paradoxul gemenilor einstein
TRANSCRIPT
Paradoxul gemenilor EinsteinÎn fizică, paradoxul gemenilor este un experiment imaginar din teoria relativității
restrânse, în care o persoană care călătorește în spațiu cu o navă de mare viteză se întoarce
acasă și își găsește fratele geamăn identic rămas pe Pământ mai bătrân decât el. Acest rezultat
pare neașteptat, deoarece situația pare simetrică, întrucât fratele rămas pe Pământ poate fi
considerat ca fiind și el în mișcare în raport cu celălalt. De aceea se numește "paradox".
Contradicția aparentă este explicată în cadrul teoriei relativității.
În celebra sa lucrare despre relativitatea restrânsă din 1905, Albert Einstein a prezis că
dacă două ceasuri sunt puse împreună și sincronizate, și apoi unul este îndepărtat și apoi adus
înapoi, atunci ceasul care a călătorit va rămâne în urma celui care a stat pe loc. Einstein
considera aceasta ca o consecință naturală a relativității restrânse, nu un paradox cum se
sugera, iar în 1911, a reenunțat acest rezultat sub forma:
Dacă punem o ființă vie într-o cutie... poate aranja ca ființa, după un zbor de durată
arbitrară să poată fi adusă în locul original într-o condiție puțin modificată, în vreme ce
organismele corespunzătoare rămase în pozițiile lor originale vor fi dat naștere de mult timp la
noi generații. Pentru ființa în mișcare, durata călătoriei a fost doar o clipă, dacă mișcarea a
fost făcută cu viteză apropiată de cea a luminii.
În 1911, Paul Langevin a făcut acest concept mai ușor de înțeles cu al său exemplu cu
gemenii, din care unul e astronaut iar celălalt trăiește doar pe Pământ. Astronautul pleacă într-
o călătorie spațială cu o navă care merge cu viteză apropiată de cea a luminii, pe când celălalt
rămâne pe Pământ. Când fratele călător se întoarce acasă, el descoperă că este mai tânăr decât
fratele lui, cu alte cuvinte, dacă frații ar fi avut fiecare un ceas, cel al astronautului ar fi rămas
în urma celui rămas asupra fratelui de pe Pământ, ceea ce înseamnă că pentru astronaut a
trecut mai puțin timp decât pentru celălalt.
Langevin a explicat vitezele diferite de îmbătrânire astfel: “Doar călătorul a suferit
o accelerație care i-a schimbat direcția vitezei”. Conform lui Langevin, accelerația este aici
"absolută", în sensul că ea este cauza asimetriei.
Semnificația “Paradoxului Gemenilor” se bazează pe acest detaliu crucial al asimetriei
dintre frați. Trebuie spus că nici Einstein nici Langevin nu au considerat aceste rezultate ca
fiind literalmente paradoxale: Einstein l-a considerat doar "ciudat" iar Langevin l-a prezentat
ca dovadă a mișcării absolute. Un paradox în utilizarea logică și științifică se referă la
rezultate inerent contradictorii, adică logic imposibile, și ambii au susținut că diferența de
timp ilustrată de această poveste a gemenilor este un fenomen natural și explicabil.
1
Considerăm o navă spațială care se deplasează de pe Pământ până la cel mai apropiat sistem
solar: o distanță ani lumină distanță, cu viteza (86,6% din viteza
luminii, relativ la Pământ). Controlul misiunii, aflat pe Pământ, calculează astfel durata
călătoriei (presupunând că imediat după plecare nava atinge viteza maximă): drumul dus-
întors durează ani după timpul de pe Pământ (toți cei de pe Pământ vor fi
cu 10,28 ani mai în vârstă când se întoarce nava). Trecerea timpului pe navă și îmbătrânirea
călătorilor de-a lungul acestui drum va fi încetinită cu un factor de ,
inversul factorului Lorentz. În acest caz iar călătorii vor fi îmbătrânit doar cu
0,5×10,28 = 5,14 ani la întoarcere.
Membrii echipajului calculează și ei particularitățile călătoriei lor din punctul lor de
vedere. Ei știu că sistemul solar îndepărtat și Pământul se mișcă relativ la nava aflată la
viteza pe parcursul drumului. În sistemul lor în repaus, Pământul și sistemul solar
sunt ani lumină (Contracția Lorentz), atât pe călătoria dus cât și pe cea
de întors. Fiecare jumătate de drum durează , iar drumul dus întors
durează 2×2,57 = 5,14 ani. Calculele lor arată ca ei vor sosi acasă după 5,14 ani. Ultimul
calcul al călătorilor este complet de acord cu calculele celor de pe Pământ, deși călătoria este
resimțită destul de diferit.
Dacă o pereche de gemeni se naște pe Pământ la ora și data plecării navei, iar unul
pleacă în călătorie și celălalt rămâne pe Pământ, ei se vor întâlni după terminarea călătoriei, și
fratele care a plecat are 5,14 ani iar cel rămas acasă are 10,28 de ani. Calculul ilustrează
folosirea fenomenului de contracție a lungimii și a celui de dilatare temporală pentru a descrie
și calcule și predicții ale relativității restrânse.
Abordarea standard tratează paradoxul gemenilor ca o aplicație directă a teoriei
relativității restrânse. Aici, Pământul și nava nu sunt într-o relație simetrică: nava face o
"întoarcere" în care simte forțe inerțiale, pe când Pământul nu face nicio întoarcere. Deoarece
nu există nicio simetrie, nu este paradoxal faptul că un frate geamăn ajunge să fie mai tânăr ca
celălalt. Cu toate acestea, tot este util să se arate că relativitatea restrânsă este consistentă, și
cum se fac calculelele din punctul de vedere al fratelui geamăn care călătorește.
2
Relativitatea restrânsă nu susține că toți observatorii sunt echivalenți, ci doar aceia
din sistemele de referință inerțiale. Dar nava spațială accelerează la întoarcere. În contrast,
fratele geamăn care rămâne acasă rămâne în sistemul inerțial pe toată durata zborului fratelui
său. Asupra lui nu se aplică forțe de accelerare sau frânare.
Într-adevăr, nu sunt doar două, ci trei sisteme de referință inerțiale relevante: cel în
care fratele rămas acasă este în repaus, cel în care fratele din navă este în repaus pe drumul de
dus, și cel în care el este în repaus pe drumul de întoarcere acasă. În timpul accelerației la
întoarcere, fratele care călătorește își schimbă sistemul de referință. În acel moment trebuie
să-și ajusteze vârsta calculată a fratelui rămas acasă.
În relativitatea restrânsă, nu există conceptul de prezent absolut. Prezentul este definit
ca o mulțime de evenimente simultane din punctul de vedere al unui observator dat. Noțiunea
de simultaneitate depinde de sistemul de referință, și astfel trecerea de la un sistem la altul
necesită o ajustare a definiției prezentului. Dacă ne închipuim prezentul ca pe un plan de
simultaneitate (tridimensional) într-un spațiu Minkowski, atunci trecerea de la un sistem la
altul conduce la înclinarea planului.
Diagramă Minkowski pentru paradoxul gemenilor
În diagrama spațiu-timp din dreapta, linia de univers a primului frate geamăn coincide
cu axa verticală (poziția sa este presupusă constantă în spațiu, el deplasându-se doar în timp).
La dus, al doilea frate se deplasează spre dreapta (linia neagră înclinată); la întors, se
deplasează înapoi spre stânga. Liniile albastre arată planele de simultaneitate pentru fratele
care călătorește, în timpul călătoriei dus; liniile roșii, arată planele de simultaneitate pentru
întoarcere. Chiar înainte de a se întoarce, fratele din navă calculează vârsta fratelui rămas
acasă măsurând intervalul de-a lungul axei verticale de la origine până la intersecția cu cea
mai de sus dreaptă albastră. Imediat după întoarcere, dacă recalculează, el va măsura
intervalul de la origine la dreapta roșie cea mai de jos. Într-un fel, în timpul întoarcerii, planul
3
de simultaneitate trece de la albastru la roșu, trecând foarte repede peste un segment larg al
liniei de univers a fratelui rămas acasă. Fratele rămas acasă a îmbătrânit brusc, după calculele
fratelui din navă.
Paradoxul gemenilor ilustrează o trăsătură a modelului spațiu-timp relativist
restrâns, spațiul Minkowski. Liniile de univers ale corpurilor în mișcare inerțială
sunt geodezicele din spațiul-timp minkowskian. În geometria Minkowski liniile de univers ale
corpurilor în mișcare inerțială maximizează timpul propriu scurs între două evenimente.
Asemănarea cu deplasarea Doppler relativistă
Vom vedea acum cum l-ar observa fiecare dintre frați pe celălalt în timpul călătoriei. Cu alte
cuvinte, vom analiza cazul în care fiecare dintre frați are un ceas care îi indică vârsta și ce va
arăta fiecare dintre cele două ceasuri. Soluția acestei probleme de observare se află în efectul
Doppler relativist. Frecvența bătăilor unui ceas pe care cineva îl observă de la o sursă cu
frecvența de repaus este
când sursa se depărtează (reducere a frecvenței; "deplasare spre roșu"). Când sursa se
apropie, frecvența este mai mare ("deplasată spre albastru") și dată de
Astfel se combină efectele dilatării temporale (reducerea frecvenței sursei datorită
mișcării ei, cu factorul ε) și deplasarea Doppler a frecvenței recepționate cu un factor de (1
v/c)−1, care se aplică chiar și pentru ceasuri independente de viteză (surse de lumină). Pentru
cazul din exemplul de mai sus unde , frecvențele minimă și maximă
recepționate sunt de 3,732 și de 0,268 de ori frecvența de repaus.
Adică, ambii frați văd imaginea fratelui lor mișcându-se cu o viteză de doar 0,268 de
ori viteza lor, sau invers, fiecare și-ar măsura propria viteză de îmbătrânire ca fiind de 3,732
ori mai mare ca cea a fratelui său. Cu alte cuvinte, fiecare frate vede că pentru fiecare oră care
trece pentru el, pentru fratele său trec doar puțin mai mult de 16 minute. De observat că 3,732
= 1/0,268, adică sunt numere inverse.
4
Căile luminii pentru imagini schimbate în timpul călătoriei
Stânga: De la Pământ la navă. Dreapta: De la navă la Pământ.
Liniile roșii indică imaginile de frecvență joasă primite
Liniile albastre indică imaginile de frecvență înaltă primite
Diagramele spațiu-timp din stânga arată calea semnalelor luminoase trimise
între Pământ și navă (diagrama 1) și între navă și Pământ (diagrama 2). Aceste semnale poartă
imaginile fiecărui frate, cu ceasul corespunzător, către celălalt frate. Linia verticală neagră
este calea Pământului prin spațiu-timp iar celelalte muchii ale triunghiului arată calea navei
prin spațiu-timp (ca și în diagrama Minkowski de mai sus).
Prima diagramă arată semnalele care transportă imaginea de la Pământ la navă, iar cea
de-a doua arată semnalele trimise de la navă spre Pământ. Din punctul de vedere al
transmițătorului, el transmite acestea la intervale egale (o dată pe oră) conform propriului său
ceas; dar conform fratelui care recepționează aceste semnale, ele nu sunt primite la intervale
de timp egale, conform ceasului acestuia.
După ce nava a atins viteza sa de croazieră de 0,866 c, fiecare frate vede trecând 1
secundă în imaginea recepționată de la celălalt frate la fiecare 3,73 secunde din timpul său.
Adică fiecare vede imaginea ceasului celuilalt mergând mai încet, nu doar cu factorul ε ci și
mai încet, datorită efectului Doppler observațional. Aceasta este arătată în figuri prin liniile
roșii. La un anumit moment, imaginile recepționate de fiecare frate se schimbă astfel încât
acesta vede 3,73 secunde trecănd în imagine pentru fiecare secundă din timpul său. Adică,
semnalele primite au crescut în frecvență datorită deplasării Doppler. Aceste imagini de înaltă
frecvență sunt reprezentate în figură de liniile albastre.
Asimetria în imaginile deplasate Doppler
Asimetria dintre Pământ și nava spațială se manifestă în această diagramă prin faptul
că imaginile mai deplasate spre albastru (mai rapide) sunt primite de navă și cele mai
deplasate spre roșu sunt primite de Pământ (mai lente) sunt recepționate de Pământ. Cu alte
5
cuvinte, nava spațială vede imaginea schimbându-se de la o imagine deplasată spre roșu într-
una deplasată spre albastru la punctul de întoarcere, la 2,57 de ani după plecare;
Pământul vede imaginea navei schimbându-se de la una deplasată spre roșu într-una
deplasată spre albastru după 9,59 ani (aproape de finalul perioadei când nava este absentă).
Mai există însă o altă asimetrie a imaginilor: fratele de pe Pământ îl vede pe cel de pe
navă îmbătrânind în același ritm în imaginile deplasate spre roșu și în cele deplasate spre
albastru; fratele din navă îl vede pe cel de pe Pământ îmbătrânind în ritmuri diferite în
imaginile deplasate spre roșu și în cele deplasate spre albastru.
Calculul duratelor de timp pe baza diagramelor Doppler
Fratele de pe navă vede imaginile de frecvență joasă (deplasate spre roșu) timp de 2,57
ani. De-a lungul acestei perioade, el vede fratele de pe Pământ în imagini cum a îmbătrânit cu
2,57/3,73 = 0,69 ani. Apoi el vede imagini de frecvență înaltă (deplasate spre albastru) de-a
lungul celorlalți 2,57 de ani ai drumului său. În acest timp, el își vede fratele de pe Pământ în
imagini îmbătrânind cu 2,57×3,73 = 9,59 ani. La sfârșitul călătoriei, imaginea fratelui de pe
Pământ a îmbătrânit cu 0,69 + 9,59 = 10,28 ani (deci fratele de pe Pământ este cu 10,28 de ani
mai în vârstă).
Fratele de pe Pământ vede timp de 9,59 ani imagini deplasate spre roșu ale fratelui din
navă, timp în care fratele de pe navă aparent îmbătrânește cu 9,58/3,73 = 2,57 ani. Apoi vede
imagini rapide (deplasate spre albastru) timp de 0,69 ani până când nava sosește înapoi. În
imaginile rapide, fratele de pe navă înbătrânește cu 0,69×3,73 = 2,57 ani. Fratele de pe navă a
îmbătrânit în total în imaginile care ajung pe Pământ cu 2,57+2,57 = 5,14 ani, deci fratele de
pe navă se întoarce mai tânăr (pentru el au trecut 5,14 ani spre deosebire de 10,28 ani pe
Pământ).
Distincția între ce văd frații și ce calculează
Pentru a evita confuzia, trebuie notată distincția dintre ce vede fiecare frate și ce ar
calcula fiecare. Fiecare vede o imagine a fratelui său despre care știe că a plecat la un moment
de timp din trecut și despre care știe că este deplasată Doppler. Niciunul din ei nu consideră
că vârsta fratelui său este cea aparentă din imagine. În plus, el nu confundă viteza cu care
fratele din imagine îmbătrânește cu viteza cu care fratele din realitate îmbătrânea la momentul
transmiterii imaginii.
6
Dacă vrea să calculeze momentul când fratele său avea vârsta pe care o arată în
imagine (adică cât de bătrân era el însuși atunci), trebuie să determine cât de
departe era de fratele său, la momentul emiterii semnalului — cu alte cuvinte,
trebuie să considere simultaneitatea cu un eveniment îndepărtat.
Dacă dorește să calculeze cât de repede îmbătrânea fratele său când a fost
transmisă imaginea, face ajustări după deplasarea Doppler. De exemplu, când
primește imagini de înaltă frecvență (care îl arată pe frate său îmbătrânind rapid),
cu frecvența , nu trage concluzia că fratele
său îmbătrânea atât de rapid la momentul generării imaginii, cum nu ar trage nici
concluzia asupra frecvenței sirenei unei ambulanțe în mișcare. El știe că efectul
Doppler a mărit frecvența imaginii cu un factor de . Deci el
calculează că fratele său îmbătrânea cu o viteză de
când a fost emisă imaginea. Un calcul similar arată că fratele său îmbătrânea cu
aceeași viteză redusă de în toate imaginile de joasă frecvență.
Simultaneitatea în calculul deplasării Doppler
Poate fi dificil de văzut locul unde intervine simultaneitatea în calculul deplasării
Doppler, și într-adevăr calculele sunt adesea preferate deoarece în ele nu trebuie avut grijă de
simultaneitate. După cum se vede mai sus, fratele de pe navă poate converti viteza
recepționată și deplasată Doppler într-o viteză mai scăzută a ceasului celuilalt și pentru
imaginile deplasate spre roșu și pentru cele deplasate spre albastru.
Dacă ignoră simultaneitatea ar putea spune că fratele său îmbătrânește cu viteză
scăzută de-a lungul întregii călătorii și deci că el ar trebui să fie mai tânăr. A ajuns exact de
unde a plecat cu raționamentul, și trebuie să țină cont de schimbarea în noțiunea de
simultaneitate la momentul întoarcerii. Viteza pe care o poate calcula pentru imagine (cu
efectul Doppler corectat) este viteza ceasului fratelui de pe Pământ la momentul transmiterii
imaginii, nu la momentul recepționării acesteia.
De vreme ce recepționează un număr inegal de imagini deplasate spre roșu și de
imagini deplasate spre albastru, ar trebui să își dea seama că emisiile deplasate spre roșu și
cele deplasate spre albastru nu au fost emise de-a lungul unor perioade de timp egale pentru
fratele geamăn de pe Pământ, și deci trebuie să țină cont de simultaneitatea la distanță.
7
Rezolvarea paradoxului în relativitatea generalizată
Problema soluției din relativitatea generalizată este cum percepe fratele călător situația
din timpul accelerării pentru întoarcere. Această problemă este bine descrisă în cadrul soluției
paradoxului gemenilor din 1918 oferită de Einstein. În această soluție s-a observat că din
punctul de vedere al călătorului, calculul fiecărui drum separat este echivalent cu cel din
relativitatea restrânsă, în care ceasul de pe Pământ merge mai încet decât călătorul.
De exemplu, dacă ceasurile de pe Pământ pierd 1 zi la fiecare drum, cantitatea cu care
vor rămâne în urmă ceasurile de pe Pământ doar datorită vitezei va fi de 2 zile. Acum sistemul
accelerat este privit ca fiind staționar, iar descrierea fizică a ceea ce se întâmplă la punctul de
întoarcere trebuie să producă un efect contrar egal cu dublul acelei cantități, și anume avansul
cu 4 zile al ceasurilor de pe Pământ. Atunci ceasul călătorului va ajunge să fie în urmă cu 2
zile față de ceasurile de pe Pământ, după cum stipulează relativitatea restrânsă.
Mecanismul care determină ceasul fratelui rămas acasă să o ia înainte este dilatarea
temporală gravitațională. Când un observator găsește că obiectele în mișcare inerțială sunt
accelerate în raport cu ele însele, acele obiecte sunt într-un câmp gravitațional din punctul de
vedere al relativității. Pentru fratele călător, la punctul de întoarcere, acest câmp gravitațional
umple universul. (Trebuie accentuată ideea că, conform explicației lui Einstein, acest câmp
gravitațional este la fel de "real" ca orice alt câmp, dar în interpretarea modernă el este doar
perceput deoarece este cauzat de accelerarea navei). Într-un câmp gravitațional, ceasurile bat
într-un ritm de unde este potențialul gravitațional. În acest
caz, unde g este accelerația observatorului în deplasare în timpul întoarcerii,
iar heste distanța până la fratele rămas acasă. h este o valoare pozitivă în acest caz, fiindcă
nava este accelerată către fratele rămas acasă, plasându-l astfel pe acesta la un potențial
gravitațional mai mare. Datorită distanței mari dintre frați, ceasul celui de pe Pământ va părea
accelerat sufiecient de mult încât să explice diferența dintre timpii proprii observați de cei doi
frați. Nu este o întâmplare că această accelerare este suficientă pentru a explica deplasarea de
simultaneitate descrisă mai sus.
Deși aceasta este considerată o soluție ce ține de "relativitatea generalizată", de fapt ea
este elaborată pe baza unor date ce rezultă din teoria relativității restrânse pentru observatori
accelerați pe care Einstein a descris-o încă din 1907 (anume principiul de
echivalență și dilatarea temporală gravitațională). Se poate arăta că soluția din relativitatea
generalizată pentru un câmp gravitațional static omogen și soluția din relativitatea restrânsă
pentru accelerație finită produc rezultate identice.
8
Calculul rachetei accelerate
Fie ceasul K asociat cu "fratele rămas pe Pământ". Fie ceasul K' asociat cu nava. La
evenimentul de plecare, ambele ceasuri sunt la 0.
Faza 1: Nava (cu ceasul K') pleacă cu accelerația proprie constantă a pentru un
timp A măsurat de ceasul K până atinge o viteză v.
Faza 2: Nava merge cu viteza constantă v un timp T conform ceasului K.
Faza 3: Nava își declanșează motoarele în direcția opusă lui K pentru un
timp A conform ceasului K până când ajunge în repaus în raport cu K. Accelerația
proprie constantă are valoarea −a, cu alte cuvinte, nava frânează.
Faza 4: Nava își păstrează motoarele active în direcția opusă lui K, pe aceeași perioadă
de timp A conform ceasului K, până K' ajunge la aceeași viteză v în raport cu K, dar
acum în direcția lui K (cu viteza −v).
Faza 5: Nava merge constant către K cu viteza v pe aceeași perioadă T conform
ceasului K.
Faza 6: Nava își îndreaptă motoarele din nou către K, pentru a frâna cu o accelerație
proprie constantă a pe o durată de timp A, tot conform ceasului K, până cele două
ceasuri sunt aduse împreună.
Știind că ceasul K rămâne inerțial (în repaus), timpul propriu total acumulat al
ceasului K' va fi dat de integrala
unde v(t) este viteza ceasului K' ca funcție de t conform cu ceasul K.
Această integrală se poate calcula pe cele 6 faze:
Faza 1
Faza 2
Faza 3
Faza 4
Faza 5
Faza 6
9
unde a este accelerația proprie, simțită de ceasul K' în timpul fazei de accelerare și unde sunt
valabile următoarele afirmații despre v, a și A:
Deci ceasul de pe navă K' va prezenta o durat a timpului scurs de
ce poate fi reprezentată
pe când ceasul staționar K arată un timp trecut de
adică pentru orice valoare posibilă pentru a, A, T și v, mai mari decât citirea de pe ceasul K':
10