notite de curs7 termotehnica termodinamica

NOTITE DE CURS TMT Prof.dr.ing. Eden MAMUT Data: 14.01.07

1

Principiul al II-lea al termodinamicii.

Reversibilitatea proceselor termodinamice In natura, procesele sau transformarile de orice natura sunt transformari irevesibile. Exista o multitudine de cauze care determina ireversibilitatea proceselor din natura. In mod generic ele se pot grupa in urmatoarele 3 cauze:

1. Prima cauza a ireversibilitatii consta in omniprezenta fenomenului de frecare. Frecarea poate fi interna datorita fortelor de coeziune dintre particule, adica a fortelor de vascozitatea. In orice substanata, oricat de rarfiata sau de fluida ar fi aceasta exista vascozitate. De asemenea, frecarea poate fi superficiala sau coulombiana care apare in pata de contact intre 2 corpuri in miscare reciproca, una fata de cealalta.

2. A doua cauza a ireversibilitatii o reprezinta neliniaritatea proprietatilor corpurilor, de

exemplu neliniaritatea proprietatilor mecanice.

Histerezis- functie parabolica

x

F

x

F

Aria Histerezis-ului este echivalenta cu lucrul mecanic disipat in proces.

Proces mecanic cvasistatic de deformare si revenire a unei epruvete.

Proces mechanic dinamic de deformare ciclica a unui epruvete


2

3. A treia cauza a ireversibilitatii proceselor consta in faptul ca in natura transferul de caldura se realizeaza la diferente finite de caldura. Astfel, sa presupunem ca intr-o incinta cilindrica inchisa cu un piston s afla un gaz oarecare in conditii idealizate adica fara pierderi prin ne-etanseitati si fara frecare (respectiv intre piston si peretii cilindrului sau frecare vascoasa in gaz). Daca se supune pistonul, greutatii unei mase m, gazul se va comprima si se va incalzi pana la o temperatura T1 mai mare decat temperatura mediului Tm. Datorita diferentei de temperatura ∆T1, gazul va ceda prin pereti catre mediul inconjurator, caldura Q1. Cand masa m se indeparteaza de pe piston, pistonul se ridica, sub efectul diferentei de forte, determinand destinderea gazului si racirea acestuia la temperatura T2 mai mica decat Tm. De data aceasta, gazul primeste caldura sub efectul diferentei de temperatura ∆T2 dar caldura primita nu este egala cu cea cedata datorita inegalitatii diferentelor de temperatura. Astfel, pistonul nu va reveni la pozitia initiala.

Daca revenirea pistonului s-ar face in timp infinit prin retragerea unor cantitati foarte mici dm(de exemplu daca masa m s-ar inlocui cu un saculet de nisip din care sa se extraga in mod continuu firicele de nisip), atunci pistonul s-ar intoarce la pozitia initiala deoarece diferentele de temperatura dT dintre mediu si gazul din interiorul cilindrului ar fi diferente infinitezimale permitand transferul unor calduri infinitezimale care integrate ar da caldura totala schimbata cu mediul. In conditii reale insa transferul de caldura se face la diferente finite ceea ce conduce la inegalitatea dintre caldura cedata la comprimare si caldura primita la destindere.

Fie o transformare oarecare care se deruleaza intre o stare initiala 1 si o stare finala 2 parcurgand o serie de stari de echilibru intermediare. Se numeste transformare reversibila

T1 - Tm = ∆T1 Tm – T2 = ∆T2

∆T1 ≠ ∆T2

m


3

acea transformare la care revenirea de la starea 2 la starea 1 s-ar face parcurgand aceleasi stari de echilibru intermediare. Studiul proceselor reale este deosebit de complicat datorita multitudinii de cauze ale ireversibilitatilor. De aceea, in termodinamica clasica, se modeleaza procesele prin transformari reversibile ca limita pentru transformarile reale si apoi se identifica directiile prin care transformarile reale pot fi aduse in apropiere de conditiile ideale. Se poate spune ca aceasta metoda a fost inventata de Sadi Carnot. Ciclul CARNOT Dupa cum se cunoaste, masina cu abur reprezinta una din inventii geniului uman care a avut un impact de exceptie asupra dezvoltarii civilizatiei umane cu consecinte asupra tuturor domeniilor. Din punct de vedere tehnic, primele masini cu abur functionale au fost concepute in Marea Britanie prin contributiile unei lungi serii de inventatori si intreprinzatori care incepe cu Thomas Savery (1698), apoi se continua cu Thomas Newcomen (1711) si ajunge la masina realizata de James Watt si Matthew Boulton (1765) considerata ca fiind un sistem de referinta, incluzand toate elementele unei masini clasice cu abur dupa cum se poate observa in figura alaturata. Masina cu abur a fost realizata si dezvoltata in prima etapa in mod empiric sintetizand maiestria unr mestesugari si ingineri autodidacti, inducand un mare intres din partea mintilor progresiste si vizionare de la sfarsitul secolului XVIII. Masina cu abur este un sistem termodinamic la care aburul este obtinut cu ajutorul unui generator de abur extern si apoi aburul se destinde producand lucru mecanic. Producerea lucrului mecanic se realizeaza fie intr-un cilindru cu piston, fie intr-o turbina cu aburi. Contributia lui Watt a constat in faptul ca a demonstrat utilitatea unui condensator. Astfel masina functioneaza in contact cu doua surse de caldura: sursa calda care transfera caldura necesara vaporizarii apei si sursa rece care preia caldura eliberata prin condensarea aburului.


4

T

S

1 2

34

Daca s-ar reprezenta pe o diagrama T-S, transformarile parcurse de abur in masina cu abur cu piston, acestea ar fi urmatoarele: 1 – 2 – vaporizare in generatorul de abur 2 – 3 – destindere in cilindru 3 – 4 – condensare in condensator 4 – 1 – comprimare in pompa de circulatie a condensului. De remarcat faptul ca in diagrama T-S din figura alaturata s-au reprezentat: curba limita inferioara (stanga) si curba limita superioara (dreapta) care reunesc starile care corespund inceputului si sfarsitului vaporizarii apei. In demersul sau de a studia masina cu abur si posibilitatile de imbunatatire a functionarii acesteia, Nicolas Leonard Sadi Carnot (1796 – 1832) si-a pus problema: in ce conditii o astfel de masina ar obtine efectul util maxim? In 1824 publica la Paris, ideile sale in lucrarea Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance. In aceasta lucrare, circulata intr-un grup f. restrans, Carnot a introdus pentru prima data notiunea de proces reversibil ca o limita idealizata a proceselor din natura. Folosind acest concept, Carnot a asociat proceselor din masina cu abur, un ciclu de transformari care ii poarta numele si sunt reprezentate in figura de mai jos.

1

2

3

4

T = T1 T = T2

p

V


5

1

2

3

4

T = TI T = TII

p

V

Ciclul conceput de Carnot se compune din urmatoarele transformari: 1-2 - Transformare izoterma: agentul termodinamic se destinde izotermic la const.1 == TT efectuand lucrul mecanic12L . Pentru a efectua lucrul mecanic 12L agentul primeste caldura 12Q de la sursa calda. 2-3 – Transformare adiabatica: agentul termodinamic se destinde producand 23L . In punctul 3 pistonul a ajuns in punctul limita de destindere. 3-4 – Transformare izoterma: Comprimarea agentului termodinamic se realizeaza la temperatura .2 constTT == Pentru comprimare se consuma lucrul mecanic 34L cedandu-se caldura 34Q catre sursa rece. 4-1 – Transformare adiabatica: Comprimarea agentului termodinamic se realizeaza cu consum de lucru mecanic 41L Atat in transformarea 1-2 cat si in 3-4, masina termica este in contact cu surse exterioare de caldura pentru a schimba caldura. Propagarea caldurii se realizeaza numai daca exista o diferenta de temperatura. Astfel, se fac urmatoarele consideratii:

dTTT

dTTT

SR

SC

+=−=

2

1

Unde: SCT este temperatura sursei calde; SRT - temperatura sursei calde; dT - diferenta infinitezimala de temperatura. De remarcat faptul ca diferenta de temperatura este infinitezimala. Aceasta ipoteza este fundamentala in abordarea propusa de Carnot. Presupunand in mod implicit ca se face abstractie atat de frecari cat si de neliniaritatea proprietatilor, ipoteza diferentei infinitezimale permite considerarea tuturor transformarilor ca fiind transformari reversibile si in consecinta intreg ciclul este reversibil si poate fi parcurs in sens invers.


6

Ciclul Carnot direct, parcurs in sens orar, modeleaza procesele din masinile termice motoare. Ciclul Carnot invers, parcurs in sens anti-orar, modeleaza procesele din masinile termice generatoare. Presupunad ca avem doua masini in contact cu aceleasi surse de caldura, se va obtine ciclul din figura de mai sus unde se fac urmatoarele consideratii:

dTTT

dTTT

SRII

SCI

−=+=

Masinile generatoare pot fi instalatii frigorifice sau pompe de caldura si ar functiona parcurgand urmatoarele transformari: 1-4 Transformare adiabatica: agentul frigorific se destinde adiabatic intr-un detentor efectuand lucrul mecanic 4114 LL = .

4-3 Transformare izoterma: agentul frigorific se destind izoterm la temperatura

.constTT II == prelund caldura 3443 QQ = de la sursa rece pe masura ce efectueaza lucrul

mecanic 3443 LL = .

3-2 Transformare adiabatica: agentul frigorific este comprimat cu un consum de lucru mecanic 2332 LL −= . 2-1 Transformare izoterma: agentul frigorific este comprimar izoterm la

constdTTTT SCI =+== cedand caldura 1221 QQ −= sursei calde pe masura ce se consuma lucrul mecanic 1221 LL −= . Se observa ca diferentele de temperatura se considera de data aceasta cu semne schimbate si acest lucru este posibil numai pentru ca acestea sunt cantitati infinitezimale. Pentru a rezolva problema pe care si-a pus-o Carnot, vom calcula randamentul unei masini

motoare: 12Q

Lu=η

Luand in consideratie Principiul I pentru cicluri:

341241342312 QQLLLL

QL

+=+++

=∫ ∫δδ


7

Observam ca cea mai simpla metoda de calcul a lucrului mecanic pe ciclu consta in determinarea 12Q si 34Q sau raportand totul la 1 kg de agent, ajungem la masimile specifice

12q si 34q . Astfel, din transformarea izoterma 1-2 obtinem:

1

2112 ln

v

vRTq

dvv

RTpdvlq

=

=== δδ

Din transformarea 3-4 obtinem:

4

32

3

4234 lnln

v

vRT

v

vRTq −==

Din transformarea 2-3 obtinem:

1

2

1

3

2

132

133

121

122

T

T

v

v

vTvTvTvTk

kkkk

=

===−

−−−−

Iar din transformarea 1-4 rezulta:

4

3

1

2

4

1

3

2

2

1

1

1

4

142

144

111

v

v

v

v

v

v

v

v

T

T

v

v

vTvTvTk

kkk

=⇔=

=

==−

−−−

Si din ultimele doua relatii, tinand seama de proprietatile sirului de proportii egale obtiem in final:

4

3

1

2

4

1

3

2

v

v

v

v

v

v

v

v=⇔=

Cu aceste relatii putem sa revenim asupra expresiei randamentului

1

21

4

32

1

21

12

3412

ln

lnln

v

vRT

v

vRT

v

vRT

q

qq−

=+

=η

Din care prin simplificari obtinem expresia finala: 1

2

1

21 1T

T

T

TT −=−=η


8

Expresia de mai sus scoate in evidenta faptul ca randamentul unei masini motoare Carnot depinde numai de temperaturile maxime si minime pe care agentul termodinamic le atinge in evolutia sa ciclica si ca randamentul are intotdeauna o valoare subunitara. Extrapoland, rezulta ca cele doua directii de imbunatatire a randamentului masinilor motoare sunt urmatoarele:

- Reducerea temperaturii2T - ceea ce inseamna ca temperatura sursei reci trebuie sa fie cat mai mica. Aceasta directie este limitata de faptul ca sursa rece folosita este in final mediul inconjurator (aerul atmosferic sau apa din surse naturale). Deci din punct de vedere economic temperatura sursei reci nu poate fi mai mica decat temperatura mediului inconjurator.

- Cresterea temperaturii1T . De doua secole, principala preocupare a inginerilor a constat in principiu in cresterea temperaturii sursei calde. Principala limitare in aceasta directie a constat in rezistenta materialelor la temperaturi inalte. Astfel, cresterea randamentului a fost controlata de realizarile din domeniul materialelor care se poate spune a fost rezolvata in deceniile 8 si 9 prin utilizarea materialelor ceramice. Cam in aceiasi perioada a aparut cea de-a doua limitare si anume emisiile poluante. La temperaturi mai mari de 1100 oC, azotul din aerul cu care se alimenteaza masinile termice formeaza oxizi cu efect nociv asupra mediului. In conditii speciale, prin metode avansate de control a proceselor de ardere se poate ridica temperatura in prezent pana la 1600 oC.

Eficienta frigorifica

Pentru instalatii frigorifice se introduce ca indicator de performanta energetica eficienta frigorifica ca fiind efectul util raportat la energia consumata respectiv caldura absorbita de la sursa rece raportata la lucrul mecanic consumat pe ciclu:

111

21

2

3412

3434 ><

−=

−=

+==

ccf TT

T

qq

q

l

q

ηε

Eficienta pompelor de caldura Similar pentru pompele de caldura eficienta este definita prin caldura transferata sursei calde raportata la lucrul mecanic pe ciclu:

11

21

1

3412

1212 >=−

=+

==cc

p TT

T

qq

q

l

q

ηε


9

Pentru a evita confuziile sa recapitulam ipotezele simplificatoare in care s-a dezvoltat modelul de ciclu Carnot si anume:

- in cilindru evolueaza ca agent termodinamic un gaz perfect; - nu exista frecari si pierderi prin ne-entanseitati; - schimbul de caldura intre sursa si caldura si agentul termodinamic se realizeaza la

diferente infinitezimale de temperatura dT ceea ce insemna ca peretii de separatie nu au rezistenta termica.

Un astfel de model este un model idealizat care permite estimarea conditiilor in care se poate obtine o eficienta maxima pentru o masina motoare. Acest lucru permite sa se identifice directiile de cercetare pentru cresterea randamntului motoarelor reale. Dar asta nu inseamna ca o masina Carnot are o utilitate practica directa. Este celebra remarca lui Schroeder: „Nu te osteni sa-ti instalezi un motor Carnot pe automobilul personal; in timp se vei mari numarul de kilometri parcursi cu aceiasi cantitate de combustibil, vei fi depasit pe strada de pietoni!”. Din punct de vedere conceptual importanta ciclului Carnot este imensa pentru ca asigurat fundamentul teoretic pentru directionarea cercetarilor. Astfel, performantele masinilor termice atinse in prezent, pot fi remarcate in diagrama de mai jos:

Eficienta diferitelor sisteme energetice dupa Siemens – Westinghouse (SUA)


10

Modelul de masina endoreversibila - Ciclu Curzon-Ahlborn-Novikov-Chambadal Principala limitare a modelului de ciclu Carnot consta in faptul ca intre agentul termodinamic si sursele de caldura, diferenta de temperatura este infinitezimala si nu exista rezistenta termica. Acest lucru a preocupat comunitatea stiintifica si in mod independent, in anii 50 s-au conturat mai multe abordari convergente constand in extinderea modelului Carnot prin adaugarea a doua surse exterioare si introducerea diferentelor finite intre sursele de caldura initiale in contact cu masina Carnot. Astfel, sursele T3 si T4 sunt in contact cu masina Carnot. Intre sursele T1 si T3 la fel ca intre T2 si T4 exista o diferenta finita de temperatura iar transferul de caldura se realizeaza in conditii similare cu cele din sistemele reale in prezenta unor rezistente termice

21, tt rr . Acest

model se numeste masina endoreversibila deoarece se poate imparti in doua zone: cea interioara care este o masina reversibila Carnot si cea exterioara care introduce ireversibilitatile datorate diferentelor finite de temperatura.

In consecinta vom avea urmatoarele ecuatii:

- pentru masina Carnot cu sursele T3 si T4:

4

2

3

1

13

41

T

Q

T

Q

si

Q

L

T

Tη

=

=−=

- Caldurile Q1 si Q2 se transfera de la sursele T1 la T3 si respectiv de la T4 la T2:

( )( )242

311

2

1

TTrQ

TTrQ

t

t

−=

−=

Si astfel se obtine cea de-a doua relatie in T3 si T4:

( ) ( )

4

24

3

31 21

T

TTr

T

TTr tt −=

−

Din cele doua expresii in T3 si T4 se expliciteaza in forma de mai jos:

( ) 214

213

22

2

22

1

22

2

22

1

1

1

1

Trr

rT

rr

rT

Trr

rT

rr

rT

tt

t

tt

t

tt

t

tt

t

++−

+=

−++

+=

η

η

L

1T

3T

4T

2T


11

L (P)

ηPmax ηC η

Notam cu: ttt

t

tt

tt

rrrr

rr

rr 111 ;

2121

21 =+=+

,

si rezulta ca:

ηη

−−−=

1121

1

TTTrQ t

si apoi:

( )η

ηη−

−−=

1121 TTT

rL t

Pentru a reprezenta aceasta ultima functie vom cauta punctele de extrem:

020 2112

1 =−+−⇔= TTTTd

dL ηηη

Ultima ecuatie este o ecuatie de gradul doi cu doua solutii. O solutie va fi negativa si nu are semnificatie fizica iar a doua solutie va avea forma:

1

21T

T−=η

Daca dorim sa identificam taieturile (intersectia cu axele) gasim ca o solutie va fi zero care este solutia triviala si a doua solutie este chiar randamentul Carnot. Daca se reprezinta grafic dependenta lucrului mecanic de randament se obtine figura din dreapta sus. Acest grafic este similar daca impartim intreaga expresie la timp si in loc de lucru mecanic obtinem puterea masinii. In acest fel, putem evidentia urmatoarele concluzii:

- O masina termica lucreaza la randament Carnot numai in regimul de mers in gol; - La regimul de putere maxima, randamentul maxim al masinii nu poate fi mai

mare de: 1

21T

T−=η .

Aceasta formula a fost validata experimental pe o centrala nuclearo-electrica si apoi observatiile au fost extinse pe mai multe centrale in lume. In tabelul de mai jos sunt trecute date comparative pentru mai multe centrale luate din literatura de specialitate:


12

Randamentul comparativ al Centralelor Energetice

Centrala T2 (°C) T1 (°C) η (Carnot) η (Endoreversibil) η (Observat)

West Thurrock (MB)

centrala pe carbune 25 565 0.64 0.40 0.36

CANDU (Canada)

centrala nucleara 25 300 0.48 0.28 0.30

Larderello (Italia)

centrala geotermala 80 250 0.33 0.178 0.16

Succesul abordarii endoreversibile a fundametat un nou domeniu in termodinamica: termodinamica in timp finit (Finite Time Thermodynamics).

Reversibilitatea proceselor termodinamice oarecare

Urmarind constructia relativ sofisticata a modelului de ciclu Carnot, apare fireasca intebarea daca un astfel de model poate sa fie extrapolat si la alte procese. Astfel sa consideram un proces termodinamic ciclic reversibil oarecare reprezentat ca in figura de mai jos. Sa trasam peste aceasta diagrama o familie de adiabate infinit invecinate. Intre doua adiabate invecinate vom ajusta segmentele de curba se corespund ciclului termodinamic cu doua segmente de izoterme.


13

P

V

Familie de adiabate

In acest fel observam ca orice proces ciclic poate fi considerat ca o suma infinita de ciclui Carnot cu conditia ca sa fie in contact cu un numar infinit de surse de caldura. Acest proces de transformare a unui ciclu oarecare in suma de cicluri Carnot se mai numeste si carnotizarea proceselor termodinamice. In consecinta, concluziile obtinute pe baza analizei ciclului Carnot pot fi extrapolate la orice masina care functioneaza dupa un ciclu reversibil. Enunuturi echivalente ale Principiului al II-lea al termodinamicii Ideile lui Carnot au fost circulate intr-un cerc f. restrans de persoane si probabil ca ar fi fost uitate daca nu ar fi fost continuate de Benoit Paul Émile Clapeyron intre 1830 si 40. Specialistii in istoria stiintei, considera ca desi initiata prin contributiile lui Carnot, formularea Principiului al II-lea a fost realizata de Rudolph Clausius si William Thomson (Lord Kelvin), folosind diferite exemple, intre 1850-51. Ulterior, o larga pleiada de savanti au contribuit la clarificarea si structurarea in forma actuala. Chiar si in prezent sunt cercetatori care lucreaza in clarificarea aspectelor de aplicare a Principiului al II-lea in domenii cum ar fi tehnologia informatica, biologia sau procesele la scara micro si nano. In continuare vom reproduce cateva din formularile de referinta ale Principiului al II-lea: Enuntul lui Max Planck : „este imposibil sa se realizeze o masina termica care sa lucreze un ciclu intreg producand nici un alt efect decat al ridicarii unei greutati si racirii unei surse de caldura, fiind in contact cu o singura sursa de caldura”.


14

Enuntul lui William Thomson (Lord Kelvin): „este imposibil ca prin actiuni materiale neinsufletite sa se obtina efecte mecanice din orice portiune de materie prin racirea sa sub temperatura cele mai reci din obiectele inconjuratoare”. Inca din antichitate, numerosi gaditori au visat la perpetuum mobile dar de fiecare data s-a ajuns la aceiasi concluzie: „Ex nihilo nihil!” (Anaxagoras 500 i.e.n). In cazul masinilor termice, acest vis s-ar traduce astfel: „perpetuum mobile de speta I” – o masina termica care ar produce la nesfasit lucru mecanic fara a consuma caldura de la nici o sursa; „perpetuum mobile de speta a II-a” – o masina termica care ar produce lucru mecanic la nesfarsit consumand caldura doar de la o singura sursa. Pe baza acestei clasificari enunturile celor doua Principii in forma urmatoare: Principiul I: „este imposibil sa se realizeze un perpetuum mobile de speta I”. Principiul II: „este imposibil sa se realizeze un perpetuum mobile de speta a II-a”. Teorema lui Carnot Fizicianul Richard Feynman, laureat al premiului Nobel, a sustinut in 1963, ca paternitatea Principiului al II-lea trebuie atribuita lui Carnot. Argumentul lui Feynman consta in faptul ca formularea ideilor lui Carnot contin implicit formularea Principiului al II. In continuare vom prezenta lantul deductiv care sustine aceasta afirmatie pe baza formularii prezentate de Prof. A. Bejan la Universitatea Duke. Ideile formulate de Carnot pot fi sintetizate in urmatoarea formulare: „Toate masinile reversibile care functioneaza intre acelasi doua temperaturi, au acelasi randament, iar randamentul masinilor nereversibile care functioneaza intre acelasi doua temperaturi ca si masinile reversibile, este intotdeauna mai mic decat al masinilor reversibile.

ηηηη

>>

C

irevrev

Randamentul unei masini termice nu depinde de natura substantei de lucru daca conditiile de functionare ale masinilor reversibile sunt acelasi”. Acest text care s-a consacrat sub denumirea de teorema lui Carnot se poate imparti in doua parti: in prima parte se refera la randamentul unei masini Carnot in comparatie cu


15

SC

SR

C

idQ1

idQ2

idL

RQ1

RQ2

RL

randamentul unei masini ireversibile si in a doua parte se refera la natura agentului termodinamic (avand in vedere faptul ca una din ipotezele in care a fost dezoltat modelul de ciclu Carnot era ca agentul termodinamic era gaz perfect). Pentru demonstrarea acestei teoreme vom incepe cu cea de-a doua parte si vom folosi metoda deducerii la absurd. Vom considera doua masini, ambele in contact cu aceleasi doua surse de caldura, din care una functionand ca masina motoare cu agent termodinamic – gaz perfect si a doua ca masina generatoare cu agent termodinamic – un gaz real oarecare. Constructiv cele doua masini vor avea arborii cuplatii. Deci lucrul mecanic furnizat de masina motoare va fi consumat de masina generatoare sau:

Rid LL = Ceea ce in conformitate cu Principiul I pentru cicluri este echivalent cu:

RRIdId QQQQ 212 −=−

De asemenea, pentru cele doua masini, expresiile randamentului si eficientei pompei de caldura vor avea urmatoarele forme:

R

RR

RR

R

Rp

Id

IdId

Q

L

L

Q

Q

L

1

1

1

1 =⇔===

=

ηη

ε

η

unde Rη este randamentul unui motor echivalent cu pompa de caldura. Avand in vedere enuntul din text, vom considera prin absurd ca RId ηη > . Lucrul mecanic fiind egal, rezulta ca:

IdRRId

IdRRId

QQQQQ

QQQQQ

22222

11111

−=⇒<

−=⇒<

∆

∆

Adica, exista un transfer de caldura de la SR (2Q∆ ) la SC ( 1Q∆ ) spontan fara consum de lucru mecanic. Ceea ce este absurd.

id - agent ideal R - agent real C – cuplaj mecanic


16

SC

SR

C

CQ1

CQ2

CL

irQ1

irQ2

irL

Rezulta ca orice masina reversibila indiferent de agentul de lucru cu care opereaza are acelasi randament daca lucreaza intre acelasi doua temeperaturi. Pentru prima partea textului vom considarea acelasi aranjament. Respectiv o masina motoare reversibila si o masina ireversibila. Axele fiind cuplate CLL = . In continuare nu ne propunem ca sa demonstram acest text. Ceea ce ne propunem este ca sa urmam argumentatia lui Feynman pentru a ajunge la formularea consacrata a Principiului al II-lea. Pentru ηη >C si tinand seama de egalitatea lucrului mecanic, vom avea:

0

:

0

1

si 00

2

2

1

1

1

1

2

2

1

2

1

2

1

22

2

1

22

1

2

1

2

1

2

112

)(

2

)(

1

)(

1

)(

≤+⇔≥−

⇔≥

=−

−≥

−⇔≤

≤−

+

−=≤+=+

> +−

−+

T

Q

T

Q

T

Q

T

Q

T

T

Q

Q

laconducevaceceea

T

T

Q

Q

dar

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

apoisi

Q

Q

Q

Q

Qlaeainegalitatimpartindsau

QQQQQQ

C

C

C

C

C

C

C

C

CC

C

C ηη

Aceasta ultima expresie este echivalenta cu formularea lui Clausius 0≤∫ T

Qδ conform

careia pe un ciclu, integrala din T

Qδ va fi mai mica sau cel mult egala cu zero. Desi se

observa ca este o consecinta a teoremei lui Carnot, este totusi meritul lui Clausius ca a pus in evidenta acest raport care va permite introducerea unei marimi noi in termodinamica – entropia. In limba greaca, entropia are semnificatie de directie sau sens de evolutie. Pentru transformari reversibile, entropia se defineste dupa cum urmeaza:

∫=−⇒=2

1

12 T

QSS

T

QdS revrevrevrev

rev

δδ

In cazul transformarilor ireversibile, cum ar fi exemplul de mai sus, vom considera un bilant termic pe sursa rece – SR:

ir - ireversibil C - Carnot C – cuplaj mecanic


17

∫∫∫∫ ≤⇒≤+⇒≤+2

1

2

1

2

1

1

2

22 00Q T

Q

T

Q

T

Q

T

QQ revrevC δδδδ (schimbarea semnului s-a facut prin schimbarea limitelor de integrare)

Ceea ce este echivalenta cu urmatoarea expresie:

T

QdSsau

T

Q

T

Q revrev δδδ ≥≥

Sau in forma integrala:

sistemin generata entropia

2

1

12

=

+=− ∫

gen

genrev

S

ST

QSS

δ

Deci, enuntul Principul al II-lea al termodinamicii se poate reformulaa: „in orice proces ireversibil entropia creste”. Cresterea entropiei este evidentiata de entropia generata in sistem.

Unitatea de masura a pentru entropie este: K

JS

SI1= .

Entropia este o marime aditiva, in sensul ca entropia unui sistem este suma entropiiilor subsistemelor componente.

Entropia este o marime extensiva si de aceea se poate defini entropia specifica: ∫==T

q

m

Ss

δ

Cercetarile asupra entropiei au reprezentat un amplu teren de dezbateri stiintifice care continua si astazi. Principala abordare in asocierea unui sens fizic acestei marimi l-a constituit abordarea statistica. Interpretarea probabilistica a entropiei Pentru inceput sa ne aducem aminte de notiunea de probabilitate compusa. Astfel, fiind date 20 de bile aflate intr-o urna, din care 10 sa fie albe si 10 sa fie negre, probabilitatea ca la o extragere sa se obtina o bila alba este:

5,020

10 ==Ωa

Iar daca din cele 10 bile albe, 5 au si o dunga, probabilitatea de a extrage o bila alba cu dunga este:

25,020

5ad ==Ω

Ceea ce este ca si cum am considera succesiv:


18

I II

25,05,05,0

5,010

5

5,020

10

=⋅=Ω⋅Ω=Ω

==Ω

==Ω

daad

d

a

Adica probabilitatea de a extrage o bila alba cu dunga, este egala cu probabilitatea de a extrage o bila alba (dintre toate bilele din urna) inmultita cu probabilitatea de a extrage o bila cu dunga (daca in urna s-ar afla numai bilele albe). Pentru a vedea cum se aplica notiunea de probabilitate in termodinamica, sa consideram acum situatia in care avem un gaz format dintr-un numar de particule, aflate intr-o incinta separata in doua volume. Separarea se face printr-un perete permeabil care are rolul de a delimita numai geometric cele doua spatii fara a influenta in nici un fel deplasarea libera a particulelor. Sa consideram ca initial gazul este format dintr-o singura molecula. In acest caz, gazul se poate afla in una din cele doua strari echiprobabile respectiv cu molecula in volumul I sau in volumul II. Probabilitatea starii cu molecula in volumul I va fi:

2

11 =Ω

Pentru un gaz cu doua molecule, numarul de stari echiprobabile creste. Probabilitatea starii cu ambele molecule in volumul I va rezulta din formula probabilitatii compuse, reamintita mai sus, astfel:

2

2 2

1

2

1

2

1

=⋅=Ω

Si asa mai departe, pentru un gaz cu N molecule, probabilitatea starii corespunzatoare situarii (de la sine) a tuturor particulelor in volumul I va fi:

N

N 2

1

=Ω

Observam ca probabilitatea unei stari din multimea starilor echiprobabile in care s-ar putea afla un sistem oarecare format din N particule este invers proportionala cu N2 . In continuare vom considera entropia ca o functie de forma: ( )Ω= ϕS , unde Ω reprezinta probabilitatea starilor echiprobabile. De asemenea, vom considera un sistem format din doua stari caracterizate prin functiile 21,SS dependente de 21 ΩΩ derespectivsi . Din proprietatea de aditivitate a entropiei rezulta:

21 SSS += Iar din proprietatea probabilitatilor compuse:


19

21ΩΩ=Ω In consecinta, vom avea urmatoarele expresii intiale:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2121

2211 ; ;

Ω+Ω=ΩΩΩ=Ω=Ω=

ϕϕϕϕϕϕ SSS

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

Ω=

=+Ω

=+ΩΩ⇒Ω

=Ω⇒Ω

ΩΩ

ΩΩ

ΩΩΩΩ

ΩΩΩ

d

d

formaaredouaaderivataiar

cuechivalentestececeea

'''

:

0'''

:

0''' de functiein oara doua a Derivam

'' de functiein data o Derivam

2121

121

212

21

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕϕ

In consecinta vom obtine urmatoarea ecuatie difrentiala:

( )( )

( ) ( )

( )0

'

'':0'

'=

ΩΩ+⇒

ΩΩ

=+ΩΩ Ω

ΩΩΩ

Ω dd

dd

d

ϕϕϕ

ϕϕ

Iar dupa o prima integrare rezulta: ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ΩΩ=

=ΩΩ

⇒Ω

=

=Ω⇒=Ω+⇒

Ω

ΩΩΩ

ΩΩ

dkd

obtineseiabileleseparasecedupaunde

kd

d

d

d

Dar

kconst

ϕ

ϕϕϕ

ϕϕ

:var

'

'.ln'ln

Iar dupa a doua integrare se obtine: ( ) 11 lnln kkskk +Ω=⇒+Ω=Ωϕ

Pentru a determina constanta 1k vom aplica din nou ecuatia de aditivitate:

0

ln

ln

lnlnln

1

122

111

1211121

=⇒

+Ω=+Ω=

+Ω++Ω=+ΩΩk

kks

kks

kkkkkk

Si astfel ajungem la formula lui Bolzmann pentru entropia starilor echiprobabile:

KJk 231038,1 −⋅=

=

unde

klnΩS

In sens probabilistic, entropia este o marime proportionala cu logaritmul natural al probabilitatii starii echiprobabile. Deci se poate spune ca entropia este o masura a starii de ordine intr-un sistem.


20

Cu cat intr-un sistem creste agitatia particulelor, cu atata se poate spune ca in sistemul respectiv entropia creste. In consecinta, putem spune ca evolutia generata a proceselor ireversibile din natura este in sensul de crestere a entropiei din sistemul considerat.

notite de curs7 termotehnica termodinamica

Documents