metode numerice cu aplicatii in energetic a

8/2/2019 Metode Numerice Cu Aplicatii in Energetic A

1/26


2/26

- metode multipas, n care valoarea soluiei exacte n fiecare punct este aproximat folosind informaiiledin mai multe puncte anterioare.

Evident este vorba de soluii aproximative pe care nu avem cum s le comparm cu o soluie exact,deoarece practic aceasta este imposibil de gsit.

De aceea n practic trebuie s procedm cu atenie pentru alegerea algoritmilor cei mai potrivii pentruproblema concret de rezolvat.

1. METODE DE TIP EULER

1.1. Metoda Euler

Se consider ecuaia diferenial:y = (x, y) (1)

cu condiia iniial:y(x0) = y0, (2)

unde funcia este definit ntr-un domeniu D din planul xOy.Perechea (1),(2) constituie o problem Cauchy.Presupunem asigurate existena i uniciitatea soluiei.

Se definete un cmp de direcii n D dac n fiecare punctM(x, y) D se ia direcia = arctg (x, y) ( fiind unghiul format de direcie cu sensul pozitiv al axei Ox).

Acest cmp de direcii are urmtoarea interpretare: graficul soluiei ecuaiei (1) cu condiia (2) trece prinpunctul M(x0, y0) i este tangent n orice punct al su direciilor cmpului.

Metoda lui Euler propune aproximarea soluiei printr-o linie poligonal n care fiecare segment estecoliniar cu direcia cmpului definit de extremitatea sa stng. Astfel se consider nodurile echidistante xi = x0

+ ih, n0i ,= . n punctul M0(x0, y0) se calculeaz direcia cmpului definit de M0 i se scrie ecuaia drepteideterminate de M0i de aceast direcie:

y = y0 + (x0, y0)(x x0) (3)Funcia (3) se propune ca aproximant a soluie problemei (1)+(2) pe [x0,x1]. Valoarea aproximativ a

soluiei n x1 este dat de:y1 = y0 + (x0, y0)(x1 x0) = y0 + ohRepetm procedeul i presupunnd c n x i s-a calculat valoarea aproximativ yi, atunci pe intervalul [xi,

xi+1] se aproximeaz soluia cu:y = yi + (xi, yi)(x xi) = yi + i(x xi),

iar n punctul xi+1 se obine valoarea aproximativ:yi+1 = yi + hi.

Aproximarea este justificati de urmtoarea teorem:

Teorem.

a) Dac: y C2[a, b], atunci 1)( (x, x + h) cu proprietatea )(''y2h

)x('yh

)x(y)hx(y1+=

+

b) Dac y C2[a, b], atunci 2

)( (x h, x) cu proprietatea )(''y2

h)x('y

h

)hx(y)x(y

2

=

Demonstraie. Din formula lui Taylor avem:

y(x + h) = y(x) + )(''y2

h)x('hy 1

2

+ , 1 (x, x + h)

y(x h) = y(x) )(''y2

h)x('hy 2

2

+ , 2 (x h, x)

)(''y2

h)x('y

h

)x(y)hx(y1+=

+


3/26

)(''y2

h)x('y

h

)hx(y)x(y2=

Deci

=)x('y )h(h

)x(y)hx(y1+

+; =)x('y )h(

h

)hx(y)x(y2+

Considernd cunoscut aproximarea yi a soluiei problemei (1)+(2) n xi, procedeul de aproximare Euler, poate fiacum rezumat astfel:

(4),...1,0

),(

1

1 =

+=

+=

=

+

+ i

hfyy

hxx

yxff

iii

ii

iii

Observaii:(i).Neglijarea termenilor de ordin superior n (4) face ca metoda s fie comod n calcul, dar puin precis, erorilecumulndu-se la fiecare pas.(ii).Metoda se poate aplica i dac nodurile xi nu sunt echidistante, avnd la fiecare iteraie alt pas h n acest caz.

In general o metod unipas poate fi scris sub forma:

);,(1 hyxhyy iiii +=+Pentru soluie a problemei Cauchy (1)+(2) (i pentru orice)(xyy = }1,...,2,1,0{ ni ) considerm:

( ) ));(,()()(1

)( 1 hxyxxyxyhh iiiii = +

Cantitatea de mai sus se numete eroare de consisten a metodei n i reprezint o msur a calitii metodei

de aproximare.ix

Pentru metoda Euler, innd cont de algoritmul acesteia, de expresia erorii de consisten i de faptul c

obinem c),();,( iiii yxfhyx

),(),(''2

1

)( hxxhyhi += In consecin eroarea de consisten este de ordinul .)(hO

Exemplul 1

Se consider problema Cauchy:

[ ]

=

=

0,1x,1)0(y

y

x2y'y

Ne propunem s determinm o soluie aproximativ a acestei probleme folosind metoda Euler cu pasul h =

0,2. RezolvareFolosind formulele (4) pentru x0 = 0; x1 = 0,2; x2 = 0,4;

x3 = 0,6; x4 = 0,8; x5 = 1 i y0 = 1, obinem:

y1 = y0 + hf(x0, y0); f(x0, y0) = y0 0

0

y

x2= 1.

Deci y1 = 1 + 0,2 1 = 1,2.


4/26

y2 = y1+0,2f(x1, y1) = y1+0,2

1

11 y

x2y = 1,2 + 0,20,8667 =

= 1,3733.Obinem n final urmtorul tabel, ultima coloan reprezentnd valorile exacte ale soluiei problemei

propuse (y = 1x2 + ).

xi yi(Euler) yi (exact)00,20,40,60,81

11,21,37331,52941,67861,8237

11,18321,34161,48321,61241,7320

n continuare, vor fi prezentate cteva variante mbuntite ale algoritmului Euler.

1.2. Metoda Euler modificat

Considerm pe [xi, xi+1] ca direcie a segmentului MiMi+1 direcia definit de punctul de la mijloculsegmentului (nu de extremitatea stng ca n formula iniial) se obine metoda Euler modificat. Dac xi, yi suntvalori calculate, procesul iterativ este urmtorul:

+=

=+=

+==+=

++

++++

+

;hfyy;y,xff;f2

hyy

;2

hxx);y,x(ff;ihxx

2

1i

i1i

2

1i

2

1i

2

1i

ii

2

1i

i

2

1i

iii0i

Pentru aceast metod )(hi este de ordinul .)(2hO

Exemplul 2Vom aplica metoda Euler modificat n rezolvarea aceleiai probleme de la exemplul 1 pentru a putea face

o comparaie rapid privind eficiena sporit a metodei.Deci:

[ ]1,0x,1)0(y

y

x2y'y

=

=, h = 0,2

Rezolvare

x0 = 0; x1 = 0,2; x2 = 0,4; x3 = 0,6; x4 = 0,8; x5 = 1;

f(x,y) = y y

x2

x1/2 = x0 +2

h= 0,1; y1/2 = y0 +

2

hf(x0, y0) = 1,1

f(x1/2, y1/2) = 0,9182 = f1/2y1 = y0 + hf1/2 = 1 + 0,2 0,9182 = 1,1836

Continund n acelai mod obinem tabelul:

xi yi (Euler modificat) yi (exact)0,0,2

11,1836

11,1832


5/26

0,40,60,81

1,34261,48501,61521,7362

1,34161,48321,61241,7320

1.3. Metoda EulerCauchy

Introducnd y ca o nou variabil, se poate nlocui ecuaia diferenial (1) cu urmtorul sistem de ecuaii:

=

=

).y,x(f'y

'ydx

dy

Integrnd prima ecuaie a sistemului de la xi la xi+1, unde xi = x0 + ih se obine:

=

+= +

+

)y,x(fy

;dx'yyy

ii'i

1x

x

i1i

i

i

Folosind metoda dreptunghiului pentru aproximarea integralei din prima ecuaie obinem:yi+1 = yi + hyi = yi + h(xi, yi). (5)

Dac aplicm metoda trapezului pentru aproximarea aceleiai integrale se obine:

yi+1 = yi + )(2

'1

'++ ii yy

h= yi + ))y,x(f)y,x(f(

2

h1i1iii +++ =

= yi + )(2 1+

+ ii ffh

. (6)

Ecuaia (6) poate fi rezolvat iterativ, relativ la necunoscuta yi+1. Dac se alege ca aproximaie iniial

dat de (5), obinem pentru yi+1 valoarea:

)0(1+iy

)),(),((2

)0(11

)1(1 +++ ++= iiiiii yxfyxf

hyy . (7)

Deci pentru construirea liniei poligonale care aproximeaz soluia problemei (1) + (2) este dat algoritmulEulerCauchy:

,...1,0

).(2

);,(

;

;

)0(1

)1(11

)0(11

)0(1

)0(1

1

=

++==

=

+=

+=

+++

+++

+

+

i

ffh

yyy

yxff

hfyy

hxx

iiiii

iii

iii

ii

Pentru aceast metod )(hi este de ordinul .)(2hO

Observaie: In scopul ameliorrii aproximaiilor se pot utiliza metodele prezentate de o manier iterativ. Astfel,metode euler-Cauchy ne conduce la urmtorul algoritm de calcul:

;)0( 1 iii hfyy +=+

)(2

)1(1

)(1

++ ++=k

iiik

i ffh

yy , k = 1, 2,

cu ( ))1k( 1i1i)1k( 1i y,xff +++ = Se demonstreaz c dac funcia este lipsichitzian n y, de constant L i dac h este suficient de mic cu

hL < 2 atunci , pentru k .1)(1 ++ i

ki yy


6/26

n practic, se continu iteraiile dup indicele k pn cnd un criteriu de eroare impus de exemplu:

)k(1i

)1k(1i

)k(1i

y

yy

+

++ < , impus, 0, este satisfcut.+

)k(1iy

Exemplul 3

S se gseasc soluia aproximativ a problemei Cauchy:

[ ]

=+=

1,0x,1)0(yyx'y

folosind metoda Euler-Cauchy i o precizie de 10-4.Rezolvare

Vom folosi pasul h = 0,05; x0 = 0; x1 = 0,05; y0 = 1;f(x, y) = x + y;

)0(1y = y0 + hf(x0, y0) = 1 + 0,05 1 = 1,05

)1(1y = y0 + 2

h ( )( ))0(1100 y,xf)y,x(f + =

= 1 +2

05,0(1 + 1,1) = 1,0525

( ) ( )( ))1(11000)2(1 y,xfy,xf205,0

yy +++ =

= 1 +2

05,0(1 + 1,1025) = 1,0525625

Deci fiind stabile primele 4 zecimale rezult: y1 = 1,0525.Similar cu x2 = 0,1 obinem:

)y,x(hfyy 111)0(

2 += =1,1077)1(

2y = 1,11036; = 1,11042.)2(

2y

Deci y2 = 1,1104.Soluia exact fiind y = 2ex x 1, obinem n x = 0,1 valoarea:

y(0,1) = 1,1103 eroarea fiind de 0,0001.

1.4. Metoda EulerHeun

Vom ncheia trecerea n revist a variantelor Euler pentru rezolvarea ecuaiilor de tipul (1) prezentnd oultim variant de ordinul doi a metodei lui Euleri anume aceea propus de Heun, [26].

Presupunnd calculat valoarea yi la pasul xi, se propune pentru calcularea soluiei la pasul xi+1 expresia:

41h

yy ii +=+

+++ iiiiii yxhfyhxfyxf ,(3

2,

3

23),( .

2. Metode de tip Runge-Kutta

Metodele de tip Euler prezentate sunt explicite i nu necesit valori de start. Faptul c au un ordin sczutal erorii de consisten conduce la o aplicabilitate limitat. In scopul obinerii unor metode de ordin ridicattrebuie renunat fie la proprietatea de a fi unipas i pastrat liniaritatea, fie viceversa. Metodele de tip Runge-Kutta sunt neliniare i conserv caracteristicile metodelor unipas, avnd un ordin ridicat. Ele au trei proprietiprincipale:


7/26

1. Sunt metode directe, adic pentru determinarea aproximrii soluiei la pasul i+1 avem nevoie de

informaiile existente n punctul precedent xi, yi.2. Sunt identice cu seriile Taylor pn la termenii hn, unde h este pasul curent iar n este diferit pentru

metode diferite din aceast familie i definete ordinul metodei.3. n procesul de calcul nu necesit dect evaluarea funciei din memebrul drept pentru diverse valori x i

y . Nu este nevoie de calculul derivatelor acesteia.

Metodele de tip Euler pot fi i ele incluse n familia Runge-Kutta i putem astfel observa c metoda Eulereste o metod R-K de ordinul nti iar metodele Euler-Cauchy i Euler-Heun sunt metode R-K de ordinul 2.

2.1. Construirea formulelor Runge-Kutta

Ne ocupm n special de rezolvarea ecuaiilor difereniale ordinare cu condiii iniiale. Adic pentruecuaii difereniale ordinare de ordinul nti ne intereseaz rezolvarea problemei Cauchy:

=

=

00 y)x(y

))x(y,x(f)x('y

, x [a, b], x0 = a (8)

Metodele Runge-Kutta constau n aproximarea soluiei problemei (8) astfel:

=

+=+m

iii hkcxyhzhxy

1

)()()()(

unde

+++++=

++=

=

11,2211

12122

1

...,()(

........................

),()(

),()(

mmmmmmm

kbkbkbyhaxhfhk

kbyhaxhfhk

yxhfhk

i mibai

jiji ,...,3,2,

1

1

==

=

c1, ci, ai, bij urmnd a fi determinai (i = m,2 ; j = 1i,1 )

Observaie: Pentru a fi consisente, metodele Runge-Kutta trenuie s satisfac condiia: .=

=m

iic

1

1

Notm (h) = y(x+h) z(h) (eroarea de aproximare).

Vom determina parametrii c1, ci, ai, bij din condiiile:

====+ ffuncieanumitopentru,0)0(

iffuncieoricepentru,0)0(...)0(')0()1p(

)p(

Din formula lui Taylor n 0 avem:

(h) = =

++

+

+p

0k

)1p(1p

)k(k

)h()!1p(

h)0(

!k

h

(h) = )h()!1p(

h )1p(1p

+

++

, 0 < < 1 (9)


8/26

expresie ce indic ordinul de mrime al erorii de aproximare (deci O(hp));

Cazuri particulare

1) Dac m = 1, atunci:(h) = y(x+h) y(x) c1k1(h) = y(x+h) y(x) c1hf(x,y)Se verific uor c(0) = 0 pentru orice funcie f.

(h) = y(x+h) c1f(x,y)Obinem (0) = y(x) c1f(x,y) = (1 c1)f(x,y).Se observ c pentru c1 = 1, (0) = 0 pentru orice funcie f.(h) = y(x+h), deci (0) = y(x) = fx(x,y) + f(x,y) fy(x,y)Se observ c(0) 0 pentru o anumit funcie f.De exemplu, pentru f(x,y) = y se obine (0) = y. Deci p = 1.

Astfel, pentru c1 = 1, se obine formula:y(x+h) = y(x) + hf(x,y)

care, este formula din metoda Euler. Eroarea este de ordinul lui h.

2) Dac m = 2, atunci:(h) = y(x+h) y(x) c1k1(h) c2k2(h) = y(x+h) y(x)

c1hf(x,y) c2hf(x + a2h, y + b21k1)Se verific uor c(0) = 0 pentru orice funcie f.(h) = y(x+h) c1f(x,y) c2f(x + a2h, y + b21k1)

-c2h [ +)kby,hax(fa 1212hax2 2 +++ )kby,hax(f)y,x(fb 1212kby21 121 +++ ]

Notm cu: expresia inclus n parantezele drepte./hf )kby,hax( 1212 ++

Obinem: (0) = y(x) c1f(x,y) c2f(x,y) = (1 c1 c2)f(x,y).(h) = y(x+h) 2c2[ (x + a2h, y + b21k1)] hf

c2h[ (x + a2h, y + b21k1)] .hhfObinem: (0) = y(x) 2c2[a2fx (x,y) + b21f(x,y) fy(x,y)] =

=(fx + ffy) 2c2(a2fx + b21f fy) = (1 2c a )f + (1 2c b )ff 2 2 x 2 21 y[ ])kby,hax(f 1212hh(h) = y(x+h) 3c2 ++

c2h [ ])kby,hax(f 1212hhh ++

Obinem: (0) = y(x)3c2( fxx+a2b21ffxy+a2b21ffyx+ f2fyy) =

22a

221b

= (fxx + ffxy + ffyx + fxfy + ff2y + f

2fyy) 3c2( fxx + a2b21ffxy+ a2b21ffyx + f2fyy) = (1 3c2 ) fxx + (1

3c2a2b21) ffxy+

22a

221b

22a

+ (1 3c2a2b21)ffyx + (1 3c2 ) f2 fyy + fxfy + f

221b

2yf

Dac:

=

=

=

0bc21

0ac21

0cc1

212

22

21

sau

==

=+

2212

21

c21ba

1cc

(10)

atunci (0) = (0) = (0) = 0 pentru orice funcie f.Sistemul (10) este compatibil nedeterminat.De asemenea, (0) nu este identic nul pentru orice funcie f. De exemplu, pentru funcia f(x,y) = y, se

obine (0) = y. Deci p= 2.Pentru m = p = 2 se pot obine oricte formule dorim, alegnd parametrii c1, c2, a2, b21 astfel nct s

verifice (10). Din (9) rezult c eroarea n aceste formule este de ordinul lui h2.


9/26

Astfel, o soluie a sistemului (10) este: c1 = c2 =2

1, a2 = b21= 1, i pentru aceast soluie se obineformula

Runge-Kutta simpl:

++=

=

++=+

)ky,hx(hfk

)y,x(hfk

)kk(2

1)x(y)hx(y

12

1

21

(10)

Observaie. Dac f nu depinde de y obinem:

[ ])hx(f)x(f2

h)x(y)hx(y ++=+

Pe de alt parte:

+ +

==+hx

x

hx

x

dt)t(fdt)t('y)x(y)hx(y

Din cele dou relaii de mai sus rezult formula trapezului (vezi 5.1.).

[ ]

+

++=hx

x

)hx(f)x(f2

hdt)t(f

O alt formul Runge-Kutta de ordinul 2 se obine pentru

c1 =4

1, c2 =

4

3, a2 = b21 =

3

2i anume:

++=

=

++=+

12

1

21

k3

2y,h

3

2xhfk

)y,x(hfk

)k3k(4

1)x(y)hx(y

(11)

cunoscut ca formula Euler-Heun.

Pentru calculul aproximativ al soluiei unei probleme Cauchy (8) pe un interval [a, b] de noduriechidistante de pas h procedm astfel :

- presupunem cunoscute valorile xi, yi (yi y(xi)) de exemplu, pentru i = 0 cunoatem din (8) x0, y0;- calculm, folosind de exemplu (10)xi+1 = xi + h

yi+1 = yi +2

1(k1 + k2), unde

k1 = hf(xi, yi)k2 = hf(xi + h, yi + k1)

Exemplul 4

Se consider problema Cauchy: =

=

1)0(y

xy'y

Folosind o formul Runge-Kutta de ordinul 2, s se aproximeze soluia problemei date n xi = 0.1i, 1 i3.

Rezolvaref(x,y) = xy;x0 = 0; y0 = 1;h = 0.1

Se observ c soluia exact este y(x) = . Deci2/x2

e


10/26

y(0,1) 1,005013y(0,2) 1,020201y(0,3) 1,046027Vom ntocmi urmtorul tabel:

I 0 1 2 3xi 0 0.1 0.2 0.3yi 1 1.005 1.0201755 1.0459859

f(xi,yi) 0 0.1005 0.2040351k1 = hf(xi,yi) 0 0.01005 0.0204035xi + h 0.1 0.2 0.3yi + k1 1 1.01505 1.040579f(xi + h, yi + k1) 0.1 0.20301 0.3121737k2= hf(xi+h, yi+k1) 0.01 0.020301 0.0312174(k1 + k2) /2 0.005 0.0151755 0.0258104

3) Pentru m = 3, avem:(h) = y(x + h) y(x) c1k1 c2k2 c3k3, unde:

k1

= hf(x,y); k2

= hf(x+a2h, y+b

21k

1); k

3= hf(x+a

3h, y+b

31k

1+ b

32k

2)

Efectund calcule asemntoare ca n cazul 2) se constat c(0) = (0) = (0) = (0) = 0, f, dac:

==+=

=+=+=++

6

1bac;ba;bba

3

1acac;

2

1acac;1ccc

322321232313

233

2223322321

care este de asemenea un sistem compatibil nedeterminat cu o infinitate de soluii.O soluie a acestui sistem este:

c1 =6

1; c2 =

3

2; c3 =

6

1; a2 =

2

1, a3 = 1

b21 =

2

1, b31 = -1, b32 = 2

obinndu-se urmtoarea formul Runge-Kutta de ordinul 3:

++=

++=

=

+++=+

)2,(

2,

2

),(

)4(6

1)()(

213

12

1

321

kkyhxhfk

ky

hxhfk

yxhfk

kkkxyhxy

(12)

O alt formul tot de ordinul 3 este urmtoarea:

++=

++=

=

++=+

23

12

1

31

3

2,

3

2

3,

3

),(

)3(4

1)()(

kyhxfhk

ky

hxfhk

yxfhk

kkxyhxy

(13)


11/26

i n acest caz se constat c nu exist formule Runge-Kutta cu m = 3 i p = 4, deoarece IV(0) nu esteidentic nul pentru orice funcie f. ntr-adevr pentru f(x,y) = y se obine IV(0) = y.

Observaii.(i). Din (9) rezult c eroarea n aceste formule este de ordinul lui h3.(ii).Dac funcia f nu depinde de y, atunci

+hx

xdt)t(f =

+hx

xdt)t('y =y(x+h)y(x) = ( )

++

++ hxf2

hxf4)x(f6

h

adic formula de integrare numeric Simpson.

4) m = 4. Raionamente i calcule asemntoare celor anterioare conduc la construirea unei mulimi deformule Runge-Kutta de ordinul 4, din care mai cunoscute sunt:

++=

++=

++=

=

++++=+

),(

2

1,

2

1

2

,

2

),(

)22(6

1)()(

34

23

12

1

4321

kyhxfhk

kyhxfhk

ky

hxfhk

yxfhk

kkkkxyhxy

(14)

formulapropriu-zis Runge-Kuttai

+++=

++=

++=

=

++++=+

),(

3

1,

3

2

3,

3

),(

)33(8

1)()(

3214

213

12

1

4321

kkkyhxfhk

kkyhxfhk

ky

hxfhk

yxfhk

kkkkxyhxy

(15)

formula Kutta-Simpson

Observaie. Aceste formule sunt de ordinul patru..

Pentru calculul aproximativ al soluiei unei probleme Cauchy (8), pe un interval [a, b], cu pasul hprocedm astfel:

x0 = a, xi = x0 + ih, i = N,0 cu xN = b , deci h = Nab

cunoscnd pentru xi, valorile yi (yi y(xi)) de exemplu pentru i = 0, cunoatem x0, y0.Calculm:xi+1 = xi + h

yi+1 = yi +6

1(k1 +2k2 + 2k3 + k4)

k1 = hf(xi, yi)


12/26

k2 = hf

++2

ky,

2

hx 1ii

k3 = hf

++

2

ky,

2

hx 2ii

k4 = hf(xi + h, yi +k3)

Exemplul 5

Se consider problema Cauchy: .

=

=

1)0(y

xy'y

S aproximm soluia acestei ecuaii n punctele xi = ih,

i = 9,1 , h = 0.1, folosind o metod Runge-Kutta de ordin 4.xi yi valoarea soluiei exacte0.10.2

0.30.40.50.60.70.80.9

1.0050131.020202

1.0460281.0832871.1331481.1972171.2776211.3771281.499303

1.0050131.020201

1.0460271.0832861.1331481.1972171.2776201.3771281.499303

y(x) = 2/x2e

2.2. Metod de tip Runge-Kutta implicit

Metodele de tip Runge-Kutta, expuse anterior, sunt explicite. Pentru a ameliora proprietile de

stabilitate ale acestor metode se consider cele de tip implicit.

Prin proprieti de stabilitate ne referim la restriciile impuse asupra pasului de integrare n situaia

utilizrii metodei respective.

Forma general a unei astfel de metode Runge-Kutta implicit de tip este:m

=

+

=

+=

m

jjjii

iiii

kchyx

hyxhyy

1

1

);,(

);,(

mjba

mjkbhyhaxfk

m

sjsj

m

ssjsjj

,...,2,1,

,...,2,1,,(

1

1

==

=++=

=

=


13/26

Comparativ cu metodele explicite, funciile kj numai sunt definite explicit, ci printr-un set de m

ecuaii implicite, n general neliniare. n practic, se folosete cazul metodelor Runge-Kutta implicite cu

= 2

m

m

Astfel:

kj = f(x + haj, y + bj1hk1 + bj2hk2), j = 2,1

Considernd k1, k2 dezvoltabile sub forma

kj = Aj + hBj + h2Cj + h

3Dj + O(h4), j = 2,1

pe baza dezvoltrii n serie Taylor n raport cu (x, y) a lui kj, j = 2,1 se obine prin identificarea puterilor lui

h:

==

=

;4

1bb

;6

3

2

1a

2211

1

4

1ab;

4

1ab

6

3

2

1a

221112

2

==

= m(16)

Observaie. Prin simetrie se observ faptul c valorile date prin alternarea semnelor, n relaiile

(16), conduc la aceeai metod.

n concluzie, o metod Runge-Kutta implicit de ordinul patru, este dat de formulele:

+

+

+=

+++

++=

++=+

212

211

211

41

63

41,

63

21

6

3

4

1

4

1,

6

3

2

1

)(2

kkyhxfk

kkyhxfk

kkh

yy

ii

ii

ii

(17)

Remarc. Este important precizarea existenei unei metode Runge-Kutta de tip semi-explicit de ordinul

patru, descris de relaiile de mai jos:


14/26

( )

( )

( )

++=

+++=

=

+++=+

23

212

1

3211

,

4

1

4

1,

2

1

,

46

kyhxfk

kkyhxfk

yxfk

kkkh

yy

ii

ii

ii

ii

(18)

3. Metode numerice multipas

Fie problema Cauchy

(19)],[],,[)(

),()('0

00

baxbaxyxy

yxfxy

=

=

i diviziunea intervalului dat de:],[ ba bxxxa n


15/26

Cele mai cunoscute metode implicite, multipas, sunt cele de tip Adams-Moulton:

(i). de ordinul trei, cu doi pai:

,...2,1

)),(),(8),(5(12 11111

=

++= +++

i

yxfyxfyxfh

yy iiiiiiii

(24)

(ii). de ordinul patru, cu trei pai:

,...3,2

)),(),(5),(19),(9(24 2211111

=

+++= +++

i

yxfyxfyxfyxfh

yy iiiiiiiiii

(25)

4. Metode numerice de tip predictor-corector

O metod nmeric de tip predictor-corector este o combinaie ntre o metod numeric explicit i ometod numeric implicit. Metoda explicit permite predicia unei valori aproximative i cea implicitcorecteaz (odat sau de mai multe ori) aceast predicie.

Metodele predictor-corector, ofer o precizie superioar fa de metodele prezentate n paragrafeleanterioare, fr a implica sporiri ale numrului de operaii aritmetice.

n ceea ce privete comportarea metodelor de tip predictor-corector, acestea au eroarea de procedeu maimic, dar sunt puternic afectate de eventualele erori ale valorilor de pornire necesare algoritmului.

Cea mai simpl metod de acest tip este cea prezentat sub numele de Euler-Cauchy.Astfel pentru predictorul ne d valoareaihxxi += 0 ),(,)0( 1 yxfffyy iiii =+=+

i corectorul o corecteaz cu formula

,...2,1),(2

)1(1

)(1 =++=

++ kff

hyy kiii

ki

Criteriul de oprire este:

++)1(

1)(1

ki

ki yy sau

+

++

)(1

)1(1

)(1

ki

ki

ki

y

yycu i0)( 1 +

kiy precizia de calcul impus.

4.1 Metoda lui Milne

Algoritmul de calcul este urmtorul:


16/26

( )

( )

+++=

++=

+=

++

+

+

)0(1111

123)0(1

1

4

3

223

4

iiiii

iiiii

ii

fffh

yy

fffh

yy

hxx

(26)

unde .),( )0( 11)0(

1 +++ = iii yxff

Observatii:

(i). este o metod de ordinul ;)( 4hO(ii). In scopul ameliorrii rezultatelor putem aplica formulele de calcul de manier iterativ:

( ) ,...2,1,43

)1(111

)(1 =+++=

++ kfff

hyy i

kiii

ki

4.2 Metoda Adams-Bashforth-Moulton de ordinul patru

Pentru problema Cauchy

],[],,[)(

),()('0

00

baxbaxyxy

yxfxy

=

=

predictorul este representat de metoda Adams-Bashforth de ordinul patru:

,...4,3

)),(9),(37),(59),(55(24

3322

11

)0(

1

=

+++=

+

i

yxfyxfyxfyxf

h

yyiiii

iiiiii

(27)

Remarc: Pentru determinarea valorilor utilizm o metod de ordinul patru.iiii yyyy ,, 1,23

Corectm aproximarea genert mai sus prin intermediul corectorului dat de metoda Adams-Moulton de

ordinul patru:

,...2,1,...,3,2

)),(),(5),(19),(9(24 2211

)1(11

)(1

==

+++=

+++

ki

yxfyxfyxfyxfh

yy iiiiiik

iiik

i


17/26

BIBLIOGRAFIE

1. R. Burden, J. Faires,Numerical Analysis , PWS-Kent, 2001.2. C. Carasso,Analyse Numrique, Lidec, Canada, 1970.

3. B. Demidovitch. I. Maron,lments de Calcul Numrique, Mir, Moscow, 1973.4. D. Ebnc,Metode de Calcul Numeric, Editura Sitech, Craiova, 1994.5. R. MilitaruMthodes Numriques. Thorie et Applications Ed. Sitech, 20086. J.P. Nougier,Mthodes de Calcul Numrique, Hermes Sciences Publication, Paris, 2001.7. M. Popa, R. Militaru,Metode Numerice algoritmi si aplica ii, Ed. Sitech, Craiova, 2007.8. M. Popa, R. Militaru,Analiz numeric note de curs, Editura Sitech, Craiova, 2003.


18/26

1. REZOLVAREA NUMERICA A SISTEMELOR DE ECUATII DIFERENTIALE

Metodele numerice uilizate pentru o singur ecuaie diferenial, anterior prezentate, se pot extinde i n cazulsistemelor de ecuaii difereniale. Considerm situaia metodelor numerice de tip Runge-Kutta.Metodele Runge-Kutta, prezentate pentru ecuaii difereniale, pot fi aplicate cu uurini la sisteme de ecuaiidifereniale.Fie sistemul de ecuaii difereniale:

(1)

=

=

)y...,y,x(fy

................................),y,...,y,x(fy

n1nn

n111

i urmrim s determinm soluia care satisface condiiile iniiale:

yi(x0) = yi,0 , i = n,1 (2)Presupunnd c dispunem de soluia problemei (1) + (2) la pasul i: y1,i , ..., yn,i metoda Runge-Kutta de ordinul 4calculeaz soluia n pasul i+1 cu formulele:

y1,i+1 = y1,i + y1,i...........................

(3)yn,i+1 = yn,i + yn,iCoreciile: y1,i , y2,i , ... , yn,i care intervin n formulele precedente se calculeaz cu ajutorul relaiilor:

y1,i =14

13

12

11 k6

1k

3

1k

3

1k

6

1+++ ;

....................................................

yn,i =n4

n3

n2

n1 k6

1k

3

1k

3

1k

6

1+++ ;

iar coeficienii au urmtoarea form:n4n1

14

11 k,...,k,...,k,...,k

)y....,y,x(hfk i,ni,1ijj1 = , j = n,1 ;

+++=

2

ky,...,

2

ky,

2

hxhfk

n1

i,n

11

i,1ijj2 , j = n,1 ;

+++=

2

ky,...,

2

ky,

2

hxhfk

n2

i,n

12

i,1ijj3 , j = n,1 ;

( )n3i,n13i,1ijj4 ky,...,ky,hxhfk +++= , j = n,1 ;

Exemple

Folosind o formul Runge-Kutta de ordinul 4, s se rezolve problema Cauchy:

=

=

+=

=

1)1(z

1)1(y

)xy/()yx(zz

y/xy222

pentru x [0, 1].

RezolvareConsiderm 10 noduri echidistante xi pe [0, 1], de pas h = 0.1. Din (14), pentru fiecare i = 0, 1, , 9, avem :

yi+1 = yi + ( )14131211 kk2k2k61

+++


19/26

zi+1 = zi + ( )24232221 kk2k2k61

+++

unde:

)z,y,x(hfk iiijj1 = ; j = 1, 2

)

2

kz,

2

ky,

2

hx(hfk

21

i

11

iijj2 +++= ; j = 1, 2

)2

kz,

2

ky,

2

hx(hfk

22

i

12

iijj3 +++= ; j = 1, 2

)kz,ky,hx(hfk 23i13iij

j4 +++= ; j = 1, 2

Obinem urmtoarele valori:x1 = 1.1 y1 = 1,1000000000; z1 = 1,2099979386x2 = 1.2 y2 = 1,2000000000; z2 = 1,4399959714x3 = 1.3 y3 = 1,3000000000; z3 = 1,6899940413x4 = 1.4 y4 = 1,4000000000; z4 = 1,9599921095x5 = 1.5 y5 = 1,5000000000; z5 = 2,2499901493

x6 = 1.6 y6 = 1,6000000000; z6 = 2,5599881417x7 = 1.7 y7 = 1,7000000000; z7 = 2,8899860729x8 = 1.8 y8 = 1,8000000000; z8 = 3,2399839328x9 = 1.9 y9 = 1,9000000000; z9 = 3,6099817135x10 = 2 y10 = 2,0000000000; z10 = 3,9999794092

soluia exact fiind , deci

=

=2x)x(z

x)x(y

pentrux1 = 1,1 y(x1) = 1,1; z(x1) = 1,21x2 = 1,2 y(x2) = 1,2; z(x2) = 1,44

x3 = 1,3 y(x3) = 1,3; z(x3) = 1,69x4 = 1,4 y(x4) = 1,4; z(x4) = 1,96x5 = 1,5 y(x5) = 1,5; z(x5) = 2,25x6 = 1,6 y(x6) = 1,6; z(x6) = 2,56x7 = 1,7 y(x7) = 1,7; z(x7) = 2,89x8 = 1,8 y(x8) = 1,8; z(x8) = 3,24x9 = 1,9 y(x9) = 1,9; z(x9) = 3,61

x10 = 2,0 y(x10) = 2,0; z(x10) = 4,00


20/26

2. REZOLVAREA NUMERICA A ECUATIILOR DIFERENTIALE DE ORDIN SUPERIOR

Fie ecuaia diferenial de ordinul scris sub form explicitn

(4)))(),...,('),(,()( )1()( xyxyxyxfxy nn =

cu condiiile asociate

(5)

=

=

=

10)1(

10

00

)(

..................

)('

)(

nn txy

txy

txy

Introducem notaiile

(6)n1,2,..,j),()( )1( == xyxz jj

Remarc: 1,..,2,1),()( 1' == + njxzxz jj

Tinnd cont de (4), (5) i (6) avem:

(7)

=

=

=

=

))(),...,(,()(

)()(

......................

)()(

)()(

1'

'1

3'2

2'1

xzxzxfxz

xzxz

xzxz

xzxz

nn

nn

respectiv:

(8)

=

=

=

10

102

001

)(

..................

)(

)(

nn txz

txz

txz

In concluzie (7) i (8) reprezint un sistem avnd n ecuaii difereniale ordinare cu n condiii iniiale. Putemastfel s l rezolvm cu tehnica prezentat mai sus.

7. Folosind o formul Runge-Kutta de ordinul 4 s se rezolve problema Cauchy:

=

=

+=

1)0('y

1)0(y

'yyx''y

pentru x [0, 1].

RezolvareTransformm ecuaia diferenial de ordinul doi n sistemul de ordinul nti:


21/26

=+==

===

1)0(z;zyx)z,y,x(f'z

1)0(y;z)z,y,x(f'y

2

1

Considerm 10 noduri echidistante xi pe [0,1] de pas h = 0.1.Din (14), pentru fiecare i = 0, 1, , 9 avem:

( )14131211i1i kk2k2k61

yy ++++=+

( 24232221i1i kk2k2k61zz ++++=+ ) - variabile auxiliare

unde

)z,y,x(hfk iiijj1 = ; j = 1,2

)2

kz,

2

ky,

2

hx(hfk

21

i

11

iijj2 +++= ; j = 1,2

)2

kz,

2

ky,

2

hx(hfk

22

i

12

iijj3 +++= ; j = 1,2

)kz,ky,hx(hfk 23i13iij

j4 +++= ; j = 1,2

Obinem urmtoarele valori :

x1 = 0.1 y1 = 0.90968333333;x2 = 0.2 y2 = 0.83758567267;x3 = 0.3 y3 = 0.78223901323;x4 = 0.4 y4 = 0.74247458668;x5 = 0.5 y5 = 0.71738325383;x6 = 0.6 y6 = 0.70628213912;x7 = 0.7 y7 = 0.70868659523;x8 = 0.8 y8 = 0.72428672347;x9 = 0.9 y9 = 0.75292779297;x10 = 1 y10 = 0.79459400090;

3. METODE NUMERICE CU PAS VARIABIL PENTRU REZOLVAREA NUMERICA A

ECUATIILOR DIFERENTIALE

Sunt tehnici utilizate pentru controlul erorii unei metode numerice pentru rezolvarea numeric a uneiprobleme de tip Cauchy:

=

+=

00

00

)(

],[)),(,()('

yxy

hxxxxyxfxy

fcnd apel la o manier eficient de alegere a mulimii de puncte n care se va aproxima soluia exact .)(xyIdeea de baz este utilizarea unor metode numerice de ordine diferite n scopul caracterizrii erorii de consisten

alegerii pasului de integrare astfel nct eroarea global s fie inferioar unei anumite precizii impuse.Considerm n continuare dou metode numerice care conduc la aproximaiile urmtoare ale soluiei exacten :)(xy hxx ii +=+1

(a)0),,,(1 >+=+ ihyxhyy iiii

0),,~,(~~ 1 >+=+ ihyxhyy iiii (b)

Presupunem c iii yyxy~)( = i c (a) i (b) sunt obinute cu acelai pas .h


22/26

Atunci:

)()),(,()()(

),,()()(

11

111

hhhxyxhxyxy

hyxhyxyyxy

iiiii

iiiiii

++

+++

=

=

Tinnd cont c i c)()(1n

i hOh =+ )()(~ 1

1+

+ =n

i hOh rezult

( 111 ~1

)( +++ iii yyhh ) (c)de unde

(d)ni khh + )(1k constant ce nu depinde de .h

In consecin pentru un nou pas de integrare :qh

)()( 11 hqqh in

i ++

Impunnd + )(1 qhi obinem:n

ii yy

h

q

/1

11~

++

Un exemplu de metod numeric de acest tip este metoda Runge-Kutta-Fehlberg.Ea const n utilizarea unei metode Runge-Kutta de ordin 5:

654311 55

2

50

9

56430

28561

12825

6656

135

126~ kkkkkyy ii ++++=+

n scopul estimrii erorii de consisten pentru o metod Runge-Kutta de ordin 4:

54311 51

41042197

25651408

21625~ kkkkyy ii +++=+ unde

+++=

+++=

+++=

+++=

++=

=

543216

43215

3214

213

12

1

40

11

4104

1859

2565

35442

27

8,

2

4104

845

513

36808

216

439,

2197

7296

2197

7200

2197

1932,

13

12

32

9

32

3,

8

3

4

1,

4

),(

kkkkkyh

xfhk

kkkkyhxfhk

kkkyh

xfhk

kkyh

xfhk

kyh

xfhk

yxfhk

ii

ii

ii

ii

ii

ii


23/26

4. ECUATII DIFERENTIAL-ALGEBRICE

Sub form implict acestea se scriu:

0))('),(,( =xyxyxF

unde funcia necunoscut este o funcie scalar sau vectorial.)(xyy =

Vom aborda n continuare cazul ecuaiilor diferenial-algebrice care sub form explicit devin:

)()()()(')( xfxyxAxyxM +=

Exemplu:

Dndu-se ecuaia diferenial-algebric , aceasta se poate explicita sub forma

, unde , ,

=++

=

+=

24

24'

467'

wvu

vuv

xvuu

)()()()(')( xfxyxAxyxM +=

=

000

010

001

M

=

111

924

067

A

=

24

0

4x

f

Ecuaiile diferenial-algebrice se clasific n funce de diveri parametrii:

-numrul de condiii de tip algebric: din ecuaia diferenial-algebric;an

-numrul de condiii de tip diferenial: din ecuaia diferenial-algebric;dn

-indexul diferenial: - numrul de operaii de difereniere necesare convertirii ecuaei diferenial-algebrice

ntr-un sistem de ecuaii difereniale.di

Exist o mare diferen ntre ecuaiile diferenial-algebrice i ecuaiile difereniale n privina condiiilor lainiiale ataate pentru asigurarea unicitii soluiei: astfel, pentru o ecuaie diferenialtim precis cte condiiiiniiale sunt necesare, pe cnd pentru o ecuaie diferenial-algebric situaia devine neclar. De exemplu, pentru

ecuaia (trivial), privind-o doar ca ecuaie neliniar nu necesit nici o condiie iniial asociat.0=ye

Pentru rezolvarea numeric a ecuaiei diferenial-algebric

0))('),(,( =xyxyxF

presupunnd cunoscute valorile aproximative ale soluiei exacte )(xyy = n punctele , pentru

determinarea valorii aproximative n punctul , utiliznd o metod numeric de rezolvarea a ecuaiilor

difereniale, vom nlocui printr-o relaie de forma .

knii xxx ...,, ,1

1+ix

)(' 1+ixy =

+

k

ii xyc0

1 )(

Astfel, ecuaia iniial, pentru devine:1+= ixx

=

+++ =k

iiii ycyxF0

111 0),,(


24/26

adic o ecuaie neliniar n raport cu . Rezolvarea acesteia se va efectua prin intermediul metodei

Newton sau metodei aproximaiilor succesive, sau a oricrei metode specifice acestui tip de ecuaii.

)( 11 ++ ii xyy

5. METODA DIFERENTELOR FINITE PENTRU PROBLEMA STURM-LIOUVIILLE

Considerm problema bilocal (Sturm-Liouville) dat de:

(P)

=

=

++=

)(

)(

],[),()()()(')()(''

by

ay

baxxrxyxqxyxpxy

Teorem: Dac:

(i). sunt continue pe ;)(),(),( xrxqxp ],[ ba

(ii). ],[)(,0)( baxxq >atunci problema (P) admitt o soluie unic.

Fie o diviziune echidistant de pas h a lui [a, b], x0 = a,xi = a + ih, 0 i n cu xn = b.

Teorem a) Fie y C3 [a, b], x (a, b), h > 0 astfel nctx h, x + h (a, b). Atunci (x h, x + h) astfel nct:)(

h2

)hx(y)hx(y += )('''y

6

h)x('y

2

+

b) Fie y C4 [a, b], x (a, b), h > 0 astfel nctx h, x + h (a, b). Atunci (x h, x + h) astfel nct:)(

2h

)hx(y)x(y2)hx(y ++= )(y

12

h)x(''y IV

2

+

Demonstraie. Se folosete formula dezvoltrii n serie Taylori Teorema de medie

Pentru i = 1n,1 facem aproximrile:

h2

)x(y)y(x)x('y 1i1ii

+ = (*)

21ii1i

i

h

)x(y)x(y2)x(y)x(''y +

+= (**)

Dac n ecuaia (P) considerm x = xi, 1 i n 1 i folosim (*) i (**) avem

211 )()(2)(

h

xyxyxy iii + + =h

xyxyxp iii 2

)()()( 11 +

)()()( iii xrxyxq ++

iar condiiile (25) devin

=

=

)x(y

)x(y

n

0


25/26

Obinem n final schema:

(S)2

11 2

h

yyy iii + + -h

yyp iii 2

11 + - 11, = niryq iii

== nyy ,0

unde )(),(),(),( iiiiiiii xyyxrrxqqxpp ==== i)( ,

care reprezint un sistem liniar de n-1 ecuaii i n-1 necunoscute y1, y2, ..., yn-1, matricea sistemului fiindtridiagonal dominant diagonal.

Exemplu:

Fie problema

=

=

++=

2)1(

1)0(

]1,0[,44 3

y

y

xeyyy xIII

S se aproximeze valorile soluiei n punctele ,hixi = 31 i , 4/1=h , cu ajutorul metodeidiferenelor finite.

Soluie:Schema (S) ne conduce la sistemul urmtor:

=

=

==

+

+

+ +

2

1

3,1,21

4221

4

0

312212

y

y

ieyhh

yh

yhh

ixiii

Folosind o metod numeric, pentru 4/1=h rezult:

=

=

=

5910,0

1754,0

6468,0

3

2

1

y

y

y

BIBLIOGRAFIE i Webografie:

1. Berbente C., Mitran S., Zancu, S., Metode Numerice, Editura Tehnic, Bucureti, 19972. R. Burden, J. Faires,Numerical Analysis, PWS-Kent, 2005.3. C. Carasso,Analyse Numrique, Lidec, Canada, 1970.4. P.Ciarlet, J.Lions,Finite Difference Methods, North-Holland, Amsterdam, 1989.5. B. Demidovitch. I. Maron,lments de Calcul Numrique, Mir, Moscow, 1973.6. D. Ebnc,Metode de Calcul Numeric, Editura Sitech, Craiova, 1994.7. Kinkaid, D., Cheney, W., Numerical Analysis Mathematics of Scientific Computing,


26/26

American Mathematical Society, 2009.8. R. MilitaruMthodes Numriques. Thorie et Applications Ed. Sitech, 20089. J.P. Nougier,Mthodes de Calcul Numrique, Hermes Sciences Publication, Paris, 2001.10. M. Popa, R. Militaru,Metode Numerice n pseudocodaplica ii, Ed. Sitech, Craiova,

2010.11. M. Popa, R. Militaru,Analiz numeric note de curs, Editura Sitech, Craiova, 2009.

http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/divers/MethodNum/method-num.htm

http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/divers/MethodNum/Schw-doc/EULER03.pdf

http://ta.twi.tudelft.nl/nw/users/vuik/wi211/disasters.html
http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/divers/MethodNum/method-num.htmhttp://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/divers/MethodNum/method-num.htmhttp://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/divers/MethodNum/Schw-http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/divers/MethodNum/Schw-http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/divers/MethodNum/Schw-http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/divers/MethodNum/method-num.htm

metode numerice cu aplicatii in energetic a

Documents