CONFERINŢA NAŢIONALĂ DE INSTRUMENTAŢIE VIRTUALĂ, EDIŢIA A II-A, BUCUREŞTI, 27 IUNIE 2005 71

Metoda neconventionala pentru determinarea directiilor principale de inertie la corpuri plane de

forma neregulata Autor Sapca Radu Bogdan Fac.IMST an II TCM

1 Observaţii preliminare – pentru orice corp omogen există trei direcţii principale de inerţie ),,( 321 ∆∆∆ reciproc perpendiculare, faţă de care momentele de inerţie

axiale au valori extreme (maxime sau minime) şi se numesc momente principale de inerţie: ),,( 321 JJJ– faţă de direcţiile principale de inerţie momentele centrifugale sunt nule; – dacă un corp posedă o axă de simetrie, aceasta se va găsi printre direcţiile principale de inerţie; – existând un fascicol de drepte paralele, momentul axial este minim faţă de acea dreaptă care trece prin centrul de masă al corpului (teorema

şi relaţia lui Steiner); – direcţiile principale de inerţie se intersectează în centrul de masă al corpului; – la o placă plană una din direcţiile principale de inerţie este perpendiculară pe planul plăcii în centrul de masă al

acesteia 2 Relaţii importante

– față de o direcție ∆ care trece prin originea unui sistem de referință Oxy se  obtine relatia :  

αααα sincossincos xy2

y2

x J2JJJ −+=∆

3 Operaţiunile de calcul pentru o placă plană având o formă oarecare

2α 1α

2∆

1∆ 1y

1x

y

x

C

O

 – se consideră un sistem de referință Oxy în planul plăcii; – se determină coordonatele   ale centrului de masă ; CC yx ,

– se calculează momentele de inerție  ,   şi   definite de relațiile generale: xJ yJ xyJ

∫=∫=∫=)()()( m

xym

2y

m

2x dmxyJdmxJdmyJ

– se calculează aceleaşi momente față de nişte axe   şi   folosind relațiile de variație: OxCx1 || OyCy1 ||2Cx1x myJJ −= 2

Cy1y xmJJ −= CCxyyx yxmJJ −=11

72 CONFERINŢA NAŢIONALĂ DE INSTRUMENTAŢIE VIRTUALĂ, EDIŢIA A II-A, BUCUREŞTI, 27 IUNIE 2005

– se calculeaza    ;    acesta este unul dintre momentele principale de inerție, directia 1y1xC3 JJJJ +=≡ 3∆  este 

perpendiculară pe plan în C; – se consideră o dreaptă ∆ trecând prin C care face unghiul α  cu  ;  1Cx

– pentru valori ale unghiului α  în intervalul  ),( π0 , se calculează   cu relația: ∆J

αααα sincossincos xy2

y2

x J2JJJ −+=∆

– se reține valoarea  ; este un alt moment de inerție principal; direcția min1 ∆= JJ 1∆  face cu   unghiul 1Cx 1α  pentru care s‐a obținut minimul respectiv; 

– se calculează  )( 22 JJ α∆= , în care  212 /παα += ; direcția  2∆  face acest unghi cu axa  ; 1CxVerificare

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−⋅⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

10000

J000JJ0JJ

10000

J000J000J

21

21

C

1y1y1x

1y1x1x

22

11

3

2

1αααα

αααα

sinsincoscos

sincossincos

4 Modul de lucru 4.1 Algoritmul programului se baseaza pe o teorie a elementelor finite in care suprafata este o poza si este analizata din punct de vedere al pixelilor componenti pozei. 

– Se alege un sistem de referință  suprapus marginilor ecranului; – culoarea de fond a ecranului trebuie să fie diferită de culorile cu care se reprezintă figura plană; – figura se explorează doar pe suprafata de culoare inchisa. – atât poziția centrului de masă cât şi momentele de inerție se calculează considerând pixelii componenți ai figurii drept 

elemente finite identice, de arie   şi masă A∆ m∆ ; – prin explorarea figurii se determină numărul total n de pixeli ai acesteia;   sunt coordonatele curente ale unui 

pixel; ii yx ,

– coordonatele centrului de masă (în pixeli) se calculează cu relațiile:

∑∑∫

∑∑∫

∑∫

==

==

=

=∆⋅=→=

=∆⋅=→=

∆⋅=∆=→=

n

ii

n

iiC

AC

n

ii

n

iiC

AC

n

iA

yn

AyA

ydAyA

y

xn

AxA

xdAxA

x

AnAAdAA

11)(

11)(

1)(

111

111

– pentru simplificare se face ipoteza că masa plăcii este  kg1m = ; în consecință: 

n1

nmm ==∆  

– momentele de inerție față de marginile ecranului se calculează în modul următor:

∑=∑ ∆=→∫=

∑=∑ ∆=→∫=

∑=∑ ∆=→∫=

==

==

==

n

1iii

n

1iiixy

mxy

n

1i

2i

n

1i

2iy

m

2y

n

1i

2i

n

1i

2ix

m

2x

yxn1myxJdmxyJ

xn1mxJdmxJ

yn1myJdmyJ

)(

)(

)(

– după determinarea direcțiilor principale de inerție se marcheză pe figură poziția centrului de masă şi se trasează dreptele   şi   cu o culoare distinctă; se afişează valorile momentelor de inerție principale  ; 1∆ 2∆ ),,( 321 JJJ

5 Elaborarea programului folosind mediul de programare Labview Programul include 2 parti : Panoul, unde sunt afisate rezultatele, si Diagrama, sectiunea de programare efectiva. 

R.B. ŞAPCĂ.: METODĂ NECONVENŢIONALĂ PT. DETERMINAREA DIRECŢIILOR PRINCIPALE DE INERŢIE LA CORPURI PLANE DE FORMĂ NEREGULATĂ 73

Mediul de programare Labview este unul grafic in care legaturile intre diferite variabile, structuri de program, constante, etc, se fac in mod logic prin legarea de “fire” intre aceste componente, prin “fire” fiind “transportata” informatia. Algoritmul programului se baseaza pe o teorie a elementelor finite in care suprafata este o poza si este analizata din punct de vedere al pixelilor componenti pozei.Masa am considerat‐o 1kg pentru simplificare. Astfel poza este adusa in program in mod interactiv printr‐un buton Browse.     → Conditia ca suprafata sa fie analiza corect este ca poza sa fie de 1bit/pixel, adica 2 culori maxim, alb si negru. Poza este analizata cu functia Unflatten Pixmap care citeste poza si o descompune→ intr‐o matrice de pixeli ,cu valori boolene de adevarat sau fals in functie de culoare .                                                                                                                                                                                                                                                                                                        Poza initiala→ Printr‐o alta functie se transforma matricea de valori booleene in valori de 0 sau 1, 1 unde exista pixel de culoarea alba, si 0 unde exista  pixel de culoare neagra.                                                                      Matricea de valori booleene                    Matricea de valori numerice 

         Pentru a afla numarul de pixeli de culoare neagra matricea de valori    numerice este parcursa matricea numerica cu o bucla FOR,cu conditia sa  contorizeze valorile de 0 din matrice(acestea sunt pixelii de culoare neagra).→  Pentru a calcula coordonatele centrului de greutate , calculam mai intai coordonatelor curente ele pixelilor de culoare neagra, adica pozitiile in matrice pentru fiecare pixel de culoare neagra, adica pozitiile valorilor de 0, dupa care facem separat suma pozitiilor i care corespund distantei pe axa Y, si suma pozitiilor de j care corespun distantei pe axa X.→                                          Calculul coordonatelor pixelilor se face introducand→ matricea de valori numerice 0‐1 intro bucla For care are la 

N valoarea 360, ce iese din For se introduce in alt For in care avem o bucla Case, si pt respectarea conditie ca atunci cand o valoare din matrice este 0 se executa True in Case , si tot aici facem un build array dintre i‐ul primei bucle For si i‐ul celei de‐a doua.De aici caculam suma de pe i(Y) si suma de pe j(X). Dupa calcul se impart sumele de pe X si se afla coordonata Gx a centrului de greutate al placii/suprafetei, si respectiv Gy. ←Calculul momentelor de inertie fata de marginile ecranului Jx, Jy  

Jxy ,se face calculand in prealabil suma patratelor coordonatelor curente ale fiecarui pixel ; coordonatele s‐au calculat mai sus. Se calculeaza aceleasi momente fata de niste axe Cx1⏐⏐ X si Cy1 ⏐⏐ Y folosind relatiile de variatie: 

74 CONFERINŢA NAŢIONALĂ DE INSTRUMENTAŢIE VIRTUALĂ, EDIŢIA A II-A, BUCUREŞTI, 27 IUNIE 2005

2Cx1x myJJ −=          2

Cy1y xmJJ −=

CCxy1y1x yxmJJ −=  

Calculul principalelor momente de inertie  J1 , J2 , J3 se face construind o dreapta care trece prin centrul de greutate si un unghiul α1 pe care il face dreapta cu Cx1. 

αααα sincos2sincos 112

12

1 yxyx JJJJ −+=∆ Unghiul α ia valori in intervalul (0,π), si se introduce in formula Pentru valorile lui α se retine J∆ este minim, care este J1, J2 fiind  dat de directia ∆2⊥∆1, cu α2=α1+π/2, se calculeaza J2 si i se retine valoarea. Se calculeaza J3 si retine valoarea pt afisare. Afisarea suprafetei pe ecran se face recompunand matricea de valori cu ajutorul functiei  flatten pixmap la care se adauga pe desen centrul de greutate si dreptele ∆1 si ∆2, cu ajutorul functiilor picture. Exemplu de Panou

Referinte [1] Niculae Manafi, „Bazele mecanici aplicate”