powerpoint presentation · 2020. 1. 24. · asist.dr.ing. florin bejan >>> curs 5 >>> fizica...

Click here to load reader

Post on 18-Jan-2021

4 views

Category:

Documents

1 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • CURS 5MIȘCAREA APEI PRIN PĂMÂNTURI NESATURATE

    FMP 2

    018

  • ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 5 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ

    LEGEA LUI DARCY PENTRU PĂMÂNTURI NESATURATE

    20.03.2018 2

    Curgerea apei într-un pământ saturat poate fi descrisă folosind

    legea lui Darcy. Darcy (1856) a postulat că viteza de curgere a

    apei printr-o masă de pământ este proporțională cu gradientul

    hidraulic și poate fi descrisă de relația

    𝐯𝐰 = −𝐤𝐰𝛛𝐡𝐰𝛛𝐲

    unde

    𝐯𝐰 este viteza de curgere a apei;

    𝐤𝐰 este coeficientul de permeabilitate al fazei apă (coeficientul dehidroconductivitate);

    𝛛𝐡𝐰/𝛛𝐲 este gradientul hidraulic pe direcția y notat și 𝐢𝐰𝐲.FMP 2

    018

  • ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 5 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ

    LEGEA LUI DARCY PENTRU PĂMÂNTURI NESATURATE

    20.03.2018 3

    Coeficientul de proporționalitate dintre viteza de curgere a apei

    și gradientul hidraulic este numit coeficient de permeabilitate,

    𝑘𝑤.

    Coeficientul de permeabilitate este relativ constant pentru

    pământuri saturate.

    Legea lui Darcy poate fi scrisă și pentru direcția -x și -z.

    Semnul negativ al ecuației de curgere indică că apa curge în

    direcția descreșterii gradientului hidraulicFMP 2

    018

  • ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 5 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ

    LEGEA LUI DARCY PENTRU PĂMÂNTURI NESATURATE

    20.03.2018 4

    Legea lui Darcy se aplică de asemenea și pentru curgerea apei

    prin pământuri nesaturate (Buckingam, 1907; Richards, 1931;

    Childs & Collis-George, 1950).

    Totuși, coeficientul de permeabilitate în pământuri nesaturate

    nu poate fi considerat, în general, constant. Mai degrabă,

    coeficientul de permeabilitate este o variabilă ce este o funcție

    de umiditate și sucțiune matriceală.

    FMP 2

    018

  • ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 5 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ

    LEGEA LUI DARCY PENTRU PĂMÂNTURI NESATURATE

    20.03.2018 5

    Apa poate curge doar prin spațiul porilor umplut cu apă. Porii

    umpluți cu aer nu sunt canale conductive pentru curgerea apei.

    Prin urmare, porii umpluți cu aer într-un pământ nesaturat se

    consideră că se comportă similar cu faza solidă, iar pământul

    poate fi tratat ca un pământ saturat având o umiditate mai

    redusă (Childs, 1969).

    Validitatea legii lui Darcy poate fi verificată pentru un pământ

    nesaturat folosind un experiment similar cu cel folosit pentru

    verificare curgerii pentru pământuri saturate. În orice caz,

    volumul de apă (sau umiditatea) trebuie să rămână constant în

    timp ce gradientul hidraulic variază.FMP 2

    018

  • ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 5 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ

    LEGEA LUI DARCY PENTRU PĂMÂNTURI NESATURATE

    20.03.2018 6

    Childs and Collis-George,

    1950 au realizat experimente

    pentru verificarea legii lui

    Darcy pentru pământuri

    nesaturate.

    O coloană cu pământ

    nesaturat menținută la o

    umiditate uniformă și o

    presiune constantă a fost

    supusă la diferiți gradienți

    hidraulici.FMP 2

    018

  • ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 5 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ

    LEGEA LUI DARCY PENTRU PĂMÂNTURI NESATURATE

    20.03.2018 7

    Rezultatele au indicat că la o anumită umiditate coeficientul de

    permeabilitate 𝑘𝑤 este constant pentru diferiți gradiențihidraulici aplicați pământului nesaturat. Cu alte cuvinte, viteza

    de curgere a apei printr-un pământ nesaturat este

    proporțională liniar cu gradientul hidraulic, coeficientul de

    permeabilitate fiind constant. Acest comportament este similar

    cu cel observat la pământuri saturate.

    Rezultatele experimentului realizat de Childs & Collis-George

    (1950) confirmă că legea lui Darcy poate di aplicată

    pământurilor nesaturate. Totuși, trebuie observat că valoareacoeficientului de permeabilitate diferă la diferite umiditățivolumice 𝜽 ale pământurilor nesaturate.FM

    P 2018

  • ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 5 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ

    COEFICIENTUL DE PERMEABILITATE AL FAZEI APĂ

    20.03.2018 8

    Coeficientul de permeabilitate al fazei apă, 𝑘𝑤, este o măsură aușurinței cu care apa poate curge prin spațiul disponibil pentru

    curgerea apei din pământul nesaturat.

    Coeficientul de permeabilitate depinde de proprietățile fluidului

    și de proprietățile mediului poros.

    Se obțin diferite valori ale coeficientului de permeabilitate, 𝑘𝑤,pentru diferite tipuri de fluide (e.g. apă sau ulei) sau diferite

    tipuri de pământ (e.g. nisip sau argilă).FMP 2

    018

  • ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 5 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ

    FLUIDUL ȘI COMPONENTELE MEDIULUI POROS

    20.03.2018 9

    Coeficientul de permeabilitate al apei, 𝐤𝐰, poate fi exprimat întermeni de permeabilitate intrinsecă 𝐊, care poate fi descrisămatematic

    kw =ρw ∙ g

    ν∙ K =

    γ

    ν∙ K

    unde:

    𝐊 – permeabilitatea intrinsecă a pământului, 𝑚2,

    𝐠 – accelerația gravitațională, 𝑚/𝑠2,

    𝛎 – vâscozitatea dinamică, cP,

    𝛒 – densitatea, 𝑘𝑔/𝑚3

    𝛄 – greutatea volumică a mediului, 𝑁/𝑚3.FMP 2

    018

  • ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 5 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ

    FLUIDUL ȘI COMPONENTELE MEDIULUI POROS

    20.03.2018 10

    Proprietățile fluidelor pot fi „scalate” la proprietățile apei în

    condiții standard (Parker et al. 1987). Permeabilitatea intrinsecă

    este aproximativ 10−12 m2 pentru un pământ care are oconductivitate hidraulică de 10−5 m/s.

    Permeabilitatea intrinsecă a pământului, 𝐾 , reprezintăcaracteristicile mediului poros și este independentă de

    proprietățile fluidului. Mediul poros este o funcție de

    proprietățile volum-masă ale pământului. În ingineria

    geotehnică, coeficientul de permeabilitate 𝑘𝑤 este folositpentru a îngloba efectul total al variabilelor legate de mediul

    poros și fluidul din pori.FMP 2

    018

  • ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 5 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ

    RELAȚII DINTRE PERMEABILITATE ȘI PROPRIETĂȚILE VOMUL-MASĂ

    20.03.2018 11

    Coeficientul de permeabilitate 𝑘𝑤 este o funcție de oricare douădin cele trei proprietăți masă-volum (Lloret and Alonso, 1980;

    Fredlund, 1981b):

    kw = kw Sr, e

    sau

    kw = kw e,w

    sau

    kw = kw w, Srunde:

    𝑆𝑟 – este gradul de umiditate

    𝑒 – este indicele porilor

    𝑤 – este umiditatea masicăFMP 2

    018

  • ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 5 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ

    RELAȚII DINTRE PERMEABILITATE ȘI PROPRIETĂȚILE VOMUL-MASĂ

    20.03.2018 12

    Coeficientul de permeabilitate în pământuri saturate este ofuncție de indicele porilor. Totuși, coeficientul de permeabilitate

    este în general considerat ca fiind constant când se analizează

    majoritatea problemelor de curgere în regim permanent și

    nepermanent a pământurilor saturate.

    Coeficientul de permeabilitate în pământuri nesaturate esteafectat semnificativ de modificările combinate ale indicelui porilor

    și gradului de saturație al pământului.

    Apa curge prin spațiul porilor umpluți cu apă; prin urmare

    procentul de pori umplut cu apă este un factor important. Pe

    măsură ce pământul se desaturează, aerul la început înlocuiește o

    parte din apa din porii mari. Debutul desaturării face ca apa să

    curgă prin pori mai mici. Traseul prin porii mai mici conduce la

    creșterea sinuozității și în consecință la o curgere și mai lentă.FMP 2

    018

  • ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 5 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ

    RELAȚII DINTRE PERMEABILITATE ȘI PROPRIETĂȚILE VOMUL-MASĂ

    20.03.2018 13

    O creștere a sucțiunii matriceale în pământ conduce la o scădere

    suplimentară a volumului de apă ocupat cu apă. Interfața aer-apă

    este atrasă din ce în ce mai aproape de particulele solide. Ca

    rezultat, coeficientul de permeabilitate al fazei apă descrește rapid

    pe măsură ce se reduce spațiul disponibil pentru curgerea apei

    FMP 2

    018

  • ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 5 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ

    RELAȚIA DINTRE COEFICIENTUL DE PERMEABILITATE ȘI GRADUL DE SATURAȚIE

    20.03.2018 14

    kw = ks pentru ua − uw ≤ ua − uw b

    kw = ks ∙ Seδ pentru ua − uw > ua − uw b

    unde

    𝑘𝑠 - este coeficientul de permeabilitate al fazei apă pentru pământuri saturate (i.e. 𝑆 =100%);

    𝛿 – este o constantă a funcției de permeabilitate;

    𝛿 =2 + 3𝜆

    𝜆

    𝜆 – indice al distribuției dimensiunilor porilor definit ca panta negativă a dreptei grad desaturație efectiv 𝑆𝑒 - sucțiune matriceală (𝑢𝑎 − 𝑢𝑤).

    Pământ 𝜹 𝝀 Sursa

    Nisip uniform 3,0 ∞ Irmay (1954)

    Pământ și roci poroase 4,0 2,0 Corey (1954)

    Depozite de nisip natural 3,5 4,0 Averjanov(1950)FM

    P 2018

  • ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 5 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ

    RELAȚIA DINTRE COEFICIENTUL PERMEABILITATE AL APEI ȘI SUCȚIUNEA MATRICEALĂ

    20.03.2018 15

    Relație de calcul Sursa Simbol

    • kw = ksPentru ua − uw ≤ ua − uw b

    • kw = ksua−uw b

    ua−uw

    η

    Pentru ua − uw > ua − uw b

    Brooks and Corey(1964)

    𝜂 = 2 + 3𝜆 constantăempirică

    𝑘𝑤 =𝑘𝑠

    1 + 𝑎𝑢𝑎 − 𝑢𝑤𝜌𝑤 ∙ 𝑔

    𝑛 Gardner (1958a) 𝑎, 𝑛 - constante

    𝑘𝑤 =𝑘𝑠

    𝑢𝑎 − 𝑢𝑤𝑢𝑎 − 𝑢𝑤 𝑏

    𝑛′

    + 1

    Arbhabhirama andKridakorn (1968)

    𝑛′ - constantăFMP 2

    018

  • ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 5 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ

    ANALOGIA DINTRE MIȘCAREA APEI ȘI TRANSMITEREA CĂLDURII

    20.03.2018 16

    AVANTAJE:

    Permite folosirea directă a unor rezolvări existente în teoria

    transmiterii căldurii, care este o disciplină bine elaborată;

    Nu se bazează pe anumite ipoteze cu privire la formele de

    interacțiune dintre apă și scheletul mineral al pământului;

    Asigură o tratare unitară a problemelor de transport și pentru

    cazul când se manifestă influența gradientului termic.

    FMP 2

    018

  • ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 5 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ

    ANALOGIA DINTRE MIȘCAREA APEI ȘI TRANSMITEREA CĂLDURII

    20.03.2018 17

    Tot cu ajutorul analogiei între transportul de

    energie (căldură) și transportul de masă (umiditate)

    se poate înțelege mai bine faptul că de multe ori

    apa circulă de la corpurile cu umiditate maimică spre cele cu umiditate mai mare, ceea ceconstituie dovada că umiditatea nu reprezintă

    potențialul de transport al umidității.

    FMP 2

    018

  • ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 5 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ

    ANALOGIA DINTRE MIȘCAREA APEI ȘI TRANSMITEREA CĂLDURII

    20.03.2018 18

    Două bucăți metalice încontact, având aceeașigreutate, una de plumb avândo temperatură de 200℃ și decio entalpie (conținut decăldură), HPb = cq ∙ T = 0,03 ∙

    200 = 6 kcal/kg și alta dealuminiu având o temperaturăde 100℃ și deci o entalpieHAl = 0,20 ∙ 100 = 20 kcal/kg.

    căldura se transmite de laplumb spre aluminiu, deci înconformitate cu căderea detemperatură (potențialul detransport) și independent devaloarea entalpieiFM

    P 2018

  • ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 5 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ

    ANALOGIA DINTRE MIȘCAREA APEI ȘI TRANSMITEREA CĂLDURII

    20.03.2018 19

    În contact nisip fin și argilă grasă,primul având inițial umiditatea w =20% și sucțiunea s = 30 cmH2O,iar a doua umiditatea w = 44% șisucțiunea s = 1000 cmH2O

    ținând seama de faptul că sucțiuneareprezintă un potențial negativ apava migra de la nisip spre argilă pânăcând presiunile apei din pori,respectiv sucțiunile se vor egal

    u1′ = −s1

    ′ = u2′ = −s2

    ′ = −90 cmH2O

    Cantitatea de apă cedată de nisipulfin ( Δw = 8% ) va fi egală cucantitatea de apă ( Δw = 8% )primită de argila grasă (s-aconsiderat că greutatea uscată acelor două pământuri este egală).FM

    P 2018

  • ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 5 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ20.03.2018 20

    Rezultă deci că umiditatea (conținutul de apă) 𝑤 este unparametru analog cu entalpia (conținutul de căldură) și nu cu

    temperatura așa că nu reprezintă potențialul care provoacă

    migrația apei.

    Potențialul de transport al apei prin materiale poroase atuncicând se poate neglija efectul gravitației, este presiunea apeidin pori (𝛉𝐰 = 𝐮 ). În cazul când materialele poroase suntnesaturate și se poate neglija efectul pe care îl au suprasarcinile

    asupra presiunii apei din pori, potențialul de transport este egal

    cu sucțiunea cu semn schimbat (𝜃𝑤 = 𝑢 = −𝑠).

    ANALOGIA DINTRE MIȘCAREA APEI ȘI TRANSMITEREA CĂLDURII

    FMP 2

    018

  • ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 5 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ

    NOȚIUNI FUNDAMENTALE PROPRII FENOMENELOR DE TRANSPORT A CĂLDURII ȘI UMIDITĂȚII

    20.03.2018 21

    Problema migrației apei printr-un mediu

    poros este rezolvată dacă se cunoaște

    ecuația:

    𝛉𝐰 = 𝐟 𝐱, 𝐲, 𝐳, 𝐭

    unde

    x , y , z – coordonatele unui punctoarecare în spațiu;

    t – timpul.

    Totalitatea valorilor momentane în toate

    punctele spațiului studiat se numește

    câmp al potențialului de transport alapei din pori. Deoarece potențialul detransport al apei din pori este o mărime

    scalară atunci și câmpul potențialului de

    transport va fi un câmp scalar.

    Atunci când potențialul de transport

    într-un punct variază în timp „câmpuleste nestaționar”, iar ecuația sa înforma cea mai generală este

    reprezentată de relația de mai sus.

    Atunci când potențialul de transport nu variază în timp,

    câmpul este staționar, și are drept ecuație

    𝛉𝐰 = 𝚽 𝐱, 𝐲, 𝐳 ;𝛛𝛉𝐰𝛛𝐭

    = 𝟎

    În unele probleme câmpul staționar al potențialului de

    transport, apare ca un caz asimptotic al câmpului

    nestaționar atunci când t → ∞.

    Dacă potențialul de transport este o funcție

    bidimenională sau monodimensională expresia

    câmpului devine

    θw = F x, y, t ;𝜕θw𝜕z

    = 0

    respectiv

    θw = ϕ x, t ;𝜕θw𝜕y

    =𝜕θw𝜕z

    = 0

    Un exemplu de câmp monodimensional al

    potențialului de transport este cazul unui strat omogen

    și izotrop care suferă un proces de drenare ca urmare

    a coborârii nivelului apei subterane cu anumită valoare.FMP 2

    018

  • ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 5 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ

    NOȚIUNI FUNDAMENTALE PROPRII FENOMENELOR DE TRANSPORT A CĂLDURII ȘI UMIDITĂȚII

    20.03.2018 22

    Dacă se unesc punctele câmpului care au

    aceeași valoare pentru potențialul de transport,

    se obține o suprafață izopotențială.Intersectând suprafețele izopotențiale cu un

    plan se obține o familie de curbe izopotențiale.

    Creșterea potențialului în direcția normalei la

    suprafața izopotențială este caracterizată de

    „gradientul potențialului de transport”, carereprezintă vectorul orientat după normala la

    suprafață și având sensul creșterii potențialului:

    gradθw = n0𝜕θw𝜕n

    în care n0 este vectorul unitar, orientat dupănormală și având sensul creșterii potențialului

    de transport;

    𝜕θw

    𝜕n– derivata potențialului după direcția

    normalei n la suprafața izopotențială.

    Deci gradientul potențialului este egalnumeric cu derivata întâia a potențialului după

    normala la suprafața izopotențialei.

    Componentele gradientului potențialului de

    transport după axele de coordonate carteziene

    vor fi egale cu derivatele parțiale

    corespunzătoare:

    grad θw = ∇θw = Ԧi∂θw∂x

    + Ԧj∂θw∂y

    + k∂θw∂z

    în care: Ԧi, Ԧj, k sunt vectorii unitari ortogonaliorientați după axele de coordonate.FM

    P 2018

  • ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 5 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ

    NOȚIUNI FUNDAMENTALE PROPRII FENOMENELOR DE TRANSPORT A CĂLDURII ȘI UMIDITĂȚII

    20.03.2018 23

    Intensitatea câmpului de potențial de transport

    al apei din pori se definește prin:

    Jθw = −grad θw

    Dacă sunt îndeplinite anumite condiții atunci se

    poate lua drept potențial de transport presiunea

    apei din pori, adică

    𝛉𝐰 = 𝐮

    Condiția necesară pentru migrația apei capilare

    sau peliculare este existența unui gradient al

    potențialului de transport, adică a presiunii apei

    din pori.

    După cum arată experiența, migrația apei areloc după normala la suprafața izopotențialădin zonele cu potențial de transport maimare spre zonele cu potențial mai mic.

    Presiunea apei din pori se consideră nulă atunci

    când este egală cu presiunea atmosferică iar

    această condiție se realizează la fața superioară

    a unui strat de apă subterană cu nivel liber.

    Pentru o tratare unitară a problemelor de

    circulație a apei atât dedesubtul cât și deasupra

    nivelului apelor subterane este indicat ca atât

    presiunea pozitivă a apei din pori cât și cea

    negativă să fie exprimată în înălțime coloană de

    apă, în primul caz pozitivă, în cel de-al doilea

    negativă.

    Cantitatea de apă, care trece în unitatea de timp

    prin unitatea de secțiune a suprafeței izobare se

    numește intensitatea (fluxul) migrației apei iar

    vectorul corespunzător este dat de relația

    iw = −n0dQ

    dt

    1

    A

    în care:

    Q este cantitatea de apă;

    t este timpul;

    A este secțiunea;

    (−n0) este vectorul unitar orientat după normala

    la suprafața A, în sensul mișcării presiunii apei

    din pori;FMP 2

    018

  • ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 5 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ

    NOȚIUNI FUNDAMENTALE PROPRII FENOMENELOR DE TRANSPORT A CĂLDURII ȘI UMIDITĂȚII

    20.03.2018 24

    L.A. Richards a arătat în anul 1931 că circulația

    apei într-un pământ nesaturat se face în

    conformitate cu o lege de forma:

    𝐯 = 𝐤𝐰𝚫𝐮

    𝚫𝐥

    unde:

    v este fluxul (viteza) migrației apei;

    kw este coeficientul de hidroconductivitate alpământului nesaturat care nu mai este o

    constantă ci depinde de starea sa de umiditate;

    Δu este presiunea apei din pori (exprimată deobicei în înălțimea de coloană de apă);

    Δl este lungimea drumului parcurs.

    Raportul kw/Δl reprezintă conductivitatea

    pentru apă a porțiunii Δl din teren, iar mărimeainversă Δl/k

    wreprezintă rezistența porțiunii din

    teren la circulația apei sau impedanța sa.

    Dacă se descompune vectorul fluxului migrației

    apei:

    jw = kw ∙ Ԧj = −kw ∙ grad u = −kw ∙ 𝛻u = kwതn0𝜕u

    𝜕n

    după cele trei axe de coordonate se obțin

    componentele Ԧjwx, Ԧjwy, Ԧjwz a căror valori scalare

    sunt:

    Ԧjwx = −kw𝜕u

    𝜕x

    Ԧjwy = −kw𝜕u

    𝜕y

    Ԧjwz = −kw𝜕u

    𝜕z

    FMP 2

    018

  • ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 5 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ

    NOȚIUNI FUNDAMENTALE PROPRII FENOMENELOR DE TRANSPORT A CĂLDURII ȘI UMIDITĂȚII

    20.03.2018 25

    Pentru a caracteriza proprietățile de inerție ale mișcării apei prin pământ se

    folosește noțiunea de difuzivitate a presiunii apei din pori 𝐚𝐰

    𝐚𝐰 =𝐤𝐰

    𝐜𝐰 ∙ 𝛒𝐮𝐬=𝐤𝐰𝐜𝐰′

    în care

    kw este coeficientul de hidroconductivitate;

    cw este hidrocapacitatea specifică a pământului adică cantitatea de apănecesară pentru a schimba potențialul unității de masă a scheletului solid cu o

    unitate

    𝐜𝐰 =𝐝𝐐𝐰𝐝𝐮

    cw′ = cw ∙ ρus este hidrocapacitatea unității de volum a pământului.FM

    P 2018

  • ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 5 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ

    NOȚIUNI FUNDAMENTALE PROPRII FENOMENELOR DE TRANSPORT A CĂLDURII ȘI UMIDITĂȚII

    20.03.2018 26

    Pentru stabilirea câmpului de presiuni ale apei din pori este

    necesar să se cunoască ecuația diferențială a migrației apei.

    De obicei prin ecuație diferențială se înțelege legătura,exprimată sub formă diferențială, dintre mărimile fizice carecaracterizează fenomenul studiat, mărimi care sunt în acelașitimp funcție de spațiu și timp.

    O astfel de ecuație caracterizează desfășurarea fenomenului

    fizic în orice punct al corpului, în orice moment.

    Ecuația diferențială a migrației apei dă legătura dintrepresiunea apei din pori, timp și coordonatele volumuluielementar.FM

    P 2018

  • ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 5 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ

    NOȚIUNI FUNDAMENTALE PROPRII FENOMENELOR DE TRANSPORT A CĂLDURII ȘI UMIDITĂȚII

    20.03.2018 27

    Deducerea ecuației diferențiale a migrației apei se

    simplifică dacă se consideră cazul monoaxial (migrația

    are loc într-o singură direcție, spre exemplu în direcția

    axei x) iar coeficienții hidrici se consideră independenți

    de spațiu și timp.

    Astfel, dacă se separă într-un strat omogen și izotrop un

    paralelipiped elementar de volum dx , dy , dz atunci

    cantitatea de apă care intră în unitatea de timp în

    paralelipipedul considerat prin suprafața din stânga dy ∙dz va fi jw,x ∙ dy ∙ dz iar cea care iese prin fața opusă în

    aceeași unitate de timp va fi jw,x+dx ∙ dy dz.

    Dacă jw,x > jw,x+dx atunci paralelipipedul elementar va

    suferi un proces de umezire și diferența dintre cele două

    cantități de apă va fi egală, în conformitate cu legea

    conservării masei, tocmai cu apa care se va acumula în

    paralelipipedul elementar, adică:

    𝐣𝐰,𝐱 𝐝𝐲 𝐝𝐳 − 𝐣𝐰𝐱+𝐝𝐱 𝐝𝐲 𝐝𝐳 = 𝐜𝐰𝛒𝐮𝐬𝛛𝐮

    𝛛𝐭𝐝𝐱 𝐝𝐲 𝐝𝐳 Fluxul de apă care trece printr-un

    volum elementarFMP 2

    018

  • ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 5 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ

    NOȚIUNI FUNDAMENTALE PROPRII FENOMENELOR DE TRANSPORT A CĂLDURII ȘI UMIDITĂȚII

    20.03.2018 28

    Cantitatea de apă acumulată este dată de

    expresia:

    ΔQw = cw ∙ M0 ∙ θ2 − θ1 = cw ∙ ρus ∙ V ∙ Δθ

    în care: cw este hidrocapacitatea specifică;

    ρus este densitatea uscată a scheletului;

    V este volumul considerat;

    Δθ este variația potențialului de umiditate.

    Atunci când potențialul de umiditate este

    reprezentat de presiunea din pori u și seconsideră cantitatea de apă acumulată în

    paralelipipedul elementar dx, dy, dz în unitateade timp se obține:

    ΔQw = cw ∙ ρus ∙𝜕u

    𝜕tdx dy dz

    Mărimea jw,x+dx este o funcție necunoscută de x

    pe care dacă o descompunem într-un șir Taylor

    și o limităm la primii doi termeni poate fi scrisă:

    jw,x+dx ≈ jw,x +jw,x𝜕x

    dx

    așa că egalitatea va căpăta forma

    −𝜕jw,x𝜕x

    dx dy dz = cwρus𝜕u

    𝜕tdx dy dz

    sau

    cwρus𝜕u

    𝜕t= kw

    𝜕2u

    𝜕x2

    sau

    𝛛𝐮

    𝛛𝐭= 𝐚𝐰

    𝛛𝟐𝐮

    𝛛𝐱𝟐

    Ecuația de mai sus reprezintă ecuația

    diferențială a migrației umidității pentru cazul

    monoaxial.FMP 2

    018

  • ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 5 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ

    NOȚIUNI FUNDAMENTALE PROPRII FENOMENELOR DE TRANSPORT A CĂLDURII ȘI UMIDITĂȚII

    20.03.2018 29

    Dacă apa migrează după normalele la

    suprafețele izobare, atunci vectorul qw poate fidescompus în componentele sale după cele trei

    axe de coordonate și în acest caz cantitatea de

    apă acumulată în volumul elementar va fi egală

    cu suma

    −𝜕jw,x𝜕x

    +𝜕jw,y

    𝜕y+𝜕jw,z𝜕z

    dx dy dz

    iar ecuația diferențială va lua forma:

    𝛛𝐮

    𝛛𝐭= 𝐚𝐰

    𝛛𝟐𝐮

    𝛛𝐱𝟐+𝛛𝟐𝐮

    𝛛𝐲𝟐+𝛛𝟐𝐮

    𝛛𝐳𝟐= 𝐚𝐰𝛁

    𝟐𝐮

    unde 𝛻2 =𝜕2

    𝜕x2+

    𝜕2

    𝜕y2+

    𝜕2

    𝜕z2reprezintă operatorul

    lui Laplace (exprimat în coordonate carteziene);

    aw este coeficientul de hidrodifuzivitate

    Uneori în interiorul masivului pot exista surse de

    umezire. Sursele de umezire pot fi pozitive sau

    negative. Drept surse negative se potconsidera spre exemplu punctele sau zonele din

    interiorul masivului în care au loc evaporări saualte pierderi de apă.

    Dacă se admite că debitul specific (cantitatea de

    apă cedată sau primită în unitatea de timp de

    către unitatea de volum a corpului) a acestor

    surse este egal cu qs atunci cantitatea de apăcedată de către volumul unitar în unitatea de

    timp va fi qs dx dy dz; această cantitate de apătrebuie luată în considerare la scrierea ecuației

    de bilanț al masei, așa că făcând pentru acest

    caz transformările arătate mai înainte se ajunge

    la următoarea expresie pentru ecuația

    diferențială a migrației umidității:

    𝛛𝐮

    𝛛𝐭= 𝐚𝐰𝛁

    𝟐𝐮 +𝐪𝐬

    𝐜𝐰 ∙ 𝛒𝐮𝐬FMP 2

    018

  • ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 5 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ

    NOȚIUNI FUNDAMENTALE PROPRII FENOMENELOR DE TRANSPORT A CĂLDURII ȘI UMIDITĂȚII

    20.03.2018 30

    Pentru a găsi câmpul de presiuni ale apei din porii pământului în

    orice moment, adică pentru a rezolva ecuația diferențială trebuie

    să se cunoască distribuția presiunii apei din pori în momentul

    inițial (condiția inițială), forma geometrică a masivului de pământși condițiile de interacțiune dintre mediul înconjurător și suprafața

    masivului (condiții de contur).

    Totalitatea condițiilor inițiale și de margine se numesc condițiilimită; condițiile inițiale se numesc condiții limită de timp iarcondițiile de contur se numesc condiții limită spațiale.FM

    P 2018

  • ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 5 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ

    NOȚIUNI FUNDAMENTALE PROPRII FENOMENELOR DE TRANSPORT A CĂLDURII ȘI UMIDITĂȚII

    20.03.2018 31

    Condițiile inițiale sunt determinate atunci când se cunoaște legea

    de repartiție a presiunii apei din porii masivului în momentul

    inițial, adică

    𝐮 𝐱, 𝐲, 𝐳, 𝟎 = ҧ𝐣 𝐱, 𝐲, 𝐳

    În multe probleme se consideră o distribuție uniformă a presiunii

    apei din pori în momentul inițial adică:

    𝐮 𝐱, 𝐲, 𝐳, 𝟎 = 𝐮𝟎 = 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭.

    FMP 2

    018

  • ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 5 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ

    NOȚIUNI FUNDAMENTALE PROPRII FENOMENELOR DE TRANSPORT A CĂLDURII ȘI UMIDITĂȚII

    20.03.2018 32

    Ecuațiile diferențiale împreună cu condițiile inițiale și de contur

    determină complet problema, adică cunoscând forma geometrică

    a masivului de pământ, condițiile inițiale și cele de contur ar trebui

    să se poată rezolva până la capăt ecuația diferențială și în

    consecință să se găsească funcția care dă distribuția presiunii apei

    din pori în orice moment:

    u x, y, z, t = f(x, y, z, t)

    Funcția f(x, y, z, t) trebuie să verifice atât ecuația diferențială cât șicondițiile inițiale și cele de contur. Din teorema unicității rezolvării,

    a cărei demonstrație se dă în lucrările de matematici rezultă că

    dacă o funcție oarecare f x, y, z, t verifică ecuația diferențială,condițiile inițiale și cele de conturi, atunci ea reprezintă singura

    rezolvare a problemei date.FMP 2

    018

  • ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 5 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ

    CONDIȚII DE CONTUR

    20.03.2018 33

    Condiția limită de speța întâi constă încunoașterea distribuției presiunii apei din pori

    pe conturul masivului m în orice moment detimp adică:

    𝐮𝐥 𝐭 = 𝐟(𝐭)

    în care ul(t) este presiunea apei din pori peconturu

    Condiția de contur de speța a doua constă încunoașterea fluxului de apă în funcție de timp

    pentru fiecare punct al suprafeței de contur

    adică:

    𝐣𝐰𝐥 𝐭 = 𝐣(𝐭)

    Exemple de condiție de contur de speța a doua

    sunt ecuațiile de continuitate care se scriu

    pentru suprafața de separație dintre masivul de

    pământ și suprafața filtrantă a unui foraj, puț

    etc.

    Condiția de contur de speța a treia constă încunoașterea presiunii în mediul lichid

    înconjurător (med) și a legii după care are loc

    schimbul de masă dintre suprafața de contur și

    mediul înconjurător.

    La condițiile de contur de speța a treia se poate,

    de exemplu, reduce cazul unui masiv de pământ

    care se drenează sub acțiunea unei presiuni

    negative constante aplicată prin intermediul

    unui strat filtrant saturat, sau cazul plăcii

    poroase din aparatura pentru determinarea

    sucțiunii.

    Condiția de contur de speța a patracorespunde schimbului de umiditate dintre

    masivul de pământ și mediul lichid înconjurător

    după legea conductivității apei sau a schimbului

    de apă dintre două pământuri care se găsesc în

    contact (presiunea apei din pori la suprafața de

    contact este egală).FMP 2

    018

  • ASIST.DR.ING. FLORIN BEJAN >>> CURS 5 >>> FIZICA MEDIILOR POROASE >>> MASTER INGINERIE GEOTEHNICĂ

    NOȚIUNI FUNDAMENTALE PROPRII FENOMENELOR DE TRANSPORT A CĂLDURII ȘI UMIDITĂȚII

    20.03.2018 34

    În cazul migrației apei prin pământ problema se complică și mai

    mult prin aceea că așa zisele constante din ecuația de mai sus nu

    rămân invariabile în cursul procesului ci se modifică o dată cu

    condițiile de umiditate. Dacă se consideră că cw și ρus rămânconstante și numai coeficientul de permeabilitate kw este variabilatunci ecuația diferențială ia forma:

    𝛛𝐮𝛛𝐭

    =𝐤𝐰

    𝐜𝐰𝛒𝐮𝐬

    𝛛𝟐𝐮

    𝛛𝐱𝟐+𝛛𝟐𝐮

    𝛛𝐲𝟐+𝛛𝟐𝐮

    𝛛𝐳𝟐+

    𝟏

    𝐜𝐰𝛒𝐮𝐬

    𝛛𝐤𝐰𝛛𝐭

    𝛛𝐮

    𝛛𝐱

    𝟐

    +𝛛𝐮

    𝛛𝐲

    𝟐

    +𝛛𝐮

    𝛛𝐳

    𝟐

    a cărei rezolvare este și mai dificilă. Din aceste motive este de

    presupus că pentru rezolvarea acestor problem în viitor vor căpăta

    o mare extindere metodele aproximative amintite mai înainte,

    folosindu-se mașinile moderne de calcul.FMP 2

    018