Ministerul Educaţiei şi Tineretului al Republicii MoldovaUniversitatea Tehnică a Moldovei

FCIM

Specialitatea Calculatoare

Disciplina: Teoria probabilităților și a informației

R A P O R TLucrarea de laborator nr.2

la TPI

Tema: Teoria probabilității, algebra probabilității,forma probabilității totale și formula Bayes

A îndeplinit st. gr. C-113 PogoneaGheorghi

A verificat lector asistent Lisnic Inga

Chişinău 2011

Rezolvare:Problema 1

Se aruncă un zar de două ori. Să se calculeze probabilităţile evenimentelor aleatoare: 1) A = suma numerelor apărute nu întrece m2) B = suma numerelor apărute este egală cu r3) G = produsul numerelor apărute este mai mare ca n

20) m=8, n=13, r=6 ;Rezolvare:

Reprezentăm în tabele cazurile favorabile şi cele total posibile:

P(A ) = m1/n, unde m1 – cazuri favorabile n – cazuri total posibile

Cum m1=26, iar n=36, Aplicăm Sistemul Mathematica.In1:=N26/36Out1= 0.722222Am obţinut P(A)= 0.722222

P(B) = m2/n, unde m2 – cazuri favorabile n – cazuri total posibile

Cum m1=5, iar n=36, Aplicăm Sistemul Mathematica.In2:=N5/36Out2= 0.138889Am obţinut P(B)= 0.138889

P(C)= m3/n, unde m3 – cazuri favorabile n – cazuri total posibile

Cum m3=19, iar n=36, Aplicăm Sistemul Mathematica.In3:=N13/36Out3= 0.361111 Am obţinut P(C)= 0.361111

11 12 13 14 15 1621 22 23 24 25 2631 32 33 34 35 3641 42 43 44 45 4651 52 53 54 55 5661 62 63 64 65 66

Problema 2 Într-un lot care conţine n piese de acelaşi tip sunt 8 piese cu careva defect. Se

extrag fără revenire 6 piese. Dacă toate piesele extrase sunt calitative, atunci lotul este acceptat, iar în caz contrar este refuzat. Să se calculeze probabilitatea evenimentului A = lotul este acceptat. Parametrul n este egal cu 100 plus numărul variantei.

n=120

Rezolvare:Notăm: Ai = piesa cu numărul de extragere i este calitativă, i = 1, 2, 3, 4, 5,6. Are loc egalitatea:

.Conform formulei formula de înmulţire a probabilităţilor avem:

.

Aplicăm Sistemul Mathematica:1metodă

Out4= 1.1066

Problema3  Un aparat constă din trei elemente care în timpul funcţionării lui pot să se deterioreze independent unul de altul. Notăm: Ai = elementul i se deteriorează, i = 1, 2, 3. Se cunosc probabilităţile acestor evenimente: p1 = P(A1) , p2 = P(A2), p3 = P(A3), valorile cărora sunt date pe variante după enunţul exerciţiului. Să se calculeze probabilităţile evenimentelor: A = nu se deteriorează nici un element, B = se deteriorează un singur element, C = se deteriorează două elemente, D = se deteriorează toate elementele, E = primul element nu se deteriorează.

p1 = P(A1)=0,8, p2 = P(A2)=0,7, p3 = P(A3)=0,5

Rezolvare

In5:=N(1-0.8)*(10.7)*(10.5)Out7=0.03Am obţinut P(A)= 0.03

In8:=N0.8*(10.7)*(10.5)+ 0.7* (10.8)* (10.5)+ 0.5* (10.8)*(10.7)Out8= 0.22

Am obţinut P(B)=0.22

In9:=N(1-0.9)*0.8*0.6+0.9*(1-0.8)*0.6+0.9*0.8*(1-0.6)Out9= 0.44Am obţinut P(C)= 0.44

In10:=N0.9*0.8*0.6Out10= 0.432Am obţinut P(D)=0.432

In11:=N(1-0.9)*0.8*0.7Out11= 0.048Am obţinut P(E)= 0.048

Problema 4Un magazin primeşte pentru vânzare articole cu exterioare identice fabricate la trei

uzine în proporţie de: n1=10% de la uzina nr.1, n2=50% de la uzina nr.2 şi n3=40% de la uzina nr.3. Procentele de articole defectate sunt: m1=2 pentru uzina nr.1, m2=4 pentru uzina nr.2 şi m3=4 pentru uzina nr.3. Valorile parametrilor se conţin, pe variante, după enunţul exerciţiului. !) Care este probabilitatea ca un articol cumpărat să fie calitativ? 2) Un articol luat la întâmplare este defectat. Care este probabilitatea că acest articol a fost fabricat la uzina nr.k.=2

RezolvareNotăm: A = piesa luată la întâmplare este calitativă. În raport cu faptul care uzină a fabricat piesa luată pot fi enunţate ipotezele: Hi = piesa luată a fost fabricată de uzina nr.i, i = 1, 2, 3. P(H1) = 20/100 = 0,2P(H2) = 40/100 = 0,4P(H3) = 40/100 = 0,4

Cum mi din piesele fabricate de uzina i sunt rebut, rezultă că (1mi)% din piese sunt calitative.

= 0,98, = 0,96 şi = 0,96. Aplicând formula probabilităţii totale: P(A)=P(H1)P(A|H1)+ P(H2)P(A|H2)+ P(H3)P(A|H3)Aplicăm Sistemul MathematicaIn12:=N[ (0.2*0.98 + 0.4*0.96 + 0.4*0.96Out12= 0.964Am primit = 0.964

2) = piesa luată la întâmplare este rebut. = 0,02, = 0,04, = 0,04,

din formula lui Bayes, avem

Aplicăm Sistemul Mathematica

In13:=N[

Out13= 0.39843Am obţinut = 0.39843

Problema 5O monedă se aruncă de n =31 ori. Să se calculeze probabilităţile evenimentelor: A

= valoarea a apărut de k =16 ori, B = stema a apărut nu mai mult de 2 ori, C = stema nu a apărut nici o dată.

Rezolvare :Notam:A= apariţia valorii. p = P(A) = 1/2 şi q = 1p = 1/2. Formula Bernoulli pentru n =31, k = 16, p =1/2 şi q = 1/2, este

Aplicam sistemul Mathematica

In13:=

Out13= 0.00437344Am obţinut P(A)= 0.00437344

NotămB = stema a apărut nu mai mult de 2 oriP(B)=P31(1)+P31(2)

P(B)= + Aplicam sistemul Mathematica

In17:=

Out17=2.30968 107

Am obţinut P(B)= 2.30968 107

NotămC = stema nu a apărut nici o dată.

Aplicam sistemul MathematicaIn13:=

Out13= 4.65661 1010

Am obţinut P(C)= 4.65661 1010