Modulul 3

SERII NUMERICE

Subiecte : 1. Criterii de convergenţă pentşru serii cu termeni oarecare 2. Serii alternante 3. Criterii de convergenţă pentru serii cu termeni poziţivi Evaluare 1. Criterii de convergenţă pentru serii. 2. De rezolvat problemele finale.

3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI Dacă ( )Un n∈N

este un şir de numere reale, cu ajutorul termenilor acestui

şir se poate construi suma: (1) U U Un1 2+ + + +... ... Deocamdată nu am acordat o semnificaţie acestei sume infinite, ştim doar ce înseamna o suma infinită. Definiţia 1. Se numeşte serie un şir infinit de termeni legaţi între ei prin semnul “ + “.

O serie se mai notează prin U U Unn

nn

nn k=

∞

=

∞

= +

∞∑ ∑ ∑

1 0 1, , , esenţial este că

mulţimea termenilor este infinită. Cu termenii seriei (1) putem construi un nou şir numeric ( )Sn n≥1

definit prin:

(2)

S US U U

S U U US S U

n n

n n n

1 1

2 1 2

1 2

1

== +

= + + += ++

M

K

LLLLLLLLL

Şirul ( )Sn n≥1

se numeşte şirul sumelor parţiale ale seriei (1), Sn se

numeşte suma parţială de ordinul n. Acest şir caracterizează complet seria (1), în

33

sensul că, fiind dat un şir ( )Sn n≥1, considerând u S Sn n n= − −1, n ≥ 2, seria Un

n=

∞∑

1

are ca şir al sumelor parţiale şirul ( )Sn n≥1 dat.

Definiţia 2. Vom spune că seria Unn=

∞∑

1 este convergentă şi are suma S dacă şirul

sumelor parţiale ( )Sn n≥1 este convergent şi are limita S. În acest caz vom scrie:

(3) U Snn=

∞∑ =

1

Dacă şirul ( )Sn n≥1 nu are limita sau limita sa este ± ∞ spunem că seria este

divergentă (nu este convergentă).

Exemplul 1. Fie r un număr oarecare. Seria r n

n=

∞∑

0 se numeşte serie geometrică cu

raţia r. Să presupunem că r ≠ 1. Atunci putem scrie:

(4)

Srr

S rrr

S r rrr r

rrn

nn n

1

2

2

1

111

111

111

11 1

= =−−

= + =−+

= + + + =−−

=−

−−

−

LLLLLLLL

K

LLLLLLLL

Dacă 0 < | r | < 1, limn

nSr→∞

=−1

1, deci r

rn

n=

∞∑ =

−0

11

.

Dacă r >1, r nn→∞⎯ →⎯⎯ ∞ şi cum 1 - r < 0 rezultă lim

nnS

→∞= ∞ .

Dacă r < -1, ( )r nn≥1

este nemărginit şi nu are limită, deci şi ( )Sn n≥1 este

divergent, adică seria geometrică este divergentă.

În cazul când r = 1, S nn n= ⎯ →⎯⎯ ∞→∞, deci r n

n=

∞∑ = ∞

0.

Dacă r = -1, Snn= + − −1 1 1( ) şi deci şirul ( )Sn n≥0

este un şir divergent, ceea ce

înseamnă că seria geometrică este divergentă. În concluzie: dacă 0 < | r | < 1, seria geometrică este convergentă şi are

suma 11− r

. Dacă | r | ≥ 1 seria este divergentă, când r ≥ 1 cum limn

nS→∞

= ∞

spunem că seria are suma + ∞.

34

Observaţia 1. Deoarece studiul seriilor revine la studiul şirurilor sumelor parţiale o serie întreagă de rezultate privind şirurile se pot extinde asupra seriilor numerice. Observaţia 2. În cele de mai sus ne-am referit la serii de numere reale. Aceleaşi consideraţii pot fi făcute când termenii Un sunt elemente ale unui spaţiu în care avem definită o convergenţă şi o operaţie de însumare, deci putem vorbi de serii de numere complexe, Un ∈C , de serii de vectori, Un

k∈R , de serii de elemente ale unui spaţiu Banach (spaţiu liniar normat complet). Observaţia 3. Studiul unei serii comportă: 1) analizarea naturii seriei, adică dacă este convergentă sau nu; 2) calculul sumei seriei în cazul când aceasta este convergentă, acest calcul poate

avea în vedere suma exactă sau aproximativă a seriei. Următoarele proprietăţi sunt utile în studiul seriilor: P1) Dacă schimbăm ordinea unui număr finit de termeni, dacă adăugăm sau

înlăturăm un număr finit de termeni ai unei serii, seria îşi păstrează natura, adică dacă este convergentă rămâne convergentă (evident îşi modifică suma), dacă este divergentă ramâne divergentă.

P2) Să presupunem că seria Unn=

∞∑

1 este convergentă şi are suma S, atunci seria

Ukk n= +

∞∑

1 este de asemenea convergentă, suma acestei serii se noteaza R n şi se

numeşte restul de ordin n al seriei date. Dacă în relaţia: (5) S S Rn n= + facem pe n să tindă la ∞ rezultă lim

nnR

→∞= 0, adică este verificată

proprietatea: Resturile unei serii convergente formează un şir convergent la 0.

P3) Dacă seria Unn=

∞∑

1 este convergentă, atunci şirul sumelor parţiale este

mărginit. Într-adevar, ( )Sn n≥1

este convergent, deci este mărginit. În general, afirmaţia

reciprocă nu este adevarată, după cum rezultă din:

Exemplul 2. Seria ( )−=

∞∑ 1

0

n

n are ca şir al sumelor parţiale şirul: Sn = 1 dacă n

este par şi Sn = 0 dacă n este impar, care este un şir mărginit, dar care nu este convergent.

35

P4) Dacă seria Unn=

∞∑

1 este cu termeni pozitivi ( Un ≥ 0 pentru orice n ≥ 1) şi are

şirul sumelor parţiale mărginit, atunci seria este convergentă. Într-adevar, şirul sumelor parţiale ( )Sn n≥1

fiind crescător şi mărginit este

convergent.

P5) Dacă seria Unn=

∞∑

1 este convergentă, atunci şirul ( )Un n∈N

al termenilor săi

este convergent către 0. Într-adevar, ( )lim lim

nn

nn nU S S S S

→∞ →∞−= − = − =1 0 .

P6) Dacă şirul termenilor seriei nu este convergent către 0 seria este divergentă. Afirmaţia (P6) rezultă din (P5). Reciproca ei, în general, nu este adevarată, după cum rezultă din:

Exemplul 3. Să considerăm seria 1

1 nn=

∞∑ , numită seria armonică. şirul având

termenul general Unn =1 converge la 0, totuşi vom arăta că seria este

divergentă. Într-adevar: 1

112

13

14

15

16

17

18

1

2 11

2 1 1

1

212

214

418

2 1 1

2

1 n

n n n

nn

n=

∞

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

∑ = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + + + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ +

+ − + − ++ + + >

> + ⋅ + ⋅ + + − ⋅ +

K

K K

K K

Deci, 1 121 1nn n=

∞

=

∞∑ ∑> .

Pentru seria 1

1 nn=

∞∑ şirul sumelor parţiale ( )Sn n≥1

are termenul general

Sn

n =2

, care converge la ∞, de unde rezultă că 1

1 nn=

∞∑ = ∞ .

P7) Fie seriile Unn=

∞∑

1, Vn

n=

∞∑

1 convergente şi având sumele S şi S’. Prin suma

acestor serii Unn=

∞∑

1+ Vn

n=

∞∑

1 se înţelege seria Wn

n=

∞∑

1, unde W U Vn n n= + ; prin

produsul seriei Unn=

∞∑

1 cu un numar real α se înţelege seria: αUn

n=

∞∑

1; prin

produsul formal al seriilor Unn=

∞∑

1 şi Vn

n=

∞∑

1 se înţelege seria Zn

n=

∞∑

1, unde

36

Z U Vn k n kk

n= −

=∑

1. În aceste condiţii, seria Wn

n=

∞∑

1 este convergentă şi are

suma S + S’, seria αUnn=

∞∑

1 este convergentă şi are suma α S, iar dacă cel

puţin una din seriile date este absolut convergentă (seria modulelor termenilor

este convergentă) atunci seria Znn=

∞∑

1 este convergentă şi are suma egala cu

S ⋅ S’. 3.2. CRITERII DE CONVERGENŢĂ PENTRU SERII

CU TERMENI OARECARE Teorema 1. (Criteriul general al lui Cauchy) O serie Un

n=

∞∑

1 este convergentă

dacă şi numai dacă pentru orice ε > 0 există N(ε) ∈ N astfel încât pentru orice n ≥ N(ε) şi p ≥ 1: (1) U U Un n n p+ + ++ + + <1 2 K ε .

Demonstraţie: Fie { }Sn n≥1 şirul sumelor parţiale ale seriei date. Din criteriul lui

Cauchy pentru şiruri numerice rezultă că şirul sumelor parţiale { }Sn n≥1 este

convergent dacă şi numai dacă el este un şir fundamental, ceea ce înseamna că pentru orice ε ≥ 0, există N(ε) ∈ N, astfel încât pentru orice n ≥ N (ε) şi p ≥ 1 sa avem: (2) S Sn p n+ − < ε .

Dar inegalitatea (2) este aceeaşi cu (1) şi demonstraţia este completă. Observaţia 1. Criteriul lui Cauchy are o mare importanţă teoretică în studiul seriilor. Pe baza lui se demonstrează alte criterii care oferă condiţii suficiente de convergenţă. Observaţia 2. Înlocuind modulul | ⋅ | cu norma corespunzătoare || ⋅ ||, criteriul lui Cauchy ramâne valabil în cadrul mai general al seriilor de elemente dintr-un spaţiu Banach (spaţiu normat complet).

Teorema 2. (Criteriul lui Abel) Dacă Unn=

∞∑

1 este o serie care are şirul sumelor

parţiale mărginit şi dacă ( )αn n∈N este un şir descrescător de numere pozitive

convergent către 0, atunci seria:

37

(3) α α α αn nn

n nU U U U=

∞∑ = + + + +

11 1 2 2 K K

este convergentă. Demonstraţie: În condiţiile date are loc: (4) α α α αp p p p p p pU S S− = − > = −+ + + +1 1 1 10, , oricare ar fi p ≥ 1 şi

( )Sp p≥1 şirul sumelor parţiale ale seriei date. Vom arăta că seria dată satisface

criteriul lui Cauchy.

( ) ( )

( ) ( )

α α α α

α α

α α

n n n n n p n p n p n p

n n n n n n

n p n p n p n p n p n p

U U U U

S S S S

S S S S

+ + + + + − + − + +

+ + + + +

+ − + − + − + + + −

+ + + + =

= − + − + +

+ − + − =

1 1 2 2 1 1

1 1 2 2 1

1 1 2 1

K

K

( ) ( )

( ) ( )

( )

= − + − + + − +

+ ≤

≤ + − + + − +

+ ≤

≤ + − + + − + =

+ + + + + − + − +

+ +

+ + + + + − + + −

+ +

+ + + + − + + +

α α α α α

α

α α α α α

α

α α α α α α α

n n n n n n p n p n p

n p n p

p n n n n n p n p n p

n p n p

n n n n p n p n p n

S S S

S

S S S

S

M M

1 1 1 2 1 1

1 1 2 1 1 1

1 1 2 1 12

K

K

K

unde M este o constantă pozitivă care mărgineşte şirul modulelor sumelor parţiale ( )Sn n≥1

. Cum şirul ( )αn n≥1 este descrescător la 0 rezultă că pentru orice ε > 0

există N(ε) ∈ N astfel încât pentru orice ( )n NMn≥ <+ε αε

1 2, de unde rezultă că:

α α α εn n n n n p n pU U U+ + + + + ++ + + <1 1 2 2 ...

pentru orice n ≥ N(ε) şi p ≥ 1, ceea ce arată, conform criteriului lui Cauchy, că seria dată este convergentă. Exemplul 1. Utilizând criteriul lui Cauchy să se studieze convergenţa seriilor :

a) cosnan

n 31=

∞∑ ; b) 1

21 nn=

∞∑ .

38

Exemplul 2. Uţilizând criteriul lui Abel să se studieze convergenţa seriei

( )− −

=

∞∑ 1

11

1

n

n n.

Definiţi ce este o serie convergentă, respecţiv o serie divergentă. Daţi exemple de serii convergente, respectiv de serii divergente. Enumeraţi proprietăţile generale ale seriilor. Enunţaţi criteriul lui Cauchy, respecţiv al lui Abel, de convergenţă a seriilor cu termeni oarecare. 3.3. SERII SEMICONVERGENTE.

SERII ALTERNANTE Definiţia 1. Vom spune că o serie Un

n=

∞∑

1 este absolut convergentă dacă seria

modulelor Unn=

∞∑

1 este convergentă.

Teorema 1. Orice serie absolut convergentă este convergentă. Demonstraţie: Se aplică criteriul lui Cauchy şi se ţine seama de inegalitatea: (1) U U U U U Un n n p n u n p+ + + + + ++ + + ≤ + + +1 2 1 2K K .

Observaţia 1. Afirmaţia reciprocă celei din Teorema 1, în general, nu este

adevarată, după cum rezultă considerând seria ( )− −

=

∞∑ 1

11

1

n

n n. Aceasta este

convergentă conform criteriului lui Abel, pe când seria modulelor 1

1 nn=

∞∑ am arătat

că nu este convergentă (Exemplul 3 din 3.1.). Definiţia 2. O serie care este convergentă dar nu este absolut convergentă se numeşte semiconvergentă. Seriile semiconvergente au unele proprietăţi deosebite, astfel proprietatea de însumare în orice ordine a termenilor unei sume finite de numere reale nu mai este valabilă. De exemplu, în cazul seriilor armonice alternante, prin permutarea unor

termeni din seria ( )−= − + − + − +

−

=

∞∑ 1

112

13

14

15

16

1

1

n

n nK se obţine seria

39

112

14

13

16

18

12 1

12 2

14

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + − −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ +

−−

−−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+K K

k k k. Aceste două serii au aceeaşi

termeni, dar scrişi în altă ordine. Notând cu S suma seriei ( )− −

=

∞∑ 1

11

1

n

n n avem:

S S= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ = − + − +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

12

14

16

18

110

112

12

112

13

14

12

K K ,

ceea ce este absurd. Această contradicţie arată că în cazul seriilor semiconvergente modificarea ordinii de însumare a termenilor este interzisă. (din

S S=12

rezultă S = = 0, vom vedea că S = ln 2).

Definiţia 3. Se numeşte serie alternantă o serie de forma:

(2) ( )U U U U Unn

n1 2 3 4

1

11− + − + = − −

=

∞

∑K

cu Un > 0 pentru orice n ≥ 1, sau de forma:

(3) ( )− + − + + = −=

∞

∑U U U U Unn

n1 2 3 4

11K ,

care prin înmulţire cu -1 se reduce la prima forma (2).

Teorema 2. (Criteriul lui Leibnitz) O serie alternantă ( )− −

=

∞∑ 1 1

1

nn

nU , pentru care

şirul modulelor termenilor ( )Un n≥1 este descrescător şi convergent la 0 este

convergentă. Demonstraţie: Dacă considerăm seria: (4) 1 - 1 + 1 - 1 + … + 1 - 1 + …, aceasta are şirul sumelor parţiale 1, 0, 1, 0, …, S n2 1 1− = , S n2 0= , care este un şir mărginit. Având în vedere că şirul ( )Un n≥1

este descrescător către 0, aplicând

criteriul lui Abel rezultă că seria ( )− −

=

∞∑ 1 1

1

nn

nU este convergentă.

În conţinuare ne propunem să calculăm o margine superioară a erorii pe care o facem aproximând suma unei serii alternante, care satisface criteriul lui Leibnitz, printr-o suma parţială. Să observăm că şirul sumelor parţiale ( )Sn n≥1

verifică urmatoarele inegalităţi:

(5) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

S U U U U U U U S

S U U U U U U S

n n n n

n n n n

2 1 1 2 3 4 5 2 2 1 2 1

2 2 1 2 3 4 2 1 2 2

+ − −

+ −

= − − − − − − − <

= − + − + + − >

...

...

40

pentru orice n ≥ 1. Din inegalităţile (5) rezultă şirul de inegalităţi : (6) S S S S S S S Sn n n2 4 2 2 2 2 1 3 1⟨ ⟨ ⟨ ⟨ ⟨ ⟨ ⟨ ⟨ ⟨+ +... ... ... ... . Din (6) se deduce că, pentru orice n ≥ 0, avem :

(7) 0

02 1 2 1 2 2 2 2

2 2 1 2 2 1

⟨ − ⟨ − =⟨ − ⟨ − =+ + + +

+ +

S S S S US S S S Un n n n

n n n n

Inegalităţile (7) se mai pot scrie sub forma : (8) ( ) ( )0 1 1⟨ − − ⟨ +

nn nS S U ,

care permite formularea următorului rezultat deosebit de util pentru evaluarea erorii făcute atunci când suma unei serii alternante este aproximată printr-o sumă parţială.

Teorema 3. Dacă seria alternantă ( )− −

=

∞∑ 1 1

1

nn

nU are şirul ( )Un n≥1

descrescător la

0, înlocuind suma S a seriei cu suma parţială Sn a unui numar finit de termeni facem o eroare mai mică decât primul termen neglijat Un+1. Eroarea este prin lipsă dacă n este un număr par şi prin adaos dacă n este impar.

Exemplul 1. Fie seria armonică alternantă ( )− −

=

∞∑ 1

11

1

n

n n

(a) Să se calculeze suma acestei serii. (b) Câţi termeni trebuie însumaţi pentru a obţine suma seriei cu sapte zecimale

exacte. Rezolvare: (a) Seria este convergentă conform criteriului lui Leibniz. Fie S suma şi Sn suma

parţială a acestei serii. Atunci: S S S

nn

nn= =

→∞ →∞lim lim 2 . Dar:

Sn n n

n n n

n n n

n2 112

13

14

12 1

12

112

13

12

212

14

12

112

13

12

212

112

1

11

12

12

= − + − + +−

− = + + + + −

− + + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = + + + + − + + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

=+

++

+ +

... ...

...

.

K K

K

Folosind identitatea obţinută rezultă că:

41

S Sn n n n

n

dxx

nn

n n i

n= =

++

++ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

+

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥=

=+

=

→∞ →∞ →∞ =∑

∫

lim lim ... lim

ln

11

12

12

1 1

11

12

1

0

1

(b) Aproximând suma S cu Sn eroarea făcută este mai mică sau egală, în valoare

absolută, cu 11n +

. Deci, pentru a se obţine suma seriei cu şapte zecimale

exacte trebuie ca 11

1107n +

≤ , adică n ≥ −10 17 .

Aşadar, numarul minim de termeni care trebuie însumaţi pentru a obţine suma S cu şapte zecimale exacte este 9.999.999.

Definiţi seriile semiconvergente, respecţiv seriile absolut convergente. Daţi exemple. Definiţi seriile alternante. Daţi exemple. Enunţaţi criteriul lui Leibniz. 3.4. CRITERII DE CONVERGENŢĂ PENTRU SERII

CU TERMENI POZIŢIVI Fie Un

n=

∞∑

1 o serie cu termeni pozitivi ( Un≥0 pentru orice n ≥ 1). Pentru o

astfel de serie pot apare doar cele două cazuri : a) seria este convergentă; b) seria este divergentă şi are suma S = ∞. Deasemenea observăm că criteriile de convergenţă pentru serii cu termeni pozitivi sunt criterii de absolut convergenţă pentru serii cu termeni oarecare.

Teorema 1. (Primul criteriu al comparaţiei). Fie U Vnn

nn

,=

∞

=

∞∑ ∑

1 1 două serii cu

termeni pozitivi astfel că există N ∈ N astfel încât: (1) U Vn n≤ pentru orice n ≥ N. Atunci are loc:

a) dacă seria Vnn=

∞∑

1 este convergentă, rezultă că seria Un

n=

∞∑

1 este convergentă,

b) dacă seria Unn=

∞∑

1 este divergentă, atunci şi seria Vn

n=

∞∑

1 este divergentă.

42

Criteriul comparaţiei cu cele două părţi ale sale, a) partea de convergenţă şi b) partea de divergenţă utilizează serii convergente, respectiv divergente ca serii de comparaţie.

Teorema 2. (Al doilea criteriu al comparaţiei). Fie seriile U Vn nnn

,=

∞

=

∞∑∑

11, cu

termeni pozitivi. Presupunem că există N ∈ N astfel încât: (2) U

UVV

n

n

n

n

+ +≤1 1 pentru orice n ≥ N.

Atunci:

a) dacă seria Vnn=

∞∑

1 este convergentă, rezultă că şi seria Un

n=

∞∑

1 este

convergentă,

b) dacă seria Unn=

∞∑

1 este divergentă, rezultă că şi seria Vn

n=

∞∑

1 este divergentă.

Demonstraţie: Din (2) rezultă inegalitătea UV

VV

n

n

n

n+ +≥

1 1 care este echivalentă cu

UV

UV

n

n

n

n≥ +

+

1

1, pentru orice n ≥ N. Dând lui n valori, obţinem şirul de inegalităţi :

(3) UV

UV

UV

UV

n

n

n

n

n

n

n

n≥ ≥ ≥ ≥ ≥+

+

+

+

1

1

2

2K K

Fie kUV

n

n= , atunci k

UV

n

n≥ pentru orice n ≥ N, de unde rezultă U kVn n≤ ,

pentru orice n ≥ N. Aplicând primul criteriu al comparaţiei rezultă afirmaţiile a) şi b). Observaţia 1. Criteriile comparaţiei dau posibilitatea de a deduce dacă o serie este convergentă sau divergentă comparând-o cu altă serie convergentă sau divergentă, de unde rezultă utilitatea cunoaşterii naturii a cât mai mai multe serii.

Exemplul 1. Să se studieze convergenţa seriei ( )

nn n

n 2 1 51 +=

∞∑ . Observăm că

nn n n2 1

15

15+

⋅ ≤ . Comparând seria dată, după primul criteriu, cu seria geometrică

151

2⎛⎝⎜⎞⎠⎟=

∞∑n

cu raţia r = <15

1 rezultă că seria dată este convergentă.

Teorema 3. (Criteriul rădăcinii numit şi al lui Cauchy). Fie seria cu termeni

pozitivi Unn=

∞∑

1.

43

a) Dacă există N ∈ N şi k ∈ (0,1) astfel încât pentru orice n ≥ N U knn ≤ , atunci seria dată este convergentă.

b) Dacă Unn ≥ 1 pentru o infinitate de termeni, atunci seria dată este divergentă. Demonstraţie: a) Din U knn ≤ rezultă U kn

n≤ pentru orice n ≥ N. Cum seria geometrică

k n

n=

∞∑

1 este convergetă, aplicând primul criteriu al comparaţiei rezultă că seria

Unn=

∞∑

1 este convergentă.

b) Dacă Unn ≥ 1 rezultă că Un ≥ 1 pentru o infinitate de termeni, în acest caz şirul termenilor seriei ( )Un n≥1

nu converge la 0 şi deci seria este divergentă.

Corolarul 1. Fie seria cu termeni pozitivi Unn=

∞∑

1. Dacă lim

nnn U k

→∞= atunci

avem: a) dacă k < 1 seria dată este convergentă, b) dacă k > 1 seria dată este divergentă.

Exemplul 2. Să se studieze natura seriei sinn

n nα

=

∞∑

1 , unde α

π∈⎛⎝⎜

⎞⎠⎟0

2, .

limsin

limsin

sinn

nn

n nn n→∞ →∞= =

α αα . Cum pentru α π

∈⎛⎝⎜

⎞⎠⎟0

2, rezultă că ( )sin ,α ∈ 0 1 şi

seria este convergentă.

Exemplul 3. Să se studieze convergenţa seriei 13 11

2

nn

nnn=

∞∑ ⋅

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

. Observăm că

U

n

nnn= ⋅

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

13

1

11

, de aici rezultă k Uen

nn= = <→∞lim

13

1, deci seria dată este

convergentă. Teorema 4. (Criteriul raportului numit şi al lui D’Alambert). Fie seria cu

termeni pozitivi Unn=

∞∑

1.

a) Dacă există N ∈ N şi k ∈ (0,1) astfel încât UU

kn

n

+ ≤1 pentru orice n ≥ N,

atunci seria dată este convergentă.

44

b) Dacă există N ∈ N astfel încât UUn

n

+ ≥1 1 pentru orice n ≥ N, atunci seria dată

este divergentă. Demonstraţie: a) Din U

Ukn

n

+ ≤1 rezultă U kUn n+ ≤1 , pentru orice n ≥ N. Scriind această

inegalităte dezvoltat rezultă: U kU

U kU k U

U k U

N N

n N N

N pp

N

+

+ +

+

≤

≤ ≤

≤

1

2 12

LLLLLLLLLL

LLLLLLLLLL,

de unde putem scrie ( )U U k k knn N

Np

= +

∞∑ ≤ + + + +

1

2 K K .

Deoarece seria geometrică din paranteza cu raţia k subunitară este convergentă rezultă că seria dată este convergentă.

b) Din U

Un

n

+ ≥1 1 rezultă că U Un n+ ≥1 pentru orice n ≥ N, ceea ce arată că şirul

termenilor seriei ( )Un n N≥ este crescător şi deci nu converge la 0, ceea ce

arată că seria dată este divergentă.

Corolarul 2. Fie Unn=

∞∑

1 o serie cu termeni pozitivi.

Să presupunem că limn

n

n

UU

k→∞

+ =1 . Atunci:

a) dacă k < 1 seria este convergentă, b) dacă k > 1 seria este divergentă.

Exemplul 4. Să se studieze convergenţa seriei 1

1 nn !.

=

∞∑

( )kUU n

nnn

n

n n n= =

+⋅ =

+= <

→∞

+

→∞ →∞lim lim

!! lim .1 1

11

10 1 Conform corolarului de mai

sus seria este convergentă. Observaţia 2. Criteriile de convergenţă de mai sus au fost obţinute prin comparaţie cu seria geometrică. Înlocuind seria geometrică, ca serie majorantă, cu o altă serie convergentă se pot obţine alte criterii de convergenţă. Se pot stabili astfel oricât de multe criterii de convergenţă, dar în acelaşi timp se poate arăta că se pot găsi serii care nu pot fi analizate cu ajutorul criteriilor stabilite anterior, aşa

45

că nu există un criteriu general de convergentă care să rezolve problema convergenţei oricărei serii. Observaţia 3. În acest capitol ne-am referit la serii de numere reale, ele sunt cel mai des întâlnite în aplicaţiile matematice în tehnică, economie etc. Spaţiile cele mai generale la care ne-am referit însă în capitolul precedent au fost spaţiile topologice, spaţiile metrice, spaţiile vectoriale normate. Facem observaţia că în primele două se poate vorbi de convergenţa şirurilor dar nu de convergenţa seriilor deoarece nu este definită o operaţie de adunare. Seriile pot fi studiate însă în cadrul mai general al spaţiilor vectoriale normate. Enunţaţi criteriile de comparaţie privind convergenţa, respectiv divergenţa Enunţaţi criteriul rădăcinii, respectiv al raportului, privind convergenţa şi divergenţa seriilor.

46

Probleme finale :

1. Să se studieze natura seriilor următoare şi în caz de convergenţă determinaţi suma lor :

a) ∑∞

= −12 141

n n b) ∑

∞

= +−

1 1212ln

n nn .

2. Să se studieze natura seriilor folosind proprietăţile generale ale acestora :

a) ∑∞

=++ +

+

111 32

32

nnn

nn b) ∑

∞

= ++1 11

n nn .

3. Să se studieze semiconvergenţa şi absolut convergenţa seriilor:

a) ∑∞

=

−

1

)1(

n

n

n b) n

n

n n3

12)1(1

1 +−∑

∞

=

+

4. Să se studieze natura seriilor folosind criteriile comparaţiei :

a) ∑∞

= ++14 92

4

n nnn b) ∑

∞

= +13 3 1

1

n n c) ∑

∞

=1 3sin2

nn

n a .

5. Să se studieze natura seriilor folosind criteriul raportului :

a) ∑∞

=1 !n

n

na

b) ∑∞

= +++12 )...1(

1

nnaaan

unde a > 0 c) ∑∞

=

+

1 243

nn

n .

6. Să se studieze natura seriilor folosind criteriul rădăcinii :

a) ∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

1 1312

n

n

nn b) ( )∑

∞

=−++

1))(1(

n

nnann unde a > 0 .

7. Utilizând criteriul lui Cauchy să se studieze convergenţa seriilor :

a) cosnan

n 31=

∞∑ ; b) 1

21 nn=

∞∑ .

8. Câţi termeni trebuie însumaţi pentru a obţine suma seriei

∑∞

=−

1 2)1(

nn

n n cu 4 zecimale exacte.

10. Să se arate că suma dintre o serie convergentă şi o serie divergentă este tot o serie divergentă. Există serii divergente a căror sumă este o serie convergentă ?

47