Capitolul 3

Msurarea fluxului 3.1 Mrimile de msurat 3.1.1 Unitaile msurrilor de flux Cantitatea de flux este msurat de obicei prin debit sau rata (variaia n timp) volumului de flux; aceasta reprezint viteza cu care volumul de flux traverseaza o suprafata. In sistemul internaional (SI), unitatea debitului este m3/s, dar in msurarile fiziologice se folosesc de obicei uniti cum sunt: litru pe secunda ( /s), litru pe minut ( l /min) sau mililitru pe minut (m /min). Se poate folosi i rata masei de flux, care corespunde ratei cu care o mas traverseaz o suprafa. Unitatea ratei de mas n SI este kg/s.

ll

Atunci cnd un fluid, cum este sngele, este furnizat sau drenat uniform dintr-un esut, cantitatea de flux este de obicei msurat ca rata volumului de flux pe unitatea de mas a esutului. In SI, unitatea este

dar in msurrile fiziologice se folosete . In mod similar, se poate considera rata volumului de flux pe unitatea de volum a esutului care reprezint numrul de treceri ale fluidului n unitatea de timp; astfel, unitatile sunt s

kgs/m3 g100min/m l

-1, min-1 etc. De asemenea fluxul poate fi caracterizat prin viteza fluxului. Unitatea de viteza in SI este m/s. Dac viteza fluxului nu este uniform, atunci apare un gradient al fluxului care este dat de derivata vitezei n raport cu o anumit coordonat. Intr-un fluid vscos, apare o for tangenial, numit tensiune de forfecare, care este proporional cu gradientul vitezei. Cu alte cuvinte, atunci cnd viteza fluxului are un gradient de vitez,

n direcia , tensiunea de forfecare poate fi reprezentat prin: )z(U

dz/)z(dU z

dz

)z(dU= (3. 1) unde este vscozitatea fluidului care este o constant ntr-un fluid incompresibil. Unitatea tensiunii de forfecare n SI este pascal (Pa) i aceea a vscozitii este

sPa . In msurrile fiziologice, pentru

72

vscozitate n mod obinuit se folosesc P (poise) i cP (centipoise) care reprezint:

sPa1,0P1 = (3. 2)

s (3. 3) Pa10cP1 3 = Pentru un flux care are viteza medie U , ntr-un tub cu seciunea trasnversal circular cu diametrul interior d , se definete cantitatea : Re

= dURe (3. 4)

numit numrul lui Reynold, unde este densitatea fluidului. Numrul lui Reynold este o cantitate adimensional. Pentru un flux de gaze, debitul poate fi definit n acelai mod ca pentru un lichid. Totui, gazul este compresibil i dilatarea termic este neneglijabil n conditiile multor masurri fiziologice. Astfel, nu se poate identifica exact coninutul molar al gazului sau coninutul de gaz care traverseaz o suprafa din volumul su. Pentru msurri precise trebuie identificate cel puin presiunea i temperatura. Coninutul relativ al compoziiei gazului poate fi afectat i de modificrile in presiunea vaporilor de ap. In general, orice volum sau debit al fluxului pot fi convertite n cantiti msurate n condiii standard de temperatur, presiune i uscciune care corespund la 0 i presiune de vapori zero.

)atm1(kPa325.101,Co

In msurrile respiratorii se folosesc uneori condiii care difer de cele standard. Condiiile tipice pentru temperatura corpului sunt presiunea ambiant i presiunea vaporilor de ap saturani, i temperatura ambiant i presiunea vaporilor de ap saturani. 3.1.2 Domeniile de msur ale fluxului Debitul ca i viteza medie U a sngelui ntr-un vas de snge pot fi aproximate numai grosier n funcie de dimensiunea vasului, deoarece

73

aceasta variaz adaptndu-se debitului sangvin. In sistemul arterial real exist o corelaie ntre debitul sngelui (i a vitezei) i diametrul arterei. Debitul de snge este proporional aproximativ cu puterea a treia a diametrului vasului, n timp ce viteza sngelui este aproximativ proporional cu diametrul arterial. Raportul debitelor ntr-o arter mare cu diametrul n jur de 2 cm i un capilar de m6 este mai mare de 109, iar cel al vitezelor este de aproximativ 2 000. Nu este aplicabil nici o metod de msur pentru ntreg domeniul de variaie a debitului sau a vitezei medii. De aceea, pentru diferitele domenii ale debitului i vitezei trebuie folosite metode diferite.

U

Intr-un vas de sange sau pe orice traiect care conine un fluid n micare, viteza fluidului nu este uniform pe seciunea transversal, ci are o distribuie de viteze. Dac traiectul este un tub drept lung cu o seciune transversal circular i dac se presupune c fluxul este staionar i laminar, atunci profilul vitezei este parabolic, aa cum se arat n Fig. 3.1. Viteza la o poziie aflat la o distan r fa de centrul tubului este dat de:

= 2

2

m Rr1U)r(U (3. 5)

unde R este raza interna a tubului, iar este viteza maxima. mU R

r U(r) U(r)=Um(1-r2/R2) 0 Um Fig. 3.1 Astfel, rata fluxului sau debitul este:

RUR21rdr2)r(U 2

R

0

m2 === (3. 6)

74

Debitul mprit la aria seciunii transversale este viteza medie 2R U dat de , 2/U m

= mU2

1U adic viteza medie este chiar jumtate din

viteza maxim, atunci cnd profilul vitezei este parabolic. Atunci cnd debitul nu este staionar, ci pulsatil profilul vitezei

difer de unul parabolic. Intr-o arter mare, pot apare pentru scurt timp viteze foarte mari, astfel nct fluxul prezint turbulene. Dac exist unele obstrucii ale arterei, de asemenea vor aprea turbulene. Chiar n fluxurile turbulente pot fi msurate debitele prin metode adecvate, dar nu se pot stabili exact profilurile vitezelor.

Fig. 3.2

Dac un flux este pulsatil, profilul vitezei variaz ca form periodic n timp. In Fig. 3.2 sunt date profilurile de vitez, tipice intr-o arter in timpul unui ciclu cardiac. Componenta inapoi a vitezei este observat chiar n artere mici iar la msurarea vitezei instantanee este necesar de cunoscut decelerarea pe direcia fluxului. 3.2 Msurarea fluxului de snge n vasele de snge 3.2.1 Msurarea fluxului de snge in artere si vene In aceast seciune sunt prezentate diferite principii ale metodelor de msurare a fluxului de snge n artere i vene, precum i aplicaiile adecvate pentru fiecare metod. 3.2.2 Fluxmetru electromagnetic 3.2.2.1 Principiu Fluxmetrul electromagnetic este un traductor generator. El este construit pa baza principiului efectului Hall, conform cruia, atunci cnd un fluid ce conine sarcini electrice se deplaseaz intr-o direcie perpendicular pe direcia unui cmp magnetic, pe cea de a treia direcie a unui sistem cartezian, se genereaz o tensiune electromotoare. Dac o particul care are o sarcina q , se deplaseaza cu o viteza ntr-un cmp magnetic de inducie , atunci asupra ei se exercit fora Lorentz , cu expresia cunoscut:

UB F

75

(3. 7) ( BUF = q )Intr-o soluie electrolitic, aa cum este sngele, care trece printr-

un cmp magnetic, ionii cu sarcini pozitive i negative se mic n direcii opuse; ca urmare, se genereaz un cmp electric , astfel nct fora Lorentz este echilibrat de fora , adic:

EEq

( )BUE = qq (3. 8) Astfel, daca se plaseaz doi electrozi de-a lungul liniilor cmpului electric, ntre cei doi electrozi va apare o diferen de potenial : V + V _ E1 B E2 U S

Fig. 3.3

(3. 9) ( )BU-SES ==Vunde este un vector orientat de-a lungul direciei ce unete poziiile celor doi electrozi (Fig. 3.3). Dac viteza U i inducia magnetic B sunt perpendiculare, tensiunea electromotoare V capt expresia:

S

(3. 10) dUBV =

76

unde d este distana ntre cei doi electrozi, U=U , si B=B . In vasele de snge reale, viteza sngelui este neuniform. Totui,

se poate arta c ecuaia (3.8) este valabil n cazul n care se consider U viteza medie, n msura n care profilul vitezei este simetric fa de axa longitudinal a vasului. Acest lucru este important pentru fluxmetrul electromagnetic. Folosind viteza medie, fluxul , se exprim prin:

B4

dV4

Ud 2 == (3. 11) att timp ct fluxul este simetric fata de axa longitudinal a vasului. In SI, este exprimat in m3/s, n tesla (T), iar in voli. B V Din relaia (3.9) se constat c rata de variaie a fluxului sau debitul poate fi aflat dac se determin viteza a sngelui. In acest scop pot fi folosite sonde perivasculare, montate n jurul vaselor de snge i sonde intravasculare, plasate n interiorul vaselor de sange. Sondele perivasculare sunt folosite n procedurile chirurgicale i uneori pe animale pentru observaii continue pe intervale mari de timp.

QU

Sondele intravasculare, sub forma unor catetere de tip electromagnetic sunt folosite clinic pentru monitorizarea vitezei sngelui n artere i vene mari. Prima sond de determinare a vitezei electromagnetice care utiliza o bobin fr miez a fost realizata de Mills. Schia unei astfel de sonde este prezentat n Fig. 3.4. Electrozi Bobina Vrf de platin Canal de presiune

Fig. 3.4

77

S stabilim sensibilitatea absolut SH a traductorului generator, realizat pe baza efectului Hall. Aceasta rezult din relaia (3.10):

dBU/VSH == (3. 12) unde valoarea induciei magnetice a bobinei este dat de:

lNI

B 0=

iar este permeabilitatea vidului ( ). 0 m/H104 7 3.2.2 Fluxmetre ultrasonice de snge

Frecvena unei unde sonore care se propag ntr-un mediu n micare este afectat de viteza de deplasare a mediului iar frecvena sunetului mprtiat de un obiect n micare este afectat de viteza obiectului aflat n micare. In prima parte a acestei seciuni sunt prezentate proprietile fundamentale ale propagrii undelor sonore. In partea a doua sunt descrise 2 fluxmetre cu ultrasunete: fluxmetrul cu timp de tranzit sau deplasare de faz i fluxmetrul Doppler.

3.2.2.1 Propagarea ultrasunetelor n esuturi

Ultrasunetul este definit ca sunetul ce are o frecven mai mare dect frecvena domeniului audibil omului (20 Hz - 20 kHz). Ultrasunetele se propag n tesut cu o vitez de aproximativ 1 500 m/s.Viteza sunetului vs, frecvena sa f i lungimea de und

U

sunt legate prin:

= fvs (3. 13) De exemplu, lungimea de und a unui sunet de 1 MHz este de aproximativ 1,5 mm. Un sunet, la o anumit poziie n mediu, este caracterizat de presiunea p a sunetului care depinde de viteza vs a undei i de viteza U a particulelor din mediu:

vp s= (3. 14) Raportul amplitudinii presiunii sonore la viteza particulelor din mediu Z este numit impedan caracterisitic (impedana pe unitatea de suprafa) a mediului:

svUpZ == (3. 15)

exprimat n (kg/s)/m2.

78

Puterea sunetului I pe unitatea de suprafa este exprimat prin:

Zp

21pU

21I

2

== (3. 16) cu uniti watt/m2. La propagarea prin esut, ultrasunetele pot fi atenuate prin absorbie, reflexie sau mprtiere. Dac o und plan se propag n direcia x, ntr-un mediu absorbant, i dac are o presiune p(0) la x=0, atunci presiunea ultrasunetului la poziia x este dat de:

(3. 17) ( ) ( ) xe0pxp =unde este coeficientul de absorbie. Coeficientul de absorbie variaz aproximativ proporional cu frecvena sunetului. Deoarece, conform (3.16) puterea pe unitatea de suprafa este proporional cu ptratul presiunii sunetului la o anumit poziie, atunci P(x) este exprimat prin:

(3. 18) ( ) ( ) x2e0IxI = 3.2.2.2 Fluxmetre ultrasonice cu timp de tranzit i deplasare de faz. Atunci cnd o und sonor traverseaz un fluid n micare contra curentului sau n sensul curentului, viteza aparent a sunetului difer de viteza sunetului n lichidul n repaus, caz n care unda sonor cltorete cu o vitez constant relativ la mediu. Atunci cnd un cristal transmitor i un cristal receptor sunt plasate ca n Figura 3.8, iar viteza fluidului este uniform pe ntreaga seciune transversal a tubului, timpul de tranzit T poate fi exprimat prin:

Fig. 3.8

79

= cosUvDT (3. 19)

unde D este distana ntre elementele transmitor i receptor, v este viteza undei sonore, U este viteza fluidului, i este unghiul pe care il face fasciculul n raport cu axa tubului; semnul plus sau minus corespund traversrii n sensul curentului sau n sens contrar curentului. Diferena ntre timpul de tranzit al undelor sonore n sensul curentului sau n sens opus se poate obine sub forma:

2222 vcosDU2

cosUvcosDU2T

= (3. 20) dac U

( )++= tcoskVtcosVe1 (3. 22) ( )++= tcoskVtcosVe2 (3. 23) unde k este factorul de atenuare, este diferena de faz care se stabilete in absena fluxului iar este diferena de faz datorat fluxului. Suma celor dou semnale este:

( ) ( )++=+= tsinVk2tsinsinkV2eee 21 (3.24) Aceast relaie arat c amplitudinea semnalului rezultant este proporional cu diferen de faz datorat prezenei fluxului. 3.2.2.3 Fluxmetre de ultrasunete cu efect Doppler Atunci cnd un fluid n micare conine particule pe care sunt mprtiate ultrasunetele, viteza particulelor poate fi determinat din deplasarea Doppler (modificarea frecvenei) ultrasunetelor mprtiate. Imprtierea n care dimensiunea particulelor este mai mic dect lungimea de und a sunetului este numit mprtiere Rayleigh. In acest caz, intensitatea undei sonore mprtiate este proporionbal cu puterea a pa a frecvenei sunetului. Aceast relaie a fost confirmat i prin experimente de mprtiere napoi a ultrasuntelor n snge. Ca urmare, semnalul mprtiat va fi mai puternic la frecvene mai mari ale sunetului. Totui, intensitatea sunetului descrete exponenial cu creterea distanei pe care se propag sunetului, conform ecuaiei (3.18) i coeficientul de absorbie este proporional cu frecvena sunetului. Dac raportul ntre coeficientul de absorbie i frecvena f se presupune c este o constant, k, atunci amplitudinea semnalului mprtiat dup propagarea pe o distan x, se exprim astfel:

(3. 25) kfx24x24 efefI =Aceast funcie are un maxim la

kx2f = (3. 26)

De exemplu, pentru k=2.10-7s/cm i x=1 cm, semnalul mprtiat are un maximum la

81

(3. 27) MHz10s10f 17 == Atunci cnd distana x crete, frecvena care d maximul de intensitate variaz invers proporional cu x. Cu ajutorul fluxmetrului de ultrasunete cu efect Doppler se msoar deplasarea Doppler (modificarea frecvenei) n unda mprtiat, datorat deplasrii celullor roii din snge. Atinci cnd un cristal transmitor i unul receptor sunt plasate ca n Fig. 3.10, deplasarea Doppler provocat de viteza obiectului, U, poate fi calculat n dou etape.

Fig . 3.10

Mai nti, frecvena semnalului mprtiat de obiectul int este calculat pentru observatorul aflat n micare care primete un semnal de la o sura staionar. Frecvena semnalului recepionat de observatorul aflat n micare de la o surs avnd unghiul fa de direcia fluxului este da de:

s1 fvcosUvf += (3. 28)

unde v este viteza sunetului iar f s frecvena sursei. In a doua etap, frecvena undei reflectate la un la un receptor staionar, este calculat pentru un observator staionar care primete un semnalo de la o surs n micare. Frecvena undei care se deplaseaz spre observator avnd unghiul fat de direcia fluxului este:

12 fcosUvvf = (3. 29)

82

Deplasarea Doppler f, se obine pentru Ucos

Proprietile mecanice ale aceluiai mediu n cmp electric zero sunt caracterizate de 2 mrimi mecanice tensiunea mecanic aplicat T

=

AF unde F este fora iar A este aria suprafeei pe care acioneaz,

(N/m2) i deformarea S

= ll unde este lungimea cristalului. Relaia

dintre ele este:

l

TY1S = (3. 33)

unde Y este modulul lui Young (N/m2). Cercetrile arat c piezoefectul este un efect liniar, adic n cazul

unui efect piezoelectric direct, tensiunile mecanice T, provoac o polarizare electric P direct proporional cu acestea: (3. 34) dTP =d este coeficientul de proporionalitate, numit constant piezoelectric (C/N). Pe lng tensiunile mecanice, polarizarea poate fi provocat de deformarea mecanic S, de unde rezult nc o ecuaie a piezoefectului:

(3. 35) eSP =unde e reprezint modulul piezoelectric (C/m2). Se poate gsi o legtur ntre coeficienii d i e, dac se aplic

legea lui Hooke din teoria elesticitii

=

llY

AF :

(3. 36) YST =unde Y reprezint modulul lui Young (v. (3.33)) . Intr-adevr, din (3.33-3.35) rezult:

Yed = (3. 37)

In efectul piezoelectric direct, polarizarea provocat de tensiuni mecanice sau deformri poate fi exprimat prin intensitatea cmpului electric. Ecuaiile efectului direct apar n acest caz sub forma:

hSEgTE

==

(3. 38)

unde g este o alt constant piezoelectric(Vm/N) iar h alt modul piezoelectric (V/m).

84

Aplicarea legii lui Hooke (3.21) permite s se stabileasc o legtur ntre coeficienii g i h:

(3. 39) Ygh = Alegerea semnului coeficienilor d,e,g i h este convenional i este determinat de semnul deformrii i de direcia cmpului corespunztoare acesteia. O examinare termodinamic demonstreaz c ecuaiile efectului piezoelectric invers pot fi scrise cu ajutorul acelorai coeficieni d,g,e ih, astfel:

(3. 40)

hPTgPS

eETdES

===

=

unde coeficienii au aceleai definiii i uniti de msur ca n definiiile efectului piezoelectric direct. Piezoelectricitatea implic interaciunea ntre comportarea electric i mecanic a mediului. Intr-o bun aproximaie aceast interacie poate fi descris prin relaii lineare ntre variabilele mecanice i electrice, avnd n vedere i relaiile (3.32) i (3.33):

+=+=dE

YTS

EdTD

E

T

(3. 41)

+=

+=

T

D

DgTE

gDTYTS

(3. 42)

(3. 43) +=

=EeSDeESYT

S

E

+==

S

D

DhSE

hDSYT (3. 44)

85

In aceste ecuaii, indicii superiori semnific mrimile meninute constante n condiiile de lucru. De exemplu, scurtcircuitnd electrozii plasai pe prob, cmpul electric este meninut constant, i se folosete indicele E. Meninnd circuitul deschis, inducia electric este constant i atunci se folosete indicele D. Astfel, YD i YE sunt modulii elastici la densitate costant de sarcin electric i respectiv la cmp constant. Mrimile T i S sunt permitivitile electrice la tensiune constant i respectiv la deformare constant.

Se poate gsi o legtur doar de natur electric ntre coeficienii d,g,e i h; astfel, din ecuaiile (3.41) i (3.42) rezult:

hegd

S

T

== (3. 45)

Cei patru coeficieni piezoelectrici d,g,e i h aa cum au fost definii sunt legai ntre ei, dar fiecare reprezint un aspect diferit al efectului piezoelectric i este folositor pentru anumit set particular de condiii. De exemplu, d msoar deformarea ntr-un cristal liber (la tensiuni mecanice constante), g indic tensiunea la circuit deschis la o tensiune mecanic dat, e msoar tensiunea mecanic dezvoltat de un cmp electric atunci cnd este blocat (deformri constante), iar h d tensiunea la circuit deschis pentru o deformare dat. Intre modulii elastici YD la inducie i YE la cmp constant, din (3.41) i (3.42) rezult urmtoarea relaie:

( ) D2E Yk1Y = (3. 46) unde k este definit de:

T2

E2 dYk = (3. 47) sau, folosind (3.32):

T2D22

gYk1

k = (3. 48) In mod similar, se poate gsi legtura ntre S (permitivitatea dielectric a cristalului blocat) i T (permitivitatea dielectric a cristalului liber) din (3.42) i (3.43):

( ) T2S k1 = (3. 49) Mrimea k astfel introdus are o semnificaie fizic important. La frecvene deprtate de frecvena de rezonaa, k2 poate fi considerat ca

86

energia care se transform din energie mecanic in energie electric i invers (componenta mutual) raportat la energia elastic i electric nmagazinat. k poart numele de coeficient de cuplaj. Neglijnd componentele magnetice i termice, energia intern U pe unitatea de volum a unui sistem liniar este dat de:

ED21TS

21U += (3. 50)

Folosind ecuaiile (3.28), se ajunge la:

dme2T

E

2

UU2UE21EdT

21TdE

21

YT

21U ++=+++= (3. 51)

unde indicii e, m i d se refer la energiile elastic, mutual i dielectric. Din (3.38) coeficientul de cuplaj k poate fi scris sub forma:

de

m

UUU

k = (3.52) Avand n vedere expresiile energiilor din relaia (3.39), rezult pentru k

TE

2TE

2

2 dYE

21

YT

21

dET21

k == (3. 53)

valoarea gsit n (3.34). Campul electric E, inducia D sunt vectori, cu 3 componente distincte, permitivitatea dielectric este un tensor de rangul al doilea, tensiunile T i deformrile S sunt tensori de rangul al doilea, avnd cte 6 componente distincte (in loc de 9, datorit absenei cuplurilor de fore), i n consecin, coeficienii piezoelectrici d, g, e i h care sunt tensori de rangul cu 3 au 18 componente distincte (n loc de 27), iar modulii de elasticitate care sunt tensori de rangul 4 au 21 de componente distincte (n loc de 81). Numrul acestor componente este i mai redus, n funcie de proprietilor de simetrie ale eantioanelor piezoelectrice. Astfel, pentru cuar, singurele constante piezoelectrice diferite de zero sunt n numr de 5:

1126142514111211 d2d;dd;d;dd,d === (3. 54) cu valorile: d ; . Pentru materialele piezoelectrice realizate prin tehnologie ceramic, constantele piezoelectrice diferite de zero sunt:

N/C1025,2 1211= N/C105,8d 1314 =

87

33313231152415 d;dd;d;dd;d == (3. 55) Pentru a avea o oarecare imagine asupra mrimii piezoefectului n cuar, vom meniona c, aplicat unei lamele tiate dup axa X, cu o grosime de 1 cm n direcia X, creeaz o deformare:

m1025,210101025,2VdEdS 72

312

111111

==== l

i mrete dimensiunile lamelei cu:

5,22m1025,2m101025,2 927 === l . Pe de alt parte, n cazul efectului piezoelectric direct, la o

presiune de 1kgf/cm2 care acioneaz n direcia axei X, se creeaz un cmp E de-a lungul acestei direcii:

m/V105,5101085,858,4

1025,2TdgTE 351212

T ====

unde r=4,85, i de-a lungul acestei direcii apare o tensiune V: V5510105,5V 23 ==

In concluzie, atunci cnd pe electrozi este aplicat un potenial electric alternativ, grosimea cristalului piezoelectric se modific n aceeai msur i el genereaz o und sonor. n mediul nconjurtor. Atunci cnd unda sonor este recepionat de un cristal piezoelectric, ea provoac o deformare mecanic n material. Astfel, apare o polarizare electric a materialului n urma creia este generat un semnal electric corespunztor presiunii sunetului.

Pentru a pune n eviden existena piezoefectului se fac msurri pentru determinarea frecvenelor de rezonan i antirezonn, care se manifest n cristalele sau materialele ceramice piezoelectrice.

Dac asupra unei plcue piezoelectrice dintr-un material ceramic, de lungime , lime w i grosime h, cu electrozi pe feele de suprafaa cea mai mare (din planul xy n figura 3.5), se aplic un cmp electric alternativ de intensitate E (pe direcia z), atunci micarea particulelor are loc pe o direcie perpendicular pe direcia cmpului aplicat (T este pe direcia x) i se stabilesc vibraii longitudinale.

l

88

Fig. 3.5

Se poate calcula viteza de propagare a sunetului n prob:

=EYv (3. 56)

i frecvena de rezonan a eantionului (pentru impedana minim):

=E

rY

21f l

Dac asupra aceleeai plcue piezoelectrice din material ceramic, de lungime , lime w i grosime h, cu electrozi pe feele de suprafa mai mic (din planul xy di figura 3.6), se aplic un cmp electric alternativ de intensitate E (pe direcia z), atunci micarea particulelor are loc pe aceeai direcie cu direcia cmpului aplicat (T este pe direcia z) i se stabilesc vibraii longitudinale.

l

Fig.3.6

In acest caz, viteza sunetului n prob este dat de:

=DYv (3. 57)

iar frecvena de antirezonan (pentru impedan maxim este dat de:

89

=D

aY

21f l (3. 58)

Din relaiile (3.45) i (3.43) se calculeaz cu aproximaie, mrimea care conduce la evaluarea coeficientului de cuplaj k2:

22

E

ED

2a

2r

2a

k1k

YYY

fff

== (3. 59)

In Figura 3.7 este prezentat circuitul echivalent al unui material piezoelectric i dependena impedanei de frecven, cu evidenierea frecvenelor de rezonana i antirezonan.

Fig.3.7

90

Capitolul 3Masurarea fluxului