Principiile mecanicii clasice

Menţionate în parte de către Galileo Galilei, principiile mecanicii clasice au

fost formulate pentru prima oară de Issac Newton, care le-a numit "Axiomele" sau

"Legile mişcării" în celebra sa carte „Phylosophiae naturalis principia

mathematica”. De la început ţinem să menţionăm că denumirea de corp utilizată în

formularea acestor principii trebuie înţeleasă în sensul de punct material.

1.3.1 PRINCIPIUL INERŢIEI

Are următorul conţinut:

„Un corp îşi păstrează starea de repaus sau de mişcare rectilinie şi uniformă

atât timp cât nu intervine o forţă care să-i modifice această stare”.

Observaţie:

1. Principiul inerţiei conduce la definirea forţei: numai pe seama interacţiunii

sistemelor materiale se poate transmite mişcarea de la un corp la altul. În mecanica

clasică, mărimea fizică vectorială care măsoară interacţiunea sistemelor materiale

se numeşte forţă.

2. Principiul inerţiei serveşte la definirea reperului (sistemul de referinţă) inerţial.

Ca o consecinţă a principiului inerţiei, starea de mişcare rectilinie şi uniformă a

punctului material, împreună cu cazul său particular - starea de repaus relativ se

numesc stări inerţiale.

Reperul în care orice punct material se găseşte în mişcare rectilinie şi

uniformă sau în repaus este un reper inerţial.

1.3.2. PRINCIPIUL ACŢIUNII FORŢEI

Al doilea principiu al mecanicii cunoscut sub numele de principiul

fundamental se enunţă astfel:

„Variaţia mişcării este proporţională cu forţa motoare imprimată şi este

dirijată după linia dreaptă în lungul căreia este imprimată forţa”. Având în vedere

că mişcarea mecanică este măsurată prin intermediul impulsului

variaţia mişcării se va măsura prin variaţia impulsului în timp.

Ca urmare expresia matematică a legii a doua se va scrie:

Observaţii:

1. Această lege mu este o relaţie de definiţie a forţei, ci o axiomă, de altfel forţa

este definită de principiul întâi al mecanicii.

2. Considerând masa constantă în timp relaţia de mai sus se scrie: , aceasta

este considerată „ecuaţia fundamentală a mecanicii"

Folosind definiţia acceleraţiei

relaţia devine

sau faţă de un sistem de referinţă cartezian putem scrie trei relaţii scalare de forma:

Acest sistem de trei ecuaţii diferenţiale de ordinul al doilea permite calcularea

coordonatelor şi componentelor vitezei prin integrare.

Sistemul are soluţie unică dacă sunt date condiţiile iniţiale (dacă este

cunoscută starea mecanică iniţială a corpului)

avem sau

sau

Soluţia generală a sistemului se obţine prin integrarea ecuaţiilor diferenţiale cu

coeficienţi constanţi

unde constantele sunt constante de integrare care se determină din

condiţiile iniţiale ale problemei.

Determinarea stării mecanice a punctului material la un moment dat se face

conform schemei ce reprezintă determinismul mecanicii clasice; arată în fiecare

moment modul cum s-a desfăşurat mişcarea anterior momentului şi cum se

desfăşoară în continuare.

Starea iniţială F starea finală

ecuaţia fundamentală

În condiţii fizice date un punct material evoluează prin stări fizice compatibile cu

starea iniţială, parametrii corespunzători fiind soluţii ale ecuaţiei diferenţiale

(traiectoriile sunt unic determinate).

3. Newton a completat legea a doua prin următorul corolar „Un corp sub acţiunea

a două forţe unite descrie diagonala unui paralelogram în acelaşi timp în care

descrie laturile sub acţiunile separate ale forţelor”.

Acest corolar atestă independenţa acţiunii forţelor postulând valabilitatea

principiului suprapunerii efectelor.

Corolarul I este numit principiul independenţei acţiunilor forţelor sau principiul

paralelogramului, deoarece postulează atât independenţa acţiunii forţelor cât şi

valabilitatea regulii paralelogramului. Matematic acesta se va scrie:

4. Dacă forţele aplicate punctului material au rezultanta nulă, punctul material este

în echilibru:

sau

1.3.2.1. Aplicaţii la principiul al doilea

- mişcarea în câmp gravitaţional;

- mişcarea oscilatorie armonică amortizată forţat.

1.3.3. PRINCIPIUL ACŢIUNILOR RECIPROCE

Al treilea principiu al mecanicii are următorul conţinut:

„La orice acţiune corespunde întotdeauna o reacţiune egală şi contrară”

sau:

„acţiunile reciproce a două corpuri sunt întotdeauna egale şi dirijate în

sensuri contrare”

Observaţii:

1. Legea a treia exprimă dualismul forţelor din natură: apariţia unei acţiuni este

însoţită simultan de reacţiunea sa egală şi direct opusă.

2. Acţiunea şi reacţiunea nu se echilibrează reciproc deoarece se aplică la

puncte materiale diferite. Această ultimă formulare exprimă un echilibru formal

(fictiv) între forţele de interacţiune.

1.3.4. PRINCIPIUL RELATIVITĂŢII CLASICE

Se enunţă astfel:

„Dacă legile mecanicii newtoniene sunt valabile într-un sistem de referinţă

inerţial dat, ele vor fi valabile în orice sistem de referinţă care se mişcă

rectilinii! şi uniform faţă de primul.”

Localizarea poziţiei,respectiv, determinarea mişcării unui obiect în spaţiu, fiind

posibilă prin raportarea acestuia la un sistem de referinţă convenabil ales, se pune

problema stabilirii relaţiilor de dependenţă dintre mărimile ce caracterizează

poziţia respectiv mişcarea obiectului, într-un sistem de referinţă şi cele care

rezultă în urma trecerii la un alt sistem de referinţă.

1.4.3.PRINCIPIUL CELOR MAI MICI CONSTRÂNGERI

Considerăm un sistem dinamic olonom ale cărui puncte materiale au poziţiile

la un moment dat şi sunt solicitate de forţa rezultantă se poate defini

constrângerea prin relaţia:

K.F. Gauss enunţă acest principiu sub forma:

„Constrângerea unui sistem fizic este minimă pentru mişcarea reală a unui

sistem de puncte materiale, faţă de constrângerea la mişcările posibile din

punct de vedere cinematic al sistemului”.

Matematic această afirmaţie se postulează prin:

APLICAŢII LA PRINCIPIILE VARIAŢIONALE DIFERENŢIALE

1.4.4 PRINCIPIUL LUI HAMILTON

Acest principiu face parte din principiile integrale ale mecanicii analitice care

postulează proprietăţile unor expresii integrale, din care rezultă ecuaţiile de

mişcare. Este un principiu variaţional, adică exprimă proprietăţile de extrem ale

unei funcţii.

Principiul lui Hamilton are următorul enunţ:

„În cazul unui sistem dinamic olonom-reonom şi conservativ cu f grade de libertate,

a cărui funcţie de stare (funcţia Lagrange) conţine

explicit timpul, integrala de acţiune(acţiunea hamiltoniană)

luată între poziţia iniţială a sistemului de puncte materiale şi poziţia sa finală pe

drumul mişcării reale a sistemului, are valoarea staţionară în raport cu acţiunile

corespunzătoare unor drumuri compatibile cu legăturile care s-ar efectua de către

sistem între aceleaşi poziţii iniţială şi finală, corespunzătoare aceloraşi momente de

timp”. Formularea matematică este:

Observaţii:

1. Principiul lui Hamilton este un principiu fundamental deoarece poate fi extins,

prin alegerea adecvată a funcţiei lui Lagrange şi la mecanica relativistă şi la

mecanica cuantică.

2. Max Planck consideră principiul lui Hamilton ca prima lege a naturii.

3. Calculul acţiunii S presupune cunoaşterea funcţiei Lagrange şi de asemenea

cunoaşterea drumului de integrare.

4. Funcţia lui Lagrange se defineşte prin relaţia L=EC- U.

1.4.5. PRINCIPIUL MINIMEI ACŢIUNI( Principiul lui Maupertuis)

Acest principiu a fost stabilit de Maupertuis în anul 1745 în lucrarea "Les lois du

mouvement et du repos deduites d' un principe metaphysique". El şi-a formulat

acest principiu direct, fară alte demonstraţii ştiinţifice, afirmând că,de câte ori se

produce mişcarea unui sistem în natură, sistemul considerat trebuie să lucreze

astfel încât integrala produsului dintre masă, viteză şi spaţiu pe intervalul de spaţiu

şi de timp dintre două poziţii succesive date,să fie minimă. Cantitatea (mvs) fiind

numită acţiune a dat numele principiului. Acest principiu s-a dovedit a fi un caz

particular al principiului lui Hamilton pentru sisteme conservative(energia şi

funcţia Lagrange nu depind de timp. Din expresiile energiei totale şi a funcţiei

Lagrange rezultă:

Se exprimă funcţia Lagrange, care se introduce apoi în expresia principiului lui

Hamilton.

rezultă

Variaţia acţiunii se va scrie

sau

Observaţii:

1. Dacă se consideră un sistem de puncte materiale în echilibru, deci, la care

rezultanta foiţelor aplicate Fk, a foiţelor de legătură exterioare Nk şi a forţelor de

legătură interioare NH este nulă, lucrul mecanic corespunzător va fi nul.

Ţinând seamă de prima formulare a principiului deplasărilor virtuale, rezultă o a

doua formulare a acestuia, şi anume:

„Condiţia necesară şi suficientă ca un sistem de puncte materiale să se afle în

echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe date, este ca lucrul mecanic

virtual al acestor forţe corespunzător deplasărilor virtuale să fie nul.”

2. Un caz particular al principiului lucrului mecanic virtual este principiul lui

Toricelli, care corespunde cazului în care forţele exterioare se datorează exclusiv

greutăţii proprii a acestor puncte materiale.

Notăm cu mi masa unui punct material oarecare al sistemului şi cu zi cota sa;

principiul lucrului mecanic virtual se va scrie:

În cazul echilibrului unui sistem de puncte materiale, centrul de greutate al acestuia

ocupă o poziţie extremă.

3. O altă observaţie se referă la faptul că în unele aplicaţii principiul lucrului

mecanic virtual este înlocuit cu principiul vitezelor virtuale.

Vom prezenta în continuare aceste principii urmărindu-se aplicarea lor în

rezolvarea problemelor de mişcare şi stabilirea unor ecuaţii de mişcare.