, se deduce faptul ca σ−algebrele

σ (X1, ..., Xn1) , ..., σ(Xnk−1+1, ..., Xnk

)sunt independente, ceea ce implica afirmatia facuta.

5.3.2 Repartitia unei variabile

Unei variabile aleatoare X : Ω → E, cu valori ın multimea cel mult numarabilaE, i se asociaza urmatoarea aplicatie PX : P (E) → [0, 1] , definita prinPX (B) = P (X−1 (B)) . Se poate usor verifica ca PX este o masura de proba-bilitate pe E. Ea este numita repartitia lui X. Evident ca repartitia aceastaeste suportata de E ′, ın sensul ca PX (E\E ′) = 0. Ea este determinata devalorile pe puncte PX (e) = P (X−1 (e)) , e ∈ E, prin intermediul valorilorlui P pe atomii partitiei A, introduse mai sus la puctul 1. Pentru e ∈ E\E ′,avem X−1 (e) = ∅, deci PX (e) = 0, ın acest caz.

Daca µ este o masura de probabilitate pe E, atunci ea poate fi privitaca repartitia variabilei aleatoare X : E → E, data de aplicatia identitate,definita prin X (e) = e, pentru orice e ∈ E. In acest caz se considera cadomeniu de definitie al variabilei spatiul probabilizat (E,P (E) , µ) . De aceease obisnuieste a numi repartitie orice masura de probabilitate pe E.

Urmatoarea propozitie caracterizeaza independenta ın termenii repartitilor.

Propozitia 5.2 Presupunem ca Xi : Ω → Ei, i = 1, 2 sunt doua variabilealeatoare cu valori ın spatiile cel mult numarabile Ei, i = 1, 2 si notam Z :Ω → E1 × E2, aplicatia definita prin Z (ω) = (X1 (ω) , X2 (ω)) . Variabilelealeatoare X1 si X2 sunt independente daca si numai daca variabila Z arerepartitia exprimata sub forma produsului

PZ = PX1

⊗PX2.

Demonstratie. In discutiile anterioare am remarcat ca independentavariabilelor X1 si X2 este echivalenta cu independenta σ− algebrelor σ (X1)si σ (X2) si ca aceasta independenta revine la independenta partitiilor A1 =


(X−1

1 (e))

e∈E′1

si A2 =(X−1

2 (e))

e∈E′2, unde am notat E ′

i = Xi (Ω) , i = 1, 2.

Sa presupunem atunci ca variabilele date sunt independente. Rezulta capentru orice puncte e1 ∈ E ′

1 si e2 ∈ E ′2 are loc relatia

P(X−1

1 (e1) ∩ X−12 (e2)

)= P

(X−1

1 (e1))P(X−1

2 (e2)). (∗)

Daca e1 ∈ E1\E ′1, atunci X−1 (e1) = ∅ nu poate fi atom al partitiei A1. Totusi

relatia (*) ramane valabila pentru ca ambii sai membrii sunt zero, chiar dacae2 este si el arbitrar. Pe de alta parte, tinand cont ca X−1

1 (e1) ∩ X−12 (e2) =

Z−1 (e1, e2) , relatia (*) devine

PZ ((e1, e2)) = PX1 (e1)PX2 (e2) = PX1

⊗PX2 ((e1, e2)) ,

pentru orice pereche (e1, e2) ∈ E1×E2. Rezulta ca masurile PZ si PX1

⊗PX2

coincid.

Reciproc, daca masurile PZ si PX1

⊗PX2 coincid, este valabila relatia (*)

si deci variabilele X1 si X2 sunt independente.

Propozitia demonstrata se generalizeaza, cu aceeasi demonstratie, la cazula n variabile.

Propozitia 5.3 Variabilele X1, ..., Xn, sunt independente daca si numai dacarepartitia variabilei Z = (X1, ..., Xn) satisface relatia

PZ = PX1

⊗...⊗

PXn .

Aceasta propozitie permite construirea de modele probabiliste pentruvariabile aleatoare independente cu repartitii date. Mai precis, fie Ei, i =1, ..., n, multimi cel mult numarabile pe care sunt definite masurile de proba-bilitate µi, i = 1, ..., n. Notam W = E1 × ...×En spatiul produs si Xi : W →Ei aplicatia de proiectie pe componenta i, definita prin Xi ((e1, ..., en)) = ei,pentru orice (e1, ..., en) ∈ W. Pe spatiul W, ınzestrat cu σ− algebra P (W ) , in-troducem masura produs Q = µ1

⊗...⊗

µn. Cu aceste notatii putem spuneca (W,P (W ) , Q) este un spatiu probabilizat si ca X1, ..., Xn sunt variabilealeatoare. In plus are loc urmatorul rezultat.

Propozitia 5.4 Repartitia lui Xi este µi, pentru orice i = 1, ..., n.Variabilelealeatoare X1, ..., Xn sunt independente.


Demonstratie. Vom calcula mai ıntai repartitia lui Xi. Pentru e ∈ Ei

are loc egalitatea

X−1i (e) = E1 × ... × Ei−1 × e × Ei+1 × ... × En,

care se verifica imediat. De aceea avem

QXi(e) = Q

(X−1

i (e))

= µ1 (E1) ...µi−1 (Ei−1) µi (e) µ (Ei+1) ...µ (En) = µi (e) ,

ceea ce probeaza egalitatea QXi= µi.

Pe de alta parte, aplicatia Z = (X1, ..., Xn) : W → E1 × ... × En esteaplicatia identica, si de aceea avem QZ = µ1

⊗...⊗

µn. Propozitia ante-rioara ne asigura ca variabilele noastre sunt independente.

Un alt argument ce demonstreaza independenta afirmata ar fi urmatorul:partitia asociata variabilei Xl este exact partitia Al, definita ın paragra-ful despre σ−algebra asociata unei variabile aleatoare si are loc egalitateaσ (Xl) = σ (Al) . Propozitia 5.1 afirma exact independenta ce o dorim.

Exemplul 1. Un zar masluit are pusa o greutate ın varful adiacent fetelorcu numerele 1, 3, 5. Aceasta greutate face ca fetele opuse, adica cele ce poartanumerele 2, 4, 6, sa apara cu o probabilitate mai mare la aruncare. Deci fetelecu numere impare au probabilitatile de a iesi egale ıntre ele si la fel fetele cunumere pare. Dar o fata cu numar par are mai multe sanse de a iesi decatuna cu numar impar. Ne propunem sa construim un model probabilist caresa descrie seriile de mai multe aruncari cu un astfel de zar.

Sa notam cu r raportul dintre sansele de a iesi o fata para si una imparala o aruncare. Deci avem r > 1. Vom determina mai ıntai ın functie de rprobabilitatile de a iesi fiecare fata. Notand pi probabilitatea de a iesi fatai, vom putea scrie

∑6i=1 pi = 1, p1 = p3 = p5, p2 = p4 = p6 si p2

p1= r. Rezulta

3p1 + 3rp1 = 1, deci p1 = 13(1+r)

si p2 = r3(1+r)

.

Mai departe notam E = 1, 2, 3, 4, 5, 6 , multimea care descrie posi-bilitatile ce pot aparea ın urma unei aruncari. Pe aceasta multime definimmasura µ prin numerele µ1 = µ3 = µ5 = 1

3(1+r), µ2 = µ4 = µ6 = r

3(1+r). Daca

dorim sa modelam seriile de n aruncari notam Ω = En = E × ... × E︸︷︷︸n

si

Xl : Ω → E este proiectia pe componenta l, l = 1, ..., n. Spatiul Ω reprezintamultimea tuturor rezultatelor posibil a fi obtinute ın urma unei serii de naruncari cu zarul. Variabila Xl descrie rezultatul la cea de a l -a aruncarecu zarul, iar ın ansamblu cele n variabile descriu rezultatele succesive ıntr-o


serie de n aruncari. Este clar ca diferitele aruncari cu zarul sunt indepen-dente. De aceea punem pe spatiul Ω masura produs P = µ

⊗...⊗

µ, careface variabilele Xl independente si identic repartizate cu repartitia µ. Deci(Ω,P (Ω) , P ) descrie seriile de n aruncari cu zarul masluit.

Exemplul 2. Sa revenim acum la modelul bilei ıntoarse. Am notat M =1, 2, ..., n si Ω = M × ...×M, produsul cu un numar de k factori care mod-eleaza seriile de k extrageri succesive cu revenire. Masura de probabilitate P,care defineste sanse egale pentru fiecare element ω = (xi, ..., xk) ∈ Ω a fostdefinita prin expresia P (ω) = 1

nk . Vom obseva acum ca aceasta masura

este o masura produs. Intr-adevar, daca notam cu µ masura uniforma pe M,definita prin µ (l) = 1

n, pentru orice l ∈ M, atunci se poate constata ca are

loc egalitatea P = µ⊗

...⊗

µ. Sa mai observam ca variabila care reprezintaproiectia pe componenta i, definita prin Xi : Ω → M, Xi ((x1, ..., xk)) = xi

este variabila care indica numarul bilei extrase la cea de a i−a extragere.Prin urmare, putem spune ca modelul probabilist introdus pentru schemabilei ıntoarse asigura independenta variabilelor Xi, i = 1, ..., k si faptul caacestea sunt uniform repartizate. Este clar ca aceste doua proprietati aleacestor variabile sunt ın concordanta cu ceea ce asteptam de la model. Pe dealta parte, se poate verifica ca P este singura masura de probabilitate pe Ωcare face din proiectii variabile independente si uniform repartizate. Cu altecuvinte aceste proprietati determina modelul.

Sa reflectam acum la modelarea problemei zilelor de nastere tratata ıncapitolul 2. Am adoptat pentru aceasta problema modelul extragerilor curevenire. Daca aceptam ca trasaturi obligatorii ale acestei probleme faptulca zilele de nastere ale persoanelor din grup sunt reprezentate de variabilealeatoare independente si uniform repartizate, ınseamna ca trebuie sa ac-ceptam ca unic model cel adoptat ın capitolul 2.

Exemplul 3. Vom discuta acum o alta varianta de modelare a problemeizilelor de nastere. Sa presupunem ca de fapt problema se refera ın modconcret la o anumita populatie, formata dintr-un anumit numar de indivizi,m, pentru care se stie numarul de persoane ce au zilele de nastere ın fiecarezi a anului. Atunci, un grup de n indivizi luati la ıntamplare din aceastapopulatie (n ≤ 365) sunt modelati de o extragere fara ordine de n bile dintr-o urna cu m bile. Desigur ca acesta este modelul cel mai limpede si maiusor de acceptat. Vom examina acest model ın cazul ın care presupunem


ca populatia ın cauza este compusa dintr-un numar egal de indivizi nascutipentru fiecare zi a anului si facem presupunerea ca avem doar 365 de zile ınfiecare an. Vom trece apoi la limita cu l → ∞, pentru a vedea ca se ajungela acelasi model ca ın paragraful dedicat problemei din capitolul 2.

Daca notam cu l numarul indivizilor ce au aceeasi zi de nastere, atuncinumarul total de indivizi va fi m = 365l. Vom face modelarea extragerilorde n bile fara ordine bazandu-ne pe schema bilei neıntoarse. Pentru aceastaidentificam populatia celor m indivizi cu multimea M = 1, ..., m si notamcu Aj multimea indivizilor nascuti ın cea de a j−a zi a anului, j = 1, ...365.Rezulta ca familia (Aj)j=1,...,365 formeaza o partitie a lui M si cardinalulfiecareia din multimile Aj este l. Spatiul tuturor posibilitatilor este cel cecorespunde schemei bilei neıntoarse

W = (x1, ..., xn) / xi ∈ M, xi = xj , ∀i = j .

Probabilitatea ce o consideram pe W o notam cu Q si, asa cum se stie,ea acorda ponderea Q ((x1, ..., xn)) = 1

cardW= 1

Anm

pentru fiecare punct

w = (x1, ..., xn) ∈ W. Din punctul de vedere al problemei noastre, ceea ceintereseaza sunt doar zilele de nastere ale indivizilor dintr-un grup w. Vomnota E = 1, ..., 365 multimea zilelor anului si vom defini apoi o aplicatief : M → E, ın felul urmator: f (x) = k daca si numai daca x ∈ Ak.Aceasta este aplicatia care asociaza fiecarui individ ziua sa de nastere. Vomintroduce spatiul Ω = En, care ınregistreaza toate configuratiile de zile denastere posibil a corespunde unui grup w ∈ W. Aplicatia f permite a definio variabila aleatoare, F : W → Ω, prin F (x1, ..., xn) = (f (x1) , ..., f (xn)) .Deoarece pentru problema ce ne intereseaza evenimentele elementare ale luiW sunt cercetate doar prin intermediul imaginii lor prin F, rezulta ca putemlua ca model spatiul Ω cu repartitia variabilei F, care este o probabilitate peΩ obtinuta prin transportul lui Q prin intermediul variabilei F. Deoarece Qdepinde de numarul l, ce ıl vom presupune variabil, tinzand chiar la infinit,vom pune Pl = QF pentru a desemna repartitia aceasta. Mai departe vomcompara probabilitatea Pl cu probabilitetea sanselor egale pe Ω. Mai precis,fie P probabilitatea sanselor egale pe Ω, definita prin P (ω) = 1

cardΩ= 1

365n ,pentru orice punct ω ∈ Ω. Vom arata ca Pl tinde la P, atunci cand l tinde lainfinit, ın sensul urmator:

liml→∞

Pl (ω) = P (ω) , ∀ω ∈ Ω.

Pentru a verifica aceasta relatie vom fixa un element arbitrar ω ∈ Ω si vomcalcula cardinalul multimii F−1 (ω) . Sa zicem ca elementul dat are descrierea


pe componente ω = (k1, ..., kn) . Componentele nu sunt neaparat toate dis-tincte si, pentru a clarifica acest lucru vom proceda astfel. Pentru fiecare zia anului, k ∈ E, vom pune Jk = i ≤ n/ ki = k , pentru a desemna indiciicomponentelor ce coincid cu ziua k, iar apoi jk = cardJk, pentru a numarade cate ori se repeta ziua k ıntre componentele lui ω. Multimile Jk pot fivide pentru anumite valori k ∈ E, astfel ca jk = 0 ıntr-o astfel de situatie.In orice caz avem

∑365k=1 jk = n, numarul total de componente ale lui ω. Fie

acum w = (x1, ..., xn) ∈ W, astfel ca F (w) = ω. Rezulta ca pentru un k ∈ Efixat are loc relatia f (xi) = k, pentru orice i ∈ Jk. Daca un alt elementw′ = (x′

1, ..., x′n) ∈ W este construit, pornind de la w, prin ınlocuirea compo-

nentelor de pe pozitiile Jk cu alte puncte din multimea Ak rezulta ca vom aveaF (w′) = ω. Dar exista Ajk

l = l (l − 1) ... (l − jk + 1) posibilitati de a obtineelemente distincte din W prin acest procedeu. Cu conventia A0

l = 1, putemexprima numarul total al elementelor din F−1 (ω) sub forma

∏k∈E Ajk

l .Putem concluziona ca

Pl (ω) = Q(F−1 (ω)

)=

cardF−1 (ω)

cardW=

∏k∈E Ajk

l

Anm

=

=l (l − 1) ... (l − j1 + 1) ...l (l − 1) ... (l − j365 + 1)

365l (365l − 1) ... (365l − n + 1).

Deoarece, asa cum am remarcat, are loc relatia∑365

k=1 jk = n, rezulta ca ınprodusul de la numarator sunt n factori. Jos sunt tot atatia factori si atuncise poate scoate ın factor si simplifica cu l, astfel ca fractia anterioara devine

=

(1 − 1

l

)...(1 − j1+1

l

)...(1 − 1

l

)...(1 − j365+1

l

)365

(365 − 1

l

)...(365 − n−1

l

) .

Trecand la limita este clar ca obtinem lim Pl (ω) = 1(365)n = P (ω) .

Rezulta ca modelul utilizat de noi ın paragraful dedicat problemei zilelelorde nastere, din capitolul 2, corespunde unei situatii ideale, ın care facem treipresupuneri simplificatoare: 1) presupunem ca anul ar avea ıntotdeauna 365de zile, 2) numarul de persoane nascute ın aceeasi zi este acelasi pentru fiecarezi a anului, 3) populatia totala luata ın discutie este infinita, ın sensul datde procesul de trecere la limita descris mai sus.

Dar aproximarea data de trecerea la limita cu l converge destul de rapid.De exemplu, evaluarile pentru multimea

Λ = ω = (x1, ..., xn) ∈ Ω | xi = xj , ∀ i = j ,


facute cu masura Pl sau cu P sunt foarte apropiate. Intr-adevar, stim caP (Λ) = (365−1)(365−2)...(395−n+1)

(365)n−1 . Pe de alta parte, nu este greu de calcu-

lat cardinalul multimii F−1 (Λ) pe baza ideilor expuse anterior. Se obtinecardF−1 (Λ) = An

365 × ln. Atunci avem

Pl (Λ) =ln365 (365 − 1) (365 − 2) ... (365 − n + 1)

365l (365l − 1) ... (365l − n + 1)=

= P (Λ)ln−1 (365)n−1

(365l − 1) ... (365l − n + 1).

Vom nota θ (n, l) = ln−1(365)n−1

(365l−1)...(365l−n+1)si vom evalua acest numar scriindu-l

sub forma

θ (n, l) =

(1 +

1

365l − 1

)...

(1 +

n − 1

365l − n + 1

).

Pentru l ≥ 100 avem θ (n, l) ≤ (1 + 1

36478

)...(1 + n−1

36478

), iar ultimul produs

se majoreaza conform lemei 2.2 cu en(n−1)2×36478 . Pentru n ≤ 23, avem atunci

θ (n, l) ≤ e23×22

2×36478 ≤ 1 + 23×222×36478

+(

23×222×36478

)2. (am utilizat inegalitatea ex ≤

1 + x + x2, care are loc pentru x ∈ [0, 1]). Calculand numeric expresiiledin dreapta obtinem θ (n, l) ≤ 1, 007. Deci tragem concluzia ca Pl (Λ) =P (Λ) θ (n, l) , unde 1 ≤ θ (n, l) ≤ 1, 007.

5.3.3 Medie si dispersie

Presupunem ca (Ω,F , P ) este un spatiu probabilizat iar X : Ω → E este ovariabila aleatoare cu valori ıntr-o multime cel mult numarabila inclusa ın R.Pentru a obtine mai multa claritate ın notatii, vom presupune ca multimeavalorilor este scrisa ın forma X (Ω) = ai/ i ∈ I , unde I este o multime celmult numarabila si ai = aj, daca i = j. Pentru fiecare indice i ∈ I vom notaAi = X−1 (ai) , astfel ca variabila data se scrie si sub forma X =

∑i∈I ai1Ai

.

Definitia 5.3 Se spune ca variabila X admite medie, daca familia de nu-mere (aiP (Ai))i∈I este absolut sumabila. In caz ca este ındeplinita aceastaconditie, se spune ca suma

EX =∑i∈I

aiP (Ai)

reprezinta media variabilei X.


Media unei variabile aleatoare mai este numita si valoarea medie sau,de asemenea, speranta acelei variabile, datorita semnificatiei pe care o areın cazul diverselor modele probabiliste concrete. Termenul ın limba englezaeste ,,expectation”, iar ın limba franceza ,,esperance”. Semnul E este preluatdin literatura internationala. In literatura romana este utilizat de asemeneasemnul M, ce reprezinta initiala cuvantului medie. Notiunea acesta ın teo-ria masurii este numit integrala. O variabila aleatoare cu valori reale esteo functie reala masurabila si media nu este altceva decat integrala acesteifunctii. Notatia utilizata ın teoria masurii este variata:

EX =

∫XdP =

∫Ω

X (ω)P (dω) =

∫Ω

X (ω)dP (ω) .

Faptul ca o variabila admite medie este tot una cu faptul ca ea este integra-bila.

Daca variabila se reduce la o functie caracteristica, 1A, A ∈ F , atunciavem E1A = P (A) . Observam ca ın cazul ın care o variabila aleatoare ianumai un numar finit de valori ea admite medie, evident.

Exemplu 1. Un model simplist privind fiabilitatea unui produs este urmatorul.Presupunem ca un esantion de 1000 de becurile produse de o fabrica setesteaza fiind puse sa functioneze neıntrerupt ın conditii de usoara suprasarcina,obtinandu-se urmatoarele rezultate: 10 din becuri se defecteaza ın primasaptamana de functionare, 21 cedeaza ın cursul celei de a doua saptamani,52 ın cursul celei de a treia, 90 ın cursul celei de a patra saptamani, 153 ıncea de a cincea, 207 ın cea de a sasea, 252 ın a saptea, 147 ın a opta, 49 ın anoua, 19 ın a zecea. Modelul probabilist al fiabilitatii becurilor este deci con-stituit ın acest caz de spatiul Ω = 1, ..., 1000 , ce reprezinta becurile supuseexperimentului, presupuse numerotate. Probabilitatea care se introduce peacest spatiu este, bineınteles, P (i) = 1

1000. Se defineste o variabila aleatoare

T : Ω → N, punand T (i) sa fie numarul de saptamani ıntregi de functionarea becului cu numarul i. Astfel multimea Ai = T−1 (i) este multimea becurilorce s-au defectat ın cursul saptamanii i + 1. Variabila T reprezinta timpul defunctionare al unui bec, masurat ın saptamani si rotunjit la partea ıntreaga.Avem urmatoarele probabilitati

P (A0) =10

1000, P (A1) =

21

1000, P (A2) =

52

1000, P (A3) =

90

1000, P (A4) =

153

1000,

P (A5) =207

1000, P (A6) =

252

1000, P (A7) =

147

1000, P (A8) =

49

1000, P (A9) =

19

1000.


Speranta de viata sau durata medie de functionare a unui bec aste exprimatade media variabilei T :

ET = 0 101000

+ 211000

+ 2 521000

+ 3 901000

+ 4 1531000

+ 5 2071000

+ 6 2521000

++7 147

1000+ 8 49

1000+ 9 19

1000= 5, 146.

Rezulta ca ne asteptam ca un bec arbitrar sa functioneze 5 saptamani, ınconditii de usoara suprasolicitare.

Exemplul 2. Un jucator la curse de calarie pariaza pe caii A,B,C, respectivsumele 30, 10, 15 euro. El apreciaza ca sansele de a iesi ınvingatori sunturmatoarele: 70% pentru A, 10% pentru B si 20% pentru C. Inainte deınceperea cursei, jucatorul stia ca suma pariata pe A va produce un castigcu coeficientul 2 ın cazul ca acesta va castiga, suma pariata pe B va produceun castig cu coeficientul 7, 4 ın cazul ca va iesi ınvingator, iar suma pariatape C va aduce un castig cu coeficientul 4, 5 ın cazul ca acest cal va castigacursa.

Modelul probabilist pentru acest jucator este Ω = A, B, C , corespunzatorcelor trei cai ce sunt considerati ca posibili castigatori. Probabilitatea estedefinita prin P (A) = 0, 7; P (B) = 0, 1; P (C) = 0, 2. Notam cu X variabilaaleatoare ce reprezinta castigurile posibile pentru jucator: X (A) = 30× 2 =60, X (B) = 10×7, 4 = 74, X (C) = 15×4, 5 = 67, 5. Speranta de castig, saucastigul mediu asteptat de jucator este exprimata de media variabilei:

EX = 60 × 0, 7 + 74 × 0, 1 + 67, 5 × 0, 2 = 62, 9.

Deci jucatorul joaca suma de 55 euro si, pe baza estimarilor sale, se asteaptasa castige 62, 9.

Vom enunta ın continuare cateva din principalele proprietati ale valoriimedii.

1. Daca variabila X admite medie, atunci |X| admite de asemenea mediesi are loc inegalitatea EX ≤ E |X| . Daca X ≥ 0, atunci EX ≥ 0.

2. Daca X, Y sunt doua variabile aleatoare astfel ca X este integrabila siare loc inegalitatea |Y | ≤ X, atunci si Y este integrabila si EY ≤ EX.

3. Daca variabila X admite medie, atunci, pentru orice a ∈ R, variabilaaX admite de asemenea medie si are loc relatia E (aX) = aEX.

Daca proprietatile mentionate mai sus rezulta aproape imediat din definitie,urmatoarea este mai putin evidenta si de aceea o vom enunta sub forma uneileme.


Lema 5.10 Daca X, Y sunt doua variabile care admit medie, atunci X + Yadmite de asemenea medie si are loc formula E (X + Y ) = EX + EY.

Demonstratie. Vom presupune ca multimea valorilor lui Y este de-scrisa ın forma Y (Ω) = (bj)j∈J , unde J este cel mult numarabila si bj = bl,

daca j = l. Vom nota Bj = Y −1 (bj) , astfel ca avem Y =∑

j∈J bj1Bj, iar vari-

abila suma o notam Z = X + Y. Din partitiile (Ai)i∈I si (Bj)j∈J , construimpartitia (Di,j)(i,j)∈Λ , unde Di,j = Ai ∩ Bj si Λ = (i, j) ∈ I × J/Dij = ∅ .Cu aceasta notatie, variabila suma se scrie si sub forma

Z =∑

(i,j)∈Λ

(ai + bj) 1Di,j.

Multimea valorilor acestei variabile este ai + bj/ (i, j) ∈ Λ , dar ın aceastascriere nu toate valorile sunt distincte, ın sensul ca putem avea ai+bj = ak+bl,

pentru doua perchi de indici distincte, (i, j) = (k, l) . In orice caz, multimeavalorilor lui Z este cel mult numarabila si prin urmare ea poate fi indexatabijectiv, adica scrisa sub forma Z (Ω) = (cm)m∈M , unde M este o multimecel mult numarabila si cm = cm′ , daca m = m′. Pentru fiecare m ∈ M, notamCm = Z−1 (cm) si Λm = (i, j) ∈ Λ /ai + bj = cm . Este evident ca multimile(Λm)m∈M formeaza o partitie a lui Λ si au loc egalitatile

Cm = ∪(i,j)∈ΛmDi,j , Z =∑m∈M

cm1Cm.

Tinand cont ca reuniunea ce exprima pe Cm consta din multimi disjuncte,avem P (Cm) =

∑(i,j)∈Λm

P (Di,j) si atunci putem scrie

EZ =∑m∈M

cmP (Cm) =∑m∈M

cm

∑(i,j)∈Λm

P (Di,j) =

=∑m∈M

∑(i,j)∈Λm

(ai + bj) P (Di,j) =∑

(i,j)∈Λ

(ai + bj) P (Di,j) =

=∑

(i,j)∈I×J

(ai + bj) P (Di,j) =∑i∈I

ai

∑j∈J

P (Di,j) +∑j∈J

bj

∑i∈I

P (Di,j) =

=∑i∈I

aiP (Ai) +∑j∈J

bjP (Bj) = EX + EY,

ceea ce ıncheie demonstratia.


4. Din aceasta lema rezulta prin inductie ca daca X1, ..., Xn sunt variabilealeatoare ce admit medie, atunci orice suma de tipul a1X1+...+anXn admitede asemenea medie si are loc formula

E (a1X1 + ... + anXn) = a1EX1 + ... + anEXn.

O alta proprietate importanta legata de calcule concrete ce se pot face cumedia, este enuntata ın lema care urmeaza.

Lema 5.11 Fie Y : Ω → E o variabila aleatoare cu valori ın multimea celmult numarabila E, iar f : E → R o functie arbitrara. Atunci variabilaX = f (Y ) admite medie daca si numai daca f este integrabila ın raport curepartitia PX . In plus, daca este ındeplinita una din aceste conditii, atunciare loc relatia

EX =

∫fdPY .

Demonstratie. Din modul ın care este definita variabila X rezultaca X (Ω) ⊂ f (E) , care este o multime cel mult numarabila. De aceeaputem presupune ca multimea valorilor lui X este indexata ın forma X (Ω) =ai/i ∈ I , unde I este o multime cel mult numarabila, iar ai = aj, dacai = j. Atunci multimea E ′ = Y (Ω) este desfacuta dupa partitia (Mi)i∈I

data prin Mi = f−1 (ai) ∩ E ′, i ∈ I. Punand Ae = Y −1 (e) , pentru e ∈ E ′ siBi = X−1 (ai) pentru i ∈ I, observam ca are loc egalitatea Bi =

⋃e∈Mi

Ae,pentru fiecare i ∈ I, si prin urmare P (Bi) =

∑e∈Mi

P (Ae) . Variabilaaleatoare X admite medie daca si numai daca familia (|ai|P (Bi))i∈I astesumabila. Pe de alta parte, functia f este integrabila daca si numai daca fa-milia (|f (e)|P (Ae))e∈E′ este sumabila. Multimea de indici a acestei familiieste partitionata de multimile Mi si observam ca familia este sumabila pentrufiecare din aceste multimi de indici iar suma este∑

e∈Mi

|f (e)|P (Ae) =∑e∈Mi

|ai|P (Ae) = |ai|P (Bi) .

Conform lemei 5.3 sumabilitatea familiei (|f (e)|P (Ae))e∈E′ este echivalentacu sumabilitatea familiei (|ai|P (Bi))i∈I . Din aceeasi lema rezulta si egali-tatea∫

fdPY =∑e∈E′

f (e)P (Ae) =∑i∈I

∑e∈Mi

f (e) P (Ae) =∑i∈I

aiP (Bi) = EX,


care demonstreza relatia din enunt.

Pentru a distinge ıntre ele variabilele aleatoare se definesc diversi parametricare exprima sau masoara diverse proprietati ale acestora. Un astfel deparametru este media unei variabile aleatoare. O alta marime importantaasociata unei varibile este dispersia sa. Dispersia este definita pentru vari-abile aleatoare care ridicate la patrat admit medie, sau altfel spus, caresunt de patrat integrabile. Fie X o astfel de variabila. Media E (X2)este numita media patratica sau momentul de ordinul doi al variabilei, iarnumarul D2X := E (X2) − (EX)2 este numit dispersia variabilei. NumarulDX :=

√D2X se numeste deviatia standard a variabilei.

5. Dispersia se exprima si sub forma D2X = E (X − EX)2 . Intr-adevar,daca notam media cu m = EX, atunci avem

E (X − EX)2 = E (X2 − 2mX + m2) == E (X2) − 2mEX + m2 = E (X2) − m2.

De fapt aceasta a doua expresie a dispersiei pune ın evidenta interesulnotiunii. Dispersia este media patratului diferentei X−EX. Deci ea masoaracat de ımprastiate sunt valorile variabilei fata de media EX. Desigur ca o altamarime care masoara aceeasi ımprastiere este si E |X − EX| . Aceasta ınsaeste mai putin convenabila pentru manipulare. De exemplu, se comporta maigreoi ın raport cu adunarea variabilelor aleatoare. Media patratica este legatade norma patratica care face din spatiul variabilelor de patrat integrabile, L2,un spatiu Hilbert si acesta are proprietati speciale. Media E |X| este legatade spatiul L1, care este mai dificil de abordat ın privinta calculelor.

6. Media si media patratica ale unei variabilei aleatoare se pot exprimaın functie de repartitia sa astfel

EX =

∫xPX (dx) , E

(X2

)=

∫x2PX (dx) .

Aceste relatii rezulta prin aplicarea lemei anterioare functiilor f (x) = x sif (x) = x2. Din aceste relatii rezulta si ca dispersia se exprima prin

D2X =

∫x2PX (dx) −

(∫xPX (dx)

)2

.

5.4 Exercitii

Exercitiul 5.1 Fie f : Λ → E o aplicatie de la o multime arbitrara Λ cuvalori ıntr-o multime cel mult numarabila E. Notam cu σ (f) cea mai mica

5.4. EXERCITII 105

σ−algebra pe Λ care face din f o aplicatie masurabila, cand pe E se consideraσ−algebra P (E) , a partilor lui E. Sa se arate ca o functie g : Λ → R estemasurabila fata de σ (f) daca si numai daca exista o functie h : E → R,astfel ıncat g = h f.

Exercitiul 5.2 Daca E este o multime cu cel putin doua elemente, atuncimultimea Ω = EN este nenumarabila.

Pentru urmatoarele patru exercitii presupunem ca E este o multime celmult numarabila iar µ este o masura de probabilitate pe E.

Exercitiul 5.3 Daca G ⊂ E este o submultime arbitrara, sa se arate ca,pentru fiecare ε > 0, exista o multime finita F ⊂ G cu proprietatea caµ (G\F ) < ε.

Exercitiul 5.4 Presupunem ca f ≥ 0 este o functie integrabila si g este oalta functie astfel ca |g| ≤ f. Sa se arate ca atunci si g este integrabila.

Exercitiul 5.5 Sa se arate ca daca (fn)n∈N este un sir crescator de functiipozitive, integrabile si supn∈N

∫fndµ < ∞, atunci functia f = limn∈N fn este

integrabila si∫

fdµ = lim∫

fndµ.

Exercitiul 5.6 Fie (fn)n∈N un sir de functii care are limita punctuala f.Presupunem ca exista o functie integrabila g ≥ 0 astfel ca |fn| ≤ g, pentruorice n ∈ N. Sa se arate ca atunci f este integrabila si ca are loc relatia∫

fdµ = lim∫

fndµ.

Exercitiul 5.7 Fie E1, E2, E3 trei multimi cel mult numarabile si µ1, µ2, µ3

masuri de probabilitate definite pe ele. Identificand spatiile produs (E1 × E2)×E3

∼= E1 × (E2 × E3) ∼= E1 × E2 × E3 sa se arate ca are loc egalitatea(µ1

⊗µ2)

⊗µ3 = µ1

⊗(µ2

⊗µ3) = µ1

⊗µ2

⊗µ3.

Exercitiul 5.8 Fie (Ei)i∈I o familie finita de multimi cel mult numarabile.Presupunem ca multimea I este partitionata sub forma I = ∪j∈JIj, undemultimile din partitie sunt indexate astfel ıncat Ij ∩ Il = ∅, daca j = l.Notam Ej =

∏i∈Ij

Ei si µj =⊗

i∈Ijµi. Sa se arate ca

∏i∈I Ei este izomorf

cu∏

j∈J Ej si sub acest izomorfism avem⊗

i∈I µi =⊗

j∈J µj.


Exercitiul 5.9 Fie (Ω,F , P ) un spatiu probabilizat si A1 = (A1,i)i∈I1,A2 =

(A1,i)i∈I2doua partitii. Definim variabilele aleatoare Xk : Ω → Ik prin

Xk (ω) = i, daca ω ∈ Ai, unde k = 1, 2. Sa se verifice ca partitiile A1 si A2

sunt independente daca si numai daca PX1

⊗PX2 = PZ , unde Z : Ω → I1×I2

este aplicatia definita prin Z (ω) = (X1 (ω) , X2 (ω)) . Sa se deduca o nouademonstratie pentru afirmatia ca independenta partitiilor este echivalenta cuindependenta σ−algebrelor σ (A1) si σ (A2) . Generalizare la cazul mai multorpartitii.

Exercitiul 5.10 (Constructia unui sir de variabile independente identic re-partizate data de Lebesgue.) Consideram Ω = [0, 1), intervalul unitate, cuσ−algebra multimilor boreliene, F = B ([0, 1)) si notam P masura Lebesgue.Deci (Ω,F , P ) este un spatiu probabilizat.

(i) Sa se arate ca pentru fiecare numar a ∈ [0, 1), exista un sir (a1, a2, ...) ∈0, 1N∗

de cifre 0 sau 1 astfel ca sa avem egalitatea a =∑∞

n=1an

2n .

(ii) Notam Γ =

(a1, a2, ...) ∈ 0, 1N∗/ ∃n ∈ N∗, ak = 1, ∀k ≥ n

, multimea

sirurilor de cifre 0 sau 1 care sunt constante cu valoarea 1, ıncepand de la unanumit rang. Pe multimea Λ = 0, 1N∗ \Γ definim aplicatia F : Λ → [0, 1)prin F (a1, a2, ...) =

∑∞n=1

an

2n . Sa se arate ca F este o bijectie.(Seria

∑∞n=1

an

2n este numita reprezentarea diadica a valorii pe care o aresuma respectiva. Deci orice numar din Ω are o unica reprezentare diadicacu un sir din Λ.)

(iii) Definim aplicatiile Xn : Ω → 0, 1 ın felul urmator: daca a ∈ Ω sereprezinta ın forma a =

∑∞n=1

an

2n , cu un sir (a1, a2, ...) ∈ Λ, atunci punemXn (a) = an. Fie b1, ..., bn ∈ 0, 1 un sistem arbitrar de cifre si sa punemb = b1

2+ ... + bn

2n . Sa se arate ca daca pentru un numar a ∈ Ω avem X1 (a) =b1, ..., Xn (a) = bn, atunci el se scrie sub forma a = b + 1

2n c, unde c ∈ [0, 1).Sa se deduca egalitatea

X1 = b1, ..., Xn = bn = [b, b +1

2n).

(iv) Sa se arate ca, pentru orice x ∈ 0, 1 si n ∈ N∗, are loc egalitatea

Xn+1 = x =⋃

(b1,...,bn)∈0,1n

X1 = b1, ..., Xn = bn, Xn+1 = x ,

unde multimile care participa la reuniune sunt disjuncte. Sa se deduca relatiaP (Xn+1 = x) = 1

2si apoi sa se traga concluzia ca X1, X2, ... sunt variabile

aleatoare independente cu repartitia Bernoulli de parametru p = 0, 5.

5.4. EXERCITII 107

Exercitiul 5.11 Un zar masluit are urmatorul comportament la aruncare:fetele cu numere pare au aceeasi probabilitate de aparitie; fetele cu numereimpare de asemenea probabilitati egale ıntre ele; o fata cu numar par aresanse duble de a iesi fata de o fata cu numar impar. 1) Sa se determineprobabilitatea cu care iese fiecare fata separat. 2) Se arunca de trei ori zarul.Sa se determine probabilitatea: a) sa iasa exact de doua ori o cifra impara,b) sa iasa trei cifre consecutive, ın orice ordine.

Exercitiul 5.12 La o roata de ruleta exista 38 de sectoare ın care se poateindicatorul, cu sanse egale pentru fiecare sector. Un jucator care pariazasimplu pe un sector plateste suma x la intrarea ın joc. In caz ca, duparotirea ruletei, iese numarul ales, jucatorul castiga de 36 de ori valoarea pecare a pariat. Care este media castigului pe care ıl obtine cazinoul ın acestcaz?

Exercitiul 5.13 Matematicianul Stefan Banach avea doua cutii de chibrite,fiecare cu cate 50 de bete, ın acelasi buzunar. De cate ori a avut nevoie, el ascos cate o cutie la ıntamplare si a utilizat un bat de chibrit. La un momentdat cutia pe care o scoate din buzunar are un singur bat si dupa utilizare esteterminata. Sa se construiasca un model probabilist cu o variabila aleatoarecare sa modeleze numarul de chibrite ce se pot afla ın cealalalta cutie ınmomentul ın care este golita prima cutie. Sa se determine repartitia acesteivariabile. Care este numarul mediu de chibrite ce raman ın cea de a douacutie?

Capitolul 6

Cateva repartitii pe N

In aceasta sectiune vom discuta despre cateva exemple importante de repartitiipe multimea numerelor naturale N. Deoarece orice masura µ, pe (N,P (N)) ,este determinata complet de valorile pe care le ia pe puncte, ea se poateidentifica cu sirul µn = µ (n) , n ∈ N.

Repartitia Bernoulli. Poarta numele matematicianului Jacob Bernoulli(1654-1705). Aceasta repartitie este o masura suportata de punctele 0 si 1 sieste data de formula qδ0 + pδ1, cu parametrii p ∈ (0, 1) si q = 1 − p.

Fiind dat un eveniment A ∈ F pe un spatiu probabilizat (Ω,F , P ) astfelıncat P (A) ∈ (0, 1), se poate defini variabila aleatoare X = 1A, care va avearepartitia PX = qδ0 + pδ1 si care este o repartitie Bernoulli cu parametrulp = P (A). Am obtinut ın acest fel o variabila repartizata Bernoulli.

6.1 Repartitia geometrica

Aceasta este o repartitie pe N∗, data de expresia∞∑

n=1

pqn−1δn, care are masele

atasate punctelor ın progresie geometrica cu primul termen p ∈ (0, 1) si cu

ratia q = 1 − p. Se verifica imediat ca∞∑

n=1

pqn−1 = p1−q

= 1. O variabila

aleatoare tipica, avand repartitia geometrica, este construita ın felul urmator.Presupunem ca pe spatiul probabilizat (Ω,F ,P) avem un sir de evenimenteleindependente A1, A2, ... astfel ca P (Ai) = p ∈ (0, 1) este o valoare fixa pentrui = 1, 2, ... Sirul acesta de evenimente se mai numeste si proces Bernoulli.

109

110 CAPITOLUL 6. CATEVA REPARTITII PE N

[Putem de exemplu sa gandim ca se modeleaza o serie de aruncari cu zarulın care Ai reprezinta evenimentul de a iesi valoarea 6 la cea de a i−a arun-care. Intr-un astfel de caz este normal ca sa presupunem aceste evenimenteindependente, iar P (Ai) = 1

6. Daca fiecare aruncare s-ar executa cu doua

zaruri, iar Ai ar corespunde realizarii evenimentului ca zarurile au ambele 6,atunci ar trebui sa consideram p = P (Ai) = 1

36.]

Pentru i ≥ 2, vom nota Di = Ac1∩ ...∩Ac

i−1 ∩Ai, care este evenimentul ceconsta din nerealizarea evenimentelor A1, ..., Ai−1 si realizarea lui Ai. PunemD1 = A1 si este clar ca evenimentele D1, D2, ..., Dn sunt disjuncte si

n⋃i=1

Ai =n⋃

i=1

Di.

Avem P (Di) = qi−1p si atunci P

(n⋃

i=1

Ai

)= P

(n⋃

i=1

Di

)= p + qp + ... +

pqi−1 = p1−qi

1−q= 1 − qi. Rezulta ca P

( ∞⋃i=1

Ai

)= 1 si, prin urmare,

P

(Ω\

∞⋃i=1

Ai

)= 0. Familia de evenimente (Di)i∈N formeaza o partitie a

lui Ω′ =∞⋃i=1

Ai, care este un spatiu echivalent cu Ω din punctul de vedere al

evenimentelor din sirul dat (Ai)i≥1 , cat si al evenimentelor (Di)i≥1 .

Definim T (ω) = i pentru ω ∈ Di si T (ω) = ∞ pentru ω /∈∞⋃i=1

Ai.

Variabila T este o variabila aleatoare cu valori naturale si are interpretareaurmatoare: T (ω) este rangul primului experiment ın care se realizeaza unuldin evenimentele din seria A1, A2, ... Are loc formula

P (T = i) = pqi−1,

pentru i = 1, 2, ... si P (T = ∞) = 0. Deci T este repartizata geometric.

Daca se modeleaza un joc de noroc care se desfasoara ın serii de partide,iar Ai este evenimentul ,,la a i−a partida jucatorul a castigat”, atunci Treprezinta rangul partidei la care jucatorul castiga prima oara.

6.2. REPARTITIA BINOMIALA SI SCHEMA LUI BERNOULLI 111

6.2 Repartitia binomiala si schema lui Bernoulli

Repartitia binomiala este o repartitie suportata de punctele 0, 1, ..., n si areexpresia

n∑i=0

Cinpiqn−iδi,

unde n ∈ N∗ este numit ordinul repartitiei, p ∈ (0, 1) este un alt parametrusi q = 1− p. Pentru a verifica ca masa totala a acestei masuri este 1 se treceprin formula binomului lui Newton:

1 = (p + q)n =

n∑i=0

Cinpiqn−i.

De aici vine denumirea de ”binomiala” pentru repartitie.Vom calcula acum media si dispersia unei variabile aleatoare, X, definite

pe un spatiu probabilizat (Ω,F , P ) , care este repartizata binomial cu ordinuln si parametrul p :

EX =

n∑k=0

kP (X = k) =

n∑k=0

kn!

k! (n − k)!pkqn−k =

= npn∑

k=1

(n − 1)!

(k − 1)! (n − k)!pk−1qn−k = np

n−1∑l=0

(n − 1)!

l! (n − 1 − l)!plqn−1−l = np,

EX2 =n∑

k=0

k2P (X = k) =n∑

k=0

k2 n!

k! (n − k)!pkqn−k =

= npn∑

k=1

k(n − 1)!

(k − 1)! (n − k)!pk−1qn−k = np

n−1∑l=0

(l + 1)(n − 1)!

l! (n − 1 − l)!plqn−1−l =

= np [(n − 1) p + 1] = (np)2 + npq.

D2X = EX2 − (EX)2 = npq.

Constructia unei variabile aleatoare tipice cu repartitia binomiala esteobtinuta din schema lui Bernoulli. Acesta schema consta dintr-un spatiu


probabilizat (Ω,F ,P) pe care sunt date n evenimente independente A1, ..., An

care au toate aceeasi probabilitate P (Ai) = p, i = 1, ..., n, cu p ∈ (0, 1) . Inacest cadru are loc urmatorul rezultat.

Propozitia 6.1 Variabila aleatoare S =n∑

i=1

1Aieste repartizata binomial cu

parametrii n, p.

Demonstratie. Vom proceda prin inductie dupa parametrul n. Notam,pentru k = 1, ..., n,

Sk =

k∑i=1

1Ai.

Presupunem ca am demonstrat formula

P (Sk = j) = Cjkp

jqk−j,

pentru orice j = 0, ..., k si o vom demonstra cu k + 1 ın locul lui k. AvemSk+1 = Sk + 1Ak+1

, iar Sk si 1Ak+1sunt independente. Pentru a vedea

acest lucru, mai ıntai vom examina consecintele independentei evenimentelorAi, i = 1, ..., n. Notam ai = a (Ai) = Ai, A

ci , Ω, ∅ , algebra generata de

evenimentul Ai, care este chiar o σ−algebra. Acestea sunt independente, caurmare a ipotezei si a lemei 3.1, iar teorema de asociativitate a independentei,teorema 4.1, ne spune ca σ (a1, ..., ak) si ak+1 sunt independente. Pe de altaparte, putem scrie Sk = f (X1, ..., Xk) , unde f : Rk → R este functia suma,definita prin f (x1, ..., xk) = x1+...+xk. Atunci proprietatea 4. din paragrafuldespre σ−algebra generata de o variabila ne asigura ca Sk este masurabilaın raport cu σ (a1, ..., ak) . Rezulta deci ca Sk si 1Ak+1

sunt independente.Mai departe introducem notatia

Bk,j = Sk = j .

si observam ca multimile Bk,0, Bk,1, ..., Bk,k formeaza o partitie a lui Ω. Severifica direct relatiile

Bk+1,0 = Sk+1 = 0 =Sk = 0, 1Ak+1

= 0

= Bk,0 ∩ Ack+1,

Bk+1,k+1 = Sk+1 = k + 1 =Sk = k, 1Ak+1

= 1

= Bk,k ∩ Ak+1,Bk+1,j = Sk+1 = j =

Sk = j, 1Ak+1

= 0 ∪

Sk = j − 1, 1Ak+1= 1

= (Bk,j ∩ Ac

k+1) ∪ (Bk,j−1 ∩ Ak),

6.2. REPARTITIA BINOMIALA SI SCHEMA LUI BERNOULLI 113

pentru j = 1, ..., k. Pe de alta parte, tinand cont ca multimile Bk,j suntfiecare independente de Ak+1, putem scrie

P (Bk+1,0) = P (Bk,0) q,P (Bk+1,k+1) = P (Bk,k) p,

P (Bk+1,j) = P (Bk,j) q + P (Bk,j−1) p,

pentru j = 1, ..., k. Tinand cont de ipoteza de inductie aceste relatii devin

P (Bk+1,0) = C0kq

k+1 = C0k+1q

k+1,P (Bk+1,k+1) = Ck

kpk+1 = Ck+1k+1p

k+1,

P (Bk+1,j) = Cjkp

jqk−jq + Cj−1k pj−1qk−j+1p =

=(Cj

k + Cj−1k

)pjqk+1−j = Cj

k+1pjqk+1−j,


Este instructiv de vazut ca se poate demonstra ca S este repartizatabinomial si printr-un calcul brut direct. Facem acest lucru mai jos. Princomparatie, putem spune ca demonstratia anterioara, de fapt, evita calcululprin utilizarea proprietatii de asociere a independentei.

Alta demonstratie. In acest scop introducem notatia Ai,1 = Ai siAi,−1 = Ac

i , pentru i = 1, ..., n,

Aλ = A1,λ1 ∩ ... ∩ An,λn,

pentru orice sistem λ = (λ1, ..., λn) ∈ Γ := −1, 1n si mai notam s (λ) =n+λ1+...+λn

2, o marime care indica numarul de componente ale lui λ care sunt

egale cu 1. Se verifica direct ca are loc relatia urmatoare

S = i =⋃

s(λ)=i

Aλ,

unde reuniunea se ia dupa toate sistemele λ ∈ Γ astfel ıncat s (λ) = i, iari = 1, ..., n. Multimile care participa la aceasta reuniune formeaza o partitie;mai precis, daca λ = τ , atunci Aλ ∩ Aτ = ∅. Rezulta

P (S = i) =∑

s(λ)=i

P(Aλ

).

Dar P(Aλ

)= P (A1,λ1) · ... · P (An,λn), datorita independentei si P (Aj,1) =

p, P (Aj,−1) = q, ceea ce conduce la P(Aλ

)= piqn−i, pentru un sistem λ ∈ Γ


astfel ca s (λ) = i. Atunci avem P (S = i) = piqn−icard λ ∈ Γ | s (λ) = i.Dar multimea λ ∈ Γ | s (λ) = i este ın corespondenta bijectiva cu multimeapartilor lui 1, 2, ..., n care au cardinalul i. Acestea sunt ın numar de Ci

n,ceea ce permite a trage concluzia ca

P (S = i) = piqn−iCin,

terminand astfel demonstratia.

Prima metoda de demonstratie are si avantajul de a se extinde producand,cu o demonstratie identica, urmatorul rezultat.

Propozitia 6.2 Fie X1, ..., Xk, variabile aleatoare independente, repartizatebinomial avand ordinele, respectiv n1, ..., nk si cu al doilea parametru identicp ∈ (0, 1) . Atunci suma X1 + ... + Xk este repartizata binomial cu ordinuln1 + ... + nk si acelasi parametru p.

6.3 Repartitia Poisson

6.3.1 Generalitati

Repartitia Poisson poarta numele matematicianului francez Denis Poisson(1781-1840). Repartitia Poisson de parametru λ > 0 este o repartitie pe N,definita prin relatia

µ =∞∑

k=0

e−λ λk

k!δk.

O variabila alearoare X (definita pe un spatiu probabilizat (Ω,F , P )) esterepartizata Poisson cu parametru λ > 0, daca

P (X = k) = e−λ λk

k!.

Vom stabili mai jos cateva din proprietatile mai importante ale vari-abilelor repartizate Poisson. Un calcul direct arata imediat ca EX = λsi D2X = λ :

EX =

∞∑k=0

e−λ λk

k!k = e−λ

∞∑k=1

λk

(k − 1)!= e−λλ

∞∑k=0

λk

k!= λ,

6.3. REPARTITIA POISSON 115

EX2 =∞∑

k=0

e−λ λk

k!k2 = e−λ

∞∑k=1

λk

(k − 1)!k = e−λλ

∞∑k=0

λk

k!(k + 1) =

= e−λλ

( ∞∑k=0

λk

k!+

∞∑k=0

λk

k!k

)= λ + λ2,

D2X = EX2 − (EX)2 = λ.

Propozitia 6.3 Fie X1, ..., Xn variabile aleatoare independente repartizatePoisson cu parametrii respectivi λ1, ..., λn > 0. Atunci suma lor X1 + ...+Xn

este repartizata tot Poisson, cu parametrul λ = λ1 + ... + λn.

Demonstratie. Este suficient sa tratam cazul a doua variabile, pentruca apoi rezulta si cazul general printr-o inductie simpla. Pentru doua variabileputem scrie

X1 + X2 = k =

k⋃i=0

X1 = i ∩ X2 = k − i ,

P (X1 + X2 = k) =

k∑i=0

P (X1 = i) P (X2 = k − i) =

=

k∑i=0

e−λ1λi

1

i!e−λ2

λk−i2

(k − i)!= e−λ1e−λ2

1

k!

k∑i=0

Cikλ

i1λ

k−i2 =

= e−(λ1+λ2) 1

k!(λ1 + λ2)

k .

Pentru a trata cazul general se face o inductie dupa n. Presupunem demon-strata propozitia pentru sume de n − 1 variabile. Fiind date n variabile,scriem X1 + ... + Xn = (X1 + ... + Xn−1) + Xn si tinem cont ca variabileleX1 + ... + Xn−1 si Xn, sunt independente datorita teoremei 4.1.

Repartitia Poisson este legata de repartitia binomiala printr-o teorema deaproximare asemanatoare teoremei de Moivre-Laplace ce va fi demonstrataın capitolul urmator. Fie (Xi)i∈N un sir de variabile aleatoare repartizate


binomial cu parametrii pi, ni, care corespund fiecarui indice i ∈ N. Notamqi = 1 − pi si presupunem ca sunt ındeplinite urmatoarele conditii

limi→∞

ni = ∞,

limi→∞

nipi = λ,

unde λ > 0 este un numar fixat.

Teorema 6.1 In conditiile de mai sus repartitiile PXiconverg la repartitia

Poisson de parametru λ, ın sensul urmator

limi→∞

P (Xi = k) = e−λ λk

k!, k ∈ N.

Demonstratie. Stim ca

P (Xi = k) = Ckni

pki q

ni−ki =

ni (ni − 1) ... (ni − k + 1)

k!pk

i (1 − pi)ni−k =

=1

k!(nipi)

k

(1 − 1

ni

)...

(1 − k − 1

ni

)(1 − pi)

1pi

(pini−pik).

Vom trece acum la limita ın acest produs. Pentru k fixat, produsul cu k − 1factori are limita

limi→∞

(1 − 1

ni

)...

(1 − k − 1

ni

)= 1.

Apoi, pentru ultimul factor observam ca expresia din paranteza de la expo-nent are limita:

limi→∞

(pini − pik) = λ.

Deci limita ultimului factor este

limi→∞

(1 − pi)1pi

(pini−pik)= e−λ.

Toate aceste observatii conduc la rezultatul anuntat.

6.3. REPARTITIA POISSON 117

6.3.2 Estimarea erorilor

Vom face o estimare a erorilor pentru aproximarea data de teorema ante-rioara, pornind de la formula

1 − x = e−x+r(−x) , x ≥ 0,

unde r satisface estimarea − x2

1−x≤ r (−x) ≤ 0 (vezi lema 2.3). Mai pre-

cis, presupunem ca X este o variabila aleatoare repartizata binomial cuparametrii p, n si notam λ = pn. Vrem sa estimam eroarea care se faceın aproximarea repartitiei lui X cu repartitia Poisson de parametru λ.

Expresia ce ne intereseaza o scriem sub forma urmatoare

P (X = k) =λk

k!

(1 − 1

n

)...

(1 − k − 1

n

)(1 − p)n−k .

Vom face aproximarea doar pentru k ≤ k0 unde k0 este un numar fix.Alegerea lui k0 este o problema ce trebuie analizata cu ocazia fiecarei aplicatii.Notam θ = k0

λ. Pentru produsul factorilor din mijloc avem expresia

(1 − 1

n

)...

(1 − k − 1

n

)= e

−k−1∑j=1

jn

+k−1∑j=1

r(− jn)

= e− k(k−1)

2n+

k−1∑j=1

r(− jn)

,

iar pentru ultimul factor

(1 − p)n−k = e−λ+kp+(n−k)r(−p).

Se deduce atunci

P (X = k) =λk

k!e−λeεk , (∗)

unde εk = kp+(n − k) r (−p)− k(k−1)2n

+k−1∑j=1

r(− j

n

). Evaluarea lui εk o facem

uniform pentru k ≤ k0 = θλ, ın felul urmator:

0 ≥ (n − k) r (−p) ≥ −(n − k) p2

1 − p≥ − λp

1 − p;

k−1∑j=1

r

(− j

n

)≥ −

k−1∑j=1

j2

n2

1

1 − jn

≥ − 1

n2

1

1 − θλn

k−1∑j=1

j2 =


= − 1

n2

1

1 − θp

k (k − 1) (2k − 1)

6≥ − 1

3n2

k3

1 − θp≥ − 1

3n2

θ3λ3

1 − θp=

= − θ3

3 (1 − θp)λp2;

kp − k (k − 1)

2n=

kp

2

(2 +

1

λ− k

λ

)=

λp

2y

(2 +

1

λ− y

)= f (y) ,

unde am notat y = kλ. Valoarea maxima a lui f este

fmax =λp

2

(1 +

1

2λ

)2

.

Pentru a determina minimul, tinem cont ca, de fapt, functia f ne intere-seaza doar pe intervalul [0, θ]. Daca θ ≤ 2+ 1

λatunci f ≥ 0. Daca θ > 2+ 1

λ,

minimul acestei functii este obtinut ın θ si este

fmin =λp

2θ

(2 +

1

λ− θ

)= −λp

[θ2

2− θ

(1 +

1

2λ

)].

In concluzie, putem spune ca

εk ≤ λp

2

(1 +

1

2λ

)2

(∗∗)

si daca θ ≤ 2 + 1λ, atunci

−λp

[1

1 − p+

pθ3

3 (1 − θp)

]≤ εk, (∗ ∗ ∗)

iar daca θ > 2 + 1λ, atunci

−λp

[1

1 − p+

θ2

2+

pθ3

3 (1 − θp)− θ

(1 +

1

2λ

)]≤ εk.

Pentru a estima eεk se poate utiliza inegalitatea urmatoare, ce se poatedemonstra prin metodele obisnuite, la fel ca lema 2.3,

1 + x ≤ ex ≤ 1 +x

1 − x, x < 1. (#)

6.4. HISTOGRAME 119

Exemplu. In procesul de fabricatie al unui obiect apar produse defecte cufrecventa de 1

100. Ne punem problema de a determina care este probabilitatea

de a gasi cinci sau mai multe produse defecte la testarea a 200 de obiecte.Solutie. Vom nota cu X o variabila aleatoare repartizata binomial cu

parametrii p = 0, 01, n = 200, care modeleaza numarul de produse defectece apar la 200 de teste. Repartitia lui X poate fi aproximata cu o repartitiePoisson de parametru λ = 2. Pentru θ = 2 + 1

2, avem k0 = 5 si relatiile (**),

(***) ne dau estimarea

−0, 02127 ≤ − 2

100

(100

99+

1

100

(2, 5)3

3 × 0, 975

)≤ εk ≤ 1

100

(1 +

1

4

)= 0, 0125,

pentru orice k ≤ 5. Mai departe, tinand cont de estimarea (#) avem

1 − 0, 02127 ≤ eεk ≤ 1 + 0, 01265.

Vom avea, dupa relatia (*),

0, 97873× e−24∑

k=0

2k

k!≤ P (X ≤ 4) ≤ 1, 01265× e−2

4∑k=0

2k

k!.

Prin calcul direct avem e−2∑4

k=02k

k!= 0, 94735 si prin urmare

0, 92719 ≤ P (X ≤ 4) ≤ 0, 95933.

Raspunsul la problema pusa este obtinut cu aproximatie sub forma urmatoare

0, 04067 ≤ P (X ≥ 5) ≤ 0, 07281.

6.4 Histograme

O histograma este o reprezentare grafica pentru o distributie discreta. Ele potfi de mai multe tipuri. Cele mai obisnuite histograme sunt cele ın care pentrufiecare punct din suportul distributiei se deseneaza un dreptunghi de ınaltimeproportionala cu ponderea repartizata punctului. Astfel de histograme suntcurent utilizate ın economie. Programul Excel are facilitati speciale pentruexecutarea histogramelor. Am redat ın figurile 6.1 - 6.7 cateva histogrameale unor repartitii pe care le-am ıntalnit pana acum.


0

0.1

0.2

0.3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Figura 6.1: Repartitia binomiala cu n = 10 si p = 0, 5.

0

0.1

0.2

0.3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Figura 6.2: Repartitia binomiala cu n = 10 si p = 0, 3.

Este de notat ca scara pentru axa verticala este dilatata fata de cea ori-zontala, pentru a putea da un aspect grafic vizibil repartitiilor. De exemplu,valorile repartitiilor binomiale fiind foarte mici, ın cazul ın care n este mare,la o reprezentare cu aceeasi scara pe ambele axe nu ar mai fi posibil sa vedemnimic ıntr-un grafic dintr-o pagina de carte. Chiar si asa, marea majoritatea valorilor apar ın grafic confundate cu zero. In figurile 6.3 si 6.4 se observanumai valorile din jurul mediei np.

Repartitiile de acelasi fel sunt redate ın figurile noastre pastand cele douascari, pentru a putea fi comparate ıntre ele. Dar tipurile diferite de repartitiiau scari diferite.

6.4. HISTOGRAME 121

0

0.

03

0.

06

0.

09

01

02

03

04

05

06

07

08

09

01

00

0

0.

03

0.

06

0.

09

01

02

03

04

05

06

07

08

09

01

00

0

0.

03

0.

06

0.

09

0.

12

0.

15

01

02

03

04

05

06

07

08

09

01

00

Figura 6.3: Repartitii binomiale cu n = 100 si p = 0, 5, p = 0, 3, p = 0, 1.


0

0.

03

0.

06

0.

09

01

02

03

04

05

06

07

08

09

01

00

0

0.

03

0.

06

0.

09

01

02

03

04

05

06

07

08

09

01

00

0

0.

03

0.

06

0.

09

0.

12

01

02

03

04

05

06

07

08

09

01

00

Figura 6.4: Repartitii binomiale cu n = 100 si p = 0, 6, p = 0, 7, p = 0, 8.

6.4. HISTOGRAME 123

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Figura 6.5: Repartitia geometrica cu p = 0, 5.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Figura 6.6: Repartitia geometrica cu p = 0, 8.


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 1 2 3 4 5

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0 1 2 3 4 5 6

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Figura 6.7: Repartitii Poisson cu parametrii λ = 0, 5 (stanga sus) λ = 1(dreapta sus) si λ = 5 (jos).

6.5. IMPRASTIEREA ALEATOARE 125

6.5 Imprastierea aleatoare

O serie de fenomene fizice sunt descrise printr-o multime finita de puncteraspandite aleator ıntr-un ”spatiu ” E, spatiu care la randul sau este osubmultime, de obicei continua (ın sensul de nediscreta si de puterea contin-ului), dintr-un spatiu euclidian. Spatiul euclidian respectiv poate avea oricedimensiune, inclusiv unu.

Exemple de astfel de fenomene pot fi urmatoarele: a) Picaturile de ploaiecare cad ıntr-o secunda pe o suprafata de un metru patrat, determinat. b)Microbii care sunt ımprastiati ıntr-un volum de aer contaminat. c)Momentelede timp la care trec autovehiculele prin dreptul unui reper pe sosea. Aicispatiul euclidian este unu-dimensional si reprezinta timpul. d) Momentelede timp la care sosesc apelurile la o centrala telefonica. e) Momentele lacare soseste ın fiecare zi avionul de pe o cursa regulata, sau si mai comun,momentele la care soseste autobuzul ın statie, etc. Toate aceste fenomenesunt modelate de obiectul matematic numit masura aleatoare Poisson.

Fie (E, E) un spatiu masurabil si λ o masura σ- finita pe (E, E). Notamcu Ω multimea partilor cel mult numarabile din E,

Ω = F ∈ P (E) | F este finita sau numarabila ,

si pentru fiecare multime A ∈ E notam XA : Ω → R+, aplicatia de numarare

XA (F ) = card (A ∩ F ) , F ∈ Ω.

Se observa ca daca A, B ∈ E si A ⊂ B atunci XA ≤ XB, iar daca A∩B = ∅,atunci XA∪B = XA + XB.

Pe multimea Ω definim F drept cea mai mica σ- algebra care face toateaplicatiile XA masurabile:

F = σ (XA | A ∈ E) .

Definitia 6.1 O masura de probabilitate P pe (Ω,F) va fi numita masuraaleatoare Poisson cu intensitate λ, daca sunt verificate urmatoarele pro-prietati:

10 Daca A ∈ E este astfel ıncat λ (A) < ∞, atunci XA este aproape sigurfinita si are repartitia Poisson cu parametrul λ (A).

20 Daca A1, ..., An ∈ E sunt multimi disjuncte, atunci variabilele XA1, ..., XAn

sunt independente.


Rezulta imediat din definitie ca EXA = λ (A) pentru orice multime A ∈ Ecu proprietatea ca λ (A) < ∞. In particular, pentru fiecare multime A ∈ Eastfel ıncat λ (A) < ∞, probabilitatea P este suportata de multimea

ΩA = F ∈ Ω | card (F ∩ A) < ∞ .

Daca masura λ este finita, atunci P este suportata de multimea partilor finitedin E.

Pe de alta parte, daca o multime A ∈ E are masura infinita (λ (A) =∞), atunci se pot construi multimile (An)n∈N ⊂ E astfel ıncat An ⊂ An+1,λ (An) < ∞ pentru orice n ∈ N si A =

⋃n

An. Tinand cont de lema de mai

jos rezulta ca XA ≥ limn

XAn = ∞, aproape sigur.

Mai notam ca ın cazul a doua multimi A, B ∈ F astfel ıncat A ⊂ B siλ (A) = λ (B) , rezulta ca XA = XB, aproape sigur.

Masurile aleatoare Poisson sunt utile atat ın tratarea aplicatiilor cat siın studiul teoretic al unor probleme legate de procesele Markov. Enuntammai jos teorema generala de constructie a unei masuri aleatoare Poisson cuintensitate data. Demonstratia se bazeaza pe unele idei legate de proceselePoisson si nu ısi are locul cel mai bun aici.

Teorema 6.2 Fiind dat un spatiu masurabil (E, E) si o masura σ- finita λpe el, exista si este unica o masura de probabilitate P pe (Ω,F) care este omasura aleatoare Poisson cu intensitatea λ.

In continuare vom prezenta alte fapte legate de masurile aleatoare Poissonpastrand notatiile introduse mai sus. Vom avea nevoie de urmatoarea lematehnica.

Lema 6.1 Fie (Xn)n∈N un sir crescator de variabile aleatoare repartizatePoisson (definite pe un spatiu probabilizat (Ω,F , P )).

(i) Daca supn

EXn < ∞ atunci limita sirului X = limn

Xn este o variabila

aleatoare repartizata Poisson cu parametrul supn

EXn.

(ii) Daca supn

EXn = ∞, atunci limn

Xn = ∞, aproape sigur.

(iii) In cazul ın care (Xn) este descrescator, limita este sau nula sau toto variabila repartizata Poisson, cu parametrul inf

nEXn.


Demonstratie. Vom nota λn = EXn si observam ca sirul (λn)n∈N estecrescator cu limita ce o notam λ = lim λn.

(i) Prin aplicarea lemei lui Beppo Levi se deduce ca X este integrabilacu EX = λ. Pentru fiecare k ∈ N, sirul de multimi Xn ≤ k , n ∈ N estedescrescator si avem ∩n Xn ≤ k = X ≤ k . De aceea exista limita

P (X ≤ k) = limn→∞

P (Xn ≤ k) = limn→∞

k∑l=0

e−λnλl

n

l!=

k∑l=0

e−λ λl

l!, (∗)

de unde rezulta ca X este repartizata Poisson cu parametrul λ.

(ii) Relatia (*) de mai ınainte arata ca ın cazul ın care limn→∞ λn = ∞,rezulta P (X ≤ k) = 0, pentru orice k. Aceasta demonstreaza afirmatia dinenunt.

(iii) In cazul ın care sirul de variabile este descrescator rezulta ca sirul demultimi Xn ≤ k , n ∈ N, este crescator. Din nou este valabila relatia (∗)si se rationeaza similar cazurilor dinainte. Daca limn→∞ λn = 0, se obtineX = 0.

Urmatoarea teorema ajuta la modelarea unor exemple concrete. Anume,faptul ca anumite fenomene sunt descrise de o masura aleatoare Poisson estegreu de acceptat pentru ca impune apriori repartitia Poisson. Teorema demai jos arata ca de fapt nu este necesar sa presupunem ca variabilele XA

sunt repartizate Poisson. Aceasta conditie este implicata de alte conditii maislabe si mai usor de acceptat. Desi este enuntata ın cazul unidimensional,teorema se poate generaliza si la cazul unor spatii E multidimensionale.

Teorema 6.3 Presupunem ca E = R, E = B (R) iar λ : B (R) → [0,∞]este o masura finita pe orice interval marginit, care nu ıncarca punctele siastfel ca:

10 λ ((a, b)) < ∞ , ∀a < b,

20 λ (a) = 0 , ∀a ∈ R.

Presupunem ca P este o probabilitate pe (Ω,F) cu urmatoarele proprietati:

30 Pentru orice interval marginit I ⊂ R are loc relatia EXI = λ (I) ,

40 Pentru orice doua intervale marginite I, J , astfel ıncat λ (I) = λ (J)rezulta P (XI = 0) = P (XJ = 0) .

50 Daca I1, ..., In sunt intervale disjuncte, atunci variabilele XI1, ..., XIn

sunt independente.

In aceste conditii (Ω,F , P ) este o masura aleatoare Poisson.


Demonstratie. Vom arata mai ıntai ca pentru un interval de formaI = [a, b) cu a, b ∈ R,XI este o variabila aleatoare repartizata Poisson cuparametrul λ (I). Notam α = λ (I) si ımpartim intervalul I ın 2n intervaleconsecutive, de masura egala, ın felul urmator. Notam xn

0 = a si luam punctulxn

1 ∈ (a, b) astfel ıncat λ ([xn0 , x

n1 )) = α

2n . Prin recurenta se construiestesistemul de puncte a = xn

0 < xn1 < xn

2 < ... < xn2n = b, astfel ıncat intervalele

Ini = [xn

i−1, xni ) sa aiba fiecare masura λ (In

i ) = α2n .

Notam Y ni = 1

XIni≥1

, i = 1, ..., 2n si Y n =n∑

i=1

Y ni .

a) Vom arata acum ca sirul (Y n) este crescator.Cu aceste notatii, se observa ca diviziunea

xn+10 < xn+1

1 < xn+12 < ... < xn+1

2n+1

rafineaza diviziunea xn

0 < xn1 < xn

2 < ... < xn2n. Mai precis, avem xn+1

2 = xn1

si In1 = [xn

0 , xn1 ) = [xn+1

0 , xn+11 ) ∪ [xn+1

1 , xn+12 ) = In+1

1 ∪ In+12 . In general,

xn+12i = xn

i si Ini = [xn

i−1, xni ) = [xn+1

2i−2, xn+12i−1) ∪ [xn+1

2i−1, xn+12i ) = In+1

2i−1 ∪ In+12i ,

pentru orice indice i = 1, ..., 2n. Aceasta implica

XIni

= XIn+12i−1

+ XIn+12i

si deci Y ni ≤ Y n+1

2i−1 + Y n+12i , care conduce la Y n ≤ Y n+1.

b) In continuare vom verifica relatia limn→∞

Y n = XI , aproape sigur. Deoarece

XI este finita aproape sigur, rezulta ca P este suportata de multimea ele-mentelor F ∈ Ω cu proprietatea ca F ∩ I este finita. Vom arata convergentaY n (F ) → Xi (F ) pentru astfel de elemente F ∈ Ω. Sa presupunem deci caintersectia F ∩ I se compune din m puncte

F ∩ A = y1, ..., ym ,

puncte ce le vom presupune ordonate y1 < y2 < ... < ym.Notam d = min yj+1 − yj | j − 1, ..., m − 1 , distanta minima dintre

doua puncte din F. Daca n este astfel ıncat 12n < d, atunci un interval

de tipul Ini nu poate contine mai mult de un punct din F . Rezulta ca

XIni

(F ) ≤ 1 si deci XIni

(F ) = Y ni (F ). Cum aceasta egalitate are loc pentru

orice i = 1, ..., 2n, rezulta

XI (F ) =

2n∑i=1

XIni

(F ) =

2n∑i=1

Y ni (F ) = Y n (F ) .


In concluzie, sirul Y n (F ) este stationar si limn→∞

Y n (F ) = XI (F ) .

Vom utiliza acum faptele demonstrate la a) si b) de mai sus pentru aaplica teorema 6.1 sirului (Y n). Incepem prin a observa ca, pentru fiecare nfixat, multimile

XIn

i≥ 1

, i = 1, ..., 2n sunt independente, datorita ipotezei

50 si numarul pn = P(XIn

i≥ 1

)nu depinde de i, datorita ipotezei 40. Rezulta

ca variabilele Y ni | i = 1, ..., 2n sunt independente, repartizate Bernoulli cu

parametrul pn si, prin urmare, Y n este repartizata binomial cu parametrii pn

si 2n. Datorita punctelor a) si b) rezulta ca

pn · 2n = EY n → EXI = λ (I) .

Teorema 6.1 ne asigura ca XI este repartizata Poisson cu parametrul λ (I) .Deoarece λ nu ıncarca punctele, rezulta ca intervalele I

′= (a, b) si I

′′=

[a, b] dau variabile de numarare egale:

XI′ = XI = XI′′ , a.s.

Fie acum o multime deschisa D ⊂ R. Ea se scrie ca o reuniune cel multnumarabila de intervale deschise disjuncte D =

⋃n

In si are loc relatia

XD =∑

n

XIn.

Daca λ (D) < ∞, rezulta ca XD este o variabila repartizata Poisson cuparametrul λ (D), prin aplicarea propozitiei 6.3 si a punctului (i) din lema6.1. In plus, daca D1, ..., Dl sunt multimi deschise disjuncte de masura finita,atunci, utilizand ipoteza 50 si descompunerile ın intervale ale acestor multimi,se ajunge la concluzia ca XD1 , ..., XDl

sunt independente.Sa consideram acum cazul unei multimi compacte K ⊂ R. Notam Dn =

x ∈ R |d (x, k) < 1n

vecinatatea de raza 1

na lui K, pentru orice n ∈ N∗.

Acestea sunt multimi deschise marginite si K =⋂n

Dn. Rezulta ca

XK = limn→∞

XDn .

Din lema anterioara, rezulta ca XK este repartizata Poisson si parametrulsau este λ (K). In plus, daca K1, ..., Kl sunt multimi compacte disjuncte,atunci vecinatatile lor de raza 1

nsunt disjuncte cand n este mare. Rezulta ca

XK1, ..., XKlse aproximeaza cu variabile independente. La limita si XK1, ..., XKl

se obtin independente.


Mai departe, trecem la cazul unei multimi boreliene A ∈ B (R). Stim case pot construi doua siruri (Kn)n∈N, (Dn)n∈N astfel ıncat Kn ⊂ Kn+1 ⊂ A ⊂Dn+1 ⊂ Dn, pentru orice n ∈ N si

λ (A) = limn→∞

λ (Kn) = limn→∞

λ (Dn) .

Notand A′=⋃n

Kn si A′′

=⋂n

Dn, vom avea

XA′ ≤ XA ≤ XA′′ .

Deoarece λ(A

′)= λ

(A

′′), rezulta ca XA′ = XA = XA′′ , aproape sigur.

Rezulta ca XA este repartizata Poisson cu parametrul λ (A). Ca mai sus, prinaproximare, se deduce si faptul ca XA1 , ..., XAl

sunt variabile independentedaca A1, ..., Al sunt disjuncte.

Observatia 6.1 O ipoteza mai tare decat punctul 40 din enuntul de mai suseste urmatoarea:

4’0 Daca λ (I) = λ (J) , atunci variabilele XI si XJ sunt identic reparti-zate.

In multe aplicatii este usor de acceptat direct aceasta ipoteza, care altfeleste o concluzie a teoremei.

Atunci cand se examineaza modelarea picaturilor de ploaie, este, la oprima vedere, greu de acceptat ca masura aleatoare Poisson este obiectulmatematic care descrie fenomenul. In primul rand obisnuinta comuna neındeamna sa privim cantitatea de picaturi care cade pe un metru patrat cafiind o constanta. Dar este clar ca nu este asa. Faptul ca la masuratorifacute ın doua locuri diferite, ın aceeasi perioada de timp, se obtin cantitatide apa foarte apropiate, nu ınseamna ca fenomenul aleator nu este prezent.O variabila aleatoare repartizata Poisson cu parametrul λ = 10.000 (core-spunzator la 10.000 de picaturi) are deviatia standard 100. Deci este normalca variatiile sa fie de acest ordin. Ele apar ca nesemnificative din punct devedere practic, dar fenomenul este aleator si poate corespunde unei masurialeatoare Poisson. In cazul a 1.000.000 de picaturi variatia data de modeleste si mai mica, relativ; ea este de 1.000 de picaturi. Faptul ca numarulde picaturi ce cade pe fiecare metru patrat este aleator poate fi observatatunci cand se considera o perioada scurta de timp, sau ın cazul unei ploifoarte scurte de vara. Independenta numarului de picaturi care cad ın locuridiferite pe suprafete egale este naturala. Teorema dinainte ne conduce la ac-ceptarea modelului dat de o masura aleatoare Poisson cu intensitatea masuraLebesgue multiplicata de o constanta ce corespunde amploarei fenomenului.

6.6. EXERCITII 131

Exemplu. O legatura interesanta exista ıntre notiunea de rata de defectarecare apare ın fiabilitate, sau rata de deces din actuariat si masura aleatoarePoisson. Fie β : [0,∞) → R+ o functie continua. Notam λ masura ce areβ drept densitate: λ (dx) = β (x) dx. Fie P masura aleatoare Poisson pe(R+,B (R+)) cu intensitatea λ. Definim apoi T ca pozitia primului punct(sau momentul primului punct, daca privim R+ ca reprezentand timpul) :

T (F ) = inf F = inft ≥ 0 | X[0,t] (F ) > 0

, F ∈ Ω,

T : Ω → [0,∞] ,

cu conventia T (∅) = ∞. Atunci β este rata de defectare corespunzatoare luiT.

De fapt, ın enuntul de mai sus este suficient sa presupunem ca β este

o functie masurabila si local integrabila, adicax∫0

β (t) dt < ∞, pentru orice

x > 0. Pentru a evita discutii delicate de analiza, presupunem β o functiecontinua.

Fiind o variabila aleatoare pozitiva, putem interpreta T ca un timp defunctionare. Din relatia

T > t =X[0,t] = 0

,

rezulta P (T > t) = eλ([0,t]). Prin derivare obtinem densitatea de repartitie

d

dtP (T > t) = −β (t) e

−t∫0

β(s)ds.

Deci β are interpretarea ratei de defectare asociate lui T.In cazul particular ın care β este o constanta, rezulta ca repartitia primu-

lui punct, sau repartitia lui T este exponentiala de parametru β.

6.6 Exercitii

Exercitiul 6.1 Un motor de un anumit tip este utilizat atat pentru avioanebimotoare cat si pentru cvadrimotoare. Presupunem ca probabilitatea ca unastfel de motor sa se defecteze dupa o anumita perioada de functionare este d.Pe de alta parte, normele de siguranta obliga un bimotor care are defect unuldin motoare sa ıntrerupa zborul. Pentru un cvadrimotor regula este ca daca


are mai putin de 3 motoare ın functiune sa ıntrerupa calatoria. Sa se deter-mine probabilitatile: 1) p, ca un bimotor sa functioneze respectiva perioadafara probleme, 2) p′, ca un cvadrimotor sa functioneze aceeasi perioada cusucces. 3) Pentru ce valori ale lui d este mai avantajos un bimotor?

Exercitiul 6.2 Un automat telefonic poate sa raspunda la 90% din apeluri.Se fac 10 apeluri la rand la acest automat. Sa se calculeze cu o precizie de10−4 probabilitatea de fi reusit contactatarea de: 1) exact 10 ori, 2) exact 5ori, 3) cel putin o data.

Exercitiul 6.3 Care este probabilitatea ca la o extragere loto ,,6 din 49”,la care s-au vandut 6.000.000 bilete, sa se obtina rezultatele: a) nu a iesitnici un bilet castigator, b) a iesit un bilet castigator, c) au iesit doua biletecastigatoare, d) au iesit trei bilete castigatoare. Care este probabilitatea casa nu iasa castigator nici un bilet trei extrageri la rand, la care s-au vandutrespectiv 6.000.000, 7.000.000 si 8.000.000 bilete?

Exercitiul 6.4 Un tipograf face ın medie o greseala la 5000 de semne puseın pagina. El realizeaza pagini de cate 43 de linii, fiecare continand cate 70de semne. Calculati, cu eroare de 10−3, probabilitatea ca pe o pagina data:1) sa fie exact doua erori, 2) sa fie cel mult doua erori.

Exercitiul 6.5 Intr-o perioada de 12 ore dintr-o anumita zi au sosit 180de apeluri la o centrala telefonica, repartizate aleator aproximativ uniformpe toata durata. Care este probabilitatea ca fixand un interval de 4 ore saconstatam ca ın el s-au petrecut ıntre 50 si 70 de apeluri.

[Se va constata ca exista doua modele plauzibile: 1) Consideram fiecaredin cele 180 de apeluri modelate de cate o variabila aleatoare repartizataBernoulli cu p = 1

3

(= 4

12

). 2) Consideram modelul unei masuri aleatoare

Poisson pe intervalul I = [0, 12] , cu intensitatea aL unde am notat cuL masura Lebesgue pe dreapta. Notam cu J intervalul de lungime 4 carereprezinta perioada ın care suntem interesati si punem J ′ = I\J. VariabileleXJ si XJ ′ sunt independente si repartizate Poisson cu parametrii 4a, respec-tiv 8a. Calculand repartitia lui XJ , conditionata de XJ +XJ ′ = 180 se ajungela acelasi rezultat ca prin metoda 1).]

Exercitiul 6.6 In procesul de fabricatie al unui obiect apar produse defectecu probabilitatea de 0, 01. Care este probabilitatea de a gasi doua sau maimulte produse defecte la testarea a 200 de obiecte?

6.6. EXERCITII 133

Exercitiul 6.7 Un vas contine apa ın care se afla bacterii ın proportie de 2bacterii pentru fiecare picatura de apa. Dupa spalare ramane cate o picaturade apa pe cate o farfurie, iar dupa cateva zile fiecare bacterie da nastere lao colonie. Care este probabilitatea de a avea 3 sau mai multe colonii pe ofarfurie?

Exercitiul 6.8 Microbii sunt ımprastiati aleator pe o lamela de laboratorcu densitatea de 5.000/cm2. Campul vizibil prin microscop este de 10−4 cm2.Care este probabilitatea ca ın campul vizibil sa se afle cel putin un microb?

Capitolul 7

Teorema De Moivre-Laplace

In acest capitol presupunem ca n ∈ N∗ este ordinul si p ∈ (0, 1) esteparametrul unei repartitii binomiale. Pentru o mai buna ilustrare a feno-menelor ce le vizam vom mai presupune ca avem un spatiu probabilizat(Ω,F ,P ) pe care este definita o variabila aleatoare X cu repartitia binomialade ordin n si parametru p. Vom nota

pk := P (X = k) = Cknpkqn−k , k = 0, 1, ..., n.

Principala problema a acestui capitol va fi sa gasim o buna aproximarea acestor numere si sa aplicam rezultatul la estimarea parametrului p prinmetode statistice. Matematicienii Abraham de Moivre (1667-1754) si PierreSimon Laplace (1749- 1827) au descoperit aceasta aproximare, primul ın cazulp = 1

2, iar cel de al doilea ın cazul general.

7.1 Aproximarea repartitiei binomiale

Mai departe vom cerceta ordonarea dupa marime a numerelor pk. Un interesnatural ıl prezinta maximul acestor numere. Daca pk0 este un maxim si toatecelelalte numere sunt strict mai mici, atunci indicele sau k0 poate fi calificatdrept valoarea lui X cu cea mai mare probabilitate de realizare. Un astfelde indice, sau mai corect, o astfel de valoare a lui X se numeste mod. Vomintroduce notatia

m = [(n + 1) p] ,

unde ın partea dreapta avem partea ıntreaga a numarului real (n + 1) p si,ın lema urmatoare, vom arata ca, cu unele exceptii, el reprezinta un mod.

135

136 CAPITOLUL 7. TEOREMA DE MOIVRE-LAPLACE

Lema 7.1 Sirul p0, p1, ..., pm−1 este strict crescator, sirul pm, pm+1, ..., pn estestrict descrescator si pm−1 ≤ pm. Daca (n + 1) p este ıntreg, atunci pm−1 =pm, ın caz contrar pm−1 < pm.

Demonstratie. Trebuie sa examinam semnul diferentei

pk+1 − pk = pkqn−k−1 n!

(k + 1)! (n − k)!(pn − q − k) .

Acest semn este dat de semnul expresiei pn−q−k = p (n + 1)−(k + 1) . Dinaceasta ultima expresie se observa imediat ca : 10 daca k + 1 < p (n + 1) ,atunci pk < pk+1; 20 daca p (n + 1) < k + 1, atunci avem pk > pk+1; 30 dacap (n + 1) = k + 1, atunci pk+1 = pk.

Observam ca modul m este apropiat de media np. Mai precis, din definitiapartii ıntregi a unui numar, rezulta ca au loc relatiile

m ≤ (n + 1) p < m + 1.

Prin urmare, daca notam δn = m−np, rezulta ca δn ∈ (−q, p]. In continuarevom presupune ca p este constant, dar vom face sa varieze n tinzand lainfinit. Cantitatea δn va fi mica ın raport cu celelalte care intervin si lalimita va disparea.

Mai departe facem o aproximare a numarului pm utilizand urmatoareaformula ce reprezinta un caz particular al formulei lui Stirling:

n! =√

2πn(n

e

)n

eθn ,

unde θn este un factor de corectie care este ın intervalul θn ∈ (1

12n+1, 1

12n

).

(Vezi [14] sau [10].) Urmatoarea propozitie arata ca probabilitatea pm esteasimptotic (cand n → ∞) de acelasi ordin de marime cu 1√

2πnpq.

Propozitia 7.1 Probabilitatea modului se exprima prin formula

pm =1√

2πnpqγn,

unde γn este un factor de corectie astfel ıncat limn→∞

γn = 1.

7.1. APROXIMAREA REPARTITIEI BINOMIALE 137

Demonstratie. Vom exprima cu ajutorul formulei lui Stirling numerelen!, m! si (n − m)! astfel ca expresia lui pm devine

pm =n!

m! (n − m)!pmqn−m =

=1√2π

nn

mm (n − m)n−m

√n√

m√

n − meθn−θm−θn−mpmqn−m =

1√2πnpq

α1

√α2α3

unde am notat α1 = eθn−θm−θn−m , α2 = n2pqm(n−m)

si α3 = nnpmqn−m

mm(n−m)n−m .

Tinand cont ca m = np + δn ≥ np − 1 si n − m = nq − δn ≥ nq −1 rezulta θm ≤ 1

12(np−1), θn−m ≤ 1

12(nq−1), ceea ce asigura ca limn→∞ θm =

limn→∞ θn−m = 0 si atunci limn→∞ α1 = 1.Trebuie sa examinam si raportul

α2 =npnq

(np + δn) (nq − δn),

pentru care se vede clar ca limita este 1, cand n → ∞.Ramane sa mai studiem raportul

α3 =(np)m

mm

(nq)n−m

(n − m)n−m =

(1 − δn

np + δn

)np+δn(

1 +δn

nq − δn

)nq−δn

.

Pentru a trece la limita dupa n vom scrie ultima expresie sub forma

= exp

((np + δn) ln

(1 − δn

np + δn

)+ (nq − δn) ln

(1 +

δn

nq − δn

)).

Mai departe vom utiliza aproximarea ln (1 + x) = x+r (x) , unde r (x) este unrest care este evaluat prin lema 2.3 astfel: −x2

1+x≤ r (x) ≤ 0. Atunci expresia

anterioara devine

= exp

((np + δn) r

(− δn

np + δn

)+ (nq − δn) r

(δn

np − δn

)).

Tinand cont de estimarile mentionate pentru functia r (x) , cantitatea de laexponent se majoreaza astfel∣∣∣(np + δn) r

(− δn

np+δn

)+ (nq − δn) r

(δn

nq−δn

)∣∣∣≤ δ2

n

np+δn

1

1− δnnp+δn

+ δ2n

nq−δn

1

1+ δnnq−δn

= δ2n

(1np

+ 1nq

).


Cand n → ∞, ultima expresie are limita 0.Rezumand aceste considerente, putem spune ca factorul γn = α1

√α2α3

satisface conditiile din enunt.

Pentru probabilitatile pk, cu indicele k nu prea departat de m, comporta-mentul asimptotic (cand n → ∞) este apropiat de comportamentul cantitatii

pme−(k−m)2

2npq . Urmatoarea propozitie exprima mai precis acest fapt.

Propozitia 7.2 Fie εn,k numarul determinat de relatia

pk = pme−(k−m)2

2npq eεn,k , k ∈ 0, 1, ..., n .

Atunci, pentru orice constanta c > 0, are loc relatia

limn→∞

sup|l|≤c

√n

|εn,m+l| = 0.

Demonstratie. Pornim de la egalitatea

pk = pmm!

k!

(n − m)!

(n − k)!pk−mqm−k.

Notam l = k −m si, pentru a face o alegere, presupunem l > 0. Atunci vomavea

pm+l = pm(n − m − l + 1) ... (n − m)

(m + 1) ... (m + l)

pl

ql=

= pm(nq − δn − l + 1) ... (nq − δn)

(np + δn + 1) ... (np + δn + l)

pl

ql=

= pm

(1 − δn+l−1

nq

)...(1 − δn

nq

)(1 + δn+1

np

)...(1 + δn+l

np

) = pmA.

Fractia din membrul stang al ultimei egalitati am notat-o cu A. Ea este uncat de doua produse si, pentru a o estima, mai ıntai o scriem sub formaA = eln A si exprimam ln A sub forma

ln A =

l−1∑i=0

ln

(1 − δn + i

nq

)−

l∑i=1

ln

(1 +

δn + i

np

).


La fel ca ın demonstratia anterioara, utilizam aproximarea ln (1 + x) = x +r (x) , unde r (x) satisface estimarea 0 ≥ r (x) ≥ −x2

1+x. Pentru x ≥ 0, avem

0 ≥ r (x) ≥ −x2, iar pentru x ∈ [−12, 0], avem 0 ≥ r (x) ≥ −2x2. Utilizand

acestea vom putea scrie

ln A = −l−1∑i=0

δn + i

nq−

l∑i=1

δn + i

np+ r1 − r2,

unde

|r1| ≤ 2

l−1∑i=0

(δn + i

nq

)2

≤ 2

(nq)2

l−1∑i=0

(1 + i)2 ≤ 2

(nq)2

(l + 1)3

3,

|r2| ≤l∑

i=1

(δn + i

np

)2

≤ 1

(np)2

l∑i=1

(1 + i)2 ≤ 1

(np)2

(l + 2)3

3.

Cele doua sume ce intervin ın expresia lui ln A se pot calcula, astfel ca seobtine

ln A = −2lδn

n

(1

q+

1

p

)− l

np− l (l − 1)

2n

(1

p+

1

q

)+ r1 − r2 =

= − l2

2npq+ r3 + r1 − r2,

unde r3 = l2npq

− 2lδn

npq− l

np= l

npq

[12− 2δn − q

], deci ın orice caz are loc

estimarea

|r3| ≤ 4l

npq.

Daca notam εn,k = r3 + r1 − r2, ramane sa examinam ce se ıntampla cand|l| ≤ c

√n:

sup|l|≤c

√n

|εn,m+l| ≤ 2

3

(c√

n + 1)3

n2q2+

1

3

(c√

n + 2)3

n2p2+

4c√

n

npq.

Expresia din partea dreapta nu depinde de l si se vede ca tinde la zero candn → ∞.

Cele doua proprietati anterioare pot fi rezumate ın forma rezultatuluiclasic urmator.


Teorema 7.1 (de Moivre-Laplace)

pk =1√2πσ

e−(k−µ)2

2σ2 eθn,k ,

unde coeficientii θn,k satisfac relatia urmatoare cu orice constanta c > 0,

limn→∞

sup|k−µ|≤c

√n

θn,k = 0,

iar µ = np, σ2 = npq sunt media, respectiv dispersia variabilei aleatoarerepartizate binomial cu parametrii n, p.

Demonstratie. Tinand cont ca m = µ + δn, putem scrie

(k − m)2

2npq=

(k − µ)2

2npq− (k − µ) δn

npq+

δ2n

2npq.

Coeficientul θn,k se exprima ın functie de coeficientii introdusi ın propozitiileanterioare astfel

θn,k = ln γn + εn,k +(k − µ) δn

npq− δ2

n

2npq.

Conditia |k − µ| ≤ c√

n implica evident |k − m| ≤ (c + 1)√

n si deci putemutiliza relatia din propozitia anterioara.

7.1.1 Repartitia normala

Functia ϕ (x) = 1√2π

e−x2

2 joaca un rol deosebit ın teoria probabilitatilor.Graficul acestei functii numit si clopotul lui Gauss este reprezentat figura 7.1ın partea de jos.

Pentru trasarea graficului se tine cont ca ϕ′ (x) = −xϕ (x) si ϕ′′ (x) =(x2 − 1) ϕ (x) . Este o curba simetrica fata de axa Oy, cu un maxim ın ϕ (0) =

1√2π

≈ 0, 3989 si punctele de inflexiune ın −1 si 1 : ϕ (1) = ϕ (−1) ≈ 0, 2419.

Functia este descrescatoare pe intervalul [0,∞) iar limitele la infinit suntlim

x→−∞ϕ (x) = limx→∞ ϕ (x) = 0. Ceea ce trebuie retinut ınsa este faptul ca

are loc o convergenta foarte rapida. Viteza mare de convergenta la zero esteilustrata, de exemplu, de faptul ca pentru numere naturale are loc relatia


0

0.5

-3 -2 -1 -1E-14 1 2 3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

-1 -0.75 -0.5 -0.25 -1E-14 0.25 0.5 0.75 10

0

Figura 7.1: Jos este graficul functiei de densitate pentru repartitia normalastandard; sus este graficul functiei de densitate pentru repartitia normala cum = 0 si σ = 0, 25.


ϕ (n + 1) = ϕ (n) e−n− 12 ≤ 1

n+1ϕ (n) . Am utilizat aici binecunoscuta inegali-

tate 1 + x ≤ ex. Pe de alta parte, calcule numerice arata ca

ϕ (−2) = ϕ (2) ≈ 0, 0539, ϕ (−3) = ϕ (3) ≈ 0, 00443, ϕ (−4) = ϕ (4) ≈ 0, 000134.

Valorile acestei functii sunt tabelate pentru ca functia este utilizata ın pro-bleme de statistica. Din punctul de vedere al majoritatii aplicatiilor nu-merice, functia ϕ este considerata zero pentru |x| ≥ 4.

Valoarea integralei urmatoare este cunoscuta, fiind una din integralelespeciale clasice,

∞∫−∞

e−x2

2 dx =√

2π.

Pentru completitudinea expunerii vom verifica aceasta egalitate. Se porneste

cu observatia ca, datorita simetriei functiei avem∞∫

−∞e−

x2

2 dx = 2∞∫0

e−x2

2 dx.

Atunci vom nota I =∞∫0

e−x2

2 dx si vom scrie patratul acestei integrale ca o

integrala dubla,

I2 =

(∞∫0

e−x2

2 dx

)(∞∫0

e−y2

2 dy

)=∫∫

R2+

e−x2+y2

2 dxdy =∫ π

2

0

∫∞0

re−r2

2 drdθ

= π2

∫∞0

re−r2

2 dr == π2

lima→∞(−e−

r2

2

∣∣∣a0

)= π

2.

La al treilea semn egal am utilizat trecerea la coordonate polare. RezultaI =

√π2, ceea ce stabileste formula dorita.

Relatia ce tocmai am verificat-o arata ca ϕ este densitatea unei masuride probabilitate pe R. Mai precis, se defineste o masura pe (R,B (R)) prin

N (A) =

∫A

ϕ (x) dx,

iar relatia anterioara arata ca N (R) = 1. (Verificarea faptului ca este omasura nu este simpla. De exemplu, faptul ca este σ−aditiva rezulta din teo-rema convergentei dominate.) Aceasta masura de probabilitate este numitarepartitia normala standard sau repartitia gaussiana standard. Proprietatilefunctiei ϕ conduc la faptul ca masura P este concentrata practic pe intervalul


(−4, 4) . Estimari numerice arata ca au loc relatiile aproximative urmatoare

1∫−1

ϕ (x) dx ≈ 0, 6826,2∫

−2

ϕ (x) dx ≈ 0, 9546,

3∫−3

ϕ (x) dx ≈ 0, 9972,4∫

−4

ϕ (x) dx ≈ 0, 9999.

Integralele functiei ϕ pe diverse intervale sunt utilizate ın calcule statisticesi de aceea se defineste functia urmatoare

Φ (x) =

x∫−∞

ϕ (y) dy, ∀x ∈ R,

care se numeste functia lui Laplace. Prin intermediul acestei functii putem

exprima orice integrala pe interval:b∫

a

ϕ (x) dx = Φ (b) − Φ (a) . Pentru a

facilita calculele, functia lui Laplace este tabelata de obicei cu valori alelui x care cresc cu 0, 01 de la 0 pana la 4. (Cartile de statistica contin ınmod curent, la sfarsit, un numar de tabele care permit efectuarea rapidaa anumitor calcule statistice des ıntalnite ın aplicatii. Tabelul cu valorilefunctiei Laplace este nelipsit din orice carte de statistica.) Pentru valorinegative ale argumentului se utilizeaza simetria functiei ϕ, care arata ca

Φ (−x) =

−x∫−∞

ϕ (y) dy =

∞∫x

ϕ (y) dy = 1 − Φ (x) .

In afara de repartitia normala standard exista o ıntreaga clasa de repartitiicare se numesc tot normale si care sunt obtinute prin transformari afine dinrepartitia standard. Mai precis, find date doua constante σ, m ∈ R, σ > 0,aplicatia h (x) = σx+m este o bijectie pe R. Se noteaza cu N (m, σ2) masuradefinita prin N (m, σ2) (A) = N (h−1 (A)) , ∀A ∈ B (R) . Aceasta masura sepoate exprima prin integrala

N (m, σ2

)(A) =

∫B

ϕ (x) dx,

unde am notat B = h−1 (A) . Dar prin schimbarea de variabila x = h (y) =y−m

σ(vezi relatia (*) din nota 1. de mai jos), aceasta integrala devine

=

∫A

ϕ

(y − m

σ

)dy

σ=

1

σ√

2π

∫A

e−(y−m)2

2σ2 dy.


Deci masura N (m, σ2) admite drept densitate functia ϕm,σ (x) = 1σ√

2πe−

(x−m)2

2σ2 .

Cu aceasta notatie, masura normala standard devine N (0, 1) . In partea desus a figurii 7.1 este trasat graficul corespunzator acestei functii ın cazulm = 0, σ = 1

4. In figura 7.2 sunt reprezentate graficele corespunzatoare

cazurilor m = 0, σ = 12

si m = 5, σ = 12.

Repartitia N(0,(

14

)2)

, se obtine din N prin transformarea h1 (x) = 14x,

care contracta dreapta reala. Asa se explica forma primului grafic ın raportcu graficul functiei ϕ, initiale. Masa masurii N a fost stransa ın jurul lui zero.

Repartitia lui N(5,(

12

)2)

se obtine din N prin transformarea h (x) = 12x+5,

care este contractia cu 12

urmata de o translatie cu 5. Se mai poate spune si

ca N(5,(

12

)2)

se obtine din N(0,(

12

)2)

prin transformarea h2 (x) = x + 5,

care este o translatie.

Nota 1. Sa reamintim aici formula schimbarii de variabila, care este maicunoscuta ın forma cu domeniul de integrare un interval:∫ b

a

f (h (y)) h′ (y)dy =

∫ d

c

f (x) dx,

unde h este o bijectie de la [a, b] ın [c, d] , h (a) = c, h (b) = d, h ∈ C1 (a, b) sih′ > 0 ın timp ce f ∈ C ([a, b]) . Aceasta relatie se extinde ın forma∫

B

f (h (y)) h′ (y)dy =

∫A

f (x) dx, (∗)

pentru orice multime A ∈ B ([c, d]) , iar B = h−1 (A) . Pentru a demonstraaceasta relatie vom defini doua masuri pe B ([c, d)) ın felul urmator:

µ1 (A) =

∫A

f (x) dx, µ2 (A) =

∫h−1(A)

f (h (y))h′ (y) dy.

Stim ca µ1 (A) = µ2 (A) , daca A este un interval. Rezulta imediat ca aceastaegalitate este valabila si pentru reuniuni finite de intervale disjuncte. Fa-milia de multimi G, care consta din toate reuniunile de intervale de tipul⋃n+1

l=0 [al, bl),unde n ∈ N si

c = a0 ≤ b0 < a1 < b1 < ... < an+1 ≤ bn+1 = d,


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-2 -1.5 -1 -0.5 -1E-14 0.5 1 1.5 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

0

Figura 7.2: Sus este graficul functiei de densitate pentru repartitia normalacu m = 0 si σ = 0, 5; jos este graficul functiei de densitate pentru repartitianormala cu m = 5 si σ = 0, 5.


formeaza o algebra de parti pe intervalul [c, d). Deoarece cele doua masuricoincid pe G si σ (G) = B ([c, d)) , suntem ın masura sa aplicam teorema 8.1si sa deducem ca cele doua masuri coincid pe toate multimile din B ([c, d)) .Cum punctul d este neglijabil pentru cele doua masuri, rezulta egalitateaacestora pe B ([c, d]) , ceea ce ınseamna ca este adevarata relatia (*).

Nota 2. Pentru a pune ın lumina mai bine proprietatile repartitiei normaleavem nevoie sa discutam despre variabile aleatoare care sunt repartizate nor-mal. Pentru aceasta trebuie sa extindem cateva notiuni ce le-am introdus an-terior doar pentru variabile aleatoare cu multime cel mult numarabila de va-lori. Sa presupunem deci, ca pe un spatiu probabilizat (Ω,F , P ) este definitao aplicatie X : Ω → R, fara a face ipoteza ca X (Ω) este o multime cel multnumarabila. Ea va fi numita variabila aleatoare daca este satisfacuta pro-prietatea X−1 (A) ∈ F , pentru orice A ∈ B (R) (deci daca este masurabila).In acesta situatie repartitia sa este definita prin PX (A) = P (X−1 (A)) si sepoate verifica ca ea este o masura de probabilitate, la fel ca ın cazul ın careX ar avea multimea valorilor cel mult numarabila.

Media EX a unei variabile aleatoare ca mai sus, se poate defini prinaproximarea ei cu un sir de variabile care iau fiecare numai un numar finitde valori. Mai mult, se poate demonstra ca are loc formula

Ef (X) =

∫R

f (x) PX (dx) , (∗∗)

care extinde formula corespunzatoare variabilelor cu o multime cel multnumarabila de valori din lema 5.11. Pentru valabilitatea acestei relatii tre-buie presupus ca f : R → R este masurabila Borel si ca este integrabilaın raport cu PX , sau ca f (X) este integrabila ın raport cu P. Daca X esteintegrabila, sau de patrat integrabila, din formula (**) rezulta respectiv

EX =

∫R

xPX (dx) , EX2 =

∫R

x2PX (dx) .

Pentru cazul unei variabile de patrat integrabila se defineste dispersia la felca ın cazul ın care multimea valorilor este cel mult numarabila,

D2X = E (X − EX)2 = EX2 − (EX)2 .

Putem spune atunci ca media si dispersia unei variabile aleatoare se exprimaın functie doar de repartitia sa.


Sa presupunem ca X este o variabila repartizata normal standard, adicaPX = N . Atunci putem calcula media sa:

EX =

∫R

xPX (dx) =1√2π

∞∫−∞

xe−x2

2 dx.

Functia care apare sub ultima integrala este integrabila. Pe de alta parteea este impara, si de aceea integrala face zero. Deci media unei variabilerepartizate normal standard este zero. Putem calcula si dispersia variabileiX :

D2X = E (X − EX)2 = EX2 =1√2π

∞∫−∞

x2e−x2

2 dx =1√2π

∞∫−∞

e−x2

2 dx = 1.

Sa consideram acum variabila Y = σX + m, unde σ, m ∈ R, σ > 0. Mediaacestei variabile este EY = E (σX + m) = m, iar dispersia ei este D2Y =E (Y − m)2 = σ2EX2 = σ2. Pentru a calcula repartitia lui Y notam h (x) =σx + m, astfel ca Y = h (X) , si atunci putem scrie

PY (A) = P(X−1

(h−1 (A)

))= PX

(h−1 (A)

)= N (

h−1 (A))

= N (m, σ2

)(A) .

Putem deduce atunci ca repartitia lui Y este N (m, σ2) .In concluzie, parametrul m reprezinta media, iar σ2 dispersia unei vari-

abile repartizate N (m, σ2) . De fapt, orice variabila repartizata N (m, σ2)are media m si dispersia σ2. Aceste fapte justifica denumirea de repartitianormala (sau gaussiana) de medie m si dispersie σ2, care este data repartitieiN (m, σ2) .

Comparatia grafica a repartitiei binomiale cu functia ϕ. Aproximatiadata de teorema de Moivre-Laplace este ilustrata grafic ın figurile 7.3 - 7.5.Sunt reprezentate histogramele unor repartitii binomiale de parametrii n si p,iar prin linie sunt trasate graficele corespunzatoare functiei ϕm,σ, cu m = npsi σ =

√npq.

Se observa ca ın cazul n = 10 si p = 0, 5 cele doua reprezentari suntfoarte apropiate. Graficul intersecteaza fiecare dreptunghi al histogrameifoarte aproape de mijlocul bazei superioare. In cazul n = 10 si p = 0, 1apar diferente simtitoare ıntre reprezentari. In general, pentru n = 10 seobserva o evolutie a diferentelor pentru diverse valori ale lui p. De fapt, ın


0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

-0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

-0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10.5

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

-0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10.5

Figura 7.3: Histograme ale repartitiei binomiale si grafice ale functiei ϕm,σ

corespunzatoare, pentru n = 10 si p = 0, 5 (sus), p = 0, 4 (ın centru) sip = 0, 3 (jos)


0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

-0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10.5

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

-0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 10.5


corespunzatoare, pentru n = 10 si p = 0, 2 (sus), p = 0, 1 (jos)


0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

30 35 40 45 50 55 60 65 70

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

10 15 20 25 30 35 40 45 50

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0 5 10 15 20 25 30 35 40


corespunzatoare, pentru n = 100 si p = 0, 5 (sus), p = 0, 3 (ın centru) sip = 0, 1 (jos)

7.2. TEOREMA LIMITA CENTRALA 151

aplicatii, diferentele de aproximare a repartitiei binomiale prin repartitia nor-mala se fac simtite nu atat prin distanta dintre mijloacele dreptunghiurilorhistogramei si valoarea densitatii ϕm,σ corespunzatoare, cat prin diferentadintre ariile dreptunghiurilor si ariile portiunilor corespunzatoare de subgraficul densitatii. Acest lucru rezulta din teorema limita centrala ce vafi prezentata ın sectiunea care urmeaza.

Pentru graficele cu n = 100, de asemenea, se observa o evolutie a graduluide apropiere ıntre histograme si grafice. Dar de data aceasta, chiar si ın cazuldeosebirilor maxime, care este p = 0, 1, se observa ca diferentele masurateprin arii sunt, proportional, mai mici decat ın cazul n = 10 si p = 0, 1.

7.2 Teorema limita centrala

Teorema de Moivre-Laplace are o serie de aplicatii interesante ın statistica.Modul ın care se aplica aceasta teorema va fi pus ın lumina de urmatoareateorema cunoscuta sub numele de ”teorema limita centrala”. (In fapt, aiciavem un caz particular al acesteia, dar semnificativ si netrivial.) Formula-rea acestei teoreme se face de obicei ıntr-un cadru putin diferit fata de celanterior, ın sensul ca nu se adreseaza direct unui sir de repartitii binomi-ale ci unui sir de variabile aleatoare repartizate binomial. Exemplul tipiccare conduce la astfel de variabile este dat de sumele partiale ale unui sir devariabile independente. Fie (An)n∈N∗ un sir de evenimente independente sicu aceeasi probabilitate p = P (An) ∈ (0, 1), pentru orice n ∈ N∗. Notam

Xn = 1An si Sn =n∑

i=1

Xn. Variabila aleatoare Sn va fi repartizata binomial cu

parametrii n, p si notam q = 1− p. Forma sub care am prezentat teorema deMoivre-Laplace arata ca variabilele Sn, n ∈ N au un anumit comportamentregulat cand n → ∞. Dar se poate arata ca limn→∞ Sn = ∞, aproape sigur.(Mai mult, se poate arata ca de fapt are loc relatia limita limn→∞ Sn

n= p,

aproape sigur. Acest rezultat se numeste legea numerelor mari, ınsa nu intraın obiectivele noastre aici.)

Metoda optima prin care se exploateaza aproximarea obtinuta ın teorema7.1 consta ın normalizarea sumelor astfel

Sn − np√npq

.

Aceste variabile au toate media 0 si dispersia 1. Ele nu converg ın sensulpunctual ci numai repartitiile lor converg la rapartitia normala ıntr-un anumit


sens. Pentru moment, teorema urmatoare trebuie privita doar ca producando aproximare utila ın calcule statistice, ceea ce a fost si intentia initiatorilorde Moivre si Laplace.

Teorema 7.2 Daca a < b sunt doua numere reale, atunci are loc relatia

limn→∞

P

(a <

Sn − np√npq

< b

)=

1√2π

b∫a

e−x2

2 dx.

Demonstratie. Incepem prin a introduce notatia σ =√

npq, Bk =

Sn = k , pk = P (Bk) si zk = k−npσ

, pentru n ∈ N∗ fixat si k ∈ 0, 1, ..., n.Numerele zk formeaza o retea cu pasul 1

σsi sunt raspandite pe intervalul[

−√

pq

√n,√

qp

√n]

: z0 = −√

pq

√n, zn =

√qp

√n, zk < zk+1, zk+1 − zk =

1σ. Pentru n suficient de mare intervalul dat (a, b) va fi inclus ın intervalul

[z0, zn] si ın continuare vom presupune ca asa stau lucrurile. Notam k1 =inf k | zk ∈ (a, b) si k2 = sup k | zk ∈ (a, b), astfel ca vom avea

a < zk1 , zk2 < b , 0 < zk1 − a ≤ 1

σ, 0 < b − zk2 ≤

1

σ.

Se verifica atunci urmatoarea egalitatea <

Sn − np√npq

< b

=

⋃k1≤k≤k2

Bk .

Aceasta conduce la

P

(a <

Sn − np√npq

< b

)=

∑k1≤k≤k2

pk .

Pentru a exprima convenabil numerele pk vom utiliza aproximarea data ınteorema anterioara si urmatoarea formula ce se verifica imediat

e−z2

2 =1

2ε

z+ε∫z−ε

e−x2

2 ex2−z2

2 dx .


Atunci scriind aceasta relatie cu ε = 12σ

si z = zk, obtinem

pk =1√2π

eθn,k1

σe−

z2k2 =

1√2π

eθn,k

zk+ 12σ∫

zk− 12σ

e−x2

2 ex2−z2

k2 dx .

Intervalele [zk− 12σ

, zk+12σ

) formeaza o partitie a intervalului [zk1− 12σ

, zk2+12σ

).Vom nota an = zk1 − 1

2σ, bn = zk2 + 1

2σsi atunci putem scrie⋃

k1≤k≤k2

[zk − 1

2σ, zk +

1

2σ) = [an, bn) .

Mai notam fn functia fn : [an, bn) → R, definita prin

fn (x) = θn,k +x2 − z2

k

2, ∀x ∈ [zk − 1

2σ, zk +

1

2σ) ,

astfel ca putem scrie

pk =1√2π

zk+ 12σ∫

zk− 12σ

e−x2

2 efn(x)dx ,

P

(a <

Sn − np√npq

< b

)=

1√2π

bn∫an

e−x2

2 efn(x)dx . (∗)

In continuare vom examina numarul

‖fn‖ = supx∈[an,bn)

|fn (x)| .

Pentru k1 ≤ k ≤ k2 avem |zk| ≤ c = max (|a| , |b|) ceea ce se scrie si subforma |k − np| ≤ c

√pq√

n. Atunci putem aplica teorema anterioara pentrua deduce ca sirul de numere

τn := maxk1≤k≤k2

|θn,k|

satisface relatia limn→∞

τn = 0. Estimam si ultimul termen din expresia lui fn,

|x2 − z2k|

2=

|x − zk| (|x − zk| + 2 |zk|)2

≤ 1

2

1

2σ

(1

2σ+ 2c

),


astfel ca putem scrie

‖fn‖ ≤ τn +1

4√

pq√

n

(1

2√

pq√

n+ 2c

).

Rezulta limn→∞

‖fn‖ = 0.

Sa ne ıntoarcem acum la relatia (∗) si sa o utilizam pentru a deduce∣∣∣∣∣∣P(

a <Sn − np√

npq< b

)− 1√

2π

bn∫an

e−x2

2 dx

∣∣∣∣∣∣ =1√2π

∣∣∣∣∣∣bn∫

an

e−x2

2

(efn(x) − 1

)dx

∣∣∣∣∣∣ .

Pentru a estima ultima expresie utilizam inegalitatea |ex − 1| ≤ 2x, valabilapentru |x| < 1

2si deducem

≤ 1√2π

bn∫an

e−x2

2 2 |fn (x)| dx ≤ 2√2π

bn∫an

e−x2

2 dx ‖fn‖ → 0 .

Observand definitia numerelor an si bn se constata ca au loc relatiile |an − a| ≤12σ

, |bn − b| ≤ 12σ

si deci limn→∞

an = a si limn→∞

bn = b. Prin urmare

bn∫an

e−x2

2 dx →b∫

a

e−x2

2 dx ,


Exemplu (acumularea erorilor). La o fabrica de chibrituri se pun cate50 de bete ıntr-o cutie de chibrituri cu o eroare de ± un bat. Cutiile seambaleaza cu hartie ın pachete de cate 12 si aceste pachete se pun ın pachetemari de carton, cate 12. Deci un pachet de carton contine 12 × 12 = 144cutii de chibrituri. Ne intereseaza care este numarul de bete ce se afla ıntr-unpachet de carton.

Solutie. Vom presupune ca eroarea de numarare la a i- a cutie de chibriturieste o variabila aleatoare εi care este repartizata astfel

P (εi = 1) =1

4,


P (εi = −1) =1

4,

P (εi = 0) =1

2.

Avem 144 de variabile εi, i = 1, ..., 144, care toate au aceeasi repartitie sicare sunt independente. Eroarea acumulata este repezentata de variabila

T =144∑i=1

εi.

Pentru a face calcule precise vom observa ca repartitia variabilei εi esterepartitia binomiala de parametri p = 1

2si n = 2, translatata penru a fi

centrata ın zero. Mai precis, daca X si Y sunt doua variabile independentesi identic repartizate cu repartitiile Bernoulli de parametru p = 1

2, atunci vari-

abila X+Y −1 va avea aceeasi repartitie cu εi. Deci pentru modelarea acesteiprobleme vom presupune ca avem date variabilele Xi, Yi | i = 1, ..., 144, in-dependente, identic repartizate Bernoulli cu parametrul p = 1

2, definite pe un

spatiu probabilizat (Ω,F , P ) . Iar variabilele ce reprezinta eroarea vor fi pre-supuse a avea forma εi = Xi+Yi−1. Deci eroarea cumulata este reprezentatade

T =

144∑i=1

Xi +

144∑i=1

Yi − 144,

care va avea o repartitie binomiala de parametri p = 12

si n = 288, translatatacu modul ın zero. Putem calcula

ET = 0,

D2T = 72,

DT = 8, 48.

Aplicand aproximarea data de teorema limita centrala obtinem

P (−8 ≤ T ≤ 8) ≈ 0, 68,

P (−17 ≤ T ≤ 17) ≈ 0, 95.

Deci cu o mare probabilitate, la numarul mediu de 144 × 50 = 7200 beteıntr-un carton, pot fi ın plus sau ın minus doar 17.


Acuratetea aproximarii date de teorema limita centrala. In aplicatiinu este necesara evaluarea fiecarui numar pk aproximat prin teorema deMoivre-Laplace ci este cel mai adesea nevoie de o aproximare de tipul celeidate ın teorema limita centrala. Aceasta aproximare este utilizata ın practicachiar si pentru valori mici ale lui n. Pentru ca aceasta sa se faca cat mai bineexista cateva corectii care se fac si pe care le vom prezenta, fara demonstratiimai jos.

Pentru doua numere k1 si k2 ∈ N astfel ıncat 0 ≤ k1 < k2 ≤ n vom nota

pk1,k2 = P (k1 ≤ Sn ≤ k2) = P

(k1 − np√

npq≤ Sn − np√

npq≤ k2 − np√

npq

).

Teorema limita centrala ne spune ca aceasta probabilitate este aproximata

de diferenta Φ(

k2−np√npq

)− Φ

(k1−np√

npq

). Se dovedeste ınsa ca numarul

N (k1, k2) = Φ

(k2 − np + 1

2√npq

)− Φ

(k1 − np − 1

2√npq

)aproximeaza mai bine probabilitatea pk1,k2. Adaugarea fractiei 1

2ın aceasta

expresie se spune ca introduce o corectie de continuitate pentru aproximareanoastra. (Numele sugereaza faptul ca repartitia binomiala, care este discon-tinua, este aproximata mai bine de repartitia normala, care este continua,daca se face aceasta corectie.)

Daca parametrul p este 12, atunci estimarea erorilor de aproximare con-

duce la concluzia ca diferenta dintre pk1,k2 si N (k1, k2) este mai mica dacat0, 01 pentru n ≥ 10 si mai mica decat 0, 005 pentru n ≥ 20. Pentru cele maimulte aplicatii practice o astfel de eroare este neglijabila.

In cazul p = 12

eroarea este evaluata pornind de la urmatoarea formula

pk1,k2 ≈b∫

a

(ϕ (x) +

1

6

p − q√npq

ϕ′′′

(x)

)dx , (∗)

unde a =k1−np− 1

2√npq

, b =k2−np+ 1

2√npq

, ϕ (x) = 1√2π

e−x2

2 , iar ϕ′′′

este derivata de

ordinul trei a lui ϕ. Eroarea cu care este verificata egalitatea aproximativade mai sus este inferioara lui 0, 013 daca

√npq ≥ 5. (Vezi Uspenski [27]

teorema din cap.VII, sec.11, pg. 129. Este de notat ca ın lucrarea [24] lapag. 103 si la pag. 107 se afirma ın cursul unor comentarii fara demonstratieca eroarea ar fi de fapt mai mica de 0, 005 chiar sub conditia mai slaba


-0.6

-0.3

0

0.3

0.6

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Figura 7.6: Graficul functiei ϕ′′′ (x).

√npq ≥ 3.) Termenul care integreza ϕ′′′ se numeste corectia de asimetrie.

Faptul ca p = 12

produce o asimetrie ıntre termenii pm+k si pm−k, asimetriece este preluata de corectia de asimetrie ın formula de aproximare.

Tinand cont ca ϕ′′ (x) = (x2 − 1)ϕ (x) , aceasta egalitate aproximativamai poate fi scrisa si sub forma

pk1,k2 − N (k1, k2) ≈ (p − q)

6√

npq

∫ b

a

ϕ′′′ (x) dx =

=(p − q)

6√

npq

[(b2 − 1

)ϕ (b) − (

a2 − 1)ϕ (a)

].

Graficul functiei ϕ′′′ (x) = (3x − x3) ϕ (x) este usor de trasat si arata ca ınfigura 7.6.

Valoarea maxima pentru integrala∫ b

aϕ′′′ (x) dx este 0, 577 si se obtine

cand a = 0 si b =√

3. Iar vloarea minima este −0, 577 si se obtine cand a =−√

3 si b = 0. Tinand cont de presupunerea√

npq ≥ 5, rezulta urmatoareaestimare uniforma pentru corectia de asimetrie,∣∣∣∣(p − q)

6√

npq

∫ b

a

ϕ′′′ (x) dx

∣∣∣∣ ≤ 0, 577

30≤ 0, 0193.

Putem deci utiliza aproximarea fara corectia de asimetrie: pk1,k2 ≈ N (k1, k2) ,cu o eroare de cel mult 0, 013 + 0, 0193 ≤ 0, 033, daca

√npq ≥ 5.

Regula radicalului. Sa presupunem ca avem ın fata o moneda ındoita,care, desigur, ne asteptam sa cada cu probabilitati diferite pe cele doua fete.Incercam sa stabilim care este probabilitatea de a cadea cifra prin experimen-tarea aruncarilor repetate. Dar problema nu este asa de simpla cum pare.


Autorul a ıncercat acest lucru cu diverse obiecte, precum monede ındoite,nasturi de diverse forme, o lentila de lupa foarte bombata, si a avut surprizasa constate ca dupa serii de cate 100 de aruncari nu se obtin rezultate conclu-dente. In sensul ca numerele de aparitii ale celor doua fete au fost aproximativegale, asa cum se ıntampla lucrurile ın cazul aruncarii cu o moneda perfecta.Mai precis, fiecare fata a iesit ıntre 40 si 60 de ori, asa cum ar corespunderepartitiei binomiale cu n = 100 si p = 0, 5. Desigur ca aceste experimente auaratat ca, desi diferit de 0, 5, parametrul p care corespunde acestor obiecte nueste foarte departat de aceasta valoare. Se pune atunci ıntrebarea de cate oriar trebui sa aruncam cu o moneda stramba cu parametrul p = 0, 45, pentrua obtine rezultate net diferite de cele corespunzatoare aruncarilor, de acelasinumar de ori, cu o moneda perfecta.

Pentru a face estimari numerice revenim la relatia lui Uspenski notatacu (*) mai sus. Observam ca functia ϕ′′′ este impara si de aceea integrala

sa pe intervale simetrice de tipul (−b, b) este zero:∫ b

−bϕ′′′ (x) dx = 0. Deci

relatia (*), ın cazul a = −b si presupunand ca√

npq ≥ 5, ne spune ca avempk1,k2 ≈ N (k1, k2) , cu o eroare de cel mult 0, 013. Daca ın plus avem b ≥ 2,atunci tabelul cu valorile functiei lui Laplace ne spune ca N (k1, k2) ≥ 0, 9544.In acest caz vom avea ın mod sigur pk1,k2 ≥ 0, 9544 − 0, 13 ≥ 0, 94, care esteo probabilitate destul de mare.

Sa vedem cum putem construi intervalele [k1, k2] , cat mai mici, dar ın asafel ıncat sa ındeplineasca conditiile de mai sus. Conditia de simetrie a = −b,revine la k2 − np = np − k1, adica intervalul [k1, k2] trebuie sa aiba mijloculnp. Conditia b ≥ 2 revine la

k2 ≥ np + 2√

npq − 1

2.

Putem deci alege k2 = k2 (n, p) sa fie cel mai mic ıntreg care satisface aceastainegalitate si sa punem apoi k1 = 2np − k2. Cu aceste numere vom aveapk1,k2 ≥ 0, 94. Putem spune ca intervalul astfel construit, [k1, k2] , reprezintaun ,,interval de atentie” pentru repartitia binomiala de rang n si parametrup. Aruncand de n ori o moneda care are probabilitatea p de a cadea cu cifraın sus, vom obtine rezultate cuprinse ın intervalul [k1, k2] , cu probabilitatemai mare de 0, 94. Distanta dintre centrul intervalului si extremitati ested := np− k1 = k2 − np si, tinand cont de definitia lui k2, avem 2

√npq − 1

2≤

d ≤ 2√

npq + 12. Cum ıntotdeauna avem pq ≤ 1

4, rezulta d ≤ √

n + 12.

Sa presupunem ca avem de comparat doua repartitii binomiale de acelasirang n si de parametrii p′ < p. Distanta dintre mediile corespunzatoare este


n (p − p′) . Cand n este mare distanta aceasta depaseste substantial largimeaintervalului de atentie. Avem atunci urmatoarea concluzie, numita ,,regulalui

√n” : intervalele de atentie corespunzatoare lui p si p′ au largimea de

ordinul lui√

n ın timp ce distanta dintre centrele acestor intervale este deordinul lui n. In consecinta, pentru n mare, intervalele de atentie devin dis-juncte.

In cazul problemei concrete p = 0, 5 si p′ = 0, 45 avem urmatoarele rezul-tate numerice:

p n√

n np k1 k2

p = 0, 5 100 10 50 40 60p = 0, 45 100 10 45 35 55p = 0, 5 1600 40 800 760 840p = 0, 45 1600 40 720 680 760p = 0, 5 2500 50 1250 1200 1300p = 0, 45 2500 50 1125 1075 1175

Sa presupunem ca aruncam o moneda de 1600 ori si o consideram echili-brata daca ea cade ın sus cu aceeasi fata de un numar de ori care este cuprinsın intervalul de atentie [760, 840] . Pe de alta parte, daca o variabila X ′ esterepartizata binomial de rang n si parametru 0, 45, atunci ea poate avea valorimai mari de 760 cu o probabilitate ce poate fi calculata cu calculatorul si este

P (X ′ ≥ 760) ≤ 0, 023.

Deci la un astfel de test, ne putem ınsela si acceptam o moneda cu p = 0, 45drept echilibrata, cu o probabilitate mai mica decat 0, 023.

In mod asemanator putem calcula pentru o variabila, X ′′, repartizatabinomial de rang n = 2500 si parametru p = 0, 45 :

P (X ′′ ≥ 1200) ≤ 0, 0014.

Deci putem stabili testul urmator: se arunca o moneda de 2500 ori si o con-sideram echilibrata daca fiecare fata cade ın sus de un numar de ori cuprins ınintervalul de atentie [1200, 1300] . Posibiltatea ca avand o moneda cu p = 0, 45sa obtinem un rezultat mai mare de 1200 pentru una din fete are probabili-tatea mai mica de 0, 0014. Deci probabilitatea de a ne ınsela cu un astfel detest, pentru o moneda cu p = 0, 45, este foarte mica.

In figurile 7.7 si 7.8 sunt reprezentate repartitiile binomiale despre caream discutat. Reamintim ca repartitia binomiala are valori strict pozitiveın fiecare punct din suportul sau. Totusi marea majoritate a acestor valori


sunt atat de mici ıncat ın graficele noastre nu apar. Numai valorile dinjurul modului sunt vizibile ın graficele noastre si asta pentru ca axa valorilorverticale este dilatata.


0

0.

02

0.

04

0.

06

0.

08

01

02

03

04

05

06

07

08

09

01

00

0

0.

02

0.

04

0.

06

0.

08

01

02

03

04

05

06

07

08

09

01

00

0

0.

01

0.

02

0.

03

0.

04

0.

05

0.

06

0.

07

0.

08

30

35

40

45

50

55

60

65

70

Figura 7.7: Sus sunt histogramele repartitiei binomiale cu n = 100 si p =0, 5, respectiv p = 0, 45. Jos este pusa ın evidenta suprapunerea celor douarepartitii, dar reprezentarea se face la o alta scara.


0

0.

00

5

0.

01

0.

01

5

0.

02

80

67

91

77

67

61

74

67

31

71

6

0

0.

00

4

0.

00

8

0.

01

2

0.

01

6

12

58

12

33

12

08

11

83

11

58

11

33

Figura 7.8: Jos este reprezentata zona de suprapunere a repartitiilor binomi-ale cu n = 1600 si p = 0, 5, respectiv p = 0, 45. Sus se vede practic despartirearepartitiilor binomiale cu n = 2500 si p = 0, 5, respectiv p = 0, 45.

7.3. NOTIUNI DE ESTIMAREA STATISTICA 163

7.3 Notiuni de estimarea statistica

In aceasta sectiune vom presupune ca pe un spatiu masurabil fixat, (Ω,F) ,sunt date variabilele aleatoare X1, ..., Xn. Presupunem ca avem data o fam-ilie Pp/p ∈ I de probabilitati pe acest spatiu, indexata dupa un intervalI ⊂ (0, 1) , astfel ca, sub fiecare din aceste masuri, variabilele date sunt in-dependente si identic repartizate cu o repartitie Bernoulli de parametru pcorespunzand indicelui p al masurii respective. Am vazut ın propozitia 5.4cum se poate construi un astfel de spatiu masurabil unic pe care coexistatoate masurile cu proprietatile enuntate pentru orice p ∈ (0, 1) . Parametrulp este o necunoscuta si se urmareste determinarea sa prin metode statisticepornind de la valorile ınregistrate ıntr-un experiment pentru variabilele date.

Exemplul 1. Acesta este modelul potrivit pentru cazul problemei con-trolului de calitate. Se cauta determinarea proportiei p de piese defecte caresunt produse ıntr-un proces de fabricatie. Pentru aceasta, la punctul de iesiredin procesul de fabricatie sunt testate un numar de n piese.

Exemplul 2. Acelasi model descrie si problema unui sondaj simplu ın carese urmareste a determina procentul dintr-un grup de indivizi care au o parerefavorabila ıntr-o anumita chestiune. Este cazul unui grup mare si se ches-tioneaza atunci o parte mult mai mica din grup, formata din n indivizi.

Secventa X1 (ω) , ..., Xn (ω), pentru ω ∈ Ω, reprezinta un ”esantion” sauo ”selectie” facuta printre obiectele grupului. In cazul controlului de cali-tate notam cu 1 rezultatul testului ın cazul ın care piesa este defecta si cu0 rezultatul ın cazul ın care piesa este corespunzatoare din punct de vederecalitativ. Efectuarea unui control la un esantion de n piese conduce la con-semnarea unei secvente de tipul 0, 0, 1, 0, 1, ...1, 0, 0, ın care sunt n cifre dezero sau unu. La fel se consemneaza si rezultatele sondajului, obtinandu-seo secventa de n cifre de 0 sau 1. In continuare vom vedea cum se prelucreazaaceasta secventa de numere pentru a determina parametrul p necunoscut.De fapt ceea ce vom utiliza concret va fi doar un numar, anume numarulcare reprezinta de cate ori apare cifra 1 ın secventa de n cifre.

7.3.1 Intervale de ıncredere

Definitia 7.1 Fiind data o aplicatie masurabila f : Rn → (0, 1) , vom spuneca variabila aleatoare compusa f (X1, ..., Xn) reprezinta un estimator. Fiind


dati doi estimatori θi = fi (X1, ..., Xn) , i = 1, 2, se spune ca intervalul aleator(θ1, θ2) este un interval de ıncredere pentru p. Aplicatia γ : (0, 1) → [0, 1]definita prin

Pp (θ1 < p < θ2) = γ,

este numita coeficientul de ıncredere asociat intervalului de ıncredere.

Repartitiile estimatorilor θ1 si θ2 depind de repartitia variabilelor Xi si deaceea γ este o functie de p ın general. Pentru a avea relevanta, un coeficientde ıncredere trebuie sa fie cat mai apropiat de 1, independent de p ∈ (0, 1) .In mod practic, uneori se reuseste construirea unui interval de ıncredere careda un coeficient de ıncredere constant. Alteori, intervalele de ıncredere seconstruiesc ın asa fel ıncat se poate obtine o margine inferioara, uniformasi apropiata de 1, pentru coeficientul de ıncredere. Mai observam ca daca(θ1, θ2) si

(θ′1, θ

′2

)sunt doua intervale de ıncredere astfel ıncat θ

′1 ≤ θ1 si

θ2 ≤ θ′2, atunci coeficientii de ıncredere corespunzatori γ si γ

′satisfac relatia

γ = Pp (θ1 < p < θ2) ≤ Pp

(θ′1 < p < θ

′2

)= γ

′.

Cu cat este mai mic intervalul de ıncredere cu atat estimarea lui p este maiprecisa, dar ın acelasi timp coeficientul de ıncredere se micsoreaza. Alegereaunui interval de ıncredere are de rezolvat si acest aspect contradictoriu: inter-valul trebuie sa dea o precizie suficienta ın determinarea lui p, dar ın acelasitimp sa asigure un coeficient de ıncredere ridicat.

Media empirica. Variabila aleatoare X = 1n

n∑i=1

Xi poarta numele de me-

dia empirica. Acesta este un estimator care estimeaza media p a variabilelordate. (Legea numerelor mari da un sens mai precis cuvantului ,,estimeaza”,afirmand ca media empirica converge la valoarea medie, aproape sigur, pen-

tru n → ∞. ) Functia f : Rn → R, definita prin f (x1, ..., xn) = 1n

n∑i=1

xi

satisface relatia X = f (x1, ..., xn) .

Deoarece suma X1 + ... + Xn este repartizata binomial cu ordinul n siparametrul p, rezulta ca media mediei empirice este EX = np

n= p, iar

dispersia este D2X = 1n2 D

2 (X1 + ... + Xn) = 1n2 npq = pq

n.


7.3.2 Evaluarea coeficientului de ıncredere

Vom utiliza acum estimarea erorii din teorema limita centrala, ca sa obtinemo margine inferioara pentru coeficientul de ıncredere asociat unui interval deıncredere centrat ın jurul mediei empirice.

Propozitia 7.3 Daca I = (0, 1) si√

npq ≥ 5, atunci intervalul de ıncredere(X − 3

√pq√n

, X +3√

pq√n

)are un coeficient de ıncredere mai mare de 0, 98.

Demonstratie. Deoarece Sn =n∑

i=1

Xn = nX, putem scrie∣∣∣∣Sn − np√npq

∣∣∣∣ < 3

=

∣∣X − p∣∣ < 3

√pq√n

,

relatie care conduce la

np − 3√

npq < Sn < np + 3√

npq =

X − 3

√pq√n

< p < X + 3

√pq√n

.

Notam k1 cel mai mic ıntreg care este mai mare decat np−3√

npq si k2 cel maimare numar ıntreg mai mic decat np+3

√npq, astfel ca multimea din partea

stanga se scrie si sub forma k1 ≤ Sn ≤ k2 . Numerele ıntregi introduse seexprima sub forma k1 = np − 3

√npq + δ1, k2 = np + 3

√npq − δ2, cu doua

numere δ1, δ2 ∈ [0, 1] . Coeficientul de ıncredere care ne intereseaza este

Pp

(X − 3

√pq√n

< p < X + 3

√pq√n

)= Pp (k1 ≤ Sn ≤ k2) = pk1,k2.

Mai departe punem a =k1−np− 1

2√npq

= −3 + δ1√npq

− 12√

npq, b =

k2−np+ 12√

npq=

3 − δ2√npq

+ 12√

npqsi scriem formula aproximativa

pk1,k2 − N (k1, k2) ≈ (p − q)

6√

npq

∫ b

a

ϕ′′′ (x) dx,

unde eroarea este de cel mult 0, 013. Avand ın vedere ca functia ϕ′′′ (x) =(3x − x3)ϕ este impara, iar intervalul de integrare (a, b) este aproape si-metric, vom exploata acest lucru pentru a evalua strans eroarea de simetrieexprimata prin integrala lui ϕ′′′. Avem

∫ 0

aϕ′′′ = − ∫ −a

0ϕ′′′ si prin urmare

∫ b

aϕ′′′ =

∫ 3− δ2√npq

+ 12√

npq

0 ϕ′′′ − ∫ 3− δ1√npq

+ 12√

npq

0 ϕ′′′

= ϕ′′(3 − δ2√

npq+ 1

2√

npq

)− ϕ′′

(3 − δ1√

npq+ 1

2√

npq

).


Tinand cont ca ϕ′′′ (x) ≤ 0 pentru x ≥ √3, rezulta ca ϕ′′ este descrescatoare

pentru x ≥ √3. Dar numerele −a si b sunt mai mari ca

√3, si atunci maximul

diferentei de mai sus, considerata ca functie de δ1 si δ2, este obtinut candδ2 = 1 si δ1 = 0, iar minimul cand δ2 = 0 si δ1 = 1. Deci avem∣∣∣∣

∫ b

a

ϕ′′′∣∣∣∣ ≤ ϕ′′

(3 − 1

2√

npq

)− ϕ′′

(3 +

1

2√

npq

)≤ ϕ′′ (2, 9) − ϕ′′ (3, 1) ,

unde la ultima majorare am tinut cont si de faptul ca√

npq ≥ 5. Rezultaatunci ∣∣∣∣(p − q)

6√

npq

∫ b

a

ϕ′′′ (x) dx

∣∣∣∣ ≤ ϕ′′ (2, 9) − ϕ′′ (3, 1)

30≤ 0, 00054.

Eroarea de asimetrie este deci foarte mica si putem scrie pk1,k2 ≈ N (k1, k2) ,cu o eroare de maximum 0, 01354. Ramane sa evaluam

N (k1, k2) = Φ (b) − Φ (a) =

= Φ

(3 − δ2√

npq+

1

2√

npq

)− Φ

(−3 +

δ1√npq

− 1

2√

npq

),

expresie din care se vede ca

N (k1, k2) ≥ Φ (2, 9) − Φ (−2, 9) ≥ 0, 9962.

In concluzie avem pk1,k2 ≥ 0, 98, asa cum este afirmat ın enunt.

Exemplul 1. Un laborator ısi propune sa determine coeficientul p carereprezinta raportul dintre numarul de pui masculi si numarul total de pui,la nastere, pentru o anumita specie de iepuri. In acest scop se face un re-censamant la fermele de iepuri ınregistrandu-se 56.680 familii de iepuri fiecarecu cate 8 pui, ın total 56680×8 = 429.440 de pui din care 221.023 sunt mas-culi.

Solutie. Modelam problema ın felul urmator: pe un spatiu masurabil(Ω,F) consideram X1, ..., Xn variabile aleatoare independente repartizateBernoulli cu parametrul p (ce ıl cautam) sub masura de probabilitate Pp, p ∈(0, 1) . In cazul de fata avem n = 429.440, iar media empirica calculata pentruesantionul nostru este

X = 221.023 : 429.440 = 0, 5146.


Mai departe calculam√

n = 655 si estimam√

pq =√

p (1 − p) ≤ 12.

Propozitia anterioara ne asigura ca intervalul(0, 5146 − 3

2 × 655; 0, 5146 +

3

2 × 655

)= (0, 51230; 0, 51689)

are un coeficient de ıncredere mai mare decat 0, 98.

Exemplul 2. Pentru a determina audienta unui post de televiziune se faceun sondaj ın care sunt intervievati 2500 de subiecti. Dintre acestia 300 spunca au urmarit cel putin un program al postului respectiv ın ultima saptamana.Restul nu au privit postul respectiv ın ultima saptamana. Se considera decica 300 din 2500 de persoane sunt interesate de postul respectiv. Audientapare a fi de 300

2500= 0, 12 sau, ın procente, 12%.

Solutie. Pentru a determina pe baze statistice un interval de ıncrederesi un coeficient de ıncredere modelam problema ca mai ınainte. Avem n =2500,

√n = 50 si X = 0, 12. Dupa propozitia anterioara, intervalul(

0, 12 − 3

2 × 50; 0, 12 +

3

2 × 50

)= (0, 09; 0, 15)

are un coeficient de ıncredere mai mare de 0, 98. Deci nu putem spune cusiguranta ca audienta postului respectiv este de 12%, dar putem spune caeste aproape cert ca audienta sa este ıntre 9 − 15%.

In concluzie putem spune ca estimarile statistice bazate pe teorema limitacentrala permit punerea ın evidenta a gradului de relevanta pe care ıl are omedie empirica pe care o face orice persoana neavizata. Rezultatele, inter-valul de ıncredere si coeficientul de ıncredere, nu dau informatii sigure ın modabsolut, ci numai cuantificari numerice pentru fenomene probabiliste. Pentrua se ıntelege utilitatea, eficienta practica a acestor rezultate, este nevoie deo experienta a masurarii fenomenelor aleatorii. De exemplu, cine a aruncatcu banul de mai multe ori a ınteles ca rezultatele experimentului nu suntarbitrare. Ele sunt aleatorii dar respecta legile teoriei probabilitatiilor.

Scopul acestei sectiuni a fost mai ales didactic, pentru a explica metodaestimarii statistice. Propozitia pe care am utilizat-o este buna doar ıntr-oprima aproximatie. De fapt exista metode mult mai rafinate pentru a trataproblemele de tipul prezentat ın aceste exemple. A se vedea de exempluDacunha-Castelle -M. Duflo [8], paragraful 2.4.2, pg. 47.


7.4 Exercitii

Exercitiul 7.1 Se suspecteaza ca un zar a fost masluit si ar avea o greu-tate ın coltul adiacent fetelor cu numerele 1, 3 si 5. Se propune urmatorultest de verificare: se arunca zarul de n ori si se considera ca zarul nu estemasluit daca fetele cu numere impare ies de un numar de ori cuprins ıntre[

n2−√

n, n2

+√

n]. Sa se determine cea mai mica valoare n pentru care nu

riscam sa ne pacalim decat cu o probabilitate mai mica de 0, 001, ın cazulın care catalogam corect un zar care de fapt este masluit si are probabilitateap = 0, 4 de a arata fetele impare ın sus.

Exercitiul 7.2 Sa se imagineze un test pentru un zar despre care nu se stieın care colt ar putea aiba pusa o greutate. Deci se suspecteaza toate colturile.

Capitolul 8

Masuri pe spatii produs ıncazul discret

Scopul acestui capitol este de a da o demonstratie directa, simplificata ınraport cu cazul general, pentru teorema de constructie a masurilor pe spatiiprodus de multimi cel mult numarabile. Acesta este singurul rezultat maispecial de teoria masurii necesar ın elementele de teoria lanturilor Markovpe care le abordam ın urmatoarele capitole.

8.1 Complemente de teoria masurii

In aceasta prima sectiune vom introduce cateva definitii si vom enunta catevarezultate de teoria masurii de care vom avea nevoie. Incepem cu extin-derea unor notiuni prezentate ıntr-o forma particulara ın sectiunea despreσ−algebre asociate unor variabile aleatoare.

Fie (E, E) si (F,F) doua spatii masurabile si f : E → F o aplicatie. Sespune ca f este masurabila (sau ca este o variabila aleatoare) daca f−1 (F) ⊂E .

Urmatoarea lema pune ın evidenta un procedeu simplu de a construispatii masurabile.

Lema 8.1 Fie E, F doua multimi si f : E → F o aplicatie.(i) Daca F ⊂ P (F ) este o σ− algebra, atunci si f−1 (F) este tot o σ−

algebra, iar aplicatia f devine masurabila ca aplicatie de la (E, f−1 (F)) cuvalori ın (F,F) .

169

170CAPITOLUL 8. MASURI PE SPATII PRODUS IN CAZUL DISCRET

(ii) Daca, ın plus, avem o σ−algebra, E ⊂ P (E) , si o masura de pro-babilitate µ : E → [0, 1] , astfel ıncat f este masurabila de la (E, E) cu va-lori ın (F,F) , atunci aplicatia notata µ f−1 : F → [0, 1] si definita prinµ f−1 (A) = µ (f−1 (A)) , este o masura de probabilitate pe F .

Demonstratie. (i) Se utilizeaza relatiile urmatoare:(f−1 (A)

)c= f−1 (Ac) ,

⋃n∈N

f−1 (An) = f−1

(⋃n∈N

An

),

valabile pentru A, An ∈ F , n ∈ N.(ii) Sa verificam proprietatea de σ−aditivitate. Daca (An)n∈N ⊂ F este

un sir de multimi disjuncte, atunci multimile ıntoarse f−1 (An) , n ∈ N, suntsi ele disjuncte si putem utiliza relatia de σ−aditivitate a masurii µ pentrua deduce

µ f−1(⋃

n∈N An

)= µ

(f−1

(⋃n∈N An

))= µ

(⋃n∈N f−1 (An)

)=∑

n∈N µ (f−1 (An)) =∑

n∈N µ f−1 (An) .

Spunem ca masura µ f−1 este obtinuta din transportul lui µ prin f.Aceasta operatie de transport este valabila ın general, pentru masuri carenu sunt ın mod necesar de probabilitate. Dar ın limbaj probabilist, ın cazulnostru, putem spune ca f este o variabila aleatoare definita pe spatiul pro-babilizat (E, E , µ) cu valori ın (F,F) , iar µ f−1 este repartitia lui f.

Daca (Xi)i∈I este o familie de aplicatii Xi : Ω → F cu valori ın spatiulmasurabil (F,F) vom nota

σ (Xi/i ∈ I) = σ(X−1 (A) / i ∈ I, A ∈ F)

,

si vom spune ca σ (Xi/i ∈ I) este σ−algebra generata de aplicatiile (Xi)i∈I .Listam mai jos diverse alte fapte elementare de care vom avea nevoie mai

tarziu.1. σ (Xi/ i ∈ I) este cea mai mica σ−algebra ce face toate aplicatiile

Xi, i ∈ I masurabile.2. In cazul unei singure aplicatii X : Ω → F are loc egalitatea σ (X) =

X−1 (F) .3. Fie Ω o multime arbitrara si A = Ai | i ∈ I o partitie cel mult

numarabila de submultimi nevide ale lui Ω, indexata ın asa fel ıncat la doi

8.1. COMPLEMENTE DE TEORIA MASURII 171

indici diferiti, i = j, corespund atomi diferiti, Ai ∩ Aj = ∅. Pentru o parteK ⊂ I, adoptam notatia AK =

⋃i∈K

Ai, cu conventia A∅ = ∅. Fiind dat un

sistem de numere µi ∈ [0, 1], i ∈ I astfel ıncat∑

i∈I µi = 1, exista o unicamasura de probabilitate P pe σ (A) astfel ca P (Ai) = µi pentru orice i ∈ I.Aceasta este definita prin

P (AK) =∑i∈K

µi, K ⊂ I.

Demonstratia acestei afirmatii nu face decat sa repete, cu modificari minore,argumentele din demonstratia lemei 5.6. Constructia aceasta a masurilorde probabilitate va fi utilizata relativ la partitiile cu multimi cilindrice ele-mentare de ordin n, ce vor fi definite ın paragraful urmator.

4. Vom nota cu G σ−algebra generata de o partitie A = Ai | i ∈ I amultimii Ω. O aplicatie X : Ω → R este masurabila de la spatiul masurabil(Ω,G) la spatiul (R,B (R)) , daca si numai daca este constanta pe fiecare dinatomii partitiei.

5. Fie f : E → R+ o aplicatie masurabila de la spatiul masurabil (E, E)cu valori ın spatiul masurabil (R+,B (R+)) . Se poate construi atunci un sircrescator de functii masurabile etajate cu limita f, ın felul urmator:

fn =1

2n

n2n∑k=1

1f≥ k2n.

Pentru a verifica faptul ca sirul definit de aceasta formula poseda proprietatiledorite este mai convenabil sa exprimam functia fn ın urmatoarea forma maiexplicita:

f (x) =

k−12n , daca k−1

2n ≤ f (x) < k2n , k

2n ≤ nn daca n ≤ f (x)

.

In introducerea ın teoria lanturilor Markov pe care o vom face ın capitolelece urmeaza nu vom utiliza ın mod esential mediile conditionate. Insa mediileconditionate si martingalele, care sunt bazate pe ele, au un rol important ınalte rezultate legate de lanturile Markov. De aceea vom introduce, pentrucititorul care cunoaste deja notiunea de integrala (sau medie) pentru variabilecare nu iau neaparat o multime cel mult numarabila de valori reale, catevaidei despre medii conditionate. Un cititor care cunoaste integrala doar din


paragraful ,,Medie si dispersie” al prezentei carti poate sa sara toate discutiiledespre medii conditionate (cum ar fi punctul (ii) din propozitia 9.3, primaafirmatie din propozitia 9.6 si punctul (ii) din teorema 9.2), cu asigurarea canu pierde prea mult.

In capitolul urmator, vom prezenta succint relatia dintre proprietateaMarkov si media conditionata. In acest scop, vom da acum o definitie a me-diei conditionate ın cazul particular al unei σ−algebre generate de o partitiecel mult numarabila, care este suficienta pentru discutia pe care o vom faceın legatura cu proprietatea Markov.

Fie (Ω,F , P ) un spatiu probabilizat si X o variabila aleatoare cu valoriın (R,B (R)) . Pe scurt vom numi variabila aleatoare reala sau si mai scurtvariabila aleatoare o astfel de variabila. Presupunem ca X este integrabila.Daca A ∈ F vom utiliza notatia

E [X; A] = E (1AX) =

∫A

XdP

pentru integrala pe A a functiei X. Vom mai presupune ca A = Ai | i ∈ Ieste o partitie masurabila, cel mult numarabila, a lui Ω. Notam G = σ (A) ,σ−algebra generata de aceasta partitie. Notam cu Y variabila aleatoaredefinita prin

Y (ω) =

1P (Ai)

E [X; Ai] , daca ω ∈ Ai si P (Ai) > 0

0 daca ω ∈ Ai si P (Ai) = 0.

Aceasta variabila aleatoare are urmatoarele proprietati:a) este masurabila fata de G,b) este integrabila,c) satisface relatia E [X; A] = E [Y ; A] , pentru orice multime A ∈ G.Se poate demonstra usor ca daca o alta variabila, Z, poseda si ea pro-

prietatile a),b),c), atunci Y = Z, pe fiecare din multimile Ai, pentru careP (Ai) > 0. Cu alte cuvinte, daca notam I0 = i ∈ I/ P (Ai) = 0 , atunciare loc incluziunea

Y = Z =⋃i∈I0

Ai.

Se spune ca oricare din variabilele ce satisfac proprietatile a),b),c) reprezintao versiune a mediei conditionate a lui X fata de G. Se noteaza cu E [X/G] ori-care din variantele ce reprezinta media conditionata a variabilei X. Relatiiledintre mediile conditionate sunt ıntelese ıntotdeauna ın sensul egalitatilor

8.2. SPATIUL PRODUS NUMARABIL 173

aproape sigure. De exemplu, daca doua variabile X, X ′ sunt egale a.s., atuncinu facem distinctie ıntre mediile lor conditionate.

Dupa cum se vede, desi avem o formula explicita pentru media conditionata,ın defintie se admit variante si se utilizeaza cele trei proprietati a),b),c) pentrua preciza notiunea. Acesta este punctul de vedere care permite generalizareanotiunii la cazul in care G est o σ−algebra generala, care nu este neaparatgenerata de o partitie. Dintre proprietatile mediei conditionate vom lista doarpe cele mai simple, care sunt ınsa si cele mai importante. Demonstratiile lelasam ca exercitiu cititorului.

6. Daca X este G masurabila, atunci E [X/G] = X, a.s.7. Daca X ≥ 0, a.s., atunci E [X/G] ≥ 0, a.s. Egalitatea E [X/G] = 0,

a.s. este echivalenta cu X = 0, a.s.8. Daca a, b ∈ R si avem doua variabile X, X ′, atunci are loc relatia

E [aX + bX ′/G] = aE [X/G] + bE [X ′/G] , a.s.9. Daca A′ este o alta partitie cel mult numarabila astfel ca G ′ ⊂ G (vezi

observatia 4.1), atunci are loc egalitatea E [E [X/G] /G ′] = E [X/G′] , a.s.Mai mentionam urmatoarele teoreme, centrale ın teoria masurii, pe care

le vom utiliza fara a da aici demonstratiile. Cititorul va gasi demonstratiilelor ın orice carte de teoria masurii (vezi [19]), cat si ın unele carti de teoriaprobabilitatilor.

Teorema 8.1 Fie A o algebra de parti ale lui Ω si F = σ (A) . Doua masuride probabilitate pe F care coincid pe A sunt identice.

Teorema 8.2 Fie A o algebra de parti ale lui Ω si presupunem ca µ : A →[0, 1] este o aplicatie finit aditiva care are proprietatea ca limn µ (An) = 0,pentru orice sir descrescator (An)n∈N , cu intersectia vida. Fie F = σ (A) ,σ-algebra generata de A. Atunci exista o unica masura de probabilitate µ :F → [0, 1] care extinde pe µ.

8.2 Spatiul produs numarabil

In teoria lanturilor Markov, obiectul cel mai important este urmatorul spatiuprodus:

Ω = EN = ω : N → E = E × E × ... = (e0, e1, e2, ...) /en ∈ E, ∀n ∈ N ,

unde semnul de trei puncte , , ...” semnifica repetarea multimii E de o in-finitate de ori, corespunzator componentelor de rang de la 2 ıncolo. Vom


mai utiliza ın continuare acesta notatie. Dupa cum se vede, adoptam douanotatii, corespuzand la doua puncte de vedere: Ω este vazut o data ca spatiulaplicatiilor de la N ın E, iar a doua oara ca spatiul secventelor de elementedin E, indexate dupa N. Cele doua descrieri se bazeaza pe identificarea uneiaplicatii ω : N → E cu o secventa (e0, e1, e2, ...) , ın care en = ω (n) .

Observatia 8.1 Se stie ca un produs finit de multimi numarabile este toto multime numarabila. De aceea, En este ıntotdeauna o multime cel multnumarabila. Pe de alta parte, chiar daca E este o multime finita, se stie ca,daca ea contine cel putin doua puncte, atunci multimea Ω nu este numarabila.

Aplicatia proiectie de ordin n, n ∈ N, de la spatiul produs Ω, cu valori ınE, este notata Xn. Pentru un punct ω ∈ Ω, identificat ca secventa sub formaω = (e0, e1, e2, ...) , proiectia este exprimata prin

Xn : Ω → E, Xn (ω) = ω (n) = en.

Mai introducem notatia

Fn = σ (X0, ..., Xn) , G =⋃n∈N

Fn , F = σ (X0, X1, ...) .

Referitor la σ− algebrele introduse remarcam ca are loc incluziunea Fn ⊂Fn+1. Multimile care sunt ın G, adica elementele lui G, se numesc multimicilindrice. Printre acestea se afla unele de o forma particulara, pe care levom numi multimi cilindrice elementare si care au expresia de tipul:

E (e0, e1, ..., en) = e0 × e1 × ... × en × E × E × ...

unde e0, e1, ..., en ∈ E sunt n + 1 puncte arbitrare. Observam ca o astfel demultime se mai scrie si sub forma

E (e0, ...en) = ω ∈ Ω/X0 (ω) = e0, ...Xn (ω) = en .

De asemenea, se observa ca daca sistemul de puncte (e0, ..., en) difera de sis-temul

(e′0, ..., e

′n

)(ceea ce revine la existenta unui indice 0 ≤ k ≤ n astfel

ca ek = e′k) atunci multimile cilindrice elementare corespunzatoare sunt dis-

juncte, adica E (e0, ..., en) ∩ E(e′0, ..., e

′n

)= ∅. In particular, putem spune

ca, pentru fiecare n ∈ N, familia multimilor cilindrice elementare de ordinn, anume An = E (e0, ..., en) / e0, ..., en ∈ E , constituie o partitie a lui Ω.

8.2. SPATIUL PRODUS NUMARABIL 175

Deoarece familia aceasta este indiciata dupa punctele (e0, ..., en) din En+1,care este o multime cel mult numarabila, rezulta ca familia ınsasi este celmult numarabila.

Urmatoarea propozitie descrie cateva proprietati ale multimilor cilindrice.

Propozitia 8.1 (i) Familia G este o algebra si F = σ (G) .(ii) Multimile din Fn sunt acele submultimi ale lui Ω care se reprezinta

sub forma A = B × E × E × ..., cu o anumita multime B ⊂ En+1.(iii) Orice multime cilindrica A ∈ G se scrie ca o reuniune de multimi

cilindrice elementare disjuncte. Mai precis, daca A are expresia de la punctulanterior, atunci are loc formula

A =⋃

(e0,...,en)∈B

E (e0, ..., en) .

(iv) σ (An) = Fn.

Demonstratie. (i) Se observa ca Fn ⊂ Fn+1, ceea ce permite verifi-carea imediata a proprietatilor de algebra ale lui G. Incluziunea σ (G) ⊂ Frezulta din definitia lui σ (G) . Pe de alta parte se vede imediat ca fiecare dinaplicatiile Xn, n ∈ N este masurabila ın raport cu σ (G) . De aceea rezultaincluziunea inversa, σ (G) ⊂ F .

(ii) Notand Y = (X0, ..., Xn) : Ω → En+1 si aplicand lema 8.2, de maijos, se deduce ca

Fn = Y −1(P (

En+1))

. (∗)Daca A ⊂ Ω are forma din enunt se verifica direct relatia

A = ω ∈ Ω / (X0 (ω) , ..., Xn (ω)) ∈ B = Y −1 (B) , (∗∗)care arata A ∈ Fn. Reciproc, din relatia (*) rezulta ca orice multime A ∈ Fn

se reprezinta sub forma A = Y −1 (B) cu B ⊂ En+1.(iii) Daca A este o multime ce se reprezinta ca la punctul (ii) putem utiliza

relatia (**) pentru a deduce egalitatea

A =⋃

(e0,...,en)∈B

X0 (ω) = e0, ..., Xn (ω) = en ,

care este exact ceea ce apare ın enunt.(iv) Afirmatia rezulta imediat din formula stabilita la punctul anterior.


Lema 8.2 Presupunem ca W este o multime arbitrara, F este o multimecel mult numarabila si avem un numar finit de aplicatii X1, ..., Xn : W →F. Vom nota Y : W → F n aplicatia care este definita prin componenteleY (w) = (X1 (w) , ..., Xn (w)) . Atunci au loc relatiile

σ (X1, ..., Xn) = σ (Y ) = Y −1 (P (F n)) .

Demonstratie. Ultima egalitate este un caz particular al proprietatiimentionate cu numarul 2. ın paragraful anterior. Mai departe, pentru atrece la demonstratia primei egalitati, vom arata ca fiecare din aplicatiileX1, ..., Xn este masurabila fata de σ (Y ) . Intr-adevar, daca D ⊂ F, atunci sepoate verifica printr-un rationament direct ca are loc egalitatea

X−1i (D) = Y −1 (B) ,

unde B ⊂ F n este dat de produsul B = F × ...×F ×D×F...×F, cu factoruli reprezentat de multimea D. Atunci este clar ca Xi este masurabila fata deσ (Y ) . Rezulta incluziunea σ (X1, ..., Xn) ⊂ σ (Y ) .

Pentru a demonstra incluziunea inversa pornim cu o multime formatadintr-un punct y = (x1, ..., xn) ∈ F n. Putem scrie

Y −1 (y) = w ∈ W/ X1 (w) = x1, Xn (w) = xn =

n⋂i=1

X−1i (xi) .

Aceasta egalitate pune ın evidenta faptul ca Y −1 ((x1, ..., xn)) ∈ σ (X1, ..., Xn) .Cum multimea F n este cel mult numarabila rezulta ca orice submultimeB ⊂ F n este cel mult numarabila. Sa tratam cazul cand ea este infinita; ease scrie atunci sub forma B = y1, y2, ... . Vom avea relatia

Y −1 (B) =

∞⋃i=1

Y −1 (yi) ,

care pune ın evidenta faptul ca Y −1 (B) este ın σ (X1, ..., Xn) , ca o reuniunenumarabila de multimi din σ (X1, ..., Xn) .

8.3 Constructia masurilor

Problema importanta de care ne vom ocupa ın continuare este aceea de aconstrui masuri cu anumite proprietati pe spatiul Ω. Constructia se face prindefinirea convenabila a valorilor pe multimile cilindrice elementare. In lemacare urmeaza probam unicitatea masurilor definite ın acest fel.

8.3. CONSTRUCTIA MASURILOR 177

Lema 8.3 Doua masuri de probabilitate pe F , care coincid pe multimilecilindrice elementare, sunt identice.

Demonstratie. Fie P1, P2 doua masuri care coincid pe multimile cilin-drice elementare. Pentru o multime A ∈ Fn, care stim ca se reprezinta subforma

A =⋃

(e0,...,en)∈B

E (e0, ..., en) ,

unde B ⊂ En+1, vom putea scrie

Pi (A) =∑

(e0,...,en)∈B

Pi (E (e0, ..., en)) .

Expresia din dreapta este aceeasi pentru orice i = 1, 2 si atunci tragemconcluzia ca cele doua masuri coincid pe Fn si deci pe G. Atunci, conform cuteorema 8.1, va rezulta coincidenta celor doua masuri.

Exista doua teoreme importante care construiesc masuri de probabili-tate pe spatii produs, date de Kolmogorov si Ionescu Tulcea. Pentru cazulprodusului de spatii cel mult numarabile acestea sunt amandoua aplicabile.Totusi noi nu vom apela la ele ci vom da o demonstratie directa cu sim-plificarile de rigoare. Punctul cheie este urmatoarea lema, care suna cam ıntonul unei proprietati de compacitate.

Lema 8.4 Fie (An)n∈N un sir de multimi din G cu proprietatea ca fiecarese reprezinta sub forma

An = Bn × E × ... ,

cu o multime finita Bn ⊂ Emn+1, unde mn este un anumit numar natural.Presupunem ca orice intersectie finita de multimi din sirul dat este nevida,adica are loc relatia ⋂

n≤k

An = ∅, ∀k ∈ N.

Atunci intersectia tuturor multimilor din sir este nevida:⋂n∈N

An = ∅.


Demonstratie. Vom face demonstratia ın patru pasi.Pasul 1. In acest pas vom arata ca ne putem reduce la cazul ın care sirul

nostru este descrescator, adica An+1 ⊂ An, pentru orice n ∈ N, iar sirul deindici (mn)n∈N este crescator cu limita infinit. Schimbam sirul de multimipunand A′

n =⋂

k≤n Ak, n ∈ N. Acest nou sir este descrescator, are elementelenevide si evident

⋂n∈N An =

⋂n∈N A′

n. Din punctul (i) al lemei de mai josrezulta ca fiecare multime a noului sir are o reprezentare de forma

A′n = B′

n × E × ... ,

unde B′n ⊂ Em′

n+1 este o multime finita, iar m′n = maxk≤n mk. In particu-

lar, se vede ca sirul (m′n)n∈N este crescator. Prin urmare, este suficient sa

demonstram lema pentru noul sir.Sa examinam acum ce se petrece daca sirul (m′

n)n∈N nu tinde la infinit.Aceasta ınseamna ca sirul acesta este stationar, deci exista un indice p ∈ Nastfel ıncat m′

n = m′p, pentru orice n ≥ p. Sa punem m = m′

p. MultimileB′

n, n ≥ p sunt toate submultimi finite ale lui Em+1. Punctul (ii) al lemei demai jos ne asigura ca sirul de multimi (B′

n)n≥p este descrescator. Tinand contde punctul (iii) al lemei 8.5 de mai jos rezulta ca intersectia lor este nevidasi atunci putem concluziona ca

⋂n∈N

A′n =

⋂n≥p

A′n =

(⋂n≥p

B′n

)× E × ...

este o multime nevida. In concluzie, a ramas de analizat situatia ın care sirul(m′

n)n∈N tinde la infinit.Pasul 2. Acum vom presupune ca sirul din ipoteza, (An)n∈N , pe langa

conditiile de acolo, are si proprietatea ca este descrescator, iar sirul asociat(mn)n∈N este crescator cu limita infinit. In aceste conditii, vom demonstra, ınaceasta faza, ca, pentru fiecare n ∈ N, exista un sistem de puncte i0, ..., imn ∈E astfel ıncat sa aiba loc relatia

E (i0, ..., imn) ∩ Ak = ∅, ∀k ∈ N. (∗)

Pentru aceasta vom descompune multimea An ın reuniunea finita

An =⋃

(e0,...,emn)∈Bn

E (e0, ..., emn) .


Daca afirmatia de demonstrat nu ar fi adevarata, atunci pentru fiecare dinpunctele (e0, ..., emn) ∈ Bn ar exista un indice k (e0, ..., emn) ∈ N astfel ıncat

E (e0, ..., emn) ∩ Ak(e0,...,emn) = ∅.

Punem k = max k (e0, ..., emn) / (e0, ..., emn) ∈ Bn si atunci multimea cuacest indice din sirul dat, Ak, va fi inclusa ın fiecare din multimile Ak(e0,...,emn), (e0, ..., emn) ∈Bn. In particular vom avea

E (e0, ..., emn) ∩ Ak = ∅, ∀ (e0, ..., emn) ∈ Bn,

relatie care conduce la

An ∩ Ak = ∅.Dar acest lucru contrazice ipoteza ca orice intersectie finita de elemente dinsir este nevida. Atunci afirmatia facuta privitor la relatia (*) trebuie sa fieadevarata.

Pasul 3. Sub aceleasi ipoteze ca la pasul anterior, vom demonstra ca existaun punct ω = (i0, i1, ...) ∈ Ω cu proprietatea ca, pentru orice n ∈ N, punctulformat cu primele sale mn componente, (i0, ..., imn) ∈ Emn+1, satisface relatia(*).

Un astfel de punct se obtine construind componentele sale din aproapeın aproape prin inductie. Presupunem ca am gasit primele mn componenteastfel ıncat (i0, ..., imn) ∈ Emn+1 satisface relatia (*). Cautam componenteleimn+1, ..., imn+1 astfel ıncat, ın ansamblu, punctul

(i0, ..., imn , imn+1, ..., imn+1

) ∈Emn+1+1 sa satisfaca relatia (*) cu n + 1 ın loc de n, adica:

E(i0, ..., imn+1

) ∩ Ak = ∅, ∀k ∈ N. (∗∗)

Pentru aceasta vom considera sirul A′l = E (i0, ..., imn)∩Al, l ∈ N. Este usor

de vazut ca acest sir satisface ipotezele de la Pasul 2. si prin urmare putemaplica concluzia de acolo cu n + 1. Deducem ca exista un sistem de puncte,i′0, ...i

′mn+1

∈ E, astfel ıncat sa aiba loc relatia

E(i′0, ..., i

′mn+1

) ∩ A′k = ∅, ∀k ∈ N. (∗ ∗ ∗)

Acesta relatie implica

E(i′0, ..., i

′mn+1

) ∩ E (i0, ..., imn) = ∅,


ceea ce nu este posibil decat daca i′k = ik pentru orice k ≤ mn. Atunci areloc incluziunea

E (i0, ..., imn) ⊂ E(i′0, ..., i

′mn+1

),

ceea ce permite sa deducem din relatia (***) urmatoarea relatie

∅ = E(i′0, ..., i

′mn+1

) ∩ A′k = E

(i′0, ..., i

′mn+1

) ∩ Ak.

Daca schimbam notatia pentru punctele i′mn+1, ..., i′mn+1

notandu-le cu ace-leasi litere dar fara ,,prim”, adica cu imn+1, ..., imn+1 , vom obtine ca sistemulcompletat de puncte i0, ..., imn , imn+1, ..., imn+1 coincide cu sistemul i′0, ...i

′mn+1

.

In acest fel, ultima relatie devine exact relatia dorita, adica (**). Etapaconstructiei inductive de trecere de la n la n + 1 a fost facuta, iar cu aceastaam terminat si demonstratia pasului 3.

Pasul 4. Vom presupune conditiile dela Pasul 2. si vom utiliza punctulω ∈ Ω obtinut la Pasul 3. sub aceleasi conditii. Acum vom arata ca

⋂n An =

∅.Relatia (*), scrisa pentru fiecare n ∈ N cu primele mn componente ale

punctului ω si cu k = n, ne da

E (i0, ..., imn) ∩ An = ∅.

Dar aceasta relatie implica (i0, ..., imn) ∈ Bn, ceea ce conduce la

E (i0, ..., imn) ⊂ An.

Cum ω ∈ E (i0, ..., imn) , rezulta ω ∈ An pentru orice n ∈ N, ceea ce ıncheiedemonstratia.

Lema 8.5 (i) Daca B ⊂ En si C ⊂ Bm, iar n ≤ m, atunci are loc relatia

(B × E × ...) ∩ (C × E × ...) = D × E × ...

unde D = B × Em−n ∩ C ⊂ Em.(ii) Pentru doua multimi B, C ⊂ En relatia B × E × ... ⊂ C × E × ...

este echivalenta cu B ⊂ C.(iii) Fie (An)n∈N un sir descrescator de submultimi nevide ale lui E.

Daca una dintre multimile sirului este finita, atunci intersectia multimilordin sir este nevida.


Demonstratia lemei o lasam ca exercitiu cititorului. Trecem la teoremaurmatoare, care joaca rolul principal ın constructia lanturilor Markov.

Teorema 8.3 Fie µ : G → [0, 1] , cu proprietatea ca restrictia sa la fiecaredin σ−algebrele Fn, n ∈ N, este o masura de probabilitate. Atunci µ esteσ−aditiva pe G si, ın particular, admite o unica extensie ca masura de pro-babilitate pe F .

Demonstratie. Mai ıntai se observa ca proprietatea de σ−aditivitate,ın forma data ın lema 4.1, se exprima prin negatie astfel: daca (An)n∈N

⊂ G, este un sir descrescator de multimi astfel ca infn µ (An) > 0, atunci⋂n An = ∅. Pentru a demonstra σ− aditivitatea ın aceasta formulare pornim

la drum cu un sir (An)n∈N ⊂ G, astfel ca infn µ (An) = δ > 0 si urmarimsa aplicam lema 8.4 pentru a deduce ca intersectia multimilor din sir estenevida.

Pentru fiecare numar natural n exista un indice mn ∈ N astfel ca An ∈ Fn,iar aceasta ne da reprezentarea multimii An sub forma

An = Bn × E × ...

cu o multime B ⊂ Emn+1. Urmatorul pas va fi sa demonstram ca, pentrufiecare n, exista o multime finita B′

n ⊂ Bn astfel ca multimea A′n = B′

n×E×E × ... satisface relatia

µ (An\A′n) <

δ

42−n (∗)

Pentru aceasta, observam ca punctul (iii) al propozitiei 8.1 ne permite sascriem multimea An ca o reuniune de multimi cilindrice elementare disjuncte:

An =⋃

(e0,...,emn)∈Bn

E (e0, ..., emn) .

Datorita faptului ca µ este masura de probabilitate pe Fmn , vom avea

µ (An) =∑

(e0,...,emn)∈Bn

µ (E (e0, ..., emn)) .

Se alege B′n ⊂ Bn, finita, astfel ıncat∑

(e0,...,emn)∈Bn\B′n

µ (E (e0, ..., emn)) <δ

42−n ,


ceea ce asigura ca multimea A′n, corespunzatoare, satisface relatia (*).

Din constructie stim ca A′n ⊂ An. Daca notam A′′

n =⋂

k≤n A′k, vor avea

loc egalitatatile de multimi si incluziunea de mai jos

An\A′′n = An ∩

(⋂k≤n

A′k

)c

= An ∩(⋃

k≤n

(A′k)

c

)=

=⋃k≤n

(An ∩ (A′

k)c)

=⋃k≤n

(An\A′k) ⊂

⋃k≤n

(Ak\A′k) ,

ceea ce permite evaluarea

µ (An\A′′n) <

∑k≤n

δ

42−k < δ/2 .

Aceasta implica µ (A′′n) = µ (An) − µ (An\A′′

n) > δ − δ/2 = δ/2. Concluziaimportanta ce o tragem de aici, este ca multimile A′′

n, n ∈ N sunt toatenevide, adica ⋂

k≤n

A′k = ∅.

Putem spune acum ca sirul (A′n) satisface toate ipotezele lemei 8.4 si concluzia

ce o obtinem de acolo este ca intersectia tuturor acestor multimi este nevida:⋂k∈N

A′k = ∅,

ceea ce implica ∩nAn = ∅.

Capitolul 9

Lanturi Markov

Un lant Markov descrie evolutia ın timp a unei ,,particule” care se misca ıntr-un ,,spatiu”, ce se numeste spatiul starilor si va fi notat cu E. Vom presupuneca E este o multime cel mult numarabila. Timpul este de asemenea discretsi este reprezentat de N, multimea numerelor naturale.

Daca multimea E este finita si are n elemente ea poate fi identificata cuo multime de numere naturale de tipul 1, 2, ...n , iar ın cazul cand E estenumarabila ea poate fi identificata cu N. Totusi, ın cadrul teoriei generalecare urmeaza, nu vom proceda astfel, pentru ca structura particulara deordine pe multimea numerelor naturale nu este adecvata. Mai mult, pentrufiecare exemplu de lant Markov o anumita structura specifica de graf, legatade problema modelata, se dovedeste de multe ori mai convenabila. De aceea,la nivel general este preferabil sa se considere ca spatiul starilor este o multimeamorfa. Singura structura ce o poarta E este cea de spatiu masurabil, cuσ−algebra partilor, P (E) .

9.1 Calcule de baza

Definitia 9.1 Fie (Ω,F , P ) un spatiu probabilizat si (Xn)n∈N o familie deaplicatii, Xn : Ω → E, masurabile. Se spune ca (Ω,F , P, Xn) este unlant Markov cu spatiul starilor E daca, pentru orice sistem finit de punctee0, e1, ..., en, en+1 ∈ E, pentru care P (X0 = e0, ..., Xn = en) > 0, are locrelatia

P (Xn+1 = en+1/X0 = e0, ..., Xn = en) = P (Xn+1 = en+1/Xn = en) .

183

184 CAPITOLUL 9. LANTURI MARKOV

Notiunea a fost introdusa si studiata pentru prima oara de A. Markovın 1906. Un lant Markov mai este numit si proces Markov cu timp discret.Acest obiect da o expresie probabilista pentru miscarea unei particule. Nu sestie precis care este traiectoria, dar, pentru fiecare ω ∈ Ω, sirul (Xn (ω))n∈N

reprezinta o posibila evolutie de particula. Mai spunem ca el reprezintatraiectoria corespunzatoare evenimentului elementar ω. Relatia de mai susse numeste proprietatea Markov. Ea exprima matematic ideea ca evolutia vi-itoare, dupa momentul actual notat n, este independenta de evolutia trecutasi depinde numai de starea prezenta, en. In cele ce urmeaza vom vedea cumevolutia probabilista, recte probabilitatea P, este complet determinata de nu-merele P (Xn+1 = en+1/Xn = en) , care reprezinta probabilitatea de a trecedin starea actuala en la momentul n ın starea en+1 la momentul urmator,n + 1. Descrierea sensului si a modalitatii precise ın care se face aceasta esteobiectul paragrafului urmator. Este de notat, din punct de vedere strict is-toric, ca proprietatea Markov a fost descoperita si de L. Bachelier, ın teza sadin 1900, pentru miscarea browniana.

In continuare, vom presupune dat un lant Markov si vom face cateva cal-cule care decurg din proprietatea Markov. Incepem prin a stabili urmatoareanotatie:

En = e ∈ E/P (Xn = e) > 0 , n ∈ N,

µi = P (X0 = i) , i ∈ E,

p (n, m, i, j) = P (Xm = j/Xn = i) , n, m ∈ N, n < m, i ∈ En, j ∈ E .

Se vede ca µi = 0, daca i /∈ E0, si p (n, m, i, j) = 0, daca j /∈ Em. Deasemenea, se verifica imediat relatiile urmatoare:∑

i∈E

µi = 1 ,∑j∈E

p (n, m, i, j) = 1 .

Sistemul de numere µ = (µi)i∈E , se identifica cu repartitia P X−10 ,

care se numeste si repartitia initiala a lantului. Numerele p (n, m, i, j) senumesc probabilitatile de trecere (sau de tranzitie) asociate lantului. Dupacum se vede, aceste numere nu sunt definite pentru orice valori ale variabilelorn, m ∈ N, i, j ∈ E.

Lema 9.1 Fiind date punctele il ∈ El, l = 0, 1, ..., n, are loc relatia:

P (X0 = i0, X1 = i1, ..., Xn = in) = µi0p (0, 1, i0, i1) ...p (n − 1, n, in−1, in) .

9.1. CALCULE DE BAZA 185

Demonstratie. Se porneste cu egalitatea generala

P (X0 = i0, X1 = i1, ..., Xn = in) =

= P (Xn = in/X0 = i0, X1 = i1, ..., Xn−1 = in−1)××P (Xn−1 = in−1/X0 = i0, X1 = i1, ..., Xn−2 = in−2) × ...

×P (X1 = i1/X0 = i0) P (X0 = i0) .

Substituind ın membrul drept probabilitatile conditionate cu cele date deproprietatea Markov, se obtine exact formula anuntata.

Propozitia 9.1 Probabilitatile de trecere satisfac urmatoarea relatie:

p (n, m, i, j) =∑e∈Ek

p (n, k, i, e) p (k, m, e, j) ,

pentru orice numere naturale n < k < m si orice i ∈ En, j ∈ E.

Demonstratie. Tinand cont ca P (Xl ∈ El, l = 0, ..., m) = 1 se de-duce ca

P (Xn = i, Xm = j) = P (Xn = i, Xm = j ∩ Xl ∈ El, l = 0, ..., m) .

Mai departe, se verifica punctual egalitatea de multimi

Xn = i, Xm = j ∩ Xl ∈ El, l = 0, ..., m =

=⋃

e0∈E0

...⋃

en−1∈En−1

⋃en+1∈En+1

...⋃

em−1∈Em−1

X0 = e0, ..., Xn−1 = en−1, Xn = i, Xn+1 = en+1, ..., Xm−1 = em−1, Xm = j ,

din care se deduce urmatoarea relatie

P (Xn = i, Xm = j) =∑

e0∈E0

∑e1∈E1

...∑

en−1∈En−1

∑en+1∈En+1

...∑

em−1∈Em−1

µe0p (0, 1, e0, e1) ...p (n − 1, n, en−1, i)××p (n, n + 1, i, en+1) ...p (m − 1, m, em−1, j) . (∗)

In mod similar, sau ca un caz particular, are loc calculul

P (Xn = i) = P (X0 ∈ E0, Xn = i) =∑

e0∈E0

P (X0 = e0, Xn = i) =


=∑

e0∈E0

∑e1∈E1

...∑

en−1∈En−1

µe0p (0, 1, e0, e1) ...p (n − 1, n, en−1, i) . (∗∗)

Ultima expresie poate fi recunoscuta si ın sumele expresiei (*). Pentru a puneın evidenta acest lucru vom observa ca sumele ın raport cu en+1, ..., em−1 dinexpresia (*) se refera doar la ultimii termeni ai produsului. Deci ceilalti,primii termeni, pot fi dati ın factor ın raport cu aceste sume. Prin urmare,expresia (*) se poate scrie astfel∑

e0∈E0

∑e1∈E1

...∑

en−1∈En−1

µe0p (0, 1, e0, e1) ...p (n − 1, n, en−1, i)×

×∑

en+1∈En+1

...∑

em−1∈Em−1

p (n, n + 1, i, en+1) ...p (m − 1, m, em−1, j) .

Se observa ca acum expresia s-a separat ca un produs de doua sume, din careprima este tocmai (**). Deci expresia (*) se scrie

P (Xn = i, Xm = j) == P (Xn = i)

∑en+1∈En+1

...∑

em−1∈Em−1p (n, n + 1, i, en+1) ...p (m − 1, m, em−1, j) .

Din relatia anterioara rezulta

p (n, m, i, j) ==∑

en+1∈En+1...∑

em−1∈Em−1p (n, n + 1, i, en+1) ...p (m − 1, m, em−1, j) . (∗ ∗ ∗)

Mai departe, facem sa se vada si suma dupa k ın expresia anterioara,

p (n, m, i, j) =∑

en+1∈En+1

...∑

ek−1∈Ek−1

∑ek∈Ek

∑ek+1

...∑

em−1∈Em−1

p (n, n + 1, i, en+1) ...×

×p (k − 1, k, ek−1, ek) p (k, k + 1, ek, ek+1) ...p (m − 1, m, em−1, j) .

In aceasta expresie se repeta scoaterea ın factor ca mai ınainte. Anume, pen-tru ultimul grup de sume, primii factori ai produsului din termenul generalnu participa efectiv la sumare si ies ın fata. Expresia devine∑

en+1∈En+1

...∑

ek−1∈Ek−1

∑ek∈Ek

p (n, n + 1, i, en+1) ...p (k − 1, k, ek−1, ek) ·

∑

ek+1

...∑

em−1∈Em−1

p (k, k + 1, ek, ek+1) ...p (m − 1, m, em−1, j)

.

9.1. CALCULE DE BAZA 187

Asa scrisa, suma aceasta pune ın evidenta faptul ca se poate aplica relatia(***) cu n, k si separat cu k, m, iar ceea ce obtinem este egal cu∑

ek∈Ek

p (n, k, i, ek) p (k, m, ek, j) .

Cu aceasta se ıncheie demonstratia.Urmatoarea propozitie arata cum se exprima, ın termenii probabilitatilor

de trecere, probabilitatea ca evolutia sa se desfasoare ıntr–o multime cilin-drica de tip produs (ın sensul ca traiectoriile sunt ın acea multime).

Propozitia 9.2 Fiind date multimile A0, A1, ..., Ak, astfel ca Al ⊂ El, 0 ≤l ≤ k − 1 si numerele naturale 0 < n1 < n2 < ... < nk, are loc formula

P (X0 ∈ A0, Xn1 ∈ A1, ..., Xnk∈ Ak) =∑

i0∈A0

µi0

∑i1∈A1

p (0, n1, i0, i1) ...∑

ik∈Ak

p (nk−1, nk, ik−1, ik) .

Demonstratie. Vom demonstra mai ıntai un caz particular al relatieidin enunt. Anume vom arata ca

P (X0 = i0, Xn1 = i1, ..., Xnk= ik) =

= µi0p (0, n1, i0, i1) ...p (nk−1, nk, ik−1, ik) . (∗)Pentru aceasta vom proceda ca ın demonstratia anterioara si vom scrie

P (X0 = i0, Xn1 = i1, ..., Xnk= ik) =

= P (X0 = i0, Xn1 = i1, ..., Xnk= ik, X1 ∈ E1, ..., Xn1−1 ∈ En1−1,

Xn1+1 ∈ En1+1, ..., Xnk−1 ∈ Enk−1) ,

dupa care vom descompune multimea a carei probabilitate apare ın ultimaexpresie sub forma unei reuniuni de multimi disjuncte astfel⋃

e1∈E1

⋃en1−1∈En1−1

⋃en1+1∈En1+1

⋃enk−1∈Enk−1

X0 = i0, X1 = e1, ..., Xn1−1 = en1−1, Xn1 = i1,

Xn1+1 = en1+1, ..., Xnk−1 = enk−1, Xnk= ik .


Tragem concluzia ca

P (X0 = i0, Xn1 = i1, ..., Xnk= ik) =

=∑

e1∈E1

...∑

en1−1∈En1−1

∑en1+1∈En1+1

...∑

enk−1∈Enk−1

µi0p (0, 1, i0, e1) ...p (n1 − 1, n1, en1−1, i1)×× p (n1, n1 + 1, i1, en1+1) ...p (nk − 1, nk, enk−1, ik) . (∗∗)

Tinand cont si de formulele obtinute pe baza propozitiei anterioare avem

p (0, n1, i0, i1) =∑

e1∈E1

...∑

en1−1∈En1−1

p (0, 1, i0, e1) ...p (n1 − 1, n1, en1−1, i1)

si alte relatii similare, pana la

p (nk−1, nk, ik−1, ik) =

=∑

en1+1∈En1+1

...∑

enk−1∈Enk−1

p (n1, n1 + 1, i1, en1+1) ...p (nk − 1, nk, enk−1, ik) .

Expresiile din dreapta acestor egalitati se regasesc ın expresia (**) prinscoaterea ın factor grupata (un calcul similar am facut ın demonstratia an-terioara). De aceea, se deduce ca expresia (**) este egala cu expresia finaladin (*).

Mai departe, vom scrie multimea cilindrica ce ne intereseaza ca o reuniunede multimi disjuncte:

X0 ∈ A0, Xn1 ∈ A1, ..., Xnk∈ Ak =⋃

i0∈A0

⋃i1∈A1

...⋃

ik∈Ak

X0 = i0, Xn1 = i1, ..., Xnk= ik .

Aplicand P acestei egalitati si utilizand relatia (*) se deduce relatia dinenunt.

Observatia 9.1 Din propozitia anterioara se deduce printr-un calcul directca, pentru orice sir crescator de numere naturale (nk)k∈N , subsirul de vari-abile (Xnk

)k∈N verifica si el definitia lantului Markov.

Observatia 9.2 Fie n, m ∈ N astfel ca n < m. Daca i ∈ En si j ∈ E\Em,atunci p (n, m, i, j) = 0.

9.2. CONSTRUCTIA LANTULUI MARKOV 189

9.2 Constructia lantului Markov

Dupa cum am vazut, un lant Markov determina niste probabilitati de trecere.In continuare vom vedea ca acestea contin informatia de baza asupra lantuluisi ıntr-un anumit sens determina lantul. Notiunea de probabilitati de trecerese poate detasa de lant ın felul urmator. Vom presupune fixata o multimeE, cel mult numarabila.

Definitia 9.2 Un sistem de numere reale p (n, m, i, j) | n, m ∈ N,n < m, i, j ∈ Espunem ca reprezinta un sistem de probabilitati de trecere (sau de tranzitie),daca sunt ındeplinite urmatoarele conditii

(1) p (n, m, i, j) ∈ [0, 1] , ∀i, j ∈ E,(2)

∑j∈E

p (n, m, i, j) = 1, ∀i ∈ E

(3) p (n, m, i, j) =∑l∈E

p (n, k, i, l) p (k, m, l, j) , pentru n < k < m si i, j ∈E.

Observam ca, spre deosebire de probabilitatile de trecere atasate unuilant, sistemul de probabilitati de trecere este definit pentru orice punct dinspatiul starilor.

Observatia 9.3 Fie (Ω,F , P, Xn) un lant Markov si p (n, m, i, j) , n < m, i ∈En, j ∈ E, probabilitatile sale de trecere. Definim p (n, m, i, j) = δij, pentrui ∈ E\En si j ∈ E. Se poate verifica prin calcul direct ca, astfel completat,sistemul acesta de numere verifica proprietatile unui sistem de probabilitatide trecere. De fapt, probabilitatile de trecere ale unui lant Markov pentrucare exista un indice n ∈ N astfel ca En = E, pot fi completate ın mai multefeluri pentru a deveni sistem de probabilitati de trecere. (Practic, din punctelemultimii E\En se poate continua miscarea dupa momentul n urmand oricealt sistem de probabilitati de trecere.)

Fiind dat un sistem de probabilitati de trecere, pentru n < m fixate,notam Pn,m = (p (n, m, i, j))(i,j)∈E×E, care este o matrice indexata dupa

multimea E. In acest punct este util sa consideram ca E este 1, 2, ..., n , ıncazul finit, sau N ın cazul numarabil, pentru ca atunci sensul matriceal poatefi ımpins pana la scrierea ordonata a liniilor si coloanelor de matrice. Totusilasam aceasta doar ca o observatie, si pastram multimea E amorfa. Relatiile(1) si (2) ne spun ca pe fiecare ”linie” a acestei matrice avem o masura de


probabilitate. O matrice cu aceasta proprietate se numeste matrice stochas-tica. Relatia (3), care se mai numeste si relatia Chapman-Kolmogorov, sescrie prescurtat sub forma Pn,m = Pn,k Pk,m, ın membrul drept al acesteiegalitati avand un produs de matrice. Din relatia (3) se deduce ca matricelede trecere de la un moment la urmatorul, Pn,n+1, n ∈ N , determina pe toatecelelalte: Pn,n+k = Pn,n+1 Pn+1,n+2 ... Pn+k−1,n+k. Mai mult, fiind datun sistem de numere p (n, n + 1, i, j) /n ∈ N, i, j ∈ E care are proprietatileurmatoare

(1) p (n, m, i, j) ∈ [0, 1] , ∀i, j ∈ E,(2)

∑j∈E

p (n, m, i, j) = 1, ∀i ∈ E,

acesta se poate completa pe baza relatiei anterioare astfel ıncat sa formezeun sistem de probabilitati de trecere.

Legat de matricele Pn,m vom mai utiliza notatia Pn,mf , care, ın cazul uneifunctii marginite f : E → R, va desemna functia definita prin Pn,mf (i) =∑j∈E

p (n, m, i, j) f (j). Daca functiile pe E sunt vazute ca vectori, atunci

relatia care defineste Pn,mf este exact relatia de ınmultire a matricei Pn,m cuvectorul f , rezultatul fiind vectorul Pn,mf.

Teorema care urmeaza este rezultatul cel mai important al acestei sectiuni.Ea permite constructia masurilor de probabilitate pe spatiul produs infinitΩ = E × E × ... care dau o structura de lant Markov pentru procesulproiectiilor canonice. Relativ la acest spatiu vom utiliza notatia introdusa ınsectiunea ,,Spatiul produs numarabil”.

Teorema 9.1 Fiind data o probabilitate µ = (µi/ i ∈ E) si un sistem deprobabilitati de trecere p (n, m, i, j) / n, m ∈ N, i, j ∈ E , exista o unica pro-babilitate P pe (Ω,F) care face din proiectiile canonice (Xn)n∈N un lantMarkov cu repartitia initiala µ si admitınd ca probabilitati de trecere sistemuldat.

Demonstratie. Vom studia mai ıntai problema unicitatii masurii pen-tru ca ea este ın stransa legatura cu o formula ce sugereaza si constructia.Anume, pentru orice sistem de n+1 puncte, e0, ..., en ∈ E, are loc egalitatea

E (e0, ..., en) = X0 = e0, ..., Xn = en .

Daca stim ca P este o probabilitate ce face din (Xn)n∈N un lant Markov cuprobabilitatile de trecere date, atunci formula din lema 9.1 permite calcululurmator

9.2. CONSTRUCTIA LANTULUI MARKOV 191

P (E (e0, e1, ..., en)) = µe0p (0, 1, e0, e1) p (1, 2, e1, e2) ...p (n − 1, n, en−1, en) . (∗)Rezulta ca valoarea masurii P pe orice multime cilindrica elementara estedeterminata de repartitia initiala µ si de sistemul de probabilitati de trecere.Pe de alta parte, am vazut ın lema 8.3 ca multimile cilindrice elementaredetermina complet o masura.

Mai departe, trecem la demonstratia existentei. Vom fixa un indice n ∈ Nsi vom defini P pe multimile cilindrice elementare din Fn prin formula (*).Sa verificam ca este ındeplinita conditia de la punctul 3. din paragraful decomplemente de teoria masurii, care permite extinderea definitiei de la atomila σ− algebra Fn. Avem de verificat ca are loc egalitatea∑

(e0,...,en)∈En+1

P (E (e0, e1, ..., en)) = 1.

Pentru a face aceasta verificare exprimam membrul stang al egalitatii subforma∑

e0∈E

µe0

∑e1∈E

p (0, 1, e0, e1)∑e2∈E

p (1, 2, e1, e2) ...∑en∈E

p (n − 1, n, en−1, en) .

Tinand cont ca, din proprietatea (2) din definitia probabilitatilor de trecereavem ∑

en∈E

p (n − 1, n, en−1, en) = 1,

rezulta ca expresia precedenta devine∑e0∈E

µe0

∑e1∈E

p (0, 1, e0, e1)∑e2∈E

p (1, 2, e1, e2) ...∑

en−1∈E

p (n − 2, n − 1, en−2, en−1) .

Aceasta expresie este de aceeasi forma ca cea anterioara doar ca are maiputin un semn de sumare. Repetand de n ori acest calcul, expresia noastradevine egala cu

=∑e0∈E

µe0 = 1.

Deoarece am verificat conditia, putem aplica punctul 3. din paragraful decomplemente de teoria masurii, deducand ca probabilitatea P se definestepentru orice multime din Fn de forma

A = B × E × ... =⋃

(e0,...,en)∈B

E (e0, e1, ..., en) ,


cu B ⊂ En+1, prin relatia

P (A) =∑

(e0,...,en)∈B

P (E (e0, e1, ..., en)) .

Mai departe, vom presupune ca n ≥ 1 si vom examina cum arata masura Ppe σ− algebra mai mica Fn−1 ⊂ Fn. Mai precis, vom demonstra ca masuraastfel definita pe Fn verifica relatia analoaga lui (*) pe atomii din Fn−1,

P (E (e0, ..., en−1)) = µe0p (0, 1, e0, e1) ...p (n − 2, n − 1, en−2, en−1) . (∗∗)Pentru aceasta utilizam egalitatea

E (e0, ..., en−1) =⋃

en∈E

E (e0, ..., en−1, en) ,

care are ın membrul drept o reuniune de multimi disjuncte si de aceea conducela

P (E (e0, ..., en−1)) =∑en∈E

P (E (e0, ..., en−1, en)) =

=∑en∈E

µe0p (0, 1, e0, e1) ...p (n − 1, n, en−1, en) =

= µe0p (0, 1, e0, e1) ...p (n − 2, n − 1, en−2, en−1) .

Rezulta ca masura P verifica relatia (**), ceea ce permite sa extindem ın modcoerent masurile construite pe fiecare Fn, n ∈ N, la o masura de probabilitatepe G care verifica relatia (*) pentru fiecare n.

Suntem ın masura acum sa aplicam teorema 8.3 pentru a deduce ca Pse extinde la o masura de probabilitate pe F . Ramane de verificat faptulca (Xn)n∈N formeaza un lant Markov sub P, cu repartitia initiala µ si cuprobabilitatile de trecere p (n, m, ij) . Pentru aceasta vom verifica proprie-tatea Markov utilizand relatia (*) ın calcularea probabilitatilor conditionatece intervin. Fie e0, ..., en, en+1 ∈ E astfel ca P (X0 = e0, ..., Xn) > 0. Atunciputem scrie

P (Xn+1 = en+1/X0 = e0, ..., Xn = en) =P (E (e0, ..., en+1))

P (E (e0, ..., en))=

=µe0p (0, 1, e0, e1) p (1, 2, e1, e2) ...p (n, n + 1, en, en+1)

µe0p (0, 1, e0, e1) p (1, 2, e1, e2) ...p (n − 1, n, en−1, en)= p (n, n + 1, en, en+1) .

9.3. ALTE FORME ALE PROPRIETATII MARKOV 193

Mai departe, pentru a calcula P (Xn+1 = en+1/Xn = en) , vom scrie

Xn = en =⋃

(i0,...,in−1)∈En

E (i0, ..., in−1, en) ,

Xn = en, Xn+1 = en+1 =⋃

(i0,...,in−1)∈En

E (i0, ..., in−1, en, en+1) .

Putem calcula atunci

P (Xn = en) =∑

(i0,...,in−1)∈En

P (E (i0, ..., in−1, en)) =

=∑

(i0,...,in−1)∈En

µi0p (0, 1, i0, i1) p (1, 2, i1, i2) ...p (n − 1, n, in−1, en)

si la fel

P (Xn = en, Xn+1 = en+1) =∑

(i0,...,in−1)∈En

P (E (i0, ..., in−1, en, en+1)) =

=∑

(i0,...,in−1)∈En

µi0p (0, 1, i0, i1) p (1, 2, i1, i2) ...

...p (n − 1, n, in−1, en) p (n, n + 1, en, en+1) = p (n, n + 1, en, en+1) P (Xn = en) .

In fine, putem trage concluzia ca

P (Xn+1 = en+1/Xn = en) = p (n, n + 1, en, en+1) =

= P (Xn+1 = en+1/X0 = e0, ..., Xn = en) ,


9.3 Alte forme ale proprietatii Markov

9.3.1 Exprimarea cu media conditionata

In continuare, vom presupune ca (Ω,F , P, Xn) este un lant Markov cu spatiulstarilor E, iar p (n, m, i, j) /n, m ∈ N, n ≤ m, i ∈ En, j ∈ E sunt probabilitatilesale de trecere. Pn,m este forma matriceala ın care notam probabilitatile de


trecere; liniile sunt indexate dupa En iar coloanele dupa E. In cazul re-alizarii canonice a unui lant am vazut ca exista anumite σ− algebre asociateproiectiilor canonice. De fapt, si ın cazul general putem sa definim la fel

Fn = σ (X0, ..., Xn) , n ∈ N,

care formeaza o familie de σ− algebre asociate lantului. Aceste σ− algebresepara evenimentele elementare ale spatiului Ω dupa cum au fost evolutiiletraiectoriilor asociate pana la momentul n. Spunem ca aceste σ− algebreconstituie filtratia canonic asociata lantului. Ele detin informatia despre tre-cutul procesului pana la momentul n. Se vede imediat ca Fn ⊂ Fn+1, pentruorice n ∈ N. Mai notam cu F∞ = σ (Xn/ n ∈ N) , care este σ− algebragenerata de tot lantul si care, ın general, este mai mica decat F . Pentru adescrie cateva proprietati ale filtratiei introducem urmatoarea notatie:

Λ (e0, ..., en) = X0 = e0, ..., Xn = en ,

An =Λ (e0, ..., en) / (e0, ..., en) ∈ En+1

.

Evident, An constituie o partitie cel mult numarabila a lui Ω.

Lema 9.2 (i) A ∈ Fn daca si numai daca se reprezinta sub forma

A = ω ∈ Ω/ (X0 (ω) , ..., Xn (ω)) ∈ Bcu o submultime B ⊂ En+1.

(ii) Fn = σ (An) .

Demonstratie. (i) Notam Yn = (X0, ..., Xn) : Ω → En+1. Lema 8.2 nespune ca Fn = σ (Yn) , iar proprietatea de la punctul 2. din paragraful decomplemente de teoria masurii ne da descrierea multimilor din Fn sub formaA = Y −1 (B) , cu B ⊂ En+1. Aceasta expresie a lui A este echivalenta cu ceadin enunt.

(ii) Este clar ca An ⊂ Fn si prin urmare σ (An) ⊂ Fn. Pe de alta parte,daca A este o multime din Fn ea se reprezinta ın forma de la punctul (i) , siatunci se poate scrie egalitatea

A =⋃

(e0,...,en)∈B

Λ (e0, ..., en) . (∗)

Cum B este o multime cel mult numarabila, rezulta ca A ∈ σ (An) .Urmatoarea propozitie prezinta proprietatea Markov ıntr-o forma ıntarita.


Propozitia 9.3 Presupunem ca 0 ≤ n < m sunt doua numere naturale.(i) Daca A ∈ Fn este o multime astfel ca P (A) > 0 si A ⊂ Xn = i ,

pentru o anumita stare i ∈ E, atunci are loc formula

P (Xm = j/A) = p (n, m, i, j) .

(ii) Daca f : E → R este o functie marginita, atunci are loc relatia

E [f (Xm) / Fn] = Pn,mf (Xn) .

Demonstratie. (i) Relatia de demonstrat se scrie si sub forma

P (Xm = j ∩ A) = P (A) p (n, m, i, j) .

Pe e alta parte, multimea A se exprima ca o reuniune precum ın relatia(*) de mai sus. Atunci este clar ca este suficient sa demonstram relatiapentru multimi de forma A = Λ (e0, ..., en) . In acest caz conditia din enunt,A ⊂ Xn = i , implica faptul ca trebuie sa consideram en = i. Astfel, relatiade demonstrat devine

P (Xm = j, X0 = e0, ..., Xn−1 = en−1, Xn = i)= P (X0 = e0, ..., Xn−1 = en−1, Xn = i) p (n, m, i, j) ,

relatie ce se verifica imediat tinand cont de observatia 9.1.(ii) Mai ıntai, se observam ca membrul drept al egalitatii de demonstrat

reprezinta o variabila aleatoare masurabila fata de Fn. Formula din enunteste atunci echivalenta cu relatia urmatoare

E [f (Xm) ; A] = E [Pn,mf (Xn) ; A] , ∀A ∈ Fn.

Dar pe spatiul nostru discret functia f se poate scrie ın forma unei sume pon-derate de functii caracteristice de multimi constituite dintr-un singur punct:f =

∑j∈E f (j) 1j. Tinand cont de aceasta, rezulta ca este suficient sa

verificam relatia ın forma particulara ın care f = 1j. Se vede prin calculpunctual ca avem 1j (Xm) = 1Xm=j si Pn,m1j (e) = p (n, m, e, j) , dacae ∈ En. Atunci avem de verificat relatia

E[1Xm=j; A

]= E [p (n, m, Xn, j) ; A] , ∀A ∈ Fn.

Multimea A din aceasta relatie se descompune sub forma

A =⋃i∈E

(A ∩ Xn = i) ,


si de aceea, este suficient sa demonstram relatia ın cazul ın care are loc oincluziune de forma A ⊂ Xn = i , unde i ∈ E este o stare arbitrara. Atuncirelatia de verificat devine

P (Xm = j ∩ A) = E [p (n, m, i, j) ; A] = p (n, m, i, j)P (A) ,

care este relatia deja demonstrata la punctul (i).

Remarcam ca relatia de la punctul (i) poate fi scrisa si sub forma

P (Xm = j ∩ A) = p (n, m, i, j)P (A) ,

caz ın care nu mai este nevoie sa cerem ca P (A) > 0.

9.3.2 Lanturi omogene ın timp

In continuare, ne vom restrage la cazul lanturilor omogene ın timp pen-tru ca atunci notatia se simplifica, pe de o parte, iar cele mai multe din-tre exemple sunt de acest tip, pe de alta parte. Lanturile omogene ıntimp sunt lanturile ale caror caracteristici probabiliste raman invariante ıntimp. Aceasta ınseamna ca probabilitatile de trecere sunt invariante ın timp.Definitia precisa o dam mai jos.

Definitia 9.3 Numim matrice stochastica o matrice p = (pij)i,j∈E de nu-mere reale din intervalul [0, 1] , indexata dupa multimea E, care verificaurmatoarele relatii ∑

j∈E

pij = 1, ∀i ∈ E.

Un sistem de probabilitati de trecere p (n, m, i, j) /n, m ∈ N, n ≤ m, i ∈ E, j ∈ Ese numeste omogen ın timp, daca exista o matrice stochastica p = (pij) astfelca matricele probabilitatilor sistemului sa se exprime ın termenii puterilormatricei stochastice sub forma

Pn,m = pm−n ∀n, m ∈ N, n < m.

Scris explicit, probabilitatile unui sistem de trecere omogen satisfac relatiaurmatoare

p (n, m, i, j) = pm−nij ∀n < m, i, j ∈ E,

unde am notat cu pm−nij elementele matricei pm−n. Fiind data o matrice

stochastica p, se poate verifica usor ca sistemul de matrice Pn,m = pm−n, n, m ∈N, n < m, definesc un sistem de probabilitati de trecere omogen ın timp.


Definitia 9.4 Lantul Markov (Ω,F , P, Xn, n ∈ N) se numeste omogen ıntimp, daca probabilitatile sale de trecere satisfac relatia

p (n, n + 1, i, j) = p (m, m + 1, i, j) ∀n, m ∈ N, i ∈ En ∩ Em, j ∈ E.

Dupa cum se vede, relatia de omogeneitate a unui lant se refera la maiputine date, pentru ca probabilitatile de trecere ale lantului nu sunt definitepentru orice indici. Propozitia care urmeaza clarifica relatia dintre cele douadefinitii de mai sus.

Propozitia 9.4 Lantul Markov (Ω,F , P, Xn, n ∈ N) este omogen ın timpdaca si numai daca exista o matrice stochastica p = (pij) astfel ıncat proba-bilitatile de trecere ale lantului sunt exprimate prin relatia

p (n, m, i, j) = pm−nij , ∀n, m ∈ N, n < m, i ∈ En, j ∈ E.

Demonstratie. Evident, conditia din enunt implica proprietatea deomogeneitate. Sa aratam implicatia inversa. Notam E ′ = ∪n∈NEn si pentrui ∈ E ′, j ∈ E date, definim

pij = p (n, n + 1, i, j) ,

unde n ∈ N este un rang arbitrar cu proprietatea ca i ∈ En, iar pentrui ∈ E\E ′, j ∈ E punem pij = δij (simbolul lui Kronecker). Este clar cadefinitia lui p = (pij) este coerenta si ne da o matrice stochastica. Vrem saverificam relatia din enunt. Pentru aceasta ıncepem prin a fixa n, m ∈ Nastfel ca n < m si i ∈ En, j ∈ E. Notam k = m − n. Atunci avem, duparegula de ınmultire a matricilor,

pkij =

∑i1∈E

...∑

ik−1∈E

pii1 ...pik−1j.

Deoarece pii1 = p (n, n + 1, i, i1) , tinand cont si de observatia 9.2, rezulta capii1 = 0, pentru i1 ∈ E\En+1. De aceea suma noastra devine

=∑

i1∈En+1

∑i2∈E

...∑

ik−1∈E

p (n, n + 1, i, i1) pi1i2...pik−1j ,

scriind si mai detaliat sumele ce intervin. Repetam acelasi argument: pentrui1 ∈ En+1 si i2 ∈ E avem pi1i2 = p (n + 1, n + 2, i1, i2) si atunci cand i2 ∈


E\En+2 vom avea pi1i2 = 0. Deci sumarea de la al doilea semn de sumare seface numai dupa i2 ∈ En+2. Si asa mai departe, din aproape ın aproape, seınlocuiesc toate multimile dupa care se face ınsumarea, cat si notatia pentruprobabilitatile de trecere, obtinand

pkij =

∑i1∈En+1

...∑

ik−1∈Em−1

p (n, n + 1, i, i1) ...p (m − 2, m − 1, ik−1, j) .

Expresia din membrul drept al acestei egalitati reprezinta valoarea lui p (n, m, i, j)calculata prin aplicarea repetata a propozitiei 9.1.

Notatii Mai departe, vom presupune fixata o matrice stochastica p = (pij)pe multimea cel mult numarabila E si vom nota cu pn

ij elementele matriceipn, care definesc sistemul de probabilitati de trecere omogen p (n, m, i, j) =pm−n

ij . Ne vom referi la lantul proiectiilor (Xn)n∈N construit pe spatiul canonicΩ = E ×E × ..., sub diferite masuri de probabilitate. Daca µ = (µi)i∈E esteo masura de probabilitate pe E vom nota cu P µ masura pe Ω care facelantul proiectiilor lant Markov cu probabilitatile de trecere asociate lui psi cu repartitia initiala µ. Daca µ = δi reprezinta masura Dirac ın punctuli ∈ E, atunci vom nota cu P i probabilitatea respectiva. Urmatoarea lemaarata relatia dintre aceste masuri.

Lema 9.3 Pentru o masura de probabilitate arbitrara pe E, µ = (µi)i∈E ,are loc relatia P µ =

∑i∈E µiP

i.

Demonstratie. Vom nota cu Q =∑

i∈E µiPi, care este evident o

masura de probabilitate pe F . Prin aplicarea lemei 8.3, verificarea coincidenteimasuriolor P µ si Q revine la verificarea coincidentei lor pe multimile cilin-drice elementare. Dar pentru aceste multimi, valoarea masurilor P µ si P i

se exprima prin relatia (*) din demonstratia teoremei 9.1, care conduce laegalitatea P µ (E (e0, e1, ..., en)) = Q (E (e0, e1, ..., en)) .

Media ın raport cu masura P µ o vom nota cu Eµ, iar ın raport cu P i cuEi. O notatie similara va fi utilizata pentru mediile conditionate.

Pe spatiul Ω definim operatorul de translatie spre stanga, care mai estenumit si operatorul de ,,sift”, θ : Ω → Ω, punand, pentru ω = (e0, e1, e2, ...) ∈Ω, θ (ω) = (e1, e2, ...) . Compunerea repetata a acestui operator cu el ınsusidefineste operatorii θk, k ≥ 1, cu conventia θ1 = θ si θk = θk−1 θ, pentruk ≥ 2. Se verifica usor ca are loc relatia Xn θk = Xn+k.


Lema 9.4 Are loc incluziunea θ−1k (Fn) ⊂ Fn+k si egalitatea θ−1

k (F) =σ (Xn/n ≥ k) , pentru orice k, n ∈ N, k ≥ 1.

Demonstratie. Prima incluziune este o consecinta a egalitatii

θ−1k (X0 = e0, ..., Xn = en) = Xk = e0, ..., Xk+n = en

si a modului ın care este descrisa Fn ın termenii multimilor cilindrice ele-mentare de rang n. Din prima incluziune rezulta si θ−1

k (G) ⊂ G. Pentru adeduce cea de a doua incluziune vom nota

U =A ⊂ Ω/θ−1

k (A) ∈ F.

Din cele spuse anterior rezulta ca are loc incluziunea G ⊂ U . Se verifica ca Ueste o σ− algebra. Intr-adevar, egalitatile

θ−1k

(⋃i∈N Ai

)=⋃

i∈N θ−1k (Ai) ,

θ−1k (Ac) =

(θ−1

k (A))c

,

(care sunt valabile pentru orice aplicatie) permit verificarea proprietatilor dindefinitia σ− algebrei. Dar o σ− algebra ce contine G trebuie sa contina sipe F . Deci multimile din F se bucura de proprietatea ce defineste familia U .Este exact ce doream.

Descrierea data mai sus pentru θ−1k (F) ne ındreptateste sa spunem ca

aceasta σ− algebra reprezinta evenimentele viitoare din evolutia procesuluifata de momentul prezent k.

Cu notatia de mai sus, putem enunta proprietatea Markov, ın propozitiacare urmeaza, sub o forma care accentueaza ideea ca evolutia de dupa mo-mentul n nu depinde de ceea ce a fost ınainte de acest moment, ci doar depozitia de la momentul n.

Propozitia 9.5 Fie µ = (µe)e∈E o masura de probabilitate pe E, n ∈ N sio multime B ∈ Fn astfel ca P (B) > 0. Notam ν = (νe)e∈E repartitia lui Xn

sub probabilitatea conditionata P µ (·/B) , definita de νe = P µ (Xn = e/B) .Atunci are loc formula

P µ(θ−1

n (A) /B)

= P ν (A) ,

pentru orice A ∈ F . Daca multimea fata de care conditionam satisface oincluziune de tipul B ⊂ Xn = i , pentru o anumita stare i ∈ E, atunciformula precedenta devine

P µ(θ−1

n (A) /B)

= P i (A)


Demonstratie. Mai ıntai, remarcam ca, ın cazul ın care are loc oincluziune de tipul B ⊂ Xn = i , atunci are loc egalitatea ν = δi. In partic-ular, vedem ca cea de a doua formula din enunt rezulta din prima. Apoi vomtrece la demonstratia relatiei din enunt ın cazul ın care B este o multime cilin-drica elementara, fie ea B = E (e0, ..., en−1, i) , cu e0, ..., en−1, i ∈ E. Relatiace avem de demonstrat se scrie atunci sub forma

P µ(θ−1

n (A) ; E (e0, ..., en−1, i))

= P µ (E (e0, ..., en−1, i))P i (A) ,

relatie ce poate fi privita si ca o egalitate de masuri. Anume vom nota

Q (A) = P µ(θ−1

n (A) ; E (e0, ..., en−1, i)), ∀A ∈ F .

Aceasta se dovedeste a fi o masura σ− aditiva, pentru ca de fapt are locegalitatea Q = 1E(e0,...,en−1,i) ·P µ θ−1

n . Relatia din enunt revine la verificareaegalitatii de masuri

Q (A) = P µ (E (e0, ..., en−1, i))P i (A) , ∀A ∈ F . (∗)Tinand cont de lema 10.1, este suficient sa verificam aceasta relatie pentru

multimile cilindrice elementare. In continuare vom verifica aceasta relatie ıncazul ın care A = E (i0, ..., im) , i0, ..., im ∈ E, m ∈ N. Atunci avem

θ−1n (A) = θ−1

n (X0 = i0, ..., Xm = im) = Xn = i0, ..., Xn+m = im ,

θ−1n (A) ∩ E (e0, ..., en−1, i) =

= X0 = e0, ..., Xn−1 = en−1, Xn = i, Xn = i0, ..., Xn+m = in+m .

Dupa cum se vede, a doua relatie ne spune ca intersectia respectiva estevida daca i0 = i. Atunci membrul stang al relatiei (*) se anuleaza. Pe dealta parte, pentru a evalua membrul drept, vom observa ca multimea A esteinclusa ın X0 = i0 , iar P i (X0 = i0) = δii0 = 0 daca i0 = i.

Sa vedem ce se petrece ın cazul i0 = i. Conform cu lema 9.1, au locformulele

P µ (E (e0, ..., en−1, i)) = pe0e1 ...pen−2en−1pen−1i,P µ (θ−1

n (A) ∩ E (e0, ..., en−1, i)) = µ0pe0e1 ...pen−2en−1pen−1ipi0i1 ...pim−1im ,P i (A) = pi0i1 ...pim−1im .

Relatia (*) rezulta de aici imediat. Cu alte cuvinte, am demonstrat propozitiaın cazul ın care multimea B este o multime cilindrica elementara.


Sa trecem acum la cazul ın care multimea B ∈ Fn este generala, darinclusa ın multimea Xn = i . Deoarece are loc egalitatea

Xn = i =⋃

(e0,...,en−1)∈En

E (e0, ..., en−1, i) ,

iar multimea B este inclusa ın Xn = i , rezulta ca aceasta poate fi scrisasub forma

B =⋃l∈I

Bl,

unde multimile Bl sunt multimi cilindrice elementare disjuncte, de tipul con-siderat anterior. Este clar ca multimea I este cel mult numarabila. Fixammultimea A acum. Conform cu cele demonstrate anterior, avem

P µ(θ−1 (A) ∩ Bl

)= P µ (Bl)P i (A) , ∀l ∈ I.

Prin sumare dupa l se obtine relatia dorita:

P µ(θ−1 (A) ∩ B

)= P µ (B) P i (A) .

Sa analizam acum cazul absolut general B ∈ Fn. Descompunem multimeaaceasta ın felul urmator B =

⋃i∈E Bi, unde Bi = B ∩ Xn = i . Pentru

fiecare componenta are loc relatia anterior demonstrata,

P µ(θ−1 (A) ∩ Bi

)= P µ

(Bi

)P i (A) .

Tinand cont ca νi = P µ (Bi) /P µ (B) , prin sumarea acestei relatii dupa i, seobtine

P µ(θ−1 (A) ∩ B

)=∑i∈E

νiPµ (B)P i (A) = P µ (B) P ν (A) ,

care este exact relatia dorita.

Relatia (ii) din enuntul propozitiei poate fi scrisa si ın forma

P µ(θ−1

n (A) ∩ B)

= P i (A)P µ (B) ,

care uneori este mai comoda, pentru ca aceasta relatie este valabila subipotezele din enunt simplificate, prin aceea ca nu se mai cere ca P µ (B) > 0.

Proprietatea Markov se poate enunta ın termenii mediilor conditionate,generalizand forma data ın propozitia 9.3 (ii), ın felul urmator.


Propozitia 9.6 Daca Y este o variabila aleatoare marginita, µ = (µi)i∈E oprobabilitate pe E si n ≥ 1 un numar natural, atunci are loc relatia

Eµ [Y θn/Fn] = EXn (Y ) .

In particular, pentru orice multime B ∈ Fn pentru care exista i ∈ E astfelca B ⊂ Xn = i , are loc egalitatea

Eµ [Y θn; B] = P µ (B) EiY.

Demonstratie. Mai ıntai ne ocupam de prima relatie din enunt. Saexplicam ce reprezinta expresia din membrul drept. Conform notatiei sta-bilite, i → Ei (Y ) este o aplicatie de la E cu valori ın R. Compunerea acesteiaplicatii cu Xn : Ω → E ne da aplicatia EXn (Y ) : Ω → R, care este ovariabila aleatoare cu valori reale. Ea este masurabila fata de Fn.

Prima egalitate din enunt se reduce la verificarea relatiei

Eµ [Y θn; B] = Eµ[EXn (Y ) ; B

], ∀B ∈ Fn. (#)

Sa vedem ce devine aceasta relatie cand Y = 1A este functia caracteristicaa unei multimi A ∈ F . Avem 1A θn = 1θ−1

n (A) si Ei1A = P i (A) , ceea

ce transforma membrul stang al relatiei de demonstrat ın Eµ[1θ−1

n (A); B]

=

P µ (θ−1n (A) ∩ B) , iar membrul drept ın Eµ

[P Xn (A) ; B

]. Astfel, relatia an-

terioara revine la

P µ(θ−1

n (A) ∩ B)

= Eµ[P Xn (A) ; B

].

Tinand cont ca avem descompunerea B =⋃

i∈E Bi, unde am notat Bi =B ∩ Xn = i , se deduce ca membrul stang al acestei relatii se poate scriesub forma

∑i∈E P µ (θ−1

n (A) ∩ Bi) , iar membrul drept este egal cu∑i∈E

Eµ[P i (A) ; Bi

]=∑i∈E

P i (A) P µ (Bi) .

Atunci avem de verificat relatia echivalenta∑i∈E

P µ(θ−1

n (A) ∩ Bi

)=∑i∈E

P i (A)P µ (Bi) .

Dar acum putem aplica punctul (ii) al propozitiei precedente, pentru a deduceca fiecare termen al primei sume este egal cu corespondentul sau din cea de


a doua suma. Putem trage concluzia ca, ın cazul particular Y = 1A, relatia(#) este verificata.

Sa observam acum ca relatia (#) poate fi imediat dedusa si pentru cazulunei variabile etajate. Apoi se descompune Y = Y + −Y −, unde Y + = Y ∨ 0si Y − = (−Y )∨ 0, astfel ca problema se reduce la cazul variabilelor pozitive.In fine se utilizeaza aproximarea unei variabile pozitive cu un sir crescator devariabile etajate date de punctul 5. din paragraful de complemente de teoriamasurii. Daca Y = limn→∞ Yn, unde (Yn) este sirul crescator de variabileetajate, stim ca relatia (#) este valabila pentru fiecare din variabilele Yn.Prin trecere la limita, se obtine si relatia pentru Y.

Cea de a doua relatie din enunt rezulta imediat din relatia (#).

9.3.3 Proprietatea tare Markov

In aceasta sectiune vom generaliza proprietatea Markov prin ınlocuirea tim-pului ,,prezent” constant, la care se petrece proprietatea, cu un timp aleator,adica depinzand de ω ∈ Ω. Timpii aleatori pentru care este valabila ge-neralizarea nu pot fi arbitrari. Ei trebuie sa satisfaca o proprietate legatade evolutia procesului. Urmatoarea definitie precizeaza aceasta proprietate.Pentru ca notiunile care intervin nu sunt neaparat legate de spatiul canonicΩ si de obiectele asociate lui, vom da definitiile ıntr-un cadru general.

Definitia 9.5 Fie (Wn)n∈N o familie de σ−algebre definite pe o multime ar-bitrara W. Vom spune ca familia aceasta este o filtratie daca este crescatoare,ın sensul ca are loc incluziunea Wn ⊂ Wn+1, pentru orice n ∈ N. Sa pre-supunem ca este ındeplinita aceasta conditie. O familie de aplicatii (Zn)n∈N , Zn :W → E, cu valori ın multimea cel mult numarabila E, se spune a fi unproces adaptat filtratiei date daca, pentru fiecare n ∈ N, variabila Zn estemasurabila fata de Wn. Vom spune ca o aplicatie T : W → N∪∞ este untimp de oprire (sau de stopare) daca satisface urmatoarea conditie:

T = n ∈ Wn, ∀n ∈ N.

Cu notatia din definitie, timpului de oprire T, ıi vom asocia clasa demultimi

WT = A ⊂ W / A ∩ T = n ∈ Wn, ∀n ∈ N .

Se verifica fara dificultate ca este o σ− algebra. In cazul ın care T ≡ neste o constanta, se poate constata ca WT coincide cu Wn. Pentru un pro-ces adaptat, (Zn)n∈N , vom utiliza notatia ZT , desemnand aplicatia ZT :


T < ∞ → E definita prin ZT (ω) = ZT (ω) (w) . Multimea T < ∞ estenatural ınzestrata cu urma σ−algebrei WT . Se poate verifica, ramane ca citi-torul sa o faca, ca aplicatia ZT este masurabila fata de urma σ−algebreiWT pe T < ∞ . De asemenea, se poate verifica fara dificultate ca pentrudoi timpi de oprire S, T, care satisfac relatia S ≤ T, are loc incluziuneaWS ⊂ WT .

In cazul filtratiei canonice asociate unui lant Markov, un timp de oprireexprima momentul la care se produce un eveniment ce este determinat deevolutia lantului pana la acel moment. Adica valoarea T (ω) = n nu depindeın nici un fel de alte evenimente legate de evolutia lantului dupa momentuln. Exemple de timpi de oprire vor aparea ın sectiunea urmatoare. In cazulspatiului canonic Ω, fiind dat un timp de oprire, T, ın raport cu filtratia(Fn)n∈N , utilizam notatia θT : T < ∞ → Ω, pentru a desemna aplicatiacare este definita prin relatia θT (ω) = θT (ω) (ω) . Lasam cititorului verificareafaptului ca aceasta aplicatie este masurabila ın raport cu F . Cu aceastanotatie putem formula urmatoarea teorema, care contine diverse versiuni aceea ce se numeste proprietatea tare Markov. (Este o proprietate mai taredecat cea dinainte pentru ca se aplica relativ la un timp de oprire.)

Teorema 9.2 Fie T un timp de oprire si µ = (µi) o masura de probabilitatepe E.

(i) Fie B ∈ FT asa ıncat B ⊂ T < ∞ si P (B) > 0. Notam ν = (νe)e∈E

repartitia lui XT sub probabilitatea conditionata P µ (·/B) , definita prin νe =P µ (XT = e/B) . Atunci are loc formula

P µ(θ−1

T (A) /B)

= P ν (A) ,

pentru orice multime A ∈ F . In particular, daca multimea de conditionaresatisface incluziunea B ⊂ XT = i , pentru un anumit punct i ∈ E, atuncirelatia anterioara devine

P µ(θ−1

T (A) /B)

= P i (A)

(ii) Pentru orice variabila aleatoare marginita, Y, are loc relatia

Eµ[1T<∞Y θT /FT

]= EXT [Y ] 1T<∞.

In particular, are loc relatia

Eµ [Y θT ; B] = P µ (B) EiY,


pentru orice multime B ∈ FT cu proprietatea ca exista i ∈ E, astfel caB ⊂ T < ∞ ∩ XT = i .

Demonstratie. (i) Sa presupunem mai ıntai ca are loc incluziuneaB ⊂ XT = i . Observam ca multimea B poate fi exprimata sub formaunei reuniuni de multimi disjuncte B =

⋃n∈N Bn, unde Bn = B ∩ T = n .

Conform cu lema de mai jos, va fi suficient sa demonstram relatia pentrufiecare din multimile Bn, n ∈ N. Dar o astfel de multime apartine lui Fn

si are loc relatia Bn ⊂ Xn = i . Atunci formula rezulta din propozitia 9.5,tinand cont si de relatia

θ−1T (A) ∩ T = n = θ−1

n (A) ∩ T = n .

Pentru cazul unei multimi generale, B ∈ FT , se repeta procedeul care a fostutilizat si ın finalul demonstratiei propozitiei 9.5. Anume, se face descom-punerea B =

⋃i∈E Bi, Bi = B ∩ XT = i si, pentru fiecare din multimile

Bi, ne ıncadram ın cazul deja demonstrat. Prin urmare, putem scrie

P µ(θ−1

T (A) ∩ Bi)

= P i (A) P µ(Bi

),

relatie ce, prin ınsumare dupa i, conduce la urmatoarea relatie

P µ(θ−1

T (A) ∩ B)

=∑i∈E

P µ(θ−1

T (A) ∩ Bi)

=∑i∈E

P i (A)P µ(Bi

).

Tinand cont ca νi = P µ (XT = i/B) = P µ (Bi) /P µ (B) , ultima expresiedevine

=∑i∈E

P i (A) νiPµ (B) = P µ (B) P ν (A) ,

ceea ce termina demonstratia formulei de la punctul (i).(ii) Mai ıntai, sa lamurim sensul membrului drept al primei relatii de la

punctul (ii) din enunt. Pe multimea T < ∞ este bine definita variabila XT ,care ia valori ın E si care este FT masurabila. Expresia EXT [Y ] are ıntelesulcompunerii aplicatiei i → Ei [Y ] , definite pe E cu valori ın R, cu aplicatiaXT , astfel ca avem o variabila FT−masurabila, cu valori reale. Relatia dedemonstrat este echivalenta cu

Eµ[1T<∞Y θT ; B

]= Eµ

[EXT [Y ] 1T<∞; B

], ∀B ∈ FT . (#)


Tinand cont de descompunerea B ∩ T < ∞ =⋃

n∈N Bn, cu Bn = B ∩T = n , relatia aceasta se reduce la

Eµ [Y θn; Bn] = Eµ[EXn [Y ] ; Bn

],

care este un caz particular al propozitiei 9.6. Cea de a doua relatie de lapunctul (ii) rezulta imediat din prima.

Remarcam ca relatia de la punctul (i) al teoremei poate fi scrisa si subforma

P µ(θ−1

T (A) ∩ B)

= P ν (A)P µ (B) ,

forma ce este mai convenabila ın aplicatii, deoarece, ın acest caz, nu mai estenecesar sa cerem ca P (B) > 0.

Lema 9.5 Pe un spatiu probabilizat (Ω,F , P ) se dau evenimentele A, Bl, l ∈I, unde I este cel mult numarabila astfel ca P (Bl) > 0, pentru orice l ∈ I.Daca evenimentele Bl, l ∈ I sunt disjuncte, si are loc egalitatea

P (A/Bl) = c, ∀l ∈ I,

atunci P(A/

⋃l∈I Bl

)= c.

Verificarea lemei o lasam ca exercitiu.

9.4 Reducerea la reprezentarea canonica

Exemplele de lanturi Markov apar de multe ori ıntr-un context diferit deceea ce se poate numi ,,reprezentarea canonica” si care a constituit cadrul debaza al ultimelor paragrafe de mai sus. Vom arata ın cele ce urmeaza cum seface transferul de proprietati si de calcule ıntre un lant Markov definit pe unspatiu probabilizat arbitrar si lantul de pe reprezentarea canonica cu aceleasiprobabilitati de trecere.

Fie (W,W, P ) un spatiu probabilizat pe care este definit un lant Markovomogen (Yn)n∈N cu spatiul starilor E, repartitia initiala µ si probabilitatilede trecere asociate unei matrici stochastice p. Vom utiliza notatia Ω = E ×E × ..., Xn,Fn,F , θ, P i, etc., introdusa pentru realizarea canonica si vomdefini aplicatia Γ : W → Ω, punand Γ (w) = (Y0 (w) , Y1 (w) , ...) . Iar pespatiul W vom defini filtratia Wn = σ (Y0, ..., Yn) , n ∈ N, si σ−algebra W =σ (Yn/n ∈ N) . O prima serie de legaturi ıntre lantul dat si lantul canoniceste descrisa ın propozitia urmatoare.

9.4. REDUCEREA LA REPREZENTAREA CANONICA 207

Propozitia 9.7 Au loc egalitatile: (i) Wn = Γ−1 (Fn) , (ii) W = Γ−1 (F) si(iii) P Γ−1 = P µ.

Demonstratie. Pentru aceasta demonstratie vom mai introduce notatiaY n = (Y0, ..., Yn) : W → En+1 si Xn = (X0, ..., Xn) : Ω → En+1, unde n ∈ Neste arbitrar. Evident, aceste aplicatii satisfac relatia Y n = XnΓ. Pe de altaparte, din proprietatea 3. din paragraful dedicat σ−algebrelor generate de

variabile aleatoare, stim ca Fn = X−1

n (P (En+1)) si Wn = Y−1

n (P (En+1)) .Atunci putem scrie

Wn = Γ−1(X

−1

n

(P (En+1

)))= Γ−1 (Fn) ,

ceea ce demonstreaza punctul (i).Trecand la punctul (ii), vom observa ca Γ−1 (F) este o σ−algebra si

contine, conform punctului anterior, fiecare din σ−algebrele Wn. Rezultaca W = σ (∪nWn) ⊂ Γ−1 (F) . Pentru a verifica cealalta incluziune pornimcu observatia ca familia A = A ⊂ Ω/Γ−1 (A) ∈ W este o σ−algebra, lu-cru ce se poate verifica direct, fara prea mare greutate. Cum A contine Fn,pentru orice n ∈ N, rezulta F = σ (∪nFn) ⊂ A. Daca citim definitia lui A,constatam ca aceasta ultima incluziune implica Γ−1 (F) ⊂ W. Cu aceastaam demonstrat punctul (ii).

Pentru a verifica egalitatea de la punctul (iii), aplicam lema 8.3, care nespune ca este suficient sa aratam ca

P(Γ−1 (E (e0, ..., en))

)= P µ (E (e0, ..., en)) ,

pentru orice multime cilindrica elementara. Cum avem Γ−1 (E (e0, ..., en)) =Y0 = e0, ..., Yn = en , prin aplicarea lemei 9.1, rezulta

P(Γ−1 (E (e0, ..., en))

)= µe0pe0e1 ...pen−1en = P µ (E (e0, ..., en)) ,


Vom presupune acum ca avem un lant Markov cu o filtratie mai largadecat cea natural asociata lantului si vom demonstra ca are loc o versiune aproprietatii tare Markov ın raport cu timpii de oprire ai filtratiei mari.

Fie (W,W, P ) un spatiu probabilizat pe care exista o filtratie (Wn)n∈N

astfel ca Wn ⊂ W, pentru orice n ∈ N si procesul adaptat (Zn)n∈N , Zn :W → E, n ∈ N, cu valori ın spatiul cel mult numarabil E. Filtratia nat-ural asociata procesului (Zn)n∈N , definita prin Gn = σ (Z0, ..., Zn) , n ∈ N,


evident satisface incluziunile Gn ⊂ Wn, n ∈ N, deci este mai restransa. Maipresupunem ca este verificata urmatoarea proprietate

P (Zn+1 = j/A) = pij, (∗)

pentru orice multime A ∈ Wn, astfel ca A ⊂ Zn = i si P (A) > 0. Deoareceorice multime de tipul Z0 = e0, ..., Zn−1 = en−1, Zn = i este ın Wn, aceastaultima proprietate implica proprietatea Markov. Deci (Zn)n∈N este un lantMarkov, el este chiar omogen si admite probabilitatile de trecere generatede matricea p. (Este de notat ca orice lant Markov satisface proprietatea(*) de mai sus relativ la filtratia sa naturala.) Mai presupunem ca este datT : W → N ∪ ∞ , care e un timp de oprire pentru filtratia (Wn)n∈N

si definim aplicatiile Yn = ZT+n, n ∈ N, pe multimea T < ∞ . Analognotatiei introduse mai sus, definim aplicatia Γ : T < ∞ → Ω, cu valori ınspatiul canonic Ω = E × E × ..., punand Γ (w) = (Y0 (w) , Y1 (w) , ...) . Pre-supunem ca B ∈ WT este un eveniment astfel ca B ⊂ T < ∞si P (B) > 0.

Notam cu PB probabilitatea conditionata definita prin PB (A) := P (A∩B)P (B)

,

pentru A ∈ W. Atunci relatia (*) permite exprimarea proprietatii tareMarkov ın felul urmator.

Propozitia 9.8 In conditiile enuntate mai sus, sub probabilitatea PB, (Yn)n∈N

este un lant Markov omogen, ale carui probabilitati de trecere sunt generatede matricea p. Daca A ⊂ Ω este ın F ,atunci are loc formula

PB

(Γ−1 (A)

)= P ν (A) ,

unde ν = (νe)e∈E este repartitia lui ZT sub PB definita prin νe = PB (ZT = e) .

Demonstratie. Mai ıntai, sa verificam ca (Yn)n∈N este markovian.Dorim sa aratam ca are loc relatia

PB (Yn+1 = j/Y0 = e0, ..., Yn−1 = en−1, Yn = i) = pij ,

pentru orice puncte e0, ..., en−1, i, j ∈ E, pentru care are sens conditionarea.Aceasta relatie este echivalenta cu urmatoarea

P (Y0 = e0, ..., Yn−1 = en−1, Yn = i, Yn+1 = j ∩ B)= P (Y0 = e0, ..., Yn−1 = en−1, Yn = i ∩ B) pij. (#)

9.4. REDUCEREA LA REPREZENTAREA CANONICA 209

Pentru a putea face calcule cu expresiile de mai sus, vom introduce multimileBk = B∩T = k , k ∈ N. Inlocuind pe B cu Bk, expresia din stanga relatieide mai sus devine

P (Y0 = e0, ..., Yn−1 = en−1, Yn = i, Yn+1 = j; Bk) =P (Zk = e0, ..., Zk+n−1 = en−1, Zk+n = i, Zk+n+1 = j; Bk) .

Tinand cont ca B ∈ WT , deducem ca Bk ∈ Wk si atunci putem utiliza relatia(*) pentru a pune ultima expresie sub forma

= P (Zk = e0, ..., Zk+n−1 = en−1, Zk+n = i; Bk) pij

= P (Y0 = e0, ..., Yn−1 = en−1, Yn = i; Bk) pij .

Am demonstrat deci relatia (#) cu Bk ın loc de B. Dar, o data ce avemrelatiile cu orice Bk, k ∈ N, putem deduce relatia cu B prin sumare dupa k.

Pentru a demonstra cea de a doua afirmatie din enunt, vom observa maiıntai ca pe multimea T < ∞ are loc egalitatea Y0 = ZT si, prin urmare,repartitia lui ZT coincide cu repartitia initiala a lantului (Yn)n∈N sub PB.Aplicam atunci punctul (iii) din propozitia anterioara, pentru a deduce for-mula din enunt.

Formula din aceasta propozitie poate fi scrisa si ın forma

P(Γ−1 (A) ∩ B

)= P ν (A)P (B) ,

relatie care este valabila fara a mai necesita conditia ca P (B) > 0.

Capitolul 10

Comunicarea ıntre stari

In continuare, vom pastra cadrul stabilit ın paragraful Lanturi omogene sivom utiliza notatiile introduse pana la aici. Cu alte cuvinte, vom presupunefixata o matrice stochastica p = (pij) pe spatiul starilor E si studiem procesulcanonic sub diverse masuri P µ, asociate sistemului de probabilitati de tre-cere generate de p. Utilizam toate notatiile stabilite anterior pentru procesulcanonic.

Pentru a analiza modul ın care evolueaza procesul trecand dintr-o stareın alta, o importanta deosebita o au timpii primei vizite ıntr-o stare, pe careıi definim acum. Fiind dat punctul (sau starea) i ∈ E, notam cu Ti : Ω →N∗ ∪ ∞ aplicatia definita prin

Ti (ω) = inf n ∈ N∗/Xn (ω) = i ,

cu conventia inf ∅ = ∞. (Am notat cu N∗ multimea numerelor naturalediferite de zero.) Deci 1 ≤ T si are loc egalitatea Ti (ω) = ∞ daca si numaidaca traiectoria ω nu trece prin starea i, cu exceptia, eventual, a momentuluiinitial. De asemenea, se observa ca pe multimea T < ∞ are loc egalitateaXTi

= i.

Lema 10.1 Variabila Ti este un timp de oprire.

Demonstratie. Este suficient sa scriem egalitatea

Ti = n = X1 = i, ..., Xn−1 = i, Xn+1 = i ,

din care rezulta ca multimea Ti = n este ın Fn.

211

212 CAPITOLUL 10. COMUNICAREA INTRE STARI

10.1 Stari recurente sau tranziente

O prima relatie probabilista privind comunicarea ıntre doua stari este descrisaın definitia urmatoare.

Definitia 10.1 Fie i, j ∈ E doua puncte distincte.(i) Se spune ca ,,i are acces la j” si vom nota i → j daca are loc relatia

P i (Tj < ∞) > 0.(ii) Se spune ca ,,i si j comunica” si vom nota i ↔ j daca cele doua

puncte au acces, reciproc, unul la altul.

Propozitia care urmeaza descrie ın termenii probabilitatilor de trecererelatia de ,,a avea acces”.

Propozitia 10.1 (i) Relatia i → j este echivalenta cu faptul ca exista unnumar natural n ∈ N∗ astfel ıncat pn

ij > 0.(ii) Daca i → j si j → e, atunci i → e.

Demonstratie. (i) ,,⇒”. Putem scrie Tj < ∞ =⋃∞

n=1 Tj = n .Daca P i (Tj < ∞) > 0, atunci va exista un numar n ∈ N∗ astfel ca P i (Tj = n) >0. Dar evident are loc incluziunea Tj = n ⊂ Xn = j . De aceea deducempn

ij = P i (Xn = j) > 0, ceea ce demonstreaza implicatia directa.,,⇐”. Deoarece are loc incluziunea Xn = j ⊂ Tj ≤ n , rezulta ca

relatia pnij = P i (Xn = j) > 0 implica P i (Tj ≤ n) ≥ P i (Xn = j) > 0, ceea ce

conduce la P i (Tj < ∞) > 0.(ii) Tinand cont de punctul (i), conditiile din ipoteza implica existenta a

doua numere n, m ∈ N∗, astfel ca pnij > 0 si pm

je > 0. Dar atunci putem scrie

pn+mie =

∑f∈E

pnifp

mfe ≥ pn

ijpmje > 0,

inegalitate care, conform punctului (i), implica relatia i → e.Pe multimea starilor E se poate defini o relatie de echivalenta ın felul

urmator: orice stare este echivalenta cu ea ınsasi, iar doua stari distinctesunt echivalente daca ele comunica. Din propozitia demonstrata rezulta carelatia aceasta este tranzitiva, deci este o buna relatie de echivalenta. Un altaspect important al evolutiei lantului este exprimat prin revenirea traiectori-ilor ıntr-o aceeasi stare. Urmatoarea definitie ımparte starile din acest punctde vedere.

10.1. STARI RECURENTE SAU TRANZIENTE 213

Definitia 10.2 Starea i ∈ E se numeste tranzienta daca P i (Ti = ∞) > 0si se numeste recurenta ın caz contrar.

Dupa cum se vede, o stare recurenta este una cu proprietatea ca, aproapesigur, traiectoriile ce pleaca din ea revin acolo dupa un anumit interval detimp. O stare tranzienta este o stare ın care, cu probabilitate pozitiva, o partedin traiectoriile lantului nu mai revin niciodata. Observam ca, pentru o staretranzienta, exista si posibilitatea ca P i (Ti = ∞) = 1. Asta ar ınseamna caprobabilitatea P i sa ıncarce numai traiectoriile care ıncepand cu momentul1 parasesc starea si nu mai revin niciodata. Un astfel de punct ar reflecta otranzienta completa (am putea spune ca este un punct tranzitoriu). Insa, ıngeneral pentru o stare tranzienta se admite si posibilitatea ca P i (Ti = ∞) ∈(0, 1) , caz ın care multimea traiectoriilor ce revin ın punctul de plecare,Ti < ∞ , este si ea neneglijabila.

In continuare, vom considera un punct i ∈ E fixat si vom introduce pentruel urmatorii timpi aleatori definiti prin inductie: R0 = 0, Rn+1 = Rn+TiθRn ,pe multimea Rn < ∞ si Rn+1 = ∞ pe multimea Rn = ∞ . Evident avemR1 = Ti. Mai remarcam ca, deoarece Ti ≥ 1, rezulta Rn+1 > Rn pe multimeaRn < ∞ . In particular are loc relatia limn Rn = ∞ pe tot spatiul Ω. Timpiiacestia de fapt contorizeaza momentele de vizita ale punctului i de catrefiecare traiectorie. Iar calitatea lor importanta este ca sunt niste timpi deoprire dupa cum rezulta din lema generala care urmeaza.

Lema 10.2 Fie S, T doi timpi de oprire. Atunci timpul aleator definit prinR = S + T θS , pe multimea S < ∞ si R = ∞, pe multimea S = ∞ ,este tot un timp de oprire.

Demonstratie. Are loc egalitatea

R = n =

n⋃k=0

S = k, T θk = n − k .

Cum T θk = n − k = θ−1k (T = n − k) si T = n − k ∈ Fn−k, rezulta

T θk = n − k ∈ Fn, datorita lemei 9.4. Deci R = n ∈ Fn.

Faptul ca sirul de timpi (Rn)n numara vizitele ın i, ın ordinea petreceriilor, este pus precis ın evidenta de lema care urmeaza.

Lema 10.3 (i) Daca n ≥ 1 si Rn (ω) < ∞, atunci XRn (ω) = i.(ii) Relatia Rn (ω) < ∞ cu n arbitrar, implica si XRn+k (ω) = i, pentru

orice 1 ≤ k < Ti θRn (ω) .


Demonstratie. (i) Observam ca, pentru cazul n = 1, avem R1 = Ti

si am notat odata ca XTi(ω) = i. Pentru cazul n ≥ 2 vom utiliza relatia

inductiva Rn = Rn−1 + Ti θRn−1 , care ne da

XRn (ω) = XRn−1(ω)+TiθRn−1(ω) (ω) = XTiθRn−1

(ω)

(θRn−1 (ω)

)=

= XTi

(θRn−1 (ω)

)= i.

La al doilea semn de egalitate am utilizat relatia generala Xm θl = Xm+l sifaptul ca θRn−1(ω) (ω) = θRn−1 (ω) .

(ii) Pentru cea de a doua afirmatie pornim cu egalitatea

XRn+k (ω) = Xk

(θRn(ω) (ω)

)= Xk (θRn (ω)) .

Conditia din enunt este Ti (θRn (ω)) > k ≥ 1, ceea ce, conform definitiei luiTi, implica Xk (θRn (ω)) = i.

A doua afirmatie a lemei mai poate fi formulata si astfel: pentru oricenumar natural m astfel ıncat Rn (ω) < m < Rn+1 (ω) are loc relatia Xm (ω) =i. In concluzie, putem enunta urmatorul corolar.

Corolarul 10.1 Pentru fiecare traiectorie ω ∈ Ω are loc egalitatea

m ∈ N∗/Xm (ω) = i = Rn (ω) /n ∈ N∗, Rn (ω) < ∞ .

Tinand cont de aceasta, putem exprima multimea traiectoriilor care viziteazapunctul i de o infinitate de ori sub forma ∩n∈N∗ Rn < ∞ . La fel, multimeatraiectoriilor care viziteaza starea i doar de un numar finit de ori sau deloceste exprimata sub forma ∪n∈N∗ Rn = ∞ .

Mai departe, vom introduce urmatoarea notatie pentru probabilitatea dea reveni ın starea i si pentru probabilitatea de a ajunge ın starea j plecanddin i :

hi = P i (Ti < ∞) , hij = P i (Tj < ∞) .

Notam cu ηi variabila aleatoare care arata numarul total de vizite pe care leface o traiectorie ın punctul i, dupa plecarea din pozitia initiala:

ηi =∞∑

n=1

1i (Xn) .

Se observa ca au loc egalitatile

ηi = n = Rn < ∞, Rn+1 = ∞ , ∀n ∈ N,ηi = ∞ = ∩n∈N∗ Rn < ∞ ,ηi < ∞ = ∪n∈N∗ Rn = ∞ ,

10.1. STARI RECURENTE SAU TRANZIENTE 215

unde am utilizat timpii Rn, n ∈ N, asociati punctului i. Pentru aceasta vari-abila se pot face urmatoarele calcule.

Teorema 10.1 Au loc formulele

Ejηi =

∞∑n=1

pnji,

P j (ηi = n) = hjihn−1i (1 − hi) , ∀n ∈ N∗,

P j (ηi = 0) = 1 − hji.

Daca i este tranzienta, atunci are loc si formula

Ejηi =hji

1 − hi.

Demonstratie. Variabila ηi se reprezinta ca o serie cu termenii vari-abile aleatoare pozitive. Prin urmare, putem trece la calculul mediei sumandmedia termenilor

Ejηi =

∞Ej∑n=1

[1i (Xn)

]=

∞∑n=1

P j (Xn = i) =

∞∑n=1

pnji.

La cel de al doilea semn egal am utilizat faptul ca 1i (Xn) = 1Xn=i. Aceastaa fost prima formula din enunt.

Trecem la verificarea celei de a doua formule. Pentru n = 0 avem

P j (ηi = 0) = P j (Ti = ∞) = 1 − P j (Ti < ∞) = 1 − hji.

Pentru n ≥ 1 avem

P j (ηi = n) = P j (Ti θRn = ∞, Rn < ∞) = P j(θ−1

Rn(Ti = ∞) ∩ Rn < ∞) .

Deoarece multimea Rn < ∞ apartine lui FRn si pe ea are loc egalitateaXRn = i, sunt ıntrunite conditiile ca sa aplicam proprietatea tare Markov sisa scriem ultima cantitate sub forma

P i (Ti = ∞)P j (Rn < ∞) = (1 − hi)P j (Rn < ∞) .

Mai departe, se calculeaza

P j (Rn < ∞) = P j(Rn−1 < ∞, Ti θRn−1 < ∞)

= P j(θ−1

Rn−1(Ti < ∞) ∩ Rn−1 < ∞

),


care, prin aplicarea proprietatii tare Markov, devine

P i (Ti < ∞)P j (Rn−1 < ∞) = hiPj (Rn−1 < ∞) .

Rationand prin inductie si tinand cont ca P j (R1 < ∞) = hji, se deduce exactcea de a doua formula din enunt.

Trecem la verificarea celei de a treia relatii din enunt. Mai ıntai, bazandu-ne pe formula demonstrata anterior deducem egalitatea

P j (ηi < ∞) =∑∞

n=0 P j (ηi = n) = 1 − hji +∑∞

n=1 hjihn−1i (1 − hi) =

= 1 − hji + hji (1 − hi)∑∞

n=1 hn−1i = 1,

care arata ca ηi este finita, P j -aproape sigur. Atunci putem scrie ηi =∑∞n=1 n1ηi=n, P j − a.s. si, luand media, obtinem

Eηi =∞∑

n=1

nP (ηi = n) =∞∑

n=1

nhjihn−1i (1 − hi) .

Suma astfel obtinuta se calculeaza dupa relatia din lema de mai jos si seobtine rezultatul din enunt.

Lema 10.4 Pentru orice x ∈ (−1, 1) are loc egalitatea

∞∑n=1

nxn =1

(1 − x)2 .

Demonstratie. Seria geometrica poate fi derivata termen cu termen( ∞∑n=0

xn

)′

=

(1

1 − x

)′,

iar rezultatul este exact relatia din enuntul lemei.

Rezultatul formulat ın urmatorul corolar poate fi exprimat lapidar astfel:plecand dintr-o stare tranzienta procesul revine ın ea de cel mult un numarfinit de ori, aproape sigur; plecand dintr-o stare recurenta procesul revine ınea de o infinitate de ori, aproape sigur.

Corolarul 10.2 (i) Faptul ca starea i este tranzienta este echivalent cufiecare din urmatoarele doua relatii: P i (ηi < ∞) = 1, sau Eiηi < ∞.

(ii) Faptul ca starea i este recurenta este echivalent cu fiecare din urmatoareledoua relatii: P i (ηi = ∞) = 1, sau Eiηi = ∞.

10.2. CLASE RECURENTE 217

Demonstratie. Din teorema anterioara, stim ca, ın cazul unei staritranziente, exista o formula explicita pentru media Eiηi, formula care aratasi finitudinea acestei medii. Atunci rezulta si faptul ca ηi < ∞, P i − a.s.

Pe de alta parte, tot din teorema anterioara, cunoastem repartitia vari-abilei ηi. Iar ın cazul ın care i este recurenta, aceasta repartitie ne da P i (ηi = n)= 0, pentru orice n ∈ N∗. Rezulta ca ηi poate lua doar valorile ∞ sau 0, P i

-aproape sigur. Dar ın cazul recurent avem P i (Ti < ∞) = 1, deci ηi > 0,aproape sigur. Rezulta ca, de fapt, Ti = ∞, P i -aproape sigur.

Faptele prezentate mai sus sunt suficiente pentru a deduce concluziile dinenuntul corolarului fara dificultate.

Observam ca multimile ηi = ∞ si ηi < ∞ sunt complementare unaalteia. Tinand cont de descrierea lor ın functie de sirul de timpi (Rn)n∈N∗ ,asociat punctului i, rezulta ca echivalentele din corolarul anterior pot fi com-pletate fiecare astfel:

(i) starea i este tranzienta daca si numai daca P i (∪n∈N∗ Rn = ∞) = 1,(ii) starea i este recurenta daca si numai daca P i (∩n∈N∗ Rn < ∞) = 1.

10.2 Clase recurente

Mai departe, avem nevoie de urmatoarea lema tehnica.

Lema 10.5 Daca are loc relatia Ti (ω) > n, atunci are loc egalitatea Ti (ω) =n + Ti θn (ω) .

Demonstratie. Se utilizeaza definitia timpului Ti si faptul ca Xk (θn) =Xk+n. Avem Ti θn (ω) = inf k ≥ 1/Xk+n (ω) = i , ceea ce implica

n+Tiθn (ω) = inf n + k/k ≥ 1, Xk+n (ω) = i = inf l ≥ n + 1/Xl (ω) = i .

Dar, tinand cont de ipoteza, avem

inf l ≥ 1/Xl (ω) = i = inf l ≥ n + 1/Xl (ω) = i ,

ceea ce conduce la egalitatea din enunt.

Enuntul propozitiei care urmeaza poate fi exprimat ın cuvinte astfel: dacatraiectoriile ce pleaca din i si viziteaza punctul j ınaintea unei noi reveniriiın i, formeaza o multime neglijabila, atunci traiectoriile ce pleaca din i siajung ın j formeaza tot o multime neglijabila. Si mai pe scurt, putem spune


ca sub P i are loc urmatorul fenomen: daca nu este vizitata starea j ınaintede reıntoarcerea ın puncul de plecare, atunci ınseamna ca de fapt starea j numai este niciodata vizitata.

Propozitia 10.2 Daca i = j sunt doua stari distincte si P i (Tj < Ti) = 0,atunci P i (Tj < ∞) = 0.

Demonstratie. Vom utiliza timpii Rn introdusi relativ la punctul i sivom aplica lema 10.3 pentru a scrie

Tj < ∞ =∞⋃

n=0

Rn < Tj < Rn+1 .

Tinand cont de lema precedenta, putem scrie

Rn < Tj < Rn+1 ⊂ Rn < ∞, Tj θRn < Ti θRn =

= Rn < ∞ ∩ θ−1Rn

(Tj < Ti) .

Rezulta, prin aplicarea proprietatii tare Markov,

P i (Rn < Tj < Rn+1) ≤ P i(Rn < ∞ ∩ θ−1

Rn(Tj < Ti)

)=

P i (Tj < Ti) P i (Rn < ∞) = 0.

Aplicarea proprietatii tare Markov este posibila deoarece XRn = i, candn ∈ N∗, iar ın cazul n = 0 avem XR0 = X0 = i, P i -aproape sigur. Concluziaeste P i (Tj < ∞) = 0.

Enuntul urmator afirma, de fapt, independenta unor evenimente.

Propozitia 10.3 Are loc relatia

P i (Tj < ∞, Ti < Tj) = P i (Tj < ∞) P i (Ti < Tj) .

Demonstratie. Vom utiliza mai ıntai lema 10.5 pentru a deduce ca, pemultimea Ti < Tj , are loc egalitatea Tj = Ti + Tj θTi

. Deci putem scrieTj < ∞, Ti < Tj = Tj θTi

< ∞, Ti < Tj . Tinand cont si de lema de maijos, avem Ti < Tj ∈ FTi

si, prin urmare, putem aplica proprietatea tareMarkov deducand

P i (Tj < ∞, Ti < Tj) = P i (Tj θTi< ∞, Ti < Tj)

= P i(θ−1

Ti(Tj < ∞) ∩ Ti < Tj

)= P i (Tj < ∞)P i (Ti < Tj) .


Lema 10.6 Daca S, T sunt doi timpi de oprire, atunci fiecare din multimileS < T , S ≤ T si S = T apartine intersectiei FS ∩ FT .

Demonstratie. Pentru fiecare n ∈ N putem scrie

S < T ∩ S = n = n < T ∩ S = n =

(n⋃

k=0

T = k)c

∩ S = n ,

relatie ce pune ın evidenta faptul ca multimea din stanga apartine lui Fn.Am verificat astfel ca S < T este ın FS.

Apoi scriem

S < T ∩ T = n =n−1⋃k=0

S = k ∩ T = n ,

relatie care arata ca multimea din membrul stang este ın Fn. Cum aceastaproprietate este valabila pentru orice n ∈ N, rezulta ca S < T apartine luiFT .

Rezulta ca S < T ∈ FS ∩ FT . Complementara acestei multimi vaapartine de asemenea celor doua σ−algebre: T ≤ S = S < Tc ∈ FS ∩FT . Dar rolul timpilor S si T este simetric ın aceste rationamente si de aceeavom avea S ≤ T ∈ FS ∩ FT . In fine, putem scrie S = T = S ≤ T ∩T ≤ S ∈ FS ∩ FT .

Urmatoarea teorema este principalul instrument care ne va permite saıncheiem discutia despre comunicarea ıntre stari.

Teorema 10.2 Daca starea i este recurenta si i → j, atunci starea j estesi ea recurenta, si au loc relatiile P i (Tj < ∞) = 1 si P j (Ti < ∞) = 1. Inparticular, avem i ↔ j.

Demonstratie. Tinand cont de propozitia 10.3 de mai sus, evenimenteleTj < ∞ si Ti < Tj sunt independente sub P i si, de aceea, la fel sunt sievenimentele Tj < ∞ si Ti ≥ Tj . Deci putem scrie

P i (Tj < ∞, Tj ≤ Ti) = P i (Tj < ∞)P i (Tj ≤ Ti) .

Pe de alta parte, deoarece pe multimea Ti < ∞ are loc egalitateaXTi

= i si are loc o proprietate similara ın raport cu starea j, se constata ca,neaparat, are loc egalitatea

Ti = Tj = Ti = ∞ ∩ Tj = ∞ .


Aceasta conduce la relatia

Tj < ∞ ∩ Tj ≤ Ti = Tj < ∞ ∩ Tj < Ti = Tj < Ti .

Atunci relatia de independenta devine

P i (Tj < Ti) = P i (Tj < ∞)P i (Tj ≤ Ti) . (∗)

Cum punctul i este recurent, avem P i (Ti < ∞) = 1, ceea ce implica P i (Tj ≤ Ti)= P i (Tj < Ti) . Pe de alta parte, ipoteza i → j ımpreuna cu propozitia 10.2ne asigura ca P i (Tj < Ti) > 0. De aceea putem simplifica ın relatia (*) siobtinem

P i (Tj < ∞) = 1.

Mai departe, vom examina multimea A =Tj < ∞, Ti θTj

= ∞. Vom

arata, mai ıntai, ca aceasta multime nu intersecteaza multimea ∩n∈N∗ Rn < ∞ .Daca ω ∈ A, atunci avem Xk

(θTj

(ω))

= XTj(ω)+k (ω) si relatia Ti

(θTj

(ω))

=∞ implica XTj(ω)+k (ω) = i, pentru orice k ∈ N∗. Altfel spus, Xn (ω) = i,pentru orice n ≥ Tj (ω) + 1.

Pe de alta parte, stim ca Rn (ω) ↑ ∞, si XRn(ω) (ω) = i, daca Rn (ω) < ∞.Deci daca ω ∈ ∩n∈N∗ Rn < ∞ , rezulta ca multimea n ∈ N∗/Xn (ω) = ieste infinita. Aceasta vine ın contradictie cu proprietatea aratata pentruω ∈ A. Deci A ∩ (∩n∈N∗ Rn < ∞) = ∅.

Deoarece P i (∩n∈N∗ Rn < ∞) = 1, rezulta atunci ca P i (A) = 0. Dar,aplicand proprietatea tare Markov, aceasta ultima relatie devine

0 = P i(Tj < ∞, Ti θTj

= ∞)= P i

(Tj < ∞ ∩ θ−1

Tj(Ti = ∞)

)= P j (Ti = ∞)P i (Tj < ∞) = P j (Ti = ∞) ,

tinand cont si de prima relatie demonstrata. Dar atunci deducem

P j (Ti < ∞) = 1.

In continuare, afirmam ca are loc inegalitatea Tj ≤ Ti + Tj θTi. Intr-

adevar, pentru ω astfel ca Ti (ω)+TjθTi(ω) < ∞ avem XTi(ω)+TjθTi

(ω) (ω) =XTjθTi

(ω) (θTi(ω)) = XTj

(θTi(ω)) = j, ceea ce ınseamna ca Tj (ω) ≤ Ti (ω)+

Tj θTi(ω) .

Inegalitatea care tocmai am verificat-o conduce la incluziunea

Ti + Tj θTi< ∞ ⊂ Tj < ∞


si aceasta la randul ei la

P j (Tj < ∞) ≥ P j (Ti + Tj θTi< ∞) = P j (Tj θTi

< ∞, Ti < ∞) .

Prin aplicarea proprietatii tare Markov ultima expresie devine

P j(θ−1

Ti(Tj < ∞) ∩ Ti < ∞) = P i (Tj < ∞)P j (Ti < ∞) = 1,

ceea ce arata ca punctul j este recurent.

Reamintim ca relatia i ↔ j este o relatie de echivalenta. In corolarulcare urmeaza vom proba cateva proprietati legate de clasele de echivalentaale acestei relatii.

Corolarul 10.3 (i) Starile din aceeasi clasa sunt toate recurente sau toatetranziente.

(ii) O clasa de puncte recurente C este ınchisa, ın sensul ca are loc relatiaP i (Tj < ∞) = 0, pentru orice puncte i ∈ C, j ∈ Cc.

(iii) Daca i ↔ j si starile sunt recurente, atunci are loc relatia

P j (∩n∈N∗ Rn < ∞) = 1,

unde timpii Rn, n ∈ N∗, sunt timpii de revenire ın starea i.(iv) Fie F ⊂ E o parte finita formata din puncte tranziente. Daca notam

ηF =∑∞

n=1 1F (Xn) , si µ = (µi)i∈E este o masura de probabilitate pe E,atunci are loc relatia EµηF < ∞.

(v) Daca E este finita, atunci exista puncte recurente.(vi) O clasa de echivalenta finita si ınchisa ın sensul proprietatii de la

punctul (ii) este o clasa de puncte recurente.

Demonstratie. Afirmatiile de la punctele (i) si (ii) rezulta imediat dinteorema anterioara.

Pentru a demonstra relatia de la punctul (iii), vom arata ca P j (Rn < ∞)= 1, pentru orice n ∈ N∗. Cazul n = 1, cand R1 = Ti, este rezolvat de teoremaanterioara. Pentru n ≥ 2 vom utiliza inductia matematica. Presupunem caam aratat ca P j (Rn < ∞) = 1 si sa trecem la cazul n + 1, pornind dela relatia de definitie, Rn+1 = Rn + Ti θRn . Tinand cont ca pe multimeaRn < ∞ are loc egalitatea XRn = i , aplicam proprietatea tare Markov sideducem

P j (Rn+1 < ∞) = P j (Rn < ∞ ∩ Ti θRn < ∞) == P j

(Rn < ∞ ∩ θ−1

Rn(Ti < ∞)

)= P j (Rn < ∞) P i (Ti < ∞) = 1,


ceea ce ıncheie demonstratia punctului (iii).Pentru a verifica afirmatia de la punctul (iv), mai ıntai, observam ca

variabila ηF se exprima ca o suma finita astfel: ηF =∑

j∈F ηj . Aplicam apoiteorema 10.1, pentru a exprima media

EµηF =∑

j∈F Eµηj =∑

j∈F

∑i∈E µiE

iηj =∑

j∈F

∑i∈E µi

hij

1−hj

=∑

j∈F1

1−hj

∑i∈E µihij =

∑j∈F

11−hj

P µ (Tj < ∞) ,

obtinand o suma finita de numere reale, ceea ce demonstreaza ca EµηF < ∞.Trecem la verificarea afirmatiei (v). Mai ıntai, observam ca, din definitie,

rezulta ca variabila ηE este identic infinit si de aceea, alegand un punct i ∈ E,vom avea EiηE = ∞. Aceasta intra ın contradictie cu afirmatia de la punctul(iv) ın cazul ın care am presupune ca toate punctele ar fi tranziente. Deciexista si puncte recurente.

Demonstratia punctului (vi) repeta argumentul de la punctul anterior.Sa zicem ca C este o clasa finita ınchisa. Fixam un punct i ∈ C. Pentrufiecare punct j ∈ Cc, avem P i (Tj < ∞) = 0, conform ipotezei. Rezultaca P i (∪j∈Cc Tj < ∞) = 0. Daca notam T (ω) = inf n/Xn (ω) ∈ Cc ,atunci are loc relatia T < ∞ = ∪j∈Cc Tj < ∞ , deci P (T < ∞) = 0.Dar pe multimea T = ∞ , are loc egalitatea ηC = ∞, ceea ce implicaP i (ηC = ∞) = 1. Atunci avem EiηC = ∞, relatie care, conform punctului(iv), arata ca nu toate punctele din C pot fi tranziente. Prin urmare, celputin un punct este recurent si atunci toata clasa este formata din puncterecurente.

Capitolul 11

Comportament asimptotic

In acest capitol presupunem ca spatiul E reprezinta o singura clasa re-curenta. Tinand cont de teorema 10.2, aceasta presupunere implica fini-tudinea Tj < ∞, P µ − a.s., pentru orice punct j ∈ E si orice masura deprobabilitate µ. Vom considera fixata o stare i ∈ E, pentru care introducemvariabila

ηi,k =

k∑l=1

1i (Xl) ,

care este variabila ce numara vizitele pe care le face o traiectorie a lantului ınstarea i pana la momentul k ∈ N. Ne propunem sa studiem comportamentulasimptotic al mediei empirice 1

kηi,k, cand k → ∞.

In legatura cu contorizarea aceasta a vizitelor avem si timpii revenirilorsuccesive ın starea i, Rn, n ∈ N∗, care exprima precis momentul la care sepetrece a n−a vizita, dar care au dezavantajul de a fi aleatori. Vom vedeamai jos cum se combina cele doua moduri de contorizare ın obtinerea limiteimediei empirice. Conform cu punctul (iii) al corolarului 10.3, este satisfacutarelatia P µ

(⋂n∈N∗ Rn < ∞) = 1, pentru orice masura de probabilitate µ.

11.1 Teoreme limita

Pentru a explicita mai bine timpii revenirilor vom introduce noi variabileτn : Ω → N ∪ ∞ , definite punctual prin

τn =

Ti θRn pe Rn < ∞ ,

∞ pe Rn = ∞ .

223

224 CAPITOLUL 11. COMPORTAMENT ASIMPTOTIC

Cu aceasta notatie si tinand cont de definitia timpilor de revenire, putemdeduce relatia Rn+1 = Rn + τn si apoi, prin inductie,

Rn+1 = Ti +

n∑l=1

τl. (∗)

Vom demonstra acum principalele proprietati ale acestor variabile.

Lema 11.1 Pentru orice masura de probabilitate, µ, variabilele (τn)n∈N∗

sunt independente si identic repartizate sub P µ, avand aceeasi repartitie caTi sub P i.

Demonstratie. Incepem sa determinam repartitia unei variabile cal-culand

P µ (τn = l) = P µ (Ti θRn = l, Rn < ∞) = P µ(θ−1

Rn(Ti = l) ∩ Rn < ∞)

= P i (Ti = l)P µ (Rn < ∞) = P i (Ti = l) .

La penultimul semn de egalitate am aplicat proprietatea tare Markov, iarla ultimul am aplicat punctul (iii) din corolarul 10.3. Deoarece l si n suntarbitrare, relatia obtinuta demonstreaza afirmatia relativa la repartitii. Mairamane sa probam independenta. Pentru aceasta vom calcula expresia

P µ (τ1 = l1, ..., τn = ln) == P µ

(τ1 = l1, ..., τn−1 = ln−1, Rn < ∞ ∩ θ−1Rn

(Ti = ln)).

Multimea A = τ1 = l1, ..., τn−1 = ln−1, Rn < ∞ , care apare ın membruldrept al relatiei, se scrie si sub forma

A = R2 − R1 = l1, ..., Rn − Rn−1 = ln−1, Rn < ∞ .

Tinand cont de faptul ca FRk−1⊂ FRk

, rezulta Rk − Rk−1 = lk−1 ∈ FRk, si

atunci A ∈ FRn . Atunci putem aplica proprietatea tare Markov si exprimammembrul drept al relatiei dinainte sub forma

= P µ (τ1 = l1, ..., τn−1 = ln−1)P i (Ti = ln) .

Prin inductie, se obtine mai departe

= P µ (τ1 = l1) P i (Ti = l2) ...P i (Ti = ln) == P µ (τ1 = l1) P µ (τ2 = l2) ...P µ (τn = ln) ,

11.1. TEOREME LIMITA 225

relatie care probeaza independenta variabilelor τ1, ..., τn sub P µ.

Din lema demonstrata rezulta ca variabilele τn, n ∈ N∗, au toate aceeasimedie, finta sau infinita, pe care o notam mi = EiTi. Urmatoarea teorema,care arata comportamentul asimptotic, cand k → ∞, al variabilei medieempirica, este o consecinta a legii numerelor mari.

Teorema 11.1 Pentru orice masura de probabilitate, µ, are loc relatia

limk→∞

ηi,k

k=

1

mi

, P µ − a.s.,

unde, ın cazul ın care mi este infinit, membrul drept al relatiei este ıntelescu conventia 1

∞ = 0.

Demonstratie. Vom aplica legea numerelor mari (vezi corolarul 11.1de mai jos) pentru sirul (τn)n∈N∗ , obtinand

limn→∞

1

n(τ1 + ... + τn) = mi, P

µ − a.s.

Deoarece Ti < ∞, P µ − a.s., rezulta ca 1nTi → 0, P µ − a.s. si, tinand cont de

relatia (*) de la ınceputul sectiunii, obtinem

limn→∞

1

nRn+1 = mi, P

µ − a.s.

Pe de alta parte, stim ca P µ(⋂

n∈N∗ Rn < ∞) = 1. De aceea, multimea Λa punctelor din

⋂n∈N∗ Rn < ∞ pentru care are loc relatia limita de mai

sus satisface P µ (Λ) = 1. Sa fixam acum un punct ω ∈ Λ si sa examinamvariabila care ne intereseaza evaluata ın acest punct, ηi,k (ω) . Deoarece stimca Rn (ω) → ∞, va exista un indice n = n (k) astfel ca Rn (ω) ≤ k <Rn+1 (ω) . Cand k → ∞, acest indice va tinde si el la infinit: limk→∞ n (k) =∞. Variabila noastra ia valoarea ηi,k (ω) = n ın aceasta situatie, astfel carezulta urmatoarele inegalitati

n

Rn+1 (ω)<

ηi,k (ω)

k≤ n

Rn (ω).

Trecand la limita cu k → ∞, deducem

limk→∞

ηi,k (ω)

k= lim

k→∞n

Rn (ω)= lim

k→∞n

Rn+1 (ω)=

1

mi.


Cu aceasta am ıncheiat demonstratia.

Legea numerelor mari ın forma cea mai generala are urmatorul enunt, pecare ıl presupunem cunoscut.

Teorema 11.2 Fie (W,W, P ) un spatiu probabilizat pe care sunt date vari-abilele X1, X2, ..., independente, identic repartizate si integrabile. Atunci areloc relatia limita

limn→∞

1

n(X1 + ... + Xn) = EX1, P − a.s.

In contextul nostru este util urmatorul corolar, pe care-l vom demonstra.

Corolarul 11.1 Daca ın enuntul precedent se presupune ca variabilele suntpozitive, atunci concluzia ramane valabila fara a mai cere integrabilitatea.

Demonstratie. Bineınteles ca, atunci cand variabilele nu sunt integra-bile, trebuie sa atribuim valoarea EX1 = ∞ si cu aceasta valoare trebuiedemonstrata relatia limita din enunt. Punem X ′

n = Xn ∧ k, unde k ≥ 0 esteo valoare reala fixata arbitrar si afirmam ca am obtinut ın acest fel un nousir de variabile independente si identic repartizate. Independenta se verificausor pornind de la definitie si observand ca variabila X ′

n se mai scrie h (Xn) ,unde h : R → R este definita prin h (x) = x∧k. Sa probam ca noile variabileau aceeasi repartitie. Notand cu µ repartitia comuna a variabilelor initiale,putem scrie P (X ′

n)−1 = P X−1n h−1 = µ h−1, care este o repartitie

independenta de n. In plus, variabilele noului sir sunt marginite de k.Pentru sirul X ′

1, X′2, ... se poate aplica teorema anterioara si obtinem

lim infn→∞

1

n(X1 + ... + Xn) ≥ lim

n→∞1

n(X ′

1 + ... + X ′n) = E (X1 ∧ k) , P − a.s.

Deoarece limk→∞ E (X1 ∧ k) = EX1 = ∞, rezulta

lim infn→∞

1

n(X1 + ... + Xn) ≥ lim

k→∞E (X1 ∧ k) = ∞, P − a.s.

Dar aceasta ınseamna limn→∞ 1n

(X1 + ... + Xn) = ∞, P − a.s., ıncheinddemonstratia.

Mai departe, vom utiliza notatia mj = EjTj pentru orice stare j ∈ E.Tinand cont ca Tj ≥ 1, rezulta ca aceste medii satisfac inegalitatea mj ≥ 1.


Bineınteles ca teorema anterioara este valabila relativ la fiecare din starilej ∈ E, adica are loc relatia limk→∞ 1

kηj,k = 1

mj, P µ − a.s.

In continuare, vom examina contorizarea revenirilor ıntr-o stare j = i, darvom face acest lucru tinand evidenta ın raport cu ceea ce se ıntampla ıntr-un interval (Rn, Rn+1) dintre doua vizite ın punctul i, fixat. Notam pentruaceasta

ξ0 (ω) =∑

0<l<Ti(ω)

1j (Xl (ω)) , ξn (ω) =∑

Rn(ω)<l<Rn+1(ω)

1j (Xl (ω)) , n ∈ N∗,

unde facem conventia ξn (ω) = 0, daca Rn (ω) = ∞. Primele proprietati aleacestor variabile le ınsiram numerotate mai jos.

1. Se vede imediat din definitia de mai sus ca sunt valabile relatiile

ηj,Ti(ω) = ηj,Ti(ω) (ω) = ξ0 (ω) ,

ηj,Rn+1 (ω) = ηj,Rn+1(ω) (ω) = ξ0 (ω) + ... + ξn (ω) , n ∈ N∗.

2. Variabila ξ0 este finita P µ−a.s. pentru orice masura µ. Aceasta rezultadin inegalitatea evidenta ξ0 ≤ Ti − 1.

3. Are loc relatia Eiξ0 > 0. Pentru a vedea acest lucru, sa observam ca,datorita ipotezei ca toate starile sunt ın aceeasi clasa, avem P i (Tj < ∞) > 0.Tinand cont de propozitia 10.2, rezulta P i (Tj < Ti) > 0. Pe de alta parte,se verifica usor ca are loc inegalitatea 1Tj<Ti ≤ ξ0, ceea ce conduce laEiξ0 ≥ P i (Tj < Ti) > 0.

4. Pe multimea Rn < ∞ are loc egalitatea ξn = ξ0 θRn , pentru n ≥ 1.Pentru a verifica aceasta relatie se porneste de la definitia variabilei ξn, pecare o rescriem ıntr-un punct ω pentru care Rn (ω) < ∞,

ξn (ω) =∑

Rn(ω)<l<Rn(ω)+τn(ω)

1j (Xl (ω)) =∑

0<k<τn(ω)

1j(XRn(ω)+k (ω)

)=

=∑

0<k<Ti(θRn(ω))

1j (Xk (θRn (ω))) = ξ0 (θRn (ω)) .

La al doilea semn de egalitate am recurs la o simpla rebotezare a indiceluide sumare punand l = Rn (ω) + k.

5. Variabila ξn este masurabila fata de FRn+1 , pentru orice n ∈ N. Pentrua verifica aceasta proprietate ıncepem prin a scrie expresia de definitie a luiξn ın forma

ξn =∑

Rn<l<Rn+1

1j (Xl) =

∞∑l=1

1Xl=j,Rn<l<Rn+1,


egalitate ce se verifica punctual. Rezulta ca, pentru a verifica masurabilitatealui ξn, este suficient sa aratam ca fiecare din termenii seriei este masurabilfata de FRn+1. Aceasta revine la a arata ca fiecare din multimile

Xl = j, Rn < l < Rn+1 , l ≥ 1,

este ın FRn+1. Sa presupunem ca l este fixat si sa verificam proprietatea dindefinitia multimilor din FRn+1. Fie k ∈ N si sa aratam ca multimea

Xl = j, Rn < l < Rn+1 ∩ Rn+1 = k (∗)este ın Fk. Daca k ≤ l, atunci aceasta intersectie este vida si nu avem nimicde verificat. Daca l < k, atunci tinem cont ca multimea Rn < l < Rn+1apartine lui FRn+1 si, prin urmare, Rn < l < Rn+1∩Rn+1 = k ∈ Fk. Darmultimea Xl = j este ın Fl, care este incus ın Fk. Rezulta ca multimea dinexpresia (*) este ın Fk si cu aceasta am reusit sa demonstram ca multimeaRn < l < Rn+1 apartine lui FRn+1 . Demonstratia punctului 5. este ıncheiata.

Dar principalele proprietati ale variabilelor ξn sunt prezentate ın lemacare urmeaza.

Lema 11.2 Pentru orice masura de probabilitate, µ = (µe)e∈E , variabilele(ξn)n∈N∗ sunt independente, identic repartizate sub P µ si au aceeasi repartitieca ξ0 sub P i.

Demonstratie. Demonstratia este asemanatoare cu cea a lemei 11.1.Verificam mai ıntai afirmatia referitoare la repartitii. Avem

P µ (ξn = l) = P µ (ξ0 θRn = l; Rn < ∞) = P µ(θ−1

Rn(ξ0 = l) ; Rn < ∞)

= P µ (Rn < ∞)P i (ξ0 = l) = P i (ξ0 = l) ,

pentru orice n ∈ N∗ si l ∈ N, ceea ce probeaza afirmatia despre repartitii.Pentru a verifica independenta, facem urmatorul calcul

P µ (ξ1 = l1, ..., ξn = ln) == P µ

(ξ1 = l1, ..., ξn−1 = ln−1, Rn < ∞ ∩ θ−1Rn

(ξ0 = ln)).

Prin aplicarea succesiva a proprietatii tare Markov obtinem

= P µ (ξ1 = l1, ..., ξn−1 = ln−1, Rn < ∞)P i (ξ0 = ln)... = P µ (ξ1 = l1) P i (ξ2 = l2) ...P i (ξ0 = ln) =

= P µ (ξ1 = l1) ...P µ (ξn = ln) ,


ceea ce probeaza independenta variabilelor (ξn)n∈N∗ .

Variabila ξ0 depinde de punctele i si j si de aceea este normal sa notammi,j = Eiξ0. De la punctul 3., de mai sus, stim ca numarul mij este ın oricecaz strict pozitiv. Vom arata ın sectiunea urmatoare ca acest numar estede fapt finit. Pentru moment vom proba acest lucru ıntr-un caz particular,legandu-l de numerele mi, mj. Demonstratia propozitiei care urmeaza rezultadin nou prin aplicarea legii numerelor mari, urmata de o socoteala simpla cese face cu mediile empirice asociate vizitelor.

Propozitia 11.1 Daca mi < ∞, atunci mi,j, mj < ∞ si are loc relatiami = mjmi,j.

Demonstratie. Mai ıntai, vom observa ca are loc inegalitatea ξ0 ≤ Ti,ceea ce arata ca mi,j ≤ mi < ∞.

Apoi vom aplica legea numerelor mari pentru sirul (ξn)n∈N∗ , deducandexistenta limitei

limn→∞

Sn

n= Eiξ0 = mi,j , P µ − a.s.,

unde am notat Sn =∑n

l=1 ξl. Pe de alta parte, stim ca au loc si relatiile

limn→∞

Rn

n= mi, lim

n→∞ηj,k

k=

1

mj, P µ − a.s.

Notam cu Γ multimea acelor puncte ω ∈ Ω, pentru care au loc toate acestetrei limite si ın plus Ti (ω) < ∞. Aceasta multime are probabilitatea P µ (Γ) =1.

Pentru un punct din aceasta multime vom putea scrie

limn→∞

ηj,Rn (ω)

Rn (ω)=

1

mj.

Apoi vom tine cont de relatia de la punctul 1. de mai sus, de faptul caηj,Ti

(ω) ≤ Ti (ω) < ∞ si de faptul ca Rn (ω) → ∞, pentru a scrie

limn→∞

ηj,Rn (ω)

Rn (ω)= lim

n→∞ηj,Ti

(ω)

Rn (ω)+ lim

n→∞Sn (ω)

Rn (ω)= lim

n→∞Sn (ω)

Rn (ω).

Mai departe, ultima expresie devine

limn→∞

Sn (ω)

Rn (ω)= lim

n→∞Sn (ω)

n

n

Rn (ω)=

mi,j

mi,

ceea ce probeaza relatia din enunt.

Subliniem urmatoarea consecinta a propozitiei demonstrate.


Corolarul 11.2 Numerele me = EeTe, e ∈ E, sunt sau toate finite sau toateinfinite.

Se spune ca lantul este recurent pozitiv daca numerele me, e ∈ E, suntfinite. Daca numerele acestea sunt infinite, atunci se spune ca lantul este nulrecurent. Bineınteles ca ,,pozitivitatea” sau ,,nulitatea” se refera la limitelemediilor empirice limk→∞ 1

kηe,k, care sunt strict pozitive sau nule ın cazurile

respective.

11.2 Masuri invariante

In conditiile din sectiunea precedenta, ne ocupam acum de notiunea demasura invarianta. Pentru aceasta, avem nevoie de o notiune de masura pespatiul E mai generala decat cele de probabilitate, considerate pana acum.Avem nevoie sa lucram cu masuri care au masa pozitiva, finita ın fiecarepunct, dar care nu au neaparat masa totala finita. O astfel de masura estedeterminata de o familie de numere reale si pozitive (µe)e∈E ⊂ R+. Pentruorice multime A ⊂ E se defineste masura corespunzatoare

µ (A) =∑e∈A

µe,

la fel ca ın cazul masurilor de probabilitate. Se obtine ın acest fel o aplicatieµ : P (E) → [0,∞] care este aditiva si chiar σ− aditiva. Adica este ındeplinitaconditia

µ (∪n∈NAn) =∑n∈N

µ (An) ,

pentru orice sir (An)n∈N ⊂ P (E) , format din multimi disjuncte. Deoarecelipseste conditia

∑e∈E µe = 1, nu avem valori neaparat finite pentru µ (A) .

Daca ınsa familia de numere (µe)e∈E satisface conditia∑

e∈E µe < ∞, atuncieste clar ca toate valorile µ (A) sunt finite. Spunem ca µ este o masura finita,ın acest caz. In general, vom spune ca o masura asociata ca mai sus uneifamilii arbitrare de numere pozitive, (µe)e∈E , este o masura σ−finita. Canotatie, vom identifica masura cu familia de numere: µ = (µe)e∈E .

Fiind data o masura σ−finita, µ = (µe)e∈E , se poate face o operatiede compunere cu matricea stochastica p, ın felul urmator. Se noteaza νe =∑

j∈E µjpje si, ın caz ca aceasta suma este finita pentru orice e ∈ E, ınseamnaca avem definita o alta familie de numere, (νe)e∈E ⊂ R+, care defineste o alta

11.2. MASURI INVARIANTE 231

masura σ−finita, ν = (νe)e∈E . Vom utiliza notatia µp := ν pentru aceastamasura. Daca masura µ este finita, atunci numerele νe, e ∈ E, sunt finite siın plus µp are aceeasi masa cu µ, adica µp (E) = µ (E) , dupa cum rezultadin urmatorul calcul:∑

e∈E

νe =∑e∈E

∑j∈E

µjpje =∑j∈E

µj

∑e∈E

pje =∑j∈E

µj.

Se spune ca masura µ este invarianta fata de p, daca satisface relatiaµp = µ. Scrisa explicit aceasta relatie revine la µe =

∑j∈E µjpje, pentru

orice e ∈ E. In cazul invariantei, putem deduce prin inductie ca are loc chiarrelatia µpn = µ, pentru orice n ≥ 1. Se verifica imediat ca daca µ, ν suntdoua masuri invariante si a, b ∈ R, atunci aµ+bν verifica de asemenea relatiade invarianta (aµ + bν) p = aµ + bν. Daca familia de numere (aµe + bνe)e∈E

este pozitiva, aceasta este de asemenea o masura invarianta.Daca lantul porneste cu repartitia initiala o masura invarianta, atunci

el pastreaza aceeasi repartitie de-a lungul timpului. Se spune ca el estestationar. Mai precis este adevarata urmatoarea proprietate.

Propozitia 11.2 Daca µ este o probabilitate invarianta, atunci pentru oricen, k ∈ N, vectorul (Xn, ..., Xn+k) are aceeasi repartitie cu vectorul (X0, ..., Xk) ,sub probabilitatea P µ. In particular, Xn are repartitia µ.

Demonstratie. Stim, din propozitia 9.2, ca, pentru e0, ..., ek ∈ E, areloc relatia

P µ (Xn = e0, ..., Xn+k = ek) =∑e∈E

µepnee0

pe0e1 ...pek−1ek.

Deoarece∑

e∈E µepnee0

= µpn (e0) = µe0, expresia dinainte devine aceeasipentru orice n, si prin urmare, aceeasi cu expresia ın care n = 0.

Observam ca, datorita faptului ca me ≥ 1, numerele µe, e ∈ E, sunt toateın intervalul (0, 1) , daca facem presupunerea ca numerele me, e ∈ E, sunttoate finite. Inainte de a trece la constructia masurii invariante ın general,care va avea o oarecare lungime, vom prezenta un mic rezultat particularcare ne va motiva directia lemelor preliminare.

Lema 11.3 Daca µ = (µe)e∈E este o masura de probabilitate invarianta,atunci lantul este recurent pozitiv si are loc relatia µe = 1

me, pentru orice

e ∈ E.


Demonstratie. Sub P µ are loc relatia

limk→∞

1

kηe,k =

1

me

, a.s.,

pentru orice stare e ∈ E. Tinand cont ca 0 ≤ 1kηe.k ≤ 1, rezulta ca putem

trece la limita sub integrala si avem limk→∞ 1kEµ (ηe.k) = 1

me. Dar un calcul

direct ne da

Eµ (ηe.k) =k∑

l=1

Eµ(1e (Xl)

)=

k∑l=1

P µ (Xl = e)

si, tinand cont ca P µ (Xl = e) = µe, obtinem Eµ (ηe.k) = kµe. De aici sededuce ca µe = 1

me.

Pe de alta parte, tinand cont ca nu pot fi nule toate valorile µe, e ∈ E,rezulta existenta unui punct i ∈ E astfel ıncat µi > 0, si prin urmare mi < ∞.Corolarul 11.2 ne asigura ca atunci lantul este recurent pozitiv.

Dupa cum se vede din aceasta lema, ın cazul recurent pozitiv ni se propunemasura µ = (µe)e∈E , cu µe = 1

me, drept candidat de masura invarianta.

Totusi, ın cazul nul recurent numerele me, e ∈ E, nu sunt finite si de aceea,nu putem spera sa obtinem o masura invarianta ın acelasi mod. De faptvom arata ca numerele mi,e, e ∈ E, care, conform cu corolarul 11.2, suntproportionale cu numerele µe, e ∈ E, ın cazul pozitiv recurent, sunt finiteıntotdeauna. De aceea, ne vom concentra ın continuare asupra unor lemetehnice legate de numerele mi,e.

Mai ıntai, vom fixa un punct i ∈ E si vom nota E0 = E\ i . Pentrua nu fi triviala discutia, vom presupune ca E0 = ∅. Apoi definim T : Ω →N∪∞ , punand T (ω) = inf n ∈ N/Xn (ω) = i . Se verifica fara problemeca acesta este un timp de oprire. El nu difera prea mult de timpul Ti,deoarece evident avem T = Ti pe X0 = i si T = 0 pe X0 = i . Vom mainota Yn : Ω → E, n ∈ N, aplicatiile definite prin Yn (ω) = Xn∧T (ω) . Acesteadefinesc procesul (Yn)n∈N , care coincide cu procesul canonic (Xn)n∈N pana lamomentul T (ω) . Dupa acest moment procesul nou definit ramane ınghetatın starea fixa i. Se spune ca (Yn)n∈N este procesul canonic stopat la momentulprimei intrari ın starea i. Retinem urmatoarele proprietati.

1. Daca n ≥ T (ω) , atunci Yn (ω) = i.

2. Daca n < T (ω) , atunci Yn (ω) ∈ E0.3. Procesul (Yn)n∈N este adaptat filtratiei canonice (Fn)n∈N .


Introducem urmatoarea matrice p′ =(p′ej

)e,j∈E

, definita prin p′ej = pej,

daca e ∈ E0 si j ∈ E, iar p′ii = 1, p′ij = 0, daca j ∈ E0. Se verifica imediatca aceasta este o matrice stochastica. Punctul i este absorbant pentru lantulMarkov omogen cu probabilitatile de trecere determinate de matricea p′.Aceasta ınseamna ca P

′i, probabilitatea lantului cu repartitia initiala δi siprobabilitatile date de p′, este concentrata pe traiectoria constanta ωi =(i, i, ...) , adica are loc relatia P i (ωi) = 1. Lasam cititorului verificareaacestui fapt.

Introducem si notatia q =∑∞

n=0 (p′)n , unde matricea (p′)0 este luata,cum este obiceiul, drept matricea identitate. Deci (p′)0ej = δej, simbolul luiKronecker.

4. Observam ca restrictia matricei q la multimea E0, pe care o notamq|E0

, se poate exprima ın functie de restrictia matricei p la E0, notata p|E0,

sub forma q|E0 =∑∞

n=0

(p|E0

)n. Ca sa verificam acest lucru este suficient

sa observam ca pentru fiecare putere de ordin n ∈ N∗ are loc egalitatea(p′)n

|E0=

(p|E0

)n. De exemplu, pentru n = 2 avem de verificat ca, luand

punctele e, j ∈ E0, are loc egalitatea

(p′)2ej =

∑o∈E

p′eop′oj =

∑o∈E0

peopoj =(p|E0

)2

ej.

Cu aceste notatii putem enunta urmatoarea propozitie, ce descrie princi-palele proprietati ale obiectelor introduse.

Propozitia 11.3 Fie µ = (µe)e∈E o masura de probabilitate pe E.(i) Sub masura P µ, procesul (Yn)n∈N este un lant Markov omogen cu

probabilitatile de trecere determinate de matricea stochastica p′.(ii) Starile din E0 sunt tranziente pentru masurile P ′,e, e ∈ E, asociate

matricei p′. In particular, pentru orice j ∈ E0, are loc relatia∑e∈E

µeqej < ∞.

(iii) Pentru orice j ∈ E0, este satisfacuta egalitatea∑e∈E0

qjepei = 1.

Demonstratie. (i) Avem de calculat mai ıntai expresii de tipul

P µ (Y0 = e0, Y1 = e1, ..., Yn = en) .


Pentru aceasta vom exprima multimea a carei probabilitate dorim sa o cal-culam ın trei expresii diferite astfel

Y0 = e0, ..., Yn = en =

X0 = e0, ..., Xn = en cazul (a)X0 = e0, ..., Xk−1 = ek−1, Xk = i cazul (b)

∅ cazul (c),

unde cele trei cazuri sunt urmatoarele:(a) e0, e1, ..., en ∈ E0;(b) e0, ..., ek−1 ∈ E0 si ek = ... = en = i, pentru un anumit 0 ≤ k ≤ n;(c) exista un indice 0 < k ≤ n astfel ca ek−1 = i si ek = i.Lasam cititorului grija de a verifica faptul ca aceste trei cazuri clasifica

si epuizeaza toate posibilitatile, iar expresia multimii ce ne intereseaza seexprima ın termenii procesului canonic asa cum sta scris mai sus. Verificarease bazeaza ın primul rand pe proprietatile 1. si 2. de mai sus. Atunci, pebaza egalitatii de multimi, deducem

P µ (Y0 = e0, Y1 = e1, ..., Yn = en) =

µe0pe0e1...pen−1en cazul (a)µe0pe0e1 ...pek−1i cazul (b)

0 cazul (c),

care este totuna cu

P µ (Y0 = e0, Y1 = e1, ..., Yn = en) = µe0p′e0e1

...p′en−1en,

ın toate cele trei cazuri. Din aceasta relatie rezulta afirmatia (i).(ii) Vom defini aplicatia Γ : Ω → Ω, ın felul urmator

Γ (ω) = (Y0 (ω) , Y1 (ω) , ...) ,

adica o traiectorie din Ω este transformata ıntr-o alta traiectorie prin procesul(Yn)n∈N . Propozitia 9.7 ne asigura ca aplicatia Γ este masurabila si ca areloc egalitatea P µ Γ−1 = P ′µ. Vom mai nota

Λ = ω ∈ Ω/T (ω) < ∞, Xn (ω) = i, ∀n ≥ T (ω)

si este clar ca are loc egalitatea

Λ =

∞⋃n=0

(n−1⋂k=0

Xk ∈ E0 ∩∞⋂

k=n

Xk = i)

,


care arata ca Λ ∈ F . Pe de alta parte, pe baza proprietatilor 1. si 2. de maisus, se verifica imediat egalitatea Γ−1 (Λ) = T < ∞ .

Pe de alta parte, avem T = Ti pe fiecare din multimile Ωe = X0 = e , e ∈E0. Cum P e (Ωe) = 1 si P e (Ti < ∞) = 1, rezulta P e (T < ∞) = 1. Aplicandrelatia P µ Γ−1 = P ′µ cu µ = δe, se deduce ca, pentru orice e ∈ E0,

P ′e (Λ) = P e(Γ−1 (Λ)

)= P e (T < ∞) = 1.

Din ınsasi definitia multimii Λ, rezulta ca o traiectorie ω apartinand acesteimultimi nu se mai ıntoarce ın starile din E0 dupa momentul finit T (ω) si, prinurmare, ηe (ω) < ∞. De aceea variabila ηe este P ′e − a.s. finita, pentru oricee ∈ E0. Deci starile din E0 sunt tranziente pentru probabilitatile lantuluideterminat de p′. Fie j ∈ E0 o stare fixata. Pentru orice e ∈ E, conform cuteorema 10.1, avem

E ′eηj =∞∑

n=1

p′nej =E ′e (Tj < ∞)

1 − E ′j (Tj < ∞).

De aceea putem calcula, pentru masura µ,

∑e∈E

µeqej =∑e∈E

µe

(δej +

∞∑n=1

p′nej

)= µj +

1

1 − E ′j (Tj < ∞)E ′µ (Tj < ∞) ,

care este un numar finit.(iii) Pentru j ∈ E0 are loc egalitatea

(p′)nji = P ′j (Xn = i) = P j (Yn = i) .

Pe de alta parte, este adevarata egalitatea de multimi Yn = i = T ≤ nsi atunci ultima expresie devine

= P j (T ≤ n) = P j (Ti ≤ n) .

Deoarece P j (Ti < ∞) = 1, rezulta limn→∞ (p′)nji = 1.

Sa exprimam acum (p′)nji ın termenii matricei p′. Inductiv calculam

(p′)n+1ji =

∑e∈E

(p′)nje p′ei = (p′)n

ji +∑e∈E0

(p′)nje pei =

= p′ji +∑e∈E0

p′jepei + ... +∑e∈E0

(p′)nje pei =

∑e∈E0

(n∑

k=0

(p′)kje

)pei.


Rezulta ca limn→∞ (p′)nji =

∑e∈E0

qjep, ceea ce conduce la relatia din enunt.

Putem acum sa enuntam principalul rezultat pe care l-am urmarit.

Teorema 11.3 Numerele mij, j ∈ E0, sunt finite si au expresia

mij =∑e∈E0

pieqej.

Completand aceste numere cu mii = 1, se obtine o masura σ−finita, m =(mij)j∈E , care este invarianta.

Demonstratia acestei teorema va rezulta din lemele care urmeaza. Vomfixa o stare j ∈ E0 si vom defini variabila ξ (ω) =

∑0≤n<Ti(ω) 1j (Xn (ω)) ,

care difera de variabila notata ξ0 ın sectiunea precedenta, eventual, printr-ounitate. De fapt, se poate verifica relatia ξ (ω) = ξ0 (ω) + 1j (X0 (ω)) .

Lema 11.4 Are loc egalitatea

mij = Eiξ0 =∑e∈E0

pieEeξ.

Demonstratie. Observam ca pe multimea X1 = i , are loc relatiaTi = 1 si, prin urmare, ξ0 = 0. Pe de alta parte, pe multimea X1 = i , areloc relatia Ti = 1 + Ti θ, astfel ca putem scrie

ξ0 = 1X1 =iξ θ.

Luand media obtinem

Eiξ0 = Ei [ξ θ; X1 = i] =∑e∈E0

Ei [ξ θ; X1 = e] =∑e∈E0

P i (X1 = e) Eeξ,

unde la ultimul semn de egalitate am utilizat proprietatea Markov ın formadata de cea de a doua relatie din propozitia 9.6. Cum P i (X1 = e) = pie,rezulta formula din enunt.

Lema 11.5 Pentru orice punct e ∈ E0 are loc formula Eeξ = qej.


Demonstratie. Se porneste de la observatia ca pe multimea X0 ∈ E0are loc egalitatea

ξ =

∞∑n=0

1j (Yn) = 1j (X0) + ηj (Γ) ,

unde Γ este aplicatia ce am utilizat-o si ın demonstratia propozitiei 11.3.Atunci, pentru orice e ∈ E0, se deduce

Eeξ = δej + Ee [ηj (Γ)] = δej + E ′eηj = δej +

∞∑n=1

(p′)nej = qej ,


Demonstratia teoremei. Prin utilizarea succesiva a celor doua lemeanterioare avem

mij =∑e∈E0

pieEeξ =

∑e∈E0

pieqej ,

Finitudinea acestor numere este asigurata de propozitia 11.3(ii).Ramane sa probam invarianta masurii definite de numerele mij . Mai ıntai

vom verifica relatia ce corespunde lui i :∑j∈E

mijpji = pii +∑j∈E0

∑e∈E0

pieqejpji.

Tinand cont de punctul (iii) din propozitia 11.3, se deduce ca ultima expresiedevine

= pii +∑e∈E0

pie = 1 = mii.

Pentru a verifica relatia de invarinta ce corespunde unui punct o ∈ E0,avem de calculat ∑

j∈E

mijpjo = pio +∑j∈E0

∑e∈E0

pieqejpjo =

= pio +∑e∈E0

pie

∑j∈E

qejp′jo.

Tinand cont de expresia ce defineste q, se constata ca are loc relatia qp′ =q − (p′)0 , astfel ca ultima expresie devine

= pio +∑

e∈E0pie (qeo − δeo) =

=∑

e∈E0pieqeo = mio.


Cu aceasta am ıncheiat demonstratia.

Urmatoarea problema pe care ne-o punem este cea a unicitatii masurii in-variante. Dupa cum am vazut ın lema 11.3, ın cazul existentei unei masuri deprobabilitate invariante, aceasta are o expresie unica. Teorema care urmeazaarata ca avem unicitate ın general.

Teorema 11.4 Daca µ, µ′ sunt doua masuri invariante nenule, atunci existaun numar a > 0 astfel ıncat µ = aµ′.

Demonstratia va rezulta din urmatoarele leme.

Lema 11.6 Fie µ = (µe)e∈E o masura σ−finita si invarianta. Daca existae ∈ E cu proprietatea µe = 0, atunci µ = 0.

Demonstratie. Fie un alt punct j = e. Datorita ipotezei care asiguraca toate punctele din E formeaza o singura clasa, va exista un ıntreg n ≥ 1astfel ca pn

je > 0, conform cu propozitia 10.1. Rezulta

0 = µe =∑o∈E

µ0pnoe ≥ µjp

nje,

ceea ce implica µj = 0.

Lema 11.7 Daca o masura σ−finita, µ = (µe)e∈E , satisface relatia µp ≤ µ,atunci ea este invarianta.

Demonstratie. Relatia pe care o satisface µ este o inegalitate ıntremasuri si ea revine la ∑

j∈E

µjpje ≤ µe, ∀e ∈ E.

Presupunem ca masura µ nu ar fi invarianta si atunci diferenta ν = µ − µpar fi o masura nenula. Vom face urmatorul calcul

n∑k=0

νpk = µ − µp + µp − µp2 + ... + µpn − µpn+1 = µ − µpn+1,

care arata ca, trecand la limita, avem∑∞

k=0 νpk ≤ µ. Cum ν este nenula vaexista un punct e ∈ E astfel ca νe > 0. Relatia anterioara scrisa pentru acestpunct permite sa deducem

∞∑k=0

νepkee ≤

∞∑k=0

∑j∈E

νjpkje ≤ µe < ∞.


Cum punctul e, ca oricare altul din E, este recurent, rezulta ca∑∞

k=0 pkee =

∞. Aceasta vine ın contradictia cu inegalitatea stabilita mai sus. De aceeatrebuie sa avem νe = 0, pentru orice e ∈ E, ceea ce ınseamna ca µ esteinvarianta.

Demonstratia teoremei. Fie un punct e ∈ E astfel ıncat µ′e > 0 si

sa punem a = µe

µ′e. Notam λ = aµ′ si observam ca λ este o masura invarianta

si λe = µe. Introducem apoi masura ν = (νi)i∈E , definita prin νi = λi ∧ µi,pentru orice i ∈ E. Se constata ca νe = λe = µe si ın plus au loc inegalitatilede masuri ν ≤ λ, ν ≤ µ. Aceste inegalitati conduc la νp ≤ λp = λ si νp ≤µp = µ, iar de aici se obtine νp ≤ ν. Lema anterioara ne spune ca ν este omasura invarianta. Diferenta λ−ν este o masura invarianta care se anuleazaın e. Din lema 11.6 rezulta ca ea se anuleaza, deci λ = ν.

La fel, diferenta µ − ν reprezinta o masura invarianta ce se anuleaza ıne, ceea ce conduce la egalitatea µ = ν. Am obtinut astfel egalitatea λ = µ,ceea ce ıncheie demonstratia.

Ramane acum sa discutam cazul special de recurenta pozitiva. Anume,ın lema 11.3 am vazut ca existenta unei masuri de probabilitate invarianteimplica faptul ca lantul este recurent pozitiv. Urmatoarea propozitie com-pleteaza ideea proband implicatia inversa.

Propozitia 11.4 Daca lantul este pozitiv recurent, atunci orice masura in-varianta este finita. Masura de probabilitate invarianta este data de µ =(µe)e∈E unde µe = 1

me, e ∈ E.

Demonstratie. Din propozitia 11.1 stim ca masura construita ın teo-rema 11.3 este proportionala cu masura µ, definita ın enunt. De aici rezultaca masura µ este invarianta. Ramane de aratat ca este finita si chiar oprobabilitate.

Revenim la notatiile anterioare legate de punctul fix i, cand am pus E0 =E\ i . Dar variabila ξ0, care era asociata unui punct j = i, va fi acum notataξj =

∑0<l<Ti

1j (Xl) , pentru a pune ın evidenta dependenta de starea j.Dorim sa calculam suma∑

j∈E,j =i

ξj (ω) =∑

0<l<Ti(ω)

∑j∈E,j =i

1j (Xl (ω)) .

Deoarece 1E0 =∑

j∈E01j si Xl (ω) ∈ E0, daca 0 < l < Ti (ω) , rezulta ca

expresia anterioara se scrie si astfel

=∑

0<l<Ti(ω)

1E0 (Xl (ω)) =∑

0<l<Ti(ω)

1 = Ti (ω) − 1.


Putem scrie deci∑

j∈E,j =i ξj = Ti − 1. Luand media deducem∑

j∈E,j =i

mij =∑

j∈E,j =i

Eiξj = mi − 1.

Impartim aceasta relatie cu mi, si obtinem∑

j∈E µj = 1.

Bibliografie

[1] J. Bertoin, Cours de Probabilites, Internet, 1999.

[2] P. Billingsley, Probability and Measure, editia a doua, John Wiley &Sons, New York - Chichester - Brisbane - Toronto - Singapore, 1986.

[3] Ph. Bougerol, Processus de Sauts et Files d’Attente. Cours DEA, Inter-net, 2002.

[4] K.L. Chung, Elementary Probability Theory with Stochastic Processes,editia a doua, Springer, New York - Heidelberg - Berlin, 1975.

[5] K.L. Chung, Markov Chains with Stationary Transition Probabilities,editia a doua, Springer, New York - Heidelberg - Berlin, 1967.

[6] Gh. Ciucu, C. Tudor, Teoria Probabilitatilor si Aplicatii, Editurastiintifica si enciclopedica, Bucuresti, 1983.

[7] I. Cuculescu, Teoria probabilitatilor, Editura All, Bucuresti, 1998.

[8] D. Dacunha -Castelle, M. Duflo, Probabilites et statistiques, tome 1,Masson, Paris - Milan - Barcelone - Mexico, 1990.

[9] M. Duflo, Random Iterative Models, Springer, Berlin - Heidelberg - NewYork , 1997.

[10] W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications,vol.1, editia a treia, John Wiley & Sons, New York - London - Sidney,1968.

[11] S. Grigorescu, M. Iosifescu, Gh. Oprisan, Gh. Popescu, Elemente deModelare Stohasica, Editura tehnica, Bucuresti, 1984.

241

242 BIBLIOGRAFIE

[12] D. Guinin, B. Joppin, Mathematiques, Terminale S, Breal, Rosny, 1998.

[13] M. Iosifescu, Lanturi Markov finite si aplicatii, Editura tehnica, Bu-curesti, 1977.

[14] M. Iosifescu, Gh. Mihoc, R. Theodorescu, Teoria Probabilitatilor siStatistica Matematica, Editura tehnica, Bucuresti, 1966.

[15] J. Jacod, Cours de Probabilites, Internet, 1999.

[16] J. Kemeny, J.L. Snell, A.W. Knapp, Denumerable Markov Chains, editiaa doua, Springer, New York - Heidelberg - Berlin, 1976.

[17] J. Lacroix, Chaınes de Markov et Processus de Poisson, Cours DEA,Internet, 2002.

[18] R.J. Larsen, M.L.Marx, Mathematical Statistics and Its Applications,Prentice - Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1986.

[19] M. Nicolescu, Functi reale si elemente de topologie, Editura Didacticasi Pedagogica, Bucuresti, 1968.

[20] O. Onicescu, Calculul probabilitatilor, Editura tehnica, Bucuresti, 1956.

[21] O. Onicescu, Gh. Mihoc, Calculul Probabilitatilor, Bucuresti, 1939.

[22] O. Onicescu, Gh. Mihoc, C.T. Ionescu Tulcea, Calculul probabilitatilorsi aplicatii, Editura Academiei, Bucuresti, 1956.

[23] E. Partzen, Modern Probability Theory and Its Applications, John Wi-ley & Sons, New York - London, 1960.

[24] J. Pitman, Probability, editia a sasea, Springer Texts in Statistics,Springer, 1997.

[25] A. Renyi, Probability Theory, Academiai Kiado, Budhapest, 1970.

[26] S. M. Ross, Introduction to Probability Models, Academic Press, NewYork - San Francisco - London, 1985.

[27] J.V. Uspenski, Introduction to Mathematical Probability, McGrow-HillBook Company, New York - Toronto - London, 1937.

introducereˆın calculul probabilit˘at¸ilor (modele...

Documents