Aplicația 2

Structuri de Sprijin în

Ingineria Geotehnică

Aplicația 2

SSIG 2018

Aplicația 2

Definirea valorilor caracteristiceValoarea caracteristică a paramentruluigeotehnic ( 𝑿𝒌 ) este valoarea parametruluigeotehnic stabilită ca o estimare prudentă avalorii care influențează apariția stării limită înstructura geotehnică sau în structurile(construcțiile) care conlucrează cu acestea; estede cele mai multe ori o estimare prudentă amediei valorilor determinate prin încercări sauprin măsurători în volumul de teren careguvernează, pentru starea limită considerată,comportarea structurii geotehnice.Valoarea caracteristică inferioară ( 𝑿𝒌,𝒊𝒏𝒇 ) -

valoarea caracteristică obținută la estimareamediei când valorile inferioare sunt mainefavorabile pentru apariția stării limită.Valoarea caracteristică superioară (𝑿𝒌,𝒔𝒖𝒑) -

valoarea caracteristică obținută la estimareamediei când valorile superioare sunt mainefavorabile pentru apariția stării limită.

De regulă, valorile caracteristice aleparametrilor geotehnici se stabilesc pentru unelement geologic denumit strat, alcătuit dinpământ aparținând aceleiași formațiunigeomorfologice, care prezintă o variabilitatelimitată a valorilor acestor parametri.Coeficientul de variație 𝑉𝑥 pentru valoriledeterminate prin încercări și pentru valorilederivate ale parametrilor geotehnici careservesc la identificarea și clasificareapământului din cuprinsul elementului geologicse recomandă să nu depășească 𝑉𝑥,𝑚𝑎𝑥 dintabelul de mai jos.

Parametrul geotehnic Vx max

Greutatea volumică, γ 0,05

Umiditatea naturală, w

0,15Indicele de consistență, IC

Indicele porilor, e

Gradul de îndesare, ID

Indicele de plasticitate, IP 0,30SSIG 2018

Aplicația 2

Stabilirea valorilor caracteristiceConform Eurocodului 7, valorile caracteristice aparametrilor geotehnici se pot obține direct sauindirect pe baza rezultatelor obținute prin încercări deteren sau laborator ținând cont de următoarele aspecte:- existența unor informații prealabile privind geologia și

hidrogeologia zonei și a altor date din proiecte anterioare;- variabilitatea valorilor măsurate ale parametrilor și

cunoștințele preexistente privind aceste date;- volumul investigațiilor întreprinse pe teren și în

laborator;- numărul și calitatea probelor prelevate;- extinderea zonei din teren care guvernează, pentru starea

limită considerată, comportarea structurii geotehnice;- capacitatea structurii geotehnice de a transfera

încărcările de la zonele slabe la zonele mai rezistente dinteren.

De asemenea, standardul subliniază că în timpulevaluării valorilor caracteristice, trebuie luat înconsiderare coeficientul de variație mai mare alcoeziunii efective (𝑐′) față de cel al unghiului de frecareinterioară (𝑡𝑎𝑛𝜙′).

Majoritatea parametrilor utilizați încalculele geotehnice au o distribuțienormală sau log-normală.a) Valorile caracteristice în cazul

distribuției normale a parametrilor𝑋𝑘 = 𝑋𝑚(1 ± 𝑘𝑛 ∙ 𝑉𝑥)

𝑋𝑚 - media valorilor parametruluigeotehnic𝑘𝑛 - parametru statistic ce depinde denumărul de valori disponibile𝑉𝑥 - coeficientul de variație, presupus pebaza cunoștințelor preexistente, i.e.considerat „cunoscut” statistic (Cazul I)sau calculat pe baza rezultatelormăsurate, i.e. considerat „necunoscut”statistic (Cazul II).Coeficientul de variație este raportuldintre abaterea standard (𝑆𝑥) și valoareamedie:

𝑉𝑥 =𝑆𝑥𝑋𝑚SSIG 2018

Aplicația 2

Stabilirea valorilor caracteristiceExtinderea zonei din pământ cedetermină comportamentul„structurii geotehnice” la orice starelimită este în general mult mai maredecât dimensiunile eșantionului depământ sau decât a zonei cercetateprin încercări in situ. În consecință,valoarea parametrului dominant esteadesea identică cu media valorilor peo suprafață sau un volum de pământ.Se recomandă considerarea valoriicaracteristice ca o estimare prudentăa valorii medii (notat cu A). În cazulîn care comportamentul structuriigeotehnice este definit printr-o starelimită ultimă printr-o valoare minimăsau maximă a caracteristiciipământului se recomandăconsiderarea valorii caracteristice ca oestimare prudentă a valorii posibileminime sau maxime a zonei cedetermină comportamentul (notat cuB).

Standardul include doar „În cazul aplicării metodelorstatistice, se recomandă obținerea valorii caracteristiceastfel încât probabilitatea calculată a valorii nefavorabile cedefinește starea limită ultimă să nu fie mai mare de 5% (A).Astfel, „o estimare prudentă a valorii medii înseamnă cămedia unui set limitat de parametrii geotehnici esteselectată cu un grad de încredere de 95%” (B).

SSIG 2018

Aplicația 2

Stabilirea valorilor caracteristiceDefinirea valorilor parametrului statistic 𝑘𝑛 pentruun grad de încredere pentru un grad de încrederede 95% în combinațiile cazurilor precedente:A-I (valoare medie, parametru statistic„cunoscut”)

𝑘𝑛 = 𝑡∞95%

1

𝑛

A-II (valoare medie, parametru statistic„necunoscut”)

𝑘𝑛 = 𝑡𝑛−195% 1

𝑛

B-I (valoare extremă, parametru statistic„cunoscut”)

𝑘𝑛 = 𝑡∞95% 1 +

1

𝑛

B-II (valoare extremă, parametru statistic„necunoscut”)

𝑘𝑛 = 𝑡𝑛−195% 1 +

1

𝑛

În general, un parametru statistic esteconsiderat „cunoscut” dacă se cunoaștecoeficientul de variație sau limita superioarăa acestuia, din date preexistente (Aceastădefiniție implică că se cunoaște și tipul dedistribuție al parametrului).În loc să se aplice regulile aferente proceduriicoeficientului de variație „necunoscut” serecomandă utilizarea în practică a proceduriicoeficientului de variație „cunoscut”, în timpce coeficientul de siguranță este consideratcu o siguranță mai mare.Valorile t ale distribuției Student pentrunivele de încredere de 90, 95 și 99% pot ficonsiderate conform diagramelor din Figura2. Pentru un grad de libertate infinit,valoarea lui t la un grad de încredere de 95%este

𝑡∞95% ≈ 1,645SSIG 2018

Aplicația 2

Stabilirea valorilor caracteristiceFigura 3 conține valorile lui 𝑘𝑛. Cele douăcurbe inferioare pot fi utilizate pentruvaloarea medie (probabilitate 50%) iarcele două curbe superioare pentru valoriextreme (probabilitate 5%). În ambelecazuri, apar două curbe. Una pentruseturi de date statistic „cunoscute” și unapentru seturi de date statistic„necunoscute”.Ca rezultat al investigațiilor comparative,Schneider a sugerat considerare valoriicaracteristice (cu referire la estimareainferioară a valorii medii, indicat cu A)aproximativ la valoarea care esteinferioară valorii medii cu jumătate dincoeficientul de variație:

𝑋𝑘 = 𝑋𝑚(1 − 0,5 ∙ 𝑉𝑥)Principalul avantaj al acestei abordărieste că poate fi folosită atunci când nueste disponibilă nici o valoare). Aceastăabordare este acceptată și utilizată înElveția din 1990 și în alte țări din Europadin 1997.SSIG 2018

Aplicația 2

Stabilirea valorilor caracteristiceÎn practica geotehnică, în anumite cazuri nu existăsuficiente date pentru determinarea abateriistandard. În astfel de cazuri, considerarea serecomandă utilizarea valorilor indicate în Tabelul 1pentru obținerea valorilor caracteristice.Valoarea caracteristică a parametrilor pământuluieste baza calculului geotehnic, în special înprobleme speciale cum ar fi, spre exemplu, analizelede stabilitate a versanților.

Parametrul NotațiaDomeniul caracteristic al coeficientul de variație

Valoarea recomandată pentrucoeficientul de variație

Unghiul de frecare

interioară efectiv𝑡𝑎𝑛𝜙′ 0,04 – 0,30 0,10

Coeziunea efectivă 𝑐′ 0,30 – 0,60 0,40

Coeziunea nedrenată 𝑐𝑢 0,20 – 0,40 0,30

Modulul de deformație

edometrică𝐸𝑜𝑒𝑑 0,20 – 0,70 0,40

Greutatea volumică 𝛾 0,01 – 0,10 0,05*SSIG 2018

Aplicația 2

b) Valorile caracteristice în cazul distribuțieilognormale a parametrilorDacă distribuția parametrului (𝑋) este de formălognormală, valorile caracteristice (𝑋𝑘) se obțincu relația

𝑋𝑘 = 𝑒[𝑌𝑚−𝑘𝑛∙𝑆𝑦]

unde 𝑌𝑚 este media valorilor ln 𝑋𝑖

𝑌𝑚 =1

𝑛ln(𝑋𝑖)

𝑆𝑦 - abaterea standard a distribuției lognormale

- Dacă 𝑉𝑥 este cunoscut din date preexistente

𝑆𝑦 = 𝑙𝑛(𝑉𝑥2 + 1) ≈ 𝑉𝑥

- Dacă 𝑉𝑥 nu este cunoscut din datepreexistente

𝑆𝑦 =1

𝑛 − 1 𝑙𝑛𝑋𝑖 − 𝑌𝑚

2

Dacă 𝑉𝑥 este statistic cunoscut, media 𝑌𝑚 aparametrului cu distribuție lognormală poate ficalculată cu ajutorul mediei 𝑋𝑚 și a abateriistandard 𝑆𝑦

𝑌𝑚 = ln 𝑋𝑚 − 0,5 ∙ 𝑠𝑦2

Stabilirea valorilor caracteristiceDefinirea valorii așteptate și a coeficientului devariațieAșa cum s-a arătat, pentru obținerea valoriicaracteristice sunt necesari doar doi parametri(valoarea așteptată și coeficientul de variație).Schneider face distincția între trei cazuri,furnizând baza pentru estimarea sau calcululvalorilor 𝑋𝑚 și 𝑉𝑥- nu sunt disponibile rezultate ale încercărilor,

doar cunoștințe preexistente aleparametrului

- este disponibilă o cantitate mare de rezultateale încercărilor

- combinația între cele două cazuri: pe lângărezultatele încercărilor există de asemenea șicunoștințe preexistente; modulul decompresiune definit prin încercarea decompresiune poate fi combinată cu rezultateobținute prin CPT, DP sau DMT.SSIG 2018

Aplicația 2

Stabilirea valorilor caracteristicea) nu există rezultate ale încercărilor (𝑛 = 0):

𝑋𝑚 =𝑋𝑚𝑖𝑛 + 4𝑋𝑚𝑜𝑑𝑒 + 𝑋𝑚𝑎𝑥

6

𝑉𝑥 =6(𝑋𝑚𝑎𝑥 − 𝑋𝑚𝑖𝑛)

𝑋𝑚𝑖𝑛 + 4𝑋𝑚𝑜𝑑𝑒 + 𝑋𝑚𝑎𝑥

unde 𝑋𝑚𝑖𝑛 este valoarea minimă estimată, 𝑋𝑚𝑜𝑑𝑒

valoarea cu cea mai mare probabilitate și 𝑋𝑚𝑎𝑥

este valoarea maximă estimată.Estimarea valorilor (𝑋𝑚𝑖𝑛 , 𝑋𝑚𝑜𝑑𝑒 și 𝑋𝑚𝑎𝑥 ) pebazează pe experiența și judecata personală,experiență locală sau regională documentatăprecum și tabele publicate cu valori uzuale.Toate acestea înseamnă că 𝑋𝑚𝑖𝑛 și 𝑋𝑚𝑎𝑥 se potabate de la valoarea așteptată cu de trei oriabaterea standard.Ca o posibilitate alternativă, se poate considera oabatere a valorilor 𝑋𝑚𝑖𝑛 și 𝑋𝑚𝑎𝑥 cu de trei oriabaterea standard (Bond and Harris, 2008)

𝑉𝑥 =1,5 ∙ (𝑋𝑚𝑎𝑥 − 𝑋𝑚𝑖𝑛)

𝑋𝑚𝑖𝑛 + 4𝑋𝑚𝑜𝑑𝑒 + 𝑋𝑚𝑎𝑥

b) Sunt disponibile doar rezultate aleîncercărilorÎn acest caz, atât valoarea așteptată cât șicoeficientul de variație se pot calcula

c) combinația: atât rezultate ale încercărilor câtși informații preexistentePe baza teoriei Bayes și conform celor sugeratede Tang, rezultatele diponibile ale încercărilor șiinformațiile preexistente pot fi combinate înmaniera de mai jos. Rezultatele obținute suntmai sigure decât cele obținute în cazul a) sau b).Valorile a priori estimate în cazul a) sunt 𝑋𝑚1,𝑉𝑥1 și 𝑆𝑥1 = 𝑋𝑚1 ∙ 𝑉𝑥1.Rezultatele obținute din încercări sunt: 𝑋𝑚2, 𝑆𝑥2și 𝑉𝑥2

𝑋𝑚2 =σ𝑋𝑖𝑛

𝑆𝑥2 =σ 𝑋𝑖 − 𝑋𝑚2

2

𝑛 − 1

𝑉𝑥2 =𝑆𝑥2𝑋𝑚2

Rezultatele combinate sunt:

𝑋𝑚3 =𝑋𝑚2 +

𝑋𝑚1𝑛

𝑆𝑥2𝑆𝑥1

2

1 +1𝑛

𝑆𝑥2𝑆𝑥1

2SSIG 2018

Aplicația 2

Stabilirea valorilor caracteristice

𝑆𝑥3 =𝑆𝑥22

𝑛 +𝑆𝑥2𝑆𝑥1

2

𝑉𝑥3 =𝑆𝑥3𝑋𝑚3

În același timp, trebuie subliniat că principalacondiție este că trebuie procesate statistic doarrezultatele corespunzătoare pentru a obține unrezultat final corespunzător: atât rezultateleeronate cât și datele a priori nefiabile sau celedefinite în condiții nelipsite de ambiguitatetrebuie neglijate (Rethati, 1988). Eliminareaacestora în anumite cazuri devine o problemăinginerească mai complicată decât procesareastatistică sau dimensionarea structurii (remarcacu multă atenție din standard la acest lucru sereferă).

Parametri care variază cu adâncimeaÎn unele cazuri, parametrii pământului (𝑋) suntcorelați cu adâncimea ( 𝑧 ) (e.g. modulul decompresiune crește în anumite cazuri liniar cucreșterea adâncimii). Astfel de corelații pot fiinvestigate prin intermediul statisticiimultivariate și calculate cu ajutorul relațiilor demai jos.La adâncimea 𝑧𝑖 valoarea parametruluipământului este 𝑋𝑖 și numărul de date este 𝑛.Valoarea caracteristică a parametrului 𝑋 carevariază liniar cu adâncimea (𝑧) este

𝑋𝑘 = 𝑋𝑚 + 𝑏(𝑧 − 𝑚𝑧) ± 𝜀𝑛unde 𝑋𝑚 este valoarea așteptată, 𝑚𝑧 este mediaadâncimilor 𝑧 și 𝜀𝑛 este numită eroareastandard.Parametrul 𝑏 se calculează cu

𝑏 =σ𝑖=1𝑛 𝑋𝑖 − 𝑋𝑚 𝑧𝑖 −𝑚𝑧

σ𝑖=1𝑛 𝑧𝑖 −𝑚𝑧

2

Pentru fractilii de 5% (pentru estimarea valoriiextreme) eroarea 𝜀𝑛 este dată de relațiaSSIG 2018

Aplicația 2

Stabilirea valorilor caracteristice

𝜀𝑛 = 𝑡𝑛−295% ∙ 𝑆𝑒 ∙ 1 +

1

𝑛+

𝑧 − 𝑚𝑧2

σ𝑖=1𝑛 𝑧𝑖 −𝑚𝑧

2

și pentru fractilii de 50% (pentru estimareavalorii medii)

𝜀𝑛 = 𝑡𝑛−295% ∙ 𝑆𝑒 ∙

1

𝑛+

𝑧 − 𝑚𝑧2

σ𝑖=1𝑛 𝑧𝑖 −𝑚𝑧

2

Valoarea erorii standard este calculată curelația:

𝑠𝑒 =σ𝑖=1𝑛 𝑋𝑖 − 𝑋𝑚 − 𝑏 𝑧𝑖 −𝑚𝑧

2

𝑛 − 2

și 𝑡𝑛−295% este valoarea t a repartiției Student

pentru un grad de libertate (n-2) la un nivel deîncredere de 50%.

SSIG 2018

Aplicația 2

EXEMPLUL 2.2 – Stabilirea valorilor caracteristiceÎn urma investigațiilorgeotehnice pe unamplasament s-au obținut 10valori pentru greutateavolumică a pământului înstare naturală 𝛾 [𝑘𝑁/𝑚3]:

19,6; 19,9; 20,1; 19,8; 20,2; 20,3; 18,8; 19,7; 18,9; 19,3.

Să se determine valorilecaracteristice superioare șiinferioare ale greutățiivolumice conform NP122:2010

i Xi

1 19,6

2 19,9

3 20,1

4 19,8

5 20,2

6 20,3

7 18,8

8 19,7

9 18,9

10 19,3

REZOLVARE(1) Întocmirea tabelului cu valorilevariabilei aleatoare 𝑋𝑖 (i.e. greutateavolumică a pământului)(2) Calculul valorii medii

𝑋𝑚 =σ𝑋𝑖𝑛

= 19,66

în Microsoft Excel se folosește funcțiaAVERAGE(𝑿𝒊)(3) Calculul abaterii standard

𝑠𝑋 =σ 𝑋𝑖 − 𝑋𝑚

2

𝑛= 0,519

în Microsoft Excel se folosește funcțiaSTDEV.S(𝑿𝒊)(3) Calculul coeficientului de variație

𝑉𝑋 =𝑠𝑋𝑋𝑚

= 0,026SSIG 2018

Aplicația 2

EXEMPLUL 2.2 – Stabilirea valorilor caracteristiceREZOLVARE (continuare)(4) Calculul coeficientului statistic (𝑘𝑛) în funcție de numărulde valori selectate, de gradul de asigurare și tipul dedistribuție considerat.Există două cazuri:a) Când nu se cunoaște coeficientul de variație alparametrului. În această situație se consideră funcția derepartiție Student.- valoarea lui 𝑘𝑛 se alege din tabelul alăturat pentru

coeficient de variație necunoscutsau- se folosește funcția T.INV(p, n-1) din Microsoft Excel

𝑘𝑛 =T. INV p, n − 1

SQRT n=T. INV 0,95, 9

SQRT 10= 0,58

b) Când se cunoaște coeficientul de variație al parametrului.În această situație se consideră funcția de repartiție Gauss-Laplace- valoarea lui 𝑘𝑛 se alege din tabelul alăturat pentru

coeficient de variație cunoscutsau- se folosește funcția NORM.S.INV(p) din Microsoft Excel

𝑘𝑛 =NORM. S. INV p

SQRT n=NORM. S. INV 0,95

SQRT 10= 0,52

Numărul de

valori n

Valori kn pentru:

Vx necunoscut Vx cunoscut

3 1,69 0,95

4 1,18 0,82

5 0,95 0,74

6 0,82 0,67

8 0,67 0,58

10 0,58 0,52

20 0,39 0,37

≥ 30 0,31 0,30

Valorile coeficientului statistic 𝑘𝑛pentru un nivel de asigurare de 95%

pentru stabilirea valorilor caracteristice(NP 122:2010)

𝑝 = 0,95 - nivelul de asigurare𝑛 - numărul de probeSSIG 2018

Aplicația 2

EXEMPLUL 2.2 – Stabilirea valorilor caracteristiceREZOLVARE (continuare)(5) Calculul valorilor caracteristice în cele două cazuri cu relația

𝑋𝑘 = 𝑋𝑚(1 − 𝑘𝑛 ∙ 𝑉𝑥)a) Când coeficientulul de variație este necunoscut

𝑋k inf = 𝛾𝑘 𝑖𝑛𝑓 = 19,66 ∙ 1 − 0,58 ∙ 0,026 = 19,36 kN/m3

𝑋k 𝑠𝑢𝑝 = 𝛾𝑘 𝑠𝑢𝑝 = 19,66 ∙ 1 + 0,58 ∙ 0,026 = 19,96 kN/m3

b) Când coeficientul de variație este cunoscut. Se consideră valoarea 𝑉𝑥 𝑐𝑢𝑛𝑜𝑠𝑐𝑢𝑡 = 0,020𝑋k inf = 𝛾𝑘 𝑖𝑛𝑓 = 19,66 ∙ 1 − 0,52 ∙ 0,020 = 19,46 kN/m3

𝑋k 𝑠𝑢𝑝 = 𝛾𝑘 𝑠𝑢𝑝 = 19,66 ∙ 1 + 0,52 ∙ 0,020 = 19,86 kN/m3

SSIG 2018