MULȚIMI CLASA A- V- AOLIMPIADE FIȘE 4

1) Fie A mulţimea numerelor naturale de 3 cifre care împărţite la 5 dau restul 1 şi împărţite la 9 dau restul 2. a) Să se determine cel mai mic şi cel mai mare element din mulţimea A; b) Să se calculeze suma elementelor mulţimii A; c) Să se arate că există 5 mulţimi disjuncte A1,A2,A3,A4,A5 astfel încât A1UA2UA3UA4UA5=A şi S1=S2=S3=S4=S5 unde Sk este suma elementelor mulţimii Ak oricare ar fi k {1,2,3,4,5}.

OJ BRĂILA 20092) Să se găsească mulțimile A și B care au fiecare câte 3 elemente, numere naturale, știind că satisfac următoarele proprietăți : a) 4 A∩B; b) x A x2 B ; c) suma elementelor mulțimii B este triplul sumei elementelor mulțimii A.

OL CARAȘ SEVERIN 20093) a) Se consideră mulțimea A = {2; 4; 6; ... 2n;...}. Construim șirul de submulțimi ale mulțimii A: A1 = {2}; A2 = {4; 6}; A3 = {8; 10; 12}; A4 = {14; 16; 18; 20}; .... Scrieți mulțimile A10; A11 și A100. Calculați suma elementelor mulțimii A100

b) Considerăm mulțimile B = {2009n + n / n N} și C = {n2009 + 2009 / n N} Precizați dacă există un element b B astfel încât b ≠ c, oricare ar fi c C.

OJ DOLJ 20094) Să se determine mulţimile nevide şi care verifică simultan condiţiile:

.Cel mai mare element al mulţimii este cel mult 6.Pentru orice , există , astfel încât este pătrat perfect.Pentru orice , există , astfel încât este pătrat perfect.

OJ HUNEDOARA 20095) Fie mulţimile:

a) Determinati multimea M10 \ M9

b) Există n natural nenul astfel încât 2009 M n ?c) Aflaţi numărul elementelor divizibile cu 5 din M2009 .

OL TELEORMAN 20096) Se dau mulţimile: A={x|x=2k+5, k N} şi B={y|y=n2+n, n N} în care elementele sunt ordonate crescător.

a) Scrieţi primele 3 elemente ale mulţimii A;b) Arătaţi că 547 A\B;

c) Arătaţi că cele două mulţimi sunt disjuncte.OJ VASLUI 2009

7) Fie mulţimea A = {1, 2, 3, …, 2010}. Să se determine cardinalul mulţimii B, unde B = {x A x 2 sau x 3 sau x 5}.8) Se dă şirul de mulţimi: A1 = {1}, A2 = {2, 3, 4}, A3 = {5, 6, 7, 8, 9}, …

a) Scrieţi elementele mulţimii A4.b) Cărei mulţimi îi aparţine elementul 2010? Justificare.c) Determinaţi cel mai mic şi cel mai mare element al mulţimii A2010.

OJ ARGEȘ 20109) Se consideră mulţimea A = {x/ x= n4 ,n N}. Arătaţi că în orice submulţime cu cinci Elemente a lui A se găsesc cel puţin două a căror diferenţă este divizibilă cu 10.

OL BRĂILA 201010) O mulțime de numere naturale X se numește interesantă dacă se poate împărți în două submulțimi Y și X\Y astfel încât suma elementelor din Y să fie egală cu suma elementelor din X\Y . Fie A = {1, 2, 3, ..., 2010}. Arătați că: a) Mulțimea B = {2, 3, 4, 5, 6} este interesantă. b) Mulțimea A nu este interesantă. c) Mulțimea A\{1} este interesantă

OL BRAȘOV 201011) Determinați toate mulțimile alcătuite din trei numere naturale nenule, care au proprietatea: câtul și restul obținute prin împărțirea sumei oricăror două elemente ale mulțimii la cel de-al treilea sunt numere distincte din multțimea {1; 2; 3}.

ON 201012) Determinaţi x,y N pentru care mulţimile A={5x+3;36} şi B={x2;7y+5} sunt egale şi stabiliţi dacă AUB poate avea trei elemente.

OJ CUJ 201013) Fie mulțimile A = {x | x = 3n + 1, n N}; B = {x | x = 7n + 6, n N}; C = {x | x = 2n + 1, n N, x ≤ 2010}. i) Verificați că A \ B = {x | x = 21k + 13, k N}. ii) Calculați card(A \ B \ C).

OJ DOLJ 201014) Fie A = {x | x = 5n + 3,n N} și B = {y | y = 2010 p + 7, p N}. Aflați câte elemente are multimea A∩ B .

OL IAȘI 201015) Se dau mulţimile Să se determine mulţimile

OL MUREȘ 201016) Fie A={xN / x împărţit la 6, respectiv la 8 dă restul 5}. a) Aflaţi cel mai mic număr natural de trei cifre din mulţimea . b) Aflaţi restul împărţirii numărului a= (x-5)(x+4)(x+3) la 1152, pentru orice număr x A.

OL NEAMȚ 201017) Fie mulţimile X={(7n-11) N | nN*\{1}, 7n-11 se divide cu 19}; Y = {(11n-13) N | nN*\{1}, 11n-13 se divide cu 19}. Z = {(9n-15) N| nN*\{1}, 9n-15 se divide cu 19} a) Determinaţi cel mai mic element al mulţimilor X,Y şi Z. b) Arătaţi că mulţimile X,Y şi Z au cel puţin un element comun. c) Găsiţi mulţimea T={an+b| a,b N*, an+b se divide cu 19} care să aibă cel puţin un element comun cu Y,Z şi cel puţin 2 elemente comune cu X, a,b nu sunt divizibile cu 19, a ≠ 7, b ≠ 11.

OJ SATU MARE 2010