modele clasice curs master

123
Modele clasice în ştiinţe Notiţe de curs pentru studenţii la Master : Informatică aplicată în ştiinţe, tehnică şi economie Ştefan Balint, Loredana Tănasie

Upload: dana-ruta

Post on 28-Apr-2015

80 views

Category:

Documents


9 download

TRANSCRIPT

Page 1: Modele Clasice Curs Master

Modele clasice în ştiinţe

Notiţe de curs pentru studenţii la Master :

Informatică aplicată în ştiinţe, tehnică şi economie

Ştefan Balint, Loredana Tănasie

Page 2: Modele Clasice Curs Master

Cuprins

1. Modelarea matematică ...............................................................................2

2. Consideraţii euristice despre spaţiul fizic şi modelul matematic

Euclidian al spaţiului fizic .............................................................................4

3. Câteva consideraţii euristice despre timp şi modelul matematic

al timpului ....................................................................................................13

4. Modelarea matematică a corpurilor .........................................................15

5. Despre noţiunea de mişcare şi descrierea matematică a mişcării punctului

material ........................................................................................................16

6. Un model de balistică exterioară .............................................................20

7. Un model planetar....................................................................................26

8. Un model de satelit artificial....................................................................36

9. Modelul atomic al lui Bohr......................................................................39

10. Modelul de pendul neliniar ....................................................................41

11. Model pentru vibraţia transversală coardelor

instrumentelor muzicale...............................................................................45

12. Model pentru vibraţia longitudinală a barelor. ......................................54

13. Model pentru vibraţiile transversale ale membranelor ..........................58

14. Model pentru dinamica gazelor. Unde de şoc .......................................62

15. Model pentru dinamica sorbţiei gazelor ................................................68

16. Model pentru propagarea căldurii prin conducţie

în corpuri mărginite ....................................................................................71

17. Model pentru îngheţare (solidificare) ....................................................79

18. Model pentru propagarea undelor de temperatură în sol.......................82

Page 3: Modele Clasice Curs Master

19. Model pentru transport de căldură prin conducţie şi convecţie

în spaţiul 3D.................................................................................................86

20. Model pentru transport de căldură prin conducţie, convecţie

şi radiaţie (1D) .............................................................................................89

21. Model pentru dinamica fluidelor ideale (gaze şi lichide ideale). Curgerea

lichidelor ideale............................................................................................90

22. Model pentru propagarea sunetului .......................................................97

23. Transportul de materie prin difuziune. Difuzia unui nor.....................100

24. Model pentru vibraţiile unor volume mărginite ..................................106

25. Model de propagare a undelor seismice ..............................................109

26. Model pentru propagarea undelor electromagnetice ...........................111

27. Model de propagare a undelor radio deasupra

suprafeţei Pământului ................................................................................116

28. Model de transport de substanţă prin convecţie şi difuzie ..................120

Page 4: Modele Clasice Curs Master

1. Modelarea matematică.

Modelarea matematică este un concept greu de definit. Într-o primă înţelegere este matematică

aplicată în fizică, chimie, biologie, economie.

După părerea lui A. C. Fowler exprimată în cartea: Mathematical models in the applied

sciences, Cambridge University Press 1998: „nu există reguli şi nici o înţelegere clară privitoare la

calea corectă ce trebuie urmată în modelarea matematică. De aceea există doar câteva texte care

abordează acest subiect într-un mod serios. Modelarea matematică se învaţă prin practică prin

exerciţiu pe multe exemple”.

Matematicienii care fac matematici aplicate au un procedeu, aproape o filozofie, pe care-l

aplică atunci când construiesc modele.

Înainte de toate aleg un fenomen care prezintă interes şi pe care doresc să-l descrie matematic

(cantitativ) şi să-l explice. Observaţii ale fenomenului, făcute de fizicieni, chimişti, biologi,

astronomi, economişti, conduc, adesea după mult efort, la degajarea unui mecanism ipotetic care

poate explica fenomenul. Obiectivul unui model matematic al fenomenului trebuie să fie descrierea

cantitativă a mecanismului.

În mod usual descrierea cantitativă se face cu un număr de variabile, numite variabilele

modelului. Modelul matematic este un set de ecuaţii referitoare la aceste variabile.

În literatură se întâlnesc trei modalităţii de obţinere a ecuaţiilor care definesc modelul:

1. Procedeu clasic. Acesta constă în transcrierea sub formă de ecuaţie a unor legi generale cum

ar fi: legea lui Newton din mecanică; legile lui Ohm, Kirchoff, Ampere din electricitate, legea de

conservare a masei a energiei, legea de conservare a impulsului şi alte legi.

2. Procedeu bazat pe legi constitutive. Acesta constă în transcrierea sub formă de ecuaţie a

unor legi constitutive. Legile constitutive, se referă la acele variabile ale modelului care depind de

structura materialului (constituţia lui) şi stabilesc relaţii dintre asemenea variabile. Aceste relaţii pot

fi rezultatul unor experienţe (legea lui Hook) sau a unor raţionamente empirice sau postulate.

3. Procedeu bazat pe „legi ipotetice”. Această constă în transcrierea sub formă de ecuaţie a

unor „legi ipotetice” şi se întâlneşte atunci când nu există o lege precisă referitoare la fenomen.

De exemplu legea Lottka-Voltera.

Analiza modelului matematic înseamnă elucidarea existenţei, unicităţii, comportării

soluţiilor ecuaţiilor modelului precum şi calcularea numerică a soluţiilor. Analiza conduce la

2

Page 5: Modele Clasice Curs Master

rezultate ce pot fi comparate cu observaţii. Mai mult analiza conduce şi la predicţii privind

desfăşurarea fenomenului. Dacă aceste predicţii se adeveresc, ele conferă autenticitate modelului.

Este important de reţinut că toate modelele sunt idealizări şi sunt limitate în ceea ce priveşte

aplicabilitatea lor.

De fapt, în mod curent, ne place să simplificăm, pe ideea că dacă modelul obţinut în acest fel

este corect, atunci se poate complica şi analiza acestuia este uşurată de analiza versiunii

simplificate.

Bibliografie:

1. A.C. Fowler: Mathematical models in applied Sciences; Cambridge Univerity Press 1998.

3

Page 6: Modele Clasice Curs Master

2. Consideraţii euristice despre spaţiul fizic şi modelul matematic

Euclidian al spaţiului fizic.

Primele cunoştiinţe relative la lumea în care trăim ne parvin pe calea senzaţiilor şi a

percepţiilor. Pe aceste căi realizăm diferite tablouri în ceea ce priveşte aşezarea corpurilor unul faţă

de altul. Cu toate că aceste tablouri se modifică în general, sesizăm situaţii în care anumite corpuri

dintr-un asemenea tablou păstrează aşezarea unul faţă de altul iar altele modifică aşezarea lor faţă

de acestea. Aceste senzaţii din urmă conduc la ideea că în afara corpurilor mai există ceva, ceva ce

ele pot păstra sau le pot părăsi. Acest ceva noi numim poziţie, sau loc. Cuvântul „acolo” din

propoziţia „Uite acolo este un avion” se referă la poziţie şi exprimă credinţa că aceasta există, a fost

şi rămâne chiar înainte ca avionul să fi ajuns acolo şi după ce avionul zboară mai departe. Credinţa

în existenţa poziţiilor fixe, independente de corpuri pe care aceste corpuri le pot ocupa şi părăsi, a

condus la ideea de existenţă al unui fel de cadru suport format din aceste poziţii în care sunt aşezate

corpurile şi care se numeşte spaţiul fizic. Locurile (poziţiile) şi spaţiul nu sunt accesibile direct prin

intermediul senzaţiilor şi a percepţiilor, locul devine sesizabil doar dacă este ocupat de un corp.

Corpurile au însă în general întinderi diferite pe care noi le descriem cu trei caracteristici:

lungime; lăţime şi înălţime. Locul eliberat de un corp poate fi prea mare sau prea mic pentru un alt

corp.

Din acest motiv este mai firesc să spunem că un corp ocupă de fapt o mulţime de locuri în

spaţiu, iar locul în sine este o entitate aşa de mică încât spre deosebire de corpuri nu are nici

lungime, nici lăţime, nici înălţime (dimensiune).

Admitem însă că locurile sunt suficient de multe şi dispuse astfel încât orice corp care are

trei dimensiuni (lungime, lăţime, înălţime) poate fi aşezat pe un ansamblu de locuri, acest ansamblu

de locuri depinde de întinderea corpului, şi odată ocupat nu mai rămâne nimic disponibil din

porţiunea de spaţiu ocupat.

Ipoteza de independenţă de corpuri materiale conferă poziţiilor şi spaţiului (ansamblul

tuturor poziţiilor) un caracter absolut. Spaţiul conceput în acest fel, independent de materie

(corpuri), nu are nici o structură materială şi este firesc să fie presupus continuu omogen şi izotrop.

Ideea că în spaţiu „încape” orice corp tridimensional pe un ansamblu de locuri, şi în zona respectivă

nu mai rămâne nimic disponibil din spaţiu, conferă calitatea de tridimensional spaţiului (ca şi

corpurile). În ceea ce priveşte întinderea, admitem că spaţiul fizic, spre deosebire de corpuri care au

întinderi limitate, este nelimitat.

4

Page 7: Modele Clasice Curs Master

Măsurarea distanţei între două poziţii din acest spaţiu fizic se face măsurând lungimea

segmentului de dreaptă ce uneşte aceste două poziţii, folosind o unitate de măsură convenţională

numită metru, care este 1/40.000.000 din lungimea meridianului ce trece prin Paris.

Primul model matematic închegat al spaţiului fizic descris mai sus a fost elaborat de Euclid.

Acest model poartă denumirea de Spaţiu Euclidian Afin 3-dimensional şi este prezentat în cadrul

disciplinei de geometrie în spaţiu la liceu precum şi în cadrul cursului de geometrie de anul întâi.

Spaţiul euclidian afin E3 este o mulţime de puncte abstracte, menite să reprezinte poziţiile (locurile)

din spaţiul fizic. Se presupune că punctele abstracte ale mulţimii E3 satisfac o serie de condiţii de

bază numite axiome ale spaţiului. De fapt prin aceste axiome se asigură structurarea mulţimii E3

după chipul spaţiului fizic.

Axiomele, construcţiile şi rezultatele de bază din acest model le presupunem cunoscute din

liceu şi din cursul de geometrie din anul 1. Dorim doar să observăm că punctele din E3 sunt fixe

(axiomele nu prevăd nici o schimbare de poziţie) aidoma poziţiilor din spaţiul fizic.

Reamintim în continuare câteva concepte şi rezultate din acest model matematic al spaţiului

fizic, care sunt folosite frecvent în diferite modele.

Două puncte A şi B din E3 determină segmentul orientat AB cu originea în şi cu vârful

în

A

B , numit vectorul legat AB .

Mulţimea tuturor segmentelor orientate cu originea în punctul A se notează cu : AE3

33 | EBABEA ∈=

şi este un spaţiu vectorial real de dimensiunea trei în raport cu operaţia de adunare a segmentelor

orientate după regula paralelogramului şi operaţia de înmulţire a unui segment orientat cu un număr

real. Spaţiul vectorial real se numeşte spaţiu tangent în punctul AE3 A la spaţiul euclidian iar

segmentele orientate din se numesc vectori tangenţi în sau vectori legaţi cu originea în .

3E

AA3E A

Produsul scalar a doi vectori AB , AC din spaţiul vectorial este prin definiţie numărul: AE3

ρcos⋅⋅=⋅ ACABACAB

unde AB respectiv AC sunt lungimile vectorilor AB respectiv AC iar ρ este unghiul cuprins

între 0 şi π format de vectorii AB şi AC .

Produsul vectorial al vectorilor AB , AC din spaţiul este prin definiţie vectorul notat cu AE3

ACAB× având originea în punctul A , direcţia perpendiculară pe planul determinat de segmentele

5

Page 8: Modele Clasice Curs Master

AB şi AC , sensul dat de sensul de înaintare al tirbuşonului aşezat perpendicular pe acest plan şi

rotit dinspre AB spre AC şi mărimea egală cu ρsin⋅⋅ ACAB .

O bază 1AB , 2AB , 3AB în spaţiu vectorial real este ortonormată dacă AE3jiji ABAB δ=⋅

pentru . 3,2,1, =ji

Un punct şi o bază ortonormată 3EO∈ 03321 ,, Eeee ∈ se numeşte reper ortogonal în .

Punctul se numeşte originea reperului iar vectorii

3E

O 321 ,, eee se numesc versorii axelor reperului.

Un reper cu originea în O şi cu versorii axelor 321 ,, eee se notează cu ( )321 ,,; eeeOR = . Un reper

ortogonal ( )3e21 ,,; eeO=R în se numeşte reper drept dacă 3E 321 ,, eee au următoarea proprietate:

321 eee =× ; 132 eee =× ; 213 eee =×

Reperul ( )321 ,,; eeeOR = se numeşte reper stâng dacă 321 ,, eee au următoarea proprietate:

321 eee −=× ; 132 eee −=× ; 213 eee −=×

Oricare ar fi reperul ortogonal ( )321 ,,; eeeOR = în el este drept sau stâng. În modelare

sunt preferate reperele drepte.

3E

Pentru orice punct vectorul 3EP∈ OP se numeşte vectorul de poziţie al punctului P faţă

de reperul ( )321 ,,; eeeOR = . Vectorul de poziţie OP este combinaţie liniară de vectorii 3,e21,ee :

332211 exexexOP ⋅+⋅+⋅=

şi sistemul ordonat de numere ( poartă numele de coordonate carteziene ale punctului )321 ,, xxx P

faţă de reperul ( )321 ,,; eeeOR = . Aceste coordonate se obţin cu următoarele formule:

( )jjj eOPOPeOPx ,cos⋅=⋅= ; 3,2,1=j .

Dacă este un al doilea punct din şi are coordonatele în reperul Q 3E ( 321 ,, yyy )

( )3e21 ,,; eeOR = , atunci au loc următoarele egalităţi:

( ) ( ) ( ) 333222111 eyxeyxeyxOQOP ⋅++⋅++⋅+=+

( ) ( ) ( ) 332211 exexexOP ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅ αααα

332211 yxyxyxOQOP ⋅+⋅+⋅=⋅

( ) ( ) ( ) 312212341312332 eyxyxeyxyxeyxyxOQOP ⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅=×

6

Page 9: Modele Clasice Curs Master

23

22

21 xxxOP ++=

( ) ( ) ( ) ( )2332

222

11, yxyxyxOQOPQPd −+−+−=−=

unde este distanţa dintre ( QPd , ) P şi Q .

Două segmente orientate AB şi CD se zic echipolente dacă mijlocul segmentului

coincide cu mijlocul segmentului . Aceasta înseamnă că segmentele orientate

AD

BC AB şi CD sunt

paralele, au aceeaşi lungime şi sens. Relaţia de echipolenţă este o relaţie de echivalenţă în mulţimea

tuturor segmentelor orientate. Ea determină o partiţie a mulţimii tuturor segmentelor orientate în

clase de echivalenţă.

Clasa segmentului orientat AB este notată cu AB iar mulţimea claselor cu 3E . O clasă de

echivalenţă se numeşte vector liber iar mulţimea 3E se numeşte spaţiul vectorilor liberi. Oricare ar

fi vectorul liber AB în 3E şi oricare ar fi punctul C în există un singur punct astfel

încât segmentul orientat

3E 3ED∈

CD să aparţină clasei AB .

Suma a doi vectori liberi AB şi CD se defineşte astfel: se consideră un punct 3EO∈ şi

vectorii 1OP , respectiv 2OP din echipotenţi cu OE3 AB ( )ABOP ∈1 respectiv CD ( )CD∈2OP şi

se face suma vectorilor legaţi 21 OP+OP în . OE3

Se obţine un vector 213 OPOPOP += a cărei clasă 3OP este prin definiţie suma vectorilor

liberi CDAB + .

3OPCDAB =+

Această definiţie este corectă pentru că nu depinde de alegerea punctului O .

Produsul dintre numărul real λ şi vectorul liber AB este prin definiţie clasa vectorului

AB⋅λ . Spaţiul vectorului liber 3E înzestrat cu aceste două operaţii este un spaţiu vectorial de

dimensiune trei şi operaţia de adunare a vectorilor liberi are proprietatea:

ACBCAB =+

Produsul scalar a doi vectori liberi AB şi CD se defineşte astfel: Se consideră 3EO∈ şi

astfel încât 321, EPP ∈ ABOP ∈1 şi CDOP ∈2 . Produsul scalar CDAB ⋅ este prin definiţie

numărul:

21 OPOPCDAB ⋅=⋅

7

Page 10: Modele Clasice Curs Master

Acest număr nu depinde de alegerea punctului şi este deci corectă. O

Deoarece toţi vectorii ce aparţin vectorului liber AB au aceeaşi lungime, lungimea

vectorului liber AB este prin definiţie lungimea unui vector din clasa AB ; 1OPABAB == .

Datorită un r argumente asemănătoare unghiul dintre vectori beo i li ri AB şi CD este rin p

definiţie unghiul dintre vectorii 1OP şi 2OP cu ABOP ∈1 şi CDOP ∈2 .

Cu aceste elemente produsul scal l vec eri AB şi CD se exprimă cu formula: ar a torilor lib

( )ABCDABCDAB cos⋅⋅=⋅ CD,

Produsul vectorial al vectorilor liberi 3EO∈ AB , CD se defineş astfel: se consideră te şi

vectorii legaţi 1OP , respectiv 2OP echipotenţi cu AB , respectiv CD ; se face produsul vectorial

21 OPOP × şi s ţine un vecte ob or 213 OPOPP ×= . Clasa vectoruluO i 3P , O 3OP este prin definiţie

ectorial produsul v 3OPCDAB =× ului liber . Mărimea vector CDAB× de relaţia: este dată

( )CDA ,

O bază ortonormată în

ABCDABCDB sin⋅⋅=×

3E este formată dintr-un sistem de trei vectori liberi AB , CD , EF

ortogonali doi câte doi şi de lungimea unu.

Dacă 3E şi vectorii liberi 3, Evu ∈1e , 2e , 3e este o bază ortonormată în se exprimă în

u or a: această bază s b f m

332211 eueueuu ⋅+⋅+⋅=

332211 evevevv ⋅+⋅+⋅=

atunci: suma, produsul cu un scalar, produsul scalar şi produsul vectorial se exprimă astfel:

( ) ( ) ( ) 333222111 evuevuevuvu ⋅++⋅++⋅+=+

( ) ( ) ( ) 332211 eueueuu ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅ αααα

332211 vuvuvuvu ⋅+⋅+⋅=⋅

( ) ( ) ( ) 312212311311332 evuvuevuvuevuvuvu ⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅=×

1e , 2e , 3eUltima egalitate este adevărată doar dacă vectorii liberi au proprietatea:

321 eee =× ; 132 eee =× ; 213 eee =×

8

Page 11: Modele Clasice Curs Master

Dacă AB , CD , EF este o bază ortonormată în 3E atunci pentru orice există un

sistem unic de trei puncte astfel încât

3EO∈

3321 ,, EPPP ∈ ABOP ∈1 ; CDOP ∈2 ; EFOP . ∈3

Rezultă că sistemul de vectori 1OP , 2OP , 3OP este o bază ortonormată în iar OE3

( )321 ,,; OPOPOPOR = este un reper ortogonal în . Altfel spus oricare ar fi baza ortonormată 3E

AB , CD , EF în 3E şi oricare ar fi 3EO∈ există un reper ortogonal ( )321 ,,; eeeOR = astfel încât

ABe ∈1 , CDe ∈2 , EFe ∈3 .

Este adevărată şi afirmaţia reciprocă: dacă ( )321 ,,; eeeOR = este un reper ortogonal în

atunci

3E

1e , 2e , 3e este o bază ortonormată în 3E . Reperul ( )321 ,,; eeeOR = este drept dacă şi numai

dacă vectorii liberi 1e , 2e , 3e verifică relaţiile:

321 eee =× ; 132 eee =× ; 213 eee =×

Dacă ( )321 ,,; eeeOR = şi ( )',',';' 321 eeeOR = sunt două repere ortogonale în atunci 3E 1e ,

2e , 3e şi '1e , '2e , '3e sunt două baze ortonormate în 3E . Există deci un sistem de nouă numere

( )ija astfel încât să aibă loc relaţiile: 3,2,1, =ji

∑=

⋅=3

1'

jjiji eae ∑

=

⋅=3

1'

jjjii eae

ikj

kjij aa δ=⋅∑=

3

1 jk

iikij aa δ=⋅∑

=

3

1

Matricea A având elementele ( )ija

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

este matricea de trecere de la baza 1e , 2e , 3e la baza '1e , '2e , '3e iar matricea transpusă

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡=

332313

322212

312111

aaaaaaaaa

AT

este matricea de trecere de la baza '1e , '2e , '3e la baza 1e , 2e , 3e .

9

Page 12: Modele Clasice Curs Master

Determinantul matricei A este egal cu 1 sau cu 1− . Dacă ( ) 1det =A zicem că cele două

repere R şi 'R sunt orientate la fel iar dacă ( ) 1det −=A zicem că reperele R şi 'R sunt orientate

invers.

Dacă ambele repere sunt drepte sau ambele repere sunt stângi, atunci ele sunt la fel

orientate. Pentru orientare inversă un reper trebuie să fie stâng şi unul trebuie să fie drept.

Semnificaţia elementelor matricei este dată de următoarele formule: A

( ) ( )jijiij eeeea ,'cos,'cos ==

Dacă un punct are coordonatele 3EQ∈ ( )321 ,, xxx faţă de reperul ortogonal

( )321 ,,; eeeOR = atunci vectorul de poziţie OQ al lui este următoarea combinaţie liniară: Q

332211 exexexOQ ⋅+⋅+⋅=

iar vectorul liber OQ este dat de

332211 exexexOQ ⋅+⋅+⋅=

Asemănător daca 3' EQ∈ are coordonatele ( )',',' 321 xxx faţă de reperul ortogonal

( )',',';'' 321 eeeOR = atunci:

'''''''' 332211 exexexQO ⋅+⋅+⋅=

'''''''' 332211 exexexQO ⋅+⋅+⋅=

Pentru ca vectorii OQ , ''QO să fie echipotenţi trebuie să avem:

''QOOQ = adică ∑∑==

⋅=⋅3

1

3

1''

iii

iii exex

Rezultă de aici că vectorii OQ şi ''QO sunt echipotenţi dacă şi numai dacă coordonatele lor

verifică relaţiile:

∑=

=3

1'

jjiji xax sau ∑

=

=3

1'

jjjii xax

Dacă axele reperelor ( )321 ,,; eeeOR = , ( )',',';'' 321 eeeOR = au aceeaşi direcţie şi sens atunci

'ii ee = şi relaţiile de sus devin ii xx =' .

Dacă ABv = este un vector oarecare din şi AE3 ( )321 ,,; eeeOR = este un reper ortogonal în

atunci există un vector unic 3EOEv 30 ∈ astfel încât 0v să fie echipotent cu v .

10

Page 13: Modele Clasice Curs Master

Vectorul 0v este combinaţie liniară de vectorii 321 ,, eee :

3322110 evevevv ⋅+⋅+⋅=

Numerele , , sunt componentele vectorului 1v 2v 3v 0v în reperul ( )321 ,,; eeeOR = . În

virtutea celor spuse mai sus, numerele , , sunt componentele lui 1v 2v 3v ABv = în reperul

( )',',';'' 321 eeeOR = dacă ii e=e ' , . 3,2,1=i

Cu alte cuvinte daca direcţia şi orientarea axelor a două repere ortogonale ( )321 ,,; eeeOR =

şi ( )',',';'' 321 eeeOR = este aceeaşi şi doar originea diferă atunci componentele unui vector 0v cu

originea în , echipolent cu un vector O '0v cu originea în , sunt aceleaşi cu componentele lui .

Pe această bază se poate vorbi de componentele unui vector legat într-un reper chiar dacă originea

reperului şi a vectorului legat nu coincid. Din aceste componente putem recupera mărimea

vectorului şi orientarea lui faţă de reper pe baza formulelor:

'O 'Ov

23

22

21 vvvv ++= ; ( )

vvev i

i =,cos ; 3,2,1=i

dar nu şi originea lui v .

Fie , , componentele vectorului 1v 2v 3v ABv = în reperul ortogonal ( )321 ,,; eeeOR = şi ' ,

, ' componentele aceluiaşi vector în reperul ortogonal

1v

'2v 3v ( )',',';'' 321 eeeOR = . Între aceste

componente există următoarele relaţii de transformare:

∑=

⋅=3

1

'j

ijii vav ∑=

⋅=3

1

'j

iiji vav

unde ( )ija sunt elementele matricei de trecere A de la baza 1e , 2e , 3e la baza '1e , '2e , '3e .

Fie în final ( respectiv )321 ,, xxx ( )',',' 321 xxx coordonatele unui punct faţă de reperul 3EQ∈

( )321 ,,; eeeOR = respectiv ( )',',';' 321 eeeO='R precum şi ( )',',' 302010 xxx coordonatele lui ' faţă de O

'R .

Din egalităţile:

QOOOOQ ''+= şi OQOOQO += ''

rezultă că aceste coordonate verifică

∑=

⋅+=3

1' '

jjjiiOi xaxx ; ; ∑

=

⋅+=3

1''

jjijiOi xaxx 3,2,1=i .

11

Page 14: Modele Clasice Curs Master

unde ( )ija sunt elementele matricei de trecere de la baza A 1e , 2e , 3e la baza '1e , '2e , '3e .

Bibliografie

1. L. Dragoş: Principiile mecanicii analitice. Editura Tehnică Bucureşti 1976

2. I. P. Popescu: Geometrie afină şi euclidiană. Editura Facla Timişoara 1984

3. A. Einstein; L. Infeld: L’evolution des idées eu physique. Petit Bibliothéque Payot 1974

Paris

4. R. Feynmann: La nature des lois physique. Bibliothéque Marabout, Presses de Gérard & Cie

Veaviers (Belgique) 1971

12

Page 15: Modele Clasice Curs Master

3. Câteva consideraţii euristice despre timp şi modelul matematic al

timpului.

Observând lumea reală constatăm că în ea se desfăşoară o mulţime de procese. De regulă un

proces are un început, o anumită durată şi un sfârşit. Începutul şi sfârşitul sunt procese elementare

care nu au durată şi astfel de procese elementare se numesc de obicei evenimente. Trecerea Soarelui

la meridianul unui punct dat la suprafaţa Pământului este un eveniment care se repetă periodic.

Faptul că mai multe evenimente se petrec deodată (simultan), a condus la ideea că în afara

evenimentelor mai există ceva, independent de evenimente, şi care este de fapt caracteristica

comună a tuturor evenimentelor ce se petrec deodată (simultan). Acest ceva a fost denumit moment

de timp.

La toate evenimentele care se petrec deodată corespunde un singur moment de timp, iar la

evenimente care nu se petrec deodată, momente de timp diferite. Mulţimea momentelor de timp se

numeşte timp. Timpul (mulţimea momentelor de timp) este considerat independent de materie, de

evenimente, de procese şi de cursul lor. De aceea el este considerat absolut şi omogen.

Succesiunea evenimentelor generate de o mişcare periodică, şi ideea (credinţa) că orice

eveniment poate fi înrolat în această succesiune conferă timpului o singură dimensiune şi un sens.

Unui proces din lumea reală îi corespunde de fapt o mulţime de momente de timp, numit

interval de timp, delimitat de momentele ce corespund începutului şi sfârşitului procesului.

Pentru a măsura un interval de timp (durata unui proces) se alege o mişcare reală periodică

uniformă de perioadă (durată) ω . De exemplu mişcarea aparentă a Soarelui în jurul Pământului.

Perioada (durata) acestei mişcări este ziua solară. Prin zi solară se înţelege intervalul de timp între

două treceri consecutive ale Soarelui la meridianul unui punct dat pe suprafaţa Pământului (prin

convenţie se ia meridianul Greenwich).

Durata unei zile solare depinde însă de mişcarea anuală a Pământului în jurul Soarelui,

motiv pentru care se ia de fapt ca unitate de măsură intervalul de timp egal cu valoarea medie a

duratelor zilelor solare.

Ca unitate de măsură practică pentru timp se folosesc însă secunda dintr-o zi

solară medie. Odată precizat acest interval de timp se construiesc mecanisme (ceasornice,

cronometre) în care se realizează o mişcare uniformă a unor arătătoare în faţa unui cadran circular.

secunda este intervalul de timp necesar ca arătătorul numit secunda, să parcurgă un anumit arc de

86400/1=

13

Page 16: Modele Clasice Curs Master

cerc marcat pe cadran. Trecerea secundarului în dreptul unui marcaj pe cadran este un eveniment şi

tuturor evenimentelor simultane cu acesta corespunde acelaşi moment de timp.

Pentru a măsura timpul în accepţiunea zilelor noastre după alegerea unităţii de măsură se

mai alege şi un moment de timp (marcat printr-un eveniment) ca origine de la care se măsoară

timpul.

0M

Măsura intervalului de timp delimitat de şi un moment ulterior 0M M este un număr real

pozitiv şi este măsura timpului viitor reprezentat prin momentul M . Măsura timpului anterior

momentului este măsura intervalului de timp delimitat de momentele 0M M şi , luată cu

semnul minus, unde

0M

M este un moment anterior momentului . 0M

Un model matematic al timpului descris mai sus este o dreaptă orientată . Punctele dreptei

reprezintă momentele de timp iar sensul de parcurs de la stânga la dreapta pe reprezintă

succesiunea momentelor de timp trecut-viitor.

Δ

Δ Δ

Alegerea unui moment ca origine pentru măsurarea timpului înseamnă fixarea unei

origini pe Δ iar fixarea unei unităţi pentru măsurarea intervalelor de timp înseamnă fixarea unei

unităţi l de măsurare a distanţei pe .

0M

Δ

O

În cazul în care timpul se măsoară cu aceeaşi unitate dar de la două origini diferite ,

relaţia care leagă numerele , 't ce reprezintă unul şi acelaşi moment de timp este:

oM '0M

t

'' Ottt +=

t

O t0’ O’ t’ Δ

Bibliografie

1. L. Dragoş: Principiile mecanicii analitice. Editura Tehnic[ Bucure;ti 1976

2. St. Balint: Lecţii de mecanică teoretică, Mişcarea punctului material, Tipografia

Universităţii de Vest din Timişoara 1995.

3. A. Einstein, L. Infeld: L’evolution des idées en physique, Petit Bibliothéque Payot 1974

Paris.

4. R. Feynman: La nature des lois physique. Bibliothéques Marabout, Preses de Gérard & eie

Vervieres (Belgique)

14

Page 17: Modele Clasice Curs Master

4. Modelarea matematică a corpurilor.

Un corp material la un moment dat ocupă o porţiune în spaţiul fizic. Ansamblului de poziţii

din această porţiune îi corespunde o submulţime din spaţiul euclidian afin - modelul matematic

al spaţiului fizic. Această submulţime caracterizează locul unde se află corpul şi forma lui la un

moment dat, şi este un prim obiect matematic care poate servi ca model matematic al corpului.

3E

Dacă se face abstracţie de structura moleculară a corpului şi se presupune că materia în corp

este distribuită continuu, atunci această submulţime din , ce poate servi drept model matematic al

corpului, este în general închiderea unui domeniu mărginit şi se numeşte model de corp continuu.

Modul de reparaţie a materiei în corp se descrie matematic cu o funcţie pozitivă şi continuă definită

pe această mulţime, care se numeşte funcţie de densitate.

3E

Dacă corpul real este solid şi îşi păstrează forma în timp, atunci adăugând ipoteza că distanţa

între oricare două puncte ale modelului de corp continuu nu se modifică în timp, se obţine modelul

de corp continuu solid rigid sau pe scurt solid rigid.

Dacă corpul este un solid rigid şi interesează doar mişcarea centrului de greutate al corpului

fără să intereseze ce poziţie are corpul pe traiectoria centrului de greutate, atunci adesea în loc să

modelăm corpul cu o submulţime tridimensională din , îl modelăm doar cu un punct din , care

este centrul de greutate al corpului, şi cu un număr pozitiv m care reprezintă întreaga masă a

corpului concentrată în centrul de greutate.

3E 3E

Acest model al corpului se numeşte punct material. În mod uzual masa nu se schimbă în

timp. În cazurile în care masa se schimbă în timp, se spune că avem un punct material cu masă

variabilă.

m

Dacă pentru fiecare corp dintr-un sistem finit de corpuri, adoptăm modelul de punct material

atunci se obţine un model al sistemului care se numeşte sistem de puncte materiale.

Bibliografie

1. Şt. Balint: Lecţii de mecanică teoretică, Mişcarea punctului

2. L. Dragoş: Principiile mecanicii analitice. Editura Tehnică Bucureşti 1976

15

Page 18: Modele Clasice Curs Master

5. Despre noţiunea de mişcare şi descrierea matematică a mişcării

punctului material.

Spunem că un corp A se mişcă faţă de un corp B , atunci când distanţele diverselor puncte

ale lui A la diverse puncte ale lui B se schimbă în timp.

Când definim mişcarea în acest fel, definim de fapt mişcarea relativă a unui corp în raport cu

altul.

Dacă distanţele diverselor puncte ale lui A la diverse puncte ale lui B nu se schimbă în

timp, spunem că corpul A este în repaus faţă de corpul B . Repausul definit în acest mod este

relativ.

În mecanică se vorbeşte adesea şi de mişcarea absolută şi repaus absolut, înţelegând prin

aceasta că poziţia pe care o ocupă corpul în spaţiu se schimbă sau nu se schimbă în timp.

Mişcarea absolută înseamnă de fapt schimbarea poziţiilor în spaţiu şi se descrie de obicei

faţă de un reper fix. Mişcarea relativă în mecanică înseamnă mişcarea faţă de un reper; care la

rândul lui se mişcă şi se numeşte reper mobil.

Mişcarea absolută a unui punct material poate fi descrisă matematic cu o funcţie care

asociază fiecărui moment de timp M poziţia din spaţiul fizic pe care-l ocupă punctul material la

momentul

P

M . Obţinem astfel o funcţie definită pe un interval de timp şi cu valori în spaţiul fizic. În

modelele adoptate pentru spaţiu (spaţiu euclidian afin ) şi timp (axa timpului = o dreaptă Δ cu

sens), această funcţie devine o funcţie definită pe un interval inclus în Δ şi cu valori în .

3E

3E

După alegerea unui reper pe axa timpului Δ, şi un reper ortogonal ( sM ,0 ) ( )321 ,,; eeeOR =

în , funcţia care descrie mişcarea devine o funcţie 3E r definită pe mulţimea 1R a numerelor reale

sau pe o parte a ei şi cu valori în mulţimea 3R a sistemelor ordonate ( )321 ,, xxx de trei numere reale:

( ) ( ) ( )( ) 3321

1 ,, RtxtxtxtR r ∈⎯→⎯∋

Numărul real caracterizează un moment 1Rt∈ M , în alegerea făcută pentru măsurarea

timpului, (originea de la care se măsoară timpul este şi unitatea de măsură este s ), iar

sunt coordonatele faţă de

0M

( ) ( ) ( )( txtxtx 321 ,, ) R ale punctului în care se găseşte punctul material la

momentul M ( prin abuz de limbaj). Vectorul: t=

( ) ( ) ( ) ( ) 332211 etxetxetxtr ⋅+⋅+⋅=

16

Page 19: Modele Clasice Curs Master

este vectorul de poziţie faţă de reperul R al punctului material la momentul . t

Dacă alegem un reper ( pe axa Δ a timpului şi un reper ortogonal )sM ,'0 ( )',',';'' 321 eeeOR =

în , funcţia care descrie mişcarea devine o funcţie 3E

( ) ( ) ( )( ) 3321

1 '','',''' RtxtxtxtR ir ∈⎯→⎯∋

Numărul caracterizează acelaşi moment 1' Rt ∈ M într-o nouă alegere făcută pentru

originea măsurării timpului (originea de la care se măsoară timpul este acum , iar unitatea de

măsură ) iar

'0M

s ( ) ( ) ( )'',' 31 txtx( ','' 2xt ) sunt coordonatele punctului faţă de reperul 'R în care se găseşte

punctul material la momentul M ( prin abuz de limbaj). 't=

Vectorul:

( ) ( ) ( ) ( ) ''''''''''' 332211 etxetxetxtr ⋅+⋅+⋅=

este vectorul de poziţie faţă de reperul 1R al punctului material la momentul ' . t

Întrucât , respectiv ( ) ( ) ( )( )txtxtx 321 ,, ( ) ( ) ( )( )'','','' 321 txtxtx sunt coordonate aceluiaşi punct din

, rezultă că ele verifică relaţiile: 3E

( ) ( ) ( ) ( )'''''' 332211' txatxatxaxtx kkkkOk ⋅+⋅+⋅+= 3,2,1=k .

''

oMttt +=

şi

( ) ( ) ( ) ( )txatxatxaxtx kkkkOk 332211''' ⋅+⋅+⋅+= 3,2,1=k .

oMttt '' +=

în care:

( )ija sunt elementele matricei de trecere de la baza 321 ,, eee la baza ',',' 321 eee

coordonatele punctului 'O în reperul ( '3'2'1 ,, OOO xxx ) R .

coordonatele punctului O în reperul ( OOO xxx 321 ',',' ) 'R .

este numărul ce caracterizează momentul , dacă se ia originea de la care se

măsoară timpul

'0Mt '0M 0M

este numărul ce caracterizează momentul dacă se ia originea de la care se

măsoară timpul.

OMt ' OM 'OM

17

Page 20: Modele Clasice Curs Master

Adesea funcţia ( )tr se numeşte legea de mişcare a punctului material faţă de reperul R ,

având ca origine de la care se măsoară timpul. OM

Dacă funcţia ( ) ( ) ( ) ( ) 332211 etxetxetxtr ⋅+⋅+⋅= , care descrie mişcarea unui punct material

faţă de reperul ( )321 ,,; eeeOR = , este derivabilă, atunci oricare ar fi reperul ( )',',';'' 321 eeeOR = şi o

altă origine pentru măsurarea timpului funcţia '0M ( ) ( ) ( ) ( ) ''''''''''' 332211 etxetxetxtr ⋅+⋅+⋅= care

descrie aceeaşi mişcare, dar faţă de reperul 'R în funcţie de timpul (măsurat faţă de noua origine

) este derivabilă şi vectorii

't

'0M

33

22

11 e

dtdxe

dtdxe

dtdx

dtrd

⋅+⋅+⋅=

''''

'''

''

''

33

22

11 e

dtdxe

dtdxe

dtdx

dtrd

⋅+⋅+⋅=

sunt echipotenţi.

Acest adevăr se obţine prin derivare în relaţiile

( ) ( ) ( ) ( )'''''' 332211' txatxatxaxtx kkkkOk ⋅+⋅+⋅+=

'0' Mttt +=

Rezultă de aici că vectorul legat ( )tv , care are originea în punctul P având coordonatele

faţă de reperul ( ) ( ) ( )( txtxtx 321 ,, ) ( )321 ,,; eeeOR = şi care este echipolent cu vectorul dtrd , nu

depinde nici de reperul R nici de alegerea momentului de la care le măsoară timpul.

Vectorul ( )tv se numeşte viteza mişcării la momentul M corespunzător numărului ,

măsurând timpul de la . Adesea se spune doar că

t

0M ( )tv este viteza mişcării la momentul t .

Vectorii dtrd şi

''

dtrd fiind echipotenţi componentele lor verifică relaţiile:

''

''

'' 3

32

21

1 dtdxa

dtdxa

dtdxa

dtdx

iiii ⋅+⋅+⋅= 3,2,1=i .

dtdxa

dtdxa

dtdxa

dtdx

iiii 3

32

21

1''

⋅+⋅+⋅= 3,2,1=i .

18

Page 21: Modele Clasice Curs Master

În virtutea celor expuse în secţiunea 2, dtdx1 ,

dtdx2 ,

dtdx3 sunt componentele vitezei la

momentul M în reperul R iar ''1

dtdx ,

''2

dtdx ,

''3

dtdx sunt componentele vitezei la acelaşi moment însă

în reperul 'R .

Variabila ( )tr care descrie mişcarea faţă de reperul ( )321 ,,; eeeOR = determină în mod unic

componentele vitezei ( )tv în reperul R ; ( )dtdxtv i

i = 3,2,1=i .

Reciproc: dacă ( )tvi sunt componentele vitezei 3,2,1=i ( )tv în reperul R şi sunt

coordonatele punctului material la momentul iniţial , de la care se măsoară timpul atunci

variabilele , , care descriu mişcarea faţă de reper sunt date de funcţiile:

03

02

01 ,, xxx

0M

( )tx1 ( )tx2 (tx3 )

( ) ( )dssvxtxt

kkk ∫+=0

0 3,2,1=k .

Raţionând ăn mod similar ajungem la concluzia că dacă funcţia ( )tr care descrie mişcarea

faţă de reperul R este derivabilă de două ori atunci funcţia ( )'' tr care descrie aceeaşi mişcare faţă

de reperul 'R este derivabilă de două ori şi vectorii

323

2

222

2

121

2

2

2

edtxde

dtxde

dtxd

dtrd

⋅+⋅+⋅=

''

'''

'''

''

'32

32

222

2

121

2

2

2

edtxde

dtxde

dtxd

dtrd

⋅+⋅+⋅=

sunt echipotenţi.

Prin urmare vectorul ( )ta cu originea în punctul P având coordonatele , , ( )tx1 ( )tx2 ( )tx3 în

reperul R , echipotent cu vectorul 2

2

dtrd nu depinde de reper. Vectorul ( )ta se numeşte acceleraţia

mişcării la momentul M corespunzător numărului t măsurând timpul de la . 0M

Adesea se spune doar că ( )ta este acceleraţia mişcării la momentul . t

Vectorii 2

2

dtrd şi 2

2

''

dtrd fiind echipotenţi componentele lor verifică relaţiile:

23

2

322

2

221

2

12

2

''

''

''

dtxda

dtxda

dtxda

dtxd

iiii ⋅+⋅+⋅=

3,2,1=i .

19

Page 22: Modele Clasice Curs Master

23

2

322

2

221

2

12

2

''

dtxda

dtxda

dtxda

dtxd

iiii ⋅+⋅+⋅=

21

2

dtxd , 2

22

dtxd , 2

32

dtxd sunt componentele acceleraţiei în reperul R iar 2

12

''

dtxd , 2

22

''

dtxd , 2

22

''

dtxd sunt

componentele acceleraţiei în reperul 'R .

Variabila ( )tr care descrie mişcarea faţă de reperul R determină în mod unic componentele

acceleraţiei în reperul R ; la orice moment ( ) 2

2

dtxdta i

i = 3,2,1=i .

Reciproc dacă ( )tai sunt componentele acceleraţiei în reperul 3,2,1=i R atunci variabilele

, , care descriu mişcarea faţă de reper sunt date de: ( )tx1 ( )tx2 ( )tx3

( ) ( ) ( )dssasttvxtx k

t

kkk ⋅−+⋅+= ∫0

00 3,2,1=k .

în care , , sunt coordonatele punctului material faţă de reper la momentul de la care se

măsoară timpul iar , , sunt componentele vitezei punctului material faţă de reper la acelaşi

moment.

01x

02x

03x 0M

01v

02v

03v

Bibliografie

1. Şt. Balint: Lecţii de mecanică teoretică, Mişcarea punctului

2. L. Dragoş: Principiile mecanicii analitice. Editura Tehnică Bucureşti 1976

20

Page 23: Modele Clasice Curs Master

6. Un model de balistică exterioară.

Din motive lesne de înţeles, mişcarea unui obuz de tun sau a unei bombe lansate din avion

au prezentat şi prezintă interes. Observaţii ale acestor mişcări au dus la concluzia că în prima

instanţă o asemenea mişcare este determinată de câmpul de forţe gravitaţional constant, ce

acţionează asupra corpurilor aflate în aproprierea suprafeţei Pământului şi de viteza iniţială 0v pe

care o are obuzul sau bomba în momentul lansării.

În mod uzual pentru descrierea cantitativă a acestei mişcări obuzul sau bomba se modelează

cu un punct material de masă şi mişcarea se descrie cu trei variabile scalare m ( ) ( ) ( )( )txtxtx 321 ,, (o

variabilă vectorială ( ) ( ) ( ) ( ) 332211 etxetxextr ⋅+⋅+= t ⋅ ) care reprezintă coordonatele punctului

material faţă de un reper ortogonal fix ( )321 ,,; eeeOR = ( ( ) =tr vectorul de poziţie al punctului

material faţă de reper ).

Setul de ecuaţii referitoare la aceste variabile este dat de legea a doua a lui Newton conform

căreia masa ori acceleraţia punctului material de masă este egală cu forţa care acţionează asupra

punctului.

m

kk F

dtxdm =⋅ 2

2

3,2,1=k . (1)

În setul de ecuaţii (1) , , reprezintă componentele forţei de atracţie gravitaţională în

acest reper

1F 2F 3F

332 F+211 eeFeFF ⋅⋅+⋅= .

Setul de ecuaţii care defineşte modelul este (1) şi se referă la variabilele modelului

care sunt coordonatele obuzului, bombei la momentul faţă de un reper ales. ( ) ( ) ( )txtxtx 321 ,, t

Prima problemă care se pune în cadrul analizei modelului este elucidarea existenţei soluţiilor

sistemului de ecuaţii diferenţiale (1). Ţinând seama că membrii drepţi ai sistemului (1) sunt

constante, rezultă imediat că pentru orice condiţie iniţială sistemul (1) are o soluţie definită pe toată

mulţimea numerelor reale.

Pentru a identifica în mulţimea soluţiilor sistemului (1) acel set de trei variabile care descrie

mişcarea se folosesc coordonatele , , ale punctului material în momentul lansării 01x

02x

03x 00 =t şi

componentele , , ale vitezei 01v

02v

03v 0v a punctului material în momentul lansării şi se impun

următoarele condiţii iniţiale:

21

Page 24: Modele Clasice Curs Master

( ) 00 kk xx = ; ( ) 00 kk vdtdx

= ; 3,2,1=k . (2)

Rezolvând problema cu date iniţiale (1) şi (2) se obţine setul de funcţii:

( ) 200

2t

mFtvxtx k

kkk ⋅+⋅+= 3,2,1=k . (3)

care descrie mişcarea punctului material (obuzului, bombei) faţă de reperul ales.

În cazul unui obuz de tun originea a reperului O R se alege la gura de foc a tunului; axa

OX, (versorul 1e ) se alege paralel cu suprafaţa Pământului şi îndreptată spre ţinta care se află la

o distanţă de la O şi trebuie lovită; axa OX3 (versorul

Ţ

0>d 3e ) este verticala locului unde este

plasat tunul; şi axa OX2 (versorul 2e ) astfel încât reperul R să fie drept ca în figura următoare:

0v

θ

Figura 1:

Faţă de acest reper: ; 003

02

01 === xxx 021 == FF , gmF ⋅−=3 , [ ]281.9 smg = iar pentru a

lovi ţinta obuzului i se imprimă o viteză iniţială ( )θθ sin,0,cos 000 ⋅⋅= vvv aşa cum este

reprezentat pe Fig. 1.

Cu aceste date formulele (3) devin:

( )( )

( )⎪⎪

⎪⎪

⋅−⋅⋅=

=

⋅⋅=

2sin

0

cos

2

03

2

01

tgvttx

tx

vttx

θ

θ

(4)

În aceste formule 0v şi g sunt cunoscute: 0v este viteza imprimată obuzului de tun iar g

este acceleraţia gravitaţională.

Unghiul θ este necunoscut şi trebuie determinat astfel încât obuzul să lovească ţinta.

Ţ x1

0

x2

x3

d

22

Page 25: Modele Clasice Curs Master

Condiţia de lovire a ţintei este ca să existe astfel încât să avem satisfăcute următoarele

egalităţi:

0>t

⎪⎩

⎪⎨

=⋅

−⋅⋅

=⋅⋅

02

sin

cos2

0

0

tqvt

dvt

θ

θ (5)

Din (5) rezultă:

gv

tθsin2 0 ⋅⋅

= şi 20

2sinv

dg ⋅=θ (6)

De aici rezultă că problema are soluţie şi aceasta este unică dacă şi numai dacă 120

≤⋅

v

dg .

Soluţia este:

20

sin21

v

dgarc ⋅⋅=θ şi

g

vt

θsin2 0 ⋅⋅= (7)

Rezultatul exprimat prin formulele (7) confruntat cu rezultate experimentale confirmă

autenticitatea modelului.

În cazul aruncării unei bombe dintr-un avion care zboară către ţintă în linie dreaptă paralel

cu solul la o înălţime cu o viteză constantă h 0v dacă se alege originea O a reperului la nivelul

solului astfel încât axa OX3 să treacă prin punctul în care se află avionul la momentul lansării

bombei, iar celelalte axe se aleg ca şi în cazul obuzului de tun variabilele care descriu mişcarea

bombei lansate faţă de reper sunt:

( )( )

( )⎪⎪

⎪⎪

+⋅

−=

=

⋅=

htgtx

tx

vttx

2

02

3

2

01

(8)

23

Page 26: Modele Clasice Curs Master

h

Ţ x1

x3

x2

0 d

Figura 2

În această problemă necunoscută este distanţa la care trebuie lansată bomba pentru a

lovi ţinta. Condiţia de lovire a ţintei este ca aceasta să fie la locul la care bomba cade pe sol. Acest

loc se determină aflând la început momentul în care bomba atinge solul. Acest moment este:

0>d

ght 2

1 = (9)

Înlocuind în expresia lui găsim locul 1t ( )tx1 ( )11 tx unde bomba atinge solul:

( )ghvtx 2

011 ⋅=

Prin urmare distanţa d la care trebuie lansată bomba este:

ghvd 2

0 ⋅= (10)

Rezultatul exprimat prin formulele (9) şi (10) confruntat cu experienţa confirmă

autentificarea modelului.

Exerciţii: 1) Să se determine înclinaţia ţevii de tun pentru a lovi o ţintă aflată la 5km distanţă dacă

se ştie că viteza obuzului la momentul părăsirii gurii de foc este de 1000 m/s. Să se simuleze

mişcarea obuzului. Care este distanţa maximă la care poate fi lovită o ţintă cu un asemenea tun?

2) Să se determine distanţa până la ţintă la care trebuie lansată o bombă dintr-un avion

care zboară paralel cu solul rectiliniu şi uniform cu o viteză de 500km/h la o înălţime de 700m? Să

se simuleze mişcarea bombei. Aceeaşi problemă dacă viteza rămâne 500km/h dar înălţimea este

1000m?. Aceeaşi problemă dacă viteza este 400km/h înălţimea este 700m.

24

Page 27: Modele Clasice Curs Master

25

Bibliografie

1. Şt. Balint: Lecţii de mecanică teoretică, Mişcarea punctului material. Tipografia

Universităţii de Vest din Timişoara 1995.

2. Şt. Balint şi alţii: Modelarea şi simularea unor mişcări mecanice. Lucrări de laborator, UVT

1995.

Page 28: Modele Clasice Curs Master

7 Un model planetar

Descrierea miscarii corpurilor ceresti este o preocupare veche a omenirii. Aceastapreocupare a generat cunostiintele de astronomie si mecanica cereasca.

Observatii ale miscarii planetelor (observatiile astronomice) facute de astronomi au condusdupa relativ mult efort la degajarea unui prim mecanism ipotetic cu care se poate explicafenomenul. Mecanismul se bazeaza pe ipoteza ca Pamantul este ın centrul Universului,iar corpurile ceresti se misca ın jurul acestuia.

Modelul matematic elaborat pentru mecanism este cel geocentric si este legat de numelelui Ptolemeu. Calcule facute ın model reusesc sa prezica cu o precizie suficient de bunaeclipsele de exemplu, si sunt argumente pentru autenticitatea modelului.

Abia ın secolul XVI modelul este contestat cu argumente serioase care privesc ipoteza debaza a mecanismului conform careia Pamantul este centrul Universului si celelalte corpuriceresti se misca ın jurul lui.

Aceasta ipoteza este ınlocuita cu alta care admite ca Soarele este fix si planetele, deci siPamantul, se misca ın jurul Soarelui. Printre cei multi care au contribuit la argumentareaconsistenta al noului mecanism ipotetic amintim numele lui Nicolas Copernic, GalileoGalilei si Johannes Kepler.

Modelul matematic al noului mecanism numit heliocentric a fost elaborat de Isac Newtonsi se numeste modelul planetar al lui Newton sau simplu modelul planetar.

In modelul planetar al lui Newton, Soarele si planetele sunt puncte materiale. Variabilelecare descriu miscarea unei planete sunt cele trei coordonate ale punctului material prinraport cu un reper fix a carei origine este Soarele, iar ecuatiile pe care le satisfaccoordonatele sunt cele date de legea lui Newton, conform careia masa ori acceleratiaplanetei de masa m este egala cu forta care actioneaza asupra planetei:

m · d2xk

dt2= Fk k = 1, 2, 3. (7.1)

In setul de ecuatii F1, F2, F3 reprezinta componentele fortei de atractie universala ıntreplaneta si Soare, ın acest reper:

F = −κ · mM

|r|3 · r = −κmM1

(√

x21 + x2

2 + x23)

3∑

k=1

xkek =

= −κmM [x21 + x2

2 + x23]−3/2

3∑

k=1

xkek

Fk = −κmM · [x21 + x2

2 + x23]−3/2 · xk, k = 1, 2, 3.

(7.2)

In formula (7.2), κ este constanta de atractie universala, m este masa planetei despremiscarea careia vorbim, M este masa Soarelui, iar (x1, x2, x3) sunt coordonatele planeteifata de reperul ales.

Mentionam ın acest moment ca din expresia fortei F rezulta ca forta de interactie dintreplaneta ın discutie si celelalte planete este neglijata ın model.

26

Page 29: Modele Clasice Curs Master

Setul de ecuatii care defineste modelul matematic planetar este:

d2xk

dt2= −κmM · [x2

1 + x22 + x2

3]−3/2 · xk, k = 1, 2, 3. (7.3)

si se refera la coordonatele (x1(t), x2(t), x3(t)) ale unei planete fata de reperul ales.

Este bine sa subliniem ın acest moment ca sistemul (7.2) este acelasi pentru toateplanetele. Cu alte cuvinte printre solutiile sistemului (7.2) se afla setul de variabile(x1(t), x2(t), x3(t)) care descrie miscarea fiecarei planete ın parte. Identificarea setuluide variabile (x1(t), x2(t), x3(t)) care descrie miscarea unei anumitei planete, de exemplu,a Pamantului, ın multimea solutiilor sistemului (7.2) se face prin impunerea asa numitorconditii initiale. Aceste conditii initiale, ca si ın cazul unui obuz de tun sau a unei bombelansate din avion sunt pozitia (x0

1, x02, x

03) a planetei la momentul t = 0 (numit momentul

initial) si viteza planetei (v01, v

02, v

03) la acelasi moment initial.

Impunand unei solutii oarecare (x1(t), x2(t), x3(t)) a sistemului (7.2) conditiile:

xk(0) = x0k,

dxk

dt(0) = v0

k, k = 1, 2, 3. (7.4)

se obtine solutia care descrie miscarea planetei (setul de variabile care descrie miscareaplanetei).

O proprietate importanta a solutiei (x1(t), x2(t), x3(t)) sistemului de ecuatii (7.2) caresatisface conditiile (7.4) este aceea ca este unica (nu exista doua solutii care verifica (7.4))si verifica relatiile:

x2(t) · dx3

dt− x3(t) · dx2

dt= x0

2 · v03 − x0

3 · v02

x3(t) · dx1

dt− x1(t) · dx3

dt= x0

3 · v01 − x0

1 · v03

x1(t) · dx2

dt− x2(t) · dx1

dt= x0

1 · v02 − x0

2 · v01

(7.5)

Proprietatea exprimata prin relatiile (7.5) se numeste conservarea momentului cinetic.

Din proprietatea (7.5) rezulta concluzii importante relative la traiectorie. Aceste concluziisunt urmatoarele:

• daca x02 · v0

3 − x03 · v0

2 = x03 · v0

1 − x01 · v0

3 = x01 · v0

2 − x02 · v0

1 = 0, atunci traiectoria este

o dreapta care trece prin O, adica prin Soare si are ecuatia:x1

x01

=x2

x02

=x3

x03

• daca cel putin unul din numerele x02 · v0

3 − x03 · v0

2, x03 · v0

1 − x01 · v0

3, x01 · v0

2 − x02 · v0

1

este nenul, atunci traiectoria este o curba plana situata ın planul de ecuatie:

(x02 · v0

3 − x03 · v0

2) · x1 + (x03 · v0

1 − x01 · v0

3) · x2 + (x01 · v0

2 − x02 · v1

0) · x3 = 0 (7.6)

Deoarece traiectoria nici unei planete nu este o dreapta care trece prin Soare, vom analizaın continuare cazul ın care cel putin unul din numerele x0

2 · v03 − x0

3 · v02, x0

3 · v01 − x0

1 · v03,

27

Page 30: Modele Clasice Curs Master

x01 · v0

2 − x02 · v0

1 este diferit de zero (momentul cinetic nu este zero) si traiectoria este ocurba plana situata ın planul detinut de ecuatia (7.6).

In acest caz din urma se poate alege un nou reper R′, care are aceeasi origine O= Soareleca siR, dar axele luiR′ sunt orientate ıntr-un mod particular. Anume: axa Ox1

′ trece prinpunctul ın care se afla punctul material (planeta ın cauza) la momentul t = 0 (momentulinitial), axa Ox2

′ se alege perpendicular pe planul definit de ecuatia (7.6), iar axa Ox3′

astfel ıncat reperul R′ sa fie drept.

Variabilele (x1′(t), x2

′(t), x3′(t)) care descriu miscarea planetei fata de noul reper R′ au

urmatoarea proprietatea:

d2x1′

dt2= −κMx1

′ · [(x1′)2 + (x2

′)2]−3/2

d2x2′

dt2= −κMx2

′ · [(x1′)2 + (x2

′)2]−3/2

(7.7)

x1′(0) = d0, x2

′(0) = 0

dx1′

dt(0) = |v0| cos α

dx2′

dt(0) = |v0| cos α

(7.8)

x3′(t) = 0, ∀t (7.9)

In formulele (7.8): d0 este distanta pana la origine (Soare) a planetei ın momentul t = 0(initial); |v0| este marimea vitezei planetei la momentul t = 0 (initial); α este unghiul pecare-l face viteza v0 a planetei cu axa Ox1

′ ın momentul t = 0 (initial).

Solutia sistemului (7.7) care verifica (7.8) are urmatoarele proprietati:

x1′(t) · dx2

dt− x2

′(t) · dx1′

dt= d0|v0| sin α (7.10)

1

2·[(

dx1′

dt

)2

+

(dx2

dt

)2]− κM√

(x1′)2 + (x2

′)2=

1

2· |v0|2 − κM

d0

(7.11)

Proprietatea (7.10) exprima conservarea momentului cinetic, care fata deR′, are o singuracomponenta: cea perpendiculara pe planul miscarii.

Proprietatea (7.11) exprima conservarea energiei cinetice.

In coordonate polare: x1′ = r cos θ, x2

′ = r sin θ, proprietatile de mai sus se exprimaastfel:

r2 · dθ

dt= d0|v0| sin α (7.12)

1

2·[(

dr

dt

)2

+ r2 · dθ

dt

]− κM

r=

1

2|v0|2 − κM

d0

(7.13)

Din (7.12) si (7.13) rezulta ca variabila r(t) care descrie evoalutia ın timp a distanteidintre planeta si Soare verifica:

1

2·(

dr

dt

)2

+1

2· d2

0|v0|2 sin2 α

r2− κM

r=

1

2|v0|2 − κM

d0

r(0) = d0,dr

dt(0) = |v0| cos α.

(7.14)

28

Page 31: Modele Clasice Curs Master

Ecuatia (7.14)1 pe care o verifica variabila r(t) trebuie considerata ın domeniul r > 0pentru care:

1

2

d20|v0|2 sin2 α

r2− κM

r≤ 1

2|v0|2 − κM

d0

(7.15)

Expresia:

E(r) =1

2· d2

0|v0|2 sin2 α

r2− κM

r(7.16)

are un minim pentru:

r1 =d2

0|v0|2 sin2 α

κM(7.17)

si valoarea acestui minim este:

E(r1) = −1

2

κ2M2

d20|v0|2 sin2 α

< 0 (7.18)

E(r) se anuleaza ın r∗ dat de:

r∗ =d2

0|v0|2 sin2 α

2κM(7.19)

tinde la +∞ pentru r → 0 si tinde la 0 pentru r → +∞.

Graficul functiei E(r) este reprezentat ın Figura 1:

Din inegalitatea (7.15) si Figura 1 rezulta ca ın cazul miscarii unei planete are locinegalitatea:

−1

2

κ2M2

d20|v0|2 sin2 α

<1

2|v0|2 − κM

d0

< 0 (7.20)

Aceste inegalitati asigura ca miscarea planetei este posibila si planeta nu evadeaza dinsistemul solar.

In ipoteza ca inegalitatile (7.20) sunt verificate ecuatia:

E(r) =1

2|v0|2 − κM

d0

(7.21)

are doua radacini pozitive, rmin si rmax si distanta r(t) dintre planeta si Soare variaza ınintervalul: [rmin, rmax].

29

Page 32: Modele Clasice Curs Master

Presupunem deci inegalitatea (7.20) verificata si pentru a descrie miscarea planeteiconsideram sistemul de ecuatii diferentiale:

dt=

d0|v0| sin α

r2

dr

dt= ±

√|v0|2 − 2κM

d0

+κ2M2

d20|v0|2 sin2 α

·

√√√√√√√√√1−

d0|v0| sin α

r− κM

d0|v0| sin α√|v0|2 − 2κM

d0

+κ2M2

d20|v0|2 sin2 α

2

(7.22)obtinut din (7.12) si (7.13). Solutia sistemului (7.22) care verifica conditia initiala:

θ(0) = 0; r(0) = d0 (7.23)

descrie miscarea planetei.

Semnul + din fata radicalului din ecuatia (7.22)2 corespunde situatiei ın care distantadintre planeta si Soare este ın crestere la momentul t = 0, iar semnul − corespundesituatiei ın care distanta planeta Soare este ın descrestere la momentul t = 0.

In principiu, miscarea planetei se poate obtine prin integrarea numerica a problemei cudate initiale (7.22) si (7.23).

Miscarea se individualizeaza pentru fiecare planeta prin specificarea parametrilor d0, |v0|si α care au urmatoarele semnificatii: d0 = distanta planeta Soare, |v0| = marimea vitezeiplanetei, α = unghiul pe care-l face viteza v0 a planetei cu axa Or, la un moment dat detimp numit moment initial.

La o integrare numerica o ıntrebare care se pune ın mod natural este cum se obtin dateled0, |v0|, α ın cazul unei planete si cum se gaseste M = masa Soarelui? Aceasta ıntrucatproblema cu datele initiale (7.22) si (7.23) se poate aborda numeric doar daca aceste datenumerice sunt cunoscute.

Vom descrie ın continuare o abordare care permite determinarea miscarii evitandcunoasterea valorilor numerice ale tuturor parametrilor d0, |v0|, α si M prin folosireaunor parametrii ai traiectoriei miscarii si a miscarii pe traiectorie care se pot gasi dinobservatiile astronomice directe.

Pentru a lamuri de fapt despre ce este vorba revenim la sistemul (7.22) care determinafunctiile r(t), θ(t) care descriu miscarea planetei si din acest sistem deducem ecuatiar = r(θ) a traiectoriei miscarii.

30

Page 33: Modele Clasice Curs Master

Din (7.22) si dindθ

dr=

dt· dt

drrezulta:

dt=

d0|v0| sin α

r2

±√|v0|2 − 2κM

d0

+n2M2

d20|v0|2 sin2 α

·

√√√√√√√√√1−

d0|v0| sin α

r− κM

d0|v0| sin α√|v0|2 − 2κM

d0

+κ2M2

d20|v0|2 sin2 α

2

(7.24)Integrand aceasta ecuatie rezulta egalitatea:

±θ(r) = arccos

d0|v0| sin α

r2− κM

d0|v0| sin α√|v0|2 − 2κM

d0

+κ2M2

d20|v0|2 sin2 α

− arccos

|v0| sin α− κM

d0|v0| sin α√|v0|2 − 2κM

d0

+κ2M2

d20|v0|2 sin2 α

(7.25)din care se obtine urmatoarea ecuatie a traiectoriei:

r(θ) =d0|v0| sin α

κM

d0|v0| sin α+

√|v0|2 − 2κM

d0

+κ2M2

d20|v0|2 sin2 α

· cos(±θ + θ1)

(7.26)

unde θ1 este dat de:

θ1 = arccos

|v0| sin α− κM

d0|v0| sin α√|v0|2 − 2κM

d0

+κ2M2

d20|v0|2 sin2 α

(7.27)

Introducand marimile:

p =d2

0|v0|2 sin2 α

κMe =

√√√√√√√1 +|v2

0| −2κM

d0

κ2M2

d20|v0|2 sin2 α

θ′ = θ1 ± θ + π

(7.28)

ecuatia traiectoriei se scrie sub forma:

r =p

1− e cos θ′ (7.29)

Deoarece prin ipoteza1

2|v0|2 − κM

d0

< 0 (formula (7.20)) rezulta ca excentricitatea e este

subunitara: e < 1. Prin urmare ecuatia (7.29) reprezinta o elipsa cu unul din focare situatın punctul O = Soarele.

31

Page 34: Modele Clasice Curs Master

In acest fel se obtine ın cadrul modelului ca oricare din planete se misca ın jurul Soareluipe o elipsa.

Punctul de pe elipsa care se afla la cea mai mare distanta de Soare se numeste Afeliu, iarcel care se afla la distanta cea mai mica se numeste Periheliu.Distanta dintre Afeliu, respectiv Periheliu si Soare este:

rmax =p

1− e, respectiv rmin =

p

1 + e(7.30)

Pe parcursul miscarii distanta r dintre planeta si Soare verifica relatia:

p

1 + e≤ r ≤ p

1− e(7.31)

Semiaxa mare ”a” a elipsei este data de formula:

a =rmin + rmax

2=

p

1− e2=

κM

2κM

d0

− |v0|2(7.32)

Semiaxa mica ”b” a elipsei este data de formula:

b =√

a · p p√1− e2

(7.33)

Unghiul dintre semiaxa mare a elipsei si axa polara Or este:

θ∗ = ±(π + θ1) = ±

π + arccos

|v0| sin α− κM

d0|v0| sin α√|v0|2 − 2κM

d0

+κ2M2

d20|v0|2 sin2 α

(7.34)

Excentricitatea e si parametrul p verifica relatiile:

e =

√a2 − b2

a; p =

b2

a(7.35)

Am obtinut astfel ın model ca traiectoria unei planete este o elipsa. Ecuatia ın coordonatepolare a acestei elipse este (7.29). Unghiul dintre semiaxa mare a elipsei si axa polaraaleasa la ınceput este (7.34), iar polul este Soarele. Semiaxele elipsei se obtin cu formulele:

a =κM

2κM

d0

− |v0|2; b =

d0|v0|2 sin α√2κM

d0

− |v0|2(7.36)

Pe de alta parte, prin prelucrarea masuratorilor astronomice efectuate de Ticho Brache,astronomul german Johanes Kepler a gasit ca traiectoriile descrise de planete ın miscarealor sunt elipse, avand Soarele ıntrunul din focare. Din datele masuratorilor astronomicea determinat semiaxele acestor elipse, precum si orientarea semiaxei elipsei fata de oorientare (axa polara) aleasa ın momentul ınceperii observatiilor.

32

Page 35: Modele Clasice Curs Master

Mai mult, a gasit ca pentru fiecare planeta ın parte patratul timpului de revolutie (timpulde parcurgere a traiectoriei) este proportional cu cubul semiaxei mari, iar constanta deproportionalitate nu depinde de planeta.

Tot din prelucarea datelor astronomice, Kepler a gasit ca raza vectoare a planetei descriearii egale ın intervale de timpi egali si a determinat viteza areolara (viteza constanta decrestere a ariei descrise de raza vectoare a planetei).

Tinand seama de aceste rezultate obtinute de Kepler si cuplandu-le cu cele obtinuteın model ajungem la concluzia ca descrierea miscarii unei planete revine la descriereamiscarii unui punct pe o elipsa carei semiaxe a, b sunt cunoscute si determinate de Keplerdin observatiile astronomice.

Pentru a face aceasta descriere parasim problema cu date initiale (7.22) si (7.23) si revenimla ecuatia (7.13) pe care o scriem sub forma:

dr

dt= ±

√−d2

0|v0|2 sin2 α

r2+

2κM

r+ |v0|2 − 2κM

d0

r(0) = d0

(7.37)

In vederea integrarii, membrul drept al ecuatiei ıl scriem ın functie de parametrii elipseipe care se misca planeta:√

−d20|v0|2 sin2 α

r2+

2κM

r+ |v0|2 − 2κM

d0

=

√2κM

d0

− |v0|2 · 1r·√

a2e2 − (r − a)2 (7.38)

Factorul constant

√2κM

d0

− |v0|2 din membrul drept conform relatiei (7.36) este egal

cu raportuld0|v0| sin α

bsi este raportul dintre dublul vitezei areolare

(1

2· r2 · dθ

dt

)si

semiaxa mica a elipsei. Valoarea vitezei areolare A0 =

(1

2· r2 · dθ

dt

)=

1

2· d0|v0|2 sin α

a fost determinata pentru fiecare planeta de Kepler din date astronomice si a condus laformularea concluziei: raza vectoare a planetei descrie arii egale ın intervale de timpi egali.

In acesti termeni ecuatia (7.37) poate fi scrisa sub forma:

dr

dt=

2A0

b· 1

r·√

a2e2 − (r − a)2

r(0) = d0

(7.39)

Daca se alege momentul initial momentul la care planeta se afla la Afeliu si axa polaraaxa mare a elipsei pe care are loc miscarea atunci:

d0 =p

1− esi θ∗ = 0, (7.40)

iar ecuatia (7.39) devine:

dr

dt= −2A0

b· 1

r·√

a2e2 − (r − a)2

r(0) = d0 =p

1− e=

b2

a· 1

1− e

(7.41)

33

Page 36: Modele Clasice Curs Master

Integrand ecuatia obtinem:

−r∫

p

1− e

udu√a2e2 − (a− u)2

=2A0

b· t (7.42)

Pentru efectuarea integrarii ın membrul stang facem urmatoarea schimbare de variabila:

a− u = a · e · cos v

si obtinem:

t = − b

2A0

· a · (v − e sin v)

∣∣∣∣arccos

a− r

ae

arccosa− d0

ae

t = −√

a3 · 1√κM

· (v − e · sin v)

r = a · (1− e cos v)(7.43)

Constanta1√κM

este independenta de planeta si se poate exprima ın functie de elementele

unei traiectorii cu formula:1√κM

=b

2A0

· √a (7.44)

Ecuatiile (7.43) se numesc prima ecuatie a lui Kepler. Pentru a determina distanta r(t) lamomentul t din prima ecuatie (42)1 se gaseste v ın functie de t si se ınlocuieste ın ecuatia(7.43)2 obtinandu-se astfel r = r(t).

Distanta r ca functie de v este periodica de perioada 2 ·π. Rezulta pe baza relatiei (7.43)1

ca perioada de timp T necesara pentru ca r sa se repete satisface relatia:

T = 2π · 1√κM

·√

a3 (7.45)

sau echivalent

T 2 =4π2

κM· a3 (7.46)

Deci patratul timpului de revolutie este proportional cu cubul semiaxei mari a elipsei.

Pentru determinarea evolutiei ın timp a unghiului θ′ consideram ecuatia traiectoriei:

r =p

1− e cos θ′ (7.47)

din care obtinem:

cos θ′ =r − p

re=

1

e· a− ae cos v − p

a− ae cos v=

1

e· −a + ae2 + a− ae cos v

a− ae cos v=

=e− cos v

1− e cos v

34

Page 37: Modele Clasice Curs Master

1 + cos θ′ = 1 +e− cos v

1− e cos v=

1− e cos v + e− cos v

1− e cos v=

(1 + e)− (1 + e) cos v

1− e cos v=

= (1 + e) · 1− cos v

1− e cos v

1− cos θ′ = 1− e− cos v

1− e cos v=

1− e cos v − e + cos v

1− e cos v=

(1− e)− (1− e) cos v

1− e cos v=

= (1− e) · 1 + cos v

1− e cos v

1− cos θ′

1 + cos θ′ =1− e

1 + e· 1 + cos v

1− cos v, tg

θ′

2=

1− e

1 + e· ctg2v

2; tg

θ′

2=

√1− e

1 + e· ctg v

2

Relatia

tgθ′

2=

√1− e

1 + e· ctg v

2(7.48)

se numeste cea de-a doua ecuatie a lui Kepler si relatia (7.43)1 determinarea lui θ′ la oricemoment t.

Concluzie. Pentru descrierea miscarii unei planete ın jurul soarelui se alege ın planulmiscarii un reper polar cu originea ın Soare si axa polara orientata pozitiv trecand prinAfeliu. Se considera ecuatiile:

t = −√

a3 · 1√kappa ·M · (v − e · v); r = a · (1− e cos v); tg

θ′

2=

√1− e

1 + e· ctg v

2

Din prima ecuatie se determina v ın functie de t si se ınlocuieste ın urmatoarele douaecuatii obtinandu-se coordonatele polare r(t) si θ′(t) ale planetei.

Daca se cere o imagine globala a miscarii tuturor planetelor ın jurul Soarelui atunci sefixeaza o planeta (de exemplu Pamantul) si se descrie miscarea lui asa cum am aratat, iarmiscarile celorlalte planete care se petrec ın plane diferite si sunt descrise ın acele planese suprapun peste imaginea miscarii primei planete folosind formulele (6).

Exercitii:

1) Sa se descrie si sa se simuleze miscarea Pamantului ın jurul soarelui stiind ca:aP = 1.495× 1011 m si eP = 0.0167.

2) Sa se descrie si sa se simuleze concomitent miscarea Pamantului si a lui Marte ınjurul Soarelui: aM = si eM =.

Bibliografie:

1) St. Balint: Lectii de mecanica teoretica. Miscarea punctului material. TipografiaUniversitatii de Vest din Timisoara 1995.

2) St. Balint si altii: Modelarea si simularea unor miscari mecanice. Lucrari delaborator. Tipografia U.V.T. 1995.

35

Page 38: Modele Clasice Curs Master

8 Un model de satelit artificial

In modelul planetar ınlocuind Soarele cu Pamantul, iar Pamantul cu un satelit artificial,obtinem un model de satelit artificial al Pamantului.

Consideram deci un punct material de masa m care este lansat la distanta d0 = R + hde centrul Pamantului cu o viteza initiala v0 care face cu raza vectoare un unghi α. AiciR este raza Pamantului. Admitem ca Pamantul este fix, iar forta care actioneaza ıntrePamant si satelit este forta de atractie universala.

Traiectoria satelitului, excentricitatea si parametrul focarului traiectoriei sunt date deformulele:

r =p

1− e cos θ, e =

√√√√√√√1 +|v0|2 − gR2

d0

g2R4

d20|v0|2 sin2 α

, p =d2

0|v0|2 sin2 α

gR2

ın care g este acceleratia gravitationala.

Excentricitatea e si parametrul p mai pot fi scrisi sub forma:

e =

√1 +

d20|v0|2 sin2 α

g2R4·(|v0|2 − 2gR2

d0

), p =

d20|v0|2 sin2 α

gR2

Daca |v0|2 <2gR2

d0

, atunci e < 1 si traiectoria este o elipsa.

Prin urmare daca |v0|2 < 2gR2, atunci corpul lansat devine satelit cu conditia catraiectoria lui sa nu ıntalneasca Pamantul, deci trebuie sa avem si:

rmin =p

1 + e> R

Asadar conditiile de satelizare sunt:

|v0|2 <2gR2

d0

si p > (1 + e)R.

Daca se tine seama de egalitatea:

p =d2

0|v0|2 sin2 α

gR2

cea de-a doua conditie se scrie astfel:

d20|v0|2 sin2 α

gR2> R ·

[1 +

√1− d2

0|v0|2 sin2 α

g2R4·(|v0|2 − 2gR2

d0

)]

sau

|v0|2 > R ·√

2gR(d0 −R)

d0(d20 sin2 α−R2)

36

Page 39: Modele Clasice Curs Master

Prin urmare punctul material devine satelit artificial al Pamantului daca viteza lui initiala|v0| satisface conditiile:

R ·√

2gR(d0 −R)

d0(d20 sin2 α−R2)

< |v0| < R ·√

2g

d0

si d20 sin2 α−R2 > 0

Daca se ia spre exemplu h = 500 km, α = 87o30′, R = 6370 km si g = 9.81m/sec2 seobtine:

7.54 km/sec < |v0| < 10.8 km/sec

Daca dorim ca traiectoria sa fie cerc de raza d0 = R+h, atunci trebuie ca α =π

2si e = 0.

Aceste conditii conduc la urmatoarea expresie a lui |v0|:

|v0| = R ·√

g

R + h

Pentru datele numerice considerate avem |v0| = 7.63 km/sec. Daca h = 0 (lansarea are

loc la suprafata Pamantului) si α =π

2conditiile de satelizare sunt:

√gR < |v0| <

√2gR

Pentru datele numerice considerate inegalitatile sunt:

7.9 km/sec < |v0| < 11.2 km/sec

Pragurile de viteze, ıntre care trebuie sa fie cuprinse viteza initiala a unui corp pentruca sa devina corp ceresc se numesc vitez cosmice. Dintre acestea remarcam doua praguriv1 ' 8 km/sec si v2 ' 11km/sec. Un corp lansat de pe Pamant cu o viteza initialacuprinsa ıntre aceste doua praguri de viteze, devine satelit artificial al Pamantului.

Vitezele cosmice se realizeaza cu rachete purtatoare, care sunt corpuri cu masa variabila.Lansarea rachetelor se face pe verticala pana la limita superioara a atmosferei, unde ıncepedirijarea pentru intrarea pe traiectorie.

Racheta pleaca de exemplu din pozitia A si este comandata astfel ıncat la intrarea petraiectorie ın punctul B sa aibe viteza |v0| > v1 si unghiul α.

Daca viteza |v0| imprimata de racheta depaseste a doua viteza cosmica |v0| > v2 corpulevadeaza din sfera de atractie a Pamantului si devine un satelit al Soarelui ca si planetele.

37

Page 40: Modele Clasice Curs Master

Exercitii:

1) Sa se simuleze miscarea pe traiectorie a unui satelit artificial al Pamantului.

Bibliografie:

1) St. Balint: Lectii de mecanica teoretica. Miscarea punctului material. TipografiaUniversitatii de Vest din Timisoara 1995.

2) St. Balint si altii: Modelarea si simularea unor miscari mecanice. Lucrari delaborator. Tipografia U.V.T. 1995.

38

Page 41: Modele Clasice Curs Master

9 Modelul atomic al lui Bohr

In anul 1913, Niels Bohr descrie miscarea electronului atomului de hidrogen ın campulnucleului ıntr-un mod asemanator cu miscarea planetelor ın jurul Soarelui. Mai precis,ın modelul lui Bohr, nucleul e fix (Soarele), iar electronul este cel care se misca si forta

de interactiune este cea a lui Coulomb: F = − q2

4πε· r

‖r‖3. In aceasta formula q este

sarcina electronului, ε este permitivitatea mediului si r reprezinta vectorul de pozitie alelectronului fata de un reper avand centrul O ın nucleul atomului de hidrogen. Atatnucleul cat si electronul sunt modelate prin puncte materiale.

Scriind ecuatiile lui Newton ın acest caz:

m · d2r

dt2= − q2

4πε· r

‖r‖3(9.1)

si rationand ca si ın cazul planetelor se ajunge la concluzia ca variabila r(t) care descrieevolutia ın timp a distantei electronului pana la nucleu verifica relatia:

1

2·m · d2

0|v0|2 sin2 α

r2− q2

4πε· 1

r≤ 1

2·m|v0|2 − q2

4πε· 1

d0

(9.2)

In modelul lui Bohr se admite ca1

2m|v0|2 − q2

4πε· 1

d0

este egala cu minimul energiei:

E(r) =1

2·md2

0|v0|2 sin2 α

r2− q2

4πε· 1

r(9.3)

adica:1

2m|v0|2 − q2

4πε· 1

r= −1

2· 1

md20|v0|2 sin2 α

·(

q2

4πε

)2

(9.4)

In aceste conditii miscarea se face pe cercul de raza r1:

r1 =md2

0|v0|2 sin2 α

q2· 4πε (9.5)

Rezulta, ın particular ca r(0) = 0 si deci |v0| cos α = 0. Rezulta de aici ca α =π

2si

md20|v0|2 =

q2

4πεde unde r1 = d0.

Modul de miscare pe acest cerc rezulta din ecuatia:

θ =|v0|d0

, θ(0) = 0

De aici, se obtine θ(t) =v0|d0

· t si astfel variabilelel care descriu miscarea ıntr-un reper

cartezian cu centrul ın nucleu si axele ın planul miscarii sunt:

x1(t) = d0|v0|d0

· t, x2(t) = d0 sinv0|d0

· t

39

Page 42: Modele Clasice Curs Master

Energia totala a electronului care executa aceasta miscare este:

E =1

2m|v0|2 − q2

4πε· 1

d0

= − q2

8πε· 1

d0

Aceasta energie depinde de raza d0 a cercului pe care se misca electronul ın jurul nucleuluisi distanta nu este determinata ınca ın model. Daca se admite ca d0 poate varia continuu,atunci E variaza continuu si se ajunge ın contradictie cu date experimentale care arata caenergia electronului nu variaza continuu ci poate avea doar anumite valori; energia estecuantificata. De aceea Bohr admite ca raza d0 a cercului pe care se misca electronul nuvariaza continuu ci poate lua doar valori pentru care lungimea traiectoriei este multiplu

de lungimea de unda de la Broghie λ =h

m|v0| asociata electronului. din aceasta conditie

2πd0 = nh

m|v0| , rezulta:

m0|v0| = nh

2πd0

,1

2m0|v0|2 =

n2h2

4πd20m0

,q2

4πε· 1

2d0

=1

2· n2h

2

4πd20m0

, E = −1

2· n2h

2

4πd20m0

Din cele doua expresii obtinute pentru energia electronului rezulta:

q2

4πεd0

=κ2h

2

4πd20m0

, d0 = n2 · 4πεh2

4π2q2m0

Deci raza cercului pe care se poate misca electronul atomului de hidrogen este data de:

d0n = n2 · 4πεh2

q2m0

· 1

4π2

Raza primei orbite este:

d01 =4πεh2

q2m0

· 1

4π2= 0.5292

A

Modulul energiei corespunzatoare primei orbite este:

E1 =q2m0 · 4π2

2(4πε)2h2

si este numita Rydberg. Luand Rydberg-ul unitate de masura pentru energie, niveleleenergetice ale electronului atomului de hidrogen sunt:

En = − 1

n2unitati Rydelberg

Exercitii:

1) Simulati miscarea electronului atomului de hidrogen pe primele 3 orbite si determinatinivelele energetice corespunzatoare.

Bibliografie:

1) St. Balint: Lectii de mecanica teoretica. Miscarea punctului material. TipografiaUniversitatii de Vest din Timisoara 1995.

40

Page 43: Modele Clasice Curs Master

10 Modelul pentru pendul neliniar

Miscarea unei pendule de ceas poate fi descrisa modeland greutatea cu un punct materialde masa m si tija cu un segment de dreapta. Pozitia punctului material de masa m pecercul de raza l situat ın planul vertical este reperata prin unghiul ϕ pe care-l face tija cuverticala (Fig. 10.1):

Figura 10.1:

Din legea lui Newton rezulta ca daca nu exista frecare ın O, atunci aceasta variabila demodel ϕ satisface ecuatia:

··ϕ +k2 · sin ϕ = 0 (10.1)

unde k2 =g

l: g = 9.81 m/s2.

Analiza modelului revine astfel la analiza ecuatiei (10.1). Daca ϕ(t) este o solutie a

ecuatiei (10.1), atunci functia u(ϕ) definita prin u(ϕ) =·ϕ (t) verifica ecuatia:

u · du

dϕ+ k2 · sin ϕ = 0. (10.2)

Aceasta ecuatie (10.2) este una cu variabile separate si orice solutie a ecuatiei verificaecuatia implicita:

u2

2= k cos ϕ + c′

unde c′ este o constanta sau ecuatia implicita:

u2 = 2 · k2 cos ϕ + c

cu c = 2c′ constanta.

Deoarece u =·ϕ rezulta ca derivata

·ϕ a unei solutii a ecuatiei (10.1) verifica ecuatie:

·ϕ

2

= 2 · k2 cos ϕ + c (10.3)

Semnificatia constantei c rezulta daca se scrie (10.3) la momentul initial t = 0 (candıncepe miscarea). Se obtine de aici:

c =·ϕ

2

0 −2k cos ϕ0

41

Page 44: Modele Clasice Curs Master

unde ϕ0 = ϕ(0) si·ϕ0=

·ϕ (0): ϕ(0) este ”pozitia” initiala a punctului material si

·ϕ (0)

este ”viteza” initiala a pendulei.

Cu aceste elemente (10.3) devine:

·ϕ

2

=·ϕ

2

0 +2k2 cos ϕ− 2k2 cos ϕ0

sau·ϕ

2

=·ϕ

2

0 +4k2 sin2 ϕ0

2− 4k2 sin2 ϕ

2(10.4)

Solutiile stationare ale acestei ecuatii sunt solutiile ecuatiei neliniare:

sin2 ϕ

2=

·ϕ2

0

4k2+ sin2 ϕ0

2(10.5)

Intrucat sin2 ϕ

2≤ 1 pentru existenta solutiei ecuatiei (10.5) avem de examinat urmatoarele

cazuri:

1)

·ϕ

2

0

4k2< 1;

2)

·ϕ

2

0

4k2= 1;

3)

·ϕ

2

0

4k2> 1;

1) Daca

·ϕ

2

0

4k2< 1, atunci v0 =

·ϕ0 are proprietatea v0 <

√2lg. Conditia ca ın acest caz

ecuatia (10.5) sa aibe solutie este ca

·ϕ

2

0

4k2+ sin2 ϕ0

2≤ 1.

Daca aceasta conditie suplimentara se realizeaza, atunci introducem unghiul α astfel casa avem

sin2 α

2=

·ϕ

2

0

4k2+ sin2 ϕ0

2

si scriem ecuatia diferentiala sub forma:

·ϕ

2

= 4k2 ·(sin2 α

2− sin2 ϕ

2

)(10.6)

Membrul drept al ecuatiei (10.6) se anuleaza pentru ϕ = ±α, deci ecuatia are doua solutiistationare ϕ = ±α. Pentru aceste valori ale lui ϕ viteza punctului material se anuleaza.

Acceleratia miscarii··ϕ= −k2 sin ϕ neanulandu-se ın ϕ = ±α, miscarea nu se opreste ci ısi

schimba numai sensul. Prin urmare ın cazul 1) punctul executa o miscare oscilatorie cuamplitudinea ϕ = ±α.

42

Page 45: Modele Clasice Curs Master

Pentru integrarea ecuatiei:

·ϕ

2

= 4k2 ·(sin2 α

2− sin2 ϕ

2

)

introducem functia ψ(t) definita prin:

sinϕ

2= sin

α

2sin ψ (10.7)

Atunci cand ϕ parcurge intervalul [−α, α], unghiul ψ parcurge intervalul[−π

2,π

2

].

Cu functia ψ definita prin (10.7), ecuatia (10.6) se scrie astfel:

·ϕ

2

= 4k2λ2(1− sin2 ψ) = 4k2λ2 cos2 ψ

unde λ2 = sin2 α

2< 1.

Rezulta de aici ca ·ϕ= 2kλ cos ψ

Cum ınsa ϕ = 2 arcsin(λ sin ψ) avem:

·ϕ=

2λ·ψ cos ψ√

1− λ2 sin2 ψ= 2kλ cos ψ

Deci ecuatia ın ψ este:·ψ√

1− λ2 sin2 ψ= k (10.8)

care integrata ne da urmatoarea ecuatie implicita:

kt =

ψ∫

0

dξ√1− λ2 sin2 ξ

(10.9)

Integrala din membrul drept al acestei ecuatii este o integrala eliptica de speta ıntai a luiLegendre. Ea se rezolva prin functii eliptice si avem:

F (ψ, λ) =

ψ∫

0

dξ√1− λ2 sin2 ξ

ψ = (kt) sin ψ = sin(kt), ϕ = 2 arcsin(λ(kt)) (10.10)

Din expresia vitezei miscarii ın functie de pozitie:

·ϕ

2

= 4k2(sin2 α

2− sin2 ϕ

2

)

se vede ca miscarea este periodica si se repeta dupa intervalul de timp ın care punctulmaterial se deplaseaza din pozitia ϕ = −α pana ın pozitia ϕ = α si ınapoi. Din paritatea

43

Page 46: Modele Clasice Curs Master

functiei de sub semnul de integrala si din faptul ca pentru ϕ = ±α avem ψ = ±π/2rezulta ca perioada este:

τ =4

k

π/2∫

0

dψ√1− λ2 sin2 ψ

Prin dezvoltare ın serie si integrare termen cu termen se obtine:

τ = 2π

√l

g

[1 +

∞∑n=1

1 · 3 · 5 · . . . · (2n− 1)

2 · 4 · 6 · . . . · 2n sin2n α

2

](10.11)

sau

τ = 2π

√l

g

(1 +

α2

16+ A1α

4 + . . .

)

Aceasta arata ca perioada este functie de amplitudinea α a oscilatiilor si numai ın cazul

α mic putem neglijaα2

16, A1α

4, . . . fata de 1 si obtinem ca perioada τ = 2π

√l

g.

In cazurile 2) si 3) nu avem solutii care sa descrie miscarea oscilatorie.

Exercitii: Determinati τ ın cazul l = 0.3[m]; g = 9.81m/s2, α = 5o, 10o; folosind formula(10.11). Simulati miscarea pendulei.

Bibliografie:

1) St. Balint: Lectii de mecanica teoretica. Miscarea punctului material. TipografiaUniversitatii de Vest din Timisoara 1995.

44

Page 47: Modele Clasice Curs Master

11 Model pentru vibratia coardelor instrumentelor

muzicale. Vibratiile transversale ale unei coarde.

Se cunosc trei tipuri de instrumente muzicale cu coarde: cu arcus, instrumente cu coardeciupite, instrumente cu coarde lovite sau cu percutie. La instrumentele cu arcus, cumeste vioara, vibratiile sunt provocate de arcus. La instrumentele cu coarde ciupite cumeste ghitara sau harfa, vibratiile sunt provocate printr-o deviere initiala de la echilibrufara viteza initiala. La instrumente cu percutie cum este pianul, vibratia este provocataprintr-o lovitura care da coardei o viteza initiala fara deviere initiala.

O coarda ın vibratie provoaca vibratiile aerului, care sunt percepute de urechea noastraca sunete emise de coarda. Intensitatea sunetului este caracterizata de energia sauamplitudinea vibratiilor, tonul de perioada vibratiilor, iar timbrul de relatia dintre energiavibratiei fundamentale si a armonicelor.

Fara a ne referi la procesele fiziologice de perceperea sunetului si asupra fenomenului depropagare a sunetului prin aer ın cele ce urmeaza vom prezenta un model de vibratie acoardelor instrumentelor muzicale care permite caracterizarea sunetului emis de coardaprin energia ei, perioada si distributia energiei pe armonice.

La instrumente muzicale se produc de obicei vibratii transversale ale coardelor.

Modeland o coarda ın starea de repaus cu un segment de dreapta de lungime l, fiecarepunct (x, y, z) al corzii poate fi caracterizat prin valoarea abscisei x, fata de un reperR(O, 〉, |, ‖) avand originea ıntr-un capat al corzii si axa Ox de-alungul corzii asa cumeste reprezentat ın figura urmatoare:

Figura 11.1:

45

Page 48: Modele Clasice Curs Master

Descrierea fenomenului de vibratie poate fi efectuata cu ajutorul determinarii pozitieipunctelor ei la diferite momente. Pentru determinarea pozitiei coardei la momentul teste suficient sa se dea componenetele vectorului de deplasare u(x, t), v(x, t), w(x, t) apunctului x la momentul t.

Vom prezenta cel mai simplu model, cel care descrie vibratiile coardei atunci cand acestease petrec ıntr-un acelasi plan (x,u) si vectorul de deplasare u a punctului x al corzii esteperpendicular ın orice moment pe axa Ox ca ın figura urmatoare:

Figura 11.2:

Fenomenul de vibratie ın aceasta ipoteza poate fi descris printr-o functie u(x, t) care estevariabila modelului.

Pentru a obtine ecuatia pe care o verifica functia u(x, t) coarda este considerata un firelastic flexibil fixat la ambele capete. Expresia matematica a conceptului de flexibilitateconsta ın faptul ca tensiunile care apar ın coarda sunt orientate ın orice moment dupatangentele la profilul ei instantaneu. Faptul ca firul este elastic ınseamna ca tensiuneacare apare ın fir poate fi calculata dupa legea lui Hooke; este proportionala cu alungirea.Vom considera micile vibratii ale coardei si vom neglija patratul lui ux ın raport cu 1.Folosind aceasta ipoteza alungirea pe care o sufera portiunea de coarda este:

S ′ =

x2∫

x1

√1 + (ux)2dx ≈ x2 − x1 = S

In limitele ipotezei nu se produce nici o alungire a portiunile de coarda ın fenomenul devibratie.

De aici, rezulta ın virtutea legii lui Hooke, ca valoarea tensiunii T ın fiecare punct nuvariaza ın timp. Pentru a vedea ca tensiunea nu depinde nici de x se scriu proiectiiletensiunii pe axele x si u; Tx, Tu.

Figura 11.3:

Tx(x) = T (x) · cos α =T√

1 + (ux)2≈ T (x)

46

Page 49: Modele Clasice Curs Master

Tn(x) = T (x) · sin α ≈ T (x) · ux.

unde α este unghiul format de tangenta la curba u(x, t) cu axa Ox.

Asupra portiunii (x1, x2) actioneaza fortele de tensiune, fortele exterioare si fortele deinertie. Suma proiectiilor tuturor fortelor pe axa Ox trebuie sa fie nula (noi examinamnumai vibratiile transversale). Deoarece fortele de inertie si fortele exterioare sunt prinipoteza dirijate de-a lungul axei Ou, rezulta ca:

Tx(x2)− Tx(x1) = 0 sauTx(x1) = Tx(x2)

De aici rezulta, ın virtutea alegerii arbitrare a lui x1 si x2, ca tensiunea nu depinde de x,adica, pentru toate valorile lui x si t, avem T ≡ T0.

Pentru a deduce ecuatia vibratiilor transversale ale coardei vom folosi legea a doua a luiNewton. Componenta impulsului elementului (x1, x2) dupa axa Ou este egala cu:

p =

x2∫

x1

ut(ξ, t)ρ(ξ)dξ

unde ρ este densitatea coardei.

Variatia impulsului ın intervalul de timp ∆t = t2 − t1:

p(t2)− p(t1) =

x2∫

x1

ρ(ξ) [ut(ξ, t2)− ut(ξ, t1)] dξ

este egala cu variatia ın intervalul de timp ∆t a fortelor active formate din tensiuneaT0 ·ux ın punctele x1 si x2 si cu forta exterioara (arcusul de vioara) pe care o presupunemuniform repartizata la unitatea de lungime.

Ca rezultat se obtine ecuatia vibratiilor transversale ale elementului de coarda sub formaintegrala:

x2∫

x1

[ut(ξ, t2)− ut(ξ, t1)] ρ(ξ)dξ =

t2∫

t1

T0 [ux(x2, τ)− ux(x1, τ)] dτ +

x2∫

x1

t2∫

t1

f(ξ, τ)dξdτ.

Daca admitem ca functia u(t, x) este de clasa C∈ atunci din ecuatia integrala rezultaecuatia diferentiala:

ρ · utt = T0 · uxx + f(x, t) (11.1)

care este ecuatia diferentiala a vibratiilor transversale ale coardei.

Daca densitatea este constanta ρ = const atunci aceasta ecuatie se scrie, de obicei, astfel:

utt = a2 · uxx + F (x, t)

(a =

√T0

ρ

)(11.2)

unde

F (x, t) =1

ρf(x, t) (11.3)

47

Page 50: Modele Clasice Curs Master

este densitatea fortei raportata la unitatea de masa.

In cazul ın care nu avem forta exterioara obtinem ecuatia omogena:

utt = a2 · uxx (11.4)

care descrie vibratiile libere ale coardei instrumentelor muzicale.

Energia vibratiilor coardei este E = K + U , unde K este energia cinetica, iar U esteenergia potentiala.

Elementul de coarda dx, care se misca cu viteza ut are energia cinetica:

1

2mv2 =

1

2ρ(x)dx · (ut)

2

Energia cinetica a ıntregii coarde este:

K =1

2

l∫

0

ρ(x) [ut(x, t)]2 dx

Energia potentiala a vibratiilor transversale ale coardei care are la momentul t = t0 formau(x, t0) = u0(x), este egala cu lucrul mecanic cu semn schimbat care trebuie efectuatpentru a aduce coarda din pozitia de echilibru ın pozitia u0(x).

Cand extremitatile coardei sunt fixate lucrul mecanic care trebuie efectuat pentru a aducecoarda din pozitia de echilibru u = 0 ın pozitia u0(x) este data de formula:

U = −1

2

l∫

0

T0 · [u0′(x)]

2dx

de unde energia potentiala este:

U =1

2

l∫

0

T0 · [u0′(x)]

2dx

Energia totala a corzii este:

E =1

2

l∫

0

T0 ·[ρ(x)(ut(x))2 + T0 · (ux)

2]dx (11.5)

Ecuatia (11.2) sau (11.4) pe care o satisface functia care descrie vibratia unei corzimuzicale, are ın general o infinitate de solutii. Pentru a caracteriza ın mod unic vibratiatrebuie sa adaugam la ecuatie anumite conditii suplimentare.

In problema noastra u(x, t) reprezinta devierea coardei de la axa Ox.

In cazul corzilor muzicale, extremitatile coardei, sunt fixe, deci trebuie ındeplinite”conditiile la limite”.

u(0, t) = 0, u(l, t) = 0 (11.6)

48

Page 51: Modele Clasice Curs Master

In afara de aceasta, se dau de obicei ”conditiile initiale” care se refera la forma si vitezacoardei la momentul initial t0:

u(x, t0) = ϕ(x)ut(x, t0) = ψ(x)

(11.7)

In conditiile initiale functiile ϕ(x) si ψ(x) sunt date. In cazul unei corzi de ghitara sauharfa, ϕ(x) 6≡ 0 si ψ ≡ 0. In cazul unei corzi de pian: ϕ(x) ≡ 0 si ψ 6≡ 0.

Pentru a ne convinge ca, conditiile suplimentare care constau din ”conditiile initiale” si”conditiile la limita” permit determinarea unei solutii unice a ecuatiilor (11.2) sau (11.3)trebuie sa aratam ca daca u1(x, t) si u2(x, t) sunt solutii ale ecuatiilor (11.2) sau (11.4)care verifica (11.6) sau (11.7) atunci u1(x, t) ≡ u2(x, t).

Schema rationamentului este urmatoarea: se considera diferenta v(x, t) = u1(x, t) −u2(x, t); se arata ca v(x, t) verifica ecuatia (11.4) si conditiile la limta (11.6) si conditiileinitiale: v(x, t0) ≡ 0, vt(x, t0) ≡ 0.

Apoi se considera functia energie:

E(t) =1

2

l∫

0

ρ(vt)

2 + T0 · (ux)2

dx (11.8)

Se arata ca functia E(t) este constanta si apoi E(0) = 0. De aici rezulta vt(x, t) ≡ 0,vx(x, t) ≡ 0 si apoi v(x, t) = const. Folosind conditia initiala v(x, t0) ≡ 0 rezultav(x, t) ≡ 0.

Solutia ecuatiei (11.4) care verifica conditiile la limita (11.6) si conditiile initiale (11.7)se gaseste cu metoda lui Fourier numita si metoda separarii variabilelor si este data deformula:

u(x, t) =∞∑

n=1

un(x, t) =∞∑

n=1

(An cos n

aπt

l+ Bn sin n

aπt

l

)sin

nπx

l(11.9)

ın care

An =2

l

l∫

0

ϕ(ξ) sinnπξ

ldξ, Bn =

1

naπ· 2

l

l∫

0

ψ(ξ) sinnπξ

ldξ (11.10)

Solutia u(x, t) data de (11.9) este functia care descrie miscarea ın timp a fiecarui punctal corzii; x ∈ [0, l]. Asa cum arata formula (11.9) functia u(x, t) este suma unei serii defunctii un(x, t) de forma:

un(x, t) =

(An cos n

aπt

l+ Bn sin n

aπt

l

)· sin nπx

l= αn cos

naπ

l(t+ δn) · sin nπx

l(11.11)

unde

αn =√

A2n + B2

n,naπ

lδn = −arctg

Bn

An

. (11.12)

Functia:

un(x0, t) = αn sinnπx0

l· cos

naπ

l(t + δn) (11.13)

49

Page 52: Modele Clasice Curs Master

descrie vibratii armonice de amplitudine:

an = αn · sin nπx0

l(11.14)

a punctului de abscisa x0 a corzii.

Acest tip de miscare a coardei se numeste unda stationara. Punctele corzii de abscisa

x = m · l

n(m = 1, 2, . . . , n − 1) ın care sin

lx = 0, raman tot timpul fixe si se numesc

noduri ale undei stationare un(x, t).

Punctele de abscisa x =2m + 1

2nl (m = 0, 1, 2, . . . , n − 1) ın care sin

lx ± 1 efectueaza

oscilatii cu amplitudinea maxima αn si se numesc ventrele undei stationare.

Profilul undei stationare este dat ın orice moment de sinusoida:

un(x, t) = Cn(t) sinnπ

lx (11.15)

undeCn(t) = αn cos ωn(t + δn),

(ωn =

la)

In momentele, t ın care cos ωn(t + δn) = ±1, devierile ating valori maxime, iar vitezamiscarii este nula.

In momentele t ın care cos ωn(t + δn) = 0 devierea este nula, iar viteza miscarii estemaxima.

Pulsatiile de vibratie ın timp ale tuturor punctelor coardei sunt aceleasi si egale cu:

ωn =nπ

la.

Pulsatiile ωn se numesc pulsatiile proprii ale vibratiilor coardei. Tinand seama de a2 =T0

ρ

avem ωn =nπ

l·√

T0

ρ.

Energia undei stationare de ordinul n (armonica de ordinul n) este

En = ω2n ·M · A2

n + B2n

4

unde M = lρ este masa coardei.

Vibratiile coardei sunt percepute de noi dupa sunetul emis de coarda. Din cele prezentateın model rezulta ca sunetul este o suprapunere de ”tonuri simple” ce corespund undelorstationare ın care se descompune vibratia. Aceasta descompunere a sunetului ın ”tonurisimple” obtinuta matematic se poate face si experimental cu ajutorul unor rezonatori.

Inaltimea unui ton depinde de pulsatia ωn a vibratiilor corespunzatoare acestui ton.

Intensitatea tonului (a armonicei) este determinata de energia lui (En), prin urmare, deamplitudinea lui.

50

Page 53: Modele Clasice Curs Master

Cea mai joasa armonica (ton) pe care o poate produce coarda este determinata de cea

mai joasa pulsatie proprie ω1 =π

l

√T0

ρsi se numeste ton fundamental al coardei.

Celelalte armonice corespunzatoare pulsatiilor, multipli ai lui ω1, se numesc armonicesuperioare. Timbrul sunetului depinde de prezenta armonicelor superioare pe langa ceafundamentala si de distributia energiei pe armonice.

Fundamentala coardei si timbrul ei depind de modul de excitatie al corzii. Modul deexcitatie al corzii este determinat de conditiile initiale ϕ(x) si ψ(x) prin care se exprimacoeficientii An si Bn.

Daca A1 = B1 = 0, fundamentala va corespunde pulsatiei ωn, unde n este cel mai micnumar pentru care An sau Bn sunt nenuli.

Coarda pusa ın vibratie, prin deviere ıntr-o parte si lasata libera fara viteza initiala, deobicei, emite unul si acelasi ton. Aceasta ıntrucat:

ut(x, 0) = 0, u(x, 0) = ϕ(x) > 0

si

A1 =2

l

l∫

0

ϕ(ξ) sinπξ

ldξ > 0

deoarece sinπξ

l> 0.

Urmatorii coeficienti sunt, ın general, mult mai mici decat A1, deoarece functia sinnπ

nu are semn constant pentru n ≥ 2. In particular, daca ϕ(x) este simetrica ın raport cumijlocul segmentului, avem A2 = 0. Rezulta astfel ca daca aducem coarda ın vibratiedeviind-o ıntr-o parte (ϕ(x) > 0) tonul cel mai de jos va avea energia cea mai mare.

Putem influenta vibratiile coardei si pe alte cai. De exemplu, daca functia initiala ϕ(x)care descrie devierea este impara ın raport cu mijlocul coardei, atunci A1 = 0 si tonul celmai de jos va corespunde pulsatiei:

ω = ω2 =2π

l

√T0

ρ

Daca atingem aceasta coarda ın vibratie exact ın mijlocul ei, sunetul se schimba brusc sicoarda va emite sunete cu o octava mai sus fata de tonul initial. Acest mod de schimbarea tonului se utilizeaza frecvent cand se canta la vioara, ghitara sau alte instrumente cucoarde si se numeste flageolet.

Din punctul de vedere al modelului acest fenomen este clar. In momentul atingerii coardeianulam modele stationare care au ın acest punct *** si raman doar armonicele care au ınacest punct noduri. Astfel, raman numai armonicele pare si pulsatia minima va fi:

ω2 =2π

l

√T

ρ

51

Page 54: Modele Clasice Curs Master

Daca atingem coarda la o distanta de 1/3 din lungimea ei de la o extremitate, ınaltimeatonului fundamental creste de trei ori, deoarece ın acest caz raman numai anumitearmonice care au noduri ın x = l/3.

Formulele

ω1 =π

l

√T0

ρsi τ1 =

ω1

= 2l

√ρ

T0

care ne dau pulsatia si perioada vibratiei fundamentale sunt expresii ale unor legi alevibratiilor coardelor muzicale descoperite prima data experimental:

1. Pentru coarde de aceeasi densitate si aceeasi tensiune, perioada de vibratie a coardeieste proportionala cu lungimea ei.

2. La o lungime data a coardei, perioada de vibratie variaza invers proportional curadacina patrata a tensiunii.

3. La o lungime si tensiune data, perioada variaza proportional cu radacina patrata adensitatii liniare a coardei.

Exercitii:

1. Sa se gaseasca functia u(x, t) care descrie vibratiile unei coarde de otel (0, l) fixatala extremitati si perturbata prin devierea ei ın punctul x = c cu marimea h, adicau(c, 0) = h.

Figura 11.4:

l = 0.3[m], h = 10−3, 2 · 10−3, 3 · 10−3, 4 · 10−3, 5 · 10−3 [m], c =1

2l,

2

3l, ρ = ρotel,

T0 = 1, 2, 3

Sa se simuleze vibratia transversala.

52

Page 55: Modele Clasice Curs Master

2. Sa se gaseasca functia u(x, t) care descrie vibratiile aceleasi corzi de otel (0, l) fixatala extremitati si perturbata de impulsul p, distribuit pe segmentul (c−δ, c+δ) dupa

legea v0 · cosx− c

2δπ. Sa se simuleze vibratia transversala.

3. Sa se studieze vibratia unei corzi de vioara sub actiunea unei miscari periodice aarcusului.

Bibliografie:

1) A. Tihonov, A.A. Samarski: Ecuatiile Fizicii Matematice. Editura Tehnica (1956).

53

Page 56: Modele Clasice Curs Master

12 Model pentru vibratia longitudinala a barelor.

Ecuatiile vibratiilor longitudinale pentru o bara, coarda sau resort au aceeasi forma.

Sa consideram o bara (subtire) situata pe segmentul (0, l) al axei Ox.

Vibratiile longitudinale pot fi descrise cu o functie u(x, t) care reprezinta ın momentult deplasarea punctului care ın pozitia de echilibru a avut abscisa x. In cazul vibratiilorlongitudinale aceasta deplasare se produce ın lungul barei.

Pentru a obtine ecuatiile vom presupune ca tensiunile care apar ın acest proces se supunlegii lui Hooke.

Consideram elementul de bara avand extremitatile x, x + ∆x ın stare de repaus. Lamomentul t coordonatele extremitatilor acestui element au valorile

x + u(x, t); x + ∆x + u(x + ∆x, t),

iar alungirea relativa este

∆x + u(x + ∆x, t)− u(x, t)−∆x

∆x= ux(x + θ ·∆x, t), 0 ≤ θ ≤ 1.

Prin trecere la limita pentru ∆x → 0 obtinem ca alungirea relativa ın x este data deux(x, t) si ın virtutea legii lui Hooke, tensiunea T (x, t) este egala cu:

T (x, t) = k(x) · ux(x, t) (12.1)

unde k(x) este modulul lui Young ın punctul x.

Folosind teorema impulsului obtinem ecuatia integrala a oscilatiilor:

x2∫

x1

[ut(ξ, t2)− ut(ξ, t1)] · ρ(ξ)dξ =

t2∫

t1

[k(x2)ux(x2, τ)− k(x1)ux(x1, τ)] dτ +

x2∫

x1

t2∫

t1

f(ξ, τ)dτ

(12.2)unde f(x, t) este densitatea de forte exterioare, raportata la unitatea de lungime.

Daca presupunem ca functia u(x, t) este de clasa C2 atunci aplicand teorema de mediesi trecand la limita pentru ∆x = x2 − x1 → 0 si ∆t = t2 − t1 → 0 ajungem la ecuatiadiferentiala a vibratiilor longitudinale a barei:

[k(x) · ux]x = ρ · utt − f(x, t) (12.3)

Daca bara este omogena aceasta ecuatie se scrie sub forma:

utt = a2 · uxx + F (x, t), a =

√k

ρ(12.4)

unde F (x, t) =f(x, t)

ρeste densitatea fortei raportata la unitatea de masa.

Daca nu avem forta exterioara, atunci se obtine ecuatia omogena:

utt = a2uxx (12.5)

54

Page 57: Modele Clasice Curs Master

care descrie vibratiile libere longitudinale ale unei bare.

Ecuatia (12.4) si (12.5) pe care o satisface functia u(x, t) care descrie vibratia longitudinalaa unei bare, ın general are o infinate de solutii.

Pentru a identifica ın multimea solutiilor acea functie care descrie vibratia longitudinalatrebuie sa adaugam conditii suplimentare.

In cazul unei bare fixate la o extremitate trebuie ındeplinita ”conditia la limita”:

u(0, t) ≡ 0 (sau u(l, t) ≡ 0) (12.6)

Legea de miscare a extremitatii libere, de obicei, nu este data. Daca nu sunt forte externe

la extremitatea libera se pune conditia ca tensiunea sa fie zero: T (l, t) = k · ∂u

∂x

∣∣∣∣x=l

= 0.

Astfel apare conditia la limita:

ux(l, t) = 0 (sau ux(0, t) = 0) (12.7)

Daca extremitatea x = 0 se misca dupa o lege µ(t), iar pentru x = l este data forta v(t)atunci:

u(0, t) = µ(t), ux(l, t) = ν(t) (ν(t) =1

kv(t)) (12.8)

O conditie tipica este conditia unei fixari elastice sa zicem pentru x = l.

k · ux(l, t) = −α · u(l, t) (12.9)

sau echivalentux(l, t) = −h · u(l, t) (h =

α

k) (12.10)

In acest caz extremitatea x = l se poate deplasa ınsa fortele elastice de fixare produc ınaceasta o tensiune care tinde sa-l readuca ın pozitia initiala. Rigiditatea fixarii estecaracterizata de coeficientul α. Daca punctul fata de care au loc fixarea elastica semisca si devierea lui de la pozitia initiala este θ(t) conditia la limita devine ux(l, t) =−h [u(l, t)− θ(t)].

In general, conditiile la limita la un capat sa zicem x = 0 sunt de trei tipuri:

- conditia la limita de primul tip u(0, t) = µ(t) - regimul dat;

- conditia la limita de tipul al doilea ux(0, t) = ν(t) - forta data;

- conditia la limita de tipul al treilea ux(0, t) = h[u(0, t)− θ(t)] - fixare elastica.

In mod analog, se dau conditiile la limita si la al doilea capat x = l.

Daca functiile µ(t), ν(t), θ(t) sunt nule conditiile la limita se numesc omogene.

Combinand diferite tipuri de conditii la limita mai sus enumerate vom obtine sase tipuride cele mai simple probleme la limita.

Exista conditii la limita mai complicate de exemplu ın cazul unei fixari elastice care nuse supune legii lui Hooke.

55

Page 58: Modele Clasice Curs Master

Pe langa conditiile la limita pentru identificarea solutiei se impun si conditii initiale caresunt similare cu cele ıntalnite ın cazul vibratiilor transversale ale corzilor muzicale:

u(0, x) = ϕ(x) ut(0, x) = ψ(x) (12.11)

Astfel problema determinarii vibratiilor longitudinale libere ale unei bare (0, l) care arecapatul O fixat si capatul l liber revine la determinarea unei functii u(x, t) care verifica:

utt = a2 · uxx

u(0, t) ≡ 0ux(l, t) ≡ 0u(x, 0) = ϕ(x)ut(x, 0) = ψ(x)

(12.12)

Daca ambele capete ale barei se misca dupa legi cunoscute atunci problema determinariivibratiilor longitudinale revine la determinarea unei functii u(x, t) care verifica:

utt = a2 · uxx

u(0, t) = u0(t)u(l, t) = ul(t)u(x, 0) = ϕ(x)ut(x, 0) = ψ(x)

(12.13)

Pentru elucidarea existentei si unicitatii solutiei problemei (12.12) se introduce functiaU(x, t) definita prin

U(x, t) = µ1(t) +x

l[µ2(t)− µ1(t)] (12.14)

si apoi noua functie necunoscuta v(x, t) definita prin

v(x, t) = u(x, t)− U(x, t) (12.15)

Functia verifica:vtt = a2 · vxx

v(0, t) = 0v(l, t) = 0

v(x, 0) = ϕ(x)− µ1(0)− x

l[µ2(0)− µ1(0)]

vt(x, 0) = ψ(x)− µ′1(0)− x

l[µ′2(0)− µ′1(0)]

(12.16)

Faptul ca exista o singura functie care verifica (12.16) se arata la fel si ın cazul vibratiilortransversale ale corzilor muzicale.

Se construieste functia v(x, t) cu ajutorul seriei si apoi functia u(x, t) cu formula (12.15).

Constructia solutiei problemei (12.12) se face cu o tehnica diferita numita metoda undelorprogresive. Fara a intra ın detalii justificative vom descrie aici pe scurt constructia solutieiproblemei (12.12).

Functiile ϕ si ψ se prelungesc prin imparitate pe segmentul [−l, l]:

ϕ(x) =

ϕ(x), 0 < x < l

−ϕ(−x), −l < x < 0

56

Page 59: Modele Clasice Curs Master

ψ(x) =

ψ(x), 0 < x < l

−ψ(−x), −l < x < 0

In continuare functiile ϕ(x) si ψ(x) se prelungesc prin periodicitate (perioada 2l) la toataaxa numerelor reale obtinand functiile Φ(x) si Ψ(x).

Functia u(x, t) definita prin:

u(x, t) =Φ(x + at) + Φ(x− at)

2+

1

2a

x+at∫

x−at

Ψ(x)dx

este definita pentru orice x ∈ R1 si t > 0.

Aceasta functie verifica ecuatia utt = a2uxx are proprietatea u(x, 0) = Φ(x) = ϕ(x),∀x ∈ [0, l]; ut(x, 0) = ψ(x); u(0, t) = 0; ux(l, t) = 0.

Exercitii:

1. O extremitate a unei bare de otel este fixata, iar asupra celeilalte actioneaza o fortaF0. Sa se gaseasca vibratiile longitudinale ale barei, dupa ce forta ınceteaza saactioneze.Sa se simuleze vibratia.

2. O bara elastica de lungime l este asezata vertical si fixata rigid cu extremitateasuperioara de un lift ın cadere libera, care atingand viteza v0 si se opreste instanta-neu. Sa se gaseasca vibratiile longitudinale ale barei, presupunand ca extremitateaei inferioara este libera.Sa se simuleze vibratia.

Bibliografie:

1) A. Tihonov, A.A. Samarski: Ecuatiile Fizicii Matematice. Editura Tehnica (1956).

57

Page 60: Modele Clasice Curs Master

13 Model pentru vibratiile transversale ale mem-

branelor

O membrana este o pelicula plana care nu se opune la flexiune si lunecare.

Consideram o membrana ıntinsa pe un contur plan C si vom modela vibratiile transversaleale membranei ın care deplasarea este perpendiculara pe planul membranei.

Notam cu ds elementul de arc al unui contur luat pe suprafata membranei si trecand prin

punctul M(x, y). Asupra acestui element actioneaza tensiuni egale cu−→T ds. Vectorul

−→T se

afla ın planul tangent la suprafata instantanee a membranei, datorita absentei rezistenteila flexiune si lunecare, si este perpendicular pe elementul ds. In afara de aceasta, absentarezistentei la lunecare duce la constatarea ca valoarea tensiunii nu depinde de orientarea

elementului ds. De aici, rezulta ca vectorul tensiune−→T =

−→T (x, y, t) este o functie ce

depinde de x, y si t. Aceste proprietati ale vectorului−→T constituie expresia matematica

a absentei rezistentei la flexiune si lunecare.

Vom neglija patratele derivatelor de ordinul ıntai ux, uy a vectorilor de deplasare u(x, y, t).Din aceasta ipoteza rezulta ca Th(x, y, t) - proiectia tensiunii pe planul (x, y) - este egalacu valoarea absoluta a tensiunii. Intr-adevar, pentru orice orientare a arcului ds, unghiul

γ′ dintre vectorul−→T si planul (x, y) nu este mai mare decat unghiul γ, format de normala

la suprafata membranei ın punctul (x, y) cu axa Oz. De aceea:

cos γ′ ≥ cos γ =1√

1 + u2x + u2

y

∼= 1, adica cos γ′ ∼= 1

si Th(x, y, z, t) = T · cos γ′ ∼= T (x, y, z, t).

Componenta verticala a tensiunii este evident:

Tn = T · ∂u

∂n.

Sa consideram pe suprafata membranei un element de arie a carui proiectie pe planul(x, y) este dreptunghiul ABCD, cu laturile paralele cu axele de coordonate.

Figura 13.1:

Asupra acestui element actioneaza forta de torsiune egala cu

−→T ∗ =

ABCD

−→T ds

58

Page 61: Modele Clasice Curs Master

In virtutea absentei deplasarii de-a lungul axelor x, y proiectiile lui−→T ∗ pe aceste axe sunt

nule:

T ∗x =

C∫

B

T (x2, y, t)dy −D∫

A

T (x1, y, t)dy =

y2∫

y1

T (x2, y, t)− T (x1, y, t) dy = 0

T ∗y =

x2∫

x1

T (x, y2, t)− T (x, y1, t) dx = 0

Folosind teorema mediei si tinand seama de alegerea arbitrara a elementului ABCDobtinem:

T (x, y1, t) = T (x, y2, t)

T (x1, y, t) = T (x2, y, t)

adica tensiunea T nu depinde de x, y si poate depinde numai de t.

Aria unui element oarecare al membranei la momentul t, ın aproximarea noastra esteegala cu: ∫ ∫

dxdy

cos γ=

∫ ∫ √1 + u2

x + u2ydxdy =

∫ ∫dxdy

Prin urmare, ın fenomenul de vibratie nu se produc ıntinderi de unde rezulta, ın virtutealegii lui Hooke, ca tensiunile nu depind de timp. Astfel, am stabilit ca tensiunea nudepinde de x, y, t:

T (x, y, t) = const = T0.

Pentru deducerea ecuatiei pe care o satisface functia u(x, y, t) folosim teorema impulsului.Fie S1 proiectia pe planul (x, y) a unei portiuni de mebrana, iar C1 frontiera lui S1.Egaland variatia impulsului cu variatia componentelor verticale ale fortelor de tensiune sifortelor active exterioare de densitate f(x, y, t) obtinem ecuatia sub forma integrala:

∫ ∫

S

[ut(x, y, t2)− ut(x, y, t1)] ρ(x, y)dxdy =

t2∫

t1

C1

T0∂u

∂ndsdt +

∫ t2

t1

∫ ∫

S1

fdxdydt

unde ρ(x, y) este densitatea superficiala a membranei, iar f(x, y, t) este densitatea forteiexterioare.

Daca u(x, y, t) are derivate de ordinul al doilea continue cu teorema lui Green, integralade contur se transforma ın integrala de suprafata:

C1

∂u

∂nds =

∫ ∫

S1

(uxx + uyy) dxdy

Ca urmare, ecuatia integrala a vibratiilor se aduce la forma:∫ t2

t1

∫ ∫

S

ρutt − T0(uxx + uyy)− f(x, y, t) dxdydt = 0

Folosind teorema mediei, alegerea arbitrara a lui S1 si a intervalului de timp (t1, t2),tragem concluzia ca expresia din acolada este nula. Adica:

ρutt = T0(uxx + uyy) + f(x, y, t)

59

Page 62: Modele Clasice Curs Master

Pentru o membrana omogena, ecuatia vibratiilor poate fi scrisa astfel:

utt = a2(uxx + uyy) + F (x, y, t),

(a2 =

T0

ρ

)(13.1)

unde F (x, y, t) este densitatea fortei raportata la unitatea de masa a membranei: F =f

ρ.

In absenta fortelor exterioare ecuatia vibratiilor transversale este:

utt = a2(uxx + uyy) (13.2)

Pentru identificarea ın multimea tuturor solutiilor ecuatiei (13.2) a functiei u(x, y, t), caredescrie vibratia transversala a unei membrane, se folosesc conditii la limita si conditiiinitiale.

Un tip de conditii la limita sunt cele de fixare ale marginilor membranei exprimate prin:

u(x, y, t)|Γ = 0 (13.3)

iar conditiile initiale privesc deplasarea si viteza de deplasare la momentul initial:

u(x, y, 0) = ϕ(x, y)ut(x, y, 0) = ψ(x, y)

(13.4)

Un model de vibratie transversala a unei membrane este definit de (13.2), (13.3) si (13.4).

Faptul ca (13.2), (13.3) si (13.4) are o solutie si aceasta solutie este unica se arata ca siın cazul vibratiilor unei coarde fixate la capete.

Exercitiu: Sa se determine vibratiile membranei dreptunghiulare din figura urmatoare:

Figura 13.2:

60

Page 63: Modele Clasice Curs Master

Bibliografie:

1) A. Tihonov, A.A. Samarski: Ecuatiile Fizicii Matematice. Editura Tehnica (1956).

61

Page 64: Modele Clasice Curs Master

14 Model pentru dinamica gazelor. Unde de soc

In probleme de popagare a undelor de explozie, a perturbatiilor aerului provocate dezborul rachetelor si avioanelor de mare viteza si a obuzelor avem de-a face cu fenomenecaracterizate de viteze si gradienti ai presiunii mari. Aproximatia liniara folosita ınacustica pentru a descrie propagarea sunetului (perturbatii provocate de corzile vocale) nueste aplicabila ın aceste cazuri si trebuie sa folosim ecuatiile neliniare ale hidrodinamicii.Deoarece cu astfel de probleme ne ıntalnim ın practica ın cazul unui mediu gazos,ecuatiile care descriu fenomenul se numesc ecuatii de dinamica gazelor (gazodinamicasau hidrodinamica vitezelor mari).

Ecuatiile gazodinamicii ın cazul miscarii unidimensionale a gazului (ın directia axei Ox)sunt urmatoarele:

∂ρ

∂t+

∂x(ρ · v) = 0 (ecuatia continuitatii) (14.1)

ρ · ∂v

∂t+ ρ · v · ∂v

∂x= −∂p

∂x(ecuatia miscarii) (14.2)

p = f(ρ, T ) (ecuatia de stare) (14.3)

variabilele ın acest model sunt: densitatea gazului ρ = ρ(x, t), viteza gazului v = v(x, t),presiunea gazului p = p(x, t), temperatura T .

Daca temperatura T este considerata cunoscuta, atunci cele trei ecuatii ın principiu permitdeterminarea celor trei variabile ale modelului, pentru ca functia f ın ecuatia (14.3) seconsidera cunoscuta.

Daca ınsa temperatura T nu este cunoscuta atunci este necesara ınca o ecuatie. Aceastaecuatie se obtine din legea conservarii energiei.

Se porneste de la expresia energiei unitatii de volum:

ρv2

2+ ρε (14.4)

ın care primul termen reprezinta energia cinetica, iar al doilea energia interna (ε esteenergia interna a unitatii de masa). Pentru un gaz perfect ε = cv · T unde cv este calduraspecifica de volum constant, iat T este temperatura.

Variatia ın timp a energiei unitatii de volum este:

∂t

(ρv2

2+ ρε

)=

∂t(ρv2) +

∂t(ρε) (14.5)

Derivand primul termen si folosind ecuatiile (14.1) si (14.2) obtinem:

∂t(ρv2) =

v2

2· ∂ρ

∂t+ ρv · ∂v

∂t= −v2

2· ∂

∂x(ρv)− pv · ∂

∂x

(v2

2

)− v · ∂p

∂x(14.6)

Pentru a transforma derivata∂

∂t(ρε) se foloseste primul principiu al termodinamicii care

exprima legea de conservare a energiei:

dQ = dε + pdτ (14.7)

62

Page 65: Modele Clasice Curs Master

Aici: dQ este cantitatea de cadura primita sau cedata de sistem de afara, pdτ este lucru

mecanic cheltuit prin variatia volumului cu marimea dτ (τ =1

ρeste volumul specific).

Daca fenomenul este adiabatic (nu exista schimb de caldura cu mediul) avem dQ = 0 siastfel:

dε = −pd1

ρ=

p

ρ2dρ (14.8)

De aici rezulta ın continuare:

d(ρε) = ε dρ + ρ dε = ε dρ +p

ρdρ = w dρ (14.9)

∂t(ρε) = w · ∂ρ

∂t(14.10)

undew = ε +

p

ρ(14.11)

este functia termica (entalpia) sau continutul de caldura al unitatii de masa.

Derivata∂w

∂xsatisface:

ρv · ∂w

∂x= v · ∂p

∂x(14.12)

Tinand seama de cele spuse obtinem ecuatia care exprima conservarea energiei sub formadiferentiala:

∂t

(ρv2

2+ ρε

)= − ∂

∂x

[ρ · v

(v2

2+ w

)](14.13)

Sensul fizic al acestei egalitati se obtine prin integrare pe (x1, x2):

∂t

x2∫

x1

(ρv2

2+ ρε

)dx = − ρv

(v2

2+ w

)∣∣∣∣x2

x1

(14.14)

In stanga egalitatii avem variatia energiei ın unitate de timp pe intervalul (x1, x2), iarın dreapta egalitatii avem fluxul de energie care iese ın unitatea de timp din volumulconsiderat.

Daca efectul conductibilitatii caldurii nu poate fi neglijat ecuatia de conservare a energieidevine:

∂t

(ρv2

2+ ρε

)− ∂

∂x

(ρv

(v2

2+ w

)− κ

∂T

∂x

)(14.15)

unde κ este coeficientul de conductivitate termica.

In cazul ın care temperatura T nu este cunoscuta sistemul complet de ecuatii al modelului(14.1), (14.2), (14.3), (14.14) si (14.15).

In cazul miscarilor descrise de aceste ecuatii sunt posibile pozitiile ın care apar discon-tinuitati ale marimilor hidrodinamice: viteza, densitate si presiune care apar ın acesteecuatii. Aceste pozitii se propaga ın timp si discontinuitatile se numesc unde de soc, iarpozitiile se numesc front de unda. In spatiu pozitiile sunt de obicei situate pe o suprafata.

63

Page 66: Modele Clasice Curs Master

Pe o suprafata de discontinuitate (frontul undei de soc) trebuie ındeplinite conditiile decontinuitate a fluxului de masa, a energiei si a impulsului care se numesc conditiile luiHugoniot.

Pentru deducerea acestor conditii ın cazul 1− dimensional se scriu ecuatiile (14.1), (14.2),(14.3) sub forma:

∂ρ

∂t= − ∂

∂x(ρv)

∂t(ρv) = − ∂

∂x(p + ρv2)

∂t(ρv2 + ρε) = − ∂

∂x

[ρv

(v2

2+ w

)]

In planul (x, t) curba x = α(t) reprezinta ”urma” suprafetei de discontinuitate:

Figura 14.1:

Fie AC un arc al liniei de discontinuitate x = α(t) unde A(x1, t1), C(x2, t2), x2 = x1+∆x,t2 = t1 + ∆t. Construim dreptunghiul ABCD cu laturile paralele cu axele de coordonatesi scriem legea conservarii masei sub forma integrala:

x2∫

x1

[(ρ)t2 − (ρ)t1 ] dx = −t2∫

t1

[(ρv)x2 − (ρv)x1 ] dt (14.16)

unde ın stanga avem variatia masei pe intervalul (x1, x2) ın intervalul de timp (t1, t2), iarın dreapta masa care iese din intervalul (x1, x2), ın timpul (t1, t2).

Daca functiile ρ si ρv sunt continue si derivabile peste tot ın interiorul lui ABCD ecuatia(14.16) este echivalenta cu (14.12). In cazul considerat, acest deziderat nu are loc.

Folosind teorema de medie pentru fiecare membru ın parte avem:

(ρ)

t = t2x = x∗

+ (ρ)t = t1

x = x∗∗

·

∆x

∆t= −(ρv)

x = x2

t = t∗+ (ρv)

x = x1

t = t∗∗

64

Page 67: Modele Clasice Curs Master

Trecand la limita pentru ∆x → 0 si ∆t → 0 (x2 → x1, t2 → t1) obtinem:

(ρ2 − ρ1) · U = −(ρv)1 + (ρv)2 (14.17)

unde U =dα

dt= lim

∆t→0

∆x

∆teste viteza undei de soc, iar indicele 1 indica valorile functiilor

deasupra curbei x = α(t) (ın spatele undei de soc), iar indicele 2 indica valorile functiilordedesubtul curbei (ın fata frontului).

In sistemul de coordonate, care se misca odata cu unda de soc,

u1 = U − v1 u2 = U − v2

reprezinta vitezele particulelor ın fata frontului si respectiv ın spatele frontului undei desoc. Relatia (14.17) poate fi scrisa astfel:

ρ1u1 = ρ2u2

Aceasta egalitate exprima continuitatea fluxului de masa prin frontul undei de soc.

Scriind legea de conservare a impulsului sub forma integrala avem:

x2∫

x1

[(ρv)t2 − (ρv)t1 ] dx = −t2∫

t1

[(p + ρv2)x2 − (p + ρv2)x1

]dt

unde ın dreapta apare suma dintre impulsul fortelor active (presiunii) si fluxul cantitatiide miscare. Trecand la limita pentru ∆x → 0 si ∆t → 0 se obtine legea conservariifluxului cantitatii de miscare a frontului undei:

U [(ρv)2 − (ρv)1] = −(p + ρv2)1 + (p + ρv2)2 (14.18)

sau:p1 + ρ1u

22 = p2 + ρ2u

22

Analog se obtine si ecuatia conservarii energiei pe frontul undei:(

ρv2

2+ ρε

)

2

U −(

ρv2

2+ ρε

)

1

U = −ρ1v1

(v2

2+ w

)

1

+ ρ2v2

(v2

2+ w

)

2

sau

ρ1u1

(w1 +

u21

2

)= ρ2u2

(w2 +

u22

2

)(14.19)

Astfel pe frontul undei de soc trebuie sa fie satisfacute ecuatiile:

ρ1u1 = ρ2u2

p1 + ρ1u21 = p2 + ρ2u

22

w1 +u2

1

2= w2 +

u22

2care se numesc ecuatii de compatibilitate dinamica sau ecuatiile lui Hugoniot. Dinecuatiile precedente exprimand u1 si u2 ın functie de p si ρ se obtine:

u21 =

ρ2

ρ1

· p1 − p2

ρ1 − ρ2

, u22 =

ρ1

ρ2

· p1 − p2

ρ1 − ρ2

65

Page 68: Modele Clasice Curs Master

de unde

u21 − u2

2 =

√ρ1 + ρ2

ρ1ρ2

(p1 − p2)

Substituind aceasta expresie ın (14.19) gasim relatia dintre valorile energiei de ambeleparti ale frontului:

w1 − w2 =1

2ρ1ρ2

(ρ1 + ρ2)(p1 − p2)

si

ε1 − ε2 =1

2ρ1ρ2

(ρ1 − ρ2)(p1 + p2).

Pentru un gaz perfect pentru care

p = RρT ; ε = cvT ; w = cpT =cp

cp − cv

RT =γ

γ − 1

p

ρ

adicaw =

γ

γ − 1· p

ρ(14.20)

folosind formula (14.20) dupa transformari simple ajungem la asa numita ecuatie aadiabatei lui Hugoniot:

ρ2

ρ1

=(γ + 1)p2 + (γ − 1)p1

(γ − 1)p2 + (γ + 1)p1

(14.21)

p2

p1

=(γ + 1)ρ2 − (γ − 1)ρ1

(γ + 1)ρ1 − (γ − 1)ρ2

(14.22)

Din aceasta formula se poate determina una din marimile p1, ρ1, p2, ρ2 daca sunt cunoscutecelelalte trei marimi.

Unda de soc se misca ıntotdeauna fata de gaz de la domeniile cu presiune mai mare spredomeniile cu presiune mai mica p2 > p1. De aici rezulta ca densitatea gazului ın spatelefrontului este mai mare decat densitatea din fata frontului.

Formula (14.21) exprima dependenta dintre p2, ρ2 pentru p1, ρ1 dati. Functia ρ2 = ρ2(p2),

pentru p1, ρ1 dati este monoton crescatoare si tinde la limita finita candp2

p1

→ +∞ (unda

de soc de mare amplitudine)ρ2

ρ1

=γ + 1

γ − 1(14.23)

Aceasta formula indica saltul maxim al densitatii (compresiunea) care poate exista pe

frontul undei de soc. Pentru un gaz biatomic (H2) γ =5

7si cum presiunea maxima este

egala cu 6 avemρ2

ρ1

. Folosind formulele (14.17), (14.18) si (14.21) si punand p1 = 0 gasim:

u1 =

√γ + 1

2· p2

ρ1

, u2 =

√(γ − 1)2

2(γ + 1)· p2

ρ1

Daca unda de soc se misca ıntr-un gaz ın repaus (v1 = 0) viteza de propagare este:

U =

√γ + 1

2· p2

ρ1

66

Page 69: Modele Clasice Curs Master

adica creste proportional cu radacina patrata din p2.

Exercitiu: Intr-un tub cilindric x > 0, nelimitat ıntr-o parte si ınchis cu un piston decealalta parte (x = 0) se gaseste un gaz ın repaus cu densitate constanta ρ1 si cu presiuneconstanta p1. In momentul t = 0 pistonul ıncepe sa se miste cu o viteza constanta v ındirectia pozitiva a axei Ox. In fata pistonului apare o unda de soc care ın momentulinitial coincide cu pistonul, iar apoi se departeaza de el cu viteza U > v. Intre piston sifrontul undei de soc apare domeniul 2, ın care gazul se misca cu viteza pistonului. In fatafrontului (domeniul 1), gazul se gaseste ın stare neperturbata: ρ = ρ1, p = p1, v = 0. Sase determine viteza frontului precum si valoarea densitatii si a presiunii.

Bibliografie:

1) A. Tihonov, A.A. Samarski: Ecuatiile Fizicii Matematice. Editura Tehnica (1956).

67

Page 70: Modele Clasice Curs Master

15 Model pentru dinamica sorbtiei gazelor

Sa presupunem ca printr-un tub (alegem axa acestuia ca axa de coordonate x), umplut cusubstanta absorbanta (sorbent) facem sa treaca un amestec de aer si gaz (de exemplu, sane gandim la masca de gaz). Sa notam cu a(x, t) cantitatea de gaz absorbita de unitateade volum a sorbentului si cu u(x, t) concentratia gazului aflat ın porii sorbentului ın stratulx.

Vom presupune ca viteza v este suficient de mare si fenomenul de difuzie nu joaca un rolesential ın transportul gazului.

Consideram un strat de sorbent de la x1 la x2 ın intervalul t1, t2. Pentru acest stratecuatia de bilant a substantei este:

[v · u|x1

− v · u|x2

] · S ·∆t =[(a + u)|t2 − (a + u)|t1

] · S ·∆x (15.1)

care dupa simplificare cu ∆x ·∆t si trecere la limita ∆x → 0, ∆t → 0 devine:

−v · ∂u

∂x=

∂t(a + u) (15.2)

Membrul stang al acestei ecuatii reprezinta cantitatea de gaz care se acumuleaza pe seamatransportului, raportata la unitatea de lungime si timp, iar membrul al doilea reprezintacantitatea de gaz cheltuita pentru marirea concentratiei gazului soebit si a gazului aflatın pori. La aceasta ecuatie de bilant trebuie adaugata ecuatia cineticii sorbtiei:

∂a

∂t= β(u− y) (15.3)

unde β este coeficientul cinetic, y - concentratia gazului aflat ın ”echilibru” cu cantitateasorbita de gaz.

Marimile a si y sunt legate ıntre ele prin ecuatia:

a = f(y) (15.4)

care reprezinta caracteristica sorbentului.

Curba a = f(y) se numeste izoterma de sorbtie. Daca

f(y) =y

u0 + py

izoterma se numeste izoterma lui Langmuir.

Forma cea mai simpla a functie f corespunde asa-numitei izoterme a lui Henry, valabilaın domeniul concentratiilor mici:

a =1

γy (15.5)

unde1

γeste coeficientul lui Henry.

In acest caz, ajungem la urmatoarea problema: sa se gaseasca functiile u(x, t) si a(x, t)din ecuatiile:

−v · ∂u

∂x=

∂u

∂t+

∂a

∂t(15.6)

68

Page 71: Modele Clasice Curs Master

∂a

∂t= β(u− γa) (15.7)

cu conditiile suplimentare:a(x, 0) = 0u(x, 0) = 0

(15.8)

u(0, t) = u0 (15.9)

unde u0 este concentratia gazului la intrare.

Prin urmare ın acest model de sorbtie a gazului avem:

- doua variabile ale modelului: cantitatea de gaz sorbita de unitatea de volum asorbentului notata cu a(x, t) si concentratia gazului aflat ın porii sorbentului ınstratul x notata u(x, t).

- doua ecuatii la care satisfac aceste variabile (15.6) si (15.7); ın ecuatia (15.6), v esteviteza amestecului aer-gaz si este presupusa o constata cunoscuta, iar ın ecuatia

(15.7), β este coeficientul cinetic si este presupus constant si cunoscut, iar1

γeste

coeficientul lui Henry si este presupus constant si cunoscut.

- doua conditii initiale exprimate prin (15.8);

- o conditie la limita exprimata prin (15.9).

Neglijand derivata∂u

∂t, care reprezinta consumul de gaz pentru marirea concentratiei

libere ın porii sorbentului, ın comparatie cu derivata∂a

∂tcare reprezinta consumul de gaz

pentru marirea cantitatii sorbite de gaz, obtinem:

−v · ∂u

∂x=

∂u

∂t(15.10)

∂a

∂t= β(u− γa) (15.11)

u(x, 0) = 0 (15.12)

u(0, t) = u0 (15.13)

Pentru sistemul de ecuatii (15.10) si (15.11) este suficienta o singura conditie initialadeoarece axa t = 0 devine caracteristica ın acest caz (mai detaliat vom vedea mai tarziu).

Eliminam functia a(x, t) derivand prima ecuatie ın raport cu t si folosind ecuatia a doua:

−v · uxt = β · ut − β · γ · at = β · ut + β · v · γ · ux

sau

uxt +β

v· ut + β · γ · ux = 0

Determinam conditia initiala pentru u punand ın prima ecuatie t = 0,

−v · ux(x, 0) = β · u(x, 0), u(0, 0) = u0

69

Page 72: Modele Clasice Curs Master

de unde gasim

u(x, 0) = u · e−β

vx.

Astfel problema determinarii functiei u(x, t) s-a redus la integrarea ecuatiei

uxt +β

vut + β · γ · ux = 0 (15.14)

cu conditiile suplimentare:

u(x, 0) = u0 · e−β

vx

(15.15)

u(0, t) = u0 (15.16)

Caracteristicile acestei ecuatii sunt liniile

x = const t = const

Conditiile suplimentare din aceasta problema sunt valorile functiei necunoscute u(x, t) pecaracteristice.

Problema se pune ın mod similar pentru functia a(x, t):

axt +β

v· at + β · γ · ax = 0 (15.17)

a(x, 0) = 0 (15.18)

a(0, t) =u0

t

(1− e−β·γ·t) (15.19)

Putem obtine solutia ecuatiei (15.14) sub forma explicita cu metoda rezolvarii ecuatiilorliniare generale de tip hiperbolic. aceasta solutie este data de formula:

u(x1, t1) = u0 · e−x1

e−t1 · I0(2

√x1t1) +

1

x1

x1t1∫

0

e−

τ

x1 I0(2√

τ)dτ

(15.20)

unde x1 =βx

v, t1 =

βt

γsunt variabile fara dimensiuni si I0 - functia lui Bessel de spata

ıntai, de ordin zero si de argument imaginar.

Probleme:

1. Sa se simuleze numeric sorbtia unui gaz care se supune izotermei de sorbtie a luiHenry.

2. Sa se construiasca modelul de sorbtie a unui gaz care se supune izotermei de sorbtie

a lui Langmuir: f(y) =y

u0 + py.

3. Sa se construiasca modelul de sorbtie a unui gaz care se supune izotermei de sorbtiegenerale a = f(y)

4. Sa se arate ca procesul de uscare cu un curent de aer duce la un model analog cacel de absorbtie a unui gaz.

Bibliografie:

1) A. Tihonov, A.A. Samarski: Ecuatiile Fizicii Matematice. Editura Tehnica (1956).

70

Page 73: Modele Clasice Curs Master

16 Model unidimensional pentru propagarea caldurii

prin conductie ın corpuri marginite

Sa consideram o bara de lungime l, izolata termic pe fetele laterale si destul de subtirepentru ca ın orice moment temperatura ın toate punctele unei sectiuni transversale sapoata fi considerata aceeasi. Daca extremitatile barei se mentin la temperaturi constanteu1 si u2, atunci dupa cum se stie de-a lungul barei se stabileste o distributie liniara atemperaturii

u(x) = u1 +u2 − u1

lx (16.1)

In acest caz, caldura va trece de la extremitatea mai calda la extremitatea mai putin caldaa barei. Cantitatea de caldura care trece printr-o sectiune a barei de arie S ın unitateade timp este data de formula experimentala:

Q = −k · u2 − u1

l· S = −k · ∂u

∂x· S (16.2)

unde k este coeficientul de conductibilitate termica, dependent de materialul barei. Fluxulde caldura se considera pozitiv daca caldura curge ın directia cresterii lui x.

Fenomenul de propagare a caldurii ın bara poate fi descris de o functie u(x, t), carereprezinta temperatura ın sectiunea x la momentul t. Ecuatia pe care trebuie s-o satisfacau(x,t) rezulta din legile fizicii relative la propagarea caldurii. Aceste legi sunt urmatoarele:

1. Legea lui Fourier Daca temperatura unui corp nu este uniforma, atunci ın elapar curenti termici dirijati din punctele cu temperatura mai ınalta ınspre punctele cutemperatura mai joasa. Cantitatea de caldura care trece printr-o sectiune x ın intervalulde temperatura (t, t + dt) este

dQ = q · S · dt (16.3)

unde

q = −k(x) · ∂u

∂x(16.4)

este densitatea fluxului de caldura, egala cu cantitatea de caldura care trece ın unitateade timp printr-o arie unitate.

Aceasta lege este o generalizare a formulei (16.2). Ea poate fi scrisa sub forma integrala:

Q = −S

t2∫

t1

k∂u

∂xdt (16.5)

unde Q este cantitatea de caldura care trece ın intervalul de timp (t1, t2) prin sectiunea xde arie S. Daca bara nu este omogena, k este functie de x.

2. Cantitatea de caldura care trebuie comunicata unui corp omogen pentru a-i ridicatemperatura cu ∆u este

Q = cm∆u = c · ρ · V ·∆u (16.6)

unde c este caldura specifica, m - masa, ρ - densitatea si V - volumul corpului.

71

Page 74: Modele Clasice Curs Master

Daca variatia de temperatura este diferita ın diferite portiuni ale barei, sau daca baraeste neomogena, atunci

Q =

x2∫

x1

c · ρ · S ·∆u(x)dx (16.7)

3. In interiorul barei poate aparea sau poate fi absorbita caldura (ın urma trecerii unuicurent electric se degaja caldura, reactiile chimice care apar ın bara pot degaja sau absorbicaldura).

Degajarea sau absorbtia caldurii poate fi descrisa de densitatea ”surselor” de calduraF (x, t) ın punctul x la momentul t. Daca, de exemplu, caldura se degaja datorita treceriiunui curent electric de intensitate I si rezistenta barei pe unitate de lungime este R, atunci

F = 0.31 · IR2 (0.31 =1

π).

Ca urmare a actiunii acestor ”surse”, pe portiunea de bara (x, x + dx) ın intervalul detimp (t, t + dt) se degaja cantitatea de caldura:

dQ = S · F (x, t)dxdt (16.8)

sau sub forma integrala, avem:

Q = S ·t2∫

t1

x2∫

x1

F (x, t)dxdt (16.9)

unde Q este cantitatea de caldura degajata pe portiunea (x1, x2) a barei ın intervalul detimp (t1, t2). Ecuatia de propagare a caldurii se obtine facand bilantul cantitatilor decaldura pe un segment oarecare (x1, x2) ıntr-un interval de timp (t1, t2).

Aplicand legea conservarii energiei si folosind formulele (??), (??) si (??) putem scrie:

t2∫

t1

[k · ∂u

∂x(x, τ)

∣∣∣∣x=x2

− k · ∂u

∂x(x, τ)

∣∣∣∣x=x1

]+

x2∫

x1

t2∫

t1

F (ξ, τ)dξdτ =

x2∫

x1

c·ρ [u(ξ, t2)− u(ξ, t1)] dξ

(16.10)care reprezinta ecuatia de propagare a caldurii sub forma integrala.

Pentru a obtine ecuatia de propagare a caldurii sub forma diferentiala, vom presupune cafunctia u(x, t) are derivatele uxx si ut continue.

Folosind teorema mediei, obtinem egalitatea:[k · ∂u

∂x(x, τ)

∣∣∣∣x=x2

− k · ∂u

∂x(x, τ)

∣∣∣∣x=x1

]

τ=t2

∆t+F (x4, t4)∆x∆t = cρ [u(ξ, t2)− u(ξ, t1)]ξ=x3∆x

(16.11)care poate fi transformata cu teorema cresterilor finite astfel:

∂x

[k · ∂u

∂x(x, t)

]x = x5

t = t3

+ F (x4, t4)∆x∆t =

[cρ

∂u

∂t(x, t)

]x = x3

t = t5

(16.12)

72

Page 75: Modele Clasice Curs Master

unde t3, t4, t5 si x3, x4 si x5 sunt puncte intermediare ale intervalelor (t1, t2) si (x1, x2).

Dupa simplificare rezulta

∂x

(k · ∂u

∂x

)∣∣∣∣ x = x5

t = t3

+ F (x, t)

∣∣∣∣∣∣∣∣ x = x4

t = t4

= cρ∂u

∂t

∣∣∣∣ t = t5x = x3

(16.13)

Toate acestea se refera la intervalele arbitrare (x1, x2) si (t1, t2). Trecand la limita pentrux1, x2 → x si t1, t2 → t obtinem ecuatia:

∂x

(k · ∂u

∂x

)+ F (x, t) = cρ

∂u

∂t

sau

cρ · ∂u

∂t=

∂x

(k · ∂u

∂x

)+ F (x, t) (16.14)

numita ecuatia de propagare a caldurii.

Cateva cazuri particulare:

1) Daca bara este omogena, atunci k, c, ρ pot fi considerati constanti si ecuatia se scriede obicei astfel:

∂u

∂t= a2∂2u

∂x2+ f(x, t)

a2 =k

cρ, f(x, t) =

F (x, t)

unde a2 este o constanta numita difuzivitate termica.

Daca nu avem surse si nici pierderi de caldura ın interiorul barei atunci F (x, t) = 0si ecuatia caldurii are forma simpla:

∂u

∂t= a2∂2u

∂x2

2) Densitatea surselor si a pierderilor de caldura din interiorul barei poate depindede temperatura. Astfel, de exemplu ın cazul unui schimb de caldura cu mediulınconjurator, schimb care se supune legii lui Newton, cantitatea de caldura ”pier-duta” de bara raportata la unitatea de lungime si timp este:

F0 = h(u− θ) (16.15)

unde θ(x, t) este temperatura mediului ambiant, iar h este coeficientul de transfer.(Deoarece ın aproximatia noastra distributia temperaturii pe sectiune transversalaeste uniforma, actiunea ”surselor” superficiale (pierderi sau degajari) este echiva-lenta cu actiunea unor surse spatiale de caldura.)

Astfel, densitatea surselor termice ın punctul x la momentul t este

F = F1(x, t)− h(u− θ)

73

Page 76: Modele Clasice Curs Master

unde F1(x, t) este densitatea celorlalte surse de caldura.

Daca bara este omogena, ecuatia caldurii cu schimb de caldura lateral este de forma:

∂u

∂t= a2∂2u

∂x2− αu + f(x, t) (16.16)

unde α =h

cρsi f(x, t) = α · θ +

F1(x, t)

cρesre functie cunoscuta.

Un alt exemplu ın care densitatea surselor si a pierderilor de caldura din interiorulbarei depinde de temperatura este cazul ın care apare schimbare de faza solid/lichid.

3) De regula, coeficientii k si c sunt functii de temperatura cu variatie lenta. ipotezaconstantei acestor coeficienti este plauzibila cu conditia consideraii unor intervalemici de variatie a temperaturii. In cazul fenomenelor termice ın care variatiatemperaturii este mare ecuatia de propagare a caldurii este cea cvasiliniara:

c(u, x) · ρ(u, x) · ∂u

∂t=

∂x

(k(u, x) · ∂u

∂x

)+ F (x, t) (16.17)

Pentru a identifica ın multimea solutiilor ecuatiei de propagare a caldurii acea functieu(x, t) care descrie distributia temperaturii trebuie sa adaugam la ecuatie conditiila limita si conditii initiale.

In mod uzual se folosesc trei conditii la limita:

1) La frontiera x = 0 (sau x = l) a barei este data temperatura

u(0, t) = µ(t) (16.18)

unde µ(t) este o functie data ıntr-un interval de timp t0 ≤ t ≤ T , ın care sestudiaza fenomenul.

2) La frontiera x = l (sau x = 0) a barei este data valoarea derivatei:

∂u

∂x(l, t) = ν(t). (16.19)

Se ajunge la aceasta ecuatie daca se da valoarea fluxului de caldura Q(l, t)(Q(0, t)) care trece prin extremitatea x = l (x = 0) a barei:

Q(l, t) = −k · ∂u

∂x(l, t)

de unde∂u

∂x(l, t) = ν(t), ın care ν(t) este functie cunoscuta, care se exprima

ın functie de fluxul de caldura Q(l, t) (Q(0, t)) prin formula ν(t) = −Q(l, t)

k,(

−Q(0, t)

k

).

3) La frontiera x = l (x = 0) este data o relatie dintre derivata si diferenta dintreu si o functie data:

∂u

∂x(l, t) = −λ [u(l, t)− θ(t)] (16.20)

74

Page 77: Modele Clasice Curs Master

(∂u

∂x(l, t) = −λ [u(l, t)− θ(t)]

)

Aceasta conditie la limita corespunde unui schimb de caldura dupa legea luiNewton pe frontiera x = l (x = 0) a corpului cu mediul ambient avandtemperatura θ cunoscuta.

Conditia (16.20) se obtine folosind cele doua expresii pentru fluxul termic care

iese prin sectiunea x = l (x = 0): Q = h(u− θ), Q = −k · ∂u

∂xcu λ =

h

knumit

coeficient de transfer. Pentru frontiera x = 0 se modifica relatia (16.20).

Conditiile la limite pentru x = 0 si x = l se pot combina ın diferite moduri. Astfelnumarul diferitelor conditii la limita este mare.

Conditia initiala care se pune ın mod uzual are forma:

u(x, 0) = ϕ(x) (16.21)

ın care ϕ(x) este o functie cunoscuta.

Vom numi solutie a primei probleme la limita o functie u(x, t) care are urmatoareleproprietati:

1) u(x, t) este definita si continua ın domeniul ınchis 0 ≤ x ≤ l si 0 ≤ t ≤ T ;

2) u(x, t) satisface ecuatia caldurii ın domeniul deschis: 0 < x < l, 0 < t < T ;

3) u(x, t) satisface conditiile la limita si conditia initiala: u(0, t) = µ1(t); u(l, t) = µ2(t);u(x, 0) = ϕ(t), unde ϕ(t), µ1(t), µ2(t) sunt functii continue care satisfac conditiilede racordare:

ϕ(0) = µ1(0)(= u(0, 0))

ϕ(0) = µ2(0)(= u(l, 0))

necesare pentru continuitatea lui u(x, t) ın domeniul ınchis.

Pe scurt, ın cazul omogen si surse independente de temperatura, aceasta problema lalimita se noteaza astfel:

∂u

∂t= a2∂2u

∂x2+ f(x, t)

(a2 =

k

cρ; f(x, t) =

F (x, t)

)

u(0, t) = µ1(t), u(l, t) = µ2(t)

u(x, 0) = ϕ(t)

(16.22)

(0 < x < l, 0 < t < T ).

Pentru a arata ca problema (16.22) poate avea doar o singura solutie se rationeaza prinreducere la absurd admitand ca u1(t, x) si u2(t, x) sunt solutii ale lui (16.22).

75

Page 78: Modele Clasice Curs Master

Se verifica usor ca functia u(t, x) = u1(t, x)− u2(t, x) verifica:

∂u

∂t= a2∂2u

∂x2

u(0, t) = 0, u(l, t) = 0

u(x, 0) = 0

(16.23)

Se arata apoi ca o functie u(x, t) definita si continua pe domeniul ınchis 0 ≤ t ≤ T si0 ≤ x ≤ l daca satisface ecuatia:

∂u

∂t= a2∂2u

∂x2(16.24)

ın punctele (x, t) cu 0 < x < l si 0 < t ≤ T , atunci ısi atinge valoarea maxima si minimafie ın momentul initial, fie ın punctele frontierei x = 0 sau x = l. Aceasta proprietatea functiei u(x, t) se demonstreaza printr-un rationament de reducere la absurd. Schitaacestui rationament ın cazul valorii maxime este urmatorul:

- fie M valoarea maxima a functiei u(x, t) pentru t0 ∈ (0, T ) functia u(x, t) atingevaloarea sa maxima

u(x0, t0) = M + ε, ε > 0

- aratam acum ca exista un punct (x1, t1), x1 ∈ (0, l) si t1 ∈ (0, T ) astfel ıncat∂2u

∂x2(x1, t1) ≤ 0 si

∂u

∂t(x1, t1) > 0, ceea ce arata ca u(x, t) nu satisface ecuatia ın

(x1, t1).

Consideram ın acest scop functia ajutatoare:

v(x, t) = u(x, t) + k · (t0 − t) (16.25)

unde k este un numar constant.

Este clar ca avem:v(x0, t0) = u(x0, t0) = M + ε

sik(t0 − t) < k · T, ∀t ≥ 0

Alegem k > 0 astfel ıncat k <ε

2T. In acest caz valoarea maxima a lui v(x, t) pentru

t = 0 si x ∈ [0, l] sau pentru x = 0 sau x = l si t ∈ [0, T ] nu va fi mai mare decat

M +ε

2. Deci

v(x, t) ≤ M +ε

2, t = 0 si x ∈ [0, l]

x = 0 si t ∈ [0, T ]

x = l si t ∈ [0, T ]

(16.26)

Functia v atinge valoarea maxima ıntr-un punct (x1, t1) ∈ [0, l] × [0, T ]. Este clarca avem

v(x1, t1) ≥ v(x0, t0) = M + ε

76

Page 79: Modele Clasice Curs Master

De aici t1 > 0 si x1 ∈ (0, l) (ın t = 0 sau x = 0, x = l are loc (16.26)).

In (x1, t1) avem vxx(x1, t1) = uxx(x1, t1) ≤ 0 si vt(x1, t1) = ut(x1, t1) − k ≥ 0 sauut(x1, t1) ≥ k > 0. Astfel ın (x1, t1) ecuatia (16.24) nu poate fi satisfacuta.

Pentru a construi solutia u(x, t) a problemei (16.22) se alege functia auxiliara U(x, t)definita prin:

U(x, t) = µ1(t) +x

l[µ2(t)− µ1(t)] (16.27)

si se arata ca functia v(x, t) definita prin:

v(x, t) = u(x, t)− U(x, t) (16.28)

verifica ecuatia:

∂v

∂t= a2 ∂2v

∂x2+ f(x, t)

v(0, t) = 0, v(l, t) = 0

v(x, 0) = ϕ(x)− µ1(0)− x

l[µ2(0)− µ1(0)] = ϕ(x)

(16.29)

cuf(x, t) = f(x, t)− µ1

′(0)− x

l[µ2

′(t)− µ1′(t)] = ϕ(x)

si

ϕ(x) = ϕ(x)− µ1(0)− x

l[µ2(0)− µ1(0)] .

Aceasta problema se rezolva cu metoda separarii variabilelor.

Se cauta solutia problemei (16.28) sub forma unei serii Fourier de sinnπ

lx:

v(x, t) =∞∑

n=1

vn(t) · sin nπ

lx. (16.30)

considerand t ca parametru. Determinarea lui v(x, t) revine la determinarea functiilor

vn(t). Reprezentam functia f(x, t) sub forma unei serii Fourier de sinnπ

lx:

f(x, t) =∞∑

n=1

fn(t) · sin nπ

lx

fn(t) =2

l

l∫

0

f(ξ, t) · sin nπ

lξdξ

(16.31)

Introducand forma presupusa a solutiei (16.30) ın ecuatia (16.29)1 obtinem:

∞∑n=1

(nπ

l

)2

· a2 · vn(t) + vn′(t)− fn(t)

· sin nπ

lx = 0

77

Page 80: Modele Clasice Curs Master

de unde obtinem:

vn′(t) = −a2

(nπ

l

)2

vn(t) + fn(t). (16.32)

Folosind conditia initiala pentru v(x, t): v(x, 0) = ϕ(x) gasim:

ϕ(x) =∞∑

n=1

vn(0) · sin nπ

lx

de unde

vn(0) =2

l

l∫

0

ϕ(x) · sin nπ

lxdx. (16.33)

Solutia ecuatiei diferentiale (16.32) cu conditia initiala (16.33) este:

vn(t) = e− nπa

l

!2

·t· vn(0) +

t∫

0

e− nπa

l

!2

·(t−τ)

· fn(τ)dτ (16.34)

Introducand expresia (16.34) ın (16.30) obtinem solutia problemei:

v(x, t) =∞∑

n=1

vn(0)e− nπa

l

!2

·t· sin nπ

lx +

∞∑n=1

t∫

0

e− nπa

l

!2

·(t−τ)

· fn(τ)dτ

sin

lx

Exercitii:

1) Sa se rezolve si sa se simuleze problema racirii unei bare omogene uniform ıncalzitecu temperatura nula la extremitati, presupunand ca nu exista schimb de caldura cusuprafata laterala.

2) Temperatura initiala a uni bare este u(x, 0) = u0 = const pentru 0 < x < l.Temperatura extremitatilor se mentine constanta u(0, t) = u1, u(l, t) = u2 pentru0 < t < ∞. Sa se determine evolutia ın timp a temperaturii barei daca nu existaschimb de caldura pe suprafata laterala.

Bibliografie:

1) A. Tihonov, A.A. Samarski: Ecuatiile Fizicii Matematice. Editura Tehnica (1956).

78

Page 81: Modele Clasice Curs Master

17 Model pentru ınghetare (solidificare)

Datorita variatiei temperaturii unui corp, se poate produce o schimbare a starii fizice aacestuia: cand temperatura trece prin punctul de topire se poate produce o trecere din fazalichida ın faza solida (sau trecerea inversa). Pe suprafata pe care are loc transformareade faza se mentine tot timpul o temperatura constanta (cea de topire=solidificare). Ladeplasarea suprafetei transformarii de faza, se produce o degajare a caldurii de solidificare(topire). In cele ce urmeaza vom deduce conditia care trebuie satisfacuta la suprafata desolidificare si care conduce la ecuatia de evolutie ın timp a suprafetei de solidificare.

Consideram problema plana cand suprafata de separatie este planul z = ξ(t). In intervalulde timp t si t + ∆t, frontiera z = ξ se deplaseaza de la punctul ξ = z1 pana la punctulξ = z2 = z1 + ∆ξ. Totodata se solidifica masa ρ ·∆ξ (sau se topeste daca ∆ξ < 0) si sedegaja cantitatea de caldura corespunzatoare Λ · ρ ·∆ξ (Λ este caldura latenta a unitatiide volum).

Pentru a satisface bilantul termic, aceasta cantitate de caldura trebuie sa fie egala cudiferenta dintre cantitatile de caldura care traverseaza frontierele ξ = z1 si ξ = z2. Adicatrebuie ındeplinita conditia:

[k1

∂u1

∂z

∣∣∣∣z1

− k2∂u2

∂z

∣∣∣∣z2

]∆t = Λ · ρ2 ·∆ξ

unde k1 si k2 sunt coeficientii de conductibilitate termica pentru prima si a doua faza, iarΛ este caldura latenta de topire.

Trecand la limita pentru ∆t → 0 obtinem conditia suplimentara la suprafata de separatiesub forma:

k1∂u1

∂z

∣∣∣∣z=ξ

− k2∂u2

∂z

∣∣∣∣z=ξ

= Λ · ρ2 · dξ

dt(17.1)

Acesta ecuatie este valabila atat pentru procesul de solidificare (cand ∆ξ > 0 sidξ

dt> 0)

cat si pentru procesul de topire (cand ∆ξ < 0 sidξ

dt< 0); sensul procesului este indicat

de semnul membrului stang.

Sa examinam fenomenul de ınghetare a apei, pentru care temperatura transformarii defaza este egala cu zero.

Vom considera o masa de apa ın regiunea z ≥ 0 a spatiului marginta, de o parte de planulz = 0. In momentul initial admitem ca temparatura apei este constanta si egala cu c > 0(c cu putin mai mare ca zero).

Daca pe suprafata z = 0 se mentine tot timpul o temperatura c1 < 0, suprafata deınghetare z = ξ va patrunde cu timpul ın adancimea lichidului.

Problema distributiei temperaturilor ın apa (care ıngheata) si ın ghiata (care se formeaza)

79

Page 82: Modele Clasice Curs Master

si a vitezei de propagare a suprafetei de solidificare se reduce la rezolvarea ecuatiilor:

∂u1

∂t= a2

1 ·∂2u1

∂z2, 0 < z < ξ (ghiata)

∂u2

∂t= a2

2 ·∂2u2

∂z2, ξ < z < +∞ (apa)

(17.2)

cu conditiile suplimentare:

u1 = c1 pentru z = 0u2 = c pentru t = 0

(17.3)

si cu conditiile pe suprafata de solidificare

u1 = u2 = 0 pentru z = ξ (17.4)

k1 · ∂u1

∂z

∣∣∣∣z=ξ

− k2 · ∂u2

∂z

∣∣∣∣z=ξ

= Λ · ρ · dξ

dt(17.5)

unde k1, a21 si k2, a2

2 sunt coeficientii de conductibilitate termica si difuzie interna pentrufazele solida, respectiv lichida.

Pentru ca faza lichida este nemarginita ξ < z < +∞ si nu avem conditie la limita la+∞ si faza solida nu are conditie la limita la −∞ pentru aceaste faze vom cauta solutiaproblemei sub forma:

u1 = A1 + B1 · Φ(

z

2 · a1

√t

)

u2 = A2 + B2 · Φ(

z

2 · a2

√t

)

unde A1, B1, A2 si B2 sunt constante nedeterminate, iar Φ este functia:

Φ(x) =2√π

x∫

0

e−ξ2

numita integrala erorilor.

Punand pentru aceste functii u1, u2 conditiile (17.3) si (17.4) obtinem:

A1 = c1, A2 + B2 = c

A1 + B1 · Φ(

ξ

2 · a1

√t

)= 0

A2 + B2 · Φ(

ξ

2 · a2

√t

)= 0

Ultimele conditii trebuie sa aibe loc pentru orice valori ale lui t. Acest lucru este posibilnumai daca ξ = α

√t unde α este o constanta.

Relatiaξ = α

√t (17.6)

80

Page 83: Modele Clasice Curs Master

determina legea de miscare a suprafetei de solidificare.

Pentru constantele A1, B1, A2, B2 si α se obtin relatiile:

A1 = c1 B1 = − c1

Φ

2a1

)

A2 =

c · Φ(

α

2a2

)

1− Φ

2a1

) B2 =c

1− Φ

2a2

)

(17.7)

Pentru a determina constanta α trebuie sa folosim relatia (17.1):

k1 · c1 · e−

α2

4a21

a1Φ

2a1

) +k2 · c · e

−α2

4a22

a2

[1− Φ

2a2

)] = −Λρα

√π

2(17.8)

Solutia acestei ecuatii transcedente ne va da valoarea lui α. Existenta a cel putin uneisolutii pentru c1 < 0, c > 0 rezulta din faptul ca membrul stang al ecuatiei variaza de la−∞ la +∞, iar membrul drept de la 0 la −∞, atunci cand α variaza de la 0 la +∞.

In cazul cand c = 0 (temperatura de topire) expresiile (17.7) si (17.8) pentru determinareacoeficientilor iau o forma mai simpla:

A2 = B2 = 0

A1 = c1; B1 = − c1

Φ

2a1

)

si

k1 · c1 · e−

α2

4a21

a1Φ

2a1

) = −Λρα

√π

2

Punandα

2 · a2

= β ecuatia anterioara poate fi scrisa astfel:

1√π· e−β2

Φ(β)= −Dβ

unde constanta D este data de expresia:

D =Λ · ρ · a2

1

k1 · c1

< 0

Folosind graficul functiei ϕ(β) =eβ

√πΦ(β)

se poate gasi usor valoarea lui α.

81

Page 84: Modele Clasice Curs Master

Exercitiu: Rezolvati problema ınghetarii (solidificarii) ın conditiile ın care domeniulocupat de apa este marginit z ≤ d si conditia la limita superioara este u2|z=d = c.

Bibliografie:

1) A. Tihonov, A.A. Samarski: Ecuatiile Fizicii Matematice. Editura Tehnica (1956).

82

Page 85: Modele Clasice Curs Master

18 Model pentrru propagarea undelor de

temperatura ın sol

Propagarea undelor de temperatura ın sol este unul din primele exemple de aplicatiea modelului matematic a propagarii caldurii, dezvoltata de Fourier, pentru studiulfenomenelor naturii.

Dupa cum se stie, temperatura de la suprafata Pamantului are o variatie periodica diurnasi anuala. Ne vom ocupa de problema propagarii acestor variatii periodice ın sol pe careıl vom considera un semispatiu omogen 0 ≤ x < +∞.

Aceasta problema este o problema tipica fara conditii initiale. Influenta temperaturiiinitiale este neglijabila prin raport cu repetarea continua a variatiei temperaturii lasuprafata.

Modelul este definit prin:

∂u

∂t= a2 · ∂2u

∂x2, 0 ≤ x < +∞, t > −∞

u(0, t) = A · cos ωt

(18.1)

Mai exact se cere determinarea solutiei marginite a ecuatiei de mai sus care verificaconditia data.

Conditia la limita u(0, t) = A cos ωt este partea reala a functiei complexe µ(t) = Aeiωt.

De aceea consideram problema:

∂u

∂t= a2 · ∂2u

∂x2, 0 ≤ x < +∞, t > −∞

u(0, t) = Aeiωt

(18.2)

Din liniaritatea ecuatiei din (18.1) rezulta ca partile reala si imaginara a unei solutiicomplexe a ecuatiei, satisfac fiecare separat aceeasi ecuatie.

Daca am gasit solutia complexa a ecuatiei din (18.2) care satisface conditia la limitadin ecuatia (18.2), atunci partea ei reala satisface ecuatia din (18.1) si conditia la limitaasociata, iar cea imaginara satisface ecuatia din (18.1) si conditia la limita u(0, t) =A sin ωt.

Cautam solutia complexa a problemei formata din ecuatia din (18.2) si conditia la limitadin (18.2) sub forma:

u(x, t) = Aeαx+βt (18.3)

unde α si β sunt constante nedeterminate.

Introducand expresia (18.3) ın (18.2) si conditia la limita, gasim:

α2 =1

a2· β, β = iω

83

Page 86: Modele Clasice Curs Master

de unde

α = ±√

β

a2= ±

√ω

a2δi = ±

√ω

a2· 1 + i√

2= ±

[√ω

2a2+ i

√ω

2a2

]

Pentru u(x, t) avem

u(x, t) = A · e±s

ω

2a2·x+i

±s

ω

2a2x+ωt

!(18.4)

Partea reala a acestei solutii este:

u(x, t) = A · e±s

ω

2a2·x· cos

√ω

2a2x + at

)(18.5)

si satisface ecuatia caldurii si conditia la limita.

Formula (18.5) ın functie de alegerea semnului reprezinta doua solutii. Dar numai solutiacare corespunde semnului minus satisface conditia de marginire. Astfel solutia marginitaa problemei puse este functia:

u(x, t) = A · e−s

ω

2a2·x· cos

(−

√ω

2a2x + ωt

)(18.6)

Pentru a demonstra ca (18.6) este unica solutie marginita a problemei (18.1) se pleaca dela formula care reprezinta solutia marginita a ecuatiei caldurii ın functie de valoarea eiinitiala u(x, t0) si conditia la limita u(0, t) = µ(t) ın domeniul x ≥ 0, t ≥ t0;

u(x, t) =a2

2√

π

t∫

t0

x

[a2(t− τ)]3/2· e−

x2

4a2(t− τ) · u(0, τ)dτ

+1√2π

+∞∫

t0

1√a2(t− t0)

·

e−

(x− ξ)2

4a2(t− t0) − e−

(x + ξ)2

4a2(t− t0)

· u(ξ, t0)dξ = I1 + I2

(18.7)

Se arata ca limt0→−∞

I2(t) = 0 si rezulta ca

u(x, t) =a2

2√

π

t∫

−∞

x

[a2(t− τ)]3/2· e−

x2

4a2(t− τ) · u(0, τ)dτ (18.8)

din care rezulta unicitatea.

Pe baza formulei (18.6) se poate da urmatoarea caracterizare a fenomenului de propagarea undei de temperatura ın sol.

1) Deoarece temperatura la suprafata solului variaza periodic, ın sol se stabilesc oscilatiide temperatura de aceeasi perioada.

84

Page 87: Modele Clasice Curs Master

2) Amplitudinea oscilatiilor descreste exponential cu adancimea: A(x) = A · e−s

ω

2a2x

,adica daca adancimile cresc ın progresie aritmetica, amplitudinile descresc ınprogresie geometrica (prima lege a lui Fourier).

3) Oscilatiile de temperatura din sol se produc cu defazaj. Timpul δ de ıntarzierea maximelor (minimelor) de temperatura din sol fata de momentele respective de

pe suprafata sunt proportionale cu adancimea: δ =

√1

2ωa2x (legea a doua a lui

Fourier).

4) Adancimea de patrundere a temperaturii ın sol depinde de perioada oscilatiilor detemperatura de pe suprafata. Variatia relativa a amplitudinii de temperatura esteegala cu:

A(x)

A= e

−s

ω

2a2x

Aceasta formula arata ca, cu cat perioada este mai mica cu atat adancimea depatrundere a temperaturii este mai mica. Pentru oscilatii de temperatura cuperioadele T1 si T2 adancimile x1 si x2, pentru care se produce o variatie relativaegala cu temperatura, sunt legate prin relatia:

x2 =

√T2

T1

x1

(a treia lege a lui Fourier).

Astfel, de exemplu, comparatia oscilatiilor diurne si anuale, pentru care T2 = 365T1 arataca

x2 =√

365x1 = 19, 1x1

Prin urmare, adancimea de patrundere a oscilatiilor anuale, cu amplitudine egala cu cea aoscilatiilor diurne la suprafata, este de 19,1 ori mai mare decat adancimea de patrunderea oscilatiilor diurne.

Rezultatele observatiilor asupra oscilatiilor de temperatura anuale la statia Gos, dinregiunea Acum sunt:

Adancimea (m) Amplitudinea (oC)1 11, 52 6, 83 4, 24 2, 6

Aceste date arata ca amplitudinea oscilatiilor anuale la o adancime de 4m scade pana la13, 3% din valoarea sa de la suprafata egala cu 19, 5o.

Pe baza acestor date se poate determina coeficientul de conductibilitate termica a solului:

lnA(x)

A= −

√ω

2a2x, a2 =

ωx2

2

(ln

A(x)

A

)2

85

Page 88: Modele Clasice Curs Master

de unde gasim coeficientul de conductibilitate termica a solului:

a2 = 4 · 10−3 cm2

s.

Timpul de ıntarziere al temperaturii maxime la adancimea de 4m atinge 4 luni.

Trebuie avut ın vedere ca teoria expusa aici se refera la propagarea caldurii ıntr-un soluscat sau roci de munte.

Prezenta umiditatii complica fenomenele termice din sol. Prin ınghet, se producedegajarea caldurii latente, care nu a fost luata ın consideratie ın aceasta teorie.

Conductibilitatea termica este una din caracteristicile corpului si este importanta ınstudiul proprietatilor fizice, precum si ın diferite calcule tehnice. Pe studiul propagariiundelor de temperatura ın bare se bazeaza una din metodele de laborator de determinarea conductibilitatii termice.

Exercitiu: Simulati propagarea undelor de temperatura ın sol datorate variatiilor anualede temperatura pe suprafata Pamantului.

Bibliografie:

1) A. Tihonov, A.A. Samarski: Ecuatiile Fizicii Matematice. Editura Tehnica (1956).

86

Page 89: Modele Clasice Curs Master

19 Model pentru transport de caldura prin

conductie si convectie ın spatiul (3D)

Ecuatia de propagare a caldurii prin conductie ın corpuri marginite a fost stabilita ınipoteza ca particulele mediului (care era un solid) nu se deplaseaza. Exista ınsa situatii ıncare particulele mediului ın care are loc transportul de caldura, se deplaseaza. Asemeneasituatii apar ın cazul transportului de caldura ıntr-un gaz sau lichid ın miscare.

Pentru a stabili ın acest caz ecuatia transportului de caldura consideram un mediu fluid(gaz sau lichid) ın miscare si notam cu v = v(x, t) campul de viteze. Pentru o portiunede spatiu ω situat ın acest mediu fluid ın miscare, cantitatea de caldura care trece prinsuprafata ∂ω ın intervalul de timp (t1, t2) este data de:

Q1 = −t2∫

t1

(∫ ∫

∂ω

k∂u

∂ndσ

)dt +

t2∫

t1

(∫ ∫

∂ω

c · ρ · u · v · n dσ

)dt (19.1)

ın care: k este coeficientul de conductibilitate termica a mediului fluid, n este versorulnormalei la ∂ω ındreptata ınspre exteriorul lui ω, c este caldura specifica a mediului fluid,ρ este densitatea mediului fluid, u este temperatura.

Daca F (x, t) este densitatea pe unitate de volum a ”surselor” de caldura din mediu, atuncicantitatea de caldura degajata ın ω de aceste surse ın perioada de timp (t1, t2) este:

Q2 =

t2∫

t1

∫ ∫

ω

∫F (x, t)dVx

dt. (19.2)

In sfarsit, variatia cantitatii de caldura Q3 din ω este:

Q3 =

∫ ∫

ω

∫c · ρ · [u(x, t2)− u(x, t1)] dVx. (19.3)

Ecuatia de bilant va fiQ3 = Q1 + Q2 (19.4)

din care rezulta ecuatia:

c · ρ · ∂u

∂t= ∇(k∇u)−∇(c · ρ · u · v) + F (x, t) (19.5)

sau echivalent

∂u

∂t+

1

c · ρ · ∇(c · ρ · u · v) =1

c · ρ∇(k∇u) +1

c · ρF (x, t) (19.6)

Daca fluidul este omogen atunci c, k, ρ sunt constante si avem:

∂u

∂t+ ∆(u · v) =

k

c · ρ · ∇u +F

c · ρ (19.7)

87

Page 90: Modele Clasice Curs Master

Daca fluidul este incompresibil (este lichid) atunci ∇(v) = 0 si ecuatia devine:

∂u

∂t+∇u · v = a2 · ∇u + f (19.8)

cu f =F

c · ρ si a =

√k

c · ρ .

Pentru a identifica ın multimea solutiilor ecuatiei de propagare a caldurii acea functieu(x, t) care descrie distributia temperaturii trebuie sa adaugam la ecuatie conditii lalimita si conditii initiale.

In mod uzual se folosesc urmatoarele tipuri de conditii la limita:

1) La frontiera ∂Ω (sau o parte a frontierei ∂Ω) a domeniului ın care se petrecefenomenul, este data de temperatura:

u(x, t)|x∈∂Ω = µ(x, t)|x∈∂Ω (19.9)

unde µ(x, t) este o functie data pe ∂Ω × [0, T ]; [0, T ] reprezinta intervalul de timpın care se studiaza fenomenul.

2) La frontiera ∂Ω (sau o parte a frontiereai ∂Ω) a domeniului ın care se petrecefenomenul este data de valoarea derivatei normale.

∂u

∂n

∣∣∣∣x∈∂Ω

= ν(x, t)|x∈∂Ω (19.10)

Se ajunge la aceasta conditie daca se da valoarea fluxului de caldura Q(x, t) caretrece prin suprafata ∂Ω:

Q(x, t)|x∈∂Ω = −k · ∂u

∂n(x, t)

∣∣∣∣x∈∂Ω

. (19.11)

De aici∂u

∂n(x, t)

∣∣∣∣x∈∂Ω

= ν(x, t)|x∈∂Ω este functie cunoscuta care se exprima ın functie

de fluxul de caldura Q(x, t)|x∈∂Ω cu formula ν(x, t) = −Q(x, t)

k

∣∣∣∣x∈∂Ω

.

3) La frontiera ∂Ω (sau o parte a frontierei) este data o relatie dintre derivata normalasi diferenta dintre u si o functie data:

∂u

∂n(x, t)

∣∣∣∣x∈∂Ω

= −λ [u(x, t)− θ(x, t)]|x∈∂Ω (19.12)

Acesta conditie la limita corespunde unui schimb de caldura dupa legea lui Newtonpe frontiera ∂Ω a corpului cu mediul ambient avand temperatura cunoscuta θ(x, t).Conditia (19.12) se obtine folosind cele doua expresii pentru fluxul termic prin: ∂Ω:

Q = h(u− θ), Q = −k · ∂u

∂ncu λ =

h

knumit coeficientul de transfer.

88

Page 91: Modele Clasice Curs Master

4) La frontiera ∂Ω (sau o parte a frontierei) este data o relatie dintre derivata normalasi diferenta dintre u∗ si o functie data:

∂u

∂n(x, t)

∣∣∣∣x∈∂Ω

= σ · f [u∗(x, t)− θ∗(x, t)] (19.13)

Aceasta conditie la limita corespunde unui schimb de caldura prin radiatie dupalegea lui Stefan-Boltzman, pe frontiera ∂Ω a corpului cu mediul ambient. In (19.13)σ este constanta lui Stefan Boltzmann, θ(x, t) este temperatura mediului (a ecranuluicare absoarbe temperatura), f este un factor ce include factorul gri si forma corpuluisi a ecranelor absorbante.

Conditiile (1)-(4) se pot combina ın diferite moduri pe diferite portiuni ale lui ∂Ω si astfelnumarul conditiilor la frontiera este mare.

Conditia initiala care se pune ın mod uzual este:

u(x, 0) = ϕ(x)|x∈Ω

Exercitiu: Sa se determine si sa se simuleze transportul de caldura ıntr-un curent de apacare curge ıntr-un tub cilindric cu viteza constanta v presupunand ca tubul este izolatpe suprafata laterala, nu exista surse de caldura ın interior, temperatura pe o sectiunetransversala a tubului este aceeasi si temperatura la intrare ın tub este u1, iar la iesiredin tub este u2.

Bibliografie:

1) H.S. Carslaw, J.C. Jaeger, Conduction of Heat in solids, Clarendon Press Oxford,1959, 148 pg.

89

Page 92: Modele Clasice Curs Master

20 Model de transport de caldura prin conductie si

convectie si radiatie (1D)

Exista ın literatura modele de transport de caldura prin conductie si convectie tratateıntr-o singura dimensiune (de exemplu, ın cresterea cristalelor profilate). In aceste tratariconditiile la limita se pun numai la capete (acestea constituie frontiera domeniului), iarconditiile de schimb de caldura care apar pe suprafata laterala, care ın realitate exista,dar ın model nu exista, sunt incluse ın ecuatie.

Astfel ecuatia care guverneaza un asemenea proces este:

∂u

∂t= a2 · ∂2u

∂x2− v · ∂u

∂x− a2

k

[λ(µ− θ) + σ · f · (u4 − θ4)

](20.1)

Semnificatia simbolurilor ce apar ın aceasta ecuatie este cea din paragraful precedent.

Conditiile la limita si conditia initiala ın acest caz sunt cele prezentate ın paragraful (16).

Pentru mai multe detalii a se vedea [1], [2].

Bibliografie:

1) H.S. Carslaw, J.C. Jaeger, Conduction of Heat in solids, Clarendon Press Oxford,1959, 148 pg.

2 Y. A. Tatarchenko, Shaped Crystal Growth, Kluwer Academic Publishers, 1993.

90

Page 93: Modele Clasice Curs Master

21 Model pentru dinamica fluidelor ideale (gaze si

lichide ideale). Curgerea lichidelor ideale

Pentru a descrie miscarea unui fluid (gaz sau lichid) ideal se folosesc variabilele:vx(x, y, z, t), vy(x, y, z, t), vz(x, y, z, t) care reprezinta componenetele vectorului viteza v ınpunctul (x, y, z) la momentul t, densitatea ρ(x, y, z, t), presiunea p(x, y, z, t) si densitateafortelor active exterioare F (x, y, z, t)(daca exista) raportate la unitatea de masa. Dintreaceste variabile v = (vx, vy, vz), ρ si p sunt necunoscute si F se considera cunoscut.

Pentru a deduce ecuatiile pe care le satisfac aceste variabile consideram un volum de fluidΩ si calculam fortele care actioneaza asupra unei parti oarecare ω ⊂ Ω.

Fluidul fiind ideal rezultanta fortelor de presiune este:

−∫ ∫

∂ω

p · n dS (21.1)

unde n este versorul normalei exterioare.

Formula lui Ostrogradski ne da:

−∫ ∫

∂ω

p · n dS = −∫ ∫

ω

∫grad p dV. (21.2)

Pentru a calcula acceleratia unui punct din Ω al fluidului tinem seama de deplasareapunctului x = x(t), y = y(t), z = z(t). Derivata vitezei v(x(t), y(t), z(t), t) este

dv

dt=

∂v

∂t+

∂v

∂x· x +

∂v

∂y· y +

∂v

∂z· z =

∂v

∂t+

∂v

∂x· vx +

∂v

∂y· vy +

∂v

∂z· vz =

∂v

∂t+ (v∇)v

unde

∇ = i · ∂

∂x+ j · ∂

∂y+ k · ∂

∂z

O astfel de derivata ın raport cu timpul care tine seama de miscarea particulei mediului(substantei) se numeste derivata materiala.

Ecuatia de miscare a fluidului exprima relatia obisnuita ıntre acceleratia particulelor sifortele care actioneaza asupra lor:

∫ ∫

ω

∫ρ · dv

dtdτ = −

∫ ∫

ω

∫grad p · dV +

∫ ∫

ω

∫ρ · F dV (21.3)

ın care ultima integrala reprezinta rezultanta fortelor exterioare aplicate volumului ω.

Intrucat volumul ω a fost ales arbitrar din (21.3) obtinem ecuatia:

∂v

∂t+ (v∇)v = −1

ρgrad p + F (21.4)

care este ecuatia de miscare a unui fluid ideal sub forma lui Euler.

91

Page 94: Modele Clasice Curs Master

Trecem acum la deducerea ecuatiei de continuitate. Daca ın interiorul lui ω nu avem niciun fel de ”surse” (pozitive sau negative) variatia ın unitatea de timp a cantitatii de fluidcuprins ın interiorul lui ω este egala cu fluxul prin frontiera ∂ω:

d

dt

∫ ∫

ω

∫ρ dV = −

∂ω

∫ρ · v · n dS (21.5)

Transformarea integralei de suprafata ın integrala de volum ne da:

∫ ∫

ω

∫ (∂ρ

∂t+ divρv

)dV = 0 (21.6)

Transformarea integralei de suprafata ın integrala de volum ne da:

∫ ∫

ω

∫ (∂ρ

∂t+ divρv

)dV = 0

Deoarece aceasta egalitate este valabila pentru volume oricat de mici, rezulta ecuatia decontinuitate:

∂ρ

∂t+ div(ρv) = 0

sau∂ρ

∂t+ v divρ + ρ div v = 0 (21.7)

La ecuatiile (21.3) si (21.7) trebuie adaugata ecuatia de stare termodinamica, pe care oluam sub forma

p = f(ρ).

Prin urmare, am obtinut un sistem de cinci ecuatii cu cinci functii necunoscute vx, vy, vz,p si ρ

∂v

∂t+ (v∇)v = −1

ρgradp + F

∂ρ

∂t+ div(ρv) = 0

p = f(ρ)

(21.8)

care reprezinta sistemul complet de ecuatii ale hidrodinamicii. Daca ecuatia de stare arcontine temperatura, ar trebui sa adaugam si ecuatia transportului de caldura.

Lichidele ideale sunt incomprensibile. Prin asta ıntelegem ca volumul oricarei parti alichidului nu se modifica pe parcursul procesului. Aceasta ınseamna ca, daca ω este oparte oarecare a lichidului la momentul initial (t = 0) volumul acesteia nu se modifica peparcursul procesului: V (ωt) = V (ω0) pentru orice t ≥ 0. Deoarece V (ωt) este dat de

V (ωt) =

∫ ∫

ω0

∫J dV (21.9)

unde J este Jacobianul transformarii.

92

Page 95: Modele Clasice Curs Master

Rezulta de aici conditia

0 =dV

dt=

∫ ∫

ω0

∫dJ

dtdV =

∫ ∫

ω0

∫J∇v dV.

ω0 fiind oarecare, rezulta∇v = 0. (21.10)

Prin urmare ın cazul lichidelor ideale pe langa ecuatia (21.9) avem conditia de incompre-sibilitate (21.10).

Conditia de incompresibilitatea (21.10) ımpreuna cu ecuatia de continuitate (21.7) implica

conditiadρ

dt= 0, adica

d

dt[ρ(x(t), y(t), z(t), t)] = 0 ceea ce ınseamna ca densitatea este

constanta pe traiectoriile particulelor de substanta.

In cazul ecuatiei de stare ρ = ρ(p) de aici rezulta conditia:

dp= 0

ceea ce implica ρ = ρ0 =constant.

In acest fel se obtine ca pentru lichide ideale incompresibile pentru care ecuatia de stareeste ρ = ρ(p), densitatea este constanta si ecuatia de continuitate este echivalenta cu ceade incompresibilitate.

Prin urmare ecuatiile care descriu miscarea unui lichid ideal incompresibil sunt:

∂v

∂t+ (v∇)v = −1

ρgradp + F

∇v = 0.

(21.11)

Pentru un lichid ın miscare avand campul de viteze v = v(x, t) definim traiectoria ca fiindcurba descrisa de o particula care se misca ın timp. Traiectoria este o solutie a sistemului

dx

dt= v(x(t), t). (21.12)

O linie de curent la momentul t este o curba integrala a campului de viteze v(x, t). Altfelspus, daca x(s) este o linie de curent la momentul t (parametrizata dupa s), atunci x(s)verifica sistemul:

dx

ds= v(x(s), t). (21.13)

Daca campul de viteze nu depinde explicit de timp

(∂v

∂t= 0

)atunci se spune ca este

stationar.

In cazul campurilor stationare traiectoriile si liniile de curent coincid. Presupunand casingura forta exterioara care actioneaza asupra particulelor de lichid ideal este gravitatia

93

Page 96: Modele Clasice Curs Master

F si ca reperul R = (O, i, j, k) este ales astfel ca sa avem g = −g · j ecuatiile de miscarese scriu astfel:

∂v

∂t+ (v∇)v = −∇χ− 1

ρ0

∇p

∇v = 0.

(21.14)

unde χ = gy.

Folosind identitatea:

(v∇)v = ∇(

1

2|v|2

)+ rot(v)× v

putem scrie∂v

∂t+ rot(v)× v = −∇

(χ +

p

ρ0

+1

2|v|2

)(21.15)

Daca miscarea este este stationara, atunci∂v

∂t= 0 si ecuatia (21.15) devine

rotv × v = −∇(

χ +p

ρ0

+1

2|v|2

)(21.16)

Inmultim scalar egalitatea (21.16) cu v si obtinem

0 = v ×∇H (21.17)

unde H = χ +p

ρ0

+1

2|v|2.

Ecuatia (21.17) arata ca functia H este constanta pe liniile de curent (traiectorii). acestrezultat este cunoscut sub denumirea de teorema lui Bernoulli-Lagrange. Stabileste doarca H este constanta pe traiectorie (linie de curent) si nu spune nimic despre valoarea luiH atunci cand se schimba traiectoria.

Referitor la acest ultim aspect se poate spune ca, daca miscarea este irotationala rotv = 0,atunci (21.16) devine:

∇H = 0 (21.18)

ceea ce arata ca H este constanta pe tot campul de miscare. In absenta gravitatiei, functiaH este

H =p

ρ0

+1

2|v|2

Teorema lui Bernoulli-Lagrange este valabila ıntr-un context mai larg, ın care fortele careactioneaza sunt potentiale.

Printre miscarile unui lichid ideal, un rol deosebit ıl are miscarea plana. In miscareaplana, vitezele sunt peste tot paralele cu un plan fix, iar distributia vitezelor este acceasiın toate planele paralele cu planul fix.

In cazul miscarilor plane este suficient sa cunoastem distributia vitezelor particulelor ıntr-unul din planele paralele cu planul fix. In tratarea miscarilor de acest gen, se alege unastfel de plan si un reper R(O, i, j, k), astfel ca O sa apartina planului si i si j sa fie incluse

94

Page 97: Modele Clasice Curs Master

ın plan, iar k sa fie perpendicular pe plan si reperul R sa fie drept. Vectorul v ıntr-unpunct de coordonate (x, y, 0) situat ın planul ales poate fi scris astfel:

v = v(x, y, t) = vx(x, y, t)i + vy(x, y, t)j

Daca miscarea este stationara atunci vx, vy nu depind de t si astfel vx = vx(x, y),vy = vy(x, y).

Viteza v ıntr-un punct oarecare (x, y, z) se reprezinta astfel:

v = v(x, y, z) = vx(x, y)i + vy(x, y)j

Din conditia de incompresibilitate rezulta ın acest caz egalitatea:

∂vx

∂x+

∂vy

∂y= 0 (21.19)

Aceasta implica existenta unei functii Ψ = Ψ(x, y) cu proprietatea:

vx =∂Ψ

∂y, vy = −∂Ψ

∂x(21.20)

Se vede usor ca functia Ψ este constanta pe liniile de curent (traiectorii) si se numestefunctie de curent.

Functia de curent Ψ ınlocuita ın ecuatia lui Euler ne conduce la sistemul:

∂Ψ

∂y· ∂2Ψ

∂x∂y− ∂Ψ

∂x· ∂2Ψ

∂y2= Fx − 1

ρ· ∂p

∂x

−∂Ψ

∂y· ∂2Ψ

∂x2+

∂Ψ

∂x· ∂2Ψ

∂x∂y= Fy − 1

ρ· ∂p

∂y

0 = Fz − 1

ρ· ∂p

∂z

(21.21)

Din aceste ecuatii rezulta:

∂Ψ

∂y

(∂3Ψ

∂x3+

∂Ψ3

∂x∂y2

)− ∂Ψ

∂x

(∂3Ψ

∂y3+

∂Ψ3

∂x2∂y

)=

∂Fx

∂y− ∂Fy

∂x(21.22)

∂Fx

∂y− ∂Fy

∂x= Φ(x, y)

∂Fx

∂z− ∂Fz

∂x= 0

∂Fy

∂z− ∂Fz

∂y= 0

(21.23)

Ecuatia (21.23) reprezinta conditii necesare pe care trebuie sa le ındeplineasca fortelemasice ın cazul miscarilor plane.

Ecuatia (21.22) este ecuatia pe care trebuie sa o satisfaca functia de curent.

95

Page 98: Modele Clasice Curs Master

Se poate arata ca setul de conditii (21.23) sı (21.22) este si suficient pentru ca fortelemasice care le satisfac sa genereze o miscare plana stationara a lichidului ideal. Rezultade aici ca un camp de forte masice potential genereaza o miscare plana.

Din multimea miscarilor plane stationare v, p care se obtin pentru acelasi camp de fortemasice F (care verifica (21.23))) folosind diferite solutii Ψ ale ecuatiei (21.22) determinareaunei miscari plane anume se face impunand conditii la limita. aceasta conditie este ıngeneral o conditie de alunecare pe frontiera lui Ω:

v · n = 0 pe ∂Ω (21.24)

Aceasta conditie se realizeaza daca si numai daca frontiera ∂Ω este linie de curent

Ψ = const pe ∂Ω.

Exercitiu: Determinati miscarea plana a unui lichid ideal ın cilindrul 0 ≤ x2 + y2 ≤ R2

care se face ın plane perpendiculare pe axa Oz a cilindrului ın absenta fortelor masice.

Zicem ca miscarea plana stationara a unui lichid este irotationala daca rotv = 0. In cazulın care o asemenea miscare este raportata la reperul preferential descris mai sus avem:

∂vy

∂x− ∂vx

∂y= 0 (21.25)

Egalitatea (21.25) implica existenta unei functii ϕ = ϕ(x, y) cu proprietatea

vx =∂ϕ

∂xsi vy =

∂ϕ

∂y(21.26)

Functia ϕ se numeste potentialul vitezelor. Egalitatile (21.19) si (21.26) arata ca existao functie complexa f(z) definita pe planul miscarii derivabila astfel ıncat ϕ si ψ sa fiepartea reala, respectiv partea imaginara a functiei f :

f(z) = f(x + iy) = ϕ(x, y) + iΨ(x, y) (21.27)

Functia f se numeste functia caracteristica a miscarii si datorita egalitatii:

df

dz= vx + ivy (21.28)

functiadf

dzse numeste viteza complexa a miscarii.

Functiile ϕ si Ψ sunt armonice:

∆ϕ = 0 ∆Ψ = 0 (21.29)

si potentialul vitezelor verifica:

∂ϕ

∂x· ∂2ϕ

∂x2+

∂ϕ

∂y· ∂2ϕ

∂x∂y= Fx − 1

ρ· ∂p

∂x

∂ϕ

∂x· ∂2ϕ

∂x∂y+

∂ϕ

∂x· ∂2ϕ

∂y2= Fy − 1

ρ· ∂p

∂y

0 = Fz − 1

ρ· ∂p

∂z

(21.30)

96

Page 99: Modele Clasice Curs Master

Egalitatile (21.30) implica egalitatile:

∂Fx

∂y=

∂Fy

∂x;

∂Fx

∂z=

∂Fz

∂x;

∂Fy

∂z=

∂Fz

∂y(21.31)

ceea ce arata ca pentru a avea o miscare plana stationara irotationala este necesar cafortele sa fie potentiale.

In cazul unei miscari plane stationare irotationale ecuatia (21.22) a functiei Ψ revine la0 = 0. aceasta ıntrucat functia de curent Ψ ın acest caz este o functie armonica.

Sa consideram acum un camp de forte care este potential si un reper R(O, i, j, k) si ofunctie derivabila f(z) = f(x + iy) = ϕ(x, y) + iΨ(x, y). cu ϕ construim:

vx =∂ϕ

∂x; vy =

∂ϕ

∂y; vz = 0 (21.32)

si apoi

Ex = ρ ·(

Fx − vx · ∂vx

∂x− vy · ∂vx

∂y

)

Ey = ρ ·(

Fy − vx · ∂vy

∂x− vy · ∂vy

∂y−

)

Ez = ρ · (Fz) .

Intrucat∂Ex

∂y=

∂Ey

∂x;

∂Ex

∂z=

∂Ez

∂x;

∂Ey

∂z=

∂Ez

∂y

exista p = p(x, y, z) cu:∂p

∂x= Ex

∂p

∂y= Ey

∂p

∂z= Ez. (21.33)

Rezulta astfel ca pentru un camp de forte potential F si functia complexa derivabilaf(x + iy) = ϕ(x, y) + iΨ(x, y) campul de viteze vx, vy, vz definit de (21.32) si cel depresiuni p definit prin (21.33) defineste o miscare plana stationara irotationala.

Determinarea unei anumite miscari plane stationare irotationale se face impunand conditiila limita. aceasta conditie este o conditie de alunecare pe ∂Ω.

v · n = 0 pe ∂Ω

∂ϕ

∂xnx +

∂ϕ

∂yny = 0 pe ∂Ω.

Aceasta conditie se adauga la ecuatii pentru determinarea unei anumite miscari.

Exercitii: Sa se determine potentialul vitezelor, functia de curent, liniile de curent,campul vitezelor, campul presiunilor ın cazul miscarilor plane irotationale definite deurmatoarele functii caracteristice:

f1(z) = a·z; f2(z) = a·z2; f3(z) = a·(

z +R2

z

); f4(z) =

Γ

2πilnz; f5(z) = a·

(z +

R2

z

)+

Γ

2πilnz

Bibliografie:

1) St. Balint: Mecanica mediilor continue. Tipografia Universitatii de Vest dinTimisoara 1995.

97

Page 100: Modele Clasice Curs Master

22 Model pentru propagarea sunetului

Aplcam ecuatiile hidrodinamicii la procesul de propagare a sunetului ın gaze.

Facem urmatoarele ipoteze:

1) fortele exterioare sunt nule;

2) fenomenul de propagare a sunetului este adiabatic, de aceea ecuatia de stare esteadiabata lui Poisson:

p

p0

=

ρ0

, γ =cp

cv

(22.1)

unde ρ0 si p0 sunt densitatea initiala si presiunea initiala, iar cp si cv sunt caldurilespecifice la presiunea constanta si volum constant.

3) vibratiile gazului sunt mici; putem neglija puterile superioare ale vitezelor si alegradientilor de viteza si de densitate.

Vom numi condensatie a gazului marimea s(x, y, z, t) egala cu variatia relativa a densitatii:

s(x, y, z, t) =ρ− ρ0

ρ0

(22.2)

de undeρ = ρ0(1 + s). (22.3)

Datorita ipotezelor facute ecuatiile hidrodinamicii devin:

∂v

∂t= − 1

ρ0

gradp

∂ρ

∂t+ ρ0divv = 0

p = p0(1 + s)γ ≈ p0(1 + γs)

(22.4)

deoarece:1

ρgrad p =

1

ρ0

(1− s + . . . )grad p +1

ρ0

grad p + . . .

divρ v = v gradp + ρ div v = ρ0div v + . . .

unde prin puncte puncte am notat termenii de ordinul superior lui doi. Introducandnotatia a2 = γ · p0

ρ0scriem sistemul (22.4) sub forma urmatoare:

∂v

∂t= −a2 grad s

∂s

∂t+ div v = 0

(22.5)

Aplicand primei ecuatii din (22.5) operatorul de divergenta si schimband ordinea de-rivarilor, vom avea:

∂tdiv v = −a2 div(grad s) = −a2∇2s = −a2∆s

98

Page 101: Modele Clasice Curs Master

unde

∇2 = ∆ =∂

∂x2+

∂y2+

∂y2

este operatorul lui Laplace (laplacianul).

Folosind relatiile (22.5) obtinem ecuatia:

∆s =1

a2· ∂2s

∂t2

sau∂2s

∂t2= a2

(∂2s

∂x2+

∂2s

∂y2+

∂2s

∂z2

)(22.6)

De aici si din (22.2) obtinem ecuatia pentru densitate:

∂2ρ

∂t2= a2

(∂2ρ

∂x2+

∂2ρ

∂y2+

∂2ρ

∂z2

)(22.7)

Introducem acum potentialul vitezelor si aratam ca satisface aceeasi ecuatie (22.6) ca sis.

Din ecuatia∂v

∂t= −a2grad s

rezulta

v(x, y, z, t) = v(x, y, z, 0)− a2grad

t∫

0

sdτ

(22.8)

unde v(x, y, z, 0) este distributia initiala a vitezelor.

Daca campul de viteze ın momentul initial are potentialul

v|t=0 = −grad f(x, y, z) (22.9)

atunci are loc relatia:

v = −grad

f(x, y, z) + a2

t∫

0

sdτ

= −grad U (22.10)

care ınseamna ca exista potentialul vitezelor U(x, y, z, t). Cunoasterea potentialuluivitezelor este suficienta pentru a determina ıntregul fenomen de miscare.

In adevar avem:∂s

∂t+ div v = 0

si obtinem ecuatia pentru potentialul U :

∂2U

∂t2= a2

(∂2U

∂x2+

∂2U

∂y2+

∂2U

∂z2

)

sau∂2U

∂t2= a2∆ U. (22.11)

99

Page 102: Modele Clasice Curs Master

Pentru presiunea p si viteza v putem obtine, de asemenea, ecuatiile de forma (22.11)numite adesea ecuatiile acusticii (ecuatia undelor acustice).

Pentru rezolvarea problemelor ın cazul bidimensional si unidimensional, trebuie sa

ınlocuim ın ecuatia (22.11) laplacianul cu operatorul∂

∂x2+

∂y2si respectiv

∂x2.

In cazul vibratiilor unui gaz ıntr-un domeniu marginit, la frontiera acestuia trebuie dateanumite conditii la limite. Daca frontiera este un perete impenetrabil si rigid, componentanormala a vitezei este nula, ceea ce conduce la conditiile:

∂U

∂n

∣∣∣∣Σ

= 0 sau∂s

∂n

∣∣∣∣Σ

= 0 (22.12)

Constanta

a =

√γ

p0

ρ0

are dimensiunea unei viteze.

In cazul aerului la presiunea atmosferica normala avem: γ = 7/5; ρ0 = 1.293kg/m3;p0 = 1.033× 9.81× 104N/m2. Prin urmare a = 336m/s; aceasta este viteza de propagarea micilor vibratii ın aer. In cazul sunetului experimental s-a gasit viteza aproximativegala cu 336 m/s.

1) A. Tihonov, A.A. Samarski: Ecuatiile Fizicii Matematice. Editura Tehnica (1956).

100

Page 103: Modele Clasice Curs Master

23 Transportul de materie prin difuzie.

Difuzia unui nor.

Daca un mediu este umplut neuniform cu gaz, atunci are loc o difuzie a acestuia dinregiunile de concentratie mai mare ınspre regiunile cu concentratie mai mica.

Acelasi fenomen are loc ıntr-o solutie, daca concentratia substantei dizolvate nu esteconstanta ın volum.

Vom examina fenomenul de difuzie ıntr-un tub gol sau umplut cu un mediu poros,presupunand ca ın orice moment si loc concentratia gazului (solutiei) este aceeasi petoata sectiunea tubului.

Fenomenul poate fi descris cu o functie c(x, t) care reprezinta concentratia ın sectiuneax la momentul t. conform legii lui Nernst, masa de gaz care trece prin sectiunea x ınintervalul de timp (t, t + ∆t) este

∆Q = −D · ∂C

∂x(x, t) · S ·∆t (23.1)

unde D este coeficientul de difuzie, iar S este aria sectiunii tubului.

De aici rezulta ca variatia cantitatii de gaz pe portiunea (x1, x2) a tubului, datoritavariatiei concentratiei ın intervalul de timp (t1, t2) este:

Q1 = S

t2∫

t1

[D(x2) · ∂c

∂x(x2, τ)−D(x1) · ∂c

∂x(x1, τ)

]dτ.

Pe de alta parte din definitia concentratiei, cantitatea de gaz Q continuta ın volumul Veste data de:

Q = c · U (23.2)

De aici rezulta ca, variatia cantitatii de gaz pe portiunea (x1, x2) a tubului, datoritavariatiei concentratiei, ın intervalul de timp (t1, t2) este:

Q1 = S

x2∫

x1

π(ξ) [c(ξ, t2)− c(ξ, t1)] dξ

unde π(x) este coeficientul de porozitate, definit ca si raportul dintre volumul porilor sivolumul total (egal cu Sdx ın cazul nostru). Daca tubul este gol, atunci π(x) ≡ 1.

Ecuatia de bilant este:

S

t2∫

t1

[D(x2) · ∂c

∂x(x2, τ)−D(x1) · ∂c

∂x(x1, τ)

]dτ = S

x2∫

x1

π(ξ) [c(ξ, t2)− c(ξ, t1)] dξ (23.3)

Pentru a obtine ecuatia de difuzie sub forma diferentiala, presupunem ca functiile c si Dau derivate partiale de ordinul doi, respectiv unu continue. In aceasta ipoteza cu teoremacresterilor finite se obtine egalitatea:

D(x2) · ∂c

∂x(x2, τ)−D(x1) · ∂c

∂x(x1, τ) =

∂x

(D(x)

∂c

∂x

)(x2 − x1)

101

Page 104: Modele Clasice Curs Master

de unde se obtine:

t2∫

t1

[D(x2) · ∂c

∂x(x2, τ)−D(x1) · ∂c

∂x(x1, τ)

]dτ =

∂x

(D(x)

∂c

∂x

)(x2 − x1)(t2 − t1).

Rationam analog pentru membrul drept al egalitatii (23.3) si rezulta:

x2∫

x1

π(ξ) [c(ξ, t2)− c(ξ, t1)] dξ = π(x) · ∂c

∂t(x2 − x1)(t2 − t1).

In acest fel, ecuatia de bilant (23.3) devine:

∂x

(D(x)

∂c

∂x

)= π(x) · ∂c

∂t. (23.4)

Aceasta ecuatie pe care trebuie sa o satisfaca concentratia, se numeste ecuatia de difuzie.Ea a fost obtinuta ın ipoteza ca ın tub nu exista difuzie prin peretii tubului.

Daca exista surse de materie ın tub sau difuzie prin peretii tubului si daca acestea pot ficaracterizate prin F (x, t) atunci la membrul stang al ecuatiei de bilant (23.3) se adaugatermenul:

Q = S

t2∫

t1

x2∫

x1

F (ξ, t)dξdt (23.5)

care reprezinta cantitatea de materie degajata de surse sau pierduta prin pereti.

In aceasta ipoteza ecuatia de difuzie (23.4) se scrie astfel:

π(x) · ∂c

∂t=

∂x

(D(x)

∂c

∂x

)+ F (x, t). (23.6)

Daca coeficientul de difuzie este constant, atunci ecuatia difuziei este:

π(x) · ∂c

∂t= D · ∂2c

∂x2+ F (x, t) (23.7)

ın cazul cu surse si

π(x) · ∂c

∂t= D · ∂2c

∂x2(23.8)

daca nu exista surse.

Daca porozitatea π(x) este constanta si egala cu 1 si coeficientul de difuzie este constant,atunci ecuatia difuziei va fi:

∂c

∂t= D · ∂2c

∂x2+ F (x, t) (23.9)

ın cazul cu surse si∂c

∂t= D · ∂2c

∂x2+ F (x, t) (23.10)

ın cazul fara surse.

102

Page 105: Modele Clasice Curs Master

Pentru a stabili ecuatia de transport prin difuzie ıntr-un domeniu spatial Ω consideram oparte ω ⊂ Ω. Dupa legea lui Nernst, masa de gaz care trece prin suprafata ∂ω ın intervalulde timp (t1, t2) este data de:

δQ = −t2∫

t1

∂ω

∫D(x)

∂c

∂ndσdt = −

t2∫

t1

∂ω

∫D(x)∇c · ndσdt. (23.11)

Cantitatea de gaz continuta ın ω la momentul t este data de:∫ ∫

ω

∫π(x) · c(x, t) dVx (23.12)

si variatia cantitatii de gaz din ω ın intervalul de timp (t1, t2) datorita variatiei lui c ınacest interval este data de

δQ =

∫ ∫

ω

∫π(x) · δc dVx (23.13)

unde δc este data deδc = c(x, t2)− c(x, t1). (23.14)

In sfarsit, expresia cantitatii de materie degajata de densitatea de surse F (x, t) din ω ınintervalul de timp (t1, t2) este:

Q1 =

t2∫

t1

∫ ∫

ω

∫F (x, t)dVxdt (23.15)

si bilantul de materie ın ω este data de:

−t2∫

t1

∫ ∫

ω

∫D(x)∇c·ndσ dt =

t2∫

t1

∫ ∫

ω

∫F (x, t)dVxdt =

∫ ∫

ω

∫π(x)[c(x, t2)−c(x, t1)]dVx.

(23.16)Cu formula lui Gauss-Ostrogradski si teorema de medie rezulta de aici egalitatea:

π(x) · ∂c

∂t= divx(D(x) · grad c) + F (x, t) (23.17)

care se mai poate scrie sub forma:

π(x) · ∂c

∂t= ∇(D(x) · ∇c) + F (x, t) (23.18)

Ecuatia (23.18) este ecuatia de difuzie ın spatiu.

Daca coeficientul de difuzie este constant (D), atunci ecuatia 23.18 devine:

π(x) · ∂c

∂t= D∆c + F (x, t) (23.19)

si daca ın plus porozitatea este constant unu, atunci ecuatia de difuzie este:

∂c

∂t= D∆c + F (x, t). (23.20)

103

Page 106: Modele Clasice Curs Master

Sa analizam ın continuare, cu ajutorul ecuatiei (23.20), procesul de difuzie a unui ”nor degaz” care se formeaza datorita exploziei unui proiectil sau scaparilor de gaz dintr-o uzinachimica.

In urma exploziei se degaja o cantitate de gaz Q care se raspandeste ın toate partileformand un nor. Norul mai ıntai creste, apoi se rarefiaza la margini, partea lui neagra,opaca, se micsoreaza, tot norul devine transparent, ıncepe ”sa dispara” si la sfarsit disparecomplet. Acest proces se vede deosebit de clar ıntr-o zi senina, pe fondul cerului albastru.

Fenomenul descris poate fi considerat ca un fenomen de difuzie a gazului produs de osursa punctiforma instantanee, de intensitate Q, ın spatiul nemarginit.

In aceasta ipoteza, concentratia gazului satisface ecuatia (23.20), ın care F (x, t) = 0 sieste data de formnula:

c(x, y, z, t) = Q

(1

2√

πDt

)3

e−x2 + y2 + z2

4Dt (D = a2) (23.21)

daca originea coordonatelor este aleasa ın punctul de explozie.

Sa analizam problema vizibilitatii norului. Timpul ın decursul caruia norul ”dispare”complet, depinde de absorbtia luminii ın atmosfera si de pragul de sensibilitate aaparatului de masura (ochi, pelicula foto).

Intensitatea luminii care trece prin straturi omogene de gaz este data de

I = I0 · e−αl−l (23.22)

unde I0 este intensitatea initiala a luminii, α = α0 · c este coeficientul de absorbtie,proportional cu concentratia gazului absorbit (α0 = constant), c este concetratia ın strat,iar l este grosimea stratului.

Daca exista doua straturi de grosime l1 si l2 cu concentratii de gaz diferite c1 si c2 atunci

I = I0 · e−α0c1l1 · e−α0c2l2 = I0 · eα0(c1l1+c2l2). (23.23)

De aici rezulta ca, intensitatea luminii, care traverseaza norul de fum cu concentratiavariabila (continuu) va fi data de

I = I0 · e−α

∫c dl

. (23.24)

Vizibilitatea norului este data de raportul I/I0 care depinde de valoarea integralei

∫c dl.

Daca δ este pragul de sensibilitate al instrumentului de observatie atunci:

• pentruI0 − I

I< δ sau

I

I0

> 1− δ norul este vizibil;

• pentruI0 − I

I> 1− δ sau

I

I0

< δ norul va fi complet opac;

104

Page 107: Modele Clasice Curs Master

• pentru δ <I

I0

< 1 − δ norul va parea observatorului partial transparent. Gradul

de transparenta depinde de valoarea raportuluiI

I0

= e−α0

∫c dl

, adica de valoarea

integralei

∫c dl.

Sa presupunem ca axa z este dirijata dupa raza vizuala si ca observatorul se gasestela infinit. Norul se proiecteaza pe planul Oxy. Pentru a evalua vizibilitatea diferitelorportiuni ale norului, corespunzatoare punctelor (x, y) calculam integrala:

∫c dl =

∞∫

−∞

c(x, y, z, t)dz = Q

(1

2√

πDt

)3∞∫

−∞

e−x2 + y2 + z2

4Dt dz = Q

(1

2√

πDt

)2

e−x2 + y2

4Dt .

Daca cantitatea de gaz de-a lungul razei vizuale este unica∫c dl <

δ

α0

atunciI

I0

> 1− δ

si portiunea respectiva este transparenta.

Daca cantitatea de gaz de-a lungul razei vizuale este mare:∫c dl >

α0

atunciI

I0

< e−∆ = δ

adica printr-o alegere convenabila a lui ∆ = lnl

σportiunea respectiva a norului este

complet opaca.

Dacaδ

α0

≤∫

c dl <∆

α0

conditia

α0

∫c dl = δ sau α0Q

(1

2√

πDt

)2

e−

ρ2

4Dt · δ (ρ2 = x2 + y2)

determina frontiera norului dincolo de limitele careia el devine invizibil.

Raza norului este data de

ζ = 2 ·√−Dtln

δ · 4π ·Dt

Qα0

. (23.25)

Pentru valori mai mici ale lui t, raza ζ este mai mica si creste cu t. Pentru t = t0 =α0Q

4πeδD,

ζ atinge un maxim ζmaxim = 2√

Dt0 =

√α0Q

πeδpentru t > t0, raza ζ a norului scade si

pentru t1 =Qα0

δ4πDse anuleaza (norul dispare).

Observand procesul de ”disparitie” a norului se poate determina coeficientul de difuzie Dın atmosfera libera.

Bibliografie:

1) A. Tihonov, A.A. Samarski: Ecuatiile Fizicii Matematice. Editura Tehnica (1956).

105

Page 108: Modele Clasice Curs Master

24 Model pentru vibratiile unor volume marginite

Probleme de modelare a vibratiilor unor volume marginite ıntalnim ın cazul vibratiiloracustice ale unui gaz, al fenomenelor electromagnetice ın medii neconductoare.

Deoesebit de importante sunt problemele legate de generarea oscilatiilor electromagnetice,ın cantitati rezonante ınchise (cavitati rezonante).

Variabila ıntr-un asemenea model este o functie u(x, y, z, t) (care reprezinta deplasarea)care satisface ecuatia:

ρ(x, y, z) · ∂2u

∂2t= div(k grad u)− q(x, y, z) · u + F (x, y, z) (24.1)

ın interiorul unui volum Ω marginit de suprafata S = ∂Ω.

Pe langa ecuatia (24.1), variabila u(x, y, z, t) trebuie sa satisfaca si urmatoarele conditiila limita si initiale:

pentru t > 0 : u|∂Ω = 0 (conditie la limita) (24.2)

ın Ω

u(x, y, z, 0) = ϕ(x, y, z)

∂u

∂t(x, y, z, 0) = φ(x, y, z)

(conditii initiale) (24.3)

In cazul unui mediu omogen (k=const, ρ=const) pentru q = 0 ecuatia (24.1) devine:

∂2u

∂t2= a2∆u + f, a2 =

√k

ρ′si f =

F

ρ(24.4)

Ne vom margini mai departe la expunerea schemei formale de rezolvare a ecuatiei omogene(24.1) (F = 0).

Consideram problema ajutatoare:

ρ · ∂2u

∂t2= div(k grad u)− qu = 0 (24.5)

u|∂Ω = 0 (24.6)

reprezentabila sub forma:

u(x, y, z, t) = v(x, y, z) · T (t). (24.7)

Introducand (24.7) ın (24.1) si separand variabilele gasim:

div(k grad v)− q · v + λ · ρ · v = 0 (24.8)

v|∂Ω = 0 (24.9)

T ′′ + λT = 0 (24.10)

Problema (24.8) si (24.9) este o problema de valori proprii λ, carora le corespund solutiinebanale (functii proprii ale ecuatiilor omogene cu conditii la limite omogene). Vomprezenta aici proprietatile generale ale functiilor proprii si valorilor proprii:

106

Page 109: Modele Clasice Curs Master

1) Exista o multime numarabila de valori proprii: λ1 < λ2 < . . . < λn < . . . → ∞carora le corespund functii proprii:

v1(x, y, z), v2(x, y, z), . . . , vn(x, y, z), . . .

2) Daca g ≥ 0, atunci λn > 0, ∀n.

3) Functiile proprii vn(x, y, x) sunt ortogonale ıntre ele cu ponderea ρ(x, y, z) ın Ω:∫ ∫

Ω

∫vm(x, y, z) · vn(x, y, z) · ρ(x, y, z)dxdydz = 0 m 6= n.

4) O functie F (x, y, z) de clasa C2 care verifica conditia la frontiera (24.9) poate fidezvoltata ıntr-o serie uniform si absolut convergenta dupa functiile proprii vn:

F (x, y, z) =∞∑

n=1

Fn · vn(x, y, z)

unde Fn sunt coeficientii dezvoltarii.

Demonstratia proprietatilor 1)− 4) se bazeaza, de obicei, pe teoria ecuatiilor integrale sipentru detalii a se vedea bibliografia.

Revenim la ecuatia cu derivate partiale. Solutia ecuatiei:

Tn′′ = λn · Tn = 0

este de forma:Tn(t) = An · cos

√λnt + Bn · sin

√λnt

astfel ıncat solutia problemei noastre ajutatoare: (24.8)-(24.10) va fi produsul:

un(x, y, z, t) = Tn(t) · vn(x, y, z) = (An · cos√

λnt + Bn · sin√

λnt)vn(x, y, z).

Solutia problemei cu date initiale de la care am plecat (24.5)-(24.6) o cautam sub forma:

u(x, y, z, t) =∞∑

n=1

(An · cos√

λnt + Bn · sin√

λnt)vn(x, y, z).

Impunand conditiile initiale:

u(x, y, z, 0) = ϕ(x, y, z) =∞∑

n=1

An · vn(x, y, z)

∂u

∂t(x, y, z, 0) = ψ(x, y, z) =

∞∑n=1

Bn

√λnvn(x, y, z)

si folosind teorema de dezvoltare ın serie Fourier obtinem:

An = ϕn si Bn =2√λn

ψn

unde ϕn si ψn sunt coeficientii Fourier ai functiilor ϕ si ψ ın sistemul de functii vn(x, y, z),ortogonale cu ponderea ρ(x, y, z). Cu acestea, constructia formala a problemei cu dateinitiale este terminata.

Interpretarea fizica a solutiei obtinute este urmatoarea:

107

Page 110: Modele Clasice Curs Master

• Solutiile particulare:

u(x, y, z, t) = (An · cos√

λnt + Bn · sin√

λnt)vn(x, y, z).

rrprezinta unde stationare care pot exista ın interiorul domeniului marginit Ω.

• ”Profilele” undelor stationare, date de functia vn(x, y, z) (graficul lui vn(x, y, z))difera pentru momente diferite, numai printr-un factor de proportionalitate.

• Liniile sau suprafetele (respectiv pentru doua sau trei variabile) de-a lungul caroravn(M) = 0 se numesc linii (suprafete) nodale ale undei stationare vn(x, y, z).

• Punctele ın care vn(x, y, z) atinge maxime sau minime relative se numesc ventreleacestei unde stationare.

• Solutia generala se reprezinta sub forma unei sume infinite de astfel de undestationare. aceasta ınseamna posibilitatea reprezentarii unei vibratii arbitrare subforma suprapunerii de unde stationare.

Exercitii:

1) Determinati undele stationare care pot exista ın interiorul unui paralelipiped.Simulati vibratiile datorate unui impuls initial, luand ın calcul primele trei undestationare.

2) Determinati undele stationare care pot exista ın interiorul unei sfere. Simulativibratiile datorate unui impuls initial, luand ın calcul primele trei unde stationare.

Bibliografie:

1) A. Tihonov, A.A. Samarski: Ecuatiile Fizicii Matematice. Editura Tehnica (1956).

108

Page 111: Modele Clasice Curs Master

25 Model de propagare a undelor seismice

Presupunand ca Pamantul este un corp omogen si izotrop si ca ın timpul unui cutremurdeplasarile particulelor din Pamant precum si deformatiile sunt mici, ecuatiile care descriumicile deplasari ale particulelor sunt:

∂2u

∂t2=

λ + µ

ρgrad div u +

µ

ρ∆u + f (25.1)

In aceasta ecuatie necunoscuta este vectorul de deplasare u = u(x1, x2, x3, t) reprezintadensitatea fortelor masice ın coordonate Lagrange: ρ = ρ0 este densitatea ın coordonateLagrange; λ si µ sunt constantele elastice Lame pentru Pamant.

Pentru precizarea unei solutii a ecuatiei (25.1) i se asociaza conditii initiale si conditii lalimita.

Conditiile initiale se dau, ın general, sub forma:

u(x1, x2, x3, 0) = ϕ(x1, x2, x3)∂u

∂t(x1, x2, x3, 0) = ψ(x1, x2, x3). (25.2)

Conditiile la limita stabilesc comportarea solutiei la frontiera Pamantului si pot fi de maimulte feluri:

• pe frontiera S0 care limiteaza Pamantul la momentul t = 0 se dau deplasarile laorice moment t.

• pe frontiera S0 se dau tensiunile.

• pe o partea a frontierei S0 se dau deplasarile si pe complemetara acestei parti sedau tensiunile.

In urma determinarii solutiei ecuatiei (25.1) care satisface conditiile initiale (25.2) si unadin conditiile la limita (prezentate anterior), folosind ecuatia:

εij =1

2

(∂ui

∂xj

+∂uj

∂xi

)(25.3)

se determina componentele micilor deformatii si apoi cu ecuatia constitutiva:

σij = λθδij + 2µεij (25.4)

se determina componentele tensiunii.

In ecuatia (25.4) θ = div n si reprezinta deformatia specifica de volum.

Vom arata ın cele ce urmeaza ca daca fortele masice nu depind de timp, atunci ecuatia(25.1) se reduce la un sistem de doua ecuatii de tipul undelor neomogene.

La ınceput descompunem campul de forte masice f ıntr-o suma de doua campuri:

f = f 1 + f 2; f 1 − irotational; f 2 − solenoidal (25.5)

109

Page 112: Modele Clasice Curs Master

Campul f 2 se construieste astfel: se considera ecuatia:

∆ϕ = div f

si o solutie ϕ a acestei ecuatii. Apoi se defineste f 2 ca fiind f 2 = f − grad ϕ, iarf 1 = gradϕ.

Este usor de vazut ca div(f − gradϕ) = 0 ceea ce arata ca f 2 este uncamp solenoidal.

Din f 1 = gradϕ rezulta ca rotf 1 = 0 ceea ce arata ca f 1 este un camp irotational.

Este clar de asemenea ca f = f 1 + f 2.

Consideram ın continuare functiile u1 si u2 definite astfel:

u2 = u− grad ψ si u1 = grad ψ.

unde ψ este o solutie a ecuatiei ∆ψ = θ = divu, u este o solutie a ecuatiei (25.1).

Este usor de vazut ca au loc urmatoarele egalitati:

div u2 = 0; rot u1 = 0; u = u1 + u2.

Consideram acum constantele c1, c2 definite astfel: c21 =

λ + 2µ

ρ0

si c22 =

µ

ρ0

si scriem

ecuatia (25.1) sub forma:

∂2u1

∂t2+

∂2u2

∂t2= f 1 + f 2 + (c2

1 − c22)grad (div u1) + c2

2∆u1 + c21∆u2. (25.6)

Aplicand operatorul divergenta la ambii membri ai acestei ecuatii, gasim:

∂2u1

∂t2− c2

1∆u1 = f 1 (25.7)

si∂2u2

∂t2− c2

2∆u2 = f 2. (25.8)

Ecuatiile (25.7) si (25.8) sunt ecuatii de tipul undelor neomogene.

Deplasarile u1 sunt irotationale si ın general produc o schimbare de volum pentru ca:

divu1 = div (grad ϕ) = ∆ϕ = div f = div f = 0.

Deplasarile u2 sunt solenoidale si nu sunt ınsotite de schimbarile de volum.

Undele u1 se numesc unde de condensare, iar undele u2 se numesc unde de torsiune.

In seismologie, undele u1 se numesc si unde prime, deoarece ajung primele la seismografe(c1 > c2), iar undele u2 (de torsiune) se numesc unde secunde, pentru ca ajung laseismograf dupa undele prime.

Exercitiu: Simulati propagarea undelor seismice datorate deplasarii initiale (ψ ≡ 0,ϕ 6≡ 0) ce are loc ıntr-un volum sferic de raza 1 (km) aflat la 100 km sub scoartaPamantului.

Bibliografie:

1) St. Balint: Mecanica mediilor continue. Tipografia Universitatii de Vest dinTimisoara 1995.

110

Page 113: Modele Clasice Curs Master

26 Model pentru propagarea undelor

electromagnetice

Starea campului electromagnetic la un moment t ın locul (x, y, z) este caracterizata prinvectorii E = E(x, y, z, t) si H = H(x, y, z, t) care reprezinta intensitatea campului electricsi magnetic si vectorii D = D(x, y, z, t) si B = B(x, y, z, t) care reprezinta inductiaelectrica si magnetica.

Sistemul de ecuatii care leaga ıntre ele aceste ecuatii este:

rot H =1

c· ∂D

∂t+

c· j +

c· je

(26.1)

rot E = −1

c· ∂B

∂t(26.2)

div B = 0 (26.3)

div D = 4πρ (26.4)

unde j este densitatea de volum a curentilor de conductie; je

este densitatea curentilordatorati fortei electromotoare imprimate; ρ este densitatea de volum a sarcinilor, iar ceste viteza luminii ın vid.

Ecuatiile (26.1)-(26.4) se numesc ecuatiile lui Maxwell.

La aceste ecuatii trebuie adaugate asa-numitele ecuatii materiale ale campului:

D = ε · E (26.5)

B = µ ·H (26.6)

j = σ · E (26.7)

unde ε este permitivitatea dielectrica (constanta dielectrica), µ este permeabilitateamagnetica, iar σ este conductibilitatea mediului.

Daca mediul este omogen si izotrop, atunci ε=const, µ=const si σ=const.

In vid ε = µ = 1 si σ = 0.

Vom examina aceste ecuatii ın vid presupunand ca nu exista sarcini si curenti.

In aceste conditii, ecuatiile lui Maxwell (26.1)-(26.4) devin:

rot H =1

c· ∂E

∂t(26.8)

rot E = −1

c· ∂H

∂t(26.9)

div H = 0 (26.10)

div E = 0 (26.11)

111

Page 114: Modele Clasice Curs Master

Ecuatiile (26.1)-(26.4) pot fi exprimate si sub forma integrala:

∂Σ

Hsds =4π

c

∫ ∫

Σ

in dS

∂Σ

Esds = −1

c

d

dt

∫ ∫

Σ

Bn dS = −1

c· dΦ

dt

unde

i = jd + j =1

4π· ∂D

∂t+ j (26.12)

este curentul total, iar jd =1

∂D

∂teste curentul de deplasare.

Integrarea se face pe un contur c = ∂Σ si pe o suprafata Σ, care se sprijina pe contur:

Φ =

∫ ∫

Σ

BndS este fluxul inductiei care traverseaza suprafata Σ.

Notand cu Ω un volum ınchis, iar cu Σ suprafata care-l margineste ın locul lui (26.3)-(26.4)vom avea: ∫ ∫

Σ

BndS = 0

∫ ∫

Σ

DndS = 4π

∫ ∫

Ω

∫ρdv = 4πe

unde e este sarcina totala din interiorul volumului Ω. Ecuatiile anterioare au un sens fizicsimplu si constituie expresia matematica a faptelor experimentale fundamentale care auservit ca baza pentru deducerea ecuatiilor lui Maxwell.

(1′) este generalizarea legii lui Biot-Savart.

(2′) este legea inductiei electromagnetice a lui Faraday;

(3′) este o consecinta a faptului ca liniile de forta ale campului magnetic sunt ınchise.

(4′) este o consecinta a legii lui Coulomb.

Daca mediul nu este omogen, atunci la suprafata de separatie a doua medii diferite (I) si(II), trebuie ındeplinite urmatoarele conditii:

EIs = EII

s continuitatea componentelor tangentiale ale vectorului E (26.13)

HIs = HII

s continuitatea componentelor tangentiale ale vectorului H (26.14)

BIn1

= BIIn2

continuitatea componentelor normale ale vectorului B (26.15)

unde n1 si n2 sunt normale la suprafata de separatie a celor doua medii, n1 fiind dirijataın interiorul primului mediu, iar n2 ın interiorul celui de-al doilea mediu.

DIn1−DII

n2= 4πν sau εEI

n1− ε2E

IIn2

= 4πν (26.16)

unde ν este densitatea superficiala a sarcinilor.

112

Page 115: Modele Clasice Curs Master

Aceste conditii se obtin din ecuatiile (26.1)-(26.4).

Ecuatiile lui Maxwell ımpreuna cu conditiile la limita permit sa determinam campulelectromagnetic, pe baza starii initiale a campului. Pentru a determina campul estesuficient sa folosim conditiile (26.13) si (26.14) de continuitate a componentelor tangentialeale campului.

Daca fenomenul electromagnetic este static, adica nu variaza ın timp, atunci ecuatiile luiMaxwell devin:

rot E = 0div εE = 4πρ

rot H =4π

c· σE +

c· je

div µH = 0.

Daca ın plus mediul nu este conductor, atunci σ = 0 si obtinem doua sisteme independentede ecuatii: unul pentru campul electric si unul pentru campul magnetic:

rot E = 0

div εE = 4πρ

ecuatiile electrostatiticii

rot H =4π

cj

e

div µH = 0

ecuatiile magnetostatiticii

In cazul unui mediu omogen, se obtin usor ecuatii pentru fiecare din vectorii E si H ınparte. Sa presupunem ca ρ = 0 si j

e.

Aplicand ecuatiei (26.1) operatorul rot, avem:

rot rot H =ε

c· ∂

∂trot E +

c· σ · rot E

de unde ın virtutea ecuatiei (26.2) si a relatiei rot rot H = grad div H −∆ H, obtinem:

grad div H −∆ H = −ε · µc2

· ∂2H

∂t2− 4πσµ

c2· ∂H

∂t

sau

∆H =1

a2· ∂2H

∂t2+

4πσµ

c2· ∂H

∂t

(a2 =

c2

εµ

)(26.17)

deoarecediv H = 0.

In mod asemanator se deduce ecuatia pentru E:

∆E =1

a

∂2E

∂t2+

4πσµ

c2· ∂E

∂t. (26.18)

In particular, ecuatia (26.17) sau (26.18) va fi satisfacuta de componentele Ex, Ey, Ez siHx, Hy, Hz:

∆u =1

a2· ∂2u

∂t2+

4πσµ

c2

∂u

∂t(26.19)

113

Page 116: Modele Clasice Curs Master

unde u este una din componentele Ex, Ey, Ez sau Hx, Hy, Hz.

Daca mediul este neconductor (σ = 0), obtinem ecuatia:

∆u =1

a2· ∂2u

∂t2. (26.20)

Aceasta arata ca fenomenele electromagnetice se propaga ıntr-un mediu neconductor fara

amortizare cu viteza a =c√εµ

. In particular, ın vid cu viteza luminii c.

Daca mediul are o conductibilitate ridicata si curentii de deplasare pot fi neglijati ıncomparatie cu curentii de conductibilitate, vom avea ecuatia:

∆u =4πσµ

c2· ∂u

∂t. (26.21)

In cazul general, cand curentii de conductibilitate si curentii de deplasare sunt de acelasiordin de marime ecuatia (26.19) descrie fenomene de propagare cu amortizare, care suntproduse de disiparea energiei datorita conductibilitatii.

Pentru fenomene stationare, ın probleme de difractie avem:

µ = v(x, y, z) · eiωt

ajungem la ecuatia∆v + (k2 + iq2)v = 0 (26.22)

unde

k2 =ω2

a2; q2 =

4πσµω

c2. (26.23)

Pentru a determina campul electromagnetic, trebuie sa determinam sase marimi: compo-nentele vectorilor E si H.

Exista cazuri ın care se poate reduce aceasta problema la determinarea a patru marimisau a unui numar si mai mic de marimi.

Pentru aceasta, se introduc potentialele campului: potentialul A si potentialul scalar ϕ.

Sa consideram ecuatiile lui Maxwell ıntr-un mediu omogen, de exemplu ın vid. Din ecuatia

divH = 0

rezulta ca H este solenoidal si poate fi reprezentat cu ajutorul unui alt vector A sub forma:

H = rot A. (26.24)

Introducand aceasta expresie ın ecuatia (26.2)

rotE = −1

c

∂H

∂t

obtinem ecuatia

rot

[E +

1

c· ∂A

∂t

]= 0

114

Page 117: Modele Clasice Curs Master

adica vectorul E +1

c· ∂A

∂teste potential si de aceea poate fi reprezentat sub forma

E +1

c· ∂A

∂t= −gradϕ (26.25)

de unde rezulta:

E = −gradϕ− 1

c· ∂A

∂t.

Potentialul vectorial A si potentialul scalar ϕ, astfel introduse, nu sunt determinate ınmod unic.

Din (26.24) si (26.25) se vede ca obtinem aceleasi campuri daca ınlocuim A si ϕ prinpotentialele:

A′ = A + gradF ϕ′ = ϕ− 1

c· ∂F

∂tunde F este o functie oarecare.

Pentru a elimina aceasta nedeterminare, potentialele A si ϕ sunt supuse la conditiasuplimentara

div A +1

c· ∂ϕ

∂t= 0 (26.26)

numita adesea conditia lui Lorentz.

Daca aceasta conditie este ındeplinita, potentialele A si ϕ satisfac ecuatiile:

∆ϕ− 1

c2· ∂2ϕ

∂t2= −4πρ (26.27)

∆A− 1

c2· ∂2A

∂t2= −4π

cj (26.28)

unde ρ si j sunt densitatile sarcinilor si curentilor dati.

In cazul unui mediu omogen conductor (σ 6= 0) potentialele se introduc cu ajutorulrelatiilor:

B = rotA, E = −gradϕ− 1

c· ∂A

∂t(26.29)

A si ϕ sunt legate ıntre ele prin relatiile:

divA +εµ

c· ∂ϕ

∂t+

4πµσ

cϕ = 0 (26.30)

si satisfac ecuatiile:

∆A− εµ

c2· ∂2A

∂t2− 4πµσ

c· ∂A

∂t= −4πµ

cj

e(26.31)

∆ϕ− εµ

c2· ∂2ϕ

∂t2− 4πµσ

c· ∂ϕ

∂t= −4πρ

ε(26.32)

Daca nu exista sarcini libere ρ = 0, atunci ϕ = 0 si vectorii campului se exprima ın functiede A care satisface conditia:

div A = 0.

Exista si alte cazuri ın care campul electromagnetic poate fi descris cu ajutorul unui singurpotential vectorial.

115

Page 118: Modele Clasice Curs Master

27 Model de propagare a undelor radio deasupra

suprafetei Pamantului

Vom prezenta un model care descrie propagarea undelor de radio emise de un dipol verticalaflat la suprafata Pamantului asa cum a fost construit ın 1909 de Sommerfeld si corectatulterior de V.A. Fock. Vom presupune ca Pamantul este plan.

Sa consideram deasupra suprafetei Pamantului la distanta h > 0, ıntr-un punct P0, undipol care emite oscilatii periodice de pulsatie ω. Alegem planul Pamantului ca plan z = 0si orientam axa Oz vertical de-a lungul axei dipolului (vezi figura urmatoare)

Admitem ca ın atmosfera (z > 0) ε0 = µ0 = 1, σ0 = 0. Admitem mai departe, caPamantul (z < 0) este caracterizat de constanta dielectrica ε, conductibilitatea σ, iarpermeabilitatea magnetica µ poate fi luata 1; vom admite de asemenea ca ε si σ suntconstante.

Campul oscilant creat de dipol se propaga sub forma de unde electromagnetice si aceastapropagare este descrisa de ecuatiile lui Maxwell.

Din cele prezentate ın paragraful anterior, rezulta ca rezolvarea ecuatiilor lui Maxwellpoate fi redusa la rezolvarea ecuatiilor undelor pentru potentialul de polarizare A:

∆A + k2 · A = 0 (27.1)

unde

k2 =

k20, z > 0

k2p =

εω2 + iσω

c2, z < 0.

Intensitatea campului electromagnetic E, H se recupereaza din A cu formulele:

E = k2A + grad div A

H = −ik2

k0

rot A.

(27.2)

In cazul nostru, vectorul A este dirijat paralel cu dipolul emitator:

A = Az · k; Az = Az(r, z). (27.3)

116

Page 119: Modele Clasice Curs Master

Punandn2 = ε + i · σ

n

obtinemk2

p = n2k20.

Relatiile (27.2) si (27.3) ne dau:

Er =∂

∂r· ∂A0

z

∂z; Hϕ = −ik2

0

∂A0z

∂r; Eϕ = Hr = 0 pentru z > 0 (27.4)

Er =∂

∂r· ∂Ap

z

∂z; Hϕ = −i

k2p

k0

· ∂Apz

∂r; Eϕ = Hr = 0 pentru z < 0 (27.5)

Pentru a scrie conditia la limita la z = 0, vom folosi conditia de continuitate acomponentelor tangentiale ale intensitatii campurilor.

Din (27.4) si (27.5) rezulta ca aceste conditii vor fi ındeplinite daca:

∂A0z

∂z=

∂Apz

∂z; A0

z = n2 · Apz pentru z = 0 (27.6)

Cautam solutiile ecuatiei (27.1) cu conditiile la limita (27.6) sub forma unei suprapuneride solutii particulare de forma:

J0(λr)e±µz (k2 = λ2 + µ2).

Pentru un domeniu nemarginit, ın locul spectrului direct de valori proprii λ1 se obtine unspectru continuu. De aceea, solutia Az poate fi cautata sub forma:

Az =

∞∫

)

F (λ)J0(λ · r)e±µzdλ (27.7)

semnul lui µ poate fi ales astfel ıncat sa fie asigurata convergenta integralei (27.7). FunctiaF (λ), ramasa deocamdata nedeterminata, reprezinta factorul de amplitudine a diverseloroscilatii.

Sa folosim reprezentarea integrala a potentialului:

Az =eikR

R=

∞∫

0

J0(λr) · e−µ|z|λdλ

µ

µ =√

λ2 − k2 R =√

r2 + z2

(27.8)

si sa consideram cele doua domenii:

a) Aer: z > 0Campul din acest domeniu este de forma:

A0z = Aprim

z + Asecz

unde

Aprimz =

eikR

R(27.9)

117

Page 120: Modele Clasice Curs Master

este potentialul campului excitatiei primare create de ınsusi dipolul, iar Asecz este

potentialul excitatiei secundare create de curentii care apar ın Pamant.Folosind reprezentarile (27.7), (27.8) si (27.9) putem scrie:

AprimZ =

∞∫

0

J0(λr)e−µ|z−h| · λdλ

µ

Asecz =

∞∫

0

F (λ)J0(λr)e−µ(z+h)dλ

(27.10)

unde F (λ) este o functie deocamdata nedeterminata.

b) Pamant: z < 0.In acest domeniu exista numai excitatia secundara pe care o putem scrie astfel:

Apz =

∞∫

0

Fp(λ)J0(λr)eµpz−µhdλ (27.11)

unde µ2p = k2

p − λ2. Deoarece z < 0, semnul exponentului va asigura convergentaintegralei.Pentru determinarea functiilor F (λ) si Fp(λ), vom utiliza conditiile la limita (27.5),care ne dau:

∞∫

0

J0(λr)e−µh [λ− µ · F (λ)− µp · Fp(λ)] dλ = 0

∞∫

0

J0(λr)e−µh[λ + µ · F (λ)− n2µ · Fp(λ)

]dλ = 0

(27.12)

Conditiile (27.12) vor fi ındeplinite daca punem:

µ · F (λ) + µp · Fp(λ) = λ

µ · F (λ)− n2µ · Fp(λ) = −λ.

(27.13)

Rezolvand ecuatia (27.13), obtinem pe F (λ) si Fp(λ) sub forma:

F (λ) =λ

µ

(1− 2µp

n3µ− µp

)

Fp(λ) =2λ

n2µ + µp

(27.14)

Substituind (27.14) ın (27.10) si (27.11) obtinem urmatoarele expresii pentru

118

Page 121: Modele Clasice Curs Master

potentialul de polarizatie al campului unui dipol vertical:

A0z =

∞∫

0

J0(λr)e−µ|z−h|λdλ

µ+

∞∫

0

J0(λr)e−µ|z+h|λdλ

µ− 2

∞∫

0

J0(λ)e−µ(z+h) µp

n2µ + µp

λdλ

µ

Apz = 2

∞∫

0

J0(λr)eµpz−µh λdλ

n2µ + µp

(27.15)Notand cu R =

√r2 + (z − h)2 distanta de la punctul de observatie pana la dipol, cu

R′ =√

r2 + (z + h)2 distanta de la punctul de observatie pana la imaginea dipoluluioglindit ın planul z = 0 si folosind reprezentarea (27.8) putem scrie expresia A0

z subforma:

A0z =

eikR

R+

eikR′

R′ − 2

∞∫

0

J0(λr)e−µ(z+h) µp

n2µ + µp

λdλ

µ.

Expresiile integrale obtinute (27.15) sunt foarte complicate pentru studiu si aplicatiipractice. Expresiile de sub semnul integral au puncte de ramificatie si poli.

Sommerfeld a propus o metoda de calcul aproximativ al acestor integrale cu ajutoruldeformarii conturului de integrare. El a obtinut prin aceasta urmatoarea formulaaproximativa pentru campul din vecinatatea suprafetei Pamantului:

A0z = 2

eik0r

r

1 + i

√πρ · e−ρ − 2

√ρ · e−ρ

√ρ∫

0

eα2

(27.16)

unde marimea ρ, asa-numita ”distanta numerica”, este legata de polul p al expresieidin integrandul formulei (27.15) prin relatia:

ρ = i(k0 − p)r.

Formula (27.16) coincide cu formulele obtinute de Weyl, Van der Pol, Fock pe o calecu totul diferita.

Exercitii:

1. Aratati ca daca Pamantul este un conductor ideal (σ = +∞) atunci:

A0z =

eikR

R+

eikR′

R′ ; Apz = 0

2. Aratati ca pentru un dipol ıntr-un mediu omogen (k0 = kp, n = 1, µ = µp) avem:

A0z = Ap

z =

∞∫

0

J0(λr)e−µ|z−h|λdλ

µ=

eikR

R.

Bibliografie:

1) A. Tihonov, A.A. Samarski: Ecuatiile Fizicii Matematice. Editura Tehnica (1956).

119

Page 122: Modele Clasice Curs Master

28 Model de transport de substanta prin convectie

si difuzie

Modelul de transport de materie prin difuzie prezentat ın sectiune 23 a fost stabilit ınipoteza ca particulele mediului se deplaseaza.

Daca ınsa se pune problema transportului unei substante dizolvate ıntr-o solutie care semisca cu o viteza v = v(x, t), atunci pe langa transportul prin difuzie, datorat neuni-formitatii concentratiei substantei dizolvate, mai apare un transport datorat convectieisolutiei.

Tinand seama de analogia foarte stransa dintre fenomenul de transport de caldura tratatın sectiunea 19, se deduce relativ usor, ca ecuatia care guverneaza acest fenomen detransport este:

∂c

∂t+ v · ∇c +∇(D∇C) + F (x, t). (28.1)

Daca coeficientul de difuzie D este constant, atunci ecuatia (28.1) devine:

∂c

∂t+ v · ∇c + D∆C + F. (28.2)

Pentru a identifica ın multimea solutiilor ecuatiei (28.1) sau (28.2) acea functie c(x, t) caredescrie distributia temperaturii trebuie sa adaugam la ecuatie conditii la limita si conditiiinitiale.

In mod uzual se folosesc urmatoarele conditii la limita:

1) La frontiera ∂Ω (sau o parte a frontierei ∂Ω) a domeniului ın care se petrecefenomenul este data de concentratia:

c(x, t)|x∈∂Ω = µ(x, t)|x∈∂Ω (28.3)

unde µ(x, t) este o functie data pe ∂Ω × [0, T ]; [0, T ] reprezinta intervalul de timpın care se studiaza fenomenul.

2) La frontiera ∂Ω (sau o parte a frontierei ∂r) a domeniului ın care se pretrecefenomenul este data de valoarea derivatei normale:

∂c

∂n

∣∣∣∣x∈∂Ω

= ν(x, t)|x∈∂Ω (28.4)

Se ajunge la aceasta conditie daca se da valoarea fluxului de substanta care treceprin suprafata ∂Ω.

Conditiile (1) si (2) se pot combina ın diferite moduri pe diferite portiuni ale lui ∂Ω siastfel numarul de conditii la limita creste.

Conditia initiala care se pune ın mod uzual este:

u(x, 0) = ϕ(x)|x∈Ω .

Exercitiu: Sa se determine si sa se simuleze transportul de substanta ıntr-un curent deapa care curge ıntr-un tub cilindric cu viteza constanta v.

Bibliografie:

120

Page 123: Modele Clasice Curs Master

1) A. Tihonov, A.A. Samarski: Ecuatiile Fizicii Matematice. Editura Tehnica (1956).

121