CENTRU DE EXCELENTA prof. Kornett Gizela CLASA A VII – A, Algebra Col. Nat. C.D.Loga

PARTEA INTREAGA SI PARTEA FRACTIONARA A UNUI NUMAR RATIONAL

Axioma lui Arhimede : Pentru orice numar rational x, exista un numar intreg k, unic, astfel incat k ≤ x < k + 1.

Partea intreaga a unui numar rational. Se numeste partea intreaga a numarului rational x, numarul intreg k, cu proprietatea : k ≤ x < k + 1. Notam : k = [x] = partea intreaga a lui x. Deci : [x] ≤ x < [x] + 1.

Partea fractionara a unui numar rational. Se numeste partea fractionara a numarului rational x, numarul rational x – [x].Notam : {x} = x – [x] = partea fractionara a lui x. Deci : x = [x] + {x}.

Proprietati : 1. x – 1 < [x] ≤ x , ∀ x ∈ Q.2. [x] ∈ Z.3. 0 ≤ {x} < 14. [x + n] = [x] + n , ∀ x ∈ Q, ∀ n ∈ Z.5. {x + n} = {x} , ∀ x ∈ Q, ∀ n ∈ Z.

6. [x] + [x +

1n ] + [x +

2n ] + … +[ x +

n-1n ] = [nx] , ∀ x ∈ Q, ∀ n ∈ N.

(Identitatea lui Hermite).Exemple :

[3,2] = 3 ; [-2] = -2 ; [

12 ] = 0 ; [-4,3] = -5

{2} = 0 ; {-5} = 0 ; {3,2} = 0,2 ; {-3,2} =0,8 ; {4,3} =0,3 ; {-4,3} = 0,7.

Exercitii :

1. Sa se calculeze partea intreaga si partea fractionara a numerelor :

7,3 ; -1,56 ; 2,(8) ; -3

12 ; -

42516 ; -

258612 ;

200514 ; 3,(6) ; 1,72(32) ; -3,(12) ; (-1,3)2 ;

(-3,4)3 ; (-1,1)4.2. Fie numarul

a= 11⋅2

+ 12⋅3

+ 13⋅4

+. . .+ 1n⋅(n+1 ) , n ≥ 1.

Sa se determine n∈ N* astfel incat {a} = 0,999.3. Se considera expresia

E(x) = [2x] - [x] – [x +

12 ]

a. Sa se arate ca pentru orice x , 0 ≤ x <

12 , avem E(x) = 0.

b. Sa se arate ca E(x +

12 ) = E(x).

CENTRU DE EXCELENTA prof. Kornett Gizela CLASA A VII – A, Algebra Col. Nat. C.D.Loga

4. Sa se rezolve ecuatiile :a. [x] = 0b. [x] = 1c. [x] = -1d. [x -1] = 2e. [2x -1] = 3

f. [3x + 4] =

15

g.[7x−6

6 ]=x+ 12

h.[ x−2

3 ]= x+24

i.[ x+1

3 ]= x−12 ;

[ x+2 n+1n+3 ]= x+2n−1

n+2 , n ∈ N, fixat.

j.[ x−2

3 ]=x+ 23 ;

[ x−nn+1 ]=x+ n

n+1 , n ∈ N* \ {1}, fixat.

5. Folosind identitatea lui Hermite rezolvati ecuatiile :

a.[ 3 x−1

4 ]+[ 3 x+14 ]=0 [ 3 x−1

4 ]+[ 3 x+14 ]=2005

, cercetati numarul radacinilor intregi .

b.

c.[ 3 x−1

4 ]+[ 3 x+14 ]=1

d.[ 3 x−1

4 ]+[ 3 x+14 ]=2003

e.[ 3 x−1

4 ]+[ 3 x+14 ]=n , n∈Z

, cercetati numarul radacinilor intregi .

Material alcatuit de Prof. Kornett Gizela

CENTRU DE EXCELENTA prof. Kornett Gizela CLASA A VII – A, Algebra Col. Nat. C.D.Loga

Col. Nat. C.D. Loga