1

PREFA,

Dup ce n lucrarea [5] am prezentat elementele de baz

ale aa zisei algebre abstracte (mulimi ordonate, grupuri, inele, corpuri, inele de polinoame, elemente de teoria categoriilor) ca o continuare fireasc a acestora, n lucrarea de fa se prezint anumite elemente de algebr liniar.

Capitolul 1 este dedicat studiului modulelor peste un inel unitar (n cea mai mare parte presupus comutativ) i n particular al spaiilor vectoriale. n cadrul acestui capitol o atenie deosebit este acordat studiului categoriilor de module (solicitnd cititorului anumite noiuni i rezultate prezentate n Capitolul 5 din [5]) precum i modulelor libere de rang finit (n particular spaiilor vectoriale de dimensiune finit peste un corp).

Capitolul 2 este dedicat studiului determinanilor i sistemelor de ecuaii liniare cu coeficieni ntr-un corp comutativ.

Lucrarea se adreseaz n primul rnd studenilor de la facultile de matematic i informatic (mai ales pentru primii ani de studiu) putnd fi ns utilizat i de profesorii de matematic din nvmntul preuniversitar n cadrul procesului de perfecionare (anumite paragrafe, n special cele legate de spaiile vectoriale, sunt utile i studenilor de la nvmntul politehnic).

Aceast lucrare (ca i [5] - a crei continuare fireasc este) nu ar fi vzut lumina tiparului fr efortul deosebit depus de Dana Piciu (care printre altele, a asigurat cea mai mare parte a dificilelor operaii de tehnoredactare i corectur); folosesc acest prilej pentru a-i mulumi pentru colaborarea la realizarea att a acestei lucrri (ct i a lucrrilor [4,5]), dar mai ales pentru sperana de a realiza n viitor i alte lucrri de algebr necesare nvmntului superior.

Craiova, 26 martie 2001 Prof.univ.dr. Dumitru Buneag

2

CUPRINS

CAPITOLUL 1: Module i spaii vectoriale 1. Modul. Submodul. Calcule ntr-un modul. Operaii cu

submodule. Submodul generat de o mulime. Laticea submodulelor unui modul. Sistem de generatori. Elemente liniar independente (dependente). Module libere. Spaii vectoriale. Submodul maximal. Modul simplu. Factorizarea unui modul printr-un submodul. Modul factor. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Morfisme de module. Endomorfisme. Operaii cu morfisme

de module. Imaginea, nucleul, coimaginea i conucleul unui morfism de module. Categoriile Mods(A) i Modd(A). Monomorfisme, epimorfisme, izomorfisme de module. Nucleul i conucleul unei perechi de morfisme. Teorema fundamental de izomorfism pentru module. Consecine. iruri exacte de A-module. Functorii hM i hM de la Mods(A) la Ab. Bimodule. Dualul i bidualul unui modul. . . . . . . 14 3. Produse i sume directe n Mods(A). Sume directe de submodule. Produse i sume directe de morfisme de A-module. Sume i produse fibrate n Mods(A). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 4. Limite inductive i proiective n Mods(A). Limite inductive i proiective de morfisme de A-module . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5. Submodule eseniale i superflue. Submodule complement. Submodule nchise. Module injective. Grupuri divizibile. Anvelope injective. Module proiective. Anvelope proiective. Generatori, cogeneratori pentru Mods(A). Limite inductive i proiective n Mods(A). Limite inductive i proiective de morfisme de A-module. .60

3

6. Produs tensorial de module. Produs tensorial de morfisme. Functorii SM i TN; transportul irurilor exacte scurte prin aceti functori. Comutativitatea produsului tensorial. Permutarea produsului tensorial cu sumele directe. Produs tensorial de module libere. Asociativitatea produsului tensorial. Proprietatea de adjuncie. Module plate. . . . 83

7. Module libere de rang finit. Matricea de trecere de la o baz la alta. Formula de schimbare a coordonatelor unui element la schimbarea bazelor. Lema substituiei. Matricea ataat unei aplicaii liniare ntre module libere de rang finit; formula de schimbare a acesteia la schimbarea bazelor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

CAPITOLUL 2: Determinani. Sisteme de ecuaii liniare. 1. Definiia unui determinant de ordin n. Proprietile

determinanilor. Dezvoltarea unui determinant dup elementele unei linii. Regula lui Laplace. Formula Binet-Cauchy.. . . . . . . . . . . . 113

2. Matrice inversabil. Inversa unei matrice. Rangul unui

sistem de vectori. Rangul unei matrice. Rangul unei aplicaii liniare ntre spaii vectoriale de dimensiuni finite.. . . . . . . . . . . . . . . . . . .132

3. Sisteme de ecuaii liniare cu coeficieni ntr-un corp

comutativ. Sisteme omogene. Vectori i valori proprii ai unui operator liniar. Teorema Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142

BIBLIOGRAFIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157

4

Refereni tiinifici: Prof.univ.dr. Constantin NI UNIVERSITATEA BUCURETI

Prof.univ.dr. Alexandru DINC UNIVERSITATEA CRAIOVA

2001 EUC CRAIOVA All rights reserved. No part of this publication may be reproduce, stored in a retrieval system, or transmitted, in any forms or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording, or other wise, without the prior written permission of the publisher. Tehnoredactare computerizat : Dana Piciu Coperta: Ctlin Buneag

Bun de tipar: 29.03.2001 Tipografia Universitii din Craiova, Strada, Al. Cuza, nr.13 Craiova, Romnia

Published in Romania by: EDITURA UNIVERSITARIA CRAIOVA

Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale Dumitru Buneag (coordonator),

Algebr liniar 161p.; 21 cm

Craiova Editura Universitaria 2001 Bibliogr . 512,512.553,516.64

ISBN 973 8043 62 2

5

CAPITOLUL 1: MODULE I SPAII VECTORIALE

n cadrul acestui capitol prin A vom desemna un inel unitar (cnd va fi cazul vom preciza dac A este sau nu comutativ).

1. Modul. Submodul. Calcule ntr-un modul. Operaii cu submodule. Submodul generat de o mulime. Laticea submodulelor unui modul. Sistem de generatori. Elemente liniar independente (dependente). Module libere. Spaii vectoriale. Submodul maximal. Modul simplu. Factorizarea unui modul printr-un submodul. Modul factor.

Definiia 1.1. Vom spune despre un grup abelian (M,+) c

este A-modul stng (sau modul la stnga peste A) dac este definit o operaie algebric extern pe M, :AMM, (a,x)=ax, pentru orice aA i xM a.. pentru oricare a, bA i x, yM sunt verificate condiiile:

(i) a(x+y)=ax+ay (ii) (a+b)x = ax+bx (iii) a(bx)=(ab)x (iv) 1x=x

n acest caz, elementele lui A se numesc scalari iar se

numete nmulire cu scalari. n mod analog se definete noiunea de A-modul la dreapta: un

grup abelian (M,+) se zice c este A-modul drept (sau modul la dreapta peste A ) dac este definit o nmulire cu scalari, :MAM (x,a)=xa, pentru orice aA i xM a.. pentru oricare a, bA i x, yM sunt verificate condiiile:

6

(i) (x+y)a=xa+ya (ii) x(a+b)=xa+xb (iii) (xa)b=x(ab) (iv) x1=x.

Faptul c M este un A-modul la stnga (dreapta) se mai noteaz

i prin AM (MA).

Observaia 1.2. 1. Dac Ao este inelul opus lui A (adic inelul n care operaia de adunare coincide cu cea de pe A iar nmulirea de pe Ao se definete pentru a, bA prin ab=ba) atunci orice A-modul stng M devine n mod canonic Ao-modul drept (i reciproc), definind pentru xM i aAo nmulirea cu scalari prin xa=ax. De fiecare dat noul modul astfel obinut se va nota prin Mo i se va numi opusul lui M. Astfel, n cazul n care inelul A este comutativ, cum A coincide cu Ao, noiunile de A-modul la stnga i la dreapta coincid; n acest caz, despre M vom spune pur i simplu c este A-modul.

2. n cazul n care inelul A este un corp K, atunci orice K-modul la stnga (dreapta) M se zice spaiu vectorial la stnga (dreapta) peste K (sau K-spaiu vectorial). De obicei, n acest caz grupul aditiv abelian M se noteaz prin V iar elementele lui V se numesc vectori.

n cele ce urmeaz (dac nu menionm contrariul) prin A-modul (sau modul dac nu este pericol de confuzie), vom nelege un A-modul la stnga, (noiunile i rezultatele transpunndu-se direct i pentru A-modulele la dreapta). Adoptm aceeai convenie i pentru K-spaiile vectoriale.

Exemple 1. Inelul A devine n mod canonic A-modul considernd nmulirea de pe A ca nmulirea cu scalari.

2. Dac (G, +) este grup abelian, atunci G devine n mod canonic -modul definind pentru n i xG nmulirea cu scalari

7

(n,x) = nx =

( ) ( )

++

0...

00

0....

npentruxx

npentru

npentruxx

orin

orin

44 344 21

43421

.

3. Dac inelul A este n plus i comutativ, atunci inelul A[X] al polinoamelor ntr-o nedeterminat devine A-modul, definind pentru aA i P = a0+a1X++anXnA[X] nmulirea cu scalari prin

(a, P) = (aa0)+(aa1)X++(aan)XnA[X]. 4. Dac A este comutativ, atunci grupul aditiv Mm,n(A) al

matricelor de tipul (m, n) (m, n1) devine n mod canonic A-modul definind nmulirea cu scalari pentru aA i o matrice ( )

njmiija 11 prin

a ( )njmiija 11 = ( ) nj miijaa 11 Mm,n(A).

5. Considernd un numr natural n* i grupul aditiv An=AA (fa de adunarea x+y=(xi+yi)1in, cu x=(xi)1in i y=(yi)1inAn) atunci An devine n mod canonic un A-modul definind nmulirea cu scalari pentru aA i x= ( ) niix 1 An prin (a, x)= ( ) niixa 1 An.

6. Dac I este un interval de numere reale, atunci mulimea C(I, )={f : I | f este continu}

(care devine grup abelian fa de adunarea canonic a funciilor continue) devine -spaiu vectorial definind nmulirea cu scalari pentru a i f:I prin (a, f): I, (a, f)(x)=af(x), oricare ar fi xI.

Propoziia 1.3. Dac M este un A-modul, atunci pentru orice a, b, a1, , anA i x, y, x1, , xmM avem: (i) a0=0a=0 (ii) (-a)x=a(-x)=-(ax) iar (a)(-x)=ax (iii) a(x-y)=ax-ay iar (a-b)x=ax-bx (iv) (a1++an)x=a1x++anx iar a(x1+ + xm)=ax1++axm.

8

Demonstraie. (i). Din 0+0=0 deducem c a(0+0)=a0 a0+a0=a0 a0=0. Analog deducem i c 0a=0.

(ii). Scriind c a+(-a)=0 deducem c ax+(-a)x=0x=0, de unde (a)x=-(ax). Analog restul de afirmaii.

(iii). Se ine cont de (ii). (iv). Se face inducie matematic dup m i n.

Definiia 1.4. Fiind dat un A-modul M, o submulime nevid

M a lui M se zice submodul dac M este subgrup al grupului aditiv (M,+) iar restricia nmulirii cu scalari la M i confer lui M structur de A-modul.

Vom nota prin LA(M) familia submodulelor lui M. n mod evident, {0} i M fac parte din LA(M). Oricare alt submodul al lui M diferit de {0} i M se zice propriu. Dac A este un inel comutativ atunci LA(A)=Id(A). Dac nu este pericol de confuzie, submodulul {0} se mai noteaz i prin 0 i poart numele de modulul nul.

Urmtorul rezultat este imediat:

Propoziia 1.5. Dac M este un A-modul, atunci pentru o submulime nevid N a lui M urmtoarele afirmaii sunt echivalente:

(i) NLA(M) (ii) Pentru orice x, yN i aA, x-yN i axN

(iii) Pentru orice x, yN i a, bA , ax+byN .

Propoziia 1.6. Dac ( ) IiiN este o familie de submodule ale unui A-modul M, atunci I

IiiN

LA(M).

Demonstraie. Fie N=IIi

iN

i x, yN (adic x, yNi pentru orice

iI) iar a, bA. Atunci ax+byNi pentru orice iI, adic ax+byI

IiiN

=N, deci NLA(M).

Propoziia 1.6. ne permite s introducem pentru un A-modul M

i o submulime nevid M a sa, noiunea de submodul generat de M ca

9

fiind cel mai mic submodul al lui M (fa de relaia de incluziune), ce conine pe M. Dac notm prin (M) acest submodul avem n mod evident

I })({)( NMMLNM A = .

Propoziia 1.7. Dac M este un A-modul iar MM o submulime nevid a sa, atunci (M)={a1x1++anxn | a1, ,anA, x1, ,xnM, n*}.

Demonstraie. S notm prin M mulimea combinaiilor finite cu elemente din M din partea dreapt a egalitii din enun. Se arat imediat c M este submodul al lui M ce conine pe M, de unde incluziunea (M)M. Dac alegem NLA(M) a.. MN atunci MN i cum N este oarecare deducem c MN=(M), de unde egalitatea (M)=M.

Observaia 1.8. 1. Dac (M)=M, elementele lui M se zic

generatori pentru M. Dac M este finit, M se zice A- modul finit generat sau de tip finit.

2. Dac M={x} cu xM, atunci submodulul lui M generat de mulimea {x} se zice principal i conform propoziiei precedente avem:

({x})={ax |aA} Ax. 3. Mulimea ordonat (LA(M), ) devine n mod canonic latice

complet, unde pentru o familie ( ) IiiN de elemente din LA(M) avem Ii

Ni= IIi

iN

iar Ii

Ni=( UIi

iN

); n mod evident aceast latice este

mrginit, unde 0={0} iar 1=M. 4. Dac N, PLA(M), atunci NP=(NP)={x+y|xN i yP}N+P,

iar ({x1, , xn}) =Ax1++Axn.

Propoziia 1.9. Pentru orice A-modul M, laticea (LA(M), ) este modular.

10

Demonstraie. Trebuie s artm c dac P, Q, RLA(M) i RP, atunci P(QR)=(PQ)RP(Q+R)=(PQ)+R.

Cum incluziunea (PQ)+RP(Q+R) este evident, fie xP(Q+R). Atunci xP i x=y+z cu yQ i zR. Cum RP deducem c y=x-zP i cum yQ avem c yPQ, adic x(PQ)+R, deci este adevrat i incluziunea P(Q+R)(PQ)+R, de unde egalitatea P(Q+R)=(PQ)+R.

Observaia 1.10. 1. n general, laticea (LA(M), ) poate s nu fie distributiv. Contraexemplul ne este oferit de -modulul M= (vezi [2, Exc. 6.16.] i [19, p. 77]).

2. Laticea submoduleleor -modulului (adic laticea idealelor inelului (, +, )) este distributiv. ntr-adevr, dac avem trei ideale I, J, K ale inelului atunci I=m, J=n, K=p cu m, n, p. Se verific imediat c IJ=[m, n] iar I+J=(m, n), astfel c egalitatea I(JK)=(IJ)(IK) este echivalent cu [m, (n, p)]=([m, n], [m, p]) iar ultima egalitate este adevrat (vezi [4]).

Definiia 1.11. Fie M un A-modul stng. Vom spune despre elementele x1, , xnM c sunt liniar independente peste A dac avnd o combinaie liniar nul a1x1++anxn= 0 cu a1, , anA, deducem c a1=a2==an=0.

Dac notm F={x1, , xn} convenim s notm fapul c elementele lui F sunt liniar independente peste A scriind indAF.

Dac MM este o submulime oarecare a lui M, vom spune c elementele lui M sunt liniar independente peste A dac orice submulime finit FM este format din elemente liniar independente peste A (vom nota lucrul acesta scriind indAM).

n cazul n care elementele x1, , xnM nu sunt liniar independente peste A vom spune despre ele c sunt liniar

11

dependente peste A (acest lucru revenind la a spune c exist a1, , anA nu toate nule a.. a1x1++anxn=0) .

Exemple. 1. Dac n* i M=An atunci notnd cu ei elementele lui M ce au 1 pe poziia i i 0 n rest (1in) se deduce imediat c elementele e1, e2, .., en sunt liniar independente peste A.

2. Fie m, n* i M=Mm,n(A) iar Eij matricea de tip (m,n) ce are 1 pe poziia (i, j) i 0 n rest (1im, 1jn). Se verific imediat c elementele ( )

njmiijE

11 sunt liniar independente peste A.

3. Dac A este comutativ iar M=A[X], atunci mulimea infinit {1, X, X2, .} este format din polinoame liniar independente peste A.

4. Dac n i n2 atunci orice submulime nevid F a -modulului (n, +) este format din vectori liniar dependeni peste . ntr-adevr, dac F=

pxx ,...,1 (pn), atunci

=++

pxnxn ...1

++ pnxnx ...1 = 00...0 =++ .

Definiia 1.12. Dac M este un A-modul, o submulime S a lui M se zice baz pentru M dac (S)=M i indAS.

n acest caz, spunem despre A-modulul M c este liber (n mod evident M0).

Din cele prezentate anterior deducem c A-modulele An i Mm,n(A) (cu m, n2) sunt libere i au baze finite iar dac inelul A este comutativ atunci A-modulul A[X] este de asemenea liber, avnd ns o baz infinit.

Tot din cele prezentate mai nainte deducem c -modul (n, +) (n2) nu este liber.

Teorema 1.13. Fie K un corp arbitrar, V un K-spaiu

vectorial nenul, I, GV a.. indKI, (G)=V i IG. Atunci exist o baz BV pentru V a.. IBG.

Demonstraie. S remarcm la nceput faptul c exist submulimi I i G ale lui V cu proprietile din enun. ntr-adevr, putem considera n cel mai nefavorabil caz G=V iar I={x} cu xG, x0 (cci V0).

12

Fie F={BV|IBG i indKB} (deoarece IF deducem c F). Se verific imediat c dac (Bi) iI este o familie total ordonat (fa de incluziune) de elemente din F, atunci U

IiiB

F, de unde

concluzia c (F, ) este o mulime inductiv. Conform Lemei lui Zorn exist un element maximal B0F. Dac vom demonstra c (B0)=V, cum indKB0, vom deduce c B0 este baz pentru V i teorema este demonstrat.

Pentru aceasta este suficient s demonstrm c G(B0) (cci atunci am deduce c V=(G)(B0), de unde (B0)=V).

Cum B0G, fie x0G\B0. Atunci IB0{x0}G iar datorit maximalitii lui B0 deducem c vectorii din B0{x0} trebuie s fie liniar dependeni peste K. Exist deci 0, 1, , nK nu toi nuli i x1, , xnB0 a.. 0x0+ 1x1++nxn=0.

S observm c 00 (cci n caz contrar, cum indKB0 am deduce c 1==n=0, absurd), de unde deducem c

( ) ( ) nn xxx 1011100 ... ++= adic x0(B0). Deducem deci c G(B0) i astfel (B0)=V, adic B0 este o baz pentru V.

innd cont de observaia de la nceputul demonstraiei

Teoremei 1.13., deducem imediat urmtorul rezultat: Corolar 1.14. (i) Dac K este un corp oarecare, atunci orice

K-spaiu vectorial nenul admite cel puin o baz. (ii) Orice parte I liniar independent a unui sistem de

generatori G al unui K-spaiu vectorial V poate fi completat cu elemente din G pn la o baz a lui V.

(iii) Orice sistem de vectori liniar independeni ai unui spaiu vectorial poate fi completat pn la o baz a spaiului.

Teorema 1.15. (Teorema schimbului). Fie K un corp

oarecare iar V un K-spaiu vectorial nenul. Dac x1, , xnV sunt liniar independeni peste K iar y1, , ymV un sistem de generatori pentru V, atunci nm i exist o reindexare a vectorilor y1, , ym a.. (x1, , xn, yn+1, , ym)=V.

13

Demonstraie. Se face inducie matematic dup n. Dac n=1 atunci n mod evident 1m. Deoarece (y1,,ym)=V, exist a1,,amK a.. x1=a1y1++amym ; cum x10, exist un scalar ai nenul (s zicem a10). Atunci ( ) ( ) mm yaayaaxay 1122111111 ... = , de unde concluzia c (x1, y2,,ym)=V.

S presupunem afirmaia adevrat pentru n-1. Deoarece x1,,xn sunt liniar independeni peste K atunci i x1,,xn-1 sunt liniar independeni peste K i conform ipotezei de inducie n-1m i exist o reindexare a vectorilor y1, ,ym a.. (x1, , xn-1, yn , yn+1, , ym)=V. Atunci exist b1, , bn-1, bn , bn+1, , bmK a.. xn=b1x1++bn-1xn-1+ +bnyn++bmym . ()

Dac n-1=m atunci xn=b1x1++bn-1xn-1 ceea ce contrazice faptul c vectorii x1, , xn-1, xn sunt liniar independeni peste K. Atunci n-1m-1, de unde nm. Din () deducem c exist un indice i, nim a.. bi0 (s

zicem i=n). Atunci din () deducem c ( ) ( ) ( ) ( ) mmnnnnnnnnnnn ybbybbxbbxbbxby 11111111111 ...... ++ = ceea ce ne arat c (x1, , xn, yn+1, , ym)=V i astfel, conform principiului induciei matematice teorema este complet demonstrat.

Corolar 1.16. Fie K un corp oarecare iar V un K-spaiu vectorial nenul. Atunci oricare dou baze finite ale lui V au acelai numr de elemente.

Demonstraie. Dac B1={x1, , xn} i B2={y1, , ym} sunt dou baze ale lui V cu n respectiv m elemente, deoarece n particular indK{x1, , xn} i (y1, , ym)=V, conform teoremei schimbului avem nm. Schimbnd rolul lui B1 cu B2 deducem c i mn, de unde m=n.

Teorema 1.17. Fie M un A-modul liber iar (ei)iI i (fj)jJ dou baze pentru M. Atunci :

(i) I este infinit dac i numai dac J este infinit (ii) Dac I i J sunt infinite, atunci |I|=|J| (unde reamintim

c prin |I| am notat cardinalul lui I).

14

Demonstraie. (i). Pentru fiecare iI exist ( )Jj

ija de suport finit

(cu ija A) a..

=iCj

jiji fae , unde Ci=supp ( ) { }0= ijJjij aJja (care

este mulime finit). S demonstrm c J= U

IiiC

iar pentru aceasta fie jJ. Deoarece

(ei)iI este baz pentru M, exist niii bbb ,...,, 21 A a..

niniiijebebf ++= ...

11. Deducem imediat c :

()

++

=

niCjj

nijni

iCjj

ijij fabfabf ...

1

11

.

Dac prin absurd, UIi

iCj

atunci cu att mai mult Un

kikCj

1= i

deci fj nu se gsete printre elementele ( ) Un

ppiCkk

f1=

i astfel din ()

deducem c { } { }U Unp

piCkkjff

1

=

este o mulime liniar dependent, absurd.

Prin urmare UIi

iCJ

= i atunci este clar c dac J este infinit atunci cu

necesitate i I este infinit (deoarece Ci este mulime finit pentru orice iI). Analog deducem c dac I este infinit atunci i J este infinit. (ii). innd cont de faptul c U

IiiCJ

= i de anumite rezultate

elementare din teoria mulimilor (vezi Capitolul 1, paragraful 10)

deducem c IICCJIi

iIi

i ==

0U i simetric, JI , de unde

JI = .

Corolar 1.18. Dac V este un K-spaiu vectorial nenul atunci oricare dou baze ale lui V au acelai cardinal.

Observaia 1.19. Ceva mai trziu vom demonstra un rezultat

asemntor Corolarului 1.16. i pentru module (vezi Teorema 2.5.). Definiia 1.20. Dac V este un K-spaiu vectorial nenul vom

nota cu dimKV sau [V:K] cardinalul unei baze arbitrare a lui V ce se va numi dimensiunea lui V peste K.

15

Dac dimKV este finit vom spune despre V c este de dimensiune finit. Dac V={0} convenim ca dimKV=0. Din cele expuse mai nainte deducem c dac K este un corp oarecare atunci dimKKn=n, dimKMm,n(K)=mn, (m, n2) iar dimKK[X] este infinit. Dac pentru n notm Kn[X]={fK[X]|grad(f)n}, atunci dimKKn [X]=n+1 (cci {1, X,, Xn } este o baz a lui Kn [X] peste K).

Definiia 1.21. Fie M un A-modul stng. Un submodul propriu N al lui M se zice maximal dac N este element maximal n laticea LA(M) a submodulelor lui M (adic pentru orice submodul propriu N al lui M a.. NN, avem N=N).

Propoziia 1.22. Pentru un A-modul stng M i un submodul propriu N al lui M urmtoarele afirmaii sunt echivalente:

(i) N este maximal (ii) N+Ax =M pentru orice xM\N (iii) N+N=M pentru orice submodul N al lui M a.. NN. Demonstraie. (i)(ii). Dac N este maximal, cum

N+Ax=(N{x}) (conform Observaiei 1.8., 2).) iar NN+Ax deducem imediat c N+Ax=M.

(ii)(iii). Din NN deducem c exist xN a.. xN. Atunci N+Ax = (N{x})(NN) = N+N i cum N+Ax=M deducem c MN+N, adic N+N=M.

(iii)(i). Presupunem prin absurd c N nu este maximal; atunci exist NM submodul propriu a.. NN i NN. Cum NN ar trebui ca N+N=M. ns N+N=N i astfel ajungem la concluzia fals c N=M absurd!.

Teorema 1.23. Fie M un A-modul stng finit generat. Atunci orice submodul propriu N al lui M este coninut ntr-un submodul maximal.

16

Demonstraie. Fie PN mulimea submodulelor proprii ale lui M

ce conin pe N (cum NPN deducem c PN). S artm acum c (PN, ) este o mulime inductiv ordonat iar pentru aceasta fie (Ni)iI o parte total ordonat a lui PN. n mod evident U

IiiNN

= este submodul al

lui M ce conine pe N. Dac N nu ar fi propriu (adic N =M), cum M este finit generat exist un numr finit de generatori x1, , xn ai lui M i va exista jI a.. x1, , xn Nj de unde ar rezulta c Nj=M, absurd!. Deci N PN i este un majorant pentru (Ni)iI. Conform Lemei lui Zorn, PN conine un element maximal N0; deducem imediat c N0 este submodul maximal al lui M ce conine pe N.

Definiia 1.24. Un A-modul stng M se zice simplu dac M0

i singurul su submodul propriu este submodulul nul 0. Dac M este un A-modul stng i N este un submodul al su

ce ca A-modul este simplu, atunci N se zice submodul minimal.

Observaia 1.25. Dac M0 este un A-modul stng simplu, atunci exist xM, x0 a.. M=Ax.

Fie acum M un A-modul stng i NM un submodul al su. Deoarece grupul (M, +) este abelian deducem c NM i deci putem vorbi de grupul aditiv factor M/N (vezi Capitolul 2, .4).

Reamintim c M/N={x+NxM}, unde x+N={x+yyN} iar operaia de adunare pe M/N se definete astfel:

(x+N)+(y+N)=(x+y)+N, oricare ar fi x, yM. n continuare s-l organizm pe M/N ca A-modul. Pentru aA

17

i xM definim: a(x+N)=ax+NM/N. Dac mai avem yM a.. x+N=y+N, atunci x-yN i deci

a(x-y)N, de unde concluzia c ax+N=ay+N, adic operaia definit mai sus este corect.

Se verific imediat c n felul acesta M/N devine A-modul stng care poart numele de modulul factor al lui M prin submodulul N. Spunem de multe ori c am factorizat modulul M prin submodulul su N.

Dac N=0 atunci M/N={x+0xM}={xxM}=M iar dac N=M, atunci M/M={x+MxM}={M} iar cum N este elementul neutru al grupului aditiv (M/N, +) convenim s spunem c M/M este A-modulul nul (notat de obicei prin 0). Astfel, M/N0 dac i numai dac N este submodul propriu al lui M (adic NM).

Observaia 1.26. Aplicaia pN:MM/N, pN(x)=x+N, oricare ar fi xM poart numele de surjecia canonic; cnd nu este pericol de confuzie n loc de pN vom scrie simplu p iar pentru xM folosim deseori notaia p(x)= x .

18

2. Morfisme de module. Endomorfisme. Operaii cu morfisme de module. Imaginea, nucleul, coimaginea i conucleul unui morfism de module. Categoriile Mods(A) i Modd(A). Monomorfisme, epimorfisme, izomorfisme de module. Nucleul i conucleul unei perechi de morfisme. Teorema fundamental de izomorfism pentru module. Consecine. iruri exacte de A-module. Functorii hM i hM de la Mods(A) la Ab. Bimodule. Dualul i bidualul unui modul.

Definiia 2.1. Fie M i N dou A-module stngi. O funcie f:MN se zice morfism de A-module (stngi) dac

(i) f(x+y)=f(x)+f(y) (ii) f(ax)=af(x), oricare ar fi x, yM i aA. Dac M i N sunt A-module drepte atunci (ii) se nlocuiete

cu (ii) f(xa)=f(x)a, oricare ar fi xM i aA. Morfismele de A-module se mai zic i aplicaii liniare (sau

aplicaii A-liniare, dac este pericol de confuzie). n continuare ne vom ocupa doar de morfismele de A-module

stngi. Observaia 2.2. 1. Se verific imediat c dac M i N sunt dou

A-module stngi, atunci f:MN este morfism de A-module dac i numai dac f(ax+by)=af(x)+bf(y), oricare ar fi x, yM i a, bA.

Deoarece n particular f este morfism de grupuri aditive deducem c f(0)=0 i f(-x)=-f(x), oricare ar fi xM.

2. Un morfism de A-module f:MM se zice endomorfism al lui M; n particular 1M:MM, 1M(x)=x, oricare ar fi xM este endomorfism al lui M (numit endomorfismul identic al lui M).

3. Dac M este un A-modul stng iar N este un submodul al su, se verific imediat c surjecia canonic pN:MM/N, pN(x)=x+N, oricare ar fi xM este morfism de A-module i n consecin pN se va numi morfismul surjectiv canonic. De asemenea funcia incluziune iN,M:NM, iN,M(x)=x, oricare ar fi xN este morfism de module.

19

4. Dac M i N sunt dou A-module stngi, atunci funcia 0:MN, 0(x)=0, oricare ar fi xM este morfism de module numit morfismul nul.

5. Dac 0 este un A-modul nul i M un A-modul arbitrar, atunci morfismul nul este singurul morfism de module de la 0 la M ca i de la M la 0. Pentru dou A-module stngi M i N vom nota

HomA(M, N)={f:MN f este morfism de A-module} iar pentru f, gHomA(M, N) definim f+g:MN prin (f+g)(x)=f(x)+g(x), oricare ar fi xM.

Propoziia 2.3. (HomA(M, N), +) este grup abelian. Demonstraie. Se verific imediat c adunarea morfismelor este

asociativ, comutativ i admite morfismul nul 0:MN ca element neutru. Pentru fHomA(M, N), fie f:MN dat prin (f)(x)=-f(x), oricare ar fi xM. Deoarece pentru orice x, yM i a, bA avem (f)(ax+by)=-f(ax+by)=-(af(x)+bf(y))=-af(x)-bf(y)=a(-f(x))+b(-f(y)) deducem c -fHomA(M, N) i cum f+(-f)=(-f)+f=0 rezult c f este opusul lui f n HomA(M, N).

Propoziia 2.4. Fie M, N, P trei A-module stngi i

fHomA(M, N), gHomA(N, P). Atunci gfHomA(M, P). Demonstraie. ntr-adevr, dac x, yM i a, bA atunci

(gf)(ax+by)=g(f(ax+by))=g(af(x)+bf(y))=ag(f(x))+bg(f(y))=a(gf)(x)++b(gf)(y), de unde concluzia c gfHomA(M, P).

Propoziia 2.5. Fie M, N dou A-module stngi i fHomA(M, N). Atunci:

(i) MLA(M)f (M)LA(N) (ii) NLA(N)f-1(N)LA(M). Demonstraie. (i). inem cont de Propoziia 1.5. iar pentru aceasta fie x=f(x), y=f(y) din f(M) (cu x, yM) i a, bA. Deoarece

20

ax+ay=af(x)+bf(y)=f(ax+by)f(M) (cci ax+byM) deducem c f(M)LA(N).

(ii). se probeaz analog cu (i).

Propoziia 2.5. ne permite s dm urmtoarea definiie: Definiia 2.6. Fie M, N dou A-module stngi iar

fHomA(M, N). Prin: i) Imaginea lui f (notat Im(f)) nelegem Im(f)=f(M) ii) Nucleul lui f (notat Ker(f)) nelegem

Ker(f)=f-1(0)={xMf(x)=0} iii) Coimaginea lui f (notat Coim(f)) nelegem

Coim(f)=N/Im(f). iv) Conucleul lui f (notat Coker(f)) nelegem Coker(f)=M/Ker(f)). Din cele expuse mai sus deducem c modulele la stnga

(dreapta) peste un inel A formeaz o categorie pe care o vom nota prin Mods(A) ( Modd(A) ) n care obiectele sunt A-modulele la stnga (dreapta), morfismele sunt morfismele de A-module stngi (drepte) iar compunerea este compunerea obinuit a funciilor.

Pentru anumite chestiuni legate de categorii (definiii, rezultate de baz, etc) recomandm cititorilor 5.

n continuare vom caracteriza monomorfismele, epimorfismele i izomorfismele n Mods(A).

Teorema 2.7. n categoria Mods(A) (i) monomorfismele coincid cu morfismele injective (ii) epimorfismele coincid cu morfismele surjective (iii) izomorfismele coincid cu morfismele bijective . Demonstraie. Fie M, N dou A-module i fHomA(M, N). (i). S presupunem la nceput c f este ca funcie o injecie i s

demonstrm c f este atunci monomorfism n Mods(A) iar pentru aceasta s mai alegem P un A-modul stng i g, hHomA(P, M) a.. fg=fh. Atunci f(g(x))=f(h(x)), oricare ar fi xP i cum f este injecie

21

deducem c g(x)=h(x), oricare ar fi xP, adic g=h i deci f este monomorfism n categoria Mods(A).

Reciproc, s presupunem c f este monomorfism n Mods(A) i s demonstrm c f ca funcie este injecie. Dac prin absurd f nu este injecie, atunci cum f este n particular morfism de grupuri aditive deducem c Ker(f)0. Alegnd P=Ker(f) i g, h:PM, g=0 (morfismul nul) iar h=iP,M (morfismul incluziune de la P la M) avem n mod evident fg=fh=0 i cum P0, gh -absurd (cci am presupus c f este monomorfism).

(ii). S presupunem c f este ca funcie o surjecie i s demonstrm c f este epimorfism n Mods(A). Pentru aceasta mai alegem P un alt A-modul stng i g, hHomA(N, P) a.. gf=hf. Dac avem yN, cum f este surjecie putem scrie y=f(x) cu xM i din gf=hf deducem c g(f(x))=h(f(x))g(y)=h(y), de unde g=h, adic f este epimorfism n categoria Mods(A). Reciproc, s presupunem c f este epimorfism n Mods(A) i s demonstrm c f ca funcie este surjecie. Dac prin absurd f nu este surjecie, atunci Im(f)=f(M)N i alegnd P=N/Im(f)=Coim(f) avem c P0. Considernd morfismele g, h:NP, g=morfismul nul iar h=pIm(f) avem c gh (cci P0) iar gf=hf=0 -absurd (cci am presupus c f este epimorfism).

(iii). Deoarece izomorfismele sunt n particular monomorfisme i epimorfisme, dac f este izomorfism n Mods(A), atunci f este cu necesitate injecie i surjecie deci bijecie.

Reciproc, dac f ar fi bijecie, atunci se probeaz imediat c g=f 1 : NM este morfism de A-module stngi i cum gf=1M iar fg=1N deducem c f este izomorfism n Mods(A).

Observaia 2.8. Dac f:MN este un izomorfism de A-module

stngi vom spune despre M i N c sunt izomorfe i vom scrie MN. Un endomorfism al lui M ce este izomorfism se zice

automorfism al lui M. Notm prin End(M) (respectiv Aut(M)) mulimea endomorfismelor (automorfismelor) lui M. Se verific imediat prin calcul c (End(M), +, o ) este inel numit inelul endomorfismelor lui M (unde a doua lege de compoziie este compunerea endomorfismelor !).

22

Teorema 2.9. Categoria Mods(A) este o categorie cu nuclee i conuclee de sgeat dubl.

Demonstraie. Fie M, N dou A-module stngi i f, gHomA(M, N).

Alegem K={xMf(x)=g(x)} i iK,M:KM incluziunea. Se probeaz imediat c dac x, yK i a, bA atunci ax+byK, adic K este submodul al lui M.

S demonstrm acum c dubletul (K, i)=Ker(f, g). Condiia fiK,M=giK,M se verific din felul n care am definit pe K. Dac mai avem K un alt A-modul stng i i:KM un morfism de A-module stngi a.. fi=gi, atunci f(i(x))=g(i(x)), oricare ar fi xK, adic i(x)K. Se probeaz imediat c u:KK definit prin u(x)=i(x), oricare ar fi xK, este unicul morfism de A-module cu proprietatea c iK,Mu=i, de unde deducem c ntr-adevr (K, i)=Ker(f, g).

Pentru cazul conucleului perechii (f, g), fie h=f-gHomA(M, N), P=N/Im(f-g) i p:NP epimorfismul canonic. S demonstrm la nceput c pf=pg, iar pentru aceasta fie xM. Atunci p(f(x))=p(g(x)) f(x)-g(x)Im(f-g), ceea ce este adevrat.

Fie acum N un alt A-modul stng i p:NN un alt morfism de A-module a.. pf=pg. Definim v:PN prin v(x+Im(f-g))=p(x), oricare ar fi xN. Dac x, yN i x+Im(f-g)=y+Im(f-g), atunci x-yIm(f-g), adic x-y=(f-g)(z) cu zM. Deducem c p(x-y)= =p((f-g)(z))=p(f(z)-g(z))=p(f(z))-p(g(z))=0 (deoarece pf=pg), adic v este corect definit. Se verific acum imediat c v este unicul morfism de A-module cu proprietatea c vp=p, de unde concluzia c (P, p)=Coker(f, g).

Observaia 2.10. innd cont de teorema de mai nainte i de

Definiia 2.6. deducem c dac fHomA(M, N), atunci Ker(f)= =Ker(f, 0) iar Coker(f)=Coker(f, 0).

23

n continuare vom prezenta anumite rezultate cunoscute sub numele de teoremele de izomorfism pentru module (asemntoare cu teoremele de izomorfism pentru grupuri i inele; vezi Capitolele 2, 3).

Teorema 2.11. (Teorema fundamental de izomorfism). Dac M i N sunt dou A-module iar fHomA(M, N), atunci M/Ker(f)Im(f).

Demonstraie. Definim g: M/Ker(f)Im(f) prin g(x+Ker(f))=f(x), oricare ar fi xM. Dac x, yM i x+Ker(f)=y+Ker(f), atunci x-yKer(f), deci f(x)=f(y), adic g este corect definit. Se verific imediat c g este morfism bijectiv de A-module, de unde concluzia din enun.

Corolar 2.12. Dac fHomA(M, N) este surjecie atunci M/Ker(f)N.

Corolar 2.13. (Noether) Dac N i P sunt dou submodule ale modulului M, atunci (N+P)/NP/(PN) .

Demonstraie. Fie f:P(N+P)/N, f(x)=x+N, oricare ar fi xP. Se verific imediat c f este morfism surjectiv de A-module iar Ker(f)=PN. Conform Corolarului 2.12.,

P/Ker(f)(N+P)/NP/PN(N+P)/N.

Corolar 2.14. (Noether) Dac N i P sunt dou submodule ale modulului M a.. NP atunci (M/N)/(P/N)M/P.

Demonstraie. Fie f:M/NM/P, f(x+N)=x+P, oricare ar fi xM. Dac mai avem yM, din x+N=y+N x-yNP x-yP x+P=y+P, deci f este corect definit. Se probeaz imediat c f este morfism surjectiv de A-module iar Ker(f)=P/N, astfel c totul rezult din Corolarul 2.12.

Observaia 2.15. 1. n anumite cri de matematic, Corolarele 2.13. i 2.14. sunt numite alturi de Teorema fundamental de izomorfism 2.11. ca fiind ,,teoremele de izomorfism pentru module.

2. Teorema 2.11. se mai poate formula i astfel:

24

Dac M i N sunt dou A-module, atunci exist un unic izomorfism de A-module u:Coim(f)=M/Ker(f)Im(f) a.. diagrama de mai jos s fie comutativ, adic f = iIm(f),NupKer(f) (unde reamintim c pKer(f) este epimorfismul canonic iar iIm(f), N este morfismul incluziune de la Im(f) la N).

Fie M, N dou A-module, f:MN un morfism de A-module, X=(xi)iIM i Y=(yi)iI N a.. f(xi)=yi pentru orice iI. Propoziia 2.16. (i) Dac indAX i f este monomorfism, atunci indAY (ii) Dac indAY, atunci indAX (iii) Dac M=(X) i f este epimorfism, atunci N=(Y) (iv) Dac N=(Y), atunci f este epimorfism (v) Dac f este izomorfism, atunci X este baz a lui M dac i numai dac Y este baz a lui N.

Demonstraie. (i). Fie II finit a..

=Ii

ii ya 0 cu aiA,

pentru iI. Atunci ( ) 0===

Ii Ii

iiiiIi

ii yaxfaxaf i cum f este ca

funcie o injecie deducem c 0=Ii

ii xa . Cum indAX deducem c ai=0

pentru orice iI, adic indAY. (ii). Analog ca la (i). (iii). Fie yN. Cum f este epimorfism, exist xM a.. f(x)=y. Deoarece M=(X), exist II finit a.. x=

Iiii xa cu aiA, pentru iI.

Atunci y=f(x)= ( )

=Ii Ii

iiii yaxfa , de unde concluzia c N=(Y).

M f

N

Coim(f) u

Im(f)

pKer(f) iIm(f),N

25

(iv). Dac yN, atunci cum N=(Y) exist II finit a.. y=

Iiii ya cu aiA. Cum yi=f(xi) obinem c y=

Ii

ii xaf , adic f este

surjecie. (v). Rezult imediat din (i)-(iv). Corolar 2.17. Un A-modul izomorf cu un A-modul liber este liber. Demonstraie. Fie M i N dou A-module izomorfe, cu M liber. Deci exist f:MN un izomorfism de A-module, astfel c dac XM, X=(xi)iI este o baz a lui M , Y=(f(xi))iI este o baz a lui N (conform Propoziiei 2.16.). Corolar 2.18. Fie M un A-modul iar LM un submodul al su. Atunci: (i) Dac M este finit generat atunci i M/L este finit generat (ii) Dac L i M/L sunt finit generate rezult c i M este finit generat. Demonstraie. (i). Dac considerm epimorfismuul canonic p: MM/L, totul rezult din Propoziia 2.16., (iii). (ii). S presupunem c ({e1,,en})=L i ({ mxx ,...,1 })=M/L

(unde x1,,xmM iar pentru xM am notat x =p(x)). Dac xM, atunci exist a1,,amA a.. mm xaxax ++= ...11 x-(a1x1++amxm)L astfel c exist b1,,bnA a.. x=a1x1++amxm+ +b1e1++bnen, de unde concluzia c M=({x1,,xm,e1,,en}). Teorema 2.19. (Proprietatea de universalitate a modulelor libere). Fie M un A-modul liber de baz X=(ei)iIM. Pentru orice A-modul N i orice familie Y=(yi)iI de elemente din N exist un unic morfism fHomA(M, N) a.. f(ei)=yi pentru orice iI (altfel zis, orice funcie f:XN se extinde n mod unic la un morfism de A-module f:MN).

26

Demonstraie. Dac xM, atunci x=Ii

ii ea , unde aiA sunt

unic determinai i aproape toi nuli. Definim f:MN prin

( )

=Ii

ii

def

yaxf i se verific imediat c fHomA(M, N) iar f(ei)=yi

pentru orice iI. Dac mai avem gHomA(M, N) a.. g(ei)=yi pentru orice iI, atunci pentru orice xM, x=

Iiii ea avem

( ) ( ) ( ) ( )

===Ii Ii

iiii xfefaegaxg , de unde g=f.

Teorema 2.20. (a defectului) Fie V i W dou K-spaii vectoriale de dimensiuni finite iar fHomK(V, W). Atunci: dimKKer(f)+dimKIm(f)=dimKV. Demonstraie. Fie (vi)1in baz pentru Ker(f) iar (wj)1jm baz pentru Im(f). Alegem (vj)1im V a.. f(vj)=wj pentru orice 1jm. Vom demonstra c B={v1,,vn, v1, ,vm} este o baz pentru V i astfel teorema va fi demonstrat. S artm la nceput indKB iar pentru aceasta fie 1,,n, 1,,mK a.. 1v1++nvn+1v1++mvm=0. Deducem c 1f(v1)++nf(vn)+1f(v1)++mf(vm)=0 sau 1w1++mwm=0, de unde 1==m=0. Atunci 1v1++nvn=0, de unde i 1= =n=0. Pentru a arta c B este i sistem de generatori pentru V (adic (B)=V), fie xV. Atunci f(x)Im(f) i deci exist 1,,mK a.. f(x)=1w1++mwm=1f(v1)++mf(vm)=f(1v1++mvm), de unde concluzia c x-(1v1++mvm)Ker(f), adic exist 1,,nK a.. x-(1v1++mvm)=1v1++nvnx=1v1++nvn+1v1++mvm. Corolar 2.21. Fie V un K spaiu vectorial de dimensiune finit iar VV un subspaiu al lui V. Atunci dimKV=dimKV+dimK(V/V).

27

Demonstraie. Dac p:VW=V/V este epimorfismul canonic, atunci Ker(p)=V, Im(p)=V/V i totul rezult din Teorema 2.20. Fie M un A-modul i xM. Notm AnnA(x)={aA|ax=0}. Propoziia 2.22. Pentru orice xM, AnnA(x)A este ideal la stnga al lui A. Demonstraie. Dac a, bAnnA(x), atunci ax=bx=0 i cum (a-b)x=ax-bx=0 deducem c a-bAnnA(x). Dac aAnnA(x) i cA atunci ax=0 deci i (ca)x=0, adic caAnnA(x), de unde concluzia cerut. Corolar 2.23. Dac notm ( ) ( )I

MxAA xAnnMAnn

= , atunci

AnnA(M) este ideal bilateral al lui A. Demonstraie. Cum AnnA(M) este intersecie de ideale la stnga ale lui A deducem c AnnA(M) este ideal la stnga al lui A. Dac aAnnA(M) i cA, atunci (ac)M=a(cM)aM=0, adic acAnnA(M) i deci AnnA(M) este i ideal la dreapta, adic este bilateral. S considerm M un A-modul, IA, un ideal bilateral a.. IAnnA(M) i A =A/I. Pentru aA notm a =a+I. Lema 2.24. Aplicaia : A MM, ( a , x)=ax este corect definit i confer grupului abelian subiacent A-modulului M o structur de A -modul. Mai mult, submodulele lui M ca A -modul coincid cu submodulele lui M ca A-modul. Demonstraie. Dac a, bA a.. ba = , atunci a-bIAnnA(M), deci (a-b)x=0 pentru orice xM, adic ax=bx, i deci este corect definit. Restul afirmaiilor se probeaz imediat. Teorema 2.25. Fie A un inel comutativ unitar cu 01 i L un A-modul liber ce admite o baz finit. Atunci toate bazele lui L sunt finite i admit acelai numr de elemente.

28

Demonstraie. Fie un ideal maximal (vezi Capitolul 3, 10) iar L mulimea combinaiilor liniare finite ale elementelor din L cu scalari din (adic L={a1x1++anxn| a1,,an i x1,,xnL}). Se deduce imediat c L este un A-submodul al lui L i fie V=L/L. Cum K=A/ este corp (vezi Capitolul 3, 10) i AnnA(V), innd cont de Lema 2.24., deducem c V devine n mod canonic K-spaiu vectorial. Vom nota pentru aA prin a imaginea lui a prin epimorfismul canonic AA/L=K iar prin p:LV=L/L cellalt epimorfism canonic. Fie B={e1,,en}L o baz finit a lui L (ce exist conform enunului). Este suficient s demonstrm c p(B)={p(e1),,p(en)} este o baz a lui V ca spaiu vectorial peste K (vezi Corolarul 1.18.). Cum p este epimorfism, conform Propoziiei 2.16., deducem c p(B) este un sistem de generatori ai lui V. Mai avem de demonstrat indKp(B) iar pentru aceasta fie

naa ,...,1 K (a1,,anA) a.. ( ) ( ) ( )0...11 pepaepa nn =++ . Obinem c a1p(e1)++anp(en)=p(0)p(a1e1++anen)=p(0), adic a1e1++anenL, deci exist m1,,mn a..

=Ii

iiIi

ii emea , de

unde deducem c ai=mi, 1in, deci 0=ia , 1in, adic indKp(B). Definiia 2.26. Spunem c un A-modul liber L este de rang finit dac admite o baz finit i are proprietatea de invarian a numrului elementelor bazei, numr ce se noteaz prin rangAL. Conform Teoremei 2.25., dac A este inel unitar comutativ cu 01, atunci orice A-modul liber ce admite o baz finit se bucur de proprietatea de invarian a numrului de elemente din acea baz. Definiia 2.27. Un ir de morfisme i A-module (finit sau infinit): (1) .......... 112211 nnfifiifff MMMM

29

se numete ir exact de module dac Im(fi-1)=Ker(fi) pentru orice i2 n cazul n care irul (1) este infinit i pentru orice 2in n cazul n care irul (1) este finit i de lungime n (n2).

Spunem c irul (1) este exact n Mi dac Im(fi-1)=Ker(fi) (1 < i < n). S observm c dac M i N sunt dou A-module stngi iar fHomA(M, N) atunci i) irul NM f0 este exact f este monomorfism ii) irul 0 NM f este exact f este epimorfism iii) irul 00 NM f este exact f este izomorfism. Un ir exact de A-module 00 MMM gf se numete ir exact scurt sau o extensie a lui M prin M. Exemple. 1. Dac fHomA(M, N) atunci irul: ( ) ( ) 0ker0 fCoNMfKer pfi unde i=incluziunea iar p=epimorfismul canonic este un ir exact. 2. Dac M este un A-modul iar NM un submodul al su, atunci irul: 0/0 NMMN pi unde i=incluziunea iar p=epimorfismul canonic este exemplul clasic de ir exact scurt. Propoziia 2.28. (Lema celor cinci morfisme). n Mods(A) considerm diagrama comutativ 544332211 MMMMM ffff h1 h2 h3 h4 h5 544332211 NNNNN gggg cu liniile iruri exacte. Dac

30

(i) Coker(h1)=0, Ker(h2)=0, Ker(h4)=0, atunci Ker(h3)=0 (ii) Coker(h2)=0, Coker(h4)=0, Ker(h5)=0, atunci Coker(h3)=0. Demonstraie. (i). Fie xM3 a.. h3(x)=0 i s demonstrm c x=0. Avem c (g3h3)(x)=g3(h3(x))=g3(0)=0 i cum h4f3=g3h3h4(f3(x))=0 f3(x)Ker(h4)=0 f3(x)=0 xKer(f3)= =Im(f2) x=f2(x) cu xM2. Cum g2h2=h3f2 g2(h2(x))= =h3(f2(x))=h3(x)=0 h2(x)Ker(g2)=Im(g1), deci h2(x)=g1(y) cu yN1. Cum h1 este surjecie (cci Coker(h1)=0), y=h1(x) cu xM1. Astfel, h2(x)=g1(h1(x))=h2(f1(x)), de unde x=f1(x). Dar atunci x=f2(x)=f2(f1(x))=0, de unde x=0. Analog se verific i (ii). Lema 2.29. n Mods(A) considerm diagrama comutativ: NM f u v NM f Atunci exist i sunt unice morfismele u i v a.. diagrama: ( ) ( ) 0ker0 fCoNMfKer pfi u u v v

( ) ( ) 0ker0 fCoNMfKer pfi

s fie comutativ, unde i, i sunt incluziunile canonice iar p, p sunt epimorfismele canonice.

31

Demonstraie. Dac xKer(f), atunci f(u(x))=v(f(x))=v(0)=0, adic u(x)Ker(f) i astfel u se va defini prin u(x)=u(x), pentru orice xKer(f). Dac y+Im(f)Coker(f), definim v(y+Im(f))=v(y)+Im(f) i cum v(Im(f))Im(f) deducem c i v este bine definit. Se verific acum imediat c ui v sunt morfismele cutate.

Propoziia 2.30. (Lema serpentinei). n Mods(A) considerm diagrama comutativ: 0 MMM gf u u u NNN gf 0 Atunci exist un morfism h:Ker(u)Coker(u) a.. irul

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )uCouCouCouKeruKeruKer gfhgf kerkerker este exact, unde f , gfg ,, sunt morfismele descrise n Lema 2.18.

Demonstraie. Dac xKer(u), atunci exist xM a.. g(x)=x. Atunci 0=u(x)=u(g(x))=g(u(x)), de unde rezult c u(x)Ker(g)=Im(f), adic exist yN a.. u(x)=f(y). Definim h:Ker(u)Coker(u) prin h(x)=y+Im(u) i s artm c h este corect definit.

Fie deci x1M cu g(x1)=xi y1Ncu u(x1)=f(y1). Cum g(x1)=g(x) x-x1Ker(g)=Im(f), deci exist xM a.. x-x1=f(x).

Deci u(x) = u(x1+f(x)) = f(y1)+u(f(x)) = f(y1)+f(u(x)) = = f(y1+u(x)), de unde f(y)=f(y1+u(x)) i deci y=y1+u(x), adic y+Im(u)=y1+Im(u), de unde concluzia c h este corect definit. Se verifc acum imediat c h este morfism n Mods(A) i are proprietatea din enun.

32

Fie MMods(A) fixat. Pentru NMods(A) definim hM(N)=HomA(M, N); conform Propoziiei 2.3., hM(N) mpreun cu adunarea morfismelor devine grup abelian. Deci, dac notm cu Ab categoria ale crei obiecte sunt grupurile abeliene iar morfismele sunt morfismele de grupuri, atunci hM(N)Ab.

S mai considerm PMods(A) i fHomA(N, P). Definim hM(f):hM(N)hM(P) prin hM(f)()=f, oricare ar fi

hM(N). Deoarece pentru oricare , hM(N),

hM(f)(+)=f(+)=f+f=hM(f)()+hM(f)() deducem c hM(f) este morfism n Ab.

Lema 2.31. hM:Mod s(A)Ab este un functor covariant.

Demonstraie. Dac avem N, P, QMods(A) cum hM(1M)()=1M=, oricare ar fi hM(M) deducem c hM(1M)= ( )MMh1

iar din hM(fg)()=(fg)=f(g)=(hM(f)hM(g))(), oricare ar fi fHomA(N, P), gHomA(P, Q) i hM(N) deducem c hM(fg)=hM(f)hM(g), adic hM este functor covariant de la Mods(A) la Ab.

Observaia 2.32. Analog se probeaz c hM:Mods(A)Ab definit prin hM(N)=HomA(N, M) oricare ar fi NMods(A) iar pentru PMods(A) i fHomA(N, P) hM(f):hM(P)hM(N) hM(f)()=f, oricare ar fi hM(P) este functor contravariant de la Mods(A) la Ab.

Propoziia 2.33. Pentru orice MMods(A), functorul hM duce monomorfisme n monomorfisme iar hM duce epimorfisme n monomorfisme.

Demonstraie. Reamintim c n Capitolul 2 se probeaz c n Ab monomorfismele coincid cu morfismele injective de grupuri, epimorfismele cu morfismele surjective de grupuri iar caracterizarea

33

monomorfismelor i epimorfismelor n Mods(A) este dat de Teorema 2.7.

Fie fHomA(N, P) un monomorfism n Mods(A) i hM(f):hM(N)hM(P). S alegem hM(N) a.. hM(f)()=0 i s probm c =0. Avem c f=0, adic f((x))=0, oricare ar fi xM. Cum f este monomorfism deducem c (x)=0, oricare ar fi xM, adic =0, deci hM(f) este monomorfism n Ab.

Fie acum fHomA(N, P) un epimorfism n Mods(A) i s probm c hM(f):hM(P)hM(N) este monomorfism n Ab.

Pentru aceasta fie hM(P) a.. hM(f)()=0f=0.

0 PN f M Dac yP, cum am presupus c f este epimorfism n Mods(A), exist xN a.. y=f(x). Atunci (y)=(f(x))=(f)(x) i cum y este oarecare deducem c =0, adic hM(f) este monomorfism n Ab.

n continuare prezentm un rezultat care ne arat cum ,,transport functorii hM i hM irurile exacte din Mods(A) n Ab. Propoziia 2.34. Fie MMods(A) (i) Dac NNN gg 0 este un ir exact n Mods(A), atunci irul (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )NhNhNh MgMhMgMhM 0 este exact n Ab. (ii) Dac 0 PPP ff este un ir exact n Mods(A), atunci irul (2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )PhPhPh MfMhMfMhM 0 este exact n Ab. Demonstraie. (i). Deoarece g este monomorfism n Mods(A), conform Propoziiei 2.2., hM(g) este monomorfism n Ab, astfel c irul (1) este exact n hM(N). Pentru a proba c irul (1) este exact mai avem

34

de probat exactitatea sa n hM(N) i anume c Ker(hM(g))=Im(hM(g)). Deoarece gg=0 deducem c hM(g)hM(g)=0, adic Im(hM(g))Ker(hM(g)). Pentru cealalt incluziune fie Ker(hM(g)) adic hM(g)()=0g=0. Trebuie s construim hM(N) a.. =hM(g)()=g. Fie xM; atunci g((x))=0, de unde (x)Ker(g)=Im(g), deci exist un unic xN a.. (x)=g(x) (cci g este monomorfism n Mods(A)). Definim atunci :MN prin (x)=x i se probeaz imediat c este morfismul de A-module cutat. Avem deci egalitatea Ker(hM(g))=Im(hM(g)), adic irul (1) este exact. (ii). Se probeaz analog ca (i).

S presupunem c n afara inelului A mai avem un inel unitar B. Definiia 2.35. Spunem despre grupul abelian aditiv M c

este (A; B)-bimodul dac M este A-modul stng i B-modul drept i n plus (ax)b=a(xb) pentru orice xM, aA i bB.

Prin notaia AMB vom consemna faptul c M este (A; B)-bimodul.

Exemple 1. Orice modul M peste un inel comutativ A este un (A; A)-bimodul.

2. Dac f:AB este un morfism de inele unitare, atunci (B, +) devine n mod canonic (A; B)-bimodul unde structura de A-modul stng se obine definind pentru xB i aA, ax= f(a)x.

n particular considernd f=1A deducem c orice inel A are structur canonic de (A; A)-bimodul.

3. Dac M este un A-modul drept atunci definind pentru xM i fEndA(M)=B fx=f(x), M devine astfel un (B; A)-bimodul.

S considerm acum M un A-modul la stnga iar N un (A; B)-bimodul i grupul abelian HomA(M, N) (ignornd structura de B-modul la dreapta a lui N).

35

Definind pentru fHomA(M, N) i bB, fb:MN prin (fb)(x)=f(x)b oricare ar fi xM, atunci se verific uor c n felul acesta HomA(M, N) devine B-modul la dreapta.

Mai mult, dac f:MM este un morfism n categoria Mods(A) atunci hN(f):hN(M)hN(M) prin hN(f)()=f pentru orice hN(M)=HomA(M, N) este un morfism n Modd(B).

Astfel, obinem functorul contravariant hN:Mods(A)Modd(B). Analog, dac M este un B-modul la dreapta i N este un

(A; B)-bimodul, atunci obinem functorul contravariant hN:Modd(B)Mods(A), pe cnd dac M este un (A; B)-bimodul i N este un A-modul stng, atunci avem functorul covariant hM:Mods(A)Mods(B).

Dac M este un (A; B)-bimodul i N este un B-modul la dreapta, atunci avem functorul covariant hM:Modd(B)Modd(A).

Definiia 2.36. Dac M este un A-modul la stnga prin dualul lui M nelegem A-modulul la dreapta hA(M)= =HomA(M, A)M*. Elementele lui M* se numesc forme liniare pe M.

Din cele stabilite mai nainte, pentru fM* i aA avem faM*, unde pentru xM, (fa)(x)=f(x)a.

Dac f:MN este un morfism din Mods(A), atunci hA(f):N*M* definit prin hA(f)()=f pentru orice N* este un morfism n Modd(A).

Convenim s notm tf=hA(f) i s-l numim pe tf ca fiind transpusul lui f.

Observaia 2.37. Se probeaz imediat c dac M, N, PMods(A) i f, gHomA(M, N), atunci t(f+g)=tf+tg i *11 MMt = iar dac fHomA(M, N) i gHomA(N, P) atunci t(gf)=tftg .

innd cont de notaiile de mai sus ca i de Propoziia 2.34. de la Capitolul 6 avem c dac 00 PNM gf este un ir

36

exact n Mods(A), atunci ***0 MNP ftgt este un ir

exact n Modd(A), iar dac NM f este un epimorfism n Mods(A), atunci tf:N*M* este un monomorfism n Modd(A).

De asemenea, dac NM f este un este izomorfism n Mods(A), atunci tf:N*M* este un izomorfism n Modd(A) i n plus t(f-1)=(tf)-1 .

Definiia 2.38. Fie MMods(A). Prin bidualul lui M nelegem A-modulul la stnga M**=(M*)*.

Propoziia 2.39. Aplicaia M:MM** definit prin M(x)(f)=f(x) pentru orice xM i fM* este un morfism de A-module stngi (numit morfismul canonic al lui M n bidualul su).

Demonstraie. ntr-adevr, dac x, yM i aA atunci a proba c M(x+y)=M(x)+M(y) i c M(ax)=aM(x) revine la a proba c pentru orice fM* avem f(x+y)=f(x)+f(y) i f(ax)=af(x), ceea ce este evident. Corectitudinea definirii lui M rezult din aceea c dac f, gM*, atunci M(x)(f+g)=(f+g)(x)=f(x)+g(x)=M(x)(f)+M(x)(g) i M(x)(fa)=(fa)(x)=f(x)a=M(x)(f)a.

Pentru orice morfism f:MN din Mods(A) avem urmtoarea diagram comutativ din Mods(A): unde ttf=t(tf).

M

M N

M** N**

f

ttf

N

37

ntr-adevr, dac xM avem (ttfM)(x)=t(tf)(M(x))=M(x)tf i (Nf)(x)=N(f(x)) i cum pentru orice N*=HomA(N, A) avem (M(x)tf)()=M(x)(tf())=M(x)(f)=(f)(x)=(f(x))=M(f(x))() deducem c M(x)tf=N(f(x)) i deci ttfM=Nf, adic diagrama de mai nainte este comutativ.

S presupunem c M este un A-modul stng liber avnd baza {e1,, en}. Din proprietatea de universalitate a modulelor libere (Teorema 2.19.) deducem c exist ej*M* cu 1jn a..

( )

=

==

jipentrujipentru

ee ijij 10

* (1i, jn).

Propoziia 2.40. Cu notaiile de mai nainte {e1*,, en*} este o

baz a A-modulului drept M* numit duala bazei{e1,, en}. n particular deducem c M* este A-modul liber.

Demonstraie. Pentru orice fM* avem ( )=

=n

jjj efef

1

* deoarece

pentru orice 1in, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )iiiin

jjiji

n

jjj efefeeefeeeefe ===

==

*

1

*

1

* .

Deducem deci c {e1*,, en*} este un sistem de generatori pentru M*. Pentru a arta i A-independena acestora, fie a1, , anA a.. a1e1*++anen*=0.

Avem ( )( ) ( ) ( ) iiiin

jjij

n

jijj aaeeaeeeae ====

==

*

1

*

1

*0 pentru orice

1in.

Corolar 2.41. Dac M este un A-modul stng de baz finit, atunci morfismul canonic M:MM** este izomorfism de A-module stngi.

Demonstraie. Fie {e1,, en} o baz n M iar {e1*,, en*} duala ei n M*. Dac {e1**,, en**} este duala n M** a bazei {e1*,, en*} a lui M*, atunci pentru orice 1jn avem M(ei)(ej*)=ej*(ei)=ij=ei**(ej*)

38

deci M(ei)=ei** pentru 1in. Deducem c M duce o baz a lui M n baz a lui M**, adic este izomorfism. 3. Produse i sume directe n Mods(A). Sume directe de submodule. Produse i sume directe de morfisme de A-module. Sume i produse fibrate n Mods(A). n cele ce urmeaz prin I vom desemna o mulime nevid (ce va fi folosit n cea mai mare parte ca mulime de indici) iar prin (Mi)iI o familie de A-module. Propoziia 3.1. n Mods(A) exist produsul direct i suma direct a familiei (Mi)iI . Demonstraie. S probm la nceput existena produsului direct iar pentru aceasta fie iIi MXM = ={(xi)iI|xiMi pentru orice iI}.

Pentru x, yM, x=(xi)iI, y=(yi)iI i aA definim: x+y=(xi+yi)iI i ax=(axi)iI . Lsm pe seama cititorului verificarea faptului c n felul acesta M devine A-modul ca i faptul c pentru orice jI, proiecia pj:MMj (definit prin pj(x)=xj pentru orice x=(xi)iI M) este morfism de A-module. S probm acum c ( )( )

IjjIi

i pMM

= , iar pentru aceasta fie

M un alt A-modul iar (pj)jI o familie de morfisme de A-module cu pj:MMj

M M

pj pj

u

Mj

39

Definind u:MM prin u(x)=((pj(x))jI pentru orice xM se verific imediat c u este unicul morfism de A-module cu proprietatea c pju=pj pentru orice jI, de unde concluzia dorit. S probm acum existena sumei directe a familiei (Mi)iI iar pentru aceasta fie S={xM|supp(x) este finit}, unde pentru x=(xi)iI supp(x)={iI|xi0}. Se arat imediat c S este submodul al lui M iar i:MiS definit pentru xiMi prin i(xi)=(xj)jI cu xj=xi pentru j=i i xj=0 pentru ji este morfism de A-module. S probm acum c n Mods(A) ( )( )Iii

Iii SM

= ,C

iar pentru aceasta fie S un alt A-modul iar (j)jI o alt familie de morfisme de A-module cu i:MiS pentru orice iI. Pentru xS, definim v:SS prin v(x)= ( )

Ji

ii x (deoarece J=supp(x) este finit,

suma de mai sus are sens). Se probeaz imediat c v este morfism de A-module iar vi=i pentru orice iI. Dac mai exist un alt morfism de A-module v:SS a.. vi=i pentru orice iI, atunci pentru xS avem x= ( )

Jiii x i deci

v(x)=v( ( )Ji

i x ) = ( )( )

Ji

i xv = ( )xJi

i

=v(x), adic v=v, de unde

concluzia dorit.

Mi

S S v

v

i i

40

Observaia 3.2. 1. De multe ori (dac nu este pericol de confuzie) cnd vorbim de produsul direct sau suma direct nelegem doar A-modulul subiacent (fr a mai specifica familiile (pi)iI sau (i)iI de morfisme structurale). 2. Dac I este o mulime finit atunci

=Ii Ii

ii MM C .

Propoziia 3.3. Un A-modul S este sum direct de injecii canonice (i)iI a modulelor (Mi)iI dac i numai dac pentru orice xS exist xiMi unic determinai i aproape toi nuli a.. x= ( )

Iiii x .

Demonstraie. ,,. Dac considerm L={xS | exist xiMi aproape toi nuli a.. x= ( )

Iiii x }, se verific imediat c L este

submodul al lui S i s considerm epimorfismul canonic p:SS/L. Cum Im(i)L pentru orice iI deducem c pi=0 pentru orice iI. S considerm pentru fiecare iI diagrama: cu pi=i. Deoarece p i morfismul nul 0:SS/L nchid diagrama de mai nainte (pentru orice iI), datorit unicitii din definiia sumei directe, deducem c p=0, adic S=L. Dac x= ( )

Iiii x , atunci pj(x)= ( )( )

Iiiij xp o =(pjj)(xj)=

= ( )jjM x1 =xj (pj fiind proiecia canonic), de unde deducem unicitatea scrierii lui x ca n enun.

Mi

S S/L p

0

i i

41

,,. Pentru a proba c ( )( )IiiIi

i SM

= ,C , fie S un alt A-

modul iar (i)iI o familie de morfisme de A-module cu i:MiS. Pentru xS, x= ( )

Iiii x , definim u:SS, u(x)= ( )

Ii

ii x i se verific

imediat c u este unicul morfism de Amodule cu proprietatea c ui=i, pentru orice iI, de unde concluzia din enun. Propoziia 3.4. Fie M un A-modul iar (Mi)iI o familie de submodule ale lui M, S=

IiiM iar i:MiS, iI morfismele

incluziune. Urmtoarele afirmaii sunt echivalente: (i) ( )( )Iii

Iii SM

= ,C

(ii) Orice xS se scrie n mod unic sub forma x = ( )Ii

ii x ,

xiMi (iii) Dac

Iiix = 0 cu xiMi, aproape toate nule atunci

xi = 0

(iv) Pentru orice iI,

jiji MM = 0.

Demonstraie. Echivalena (i)(ii). rezult din Propoziia 3.2. iar (ii)(iii). este evident. (iii)(iv). Fie xi

jiji MM . Atunci xiMi i xi=

ijjx ,

deci xi-ij

jx = 0, de unde n particular xi= 0, adic

jiji MM = 0.

(iv)(iii). Fie xiMi a..

Iiix = 0. Pentru orice iI avem

xi=- ij

jx

jiji MM = 0, deci xi=0.

Definiia 3.5. Dac o familie (Mi)iI de submodule ale lui M satisface una din condiiile echivalente ale Propoziiei 3.4. spunem

42

c suma S= Ii

iM este direct i consemnm acest fapt prin notaia

iIiMS

= i spunem c fiecare Mi este sumand direct al lui S.

Exemple. 1. Dac M este un A-modul liber de baz (ei)iI atunci ( )iIi AeM = .

2. Dac V este un K-spaiu vectorial, atunci orice subspaiu V al lui V este sumand direct al lui V. ntr-adevr, dac (ei)iI este o baz a lui V iar (fj)jJ este o baz alui V ce se obine prin completarea lui (ei)iI atunci notnd prin V subspaiul lui V generat de vectorii fj V, deducem c V=V V. 3. Fie M1 i M2 dou A-module stngi iar M=M1M2=M1M2={(x, y)|xM1 i yM2}. Dac 1M ={(x, 0)|xM1} i 2M ={(0, y}|yM2}, atunci 1M i

2M sunt submodule ale lui M iar M= 1M 2M . Definiia 3.6. Dac MMods(A) i fEnd(M), vom spune despre f c este un proiector al lui M dac f este element idempotent al inelului (End(M), +, ) (adic f 2 = f ). Propoziia 3.7. Pentru MMods(A) i N, PLA(M), urmtoarele afirmaii sunt echivalente:

(i) M=NP (ii) Exist un unic proiector fEnd(M) a.. N=Im(f) i P=Ker(f). Demonstraie. (i)(ii). Dac xM, cum M=NP exist i sunt unice yN i zP a.. x=y+z. Definind f:MM prin f(x)=y se verific imediat c fEnd(M) i cum f(x)=f(x)+0 avem f(f(x))=f(x), adic f este un proiector al lui M. n mod evident N=Im(f) i P=Ker(f). Dac mai avem un alt proiector gEnd(M) a.. N=Im(g) i P=Ker(g) scriind pentru xM, x=y+z, cu yN i zP avem g(x)=g(y)+g(z)=g(y)=y=f(x), adic f=g.

43

(ii)(i). Dac xM, din f(f(x))=f(x) deducem c f(x-f(x))=0, adic x-f(x)Ker(f), deci M=Ker(f)+Im(f). Dac xKer(f)Im(f), atunci f(x)=0 i cum x=f(y) cu yM avem 0=f(x)=f(f(y))=f(y)=x, adic Ker(f)Im(f)=0 i astfel M=Ker(f)Im(f). Corolar 3.8. Dac M, NMods(A) iar f:MN este morfism de A-module inversabil la dreapta atunci N este sumand direct al lui M. Demonstraie. Din ipotez exist g:NM morfism de A-module a.. fg=1N. Deducem imediat c f este epimorfism iar g este monomorfism de A-module i deci N=Im(f) iar Ker(f)=Ker(gf). Dac notm p=gf, atunci p2=pp=(gf)(gf)=g(fg)f= =g1Nf=gf=p, adic p este proiector al lui M i deci M=Ker(p)Im(p) (conform Propoziiei 3.7.). Conform Teoremei 2.11. avem: N=Im(f)M/Ker(f)=M/Ker(p)Im(p), adic N este sumand direct al lui M. Analog se demonstreaz acum: Corolarul 3.9. Dac M, NMods(A) iar f:MN este morfism de A-module inversabil la stnga, atunci M este sumand direct al lui N. Fie (Mi)iI i (Ni)iI dou familii de A-module iar (fi)iI o familie de morfisme de A-module cu fi:MiNi. Definim

Ii

iIi

i NMf : prin f(x)=(fi(xi))iI pentru orice x=(xi)iI (cu xiMi) i

CCIi

iIi

i NMg

: ca fiind restricia lui f la CIi

iM

(n mod evident, dac

supp(x) este mulime finit, atunci supp(f(x)) este de asemenea finit). Se verific imediat c f i g sunt morfisme de A-module.

44

Definiia 3.10. Convenim s notm

=Ii

iff i CIi

ifg

= i

s le numim pe f i g ca fiind produsul direct (respectiv suma direct) a familiei (fi)iI . Fie (Mi)iI , (Mi)iI i (Mi)iI trei familii de A-module iar (fi)iI, (gi)iI dou familii de morfisme de A-module cu fi:MiMi iar gi:MiMi. Notm

=Ii

iff ,

=Ii

igg , CIi

iff

= i CIi

igg

= .

Propoziia 3.11. Dac pentru orice iI irul 00 ii

gi

ifi MMM este exact, atunci i irurile

00

Ii

ig

Iii

f

Iii MMM

00

CCC

Iii

g

Iii

f

Iii MMM sunt

exacte. Demonstraie. Fie x=(xi)iI

Ii

iM a.. f(x)=0. Cum

f(x)=(fi(xi))iI deducem c fi(xi)=0 adic xi=0 i astfel x=0, deci f este monomorfism. Dac alegem x=(xi)iI

Ii

iM , atunci xi=gi(xi) cu

xiMi, astfel c dac notm x=(xi)iI avem x=g(x), deci g este epimorfism. Deoarece gf= ( ) 0=

Iiii fg o , deducem c Im(f)Ker(g).

Fie x=(xi)iIKer(g). Atunci pentru orice iI gi(xi)=0, deci xiKer(gi)=Im(fi), adic xi=fi(xi) cu xiMi. Dac notm x=(xi)iI

Ii

iM atunci x=f(x) i xIm(f), deci Ker(g)Im(f), de

unde egalitatea Im (f) = Ker(g). Faptul c al doilea ir este exact se probeaz analog. Teorema 3.12. Categoria Mods(A) este o categorie cu sume i produse fibrate.

45

Demonstraie. Trebuie s demonstrm c dac M, N, PMods(A), atunci exist NM PC i NM P (vezi Capitolul 5, 8.). Pentru a proba existena sumei fibrate, s considerm n Mods(A) diagrama: unde NMS C= iar M:MS, N:NS sunt morfismele canonice ale sumei directe. Fie S={M(f(x))N(g(x))|xP}. S artm c S este submodul al lui S iar pentru aceasta fie x, yP i a, bA. Atunci a[M(f(x))N(g(x))]+b[M(f(y))N(g(y))]= =M(af(x)+bf(y))-N(ag(x)+bg(y))=M(f(ax+by))N(g(ax+by))S deoarece ax+byP. Notm S =S/S i fie p:S S epimorfismul canonic, M =pM iar N =pN: i s demonstrm c NM PC =( M , N , S ).

Dac xP, atunci ( M f)(x)=( M (f(x)))=p(M(f(x))), ( N g)(x)= N (g(x))=p(N(g(x))), astfel c a proba c M f= N g

P

M

N

S

f

g

M

N

P

M

N

S

f

g

M

N

46

revine la a proba c p(M(f(x)))=p(N(g(x)))M(f(x))-N(g(x))S pentru orice xP, ceea ce este evident.

S considerm acum un alt triplet (M, N, T) a.. diagrama din Mods(A): este comutativ i s demonstrm c exist un unic morfism de A-module u: S T a.. u M =M i u N =N. Din proprietatea de universalitate a sumei directe, exist un unic morfism de A-module v: ST a.. vM=M i vN=N:

P

M

N

T

f

g

M

N

P

M

N

S

f

g

M

N

T u

M

N

M

N

T v

M

N

S

M

N

47

Definim u: S T prin u(x+S)=v(x) pentru orice xS i s

artm la nceput c u este corect definit. ntr-adevr, dac x, yS a.. x+S=y+S, atunci x-yS, adic x-y=M(f(z))N(g(z)) cu zP. Atunci v(x-y) = (vM)(f(z))(vN)(g(z)) = M(f(z)) N(g(z))= =(Mf)(z)(Ng)(z)=0 (cci Mf=Ng), adic v(x)=v(y). Se probeaz acum imediat c u: S T este unicul morfism de A-module a.. u M =M i u N =N, de unde concluzia c NM PC =( M , N , S ). Pentru a proba existena produsului fibrat s considerm n Mods(A) diagrama: Fie NMK = iar pM:KM i pN:KN proieciile canonice ale produsului direct. S notm K ={(x, y)K|f(x)=g(y)} iar Mp , Np restriciile lui pM i pN la K .

M

N

P

f

g

K

M

N

Mp

Np

P

f

g

48

Se probeaz imediat c K este submodul al lui K iar ( K , Mp , Np ) = NM P . Fie M un A-modul iar (Mi)iI o familie de submodule ale lui M. Pentru iI prin i:MiM vom desemna morfismul incluziune. Definiia 3.13. Vom spune despre familia (Mi)iI de submodule ale lui M c este independent (sau c

IiiM este direct)

dac pentru orice iI, { }

iIj

ji MM\

I = 0 (vezi i Definiia 3.5.).

Considerm C

IiiM

i v:CIi

iM

M ca fiind unicul morfism de

A-module cu proprietatea c vi=i pentu orice iI ((i)iI fiind morfismele canonice ale sumei directe definite n demonstra ia Propoziiei 3.1). De fapt, dac xC

IiiM

, x=(xi)iI cu J=supp(x) finit,

atunci v se definete prin v(x)= Ji

ix . innd cont i de Propoziia 3.4.

avem un rezultat mai general: Teorema 3.14. Cu notaiile de mai sus urmtoarele afirmaii sunt echivalente: (i) Familia (Mi)iI este independent (ii) Pentru orice parte finit JI, familia (Mi)iJ este independent

(iii) ( )

=

Iii

Iii

Iii MM ,C

(iv) v este monomorfism (v) Orice element x

IiiM are o unic scriere x=

Iiix , cu

xiMi iar supp((xi)iI ) este finit. Demonstraie. (i)(ii). este evident

49

(ii)(i). Fie iI i x{ }

iIj

ji MM\

I ; atunci exist j1, , jnI

a.. xMi i njj xxx ++= ...1 unde kjkj Mx , 1kn. Dac notm J={j1,

, jn} atunci x{ }

iIj

ji MM\

I =0, de unde x=0.

S vedem acum la ce revine egalitatea

( )

=

Iii

Iii

Iii MM ,C . Conform definiiei sumei directe, acest lucru

revine la a proba c dac M este un alt A-modul iar (i)iI o familie oarecare de morfisme de A-module atunci exist un unic morfism de A-module u:

IiiM M a.. ui=i, pentru orice iI. Deoarece i este o

incluziune, u se definete pentru nii

xxx ++= ...1

(cu kiki

Mx , 1jn)

prin ( ) ( )=

=n

jji

xxu1

()

S artm acum echivalena (iii)(iv). (iii)(iv). Considerm M=M i i=incluziunea lui Mi n

IiiM , atunci u:

IiiM M definit prin () coincide de fapt cu v i

datorit unicitii lui u (din definiia sumei directe) deducem c v este monomorfism.

(iv)(iii). Pentru a demonstra c

=

Iii

Iii

Iii MM ,C fie

M un alt A-modul i (i)iI o familie oarecare de morfisme de A-module cu i:MiM. Faptul c am presupus c v este monomorfism ne permite s-l definim pe u:

IiiM M prin egalitatea dat de ().

(iv)(v) este imediat. Observaia 3.15. 1. Dac M este un A-modul iar I este o mulime oarecare, convenim s notm MI=

IiiM i M

(I)=CIi

iM

unde Mi=M

pentru orice iI.

50

2. M(I) este A-modul liber. ntr-adevr, dac pentru iI notm ei=(xj)jIM(I) unde xj=1 pentru i=j i xj=0 pentru jI\{i} atunci (ei)iI este o baz pentru M(I). Propoziia 3.16. Fie M un A-modul liber iar B=(xi)iIM o baz a sa. Atunci MA(I). Demonstraie. Pentru xM exist II finit a..

=Ii

ii xax cu

aiA (iI) unic determinai.Definim f:VA(I) prin f(x)=b, unde b=(bi)iIA(I) iar bi=ai pentru iI i bi=0 pentru iI\I. Se arat acum uor c f este izomorfism de A-module. Corolar 3.17. Dac M i N sunt dou A-module libere, cu baze infinite, atunci M i N sunt izomorfe dac i numai dac bazele lui M i N sunt echipotente. Demonstraie. Totul rezult din Teorema 1.18., Corolarul 2.17. i Propoziia 3.16. Corolar 3.18. Dou spaii vectoriale peste acelai corp K sunt izomorfe dac i numai dac au aceeai dimensiune peste K. Corolar 3.19. Pentru orice A-modul M exist un A-modul liber L i un morfism surjectiv de A-module f:LM. n particular, dac M este finit generat, atunci putem alege pe L cu baz finit. Demonstraie. Fie X=(xi)iIM un sistem de generatori (n cel mai ru caz putem alege X=M). Conform Observaiei 3.15., L=M(I) este A-modul liber i fie (ei)iI baza sa canonic. Unicul morfism de A-module f:LM a.. f(ei)=xi pentru orice iI este surjectiv, conform Propoziiei 2.16.

Corolar 3.20. (Grassmann) Fie V un K-spaiu vectorial de dimensiune finit iar U, W dou subspaii vectoriale ale lui V.

Atunci: dimK(U+W)=dimKU+dimKW-dimK(UW) .

51

Demonstraie. Conform Corolarului 2.13. avem izomorfismul (U+W)/UW/(UW) i totul rezult acum din Corolarul 3.18. i Corolarul 2.20. Sugerm cititorului o alt soluie direct, n sensul ca s considere {e1,,en}UW o baz care se poate completa (conform Teoremei 1.13.) cu f1,,fmU i g1,,gpW a.. {e1,,en, f1,,fm}U este baz iar {e1,,en, g1, ,gp}W este baz. Este doar chestiune de rutin acum s se arate c {e1,,en, f1,,fm, g1,,gp} este baz pentru U+W i astfel relaia din enun se verific: n+m+p=(n+m)+(n+p)-n. 4. Limite inductive i proiective n Mods(A). Limite inductive i proiective de morfisme de A-module. n cadrul acestui paragraf prin (I, ) vom desemna o mulime parial ordonat i filtrant la dreapta (adic pentru orice i, jI exist kI a.. ik i jk). Teorema 4.1. Orice sistem inductiv de A-module peste mulimea I are limit inductiv. Demonstraie. Reamintim (vezi Capitolul 5, 7) c prin sistem inductiv de A-module peste I nelegem o familie (Mi)iI de A-module mpreun cu morfismele uij:MiMj definite pentru orice pereche (i, j) cu ij a.. uii= iM1 pentru orice iI i ujkuij=uik dac ijk. Un astfel de sistem l vom nota mai simplu =(Mi, uij). Fie ( )( )Iii

Iii MM

= ,C iar L submodulul lui M generat de

elementele de forma i(xi)-j(uij(xi)) cu xiMi iar i, jI, ij. Notm M =M/L, p:M M epimorfismul canonic i i=pi pentru orice iI. Vom demonstra c ( )( ) i

IiIii MM

= lim, iar pentru aceasta s

artm la nceput c dac i, jI, ij, atunci juij=i

52

(pj)uij=pip(juij)=pii(xi)-j(uij(xi))L pentru orice xiMi, ceea ce este evident. Fie acum M un alt A-modul i (i)iI o familie oarecare de morfisme de A-module a.. pentru orice i, jI, ij s avem j uij=i i s demonstrm c exist un unic morfism de A-module MMu : a.. u i=i pentru orice iI.

Conform proprietii de universalitate a sumei directe, exist un unic morfism de A-module u:M=C

IiiM

M a.. diagrama: este comutativ pentru orice iI (adic ui=i pentru orice iI).

Mi

M

M

i

i

u

Mi

M

i

i

M

u

LMM /=

p

u

53

Definim MMu : prin u (x+L)=u(x) pentru orice xM. Dac x+L=y+L, atunci x-yL, adic x-y= ( ) ( )( )[ ]

=

n

kkikjkikjkikik

xuxa1

(cu akA, ik, jkI, ikjk i kiki Mx ,

1kn). Deducem imediat c:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )( )

( ) ( ) ,01

11

=

=

=

==

=

==

n

kkikikikik

n

kkikjkikjkikik

n

kkikjkikjkikik

xxa

xuxaxuuxuayxu

oo

de unde concluzia c u(x)=u(y), adic u este corect definit. Se verific imediat c u este morfism de A-module i c u i=i pentru orice iI i astfel teorema este demonstrat. Corolar 4.2. Cu notaiile de mai sus avem: (i) ( )U

Iiii

not

iIi

MMM

== lim

(ii) Dac xiMi, atunci i(xi)=0 dac i numai dac exist jI a.. ij i uij(xi)=0 (iii) Dac xiMi, xjMj, atunci i(xi)=j(xj) dac i numai dac exist kI a.. ik, jk i uik(xi)=ujk(xj). Demonstraie. (i). Fie yM ; dac p:M M este epimorfismul canonic, atunci y=p(x) cu xM=C

IiiM

. Scriind ( ) ( )niniii

xxx ++= ...11

putem gsi iI a.. i1, , ini i deoarece i=juij pentru orice ij avem:

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )iiniiniiiiiininiiininiii

xxuxuxxxpxpxpy

=++=

=++=++==

...

......

11

1111oo

unde ( ) ( )niiniiiii

xuxux ++= ...11

Mi. (ii). Deoarece pentru ij, i=juij implicaia uij(xi)=0i(xi)=0 este clar.

54

S probm acum c i(xi)=0. Atunci p(i(xi))=0i(xi)L, deci i(xi) este o combinaie liniar (cu scalari din A) de elemente de forma: () j(xj)-k(ujk(xj)) cu jk i xjMj. Alegem tI ce majoreaz pe toi j, k ce apar n scrierea lui i(xi) precum i pe i. Scriind t(uit(xi))=i(xi)-[i(xi)-t(uit(xi))] i j(xj)- k(ujk(xj)) = j(xj) - t(ujt(xj)) [k(ujk(xj)) - t(ukt(ujk(xj)))], (cci uktujk = ujt) deducem c t(uit(xi)) este o combinaie liniar de elemente de forma () n care toi k sunt egali cu t. Putem deci presupune de la nceput c t(uit(xi)) este o sum de elemente de forma () j(xj)-t(ujt(xj)) cu jt. Mai mult, fcnd eventualele reduceri de termeni pentru fiecare jt putem scrie () ( )( ) ( ) ( )( )[ ]

=

=n

rrjtrjtrjrjiitt

xuxxu1

, unde j1, , jnt sunt distinci doi cte doi. Evident, pentru jst din () deducem c ( ) 0=sjsj x , adic

0=sj

x . S demonstrm c uit(xi)=0 (adic putem alege pe j din enun ca fiind egal cu t). Dac prin absurd uit(xi)0 atunci t(uit(xi))0 i din () deducem c exist un js a.. js=t. Astfel, pentru rs, 0=rjx i deci t(uit(xi))=t(xt)-t(utt(xt))=0 - contradicie. (iii). Rezult imediat din (ii). Definiia 4.3. Fie =(Mi, uij) i =(Mi, uij) dou sisteme inductive peste mulimea filtrant I. Se numete sistem inductiv de morfisme de la la (sau morfism de sisteme inductive) o familie (fi)iI de morfisme de A-module cu fi:MiMi a.. pentru orice pereche (i, j) de elemente din I cu ij diagrama:

55

este comutativ, adic fjuij=uijfi . Fie C

IiiMM

= , CIi

iMM

= iar LM, LM submodulele puse n eviden n demonstraia Teoremei 4.1. pentru care

MLMMnot

iIi

==

/lim i MLMMnot

iIi

==

/lim .

n cadrul 3. am definit MMff

Iii =

:C astfel: dac

x=(xi)iICIi

iM

cu supp(x) finit, atunci f(x)=(fi(xi))iI.

Mi

Mj

Mi

Mj

fi

fj

uij uij

56

Pentru fiecare iI s considerm n Mods(A) diagrama: unde p i p sunt epimorfismele canonice iar i i i sunt monomorfismele canonice de la suma direct. Dac xM este de forma x=i(xi)-j(uij(xi)) cu ij, xiMi, atunci f(x)=(fi)(xi)-(fj)(uij(xi))=(ifi)(xi)-(jfj)(uij(xi))=i(fi(xi))--j[(fjuij)(xi)]=i(fi(xi)-j[(uijfi)(xi)]=i(fi(xi))-j(uij(fi(xi))), de unde concluzia c f(L)L. Atunci exist un unic morfism de A-module

MMf : a.. f p=pf (de fapt f (p(x))=p(f(x)), pentru orice xM). Definiia 4.4. Morfismul f definit mai sus se noteaz prin

iIi

ff

= lim i poart numele de limita inductiv a sistemului inductiv

de morfisme (fi)iI . Dac notm ca mai nainte i=pi i i=pi, atunci n mod evident pentru orice iI, diagrama:

Mi

M

Mi

M

fi

fj

i i

M M

p p

f

57

este comutativ, adic f i=ifi. Fie acum =(Mi, uij), =(Mi, uij) i =(Mi, uij) trei sisteme inductive de module peste aceeai mulime filtrant I i (fi)iI, (gi)iI dou sisteme inductive de morfisme de la la i respectiv de la la . Notm i

Iiff

= lim i iIi

gg

= lim (unde CIi

iff

= , CIi

igg

= ).

Propoziia 4.5. Dac pentru orice iI irul: 00 iigiifi MMM este exact, atunci i irul: 0limlimlim0

i

Ii

gi

Ii

fi

IiMMM

este exact. Demonstraie .Fie C

IiiMM

= , CIi

iMM

= , =C

IiiMM ,

MLMMnot

iIi

==

/lim , MLMMnot

iIi

==

/lim , MLMMnot

iIi

==

/lim

(LM, LM, LM submodulele lui M, M i respectiv M ce definesc limita inductiv). Trebuie s probm exactitatea irului:

() 00 MMM gf n M , M i M . S considerm diagrama:

Mi Mi fi

i i

M M f

58

n care primul ir este exact n M, M i M (conform Propoziiei 3.4.) iar p, p i p sunt epimorfismele canonice. Dac yM , y=p(x) cu xM i cum g este epimorfism, x=g(x) cu xM. Din pg= g p deducem c g (p(x))=p(g(x))=p(x)=y, adic g este epimorfism i deci irul () este exact n M . Pentru a arta exactitatea irului () n M s artm c Ker( g )=Im ( f ). Deoarece gifi=0 pentru orice iI, deducem c gf =0, deci

0=fg o , de unde incluziunea Im( f )Ker( g ). Pentru a proba incluziunea invers, fie ( )gKerx ; conform Corolarului 4.2. i), exist iI i xiMi a.. x =i(xi). Din igi= g i deducem c i(gi(xi))= g (i(xi))= g ( x )=0, iar tot din Corolarul 4.2. ii) deducem c exist jI, ji i uij(gi(xi))=0 gj(uij(xi))=0 uij(xi)Ker(gj)=Im(fj). Deducem c exist xjMj a.. uij(xi)=fj(xj), astfel c x =i(xi)=j(uij(xi))=j(fj(xj))= f (j(xj), adic x Im( f ), deci Ker( g )Im( f ), de unde egalitatea Ker( g )=Im( f ), adic irul () este exact n M . A proba exactitatea irului () n M revine la a demonstra c f este monomorfism iar pentru aceasta fie Mx a.. ( ) 0=xf .

Conform Corolarului 4.2. (i), exist iI i xiMi a.. x =i(xi) astfel c obinem f (i(xi))=0( f i) (xi)=0(ifi)(xi)=0 i(fi(xi))=0.

0 M M M 0

0 M M M 0

f g

p p p

f g

59

Conform Corolarul 4.2. (ii), exist jI, ij a.. uij(fi(xi))=0 (uijfi)(xi)=0fi(xi)=0xi=0 (cci fi este monomorfism) x =i(0)=0, adic f este monomorfism i astfel demonstraia este ncheiat. Teorema 4.6. Orice sistem proiectiv de A-module peste mulimea I are limit proiectiv. Demonstraie. Reamintim (vezi Capitolul 5, 7) c prin sistem proiectiv de A-module peste mulimea filtrant (I, ) nelegem o familie (Mi)iI de A-module mpreun cu morfismele uij:MjMi definite pentru orice pereche (i, j) cu ij a.. uii= iM1 pentru orice iI i uijujk=uik pentru orice ijk. Analog ca n cazul sistemelor inductive, un sistem proiectiv se va nota mai simplu =(Mi, uij). Fie M=

IiiM (vezi Propoziia 3.1.) iar

M ={x=(xi)iIM|uij(xj)=xi pentru orice pereche (i, j) cu ij}. Se vefific imediat c M este submodul al lui M. Dac pentru orice iI, pi:MMi este proiecia canonoc de indice i, s notm prin qi restricia lui pi la M . Vom demonstra c ( )( ) i

IiIii MqM

= lim, .

Din felul n care am definit pe M deducem imediat c pentru orice pereche (i, j), cu ij, avem uij qj=qi. Fie acum M un alt A-modul i (qi)iI o familie oarecare de morfisme de A-module cu qi:MMi pentru orice iI a.. pentru orice pereche (i, j), cu ij s avem uijqj=qi .

60

Conform proprietii de universalitate a produsului direct de A-module, exist un unic morfism de A-module u:MM a.. pju=qj pentru orice jI. innd cont de Propoziia 3.1., u se definete pentru xM prin u(x)=(qi(x))iI . Dac i, jI i ij, din uijqj=qi deducem c pentru xM avem uij(qj(x))=qi(x), adic u(x)M i astfel u:M M este unicul morfism de A-module cu proprietatea c qju=qj pentru orice jI i astfel teorema este demonstrat. Observaia 4.7. 1. Morfismele (qi)iI poart numele de morfismele canonice ale limitei proiective. 2. Analog ca n cazul limitelor inductive, dac nu este pericol de confuzie, prin i

IiM

lim vom nelege doar pe M . Definiia 4.8. Fie =(Mi, uij) i =(Mi, uij) dou sisteme proiective peste I. Se numete sistem proiectiv de morfisme de la la o familie (fi)iI de morfisme de A-module cu fi:MiMi a..

Mi

M M

qi

M

Mj

qj

uij

u

pi pj

qi qj

61

pentru orice pereche (i, j) de elemente din I cu ij s avem fiuij=uijfj . Fie MM

not

iIi

=

lim i MMnot

iIi

=

lim iar (fi)iI un sistem proiectiv de

morfisme de la la unde M=Ii

iM iar M=

IiiM . Notm de

asemenea MMffIi

i =

: (vezi Definiia 3.3.) i fie x=(xi)iIM .

Atunci pentru orice ij avem uij(xj)=xi. Dac x=f(x)=(fi(xi))iI, pentru ij avem uij(fj(xj)) = (uijfi)(xj) = (fiuij)(xj) = fi(uij(xj)) = fi(xi), adic x=f(x)M . Definiia 4.9. Morfismul MMf : definit prin ( )xf =f(x) pentru orice xM se noteaz prin i

Iiff

= lim i poart numele de

limita proiectiv a sistemului proiectiv de morfisme de A-module (fi)iI. Se observ imediat c qi f =fiqi, pentru orice iI, unde (qi)iI i (qi)iI sunt morfismele canonice de la M la Mi, respectiv de la M la Mi. Fie acum =(Mi, uij), =(Mi, uij) i =(Mi, uij) trei sisteme proiective de A-module peste aceeai mulime I iar (fi)iI, (gi)iI dou sisteme proiective de morfisme de A-module de la la i respectiv de la la . Notm i

Iiff

= lim i iIi

gg

= lim .

Propoziia 4.10. Dac pentru orice iI irul: 00 iigiifi MMM este exact, atunci i irul: 00 MMM gf

62

este exact. Demonstraie. Totul rezult imediat din Propoziia 3.4. innd cont c f i g sunt restriciile lui f i respectiv g la M i respectiv la

M . Observaia 4.11. Cititorul poate consulta n [17, p.79] un contraexemplu de sistem proiectiv de epimorfisme de A-module a crui limit proiectiv nu este epimorfism. n cele ce urmeaz vom prezenta un rezultat important care n esen ne arat c orice A-modul se poate scrie ca limit inductiv de un anumit tip de A-module (vezi Teoorema 4.14.). Definiia 4.12. Un A-modul M se zice de prezentare finit dac exist un ir exact 001 MLL cu L0 i L1 A-module libere de tip finit. Propoziia 4.13. Un A modul M este de prezentare finit dac i numai dac M este de tip finit i pentru orice ir exact de A module 00 MNP gf cu N de tip finit rezult c i P este de tip finit. Demonstraie. ,,. Aceast implicaie este imediat. ,,. S probm c M este de prezentare finit. Atunci exist irul exact 001 MLL th cu L0 i L1 A-module libere de tip finit. Deoarece L0 este liber, exist :L0N morfism de A-module a.. g=t Deoarece gh=th=0, exist :L1P a.. f=h. Conform Lemei serpentinei (Propoziia 2.29.) avem

N 0

0

L1 L0

P

M

h

f

t

g

63

Coker()Coker(). Cum N este de tip finit, din Corolarul 2.18., deducem c Coker() este de tip finit i astfel i Coker() va fi de tip finit. Tot din Corolarul 2.18. deducem imediat c P este de tip finit. Teorema 4.14. Orice A-modul M este limit inductiv a unei familii de A-module de prezentare finit. Demonstraie. Fie (gi)iI un sistem de generatori pentru M. Conform Corolarului 3.12. exist un A-modul liber L de baz (ei)iI i un ir exact 00 MLP pi , unde p(ei)=gi (iI), P=Ker(p) iar i este incluziunea. Pentru JI vom nota prin LJ submodulul lui L generat de (ei)iJ. Fie K={(J, N)|JI este finit iar N este un submodul de tip finit al lui LJP}; definim pe K relaia (J, N)(J, N)JJ i NN i se probeaz imediat c n felul acesta (K, ) devine o mulime ordonat filtrant la dreapta (cci dac (J1, N1) i (J2, N2) sunt dou elemente din K, atunci din observaia c N1+N2P i N1+N2 2121 JJJJ LLL + , deducem c cele dou elemente ale lui K s