optiuni de tip american - facultatea de matematica iasieduard/c5_optiuni americane_slides.pdf ·...

IntroducereOpµiuni de tip call American

Preµul de arbitraj al unui put AmericanOpµiunea perpetu de tip put American

Opµiuni de tip American

Studenµi: Gr jdeanu AndreeaMenghere³ Teodora

Referat

Facultatea de Matematic

Matematici aplicate în limba englez

Universitatea "Alexandru Ioan Cuza" din Ia³i

18 Martie 2020

Gr jdeanu Andreea Menghere³ Teodora Opµiuni de tip American 1 / 41



Cuprins

Introducere

Opµiuni de tip call American

Preµul de arbitraj al unui put American

Opt,iunea perpetu de tip put American




Introducere

Printr-un contract cu opµiune (sau, simplu, opµiune) se înµelege un contractce confer unei persoane (deµinatorului) dreptul, dar nu ³i obligaµia, de atranzacµiona în viitor un anumit activ nanciar, la un preµ convenit, într-untermen denit sau la expirarea acestuia, în schimbul plaµii unei prime. Dac prin acest contract se vinde activul suport, atunci avem o opµiune de tipput, iar daca se cump r activul, avem o opµiune de tip call. Preµulconvenit pentru tranzacµionarea activului se nume³te preµ de exercitare(eng., strike price), iar termenul limit de valabilitate a opµiunii estedenumit scadenµ (sau maturitate).




În funcµie de timpul când se face exercitarea, opµiunile pot : europene(opµiunea este exercitat doar la maturitate), americane (opµiunea poate exercitat oricând între semnarea contractului ³i maturitate), exotice(bermudiene, binare, asiatice, know-out) etc.Cele mai multe opµiuni tranzacµionate la burs sunt cele de tip american,deoarece pot conferi exibilitate celor ce tranzaµioneaz . Acestea suntconsiderate mai complicate, deoarece pentru pret,ul acestor opt, iuni trebuies t, inem cont de multe politici de exercitare diferite.Cel aat în poziµia cumparatorului unui call nu este obligat s cumpere, dardac acesta dore³te, atunci vânzatorul e obligat sa vând , indiferent dac lamomentul exercit rii contractului piaµa este sau nu favorabil lui.Asumarea acestui risc de c tre vânzatorul opµiunii se face în schimbulîncasarii la t = 0 a unei prime, care de altfel este preµul opµiunii.




Astfel, vânzatorul obµine câ³tiguri limitate, dar certe, la nivelul primeiîncasate, în schimbul asum rii unor riscuri nelimitate. În acela³i timp,opµiunea reprezint pentru cump r tor o poliµa de asigurare. Prima pl tit poate s -i aduc câ³tiguri teoretic nelimitate, în cazul unei pieµe favorabilela scadenµa, sau s -l apere într-o piaµ defavorabil .Tranzacµiile cu opµiuni sunt operaµiuni de vânzare/cumparare de riscuri.Cump r torul opµiunii are aversiune faµ de risc (riscofob), iar vânzatoruleste riscol (prefer riscul).Pentru anumite opt, iuni cu funct, ii convexe de rambursare, cum ar opt, iunile call f r pl tirea dividendelor, politica optim de exercitare este laexpirare. În majoritatea celorlalte cazuri, inclusiv opt, iunile de tip put, exist o alt politic de exercitare optim .




Vom lua în considerare pret,ul s, i exercitarea optim a opt, iunilor americaneîn cea mai simpl situaµie nontrivial , modelul Black-Sholes, în cazul încare deµin torul activului suport nu pl tes,te dividende s, i are preµul spot Stcare se comport , sub m sura Q neutr de risc, ca o mis,care Brownian geometric simpl :

St = S0expσWt + (r − σ2/2)t (1)

ecuaµia diferenµial pe care o satisface St este:

dSt = rStdt+ σStdWt

Aici r ≥ 0, rata dobânzii anuale f r risc, este constant , iar Wt este unproces Wiener standard sub m sura Q.




O variabil aleatoare τ : (Ω,F ,P)→ 0, 1, 2, · · · ,∞ se nume³e timp deoprire dac

τ ≤ n = ω ∈ Ω|τ(ω) ≤ n ∈ Fn, ∀n ≤ ∞

Deoarece

τ = n = τ ≤ n \ τ ≤ n− 1 ³i τ ≤ n = ∪k≤nτ = k,

obµinem urm toarea caracterizare echivalent a timpilor de oprire:

τ = n ∈ Fn, ∀n ≤ ∞.

Spunem c un timp de oprire τ este m rginit dac exist o constant Kastfel încât P(τ ≤ K) = 1.




Pentru orice opt, iune american pe activul suport, politicile de exercitareadmise trebuie s e cu timp de oprire ce respect ltrarea natural (Ft)0≤t≤T a procesului Wiener Wt.Dac F (s) este funcµia de plat a unei opt, iuni americane exercitate atuncicând pret,ul act, iunii este s, iar dac T este timpul de maturitate a opt, iunii,atunci valoarea sa Πt

A la momentul t ≤ T este

ΠtA = sup

τ :t≤τ≤TE(F (Sτ )e−r(τ−t)|Ft) (2)




Opµiuni de tip call American

Amintim:? (s−K)+ este funcµia de plat (funcµia utilitate) la maturitate dac opµiunea este exercitat atunci când pret,ul activului suport este s? K este pret,ul de exercitareRet, inem c , pentru orice K x, valoarea funcµiei de plat a opµiunii(s−K)+ este convex în argumentul s.




Într-o piaµ nanciar lipsit de arbitraj, pentru un activ nanciar pentrucare nu se platesc dividende, avem

CtA = Ct

E , ∀t ∈ [0, T ].

Propoziµia (1)

Politica optim de exercitare pentru deµin torul unei opt,iuni call American

este de a ment,ine opt

,iunea pân la maturitate, adic τ = T.

Demonstraµie.

Fie τ ≤ T un timp de oprire. Dac opµiunea american ar exercitat lamomentul τ , funcµia de plat ar (Sτ −K)+ s, i, deci, valoarea opµiunii lamomentul zero exercitat la timpul de oprire τ ar

E(Sτ −K)+e−rτ ≤ E(Sτe−rτ −Ke−rT )+.




Demonstraµie.

Amintim c pret,ul Ste−rtt≥0 este o martingal sub Q. Deoarece funcµiax→ (x− C)+este convex , urm toarea lem presupune c

E(Sτe−rτ −Ke−rT )+ ≤ E(ST e

−rT −Ke−rT )+

Astfel, valoarea opµiunii call la momentul zero, exercitat la momentul τ ,nu ar mai mare decât cea a unui call european cu preµul de exercitare Ks, i timpul de maturitate T . Rezult din (2) c valoarea unui call americaneste egal cu cea a unui call european s, i, prin urmare, valoarea optim estecea de la maturitate.




Lema (1)

Fie Mt0≤t≤T o martingal în raport cu ltrarea (Ft)0≤t≤T , ³i eτ ≤ T un timp de oprire. Atunci pentru orice funcµie convex ϕ,

Eϕ(Mτ ) ≤ Eϕ(MT ). (3)

Inegalitatea lui Jensen pentru media condiµionat Dac f : R→ R este o funcµie convex pentru care f(X) este o variabil aleatoare integrabil , atunci

f(E(X|G)) ≤ E(f(X)|G).




Demonstraµie.

Aceasta este o consecint, simpl a inegalit t, ii lui Jensen.Deoarece Mt este o martingal în raport cu ltrarea (Ft)0≤t≤T , pentruorice timp de oprire τ ≤ T cu σ - algebra Ft asociat de oprire,

E(MT |Fτ ) = Mτ

Prin urmare, din inegalitatea lui Jensen pentru media condit, ionat ,

E(ϕ(MT )) = E(E(ϕ(MT )|Fτ )Jensen≥ Eϕ(E(MT |Fτ )) = Eϕ(Mτ ).




Preµul de arbitraj al unui put American

O opt, iune put cu preµul de exercitare K are funcµia de plat (K − s)+

dac este exercitat atunci când pret,ul de baz al activului cu risc este s.Not m cu PA(t, St) s, i PE(t, St) pret,ul la momentul t ≤ T al unui putamerican ³i, respectiv, a unui put european pe activul suport, ambele cutimpul de maturitate T ³i preµul de exercitare (de lovire) K.Compararea opµiunilor de tip put American ³i European

Propoziµia (2)

Dac rata (f r risc) dobânzii r este pozitiv , atunci pentru ecare t < T

PE(t, St) < PA(t, St) (4)

În consecint, , politica optim de exercitare a opµiunii este s nu se a³teptepâna la maturitate, indiferent de situat, ie.




Pentru funcµia strict cresc toare ³i diferenµiabil s∗(t), opµiunea put artrebui exercitat la primul moment τ ≤ T astfel încât

Sτ ≤ s∗(τ) (5)

Dac (5) nu are loc pân la maturitate T , atunci trebuie s permitem caopt, iunea s expire mai ieftin.

Demonstraµie.

Pentru a demonstra (4), este sucient s lu m în considerare cazul t = 0.Lu m în calcul urm toarea politic de exercitare (nu neap rat politicaoptim ) pentru un put american: exercitarea la minτ, T, unde

τ = mint ≥ 0 : St ≤ K −Ker(t−T ) (6)

În cazul în care τ < T, opµiunea de tip put va exercitat la un momentτ atunci când Sτ ≤ K(1− er(t−T )), a³a funcµia de plat este cel put, inKer(t−T ) .




Demonstraµie.

Dac aceast sum este investit într-un activ f r risc pentru timpulr mas τ ≤ t ≤ T, atunci valoarea sa la momentul T va K.tim c

PEt ≤ K, ∀t ∈ [0, T ].

În cazul în care τ ≥ T, opt, iunea va exercitat la momentul T , atuncifuncµia de plat va exact la fel ca pentru put-ul european.Astfel, în ambele cazuri funcµia de plat la maturitate a put-ului americaneste cel put, in funcµia utilitate de la put-ul european, iar la evenimentulτ < T funcµia de plat a put-ului american este strict mai mare decâtcea din put-ul european.




Opµiuni Bermudiene

O opµiune Bermudian este o opµiune ce va exercitat doar la una dinlimitele din mulµimea discret de momente. Dac mulµimea de momente deexercitare este T, atunci opµiunea se reduce la opµiune de tip european.Pe de alt parte, dac mulµimea de momente de exercitare estek∆ : k = 1, 2, · · · , [T/∆] ∪ T unde ∆ > 0 este mic, atunci opt, iunease reduce la opt, iune american . De acum, vom nota prin β∆ opt, iunea putBermudian cu momentele acceptate de exercitarek∆ : k = 1, 2, · · · , [T/∆] ∪ T, iar prin P (t, St;T,∆) valoarea sa lamomentul t.

Propoziµia (3)

Cum ∆ ↓ 0, valoarea la momentul zero P (0, S0;T,∆) a opµiunii de tip put

Bermudiene β∆ converge la valoarea PA(0, S0) a opt,iunii de tip put

american.




Demonstraµie.

Fie ε > 0 mic. Oricare ar ∆ > 0 sucient de mic, probabilitatea ca pret,ulact, iunilor St s varieze cu mai mult de ε în timpul oric rui interval de timp∆ este mai mic decât ε. De fapt, dac ∆ este sucient de mic atunci

E sup0≤t≤T−∆

maxt≤s≤t+∆

|Ss − St| < 2ε. (7)

Acum lu m în considerare orice politic de exercitare (adic orice timp deoprire) τ pentru put-ul american. Denim τ∆ primul timp de exercitare alβ∆ dup τ . Dac opt, iunea Bermudian β∆ este exercitat la momentul τ∗atunci diferenµa funcµiei de plat cu opt, iunea american exercitat lamomentul τ este cel mult |Sτ∗ − Sτ |. Mai mult, deoarece τ∗ − τ ≤ ∆,aprecierea funcµiei de plat în Sτ la momentul τ∗ este cel mult er∆ . Înconsecint, , diferent,a dintre valorile actualizate preconizate ale funcµiilor deplat din opt, iunile americane s, i cele bermudiene este cel mult 2εer∆, dininegalitatea (7).




Opt, iunile Bermudiene sunt de interes pentru c sunt tranzact, ionate efectiv,dar s, i pentru c pret,urile de arbitraj pot calculate numeric printr-oschem iterativ numit programare dinamic . Ideea este c , dac cinevadecide s nu exercite opt, iunea la primul moment posibil de exercitare,opµiunea se va converti în alt opt, iune bermudian , dar cu un momentposibil de exercitare în minus. De asemenea, pret,ul acestei opt, iuni poate legat de cel al altei opt, iuni Bermudiene cu înc un moment posibil deexercitare mai puµin s, i as,a mai departe , pân la nal, când toate pret,urilesunt corelate cu cea a unei opt, iuni de vânzare cu un singur timp deexercitare permis. Întrucât o astfel de opt, iune este în mod necesar un puteuropean, pret,ul acesteia este dat de formula Black-Sholes.




Fie Pn(S0;T ) pret,ul la momentul zero al unei opt, iuni de tip putBermudiene cu preµul de exercitare K, maturitatea T s, i momentele deexercitare admise T/n, 2T/n, · · · , (n− 1)T/n, T .

Propoziµia (4)

Pn(s;T ) = max(K − s)+, e−rT/nEPn−1(ST/n; (n− 1)T/n)

În cele din urm , comparat, ia dintre opt, iunile americane, europene s, ibermudiene poate folosit pentru a da o alt demonstraµie a Prop. 2.O alt demonstraµie a propoziµiei 2: Pentru a dovedi Propoziµia 2,vom compara valorile unui put American s, i a unui put european cu valoareaunei opt, iuni intermediare numit opt, iune Bermuda. pentru a demonstravom lua în considerare dou opt, iuni de tip put Bermuda, notate cu β0 s, iβ1, ambele cu preµul de exercitare K ³i maturitatea T . Timpii posibili deexercitare pentru β0 sunt 0 s, i T s, i timpii admisibili de exercitare pentru β1

sunt 0, T/2 s, i T .




Not m prin Pi(t, St) valoarea la momentul t a opµiunii βi. Observ m c opt, iunile europene, bermudiene s, i americane furnizeaz deµin torului maimulte posibilit µi, ³i ele pot ordonate asfel:

PE(t) ≤ P0(t) ≤ PA(t). (8)

Lu m în considerare opt, iunea simpl β0 bermudian . La momentul t = 0,proprietarul acestei opt, iuni are de ales: trebuie s exercite opt, iuneaimediat, pentru funcµia de plat (K − S0)+ , sau trebuie s renunt,e laaceast s,ans , caz în care opt, iunea devine o opt, iune de tip put european.Astfel, de fapt, opt, iunea β0 nu este altceva decât o alegere între un puteuropean s, i o plat în numerar de (K − S0)+ .




Desigur, comportamentul rat, ional este de a alege opµiunea cea maivaloroas dintre cele dou . Aceasta depinde de valoarea S0 a activului debaz . Dac S0 ≥ K, atunci, desigur, exercitarea imediat nu ofer niciofunµie de plat , deci este mai bine s alegem o opt, iune de put european.Pe de alt parte, dac S0 este sucient de mic, atunci valoarea PE(0, S0) aopµiunii de tip put european poate mai mic decât (K − S0)+ . Dinparitatea put-call,

PE(0, S0) + S0 = CK(0, S0) +Ke−rT ,

unde CK(t, St) este valoarea unui call la momentul t cu maturitatea T ³ipreµul de exercitare K.(Daca piaµa ar lipsit de arbitraj, atunci ar avea loc paritatea put-call:S0 + P0 − C0 = KerT .)




Astfel, dac S0 ≤ K,

(K − S0)+ − PE(0, S0) = K − S0 − PE(0, S0) = K −Ke−rT − CK(0, S0).

Dac s ↓ 0 =⇒ CK(0, s) ↓ 0.

Astfel, pentru S0 = s sucient de mic, diferent,a dintre funcµia de plat K − s pentru opµiunea cu exercitare imediat s, i valoarea put-ului europeaneste pozitiv . Acest argument poate modicat pentru a oferi o politic optim de exercitare pentru β0 în ceea ce prives,te pret,ul init, ial al stocului:deoarece pret,ul opµiunii de tip call CK(0, s) este continuu, funcµia estedescresc toare în s, atunci trebuie s existe o unic valoare s∗ = s∗(K;T )astfel încât,

CK(0, s∗) = K −Ke−rT .




Pentru aceast valoare s∗,

s > s∗ =⇒ PE(0, s) > (K − s)+ (9)

s < s∗ =⇒ PE(0, s) < (K − s)+.

Astfel, politica optim de exercitare este de a exercita imediat dac s < s∗s, i de a converti opt, iunea într-un put european dac s > s∗.A³adar, dac S0 < s∗ atunci valoarea opt, iunii bermudiene β0 la timpult = 0 este strict mai mare decât cea a opt, iunii de tip put european s, i, prinurmare, din inegalitatea (8), pentru astfel de valori init, iale s valoareaopt, iunii de tip put american este, de asemenea, strict mai mare decât cea aopt, iunii de tip put european.




Consider m acum a doua opt, iune bermudian , opt, iunea β1. Deµin torulacestei opt, iuni la momentul t = 0 are dou opt, iuni: e exercitarea imediat ,e opt, iunea revine la o opt, iune bermudian de tip β0 cu timpi de exercitareposibili T/2 s, i T . Pentru s ≥ s∗, exercitarea imediat este suboptimal ,deoarece nu s-ar alege exercitarea imediat pentru astfel de s chiar dac singura alternativ ar p strat pân la expirarea timpului T . Astfel, uncomportament rat, ional pentru proprietarul unei β1 dac S0 ≥ s∗ va s ment, in opt, iunea cel put, in pân la urm torul timp posibil de exercitareT/2. Acum pentru c procesul de pret, St de baz evolueaz ca o mis,carebrownian geometric ( St = S0expσWt + (r − σ2/2)t), având în vederec orice valoare init, ial S0 = s ≥ s∗ ce are probabilitate pozitiv , avem

ST/2 < s∗(K;T/2). (10)




Dar la acest eveniment, valoarea opt, iunii la momentul T/2 va strict maimare decât valoarea opt, iunii europene. Rezult c valoarea a³teptat actualizat la momentul t = 0 din β1 este strict mai mare decât cea aopt, iunii de tip put european.De vreme ce valoarea opt, iunii americane nu este niciodat mai mic decâtcea a lui β1, acest lucru dovedes,te c opt, iunea de tip put american esteîntotdeauna mai valoros decât opt, iunea de tip put european la momentult = 0, indiferent de valoarea init, ial S0 = s a activului suport.




Opµiunea perpetu de tip put American

Pentru determinarea politicii de exercitare optim pentru opt, iunile put detip american, vom analiza opt, iunea american mai simpl , opt, iunea putperpetu .Opt, iunea put perpetu funct, ioneaz la fel ca s, i opt, iunea de tip putamerican, cu except, ia faptului c nu exist o dat când aceasta expir .Dac la un moment τ proprietarul alege s exercite opt, iunea, plata este(K − Sτ )+, unde Sτ este pret,ul activului suport la momentul exercit rii.




Teorema (1)

Politica optim de utilizare a opt,iunii perpetu de tip put cu preµul de

exercitare K este exercitarea la momentul

τ = inft : St ≤ s∗ (11)

unde

s∗ =sKr

2r + σ2. (12)

Valoarea Pt a opt, iunii perpetu de tip put la momentul t (în cazul în carenu a fost înc exercitat ) depinde numai de pret,ul curent al act, iunii St alactivului suport s, i este dat de

Pt = u(St) = K

K

St

(1− 2r

2r + σ2

)2r/σ2

(13)




Existent,a unei politici optime

Normal este s presupunem c exist cel put, in o politic optim pentruexercitarea opt, iunii perpetu de tip put. Totus, i s ne uit m la o opt, iuneperpetu de alt tip pentru care nu exist o politic de exercitare optim .Opt, iunea, pe care o vom numi o opt, iune ZENO, îi ofer proprietaruluidreptul de a exercita în orice moment t > 0, pentru o plat de (1− 1/t).Presupunem c rata dobânzii f r risc este r = 0. Atunci valoarea opt, iunii(neexercitat ) în orice moment t este 1, deoarece

(a) nu se poate obt, ine niciodat o funcµie de plat mai mare de 1

(b) prin as,teptare, se poate obt, ine o funcµie de plat , în mod arbitrar,aproape de 1.

Este clar c nu exist o politic de exercitare care s genereze o funcµie deplat egal cu 1, s, i deci nu exist o politic optim !




Omogenitate în timp a funct,iei valorice

Cheia analizei opt, iunii perpetu de tip put este omogenitatea timpuluiproblemei, care presupune c funct, ia valoric depinde doar de pret,ulact, iunilor curente. Omogenitatea timpului rezult din natura opt, iunii însine s, i din ipotezele modelului: (i)c rata dobânzii f r risc este constant s, i (ii) c pret,ul act, iunilor evolueaz ca o mis,care brownian geometric . Înparticular, pret,ul act, iunii St este dat de

St = S0Zt = S0expσWt + (r − σ2/2)t (14)

unde Wt este, sub m sura probabilit t, ii neutre a riscului P , o mis,carestandard brownian . Observ m c , deoarece mis,carea brownian arecres,teri stat, ionare s, i independente,

St+t′ = StZt′ (15)

unde procesul Zt′ este independent de σ-algebra tuturor evenimentelorobservabile în timpul t s, i are aceeas, i lege ca procesul Zt′ .




Astfel, evolut, ia viitoare a pret,ului act, iunii, având în vedere valoarea St = sla mometul t, urmeaz aceeas, i lege ca s, i cum ar f cut-o începând cumomentul 0 dac S0 = s.Atunci când discut m problema determin rii politicii de exercitare optim ,vom considera c este necesar s compar m funct, ia valoric pentru diferitevalori init, iale s ale pret,ului act, iunii. Modelul de mis,care brownian geometric faciliteaz astfel de comparat, ii, deoarece din (14) toate valorileinit, iale posibile s ale pret,ului act, iunii pot utilizate cu acelas, i proces deuctuat, ie Zt = expσWt + (r − σ2/2)t.În particular, observ m c politicile de exercitare sunt doar timpi de oprirepentru procesul Zt sau echivalent Wt.




Propoziµia (5)

Fie Pt valoarea opt,iunii perpetu de tip put la momentul t asupra

evenimentului pe care înc nu l-a exercitat. Atunci Pt este o funct,ie care

depinde doar de St:Pt = u(St) (16)

S presupunem c det, inem opt, iunea la momentul t = 0 când pret,ul act, iuniia fost S0 = 17 s, i c acum, la momentul t, o avem în continuare,neexercitat , iar pret,ul act, iunii este din nou St = 17. Deoarece evolut, iaviitoare St+ss≥0 din pret,ul act, iunii respect aceeas, i lege, condit, ionat laevenimentul St = 17, ca procesul Sss≥0, condit, ionat de S0 = 0 s, i pentruc rata r este constant în timp, nu poate exista niciun avantaj s necomport m diferit acum (la momentul t, cu St = 17) fat, de timpul 0,când S0 = 17. Prin urmare, valoarea opt, iunii trebuie s e aceeas, i!




Propriet t,i elementare a funct

,iei valoric u(s)

Propoziµia (6)

Funct,ia valoric u(s) este

(a) strict pozitiv

(b) descresc toare (nu strict) în s

(c) Lipshitz continu în s

(d) m rginit inferior de (K − s)+.




Demonstraµie.

Prezint interes demonstrarea punctului (c).Lu m în considerare dou valori posibile s1, s2 pentru pret,ul de stoc init, ialS0, astfel încât |s2 − s1| < ε, unde ε > 0 este mic. Evolut, ia în timp apret,ului act, iunii pentru cele dou valori init, iale diferite, pentru S0 = si, este

St = siexpσWt + (r − σ2/2)t := siZt

Presupunem c , ind dat S0 = s2, alegem s exercit m opt, iunea perpetu de tip put la exact acela³i moment τ aleator pe care l-am avut dac valoarea init, ial ar fost s1. Atunci modulul diferent,ei pl µilor ar

|(K − s1Zτ )+ − (K − s2Zτ )+| ≤ |s1 − s2|Zτ1Zτ≤maxK/s1,K/s2.

Rezult c |u(s1)− u(s2)| ≤ εmaxK/s1,K/s2.




De fapt, funct, ia u(s) nu este numai Lipshitz continu , ci este diferent, iabil peste tot.Monotonia politicii optime de exercitare

Reamintim c u(s) ≥ (K − s)+ ((d) din propozit, ia 6), întrucât putemoricând s încas m opt, iunea pentru funcµia de plat (K − s)+. Dac u(s) > (K − s)+, atunci exercitarea imediat este suboptimal , pentru c ne-am schimba opt, iunea, evaluat la u(s), pentru o (K − s)+ cu o valoaremai mic . Astfel, dac exist o politic de exercitare optim , atunci nepermite exercitarea imediat numai atunci când u(s) = (K − s)+.




Pe de alt parte, dac u(s) = (K − s)+, atunci opt, iunea noastr valoreaz exact ceea ce am obt, ine exercitând imediat.Astfel, presupunând c exist o politic optim , avem:

Propoziµia (7)

O politic optim de exercitare pentru opt,iunea perpetu de tip put este s

exercit m la momentul τ , unde

τ = inft : u(St) = (K − St)+. (17)

Deci, acum problema este s determin m când u(s) = (K − s)+.Urm torul rezultat arat c setul de valori posibile ale pret,ului act, iunii,când aceast egalitate se ment, ine, este un interval [0, s∗] de numerele reale.




Propoziµia (8)

Exist s∗ = s∗(K) > 0 astfel încât s∗ ≤ K s,i

u(s) = (K − s)+ dac s,i numai dac s ≤ s∗. (18)

Demonstraµie.

Am observat c u(s) > 0 pentru oricare s > 0, deci u(s) = (K − s)+ esteposibil numai dac s < K. S presupunem c s < s′ ≤ K s, i c u(s) > (K − s); vom ar ta c u(s′) > K − s′. Dac u(s) > (K − s)atunci trebuie s existe o politic de exercitare pentru care funcµia de plat redus a³teptat este strict mai mare decât plata pentru exercitareaimediat ; astfel, exist un timp de oprire τ astfel încât

Ee−rτ (K − sZτ )+1τ<∞ > (K − s).




Demonstraµie.

F r a restrânge generalitatea, o s presupunem c la acest timp de oprireavem sZτ < K, pentru c altfel politica de exercitare ar putea imbun t t, it doar prin as,teptare pân când sZτ < K/2. Atunci o s rescriem ultima inegalitate astfel

Ee−rτ (K − sZτ )1τ<∞ > (K − s) =⇒

s(1− Ee−rτ1τ<∞) > K −KEe−rτ1τ<∞ =⇒

s′(1− Ee−rτ1τ<∞ > K −KEe−rτ1τ<∞ =⇒

Ee−rτ (K − s′Zτ )1τ<∞ > (K − s′).

Dar inegalitatea nal arat c , dac pret,ul init, ial al act, iunii este S0 = s′,politica de exercitare la momentul τ aleator ofer s, i o funcµie de plat preconizat redus , strict mai mare decât funcµia de plat pentruexercitarea imediat , s, i astfel u(s′) > (K − s′)+.




Corolar (1)

O politic optim de exercitare este s exercit m la momentul

τ = inft : St = s∗. (19)

Determinarea lui s∗Acum avem o descriere aproape complet a politicii optime de exercitare:din Corolarul 1, observ m c este optim s se exercite la primul moment detrecere a procesului pret,ului al act, iunilor la nivelul s∗. Doar valoarea lui s∗r mâne de calculat. Dar acest lucru poate abordat ca o problem elementar de maximizare: putem calcula valoarea medie a funcµiei deplat actualizat pentru toate nivelurile posibilele x∗, apoi maximiz mpeste s∗. Not m cu Ps s, i Es probabilitatea la risc-neutru s, i media atuncicând pret,ul init, ial al act, iunii este S0 = s.




Lema (2)

Pentru orice s ≥ s∗,

Esexp−rτ1τ<∞ =(s∗s

)2r/σ2

(20)

Consider m acum funcµia de plat actualizat a opt, iunii perpetu de tipput atunci când este exercitat în conformitate cu (19). Nu exist niciunmotiv s lu m în considerare valorile lui s∗ ≥ K, deoarece dac în (19)înlocuim cu s∗ ≥ K, atunci funcµia de plat ar zero. Deci, luând înconsiderare valorile lui s∗ < K s, i considerând valoarea medie a funcµiei deplat actualizat a opt, iunii perpetu de tip put atunci când valoarea init, ial a pret,ului act, iunii este S0 = s ≥ K.




Din Lemma 2, aceast valoare medie a funcµiei de plat actualizat este

Es(K − Sτ )+e−rτ1τ<∞ = (K − s∗)Ese−rτ1τ<∞

= (K − s∗)(s∗s

)2r/σ2

(21)

s∗ care maximizeaz aceast expresie este

s∗ =2Kr

2r + σ2(22)

Funct, ia valoare poate acum obt, inut prin înlocuirea acestei valori înexpresia (21). Rezultatul este formula (13) dat în enunt,ul Teoremei 1.


optiuni de tip american - facultatea de matematica iasieduard/c5_optiuni americane_slides.pdf ·...

Documents