1

MECANICA FLUIDELOR

1. INTRODUCERE

Dupa cum si denumirea sugereaza, mecanica fluidelor este una din cele trei ramuri ale

Mecanicii, cea mai veche dintre stiintele fundamentale ale naturii:

1. Mecanica generala studiaza legile universale ale mecanicii si aplicatiile lor la studiul

corpurilor solide rigide;

2. Mecanica solidelor

deformabile

studiaza legile universale ale deformatiilor pe care le sufera corpurile

solide datorita fortelor care actioneaza asupra lor;

3. Mecanica fluidelor are ca obiect studiul fluidelor, precum si interactiunea dintre acestea si

solidele cu care vin n contact.

La rndul ei, mecanica fluidelor se mparte, conventional, n trei mari parti, dupa cum

urmeaza:

3.1 Statica fluidelor studiaza repausul fluidelor si actiunile exercitate de acestea asupra

corpurilor solide cu care vin n contact.

3.2 Cinematica

fluidelor

studiaza miscarea fluidelor, fara a lua n considerare fortele care

determina, sau modifica, starea de miscare.

3.3 Dinamica fluidelor studiaza miscare fluidelor lund n considerare si fortele care

determina sau modifica starea de miscare, precum si transformarile

energetice produse n timpul miscarii.

2. APLICATII ALE MECANICII FLUIDELOR

Principalele aplicatii ale staticii fluidelor constau n:

- studierea instrumentelor de masurare a presiunii fluidelor;

- studierea fortelor hidrostatice cu care fluidele actioneaza asupra corpurilor solide cu

care vin n contact;

- studiul corpurilor plutitoare;

- studiul atmosferei, considerata n repaus.

n general, aplicatiile dinamicii fluidelor se clasifica dupa conditiile la frontiera impuse

miscarii. Astfel, se disting doua mari categorii de aplicatii:

Dinamica fluidelor, externa: studiul curgerii fluidelor n jurul unor corpuri solide, considerate

izolate n interiorul fluidului. Din aceasta categorie fac parte:

- studiul constructiilor supuse actiunii vntului;

- curgerea aerului n jurul vehiculelor aflate n miscare

(trenuri, automobile, avioane etc.);

- Fenomene aerodinamice

- curgerea apei n jurul vehiculelor aflate n miscare n - Fenomene hidrodinamice

2

interiorul acesteia (submarine, vehicule amfibii etc.);

La aceste fenomene se studiaza puterea necesara nvingerii fortelor de rezistenta la

naintare, iar n cazul fenomenelor aerodinamice si forta de sustentatie generata, precum n

exemplul urmator:

G forta de greutate;

P forta de sustentatie (de portanta)

generata de aripa avionului;

T forta de tractiune;

R forta de rezistenta la naintare.

Fig. 1 Principalele forte care actioneaza asupra unui avion n timpul zborului

n cazul miscarilor uniforme, puterea consumata pentru nvingerea fortei de rezistenta la

naintare se poate calcula cu relatia:

aerR vRtxR

tL

P =

== (1.1)

Dinamica fluidelor, interna: miscarea fluidelor este delimitata de frontiere solide: canalizari

nchise, conducte, ai caror pereti sunt n general imobili. Se disting:

- miscarea gazelor n canalizari, conducte;

- miscarea gazelor n masini pneumatice; - Fenomene gazodinamice

- miscarea lichidelor n canalizari, conducte;

- miscarea lichidelor n masini hidraulice; - Fenomene hidraulice

Fig. 2 Aspectul curgerii printr-o conducta de sectiune variabila

Observatie: Pentru toate aceste cazuri se studiaza, nu numai transportul propriu-zis al fluidelor,

ci n special transportul de energie:

- hidraulica, n cazul lichidelor,

- pneumatica, n cazul gazelor,

3

deoarece, exceptie facnd

energia nucleara, aproape toata energia utilizata de omenire este, la un moment

dat, transportata de fluide n miscare:

- energia mecanica a apei, a aerului comprimat sau a vaporilor;

- energia termica a apei calde sau a aburului;

- energia chimica a petrolului (si a derivatelor sale), sau a gazelor combustibile

etc.

3. DEFINITIA FLUIDULUI. PARTICULA FLUIDA

Fizica distinge pentru corpurile materiale, n conditii obisnuite, trei stari, numite si stari de

agregare: solida, lichida, gazoasa.

Observatie: n conditii speciale exista si o a patra stare, numita plasma. Plasma este o substanta

gazoasa, puternic sau complet ionizata, ale carei proprietati sunt determinate de existenta

ionilor si electronilor n stare libera.

Mecanica distinge doua mari categorii de corpuri:

Solide - rigide;

- deformabile;

Fluide - lichide;

- gaze.

Daca un corp solid, n conditii obisnuite, are forma si volum fix, adica distantele dintre

punctele sale puncte ramn constante (sau se modifica foarte putin) sub actiunea unei forte

exterioare, fluidele (lichidele si gazele) pot capata deformatii orict de mari sub actiunea unor forte

relativ mici. Acest lucru este posibil datorita fortelor mici de coeziune dintre moleculele fluidelor.

Astfel:

- lichidele iau forma vaselor care le contin(ca si gazele de altfel), deci nu au forma

proprie, dar au volum constant, ctVlichide = deci si densitate constanta ctlichide =r ;

datorita acestui fapt lichidele se considera ca fiind fluide incompresibile;

- gazele ocupa ntregul volum al recipientelor ce le contin, deci nu au un volum constant,

ctVgaze , n consecinta si densitatea lor este variabila ctgaze r . Asadar pot fi

comprimate. Astfel, gazele se considera ca fiind fluide compresibile.

Aceste proprietati, enuntate anterior, definesc fluiditatea lichidelor si gazelor, adica usurinta

de deplasare a particulelor din care sunt formate, de unde si denumirea generala de fluide.

4

3.1 CONCEPTUL DE MEDIU CONTINUU

n mecanica fluidele sunt considerate si analizate ca fiind medii continue, adica ocupa un

spatiu n care distributia marimilor fizice ce le caracterizeaza (presiune, densitate, temperatura

etc.) este continua, cu exceptia unor puncte, linii sau suprafete, numite si de discontinuitate.

Un astfel de exemplu, de suprafata de discontinuitate, este prezentat n exemplul urmator:

formarea undelor de soc pe aripa unui avion care zboara cu o viteza mai mica dect cea a

sunetului, dar apropiata de aceasta.

Pe suprafata undei de soc viteza particulelor de aer

atinge viteza sunetului: cvaer = (celeritate);

Fenomenul se numeste de trecere a barierei

sonice.

km/h 1228c = (341.1 m/s) la nivelul marii

( mmHg 760paer = ) si temperatura C 15taer = .

Fig. 3 Formarea undei de soc (suprafata de discontinuitate) pe o aripa de avion

Ipoteza generala a continuitatii unui fluid se exprima prin faptul ca n fiecare punct

apartinnd fluidului )z,y,x(P , la orice moment dat t , se pot determina:

- presiune p definita de functia )t,z,y,x(pp = ,

- densitate r definita de functia )t,z,y,x(rr = ,

- temperatura T definita de functia )t,z,y,x(TT = ,

- viteza v definita de functia )t,z,y,x(vv =

si aceste functii sunt continue, deci derivabile.

Practic, cu ct liberul parcurs al moleculelor ce formeaza un fluid (distanta medie dintre

doua ciocniri consecutive intre particulele mediului) este mai mic (numar ct mai mare de molecule

n unitatea de volum), cu att fluidul poate fi considerat un mediu continuu.

5

Exemplu: Marimea liberului parcurs l al moleculelor de aer n functie de altitudine:

Tab. 1.1

H - Altitudine [km] 0 50 100 120 160 180 220

l - Liberul parcurs [m] 8,610-8 7,810-5 9,510-2 1.3 36 100 870

Pentru a aprecia daca un mediu fluid poate fi considerat continuu se calculeaza numarul

Knudsen, Kn (dupa numele fizicianului danez Martin Knudsen, 18711949):

xP

PLKn

DDll

== , (1.2)

unde: l liberul parcurs al particulelor mediului;

L o dimensiune caracteristica fenomenului studiat;

P parametru caracteristic fenomenului studiat;

x

1PP

DD

variatia relativa a parametrului studiat pe unitatea de lungime.

Astfel, se considera ca pentru:

1k n > mediul este considerat rarefiat; se foloseste teoria cinetico-

moleculara.

1k n @ mediul mai pastreaza din caracteristicile mediului continuu, nsa n

anumite regiuni proprietatea se pierde (zone de discontinuitate).

Exemplu:

La curgerea aerului atmosferic n jurul unei aripi de avion, vezi figura 4, lungimea

caracteristica L depinde de viteza cu care se deplaseaza avionul (sau viteza aerului, relativa la

aeronava):

t tx

t vL aer DD

== (1.3)

unde: t intervalul (mediu) de timp n care aripa ntlneste particule de aer, la o viteza

de zbor data; n acest caz t reprezinta parametrul caracteristic fenomenului

de curgere a aerului peste o structura aeromecanica.

Astfel, pentru o aripa de coarda m 1c = (distanta dintre punctele extreme ale profilului aripii), care

se deplaseaza cu viteza s/m 50vavion = , n functie de lungimea caracteristica pe unitatea de timp,

aerul poate fi considerat:

6

mediu omogen daca altitudinea de zbor este km100 H < ;

mediu neomogen pentru altitudini km100 H > (vezi tabelul 1.1).

Fig. 4 Curgerea aerului n jurul unei aripi de avion

3.2 CONCEPTUL DE MEDIU OMOGEN

Un mediu fluid continuu este considerat si omogen daca la o temperatura si presiune,

constante, densitatea sa este constanta.

ctctT ,p == r .

3.2 CONCEPTUL DE MEDIU IZOTROP

Un mediu fluid este considerat izotrop daca prezinta aceleasi proprietati n toate directiile

din jurul unui punct.

Sintetiznd cele enuntate anterior, se poate da urmatoarea definitie pentru fluide:

Definitie: Fluidul se considera ca fiind un mediu continuu, omogen si izotrop, lipsit de forma

proprie, n care, n stare de repaus, pe suprafetele de contact ale diferitelor

particule, se exercita numai eforturi normale*.

* Asupra starii de eforturi ce actioneaza asupra fluidelor se va reveni ulterior (vezi Proprietatile

fluidelor Vscozitatea).

Definitie: Particula fluida este o portiune de fluid, de forma oarecare si de dimensiuni arbitrar

de mici, care pastreaza caracteristicile de mediu continuu si n raport cu care se

studiaza repausul sau miscarea fluidului.

Limita inferioara a dimensiunilor particulei este impusa de conditia neglijarii influentei

miscarilor proprii ale moleculelor, sau a miscarii brown-iene.

Aceasta trebuie sa fie mai mare dect lungimea liberului parcurs molecular.

Limita superioara este determinata de conditiile aplicarii calculului infinitezimal.

Observatie: Omogenitatea si izotropia unui fluid permit ca relatiile stabilite pentru o particula sa fie

valabile pentru ntregul fluid .

7

4. MODELE DE FLUID

Definitie: Prin model de fluid se ntelege o schema simplificata de fluid, acesta fiind

considerat un mediu continuu, caruia i se atribuie principalele proprietati

macroscopice (masurabile) ale fluidului real (compresibil si vscos).

Necesitatea elaborarii unor modele simplificate de studiu ale fenomenelor naturale (reale)

se datoreaza complexitatii miscarii fluidelor. Neglijnd anumite procese secundare fenomenului

real, deci simplificndu-l, devine posibila construirea unui model. Astfel, se pot acceptat modele de

fluid, precum:

- fluid usor: se neglijeaza greutatea proprie; este valabil pentru gaze;

- fluid ideal: lipsit de vscozitate; se neglijeaza efectul fortelor de frecare ce apar

ntre straturile de fluid modelul Euler;

- fluid incompresibil: modelul de fluid la care volumul unei mase determinate nu se

modifica odata cu variatia presiunii; valabil pentru lichide modelul

Pascal;

- fluid newtonian: fluide care se supun legilor mecanicii clasice, newtoniene;

- fluid ne-newtonian: fluide a caror comportament nu se supune legilor mecanicii

newtoniene, precum solutiile coloidale (uleiul de ungere recirculat n

masini contine impuritati n stare de suspensie), materialele

plastice macromoleculare n stare lichida etc.

Comportamentul fluidelor ne-newtoniene constituie obiectul de studiu al stiintei reologiei.

5. METODE DE STUDIU N MECANICA FLUIDELOR

Fiind o stiinta a naturii, mecanica fluidelor foloseste n cercetare att metode teoretice, ct

si metode experimentale, de cele mai multe ori in strnsa colaborare.

Metodele teoretice constau n aplicarea principiilor, legilor si teoremelor mecanicii generale

la studiul repausului si miscarii fluidelor. Acest lucru este posibil prin reprezentarea fluidului ca

mediu continuu.

Metodele experimentale se aplica, fie n scopul stabilirii unor legi generale ale unor

fenomene, a verificarii unor concluzii teoretice, fie ca metoda de rezolvare directa a unor probleme

complexe, ce nu pot fi solutionate pe cale teoretica.

Metodele mixte rezulta prin mbinarea primelor doua.

8

PARAMETRII SI PROPRIETATILE CARE DEFINESC STAREA UNUI FLUID

1. Proprietati fizice comune lichidelor si gazelor

2. Proprietati fizice specifice lichidelor

3. Proprietati fizice specifice gazelor

Definitie O proprietate este o caracteristica a unei materii care este invarianta (constanta)

atunci cnd respectiva materie se afla intr-o anumita stare de echilibru. Conditiile

care determina aceasta stare sunt unice si descrise (caracterizate) de proprietatile

materiei.

1. PROPRIETATI FIZICE COMUNE LICHIDELOR SI GAZELOR 1.1 PRESIUNEA, p

Presiunea este unul din cei mai importanti parametri ce caracterizeaza starea unui fluid.

Prin definitie, presiunea ntr-un fluid n repaus este raportul dintre forta normala si aria suprafetei

pe care se exercita aceasta forta.

ntr-un punct dintr-un fluid n repaus, se defineste ca fiind limita reportului dintre forta

normala si aria suprafetei pe care se exercita aceasta forta, cnd aria tinde catre zero, n jurul

punctului respectiv. Matematic se exprima conform relatiei:

dAdF

AF

limp0A

== D

DD

, (2.1)

n forma diferentiala, sau simplu:

AF

p = (2.2)

Observatie: Daca forta nu ar fi normala (perpendiculara) pe suprafata pe care actioneaza, ar

trebui sa admitem ipoteza existentei unor eforturi tangentiale n fluid, ceea ce ar

contrazice faptul ca acesta este considerat n repaus. De asemenea, ntr-un fluid n

echilibru, presiunea este functie de punctul n care se determina, )z,y,x(MM = , cu

alte cuvinte este o marime scalara.

)t,z,y,x(fp)z,y,x(MM

)t,M(fpM

M =

==

Totodata, pentru un fluid, presiunea poate fi interpretata ca o masura a energiei acestuia pe

unitatea de volum:

9

Volum(Energie) mecanic LucruL

dAdF

AF

p ==

==V

(2.3)

Unitatea de masura n Sistemul International este 2m/N , denumita ncepnd cu 1971 si

Pascal Pa , dupa numele omului de stiinta Blaise Pascal, matematician, fizician, filozof, de origine

franceza (1623 1662).

2m

N1Pa 1 = . (2.4)

Deoarece aceasta este o unitate foarte mica n comparatie cu presiunile uzuale ntlnite n

instalatiile industriale, sau chiar cu presiunea atmosferica din zonele locuite ale Pamntului, se

folosesc multiplii pascalului:

kilopascalul, Pa 10kPa 1 3= , denumit si piez si

megapascalul, Pa 10MPa 1 6= .

Des utilizat, cu precadere n aplicatiile tehnice, este barul, prescurtat bar . Aceasta unitate,

desi nu apartine Sistemului International, este tolerata datorita utilizarii ei ntr-un numar nsemnat

de tari, printre care si a noastra: Pa 10bar 1 5= .

O alta unitate de masura utilizata n tehnica este atmosfera tehnica, prescurtata at , definita

de raportul:

Pa 1080665.9cm

f kg1at 1 4

2== (2.5)

Pentru definirea starii fizice normale se utilizeaza atmosfera fizica, prescurtata At , sau

atm . A fost pusa n evidenta si calculata pentru prima data de E. Torricelli, vezi figura 1 (presiunea

hidrostatica exercitata de coloana de mercur la baza ei pe aria sectiunii S este egala cu presiunea

atmosferica de pe suprafata libera a mercurului).

(torr)mmHgAt 7601 = Presiunea atmosferica este n acelasi loc o marime variabila n timp. De

asemenea variaza de la un loc la altul, functie si de valoarea acceleratiei

gravitationale locale. Astfel se defineste: presiunea fizica normala 0p ca fiind cea exercitata de o coloana de

mercur de 760 mm la nivelul marii. Rezolutia 4 a celei de a X-a Conferinte Generale de Masuri si Unitati,

1954, stabileste ca, valoric, presiunea fizica normala este egala cu:

(torr)mmHgPaAt 7601013251 ==

n practica, pentru masurarea unor presiuni mici se utilizeaza aparate a caror functionare

se bazeaza pe principiul determinarii presiunii hidrostatice exercitate de o coloana de lichid (vezi

10

figura 2). Astfel, se utilizeaza frecvent unitati de masura ce reprezinta naltimi ale unor coloane de

lichid, precum:

23

233

2m

N 81.9m10

s

m81.9

m

kg10OmmH 1 == -

23

23 m

N 875.7m10

s

m81.9

m

kg803alc mm 1 @@ -

] lp [mm h g pp lp0 r=- , (2.6)

unde: lpr densitatea lichidului piezometric.

Cele mentionate anterior, referitor la unitatile de masura utilizate si a

bazei lor de calcul, ne dau posibilitatea definirii a doua tipuri de presiuni. Astfel,

n functie de valoarea presiunii utilizata ca baza de masurare (de referinta), se

disting:

presiunea absoluta: presiunea care are ca nivel de referinta presiunea vidului absolut,

zero ; astfel, ca marime absoluta presiunea este o marime ntotdeauna pozitiva;

presiunea relativa: presiunea care are ca nivel de referinta pe cea atmosferica n locul n

care se efectueaza masurarea. Relatia de legatura dintre cele doua presiuni este:

rel0abs ppp += (2.7) n cazul n care 0abs pp < presiunea relativa se mai numeste si vacuummetrica, dupa

numele aparatului utilizat la masurarea ei. Se mai numeste si depresiune iar ca valoare este

negativa, fapt evidentiat si de aparatul de masura (vacuummetru).

n cazul n care 0abs pp presiunea relativa se mai numeste si manometrica, caz n care

este o suprapresiune si are o valoare pozitiva. Manometrele industriale se gradeaza avnd ca zero

presiunea atmosferica normala. Observatie: Deoarece n problemele tehnice curente fortele care se dezvolta in instalatiile

hidraulice (pneumatice) sunt rezultatul diferentei dintre presiunea (absoluta) din

interiorul instalatiei si presiunea atmosferica exterioara, n Mecanica Fluidelor se

utilizeaza, n general, presiunea relativa.

Pentru un curent de fluid, presiunea ntr-un punct din interiorul acestuia este rezultatul

actiunii presiunii statice si a presiunii dinamice:

dinsttot ppp += (2.8) unde: totp presiunea totala;

stp presiunea statica (presiunea care se exercita n planul de separatie a doua mase de

11

fluid); n general, presiunea statica nu variaza n sectiunea unui curent, exceptie

facnd cazurile n care liniile de curent sunt curbate;

dinp presiunea dinamica; se calculeaza cu relatia:

2v

p2

dinr= (2.9)

unde: v viteza curentului de fluid (n punctul de masurare).

r densitatea fluidului.

1.2 DENSITATEA, r

Definitie: Densitatea r ntr-un punct din interiorul unui fluid se defineste ca fiind limita

raportului dintre masa mD a unui element de volum din jurul punctului considerat si

volumul elementului VD , cnd acesta tinde catre zero:

VVV ddmm

lim0

P == D

Dr

D (2.10)

n cazul unui fluid omogen, densitatea este egala raportul dintre masa unui volum

determinat de fluid si respectivul volum (masa unitatii de volum) si are aceeasi valoare n orice

punct al fluidului:

Vm

=r (2.11)

Relatia anterioara este utilizata si n cazul definirii densitatii medii a unui fluid. Termenii

sinonimi ai densitatii sunt: masa specifica, sau masa volumica. Unitatea de masura n Sistemul

International este:

3SI m

kg][]m[

][ ==V

r

Inversul densitatii, volumul ocupat de unitatea de masa, se numeste volum specific:

r1

=v

kgm3

(2.12)

Observatie: n general, densitatea unui fluid este functie de pozitia punctului de masurare, de

presiunea p si de temperatura t [C] la momentul efectuarii masuratorii.

Aceasta observatie este valabila cu precadere n cazul gazelor (fluide compresibile), a

caror densitate depinde de temperatura si presiune; se poate determina din ecuatia de stare,

aplicata pentru doua stari, dintre care una cunoscuta:

TT

pp 00

0rr = , (2.13)

unde: termenii cu indice "0" sunt parametrii gazului n starea de referinta.

12

Pentru lichide se poate considera ca densitatea nu depinde de presiune, ea variind

nesemnificativ n functie de temperatura (fluide de densitate constanta, incompresibile).

Densitatea definita conform relatiei (2.11) se numeste si densitate absoluta. n practica,

pentru a usura masurarea densitatii fluidelor se utilizeaza uneori densitatea relativa, definita de

raportul dintre densitatea fluidului considerat si densitatea unui fluid de referinta n conditii

standard:

.ref

fluidrfluid )( r

rr = (2.14)

Pentru gaze, fluidul de referinta este aerul n stare normala: 3aer 0 kg/m 293.1=r , la

presiunea atmosferica normala 2aer 0 N/m 101325p = ( mmHg 760p aer 0 = ) si temperatura

C 0t aer 0 = , ( K 15.273T aer 0 = ). Pentru lichide, fluidul de referinta este apa distilata:

3apa kg/m 1000=r la presiunea atmosferica normala si temperatura C 4tapa = .

1.3 Greutatea specifica, g Legat de densitatea unui fluid se defineste greutatea specifica (greutatea unitatii de volum). Definitie: Greutatea specifica g ntr-un punct din interiorul unui fluid se defineste ca fiind

limita raportului dintre greutatea GD a unui element de volum din jurul punctului

considerat si volumul elementului VD , cnd acesta tinde catre zero:

VVV ddGG

lim0

P == D

Dg

D (2.15)

n cazul unui fluid omogen, greutatea specifica este egala raportul dintre greutatea unui

volum determinat de fluid si respectivul volum (masa unitatii de volum) si are aceeasi valoare n

orice punct al fluidului:

VG

=g (2.16)

Termenul sinonim al greutatii specifice este greutate volumica. Unitatea de masura n

Sistemul International este:

3SI m

N][]G[

][ ==V

g

Greutatea specifica este legata de densitate prin relatia:

g= rg (2.17)

1.4 Compresibilitatea izoterma, b

Definitie: Compresibilitatea izoterma este proprietatea unui fluid de a-si modifica volumul sub

actiunea variatiei de presiune, la o temperatura constanta.

13

Dupa cum se observa din figura 3, variatia de volum VD a fluidului din cilindru este

proportionala cu variatia pD a presiunii acestuia. Relatia care exprima aceasta dependenta este:

Fig. 3 Variatia presiunii ntr-un cilindru la modificarea volumului

pD=D- bV

V (2.18)

unde: V volumul initial al fluidului;

VVD- variatia relativa a volumului;

b coeficientul de evaluare cantitativa a compresibilitatii fluidului; poarta

denumirea de modul de compresibilitate izoterma, notat si cu k .

Observatie: Semnul ,,- din relatia anterioara arata faptul ca unei cresteri de presiune i

corespunde o scadere de volum.

Pentru variatii infinitezimale, relatia anterioara se rescrie astfel:

dpd

b=-V

V (2.19)

Unitatea de masura n Sistemul International pentru modulul de compresibilitate este:

Nm

]p[1

][2

SI ==b

Inversul modulului de compresibilitate este modulul de elasticitate, notat cu e .

be

1= [N/m2] (2.20)

Ca si n cazul densitatii, valorile b si e depind de temperatura si nu depind practic de

valoarea presiunii. Tinnd cont ca masa unui fluid este constanta, prin diferentierea relatiei

ct m == Vr obtinem:

rr

rrrrdd

d d 0d d dm =--==+=VV

VVVV (2.21)

Din relatiile (2.19) si (2.21) rezulta

14

=

==

rre

rr

b

rr

b

ddpdpd1

ddp (2.22)

Pentru fluidele grele (lichidele) raportul 0)dpd( @r , asadar 0@b (sunt practic

incompresibile). Pentru gazele comune, precum oxigenul, modulul de elasticitate depinde de

natura procesului. Astfel

p=e , pentru procese izotermice, (2.23)

p= ke pentru procese adiabatice, (2.24)

unde: vp c/c=k exponentul adiabatic; raportul dintre caldurile specifice la presiune

constanta si la volum constant;

p presiunea absoluta.

Legat de acesti doi parametri care definesc starea unui fluid se poate defini un altul si

anume celeritatea.

1.5 Celeritatea, c Celeritatea sau viteza de propagare a sunetului reprezinta unul dintre parametrii care

descriu propagarea sunetului printr-un mediu. Aceasta viteza depinde de proprietatile mediului de

propagare, n particular de elasticitatea si densitatea acestuia. ntr-un mediu fluid este definita de

relatia lui Newton:

rbre

r ===

1ddp

c [m/s]. (2.25)

n aer si alte gaze viteza sunetului depinde n primul rnd de temperatura. Presiunea are un

efect mic, iar umiditatea nu are aproape nici un efect asupra vitezei. De exemplu:

la C0 t = m/s 331,5 c =

la C0 2t = m/s343,4 c = n lichide viteza de propagare a sunetului este mai mare dect n gaze, pentru ca, desi

densitatea este mai mare (ceea ce ar nsemna o inertie mai mare, deci o viteza inferioara),

compresibilitatea lichidelor este mult mai mica dect a gazelor, ceea ce face ca o perturbatie a

presiunii ntr-un punct sa se propage rapid la punctele vecine. Astfel, n apa viteza de propagare a

sunetului este de 1400-1500 m/s. Cunoasterea precisa a vitezei sunetului n apa este importanta

ntr-o serie de domenii precum cartografierea acustica a fundului oceanic, aplicatii ale sonarului

subacvatic, comunicatii etc.

15

1.6 Numarul Mach, M Numarul Mach (dupa numele fizicianului austriac Ernst Mach) este o unitate de masura

folosita pentru a exprima viteza unui corp care se deplaseaza ntr-un fluid.

cv

Ma = [-] (2.26)

unde: v viteza (relativa) de miscare a fluidului.

Astfel, numarul lui Mach este o marime adimensionala care arata de cte ori este mai mare

viteza unui mobil dect viteza sunetului n acel mediu. Pentru Mach 1, viteza este egala cu viteza

sunetului n fluidul respectiv. n conditiile atmosferei standard, pentru Mach 1, viteza (relativa) a

aerului este egala cu 1228 km/h. Valorile subunitare ale numarului lui Mach nseamna viteze

subsonice (mai mici dect viteza sunetului), iar valorile supraunitare nseamna viteze supersonice.

O clasificare mai detaliata defineste urmatoarele regimuri de miscare a fluidelor:

- pentru 25.0Ma < : miscarea este subsonica, incompresibila;

- pentru 8.0Ma25.0

16

1.7 Vscozitatea - h , n . Vscozitatea reprezinta proprietatea fluidelor de a se opune deformatiilor atunci cnd sunt

supuse la lunecare relativa a straturilor suprapuse (de a opune rezistenta la schimbarea formei).

Aceasta proprietate se manifesta numai la fluidele n miscare prin aparitia unor eforturi tangentiale

datorita frecarii dintre straturile alaturate de fluid care se deplaseaza unele fata de altele.

Sta la baza mecanismului de transmitere a miscarii ntr-un fluid.

Constatarea a fost facuta de Newton (1687) pe baza experimentului ilustrat n figura 5. Tot

el a stabilit si expresia efortului tangential unitar de vscozitate.

Fig 5 Descrierea mecanismului de curgere a unui fluid ntre doua placi plane Astfel, miscarea unui lichid ntre doua placi plane, paralele, dintre care una fixa si cealalta

mobila poate fi caracterizata conform urmatorului mecanism: presupunem ca volumul de lichid

dintre cele doua placi este format din mai multe straturi paralele; primul strat adera la placa mobila

si se va deplasa cu aceeasi viteza ca a placii, v ; dupa un scurt interval de timp se va pune n

miscare si cel de al doilea strat, dar cu o viteza mai mica, dvv - , ; ultimul strat de fluid, aderent

la placa fixa, va avea viteza egala cu zero.

Astfel, ntre straturile de fluid se dezvolta eforturi tangentiale t definite de relatia:

AF

=t [N/m2], (2.27)

unde: A aria placii mobile;

F forta care actioneaza asupra placii mobile.

Experimental s-a constatat ca valoarea eforturilor tangentiale care se exercita ntre

straturile de fluid este direct proportionala cu viteza de deplasare a placii mobile si invers

proportionala cu distanta dintre placi, prin intermediul unui coeficient de proportionalitate, conform

relatiei:

hv

ht = sau y

=

vht (Legea lui Newton), (2.28)

unde:

yv

gradientul vitezei dupa directia y (variatia vitezei pe unitatea de lungime a normalei la directia de miscare a fluidului).

17

Marimea h caracterizeaza proprietatea de vscozitate a fluidului. Se numeste coeficient de

vscozitate dinamica, sau vscozitate dinamica. Sensul fizic al acestei marimi este acela de

tensiune tangentiala care se dezvolta n interiorul unui fluid omogen cnd gradientul vitezei este

unitar. Unitatea de masura a vscozitatii dinamice n sistemul international este [Ns/m2] sau

[kg/ms].

Pentru a lega vscozitatea de natura fluidului s-a introdus notiunea de vscozitate

cinematica, n , definita de relatia:

rh

n = , (2.29)

unde: r densitatea fluidului. Unitatea de masura a vscozitatii cinematice n sistemul international este [m2/s]. n

sistemul tehnic, unitatile de masura ale celor doua tipuri de vscozitate se exprima astfel:

)poise( P 1]scm[]gram[

1][ ST ==h ,

(Stokes) St 1][

][][ ==

scm

ST

21n .

Vscozitatile dinamica si cinematica depind de parametrii de stare ai mediului. Astfel,

vscozitatea dinamica depind numai de temperatura si nu depinde de presiune, n timp ce

vscozitatea cinematica depinde si de presiune. La cresterea temperaturii se mareste vscozitatea

gazelor si vaporilor, iar vscozitatea lichidelor se micsoreaza.

Dependenta vscozitatii gazelor de temperatura poate fi exprimata cu o buna aproximatie

utiliznd formula lui Sutherland:

++

=23

0

00 T

TCTCT

hh

smkg

, (2.30)

unde: 0h vscozitatea dinamica n conditii fizice normale de presiune si temperatura:

0p , respectiv 0T ;

C constanta de variatie a vscozitatii dinamice cu temperatura pentru gaze.

Pentru aer s kg/m 1,71210 -5aer0 =h , respectiv K 111C = .

Pentru apa, vscozitatea cinematica se poate calcula cu relatia lui Poiseuille:

2

6

t00022.0t0337.01

1078.1

++

=-

n

sm2

, (2.31)

unde: t temperatura apei n grade Celsius.

n functie de dependenta

=

dydv

tt , materialele se pot clasifica astfel (vezi figura 6):

18

1- fluide ideale (lipsite de vscozitate), deci 0=t ;

2- solide rigide (nu exista deplasari ntre diferitele puncte care

definesc solidul, sub actiunea unor eforturi tangentiale, sau

normale);

3- fluide newtoniene (valoarea tensiunilor tangentiale este

proportionala cu gradientul de viteza);

4- fluidele dilatante (suspensiile foarte concentrate, n care faza

lichida ocupa practic doar spatiul dintre particulele solide; fluide

nenewtoniene;

5- materiale pseudoplastice;

6- materiale plastice de tip Bingham ideale (fluide vscoplastice; au prag de curgere).

Pentru fluidele nenewtoiene, legea de variatie a tensiunilor tangentiale de frecare are expresia:

Rdydv

dydv

kdydv

k a

1

htaa

=

=

=

-

(2.32)

unde: k indice de consistenta al fluidului;

a index de comportare al curgerii.

ah vscozitate dinamica aparenta.

2. PROPRIETATI FIZICE SPECIFICE LICHIDELOR

Principalele proprietati fizice specifice lichidelor sunt: tensiunea superficiala, capilaritatea,

absortia sau degajarea gazelor (desorbtia) si cavitatia.

2.1 Tensiunea superficiala, s

Tensiunea superficiala s a unui lichid este o marime definita prin forta care se exercita

tangential pe unitatea de lungime de pe suprafata lichidului, datorita interactiunii dintre moleculele

de lichid din stratul superficial si moleculele de lichid din interior.

lF

=s [N/m] (2.33) Tensiunea tangentiala intervine n calculul diferentei de presiune ntr-un punct al unei

suprafete curbe de contact dintre doua lichide imiscibile (sau un lichid si un gaz).

Daca se noteaza cu 1R si 2R razele de curbura principale ale suprafetei de contact (vezi

figura 7), atunci diferenta de presiune dintre cele doua parti ale suprafetei de contact este data de

formula lui Laplace:

19

-=-=

2121 R

1R1

ppp sD ][N/m2 (2.34)

Fig. 7 2.2 Capilaritatea

Capilaritatea este proprietatea care rezulta ca o consecinta a fenomenului de adeziune si a

tensiunii superficiale si care consta n aparitia unei denivelari a suprafetei libere a lichidului n

tuburile capilare si anume o ascensiune pentru un lichid care uda tubul si o coborre pentru un

lichid care nu uda tubul (vezi figura 8).

Fig. 8 Denivelarea h este data n prima aproximatie de legea lui Jurin:

g r 2

hr

s= [m] (2.35)

unde: s tensiunea superficiala a lichidului;

r densitatea lichidului.

20

2.3 Absortia (sau degajarea) gazelor

Absortia gazelor este fenomenul prin care gazele si vaporii, care alcatuiesc faza

absorbanta, patrund prin difuziune n masa unui lichid, prin suprafata de separatie dintre cele doua

faze. Se produce cnd concentratia componentelor n stare gazoasa este mai mare ca cea

corespunzatoare echilibrului fazelor. Creste odata cu presiunea. Degajarea gazelor este procesul

invers absortiei.

De exemplu, n conditii obisnuite de temperatura si presiune, apa contine un volum de aer

ce reprezinta aproximativ 2% din volumul sau. De asemenea, n contact cu aerul, apa absoarbe

mai mult oxigen si mai putin azot ( 2O %34 si 2N %66 ) fata de raportul n care aceste gaze se

gasesc n aer ( 2O %21 si 2N %79 ).

2.4 Cavitatia

Cavitatia este un fenomen complex, foarte periculos pentru masinile si instalatiile hidraulice

ce apare pe portiunile n care presiunea scade sub cea de vaporizare, la temperatura

corespunzatoare functionarii si consta si consta n formarea unor bule de vapori si gaz care

ajungnd n zone de presiuni mare se recondenseaza, respectiv se redizolva. Fenomenul e marcat prin aparitia unor zgomote puternice, temperaturi ridicate, coroziune

chimica, ce conduc la distrugerea rapida a instalatiilor.

3. PROPRIETATI FIZICE SPECIFICE GAZELOR Proprietatile fizice specifice gazelor se pot clasifica n proprietati mecanice si proprietati

termice. Cele mecanice sunt legate de comportarea acestora ca fluide usoare si compresibile.

Gazele si vaporii sunt denumite si fluide usoare deoarece n majoritatea cazurilor greutatea

acestora poate fi neglijata n raport cu fortele uzuale de presiune cu care acestea actioneaza

asupra solidelor cu care vin n contact. De asemenea, variatiile de volum pe care le sufera acestea

sub actiunea fortelor de presiune sunt nsemnate valoric. De mare importanta n studiul fluidelor usoare sunt proprietatile termodinamice, acestea

tinnd cont de faptul ca miscarea gazelor este nsotita inevitabil de procese termice. Marimile de

stare ale unui gaz: presiunea p , densitatea r , si temperatura T sunt interdependente. Ecuatia

care defineste aceasta interdependenta, pentru gazele perfecte, este Ecuatia de stare denumita si

Ecuatia Clapeyron-Mendeleev:

T M

RpT R

pT R mV p M===

rr (2.36)

unde: [J/kgK] R constanta caracteristica a gazului studiat;

J/kmolK8314.3 RM = constanta universala a gazelor;

]kg[ m masa gazului;

21

[kg/kmol] M masa molara a gazului.

n studiul repausului sau miscarii unui gaz perfect (fara frecari sau soc) se deosebesc

urmatoarele legi de variatie a densitatii n functie de presiune:

3.1.1 Variatie izocora (la volum constant):

0ct rr == . (2.37) 3.1.2 Variatie izoterma (la temperatura constanta):

0

0pctp

rr== . (2.38)

3.1.3 Variatie adiabatica (fara schimb de caldura cu mediul exterior):

k0

0pctp

rr

k

k == . (2.39)

unde: k exponentul transformarii adiabatice (exponentul adiabatic).

3.1.4 Variatie politropica (transformare generala):

n0

n0

n

pct

p

rr== (2.40)

unde: n exponentul transformarii politropice (exponentul politropic).

3.2 Caldura specifica, c

Pentru o substanta (omogena) caldura specifica reprezinta caldura necesara unitatii de masa din

acea substanta pentru a-si mari temperatura cu un grad, fara modificarea starii fizice sau chimice.

Se determina experimental sau poate fi calculata utiliznd teoria cinetico-moleculara (n cazul

gazelor).

=

dTdQ

m1

c [J/kg K]. (2.41)

Pentru gaze si vapori, caldura specifica depinde natura procesului termodinamic. Astfel se

definesc:

Vc caldura specifica la volum constant (proces izocor, sau izodens)

pc caldura specifica la presiune constanta (proces izobar)

Legatura dintre Vc si pc este data relatia (R. Mayer):

Rcc vp += [J/kg K]. (2.42) unde:

R [J/kg K]: constanta caracteristica a gazului studiat;

22

Raportul dintre pc si Vc defineste exponentul adiabatic k :

k=v

p

c

c. (2.43)

Astfel:

R1

cp -=

kk

; 1

Rcv -

=k

. (2.44)

3.3 Energia interna specifica, u Energia interna specifica este energia termica a unui substante, raportata la unitatea de masa.

Pentru gazele perfecte se calculeaza cu relatia:

dT cdu v= [J/kg]. (2.45) 3.4 Entalpia specifica, h Reprezinta suma dintre energia interna specifica si energia potentiala de presiune specifica

(unitatii de masa):

rp

uh += [J/kg]. (2.46)

Pentru un gaz perfect entalpia depinde doar de temperatura si se calculeaza cu relatia:

dT cp

uddh p=

+=

r. (2.47)

Aplicatii

PROBLEME REZOLVATE Problema 1 Victor BENCHE s.a., Mecanica fluidelor si masini hidropneumatice, Culegere de

probleme, Universitatea Transilvania din Brasov, 1989, pb. 1.1, pag. 5

Pentru verificarea (sau etalonarea) manometrelor se poate utiliza o instalatie cu pompa cu

surub ca cea din figura 1. Aceasta se compune din corpul cilindric 1 n care se deplaseaza pistonul

2 prin rotirea tijei (surubului) 3 n corpul filetat 4. Pistonul este articulat pe tija astfel nct rotirea

tijei nu se transmite pistonului, acesta avnd numai o miscare de translatie. Tija se roteste manual

cu ajutorul volantului 5. Pompa se umple cu lichidul de lucru (ulei) aflat n rezervorul 6. Manometrul

de verificat MV si manometrul etalon ME se fixeaza etans la doua racorduri ale conductei de

refulare 7 prin intermediul robinetelor 8 si 9. Cunoscnd diametrul cilindrului cm 1d = , pasul

surubului mm 2h = , volumul initial de ulei cm200 3=V la presiune atmosferica normala si

coeficientul de compresibilitate izoterma al uleiului /Nm 1085.4 210-=b , sa se determine

numarul n de rotatii necesare pentru ca indicatia manometrului etalon sa fie at 200pm = .

23

Fig. 1

Solutie:

Se trec datele problemei n Sistemul International (daca e cazul):

m 101cm 1d 2-== diametrul cilindrului;

m 102mm 2h -3== pasul surubului;

363 m 10200 cm200 -== V volumul initial de ulei;

/Nm 1085.4 210-=b coeficientul de compresibilitate izoterma al uleiului;

24m N/m 109.81200at 200p == presiunea indicata de manometrul etalon.

Observatie: Prin rotirea tijei, pistonul 2 se va deplasa pe o distanta hnl = , astfel nct va avea

loc o comprimare a uleiului n spatiul ramas liber n cilindru 1 si conducta de refulare

7, datorita cresterii de presiune pD .

Din relatia de definitie a compresibilitatii izoterme a fluidelor:

pDbD

=-

VV

(1) si tinnd cont de faptul ca manometrele industriale indica suprapresiuni - se gradeaza avnd ca

zero presiunea atmosferica normala, rezulta ca indicatia manometrului este tocmai cresterea de

presiune:

mpp =D (2) De asemenea:

4d

h nAl2

PpD ==- V (3)

unde: hnl = distanta parcursa de piston, egala cu produsul dintre numarul de rotatii n si

distanta parcursa la o rotatie (pasul filetului h );

24

4d

A2

Pp= aria pistonului, egala cu cea a cilindrului.

nlocuind expresiile (2) si (3) n (1) obtinem:

2m

m

2

d h

p 4np

4d h n

p

bb

p VV

== (4)

rot. 122.121014.3102

1062.191085.4102004n

43

6106=

=--

--

Problema 2 Julieta FLOREA s.a., Mecanica fluidelor si masini hidropneumatice, Probleme,

Editura Didactica si Pedagogica, 1982, pb. 1.11, pag. 15

O placa plana de arie 2m 8.0S = si masa kg 2m = aluneca pe un plan nclinat, cu unghiul

= 30a , acoperit cu o pelicula de ulei de grosime mm 2=d (vezi figura 2). Densitatea uleiului

este 3kg/dm 9.0=r , iar vscozitatea cinematica stokes 4.0=n . Sa se determine viteza de

alunecare a placii n miscare uniforma.

Fig. 2

Solutie:

Se trec datele problemei n Sistemul International:

2m 8.0S = aria placii;

kg 0.2m = masa placii;

= 30a unghiul de nclinare al placii;

m 102mm 2 -3==d grosimea peliculei de ulei;

333 m/kg 109,0kg/dm 9,0 ==r densitatea uleiului;

s/m1040,0s/cm0,40 stokes 40,0 242 -===u vscozitatea cinematica a uleiului.

Observatie: Sub actiunea componentei tangentiale a greutatii placii

a sinGGT = , placa ncepe sa se miste uniform accelerat.

Pe masura ce viteza creste, creste si forta de frecare

25

vscoasa care se opune miscarii placii. La un moment dat cele doua forte se

echilibreaza dinamic, si miscarea placii devine uniforma.

Pentru cazul studiat, relatia lui Newton de calcul a efortului tangential este:

dht

vS

GT == (1) unde: v viteza de deplasare a placii n miscare uniforma;

nrh = vscozitatea dinamica a uleiului (2)

nlocuind relatia (2) n (1) obtinem:

S sin g m

vv

S

sin g mnr

add

nra

== (3)

m/s 681.00.8104.0109.0

30 sin10281.92v

43

3=

=-

-.

Problema 3 Victor BENCHE s.a., Mecanica fluidelor si masini hidropneumatice, Culegere de

probleme, Universitatea Transilvania din Brasov, 1989, pb. 1.3, pag. 6

Sa se determine dependenta de temperatura a vitezei de propagare a sunetului n apa

avnd densitatea si modulul de elasticitate:

3aap kg/m 1000=r si

29apa N/m 10914.1 =e la temperatura C 4tapa = ;

3apa kg/m 26.999=r si

29apa N/m 10020.2 =e la temperatura C 20tapa = .

Solutie: Utiliznd relatia lui Newton de calcul a vitezei de propagare a sunetului ntr-un mediu fluid:

re

r==

ddp

c (1)

se calculeaza:

m/s 13881000

10914.1c

9

apa =

= la temperatura C 4tapa = ;

m/s 142226.99910020.2

c9

apa =

= la temperatura C 20tapa = .

Asadar, viteza de propagare a sunetului creste cu temperatura.

26

Problema 4

Distributia de viteze ntr-un lichid vscos ce curge peste o placa fixa este data de relatia:

2yy68.0v -= , unde:

v viteza [m/s]

y distanta pe verticala de la suprafata placii [m].

Care este valoarea tensiunii tangentiale la nivelul placii si pentru m0.34 y = , daca vscozitatea

dinamica a lichidului este 2ms N 1=h . Reprezentati grafic dependenta )y(tt = pentru intervalul

m 0.34)0(y -= . Solutie:

Conform I. Newton, expresia tensiunii tangentiale t care se manifesta ntre straturile alaturate de

fluid este:

yv

= ht

unde:

h vscozitatea dinamica a fluidului;

yv

gradientul vitezei dupa directia y (variatia vitezei pe unitatea de lungime a normalei la

directia de miscare a fluidului); n acest caz:

yy

yyyv

2680680 2

-=

-=

.).(

.

Astfel, pentru

m 0y = (la nivelul placii) 2m

N 68.068.01 ==t ;

m 34.0y = 2mN

0)34.0268.0( 1 =-=t .

Pentru reprezentarea grafica a variatiei )y(tt = se observa ca dependenta este una

liniara, sau se aleg cteva puncte y din intervalul 0.34)0( - si se calculeaza t .

27

PROBLEME PROPUSE Problema 1

Un piston se deplaseaza cu viteza constanta s/cm 1.0v = , ntr-un cilindru avnd

diametrul mm50D =f si lungimea cm10l = , plin cu lichid cu modulul de elasticitate

24 cm/daN 102e = .

Sa se calculeze deplasarea x [mm] a pistonului daca presiunea n cilindru creste de la

zero la bar200p = si timpul necesar deplasarii. Sa se ntocmeasca o schita.

Problema 2

Viteza ntr-un fluid ce curge peste o placa plana, masurata la o distanta de mm0 5 de

suprafata placii, este m/s 1v = . Fluidul are vscozitatea dinamica Pas2 si densitatea relativa

0.8 (la cea a apei). Ce valori au gradientul vitezei si tensiunea tangentiala de frecare vscoasa la

nivelul placii plane, considernd o distributie liniara a vitezei pe directia normala curgerii. Sa se

calculeze valoarea vscozitatii cinematice a fluidului si sa se ntocmeasca o schita.

Problema 3

Sa se determine viteza de propagare a sunetului n aer la o temperatura C 20t = ,

admitnd ca legea de variatie a densitatii aerului n functie de presiune este izotermica. Masa

kilomolara a aerului este kg/kmol 29M = iar exponentul politropic 3.1n = . Constanta universala a

gazelor este [J/kmolK] 8314.3 =MR .

Problema 4

Explicati de ce vscozitatea lichidelor scade odata cu cresterea temperaturii, iar

vscozitatea gazelor creste cu temperatura.

28

Fig. 3.1

3. NOTIUNI GENERALE DE STATICA FLUIDELOR

Fortele care actioneaza asupra fluidelor

Relatia fundamentala a staticii fluidelor

Forme particulare ale relatiei fundamentale a staticii fluidelor

Forte hidrostatice

Masurarea presiunilor cu piezometre

Statica fluidelor are ca obiect de studiu fluidele aflate n stare de echilibru precum si fortele

pe care acestea le exercita asupra solidelor cu care vin n contact.

Dupa cum s-a demonstrat anterior, starea de echilibru a unui fluid este caracterizata doar

de existenta eforturilor normale n interiorul acestuia, eforturile tangentiale datorate frecarii

vscoase dintre straturile alaturate de fluid fiind nule. Din acest motiv fluidele reale aflate n repaus

pot fi tratate ca fluide ideale (lipsite de vscozitate)

3.1. FORTELE CARE ACTIONEAZA ASUPRA FLUIDELOR

Principale forte care actioneaza asupra unei mase m de fluid (vezi figura 3.1), care la un

moment t ocupa un volum V, limitat de suprafata S , se pot grupa

n:

forte masice si

forte de suprafata. Deoarece fortele interioare, de legatura, se anuleaza doua

cte doua, conform principiului egalitatii actiunii si reactiunii, n cele

ce urmeaza va fi analizata actiunea pe care o exercita fortele

exterioare. Fortele masice exterioare se datoreaza actiunii unor cmpuri de forte exterioare, precum

cel gravitational, sau cmpuri de natura electrica, magnetica. Acestea exercita asupra particulelor

de fluide actiuni proportionale cu elementele de masa dm ale acestora.

Observatie: n mod obisnuit, n mecanica fluidelor se iau n considerare doar fortele de greutate,

care sunt predominante, dupa caz si fortele de inertie. n magneto-hidrodinamica

sau dinamica plasmei, fortele care intervin preponderent sunt de natura magnetica

sau electrica. Forta masica elementara care actioneaza asupra unei particule de fluid este data de relatia:

Vd d d rmmm fmfFrrr

== (3.1)

29

unde: mfr

este forta masica unitara, sau forta raportata la unitatea de masa; are dimensiunea

unei acceleratii (n mod obisnuit, n cmp gravitational gfm = : acceleratia

gravitationala). Astfel, rezultanta fortelor masice exterioare va fi egala cu:

=V

Vd rmm fFrr

(3.2) Fortele de suprafata exterioare provin din interactiunea fluidului cu alte corpuri (pereti solizi

sau alte fluide), prin intermediul suprafetei S . Se mai numesc si forte de contact si reprezinta

efectul de legatura al masei de fluid cu mediul nconjurator. Similar ca n cazul fortelor masice,

forta elementara de suprafata se defineste ca fiind:

SfF SS d drr

= (3.3) unde: Sf

r este forta unitara de suprafata, sau forta raportata la unitatea de suprafata; depinde,

n general, de vectorul de pozitie rr

al punctului n care se considera elementul de

suprafata Sd , de versorul normalei nr

la respectiva suprafata, corespunzator fetei n

contact cu fluidul (orientat nspre interiorul suprafetei, figura 3.1). Pentru cazul general n care ntre normala la suprafata si forta de suprafata este un unghi

a , aceasta din urma se va descompune n doua componente, dintre care una normala pe Sd ,

cealalta tangenta la Sd : nFr

d , respectiv tFr

d .

SfSfFF nSSn d d ddrrrr

=== aa coscos (3.4)

SfSfFF SS d d dd tt aarrrr

=== sinsin (3.5) unde: nf

r este forta unitara de suprafata dupa directia normalei n

r.

tfr

este forta unitara de suprafata dupa directia tangentei la suprafata Sd . Componenta normala se numeste efort de presiune si este orientata n sensul compresiunii

(nspre fluid), deoarece n conditii obisnuite fluidele nu pot prelua forte de ntindere (tractiune).

Scalarul p se numeste presiune, sau presiune statica n punctul n care se considera elementul de

suprafata Sd :

npfnrr

= (3.6) Componenta tangentiala se numeste efort de suprafata tangentiala. n general, defineste

efortul tangential unitar de vscozitate t n punctul n care se considera elementul de suprafata.

3.2. ECUATIA FUNDAMENTALA A STATICII FLUIDELOR Ecuatia echilibrului fluidelor se obtin din conditia ca rezultanta fortelor exterioare ce

actioneaza asupra unei mase de fluid sa fie nula

30

0=+ pm FFrr

. (3.7) n conditiile n care n fluidele aflate n repaus fata de mediul exterior se manifesta doar

eforturi normale, rezulta ca fortele de suprafata coincid cu cele de presiune. ntr-un fluid vscos n

repaus nu se manifesta eforturi tangentiale, aparitia acestora fiind determinata doar de deplasarea

relativa a particulelor de fluid. n forma integrala, relatia (3.7) este echivalenta cu ecuatia

0=- VV

VV d d pfm rr

, (3.8) Care conduce la urmatoarea ecuatie diferentiala

Up dd =r1

, (3.9)

unde )( x, y, zU se numeste si potentialul fortelor masice. Este o marime de stare a fluidului si

pentru un punct din interiorul fluidului reprezinta energia potentiala masica a acestuia. Cnd se

cunosc componentele scalare, mxf , myf , mzf , ale fortei masice unitare, )( x, y, zU se determina

prin integrare conform relatiei

++= zfyfxfzyxU mzmymx d d d ),,( . (3.10) Daca densitatea este constanta, constant=r (fluide incompresibile), sau o functie cunoscuta de

presiune, ppp dd )(')( rrrr == (fluide barotrope), primul membru al ecuatiei (3.9) se poate

determina calculnd integrala ( ) rpd . n aceste conditii, prin integrare, relatia (3.9) capata forma

ct+= Urdp

. (3.11)

Relatia (3.11) este ecuatia fundamentala a staticii fluidelor si reprezinta principiul

conservarii energiei aplicat unei mase de fluid n repaus. Constanta de integrare ct are

dimensiunea unei energii masice unitare si se determina din conditii la limita cunoscute. Prin

analogie cu U , marimea ( ) rpd se numeste potentialul fortelor de presiune.

Observatie: Suprafetele pentru care ctU = se numesc echipotentiale. Pentru fluidele incompresibile

si fluidele barotrope, a caror densitate este o functie cunoscuta de presiune )( p rr = ,

aflate n repaus, se remarca urmatoarele proprietati ale suprafetelor echipotentiale.

Din conditia ctU = rezulta ca ctp = , deci ntr-un fluid n repaus, suprafetele echipotentiale

sunt izobare, implicit izodense si izoterme.

forta masica unitara este perpendiculara pe suprafetele echipotentiale; n mod natural este

orientata n sensul scaderii potentialului, deci al cresterii presiunii.

Suprafetele echipotentiale nu se intersecteaza, deoarece n cazul contrar n punctele de

intersectie presiunea ar avea mai multe valori diferite; astfel, suprafetele de separatie dintre

fluide (precum suprafata libera a unui lichid) sunt echipotentiale.

31

Daca fortele masice care actioneaza asupra unui fluid sunt foarte mici n comparatie cu

fortele de presiune, se poate considera ca potentialul fortelor masice unitare este neglijabil,

0U @ , iar relatia (3.21) capata forma

.ctpp == 01

dr

(3.12)

Astfel, dupa caz, n interiorul unui volum finit (masurabil) de fluid se poate considera ca

presiunea este constanta, iar variatiile acesteia se transmit n toata masa fluidului. Aceasta

consecinta este cunoscuta sub numele de principiul lui Pascal pe baza caruia se

construiesc amplificatoarele de forta (elevatorul hidraulic, presa hidraulica etc.), sau de

presiune (acumulatoarele hidraulice), utilizate n actionarile hidraulice si pneumatice.

Fig. 3.2 Schema de principiu al elevatorului hidraulic n figura 3.2 este prezentata schema de principiu a unui multiplicator de forta, utilizat ca

elevator hidraulic. Astfel, forta 1F care se exercita asupra pistonului de diametru 1d genereaza o

suprapresiune mp care se transmite n toata masa lichidului, inclusiv la nivelul suprafetei pistonului

de diametru 2d , rezultnd forta 2F , cu ajutorul carei se ridica automobilul,

1

2

1

222

2

221

1

44F

dd

Fd

F

d

Fctpm

====

pp. (3.13)

3.3. FORME PARTICULARE ALE RELATIEI FUNDAMENTALE

A STATICII FLUIDELOR

3.3.1 Repausul fluidelor incompresibile (lichidelor) n cmp gravitational Dupa cum am mai enuntat anterior, principale forte masice care

actioneaza asupra unui fluid sunt cele gravitationale. Adoptnd un sistem

cartezian n care axa Oz reprezinta verticala, n sensul cresterii altitudinii

(natural n studiul atmosferei n repaus, vezi figura 3.3), obtinem

+-=-=

-=

==ctzgzgU

gf

ff

mz

mymx d

0. (3.14)

Fig. 3.3

32

Fig. 3.4

Asadar, pentru fluide incompresibile, ct=r , relatia (3.11) devine:

ctg zpctzgp

ctzgp =+=+=+ d rrr1

(3.15)

Constanta de integrare se determina din conditii la limita cunoscute. De exemplu, n cazul

unui lichid de greutate specifica g rg = , continut ntr-un vas precum n figura 3.4, raportat la un

sistem de referinta ca n figura 3.3, pentru

cth g phz 0 =+= r . (3.16) nlocuind (3.26) n relatia (3.25) obtinem

)zhgpphgpzgp -=-+=+ ( rrr 00 . (3.17) Relatia (3.17) reprezinta legea de variatie a presiunii n interiorul

unui lichid, unde )( zh - este cota de adncime si reprezinta ecuatia

fundamentala a hidrostaticii.

Observatii:

n studiul lichidelor, orientarea naturala a sistemului de referinta este cea pentru care axa

Oz este n sensul cresterii adncimii, precum n figura 3.5.

Presiunea hidrostatica este o suprapresiune, 0pppS -= , notata n mod curent cu p .

Astfel, relatia anterioara se poate scrie si sub forma (simplificata)

hgp r= , (3.18) unde h este cota de adncime.

Dupa cum se observa, variatia presiunii ntr-un lichid n repaus, n cmp gravitational, este

o functie liniara de adncime (creste liniar cu adncimea). Valoarea presiunii maxime este la baza

vasului (la cota de adncime maxima) si este egala cu maxmax hgp r= .

Daca n cazul considerat anterior, la suprafata libera a lichidului presiunea care se exercita

are valoarea mp (presiunea manometrica exercitata de un alt fluid, precum n figura 3.5, aceasta

se transmite n toata masa lichidului, astfel nct valoarea presiunii maxime va fi:

h pp mmax g+= (3.19) Reprezentarea variatiei presiunii exercitate de un fluid pe peretii vasului cel contine, vezi

figura 3.5, poarta denumirea de diagrama distributiei de presiuni, sau epura hidrostatica. Presiunea

pe care o exercita fluidul asupra vasului se reprezinta pe directie normala n puntul de aplicatie,

dinspre fluid spre suprafata pe care acesta actioneaza. Pentru lichidele n repaus, planele

orizontale (perpendiculare pe vectorul rezultant al fortei masice unitare) sunt plane izobare (de

presiune constanta) si reciproc.

33

Fig. 3.5

Planul pentru care presiunea este nula se numeste

plan manometric si pozitia acestuia, fata de suprafata libera,

este definita de naltimea manometrica:

gm

mp

h = (3.20)

Astfel, relatia (3.30) se poate rescrie n forma:

)hh( p mmax += g (3.21)

3.3.2 Repausul fluidelor compresibile ctr n cazul n care densitatea fluidului nu e constanta,

pentru a putea calcula potentialul fortelor de presiune trebuie

cunoscuta legea de variatie a densitatii n functie de presiune

(tipul transformarii pe care o sufera fluidul).

n cazul unui proces izotermic, ctT = :

ppp

ctp

0

0

0

0

rr

rr=== . (3.22)

Astfel:

ctppp

pp

p+== ln

dd

0

0

0

0 rrr

. (3.23)

Pentru fluidele aflate n cmpul gravitational terestru:

ctzgU +-= . (3.24) Asadar

ctg zpp

=+ ln0

0r . (3.25)

Solutiile pentru procesele adiabatice sau politropice se determina similar.

4. FORTE DE ACTIUNE ALE FLUIDELOR N

REPAUS ASUPRA UNOR PERETI SOLIZI

Forte de actiune pe pereti plani

Forte de actiune pe pereti curbi

Fluidele exercita asupra peretilor solizi cu care vin n contact forte de presiune.

Determinarea acestora este necesara n practica n vederea dimensionarii rezervoarelor, barajelor

etc. din punct de vedere al rezistentei.

34

Forta elementara de presiune pFdr

ce actioneaza pe o suprafata elementara Sd (vezi

figura 4.1) este data de relatia:

Fig. 4.1 Forta de presiune pe o suprafata elementara

SnpFp d drr

= (4.1) unde n

r este versorul normalei la suprafata, orientat dinspre fluid spre perete, n sensul de

actiune al fortei.

Forta rezultanta se calculeaza nsumnd fortele elementare, asadar

=S

p SnpF d rr

(4.2)

n cazul n care suprafata este una oarecare, curba spatial, atunci si fortele elementare vor

fi oarecare n spatiu, iar actiunea lor asupra peretelui plan va fi descrisa de torsorul format din:

forta rezultanta pFr

;

momentul rezultantei in raport cu originea sistemului de referinta ales, OMr

=S

O dSnprM vrr (4.3)

unde r

r este vectorul de pozitie al punctului de aplicatie al fortei elementare pFd

r pe

suprafata dS , n sistemul de referinta xOyz . Observatie: Pentru calculul integralelor (4.2) si (4.3) trebuie sa se cunoasca distributia presiunii

p n interiorul fluidului (din legea fundamentala a staticii fluidelor).

4.1 FORTE DE ACTIUNE PE PERETI PLANI n cazul peretilor plani, versorul normalei la suprafata este constant, ctn =

r, iar relatiile (4.2)

si (4.3) devin:

=S

p SpnF d rr

(4.4)

-==SS

O SprnSpnrM d d rvvrr (4.5)

35

Punctul de aplicatie al fortei pFr

se noteaza cu C (sau CP ) si se numeste centru de

presiune. Raportat la sistemul de referinta considerat, vectorul de pozitie al centrului de presiune

se obtine din teorema lui Varignon aplicata sistemului de forte elementare, conform careia suma

momentelor fortelor elementare este egala cu momentul rezultantei:

-==- S

CPS

pCPS

SprnSprnFrSprn d d d rvrvrrrv

=

S

SCP Sp

Spr

rd

d r

r (4.6)

4.1.1 Cazul fluidelor usoare (gaze, vapori)

Avnd n vedere ca presiunea n interiorul unui volum finit de gaz poate fi considerata

constanta n toata masa acestuia, ctp = , deci avnd aceeasi valoare n orice punct al suprafetei

S , relatiile (4.4) si (4.6) se pot rescrie astfel:

SpFSpnSpnSpnF pSS

p d d ==== rrrr

(4.7)

GG

S

S

S

SCP rS

SrSp

Srp

Sp

Spr

rr

rrr

r====

d

d

d

d

(4.8)

unde Gr

r este cota centrului de greutate al peretelui de suprafata S ;

Asadar, forta cu care un fluid usor, n repaus, actioneaza asupra unui perete plan este

egala cu produsul dintre presiunea fluidului si aria suprafetei peretelui, avnd punctul de aplicatie

(centrul de presiune) n centrul de greutate al peretelui GCP rrrr

= .

4.1.2 Cazul fluidelor grele (lichide)

Pentru determinarea actiunii exercitate de un fluid greu pe un perete plan consideram cazul

general n care peretele este nclinat cu un unghi a fata de suprafata libera a lichidului pe care se

exercita presiunea manometrica mp . Raportndu-ne la sistemul de referinta n care )( yOz este

planul suprafetei nclinate (vezi figura 4.2), iar conform legii fundamentale a hidrostaticii, valoarea

presiunii la o adncime h este data de relatia:

aggr sin z === hhgp (4.9)

Tinnd cont de (4.9), relatia (4.4) devine:

====SSSS

SznSznShnSpnF d sin d sin d d )()( agaggrrrrr

, (4.10)

36

unde S

Sz d este momentul de inertie de ordinul 1 al suprafetei nclinate fata de axa oy :

SzSz CGS

d = , (4.11) unde: S este aria suprafetei nclinate;

CGz este cota centrului de greutate al suprafetei nclinate pe axa Oz . Astfel:

Fig. 4.2 Forta de presiune pe o suprafata plana nclinata Astfel,

ShzF CGCG sin gag == )(S , (4.12) unde CGh este cota de adncime a centrului de greutate al suprafetei nclinate. Asadar, forta cu care un lichid, n repaus, actioneaza asupra unui perete plan este egala cu greutatea unei coloane din respectivul lichid avnd ca baza suprafata peretelui iar ca naltime distanta de la centrul de greutate al suprafetei la planul de referinta (planul manometric). Din relatia (4.8) se obtine urmatoarea expresie a vectorului de pozitie al punctului de

aplicatie al fortei F :

Sz

Szr

Sz

Szr

Sh

Shr

Sp

Spr

rCG

S

S

S

S

S

S

SCP

d

d

d

d

d

d

d

====

rrrr

rg

g

, (4.13)

Corespunzator sistemului de referinta, coordonatele centrului de presiune n planul yoz

sunt:

Sz

I

Sz

Szy

yCG

yz

CG

SCP ==

d ;

Sz

I

Az

Sz

zCG

y

CG

SCP ==

d 2

; (4.14)

unde: yzI este momentul de inertie centrifugal al suprafetei n raport cu Oy si Oz ;

yI este momentul inertial de ordinul doi al suprafetei fata de axa Oz . Observatie:

Daca yOz este plan de simetrie, atunci 0=yzI si 0=CPy .

Centrul de presiune este situat ntotdeauna sub cel de greutate.

37

4.2 FORTE DE ACTIUNE PE PERETI CURBI Pentru a usura calculul relatiilor (4.2) si (4.3), torsorul format din forta rezultanta pF

r si

momentul OMr

se nlocuieste cu un sistem de trei forte paralele cu axele sistemului de referinta (n

general aceste forte nu sunt concurente). Astfel, componentele fortei pFr

sunt:

=yOzS

yOzxp SpF d (4.15)

=xOzS

xOzyp SpF d (4.16)

=xOyS

xOyzp SpF d (4.17)

unde xOyS , yOzS , xOzS sunt proiectiile algebrice ale suprafetei S pe care actioneaza fluidul pe

planele xOy , yOz , respectiv xOz ale sistemului de referinta, precum n cazul din figura 4.3

pentru suprafata curba (BC). Punctul de aplicatie al componentei dupa axa Ox este dat de relatia:

=

yOz

yOzx

SyOz

SyOz

FC Sp

Spr

rd

d

r

r (4.18)

Similar se calculeaza si centrele de presiune ale celorlalte doua componente.

Fig. 4.3 Proiectiile unei suprafete curbe pe planele sistemului de referinta

38

4.2.1 Forte de actiune ale lichidelor pe pereti curbi, deschisi

Alegnd un sistem de referinta n care planul xOy este plan manometric, iar axa Oz este

orientata n sensul cresterii adncimii, pentru variatii ale presiunii n interiorul lichidului zp g= ,

relatiile (5.15), , (5.18) devin:

yOzS

yOzxp SSzFyOz

z d yOzS G gg == ; xOzyp SF z xOzS G g= ; V d gg ==

xOySxOyzp SzF (4.19)

yOzG

SyOz

FC Sz

Szr

r yOzxp

d

yOz

S

=

r

r;

xOzG

SxOz

FC Sz

Szr

r xOzyp

d

xOz

S

=

r

r; V GFC rr z

rr= (4.20)

unde V este volumul de lichid cuprins ntre suprafata udata de lichid si proiectia ei pe

planul manometric (de referinta), figura 4.3. 4.2.2 Forte de actiune ale fluidelor usoare pe pereti curbi, nchisi

Cnd actioneaza pe suprafetele curbe nchise, ale rezervoarelor ce le contin, fluidelor

usoare dezvolta eforturi unitare de tensiune n peretii acestora. Calculul acestor eforturi este util la

dimensionarea grosimii peretilor rezervoarelor.

Astfel, n cazul unui rezervor cilindric (sau o conducta) de diametru D si lungime L ce

contine un fluid la presiunea constanta p , actiunea acestuia asupra unei jumatati de cilindru este

LDpF xp = ; 0== zpyp FF ; (4.21)

Notnd efortul unitar admisibil cu as si grosimea peretelui cu d forta de reactiune ce se

dezvolta n peretele sectionat este La ds2 . Din egalitatea fortelor se obtine:

aa

DpLLDp

sdds

2

2 = (4.22)

Fig. 4.4 Forta de actiune ale fluidelor usoare pe pereti curbi, nchisi

Pentru alte tipuri de suprafete se obtin relatii de calcul a grosimii minime n mod similar.

Relatia anterioara este valabila si n cazul lichidelor cnd variatia presiunii pe verticala este

neglijabila.

39

5. MASURAREA PRESIUNILOR CU PIEZOMETRE

Aparatele cu ajutorul carora se masoara presiunea se numesc manometre. Dupa principiul

de functionare, acestea se pot clasifica n doua categorii principale: manometre cu lichid: functionarea acestora se bazeaza pe legea de variatie a presiunii n

lichidele aflate n repaus; se mai si numesc piezometre;

manometre cu element elastic: functionarea acestora se bazeaza pe dependenta dintre

valoarea presiunii si marimea deformatiei elementului elastic.

Masurarea presiunii se poate face si cu aparate ce functioneaza pe baza altor principii,

precum cele ce utilizeaza traductoare electrice sau pneumatice. Indiferent de natura instrumentului

de masura, fluidul a carui presiune se masoara este dirijat spre instrument prin intermediul unei

prize de presiune:

statica, cnd axa prizei este normala pe directia curentului (fluide n miscare), figura 1.1;

totala, cnd axa prizei este pe directia curentului, vezi figura 1.2, anterior..

5.1. PIEZOMETRE

Sunt manometre cu lichid si masoara ntotdeauna presiuni relative, exprimate n coloana de

lichid. Cnd determina presiunea ntr-un punct se numesc piezometre simple, iar daca masoara

diferenta de presiune ntre doua puncte piezometre diferentiale. Daca lichidul piezometric (lichidul

utilizat pentru determinarea presiunii) este cel a carui presiune se masoara se numesc piezometre

directe, n caz contrar piezometre indirecte. Cele mai utilizate sunt:

5.1.1 Tubul piezometric

Este cel mai simplu manometru si este constituit dintr-un tub,

deschis la capatul superior, celalalt fiind conectat la un recipient

ce contine un lichid sub presiune, superioara celei atmosferice,

precum este ilustrat n figura 5.3. Presiunile masurate sunt

relative la cea atmosferica (locala), deci suprapresiuni. Acest

instrument poate fi utilizat doar n cazul lichidelor, cnd naltimea

de lichid pe tubul piezometric este suficient de mare, astfel nct

sa fie sesizabile si masurabile variatiile de presiune.

Presiunea n punctul A, exercitata de coloana de lichid este: Fig. 5.3 - Tubul piezometric

lichid] de coloan [m h g p AfA r= . (5.1)

40

5.1.2 Tubul manometric U

Denumirea se datoreaza formei acestuia. Poate fi utilizat

pentru masurarea presiunii statice n interiorul ambelor tipuri de

fluide (lichide si gaze). Conectarea la un recipient ce contine un

fluid se face precum este ilustrat n figura 5.4. Densitatea

lichidului piezometric trebuie sa fie mai mare ca cea a fluidului a

carui presiune se masoara. De asemenea, n cazul masuratorilor

n interiorul lichidelor, acestea si lichidul piezometric trebuie sa

fie imiscibile. Pentru manometrul din figura 5.4 se pot scrie

urmatoarele relatii:

Presiunea n interiorul unui fluid n echilibru static absolut este constanta la nivelul oricarui

plan orizontal. Astfel:

CB pp = .

Pentru bratul din stnga al manometrului:

1fAB h g pp r+= ;

Pentru bratul din dreapta:

2lpC h g p r= .

Astfel, presiunea (relativa la cea atmosferica locala) n punctul A este:

1f2lpA h g h g p rr -= . (5.2) Daca fluidul a carui presiune se masoara este un gaz, densitatea acestuia este mult mai

mica dect cea a lichidului piezometric flp rr >> . n acest caz termenul 1f h g r poate fi neglijat

(deoarece 1h1 > , termenii ce contin fr pot fi neglijati, deci:

h g pp lpBA r=- . (5.5) 5.1.3 Variante mbunatatite ale manometrului U

Pentru a evita calculul presiunii prin citirea naltimii de lichid piezometric pe ambele brate

ale tubului manometric U, se utilizeaza varianta n care unul dintre brate are diametrul mult mai

mare n comparatie cu celalalt, precum n figura 5.5. n acest caz, deplasarea de lichid piezometric

pe bratul de diametru mai mare devine nesemnificativa. Planul de referim indica nivelul lichidului

piezometric pentru o diferenta nula de presiune.

Fig. 5.4 Tubul manometric U

41

Fig. 5.5 Varianta mbunatatita a manometrului U

Volumul de lichid piezometric transferat de pe un brat pe celalalt este 4d

h4D

h2

2

2

1pp ==V .

Astfel, caderea de nivel pe bratul cu diametru mai mare este 2

21 Dd

hh

= .

Diferenta de presiune 21 pp - este data de diferenta de nivel pe cele doua brate:

+=

+=-

2

2lp

2

22lp21 Dd

1h g Dd

hhg pp rr . (5.6)

Deoarece D este mult mai mare ca d ( dD >> ), raportul 2)D/d( este neglijabil

( )1)D/d( 2

42

5.2 Alegerea piezometrului adecvat

La alegerea piezometrului adecvat unei masuratori trebuie avute n vedere avantajele si/sau

dezavantajele pe care le prezinta acestea.

Avantaje

sunt foarte simple din punct de vedere constructiv;

nu necesita calibrare, presiunile masurate fiind determinate conform principiului fundamental

al hidrostaticii.

Dezavantaje

nu pot nregistra variatii rapide de presiune;

n cazul tuburilor manometrice U, trebuie efectuate simultan doua masuratori pentru a

calcula presiunea diferentiala; acest dezavantaj poate fi eliminat prin utilizarea variantei n

care unul dintre brate are diametrul mult mai mare;

este dificila determinarea unor diferente mici de presiune.

43

5. DINAMICA FLUIDELOR IDEALE

5.1 NOTIUNI GENERALE DE CINEMATICA FLUIDELOR Cinematica fluidelor studiaza miscarea acestora fara a lua n considerare:

fortele care determina, sau modifica, starea de miscare,

transformarile energetice care nsotesc miscarea fluidelor.

Astfel, deoarece sunt luate n calcul doar proprietatile geometrice ale miscarii fluidelor, rezultatele

cinematicii fluidelor sunt valabile att pentru fluide ideale, ct si pentru fluidele reale.

5.1.1 METODE DE STUDIU ALE MISCARII FLUIDELOR

Exista doua metode de studiu ale miscarii fluidelor (determinarii traiectoriilor, vitezelor si

acceleratiilor): metoda Lagrange, respectiv metoda Euler.

Metoda Lagrange studiaza miscarea unei particule de fluid n aceeasi maniera ca la

miscarea unui punct material n mecanica clasica. Lund ca referinta pozitia particulei,

) , ,( 0000 zyxrv

, la momentul initial, 0t , miscarea ei (ecuatiile traiectoriei) este cunoscuta daca se

stabilesc legile de variatie n timp ale coordonatelor de pozitie ale particulei

===

.

,

,

000

000

000

, t), z, yz (xz

, t), z, yy (xy

, t), z, yx (xx

(5.1)

Necunoscutele sistemului (5.1), coordonatele zyx , , , sunt functii de variabilele

independente 000 , , zyx (variabilele lui Lagrange). Din ecuatiile traiectoriei se deduc componentele vitezei, ) , ,(vv zyx vvv

rr= , corespunzator momentelor it , dupa cum este ilustrat n figura 5.1,

,dd

,dd

,dd

tz

vty

vtx

v zyx === (5.2)

si componentele acceleratiei ) , ,(aa zyx aaa

rr=

2

2

2

2

2

2

dd

dd

,dd

d

d ,

dd

dd

tz

tv

vty

t

vv

tx

tv

a zzy

yx

x ====== . (5.3)

Pentru a descrie miscarea a n particule ce alcatuiesc o masa de fluid sunt necesare n sisteme de

ecuatii ale miscarii, cu solutii care necesita un timp ndelungat de rezolvare si resurse de calcul

semnificative. Din punct de vedere practic, mult mai comoda este utilizarea celei de a doua

metode.

44

Fig. 5.1 Descrierea miscarii particulelor unui fluid prin metoda Lagrange

Metoda Euler studiaza cmpul de viteze n puncte fixe ale spatiului ocupat de fluid. Practic,

se determina la momentele jt componentele vitezei n puncte n care se amplaseaza sonde de

viteza. Astfel, cunoscnd componentele vitezei ca functii de coordonate si timp,

)( vv

)(

)(

)(

x, y, z, t

x, y, z, tvv

x, y, z, tvv

x, y, z, tvv

zz

yy

xxrr

=

=

=

=

, (5.4)

se determina traiectoriile prin integrarea sistemului de ecuatii (5.2), respectiv, se determina

componentele acceleratiei, derivnd componentele vitezei, ecuatiile (5.3). Metoda este ilustrata n

figura 5.2.

Fig. 5.2 Descrierea miscarii unui fluid prin metoda Euler

Expresia acceleratiei unei particule fluide este

zyx vvvtk aj ai a

t zv

yv

xvv

dvd

a zyx

+

+

+

=++==rrrrrrrrr

. (5.5)

Din relatia anterioara se constata ca acceleratia are doua componente:

acceleratia locala, )v( tr

, ce rezulta din variatia n timp a vitezei n diferitele puncte ale

spatiului ocupat de fluid si

45

acceleratia convectiva (sau de antrenare), zyx vzv

yv

x

+

+ vvv

rrr, rezultat al vitezelor diferite

n punctele fluidului.

Observatii:

1. Miscarile fluidelor pentru care 0v

=

t

r se numesc permanente: ntr-un punct din interiorul

spatiului ocupat de fluid, viteza este constanta n timp. Cele pentru care 0v

t

r se numesc

nepermanente: n acelasi punct, viteza variaza (fluctueaza, n jurul unei valori medii) n timp.

2. Acceleratia convectiva este nula n cazurile cmpurilor de viteza omogene, n care viteza este

aceeasi n toate punctele mediului fluid: miscare uniforma.

3. Utiliznd teoria cmpurilor, relatia (5.11) poate fi pusa si sub forma:

( ) +

=

+

+

+

== v vv

v v

dvd rr

rr

rrr

tv

zv

yv

xtta zyx

vvrot2v

gradv

vv2vv 22 rr

rrr

rr

++

=++

= tt

a (5.6)

n relatia (5.12) s-a pus n evidenta partea potentiala a acceleratiei convective, 2v

grad2

2v

2

sau , precum si partea rotationala a acesteia, vvrot rr

( )vv rr sau . Miscarile pentru care

0v rot =r

se numesc irotationale.

5.1.2 REPREZENTAREA GRAFICA A MISCARII UNUI FLUID.

MARIMI CARACTERISTICE MISCARII FLUIDELOR

O metoda utilizata n studiul fenomenelor de dinamica fluidelor este aceea a reprezentarii

grafice a miscarii particulelor. Se definesc urmatoarele notiuni/marimi referitoare la miscarea

fluidelor: Curentul de fluid reprezinta o masa de fluid aflata n miscare. Linia de curent este curba tangenta la vectorii viteza ai particulelor care la un moment, t , se

gasesc pe aceasta curba (figura 5.3). n general, forma linilor de curent se modifica n timp: cazul

miscarilor nepermanente, n care parametrii fluidului variaza n timp, n acelasi punct. Ele si

pastreaza forma n cazul miscarilor permanente.

46

Fig. 5.3 Liniile de curent n jurul unui profil aerodinamic Prezinta doua proprietati importante si anume:

liniile de curent nu se intersecteaza, cu exceptia unor puncte, numite puncte critice, n

care viteza este nula sau infinita (printr-un punct al spatiului ocupat de un fluid nu poate

trece la un moment dat dect o singura linie de curent, deoarece ntru-un punct nu pot

exista simultan mai multe particule cu viteze diferite; n consecinta, o particula printr-un

tub de curent se misca pe o aceeasi linie de curent;

liniile de curent umplu n ntregime spatiul ocupat de curentul de fluid.

Ecuatia diferentiala a liniilor de curent, sub forma vectoriala, se obtine din conditia de tangenta a

vitezei la linia de curent, caz n care vectorul viteza )v ,v ,v( zyx vr

are aceeasi directie cu variatia

vectorului de pozitie )d ,d ,d(d zyxrr

(pentru variatii mici ale rr

d ). Astfel, r||rr

d v , sau:

0= rrr

dv (5.7)

La momentul t sistemul ecuatiilor diferentiale al liniilor de curent este:

) , , ,(d

) , , ,(d

) , , ,(d

tzyxvz

tzyxvy

tzyxvx

zyx== (5.8)

Traiectoria unei particule de fluid reprezinta drumul parcurs de aceasta n miscarea sa.

Traiectoriile pot fi vizualizata experimental, dupa cum este prezentat n figura 5.4. n cazul

miscarilor permanente traiectoria coincide cu linia de curent, lucru care nu mai este valabil n cazul

miscarilor nepermanente.

Fig. 5.4 Vizualizarea curgerii n jurul unui profil aerodinamic

47

Ecuatia diferentiala a traiectoriei este data de relatia:

tr dvd =rr

. (5.9)

La momentul t , raportnd miscarea la sistemul triortogonal de axe xOyz , relatia anterioara

este echivalenta cu sistemul:

ttzyxv

ztzyxv

ytzyxv

x

zyxd

) , , ,(d

) , , ,(d

) , , ,(d === (5.10)

Suprafata de curent este suprafata formata din toate liniile de curent care se sprijina la un

moment dat pe o curba de forma oarecare. Daca respectiva curba este una nchisa, simpla, atunci

suprafata de curent este una tubulara, formnd un tub de curent (figura 5.5).

Fig. 5.5 Tub de curent Observatie Deoarece viteza este tangenta la peretii tubului de curent, rezulta ca prin suprafata acestuia

nu se face schimb da masa.

Un tub de curent de sectiune suficient de mica, astfel nct sa putem admite pe ea o

distributie uniforma a parametrilor da stare ai fluidului (viteze si presiuni), poarta denumirea de tub

elementar de curent (figura 5.8). Fluidul din interiorul unui tub elementar de curent formeaza un fir de fluid. Daca sectiunea

transversala a tubului elementar de curent tinde catre zero, n jurul unui punct, atunci firul de

curent reprezinta materializarea liniei de curent care trece prin acel punct.

Sectiunea transversala a unui tub de curent, numita si sectiune vie, reprezinta suprafata

normala pe liniile de curent care o strabat. Este o suprafata plana daca liniile de curent sunt

paralele, 1S si 3S n figura 5.6, sau curba n caz contrar, precum 2S .

Fig. 5.6 Sectiuni vii ntr-un tub de curent

48

Perimetrul udat, uP , reprezinta lungimea conturului sectiunii transversale a unui tub de

curent, marginita de pereti solizi. Raza hidraulica, hr , reprezinta raportul dintre aria sectiunii

curentului si perimetrul udat. Diametrul hidraulic, hd , sau echivalent hidraulic, reprezinta un

parametru utilizat n cazurile n care sectiunea de curgere nu este circulara. Se determina cu

relatia

udat Perimetrulcurentului sectiunii Aria

4PA

4r4du

schh === [m]. (5.11)

n figura 5.7 sunt prezentate doua situatii de calcul ale diametrului hidraulic, frecvent

ntlnite n practica. Astfel, pentru cazul curgerii unui fluid printr-o conducta circulara sub presiune

(fluidul ocupa ntreg spatiul interior al conductei), figura 5.7(a), perimetrul udat este dPu p= , iar

diametrul hidraulic ddh = . Asadar, n cazul conductelor circulare diametrul hidraulic coincide cu

diametrul geometric.

Fig. 5.7 Perimetrul udat si diametrul hidraulic pentru cazul curgerii unui fluid printr-o conducta circulara sub presiune, respectiv printr-un canal dreptunghiular

n cazul curgerii unui lichid printr-un canal dreptunghiular de latime b , figura 5.7(b), perimetrul

udat si diametrul hidraulic sunt h2bPu += , respectiv h2bbh

4dh += , unde h reprezinta cota de

adncime a lichidului n canal.

Debitul unui curent de fluid reprezinta cantitatea de fluid care trece printr-o sectiune n unitatea

de timp. n functie de modul de exprimare al cantitatii de fluid, poate fi:

debit volumic (sau volumetric), VQ (sau simplu Q ), reprezinta volumul de fluid care trece

printr-o sectiune transversala n unitatea de timp,

tQ

t DD=

D

VV

0lim ]/s[m3 ; (5.12)

debit masic, mQ (sau m& ), reprezinta masa de fluid corespunzatoare debitului volumic VQ ;

pentru un fluid omogen (de densitate constanta, .ct=r ),

VQQm r= . [kg/s] ; (5.13)

49

Vrtejul, sau turbionul unei particule de fluid este vectorul wr

, definit de relatia (5.14) si

reprezinta viteza unghiulara medie de rotatie a particulei n jurul unei axe ce trece prin centrul ei de

greutate.

W==rrr

21

21

vrotw (5.14)

unde W

r este vectorul ce defineste rotorul vitezei,

kyv

x

vj

xv

zv

iz

v

yv

vvvzyx

kjixyzxyz

zyx

rrr

rrr

rrr

-

+

-

+

-

=

===W vv rot . (5.15)

Datorita modului asemanator de definire vectorilor W

r si w

r si pentru W

r se mai utilizeaza,

uneori, tot denumirea de vrtej (turbion). Componentele scalare ale vrtejului sunt

-

=z

v

yv yz

x 21

w ,

-

=xv

zv zx

y 21w ,

-

=

yv

x

v xyz 2

1w . (5.16)

Linia de vrtej, suprafata de vrtej si tubul de vrtej sunt definite similar ca linia de curent,

suprafata de curent, respectiv tubul de curent.

5.2 ECUATIILE DE MISCARE ALE FLUIDELOR

5.2.1 ECUATIA DE CONTINUITATE (DE CONSERVARE A MASEI)

Dupa cum am precizat anterior, din definitia liniilor de curent rezulta ca particulele de fluid

nu pot traversa suprafetele de curent. Daca densitatea este invarianta n timp, atunci masa de fluid

nu se concentreaza n diferite puncte, deci:

Variatia masei n timp (debitul masic) este constanta n orice sectiune a unui tub de curent.

Aceasta este formularea principiului continuitatii, sau de conservare a masei aplicata unui

fluid dintr-un tub de curent. Pentru un tub elementar de curent, precum n figura 5.8, volumul de

fluid ce traverseaza sectiunea de arie Ad , n timpul td , se poate exprima cu relatia:

Fig. 5.8 Tub elementar de curent

AtAl d d vd dd ==V . (5.17) unde v este viteza fluidului (constanta la nivelul unei sectiuni normale a tubului de curent).

Astfel, masa elementara de fluid este

50

Atm d d v d d rr == V , (5.18)

iar variatia acesteia n timp tmQm ddd = :

AQm d v d r= . (5.19)

Debitul masic instantaneu, n fiecare sectiune de curgere, se obtine prin integrare

AAQA

m v d v rr == , (5.20)

unde A este aria sectiuni