METODE DE NUMARARE

PROIECT REALIZAT DE ELEVII CLASEI a X-a

Coordonator: Prof. Popa Elena

De ce numărăm?

Ce numărăm?

Cum numărăm?

În câte moduri pot fi parcate 10 autoturisme într-o parcare cu 10 locuri ?

În câte moduri se pot confecţiona steaguri tricolore cu cele şapte culori fundamentale ?

În câte moduri diferite pot fi alcătuite trei echipe de fotbal cu ajutorul a 33 jucători, dacă o echipă conţine 11 jucători ?

ÎNTREBĂRI CU RĂSPUNS PE PARCURS

ELEMENTE DE COMBINATORICĂ

Aici se definesc noţiunile de permutare, aranjament şi combinare a unei mulţimi finite.

Toate aceste combinaţii folosesc elemente ale mulţimii date fără repetarea acestora.

La permutări şi aranjamente contează ordinea de dispunere a elementelor dar la combinări nu contează

ordinea de dispunere a elementelor.

La aranjamente şi combinări avem de a face cu submulţimi iar la permutări cu toată mulţimea.

Permutări

Dacă A este o mulţime cu n elemente, fiecare din mulţimile ordonate care se formează cu cele n elemente ale mulţimii A se

numeşte permutare a acestei mulţimi.

Numărul permutărilor de n elemente se notează cu Pn şi se citeşte“permutări de n“.

O mulţime cu un singur element poate fi ordonată într-un singur mod, deci P1=1.

O mulţime cu două elemente A={a,b} poate fi ordonată în două moduri. Se obţin două permutări: (a,b) şi (b,a).

Deci P2=1·2=2.

S-a convenit ca mulţimea vidă poate fi ordonată intr-un singur mod, deci P0=1, deci 0!=1.

Teoremă: Dacă n≥1 este un număr natural, atunci Pn=n!

Permutări

Exemple:

1. Să se scrie toate permutările mulţimii: {a,b,c}.

Răspuns: (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c),(b,c,a), (c,a,b), (c,b,a).

2. Să se determine numărul permutărilor unei mulţimi de 4 elemente.

Răspuns:P4=4!=1·2·3·4=24

3.În câte moduri pot fi parcate 10 autoturisme într-o parcare cu 10 locuri ?

Răspuns:P10=10!=1·2·3·4·5·6·7·8·9·10=3628800 moduri.

Aranjamente

Dacă A este o mulţime cu n elemente, atunci fiecare submulţime ordonată a lui A, având k elemente, unde 0≤k≤n, se numeşte aranjament de n

elemente luate câte k.

Numărul aranjamentelor de n elemente luate câte k se notează Ank şi se

citeşte “aranjamente de n luate câte k“.

Fie mulţimea A={a,b,c} din elementele mulţimii A de pot constitui 6 mulţimi ordonate, având câte două elemente fiecare: (a,b),(b,a), (a,c),(c,a), (b,c),

(c,b).

Teoremă: Dacă n şi k sunt numere naturale astfel încât 0<k<n, atunci: An

k =n(n-1)(n-2)…(n-k+1)=n!/(n-k)!

Aranjamente

Exemple:

1. În câte moduri pot fi aşezaţi 4 elevi pe 25 locuri?

Răspuns:A254=25·24·23·22=303600

2. În câte moduri se pot confecţiona steaguri tricolore cu cele şapte culori fundamentale ?

Răspuns:A73=7·6·5=210

Combinări

Dacă A este o mulţime cu n elemente, atunci fiecare submulţime a lui A având k elemente, unde 0≤k≤n, se numeşte combinare de n elemente luate câte k

.

Numărul combinărilor de n elemente luate câte k se notează Cnk şi se

citeşte“combinări de n luate câte k“.

Fie mulţimea A={a,b,c} din elementele mulţimii A de pot constitui 3mulţimi , având câte două elemente fiecare:{a,b},{a,c},{b,c}.

Teoremă: dacă n şi k sunt numere naturale astfel încât 0≤k≤n, atunci:

Cnk=n!/k!(n-k)!

Combinări

Exemple:

1. În câte moduri se poate alcătui o comisie formată din 5 membrii aleşi din 9 persoane?

Răspuns:C95=126.

2. În câte moduri diferite pot fi alcătuite trei echipe de fotbal cu ajutorul a 33 jucători, dacă o echipă conţine 11 jucători ?

Răspuns:Cei 11 jucători care alcătuiesc prima echipă pot fi aleşi în C33

11moduri dintre cei 33 de jucători. Din cei 22 jucători rămaşi după alegerea primilor 11 jucători, se pot alege în C22

11 moduri cei 11 jucători care alcătuiesc a doua echipă. Deci cei 33 jucători vor putea fi repartizaţi în 3 echipe în C33

22·C2211=33!/(11!)3 moduri.

Triunghiul lui Pascal

Cu ajutorul lui se pot calcula succesiv Cn

k, mai întâi pentru

n=0, pentru n=1, pentru n=2

ş.a.m.d.

În linia a

(n+1)-a a triunghiului sunt

aşezate în ordine

numerele Cn0,

Cn1, …, Cn

n.