Capitolul 1

Spatii vectoriale, subspagii vectoriale;liniar independent5, liniar dependent5;

bazd,, dirnensiune

1 Notiuni teoretice

Definitia L.L Fie X o multirne arbitrard qi K un corp comutatiu (corpul numere-ior complere C. sau corpul numerelor rcale R). Pe muLli.mea X definim o operalietnter-nd,, *: X x X -+ X, care duce perechea (r,y) tn r *A, num,,itd, adunare, fald,tJ.e care X este grup abelian, adicd o operati,e care uerificd ariomele:

Ir) (r +g)+ z:r].(ll* z), (V)r,A,z € X (asociatiuitate):12) r i0 : 0 * fi : n, V r e X, 0 fii,nd elementul nul;13) r+ Lt:rt*r:0,Y r€X, r' f,ind elemenhtl sirnetric al elementulutr;Ia) rf 'g:A+r, (V) r,ye X (comutatiuitate).Se mai defi,neSte o operal'ie numitd, produsul ertern. cu scalari .: K x X -+ X ,

care asociazd, perechi,i, (a,r) produsul a.r, care sati,sfaci, ariom,ele:II1) 1. T: rtV r € X,1 fiind unitatea dinK;II2) (a - 0)t: : a({ir), (V) *,,8 € K, r; € X;II3) (o + 0)r : dn * 0", (Y) a,0 e K, r € X,.IIa) a(r+y):ar*ay, Vct€K, r,ye X.It[ullimea X tnzestratd, cu, aceste operalii spunem cd, formeazd un spaliu, uecto.rzal

,atL spaliu Liniar peste corpulK, real sau compler, dupd curn K: R. sou K :C, pe,:are il uom nota X lK sor (X, K) sau, s,implu, X. Elementele h,i X le uom numi,. ectori, 'iar elementele corpului K scalari.

1.1 Dependentd qi independentd liniar5, bazd qi dimensiune

Fie X lK un spaliu vectorial peste corpul K qi z1 ,it2,. . .,r,, e X " Se uumeqte:ombint$ia linio.rd. a vectorilor 21,..",rr, vectorul o € X de forma r : et:rt +

.J'l *. ..- A11.f 1t. cu cl, € K, I :Tr,

Capitolul 1

Definilia L.2 O submullime G de uectori din X se nurnegte s'istem de generatori

pentru X, d,acd, orice alt uector al spaliului, X se poate scrie ca o cornbi,na[ie li,niard,

a acestora, ad,i,cd, d'acd' G : {*r,...,*n\,C X, atunci oricare ar.fi r e X eristd'

scalari'i (t7t..., a* € K astfel tncd,t *:7 ooro.i:l

Definilia L.g o submuftime de aectori {"r,...,rn} C x este li,niar independentd'

(sau uectori,i sunt li,ni,ar r,ndependenli,) dacd din combinalia lini'ard, a.1r1 * "' *(tnzn:0 rezultd.tntotd,eauanQ7: c,2-- " ' - Qn:O. Sema'ispune cd'submufti'mea

respectiad, este o fami,li,e li'berd..

Definilia'1..4 O subnr,ullr.me d,e uectori {*r,...,rn} C X este liniar dependentd.

(sau uectorii sunt l,in'iar dependenli) dacd, di,n combina[i.a lini,ard, a1r1* ' ' '* Qn,r,n :0 rezultd, cd, eristd. cel puli,n un scalar an I o, k e Tn. se mai, spune cd, submufiim,ea

este o familie legatd,.

Teorema L.t Dacd, S : {rt,n2t...,rn]' C X este I fami,li,e de uectori' 9i St ={riyrir,. -.,rh} C S, i,1* e {7,2?. -,,n}, p < n este o subfamilie a lu'i S, atunci

aueTn

7) S li.ni,ar independent + St liniar independent;

2) St liniar dependent + S lini,ar dependent.

Definilia L.5 o fami,ti,e B : {"r, . . . , rnl C x se numegte bazd, d,acd, este o famtlze

liberd qi, un s'istem de generatori.

Din aceastfl definilie rezultd, c5. o bazS; este o mu$ime de vectori liniar indepen-

denli astfel incAt orice ait vector aI spaliului vectorial, r €'X se scrie ca o combinalie

Iiniard cu aceqtia.

Teorema L.2 Dacd. B : {ut,...,un} este o bazd, a spa!:i'ului arctorial X, atunc'i

ori,ce oector r € X se scrie tn mod,'un'ic sub foryna ":*r;?l";, r; € K'

Definilia L.6 Se numeEte d.itruensiunea unu'i spa[iu uectori.ol, nwnd'rutl d.e elettrcnte

d,'intr-o bazd, a sa Si uom scrie dimX : ca,rd B, B fii,nd' boed' tn X 'Dacd. o bazd, a ,unui spaliu aectorial are un nutndr finit de elemente spunenl cd.

spali,u,t este fin,it rl,imensi,onal, tn caz contrar este infinit d'imen'sionat'

in R." mullimea vectorilor el : (1, 0, . - .,0), ez: (0. 1, "',0), "', en: (0, 0" ", 1)

formeaz5 o baz[ numit[ baza canonicd,-

7

Spatii uectoriale, subspatii uectoriale

L.2 Subspatii vectoriale, acoperire liniard

Definilia 1.7 O submufiime X1 a unui spali.u uectorial X lK formeazd, subspal'itt"

uectorial,, dacd,:

1) (V)r,U€Xr+r*UeXt;2)Vr€X1,Va€K+ar€X1.Cele doud, ariome pot fi, scri,se tntr-una singurd, ar * 0y e Xr dacd, r,y Q Xy,

o,p e K.

Defini{ia L.8 Dacd, A c X este o submufii,rne a unu'i spaliu uectorral, se nurnegte

acoperire hniard, a muftimii, A Ei o notd,m prin L4, mullimea tuturor combinaliiLor-

l'in'iare care se pot forma cu eLementele lu't A, adi.cd,

LA: L orro, a6 € K,rlQA

unde I este o mullime de i.ndici, oarecare.

Teorema 1.3 Mufiimea La forrrueazd, un subspali,u uectoriaL en X.

Teorema 1.4 (completare a bazei)Fi,e X lK un spaliu uectorial 9i A : {rt,*2,... ,rp} C X o mul[i,me l'in,i,ar inde-pendentd,, p < n: dint X. Atu,nci, existd uectot''i'i rr,r1,frpt*2t... ,rn € X astfel tncdtB : {rr,. . . ,T,p,x,p*tt. . . ,rrr} sd, formeze bazd' tn X.

1.3 Izornorfismul spatiilor liniare, sume qi intersectii de subspatii

Fie X lK, y lK doud spalii vectoriale peste acela.qi corp de scaLari K. X qi Yprin defini(ie sunt izomorfe dacd exist[ o bijeclie f : X -+ Y care verific[ euxiomeie

f(r+y)- f(r) +/(y), (V)r,y€Xqi l@"):af(r), Vz€X.o€K. Cele

doui axiome se pot scrie intr-una singur6 gi anume f (ar + 0y) : af (r) + 0l@),x,y € X, o,P € K.

Observatii:1) Dacir irr a, doua egalitate luir,rrt cv : 0, averl /(0) : 0, deci utt izcxttorfistn

rluce vectcrrrrl nrrl clin X in vectorul nrrl din Y.2) O irrulqirrre lilriar indeperrcleritti (lirriar deperrdeutl) este tlr-rsii r.le urr izr.rrtrorfistrt

irrtr-o rnultrirne liniar independentti (liniar dependent[). intr-acler'5r fie {r:1 ,...,,r.p),, {tr"rnilie IiberX.

rer),{'exi':

a1ry *"'*arro:0 + a1 :"':Qp:0.

7r-

Capitolul 1

AplicAnd aplicatia bijectiv5.

f (orrr + "'+ aprp): or,f (rr) + "'+ a,f (t. : '- :0,

cu o1 : "'- a,p:0, deci {/(rr), 'f (,p)} este iibera - '- ''' ---'ed5"m pentru o

familie legat5,. Deci doul spalii vectoriale izomorfe au ace.':- - ---=:-:iune.

Dac5. X : Y qi f : X -+Y este bijectivd,, / se nume;t€ :-:--' =sm, iar dac5 /nu este injectiv5, / se numeqte endomorfism.

Teorema L.5 Orice spa{iu uectorial' XIK n-dim,?-TLSia',r :i-' ':-*torf cu spaliul

nurneric Vrr.

Definilia 1.9 Fie Xt,Xz C X douii subspa[i,i ale spc;'.-'- .-: -:i] X. Definim'intersecli.a subspali.i,lor Xt Ei Xz ca fiind XilXz : \r e -f -- = -f1 : e X2\qi, suma

subspal'iilor X1 qi X2 ca fiind Xt* Xz: {r € Xlr: r- -: - :- i -Y1, 12 € X2}.

Teorema L.6 Interseclia Si suma a doud. subspali'i uec:,"^ -.'- :.-'": :ubspatii uecto-

riale.

Definilia 1.10 5e numeSte suma d|rectd' a doud' sub;.'-.'.; --'-'- t-: ,'i o uom not1,

X1 O Xz, suma subspaliilor X1 * X2, unde X1l1 X2 :

Teorema 1.7 Fi,e Xt,Xz C X doud, subspalii uecto:'-. ''- --:---: suma lor este

directd, Xt* Xz: Xr @ Xz dacd' S'i rLurna'i tl'acd, un L:t-::- -- : ""- = X2 se scrie tn,

mod u,n'ic sub form,a r : trL * 12, rr e Xy, 12 Q. X2.

Teorema 1.8 (Grassman) Fie X1,Xz C X doud s--.:'-- : '--'-.:,e ale spa[i,ul'ui

X SiU: Xr O Xz, V: Xr * X2 intet-seclta pi, re::.-. '"-* - -:=stora. Atunci,

dim Xr * dim Xz : dim U + dim V.

X2 C X astfel tncdt X : Xr@ Xz. X2 se nume$te C:--r :- :''-'- X1 tn X.

2 Probleme rezolvate

1. S5 se arate c[ multrimile de urai jos formeaza s:',:* .':* *' r'a) Fie C corpul numerelor complexe gi

Definilia 2.L Se numeEte funcltono,ld. ltniard, o a: ' - -- ''r proprietdlile

/(r+:.t):.f(r)+f(y),,f(,\r) : \f trt 1'p7117-1' s j '

Spalii uectoric. .

Fe C" inirodr::=.--

ft i.,-t-9-

Atunci (C', - :

b) Analog. ?-

numereior reart :-

c) Fie P"if :cel mult 7?. cu o:::

unde p gi q sun: ;d) Ltlullimer. -:

opera!iile:

A_E:\A: -

e) l,Iullirue; -

ducem operalrr-rvectorial.

f) L,Iullime: .-r*y:(rt+p .

Solupie. Se '.'.-

d), e) qi f) satis-.^Ia aceste spalii 1:-:

2. S5, se ara:.

formeaz5 un sub.-,

Solufie. )i.- . -.

sistemul este cr:-.:J)2:jgrfr:l:1 ,.aceasta devine .r =

i

Spa[ii uectorial,e, sub spali,i uectorio,le

Pe C" introduceln operaliile -r-: C'x C,r -| C" qi': C' x C" -) C", cu:

r *!: (r, + gr, rz * 1Jz,...,Ttt *yr'); A'r : (Ar1 ,,\rr:2, ...'\r*).

Atunci (C', *,') formeazd, spaliu vectorial.b) Analog, IR" : R. x lR. x "' x lR. fbrmeaz[ spaliu vectorial. R flind corpul

numerelor reale (numit spaliu ntrmeric n-dimensional, notat adesea Vr).c) Fie P"[X] muilimea polinoamelor complexe de nedeterminatS, realX X de grad

cel muit n cu opera{iiie:

(p + q)(r) : p(r) + q(r); (Ap)(r) : A.p(r),

unde p qi q sunt poiinoame de grad n.d) Mullimea matricelor de rn linii gi n coloane, Mr,r*r* de nurnere complexe, cu

opera!iile:

A+B:C, unde A,B,C €Mmxn, cL.-cii:aii*bii;),A: D, unde A, D qM^*rr, cu d;y : )'a;j, icTrn, i ?TJL.

e) N,iultrimea funcliilor reale, continue pe un interval la,b), Cl,,a1, pe care introducem operaliile (f + s)@) : f (r) +.s(r) qi (.\/)(r) : ,\'/(r), formeazi spaliuvectorial.

f) \{ullimea girurilor de numere reale r : (rt,tz, . . .) inzestratd cu operaliiieir * u : ("t + yt,rz * gz,. . .) qj. 17 : ()rr, \trz,...). formeazS, spaliu vectorial.

Solulie. Se verifici imediat cX exemplele de mullimi de Ia punctele a), b), c),

d), e) gi f) satisfac axiomeie spaliului vectorial. Pe parcursul lucrdrii ne vom referi

1a aceste spalii vectoriale cu notaliile de mai sus.

2. S5, se arate c[ mullimea soluliilor sistemului de ecualii

formeazX un subspaqiu vectorial in iR.a.

( i -i -i l) ,," rangur doi, deciSolulie. NlatriceasisternuluiA: t -l

\-1 3 -2 -1/sistemul este compatibil qi dublu nedeterminat. Solulia sa este rt : -a - 50,

rz : 3cy, 13 : 5a Ei ra - 50, a,6 e R. Dac[ scriem solulia sub forma unui vector,

aceasta devine, : (-o -5p,3a,5a,5p). Pentru a forma spaliu vectorial, mullimea

(rr+2r2-:c3*14:Qlzr',-r2-13 *2t'4:g[ -r', - 3.r'; - 223 - rt: o

Capitolul 1

,9: ir € Rnlr: (-*-bp,Bct,5cv,5,5). a.,: = :. ::,.,ire cac1,r2 € S =+r1* 12€ S qi e € S,,\ € R. + Ar € S.Fie soiuliile 11 : (-a1 - i/t,3cv1. ba1,5,Jr i ;- -,._ - iB2,3a2,b,,2,bp2),

(at: (t.2t 0t, 0z e IR. Atunci avem

11]-12: (-(ar aC.z)-s(h+62).3(rir _ ,_ : _ :..:),b(Lt+02))

care aparlinelui S. Analog, )7.: (_)a_5),J,3,,;. _ .- . : i S. Deci, Sformeaz[un subspaliu vectorial al lui Ra.

3. Acelaqi enun! ca la exerciliul 2 pentri-r s-.-.. ,...

r4. Si se studieze liniar dependenla (1. d.) ru

11 : (1, -1,3)t 12 : {2,1,

Solu;ie. Fie combinalia liniar5 a cejor rrt:)1(1, -1,3) + A2(2,1, 1) + )3(1,2,3) : 0.

()i. * 2)z * )3, -41 *.\2 +

- .:n-0

-0-n.^ J - ur

* l3r3 : 0, adicd

,r. deci sistemui are

vectori sunt liniar

- ,a - (2,0, 1, -1)de dependenqX

(rr*4rz*2rs- r '

c \ 2r1 * 9r2 15r'.r - __--

Ir,*3r2*13-- -

, (r.rr-rz*.u3:0 iu) ir,+r2+7rr-o b r

tr,+.r3:o; I

sistemrii

lul 1

S+

ilz),

Spatii a ectoriale, sub spatii u ectoriaf,e

[^,-,\2+2,i3:Q] -.ai - 2A, * n1: g

X o, -a:*Ar+Ai:0Llir=Az-lr*6An:9.

Sistemul are rangul 3 qi oblinem soiulia A1 : -a, A2 : -e, A3 : o gi )a : a.cu cr arbitrar real, qi fiind introclus6 in relalia de dependen!5, IiniarX de mai sus,cblinern -ar7 - ar2 * ar;1 t {}r4 :0. Prin imp[rlire la a 10, obtrinem relalia deCependenlE iiniard -ir1 - rz * rz + 14 : 0. Deci, vectorii sunt liniar dependenli.

6. S5, se studieze iiniar dependenla polinoameior:

pt :1 I r - r.2; pz:2-2r + 12; ps : -ll3r -2r2.Solufie. La fel ca la vectori, pentru polinoame avem,\1p1 * \zp,t * l3p3 :0,

adicd A1 +2^2- )s*r(lr -2)z+ 3t3) +r2(-)r *lz -2)3) :9.Acest polinom este identic nul dac[ avem

Sistemui are rangul 2, deci este compatibil nedeterminat gi are solulia ,trl : e,iz : -o qi

^3 : o, o € 1R. Introdus5 in relalia liniarX dintre polinoame qi prin

simplificare crt a f 0, avenr rr-p2+p3: 0, deci poiinoamele sunt liniale dependente.

7. Enun! analog exerciqiului 6 pentru matricele:

aza

l'),+2.\o-,\r:0i^,-z.r:+sir:o[-1,*.\2-2)3:Q.

lca

Solutie.sistemul

,,: (l -l) A,- (l ?), ',: (l 1 )Din rela{ia de depenclenld liniar[, )r-4r -f AzAz * )3As : 0, avem

()r+lz*)s:oJ -^, -2\z - 4A3 : s

) u,ir+)z*3)s:o[:,1,+12*5)3:Q.

larRangul sistemului este doi qi solulia sa este Ar : -2a, \z: a qi A3 : a, a € lR.

L,Iatriceie sunt liniar Cepencl-^nte gi anuile Az :ZAt - Az.

8. Sd se studieze liniar dependenqa muiqirnilor de vectori:

a) 11 : (tr,-1,1), *z: (2,0, 1), rs: (3,-1,2), ,+: (1,1,0);b) 11 : (1,1,0,1), r:: (0,-1,2,1), 13: (4,0,1,-1), ra: (-3.0,1,3);c) 11 : (2" 0, 1), 12 : (\,1, 3), :r3 : (1,0,4).

-1\:n1d

Capitolul 1

Solujie. a) Rangul sistemului de vectori {*r,*r,rt,ra; este egai cu rangui ma-tricei formate cu componentele lor

( t 'z 3 1\

'ung{-t o -l 1l-2,\ 1 1 2 0/

deci vectorii sunt liniar dependenli.Din relalia de dependenlX 1iniar5, A1r1*\2r2*)er:*lar4 : 0, rezultX sisternul

iiniarl.,\, +2]:*3):*Aa:g{ -lr-):*,\s-oIr,*)2*2.\3:s.

care are solutia )r : -)a*)a qi 12 : -,\a-,\a. IntrodusS.in relalia de dependen!5IiniarX ne di A3(-zt - .t:2 + lr3) + )a(rr - 12 * ra): 0, cu )3 qi .\a arbitrari reali.

b) !'ectorii sunt liniar dependenli, 11 *:r2 - ir3 - r.4:0.c) Vectorii sunt liniar independenli, deoarece rangui matricei lor este 3, egal cu

num[ru] lor, deci sistemul liniar ataqat are numai so]ulia bana]d.

9. Fie r, A qi z trei vectori liniar independenli. Cum sunt vectorii?

a) r, r*A, r*y*z; b) r+ U, r*2, y*z; c) r-A, U-zt z-tr.

Solulie. a) .\z* tr(r*y)+u(r*y* z):0 <+ r(A+ p,+u)+yfu+u)+uz:0.Din liniar independenla vectorilor r, y qi z, rezrtltd, in mod necesar,

(^*r+u:o( tt*u:0Iz:0,

cu solulia ), : P : v :0, deci vectorii sunt Iiniar independenli.b) )(r + y) + p(r * z) + u(y * z) :0 <+r() +p,) +y() + v) + z(1-r* u) : g.

( ),+ u:oOblinem sistemul { ,l * ) : O care are solulia banalX, de unde gi liniar incle-

IP*z:0,pendenla vectorilor r * a, r I z qi y + z.

c) .\(r - y) + p(y - z) * u(z *r) : 0 <+ r(A - u) +E(-^+ p) + z(-p*ru) : 3.( )-u:o

Ar.em sistemul { -f *, : O c1 solu{ia .\ : ! : z, deci vectorii sunt liniar[-p+u:0"

depenctren!i.

Spalii uectoriale, sub spalii uectoriale

LO (Teorema lui, Riesz). S5. se arate cd dac5 / este o form6 liniari reald definitdpe R', atunci exist[ intotdeauna numerele at, e2, . . . , art astfel incit

f (,'): orlr + azrz* "'*anxln

gi aceastd scriere este unic[ intr-o baz6 dat[.Solulie. intr-adev6r, dacd .f '

R" J R este o form[ liniar6, atunci

/n \ n

f (*):/ [f rie,\ : Ir,.f(",),\=/7,unde {e;}r:fi este baza canonicd in IR".

DacX notSm f ("):ai, obti.nem f (r):f *ror. Unicitatea scrierii lui / intr-o

baz5, dat5, rezult[ din unicitatea scrierii ,.rrr.i'iJ.to, intr-o bazX dat5,.

11. Fie funclionalele liniare

ft(r): rt*2rz- rs, lz(*) - 2rt- 12*13 si /s(r) - -r1- rz*3xs,

unde r: (rr, rz,irz).S5 se studieze dependenla lor liniar[.Solulie. Avem lr/i(") + ),2f2(r) + 13/3(r) :0, deci

ll1()1 * 2^2 - \) + 12(2^1 - ).2 - )3) +r3(-)r *,\2 * 3,\3) : g.

Pentru ca aceastE forml liniard sX fie identic nul5,, trebuie ca fiecare coeficient a]nedeterminatelor 11, 12 qi lr3 s5. fie zero. adic5, oblinem sistemul

1.],-2)2-)3:fl{zr,-A2-,\.1 :Qf-)r-A2*i3)3:Q,

care are rangul trei, deci solutia banall )r : )z : )r :0.Deci, functionalele liniare h, iz qi /3 sunt liniar independente.

12. Enun! analog exerciliului 11:

a) ft: 11 * 2r2 * 3r3. fz: ,= + rz, ft : rt * 3r2 + 4r3;b) fi : -:Lt * 12 * T3, fz : 2rt - 2r2 12r3.

Solulie. a) Liniar dependente, h * .fz - "fs : 0.

b) Liniar dependente , 2f t + fz : 0.

10 Capitolul 1

13. S5 se verifi.ce dacX vectorii 11 : (1,-1,2), rz: (2,A,1) qi 13: (1,1,1)formeaz5 bazr{ in IR3.

Solulie. Pentru ca o mtillime de vectori sd formeze baz5, trebuie ca vectoriidin mullime s5, fie liniar independenli qi orice alt vector din spaliu s5" se scrie ca ocourbina-lie liniarE cu elementele acestei rnullirni (sistem de genera,tori - s.g.). Rarrgulmatricei vectorilor fr, n2 gi 13 este 3, deci srint iiniar independenli. Cum num[rullor coirrcide cu dimensiunea spaliului IR3, ei sunt qi. s.g., deci formeaz5 o bazX.

14. S[ se arate c5. polinoamele

pr : 1 i r - 12, p2 : 2 -- r* 2r;2 qi ps : -1 * r +3r2

formeaz5, baz5, in PzlX)Solufie" Din )1ir1 * \zpz * )ep: : 0, rezulti

,\r * 2)z - tr: +r(Ar - )z * )s) +22(-)r * 2,\z *3A3) : 6

qi obginem sistemul Iiniar

0

:0,al clrui determinant este -14. deci sistemu] are numai soiulia banalh. adic[ po]i-noamele sunt iiniar independente.

Fie q : as* a1r * a2r un polinom oarecare dirL P:[X] . Pentru ca el s5" se scrieca o combinalie liniar[ cu p1 , p2 lii p3 trebuie sii existe ]r, Az qi

^3 nllmere reale

astf'el incAt )rpr * Azpz * l:pe : q, echivalent cu sistemul

sistem neomogen care, avAnd rangul 3, are intotcieauna o solutie unic5., deci p1, p2gi p3 reprezint5 un s.g., prin urmare o baza.

15. Sn se determine spa,!ir-r1 vectorial generat de sistemul de vectori:

rr : (1, -1,3), 12 : (1,0, 1), :r3(2, -1,4).

Solulie. Vectorii sunt iiniar dependenli, deoarece rangul lor (rangul matricei for-mate cu componentele 1or) este 2, atunci orice subsistem format de doi dintre ei va filirriar independent. Dac[ notS.rri cu ,{,,1,,,2,,,:}, spaliul vectorial san acoperirea h,ntarda vectoriior, avem tr{rr,rr,rr} : L{rr,rr}: {r € lRs lr: : A1r1 l- ).2r2, )1,)z € IR}.

( s, +zs/ l, -^,l. -41 +,

-)c:l,l:0-1- J,13

\z\2-t+)ZA2

(\r+241 -13:o,1{r,-,\1 *)3:111[ -,t, * 2)2 + 3.\, : o,

:I 1

. 1)

rrii10lul,rul

) rli-

i: ii.e

rale

Pz

: tr-i.n. )ro.l-rl't.

I

I

I

i oalii u ectori,ale, sub spalii, u ectoriale

-\m ales Ia intAmplare z1 Qi 12; puteam aiege oricare alli doi vectori dintre vectorii 11,

:2 gi 23. Baza acestui subspatriu vectorial este folmati din {r1,rz} qi dimensiunea

.ste 2.

16. S[ se cletermine spaliul vectoriai generat de vectorii zr : (1,-1,2,3),r': : (1,0, 1, -1) Qi r: : (7,'2.3,7).

Solu;ie. Rangul sistemului de vectori este 2, deci

L1,r,*r,r3) : L {,r,,r} : {r € R'r l r : )i(1, -1, 2, 3) + )2(1, 0, 1, -1), )1,'\2 € lR}'

3aza subspaliului este format[ din 11 , 12 gi dimensiunea este 2.

17. Sd se arate c5" f1 : (1, 1, 1), lz : (1,1,0) qi,fs : (1,0,0) formeazYabazilin

i-3 qi si se scrie vectorul r : (1, -1,2) in aceast5 baz5.

Solulie. Faptul cL formeazi bazX este evident. Din r : lr.fi * \zfz * )s"fs,

:'c!inem (1,-1,2) : li(1,1,1) +,\2(i,1,0) + ^3(1,0,0),

din care rezuit[ solutia.\r : 2, )z : -3 qi,\3 : 2, deci r are coordonatele (2,-3,2) in noua bazil f1.jt, fe. Amintim c5, r are coordonateie (1,-1,2) in baza canonic6 e1 : (1,0,0),

:z: (0,1,0), e3: (0,0,1).

18, SX se arate .ilpt:1*.r* 12,p2:2r-12 qipz:2*r formeazl" baziinPz[X]. SX se exprime poiinomrtl I : 1 + 2r * 3r2 in aceastX baz5.

Solufie. Din q: lipt + Azpz * )3p3' rezr-rlt[

(1,+2'\t:1{ r'*2)'z+Az:2()'-)::3'

Sistem compatibil qi unic determinat (rang : 3) care are solulia )1 : 3, 12 : 0,

\s : -1, deci q :3pt - ps.

19. S[ se scrie matricea B : ('. ?) ,r, Ouru formatl c]e matricele:- \4 -1/

,,: (i ?) , ,.: (? i)Solulie. Trebuie s5, ar5,tdlr c5. {,41 , A2, Az, Aa} forrneazd" o bazd in 3!t212' Cum

C.imM212 : 2.2: 4 este suficient sd aritdm liniar independenta matricelor At, 42,

-{3 qi ,4a.

Din ArAr * AzAz f ):lAs r AaAa: 0, obtiuem

()r-)2-)3:SJ ^,*)2rAa:Q)lr+)3*)a:Ql..rr*)3*)a:Q.

11

,,: (i l), u=: (l l),

12 Capitolul 1

Ir 1 1 ollr 1 o 1lnrr r r : -3. Sistemul are numai solulia banal6, matricele sunt liniar'* l1 0 1 1lttl0 1 1 1l

independente, deci formeazS, obazl. in M2a2. Pentru a afla coordonatele matricei

B, in aceastS,bazd", avem B : cvtAr * a2A2 + azAz * laAa sau

(ot+a2fo3:lI o, + ..2l- aa:)1.',* oi+o):+|."r*.tla,t--i.

cu solulia *1 : 3, (12 : -2,a3 : 0 qi aa - 1, de unde B : 3At_ 2Az* Aa. in baza

canonicI

3), (3 l) , (? 3) , (3 ?))* {En,En'En'Ezz}

^,"": (: |,).li I).(: -,;) :, (i 3 )., (i

( (t1\o

a spaliului ?y',.2y2, matricea B se scrie B : I ' En * 2En * 4Dzt - |' Ez'2, iar in baza

{At,Az, As, Aa,} se scrie B : 3At - 2Az+ 0' A3 * 1' Aa.

.,/ 20. SA se arate cd

formeazfi un subspaliu vectorial alluj}i{272. Sa se determine o baz5. qi dimensiunea

acestuia. Sa se arate cb matricea B : (: : ) apargine acestui subspatriu qi sE se\2 -o /

scrie in baza acestuia.Solulie. Pentru a arita cE, formeazS. subspaliu vectorial, trebuie s5, verific5,m c[

suma a doui elemente din X qi produsul unui element din X cll Lln scalar aparlinhii X.

Fie Ar, ,y1,z1tAr2,y2,r2 Q X. Suma lor va fi Arr+rz,uriyz,zt*zzt care evident apar-

lirre ltri X. Analog, AAr,,o,r: A^r,^y,^, € X. Deci. X este subspaliu inM2v2'N{a,tricea Ar,o,, se mai scrie

i)..(? -l)

' :

{^''"'2 €M2Y2 A, v,,: (,:; i. ,,'*;i r.) t:.v,, u *)

se aratx uqor cd **,'."* { (1 3 ) (-i i) (? -l) } sunt liniar indepen-

dente gi din scrierea \ti Ar.o,, ele formeazd, gi un sistem de generatori, deci o baz[ in

pen-

rt ft * rz,h-1- ttfz:1 ' g, - 7' 92 -13' 93

5 c alii u ectori al,e, st-tb sytali'i u ecto'ri al, e1'

X; dimX:3 pentru cX avem trei elemente in baz[. Pentru a scrie pe B in aceastX

baz5,, avem

(t E

\z -; ):^'(1 ;) .^,(-l i).^,(? -j)

l'1,.+)z:3J ^,

* Is:5lr,-'\2*A3t2'\r+)z-3

-,ls : -5,

Ir 1 o 3l

pentru carc determinantul matricei extinsc *," I ? -i i ll : 0, a".i sistemul

l; i -; -;l.re soiulie unica, gi anume )r : 1, \2:2,)s : 3 Si E : 1 (1 ;) ., (-i i) ._,/o 1\'\.r 4)

21". Enunt analog exerciliului 20, pentru

li : {p,,a,, e Pe[4 lp,,o,.:2r-y*z*t@+y-z)+t2(y+22)+t31-r+r1, r,y,z e 1R]

-., q:2+t+3*.Solulie. Pentru a deterurirra baza subspaliului X, scriem

pr,y,z : r(2 +t- 13) + y(-l +t +*) + z(\ - t + 2* + f).

?oiinoamele {2+t-t3, -7+t+*,1-t +2* +t3} sunt liniar independente gi formeaz[-.Y-taz6"inX,iarpolinomulqsescrie q:7.(2+t-r3)+1.(-1+r+r2)+1.(1-t+zP+ts).

se determine coorrionatele vectorului:r € IR3 in baza fi : (1,1,1),-'.

=(1,1,0), ,fe : (1,0,0), daci in baza h: (1,1,0), gz: (1,0,1), gil : (0,1,1).re coordonatele r, : (1, -i,3).

Solulie. Se verific[ imediat cir {/1 ,fz,fs} qi {gr,9z,gz} forrneazX baze irr 1R.3,

:angurile }or fiind egale cu 3. Se notim cu (r1 ,rz,rz) coordonatele lui n in ba.za

.fi, fz, fsl . Atunci aven egalitatea

[,,,,,

--

t4 Capitolul 1

satl pe componente

(q + 12 * r,3,11 * 12, 11) : (0, 4, 2),

de unde oblinem solulia rt : 2, 12 : 2Qi z3 : -4' Deci' r7 : (2'2 - 4)' Evident'

in baza canonicS., r va a\rea coordonatei€ re : (0,4, 2)'

observalie. Dac6 notSm cu F qi G matricele de trecere ale celor douS baze

formate cu veltorii {fr, fz,"fs} ci {gr, 92,9s} puqi pe coloane q\ rs, rs vectorii in cele

dou5 baze, ur"* "..*1ia

matiiceaLd," F ' r i : G ' rs, de unde " J : F-:?' rr Deci'

F-\G este matricea de trecere de ia baza {gr,gr,93} ia baza {/1, fz,fz}

fA C" coordonate are po1inom,l h e P2lr) in baza {1 + u, r * 12,1 + 12} dacS'

i,, 'Nr/o i1,1 + r,1 + r I 12) are coordonateie (2,1' 3)'

Solulie. Avem ecualia vectorialE

h1(1+ r)+h2(r+12)+h3(1+ r'):2'(1) +1 (1 +r) +3'(1 +r +")'

prin iclentificare, obqine- {ll Il:=? ., solulia h1 :I h, + hz:3,

Deci, /i :f,rt+ r) + in *,'1+f,tt + r2).

hz:

24. Fie F mullimea qirurilor de numere reale care verific5. relalia lui Fi'bonacci,

F : {rlr : (rp)1rqN.,r,k+2 : rk * rk+t, k € N.}'

Si se arate c5, F este un spaliu vectorial. Apoi, si se alate c5, girurile

a : (2,3,5,8,13,21, ' ..) qi y : (1,2,3,5,8,13,21, ' ' ')

constituie obazd'in]7qisisescrieqirulz:(1,1,2,3,5,8,13,"')inaceastdbaz['Solulie. $irurile cn proprietatea din enun! se ntlmesc Struri Fibonacci' Se verificd'

uEor ci suma a dou[ qiiuri Fibonacci este un gir Fibonacci gi produsul cu un numS'r

a unui gir Fibonacci este un gir Fibonacci, cleci fornleaz[ un spaliu vectorial' Pentru

a arXta cX r gi y constituie o baz[, observim ch ele sunt linia,r independente, avind

corrrportentele neproporlionale. Scriem z: {L'L + Dy qi averrr ecua(iile

2a*b:l3a * 2b:15a I 3b:28o*5b:313rz*8b:5

i.,1*nz:

:

-,lul 1 Spa[ii u ectoriale, sub spatii u ectoriale

.1eut,

" baze-:l cele

Deci,

r1irc5,

cu solulia o:1Qi b: -1, deci z: r -9.Observdm cX spaliul I' este un spaliu vectorial infinit dimensional. Pot exista

cricAte qiruri Fibonacci, diferite dou[ cite dou[, cale sX constituie o bazd'.

25. S[ se determinc suma ,si interseclia subspaliilor vectoriale generate de

nullimile de vectori {rt,"2,re), {At,A2,!J3,y4} din iR3, unde:

gr : (1,0, -1), At: (1,1,0), gs : (2,t,-1), y+: (0,1,1).

Solulie. Vectorii Tt, 12 qi 13 sunt liniar dependenti, deoarece rangul matricei

:orrnate cu componentele lor este 2, deci dac6 alegem 11 gi 12, de exemplu, ei

gerrereaz[ spaliul X: {r € R3 lu : atar*a2r2, o1 ,42 € IR}.

De aseurenea, vectorii UL, A2, At Qi Att sunt liniar dependenli, rangul matricei

lor este 2, deci spaliul generat de ei va fi Y : {g e m.3la : hh * b2g2}. Suma

subspaliilor este X1Y : {z e Rs lz : r *A, r e X, A eY},deci un vector din

-Y + y se scrie z : attrt * a2r2 * bflt * bzyz. Cei patru vectori TL,o2,!1,!2 vor fi-iniar dependenli, iar rangul matricei lor va fi 3. Deci, dac[ alegem trei dintre ei,

ie exemplu rt,r2,y1, aceqtia vor geuera subspatiul sum5, care va fi de dimensiune

3. deci va fi intregul spaliu R3, adic5,

X +Y:{zeR3 lz: a1r1 *a2r2*btUt, aL,a2,b1 eR} =R3.

Interseclia subspaliiIor X n Y : {u € R.3 lz e X. u e Y} va fi mullimearcelor vectori din spalir-r, de forma a1r.y * a2r2, dar qi de forma btyt * b2y2, qi avem

-ilrl+a2r2:btlttlbzuz, adicxol(1,3,-1)*az(2,1,1)-br(1,0,-1) -bz(1,1'0) : g.

( o,r+2a2-b1-bz:0-{vem sistemul de ecualii i 3ar * az - bz :0 Rangul matricei sistemului va

l.-ot*rz2*b1 :Q.r 3 qi solulia sa este a), :2Q, a2 : 3ct, bt : -Q, bz :9a, a € R.

Deci, un vector oarecare din X O Y va fi de forma

u : 2art * 3ar2 : a(2rrf3r2) : a(8, 9, 1).

Acelaqi rezultat il oblinem dacd il lulm pe tr de forma

u : btut *bzaz - -aa"t *9ay2 : a(-at + 9az) : CI(8,9, 1)'

)eci, X OY : {u e R3lz: o(8,9,1), a € R}. Se vede cd dimX OY :1gi o baz[?. sa este formatS. din vectorul (8,9, 1).

NACCi,

cazd..

:rificI..umir?entru.rvind

15

)

5

2

Capitolul 1

16

26.SS,sedeterminestrmaqiintersecliasubspagiilortorii {r1 ,x2,L3,ra} qi, respectiv' {yt'y''W'Ua} dln lK-'

X gi Y generate de vec-

S5. se determine o baz[ qi

dimensiunea acestora:

rr : (0, 1,l-,1)' 12: (!'1' 1' 2) ' rs: (-2'0' 1' 1):

,r : i-1,'3' 2,-L), Yz: (!'1'o' -1)'

Solulie.Vectorii.,|,tr2giz3suntliniarindependenligigenereazdliniarspaliulx. ar qra2.t"t ri"lu' tiupu"a""li' S;'"ig""e'ot de ei' Y' este inclus in X'

deoarece At Qi Az sunt }iniar dependenli dc z1' 12 Ut l-'- *..Deexemplu,gl:611-3r2-raQI!2=zL;\-t'z4r'27.Sesearatec5,R4:X@Y,undeXgiYsunlsubspaliilegeneratedevectorlr

ry: (2,3, 11,5), 'r':1t,1,5'2) ' " : iO'1'l'1) qi' respectiv'lJr: (2'l'3'2)'

,!Jz: (7,r,3,4), ,r:6)z,a,z)' sa se descompr"rnS' vectorul r: (2'0'0'3) dupS'

aceste subsPatii.te subspatii -na directl a subspaliilor X gi Y daclSolulie. Spaliul Ra se desco*l:'" In sun

-,^^-. -.^^r^r.,1 nrrt Rrrsui matricei, #' t''r, i : :::i fl i: *iffiil; :: "': l;ll j^':i:::1,'l:1,

^:il:,*r at r i cei

x n y : tuj, decl acesLe "^"":":r:'^::; - Iiniar spaliulvectorilor fi;, r2qi 13 este 2' deci doar doi dintre ei genereaza

X : {r e R4 lr : c,tx't * a2:r2' o1' a2 € R}'

Lafel,Yestegeneratliniardoardedoivectclri,altreileafiiudliniardeperrdentcre aceqtia. sa r.re* il'-i';.Rnly :.7rv1+ B,zut, i3r,9z e Rl' se ar[i[m c5'

X nY: {0}. Fie un *tto' Lmu" t"io' aot-te "tU'po!ii'

a1r1 + c.2r2 : /tUr * /zYz'

din care rezult[ sistemul

Rangulmatriceiacestuisisteneste4,clecieladmite^numaisoluliaba,nala- a - R^ -0' cleci vectorul to*tt" va fi r : 0'rt *0'rt:0'At*0'y2 - 0'

Al:A?:P\ -P'Z- -'

u*t;:ff fiT"t5Yir,0,0,3), se rJescomp.ne astfel: r : a1rt*ctzrz*gflt*,zez,

( 2at + oz:20t * 0z

I go, + 6v' : P1* oz

1 rro, * 5oz : 3/Jr * 33:

I So, + 2a2:23t + 402'

(2or+o2-12R1*Rt:2| 3o, + ctz* & -'J: : o

1 tt.r, *lc;z+ 36r + 302:o

I Sor + 2c"2 * 2lJt * Lliz : 3'

,-- --l

Spalii uectoriale, subspa[ii uectoriale

prezent5rn in exemplui de rnai jos. AqezS,m coeficienlii sistemului intr-un tabloudreptunghiular qi cdut[m prin trr-r,nstbrm5.ri elementare fdcute pe linii si oblinemzerouri sub qi deasupra diagonaiei prirrcipaie.

(-3) (- 11) (-5)(2)

(2)(2)

17

2t2123111011 533052')432

0

0

0

2t0-i0000212t20 -1 -4 -1 -60031tL0001i272A10-1-40-500303000116000-60-300-300303000111 0 0 0 -1010010010100011

t2-1 -t!-1 -16-1 -6

2

-4-12

12-1 -6

< oa-d -LA

3-412

-1 -6-4 -1642

( - l)(1)

(-1)(6)

(-1)

(1)

(1)(1)

(-1) (1) (-1

(-2)

Solutia este dat5, de ultima coloani din matrice, o1 : -1, a2:1,0t:1Ei 0z:7.28. Si se determine spa{iul vectorial generat cie formele liniare:

Jt : rt -2r2i:t;1; fz: rt *12 - 13; J\: rt - 5r2*3r3.

SX se determine baza qi dimensiunea acestuia gi sd se arate ci forrna liniarS.,r : 521 - 12 * lr;3 apartine acestrli spaliu.

(3)(4)

I

rE

rE

t'

['[,]hi

Itiai._,

[:

I rea

[ ]a o

Capitolul 1

18

Solulie. lr.fl * \zfz *lsfr : 0 implicS'

zi(.\1 *,\z + '\s) +:12?2^r* )z - 5'\a) + cs(trr - 12 * 3'\a) : 0'

de unde oblinem sistemul

()r+tr2*ls:0I -2.r, * A': - 5'\3 : g

\ 'r' -' 'i' * 3'\3 : s'

cu sorulia )1 : -2.\3, .\2 : .\3. P::,./', + uiJr.::-:-' I":?'*:"o""dente' rezultS" cr

spaliul esie generat atu' a" douS' dintre ut"'-te zicem /1 gi /2' adicd'

L : LU';'\: {/1'f : R'3 -+ R' "f : trr'fr * ):-fz' trr''\2 e R}'

Baza acestui subspaliu este. formate' a.in t/1' {'i:t 1tT'-:-:j .'":;';}tJ;,LY/'rezultd 5r1_ 12 _ *": trr(zl - 2r2* 4) *,\2(r1 + 12_ 13)

(li+)::5{ -zr, 112:-1I r' - '\o : -l

compatibil qi unic determinat cu soiulia )1 :2' )::3' cleci I :2t'1 i3f2'

29. Se se arate c[ mullimea

--l ( r-z Y*:')'^'"-'*\

A.r.r.,lA,.u.=: (r-Zy*. ,J-3=)''"'' " -- J

este un subspaliu vectorial in,M2x2' S[ se determine o bazi Ut Un:"T'^"":::t:::rt/-2 3

Sa se arate ch matricea B : \ O -7

n O\

: '- ) aparline Iui X qi s5' se scrie B in baza g5^sit6'

U -// , 1.- \. ^^..iir],ri Xsicd1*L l, l#:1::u;':T:",:".+*

X aparlin lui x qi cd

,rJ."Ji:" it" tt"i"; '-al ai u'nui element din X este in X:

/ rt+ rl - (:r + ::) l|r

A",.,or,r, * Atz,uz,"r

: ::1""; .rrrr::r::r::

o * " At

/ ^r

- ^: IY + 2I:\ : A^,.rr.). € X'

IA,.r., : ( ^,

'- 2Sy 1 X, \u - 3)'z ) -

* ,Jt + 2(21 + zz) \* ,Jz - 3(;1 + z2) )

E

- - :-::. *. *I

-.--., :, J:I- -. " r5

-r,

Spali.i uectoriale, sub sytalii u ect oriale

Deci, X lbrmeaza subspaliu vectoriai in M212. Pentru a determina obaz1" gi dimen-

siunea acesteia, scriem

19

A_,,,,:, (: 3) ., (_!1\ /-t 2\I ) +, { ; f, | : tAr,o,o*aAo)pt zAool'L/ \ r -o/

Deci., orice element ciin X se scrie ca o combinalie liniari ctt matricele A-t,o,ql 10,r,9,

46.9,1 care se verific[ uqor c[ sunt ilniar independente gi formeazZr' o bazS' in X'dimrY:3. Pentru a afla coordonatele lui B in aceastS. baz,5, scriem

B : )rAr.o.i1* lzAo.r,o * )3A6,s.1

[],-^3:-2l),+21:r:8{-lf1-2Az* ls:0I r, - 3.\3 : -7,

;i avem sistemul

compatibil qi unic cleterrninat cu solulia ,\t : 1, A2 : 2, A3 : 3, deci B : '4r,0'o -i-

2AoJ,o * 3-tb.s.1'

30. s5 se determine subspalitil vectorial X generat de vectorii

,r1 : (2,-1,3),'rt - (1.1'-1). trs : (1'-2'J) qi r'1 : (3,0,2)'

S5, se cleterrnine o baz[, in acest subspaliu qi coolclona,te]e vecLorului'.r;: (1.-5,9)

in aceast5, bazi. S5. se arate cX u1 : (4, 1,1)' uz: (3,-3,7) fbrmeazti' de asemetrea'

cl bazX in X. Cum se scrie vectorul T-u in tlceast[ nouL bazil?

solulie. vectorii T7, .x2, 13 gi ra sunt liniar clependenli, deoarece rangtrl matri-

celor. este 2. Deci. spaliul vecboria,l X este generat de doi diritre ei, s5' zicem zl gi

ir2 c&re vor fl gi baza spalirrlui, cleci A : {t: € R3 l:r: otr'r* a2r2, a1'rr1 € 1R}'

Si verificEm c5" w e X, adici este liniat' depencletit de 11 1i 12. Determinantul fbr-21. 1

-1 1-53 -1 I

Cepenclenli gi 'tl.r : 2t:1 - 3r2, cleci in baza B : {rt , ,,2} ru se scrie 'LUB : (2 ' -

l})' Pen-

,.r. .o u1 Qi u2 s[ ibrmeze bazi trebuie ca r.]l]g (:t1,r2,ut) :2, rang (lt-1 '12,'u'2):2'ir.tr=-rr,1"r5,r, cei doi {eterrninauli t1r vtrloalea zelo) deci tl1 ,'u'2 e X 9i fiipc1 }i1iar

independenli, ei formeazh o baz[ in X. Pentru a detern'rina coordonatele Iui ur

in aceast5, noui baz[ B' : {ut u2} trebuie s[ cietermintim scalarii )1 qi )2 ast-(-lf1 +3^2-1

iel incAt tl : ,\1u1 * )2u2. aclicl si rezolvhm sisretnul { ^, - 342 : -5 Rangul

I A, '7)" :9'

nrat cu componentele vectorilol' 17, T2 qi tu este : 0, deci sunt liniar

I

[,

[,

I

I

I

/

l

Capitolul 1

matricei extinse a sistemului este 2, deci sistemul este compatibil gi detelminat4 n 47

cu solulia l, : -i, l, : i, deci in baza Bt, ?l,, are coordonatel" -i, i, deci

47'tlB,:-rUt*6U2.

3 Probleme propuse

1. Si se arate c5 multrimea soluliilor sistemelor liniare formeazd sttbspalii vec-

toriale. S5, se determine pentru fiecare cAte o bazd qi dimensiunea:

2. SX se studieze Iiniar dependenta sistemelor de vectori:

3. Sd se studieze liniar dependenla polinoamelor:

a) P\ : x2 - 3r *2, P2 : -r2 +r:* 1, P.": 2c'2 *3r - 4;

- b) Pt:2r3 *:r-1, P2:az +12 -2r*2,Pa: -r3 *12 -7, P4:2r3 +2r2 -r'

4. Sd se determine subspaliile generate de vectorii:

a) 11 : (2,3, 1,1), *z:(1,2,0,-1), rt:(4,7,1,-7); ----'b) 11 : (-7,2,2), ,z: (3,0,1), rr : (-5, qS).,_/

SE se determine pentru fiecare o baz[ qi dimensiunea 1or.

(2"r-r2*x3:Q(Zrr+x2-rz*rt- 0 l:Lt*rz*rr-0

a) { cz *rt-2r4-o b) { er, +zcs-o' [-", *2rz*3r3:Q' l rr-2r2-O

l. 4x1* z2 * 323 : Q.

("r-x:'2*t4*rt-rs:0I2"+rs*2rs:o.) {rz*rs-.2'4*25:QIr,.+12*c.4*3r5:6[ 3r1 + a:2 + ]'3 * rt*525 : Q.

lC S:. ._-

_'- = : --_

\i i

( *,, :(-1,2,1) {:' -(1' -1' 1) ( *' : (1' 2' 1' -1)

") { "; :\!,t',":;; b) { 1': [?:i,l] q

l::=l?,',r,';,'4t'' [ ,, : 12,t,+1i

|. :: ] (r, r, r), |. ,n : (_1,0, o, _2)

llJ i ii-- r4*,t8l-t- b tl

E

\tr tL.t e*t ttJ. llt '

Spalii uectoriale, subspa,lii uectttriale

5' sx se irate cx mullimile d.e rnai jos formeazd subspa{ii vectoriare gi sE sedeteruiine cate o bazit gi dimensiune. l;r. p;;;;, ;;;;i#;;:i;r":":1 :i ::ovnrirmo 1;-i^- a- L^-^ -v ., -exprirne iiniar in baza gisit[:

a) X : {r e f27X1lp : p*,o : (2r * By)t2+ (r + y)t + Bn _ a,e:-4t2+3r+1; lr,y e R),

27

b) x: {pe pslxllp:p,.r.":rtz *yt2+zt-r, n*2y Bz:0,Q:t3+t2+t-7.(

{A e M..:xz lA: A,.,.,:

( -z -z\\ ,3 s)'\ -/6. SX se determine subspaliile X qi y generate de vectorii:

X; o1 : (0, 1,-1, 1) , ?2 : (1, 1, 1, 2), rt: (_2,0, 1, 1);

Y '. y. : (-1,3, 2, -l), yz : (.7,1,0, _t, ), :' 1,0,-2,1, _1).

SX se determine X * y gi X oy " bazele gi dimensiunile lor.7. Si se arate c5, formele iiniar.e ft : rt - rz * 2r3 _ r-1, "fz:2:tt * 12 _ 14,

I::::::: --,,'-::' f't , -1t,.+.t:3 - 2ra fo'1"'"oi6 r'o'x rn il:;;;,',;ii,*ii;

:,y1,:"u"l1r tlniari reate deiinit" p" y,,. s; ;;;;,;';;';#i HX ,ffilTil,}:

8. SX se alate cL

X : {f o,0,, e V; 1,f",t,.,(t) : (a+2b-c)q+(2a+U-c)r,t+(a-Bb*2c)rz, cr, b, c € JR}

i:lT_"i:.. ":subspaliu vectorial in yr*. sd se cleterrnine o bazx qi dimensiunea. acestuisubspatiu. Sd se arate cir 9(r) : 2at * rz * rse X gi X = V.{9. Enun! analog exerciliuhri g, pentru

\,_ r r-\ : t-iu,b.. € t' r' I J'",u,,(r) : (a -F 2b) q * (2a - b + c)r2 + (b + 2c)q + (a + b -t c) r a,o, lr,c€lR).

S5, se determine coordonatele formei liniare Oe:) : bz1 f 12 * 4t:3+ 4ra in ba,zagXsiti.

10. S[ sc aratc cd, mulqirnea

X: {r e R4lz : (2ct, -b + c,a*b+ c,a +Zb _ c,_a *2c), a,b.c e R}

c) (Zr-u+z r*y-22\ _l\ -"+y 2y*z )"*,u,ze R],

r,Y,z e R|,

t-/

R-

Capitolul I

l"iT-r:,::J*T?l',1s:ji2"i'A:;:: jr.l",":*ine o bazi si dimensiunea sas5 se arate

"5 , I ri,l, rJi? i]&* ua se determine o bazi si dimens

r1 Ear..-r __ ,-'"'u' e/ EJ^' \.umsescrie winbazagisitlaluiX?

11. Enun( analog exercitriuiui 10, pentruX: {r € Rnl r: (a*b,a_ b,2o,*Sb,_a+2b), o,b € lR}, u: (1,J.,1,_4).

12. SE se determin e X af qi X U y, unde:

X : {x€Rrl xr*2xz_cs :0}; y : {y€ Rrl 2yr_yz*3y3 : gl.fB. Se se arate cI R.j _ X e y, unde:

X:{r elR3f c1 _2rz:_rs}; y:{y€R3l2yr *yz_2ys:0}.14. Se se arate cI R3 nu poate fi suma dilect5 a subspaliilor:

X={r €Rrl* l1:2r2:3rr}; v: {u€R3l !/r:yz:T}

15. Sd se arate ci IRa nu poate fi suma clirectl a subspafiilor:X: {u e R4f z1 *rz_x;s*r,t:0, 2r1 _rz*2rs_ra:0};y:{a e IRaf 2yl *uz*.as_y,t:0, y2_us_0, ye-.yE:0}.

't i1,,1:'1:A':ITe':ijq:,, :2-rt;,.4r2 *3rsin baza rormati de porinoarnere

17. Sd se arate cd, IRa : X @ i. O Z, unde:

X : {r € Ro I x: (tt* b,a _ b,2o, * Bb,b), a,6 € R};'

: lo € IRo ly : u(2,-1, 1,3), a € R);

, ,:{z€lRnlr_ 0(1,t,_2,_l), Be m1.

U 18. Se dau vectorii liniar independen \i x,y,z € lRB. Cum sunt vectoriiu : c - y * 22, .u : :r * U * z gi u : 2z * Jz?

Cirui strbspa(iu vectorial apar(in u, u gi w?

bu.Pr,$T5):)1"1,i,1;1;i1.)i,I1i51;;:x j^.,;"*.H.,"#l,i:i:;i",a,e(in

22