ministerul educaţiei, cercetării şi inovării centrul ... · ministerul educaţiei, cercetării...

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

Varianta 001 Subiectul A. MECANICĂ

Nr. item Soluţie/Rezolvare

II.a NFgmGgmG f µ=== ,, 2211 amTG 22 =− , amFT f 1=− , 01 =− GN

gmm

mma

21

12

+−

=µ

Rezultat final:

2/2 sma = b. amGT 22 −= Rezultat final: NT 8,0= c.

tv

a∆∆=

Rezultat final: st 2=∆ d. 02 =−− GFF f sau orice relaţie echivalentă

Rezultat final: NF 4,1=

1



Nr. item Soluţie/Rezolvare

II.a. Pentru: G mg= sin

cosp

n

G G

G G

αα

= ⋅

= ⋅

Rezultat final:

5

8,66

=

=p

n

G N

G N

b. Pentru: sintG m g α= ⋅ ⋅ ( )sin sin

2g

a β α= −

Rezultat final:

21

ma

s=

c. Pentru:

βα

µ

cos

cos

2

1

mgN

mgN

NFf

===

( )1 sin sin cos cos2 β α µ β µ α= − − −

ga

Rezultat final:

20, 25= ma

s

d. Pentru:

1 21sinα+ ⋅ =t tG m g G

( )1 sin sinsin β αα= −

mm

Rezultat final: 1 0,41=m Kg

2



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a.

Figurarea componentelor greutăţii Figurarea forţei de frecare

b. Gp = 15 kN Gn = 20 kN Ff = 4 kN

c. N = 16 kN Ff = µN µ = 0,25

d. F’f = 200 N G’p − F’f = m’a a = 4 m/s2

3


Varianta 004

Subiectul A. MECANICĂ

Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. reprezentarea corectă a: greutăţii corpurilor forţelor de tensiune b. Tgmam −= 22 gmTam 11 −=

gmm

mma

12

12

+−

=

Rezultat final: 2/

310

sma =

c.

gmm

mmT

21

212

+=

Rezultat final: N 40/3T = d.

gm

mma

1

12'−

=

Rezultat final: 2m/s10' =a

4




t

va

∆∆=

Rezultat final: 2/2 sma =

b. reprezentarea corectă a forţelor de greutate de reacţiune normală de frecare , de tracţiune c. mgN = amGFNF f =+++ mamgF =− µ

Rezultat final: 3,0=µ e.

11 tg

v

∆=µ

Rezultat final: 5,01 =µ

5



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. reprezentarea corectă a: greutăţilor corpurilor şi componentelor greutăţii pe plan înclinat tensiunii din fir . reacţiunii planului înclinat b

=−=−

0sin

0

αAB

GT

Tgm

Rezultat final: kg

gG

m AB 15,0sin == α

c. αsinAGT =

−=

24cos2

απTF

Rezultat final: NF 6,2≅ d. amG AA =αsin Rezultat final: 25sin smga == α

6



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. mgN = Rezultat final: NN 1000= b. ( )gamF µ+= Rezultat final : NF 300= c.

F

F12sin =α

21 90 αα −°= Rezultat final: °=°= 30,60 21 αα d. ga µ−=' Rezultat final: 2/2 sma −=

7



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. reprezentarea corectă a: greutăţii reacţiunii planului forţei de frecare b. cosnG G ϕ= ⋅ sintG G ϕ= ⋅ tgµ ϕ=

Rezultat final: 3

3µ = 57,0≅

c. 0N = sinF Gα⋅ =

sinG

Fα =

Rezultat final:

2sin

3α =

d.

xm a F Nµ⋅ = − ⋅

yN m g F= ⋅ − ( )

gm

Fa µβµβ −+= sincos

Rezultat final:

25,77

ma

s=

8



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. FG =αsin Rezultat final: °= 30α b. reprezentarea corectă a: greutăţii forţei de frecare reacţiunii planului c. αcosmgN = Rezultat final: αµµ cosmgNFf =⋅= d. amFGF f =++ maFGF ft =−− ( ) mamgF ++= αµα cossin Rezultat final: NF 100=

9




reprezentarea corectă a tuturor forţelor ce acţionează asupra sistemului b. legea a II-a a dinamicii: amTgmF 11 =-- µ şi amgmgmT 222 cossin =αµα -- expresia acceleraţiei: )(:}])cos(sin[{ 2121 mmgmmFa +++= αµαµ- Rezultat final: 2/7,0 sma ≅ c. expresia tensiunii din fir: amgmFT 11 -- µ= Rezultat final: NT 6,4= d. expresia forţei de apăsare în scripete: TTF += ; 2TF = Rezultate finale: NF 5,61 ≅

10


Varianta 011


Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. reprezentarea corectă a: greutăţii forţei de frecare forţei F cu componentele sale reacţiunii planului b. )( αµ sinFmgFf −=

Rezultat final: )(

gm

Fa µαµα −+= sincos

c.

Rezultat final: 2

88,2s

ma ≅

d. tav ∆=

Rezultat final: sm

v 76,5≅

11



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. Pentru: 2 2 2 02 cos90R F F F= + + 2R F= Rezultat final: 2R N= b. Pentru: ∆=F lE

S l

=F R ⋅=

⋅ ∆R l

ES l

Rezultat final: 211 /107,6 mNE ⋅≅ c. Pentru: ⋅ =m a R

= Ram

Rezultat final:

20,8= ma

s

d. Pentru: ⋅ = − −t fm a G F sinα

µ= ⋅=

=

t

f

n

G G

F N

N G

( )sin cosα µ α= − + ⋅a g

Rezultat final: 2

10= − mas

12



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. Componenta paralelă cu planul a greutăţii Componenta normală pe plan a greutăţii Forţa de frecare b. Gp = G sin α, Gn = G cos α (unde G = mg = 20 000 N sau 20 kN) Gp = 0,6 G = 12 kN Gn = 0,8 G = 16 kN Ff = T − Gp Ff = 4 kN c.

mFf=µ ; 4 kN 0,25

16 kNµ = =

d. αµ cos)(' gmmF aincarcaturf −= T’ = Gp − F’f T’ = 200 N

13



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. reprezentare corecta a tensiunilor din fir Reprezentare corecta a normalei si a greutatilor b. R= 2T T=G2 Rezultat final: R = 80N c. 11 NTGF +=+ 211 GGFN −+= Rezultat final: NN 401 = d. 11 2TR = ( ) 1221 GGamm −=+ )(21 agmT −= Rezultat final: R1 = 32 N

14



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. αcos22 FF x = Rezultat final: 12 FF x < , deci corpul se deplasează spre stânga b. lkF ∆=1 Rezultat final: ml 07,0=∆ c. maFF x =− 21 GFN y =+ 2 αsin22 FF y = Rezultat final: 2/1 sma = d. 0=N , αsin'2FG = Rezultat final: NF 23'2 ≅

15



Nr. item Soluţie/Rezolvare II. a.

reprezentarea corectă a: reacţiunii normale a peretelui greutăţii forţei de frecare

b. maFmgF c =−−αcos Rezultat final: NFc 36=

c. NFc µ= αsinFN = Rezultat final: 29.032/1 ≅=µ

d. răspuns corect - acceleraţia corpului creşte

justificarea răspunsului

16



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. reprezentarea corectă a: greutăţilor reacţiunii corpului de masă M acţiunii corpului de masă m asupra corpului de masă M tensiunii b. Ma Mg f T

Ma T Mg

ma mg f

= + −= −= −

2

mga

m M=

+

Rezultat final:

248,0

s

ma ≅

c. 2

2

mMf g

m M=

+

Rezultat final: N19,0≅f d. ( )2

2

M M mT g

M m

+=

+

Rezultat final: N09,2≅T

17



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. Reprezentarea: forţelor de greutate forţelor de tensiune forţei indicate de dinamometru b. gmG ⋅= 11 şi gmG ⋅= 22 gmTam ⋅−=⋅ 11 Tgmam −⋅=⋅ 22

21

12

mm

mmga

+−

=

Rezultat final: 2/5 sma = c.

Tgm

gmT

m

m

−−

=2

1

2

1

( )Tmmgmm 21212 +=

gmm

mmT ⋅

+=

21

212

Rezultat final: NT 15= d. TF ⋅= 2 Rezultat final: NF 30=

18



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. reprezentarea corectă a forţelor 0=+ eFT lkT ′∆= Rezultat final: NT 4,0= b. lkFe ∆= lkT ∆=1 Rezultat final: ml 4,0=∆ c. 0=++ GFN e lkmgN ∆−= Rezultat final: NN 2= d.

GFT e =″=1

Rezultat final: NT 101 =

19



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. reprezentarea corectă a tuturor forţelor: componentele forţei F greutatea reacţiunea normală frecarea b. amFNGF f =+++

=−+=−

0sin

cos

mgFN

maFF fα

α

( )αµµ sinFmgNFf −== ( )

αµαµsincos +

+= gamF

NF 55,6= c. 0sin ≤−= αFmgN

αsinmg

F ≥

Rezultat final: NF 40min = d. precizarea că în absenţa apăsării dispare frecarea: αcosFma =

Rezultat final: 2

3,17310coss

mtgg

mF

a ≅===α

α

20



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. Reprezentarea corectă a : forţelor ce acţionează asupra corpului A forţelor ce acţionează asupra corpului B

forţelor ce acţionează asupra corpului C b. amTgm AB 22 =−

amgmTT ACAB 11 =−− µ amgmTAC 33 =−

321

132

mmm

mmmga

++−−

=µ

c. ( )agmTAB −= 2 Rezultat final: NTAB 5,32= d. 0=a 132 mmmmx µ−−= Rezultat final: kgmx 8,2=

21




tva ∆

∆=

Rezultat final: st 20=∆ b. F − Ff = (m+M) a F = n (m+M) a/ (n−1) rezultat final F = 30 N c. vvv crel −=

TL

vrel =

relvL

T =

Rezultat final: T= 1s d. grafic corect

22


Varianta 023


Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. G = mg R = 2,5·103 N sau 2,5 kN b. Reprezentarea corectă a forţelor sau altă justificare corectă Ft = 2 R sau 2 mg Ft = 5·103 N sau 5 kN c. P = F v v = 20 m/s v = 72 km/h d. T = m(f g + a) T = 6,25·103 kN

23



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. G mg= Rezultat final: 5G N= b. reprezentarea corectă a: greutăţii reacţiunii corpului de masă m forţei elastice şi a forţei de frecare c.

0

0

cosl

l lα =

+ ∆

0

11

cos

l

l α∆ = −

coseN G F α= − ⋅

eF k l= ∆ Rezultat final: 4,5N N= d.

x

y

f e

e

f

F F

N mg F

F Nµ

=

= −

=

sin

cosx

y

e e

e e

F F

F F

αα

= ⋅

= ⋅

x

y

e

e

F

G Fµ =

−

Rezultat final: 0,19µ =

24


Varianta 025


Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. reprezentarea corectă a: greutăţii forţei elastice b. GFma −= )( gamF += Rezultat final: NF 8,10= c. lkF ∆=

lF

k∆

=

Rezultat final:

mN

k 540=

d. GF =' Rezultat final: NF 10' =

25




reprezentarea forţelor ce acţionează asupra sistemului principiul II al dinamicii: pentru sac mamgT =− ; pentru muncitor FT = ;

mmgF

a−=

Rezultat final: 2/5,21 sma = . b. Reprezentarea forţelor ce acţionează asupra omului Observaţia că forţa de apăsare este egală cu reacţiunea planului asupra omului TNG += , FGN −= Rezultat numeric NN 50=

c. N=0 GF =

m

mgGa

−= 1

2/87,1 sma ≅ d. amgmT ''' =−

)('' agmT += Rezultat numeric NT 450' =

26



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. αsinFgmN 11 −= gmN 22 = NNN 21 == Rezultat final: 030=α b. NFf µ= Rezultat final: N6FFF f2f1f === c. f21 F2cosFa)mm( −=+ α Rezultat final: 2s/m76,1a ≅ d. amFcosFFamT 1ff2 −−=+= α Rezultat final: N76,7T ≅

27




Reprezentare corectă a greutatilor si a normalelor Reprezentare corectă a tensiunilor şi a forţelor de frecare

b. RC = 0 → TBC = FfC TBC = µGC Rezultat final: TBC = 10 N

c. BfB NF µ= °= 30cosBfB GF µ Rezultat final: NNFfB 66,835 ==

d. AfBtB GFG



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. reprezentarea corectă a: greutăţilor tensiunii în fir reacţiunii planului b. amTG t 22 =− , 022 =− nGN amGT t 11 =− , 011 =− nGN αβ sin,sin 1122 gmGgmG tt == Rezultat final: 2/46,0 sma = c.

tv

a∆∆=

Rezultat final: smv /3,2= d. ( )agmT −= βsin2 2TF = Rezultat final: NF 09,23≅

29


Varianta 030



mgG = Rezultat final: kgm 8,0= b. reprezentarea corectă a: greutăţii reacţiunii normale forţei de frecare c. ecuaţia principiului fundamental al dinamicii maFF c =−αcos mişcare rectilinie uniformă 0=⇒ a Rezultat final: NNFc 46,332 ≅= d. NFc µ= αsinFGN −=

αµ

sinFG

Ff−

=

Rezultat final: 57,0≅µ

30


Varianta 031


Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. Reprezentarea corectă a : greutăţilor corpurilor forţelor elastice reacţiunii normale asupra corpului cu masa 1m b. Condiţia de echilibru pentru discul 2: 22 eFgm = pentru discul 1: gmmN )( 21 += Rezultat final: NN 4=

c. ( )011 llkgm −= ( )202 llkgm −=

1 2

1 2

m mk g

l l

+=−

Rezultat final: 20

Nk

m=

d.

21

12210 mm

lmlml

++

=

Rezultat final: cml 350 =

31



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. reprezentarea: componentelor forţei de greutate, tG , nG reacţiunii planului N , forţei de frecare fF b. αcos⋅= FFx şi αsin⋅= FFy αsin⋅⋅= gmGt şi αcos⋅⋅= gmGn αα sincos ⋅+⋅⋅=+= FgmFGN yn Rezultat final: NN 35= c. tfx GFF += txf GFF −= αα sincos ⋅⋅−⋅= gmFFf Rezultat final: NNFf 65,835 ≅= d.

NFf ⋅= µ sau ααααµ

sincossincos

⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅==

FgmgmF

N

Ff

Rezultat final: 25,0

73 ≅=µ

32


Varianta 033


Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. diagrama forţelor care acţionează asupra paraşutistului b. amR = makvmg =−

c.

0vkmg ⋅=

0vmgk = Rezultat final: skg120k = d. gmkva +−= Rezultat final: 2ms2a −=

33



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. ⋅ = − fm a F F

fF N

N m g

µ== ⋅

( )F m a gµ= + ⋅ Rezultat final: 30F N= b. '

1m a T m gµ⋅ = − ⋅ ⋅ '

2 2m a m g T⋅ = ⋅ −

( )1 21 2

1 µ⋅= ++

m mT g

m m

Rezultat final: 22,5=T N c. 2 2 2 02 cos90= + + ⋅F T T T 2=F T Rezultat final: 31,8≅F N d. ( )1µ= ⋅ + ⋅T m m g

2= ⋅T m g

2 1µµ

− ⋅= m mm

Rezultat final: 10=m kg

34



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. αsinmgGt = αcosmgGn = NGt 5= NGn 7,835 ≅= b. amFNG f =++

=−=−

0n

ft

GN

maFG

αµµ cosmgNFf == ( )αµα cossin −= ga Rezultat final: 28,2 sma = c. Condiţia de echilibru 0=−+ tf GFF ( )αµα cossinmin −= mgF Rezultat final: NF 8,2min = d. Condiţia de echilibru

αµααµα

sincos)cos(sin

−+= mgF

Rezultat final: NF 66,9min =

35



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. Reprezentarea forţelor ce acţionează asupra corpurilor b. amTF 111 cos =−α amFT 222 cos =− α

21

2211 coscos

mm

FFa

+−

=αα

Rezultat final : 2/21,2 sma = c. 0sin 1

'111 =−= αFgmN

1

1'1 sinα

gmF =

Rezultat final: NF 240'1 = d. 0cos 1

"1 =−TF α

0cos 2"

2 =− αFT

2

1"

1

"2

cos

cos

αα

=F

F

Rezultat final: 221

2

312 ,/"" ==FF

36



Nr. item Soluţie/Rezolvare II a. maxTF = 1001010 =+t Rezultat final st 9= b. [ ]st 9,0∈ , tensiunea creşte liniar de la valoarea 10N la NT 100max = Grafic corect c. NFf µ= mgN = Rezultat final: NFf 100= d. maFF f =− maNt =−+ µ1010

mmgt

aµ−+= 1010 , unde st 10=

Rezultat final: 22,0 sma =

37




reprezentarea corectă a greutăţii a componentelor forţei F: a reacţiunii planului, a forţei de frecare

b. αsinFGN −=1 αsinFGN +=2

c. maFF f =− 11 cosα maFF f =− 22 αcos ( ) ( )gamF µαµα +=+ sincos1 ( ) ( )gamF µαµα +=− sincos2 Rezultat final: 2F mai mare decât 1F

d.

0=aαµα

µsincos +

=⇒ mgF1

ESlF 01=∆ Rezultat final: m5101,13 −⋅≅∆

38



Nr. item Soluţie/Rezolvare IIa. reprezentarea corectă a: greutăţilor forţei de frecare tensiunii în fir reacţiunii planului b. NFf µ= αµ cosgmN 1= Rezultat final: NFf 4= c. amgmgmT 111 =−− αµα cossin amTgm 22 =−

gmm

mma

21

12

++−

=)cos(sin αµα

Rezultat final: 2

1s

ma =

d. )( agmT −= 2

21

21 1

mm

gmmT

+++

=)cossin( αµα

Rezultat final: NT 18=

39



Nr. item Soluţie/Rezolvare II. a. legea a doua a dinamicii 11 maFG f =−αsin şi αcosGN =1 )cos(sin1 αµα −= ga Rezultat final: 21 645 sma /,≅ b. 22 maFf =− şi GN =2 ga µ22 −= Rezultat final 22 4 sma /−= c.

11

0t

va

∆−=

22

0t

va

∆−=

21 ttt ∆+∆=∆ Rezultat final st 27,4≅∆ d.

2t

dv opm ∆

=

22tvdop

∆⋅=

Rezultat final mdop 5,12=

40



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. Reprezentarea corecta a componentelor greutatilor Reprezentarea normalelor si a fortelor de frecare Reprezentarea corecta a tensiunii in fir b. ( )ammR 21 += ( )ammFFGG fftt 212121 +=−−+ αµαµ cos;cos gmFgmF ff 222111 == αα sin;sin gmGgmG tt 2211 ==

Rezultat final: 22

83,065

s

m

s

ma ≅=

c. amFGT ft 222 =−+ sau echivalent

Rezultat final: NT320=

d. →= 0fF fortele exterioare care actioneaza asupra sistemului sunt 21 tt GG , presupunem 00 12 =⇒>⇒≠ TaaT Rezultat final: T=0, firul este netensionat

41




1 M Nv v v= −

1

km45

hv = sau m12,5

s

b. legea mişcării rectilinii uniforme

12D

tv

∆ =

6 mint∆ = hh.mm = 12.01 c. 9 kmMd = 4,5 kmNd = 4,5 kmPd = d. Alura corectă a graficului Precizarea valorilor numerice

42



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. 02 =−− TFG ft , 0=− nGN 01 =− GT αsin22 gmG t = , ,cos2 αµ gmFf = gmG 11 =

Rezultat final: 2,02

1 ≅m

m

b. amTG 11 =− amFGT ft 22 =−− , 0=− nGN

Rezultat final: 2

48,4s

ma ≅

c. ( )agmT −= 1 Rezultat final: NT 52,5= d.

tv

a∆∆=

tx

v m ∆∆=

20 v

v m+=

Rezultat final: mx 5,1=∆

43



Nr. item Soluţie/Rezolvare II. a. mgG = Rezultat final: kgm 4= b. reprezentarea corectă a: greutăţii reacţiunii normale la suprafaţă tensiunii din fir c. αsinGGt = TGF t =+αcos Rezultat final: NT 35= d. αα sincos FG ≤ 0=N când minFF = Rezultat final: NF 2,69min ≅

44



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. 11 GN0 −= 11f NF µ= Rezultat final: N2F 1f = b. 1f1 FTam −= TGam 22 −= Rezultat final: 2s/m25,1a = c. 2TF = Rezultat final: N70,3F ≅ d. t/va ∆∆= atv = ( 0v0t 00 =→= ) Rezultat final: s/m5v =

45



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. reprezentarea corectă a: greutăţii, reacţiunii normale la plan, forţei de frecare proiecţiilor lui F pe axe b. αcos⋅= FFx αsin⋅= FFy fx FF = αtgFF fy ⋅= Rezultat final: NFx 310= , NFy 10= c. GFN y =+ yFGN −= NFf ⋅= µ

N

Ff=µ

Rezultat final:

3

1=µ

d. fx FFam −=⋅ 1

Rezultat final: 2/35 sma =

46



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. reprezentarea corectă a: forţei de greutate, reacţiunii normale la plan, forţei de frecare

forţei→

1F

b. ft FFG += 1 ft FGF +=2 αµ cosmgFf =

αµ tgFF

FF

12

12

+−

=

Rezultat final 17,0=µ c. maFG ft =− ( )αµα cossin −= ga Rezultat final: 25,3 sma = d. tav ∆⋅= Rezultat final: smv 5,17=

47


Varianta 048


Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. reprezentarea corectă a forţelor 0=− fFF Rezultat final: NFf 5= b. NFf µ= GN = Rezultat final: 5,0=µ c. maFF f =′−

g

a

mg

F −=′µ

Rezultat final: 3,0=′µ d. maFF f =−′ Rezultat final: NF 7=′

48



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. GFe = mgG = NFe 1= b. Precizarea că panta graficului este numeric egală cu constanta elastică

yF

k∆∆=

Rezultat final: mNk 50= c. Condiţia de echilibru 0=+ eFG kymg =

kmg

y =

Rezultat final: my 02,0= d. mamgky =−

kagm

y)( +=

Rezultat final: my 021,0=

49



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. amTgm 22 =−

amgmT 11 =−

21

12

mm

mmga

+−

=

Rezultat final: 2/5 sma = b. ( )gamT += 1 Rezultat final: NT 5,1= c. TF 2=

∆= kF Rezultat final: m31015 −⋅=∆ d. ( )ascagmF −= 1 Rezultat final: NF 9,0=

50



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. 0=− rFT 0=− mgN NFr µ= 0=− TF mgF µ= Rezultat final: NF 40= b. 02 =− FT Rezultat final: NT 80= c. mamgT =µ−'

gm

Ta µ−= '

Rezultat final:

21

s

ma =

d. 22

rFNR += ; 21 µ+= mgR Rezultat final: NR 96,203=

51




( )01 llkgm −=⋅ ( )01/ llgmk −⋅= Rezultat final: mNk /100=

b. reprezentarea corectă a: greutăţii tensiunii din resort (forţei elastice) reacţiunii planului

c.

02 llkFel −= Rezultat final: NFel 50,=

d. tel GF = α⋅⋅=− sin02 gmllk gmllk ⋅−=α /sin 02 Rezultat final: 030=α

52




Legea a doua a dinamicii maFmg f =−αsin

)( alh

gmFf −=

Rezultat final NFf 15= b. Legea a doua a frecării NFf ⋅= µ αcosmgN = Rezultat final 346053 ,≅=µ

c. )cos(sin αµα −= ga ; acceleraţia e independentă de masa corpurilor Rezultat final: 2/2 sma =

d. 0sin)( =+−− αgmMFF f

αcos)( gmMN += gmMF )cos)(sin( αµα ++= Rezultat final NF 240=

53


Varianta 054



)(

)(

33

2

11

agmT

mgT

agmT

+==

+=

Rezultat final:

kNT

kNT

kNT

8,4

5

1,5

3

2

1

===

b. atv =

Rezultat final: sm

v 2=

c.

2

0 1atv m+

=

Rezultat final: sm

v m 1=

d. Graficul )(tv

54



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. αcosgmN AA = αcosgmN BB = Rezultat final: NNNN BA 35310 == ; b. TGtA = αsingmG AtA =

2

gmT A=

Rezultat final: NT 10= c. etB FTG =+ kxTgmB =+αsin Rezultat final: mx 10,= d. etBtA FGG =+ Rezultat final: ctxctGG tBtA =⇒=+

55



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. Determinarea, din grafic, a vitezelor la deplasările A→B şi B→A:

ABas tvvd ⋅+= )( ; BAas tvvd ⋅−= )( ; min72=ABt ; min40=BAt ; kmd 12= Rezultat final: smhkmv s /88,3/14 ≅= b. calculul duratei parcursului A→B→A: BAAB ttt += Rezultat final: min112=t c. aplicarea legilor de mişcare la mişcările celor două şalupe:

ias tvvxd ⋅−=− )( ; ias tvvx ⋅+= )( Rezultat final: kmx 7,7≅ d. '

ABs tvd ⋅=

min4,51'' ≅= BAAB tt

min86,102' ≅ABAt reprezentarea grafică

56



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. ( )( )3 1 2 sin cosm m m α µ α> + + ⋅ Corpul 3 coboară b.

1 12 1 1

2 23 12 2 2

3 3 23

⋅ = − −

⋅ = − − −

⋅ = −

T f

T f

m a T G F

m a T T G F

m a G T

sin

cost

f

G m g

F m g

αµ α

= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅

( )( )3 1 21 2 3

sin cosα µ α− + + ⋅=

+ +m m m

a gm m m

Rezultat final:

20,4

ma

s≅

c. ( )12 1 sin cosα µ α= + + ⋅ T m a g Rezultat final: 12 9,5T N≅ d. ( )23 3= −T m g a Rezultat final: 12 28,8T N≅

57




reprezentarea corectă a: greutăţii reacţiunii normale forţei de frecare

b. αcosmgN = Rezultat final: NN 3,17≅

c. ecuaţia principiului fundamental al dinamicii maFG ct =− αsinmgGt = NFc µ= Rezultat final: 2/5,2 sma =

d. mişcare rectilinie uniformă 0=⇒ a

ct FGF += Rezultat final: NF 15=

58




022 =+ GN 22 GN = Rezultat final: N= 122N

b. forţa de tracţiune trebuie să fie mai mică decât forţa de frecare la alunecare fcosα FF < 1NF µ=f αsin11 FgmN -= Rezultat final: N87,0




reprezentarea corectă a: greutăţii forţei elastice reacţiunii la suprafaţă forţei de frecare

b.

αµαµ

sincos += mgF

Rezultat final: NF 80= c. αsinFmgN −= Rezultat final: NN 160=

d.

ε⋅=

SF

E

4

2dS

⋅= π

Rezultat final: 29108 mNE /⋅=

60


Varianta 061


Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. amMgmMF )()( +=+−

gmM

Fa −

+=

Rezultat final: 2/2 sma = b. mamgN =− )( agmN += Rezultat final: NN 36= c.

tv

a∆∆=

at

v∆=∆

Rezultat final: 10st =∆ d.

SF=σ

4

2dS

π=

2

4

d

F

πσ =

Rezultat final: 26 /10384 mN⋅=σ

61



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. Desen corect b.

1

2

sin

sin

αα

= ⋅ +

= ⋅ −f

f

F G F

F G F

1 2sin2

α +=⋅

F F

G

Rezultat final: 030α = c. sin

cos

αα

= ⋅

= ⋅p

n

G G

G G

Rezultat final:

25

43, 25p

n

G N

G N

=

=

d.

1 2 2 cosµ α− = ⋅ ⋅ ⋅F F G

1 2

2 cosµ

α−=

⋅ ⋅F F

G

Rezultat final: 0,25µ =

62


Varianta 063


Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. amFNG f =++ mamgmg =− αµα cossin ( )αµα cossin gga −=

Rezultat final: 22 13,410

315 smsma ≅

−=

b.

td

v ABm ∆=

2

0 vvm

+=

tv

a∆∆=

αsinah

v2=

Rezultat final: 2882 smv ,≅ c. αµα cossinmin mgmgF −=

Rezultat final: NNF 4,010

315,0min ≅

−=

d. La ridicare uniformă: αµα cossinmin mgmgF +=

Rezultat final: NNF 59,010

315,0min ≅

+=

63


Varianta 064 Subiectul A. MECANICA

Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. gmFf 11 µ= Rezultat final: NFf 8621 ,≅

b. ( )

21

121 mm

mmga

+−

=µ

( )12 agmT −= Rezultat final: NT 57,8= c. ( )

21

212 mm

mmga

+−

=µ

Rezultat final: 4/ 21 =aa d. ( ) 01 =+− gmmT µ 02 =− Tgm

12 m

mm −=

µ

Rezultat final: kgm 6=

64


Varianta 065


Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. reprezentarea corectă a: greutăţilor celor două corpuri tensiunii din fir reacţiunii planului b. Bt GG



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. Determinarea, din grafic, a acceleraţiei:

t

vv

tv

a if∆−

=∆∆=

Rezultat final: 2/9 sma = b. rFgmam −⋅=⋅ Rezultat final: NagmFr 1,0)( =−⋅= c. 2/)()( 1221 ttvvtvd m −⋅+=∆⋅=

Determinarea din grafic a vitezelor 1v şi 2v : smv /5,41 = ; smv /5,132 = Orice altă variantă de calcul corectă se va puncta integral

Rezultat final: md 9= d. 0=a ⇒ gmvk ⋅=⋅ Rezultat final: smv /20=

66


Varianta 067



Legea a doua a dinamicii amFF f 1=− gmFf 1µ= Rezultat final NF 12=

b. 'amTgm 22 =− ;

'amgmT 11 =− µ Rezultat final 2' /5,2 sma =

c. )/()1( 2121 mmgmmT ++= µ Rezultat final NT 5,22=

d. '

2 Tgm = ; 0)( 01' =+− gmmT µ

120 / mmm −= µ Rezultat final kgm 100 =

67


Varianta 068



1∆= kmg 12 2 ∆=+ kFmg Rezultat final: m = 0,5 kg

b.

0kpmg = Rezultat final: k = 500 N/m

c. reprezentarea corectă a sistemului mecanic reprezentarea corectă a greutăţii reprezentarea corectă a forţei 3F reprezentarea corectă a forţei elastice 3eF

d. 33 ∆kFe =

23

23 FGFe +=

rezultat final: m01,03 ≅∆

68



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. αsinmgGp = αcosmgGn = Rezultat final: NGp 35= NGt 6266335 ,≅= b. reprezentarea corectă a: greutăţii si componentelor fortei F si a componentelor sale fortei de frecare reacţiunii planului c. 0=⇒= Rctv αcosFGF tf −= αα cossin FGFf −= Rezultat final: NFf 20= d. NFf µ= αα sincos FGN +=

Rezultat final: 29032

1,≈=µ

69


Varianta 070


Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. nGN = αcosmgGn = Rezultat final: N5,2N = b. t/va ∆∆= Rezultat final: 2s/m5a = c. ft FGma −= αsinmgGt = NFf µ= Rezultat final: 73,0=µ d. ft FGF += Rezultat final: N15,6F ≅

70


Varianta 071


Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. reprezentarea corectă a: greutăţilor forţei de frecare reacţiunii planului tensiunii în fir b.

amgmT

amTgm

11

22 ;

=−=−

µ

Rezultat final:

21

12

mmmm

ga+−= µ

c.

Rezultat final: 21

21 )1(mm

gmmT

++= µ

d.

Rezultat final: 2

5s

ma =

71


Varianta 072


Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. reprezentarea corectă a: greutăţii şi reacţiunii planului tensiunii din resort (forţei elastice) şi forţei de frecare b.

43

0

== dtgα ; 53

sin20

2=

+=

d

dα şi 54

cos20

2

0 =+

=d

α

cmd 3020

2 =−−=∆ NkFT e 8,7=′∆⋅=′=′

c. NmgG 10== şi NTmgN 96,3cos =′′−=′ α

mNT

a′−′′= µαsin

Rezultat final: 23,4 sma ≅ d. NFf µ= ; mgN =

Rezultat final: NFf 1=

72


Varianta 073


Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. sinpG m g α= ⋅ ⋅ cosnG m g α= ⋅ ⋅

Rezultat final: 10

17,3p

n

G N

G N

=

=

b. sinθ= ⋅nF F 0N =

cos

sin

αθ

⋅= GF

Rezultat final: 24,5F N≅ c. 0 = − −p p fF G F µ= ⋅fF N ( )sin cos

cos sin

α µ αθ µ θ

+ ⋅= ⋅

+ ⋅F m g

Rezultat final: 15,9F N≅ d. ⋅ = − −p p fm a G F F

( )sin coscos sin

α µ αθ µ θ

− ⋅ − =− ⋅

m g aF

Rezultat final: 8F N≅

73


Varianta 074


Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. reprezentarea corectă a fiecărei forţe forţa de tracţiune forţa de frecare corp-sanie forţa de greutate forţa de reacţiune normală b. NFf 1µ= gmMN )( += Rezultat final: NFf 30= c. Sania se deplasează rectiliniu şi uniform

'ff FF =

Rezultat final: NFf 30' =

d. ''1 NN µµ =

m

mM )(' 1

+=

µµ

Rezultat final: 15,0' =µ

74


Varianta 075


Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. intervalul de timp s10 → : tconstFt ⋅= şi [ ]gmFf ⋅⋅µ∈ ;0 NgmFf 10max =⋅⋅µ= 00 =⇒=+= RFFR ft , corpul este în repaus Rezultat final: 0=v b. intervalul de timp s32 → : NconstFt 20== şi gmFf ⋅⋅µ= ft FFam −=⋅ şi ( ) mgmFa t /⋅⋅µ−= Rezultat final: 2/1 sma = c. intervalul de timp s61 → : constgmFf =⋅⋅µ= Rezultat final: NFf 10= d. intervalul de timp s54 → : NFt 10= şi NgmFf 10=⋅⋅µ= ft FFR −= Rezultat final: 0=R

75



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. Reprezentarea forţelor ce acţionează asupra celor două corpuri

b. Aplicarea principiului fundamental al dinamicii fiecărui corp:

Tgmam −⋅=⋅ 11 ; gmFf ⋅⋅= 2µ ; gmTam ⋅⋅−=⋅ 22 µ Rezultat final: NgmT 62/)1(1 =+⋅⋅= µ

c. Exprimarea acceleraţiei: 1/ mTga −= Rezultat final: 2/4 sma =

d. Scrierea condiţiei de mişcare uniformă: 0' =a (sau condiţia de echilibru a forţelor) Aplicarea principiului II al mecanicii în noile condiţii:

'1

'1 Tgmam −⋅=⋅ ; gMTaM ⋅⋅−=⋅ µ

'' Rezultat final: kgmM 5/1 == µ

76


Varianta 077


Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. gmTFe 111 == 11 ∆= kFe

Rezultat final: cmk

gm311 ==∆

b. amTgm 11 =− amgmT 22 =−

Rezultat final: 2

21

21 2 smgmm

mma =

+−

=

c.

gmm

mmT

21

212

+=

∆== kFT e Rezultat final: cm4,2=∆ d. TR 2=

Rezultat final: Ngmm

mmR 8,4

4

21

21 =+

=

77


Varianta 078



în punctul A:

0=R TFR += Rezultat final: T = 15,2 N

b.

NFGFR

aamR

+++=

=cu=

f11

111 0,

ft1x1

x1 0

FGFR

R

--==

şi n1y1

y1 0

GNR

R

-=

=

αsinmgG =t NF µf = αcosmgN = Rezultat final: 20,=µ

c.

212 amR = NFGR ++= f12 )cos(sin2 αµα -ga = Rezultat final: 22 m/s44,a =

d.

tv

a∆∆=

00 =v tav ∆= Rezultat final: smv /8,8=

78


Varianta 079


Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. [ ]min5,0;0∈t ,

1

11 t

va

∆∆

=

21 5,0 sma =

[ ]min4;5,3∈t ,2

22 t

va

∆∆

=

Rezultat final: 22 5,0 sma −= b. 0=− ft FF

GFf 101=

Rezultat final: NFt 700= c. tvd ∆⋅= Rezultat final: md 2700= d.

2

2mvEc =

Rezultat final: kJEc 75,78=

79



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. gmG 11 = ; gmG 22 = Rezultat final: NG 11 = ; NG 32 = b. gmFel 2=

kgm2=∆

Rezultat final: m05,0=∆ c.

( )21212'mmkgmm

+=∆

Rezultat final: m025,0' =∆ d. '2 ∆= kF Rezultat final: NF 3=

80



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. maf = Rezultat final: f =1,73 N b. a)mM(cosF ⋅+=α α⋅+= cos/a)mM(F Rezultat final: N10F = c. α+= sinFMgN1 Rezultat final: N1= 45 N d. 2r/FS/F ⋅π==σ

)ag(MF +⋅= Rezultat final: 26 m/N103,15 ⋅≈σ

81



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. αcosMgN = Rezultat final: NN 3,17310 ≅= b. maTmg =− MaMgMgT =−− αµα cossin

Rezultat final: ( ) 23 sm

MmMgmg

a =+

+−= αµα cossin

c. ( )

NMm

mMgT 21

cossin1 =+

++= αµα

Rezultat final: NT 21= b. forţa de frecare orientată în sus de-a lungul planului gmMgMg 1cossin += αµα )cos(sin1 αµα −= Mm Rezultat final: kgm 5,01 =

82


Varianta 083


Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. Fortele corect marcate gmgmgm 211 cossin += αµα

α

αµcos1

2

mm

tg −=

Rezultat final: 73,0=µ b. Fortele corect marcate 02 =− gmT Rezultat final: NT 2,0=

c.

21

112 cossinmm

gmgmgma

+−−= αµα

rezultat final: 2/87,4 sma −≅ d. Fortele corect marcate 0''2 =−Tgm 0cossin 11

' =−− αµα gmgmT Rezultat final: gm 49'2 ≅

83


Varianta 084


Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. 1m se deplasează uniform, vertical în jos gmgmgmgm ⋅+α⋅⋅⋅µ=α⋅⋅+⋅ 21 cossin 1m se deplasează uniform, vertical în sus gmgmgmgm ⋅=α⋅⋅⋅µ+α⋅⋅+⋅ 21 cossin Rezultat final: Kgm im 69,2max1 ≅ şi Kgm im 30,1min1 ≅

b. ( ) gmgmgmgmammm ⋅−α⋅⋅⋅µ−α⋅⋅+⋅=⋅++ 2121 cossin Rezultat final: 2/09,1 sma ≅ c. 111 Tgmam −⋅=⋅ ⇒ ( )agmT −⋅= 11 Rezultat final: NT 64,351 = d. gmTam ⋅−=⋅ 222 ⇒ ( )agmT +⋅= 22 0

222

22

22 60cos2 ⋅⋅⋅++= TTTTR ⇒ 32 ⋅= TR ; unde 73,13 =

Rezultat final: NR 74,76≅

84



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. αsinFGN −= Rezultat final: N35,11N ≅ b. fFcosFma −= α NFf µ= Rezultat final: 2s/m8,0a ≅ c. t/va ∆∆= atv = ( 0v0t 00 =→= ) Rezultat final: s/m12v ≅ d. 0f0 Fma −= ga0 µ−= 00 t/vt/va −== ∆∆ Rezultat final: s4t0 ≅

85


Varianta 086


Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. observaţia că la momentul st 2= NF 20=⇒ 1maF = Rezultat final: 21 2 sma = b.

tv

a∆∆=1

tav ∆= 11 Rezultat final: smv 81 = c. tvs m ∆=

210

1vv

v+

=

Rezultat final: ms 16= d. 2' maF =

FF

a

a '

1

2 =

Rezultat final: 5,1

1

2 =a

a

86



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. Reprezentarea corectă a forţelor ce acţionează asupra celor două corpuri: greutate, tensiune

în fir, forţă de frecare la alunecare, reacţiune normală b. Aplicarea principiului II al mecanicii corpului de masă m :

Tgmam −⋅=⋅ Aplicarea principiului II al mecanicii corpului de masă M :

fFTaM −=⋅ ; gMN ⋅= Exprimarea forţei de frecare: NFf ⋅= µ

Rezultat final: 2/5,2

)(sm

MmMm

ga =+

⋅−⋅= µ

c. )( agmT −⋅= Rezultat final: NT 5,22= d. lkT ∆⋅= Rezultat final: cml 25,2=∆

87



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. m=C 4x m=C 2-y b. 2

A2AA += yxr

Rezultat final: m22A =r c. desen r∆

d.

t

ADm ∆

∆=

rv

22 yxr ∆+∆=∆ AD AD= xxx -∆ şi AD y-y=y∆ Rezultat final: m/s,m 170≅v

O

B

C D

x

y

Ar

r∆

88



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. 0=−− ft FGF nGN = NFf µ= 0cossin =−− αµα mgmgF Rezultat final: NF 2,15= b. maFG ft =− )cos(sin αµα −= ga Rezultat final: 242 sma ,≅ c. tvL m ∆⋅=

2

0 vv m

+=

tv

a∆∆=

aLv 2= Rezultat final: smv 820,≅ d. θµ tg= Rezultat final: 3,0arctg=θ

89


Varianta 090



Forte corect marcate amTgm ⋅=−⋅⋅ 11 sinα amT ⋅= 2

gmm

mmT ⋅

+⋅⋅=

21

21 cosα

Rezultat final: NT 5,7= b.

gmm

ma ⋅

+⋅=

21

1 sinα

Rezultat final: 275,3 sma = c. 2TFs = Rezultat final: NFs 57,10≅

d. Forte corect marcate NFf ⋅= µ 0cossin 111 =⋅⋅⋅−−⋅⋅ αµα gmTgm 021 =⋅⋅− gmT µ Rezultat final: 420,≅µ

90


Varianta 091


Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. reprezentarea corectă a: greutăţilor forţelor de tensiune din fir forţei de tensiune din firul de care este suspendat scripetele b. amgmT 22 =− amgmT 11 =+− ( )

( )2121

mmmmga +

−⋅=

Rezultat final: 2/6 sma ≅ c.

ghmmmm

v21

12

+−=

Rezultat final: smsmv /45,2/6 ≅= d.

gmmmm

TF21

2142+

==

Rezultat final: N32F =

91



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. reprezentarea forţelor G şi rezistentaF b. kvGFGma rez −=−=

Rezultat final:

−=Gkv

ga 1

c. dacă constvv == 0 ⇒ 0=a mgkv =0

Rezultat final: mNs

vmg

k 1200

==

d.

m

kvga 11 −=

−=

0

11 1 v

vga

Rezultat final: 21 2 sma −=

92



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. ( )β⋅−⋅µ−β⋅=⋅ sincos0 FGFam ( )[ ] gmFa ⋅µ−β⋅µ+β⋅= /sincos0 Rezultat final: 20 /87,2 sma = b. fptxp FGFam −−=⋅ , unde 0=pa ( )ynfp FGF −⋅µ= ( ) 0sincossincos =β⋅−α⋅⋅⋅µ−α⋅⋅−β⋅ FgmgmF ( ) ( )β⋅µ+βα⋅µ+α⋅⋅= sincos/cossingmF Rezultat final: NF 25,151= c. 0=pN ⇒ 0=− yn FG 0sincos min =β⋅−α⋅ FG βα⋅⋅= sin/cosmin gmF Rezultat final: NF 39,245min = d. Pentru: ( )β⋅−α⋅⋅µ−α⋅−β⋅=⋅ sincossincos FGGFam p ( )[ ] ( )αµ+α⋅−β⋅µ+β⋅= cossin/sincos gmFap Rezultat final: 2/89,1 smap =

93


Varianta 094


Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. Reprezentarea corecta a: greutăţilor

tensiunii din fir reacţiunii planului forţei de frecare

b. amTgm 22 =− amFT f 1=− NFf µ= Rezultatul final: 25 sma = c. )(2 agmT −= Rezultat final: NT 5,1= d. 2TF = Rezultat final: NF 11,2≅

94



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. = ⋅N m g Rezultat final: 5100N N= b.

0 0

F lE

S l∆=

0

0u

m g ll

S E

µ ⋅ ⋅ ⋅∆ =

⋅

( ) 00

u

a g ll

S E

µ+ ⋅∆ =

⋅

ua

l gl a g

µµ

∆ ⋅=∆ + ⋅

Rezultat final: 46,0≅

∆∆

a

u

l

l

c.

0 0

µ∆ ⋅ ⋅=⋅

ul m g

l S E

Rezultat final: 6

0

3,18 10ul

l−∆ ≅ ⋅

d. 2 2= +fF F N 21F G µ= + Rezultat final: 5216F N≅

95


Varianta 096



tv

a∆∆=

Rezultat final: 2/3,0 sma = b.

• Reprezentarea forţelor (→

1F , →

2F , →G ,

→N ,

→

rF ) • Aplicarea principiului II al mecanicii corpului de masă M :

rFFFaM −+=⋅ 21 Rezultat final: NFr 450= c. tvd m ∆⋅=

smvv

v infinm /6,02=

+=

Rezultat final: md 4,2= d. 2

11 /3,0 smaaMFr −=⇒⋅−=

1

11

1

11 t

vv

t

va if

∆−

=∆∆

= ; 01 =fv

Rezultat final: s

a

vt i 4

1

11 =

−=∆

96



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. mgN = Rezultat final: NN 50= b. maFF f =− NFf µ=

gmF

a µ−=

Rezultat final: 215 sma = c.

tv

a∆∆=

Rezultat final: smv 30= d.

observaţia că forţa F trebuie să acţioneze sub un unghi α în sus αsinFGN −= 0=N

FG=αsin

Rezultat final:

6πα =

97



Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. desen

b. enunţ este valabilă pentru valori ale forţei deformatoare mai mici decât 20 N c. ∆kF = cm,6=siN= 05 ∆F Rezultat final: N/m,3833≅k d. 0→ == av const. ; 0=R

fe1x FFR += şi NGR +=y 1∆kF =e1 NF µ=f Rezultat final: cm= 6,01∆

0,6

1,2

5 10 15 20 25 30

1,8

2,4

3,0

3,6

4,2 (cm)∆

F (N)

O

98




MaMgT =−− µ maTmg =+−

gmMMm

a+

+−= µ

Rezultat final: 22,5 sma −= b. ( )

gmM

MmT

+−= µ1

Rezultat final: NT 8,4= c. ( )aMmMgmg ′+=− µ

gmMMm

a+

−=′ µ

Rezultat final: 28,2 sma =′ d.

aMMg ′′=−µ Rezultat final: 22 smga −=−=′′ µ

99


Varianta 100


Nr. item Soluţie/Rezolvare II.a. maFG ft =− nGN = NFf µ= )cos(sin αµα −= ga Rezultat final: 25,2 sma = b.

tv

a∆∆=

av

t =∆

Rezultat final: st 2=∆ c. τav =

2

2mvEc =

Rezultat final: JEc 150= d. αµ tg=' Rezultat final: 58,0' ≅µ

100



Nr. item Soluţie/Rezolvare III.a. Pentru:

max

0==

a

v v

fmgP

v max =

Rezultat final: 8= m

smaxv

b. Pentru: 2

2

⋅=cm v

E

Rezultat final: JEc510128 ⋅=

c. Pentru: = ∆

rF mL E

20

2

⋅∆ = −mm v

E

Rezultat final: JLF510128 ⋅−=

d. Pentru: fmgxLF −= 2

2

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅m v f m g x

Rezultat final: 213,33=x m

101


Varianta 002


Nr. item Soluţie/Rezolvare III. a.

2

20

0mv

Ec =

Rezultat final: JEc 720 = b.

mgmvmv µ−=

22

20

21

gvv µ2201 −=

Rezultat final: smv /51 = c.

mghmv

E +=2

21

Rezultat final: JE 98= d. legea conservării energiei

22

22

21 mvmgh

mv =+

ghvv 2212 +=

Rezultat final smv /72 =

102



Nr. item Soluţie/Rezolvare III.a. Primul interval: [0,2 min, 0,3 min] Al doilea interval: [0,7 min, 0,8 min] b. Epot = mgh h = 10 m c. v0 = 12,5 m/s în 0,2 min camionul parcurge 150 m = 1,5 hm Graficul corect d. ∆Epot = mg∆h ∆Epot = mg∆h = − 1 MJ,

din graficul trasat la pct. c, pentru x = 375 m sau din graficul din enunţ, cu 0

dt

v= = 30 s = 0,5 min

103



Nr. item Soluţie/Rezolvare III.a.

AA pcAEEE +=

hgmE A ⋅⋅= Rezultat final: JEA 25,1= b. 0180cos⋅⋅= dFL fFf

αsinh

ABd ==

NFf ⋅= µ nGN = αcos⋅⋅= gmGn Rezultat final: JL

fF625,0= , JL

fF625,0−=

c.

fFABLEE −=

Rezultat final: JEB 625,0= d.

2

2B

cBvm

EEB

⋅==

m

Ev BB

2=

Rezultat final: smsmv B /24,2/5 ≅=

104


Varianta 005


Nr. item Soluţie/Rezolvare III.a. 2

2

⋅=cm v

E

Rezultat final: 312,5= JcE b. =p cE E = ⋅ ⋅pE m g h 2

2v

hg

=⋅

Rezultat final: 31,25=h m c. Sistemul are energie potenţială maximă în punctul în care corpul are înălţime maximă faţă de sol

maxpE m g h= ⋅ ⋅ Rezultat final: 312,5=pE J d.

fF mL E= ∆

µ= − ⋅ ⋅fF

L m x

20

2µ− = − ⋅ ⋅ ⋅mv m g x

2

2

vx

gµ=

Rezultat final: 125=x m

105



Nr. item Soluţie/Rezolvare III.a. amF ⋅= Precizarea că valoarea rezultată din grafic este NF 20= 210 sm

mF

a ==

b. observaţia că AriaL = ( )

JL 1402

20410 =⋅+=

c. cEL ∆=

observaţia că JAriaL 402204 =⋅==

22v 20

21 vmmEc

⋅−⋅=∆

mE

vv c∆+= 2201

Rezultat final: smv 71 = d.

avv

t 12−

=∆

mE

vv c22122+=

Rezultat final: s,t 440≅∆

106



Nr. item Soluţie/Rezolvare III.a. 1FvP = Rezultat final: NF 1000= b. CEL ∆=

2

21mvL −=

Rezultat final : kJL 90−= c. dFL r−=

FFr = Rezultat final: md 90= d.

medvd

t =∆

21vv med =

Rezultat final : st 12=∆

107




ff i FE E L− =

cE m g h m g h ctgµ α= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Rezultat final: 5cE J= b.

fF mL E= ∆

fF

L mgh= − Rezultat final: 10

fFL J= −

c. 2

02

mvm g xµ− = − ⋅ ⋅ ⋅

2

2

vx

gµ=

Rezultat final: 1,73x m= d.

c pE E= 2v gh= Rezultat final: 4, 47 /m s=v

108



Nr. item Soluţie/Rezolvare III.a. 0cc EEL −=

2020vmEc =

Fd=L Rezultat final: kg8=m b. mvF ⋅=P W241≅P c. Fd−=L

2v20⋅−=− mFd

Rezultat final: md 20= d.

)1(2v20 αctgmghm +−=⋅−

mh 17,4≅

109



Nr. item Soluţie/Rezolvare III. a. reprezentarea corectă a tuturor forţelor ce acţionează asupra sistemului expresia lucrului mecanic efectuat de forţa de tracţiune: αcosFdL = Rezultat final: NF 20= b. condiţiile de echilibru pe verticală αsin11 FNgm += şi 22 Ngm =

expresia coeficientului de frecare dFgmm

LFf]sin)[( 21 α

µ-+

=

Rezultat final: 10,=µ

c. medief vFP ⋅−= 2

Observaţia

20 v

v medie+=

Expresia teoremei de variaţie a energiei cinetice ctot EL ∆=

21

)(2

mm

LLv f

FF

+

−=

( )21

22

2 mm

LLgmP f

FF

+

−−=

µ

Rezultat final: WP 81,2= d. teorema variaţiei energiei cinetice 2180

221

0 /)(coscos 'vmmDFFD f +=+α Rezultat final: smv /,' 915≅

110


Varianta 011


Nr. item Soluţie/Rezolvare III.a. amF ⋅=

m

Fa =

Rezultat final: 2/2 sm=a b. observaţia că forţa este minimă în intervalul m64 − c. AriaL = Rezultat final: JL 18= d. LEc =∆

mL

v2=

Rezultat final:

sm

sm

v 24,423 ≅=

111



Nr. item Soluţie/Rezolvare III.a. mghEp = αsinh = Rezultat final: J25000Ep = b. ff FL −= NFf µ= αcosmgN = Rezultat final: J12975Lf −= c.

cp L/Ectg11 =

+=

αµη

Rezultat final: %83,65≅η d.

fpc LEL += t/LP c= Rezultat final: W37,949P ≅

112



Nr. item Soluţie/Rezolvare III.a. F = ma Graficul corect b. xm = 4 hm Justificare (pentru ]4;0[ hmx ∈ acceleraţia şi viteza au aceeaşi orientare, deci

până acolo viteza creşte) c. Lucrul mecanic este dat de aria subgraficului L = 0,8·106 J = 0,8 MJ (se acceptă şi 8 kN·hm, dar nu se acordă puncte dacă lipse d. 2

1

2cinmv

E =

Ecin = 0,8 MJ v1 = 40 m/s

113



Nr. item Soluţie/Rezolvare III.a. mghE = αsinmgdE = Rezultat final: JE 50= b. teorema de conservare a energiei aplicata corect Rezultat final: JEc 50= c. cEL ∆=

mgEmv

c µ−=2

2

Rezultat final: sm

smv 07,725 ≅=

d. LEc =∆

km

vx =

Rezultat final : mx 71,0≅

114


Varianta 015



2

20mvEc =

Rezultat final: JEc 10= b.

fFLE =∆

mghEf = şi αµ cosmglL fF −= Rezultat final: m,l 676≅ c. αµ cosmglL

fF−=

Rezultat final: JL totalFf 33,3−=

d. Pentru: mghEp = Rezultat final: J,Ep 676≅

115



Nr. item Soluţie/Rezolvare III. a.

max

20

2mgh

mv =

Rezultat final: mh 2,3max = b. grafic realizat corect c.

mghmvmv +=

22

21

20

mgh

mv =⋅2

321

Rezultat final: smv /41 = d. răspuns corect – viteza va fi mai mică decât 0v justificarea răspunsului

116




2cmv

E =

2v gh= Rezultat final: 15 /m s=v b. 2

2fFmv

L m g h= ⋅ ⋅ −

2cos sin

2

mvm g AB m g ABµ α α− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ −

Rezultat final: 15AB m= c.

fF mL E= ∆

cosfF

L m g h ABα= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Rezultat final: 30

fFL J= −

d.

fp F cE L E= +

Rezultat final: 60pE J=

117



Nr. item Soluţie/Rezolvare III.a. 21 mmm +=

AAA ppcAEEEE =+=

hgmEAp

⋅⋅=

Rezultat final: JEA 2000= b.

fFABLEE −=

⋅= fF FL f

ABh ==

αsin

αµ cos⋅⋅⋅= gmFf Rezultat final: JEB 1000= c.

αµ cos2

2

⋅⋅⋅⋅−⋅⋅=⋅ gmhgmvm B

( ) ( )αµαµ ctghghgv B ⋅−⋅⋅=⋅⋅−⋅= 12cos2 Rezultat final: smsmv B /07,7/25 ≅= d. Bf EL orizontală =−

gv

dvm

dgm BB⋅⋅

=⇒⋅=⋅⋅⋅µ

µ22

22

−=

⋅−= α

µα

µctgh

hd

1cos

Rezultat final: md 35=

118


Varianta 019


Nr. item Soluţie/Rezolvare III.a. reprezentarea forţelor GtFfc LLE +=∆

)sincos(2

2

ααµ +=

g

vd

Rezultat final: md 13,2≅ b. mghEp = αsinmgdEp = Rezultat final: JEp 30≅

c. dFL ff 2⋅−=

αµααµ

cossin

cos20+

−=mv

Lf

rezultat final: JLf 12−= d. LEc =∆

)cos(sin2

21 αµα −= mgdmv

Rezultat final: smv /9,41 ≅

119


Varianta 020


Nr. item Soluţie/Rezolvare III.a. vFP ⋅=

NvP

F 5000==

b. mafmgF =−

gfmvP

gfmF

a −=−=

Rezultat final: 24 sma = c.

( )gfamP

FP

v+

==

mgfP

FP

vmin

max ==

Rezultat final: smv 35max = d.

2

2maxvmEc

⋅=∆

JEc 612500=∆

120




m

Ev 00

2=

Rezultat final: smv /100 = b.

αµ cos20vmgPurcare −=

Rezultat final : WPurcare 2,69−= c. Legea conservării energiei la urcare pe planul înclinat

( )αµα cossin0 += mgE Legea conservării energiei la coborâre pe planul înclinat

( )αµα cossin −= mgE

αµααµα

cossin

cossin0 +

−= EE

Rezultat final: JE 6,36≈ d. mgdLf µ−= Rezultat final : JLf 8−=

121



Nr. item Soluţie/Rezolvare III.a. ( )

βµββµα

sincoscossin

++= mgF

βcosFdL = Rezultat final: JL 59,2≅ b. mghL −= JL 2−= c. mghEp = Rezultat final: JEp 2= d. dFdFdFL fffFf ⋅−=°⋅⋅=⋅= 180cos JL 1−=

122


Varianta 023



2

21mvEc =

kJEc 50= b.

rezFam

=

t

PF

v=

1

11

PR

va

m

−=

a = 5 m/s 2 c.

rezF ma=

2 22

PR ma

v= −

R2 = 2·103 N sau 2 kN e. precizarea că la deplasarea cu viteza maximă forţa rezultantă este nulă

max3

Pv

R=

3

m20

sv = sau 3

km72

hv =

123




2cmv

E =

pE mgh=

c pE E=

2

2

vh

g=

Rezultat final: mh 25,31= b.

GL m g h= ⋅ ⋅ Rezultat final: JL 5,312= c.

fFL m g h= − ⋅ ⋅

Rezultat final: JLfF

5,312−=

d.

0 ff FE E L− =

20 cos

2

mvm g xµ π− = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2

2

vx

gµ=

Rezultat final: 125x m=

124


Varianta 025



xF

k∆∆=

Rezultat final:

mN

100=k

b. fFF = mgkx µ= Rezultat final: cmx 4= c. AriaL = Rezultat final: JL 06,0= d.

mamgkx

mgkx

a

u

=−=

µµ

gag

xx

a

u

µµ+

=

Rezultat final: 5.0=

a

u

xx

125



Nr. item Soluţie/Rezolvare III. a. expresia puterii mecanice vFP tr ⋅= Condiţia de mişcare cu v =const. )cos(sinsin αµαα +=+= mgFmgF ftr Rezultat final: WP 75,3= b. mghLG −= Rezultat final JLG 5−= c. 0180cos⋅⋅= dFL fFf 030sin/hd =

030ctgmghLfF

⋅−= µ Rezultat final: JL

fF5,2−=

d. energia mecanică se conservă în absenţa frecărilor cp EE = 2/2mvmgh = ghv 2= Rezultat final smv /10=

126

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământu

ministerul educaţiei, cercetării şi inovării centrul ... · ministerul educaţiei, cercetării...

Documents