metoda elementului finit cap1

8/16/2019 Metoda elementului finit cap1

1/17

CAPITOLUL 1INTRODUCERE ÎN METODA ELEMENTULUI FINIT

I. Concepte de baz ă Metoda elementelor finite (MEF) sau analiza cu elementefinite (AEF), se bazează pe idea construirii obiectelor complicate cu blocuri simple sau divizarea obiectelor complicate în obiecte mici.Aplicarea acestei idei simple se poate găsi în viaţa de zi cu zi precumşi în inginerie.

Exemple

Lego (jocul de copii)

Construcţii Aproximarea ariei unui cerc, prin

elemente triunghiulare, este prezentată înfigura 1.1.

Fig.1.1. Aproximarea unui cerc

Aria unui triunghi este:

i2i sinR 21A θ= (1.1)

Aria cercului este:

∑=

∞→π→⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ π==

N

1i

22i N NcândR N

2sin NR

2

1AA (1.2)

Unde N reprezintă numarul total de triunghiuri (elemente)

De ce metoda elementelor finite ?

Analiza designului: calculul manual, experimentul şi

5


2/17

simularea pe calculator; MEF este cel mai puternic instrument de investigare a multor

probleme în inginerie;

Se poate interfaţa cu aplicaţii de tip CAD/CAM;

Aplica ţ iile MEF în inginerie Ingineria mecanică, aerospaţială, civilă, automobilistică; Analiza structurilor (static/dinamic, liniar/neliniar); Termotehnică/mecanica fluidelor; Electromagnetism Geomecanică; Biomecanica;

O scurt ă istorie a MEF 1941 Alexander Hrennikoff a propus analogia membranelor şi a

plăcilor cu grinzile cu ză brele; 1942 Courant a propus metoda variaţională; 1956 Turner, Clugh, Martin Topp au propus matricea de

rigiditate; 1960 Clough a propus MEF pentru probleme plane;

1970 aplicaţii pe sisteme de calcul de bază; 1980 microcalculatoare pre şi postprocesare; 1990 analiza sistemelor de structuri foarte mari.

MEF în analiza structurilor

Împăr ţirea structurilor în elemente şi noduri; Să se reprezinte cu suficientă fidelitate comportarea reală a

structurii,

Descrierea cantitativă a caracteristicilor fizice pentru fiecareelement; Conectarea elementelor în noduri pentru a forma un sistem

de ecuaţii aproximative a întregii structuri; Rezolvarea sistemului de ecuaţii şi determinarea

necunoscutelor din noduri (ex. deplasări); Calcularea stării de deformaţii specifice şi tensiuni pe

elementele selectate;

6


3/17

Etapele analizei cu MEF

Pentru rezolvarea unei probleme practice prin MEF trebuie parcurse mai multe faze de activitate intelectuală (I) sau automatizată

(A) care sunt: Modelarea-alcătuirea unui model de calcul care să simplificeîn mod rezonabil o problemă fizică dată; (I+A) Pre-procesarea-construirea modelului de către

utilizator sub o formă numerică ce este "înţeleasă" de un anumit program de MEF; Procesarea-rezolvarea problemei (asamblarea şi rezolvarea

sistemului de ecuaţii), utilizatorul nu are nici o contribuţie la această fază;

Post-procesarea prelucrarea şi interpretarea rezultatelor, rolulutilizatorului se reduce la solicitarea programului să furnizeze numairezultatele necesare; Interpretarea rezultatelor-activitate esenţială a utilizatorului

în care aceasta trebuie:1.

să valideze modelul, adică să aprecieze dacă rezultatele obţinute descriu în mod rezonabil problema fizică;

2. să ia o decizie privind utilizarea rezultatelor.

Programe comerciale de calcul prin MEF

ABAQUS (analiză neliniar ă şi dinamică); ADINA Analiza neliniar ă şi dinamică a structurilor ALGOR (rulabil pe PC şi staţii de lucru); ANSYS (scopuri generale rulabil pe PC şi staţii de lucru); ARGUS Analiza generală a structurilor BOSOR 4 Analiza învelişurilor

BOSOR 5 Stabilitatea învelişurilor CASSE Analiza proceselor termice COSMOS (scopuri generale); DYNA-3D (analiză de impact şi mecanica ruperilor); HyperMesh (pre/post procesare); MARC Analiza generală neliniar ă NASTRAN (scopuri generale pentru structuri de bază); PATRAN (pre/post procesare);

SDRC/I-DEAS (pachet complet CAD/CAM/CAE);

7


4/17

STARDYNE Analiză generală a structurilor

Obiectivul cursului de MEF

Înţelegerea idei fundamentale a MEF; Cunoaşterea comportării şi folosirii fiecărui tip de element prezentat în această lucrare; Capacitatea de a pregăti o modelare corespunzătoare pentru

o problemă dată; Posibilitatea de interpretare şi evaluare a rezultatelor

obţinute; Cunoaşterea limitelor MEF;

II. Algebra matricial ă Ecuaţiile algebrice ale sistemelor liniare sunt:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=++

=++

=++

nnnn22n11n

2nn2222121

1nn1212111

bxa...xaxa

................

bxa...xaxa

bxa...xaxa

(1.3)

unde x1, x2, ... xn sunt necunoscute.

În formă matriceală acest sistem se poate scrie sub forma:, bAx = (1.4)unde A este o matrice pătrată de dimensiune [nxn] iar x şi b suntvectorii coloană de dimensiune {n}

[ ] ,

a...aa

............

a...aa

a...aa

aA

nn2n1n

n22221

n11211

ij

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

== (1.5)

{ } { } .

b

...

b b

b b,

x

...

xx

xx

n

2

1

i

n

2

1

i

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

==

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

==

Vectori rând şi coloană Se definesc în modul:

8


5/17

[ ] .w

w

w

w,vvvv

3

2

1

321⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

== (1.6)

Adunarea şi scăderea matricelor Se face după relaţiile:

ijijij

ijijij

baccuBAC

baccuBAC

−=−=

+=+= (1.7)

Înmulţirea cu un scalar Se efectuează în modul următor:

ijaA λ=λ (1.8)Înmulţirea matricelor Pentru două matrice A (de mărime lxm) şi B (de mărime

mxn) produsul AB este definit de:

∑=

==m

1k

kjik ij baccuABC (1.9)

unde i=l,2,...,l; j=l,2,...,n.

De notat, în general AB≠BA, dar (AB)C=A(BC)(asociativitate)

Transpusa matricei Dacă ija A = , atunci transpusa matricei A este

[ ] jiT aA = (1.10)Se specifică că:

( )TTT

ABAB = (1.11)

Simetria matricei O matrice pătrată de dimensiuni [nxn] se numeşte simetrică

dacă

jiijT aasauAA == (1.12)

Matricea unitate Matricea unitate este de forma:

9


6/17

⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1...00

............

0...10

0...01

I (1.13)

De notat că AI=A, Ix=x.

Determinantul unei matrice Determinantul matricei pătrate A este un scalar dat de det(A)

sau |A|.Pentru matrice de dimensiunile (2x2) şi (3x3) determinantuleste dat de:

bcaddc

badet −=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ (1.14)

şi

113223332112312213

133221312312332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

det

−−−

−++

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

(1.15)

Matrice singulară O matrice pătrată este singular ă dacă det(A)=0, lucru care

indică că sunt probleme în sistem (soluţii neunice, degener ări etc).

Inversarea matriceiPentru o matrice A pătrată şi nesingular ă, det(A)≠0, inversa

acesteia A are următoarea proprietate:

IAAAA

11 == −−

(1.16)Matricea cofactor C a matricei A este definită de expresia:( ) ij

i jij M1C

+−= (1.17)

unde Mij este deteminantul matricei minore obţinută după eliminarearândului i şi coloanei j a matricei A.

Astfel că inversa matricei A se poate determina:

( ).C

Adet

1A T1 =− (1.18)

Se poate ar ăta că:

10


7/17

( ) .BAAB 111 −−− = (1.19)

Exemplul 1.1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

ac bd

bcad

1dc ba 1

verificare

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

10

01

dc

ba

ac

bd

bcad

1

dc

ba

dc

ba1

Exemplul 1.2

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−

111

122123

111

122123

124

1

210

121011 T1

verificare

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

100

010

001

111

122

123

210

121

011

Dacă det(A)=0 (de exemplu A este singular) atunci A-1 nuexistă. Soluţia sistemului liniar a ecuaţiei (1.1) se poate calcula subforma:

. bAx 1−= (1.20)Astfel că problema principală a rezolvării sistemului de

ecuaţii constă în găsirea inversei matricei A.

Metode de rezolvare a sistemelor de ecua ţ ii liniare metoda eliminări Gaussiene

metoda iterativă

Matrice definit ă pozitiv Se spune că o matrice [A] pătrată de dimensiuni (nxn) este

pozitiv definită dacă pentru orice vector {x}de dimensiuni (n) esteîndeplinită relaţia:

0AxxT > (1.21)De remarcat că matricele definite pozitiv nu sunt singulare.

11


8/17

Derivarea şi integrarea matricelor Fie:

( ) ( ) ,tatA ij= (1.22)

atunci derivata acesteia este definită de relaţia:( )

( ),

dt

tdatA

dt

d ij

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= (1.23)

iar integrarea este definită de:

( ) ( )∫ ∫ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= .dttadttA ij (1.24)

III. Tipuri de elemente finite Elemente unidimensionale l-D pot fi descrise de o singur ă

variabilă locală independentă şi sunt precizate prin două sau maimulte noduri. Figura 1.2 prezintă un astfel de element. Din această categorie de elemente finite fac parte elementele SPRING, TRUSS2D, TRUSS 3D BEAM 2D BEAM 3D PIPE etc. Din cadrul bibliotecilor de elemente finite a programului COSMOS/M.

Fig. 1.2. Element unidimensional

Elemente bidimensionale 2-D pot fi descrise prin două variabile locale independente şi au minim trei noduri, numărulacestora putând ajunge în mod curent la opt, în figura 1.3. se prezintă un elemenet plan.

Pentru exemplificare în cadrul aceluiaşi programCOSMOS/M pot fi amintite elementele PLANE 2D, TRIANG,SHELL 3, SHELL 4 etc.

12


9/17

Fig.1.3. Element plan

Elemente tridimensionale 3D pot fi descrise prin treivariabile locale independente şi au minim patra noduri; frecventaceste elemente sunt reprezentate prin 8, 16 sau 20 de noduri. Din programul COSMOS/M se pot da ca exemplu elementele TETRAsau SOLID.

Fig.1.4. Element tridimensional

IV. Elemente tip arc "toate lucrurile simple sunt importante"

Elementul de tip arc Acest element se caracterizează prin:două noduri i, jdeplasări nodale ui u j m; mm

13


10/17

for ţe nodale f i, f j N constanta arcului k N/m; N/mm

Fig.1.5. Element de tip arc

Relaţia între for ţă şi deformaţie este:

i j uulundelk F −=∆∆= (1.25)

unde, k, este rigiditatea elementului şi este dată de relaţia:

,l

Fk

∆= (1.26)

este pozitivă iar for ţa, F, are valoarea de a produce o deformaţieunitar ă.

În cadrul acestui tratat se considera doar probleme liniare Seconsider ă echilibrul de for ţe pentru elementul elastic. În nodul iavem:

,kukuuuk Ff jii ji −=−−=−= (1.27)

iar pentru nodul j:,kukuuuk Ff jii j j +−=−−=−= (1.28)

Fig. 1.6. Caracteristica for ţă - deformaţie

14


11/17

În formă matriceală acest sistem se poate scrie:

,f

f

u

u

k k

k k

j

i

j

i

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

− (1.29)

sau,f ku = (1.30)

unde: k este matricea de rigiditate; este vectorul de deplasare; f estevectorul for ţelor.

Sisteme de arcuriPentru elementul 1, se scrie sistemul de ecuaţii

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

−

12

11

2

1

11

11

f

f

u

u

k k

k k

(1.31) pentru elementul 2, se scrie sistemul de ecuaţii

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−22

21

3

2

22

22

f

f u

u

k k

k k (1.32)

unde f im reprezintă for ţe interne ce acţionează în nodul local i al

elementului mi=(1,2).

Fig. 1.7. Elemente elastice legate în serie

Asamblarea matricei de rigiditate pentru întregul sistem Se consider ă echilibrul de for ţe în nodul 1,

111 f F = (1.33)

în nodul 2, se poate scrie ecuaţia2

1122 f f F += (1.34)

în nodul 3, se scrie ecuaţia2

23 f F = (1.35)

15


12/17

în final sistemul de ecuaţii este:

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

−++−=

−=

32223

32221112

21111

uk uk F

uk uk k uk F

uk uk F

(1.36)

În formă matriceală se poate scrie ecuaţia de echilibru:

, (1.37)F

F

F

u

u

u

k k 0

k k k k

0k k

3

2

1

3

2

1

22

2211

11

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−+−

−

sau,FKU = (1.38)

unde K este matricea de rigiditate a întregii structuri.

O alt ă metod ă de asamblare a matricei de rigiditate: Prin "lărgirea" matricelor de rigiditate pentru elementele 1 şi

2 se obţine ecuaţia de echilibru:

,

0

f

f

u

u

u

000

0k k

0k k 12

11

3

2

1

11

11

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

(1.39)

,

f

f 0

u

uu

k k 0

k k 0000

22

21

3

2

1

22

22⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

− (1.40)

Prin adunarea celor două matrice rezultă:

,

f

f f

f

u

u

u

k k 0

k k k k

0k k

22

21

12

11

3

2

1

22

2211

11

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−+−

−

(1.41)

Această ecuaţie este identică cu cea rezultată din folosireaconceptului de echilibru de for ţe.

Condi ţ ii de contur şi de încărcare Considerând u1=0 şi F2=F3=P rezultă:

,

P

P

F

u

u

0

k k 0

k k k k

0k k 1

3

2

22

2211

11

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−+−

−

(1.42)

care se reduce la:

16


13/17

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−+

P

P

u

u

k k

k k k

3

2

22

221 (1.43)

şi211 uk F −= (1.44)

Necunoscutele sunt:

,u

uU

3

2

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= (1.45)

şi reacţiunea F1.Prin rezolvarea ecuaţiei, se obţin deplasările:

⎪⎪⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+=⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧

21

13

2

k

P

k

P2k

P2

u

u

(1.46)

şi for ţe de reacţiune:P2F1 −=

Verificarea rezultatelor forma deformată a structurii echilibrul for ţelor externe ordinu de mărime a rezultatelor

Not ă despre elementele de tip arc aplicabilă pentru analiza de rigiditate nu este aplicabilă pentru analiza tensiunilor în arc pot exista elemente de tip arc cu rigiditate în direcţie laterală,

element de tip arc pentru torsiune etc.

Exemplul 1.3

Pentru sistemul prezentat în figura 1.8, se dau ,mm N100k 1 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

,mm

N200k 2 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= ,

mm

N100k 3 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= [ ] N500P = şi u1=u4=0.

17


14/17


15/17


16/17

Fig. 1.9. Elemente elastice legate în serie şi paralel

Solu ţ ie Pentru început se construieşte tabela de conectivitate, care

specifică numerotarea globală şi locală pentru fiecare elementTabela de conectare a elementelor

Tabelul 1.1.Element Nod i (1) Nod j (2)

1 4 22 2 33 3 54 2 1

Se scrie matricea de rigiditate după cum urmează:

,k k

k k

k ,k k

k k

k

,k k

k k k ,

k k

k k k

44

44

433

33

3

22

222

11

111

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

−

=⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

−

−

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−=

In final aplicând metoda suprapunerii, se obţine matricea derigiditate globală:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−+−

−−++−

−

=

33

11

3322

124214

44

k 0k 00

0k 0k 0

k 0k k k 0

0k k k k k k

000k k

K

20


17/17

metoda elementului finit cap1

Documents