modalitĂŢi de aplicare a criteriilor de eliminare a ... · problemele de bază, pe care le...

BULETIN ŞTIINŢIFIC

MMOODDAALLIITTĂĂŢŢII DDEE AAPPLLIICCAARREE AA CCRRIITTEERRIIIILLOORR DDEE EELLIIMMIINNAARREE AA VVAALLOORRIILLOORR NNEECCOORREESSPPUUNNZZĂĂTTOOAARREE

DDIINNTTRR--UUNN ŞŞIIRR DDEE RREEZZUULLTTAATTEE OOBBŢŢIINNUUTTEE DDIINN MMĂĂSSUURRĂĂTTOORRII.. PPRROOCCEESSAARREEAA DDAATTEELLOORR PPRRIIVVIITTOOAARREE

LLAA CCAARRAACCTTEERRIISSTTIICCIILLEE IIMMAAGGIINNIILLOORR ÎÎNN VVEEDDEERREEAA CCLLAASSIIFFIICCĂĂRRIIII

Lect.univ. Daniela RĂCHIŢAN

Abstract The Statistical Analysis of data obtained by different measures of objects,

characteristics of random variables which appear frequently in experiments induces inevitable errors which can or can not be admitted. To make the right decision we have to apply specific tests, in correlation with the problem we have to solve. We must establish some application modalities for the elimination from the measuring result sets of the values that doesn’t satisfy some specific criteria. The elimination or the maintenance of a result from this set must be based on one of these criteria. We will also verify the independence and the random character of observation and we will obtain indication concerning systematic trends and the homogeneity of the selections. These results will be applied on specific results obtained from measurements of battlefield characteristics by using professional software.

1. Necesitate şi utilitate Fiecare dintre noi execută măsurători indiferent dacă ne dăm

seama sau nu de acest lucru. Astfel, operaţiunea de cântărire, de stabilire a temperaturii unui corp, obţinerea valorii numerice a unei lungimi sau a unui unghi, toate acestea sunt de fapt măsurări.

Ridicarea preciziei triangulaţiei de stat, a lucrărilor cartografice şi fotogrammetrice presupune stabilirea de metode moderne privind prelucrarea rezultatelor obţinute din măsurări.

Problemele de bază, pe care le abordează teoretic şi practic teoria erorilor, se pot formula în felul următor:

a) studierea legilor de repartiţie a erorilor de măsurare şi determinarea criteriilor de estimare a preciziei măsurărilor;

b) stabilirea toleranţelor care îngrădesc folosirea rezultatelor măsurărilor în anumite limite de precizie date;

1


c) găsirea celei mai probabile valori a mărimii determinate după rezultatele măsurărilor multiple asupra ei;

d) estimarea şi calculul preliminar al preciziei, atât al măsurăto-rilor (observaţiilor) separate, cât şi al rezultatului lor final.

În principiu, măsurările se clasifică după: modul de obţinere a rezultatelor şi aspectul ecuaţiilor de măsurare, corespondenţa dintre numărul ecuaţiilor şi cel al necunoscutelor, precizia rezultatelor obţinute din măsurări, complexul condiţiilor de măsurare, modul de execuţie a măsurătorilor, natura şi raportul dintre diferite mărimi măsurate. (Anexa 1)

2. Cauze ale erorilor şi criterii de eliminare În procesul de măsurare, rebuturile pot apărea datorită mai multor

cauze. Printre acestea pot fi menţionate următoarele: a. şirul de măsurători efectuate asupra uneia sau mai multor

mărimi fizice formează numai o parte din colectivitatea generală. Datorită acestui fapt oricând putem avea surpriza unui rezultat necorespunzător;

b. în procesul măsurării, ca urmare a utilizării unei metode de lucru necorespunzătoare sau datorită ignorării surselor de erori sistematice, pot apărea elemente perturbatoare care să influenţeze negativ citirile efectuate la aparatele de măsură.

Eliminarea sau menţinerea unui rezultat din şirul de măsurători dat trebuie să aibă la bază un criteriu ştiinţific.

Consecinţele unor operaţii arbitrare pot afecta calitatea măsurătorilor. Astfel, în cele ce urmează vom menţiona câteva criterii de eliminare a valorilor necorespunzătoare din şirul de rezultate, fără însă a face consideraţii asupra gradului de eficienţă al fiecăruia dintre ele.

2.1. Criteriul Chouvenet Să presupunem că asupra mărimii fizice s-au efectuat „n“

măsurători, iar rezultatele xiεN(X,σ), unde i=1,n. Ordonând cele n rezultate în sens crescător sau descrescător:

x1 <x2<…<xnx1 >x2>…>xn (1)

putem calcula media aritmetică ( x ) şi abaterea medie pătratică (S).

2


Se elimină din seria de n măsurători o valoare xi(i=1,n) a cărei probabilitate de a ieşi în afara limitelor intervalului maxim admis este

nq

21

≥

Pentru a determina limitele intervalului maxim admis (ε), în interiorul căruia dispersia valorilor observate în jurul mediei aritmetice este considerată normală, vom utiliza funcţia lui Laplace (tq urmează o lege normală redusă):

ntxxP qi 2

1)(2)|(| ≤Φ=≤− ε

(2) unde tq reprezintă abaterea maximă admisă de la media aritmetică (limita intervalului admis) exprimată în abateri medii pătratice (S).

SS

xxt iq

ε=

−= (3)

Pe baza rezultatelor obţinute, criteriul Chouvenet este definit de relaţia:

ntq 2

1)(21 ≥Φ− (4)

Pentru cazul extrem, relaţia (4) devine:

ntq 2

1)(21 =Φ− (5)

Deoarece cunoaştem probabilitatea n2

1 şi căutăm să determinăm

limitele intervalului admis pentru o observaţie (ε) este necesar să cunoaştem argumentul funcţiei Φ(tq) pe care-l vom deduce din relaţia (6):

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Φ⋅=n

ntq 412arg (6)

Cu ajutorul formulei (6) putem hotărî dacă valoarea suspectă poate fi eliminată din şirul rezultatelor obţinute şi vom proceda conform ideilor menţionate mai jos.

Calculăm media aritmetică ( x ) şi abaterea medie pătratică (S) în raport cu toate rezultatele măsurătorilor. Dacă valoarea xi este mai mare decât toate celelalte i-1 valori, vom aplica:

3


Stxx qc ⋅+= (7) Rezultatul calculat va fi comparat cu valoarea suspectă xi. Dacă

xc>xi, atunci valoarea suspectă se menţine în şirul dat ca fiind corespunzătoare; în caz contrar, această valoare trebuie interpretată ca o eroare grosolană şi eliminată din şir.

În ipoteza că valoarea suspectă xi este mai mică decât toate celelalte valori ale şirului de măsurători, aplicăm relaţia:

Stxx qc ⋅−= (8) Astfel, dacă valoarea suspectă xi a unui şir de rezultate obţinute

din măsurători este mai mare decât valoarea calculată xc, se acceptă ipoteza că măsurătoarea este necorespunzătoare. Dacă valoarea suspectă xi este mai mică decât xc, ea se elimină din şirul dat.

În practică sunt cazuri când, după ce o valoare a fost eliminată conform criteriului Chouvenet, o altă valoare din şir, diferită faţă de celelalte valori pare suspectă. În acest caz, noul rezultat va fi supus criteriului Chouvenet, ţinând seama că cel eliminat nu mai este o valoare a şirului şi că noua medie se calculează numai cu rezultatele rămase. Acest procedeu se continuă până ce constatăm că nici un rezultat nu iese în afara limitei de toleranţa admisă.

În sfârşit, este locul să amintim că nu întotdeauna eliminarea unui rezultat dintr-un şir dat este o consecinţă a apariţiei unei greşeli. Sunt situaţii când anumite rezultate se elimină pentru simplul motiv că valoarea medie obţinută fără aceasta se presupune a fi mai apropiată de valoarea adevărată.

2.2. Regula lui Charlier Pentru stabilirea formulei se pleacă de la condiţia:

ntg 1)(21 ≥Φ− (9)

care în caz extrem devine n

tg 1)(21 =Φ−

de unde rezultă că ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Φ=n

ntq 21arg (10)

De aici putem calcula mărimea tq faţă de care trebuie hotărât dacă valoarea suspectă xm se menţine sau nu în şirul de rezultate considerat.

4


Comparând relaţia (6) cu (10) constatăm că acestea diferă. Cu alte cuvinte, probabilitatea ca eroarea )( xxi − să depăşească limitele de toleranţă stabilite de Charlier este de două ori mai mare decât probabilitatea ca aceeaşi eroare să depăşească limitele de toleranţă stabilite de Chouvenet.

Aplicaţia 1 Efectuându-se 20 de măsurători ale unei distanţe cu ajutorul unui

aparat de măsură s-au obţinut valorile din tabelul 1. Folosind criteriul Chouvenet sau Charlier, vom decide dacă

valoarea xmin din şirul de măsurători considerat trebuie sau nu eliminată.

Tabelul 1 Nr. crt. xi ni xini x x vi i− = (x xi −

2) ni( )x xi −

2 Formule şi rezultate 0 1 2 3 4 5 6 7

1 16,88 1 16,88 +0,08 0,0064 0,0064 2 16,86 1 16,86 +0,06 0,0036 0,0036 3 16,85 1 16,85 +0,05 0,0025 0,0025 4 16,84 1 16,84 +0,04 0,0016 0,0016 5 16,83 1 16,83 +0,03 0,0009 0,0009 6 16,82 5 84,10 +0,02 0,0004 0,0020 7 16,81 3 50,43 +0,01 0,0001 0,0003 8 16,80 2 33,60 0 0 0 9 16,79 1 16,79 -0,01 0,0001 0,0001 10 16,77 1 16,77 -0,03 0,0009 0,0009 11 16,76 1 16,76 -0,04 0,0016 0,0016 12 16,75 1 16,75 -0,05 0,0025 0,0025 13 16,57 1 16,57 -0,23 0,0529 0,0529 Σ 218,33 20 336,03 -0,07 0,0735 0,0753

( )

665,160612,024,2802,16

24,20612,0

802,16

03,336

1

2

1

==⋅−=

==

=−

=

=

===

+−

=

=

∑

∑

c

q

n

iii

n

iii

x

tm

n

nxxS

mn

nxx

xc>xminDeci: xmin se elimină din şirul de măsurători

5


⎩⎨⎧

⋅=⋅−

=Charlier după 16,668=0,06121,96-16,802Chouvenet după 605,160612,024,2802,16

cx

Deoarece în ambele cazuri xc>xmin, măsurătoarea suspectă se elimină.

2.3. Criteriul Smirnov-Grubbs Presupunând ca şi mai înainte că în şirul de măsurători dat, una

din valori se abate mult spre stânga sau spre dreapta faţă de celelalte valori vom avea relaţiile:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=+

min xdacă ,

max xdacă ,

i

i

vsx

vsxxc (11)

Dacă se consideră că fiecare rezultat xi din şirul de măsurători

considerat este normal repartizat, atunci repartiţia mărimii va depinde de numărul de măsurători efectuat asupra mărimii fizice considerate.

Plecând de la acest considerent teoretic fundamentat de Smirnov-Grubbs, s-a calculat repartiţia mărimii „y“ în funcţie de n şi q, unde 0,01<q<0,10.

Cunoscând mărimile n şi q, se poate oricând găsi un număr tq pentru care să fie satisfăcută relaţia:

P{y>tq}=q ; (12) Mărimile tq sunt date în anexele din lucrările [1] şi [2], pentru q =

0,05. Deoarece metodica de calcul este asemănătoare cu cea de la

criteriul Chouvenet, în cele ce urmează ne vom limita la un exemplu numeric.

Aplicaţia 2 Efectuându-se 20 de măsurători asupra unei mărimi fizice, s-au

obţinut valorile din tabelul 2. Să decidem dacă ultima măsurătoare din şirul dat trebuie sau nu

eliminată, considerând drept nivel de semnificaţie mărimea q = 0,05.

6


Tabelul 2 Nr. crt. xi ii xx − 2)( xxi − Formule şi rezultate

0 1 2 3 4 1 2,48 -1,46 2,132 2 2,75 -1,19 1,416 3 2,81 -1,13 1,277 4 2,95 -0,99 0,980 5 3,11 -0,83 0,689 6 3,26 -0,68 0,462 7 3,27 -0,67 0,449 8 3,43 -0,51 0,260 9 3,68 -0,26 0,068 10 3,78 -0,16 0,026 11 4,08 +0,14 0,020 12 4,15 +0,21 0,044 13 4,43 +0,49 0,240 14 4,49 +0,55 0,303 15 4,51 +0,57 0,325 16 4,55 +0,71 0,504 17 4,76 +0,82 0,672 18 4,84 +0,90 0,810 19 5,08 +1,14 1,300 20 6,35 +2,41 5,808 Σ 78,86 +0,06 17,789

( )m

n

nxxS

mx

x

n

iii

ii

943,00889,0

943,320

86,7820

1

2

20

1

==−

===

∑

∑

=

=

xc=3,943+2,62·0,943 =6,413m Deoarece xc>xmax, rezultă că valoarea suspectă 6,35 trebuie păstrată în şirul de măsurători dat ca fiind corespunzătoare.

2.4. Criteriul Romanovski Să presupunem că asupra unei mărimi fizice a cărei valoare

adevărată nu este cunoscută, s-au efectuat „n“ măsurători de egală precizie, iar rezultatele Xi (i=1,n) conţin o valoare suspectă. În acest caz abaterea medie pătratică de selecţie va fi calculată numai din celelalte rezultate, urmând ca valoarea suspectă să fie pusă sub semnul întrebării, adică:

∑−

=

+− −

−=

1

1

2)(1

1 n

ii xx

nS , conform relaţiei (12)

Eroarea medie pătratică S’ a întregului şir de măsurători poate fi exprimată prin intermediul mărimii „S“ folosind relaţia aproximativă:

Sn

S ⋅−

=1

1' (13)

7


În continuare vom arăta următoarea fracţie:

''||

SSxxZ i

cλ

=−

= (14)

unde λ este un număr pozitiv arbitrar de mic. Deoarece variabila întâmplătoare Zc are o repartiţie normală, probabilitatea ca xxi −| | să fie egală sau mai mică decât λ se calculează cu ajutorul relaţiei:

P{ xxi −| |≤λ}=p De altfel, datorită ultimului considerent enunţat, probabilitatea

calculată se referă atât la xmax, cât şi la xmin. Pentru un „n“ dat şi q = 0,05, mărimea tq se extrage din tabelul

valorilor funcţiei Φ

unde ( ) ∫=Φ x0

2t-2

e21 dtxπ

(vezi anexele lucrărilor [1] şi [2]).

Această mărime se comportă ca cea calculată folosind relaţia (14). Dacă Zc>tq, atunci valoarea suspectă se elimină din şir ca fiind

necorespunzătoare; în caz contrar, nu avem temei să eliminăm această valoare din şirul rezultatelor obţinute din măsurători.

Aplicaţia 3 Aplicând criteriul Romanovski, să stabilim dacă ultima citire din

exemplul precedent trebuie sau nu menţinută în şirul considerat. Rezolvare:

m 23,4598,0

82,335,6'

m 598,0630,095,01'

m 630,0)(1

1

m 82,319

51,721

1

20

1

1

2

1

1

==

=−

=

=⋅=⋅−

=

=−−

=

==−

=

+−

−

=

+−

−

=

∑

∑

SxxZ

Sn

nS

xxn

S

xn

x

c

n

ii

n

ii

Pentru q = 0,05 şi n = 20, obţinem tq = 2,15.

8


Deoarece Zc>tq rezultă că valoarea x20 = 6,35 trebuie eliminată din şirul de citiri ca fiind necorespunzătoare. La aceeaşi concluzie am fi ajuns dacă aplicam criteriul Chouvenet.

2.5. Criteriul Irwin Pentru examinarea unei observaţii suspecte conţinută în şirul dat,

se mai poate folosi un alt criteriu propus de I. Irwin încă din 1925. Criteriul este cunoscut sub denumirea de criteriul λ; se bazează pe faptul că rezultatele dubioase sunt reprezentate de primii sau ultimii termeni ai şirului de măsurători ordonat în sens crescător sau descrescător. În acest caz calculul mărimii λ se efectuează cu ajutorul relaţiei:

Sxx nn 1−−

=λ (15)

Mărimea λ calculată se compară cu valoarea λp. Dacă λ > λp, rezultatul suspect se exclude din şirul de măsurători ca fiind necorespunzător, în caz contrar acest rezultat trebuie menţinut.

Aplicaţia 4 Am executat zece măsurători şi am obţinut următoarele diferenţe:

0,2; 0,4; 0,0; 0,9; 0,3; 0,1; 0,0; 0,2; 0,2; 0,1. Vom decide dacă valoarea suspectă 0,9 trebuie exclusă sau nu din şirul de probe ca fiind necorespunzătoare.

Tabelul 3 Nr. crt. xi x xi i− ( )x xi −

2 Formule şi rezultate 0 1 2 3 4

1 0,2 -0,04 0,0016 2 0,4 +0,16 0,0256 3 0,0 -0,24 0,0576 4 0,9 +0,66 0,4356 5 0,3 0,06 0,0036 6 0,1 -0,14 0,0196 7 0,0 -0,24 0,0576 8 0,2 -0,04 0,0016 9 0,2 -0,04 0,0016 10 0,1 -0,14 0,0196 Σ 2,4 0 0,6240

( )

%0,2249,0

4,09,0

249,0

24,010

4,210

1

1

2

10

1

=−

=−

=

=−

===

−

=

=

∑

∑

sxx

λ

mn

nxxS

mx

x

nn

n

iii

ii

Pentru P = 0,95 şi n = 10, obţinem λ p = 1,5.

9


Deoarece λ > λp rezultatul 0,9% trebuie eliminat din şirul de măsurători.

3. Verificarea statistică a ipotezei privind independenţa şi

caracterul aleator al observaţiilor Înainte de a trece la tratarea statistică corespunzătoare a

rezultatelor măsurătorilor, trebuie să ne convingem dacă ele constituie cu adevărat o selecţie întâmplătoare şi sunt independente.

Pentru verificarea statistică a independenţei rezultatelor se pot folosi mai multe teste statistice, cum sunt:

– testul medianei selecţiei; – testul seriilor „ascendente“ şi „descendente“; – testul pătratelor diferenţelor succesive. Ultimele criterii evidenţiază mai puternic independenţa

rezultatelor măsurătorilor şi din acest motiv se prezintă dezvoltat în continuare.

3.1. Testul pătratelor diferenţelor succesive Dacă selecţia pe care o analizăm x1, x2,…, xn a fost extrasă dintr-o

populaţie, judecăm caracterul său aleator pe baza acestui criteriu (ipoteza alternativă ar fi eventualitatea unei deviaţii sistematice de la medie).

Or, în cazul măsurării distanţelor cu aparatura electromagnetică, ne putem aştepta la asemenea deviaţii de la medie având în vedere în special o serie de influenţe ale factorilor externi şi unele influenţe perturbatoare datorate regimului de lucru al aparatului.

Pentru a verifica independenţa rezultatelor observaţiilor cu ajutorul acestui criteriu, se cercetează dacă:

(16) min

)()( nn αγγ <Dacă această inegalitate este satisfăcută, ipoteza independenţei

rezultatelor mărimii trebuie respinsă. Valorile pentru n<20 şi pentru valorile cele mai uzuale ale nivelului de semnificaţie α sunt

date în tabelul cu valorile pentru n<20, α=0,05 şi α=20,01

min)(nαγ

min)(nαγ

10


Tabelul 4 n

α 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

0,05

0,390

0,410

0,445

0,468

0,491

0,512

0,512

0,548

0,564

0,578

0,591

0,603

0,614

0,624

0,633

20,01

0,313

0,269

0,281

0,307

0,331

0,354

0,354

0,396

0,414

0,431

0,447

0,461

0,475

0,487

0,499

Valoarea γ(n) se determină din formula:

)()()( 2

2

nSnqn =γ (17)

unde:

∑

∑

∑

=

=

=+

==

−−

=

−−

=

n

ii

n

ii

n

iii

xn

nxx

xxn

nS

xxn

nq

1

1

22

1

21

2

1)(

)(1

1)(

)()1(2

1)(

Aplicaţia 5 Testul pătratelor diferenţelor succesive pentru γ0,05

min(18) = 0,633. Datele sunt prezentate în tabelul 5

Tabelul 5

Nr.

măs

.

Val

orile

di

stanţe

i măs

urat

e

v i=x

i-x

vi2

d i=v

i+1-

v i

di2

)1

2

(22

−= ∑

ndq i

Sv

ni2

1=

−∑ 2

2

2)(

Sq

n =γ )( γ

minαγ <n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 641,6 -43,6 1900,96 +10,2 104,04 2 651,8 -33,4 1115,56 -9,1 82,81 3 642,7 -42,5 1806,25 +22,3 497,29 4 665,0 -20,2 408,04 +25,2 635,04 5 690,2 +5,0 25,00 +15,3 234,09 6 705,5 +20,3 412,09 -17,8 316,84 7 687,7 +2,5 6,25 +10,4 108,16 8 698,1 +12,9 166,41 -10,5 110,25 9 687,6 +2,4 5,76 +0,1 0,01

10 687,7 +2,5 6,25 +24,7 610,09 11 712,4 +27,2 739,84 -27,7 712,89 12 685,7 +0,5 0,25 +13,6 184,96

11


Nr.

măs

.

Val

orile

di

stanţe

i măs

urat

e

v i=x

i-x

vi2

d i=v

i+1-

v i

di2

)1(2

22

−= ∑

ndq i

Sv

ni22

1=

−∑

2

2)(

Sq

n =γ

min)( αγγ <n

13 699,3 +14,1 198,81 +6,3 39,69 14 705,6 +20,4 416,16 -9,3 86,49 15 696,3 +11,1 123,21 +0,1 0,01 16 696,5 +11,3 127,69 -4,9 24,01 17 691,6 +6,4 40,96 -3,3 10,89 18 688,3 +3,1 9,61 - -

x=685,2 7509,10 3757,56 110,52 441,71 0,250 DA Indicaţii asupra tendinţei sistematice în rezultatele observaţiilor se

pot obţine şi printr-o reprezentare grafică a abaterilor de la medie, cum rezultă din graficul în care am folosit datele din tabelul 5. y(mm)

40 30 20 10 0 - 10 -20 -30 -40

xi1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Fig. 1

12


4. Verificarea omogenităţii observaţiilor Măsurarea unei mărimi se execută adesea pe părţi, distingându-se

unele de altele după timpul de execuţie etc. În asemenea cazuri se pune problema dacă aceste diferenţe de timp n-au influenţat rezultatele observaţiilor. De asemenea ne punem problema dacă aceste influenţe sunt semnificative şi ne permit sau nu să reunim cele două părţi pentru a forma o selecţie comună, omogenă (reprezentativă). În acest sens sunt tratate exemple în lucrările [1] şi [2].

În cazul măsurării de distanţe cu aparate electromagnetice, putem considera ca părţi de selecţie următoarele:

– rezultatele măsurării distanţei în diferite zile cu acelaşi aparat; – rezultatele măsurării distanţei cu aparate diferite dar, cu

acelaşi ordin de precizie. Pentru verificarea propusă vom folosi rezultatele măsurării făcute

asupra distanţei în zile diferite, cu acelaşi aparat. În acest scop vom aplica testul T al lui STUDENT.

4.1. Testul (t) Student de verificare a omogenităţii a două selecţii

Acest test se recomandă pentru ca realizarea sa practică este simplă. El presupune cele două selecţii:

(18)

)2(n

(2)2

)2(1

)1(n

(1)2

)1(1

2

1

y ..., ,y ,

y ..., ,y ,

y

y

Se pune problema dacă cele două selecţii se pot considera omogene. Răspunsul la această chestiune depinde de mărimea:

21

)2()1(

11nn

S

yyt+

−=

∧ (19)

unde:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−

−+=

==

∑∑

∑∑

==

==

21

21

1

2)2()2(2)1(

1

)1(

21

1

)2(

2

)2(

1

)1(

1

)1(

)()(2

1

; 1 ; 1

n

jj

n

ii

n

jj

n

ii

yyyynn

S

yn

yyn

y

Dacă rezultă că

13


)2(|| 212/ −+<∧

nntt α (20) se emite ipoteza omogenităţii selecţiilor analizate.

Punctul tα/2(n1+n2-2) este procent 100 α/2 al distribuţiei t a lui STUDENT cu (n1+n2-2) grade de libertate.

TESTUL (T) al lui STUDENT pentru verificarea omogenităţii seriilor de măsurări.

Tabelul 6

Gr.

Val

orile

măs

urat

e (p

arte

a va

riab

ilă) p

e gr

upă

Val

orile

„V

“ pe

gru

pe

Sum

a va

lori

lor

“V2 ”

pe g

rupe

21

212

−++

= ∑ ∑nn

vS

2SS =

21

11nn

+ 21

11nn

S +

2()1(yy −

∧t )2

(

2

12/

−++

nntα

641,6 -32,9 1082,41 651,8 -22,7 515,29 642,7 -31,8 1011,24 665,0 -9,5 90,25 690,2 +15,7 246,49 705,5 +31,0 961,00 687,7 +13,2 174,24 698,1 +23,6 556,96

I

687,6 +13,1 171,61

)1(y =0,654 4809,49

687,7 -8,2 67,24 712,4 +16,5 272,25 685,7 -10,2 104,04 699,3 +3,4 11,56 705,6 +3,7 94,09 696,3 +0,4 0,16 696,5 +0,6 0,36 691,6 -4,3 18,49

II

688,3 -7,6 57,76

9,695)2(=y 625,95 339,71 18,43 0,47 8,66 -21,40 -2,47 -

∧t < t )2( 212/ −+nnα

2,47>2,12

14


Când ne referim la metodele de verificare a normalităţii unei distribuţii, trebuie să distingem următoarele cazuri:

a) când se dispune de un număr suficient de mare de observaţii (de ordinul câtorva zeci); în acest caz verificarea normalităţii se face cu ajutorul criteriului hi pătrat, acesta fiind un caz rar în practică;

b) când se dispune de un număr redus de observaţii (de la câteva unităţi la 10-30); în acest caz se vor folosi metode aproximative: metoda grafică sau metoda cu folosirea caracteristicilor empirice ale asimetriei şi excesului;

c) cazul în care se dispune de date care se referă la variabile aleatoare bidimensionale; se pot folosi atât caracteristicile empirice ale asimetriei şi excesului, cât şi metoda comparării frecvenţelor cu probabilităţi pe intervale de grupare.

5. Procesarea datelor privitoare la caracteristicile imaginilor în vederea clasificării

Majoritatea aplicaţiilor întâlnite în activitatea ştiinţifică şi practică, necesită numai identificarea şi/sau clasificarea conţinutului unei imagini. În acest scop se realizează o procesare în sensul cel mai general: se acţionează asupra imaginii astfel încât din imaginea de intrare să se determine semnalele de clasificare. Metoda utilizată este aceea de a se prelucra imaginea pentru a se produce diverşi parametri numerici, iar pe baza unei scheme de decizie se clasifică datele de intrare (respectiv pe baza valorilor numerice ale parametrilor). Acest concept, având două niveluri, unul de prelucrare şi altul decizie, a apărut din necesitatea de a se reduce limitările schemelor organizate pe un nivel (la care decizia se lua direct pe baza datelor primare). Astfel, primul nivel este destinat pentru a extrage trăsăturile importante ale imaginii în funcţie de rezultatul care trebuie obţinut, iar pe baza acestora, următorul nivel realizează clasificarea sau organizarea pe clase a datelor conţinute în imaginea originală sau permite luarea unei decizii. În această variantă, problema dificilă care trebuie rezolvată este aceea de a se stabili care parametri sunt relevanţi în problema specificată, respectiv ce trăsături trebuie extrase.

Din punct de vedere al extragerii caracteristicilor unei forme vizuale se utilizează descriptori ai formei:

15


– de contur, de exemplu numărul de formă, semnăturile sau descriptorii de tip Fourier [3] tu:

1,0 2exp1 1

0−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅−

⋅= ∑−

=Nu

Nnujz

Nt

N

nnu

π (21)

– regionali: descriptori elementari globali sau momente invariante de forma:

( ) ( )

21

0,0

0),(,

qpγyyxx

yxf

qp

qp+

+=−−

=∑∑

≠γµ

η (22)

– topologici (de textură):momente ale histogramelor, caracteristici spectrale în domeniul Fourier, multirezoluţie sau primitive;

– morfologici, de exemplu sub forma skeletonului generalizat definit pe baza unui set generator.

În funcţie de aceşti parametri se va mări şi complica atât algoritmul, cât şi schema de prelucrare [3]. Corespunzător, transformările utilizate pentru selecţia caracteristicilor sunt:

a) Transformări liniare pentru selecţia caracteristicilor: – transformarea Karhunen-Loeve (K-L), pe baza valorilor

proprii; – transformarea Fukunaga-Koontz care ierarhizează caracte-

risticile unei clase în spaţiul transformat prin aplicarea transformării K-L la două clase.

b) Prin analiza discriminatorie definită pe baza unei matrici de dispersie interne faţă de vectorul medie al clasei µ, de tipul:

( ) ( )( ){ }∑=

−−⋅=2

1ii

tiiiw XXEPS ωµµω , prin selecţia şi maximizarea

unor criterii (J1 , J2 sau J3) Concluzii: Domeniul major de interes al grantului nostru este recunoaşterea

automată a obiectelor (ţintelor), fie din imagini ale câmpului de luptă (aeriene, satelitare sau hărţi), fie în semnale de tipul radarul cu apertură sintetică, dispozitivelor videocaptoare cu corp solid în vizibil sau infraroşu (SAR, CCD şi I2R). Sistemele de percepţie artificială

16


17

prezentate în literatura de specialitate sunt determinate de aplicaţia specifică, ce poate impune tipul de senzor utilizat precum şi caracteristicile care trebuie obţinute, respectiv obiectele sau ţintele care trebuie identificate. În plus pot apărea impuneri specifice de tipul: numărul minim de ţinte care pot fi procesate, estimarea tipului de ţintă, rezoluţia sau acurateţea măsurătorilor, complexitatea ţintelor etc. Un factor important care determină sistemul utilizat este numărul de puncte care este sau poate fi asociat unei ţinte, astfel încât să se poată obţine un anumit nivel al performanţelor. S-a determinat că în cazul imaginilor vizuale acest prag este cuprins între 6×6 şi 8×8 pixeli, deci se justifică prelucrarea la nivel zonal şi nu individual a punctelor de interes.

Fără precizie prelucrările statistice nu-şi pot îndeplini rolul de a fi suport ştiinţific al deciziei militare. Optimizarea aplicaţiilor tactic-operative depinde de calitatea informaţiilor, de consistenţa lor ca şi de modelele alese pentru calculul parametrilor. Toate etapele ulterioare verificării ipotezelor depind de reprezentativitatea datelor obţinute prin selecţie şi calitatea modelelor alese pentru prelucrare. Imaginile obiectelor din câmpul de luptă ne oferă date primare care neprelucrate pot conduce la erori. Orice măsurare induce o eroare, dar orice eroare poate fi estimată cu metoda adecvată.

Note bibliografice

[1] Col. Iatan, Alexandru, Col. Purcărea, Horia, Teoria tragerilor artileriei

terestre, Vol II, Bucureşti, Editura Militară, 1973. [2] Col. (r) Ţocu, Petre, Teoria tragerilor artileriei terestre. Exerciţii

aplicative, Bucureşti, Editura Militară, 1981. [3] Mr.lect.univ.dr.ing. Popa, Mircea, Contribuţii privind modelarea

procesării cognitive a imaginilor în aplicaţii militare. În: Buletinul Academiei Forţelor Terestre, Sibiu, nr. 2/18, 2004.

Lucrarea a beneficiat de susţinerea MEC-CNCSIS, prin Contractul nr. 32950/22.06.2004 (cod CNCSIS 810).

Anexa 1

18

Modul de obţinere a

rezultatelor şi aspectelor ecuaţiilor de măsurare

Corespondenţa dintre

numărul ecuaţiilor şi cel al necunoscutelor

Gradul de încredere acordat

rezultatelor obţinute din măsurări

Modul de execuţie, natura şi

raportul dintre diferite mărimi măsurate

Clasificarea măsurătorilor după:

Măs

urăr

i dire

cte

Măs

urăr

i ind

irect

e

Măs

urăr

i nec

esar

e

Măs

urăr

i su

plim

enta

re

Măs

urăr

i de

cont

rol

Măs

urăr

i de

înal

tă

prec

izie

Măs

urăr

i teh

nice

Măs

urăr

i de

egală

pond

ere

Măs

urăr

i pon

dera

te

Măs

urăr

i co

ndiţi

onat

e

Măs

urăr

i ne

cond

iţion

ate

Măs

urăr

i sta

tice

Măs

urăr

i din

amic

e

Măs

urăr

i com

bina

te

modalitĂŢi de aplicare a criteriilor de eliminare a ... · problemele de bază, pe care le...

Documents