Universitatea „Dunărea de Jos” din Galați, Facultatea de Economie și Administrarea Afacerilor

Modelul Ramsey: alocarea optimă intertemporală continuă a resurselor pe

orizont infinit

Proiect la disciplina Cibernetică

Student: Balaban Andra

Specializare: Informatică Economică

Grupa: 1

An: III

-2011-

Cuprins

1. Cadrul axiomatic...................................................................................................................... 1

2. Reglarea dinamică optimală în alocarea resurselor pentru consum și investiții ...................... 2

3. Analiza dinamicii: evoluția spre traiectoria de aur .................................................................. 4

3.1 Analiza în spațiul fazelor.................................................................................................. 4

3.2 Analiza dinamică prin liniarizare: metoda jacobianului .................................................. 7

3.3 Evoluția optimă stabilă: raza von Neumann .................................................................... 8

1

1. Cadrul axiomatic

i1) Producția (outputul) este rezultatul folosirii a doi factori: capitalul 𝐾𝑡 și forța de muncă 𝐿𝑡

reprezentat prin funcția de producție

𝑦𝑡 = 𝐹 𝐾𝑡 , 𝐿𝑡 (1)

unde 𝐿𝑡 - este o variabilă exogenă, având ritmul de creștere 𝐿 𝑡/𝐿𝑡 = 𝑛 și F are proprietățile

neclasice cunoscute: randamente marginale descrescătoare ale factorilor 𝐹𝐾′ > 0,𝐹𝐿

′ > 0,𝐹𝐾′′ < 0

și matricea hessiană 𝐻𝐹 negativ definită.

În plus, pentru simplificarea analizei presupunem că 𝐹(∙) are randamente constante la scală (deci

omogenă de ordin 1):

𝐹 𝜆𝐾, 𝜆𝐿 = 𝜆𝐹 𝐾, 𝐿 = 𝜆 ∙ 𝑌, (∀)𝜆 > 0

i2) Ecuația de echilibru, în structura de repartiție a producției:

𝑌𝑡 = 𝐶𝑡 + 𝐼𝑡 (2)

unde 𝐼 𝑡 , 𝐶𝑡 sunt funcțiile cererii de investiții, respectiv consum, agregate sub aspectul destinației:

private și guvernamentale 𝐺𝑡 = 𝐼𝑡𝐺 + 𝐶𝑡

𝐺 .

i3) Dinamica capitalului

𝐾 (𝑡) = 𝐼𝑡 (3)

deci 𝐼𝑡 - reprezintă investițiile brute care acoperă și deprecierea capitalului, deci 𝐼 𝑡 = 𝐼 𝑡𝑁 + 𝐼 𝑡

𝑅 , 𝐼 𝑡𝑁

– investiție netă, 𝐼 𝑡𝑅 - investiția de înlocuire a capitalului depreciat presupusă aici egală cu

amortizările 𝐼 𝑡𝑅 = 𝐴𝑡 . În consecință 𝑌𝑡 este PNB și nu PNN.

i4) Funcția de producție este presupusă ca având randamente constante la scală și, în consecință,

productivitatea muncii se poate scrie ca o funcție de înzestrare tehnică a muncii 𝑘𝑦 =𝐾𝑡

𝐿𝑡.

𝐾𝑡

𝐿𝑡= 𝑓 𝑘𝑡 = 𝐹 𝑙,𝑘𝑡 (4)

unde 𝑓 ′ > 0,𝑓 ′′ > 0 (productivitatea este funcție crescătoare, dar concavă de dotarea tehnică per

capita 𝑘𝑡).

Reprezentând ecuația de echilibru (2) în variabile per capita, deducem că productivitatea muncii

se poate scrie astfel:

𝑓 𝑘𝑡 = 𝑐𝑡 + 𝑘 𝑡 + 𝑛 ∙ 𝑘𝑡 (5)

2

deci trebuie să acopere consumul per capita 𝑐𝑡 =𝐶𝑡

𝐿𝑡 , creșterea dotării tehnice (𝑘 𝑡) și crearea

pentru noii angajați (𝑛 ∙ 𝑘𝑡).

Într-adevăr, din (2) și (3) deducem, după împărțirea cu 𝐿𝑡 :

𝑌𝑡𝐿𝑡

=𝐶𝑡𝐿𝑡

+𝐾𝑡

𝐿𝑡= 𝑐𝑡 +

𝐾𝑡

𝐿𝑡 (2′)

𝑘 𝑡 =𝑑

𝑑𝑡 𝐾𝑡

𝐿𝑡 =

𝐾 𝑡 ∙ 𝐿𝑡 − 𝐾𝑡 ∙ 𝐿 𝑡

𝐿𝑡2 =

𝐾 𝑡𝐿𝑡

− 𝑘𝑡 ∙𝐿 𝑡𝐿𝑡

=𝐾 𝑡𝐿𝑡

− 𝑛𝑘𝑡

și înlocuind în (2′), găsim (5).

i5) Funcția de utilitate la momentul t:

𝑈𝑡 = 𝑢(𝑐𝜏)𝑒−𝜃(𝜏−𝑡)𝑑𝜏

∞

𝑡

(6)

este reprezentată ca o „sumă” (în varianta coninuă, ∫ ) a utiliăților momentane (instantanee) ale

consumului curent și viitor per capita 𝑢 𝑐𝜏 , 𝜏 ≥ 𝑡, actualizare (discount), 𝜃, unde: 𝑢 𝑐𝜏 - este

nenegativă, monoton crescătoare 𝑢′ > 0 și concavă 𝑢′′ < 0.

Obiectivul este maxim 𝑈0.

2. Reglarea dinamică optimală în alocarea resurselor pentru consum

și investiții

În contextul ipotezelor (i1-i5), obținem modelul dinamic:

max

𝑐𝑡𝑈0 = 𝑢 𝑐𝑡 𝑒

−𝜃 𝜏−𝑡 𝑑𝜏 (6′)

∞

0

𝑆.𝑅 𝑘 𝑡 = 𝑓 𝑘𝑡 − 𝑛𝑘𝑡 − 𝑐𝑡 (5′)

𝑘0 − 𝑑𝑎𝑡, 𝑐𝑡 > 0 (5′′ )

unde condițiile de nonnegativitate (5′′ ), naturale sub aspectul cerințelor economice, arată că

optimizarea se face pe domeniul deschis 𝑐𝑡 ∈ (0,∞) pentru variabila de control și 𝑘𝑡 ∈ (0,∞)

pentru variabila de stare.

Aplicăm principiul Pontreaghin și notând Ψ𝑡 variabila adjunctă atașată ecuației de dinamică

(5′′ ), obținem hamiltonianul:

𝐻𝑡 = 𝑢𝑡 𝑐𝑡 𝑒−𝜃𝑡 + Ψ𝑡 ∙ 𝑓 𝑘𝑡 − 𝑛 ∙ 𝑘𝑡 − 𝑐𝑡 (7)

3

Ținând seama că modelul este cu actualizare, trecem la variabila adjunctă, 𝜆𝑡 , unde 𝜆𝑡 = 𝑒−𝜃𝑡 ∙

Ψ𝑡 și obținem condiția necesară de optim:

max𝑐𝑡

𝐻𝑡 = 𝑢 𝑐𝑡 + 𝜆𝑡 𝑓 𝑘𝑡 − 𝑛𝑘𝑡 − 𝑐𝑡 𝑒−𝜃𝑡 (7′)

adică:

𝜕𝐻𝑡

𝜕𝑐𝑡= 0 ⇒ 𝑢′ 𝑐𝑡 = 𝜆𝑡 (8)

și ecuația de dinamică a variantei adjuncte:

Ψ 𝑡 = −

𝜕𝐻𝑡

𝜕𝑘𝑡 (9)

lim𝑡→∞

𝑘𝑡 ∙ 𝑢′ 𝑐𝑡 𝑒

−𝜃𝑡 = 0 (10)

în care (10) reprezintă condiția de transversalitate pe orizontal infinit, adică lim𝑡→∞(𝑘𝑡 ∙ Ψ𝑡) = 0,

deci traiectoria optimă 𝑘𝑡 trebuie să fie ortogonală la ∞ pe traiectoria variabilei adjuncte atașate

Ψ𝑡 .

Dar,

Ψ 𝑡 = −θ ∙ 𝑒−𝜃𝑡 ∙ 𝜆 𝑡 ,

Astfel că (9) devine:

𝜆 𝑡 = 𝜃 + 𝑛 − 𝑓 ′ 𝑘𝑡 (9′)

Înlocuim în (9′), expresia lui 𝜆𝑡 dată de CN0, (8). Rezultă:

𝑑

𝑑𝑡 𝑢′ 𝑐𝑡 = 𝜃 + 𝑛 − 𝑓 ′ 𝑘𝑡 ∙ 𝑢

′ 𝑐𝑡

deci:

𝑢′′ 𝑐𝑡

𝑢′ 𝑐𝑡 ∙ 𝑐 𝑡 = 𝜃 + 𝑛 − 𝑓 ′ 𝑘𝑡 (9′′ )

expresie care evidențiază în membrul stâng indicatorul AAR (aversiunea absolută la risc−𝑈 ′′ (𝑐𝑡)

𝑈 ′ (𝑐𝑡))

și după trecerea la AAR, −𝑐𝑡𝑈

′′ (𝑐𝑡)

𝑈 ′ (𝑐𝑡)= 𝜎−1(𝑐𝑡) - corespondentul elasticității ratei marginale de

substituție intertemporală a consumului, 𝜎 𝑐𝑡 =1

𝐸𝑟 (𝑐𝑡) , unde 𝑟 𝑐𝑡 = 𝑅𝑀𝑆𝐼𝐶 - rata marginală

de substituire instantanee a consumului 𝑐𝜏 și 𝑐𝑡 cu 𝜏 → 𝑡.

4

În concluzie, dinamica consumului și a dotării tehnice (în variabila per capita) pe traiectoriile lor

optime este reprezentată prin modelul:

𝑐 𝑡 = 𝜎 𝑐𝑡 ∙ 𝑓

′ 𝑘𝑡 − 𝑛 − 𝜃 ∙ 𝑐𝑡 (9′′′ )

𝑘 𝑡 = 𝑓 𝑘𝑡 − 𝑛𝑘𝑡 − 𝑐𝑡 (5′)

cu 𝑐0,𝑘0- cunoscute.

Așadar evoluția optimă este descrisă prin acest sistem dinamic neliniar, evidențiind că rata de

creștere a consumului per capita 𝑐

𝑐 este proporțională cu 𝑓 ′ 𝑘𝑡 − 𝑛 − 𝜃 = 𝜂𝐾 − (𝜃 + 𝑛),

adică cu randamentul marginal al caputalului diminuat cu suma dintre rata de creștere a forței de

muncă și rata de actualizare, coeficientul de proporționalitate fiind elasticitatea de substituire

intertemporală (instantanee) a consumului.

3. Analiza dinamicii: evoluția spre traiectoria de aur

Starea staționară 𝑐∗,𝑘∗ se deduce din sistemul algebric:

𝑓 ′ 𝑘 = 𝑛 + 𝜃 (9′′′ 𝑎)

𝑐 = 𝑓 𝑘 − 𝑛 ∙ 𝑘 (5′𝑎)

punând condiția de staționaritate 𝑐 = 0,𝑘 = 0.

Prima ecuație dă soluția unică 𝑘∗ = (𝑓 ′)−1(𝑛 + 𝜃), deoarece 𝑓 ′ este monoton descrescătoare,

expresie numită în literatura de specialitate traiectoria „de aur” a creșterii economice;

corespunzător, consumul per capita va fi 𝑐∗ = 𝑓 𝑘∗ − 𝑛𝑘∗.

Corespunzător, obținem dinamica optimală a variabilelor rezultative de-a lungul traiectoriei

staționare:

capitalul: 𝐾𝑡∗ = 𝑘∗ ∙ 𝑒𝑛𝑡𝐿0

consumul: 𝐶𝑡∗ = 𝐶∗ ∙ 𝑒𝑛𝑡𝐿0

producția (PNB): 𝑌𝑡∗ = 𝐹(𝐾𝑡

∗, 𝑒𝑛𝑡𝐿0)

investiția: 𝐼𝑡∗ = 𝑌𝑡

∗ − 𝐶𝑡∗.

3.1 Analiza în spațiul fazelor

Curbe izostaționare:

𝑐 = 0 este conform (9′′′ 𝑎), dreapta 𝑘 = 𝑘∗, paralelă cu ordonata;

5

𝑘 = 0 este curba (5′𝑎), al cărei tablou de variație se obține imediat, observând că: 𝑐′ =𝑑𝑐

𝑑𝑘=

𝑓 ′ 𝑘 − 𝑛, cu soluția 𝑘𝑔 = 𝑓1 −1(𝑛) reprezentând nivelul dotării per capita pe „traiectoria de

aur”, în care se face abstracție de actualizarea 𝜃, deci 𝑘𝑔 > 𝑘∗ (figura 1).

Figura 1

Aici 𝑘 este nivelul maxim al dotării per capita, pentru care nivelul consumului este nul (toată

avuția este alocată spre investiții), deci 𝑘 este soluția ecuației rezultată din (5′𝑎) (figura 2),

𝑓 𝑘 = 𝑛𝑘, soluție unică. În plus se observă, conform teoremei Lagrange, că avem, 𝑘 > 𝑘𝑔 .

Figura 2

În concluzie, reprezentând în cele două axe ale spațiului fazelor (k,c) curbele izostaționare

precizate, obținem graficul din figura 3.

6

Figura 3

Cele două curbe izostaționare (𝑐 = 0,𝑘 = 0) partiționează spațiul fazelor în patru regiuni.

Determinarea versorilor direcțiilor de deplasare a variabilelor 𝑐𝑡 și 𝑘𝑡 .

a) La dreapta curbei 𝑐 = 0, avem:

𝑘𝑡 > 𝑘∗ ⇒ 𝑓 ′ 𝑘𝑡 < 𝑓 ′ 𝑘∗ ⇒ 𝑓 ′ 𝑘𝑡 − 𝑛 + 𝜃 < 𝑓 ′ 𝑘∗ − (𝑛 + 𝜃) ⇒

𝜎 𝑐𝑡 ∙ 𝑓′ 𝑘𝑡 − 𝑛 + 𝜃 ∙ 𝑐𝑡 < 𝜎 𝑐𝑡 ∙ 𝑓

′ 𝑘𝑡 − 𝑛 + 𝜃 ∙ 𝑐𝑡 ⇒ 𝑐 𝑡 < 0 ⇒ 𝑐𝑡 ↘.

𝑐 𝑡 = 0

deci versorul este ↓.

În consecință, la stânga curbei 𝑐 = 0, versorul este ↑.

b) Similar, deasupra curbei, 𝑘 = 0, deducem 𝑘 < 0,↘ deci k ↕.

versorul va fi ←, iar sub această crubă →.

Urmărind rezultantele direcțiilor date de versori se deduce că starea de echilibru staționar

𝐸(𝑘∗, 𝑐∗) este un punct șa, deci echilibrul este instabil, dar există un singur drum pe care, dacăse

află starea inițială 𝑘0, 𝑐0 , evoluția optimă 𝑘𝑡 , 𝑐𝑡 se deplasează spre echilibrul E. Această

situașie este reprezentată prin punctele 𝑃0 din regiunea 𝑅1, respectiv 𝑃0′ din regiunea 𝑅3. Din

orice alt punct al stării inițiale nu se va derula starea inițială spre 𝑘0, 𝑐1 ∈ 𝑅1 cu 𝑐1 > 𝑐0,

înseamnp o alocare inițială a resurselor spre un nivel al consumului prea mare pentru capacitatea

economiei, situație care se va constata nu imediat, ci pe termen lung, întrucât va crește consumul

concomitent cu capitalul (per capita) și aceasta până la atingerea curbei 𝑘 = 0, când economia

trece în regiunea 𝑅2, cu descreșterea capitalului și creșterea consumului pe seama resurselor din

decapitalizare, traiectoria 𝑇1, evoluție care nu poate dura la infinit, întrucât resursele atrase din

7

decapitalizare se vor epuiza rapid, declarându-se starea de „faliment” a economiei, aceasta

trecând la un nou echilibru - și analiza se reia.

Similar se interpretează evoluția pe traiectoria 𝑇2 pornind din starea inițială 𝑃2(𝑘0, 𝑐2) cu 𝑐2 >

𝑐0, situație care creează resurse suplimentare pentru investiții și deci cu o creștere accelerată a

capitalului (per capita) concomitent cu o creștere (mai lentă) a consumului, pănă se atinge curba

𝑐 = 0, câmd se intră în regiunea 𝑅4 cu creștere a capitalului, dar descreșterea accelerată a

consumului, situație în care, de asemenea, nu poate fi durabilă.

3.2 Analiza dinamică prin liniarizare: metoda jacobianului

Liniarizăm sistemul dinamic al evoluției pe traiectoriile optime (9′′′ ) și (5′) în vecinătatea

punctului staționar (𝑘∗, 𝑐∗) conform relației

𝑔 𝑘, 𝑡 = 𝑔 𝑘∗, 𝑐∗ + 𝑔𝑘′ 𝑘∗, 𝑐∗ 𝑘 − 𝑘∗ + 𝑔𝑐

′ 𝑘∗, 𝑐∗ 𝑐, 𝑐∗

unde, pentru prima ecuație (9′′′ ) funcția g este

𝑔 = 𝜎 𝑐 ∙ 𝑐 𝑓 ′ 𝑘 − 𝑛 − 𝜃 ,

și cum 𝑓 ′ 𝑘∗ = 𝑛 + 𝜃, găsim dinamica consumului per capita:

𝑐 𝑡 = 𝜎 𝑐 ∙ 𝑐 ∙ 𝑓 ′′ 𝑘∗ ∙ 𝑘 𝑡 − 𝑘∗ (11)

Pentru a doua ecuație (5′) funcția g este:

𝑔 = 𝑓 𝑘𝑡 − 𝑛𝑘𝑡 − 𝑐𝑡 deci

𝑔 𝑘, 𝑐 = 𝑓 𝑘∗ − 𝑛𝑘∗ − 𝑐∗ + 𝑓 ′ 𝑘∗ − 𝑛 ∙ 𝑘 − 𝑘∗ − 𝑐 − 𝑐∗

= 0

astfel că, dinamica capitalului per capita va fi:

𝑘 𝑡 = 𝑓 ′ 𝑘 − 𝑛 ∙ 𝑘 𝑡 − 𝑘∗ − (𝑐 𝑡 − 𝑐∗) (12)

= 𝜃 − conform (9′′′ 𝑎)

Așadar dinamica în vecinătatea punctului staționar se derulează conform ecuațiilor:

𝑐 𝑡 = −𝛾 ∙ 𝑘 𝑡 − 𝑘∗ (11′)

𝑘 𝑡 = 𝜃 ∙ 𝑘 𝑡 − 𝑘∗ − 𝑐 𝑡 − 𝑐∗ (12′)

unde, pentru simplificarea scrierii, am notat

𝛾 = −𝜎(𝑐∗) ∙ 𝑐∗ ∙ 𝑓 ′ ′(𝑘∗) > 0

(−)

8

Jacobianul sistemului este

ℑ = 0 −𝛾−1 𝜃

cu Trℑ = θ > 0 detℑ = −𝛾 < 0

(13)

Cum detℑ < 0 ⇒ punctul staționar 𝑘∗, 𝑐∗ este de tip șa, așa cum a rezultat și din diagrama

spațiului fazelor.

Evident, la același rezultat ajungem calculând valorile proprii. Ecuația caracteristică

𝛾2 = Trℑ 𝛾 + detℑ = 0 este: 𝛾2 − 𝜃𝛾 − 𝛾 = 0 cu rădăcinile 𝛾1,2 ∈ ℜ,

𝛾1,2 =𝜃± 𝜃2+4𝛾

2, deci 𝛾1 < 0 și 𝛾2 > 0, ceea ce indică stabilitate indusă de prima și

instabilitatea indusă de a doua rădăcină caracteristică, adică 𝑘∗, 𝑐∗ este punctul șa.

3.3 Evoluția optimă stabilă: raza von Neumann

Din graficul rezultat din analiza dinamică în spațiul fazelor (figura 3) am sesizat (fără a

demonstra) că exista o traiectorie 𝑇0 sau 𝑇0′ care permite atingerea stării staționare.

Demonstrăm acum existența ei, condițiile de unicitate și deducem expresia analitică a acestei

traiectorii.

Observăm că notând 𝑥 𝑡 = 𝑐 𝑡 − 𝑐∗, 𝑦 𝑡 = 𝑘 𝑡 − 𝑘∗ variabilele care cuantifică abaterea de

la echilibru în soluția pe traiectoria optimă, obținem sistemul dinamic liniar autonom.

𝑋 𝑡 = ℑ ∙ 𝑋 𝑡 (14)

unde 𝑋 𝑡 = 𝑥(𝑡)𝑦(𝑡)

, deci evoluția lui poate fi determinată cu polinomul de interpolare

Sylvester-Lagrange sau metoda diagramatizării pentru identificarea matricei fundamentale de

soluții (𝑥 𝑡 = 𝑒ℑ∙𝑡 ∙ 𝑥0) sau direct cunoscând valorile proprii 𝛾1,2 găsite mai sus:

𝑥 𝑡 = 𝑑1𝑒

𝜆1𝑡 + 𝑑2𝑒𝜆2𝑡 (15𝑎)

𝑦 𝑡 = 𝑑3𝑒𝜆1𝑡 + 𝑑4𝑒

𝜆2𝑡 (15𝑏)

unde 𝑑𝑗 𝑗 = 1,4 sunt coeficienți care se determină în funcție de starea inițială 𝑥0 = 𝑐0 − 𝑐∗,

𝑦0 = 𝑘0 − 𝑘∗.

Cum 𝛾2 > 0 ⇒ 𝑒𝜆2𝑡 → ∞, se deduce imediat că evoluția pe traiectoria stabilă (𝑇0) este

asigurată dacă și numai dacă 𝑑2 = 𝑑4 = 0.

Această condiție ne permite să identificăm proporțiile optime în procesul alocării resurselor

pentru consum și dezvoltare și să găsim evoluția optimă în aceste condiții:

9

𝑐𝑡 = 𝑐∗ + 𝑐0 − 𝑐∗ 𝑒𝜆1𝑡 (16𝑎)

𝑘𝑡 = 𝑘∗ + 𝑘0 − 𝑘∗ 𝑒𝜆1𝑡 (16𝑏)

deoarece 𝑑1 = 𝑐0 − 𝑐∗, 𝑑3 = 𝑘0 − 𝑘∗, unde 𝜆1 =1

2 𝜃 − 𝜃2 + 4𝛾 .

Determinăm 𝑑1 și 𝑑4 și punem condiția 𝑑2 = 𝑑4 = 0 din care deducem proporțiile strict

necesare (𝑘0, 𝑐0) în starea inițială pentru a asigura plasarea economiei pe unica traiectorie optimă

𝑇0.

Prin (15a, 15b) deducem

𝑑1 + 𝑑2 = 𝑥0 (15′𝑎)

𝑑3 + 𝑑4 = 𝑦0 (15′𝑏)

Punând condiția că x(t) și y(t) date de (15a) și (15b) sp verifice traiectoriile optime de-a lungul

sistemului (14), adică

𝑥 𝑡 = −𝛾 ∙ 𝑦 𝑡

𝑦 𝑡 = −𝑥 𝑡 + 𝜃𝑦(𝑡) ⇒ 𝜆1𝑑1 + 𝜆2𝑑2 = −𝛾𝑦0 (14′𝑎)

𝜆1𝑑3 + 𝜆2𝑑4 = 0𝑦0 − 𝑥0 (14′𝑏)

și cum 𝑑2 = 𝑑4 = 0 ⇒ 𝑥0 = −

𝛾

𝜆1𝑦0 (17𝑎)

𝑥0 = 𝜃 − 𝜆1 𝑦0 (17𝑏)

Cum 𝜆2𝜆2 = −𝛾 și 𝜆2+𝜆2 = 𝜃, cele două condiții (17a) și (17b) sunt echivalente, reducându-se

la una singură:

𝑥0 = 𝜆2𝑦0 (17)

deci în starea inițială, consumul și capitalul (per capita) trebuie să fie în relația:

𝑐0 − 𝑐∗ = 𝜆2 𝑘0 − 𝑘∗ (17′)

proporția optimă fiind definită prin valoarea proprie dominantă 𝜆2.

În consecință, oricare are fi momentul 𝜏 care definește starea în care a ajuns economia la

momentul 𝜏, trebuie ca abaterile între nivelul atins al economiei și capitalul (per capita) față de

nivelul staționar 𝑘∗, 𝑐∗ să verifice cerința:

𝑐𝜏 − 𝑐∗

𝑘𝜏 − 𝑘∗= 𝜆2 =

1

2 𝜃 + 𝜃2 − 4𝑐∗𝜎 𝑐∗ 𝑓 ′′ 𝑘∗ (17′′ )

unde 𝑘∗ și 𝑐∗ sunt soluțiile ecuațiilor (9′′′ 𝑎) și (15′𝑎).

10

În aceste condiții, traiectoriile de evoluție ale consumului și capitalului (per capita) sunt date de

(16a), (16b), care în spațiul fazelor definesc o evoluție de-a lungul traiectoriei 𝑇0 care este o

dreaptă, obținută eliminând 𝑒𝜆1𝑡 între ele:

𝑐𝑡 − 𝑐∗ =𝑐0 − 𝑐∗

𝑘0 − 𝑘∗ 𝑘𝑡 − 𝑘∗ (16′)

dreapta având panta 𝑐0−𝑐

∗

𝑘0−𝑘∗ = 𝜆2 > 0, deci

𝑐𝑡 = 𝑐∗ + 𝜆2 𝑘𝑡 − 𝑘∗ (16′′ )

Comparând cu teoria creșterii economice, această traiectorie (unică) este „raza von Neumann” a

evoluției optimale către „traiectoria de aur”.

Consecință: dacă starea inițială sau o stare de tranziție (𝑘𝜏 , 𝑐𝜏) nu respectă proporțiile date de

valoarea proprie dominantă 𝜆2, conform (17′), evoluția va fi deschisă prin ecuațiile (15a), (15b)

cu 𝑑2 ≠ 0,𝑑4 ≠ 0, determinați din sistemul (14a; 14b), (14′𝑎; 14′), evoluție care în spațiul

fazelor are forma traiectoriilor 𝑇1 sau 𝑇2 din figura 3.