I. CONCEPTELE FUNDAMENTALEŞI PRINCIPIILE MECANICII CLASICE

În acest capitol se reiau pe scurt principalele noţiuni din mecanică: sistem de coordonate, vector de poziţie, mişcare, traiectoria şi vectorul deplasare, viteza şi acceleraţia, etc. Ele sunt necesare pentru a reaminti Principiile fundamentale ale mecanicii clasice şi mai apoi pentru a introduce legile de conservare ale energiei, impulsului şi momentului cinetic. În text au fost introduse întrebări, exerciţii şi mici probleme pentru a sublinia practic conţinutul teoretic al textului.

I.1. Mişcarea şi elementele ei

Poziţia unui corp în spaţiu se poate preciza prin intermediul coordonatelor punctului în care se găseşte corpul. Fiecărui punct din spaţiul euclidian tridimensional îi corespund trei coordonate. În funcţie de simetria problemei studiate se pot folosi sisteme de coordonate rectilinii sau curbilinii. Astfel x, y şi z sunt coordonate rectilinii (Fig. I.1. a), iar r, şi sunt coordonate sferice (Fig. I.1.b).

(a) (b)

Fig. I.1.

Se cunosc şi alte tipuri de coordonate : polare, cilindrice, etc. Legătura dintre coordonatele carteziene şi cele sferice se poate deduce cu ajutorul Fig. I.1. şi se concretizează în următoarele formule :

, , . (1)

Să se deducă şi relaţiile de transformare inverse, respectiv r, şi în funcţie de x, y şi z.

Poziţia unui corp în spaţiu poate fi precizată şi cu ajutorul unui vector, numit vector de poziţie, a cărui origine se află în originea sistemului de coordonate şi al cărui vârf se găseşte în punctul în care se găseşte corpul. Într-un sistem de coordonate carteziene Oxyz vectorul de poziţie are următoarea expresie:

, (2)x, y şi z reprezentând deopotrivă coordonatele punctului din spaţiu dar şi proiecţiile vectorului de poziţie pe axele cu acelaşi nume. Între modulul vectorului de poziţie şi coordonatele punctului din spaţiu în care se află corpul se stabileşte relaţia:

. (3)Mişcarea corpului presupune schimbarea poziţiei acestuia în raport cu sistemul de

coordonate. Succesiunea tuturor poziţiilor din spaţiu prin care a trecut corpul în timpul mişcării reprezintă traiectoria urmată de corp, lungimea acesteia fiind o mărime scalară.

Dacă la momentul t poziţia corpului în spaţiu este descrisă de vectorul de poziţie , iar la momentul t’ t de vectorul de poziţie , diferit de , atunci se spune că în intervalul de timp t = t’-t s-a produs o deplasare a corpului din poziţia în poziţia (Fig. I.2.).

Fig. I. 2

Deplasarea corpului în intervalul de timp t = t’-t este o mărime vectorială şi este definită ca diferenţa dintre vectorii de poziţie şi ai corpului :

. (4)

Să se identifice situaţia în care, deşi mobilul parcurge o traiectorie a cărei lungime este diferită de zero, totuşi deplasarea mobilului este nulă.

Pentru a putea preciza cât de repede are loc această deplasare se defineşte o altă mărime fizică, vectorială, numită viteză. Viteza instantanee (momentană) a corpului se defineşte astfel :

(5)

şi este un vector tangent la traiectorie în orice punct al acesteia. Unitatea de măsură pentru

viteză, în Sistemul Internaţional al Unităţilor de Măsură (SI), este . Punctul de deasupra

vectorului de poziţie în membrul drept al relatiei (5) este o altă notaţie, mai simplă şi foarte des folosită pentru a marca operaţia de derivare a unei mărimi fizice în raport cu timpul. În cazul în care vectorul viteză nu rămâne constant în timp, se defineşte acceleraţia momentană a corpului:

2

. (6)

Unitatea de măsură pentru acceleraţie, în Sistemul Internaţional, este .

Mişcarea corpurilor poate fi clasificată în funcţie de anumite particularităţi pe care aceasta le prezintă. Astfel, după forma traiectoriei, mişcarea poate fi rectilinie sau curbilinie. Mişcarea poate fi uniformă sau neuniformă, după cum viteza corpului variază sau nu în timpul mişcării. Dacă viteza variază în mod constant, mişcarea se numeşte uniform variată. Cazul general îl reprezintă o mişcare în timpul căreia atât poziţia cât şi viteza şi acceleraţia corpului se modifică. Legile care descriu aceste modificări se numesc legile mişcării şi au următoarea formă generală:

,, (7).

Dacă se cunoaşte forma explicită a oricăreia dintre cele trei legi şi condiţiile iniţiale ale mişcării, atunci, cu ajutorul definiţiilor (5) şi (6), prin derivare şi/sau integrare se pot obţine formele explicite ale celorlalte două legi.

I.2. Principiile mecanicii clasice

În natură corpurile acţionează în permanenţă unele asupra altora, sau altfel spus, interacţionează. Intensitatea acestor interacţiuni este descrisă cantitativ de o mărime fizică vectorială numită forţă. Deci, acţiunii unui corp asupra altui corp îi corespunde o forţă numită acţiune, iar răspunsul celui de-al doilea corp se concretizează într-o forţă numită reacţiune. Orice forţă este numai un aspect al interacţiunii mutuale dintre două corpuri; o forţă reală singură, izolată, nepereche, este o imposibilitate.

S-a ajuns la concluzia că toate interacţiunile cunoscute până în prezent pot fi reduse la patru interacţiuni fundamentale: interacţiunile electromagnetice, gravitaţionale, interacţiunile nucleare slabe şi interacţiunile nucleare tari. Câteva dintre efectele care pot apare în urma interacţiunii corpurilor sunt : deformarea lor, schimbarea proprietăţilor lor fizice şi chimice, modificarea stării de mişcare, etc.

Acea parte a fizicii care se ocupă cu studiul mişcării corpurilor se numeşte mecanică. Calculul traiectoriei unui obuz, a unei sonde spaţiale interplanetare, analiza urmelor lăsate de particulele elementare în camera cu bule, toate sunt probleme de mecanică.

Partea mecanicii care se ocupă cu descrierea mişcării, fără a discuta cauzele ei, se numeşte cinematică. Partea mecanicii care studiază mişcarea corpurilor ţinând cont de cauzele care o produc şi de proprietăţile acestor corpuri se numeşte dinamică.

Isaac Newton, pornind de la lucrările de o deosebită importanţă ale lui Galileo Galilei, (el s-a născut în anul în care Galilei a murit) a reuşit să formuleze un număr de trei principii (sau legi) ale mecanicii, care, prin conţinutul şi generalitatea lor acoperă toate fenomenele ce ţin de mecanica clasică. Aceste legi au fost prezentate pentru prima oară în cartea sa Principia Mathematica Philosophiae Naturalis (1686). Într-o scrisoare către prietenul său Robert Hooke, Newton afirma : « Dacă eu am văzut mai departe decât alţii aceasta se datoreşte faptului că am stat pe umerii Titanilor .» Între aceştia se numără cu siguranţă Galileo Galilei şi Johan Kepler.

Primul principiu, în formularea lui Newton afirmă :

3

Orice corp îşi păstrează starea de repaus sau de mişcare rectilinie şi uniformă atâta timp cât nu este constrâns să-şi schimbe această stare de forţe aplicate din exterior asupra lui.

Tendinţa corpurilor de a-şi păstra starea de repaus sau de mişcare rectilinie şi uniformă este atribuită unei proprietăţi generale a substanţei numită inerţie. Masa corpurilor reprezintă expresia cantitativă a inerţiei acestora. Se observă că primul principiu nu face nici o diferenţă între starea de repaus şi cea de mişcare rectilinie şi uniformă a unui corp. Ambele sunt ”naturale” în absenţa forţelor exterioare. Primul principiu conţine şi ideea caracterului relativ al stării de repaus şi respectiv al mişcării rectilinii şi uniforme.

Se observă de asemenea că, implicit, primul principiu nu face distincţie între cazul în care asupra unui corp nu acţionează nici o forţă şi cazul în care forţele care acţionează asupra lui au rezultanta nulă.

Al doilea principiu al mecanicii clasice afirmă că :

Viteza de variaţie a impulsului unui corp este proporţională cu forţa ce acţionează asupra corpului.

Impulsul unui corp de masă m care se deplaseaza cu viteza este o mărime fizică vectorială care se defineşte astfel :

. (8)

Unitatea de măsură pentru impuls, în Sistemul Internaţional, este . Dacă unităţile se

aleg în conformitate cu Sistemul Internaţional al Unităţilor de Măsură, constanta de proporţionalitate invocată în enunţul acestui principiu este egală cu unu şi formularea matematică a principiului devine :

, (9)

În ipoteza că masa corpului ramâne constantă în timpul mişcării acestuia, ipoteză ce stă la baza mecanicii clasice, relaţia de mai sus conduce la :

. (9’)

Unitatea de măsură pentru forţă, în Sistemul Internaţional, este (Newton). În această relaţie reprezintă rezultanta tuturor forţelor care acţionează asupra corpului de masă m. Se observă că principiul întâi este un caz particular al principiului fundamental al mecanicii, pentru , .

Conţinutul principiului al treilea al mecanicii se referă la interacţiunea mutuală dintre două corpuri şi stabileşte legătura dintre acţiune şi reacţiune :

Dacă un corp acţionează asupra unui alt corp cu o forţă numită acţiune, atunci acest corp va acţiona la rândul său asupra primului corp cu o forţă numită reacţiune, egală în modul şi de sens contrar cu acţiunea.

În ce priveşte conţinutul principiului al treilea trebuie subliniat faptul că acţiunea şi reacţiunea se aplică la corpuri diferite şi deci că nu se pune problema echilibrării lor reciproce.

Se poate afirma deci că din cele trei principii doar principiul al doilea şi principiul al treilea sunt independente.

4

I.3. Legi de conservare în mecanica clasică

Un corp, sau un sistem de corpuri1, asupra căruia nu acţionează nici o forţă din exterior sau asupra căruia acţionează mai multe forţe din exterior a căror rezultantă este însă egală cu zero, se spune că este izolat. Pentru sistemele izolate se pot găsi nişte funcţii, scalare sau vectoriale, care depind numai de coordonatele şi de vitezele particulelor constituente şi care îşi conservă proprietăţile în timpul mişcării. Aceste funcţii se numesc integrale prime ale mişcării. Ele au o proprietate generală importantă : sunt aditive, adică valoarea lor pentru un sistem format din mai multe particule ale căror interacţiuni reciproce pot fi neglijate, se calculează prin însumarea valorilor acestor funcţii luate pentru fiecare particulă în parte. Sunt trei astfel de integrale ale mişcării : energia, impulsul şi momentul cinetic.

I.3.1. Conservarea energiei

Legea conservării energiei mecanice implică conceptele de energie cinetică, energie potenţială şi lucru mecanic.

Energia cinetică. Se consideră un corp de masă m asupra căruia acţionează o forţă . Aşa cum s-a arătat mai sus, în ipoteza fizicii clasice, principiul fundamental al mecanicii se scrie:

.

Sub acţiunea forţei corpul se deplasează. Se notează cu deplasarea corpului efectuată în intervalul de timp . Acesta se alege atât de mic încât să se poată considera că viteza corpului rămâne practic constantă în acest interval. În acest caz, pentru deplasarea se poate scrie că:

.Ultimile două relaţii se înmulţesc (scalar) membru cu membru şi se obţine:

,sau, ţinând cont că ,

(10)

Cantitatea din paranteză se notează cu , se numeşte energie cinetică, este o

mărime scalară, unitatea ei de măsură în SI este 1J (Joule). Se observă că energia cinetică a unui corp izolat, pentru care , se conservă, adică ea este o integrală primă a mişcării acestei particule. Enunţul este adevărat şi pentru un sistem izolat de corpuri. Relaţia (10) se mai poate scrie şi sub forma:

. (10’)

Lucrul mecanic. Dacă însă , atunci corpul se va deplasa de-a lungul unei traiectorii iar relaţia (10’) se poate integra între punctele A şi B , puncte între care are loc deplasarea. Se obţine :

. (11)

În membrul stâng al relaţiei este circulaţia vectorului forţă între două puncte ale unui anumit contur, în general deschis, iar în membrul drept este diferenţa dintre energiile cinetice ale 1Un sistem reprezintă un ansamblu de corpuri, de particule, între care se exercită anumite forţe de legătură. Acestea sunt forţe interne sistemului şi conform principiului al III-lea sunt perechi, egale şi de sens contrar. Ca urmare ele nu pot modifica starea de mişcare a sistemului.

5

corpului calculate în aceleaşi două puncte. Cantitatea din membrul stâng este, prin definiţie, lucrul mecanic efectuat de forţa asupra corpului pentru deplasarea acestuia din punctul A în punctul B. Relaţia (11) reprezintă astfel teorema de variaţie a energiei cinetice şi are următorul enunţ :

Variaţia energiei cinetice a unui corp la deplasarea acestuia între două puncte A şi B este egală cu lucrul mecanic efectuat asupra corpului între aceste puncte de către forţa aplicată.

Lucrul mecanic este o mărime scalară având aceeaşi unitate de măsură ca şi energia cinetică.

În general, valoarea lucrului mecanic efectuat de o forţă pentru deplasarea unui corp între două puncte depinde de drumul pe care se face deplasarea. Există însă o categorie de forţe, numite forţe conservative, pentru care lucrul mecanic efectuat nu depinde de drumul ales între cele două puncte. Altfel spus, pentru forţele conservative este adevărată relaţia:

, (12)

unde numerele 1 şi 2 marchează două trasee diferite între punctele A şi B (vezi Fig.3). După inversarea limitelor de integrare în membrul drept şi după trecerea integralei astfel obţinută tot în membrul stâng, se obţine:

,

sau încă:

. (13)

Deci lucrul mecanic al forţelor conservative pe un contur închis este egal cu zero. Acest enunţ este echivalent cu cel de mai sus şi poate servi de asemenea ca definiţie pentru forţele conservative. O a treia definiţie se poate găsi folosind teorema lui Stokes-Ampère:

,

sau încă. (14)

Fig. I.3.

Forţele gravitaţionale, coulombiene, elastice reprezintă câteva exemple de forţe conservative.

Două câmpuri de forţe staţionare au expresiile analitice şi , unde sunt constante nenule, sunt variabile independente iar

6

sunt versorii axelor de coordonate . Stabiliţi dacă cele două câmpuri sunt conservative.

Energia potenţială. Se demonstrează cu uşurinţă că este adevărată următoarea relaţie :

, (15)oricare ar fi funcţia scalară de coordonate U(x, y, z), derivabilă şi cu derivatele de ordinul întâi continue. În aceste condiţii, relaţia găsită mai sus pentru forţele conservative este satisfăcută dacă se alege :

. (16)Funcţia scalară U(x, y, z) astfel definită se numeşte energie potenţială. Revenind la

definiţia lucrului mecanic elementar efectuat de o forţă conservativă,,

şi înlocuind în această relaţie pe se obţine:

(17)

Mai departe, pentru a afla lucrul mecanic total efectuat între două puncte A şi B din spaţiu, se integrează relaţia de mai sus între aceste limite:

. (18)

La deplasarea corpului din A în B sub acţiunea forţei conservative , energia potenţială a corpului se modifică. Relaţia (18) dă posibilitatea calculării doar a variaţiei energiei potenţiale a corpului la deplasarea acestuia şi nicidecum a energiei potenţiale într-unul din punctele A sau B. Din această cauză se spune că energia potenţială se defineşte până la o constantă arbitrară.

Dacă însă, prin convenţie, se fixează valoarea energiei potenţiale într-un punct oarecare, de exemplu în A, atunci se poate calcula valoarea energiei potenţiale într-un punct oarecare B de vector de poziţie . Astfel, se poate presupune că punctul A se găseşte la infinit şi că

, (19)

ceea ce este echivalent cu a presupune că energia potenţială a unui corp aflat la o distanţă infinit mare de sursa câmpului de forţe este nulă. În această ipoteză, pentru energia potenţială a corpului aflat la o distanţă se obţine expresia :

. (20)

Energia potenţială a unui corp aflat la distanţa într-un câmp de forţe conservative este egală cu lucrul mecanic efectuat pentru a deplasa acel corp în mod uniform din punctul respectiv de la infinit.

Trebuie subliniat că energia potenţială este o mărime fizică ce se defineşte exclusiv în cazul câmpurilor de forţe conservative.

Funcţia energiei potenţiale pentru cei doi atomi ai unei molecule biatomice poate fi

exprimată aproximativ astfel : , unde sunt constante pozitive iar x

măsoara distanţa dintre atomi. Să se găsească pentru ce valori ale lui x energia potenţială

7

 ? Pentru ce valoare a lui x energia potenţială are o valoare minimă ? Să se reprezinte graficul energiei potenţiale şi al forţei de interacţiune dintre atomii moleculei.

Aşa numitul potenţial Yukawa dă o descriere destul de precisă

a interacţiunii dintre nucleoni. Constanta are aproximativ valoarea iar

constanta are aproximativ valoarea . Să se afle expresia corespunzătoare a forţei de atracţie dintre nucleoni. Pentru a arăta raza de acţiune scurtă a acestei forţe să se calculeze valorile forţelor de atracţie pentru cazul în care nucleonii se află unul faţă de celălalt la distanţele şi să se raporteze aceste valori la valoarea forţei în cazul în care distanţa dintre nucleoni este .

Legea conservării energiei mecanice. Se consideră un corp de masă m asupra căruia acţionează o forţă . Sub acţiunea acesteia, corpul se deplasează accelerat, în conformitate cu principiul al doilea al mecanicii, între două puncte A şi B, pe un anumit drum. S-a demonstrat în acest caz că,

.Dacă, în plus, forţa este o forţă conservativă, atunci s-a arătat că este adevărată şi relaţia (17):

.şi deci

, , (21)Dacă se notează cu E=T+U suma dintre energia cinetică şi cea potenţială şi se numeşte energie mecanică, atunci se observă că :

Energia mecanică totală a unui punct material aflat sub acţiunea unor forţeconservative rămâne constantă.

Enunţul este adevărat şi pentru un sistem de puncte materiale care îndeplineşte aceste condiţii.

Doi protoni având fiecare energia E=0.5 MeV se îndreaptă unul către celălalt. Până la ce distanţă se pot apropia unul de celălalt cei doi protoni ? Se va considera că protonii interacţionează numai prin intermediul forţelor electrostatice.

I.3.2. Legea de conservare a impulsului.

Legea de conservare a impulsului derivă direct din expresia principiului fundamental al dinamicii :

sau încă , . (22)

Dacă asupra unui punct material nu acţionează nici o forţă exterioară sau acţionează un sistem de forţe a căror rezultantă este nulă, atunci impulsul punctului material se conservă.

8

Enunţul rămâne valabil şi în cazul unui sistem de mai multe puncte materiale. De asemenea, trebuie menţionat că lgea de conservare a impulsului se aplică şi în fizica atomică şi nucleară, deşi în acest caz mecanica newtoniană nu mai este valabilă.

O particulă (nucleul unui atom de heliu) este emisă dintr-un nucleu de uraniu 238, iniţial în repaus, cu o viteză de m/s şi o energie cinetică de 4,1 MeV. Să se afle viteza de recul a nucleului de toriu 234 nou format.

Un vehicul spaţial proiectează în urma sa combustibilul ars cu o viteză în raport cu vehiculul ; viteza de variaţie a masei vehiculului este egală cu -, şi este constantă. Să se scrie şi să se rezolve ecuaţia de mişcare a vehiculului spaţial, neglijând gravitaţia.

I.3.3. Legea de conservare a momentului cinetic

Să considerăm un punct material de masă m, care se mişcă pe o traiectorie curbilinie cu viteza , astfel încât impulsul acestuia este . Poziţia punctului material este descrisă cu ajutorul vectorului de poziţie , având originea în originea O a unui sistem de referinţă inerţial, ca în Figura 4. Se numeşte moment cinetic sau moment unghiular mărimea fizică definită astfel :

. (23)Conform definiţiei, modulul, direcţia şi sensul vectorului moment cinetic sunt date de regula produsului vectorial. Dreapta paralelă cu vectorul şi care trece prin originea O a sistemului de referinţă se numeşte axă de rotaţie.

Pentru a găsi în ce condiţii se conservă momentul cinetic al unui punct material, se calculează mai întâi variaţia acestuia :

(24)

Primul termen din membrul drept este egal cu zero deoarece este produsul vectorial a doi vectori coliniari iar al doilea termen reprezintă chiar momentul al forţei care acţionează asupra punctului material, astfel încât relaţia de mai sus devine :

. (25)

Se observă din această relaţie că :

Momentul cinetic al unui punct material asupra căruia acţionează o forţă al cărei moment este nul, se conservă.

Enunţul rămâne valabil şi în cazul unui sistem de mai multe forţe al căror moment rezultant este nul şi de asemenea în cazul unui sistem de puncte materiale.

9

LO

Fig. I.4.

Condiţia de mai sus se îndeplineşte în una din următoarele situaţii  : a) forţa care acţionează asupra punctului material este egală cu zero – punctul material este izolat  ; b) braţul forţei este egal cu zero, deci nu se efectuează o mişcare de rotaţie în jurul unei axe ; c) deşi nici forţa şi nici braţul ei nu sunt egale cu zero, momentul forţei este nul deoarece forţa şi braţul ei au aceeaşi direcţie ; această situaţie se realizează la rândul ei în cazul când forţa are sens invers vectorului de poziţie, fiind o forţă centrală şi în cazul când are acelaşi sens cu vectorul de poziţie, caz în care iarăşi nu se execută o mişcare de rotaţie.

Dacă mişcarea unui punct material se face sub acţiunea unei forţe centrale, atunci să se demonstrează că mişcarea acestuia este plană, că traiectoria mişcării este conţinută într-un plan.

Acesta este, de exemplu, cazul mişcării planetelor în jurul Soarelui. Orbitele planetelor sunt plane eliptice, Soarele aflându-se într-unul din focarele elipsei. Ca urmare a conservării momentului cinetic rezultă că viteza pe orbită creşte atunci când planeta se apropie de Soare şi scade pe măsura ce ea se îndepărtează.

Soarele, planetele şi majoritatea sateliţilor acestora au, pe lângă mişcarea de rotaţie pe orbită şi o mişcare de rotaţie în jurul unei axe proprii. Acestei mişcări îi corespunde un moment cinetic distinct numit momentului cinetic de spin. În aceste condiţii, aplicarea corectă a legii conservării momentului cinetic la sistemul solar presupune luarea în consideraţie a momentului cinetic total, adică a sumei dintre momentul cinetic orbital şi momentului cinetic de spin Există însă unele corpuri cereşti, de exemplu Luna, care nu au o mişcare de rotaţie proprie şi ca urmare nu au nici moment cinetic de spin.

Legile, în număr de trei, care guvernează mişcarea planetelor în jurul Soarelui au fost formulate prima dată de către Johannes Kepler (1571-1630). Acesta a analizat şi a interpretat, după aproximativ douzeci de ani de la culegerea lor, datele obţinute de profesorul său, Ticho Brahe. Este de remarcat că acesta din urmă nu a avut la dispoziţie nici măcar un simplu telescop, culegându-şi informaţiile prin observaţie directă.

Legea de conservare a momentului cinetic total funcţionează şi în cazul sistemelor moleculare, atomice sau nucleare. În acest caz însă, momentul cinetic nu va putea lua decât anumite valori, bine precizate, va fi deci o mărime fizică cuantificată.

10