1

Metode numerice aplicate n ingineria chimicTeorie i aplicaii PASCAL

1. Introducere n tehnica metodelor numerice

Problemele inginereti i mai ales problemele de inginerie chimic sunt probleme complexe care n puine cazuri admit soluii analitice. Rezolvarea acestor probleme de inginerie chimic este posibil doar prin intermediul metodelor numerice.

Metodele numerice reprezint o colecie de algoritmi care asigur rezolvarea unor probleme de inginerie chimic aparinnd urmtoarelor categorii: calcul matriceal, rezolvarea sistemelor de ecuaii liniare i neliniare, determinarea unei soluii reale a unei ecuaii neliniare, integrare numeric, aproximarea funciilor continue prin interpolare i regresie, rezolvarea unei ecuaii i a sistemelor de ecuaii difereniale.Utilizarea metodelor numerice a permis rezolvarea problemelor de proiectare a instalaiilor chimice, simularea n regim staionar i dinamic a proceselor chimice, proiectarea unor sisteme de reglare performante pentru instalaiile chimice. O consecin direct a utilizrii metodelor numerice a constituit-o apariia i dezvoltarea sistemelor de programe destinate proiectrii i simulrii instalaiilor chimice. Cele mai edificatoare exemple sunt simulatoarele PRO II, UniSim, Dynsim, Aspen.Este important de neles faptul c metodele numerice nu nlocuiesc soluiile analitice ale problemelor matematice ci suplinesc lipsa acestora pentru o categorie larg de probleme derivate din inginerie. 1.1. Limbaje de programare utilizate pentru rezolvarea

problemelor de inginerie chimic

Aplicarea metodelor numerice este strns legat de cunoaterea unui limbaj de programare de nivel nalt. Pentru rezolvarea problemelor de inginerie chimic sunt recomandate urmtoarele limbaje de programare: FORTRAN, MATLAB, PASCAL. Fiecare dintre aceste limbaje are avantaje i dezavantaje cum ar fi:

FORTRAN: flexibilitate n programare, posibilitatea dezvoltrii de sublagoritmi caracterizai prin date de intrare i ieire, utilizarea de fiiere de intrare-ieire, grafic. Ca dezavantaje sunt subliniate lipsa caracterului structurat al limbajului i utilizarea greoaie a intruciunilor de intrare-ieire. Datorit longevitii, cele mai multe i mai performante biblioteci de metode numerice sunt implementate n acest limbaj. MATLAB: excelent pentru calcul matriceal, utilizare de fiiere de intrare-ieire, resurse grafice de excepie. Deoarece limbajul este nsoit de multe componente informatice (metode numerice, algoritmi de optimizare, instrumente de identificare i reglare), limbajul (mediul) MATLAB este un foarte bun instrument de analiz i studiu. Dezavantajul principal l constituie posibilitatea limitat i greoaie de dezvoltare a unor sublagoritmi caracterizai prin date de intrare i ieire. Fiind un limbaj implementat printr-un interpretor, MATLAB-ul nu are posibilitatea de a genera cod obiect executabil, ceea ce nu permite dezvoltarea unor instrumente software de simulare. PASCAL: flexibilitate n programare, posibilitatea dezvoltrii de sublagoritmi caracterizai prin date de intrare i ieire, utilizarea de fiiere de intrare-ieire, grafic (similar FORTAN). Suplimentar sunt subliniate nc trei trsturi favorabile: caracterului structurat al limbajului, utilizarea uoar a intruciunilor de intrare-ieire i posibilitatea translatrii sau dezvoltrii programelor utiliznd resursele sistemului Windows (varianta Delphi). Ca dezavantaj este subliniat lipsa unor biblioteci de metode numerice performante.Recomandarea unuia sau altuia dintre limbajele de programare este strict dependent de complexitatea problemei ce urmeaz a fi rezolvat, de existena unei biblioteci de metode numerice asociat limbajului de programare i evident de gradul de cunoatere al limbajului. Deoarece n cadrul studiilor universitare este prevzut disciplina Programare, n cadrul creia este studiat limbajul de programare PASCAL, autorul a dezvoltat o bibliotec de metode numerice implementat n acest limbaj. Prezenta lucrare este destinat att tratrii teoretice a algoritmilor din cadrul metodelor numerice ct i prezentrii componentelor existente n cadrulbibliotecii de metode numerice dezvoltate de autor.1.2. Clase de algoritmi din cadrul metodelor numericeMetodele numerice ce urmeaz a fi tratate n carul acestei lucrri cuprind urmtoarele clase de algoritmi:a) Calcul matriceal

b) Sisteme de ecuaii liniare i neliniare

c) Rezolvarea unei ecuaii neliniare

d) Integrarea numeric a unei funciie) Aproximarea funciilor discretef) Rezolvarea unei ecuaii i a sistemelor de ecuaii difereniale

n cadrul calculului matriceal se au n vedere algoritmii specializai pentru operaiile de intrare-ieire, adunarea i nmulirea matricelor, nmulirea unei matrice cu un vector, calculul matricei transpuse i al matricei inverse.Algoritmii destinai rezolvrii sistemelor de ecuaii liniare sunt clasificai n algoritmi direci, care rezolv sistemul de ecuaii ntr-un numr cunoscut de iteraii i algoritmi iterativi, care aproximeaz soluia ntr-un numr necunoscut de iteraii. Din cadrul algoritmilor direci sunt prezentai algoritmul Gauss i.Gauss-Jordan. Algoritmii iterativi au ca reprezentani algoritmul Jacobi i Gauss-Siedel Pentru rezolvarea sistemelor de ecuaii neliniare sunt prezentai algoritmii Newton-Raphson i algoritmul Broyden.Pentru rezolvarea unei ecuaii neliniare, autorul a optat pentru urmtorii algoritmi: bisecia succesiv, ncercare-eroare, secant, Newton-Raphson.Aproximarea funciilor discrete prin funcii continue reprezint un capitol important din cadul metodelor numerice datorit importanei deosebite n cadrul ingineriei chimice. Sunt tratate distinct cele dou categorii de metode, respectiv metodele de interpolare i metodele de regresie. Din categoria metodelor de interpolare sunt dezvoltai urmtorii algoritmi: algoritmul interpolrii liniare, algoritmul interpolrii polinomiale, algoritmul interpolrii bidimensionale liniare i algoritmul interpolrii bidimensionale ptratice. Metodele de regresie sunt dezvoltate cu urmtorii algoritmi: regresia liniar, regresia polinomial, regresia multipl liniar i regresia multipl ptratic.Pentru rezolvarea unei ecuaii sau a sistemelor de ecuaii difereniale se au n vedere algoritmul Euler i algoritmul Runge-Kutta. 1.3. Exemple de probleme care utilizeaz metode numerice

n cele ce urmeaz vor fi prezentate cteva exemple de probleme de inginerie chimic, pentru a cror rezolvare se vor utiliza algoritmi din clasa metodelor numerice. Problemele prezentate au date de intrare industriale i vor fi rezolvate n cadrul moduleleor de aplicaii. Exemplul 1.1. Reconcilierea datelor de operare

ntr-o instalaie chimic modern, multe variabile de operare, ca de exemplu debite, temperaturi, presiuni, compoziii etc., sunt n mod curent msurate pentru a fi folosite n conducerea proceselor, optimizare cu date directe de proces sau pentru evaluarea productivitii. Msurtorile din proces sunt alterate de erori de msur, de prelucrare a semnalului i de transmisie.

Reconcilierea datelor de operare este o tehnic numeric, folosit la ajustarea valorilor msurate, astfel nct acestea s satisfac bilanurile de materiale i energie pentru procesul chimic. Instalaia de fracionare i concentrare a gazelor GASCON din cadrul unei platforme de cracare catalitic este un exemplu de problem de reconciliere a datelor msurate. Din totalul celor 13 fluxuri materiale ce caracterizeaz schema tehnologic, 9 fluxuri sunt msurate, tabelul A4.6.

Pentru elaborarea structurii sistemului automat de reconciliere a datelor de operare se descompune schema instalaiei n noduri i linii. Conform schemei din figura A4.1, cele fluxuri ale instalaiei sunt interconectate n noduri.

Etapele algoritmului de reconciliere sunt urmtoarele:

a) Pentru fiecare nod din schema reelei se scrie ecuaia de bilant material, obinndu-se un sistem de ecuaii cu necunoscute

.

(A4.33)

b) Sistemul (A4.33) se scrie sub forma , unde A1 este o matrice , A2 - matrice , xi - este valoarea corectat a debitului asociat fluxului , n - numrul total de fluxuri, n1 - numrul fluxurilor msurate, , n2 - numrul fluxurilor nemsurate, , k - numrul de noduri, .

c) Cu ajutorul clasei de precizie a sistemelor de msurat, se alctuiete matricea diagonala .

d) Se alctuiete matricea D, avnd dimensiunea , rezultat n urma operaiei

.

(A4.34)

e) Se alctuiesc matricele:

B, de dimensiune

;

(A4.35)

C, de dimensiuni

;

(A4.36)

A, de dimensiuni

;

(A4.37)

matricele Op,q i Ip,q reprezentnd matricea nul i matricea unitate cu p linii i q coloane.

f) Se calculeaza matricea F, de dimensiuni

.

(A4.38)

g) Matricea soluie H, de dimensiuni , este calculat cu relaia

.

(A4.39)

h) Valorile corectate ale fluxurilor msurate i nemsurate sunt calculate cu relaia

.

(A4.40)

Aplicarea algoritmilor din clasa metodelor numerice:

1) Calculul matricei transpuse utilizat n relaia (A4.34).

2) Calculul matricei inverse , utilizat n relaia (A4.38).

3) Calculul produsului matriceal din relaia (A4.38).

4) Adunarea a dou matice, relaia (A4.39).

5) Calculul produsului dintre o matrice i un vector, relaia (A4.40).

Exemplul 1.2. Calculul densitii etilenei utiliznd ecuaia de stare Benedict - Webb - Rubin

Se cere s se determine densitatea etilenei n condiiile: , . Ecuaia de stare Benedict - Webb - Rubin este derivat din ecuaiile de stare ale gazelor ideale i are expresia

(A5.25)

n care P este presiunea [bar], T - temperatura [K], ( - densitatea gazului [], R - constanta universal a gazelor, []. Valorile constantelor specifice pentru componentul etilen din ecuaia Benedict-Webb-Rubin sunt: , , , , , , , .

Din ecuaia de stare (A5.25) se formeaz ecuaia neliniar

,

(A5.26)

care se rezolv cu metoda biseciei succesive.

Exemplul 1.3. Calculul cldurii specifice a apei

Cldura specific a apei n funcie de temperatur, exprimat n cal/mol, este prezentat n literatur, tabelul A6.10. Se cere s se determine diferena dintre valorile capacitii calorice a apei la 37 (C, aproximate prin interpolare liniar i respectiv prin interpolare polinomial de gradul 2. Prin coninut, problema de inginerie chimic este rezolvat utiliznd algoritmul interpolrii liniare i algoritmul interpolrii polonomiale.Exemplul 1.4. Caculul entalpiei gazelor de ardere

Entalpia gazelor arse este definit prin relaia

(A7.12)

unde Hi reprezint entalpia componentului i; yi - concentraia molar a componentului i; ng - numrul de componeni prezeni n gazele de ardere.

Deoarece entalpia unui component chimic este dependent de temperatur iar n mod uzual sunt disponibile date despre capacitatea caloric, entalpia poate fi definit prin

.

(A7.13)

Funcia capacitate caloric molar este, de cele mai multe ori, o funcie polinomial n raport cu temperatura

,

(A7.14)

coeficienii ai putnd fi determinai prin regresie polinomial.

Combinnd relaiile (A7.12) i (A7.13) se obine

.

(A7.15)

S se determine entalpia gazelor de ardere pentru amestecul de gaze de ardere definit n tabelul A7.12, la temperatura de 655 (C.

Aplicarea algoritmilor din clasa metodelor numerice:

a) determinarea prin regresie a funciilor de aproximare ;

b) calculul efectiv al entalpiei gazelor de ardere.

Exemplul 1.5. Simularea unui reactor de piroliz a amestecului etan - propanModelul cinetic al reactorului de piroliz este compus dintr-un set de reacii chimice (A10.17) i expresia vitezei de reacie

,

(A10.18)

constanta vitezei de reacie fiind exprimat n h-1.

Datele cinetice asociate schemei de reacie sunt prezentate n tabelul A10.3. Coeficienii stoechiometrici asociai fiecrui component i reacie chimic sunt prezentai n cadrul matricei (, relaia (A10.19).

Concentraia masic a componentului j n reacia i este dat de relaia

[kmol/kg]

(A10.20)

n care gj reprezint concentraia componentului j; (ij coeficientul stoechiometric al componentului j n reacia i; (Mi conversia reaciei i exprimat n kmol/kg.

Modelul matematic al reactorului de piroliz cuprinde ecuaii difereniale pentru bilanul material i bilanul energetic, expresiile acestora fiind:

;

(A10.21)

.

(A10.22)

PAGE 71. Introducere n tehnica metodelor numerice

_1128171563.unknown

_1129366942.unknown

_1129367102.unknown

_1131707760.unknown

_1309758158.unknown

_1309758245.unknown

_1134572356.unknown

_1134573445.unknown

_1134579918.unknown

_1134573287.unknown

_1131708159.unknown

_1131707495.unknown

_1131707576.unknown

_1131707479.unknown

_1129366976.unknown

_1129366994.unknown

_1129367059.unknown

_1129366987.unknown

_1129366958.unknown

_1129366967.unknown

_1129366951.unknown

_1128235577.unknown

_1129366924.unknown

_1129366933.unknown

_1129366804.unknown

_1129366897.unknown

_1128235676.unknown

_1128234668.unknown

_1128235528.unknown

_1128171705.unknown

_1128171780.unknown

_1128171589.unknown

_1128171106.unknown

_1128171257.unknown

_1128171306.unknown

_1128171490.unknown

_1128171278.unknown

_1128171218.unknown

_1128171235.unknown

_1128171115.unknown

_1128170648.unknown

_1128170711.unknown

_1128170755.unknown

_1128171057.unknown

_1128170696.unknown

_1128170296.unknown

_1128170305.unknown

_1023472928.unknown

_1023473026.unknown

_1023474099.unknown

_1005337622.unknown